Расчет траектории снаряда
Иванов В.Н.
Рассчитаем параметры полета снаряда с учетом силы аэродинамического
сопротивления и силы тяжести, и построим графики траектории снаряда и
скорости полета снаряда в зависимости от времени.
Положение снаряда на траектории показано на рис. 1
Рис. 1
где
δ – угол нутации (угол между осью снаряда и касательной к траектории
снаряда);
α – угол атаки (угол между вектором скорости и продольной осью снаряда);
θ – угол наклона траектории (угол между касательной и линией горизонта);
𝐺 – сила веса;
𝑅 – сила аэродинамического сопротивления;
𝑉 – скорость снаряда.
Пусть ∝= 𝛿 = 0, тогда для снаряда можно записать следующую систему
уравнений движения:
𝑑𝑉
𝜌𝑉 2
𝑚
= −𝐶𝑅 𝑆𝑚
− 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝑡
2
𝑑𝜃
𝑚𝑉
= −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑦
{ 𝑑𝑡 = 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜃
где
(1)
𝐶𝑅 – коэффициент лобового сопротивления;
𝑆𝑚 – площадь миделевого сечения;
ρ = 1,225 кг/м3 – плотность воздуха.
Преобразуем систему (1) к виду:
𝑑𝑉
1
𝜌𝑉 2
= − 𝐶𝑅 𝑆𝑚
− 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝑡
𝑚
2
𝑑𝜃
1
= − 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑡
𝑉
𝑑𝑥
= 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑦
{ 𝑑𝑡 = 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜃
(2)
Конечно-разностная аппроксимация (2) имеет вид:
1
𝜌𝑉𝑖2
𝑉𝑖+1 = 𝑉𝑖 − ∆𝑡 ( 𝐶𝑅 𝑆𝑚
+ 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 )
𝑚
2
1
𝜃𝑖+1 = 𝜃𝑖 − ∆𝑡 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖
𝑉𝑖
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ∆𝑡𝑉𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖
{ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∆𝑡𝑉𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖
(3)
Пусть исходные данные для численного решения соответствуют
характеристикам ОФ снаряда к гаубице Д-20:
калибр – 152 мм;
начальная скорость – 665 м/с;
масса – 43,5 кг;
максимальная дальность – 17410 м.
Коэффициент лобового сопротивления зависит от скорости полета снаряда.
Достоверных данных для данного снаряда нет (я их не нашел), поэтому для
CR принято среднее значение для всей траектории полета 𝐶𝑅 = 0,219. При
этом значении получается отличное совпадение по максимальной дальности
полета снаряда, которая достигается при угле возвышения орудия 40 градусов
(в программе: teta_gr = 40).
Листинг программы на Python имеет вид:
Результаты расчетов представлены на рис. 1 и рис. 2.
Рис. 2. Траектория полета снаряда
Рис. 3. Скорость снаряда на траектории а зависимости от времени полета
Параметры в точке приземления снаряда при заданных исходных данных
следующие:
V= 308.26 м/с – скорость приземления;
x= 17416.9 м – дальность полета;
t= 64.2 сек – время полета.
(Статья опубликована на сайте www.simpleprogramming.ru )