решение задач повышенного уровня по теме "Статика. Равновесие твёрдых тел и жидкостей"

"Статика. Равновесие твёрдых тел и жидкостей"
Контрольные вопросы.
1. Какое тело называется твердым телом?
Твердое тело - это тело, расстояние между частями которого, не изменяется
при действии на него сил.
2. В чем отличие свободного вектора от вектора силы?
Свободный вектор можно переносить в пространстве параллельно самому
себе, и он остается по определению тем же вектором. При переносе силы
параллельно самой себе переносится точка ее приложения. При этом
характер движения тела изменится.
3. Можно ли переносить точку приложения силы в твердом теле?
Точку приложения силы можно переносить по линии ее действия в любую
точку твердого тела.
4. Катер совершает маневр, двигаясь по криволинейной траектории.
Относительно какой системы отсчета, сидящий в катере пассажир
находится в равновесии? Относительно какой системы отсчета,
пассажир не находится в равновесии?
Пассажир находится в равновесии относительно систем отсчета,
находящихся в покое или движущихся равномерно прямолинейно
относительно него: кресло, в котором сидит пассажир; его одежда и т.п.
Пассажир не находится в равновесии относительно систем отсчета,
движущихся относительно него с ускорением: пристань, маяк и т.п.
5. Под каким углом должны действовать на материальную точку две
силы по 17Н каждая, чтобы их равнодействующая тоже равнялась
17Н?
Рассмотрим схематический рисунок действия двух сил. Так как
R  F1  F2
Найдем их геометрическую сумму по правилу параллелограмма
F1
R
α
β
F2
Т.К. сумма углов параллелограмма 3600 и силы F1 и F2 равны по
модулю, следовательно
    1800
Рассчитаем модуль равнодействующей силы по теореме косинусов
R 2  F12  F22  2 F1  F2  cos 
cos   cos(180   )   cos 
R 2  F12  F22  2 F1  F2  cos 
17 2  2 17 2  2 17 2  cos 
289  578cos 
cos  
289
 0,5
578
  2700
6. На тело действуют три силы, лежащие в одной плоскости. Известно,
что F1 = F2=32Н. Найти равнодействующую силу (модуль,
направление и точку приложения) для двух случаев: а) F3=32Н; б)
F3=32√2Н
F3
450
F1
α
F2
R
Найдем геометрическую сумму R1  F1  F2 пр правилу параллелограмма
Т.к. F1 = F2, следовательно, α=450.
Рассчитаем модуль полученного вектора по теореме Пифагора.
R1  F12  F22  322  322  32 2H
Тогда общая результирующая сила
R  R1  F3
a) R  32 2  32  32( 2  1)  32(1, 41  1)  13,12 H
б ) R  32 2  32 2  0
7. На прямоугольную пластину в ее плоскости действуют силы
F1 = F2=20Н, F3=20√2Н. Покажите, что у такой системы нет
равнодействующей. Опишите качественно начальный характер
движения пластины под действием этих сил из неподвижного
состояния.
F1
450
F3
А
F2
Так как точку приложения силы можно переносить по линии ее
действия, перенесем силу F1 в точку А и найдем равнодействующую сил
F1 и F2
F1
R1
F2
Т.к. F1 = F2, следовательно, α=450
Рассчитаем модуль полученного вектора по теореме Пифагора
R1  F12  F22  20 2H
Силы R1 и F3 равны по модулю, направлены противоположно, но не
лежат на одной прямой. Следовательно, это пара сил не имеет
равнодействующей. Приложенные к телу силы не изменяют характер его
движения.
8. Шар удерживают на гладкой наклонной плоскости с помощью нити
АВ (рис). Найти ошибку в рисунке.
А
В
g
Рассмотрим все силы, действующие на шар, и обеспечивающие ему
равновесие.
N
T
(N+mg)
mg
Т.к. шар в равновесии, то согласно второму закону Ньютона
F  0
mg  N  T  0
T  (mg  N )
Сила натяжения нити равна по модулю и противоположна по направлению
сумме сил тяжести и нормальной реакции опоры. Значит, продолжение нити
на рисунке должно проходить через центр шара. В противоположном случае
сила натяжения создает вращательный момент относительно центра шара и
шар должен будет повернуться, что противоречит условию задачи.
9. На тело действуют две параллельные силы F1=9H и F2=3H.
Расстояние между точками приложения сил АВ=140см. Найти
равнодействующую силу (модуль, направление, линию действия).
R
F1
F2
С
А
В
Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в
одну сторону, параллельна этим силам и направлена в ту же сторону. Модуль
равнодействующей силы R равен сумме модулей данных сил
R  F1  F2  9H  3H  12H
Линия действия равнодействующей силы делит расстояние между точками
приложения данных сил внутренним образом на части, обратно
пропорциональные модулям этих сил
F1 BC

3
F2 AC
AC  AB  BC  140см  ВС
ВС
3
140см  ВС
ВС  420см  3ВС
4 ВС  420см
ВС  105см
АС  140см  105см  35см
Проверка
105
3
35
10.На тело действуют две антипараллельные силы F1=3H и F2=4H.
Расстояние между точками приложения сил АВ=20см. Найти
равнодействующую силу (модуль, направление, линию действия).
F2
R
B
A
C
F1
Равнодействующая двух антипараллельных сил параллельна этим силам и
направлена в сторону большей силы. Модуль равнодействующей силы R
равен разности модулей данных сил
R  F2  F1  4H  3H  1H
Линия действия равнодействующей силы делит расстояние между точками
приложения данных сил внешним образом на части, обратно
пропорционально модулям этих сил
АС F2 4


ВС F1 3
AC  AB  BC
AB  BC 4

BC
3
20  BC 4

BC
3
60см  3BC  4 BC
BC  60см
АС  60см  20см  80см
11.Однородная балка постоянного сечения и массой 48кг лежит на
горизонтальной поверхности. Какую наименьшую силу надо
приложить к балке, чтобы приподнять ее за один конец?
Рассмотрим силы, действующие на балку в данном случае.
А
F
В
О
mg
L
Так как балка однородна, следовательно, сила тяжести приложена в центре
балки в тА. Минимальное значение силы F, необходимой для подъема балки,
возможно при максимальном значении ее плеча. Поэтому сила F приложена
на краю балки в тВ.
Рассмотрим правило моментов относительно точки О.
mg 
L
 F L
2
mg
F

2
48кг  9,8
2
м
с 2  240 Н
12.Мужчина и женщина переносят груз, подвешенный на легкой палке
длиной 2,1м, держа палку за концы. Где надо подвесить груз, чтобы
нагрузка на мужчину была вдвое больше, чем на женщину?
Nм
Nж
x
(2,1-x)
М
Ж
mg
Fж
Fм
Fм и Fж – силы давления на мужчину и женщину соответственно.
Nм и Nж – реакции опор на палку со стороны мужчины и женщины.
Согласно третьему закону Ньютона
Fм = Nм и Fж= Nж
Таким образом, на палку действуют три силы: Nм; mg; Nж
Рассмотрим правило моментов относительно точки М
mg  x  N ж  2,1м
Рассмотрим правило моментов относительно точки Ж
mg  (2,1м  x)  N м  2,1м
Найдем отношение этих выражений
N L
mg  x
 ж
mg  (2,1  x) N м  L
N м  2Nж
x
1

(2,1  x) 2
2 x  2,1  x
3 x  2,1
x  0, 7 м
13.Чем можно объяснить текучесть газов?
В жидкости нет сил, препятствующих сдвигу с бесконечно малыми
скоростями одних слоев жидкости относительно других. Этим объясняется
текучесть жидкости.
14.Выполняется или нет закон Паскаля в невесомости?
Согласно закону Паскаля, давление на жидкость или газ передается в любую
точку без изменения. Причиной этого является хаотичное движение молекул.
С понятием веса это утверждение никак не связано, следовательно, закон
Паскаля в невесомости выполняется.
15.Как зависит выталкивающая сила от глубины погружения
несжимаемого тела в несжимаемую жидкость?
Причина возникновения выталкивающей силы - различие гидростатического
давления в разных точках жидкости. Поэтому, выталкивающая сила не
зависит от глубины погружения.
16.Чему равна сила Архимеда в невесомости?
Выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость или
газ, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему
направлена. Следовательно, выталкивающая сила появится тогда, когда нет
состояния невесомости, т.е. когда любое тело имеет вес. Вывод: в условиях
невесомости сила Архимеда равна нулю.
17.Шар из алюминия с полостью внутри висит на нити. Шар медленно
погружают в воду. Шар оказывается полностью в воде при
натянутой нити. Почему и как повернется шар относительно нити?
FA
T
С
mg
Шар имеет полость, т.е. не однородный. Следовательно, центр масс шара
будет смещен вправо (т С). Вдоль линии действия силы тяжести со стороны
нити будет действовать сила натяжения. Сила Архимеда будет приложена к
центру шара. Поэтому возникает пара сил с крутящим моментом по часовой
стрелке.
Задачи.
Задача 1. Однородный стержень АВ массой m=100г покоится, упираясь в тык
дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С.Модуль
силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5Н.
Чему равен модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень
давит на сосуд в точке В, если модуль горизонтальной составляющей этой
силы равен 0,3Н?Трением пренебречь.
Дано
m=100г
Fc=0,5H
FBx=0,3H
Найти
FBy-?(Н)
СИ
0,1кг
Решение:
y
NCy
NC
α
C
x
Fc
NB
NBy
NBx
B
α
FB
mg
Обозначим длину стержня L. Тогда сила тяжести будет приложена к
центру масс, т.е. на расстоянии L/2 от края стержня.
Стержень действует на сосуд силами давления Fc и FВ. На стержень
действуют сила тяжести и реакция опоры NC и NВ в точках С и В
соответственно. Введем координатные оси x и y с началом отсчета в точке С.
Согласно третьему закону Ньютона
Fc= NC; FВ= NВ.
Спроецируем реакции опоры на оси х и y.
Так как стержень в равновесии, выполняется условие
F
F
x
0
y
0
Т.е. сумма сил относительно оси х и относительно оси y равна нулю.
F
x
 NCx  N Bx  0
NCx  N Bx  FBx  0,3H
F
y
 NCy  N By  mg  0
N By  mg  NCy
Согласно теореме Пифагора
2
NCy  NC2  NCx
 0,52  0,33  0, 4 H
N By  0,1кг 10
м
 0, 4 Н  0, 6 Н
с2
FBy=NBy=0,6H
Ответ: 0,6Н
Задача 2. Стержень АС массой m закреплен шарнирно в точке А и опирается
на гладкий шар так, что АВ составляет 2/3 от длины стержня. Угол стержня с
вертикалью α=300. Определить силу давления на шар.
Дано
СИ
m
AB=2/3*AC
α=300
Найти
F-?(Н)
А
Решение:
O1
O
В
N
F
mg
С
На стержень действуют сила тяжести, приложенная в центре масс (т. О) и
реакция опоры шара N в точке В. Со стороны стержня на шар действует сила
F. Согласно третьему закону Ньютона,
F=N.
Рассмотрим правило моментов относительно точки А.
При этом плечом силы тяжести mg будет являться отрезок АО1 
L sin 
2
Плечом силы N будет отрезок АВ=2L/3.
L sin 
2L
N
2
3
mg sin 30 2 N

2
3
mg 2 N

4
3
3mg
N
8
mg 
Ответ: 3mg/8
Задача 3.В железном шаре радиусом R находится сферическая полость
радиусом 3R/4, касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии от
центра шара находится центр масс?
Решение:
3R/4
О1
О x О2
Введем обозначение: т О- центр шара; т О1 – центр полости; О2 – центр масс.
Если бы шар был сплошным, то его центр тяжести находился в точке О и
масса была бы равна
4
M      R3
3
Масса шара в объеме полости составит
4
4R
9
m      ( )3   R 3
3
3
16
Центр тяжести шара с полостью будет совпадать с его центром масс и будет
смещен в нашем случае вправо на расстояние х.
Масса нашего шара составит
4
9
4 9
4 16  9  3
37
M 1  M  m      R 3   R 3   R 3 (  )   R 3
  R 3 
3
16
3 16
3 16
48
3R/4
O1
O
x
O2
R/4
mg
Mg
M1g
Рассмотрим правило моментов относительно точки О
R
 M1  g  x
4
9 R
37
 R 3     R 3   x
16 4
48
9  R 37
 x
16  4 48
9  48 R
27 R
x

 0,18 R
16  4  37 148
mg 
Ответ: 0,18R
Задача 4.Однородная доска с постоянным поперечным сечением
опирается верхним концом о гладкую вертикальную стену, а нижний конец
находится на полу. Коэффициент трения скольжения между доской и полом
μ=0,5. При каких углах наклона доски к горизонту доска не упадет на пол?
Дано
μ=0,5
Найти
α-?
СИ
Решение:
y
A
NA
B
NC
mg
α
O
Fтр
x
C
Так как стержень в равновесии, выполняется условие
F
F
x
0
y
0
Т.е. сумма сил относительно оси х и относительно оси y равна нулю.
F
F
x
 N A  Fтр  0
y
 mg  NC  0
NC  mg
Fтр   NC   mg
Согласно правилу моментов относительно точки А
M
A
0
L
 mg   cos   N C L cos   Fтр L sin   0
2
L
mg   cos   mgL cos    mgL sin   0
2
L
mg   cos    mgL sin 
2
ctg  2   2  0,5  1
M
A
  450
Ответ: 450
Задача 5. Кусок дерева плавает в воде, погрузившись на 0,7 своего
объема. Найти плотность дерева.
Дано
СИ
Vпогр=0,7V
ρводы=1000кг/м3
Найти
ρ-?
Решение:
FA
mg
На тело действуют две силы: сила тяжести и выталкивающая сила,
противоположно направленные. Так как тело плавает, то эти силы равны по
модулю.
mg  FA
Vg  воды Vпогруж  g
V  воды  0, 7V
  воды  0, 7
  0, 7 1000
кг
кг
 700 3
3
м
м
Ответ: 700кг/м3
Задача 6. Кусок люда привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с
водой. Над поверхностью воды находится некоторый объем люда. Нить
натянута с силой Т=2Н. На сколько и как изменится уровень воды в сосуде,
если лед растает? Площадь сосуда S=400см2, плотность воды ρ=1г/см3.
Дано
Т=2Н
S=400см2
ρ=1г/см3
Найти
Δh-? (мм)
СИ
400*103м2
1000кг/м3
Решение:
FA
T
у
mg
На тело действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения и
выталкивающая сила, противоположно направленные. Так как тело плавает,
то геометрическая сумма этих сил равна нулю. Запишем это условие в
проекциях на ось у.
mльда  g  T  FA
mльда  g  T  воды  g  Vпогруж (1)
mльда 
воды  g  Vпогруж  Т
g
Начальный объем воды с погруженной частью льда
Vo1  Vводы1  Vпогруж
Vo1  h1  S
Где h1 – начальный уровень воды с погруженной частью льда в сосуде.
Тогда
h1 
Vo1 Vводы1  Vпогруж

S
S
Объем воды после таяния льда
V02  Vводы1  Vводы2
h2 
V02
S
h2-уровень воды после таяния льда
Vводы2- объем воды, полученной изо льда
Vводы 2 
mльда
воды
из (1)
Vводы 2 
воды  g Vпогруж  Т
Т
 Vпогруж 
воды  g
воды  g
Vo 2  Vводы1  Vпогруж 
h2 
воды  g
Vводы1 Vпогруж
Т


S
S
S воды  g
h  h1  h2 
h
Т
Vводы1 Vпогруж Vводы1 Vпогруж
Т
Т
2H






S
S
S
S
S воды  g S воды  g 400 104 м 2 1000 кг 10 м
м3
с2
2м
 0, 005 м  5 мм
400
Δh>0; h1>h2
Уровень воды понизился.
Ответ: уровень воды понизился на 5мм.