Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Волгоградский государственный технический университет»
Кафедра «Электротехника»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Расчет линейных резистивных цепей
Вариант № 8
Выполнил: студент гр. ИВТ-262
Клычёв Денис Сергеевич
Проверил: д.т.н., профессор
кафедры «Электротехника»
Оценка_______баллов
____________ А.И.
Нефедьев
«____» ___________20___ г.
Волгоград 2023
Изначальная схема:
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
R10
R11
R12
R13
R14
R15
R16
E1 E2 E5 E9
E12
E15
E16
k
∞
16
∞
14
10
9
2
∞
37 14 16 10
18
14
20
2
36
0
13
31
39
8
4
24
Схема, полученная после преобразования:
Нахождение токов в цепи при помощи метода Кирхгофа
Всего в схеме 8 ветвей pв = 8, ветвей с источниками тока нет pт = 0, число
неизвестных токов равно p = (pв – pт) = 8; количество узлов q = 5 →
Число уравнений по первому закону Кирхгофа – (q – 1) = 5 – 1 = 4;
Число уравнений по второму закону Кирхгофа – n = p – (q – 1) = 8 – (5 – 1)
= 8 – 4 = 4;
Выберем положительные направления токов и обозначим их стрелками.
Выберем
и
обозначим
стрелками
направления
обхода
четырёх
независимых контуров: I, II, III, IV.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа.
a (•): I2 – I4 – I15 = 0
b (•): I15 – I2 – I6 – I16 = 0
c (•): I7 + I16 – I9 = 0
d (•): I4 + I6 – I5 = 0
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа.
Для контура I: I2 • R2 + I2 • R3 + I15 • R4 = E2
Для контура II: I15 • R4 + I6 • R6 – I4 • R5 = –E5
Для контура III: I9 • R9 + I9 • R14 + I9 • R15 + I9 • R13 + I7 • R10 + I7 • R12 = E9 + E12 – E15
Для контура IV: I7 • R10 + I7 • R12 – I16 • R7 + I6 • R6 + I5 • R8 = E12
Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить
следующую систему уравнений:
I2 − I4 − I15 = 0
I15 − I2 − I6 − I16 = 0
I7 + I16 − I9 = 0
I 4 + I6 − I 5 = 0
I2 ∙ R 2 + I2 ∙ R 3 + I15 ∙ R 4 = E2
I15 ∙ R 4 + I6 ∙ R 6 − I4 ∙ R 5 = −E5
I9 ∙ R 9 + I9 ∙ R14 + I9 ∙ R15 + I9 ∙ R13 + I7 ∙ R10 + I7 ∙ R12 = E9 + E12 − E15
{ I7 ∙ R10 + I7 ∙ R12 − I16 ∙ R 7 + I6 ∙ R 6 + I5 ∙ R 8 = E12
Подставим известные значения:
R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R12 R13 R14 R15 E2 E5 E9 E12 E15 k
36
0
13 31 39
8
4
24 16
14
10
9
2
14 16 10 18
14 2
36 • I2 + 0 • I2 + 13 • I15 = 14
13 • I15 + 39 • I6 – 31 • I4 = –16
24 • I9 + 9 • I9 + 2 • I9 + 10 • I9 + 16 • I7 + 14 • I7 = 14
16 • I7 + 14 • I7 – 8 • I16 + 39 • I6 + 4 • I5 = 18
________________________________________
36I2 + 13I15 = 14
13I15 + 39I6 – 31I4 = –16
45I9 + 30I7 = 14
30I7 – 8I16 + 39I6 + 4I5 = 18
Решим данную систему уравнений методом Крамера.
Для этого составим матрицу A размерностью 8 x 8 из коэффициентов,
стоящих перед токами и матрицу B размерностью 8 x 1 из значений ЭДС в
соответствии с уравнениями:
I2
I4
I5
I6
I7 I9 I15 I16
A - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты
при неизвестных токах: I2, I4, I5, I6, I7, I9, I15, I16.
B - матрица – столбец значений ЭДС независимых контуров.
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то
СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом
Крамера. Запишем определители ∆I2, ∆I4, ∆I5, ∆I6, ∆I7, ∆I9, ∆I15 и ∆I16:
Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец значений
ЭДС, и получаем определитель ∆I2.
Продолжение решения на следующей странице →
Заменяем второй столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I4.
Заменяем третий столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I5.
Заменяем четвертый столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС,
и получаем определитель ∆I6.
Заменяем пятый столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I7.
Заменяем шестой столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I9.
Заменяем седьмой столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I15.
Аналогично заменяем восьмой столбец основной матрицы на столбец
значений ЭДС, и получаем определитель ∆I16.
Находим неизвестные токи I2, I4, I5, I6, I7, I9, I15, I16 по формулам:
I2 =
∆I2
∆A
, I4 =
∆I4
∆A
, I5 =
∆I5
∆A
и так далее…
I2 = ∆I2 ⁄∆A =
−5964210
= 0,409 (A)
−14582475
I4 = ∆I4 ⁄∆A =
−6776280
= 0,465 (A)
−14582475
I5 = ∆I5 ⁄∆A =
−6450690
= 0,442 (A)
−14582475
I6 = ∆I6 ⁄∆A =
325590
= −0,023 (A)
−14582475
I7 = ∆I7 ⁄∆A =
−6592476
= 0,452 (A)
−14582475
I9 = ∆I9 ⁄∆A =
−141786
= 0,010 (A)
−14582475
I15 = ∆I15 ⁄∆A =
812070
= −0,056 (A)
−14582475
I16 = ∆I16 ⁄∆A =
6450690
= −0,442 (A)
−14582475
Выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма
мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей
полученных приемниками.
2
E2 ∙ I2 + E5 ∙ I4 + E12 ∙ I7 + E9 ∙ I9 – E15 ∙ I9 = 𝐼22 𝑅2 + 𝐼22 𝑅3 + 𝐼15
𝑅4 + 𝐼42 𝑅5 +
2
+ 𝐼62 𝑅6 + 𝐼52 𝑅8 + 𝐼16
𝑅7 + 𝐼72 𝑅10 + 𝐼72 𝑅12 + 𝐼92 𝑅9 + 𝐼92 𝑅14 + 𝐼92 𝑅15 + 𝐼92 𝑅13
Подставим известные значения:
R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R12 R13 R14 R15 E2 E5 E9 E12 E15 k
36
0
13 31 39
8
4
24 16
14
10
9
2
14 16 10 18
14 2
I2
I4
I5
I6
I7
I9
I15
I16
0,409
0,465
0,442
-0,023
0,452
0,010
–0,056
–0,442
Pист = (14 ∙ 0,409) + (16 ∙ 0,465) + (18 ∙ 0,452) + (10 ∙ 0,010) – (14 ∙ 0,010) = 5,726
+ + 7,44 + 8,136 + 0,1 – 0,14 = 21,262 (Вт)
Pпр = (0,167281 ∙ 36) + (0,167281 ∙ 0) + (0,003136 ∙ 13) + (0,216225 ∙ 31) +
+ (0,000529 ∙ 39) + (0,195364 ∙ 4) + (0,195364 ∙ 8) + (0,204304 ∙ 16) + (0,204304 ∙
14) + (0,0001 ∙ 24) + (0,0001 ∙ 9) + (0,0001 ∙ 2) + (0,0001 ∙ 10) = 6,022116 + 0 +
0,040768 + 6,702975 + 0,020631+ 0,781456 + 1,562912 + 3,268864 + 2,860256 +
0,0024 + 0,0009 + 0,0002 + 0,001 = 21,264 (Вт)
21,262 ≈ 21,264 (Вт)
Баланс мощностей сошелся (отклонение минимальное), а значит токи
найдены верно.
Нахождение токов в цепи при помощи метода контурных токов
Выделяем четыре контура, а затем указываем направление контурных
токов I11,I22,I33,I44.
R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R12 R13 R14 R15 E2 E5 E9 E12 E15 k
36
0
13 31 39
8
4
24 16
14
10
9
2
14 16 10 18
Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем
сопротивления в каждом контуре.
R11 = R2 + R3 + R4 = 36 + 0 + 13 = 49 (Ом)
R22 = R4 + R5 + R6 = 13 + 31 + 39 = 83 (Ом)
R33 = R9 + R10 + R12 + R13 + R14 + R15 = 24 + 16 + 14 + 10 + 9 = 73 (Ом)
R44 = R6 + R7 + R8 + R10 + R12 = 39 + 8 + 4 + 16 + 14 = 81 (Ом)
14 2
Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко
обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например
сопротивление R4 принадлежит контуру I и контуру II. Поэтому для
удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым
они принадлежат.
R12 = R21 = R4 = 13 (Ом)
R24 = R42 = R6 = 39 (Ом)
R34 = R43 = R10 + R12 = 30 (Ом)
Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений
контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в
контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.
I11 ∙ R11 +
I ∙R +
{ 22 22
I33 ∙ R 33 +
I44 ∙ R 44 +
49I11 +
83I22 +
{
73I33 +
81I44 +
I22 ∙ R 21 = E2
I11 ∙ R12 + I44 ∙ R 42 = −E5
I44 ∙ R 43 = E9 + E12 − E15
I22 ∙ R 24 + I33 ∙ R 34 = E12
13I22 = 14
13I11 + 39I44 = −16
30I44 = E9 + E12 − E15 = 14
39I22 + 30I33 = 18
Решим данную систему уравнений методом Крамера.
Для этого составим матрицу A размерностью 4 x 4 из коэффициентов,
стоящих перед контурными токами и матрицу B размерностью 4 x 1 из
значений ЭДС в соответствии с уравнениями:
I11
I22 I33 I44
A - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты
при неизвестных контурных токах: I11, I22, I33, I44.
B - матрица – столбец значений ЭДС в контурах.
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то
СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом
Крамера. Запишем определители ∆I11, ∆I22, ∆I33, ∆I44:
Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец значений
ЭДС, и получаем определитель ∆I11.
Заменяем второй столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I22.
Заменяем третий столбец основной матрицы на столбец значений ЭДС, и
получаем определитель ∆I33.
Аналогично заменяем четвертый столбец основной матрицы на столбец
значений ЭДС, и получаем определитель ∆I44.
I11 =
∆I11
∆A
, I22 =
∆I22
∆A
, I33 =
∆I33
∆A
и так далее…
I11 = ∆I11 ⁄∆A =
5766606
= 0,409 (A)
14100057
I22 = ∆I22 ⁄∆A =
−6550992
= −0,465 (A)
14100057
I33 = ∆I33 ⁄∆A =
141786
= 0,010 (A)
14100057
I44 = ∆I44 ⁄∆A =
6235014
= 0,442 (A)
14100057
Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только
этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в
одном контуре, то он равен контурному.
I2 = I11 = 0,409 (А)
I4 = –I22 = 0,465 (А)
I5 = I44 = 0,442 (А)
I6 = I44 + I22 = 0,442 – 0,465 = –0,023 (А)
I7 = I44 + I33 = 0,442 + 0,010 = 0,452 (А)
I9 = I33 = 0,010 (А)
I15 = I11 + I22 = 0,409 – 0,465 = –0,056 (А)
I16 = –I44 = –0,442 (А)
Выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма
мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей
полученных приемниками.
2
E2 ∙ I2 + E5 ∙ I4 + E12 ∙ I7 + E9 ∙ I9 – E15 ∙ I9 = 𝐼22 𝑅2 + 𝐼22 𝑅3 + 𝐼15
𝑅4 + 𝐼42 𝑅5 +
2
+ 𝐼62 𝑅6 + 𝐼52 𝑅8 + 𝐼16
𝑅7 + 𝐼72 𝑅10 + 𝐼72 𝑅12 + 𝐼92 𝑅9 + 𝐼92 𝑅14 + 𝐼92 𝑅15 + 𝐼92 𝑅13
Подставим известные значения:
R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R12 R13 R14 R15 E2 E5 E9 E12 E15 k
36
0
13 31 39
8
4
24 16
14
10
9
2
14 16 10 18
14 2
I2
I4
I5
I6
I7
I9
I15
I16
0,409
0,465
0,442
-0,023
0,452
0,010
–0,056
–0,442
Pист = (14 ∙ 0,409) + (16 ∙ 0,465) + (18 ∙ 0,452) + (10 ∙ 0,010) – (14 ∙ 0,010) = 5,726
+ + 7,44 + 8,136 + 0,1 – 0,14 = 21,262 (Вт)
Pпр = (0,167281 ∙ 36) + (0,167281 ∙ 0) + (0,003136 ∙ 13) + (0,216225 ∙ 31) +
+ (0,000529 ∙ 39) + (0,195364 ∙ 4) + (0,195364 ∙ 8) + (0,204304 ∙ 16) + (0,204304 ∙
14) + (0,0001 ∙ 24) + (0,0001 ∙ 9) + (0,0001 ∙ 2) + (0,0001 ∙ 10) = 6,022116 + 0 +
0,040768 + 6,702975 + 0,020631+ 0,781456 + 1,562912 + 3,268864 + 2,860256 +
0,0024 + 0,0009 + 0,0002 + 0,001 = 21,264 (Вт)
21,262 ≈ 21,264 (Вт)
Баланс мощностей сошелся (отклонение минимальное), а значит токи
найдены верно.
Вывод: токи, полученные методом Кирхгофа и методом контурных токов
идентичны, расчёт выполнен верно.
Определение тока в ветви с номером 2 методом эквивалентного
генератора для трех значений сопротивления R2 = 0; 0,5R2; R2
В основу метода положена теорема об активном двухполюснике. Основная
идея метода заключается в том, что часть цепи, параметры которой
определять нет необходимости, заменяется эквивалентным генератором с
известной ЭДС и эквивалентным сопротивлением сложной схемы.
Схема после удаления 2-й ветви.(На ней были R2, R3 и E2)
Оставил буквенное обозначение “бывшего” узла (a) для наглядности
Найдем эквивалентное ЭДС:
Для этого рассчитаем падение напряжения на резисторах R2 и R7, а затем по
формуле ниже найдем эквивалентное ЭДС между точками a и b.
Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем
сопротивления в каждом контуре.
R11 = R4 + R5 + R6 = 13 + 31 + 39 = 83 (Ом)
R22 = R6 + R7 + R8 + R10 + R12 = 39 + 8 + 4 + 16 + 14 = 81 (Ом)
R33 = R9 + R10 + R12 + R13 + R14 + R15 = 24 + 16 + 14 + 10 + 9 = 73 (Ом)
Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко
обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например
сопротивление R6 принадлежит контуру I и контуру II. Поэтому для
удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым
они принадлежат.
R12 = R21 = R6 = 39 (Ом)
R23 = R32 = R10 + R12 = 30 (Ом)
Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений
контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в
контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.
I11 ∙ R11 − I22 ∙ R 21 = −E5
{ I22 ∙ R 22 − I11 ∙ R12 − I33 ∙ R 32 = −E12
I33 ∙ R 33 − I22 ∙ R 23 = E9 + E12 − E15
83I11 − 39I22 = −16
81I − 39I11 − 30I33 = −18
{ 22
73I33 − 30I22 = 14
Решим данную систему уравнений методом Крамера.
Для этого составим матрицу A размерностью 3 x 3 из коэффициентов,
стоящих перед контурными токами и матрицу B размерностью 3 x 1 из
значений ЭДС в соответствии с уравнениями:
I11
I22
I33
A - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты
при неизвестных контурных токах: I11, I22, I33.
B - матрица – столбец значений ЭДС в контурах.
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то
СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом
Крамера. Запишем определители ∆I11, ∆I22, ∆I33:
Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец значений
ЭДС, и получаем определитель ∆I11.
Заменяем второй столбец основной матрицы системы на столбец значений
ЭДС, и получаем определитель ∆I22.
Аналогично заменяем третий столбец основной матрицы на столбец
значений ЭДС, и получаем определитель ∆I33.
I11 =
∆I11
∆A
, I22 =
∆I22
∆A
I11 = ∆I11 ⁄∆A =
, I33 =
∆I33
∆A
и так далее…
115074
= 0,377(A)
305046
I22 = ∆I22 ⁄∆A =
−119754
= −0,393 (A)
305046
I33 = ∆I33 ⁄∆A =
9288
= 0,030 (A)
305046
Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только
этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в
одном контуре, то он равен контурному.
Тогда:
I15 = I11 = 0,377 (А)
I16 = I22 = –0,393 (А)
I6 = I11 – I22= 0,016 (А)
Находим напряжение на резисторах:
Ur4 = R4 ∙ I15 = 13 ∙ 0,377 = 4,901 (В)
Ur6 = R6 ∙ I6 = 39 ∙ 0,016 = 0,624 (В)
Т.к. токи сонаправленны, напряжением на точках a и b будет сумма:
Uab = Ur4 + Ur6
Uab = Ur4 + Ur6 = 4,901 + 0,624 = 5,525 (В)
Найдем общее сопротивление цепи:
Для этого уберем их схемы все источники энергии и посчитаем общее
сопротивление схемы
Получим следующие:
R* = R9 + R14 + R15 + R13 = 24 + 9 + 2 + 10 = 45 (Ом)
R10,12 = R10 + R12 = 16 + 14 = 30 (Ом)
R’’ = (R* ∙ R10,12) / (R* + R10,12) = (45 ∙ 30) / (45 + 30) = 18 (Ом)
RS = R4 + R5 + R6 = 13 + 31 + 39 = 83 (Ом)
R4,6 = (R4 ∙ R6) / (RS) = (13 ∙ 39) / (83) = 6,1 (Ом)
R4,5 = (R4 ∙ R6) / (RS) = (13 ∙ 31 ) / (83) = 4,86 (Ом)
R5,6 = (R5 ∙ R6) / (RS) = (31 ∙ 39) / (83) = 14,57 (Ом)
Rs = R7 + R’’ + R8 = R5,6 = 39 + 4 + 14,57 + 18 = 75,57 (Ом)
Rэкв = R4,5 + ((R4,6 ∙ Rs) / (R4,6 + Rs)) = 4,86 + ((6,1 ∙ 75,57) / (6,1 + 75,57)) = 10,5 (Ом)
Найдем значение тока для удаленной ветки:
Учитывая направления всех ЭДС, получаем схему ниже:
Рассчитаем ток I2, используя второй закон Кирхгофа:
I2 ∙ (R2 + R3 + Rэкв) = E2 + Eэкв
I2 = (E2 + Eэкв) / (R2 + R3 + Rэкв) = (14 + 5,525) / (36 + 0 +10,5) = 0,419 (А)
Найдем оставшиеся значения для Rk = 0; 0,5*Rk
Рассчитаем ток при R2 = 0
I2 = (E2 + Eэкв) / (R2 + R3 + Rэкв) = (14 + 5,525) / (0 + 0 + 10,5) = 1,859 (А)
Рассчитаем ток при 0,5R2
I2 = (E2 + Eэкв) / (R2 + R3 + Rэкв) = (14 + 5,525) / (18 + 0 + 10,5) = 0,685 (А)
Сравним токи, полученные методами Кирхгофа, контурных токов и
эквивалентного генератора:
0,419 ≈ 0,409 (погрешность 2,38 %)
Вывод: в данной семестровой работе мы научились находить токи в цепи
методами: Кирхгофа, контурных токов и эквивалентного генератора.