Расчетно-графическая работа «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка» Рассматривается задача Коши y 1 a bc 0, a y 0, b x 2 0, c; y 0 1, где a, b, c число букв в фамилии, имени и отчестве студента соответственно. Задание 1. Требуется: 1. Решить задачу Коши (получить точное решение дифференциального уравнения). Вычислить значения точного решения на отрезке [0, 2] в точках xi i0 , n где x0 0, xi 1 xi h, h 0,2. Результат занести в Таблицу 1 и итоговую таблицу (см. далее). Таблица 1. Точное решение i 0 1 … n xi 0 h … 2 y(xi) 2. Найти численное решение задачи Коши на отрезке [0, 2] с шагом h = 0,2 а) методом Эйлера: yi 1 yi hf xi , yi ; i 0, 1,..., n 1. Результат занести в Таблицу 2 и итоговую таблицу. Таблица 2. Метод Эйлера i 0 1 … n xi 0 h … 2 yi Ri б) модифицированным методом Эйлера-Коши: yi 1 yi hf хi , yi ; h yi 1 yi f хi , yi f хi 1 , yi 1 , i 0,1,..., n 1. 2 Результат занести в Таблицу 3 и итоговую таблицу. Таблица 3. Модифицированный метод Эйлера-Коши h f xi , yi 2 i xi yi 0 0 h 1 h 2h … … … f xi 1 , yi 1 yi 1 xi+1 Ri 2 n 2 в) методом Рунге-Кутта четвертого порядка: ki1 f xi , yi ; ki2 f xi h / 2, yi (h / 2)ki1 ; ki3 f xi h / 2, yi (h / 2) ki2 ; ki4 f xi h, yi hki3 ; yi 1 yi (1/ 6)h ki1 2ki2 2ki3 ki4 ; i 0, 1,..., n. Результат занести в Таблицу 4 и итоговую таблицу. Таблица 4. Метод Рунге–Кутта i xi 0 1 … 0 … n 2 yi k1 k2 k3 k4 Ri h Для всех численных методов вычислить погрешность приближения на каждом шаге Ri yточн xi yi (записать в соответствующей таблице) и найти погрешность метода R max Ri (результат занести в итоговую таблицу). Итоговая таблица 5 у0 у1 … yn Погрешность метода R Точное решение Метод Эйлера Модиф. метод Эйлера-Коши Метод Рунге-Кутта 3. Точное решение ДУ и приближенные решения построить на одном рисунке (по Таблице 5). Сделать вывод о точности, эффективности и т.п. рассматриваемых численных методов. Задание 2. Требуется: 1. Найти численное решение задачи Коши на отрезке [0, 1] методом Эйлера с точностью =103. За первоначальный шаг взять h=0,2. [Записать расчетные формулы метода Эйлера для каждого шага] xi 0 … 1 h=0,2 yi h=0,1 yi … R В последней строке таблицы записать значение погрешности, вычисленной по правилу Рунге R max yih/2 yih . 2. Вычислить значения точного решения на отрезке [0, 1] (см. Задание 1 п.1) в тех же точках, что и полученное решение методом Эйлера, соответствующее заданной точности . 3. Точное решение ДУ и приближенное решение построить на одном рисунке. Сделать вывод об оценке погрешностей численного метода по правилу Рунге.