Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечная геометрическая прогрессия. Прогрессии АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 2 Арифметическая прогрессия 1) 1, 3, 5, 7, 9, … d=2 2) 5, 8, 11, 14, … d=3 3) -1, -2, -3, -4, … d = -1 4) -2, -4, -6, -8, … d=-2 d- разность Геометрическая прогрессия 1) 1, 2, 4, 8, … q=2 2) 5, 15, 45, 135, … q=3 3) 1; 0,1; 0,001;0,0001; q = 0,1 4) 1, 2/3, 4/9, 8/27, … q = 2/3 q-знаменатель Определение Арифметической Геометрической прогрессией а1,а2,а3,…аn,.. b1,b2,b3,…bn,… называется последовательность, отличных от нуля чисел каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним умноженному на одно и то же число. и тем же числом. Сравните графики Разность двух рядом стоящих членов остается одна и та же, вследствие чего члены прогрессии возрастают (убывают) равномерно. Разность двух соседних членов увеличивается по мере удаления их от начала ряда: вследствие этого, члены такой прогрессии, по мере их удаления от начала ряда, возрастают всё быстрее и быстрее, что наглядно изображено на рисунке. Определение Числовая последовательность а1,а2,а3,…аn,.. b1,b2,b3,…bn,… называется арифметической геометрической если для всех натуральных n выполняется равенство an+1= an+ d bn+1= bn* q bn 0 Свойство членов прогрессий Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, при n>1. an 1 an 1 an 2 Если все члены прогрессии положительны, то каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, при n>1. bn bn 1 b n 1 прогрессии 7 Формулы n–ого члена прогрессий АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ПРОГРЕССИЯ àn a1 (n 1)d bn b1 q n 1 8 Сумма n первых членов прогрессий АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ a1 a2 Sn n 2 b1 (1 q ) Sn ,q 1 1 q n 9 арифметическая прогрессия d = 3 1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… геометрическая прогрессия q = 3 2) 3; 9; 27; 81; 243;… последовательность чисел 3) 1; 6; 11; 20; 25;… геометрическая прогрессия q = 2 4) –4; –8; –16; –32; … последовательность чисел 5) 5; 25; 35; 45; 55;… арифметическая прогрессия d = – 2 6) –2; –4; – 6; – 8; … Истинно или ложно каждое высказывание 1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2. 2. В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен 2,7 3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой a1 4,2; d 0,4 равен 0,2 4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой b1 1, q 2, равна 11. 5. Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией. 6. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией. Проверь себя! 1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2. d = 2,6 – 2,4 = 0,2 высказывание ложно 2. В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен 2,7 b3 0,3 3 2,7 высказывание истинно 2 3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой равен 0,2 a1 4,2; d 0,4 a11 4,2 0,4 10 4,2 4 0,2 высказывание ложно 4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, b1 1, q 2, у которой равна 11. 1 2 1 33 S5 11 2 1 3 5 высказывание истинно 5. Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией. высказывание ложно, т.к. xn 5n 5; 10; 15;… - арифм. прогрессия 6. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией высказывание ложно, т.к. xn 3 3; 9; 27;…- геометрическая прогрессия n 1) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а1 = 5 d = 3 Найти: а6 ; а10. Решение: используя формулу а n = а 1+( n -1) d а6 = а1 +5 d = 5+ 5 . 3 = 20 а10 = а1 +9 d = 5+ 9 . 3 = 32 Ответ: 20; 32 Решение Решение 2) Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b1= 5 q = 3 Найти: b3 ; b5. Решение: используя формулу b n = b1 q n-1 b3 =b1q2 = 5 . 32 =5 . 9=45 b5 =b1q4 = 5 . 34 =5 . 81=405 Ответ:45; 405. 3) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а4 = 11 d = 2 Найти: а1 . Решение: используя формулу а n= а 1+ ( n – 1) d а4 = а1 +3 d ; а1= а4 – 3 d =11 – 3 . 2 =5 Ответ: 5. Решение 4) Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b4= 40 q = 2 Найти: b1. Решение: используя формулу b n = b1 q n-1 b4 =b1q3 ; b1 = b4 : q3 =40:23 =40 :8=5 Решение Ответ: 5. 5) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а4=12,5; а6=17,5 Найти: а5 6) Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b4=12,5; b6=17,5 Найти: b5 Самостоятельная работа 1)Дано: (а n ), а1 = – 3, а2 = 4. Найти: а16 – ? 2)Дано: (b n ) , b 12 = – 32, b 13 = – 16. Найти: q – ? 3)Дано: (а n ), а21 = – 44, а22 = – 42.Найти: d - ? 4)Дано: (b n ) , bп > 0, b2 = 4, b4 = 9.Найти: b3 – ? 5)Дано: (а n ), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d - ? 6) Дано: (b n ) , b5 = 8 q = 2. Найти: b1 – ? 7) Дано: (а n ), а7 = 16, а9 = 30.Найти: а8 –? 1) 102 2) 0,5 3) 2 4) 6 5) – 1,2 6) 0,5 7) 23 Ответы: 1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 2) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап ), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число ап = -30,8 ? 3) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию. 4) В геометрической прогрессии b12 = 315 и b14 =317. Найдите b1. Ответы: 1. 20,4 2. является 3. 6;8,2;10,4;12,6;14,8;17 4. b1=34 или b1= –34