0992780

Direction du Laboratoire
des Chaussées
MODÉLISATION NON LINÉAIRE
DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE DES CHAUSSÉES
AVEC LE MODULE CVCR DE CESAR-LCPC
Opération de recherche 11P063
« Outils avancés de calcul et de dimensionnement des structures de chaussées »
Par :
Denis ST-LAURENT, ing.
Division Structures et Matériaux pour
les Infrastructures de Transport (SMIT)
Le 5 août 2008
LCPC
Paris
Nantes
Marne-la-Vallée
Satory
Internet
Etablissement Public national à caractère Scientifique et Technologique
58 boulevard Lefebvre - 75732 Paris cedex 15
Route de Bouaye - BP 4129 - 44341 Bouguenais cedex
LMSGC - Cité Descartes, Parc Club de la Haute Maison
2 allée Kepler - 77420 Champs-sur-Marne
LIVIC - Batiment 140 - 13 route de la Minière - Satory - 78000 Versailles
www.lcpc.fr
AVANT PROPOS
J’ai préparé ce document au cours de mon séjour à la division SMIT du centre LCPC de
Nantes, dans le cadre du programme franco-québécois d’échange de fonctionnaires. Je tiens à
remercier tout le personnel de la division SMIT pour leur esprit de collaboration ainsi que
pour leur accueil chaleureux et leur aide amicale. Merci à Pierre Hornych pour l’accueil et
l’aide qu’il a assurée dès mon premier appel téléphonique, et à Jean-Michel Piau pour les
enseignements qu’il m’a transmis généreusement. Mon séjour serait aussi nettement moins
riche sans le précieux concours que j’ai reçu de Jean-Maurice Balay, Didier Bodin, Armelle
Chabot, Ferhat Hammoum et Emmanuel Chailleux. Merci aussi à Chantal de La Roche pour
son support et sa confiance, ainsi qu’à tout le personnel de la division, thésards et chercheurs
de passage qui contribuent à la cohésion d’ensemble et au maintien d’une belle ambiance de
travail.
Je n’oublie pas aussi les intervenants du Ministère des Transports du Québec qui m’ont donné
la chance de vivre cet échange, enrichissant pour moi et ma famille. Je remercie en particulier
Anne-Marie Leclerc, Claude Tremblay, Guy Tremblay et Guy Bergeron qui m’ont accordé
leur confiance et les dispositions nécessaires à la réalisation de ce projet.
TABLE DES MATIÈRES
1.0 Introduction .......................................................................................................................... 2
2.0 Contexte ............................................................................................................................... 3
3.0 Notions théoriques................................................................................................................ 5
3.1 Tenseurs de contraintes et de déformations ..................................................................... 5
3.2 Potentiel ou densité d’énergie élastique ........................................................................... 6
3.2.1 Rhéologie des sols et matériaux granulaires ............................................................. 7
3.3 Loi de Hooke.................................................................................................................. 10
3.4 Modélisation anisotrope ................................................................................................. 11
3.5 Modèle de Boyce............................................................................................................ 13
3.5.1 Inversion du modèle de Boyce ................................................................................ 14
3.6 Modèle de Coulibaly ...................................................................................................... 15
3.6.1 Inversion du modèle de Coulibaly .......................................................................... 17
3.7 Modèle k-theta................................................................................................................ 20
3.8 Modèle d’Uzan............................................................................................................... 21
4.0 Simulations non-linéaires avec CVCR............................................................................... 21
4.1 Domaine de solution des différents modèles non linéaires ............................................ 22
4.2 Post-traitement en terme de paramètres E, Nu, K et G sécants...................................... 27
4.3 Comparaison des modèles de Boyce et de Coulibaly .................................................... 33
5.0 Conclusions ........................................................................................................................ 39
6.0 Bibliographie...................................................................................................................... 40
ANNEXE 1 : Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids propre
ANNEXE 2 : Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids propre
ANNEXE 3 : Base d’article rédigée par Jean-Michel Piau
1
1.0 Introduction
Le module de calcul aux éléments finis CVCR (Chaussée Visco-élastique sous Charge
Roulante) permet le calcul des déplacements, des déformations réversibles et des contraintes
dans une chaussée multicouche soumise à une charge roulante. Il est intégré au progiciel
d’éléments finis CESAR-LCPC du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC). Cette
chaussée peut être constituée de matériaux à lois de comportement élastique linéaire isotrope,
élastique non linéaire éventuellement orthotrope pour les matériaux non traités ou les sols
(modèles k-theta et Boyce modifié) et visco-élastique linéaire isotrope pour les enrobés
bitumineux (modèle Huet & Sayegh). Le module CVCR peut avoir plusieurs usages requérant
l’analyse de la réponse d’une chaussée dans le cadre de la réalisation d’expertises et de
travaux de recherche. Son utilisation est par exemple préalable au module ORNI, qui est un
autre module de CESAR-LCPC destiné cette fois au calcul prévisionnel de l’orniérage. Le
module CVCR peut aussi servir de préalable pour un calcul d’endommagement par fatigue. Il
peut aussi s’appliquer à un corps de géométrie quelconque, tel qu’une éprouvette de
laboratoire, en l’absence de matériau viscoélastique.
La programmation du module CVCR a auparavant été complétée, documentée et validée
(Nguyen et al., 2008). Les travaux décrits dans le présent document ont été réalisés dans le but
d’établir des solutions de référence avec le module CVCR pour appuyer le développement et
la validation d’un outil de calcul non linéaire simplifié (par exemple ZEPHYR ou ALIZÉ).
Deux problèmes sont apparus lors de la modélisation d’essais de plaque sur chaussée. D’une
part, le modèle k-theta s’est avéré inutilisable parce que les calculs tendent toujours à
converger vers des états de contraintes et déformations en dilatance (pression négative) à la
base de la GNT. Dans ces conditions le module CVCR interrompt les calculs avant de les
compléter. D’autre part, le post-traitement des résultats issus du modèle de Boyce mène vers
des modules d’Young et coefficients de Poisson sécants défiant les critères d’acceptation
généralement reconnus avec la loi de Hooke.
Cette double problématique entrave la mise au point d’un outil non linéaire simplifié basé sur
la théorie des couches élastiques. Un autre modèle, celui de Coulibaly, a été incorporé dans
une version recherche de CVCR pour faire face au second problème, mais on trouve encore la
même incompatibilité avec les limitations de la loi de Hooke. Une étude théorique a aussi été
menée pour vérifier le respect des lois de la thermodynamique lors de l’utilisation du modèle
de Boyce.
Le présent rapport situe le sujet à l’aide d’une mise en contexte et décrit les notions théoriques
impliquées. Les simulations effectuées et les problèmes rencontrés sont ensuite présentés et
analysés.
2
2.0 Contexte
Le dimensionnement des structures de chaussées se base en premier lieu sur un calcul des
champs de contraintes et déformation produits dans la chaussée sous le passage des véhicules
lourds. Ces calculs peuvent se faire à l’aide de différents modèles de calcul. Il faut y
introduire des informations sur le comportement mécanique des matériaux, notamment sur le
comportement contraintes/déformations. Les outils utilisés sont en général limités au domaine
des déformations réversible et se basent sur la théorie de l’élasticité linéaire isotrope. Le
comportement mécanique des matériaux est dans ce cas représenté par le module d’Young et
le coefficient de Poisson.
A faible niveau de déformation (de l’ordre de 10-3) le comportement en compression des
matériaux granulaires est de type élastique non linéaire durcissant, en se basant sur la
réversibilité et la forme des courbes de déformation. Ceci se traduit par un module élastique
sécant variable en fonction de l’état de contraintes. Cela varie dans le corps d’une chaussée en
fonction de plusieurs facteurs : épaisseur et rigidité des différentes couches de la structure de
chaussée, poids propre des matériaux constituant la chaussée, configuration et poids des
camions circulant à la surface, distance d’un point donné par rapport à la position des roues
des véhicules, température du revêtement bitumineux, etc. La prise en compte de ces
variations exige le recours à des outils de calcul tenant compte du comportement non linéaire.
Elle est souhaitable et justifiée entre autre par ce qui suit :
•
•
•
•
•
•
•
Le LCPC reconnaît l’importance de la non linéarité du comportement mécanique des
matériaux granulaires dans le cas des chaussées souples.
La méthode de dimensionnement du MTQ reconnaît l’importance de la non linéarité
depuis le début des années 90.
Les outils manquent pour inclure efficacement la non linéarité dans la pratique du
dimensionnement des chaussées.
Le Guide de dimensionnement SETRA-LCPC de 1994 prescrit une méthode de
subdivision des couches de graves non-traitées (GNT) en sous-couches de modules
croissants du bas vers le haut. Cette méthode a pour but de tenir compte du
comportement mécanique non linéaire. L’approche s’avère peu satisfaisante : elle ne
tient pas compte de l’ensemble de la structure, et ne s’adapte pas en fonction du
chargement appliqué en surface. On ne peut par ailleurs pas tracer d’abaque de
dimensionnement car la réponse en fonction des épaisseurs est irrégulière.
La méthode de dimensionnement du MTQ tient compte de la non linéarité en ajustant
le module des couches granulaires à l’aide de critères prédéterminés en fonction de
l’épaisseur du revêtement. Cette méthode s’avère peu satisfaisante car elle ne tient pas
compte de la qualité du support ni de l’épaisseur des fondations. Elle souffre aussi de
la plupart des limitations affectant la méthode LCPC.
La prévision mécaniste des ornières (module ORNI de CESAR-LCPC ou méthode 1D simplifiée) nécessite au préalable des calculs élastiques non linéaires car on ne peut
à la rigueur pas admettre la présence d’efforts de tension dans les matériaux
granulaires.
Un outil non linéaire et opérationnel permettrait finalement de mieux gérer les
problèmes suivants qui sont récurrents dans le cadre de l’exercice de la profession :
o Effet de la rigidité du sol support, sur le module des fondations et de la sous
fondation.
3
o Effet d’enclume sur la rigidité des fondations granulaires au dessus de coupes de
roc, de dalles concassées (rubblizing) ou dans les structures inverses et de type
« sandwich ».
o Effet de la rigidité et de l’épaisseur de la structure sur le module des fondations,
sous fondations et sols.
o Aléas des rétrocalculs FWD et de leur interprétation.
o Effets de la charge sur les modules, ce qui est particulièrement important pour les
dossiers impliquant des véhicules extra lourds, hors norme, aéronautiques ou
industriels.
o Chaussées souples ou à revêtement mince.
4
3.0 Notions théoriques
On rappelle ici quelques notions théoriques en lien avec le présent travail.
3.1 Tenseurs de contraintes et de déformations
Le tenseur est fondamental en mécanique pour décrire les états de contraintes et de
déformations régnant dans un milieu continu. La convention usuelle est la suivante pour
décrire l’état de contraintes d’un point matériel ou élément de volume en trois dimensions :
⎛ σ xx
⎜
σ = σ = ⎜ σ yx
⎜σ
⎝ zx
σ xy σ xz ⎞
⎟
σ yy σ yz ⎟ où σij=σji
σ yz σ zz ⎟⎠
La valeur des différentes composantes σij dépend de l’orientation des axes (repères) de
référence. Il est heureusement possible de définir des quantités significatives invariantes,
indépendamment du repère de projection du tenseur.
Premier invariant
θ
1
= − tr (σ ) = pression moyenne.
3
3
Cet invariant est donc défini par la trace du tenseur, c'est-à-dire la somme des
composantes formant la diagonale de la matrice.
I 1 = θ = tr (σ ) = σ xx + σ yy + σ zz ou encore p = −
Nota : A moins d’indication contraire, on adoptera en général la convention de signe usuelle
de la mécanique avec σ positif en traction et négatif en compression. Un signe (-) est alors
appliqué au calcul de la pression moyenne pour obtenir une pression p positive en
compression.
Deuxième invariant
2
2
2
J 2 (σ ) = (σ xx − σ yy ) + (σ xx − σ zz ) + (σ yy − σ zz ) / 6 + (σ xy2 + σ xz2 + σ yz2 )
[
]
ou en d’autres termes
3 τ oct
3
1
2
q=
2
=
2
tr ( s ) =
2
(σ
(
)
− σ yy ) + (σ xx − σ zz ) + (σ yy − σ zz ) + 6 σ xy2 + σ xz2 + σ yz2 = 3J 2 (σ )
2
xx
2
2
Cet invariant est défini par le déviateur de contrainte « s » issu des composantes hors
de la diagonale du tenseur (matrice de trace nulle) : s = σ − p ⋅ I
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
I = ⎜ 0 1 0 ⎟ (matrice identité)
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
Le principe est le même en terme de déformations.
5
Premier invariant de déformations
ε v = tr (ε ) = ε xx + ε yy + ε zz = déformation volumique
Deuxième invariant de déformations
2
2
(ε xx − ε yy )2 + (ε xx − ε zz )2 + (ε yy − ε zz )2 + 6(ε xy2 + ε xz2 + ε yz2 ) =
εq =
tr (e 2 ) =
3
3
e=ε −
εv
3
4
J 2 (ε )
3
⋅ I : déviateur de déformation (matrice de trace nulle)
Quelques identités utiles à reconnaître :
2
τ oct
=
1
tr ( s 2 )
3
1
3
2
2
2
2
3 ⋅ tr ( s ) = (σ xx − σ yy ) + (σ xx − σ zz ) + (σ yy − σ zz ) + 6 σ xy2 + σ xz2 + σ yz2
2
γ oct
= tr (e 2 )
(
)
τ oct = 2Gγ oct
G=
τ
q
= oct
3ε q 2γ oct
K=
−p
εv
Rappel de traces à reconnaître :
tr (ε ) = ε v
tr (σ ) = θ
tr (e) = 0
3 2
s : s = tr ( s 2 ) =
e : e = tr (e 2 ) = ε q
2
G εv ⎛ q ⎞
⎜ ⎟
=
K 3ε q ⎜⎝ p ⎟⎠
tr ( s) = 0
2 2
q
3
σ : e = s : e = tr (es) = 3 G ε q 2
Nota : Le symbole « : » exprime le produit contracté (élément par élément) entre deux
matrices, on obtient la même chose en faisant la trace du produit matriciel
a : b = tr (a·b) , ce qui donne un scalaire.
3.2 Potentiel ou densité d’énergie élastique
Le potentiel élastique décrit l’énergie fournie par un élément de matière élastique lors d’un
processus de déformation élastique. Une relation contraintes-déformations qui dérive du
potentiel élastique est dite hyperélastique et assure le respect des deux premiers principes de
la thermodynamique. Le potentiel élastique, ou la densité d’énergie élastique de déformation
(w ou U) représente l’aire sous la courbe contrainte-déformation d’un matériau. Sa dérivée
par rapport aux déformations permet de déduire les contraintes :
∂w
∂w
∂w
σ=
⇒
; σ yy =
;…
σ xx =
∂ε
∂ε xx
∂ε yy
Le potentiel élastique complémentaire, ou la densité d’énergie élastique de contrainte (w* ou
Uc) s’exprime réciproquement en fonction du tenseur de contraintes. Sa dérivée permet de
déduire les déformations :
∂w
∂w*
∂w
⇒
; ε yy =
;…
ε=
ε xx =
∂σ
∂σ xx
∂σ yy
Ces deux quantités ( w et w* ) sont liées par la relation suivante :
6
w + w* ≥ σ : ε pour (σ , ε ) quelconques
w + w* = σ : ε pour (σ , ε ) liés par une relation élastique
La densité d’énergie élastique de contrainte du modèle élastique linéaire isotrope (loi de
Hooke) s’écrit ainsi :
(1 − 2ν ) 2 (1 + ν ) 2
w * (θ , q ) =
θ +
q
6E
3E
Ce modèle décrit le matériau à l’aide de deux constantes, le module d’Young (E) et le
coefficient de Poisson (ν). Il peut aussi s’écrire en termes de modules de
compressibilité (K) et de cisaillement (G), ce qui permet de voir le découplage des
cisaillements et efforts normaux dans le plan des invariants p, q :
2
⎡ 1
p2 q2
1 ⎛q⎞ ⎤
2
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
w * (θ , q ) =
+
=p ⎢
+
2 K 6G
⎢⎣ 2 K 6G ⎝ p ⎠ ⎥⎦
La densité d’énergie élastique de déformation s’écrit :
1
2
w(ε v , γ oct ) = Kε v2 + 3 Gγ oct
2
3.2.1 Rhéologie des sols et matériaux granulaires
L’étude des sols et matériaux granulaires montre qu’ils n’obéissent pas à la loi de Hooke,
mais qu’ils suivent une loi non linéaire dans la portion élastique. Etant de fait composé de
particules distinctes, ces matériaux ne peuvent pas résister à des états de traction significatifs.
L’enveloppe de rupture utilisée en mécanique des sols (Figure 1) reconnaît ce fait en
conditions de chargement statique. Les sols possédant une cohésion interne (C) sont les seuls
à pouvoir supporter un effort de tension (p négatif). Un matériau granulaire pourrait aussi
développer une petite cohésion sous l’effet d’une succion d’eau en condition partiellement
saturée. Cette possibilité a été ajoutée dans le module CVCR en introduisant une translation
de l’origine (O vers O’) à partir d’un paramètre de pression de cohésion (Pc) pouvant
s’ajouter aux modèles de comportement mécanique. Cette translation s’opère dans le modèle
rhéologique en remplaçant la pression p par p + Pc. Il faut noter que l’introduction d’une
valeur Pc lors du calage d’un modèle rhéologique entraine forcément un effet sur la valeur des
autres paramètres du modèle.
7
Ligne de rupture
q
Φ’
Pc
(q/p) max
0.5
1
2
2.5
3
Domaine physiquement
admissible
C
O’
φ'
27
45
63
68
72
O
p
Figure 1 : Diagramme p-q, droite de rupture et cohésion
Les efforts de compression ont au contraire pour effet d’accroitre la rigidité des matériaux
granulaires en rapprochant les grains les uns des autres. Les matériaux granulaires présentent
donc un comportement asymétrique ou unilatéral qui se reflète dans la non linéarité des
courbes de déformation réversible.
Au niveau structural, les calculs avec une loi élastique font apparaître des efforts de traction
dans les matériaux granulaires. Cela se produit notamment sous la charge en bas de couche,
un peu comme s’il s’agissait de la fibre inférieure d’une poutre en flexion. De tels efforts de
traction ne peuvent pas se produire dans la réalité. Si un matériau granulaire est comprimé
verticalement et étiré horizontalement, les grains auront vraisemblablement tendance à
chercher à s’éloigner (par effet de Poisson) jusqu’à ce qu’ils trouvent un appui horizontal,
constitué de matière plus éloignée mais plus stable. On peut alors tenter d’imaginer une
espèce de butée, ou contrainte de compression, produite sous l’effet d’une zone
d’augmentation de volume1. Une loi de comportement appropriée devrait dans ce cas admettre
un gonflement volumique, mais seulement des contraintes de compression. Cela se situe
évidemment en dehors du cadre fourni par la loi de Hooke.
Plusieurs modèles ont été développés pour décrire le comportement local des matériaux
granulaires. Ces modèles rhéologiques sont en général exprimés à partir des invariants de
contraintes. On retrouve notamment les modèles suivants parmi ceux qui dérivent d’un
potentiel élastique :
Le modèle non-linéaire de Boyce (1980) :
p n +1 ⎡
1
1
+
w* ( p, q ) = n −1 ⎢
p a ⎢⎣ (n + 1) K a 6 Ga
⎛q⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p⎠
2
⎤
1 ⎡ p n +1
p n −1 q 2 ⎤
+
⎥ = n −1 ⎢
⎥
6 Ga ⎦
⎥⎦ p a ⎣ (n + 1) K a
1
Cette augmentation de volume se fait peut être au prix d’une augmentation temporaire de
l’indice des vides. Cela pourrait par exemple favoriser l’intrusion des particules fines qu’on
observe parfois sous l’effet du trafic lourd, sur les chantiers de construction où le matériau
granulaire repose sur un sol argileux de faible portance.
8
Ce modèle décrit le matériau à l’aide de trois constantes (Ka, Ga et n). Le paramètre pa
est une pression de référence définie par convention, généralement la pression
atmosphérique.
0≤n≤1 : on retrouve directement la loi de Hooke lorsque n tends vers 1 à ceci près que
la pression moyenne p doit être positive (compression seulement d’admise).
Le modèle non-linéaire de Lade-Nelson (1987) :
1 (1− 2 n )
1− n
1− 2 n
⎛ k ⎞
⎡ (1 + ν ) 2
(1 − 2n)
2 ⎤
w(ε v , γ oct ) =
pa ⎜⎜ ⎟⎟
+
ε
9
γ
v
oct
⎢ (1 − 2ν )
⎥
6(1 + ν )(1 − n) ⎝ p a ⎠
⎣
⎦
Ce modèle décrit le matériau à l’aide de trois constantes (k, ν et n).
Le modèle non-linéaire de Taciroglu et Hjelmstad (2002) :
1
2
4
2
w(ε v , γ oct ) = Kε v2 + 3 Gγ oct
+ 3bγ oct
− 3cε v γ oct
2
Ce modèle décrit le matériau à l’aide de quatre constantes (K, G, b et c).
Le modèle non linéaire de Houlsby (1985) pour les argiles :
w(ε v , γ oct ) = pa exp(
εv
2
]
)[κ + 3 α γ oct
κ
Ce modèle décrit le matériau à l’aide de deux constantes ( κ et α ).
Une série d’autres modèles applicables aux argiles sont décrits par Niemunis et Cudny (1998).
Les modèles de potentiel élastique doivent respecter certaines conditions pour être convexes.
Des exemples de potentiel sont tracés sur la Figure 2 avec la loi de Hooke (E = 250 MPa,
ν = 0,35) et plusieurs cas de GNT représentés avec la loi de Boyce. La convexité de la loi de
Hooke exige que certaines conditions ( K>0, G>0 et -1 < υ < ½ ) soient respectées en
admettant un module d’Young positif. La convexité de la loi de Boyce est étudiée plus en
détails dans la base d’article jointe à l’Annexe 3.
9
Figure 2 : Potentiel élastique complémentaire en fonction des invariants p et q
3.3 Loi de Hooke
Après dérivation du potentiel, la loi de Hooke s’écrit sous plusieurs formes, incluant les
suivantes :
Formes abrégées (notation tensorielle) :
⎞
E ⎛
υ
⎜⎜ ε +
tr (ε ) I ⎟⎟
σ = 2μ ε + λ tr (ε ) I =
1+υ ⎝
(1 − 2υ )
⎠
ε=
(1 + υ )σ − υ tr (σ ) I
σ = 2 G e + K tr (ε ) I
ε=
pI
s
+
2G 3K
E
E
Où I = matrice identité
Forme explicite :
10
Forme vectorielle matricielle :
−ν −ν
⎡ 1
⎢ E
E
E
⎢ −ν
1
ν
−
⎧ ε xx ⎫ ⎢
⎪ε ⎪ ⎢ E
E
E
⎪ yy ⎪ ⎢ − ν − ν
1
⎪⎪ ε zz ⎪⎪ ⎢
E
E
E
ε =⎨
⎬=⎢
2
ε
xy
⎪ ⎢ 0
⎪
0
0
⎪2ε xz ⎪ ⎢
⎪ ⎢
⎪
0
0
⎪⎩2ε yz ⎪⎭ ⎢ 0
⎢
0
0
⎢ 0
⎣
Que l’on abrége par : ε = C σ
⎤
0⎥
⎥
0
0 0 ⎥ ⎧σ xx ⎫
⎥ ⎪σ yy ⎪
⎪ ⎪
0
0 0 ⎥ ⎪σ ⎪
⎥ ⎪ zz ⎪
⎥ ⎨σ ⎬
1 2(1 + ν )
0 0 ⎥ ⎪ xy ⎪
=
G
E
⎥ ⎪σ xz ⎪
1
⎪ ⎪
0
0 ⎥ ⎪σ yz ⎪
⎩ ⎭
⎥
G
1⎥
0
0
⎥
G⎦
( C = matrice de souplesse)
0
0
ε ij = Cijkl σ kl en notation indicielle
⎧σ xx ⎫ ⎡λ + 2G
0 0 0 ⎤ ⎧ ε xx ⎫
λ
λ
⎪σ ⎪ ⎢
⎪
⎪
0 0 0 ⎥⎥ ⎪ ε yy ⎪
λ + 2G
λ
⎪ yy ⎪ ⎢ λ
λ
λ + 2G 0 0 0 ⎥ ⎪⎪ ε zz ⎪⎪
⎪⎪σ zz ⎪⎪ ⎢ λ
σ =⎨ ⎬=⎢
⎥⎨
⎬
0
0
G 0 0 ⎥ ⎪2ε xy ⎪
⎪σ xy ⎪ ⎢ 0
⎪σ xz ⎪ ⎢ 0
0
0
0 G 0 ⎥ ⎪2ε xz ⎪
⎪ ⎪ ⎢
⎥⎪
⎪
0
0
0 0 G ⎦⎥ ⎪⎩2ε yz ⎪⎭
⎪⎩σ yz ⎪⎭ ⎣⎢ 0
Que l’on abrège par : σ = E ε
( E = matrice de rigidité)
Les paramètres de comportement sont reliés entre eux par plusieurs identités, notamment les
suivantes.
Eυ
2Gυ
E
λ=
=
μ =G =
(Coefficients de Lamé)
(1 + υ )(1 − 2υ ) 1 − 2υ
2(1 + υ )
1
1
1
=
+
E 9 K 3G
E=
9 KG
3K − 2G
E
, K=
, ν=
3K + G
6 K + 2G
3(1 − 2ν )
K Æ infini ⇒ E Æ 3G, ν Æ ½
E,υ = module d’Young et coefficient de Poisson
G = module de cisaillement
K = module de compressibilité
3.4 Modélisation anisotrope
Contrairement au cas isotrope, un matériau anisotrope a des propriétés variables selon la
direction. La loi élastique linéaire s’écrit de la façon suivante dans le cas d’anisotropie le plus
simple, soit l’orthotropie de révolution autour de l’axe Z :
11
⎡ 1
⎢ E
⎢ h
⎢ −ν h
⎧ ε xx ⎫ ⎢
⎪ ε ⎪ ⎢ Eh
⎪ yy ⎪ ⎢ −ν v
⎪⎪ ε zz ⎪⎪ ⎢ E
⎬=⎢ h
⎨
2
ε
xy
⎪ ⎢ 0
⎪
⎪2ε xz ⎪ ⎢
⎪
⎪
⎪⎩2ε yz ⎪⎭ ⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎢⎣
−ν h
Eh
1
Eh
−ν v
Eh
−ν v
Eh
−ν v
Eh
1
Ev
0
0
0
0
0
0
0
0
1 2(1 +ν h )
=
Gh
Eh
0
0
0
0
1
Gv
0
0
0
0
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥ ⎧σ xx ⎫
⎥
⎥ ⎪σ yy ⎪
0 ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪
⎥ ⎪σ zz ⎪
⎥ ⎨σ ⎬
0 ⎥ ⎪ xy ⎪
⎥ ⎪σ xz ⎪
⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪⎩σ yz ⎪⎭
⎥
1 ⎥⎥
Gv ⎥⎦
Cette modélisation comporte cinq paramètres indépendants ( E h Ev ν h ν v Gv ), et invariants
pour toute rotation autour de l’axe d’orthotropie (axe Z). On retrouve cette relation dans
Lemaitre et Chaboche (p. 130), et dans la thèse de Coulibaly (p.169).
Dans le cas des GNT, Hornych, Piau et al. ont déterminé qu’il est justifié de simplifier la
représentation de ce type d’anisotropie en ajoutant un paramètre unique (γ) à la loi de
comportement orthotrope initiale, et en posant la triple égalité suivante :
⎛ν
γ = ⎜⎜ v
⎝ vh
2
2
⎞
E
2G (1 + ν h )
⎟⎟ = h =
Ev
Ev
⎠
Cela implique : Eh = E , Ev =
Cette
approche
dérive
E
γ
du
2
, Gv = Gh , ν h = ν , ν v = ν γ ,
potentiel
élastique
σ * = (σ xx , σ yy , γσ zz , σ xy , σ yz , σ zx ) et ε * = (ε xx , ε yy ,
en
νv
Eh
=
νγ
E
substituant
=
ν
Evγ
σ
=
νv
Evγ 2
et
ε
par
ε zz
, ε xy , ε yz , ε zx ) . Cette extension peut
γ
être ajoutée à n’importe quel modèle rhéologique (Hooke, Boyce, etc.), elle est codée dans le
module CVCR. On retrouve le cas isotrope lorsque γ =1.
Il est intéressant de noter que Coulibaly (1998) envisage une approche identique sauf qu’il
propose
d’utiliser
plutôt
et
σ ' = (σ xx , σ yy , ξσ zz , σ xy , ξ σ yz , ξ σ xz )
ε yz ε xz
ε zz
, ε xy ,
,
) , ce qui implique Gv = ξ Gh . Il fournit plusieurs références
ξ
ξ ξ
issues de la mécanique des sols pour appuyer sa proposition (pages 191 à 212 de sa thèse).
ε ' = (ε xx , ε yy ,
Il faut noter que l’essai triaxial ne permet pas d’orienter le choix entre ces deux approches
puisqu’il ne donne pas accès aux cisaillements σ yz et σ xz .
12
3.5 Modèle de Boyce
Le modèle de Boyce dérive du potentiel élastique complémentaire suivant :
2
p n+1 ⎡
1
1 ⎛q⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎥
+
W = n−1 ⎢
pa ⎣⎢ (n + 1) K a 6 Ga ⎜⎝ p ⎟⎠ ⎦⎥
avec :
( )
Tr (σ )
3
2
, q=
Tr s
3
2
s = tenseur déviateur de σ ,
p=−
= pression atmosphérique,
K a , G a paramètres du modèle (nombres positifs),
n = exposant compris entre 0 et 1.
pa
Par dérivation du potentiel, la loi élastique non linéaire anisotrope s’écrit :
σ = 2 G ( p ) e + K ( p, q ) Tr (ε ) 1
avec :
e = tenseur déviateur de ε ;
1−n
1−n
⎛ p ⎞
⎟⎟
G ( p ) = Ga ⎜⎜
⎝ pa ⎠
K ( p, q ) = K a
⎛ p ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ pa ⎠
⎛q⎞
⎟
⎝ p⎠
1− β ⎜
2
β = (1 − n )
Ka
6 Ga
Notes sur le modèle de Boyce :
• Le modèle n’admet aucune contrainte d’extension dans le matériau d’où la
condition p ≥ 0 (ou p + pc ≥ 0 lorsqu’on introduit une pression de cohésion pc ).
•
Ce modèle permet l’existence d’un gonflement volumique ( ε v <0) en présence d’un
déviateur et d’une pression moyenne positive :
2
⎡
⎛q⎞ ⎤
− p ⎢1 − β ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎝ p⎠ ⎥
⎢⎣
−p
⎦
ε =
=
v
•
K
1−n
⎛ p ⎞
⎟⎟
K a ⎜⎜
⎝ pa ⎠
Le modèle de Boyce n’a pas de module élastique ni de coefficient de Poisson puisqu’il se
décrit par Ka, Ga et n. Cela n’empêche pas d’utiliser la loi de Hooke pour déduire ce que
seraient les module et coefficient de Poisson sécants à partir du couple (σ , ε ) (Nguyen et
al., 2008).
o Le
Ga
o Le
Mais on observe dans ce cas que :
coefficient de Poisson reste positif pour toute valeur de p et q lorsque
≤ 1,5 K a .
module d’Young et le coefficient de Poisson sont asymptotiques (+∞ à -∞)
3K a
lorsque le rapport des invariants q * / p * approche Ω / β avec Ω = 1 +
, et
Ga
le module de compressibilité K devient négatif à partir de 1 / β . Ces seuils de
13
rapport q/p sont en général outrepassés lors d’un calcul appliqué à une structure de
chaussée.
3.5.1 Inversion du modèle de Boyce
Le modèle de Boyce permet de calculer les déformations à partir d’un tenseur de contraintes.
Il s’agit d’inverser le modèle lorsque l’on désire plutôt calculer le tenseur de contrainte
associé à un tenseur de déformation donné. Cette inversion peut se faire en suivant le
cheminement suivant :
Loi de Hooke : σ = 2 G e + K tr (ε ) I
Multiplication par e et s pour isoler G
a) σ : e = 2 G e : e + K tr (ε ) I : e
σ : e = 2G e : e + 0
avec σ = − pI + s ⇒ σ : e = (− pI + s ) : e = s : e
tr (es) = 2 G tr (e )
b) σ : s = 2 G e : s + K tr (ε ) I : s
2
σ : s = 2G e : s + 0
s : s = 2G e : s
2
3
tr ( s 2 ) ⇒ tr ( s 2 ) = q 2
3
2
tr ( s 2 ) = 2 G tr (es) avec q =
en substituant (a) :
2
c) q 2 = 2G ⋅ 2G tr (e 2 )
3
q 2 = 6 G 2 tr (e 2 )
3 2
q
q
G=
⇒ G=
avec tr (e 2 ) = ε q
2
3ε q
6 tr (e 2 )
p
−p
(par définition et convention de signe)
=
d) K =
tr (ε ) − ε v
1−n
K = Ka
⎛ p ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ pa ⎠
⎛q⎞
1− β ⎜ ⎟
⎝ p⎠
2
⇒
⇒
⎛ p
G
= ⎜⎜
G
a ⎝ pa
1−n
⎛ p ⎞
⎟⎟
⎝ pa ⎠
G = Ga ⎜⎜
1−n
2
K ⎛ p ⎞
⎛q⎞
⎟
1 − β ⎜ ⎟ = a ⎜⎜
K ⎝ p a ⎟⎠
⎝ p⎠
⇒
G ⎛
q2 ⎞ G
= ⎜⎜1 − β 2 ⎟⎟ a
K ⎝
p ⎠ Ka
⇒
−
1−n
⎞
⎟⎟
⎠
2
⇒
1− β
K G
⎛q⎞
⎜ ⎟ = a
K G
⎝ p⎠
a
⎛
tr (ε )
q
q2 ⎞ G
= ⎜⎜1 − β 2 ⎟⎟ a
p
p ⎠ Ka
6tr (e 2 ) ⎝
14
⇒
⇒
−εv q ⎛
= ⎜1 − β
3ε q p ⎜⎝
q2 ε K
β 2− v a
3ε q Ga
p
q 2 ⎞ Ga
⎟
p 2 ⎟⎠ K a
q
−1 = 0
p
en divisant par 2 et par β = (1 − n)
Ka
εv
q 1
1 q2
⇒
−
−
=0
2
6Ga
2p
(1 − n)ε q p 2 β
⎛ −εv
εv
q
+ ⎜
Solution à l’équation du second degré : =
⎜ (1 − n)ε
p (1 − n)ε q
q
⎝
2
⎞
⎟ +1
⎟ β
⎠
On constate que le rapport q/p est défini et positif même si ε v est négatif. C’est une
des qualités recherchées pour représenter le comportement mécanique d’un matériau
granulaire.
Il ne reste ensuite qu’à substituer ce résultat dans l’expression du modèle de Boyce
pour trouver p :
1− n
⎛ p ⎞
G = Ga ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ pa ⎠
⇒
⎛ p ⎞⎛ p ⎞
q
= Ga ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
3ε q
⎝ pa ⎠ ⎝ pa ⎠
−n
1/ n
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ 3Ga ε q ⎟
p = pa ⎜
⇒
⎟
⎜ ⎛⎜ q ⎞⎟ pa ⎟
⎜⎜ p⎟ ⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
Ce calcul ne peut se faire lorsque ε q =0. Dans ce cas q=0 et on peut procéder
directement ainsi :
K = Ka
⇒
1−n
⎛ p ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ pa ⎠
⎛q⎞
1− β ⎜ ⎟
⎝ p⎠
1−n
2
p1 − n
−
= Ka
1− n
ε
p
v
a
p
⇒
⎛ p ⎞
⎟⎟
K = K a ⎜⎜
p
⎝ a⎠
⇒
⎛ −ε K
p = p a ⎜⎜ v a
⎝ pa
(lorsque q = 0)
1/ n
⎞
⎟⎟
⎠
Ces valeurs de p et q/p permettent de calculer K et G.
3.6 Modèle de Coulibaly
Le modèle de Coulibaly est inspiré du modèle de Boyce et vise à éliminer le problème de
l’asymptote se produisant lorsque le rapport q/p est élevé. Il dérive du potentiel élastique
complémentaire suivant :
15
n +1
p1−n p n +1 ⎡ 1 + α η 2
⎢
U ( p,η ) = f ( p ) g (η ) = a
(1 + n) K a ⎢ 1 + γ η 2
⎣
c
η=
Où
1⎛
q
p
α = ⎜⎜ γ
2
⎝
⎤
⎥
⎥⎦
K ⎞
Ka
+ a ⎟⎟ =
3Ga ⎠ 3Ga (2 − γ / α )
1 γ
≤ <2
2 α
0 < n ≤1
γ >0
Par dérivation du potentiel, la loi élastique non linéaire s’écrit en terme de K et G aussi bien
qu’en terme de E et ν :
En termes de K et G :
⎛ p ⎞
K = = K a ⎜⎜ ⎟⎟
εv
⎝ pa ⎠
p
K
q
G=
= a
3ε q
3
1− n
⎛ p ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ pa ⎠
⎡ 1+ γ η 2
⎢
2
⎢⎣ 1 + α η
1− n
⎤
⎥
⎥⎦
⎡ 1+ γ η 2
⎢
2
⎢⎣ 1 + α η
n +1
[1 + α η ][1 + γ η ]
2
2
(Formule corrigée)
1 + (2γ − α )η 2
⎤
⎥
⎥⎦
n +1
[1 + α η ][1 + γ η ]
2
2
(2α − γ ) + α γ η 2
En termes de E et ν :
1− n
⎛ p ⎞
E = 9 K a ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ pa ⎠
ν=
⎡ 1+ γ η 2
⎢
2
⎢⎣ 1 + α η
⎤
⎥
⎥⎦
n +1
[1 + α η ][1 + γ η ]
2
2
[9(2α − γ ) + 1] + [2γ − α + 9αγ ]η 2
[9(2α − γ ) − 2] + [9αγ − 2 (2γ − α )]η 2
[18(2α − γ ) + 2] + [18αγ + 2 (2γ − α )]η 2
Les paramètres indépendant sont Ka, Ga, n et γ (ou γ/α). Il ne faut pas confondre le γ de ce
modèle avec le coefficient d’anisotropie introduit dans CVCR pour le modèle de Boyce. Le
paramètre d’anisotropie proposé par Coulibaly est appelé ξ et a été décrit précédemment. Le
paramètre γ ne peut pas être déduit d’un essai triaxial conventionnel limité à q/p < 3. Il faut
donc le poser arbitrairement pour contrôler l’extrapolation se produisant pour les rapports q/p
élevés.
Il est aussi envisageable de choisir un rapport γ/α constant (par exemple ½) si l’on souhaite se
limiter à trois paramètres comme pour le modèle de Boyce. Lors du calage d’un même essai
triaxial, les valeurs Ka, Ga et n seront toutefois différentes de celles du modèle de Boyce. Le
rapport γ/α permet d’identifier les trois cas particuliers suivants :
γ/α = 1 et n=1 (loi élastique linéaire)
Le modèle reproduit la loi de Hooke dans cette situation.
γ/α = 1 (coefficient de Poisson constant)
K
⇒ γ =α = a
3Ga
16
9α − 2
=constante
2(9α + 1)
Il faut imposer Ga ≤ 1,5 K a pour limiter υ entre 0 et 0,5 (i.e. γ ≥ 2/9). On peut
aussi exprimer le modèle en fonction de Ka, ν et n sachant que :
K
2 (1 +ν )
et
α =γ =
Ga = a
9 (1 − 2ν )
3α
⇒ν =
γ/α = ½ (comportement contractant)
α K
⇒γ = = a
2 9Ga
⇒ ν ≤ 0.5 (le volume devient incompressible quand q/p Î ∞)
3.6.1 Inversion du modèle de Coulibaly
L’implantation dans CVCR du modèle de Coulibaly nécessite d’exprimer K et G ou E et ν en
fonction des déformations plutôt qu’en fonction des contraintes. Il est possible de procéder
selon les étapes suivantes.
Cas particulier avec γ/α = 1
n −1
p1−n p n
εv = a
1 + αη 2 2
Ka
(
)
εq =
p1a−n p n
1 + αη 2
3 Ga
(
)
n −1
2
η (Coulibaly p.151)
ε
G εv
1
η=
η= q
=
⇒
K 3ε q
3α
αε v
Finalement, par substitution :
9α − 2
ν=
2(9α + 1)
⎛ εq
p p ⎛⎜
1 + α ⎜⎜
εv =
Ka ⎜
⎝ αε v
⎝
1− n
a
n
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎟
⎠
n −1
2
⎛K ε
⇒ p = pa ⎜⎜ a v
⎝ pa
⎞
⎟⎟
⎠
1
n
⎛
⎜1 + α ⎛⎜ ε q
⎜ αε
⎜
⎝ v
⎝
1− n
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎞ 2n
⎟ ⇒ E = f ( p,η )
⎟
⎠
Cas particulier avec γ/α = 0.5
n+1
p1−n p n ⎡ 1 + α η 2 ⎤
1
η p1a−n p n
εv = a
ε
=
⎢
⎥
q
Ka ⎢ 1+ γ η 2 ⎥ 1+ α η 2 1+ γ η 2
9Ga
⎣
⎦
ε
G
2
= v η=
⇒
2ε q = ε v (α 2η 3 + 3α η )
K 3ε q
3α (3 + αη 2 )
(
)(
)
⎡ 1+ α η 2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ 1 + γ η 2 ⎥⎦
n+1
3+α η2
1+ α η 2 1+ γ η 2
(
)(
)
Soit ρ = 3 ε q ε v α 4 + ε v α 9 + ε q ε v α 8 , alors les trois valeurs η possibles sont :
2
η1 =
6
2
4
(1 + i 3 ) ε v α (1 − i 3 ) ρ
(1 − i 3 ) ε v α (1 + i 3 ) ρ
ε α
ρ
− v ; η2 =
−
; η3 =
−
2
2
ρ
2ρ
2ρ
εv α
2 εv α
2 εv α 2
17
La partie imaginaire de η2 et η3 est nulle seulement si ρ = ε v α 3 / 2 ce qui ajoute une seconde
solution potentielle quoique peu probable :
1 ⎛ αε
ρ ⎞ −η
Re(η 2 ) = Re(η 3 ) = ⎜⎜ v − 2 ⎟⎟ = 1 (second η possible si ρ = ε v α 3 / 2 )
2 ⎝ ρ α εv ⎠
2
Le signe de cette dernière est opposé et on ne peut admettre qu’une solution η > 0. Il n’y a
donc en pratique qu’une solution réelle positive admissible (η1 en général). On peut conclure
par substitution:
9α 2η 2 + 27α − 4
ν=
2 9α 2η 2 + 27α + 2
(
⎧
⎪K ε
p = pa ⎨ a v
⎪⎩ pa
)
⎡ 1+ γ η 2
⎢
2
⎢⎣ 1 + α η
⎤
⎥
⎥⎦
n +1
1/ n
⎫
2
2 ⎪
1+ α η 1+ γ η ⎬
⎪⎭
(
)(
)
⇒ E = f ( p,η )
Cas général
Dérivation du potentiel pour déterminer ε v et ε q :
n +1
p1−n p n+1 ⎡ 1 + α η 2 ⎤
⎥
⎢
(Coulibaly p.145)
U ( p,η ) = a
(1 + n) K a ⎢ 1 + γ η 2 ⎥
⎦
⎣
∂U c ( p, q ) ∂ c
η ∂ c
= U ( p,η ) −
εv =
U ( p,η )
(Coulibaly p.74)
∂p
∂p
p ∂η
c
εq =
∂U c ( p, q ) 1 ∂ c
=
U ( p,η )
∂q
p ∂η
∂ c p1a−n p n ⎡ 1 + α η 2
⎢
U =
∂p
Ka ⎢ 1+ γ η 2
⎣
⎤
⎥
⎥⎦
n +1
∂ c p1a−n p n+1η ⎡ 1 + α η 2
⎢
U =
Ka
∂η
⎢⎣ 1 + γ η 2
p1− n p n ⎡ 1 + α η 2
⎢
εv = a
Ka ⎢ 1+ γ η 2
⎣
⎤
⎥
⎥⎦
p1−n p nη ⎡ 1 + α η 2
⎢
εq = a
Ka ⎢ 1+ γ η 2
⎣
n +1
⎤
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥⎦
n +1
α (γη 2 + 2) − γ
(1 + αη 2 ) (1 + γη 2 )
1 + (2γ − α )η 2
(1 + αη 2 ) (1 + γη 2 )
n +1
α (γη 2 + 2) − γ
(1 + αη 2 ) (1 + γη 2 )
Ceci donne un système à 2 équations 2 inconnues. La solution pourrait être obtenue en
résolvant p et η en fonction de ε v et ε q afin de les substituer dans les expressions K, G et E,
ν. Il faut procéder autrement car le système est trop complexe à résoudre.
On a :
G
ε
1 + (2γ − α )η 2
= v η=
K 3ε q
3 2α − γ + α γ η 2
[
]
18
Il s’agit d’une équation du troisième degré ayant pour solution les trois valeurs η que l’on
peut calculer ainsi :
ω = 2ε q ε q 2 6γα 2 − 12γ 2α + 8γ 3 − α 3 + 9 γ ε v 2α γ 2 − γα + α 2
( (
)
τ = 3αγε v 2 (2α − γ ) − ε q 2 (α − 2γ )2
(2γ − α )ε q
1
φ= 3
ψ=
3αγε v
3 2 αγε v
η1 = ψ + φ ρ −
))
(
ρ = 3 ω + 4τ 3 + ω 2
τ32
3αγε v ρ
η 2 = ψ − φ ρ (1 − i 3 ) +
τ 3 2 (1 + i 3 )
6αγε v ρ
η 3 = ψ − φ ρ (1 + i 3 ) +
τ 3 2 (1 − i 3 )
6αγε v ρ
La valeur η permet d’évaluer p à partir de l’expression de ε v ou ε q . Par exemple avec :
1/ n
n +1
⎧
⎫
2
⎪ K a ε v ⎡ 1 + γ η ⎤ (1 + αη 2 ) (1 + γη 2 ) ⎪
⎢
⎥
p = pa ⎨
⎬
2
1 + (2γ − α )η 2 ⎪
⎪⎩ pa ⎢⎣ 1 + α η ⎥⎦
⎭
On peut finalement conclure avec K, G ou E, ν en substituant p et η dans le modèle général.
Ce calcul ne peut se faire lorsque ε q =0. Dans ce cas q=0 et on peut procéder directement
avec :
⎛ε K
p = pa ⎜⎜ v a
⎝ pa
1/ n
⎞
⎟⎟
⎠
On remarque que ce modèle n’est pas défini pour ε v < 0 , ce qui limitera son domaine
d’applicabilité. Il a été programmé sous sa forme générale dans le module CVCR.
19
3.7 Modèle k-theta
Ce modèle a été déduit de façon empirique à partir d’essais de laboratoire sans dérivation d’un
potentiel élastique. La loi est caractérisée par un coefficient de Poisson constant et un module
élastique, fonction du premier invariant de contraintes et de deux constantes spécifiques au
matériau.
E = Kθ α
Il est écrit dans le module CVCR sous la forme suivante :
⎛ p
E( p) = E 0 ⎜⎜
⎝ pa
1− N
⎞
⎟
⎟
⎠
avec : p a = pression atmosphérique,
E° : Module d’Young pour p = p a ,
N = 1 - α: exposant compris entre 0 et 1.
Ce modèle est mathématiquement indéfini en présence d’une valeur p négative.
20
3.8 Modèle d’Uzan
Ce modèle a été mis au point par améliorations successives du modèle k-theta. Il exprime le
module de rigidité du matériau par la relation suivante (Uzan, 1992) :
C
B
⎛θ ⎞ ⎛ τ ⎞
E = A pa ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜1 + oct ⎟⎟
pa ⎠
⎝ pa ⎠ ⎝
Les matériaux non liés sont durcissant avec l’augmentation de θ et adoucissant avec
l’augmentation de τoct, ce qui implique des valeurs B positives et C négatives. Certains
auteurs qualifient ce modèle d’universel en référence à ce couplage entre les comportements
durcissant et adoucissant, qui permet de modéliser les matériaux pulvérulents et cohérents.
Le coefficient de Poisson doit respecter certaines conditions pour que l’expression précédente
dérive d’un potentiel élastique. Uzan propose une approche développée à partir du travail
élastique par unité de volume décrit par Lade et Nelson (1987), le long d’un chemin de
contrainte ACB :
⎛ θ dθ dJ 2 ⎞
T
W ACB = ∫ dW = ∫ {σ } {dε } = ∫ ⎜
+
⎟
ACB
ACB
ACB
2G ⎠
⎝ 9K
Ceci mène à l’expression suivante pour le coefficient de Poisson ν:
E
ν
3C / 2
C
⎡
⎤
D θ 2 − 3J 2 = B C / 2 −
Bν (( B + C ) / 2, − C / 2 )⎥
( B +C ) / 2 ⎢ − B ⋅ Bν (( B + C ) / 2, 1 − C / 2 ) +
2
2
θ J2
⎣
⎦
2 θ − 3J 2
(
)
(
)
où Bν est la fonction beta incomplète, c'est-à-dire :
ν
Bν (a, b) = ∫ t a −1 (1 − t ) b−1 dt (d’après Wikipedia)
0
Le modèle passe ainsi de quatre (A, B, C, ν) à cinq paramètres constants (A, B, C, D, E)
lorsqu’on l’exprime sous sa forme hyperélastique.
Ce modèle n’a pas été inversé ni utilisé dans le cadre du présent travail. L’inversion ne
pourrait probablement se faire qu’à l’aide de méthodes numériques.
4.0 Simulations non-linéaires avec CVCR
Des simulations ont été faites pour servir de référence au développement d’un outil simplifié
(ZÉPHYR, ALIZÉ …). Des exemples de résultats sont rapportés dans ce qui suit pour
référence ultérieure. Deux problèmes sont apparus lors de la modélisation d’essais de plaque
sur chaussée.
D’une part, le modèle k-theta s’est avéré inutilisable parce que les calculs tendent toujours à
converger vers des états de contraintes et déformations en dilatance (pression négative) à la
base de la GNT. Dans ces conditions le module CVCR interrompt les calculs avant de les
compléter. Ce problème a fait l’objet d’une étude paramétrique pour définir le domaine de
solution des différents modèles non linéaires
D’autre part, le post-traitement des résultats issus du modèle de Boyce mène vers des modules
d’Young et coefficients de Poisson sécants défiant les critères d’acceptation généralement
reconnus avec la loi de Hooke. Un autre modèle, celui de Coulibaly, a été incorporé dans une
21
version recherche de CVCR pour faire face à ce problème. Le problème du post-traitement est
décrit après l’étude du domaine de solution des différents modèles non linéaires. On compare
ensuite les résultats issus des différents modèles rhéologiques (principalement Boyce et
Coulibaly) afin de mieux juger des conséquences liées à leurs particularités respectives.
4.1 Domaine de solution des différents modèles non linéaires
Le module CVCR parvient rarement à trouver la solution d’un essai de plaque lorsque la GNT
est représentée avec le modèle k-theta. Une interruption de calcul se produit parce que le
procédé itératif tend vers une valeur de pression moyenne p négative (tension), dont
l’intensité est en valeur absolue supérieure à la pression de cohésion Pc. Le calcul est alors
mathématiquement impossible car on ne peut calculer l’exposant d’un nombre négatif. Il
s’agit aussi d’une situation physiquement impossible puisqu’on se situerait à gauche de la
droite de rupture illustrée sur la Figure 1.
Plusieurs simulations ont été faites en faisant varier les épaisseurs de revêtement et de GNT,
ainsi que le module du sol de support, pour vérifier l’étendue de ce problème (répertoire \stlaure\CESAR\paramaxi). L’étude paramétrique a montré au début que le problème se
produisait à tous les coups, sauf dans certains cas avec une GNT de faible rigidité. On
appliquait à ce moment une charge de 65kN sur un disque de 0,15 m de rayon (pression de
1 MPa).
L’investigation a été ensuite orientée sur l’intensité de la charge appliquée en surface. Les
hypothèses de base pour ces calculs sont indiquées au Tableau 1. Cette analyse paramétrique
est sauvegardée dans le répertoire \st-laure\CESAR\pminVsSig0. Des exemples de résultats
sont joints en Annexe 1 et 2 pour référence ultérieure. Le nom de base du maillage est b840
en référence aux épaisseurs de BB (8 cm) et de GNT (40 cm). Les noms de calcul sont
identifiés par une lettre identifiant le modèle rhéologique (k = k-theta, b = Boyce ou c =
Coulibaly) suivi d’une lettre indicative de rigidité (f = faible, m = moyen, ou r = raide), et de
trois chiffres indicatifs de la pression de surface σ0 (070 = 0,70 MPa).
Tableau 1 : Paramètres de l’étude paramétrique sur σ0 pour divers modèles rhéologique
Structure
BB
GNT
Sol
8 cm
40 cm
3,5 m
24 kN/m³
20 kN/m³
20 kN/m³
5400 MPa
variable
40 MPa
GNT : 7 modèles de base :
K-theta
faible (Eo = 215, n=0.4, υ=0.35)
moyen (Eo = 415, n=0.4, υ=0.35)
raide (Eo = 600, n=0.4, υ=0.35)
Boyce
faible (Ka = 61, Ga = 83, n = 0.37)
raide (Ka = 156, Ga = 198, n = 0.57)
Coulibaly
faible (Ka = 55, Ga = 71, n = 0.33, gsa = 0.5)
raide (Ka = 151, Ga = 186, n = 0.54, gsa = 0.5)
Rayon du cercle de chargement = 0,15 m, pression de contact σ0 variable.
Les limites atteintes avec les différents modèles rhéologiques sont listées dans le Tableau 2.
Le problème d’interruption de calcul se produit aussi avec le modèle de Coulibaly, mais le
22
domaine conduisant à des résultats est plus grand qu’avec le modèle k-theta. Le modèle de
Boyce n’a pas ce type de problème numérique puisqu’il permet le gonflement volumique. Le
poids propre, ainsi que l’ajout d’une pression de cohésion contribuent à élargir la plage de
calcul des modèles k-theta et Coulibaly.
Tableau 2 : Domaine d’admissibilité des solutions pour différents modèles de GNT en fonction de la force
appliquée lors d’un essai de plaque
σ0 max (MPa) permettant solution avec variante
normale
Sans poids GNT avec
Sol Boyce
propre
pc = 50 ka
faible
GNT
Boyce
k-theta
Coulibaly
Faible
Raide
Faible
Moyen
Raide
Faible
Raide
Solution numérique toujours possible
0,41
0,24
0,18
1
0,2
Aucune
solution
possible
1,30
0,85
0,4
1,85
0,75*
>2
0,75
0,4
>2
0,4*
Pression σ0 appliquée sur un disque de 15 cm de rayon.
* σ0 peut aller jusqu’à 1,85 MPa en combinant les deux variantes marqués d’un astérisque.
Il a été observé qu’il se produit un seuil de pression de chargement σ0 en dessous duquel on
obtient toujours une solution, et au dessus duquel il y a toujours interruption du calcul.
L’évolution des champs de pression moyenne (p) et déformation volumique (εv), est tracée2
en fonction de la pression de surface, jusqu’à la limite du refus de calcul (Figure 3 à Figure 5).
A priori, il n’y a pas de tendance visible permettant d’anticiper le seuil, ce qui tend à signifier
que l’algorithme de convergence utilisé pourrait échouer avant l’atteinte des limites du
modèle rhéologique.
2
Note : Contrairement à la convention de signe de ce rapport, les sorties du logiciel CESAR fournissent une
pression p négative en compression.
23
pression moyenne p (base de la GNT, centre de la charge)
0.01
0.005
0
Boyce Raide
Boyce Faible
K-theta Raide
K-theta Moyen
K-theta Faible
Coulibaly Raide
Coulibaly Faible
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pression de contact sous la charge (MPa) (aire de rayon constante : 0.15 m)
a) variantes normales (avec poids propre)
pression moyenne p (base de la GNT, centre de la charge)
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
Boyce Raide
Boyce Faible
K-theta Raide
K-theta Moyen
K-theta Faible
Coulibaly Raide
Coulibaly Faible
0.015
0.01
0.005
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pression de contact sous la charge (MPa) (aire de rayon constante : 0.15 m)
b) variantes avec ajout d’une pression de cohésion de 50 kPa
pression moyenne p (base de la GNT, centre de la charge)
0.01
Boyce Raide
Boyce Faible
K-theta Raide
K-theta Moyen
K-theta Faible
Coulibaly Raide
Coulibaly Faible
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pression de contact sous la charge (MPa) (aire de rayon constante : 0.15 m)
c) variantes normales appuyés sur un sol non-linéaire (sol suivant le cas Boyce faible)
Figure 3 : pression p à la base de la GNT, en fonction de l’intensité de chargement
24
a) Pression moyenne (p) avec σ0 = 0,35 MPa
b) avec σ0 = 0,40 MPa
c) avec σ0 = 0,418 MPa
Figure 4 : Pression moyenne sous une charge croissante (k-theta faible)
(Aucune solution possible pour toutes valeurs σ0 ≥ 0.42)
25
Déformation volumique (εv) avec σ0 = 0,35 MPa
Déformation volumique (εv) avec σ0 = 0,38 MPa
Déformation volumique (εv) avec σ0 = 0,418 MPa
Figure 5 : Déformation volumique (εv) sous une charge croissante (k-theta faible)
(Aucune solution possible pour toutes valeurs σ0 ≥ 0.42)
26
4.2 Post-traitement en terme de paramètres E, Nu, K et G sécants
Le modèle de Boyce n’a pas de module élastique ni de coefficient de Poisson puisqu’il se
décrit par Ka, Ga et n. Cela n’empêche pas d’utiliser la loi de Hooke pour déduire des valeurs
de module (E, K, G) et coefficient de Poisson (Nu) sécants à partir du couple (σ , ε ) (Nguyen
et al., 2008). Les paramètres sécants issus de ce calcul permettent ensuite de bien déduire le
tenseur de déformation à partir de la contrainte appliquée et inversement les contraintes à
partir des déformations. On pourrait ainsi dire que ces paramètres sécants sont
« mathématiquement compatibles » avec la loi de Hooke.
Ces paramètres sécants permettent d’apprécier la répartition des rigidités dans la GNT en
fonction de son contexte d’utilisation. La rigidité d’une GNT augmente évidement en fonction
de la proximité et de l’intensité de la charge aussi bien qu’en fonction de la qualité du support
sous-jacent (Figure 6 et Figure 7). Cette introspection constitue une référence pouvant à priori
guider l’élaboration d’une méthode non linéaire simplifiée en sous-couches élastiques (outils
ZEPHYR et ALIZÉ).
L’interprétation d’un comportement non linéaire par un modèle sécant plus simple comme la
loi de Hooke amène cependant des artefacts pouvant conduire à des valeurs inhabituelles. La
Figure 7 montre que l’apparition de déformations dilatantes peut faire inverser le signe du
module de compressibilité sécant K. La Figure 8 montre que le phénomène peut atteindre
aussi les modules d’Young et coefficients de Poisson sécants. Ces valeurs apparemment
aberrantes ont suscités plusieurs questionnements sur le modèle de Boyce. Les valeurs (K<0,
υ >½, υ <-1) ne respectent pas les exigences de convexité de la loi de Hooke. Mais il faut
éviter de rejeter ou d’interpréter trop rapidement ces valeurs en se basant sur l’expérience
issue de l’élasticité linéaire, puisqu’on est en présence d’un matériau qui n’obéi pas à la loi de
Hooke. Le respect des exigences de convexité doit plutôt être vérifié à partir de la loi de
comportement spécifique au matériau, c’est à dire la loi de Boyce.
On remarque tout d’abord que les points affectés d’un module d’Young insensé
s’accompagnent d’un coefficient de Poisson tout aussi insolite. Le comportement du matériau
est régi par ces deux valeurs et il y a lieu de s’attendre à ce que ces excentricités se
compensent pour produire un comportement globalement « raisonnable » et différent de la loi
de Hooke. En ce qui concerne les modules excessivement élevés, on peut se dire qu’il est
logique qu’une phase incompressible (module d’Young infini positif ou négatif) se produise
au point de transition entre un comportement contractant et un comportement dilatant. Un
exercice a été fait d’une part pour vérifier la convexité et le respect des lois de la
thermodynamique à partir de l’expression du potentiel élastique du modèle de Boyce. JeanMichel Piau a rédigé une note sur ce sujet (Annexe 3), qui pourrait servir de base pour un
article.
On a tout d’abord supposé que les immenses valeurs positives et négatives provenaient
1 3K a
uniquement de l’asymptote du modèle de Boyce, située à q / p =
(voir Figure
+
β β Ga
10). Le modèle de Coulibaly consiste essentiellement à supprimer cette asymptote verticale.
Pour cette raison, ce dernier a été étudié et programmé dans le module CVCR. Il s’avère
finalement qu’il produit aussi des arcs de cercle incompressibles dans la GNT lorsque les
résultats sont interprétés avec la loi de Hooke en trois dimensions (Figure 9). Voici d’autre
part un exemple numérique ayant conduit vers un module négatif à la base de la GNT :
27
Données :
Simulation /msc/st-laure/CESAR/paramaxi/b530_cf.data
5 cm de BB, 30 cm de GNT
Contraintes initiales et finales à la base de la GNT (IELT n°1041)
σ1 = (-0.0057, -0.0057, -0.0072, 0, 0, 0) Î p = 0.0062, q = 0.0014, q/p = 0.23
σ2 = (0.0478, 0.0478, -0.147, 0.00075, 0, 0) Î p = 0.017, q = 0.1948, q/p = 11.4
Résultats (fonction ENUPQ) :
a) Coulibaly(Ka = 50, Ga = 58, n = 0.29, gsa =
Condition initiale (1)
Condition finale (2)
Final-Initial (2)-(1)
γ
= 1)
α
ε, µdef
(-267, -267, -355, 0, 0, 0)
(428, 428, -1185, 6.2, 0 ,0)
b) Autre calcul avec Coulibaly en imposant gsa =
Condition initiale (1)
Condition finale (2)
Final-Initial (2)-(1)
γ
= 0.5
α
ε, µdef
(-267, -267, -355, 0, 0, 0)
(638, 638, -1320, 7.5, 0 ,0)
E, MPa
17.5
130.6
-2306.7
Nu
0.08
0.44
-19.2
K
7
52
-19.5
G
8.1
60.4
63.4
E, MPa
17.5
143.4
-463
Nu
0.08
0.44
-5.5
K
7
398
-13
G
8
50
52
La représentation « Hookienne » d’un comportement non linéaire est manifestement arbitraire
et abusive. Elle reste toutefois mathématiquement correcte pour un matériau isotrope
(hypothèse utilisée au moment de l’écriture de la fonction ENUPQ dans CVCR). Elle peut
servir non seulement pour une présentation de résultat, au risque de déclencher des
incrédulités, mais aussi dans le cadre d’un calcul.
Le post traitement sur des résultats issus du modèle k-theta n’amène pas ces artefacts, mais il
s’agit d’un modèle à coefficient de Poisson constant, ne dérivant pas d’un potentiel et
n’acceptant pas de gonflement volumique.
28
a) sol faible (40 MPa)
b) sol raide (120 MPa)
c) coupe de roc (5000 MPa)
Figure 6 : modules sécants Es d’une GNT (Boyce faible, plaque à 0.7 MPa) sur différents supports
29
sol faible (40 MPa)
-0.08
sol faible (40 MPa)
sol raide (120 MPa)
coupe de roc (5000 MPa)
-0.08
sol raide (120 MPa)
-0.13
coupe de roc (5000 MPa)
-0.18
-0.18
-0.23
-0.23
z, m
z, m
-0.13
-0.28
-0.28
-0.33
-0.33
-0.38
-0.38
-0.43
-0.43
-0.48
-0.48
0
50
100
150
200
250
300
0
0.1
Module sécant Es, MPa
-0.08
0.3
sol faible (40 MPa)
sol faible (40 MPa)
sol raide (120 MPa)
sol raide (120 MPa)
coupe de roc (5000 MPa)
-0.13
coupe de roc (5000 MPa)
-0.18
-0.23
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.38
-0.43
-0.43
-0.48
40
60
80
0.6
0.7
0.8
-0.28
-0.33
20
0.5
-0.08
-0.18
0
0.4
Coefficient de Poisson sécant (vs)
z, m
z, m
-0.13
0.2
100
120
Module de cisaillement sécant Gs, MPa
-500
-300
-0.48
-100
100
300
500
Module de compression sécant Gs, MPa
Figure 7 : Indices sécants d’élasticité (GNT Boyce faible, plaque à 0.7 MPa)
30
-0.08
-0.13
-0.13
-0.18
-0.18
-0.23
-0.23
z, m
z, m
-0.08
-0.28
-500
-300
-0.28
-0.33
-0.33
-0.38
-0.38
-0.43
-0.43
-0.48
-100
-0.48
100
300
500
700
900
-5
-3
Module sécant Es, MPa
-1
1
3
5
Coefficient de Poisson sécant (vs)
Figure 8 : Modules et coefficients de Poisson sécants pour une GNT (Boyce raide, plaque à 0.7 MPa)
31
Boyce raide
-0.08
Coulibally raide
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-500
-300
-0.48
-100
100
300
500
700
900
Post-traitement en module sécant Es, MPa
-0.08
Boyce raide
Coulibaly raide
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)
Figure 9 : Interprétation du modèle de Coulibaly en termes de modules sécants (Es)
(Coulibaly GNT raide appuyée sur sol non linéaire avec chargement de plaque à σ0 = 0.4 MPa,
coupe 0 y_solbf_040.xls)
32
4.3 Comparaison des modèles de Boyce et de Coulibaly
On manque de données expérimentales pour vérifier la concordance entre le gonflement
calculé et le vrai comportement d’une GNT à l’intérieur de la chaussée. Les essais triaxiaux
actuels ne donnent pas accès à tout le domaine des états de contraintes et de déformations
régnant dans la chaussée, particulièrement lorsqu’il y a des effets d’extension ou des rapports
q/p élevés. Pour cela, il a été jugé commode d’utiliser des modèles de Boyce et de Coulibaly
correspondant aux mêmes essais triaxiaux (Tableau 1)3. La Figure 10 compare ces deux
modèles avec différents rapports q/p.
Figure 10 : modèles rhéologiques de Boyce et Coulibaly (faible et raide)
La qualité de reproduction des résultats expérimentaux est similaire pour les deux modèles.
Les résultats expérimentaux sont toutefois limités à des rapports q/p inférieurs à 2.5. La
simulation d’une structure de chaussée impose d’extrapoler le comportement pour des
rapports de cisaillement plus élevés (q/p > 2.5). La Figure 10 montre que les modèles de
Boyce et de Coulibaly proposent une extrapolation radicalement différente. Il y a lieu de ce
demander qu’elle peut être l’impact de cette extrapolation sur la réponse d’une chaussée.
3
Réf. : thèse de Coulibaly, pages 153 et 156.
33
Leur utilisation parallèle a permis de voir que les effets causés par les différences
d’extrapolation sont négligeables sur la réponse de la structure de la chaussée (Figure 11 à
Figure 14, Boyce faible vs Coulibaly faible). Coulibaly a supprimé l’asymptote verticale de
1 3K a
Boyce, située à q / p =
, mais cela tends à conduire vers des rapports q/p
+
β β Ga
beaucoup plus élevés, ce qui n’est pas nécessairement préférable (Figure 13 et Figure 14). Ce
modèle produit aussi des arcs de cercle incompressibles dans la GNT lorsque les résultats sont
interprétés en paramètres sécants avec la loi de Hooke en trois dimensions (Figure 9).
Le faible impact obtenu avec l’extrapolation des données triaxiales sur les champs de
contraintes et déformations dans la chaussée est rassurant. Cela peu s’expliquer au moins en
partie par le fait que les rapports q/p élevés se produisent en des endroits faiblement
sollicités : les rapports q/p élevés apparaissent à la base de la GNT sous l’effet de valeurs p
faibles plutôt que sous l’effet de valeurs q élevées.
Les résultats issus du modèle k-theta ont été superposés sur la Figure 12 et la Figure 14 à titre
informatif. La comparaison serait cependant abusive car le modèle k-theta a été paramétré
indépendamment. Il ne peut pas être bien calé sur les deux autres modèles étant donné qu’il ne
peut pas reproduire les effets du rapport de cisaillement sur les déformations volumiques
(coefficient de poisson constant).
Le modèle de Boyce semble être actuellement le modèle à privilégier. Ces observations sont
issues d’un petit nombre de simulations et il est recommandé de chercher une façon d’élargir
les chemins de sollicitations sur quelques éprouvettes de laboratoire afin de confirmer
expérimentalement la représentativité des extrapolations actuelles. Un essai piloté en
déformations plutôt qu’en contrainte serait intéressant à ce point de vue.
34
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.0014 -0.0012 -0.001 -0.0008 -0.0006 -0.0004 -0.0002
0
0.0002 0.0004 0.0006
Déformation verticale (ezz)
-0.08
-0.13
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
Déformation volumique (ev)
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
0.0014
Déformation déviatorique (eq)
Figure 11 : effet du modèle rhéologique sur les champs de déformation dans la chaussée
Simulation de base avec σ0 = 0.7 MPa (coupe 0 y.xls)
35
Boyce faible
k-theta faible
Coulibaly faible
Boyce raide
Coulibaly raide
k-theta raide
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.001 -0.0009 -0.0008 -0.0007 -0.0006 -0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001
0
Déformation verticale (ezz)
Boyce faible
k-theta faible
Coulibaly faible
Boyce raide
Coulibaly raide
k-theta raide
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.0005
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
0.0003
Déformation volumique (ev)
Boyce faible
k-theta faible
Coulibaly faible
Boyce raide
Coulibaly raide
k-theta raide
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.0001
0
0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
Déformation de cisaillement (eq)
Figure 12 : effet du modèle rhéologique sur les champs de déformation dans la chaussée
Simulation avec sol non-linéaire (boyce faible) et σ0 = 0.4 MPa (coupe 0 y_solbf_040.xls)
36
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
p
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
q
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
q/p
Figure 13 : effet du modèle rhéologique sur les champs de contrainte dans la chaussée
Simulation de base avec σ0 = 0.7 MPa (coupe 0 y.xls)
37
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
Boyce faible
Coulibaly faible
k-theta faible
Boyce raide
Coulibaly raide
k-theta raide
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
p
-0.08
-0.13
-0.18
Boyce faible
Coulibaly faible
k-theta faible
Boyce raide
Coulibaly raide
k-theta raide
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
q
Boyce faible
Coulibaly faible
k-theta faible
Boyce raide
Coulibaly raide
k-theta raide
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
q/p
Figure 14 : effet du modèle rhéologique sur les champs de contrainte dans la chaussée
Simulation avec sol non-linéaire (boyce faible) et σ0 = 0.4 MPa (coupe 0 y_solbf_040.xls)
38
5.0 Conclusions
Le modèle de Boyce reste actuellement celui à privilégier, parmi ceux disponibles dans
CVCR, pour le comportement des matériaux granulaires. Sa pleine représentativité du
comportement d’une GNT reste à vérifier, dans la mesure du possible, sous l’angle d’essais de
laboratoire avec effets d’extension et avec rapports q/p plus élevés. Des essais à déformation
contrôlée seraient aussi intéressants à ce point de vue.
Le modèle k-theta ne permet pas d’obtenir de solution dans la majorité des situations
représentatives d’un essai de plaque sur chaussée. Le modèle de Coulibaly a un domaine de
solution plus large mais tout de même limité. Le modèle de Boyce est plus stable au point de
vue logiciel puisqu’il conduit toujours vers un résultat.
S’il s’avérait nécessaire d’améliorer ou remplacer le modèle de Boyce, il faudrait conserver
une expression mathématique qui accepte le gonflement volumique sans permettre d’efforts
de tension. Il serait intéressant que ce modèle soit aussi écrit de façon à ne pas permettre
d’efforts de cisaillement situés au dessus d’une enveloppe similaire à l’enveloppe de rupture
décrite à la Figure 1. Cela permettrait de contrôler parfaitement la limite des rapports q/p issus
des calculs.
Il a été constaté que le comportement sécant de la GNT, ou du moins celui issu des modèles
de Boyce et de Coulibaly, s’exprime difficilement avec la loi de Hooke, notamment lorsque le
rapport q/p est plus élevé. Nous avons vu que cela pouvait conduire vers des modules E et K
négatifs et vers des coefficients de Poisson débordant largement de la plage -1 à ½. La
comparaison de résultats de simulation provenant de ces deux modèles tends à montrer, pour
un nombre limité d’observations, que ce problème ne provient pas que de l’asymptote du
modèle de Boyce, et que cette dernière n’a pas de conséquence indésirable sur les champs de
contraintes et déformations calculés dans la chaussée. Il a de plus été montré analytiquement
que le modèle de Boyce respecte les lois de la thermodynamique, et les exigences de
convexité de la densité d’énergie de déformation, même si les paramètres du modèle de
Hooke correspondant au comportement sécant ne respectent pas ces mêmes conditions.
L’adaptation d’outils simplifiés basés sur la théorie des couches élastiques (ZÉPHYR,
ALIZÉ) est affectée par les observations ci-haut décrites puisqu’elle nécessite l’établissement
de modules et coefficients de Poisson sécants avec la loi de Hooke. L’adaptation d’ALIZÉ
reste envisageable, moyennant l’introduction de gardes fous, théoriquement impropres, sur les
valeurs E et ν utilisées; ou moyennant l’acceptation de valeurs infinies et négatives, sachant
qu’il s’agit d’un artefact mathématique acceptable au point de vue mécanique et
thermodynamique. À la rigueur, cela tend à indiquer que l’adaptation d’ALIZÉ au calcul non
linéaire pourrait s’avérer plus difficile que le développement d’une interface équivalente
autour de CVCR.
Une série de simulations a été consignées dans ce rapport pour référence ultérieure,
notamment pour vérifier la pertinence des prototypes simplifiés ZÉPHYR, ALIZÉ ou autres
qui pourraient êtres mis au point dans l’avenir. Le développement de ces derniers n’est pas
complété à l’heure actuelle.
39
6.0 Bibliographie
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Boyce H.R. (1980) « A non linear model for the elastic behaviour of granular materials
under repeated loading » International Symposium on Soils under Cyclic and Transient
Loading, Swansea (UK), 7-11 january 1980.
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propriétés des constituants » Traité Mécanique et Ingénierie des Matériaux, Hermès –
Lavoisier, 2005.
Coulibaly, L. (1998) « Etude du comportement réversible des graves non traitées :
application aux chaussées souples » Thèse de doctorat, Laboratoire de Génie Civil de
Nantes-Saint Nazaire, Université de Nantes.
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numérique » Thèse de doctorat, Université de Nantes.
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permanentes des enrobés bitumineux - Application à l'orniérage des chaussées » Thèse de
doctorat de l'ECN, soutenue le 30/10/01
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the LCPC test track » Proc. 5th Conference on Bearing Capacity of Roads and Airfields,
Trondheim, Norway, July 1998.
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containing granular layers using non-linear elastic theory » Proceedings of 3rd Int.
Conference on Asphalt Pavements, vol1., pp 410-429.
Hornych P., Kazai A., Piau J.M. (1998) « Study of the resilient behaviour of unbound
granular materials » proceedings 5th Conference on Bearing Capacity of Roads and
Airfields, Trondheim, Norvège, Juillet 1998
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clays » Computers and Geotechnics 23, Elsevier, pp. 3-13.
Humbert, P., Fezans G., Remaud D. (2005) « CESAR-LCPC, un progiciel de calcul dédié
au génie civil », Bulletin des laboratoires des ponts et chaussées, no 256-57.
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materials » International journal for numerical and analytical methods in geomechanics,
John-Wiley & Sons, Ltd., vol. 11, pp. 521-542.
Lemaître J. et J.-L. Chaboche (2004) « Mécanique des matériaux solides » publications
Eyrolles.
Nguyen, V.T, P. Hornych, D. Bodin, J.-M. Piau et D. St-Laurent (2008) « CESAR-LCPC
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l’opération de recherche 11P063 » Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.
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Geotechnics 23, Elsevier, pp. 221-236.
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cohesionless granular material » Journal of engineering mechanics, ASCE, vol. 128, No.
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for numerical and analytical methods in geomechanics, John-Wiley & Sons, Ltd., vol. 16,
pp. 453-459.
40
ANNEXE 1
Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids propre
ANNEXE 1 : Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids
propre
Essai de plaque (r = 15 cm, σ0 = 0,7 MPa)
Boyce faible
BB
8 cm
5400 MPa
GNT 40 cm Boyce : Ka = 61, Ga = 83, n = 0.37
Sol
3,5 m
40 MPa
\st-laure\CESAR\pminVsSig0\pp0\b840_bf070.data
Boyce raide
BB
8 cm
5400 MPa
GNT 40 cm Boyce : Ka = 156, Ga = 198, n = 0.57 (_br)
Sol
3,5 m
40 MPa
\st-laure\CESAR\pminVsSig0\pp0\b840_br070.data
Figure 1 : Coupes verticales (Boyce SANS poids propre)
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
Boyce faible
Boyce raide
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
p
\st-laure\CVCR\pminVsSig0\Coupe 0 y_pp0.xls
Annexe 1 (Sans poids propre)
i
-0.08
-0.13
-0.18
-0.23
Boyce faible
Boyce raide
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
q
-0.08
Boyce faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
q/p
Annexe 1 (Sans poids propre)
ii
-0.08
Boyce faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.0016
-0.0014
-0.0012
-0.001
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
ezz
-0.08
-0.13
Boyce faible
-0.18
Boyce raide
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
0
50
100
150
200
250
Post-traitement en module de cisaillement sécant Gs, MPa
Annexe 1 (Sans poids propre)
iii
Boyce faible
-0.08
Boyce raide
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-500
-0.48
-100
-300
100
300
500
700
900
Post-traitement en module sécant Es, MPa
-0.08
Boyce faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)
Annexe 1 (Sans poids propre)
iv
Figure 2 : Isovaleurs (Boyce faible SANS poids propre)
Fenêtres d’affichage (vertical : 0 à -0.6 m, horizontal : 0 à 1 m)
Post-traitement en module sécant (Es)
Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)
Pression moyenne (p)
Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre)
v
Déviateur (q)
Rapport q/p
Déformation volumique (ev)
Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre)
vi
Déformation tangentielle (eθθ)
Déformation radiale (err)
Déformation verticale (ezz)
Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre)
vii
Déformation de cisaillement (erz)
Contrainte tangentielle (sθθ)
Contrainte radiale (srr)
Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre)
viii
Contrainte verticale (szz)
Déplacements verticaux (v)
Déplacements horizontaux (u)
Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre)
ix
Figure 3 : Isovaleurs (Boyce raide SANS poids propre)
Post-traitement en module sécant (Es) :
Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)
Pression moyenne (p)
Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre)
x
Déviateur (q)
Rapport q/p
Déformation volumique (ev)
Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre)
xi
Déformation tangentielle (eθθ)
Déformation radiale (err)
Déformation verticale (ezz)
Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre)
xii
Déformation de cisaillement (erz)
Contrainte tangentielle (sθθ)
Contrainte radiale (srr)
Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre)
xiii
Contrainte verticale (szz)
Déplacements verticaux (v)
Déplacements horizontaux (u)
Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre)
xiv
ANNEXE 2
Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids propre
ANNEXE 2 : Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids
propre
Essai de plaque (r = 15 cm, σ0 = 0,7 MPa)
Boyce faible
BB
8 cm
24 kN/m³ 5400 MPa
GNT 40 cm 20 kN/m³
Boyce : Ka = 61, Ga = 83, n = 0.37
Sol
3,5 m
20 kN/m³
40 MPa
\CESAR\pminVsSig0\b840_bf070.data
Coulibaly faible
BB
8 cm
24 kN/m³ 5400 MPa
GNT 40 cm 20 kN/m³
Boyce : Ka = 55, Ga = 71, n = 0.33, gsa = 0.5
Sol
3,5 m
20 kN/m³
40 MPa
\CESAR\pminVsSig0\b840_cf070.data
Boyce raide
BB
8 cm
24 kN/m³ 5400 MPa
GNT 40 cm 20 kN/m³
Boyce : Ka = 156, Ga = 198, n = 0.57
Sol
3,5 m
20 kN/m³
40 MPa
\CESAR\pminVsSig0\b840_br070.data
Figure 1 : Coupes verticales (AVEC poids propre)
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
p
st-laure\CVCR\pminVsSig0\Coupe 0 y.xls
Annexe 2 (Avec poids propre)
I
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
q
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
q/p
Annexe 2 (Avec poids propre)
II
-0.08
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.13
-0.18
-0.23
z, m
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
SOL
-0.53
-0.58
-0.0014 -0.0012 -0.001 -0.0008 -0.0006 -0.0004 -0.0002
0
0.0002 0.0004 0.0006
ezz
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.08
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
0
50
100
150
200
250
Post-traitement en module de cisaillement sécant Gs, MPa
Annexe 2 (Avec poids propre)
III
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.08
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-500
-0.48
-100
-300
100
300
500
700
900
Post-traitement en module sécant Es, MPa
Boyce faible
Coulibaly faible
Boyce raide
-0.08
-0.13
-0.18
z, m
-0.23
-0.28
-0.33
-0.38
-0.43
-0.48
-5
-3
-1
1
3
5
Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)
Annexe 2 (Avec poids propre)
IV
Figure 2 : Simulation axisymétriques avec modèles non linéaires (Boyce faible AVEC poids propre)
Fenêtres d’affichage (vertical : 0 à -0.6 m, horizontal : 0 à 1 m)
Module sécant (Es)
Coefficient de Poisson sécant (vs)
Pression moyenne (p)
Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre)
V
Déviateur (q)
Rapport q/p
Déformation volumique (ev)
Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre)
VI
Déformation tangentielle (eθθ)
Déformation radiale (err)
Déformation verticale (ezz)
Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre)
VII
Déformation de cisaillement (erz)
Contrainte tangentielle (sθθ)
Contrainte radiale (srr)
Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre)
VIII
Contrainte verticale (szz)
Déplacements verticaux (v)
Déplacements horizontaux (u)
Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre)
IX
Figure 3 : Simulation axisymétriques avec modèles non linéaires (Coulibaly faible AVEC poids propre)
Post-traitement en module sécant (Es)
Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)
Pression moyenne (p)
Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre)
X
Déviateur (q)
Rapport q/p
Déformation volumique (ev)
Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre)
XI
Déformation tangentielle (eθθ)
Déformation radiale (err)
Déformation verticale (ezz)
Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre)
XII
Déformation de cisaillement (erz)
Contrainte tangentielle (sθθ)
Contrainte radiale (srr)
Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre)
XIII
Contrainte verticale (szz)
Déplacements verticaux (v)
Déplacements horizontaux (u)
Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre)
XIV
Figure 4 : Simulation axisymétriques avec modèles non linéaires (Boyce raide AVEC poids propre)
Module sécant (Es)
Coefficient de Poisson sécant (vs)
Pression moyenne (p)
Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre)
XV
Déviateur (q)
Rapport q/p
Déformation volumique (ev)
Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre)
XVI
Déformation tangentielle (eθθ)
Déformation radiale (err)
Déformation verticale (ezz)
Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre)
XVII
Déformation de cisaillement (erz)
Contrainte tangentielle (sθθ)
Contrainte radiale (srr)
Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre)
XVIII
Contrainte verticale (szz)
Déplacements verticaux (v)
Déplacements horizontaux (u)
Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre)
XIX
ANNEXE 3
Base d’article rédigée par Jean-Michel Piau
Eléments pour article sur la loi de Boyce et le module
CVCR de CESAR
Viser une revue de rang A telle que IJRMPD
A voir : rédaction en français ou en anglais
Plan :
•
écriture usuelle de la loi de comportement de Boyce / repartir des arguments de la thèse
de Coulibaly (potentiel)
écriture de son expression en fonction de l’état de déformation pour le traitement
structurel par éléments finis
programmation de CVCR
illustration de résultat de calcul
problème de l’interprétation de la loi sécante par la loi de Hooke (coefficient de
compressibilité volumique négatif en certains points du maillage éléments finis)
étude de la convexité de la loi de Boyce (densité d’énergie élastique complémentaire)
conclusion : la loi de Boyce est bien posée pour Ka>0, Ga >0 indépendamment du fait
que le module sécant K puisse prendre des valeurs négatives
•
•
•
•
•
•
Nota :
-
de manière générale, traiter le cas n = 1 correspondant à la loi de Hooke
évoquer aspects :
o orthotropie
o état de contrainte initial
o pression capillaire
A voir : titre, texte, numéros d’équation,….
(NOTA : TITRES A AMELIORER)
UTILISATION DE LA LOI DE BOYCE EN MECANIQUE DES
CHAUSSEES - ETUDE DE LA VALIDITE DES SOLUTIONS
OBTENUES
(auteurs : Denis Saint-Laurent, Pierre Hornych, Jean-Michel Piau)
INTRODUCTION
Cet article traite de la loi de Boyce utilisée en Mécanique des Chaussées pour représenter le
comportement élastique non linéaire des couches granulaires non liées, qui ne peuvent résister
à des états de contrainte en traction de forte intensité. Le papier comporte 5 parties.
On rappelle dans un premier temps la formulation classique de la loi de Boyce, écrite en
termes de coefficients de compressibilité et de cisaillement sécants, fonction du tenseur de
contrainte. La condition pour que la loi dérive d’un potentiel d’énergie élastique et assure
ainsi automatiquement le respect du second principe de la Thermodynamique est également
rappelée. On montre aussi que la loi peut être aisément aménagée afin de tenir compte le cas
échéant de différents facteurs tels que l’orthotropie d’axe vertical du comportement des
matériaux granulaires non liés compactés dans les chaussées, la présence d’un état de
contrainte initial lié notamment au poids des couches de chaussée sus-jacentes, ou encore
l’effet d’une pression capillaire.
L’écriture initiale de la loi de Boyce est ensuite inversée pour obtenir son expression en
fonction du tenseur de déformation, en vue de son utilisation dans le module CVCR de
CESAR-LCPC dédié au calcul non linéaire par éléments finis des structures de chaussées.
La présentation de l’algorithme de calcul itératif utilisé dans le module CVCR fait l’objet de
la troisième partie de cet article.
La partie 4 illustre un certain nombre de résultats obtenus avec le module CVCR pour
différents jeux de données et structures de chaussées. Ceux-ci font alors fréquemment
apparaître dans les couches modélisées par le modèle de Boyce des points à compressibilité
sécante négative, susceptibles de jeter un doute sur la validité des résultats si l’on s’en réfère
aux conditions de stabilité usuelles et bien connues de la loi de Hooke.
La cinquième partie de l’article est alors tournée vers l’étude de la convexité de la loi de
Boyce, qui conditionne la stabilité des résultats. L’étude permet de conclure que les situations
à compressibilité négative ne sont pas interdites a priori et que les solutions obtenues par le
module CVCR lorsqu’elles existent sont mathématiquement acceptables. Il est alors possible
de les considérer également comme acceptables dans le cadre de méthodes de
dimensionnement des chaussées.
EXPRESSION DE LA LOI DE BOYCE EN FONCTION DU TENSEUR
DE CONTRAINTE
Avec les conventions usuelles de la Mécanique des Milieux Continus (contraction <0,
compression <0), la loi de Boyce est généralement énoncée sous l’une des formes
équivalentes suivantes :
ε=
s
tr (σ )
σ ⎛ 1
1 ⎞
I=
+
−⎜
−
⎟tr (σ ) I
2G
9K
2G ⎝ 6G 9 K ⎠
⎛
⎝
2
3
[1]
⎞
⎠
σ = 2G e + K tr (ε ) I = 2G ε + ⎜ K − G ⎟ tr (ε ) I
[2]
avec :
1−n
⎛ p ⎞
⎟⎟
G ( p ) = G a ⎜⎜
⎝ pa ⎠
= module de cisaillement sécant
[2]
1−n
K ( p, q ) = K a
p=−
⎛ p ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ pa ⎠
⎛q⎞
1− β ⎜ ⎟
⎝ p⎠
2
= module de compressibilité volumique sécant
tr (σ )
= pression moyenne (positive en compression)
3
s = déviateur des contraintes = σ −
tr (σ )
I = σ + pI
3
3 t
tr ( s s ) = contrainte octaédrique
2
tr (ε )
e = déviateur des déformations = ε −
I
3
q=
[2]
[2]
[2]
[2]
[2]
K a , Ga = coefficients positifs (ayant la dimension de modules d’élasticité)
p a = pression de référence permettant d’adimensionnaliser le ratio p / p a (ex : p a = pression
atmosphérique)
n = exposant compris entre 0 et 1
β =coefficient adimensionnel positif.
Nota : pour un tenseur a = (aij ) , on note
t
a = (a ji ) sa transposée. De manière générale, les
fonctions tensorielles f (a) = f (aij ) considérées dans ce papier sont supposées écrites en
fonction des 9 composantes aij de a , celles-ci étant considérées comme indépendantes. Les
opérations de dérivation portant sur ces fonctions sont également supposées effectuées sous
cette hypothèse. Ce n’est qu’au moment du calcul de la valeur de ces fonctions que
l’éventuelle symétrie du tenseur a est prise en compte.
Ainsi avec ces conventions, la fonction q =
fonction q ' =
3 t
tr ( s s ) introduite ci-dessus est différente de la
2
3
tr ( s 2 ) , bien que leurs valeurs soient égales pour des tenseurs s
2
q2 1 t
= tr ( s s ) introduite plus
3
2
⎛ q' 2 ⎞
⎟
∂⎜
⎜ 3 ⎟
∂X
⎝
⎠
loin vérifie la relation
= s que s soit symétrique ou non, alors que la dérivée
∂σ
∂σ
t
serait égale à s .
symétriques. Avec ces mêmes conventions, la fonction X =
Ces expressions montrent que la loi de Boyce n’est définie de prime abord que sur le domaine
des pressions moyennes positives ( p > 0) , reflétant d’une certaine façon le comportement
unilatéral des matériaux granulaires non liés, susceptibles de n’être le siège que d’états de
contrainte de compression.
On peut observer également à ce stade que le coefficient K de compressibilité volumique
sécant peut devenir infini, voire négatif pour :
q
p
≥
1
β
[]
Certains auteurs limitent donc le domaine de validité de la loi de Boyce au domaine
q
1
.
p > 0, <
p
β
L’étude de la validité des calculs structurels incorporant des matériaux répondant à la loi de
Boyce et conduisant à des états de contrainte transgressant cette dernière inégalité fait l’objet
de la dernière partie de cet article.
Loi de Boyce et potentiel élastique
Il est facile d’établir la condition pour laquelle la loi de Boyce dérive d’un potentiel élastique
et par la même occasion l’expression de ce potentiel.
Repartons de l’équation
ε=
tr (σ )
s
p I
s
I+
=−
+
9K
2G
K 3 2G
[]
et supposons que :
∂w *
∂σ
avec : w * (σ ) = densité d’énergie élastique de contrainte.
ε=
[]
La loi de Boyce étant isotrope, w * est fonction au maximum de trois invariants indépendants
de σ . Choisissons pour ceux-ci :
-
la quantité p déjà introduite
-
la quantité X =
-
q2
1 t
tr ( s s ) =
2
3
1
et la quantité : Y = tr (σ 3 )
3
[]
[]
Compte tenu des règles d’écriture et de dérivation des fonctions tensorielles énoncées plus
haut, il est facile d’établir les relations :
∂p
I
=−
3
∂σ
δ ij
∂p
=−
∂σ ij
3
[]
∂X
=s
∂σ
∂X
= sij
∂σ ij
[]
∂Y
=σ2
∂σ
[]
On obtient dès lors :
ε=
∂w * ( p, X , Y ) ∂w * ∂p ∂w * ∂X ∂w * ∂Y
∂w * I ∂w *
∂w * 2
=
+
s+
+
=−
+
σ
∂σ
∂p ∂σ ∂X ∂σ
∂Y
∂p 3 ∂X
∂Y ∂σ
Par identification avec l’équation
∂w * p
=
∂p
K
∂w *
1
=
∂X
2G
[ ] , on
en déduit en premier lieu les conditions :
∂w *
=0
∂Y
Puis en observant que dans le cas de la loi de Boyce, K et G sont indépendantes de Y , on
voit que celles-ci se résument à la seule condition d’intégrabilité correspondant à l’égalité des
∂2w* ∂2w*
, à savoir :
=
dérivées croisées
∂X∂p ∂p∂X
1
1
) ∂( )
2p K = G
∂X
∂p
∂(
[]
1−n
⎛ p ⎞
⎜⎜
⎟
p a ⎟⎠
⎝
Compte tenu des relations, K ( p, X ) = K a
1−n
⎛ p ⎞
⎟
, G ( p ) = G a ⎜⎜
3β X
p a ⎟⎠
⎝
1−
p2
son tour par la condition :
, celle-là se traduit à
⎛ 3β ⎞ 1
⎟
⎜ p2 ⎟ Ka
⎝
⎠
2 p⎜ −
⎛ p ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ pa ⎠
n −1
=
( n − 1) 1
p Ga
⎛ p ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ pa ⎠
n −1
soit finalement :
β = (1 − n )
K
a
6G
a
[2]
Celle-ci étant supposée satisfaite, on obtient par intégration des équations [ ] , [ ] et
l’expression de la densité d’énergie élastique de contrainte associée à la loi de Boyce :
w * ( p, X ) =
⎤
1
1
p n−1 ⎡
p2 +
X⎥
n −1 ⎢ (n + 1) K
2Ga ⎦
pa
a
⎣
[]
[]
ou encore :
w * ( p, q ) =
p n−1 ⎡
p2
q2 ⎤
+
⎥
⎢
p a n−1 ⎣⎢ (n + 1) K a 6 Ga ⎦⎥
[]
Dans toute la suite, on se place dans ce cas, dont on sait qu’il permet de satisfaire
automatiquement le second principe de la Thermodynamique.
Dans le cas particulier n = 1 et donc β = 0 , on observe que les modules K et G sont
constants et égaux à K a , Ga . La loi de Boyce rejoint alors la loi élastique linéaire isotrope de
Hooke définie sur la totalité de l’espace des contraintes (quel que soit le signe de p ).
Sur la base de l’équation [ ] , il est facile de proposer des variantes anisotropes à la loi de
Boyce. On trouvera notamment dans (réf. P. Hornych) l’utilisation d’une loi à orthotropie de
révolution autour de l’axe z obtenue en posant :
*
worth
(σ ) =
n −1 ⎡
2
2 ⎤
porth
p orth
qorth
+
⎢
⎥
p a n−1 ⎢⎣ (n + 1) K a 6 Ga ⎥⎦
[]
où les quantités porth , q orth sont définies comme les quantités p, q en remplaçant la contrainte
σ zz par γσ zz où, γ est un coefficient sans dimension, a priori inférieur à 1. Une telle
anisotropie permet notamment d’obtenir une bonne description du comportement de
matériaux compactés préférentiellement en laboratoire ou in situ, sous l’action de
sollicitations verticales. (figures : calage du modèle de Boyce anisotrope sur courbes
expérimentales).
La plupart des calculs présentés dans la suite s’étendraient sans difficulté aux cas anisotropes.
Pour simplifier les notations, on se limite toutefois au cas isotrope.
EXPRESSION DE LA LOI DE BOYCE EN FONCTION DU TENSEUR
DE DÉFORMATION
Comme on le verra en partie 3, l’algorithme itératif du module CVCR du code aux éléments
finis CESAR-LCPC, dédié au calcul des structures avec loi de Boyce est basé sur le passage
en tout point du tenseur de déformation vers le tenseur de contrainte.
Il nécessite donc d’inverser l’écriture originelle de la loi de Boyce assurant le passage
contraire.
Introduisons les notations suivantes :
[]
ε v = tr (ε ) = déformation volumique
εq =
[]
2
tr (e 2 ) =déformation déviatorique
3
[ ].
Prenons en premier lieu la trace de l’équation
Il vient : tr (σ ) = 3K tr (ε ) , soit :
[2]
− p = Kε v
[ ] après multiplication scalaire par le tenseur e
Prenons à présent la trace de l’équation
; on
obtient tr (es) = 2G tr (e 2 ) , soit :
[3]
tr (es) = 3G ε q 2
Considérons enfin la trace de l’équation
[ ] après multiplication scalaire par le tenseur
s ; on
obtient tr ( s ) = 2G tr (es) , soit avec [3] , q = 9G ε q ou encore compte tenu du signe positif
2
2
2
2
de l’ensemble des quantités en jeu :
[4]
q = 3G ε q
Considérons d’abord le cas ε q = 0 .
1−n
⎛ p ⎞
⎟⎟
Alors, q = 0 et − p = Kε v soit : − p = K a ⎜⎜
⎝ pa ⎠
ε
v
et donc :
1
•
⎡K
⎤n
pour ε q = 0 , p = p a ⎢ a ( −ε v ) ⎥
⎣ pa
⎦
, q = 0 , σ = − pI
[]
On note que ces expressions sont valables sur le domaine ε v ≥ 0 . p est alors positif ou nul.
Considérons à présent le cas général ε q ≠ 0 , en supposant également p > 0 et dans un
premier temps ε v ≠ 0 . On suppose également n < 1 . Le ratio des équations [4] et [2] conduit
alors à la relation :
q
G εq
=3
p
K (−ε v )
[]
soit compte tenu des expressions de G et K en fonction de p et q :
2
Ga ε q ⎛⎜
q
⎛ q ⎞ ⎞⎟
=3
1− β ⎜ ⎟
p
K a (−ε v ) ⎜
⎝ p ⎠ ⎟⎠
⎝
D’où l’équation du second degré en
[]
q
, compte tenu de la valeur de β :
p
2
⎛ q ⎞ 1 εv 1
⎛q⎞
⎜⎜ ⎟⎟ − 2⎜⎜ ⎟⎟
− =0
⎝ p ⎠1− n εq β
⎝ p⎠
Or le ratio
[]
q
est positif. Il correspond donc à la racine :
p
⎛ 1 εv
q
1 εv
=
+ ⎜
⎜1− n ε q
p 1− n εq
⎝
2
⎞
⎟ +1
⎟
β
⎠
[5]
Revenons alors à l’équation [4] en utilisant l’expression de G en fonction de p . Il vient
1−n
⎛ p ⎞
⎟⎟
q = 3Ga ⎜⎜
⎝ pa ⎠
εq
G
q
soit : = 3 a
p
pa
⎛ p ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ pa ⎠
−n
ε q , d’où la valeur de p :
1
⎞n
⎛
⎟
⎜
ε
Ga q ⎟
⎜
p = pa 3
⎜ pa q ⎟
⎟
⎜
p⎠
⎝
Au final les relations [5] et [6] permettent de calculer l’ensemble des quantités
q=
[6]
q
, p,
p
q
p
p,
, G, K et finalement σ à partir de ε v , ε q et e .
p
pa
On obtient ainsi le passage recherché entre tenseur de déformation et tenseur de contrainte liés
par la loi de Boyce.
On peut observer que la loi de Boyce est potentiellement définie dans ce sens sur la totalité de
l’ensemble des tenseurs de déformation, à savoir pour toute valeur de ε v (négative ou
positive) et toute valeur de ε q , positive ou nulle.
On note dans la suite σ = B (ε ) et ε = B −1 (σ ) les relations directe et inverse entre tenseurs de
contrainte et de déformation liés par la loi de Boyce.
Extensions de la loi de Boyce
On a vu précédemment l’extension possible de la loi de Boyce au cas de comportements
anisotropes.
Il est possible également de proposer des extensions naturelles à la loi de Boyce en présence
de contraintes initiales σ ° et/ou d’une pression capillaire p c (celles-ci pouvant se combiner
par ailleurs à une éventuelle anisotropie).
Considérons ainsi un point d’un massif granulaire en lequel règne un état de contrainte initial
décrit par le tenseur σ ° . Supposons que le même matériau étudié en laboratoire à partir d’un
état de contrainte et de déformation nul réponde à la loi de Boyce :
[]
ε labo = B −1 (σ )
Soumis en laboratoire à l’état de contrainte σ ° , celui-ci afficherait l’état de déformation :
[]
°
ε labo
= B −1 (σ °)
Or la déformation ε à considérer in situ est égale à la différence entre ces deux valeurs :
°
[]
ε = ε labo − ε labo
Par conséquent ε = B −1 (σ ) − B −1 (σ °) , soit encore :
(
σ = B ε + B −1 (σ °)
)
[]
Pour ε = 0 , on retrouve ainsi le fait que : σ = σ ° .
Il est également possible d’introduire dans la loi de Boyce un effet « explicite » de pression
capillaire, sous la forme d’un état de contrainte isotrope de compression, − pc I s’ajoutant à la
contrainte σ ( p c étant positive). En supposant dans ce cas que la loi de Boyce s’applique au
matériau sec, la loi de comportement du matériau humide peut alors s’écrire :
ε labo = B −1 (σ − pc I ) − B −1 (− pc I ) , soit encore :
σ = B(ε labo + B −1 (− pc I )) + pc I
[]
Finalement dans le cas de la présence simultanée d’un état de contrainte initial et d’une
pression capillaire, on peut convenir d’écrire la loi de comportement in situ d’un matériau
granulaire non lié humide sous la forme :
ε = B −1 (σ − pc I ) − B −1 (σ ° − pc I ) ou encore :
(
)
[]
σ = B ε + B −1 (σ ° − pc I ) + pc I
Selon cette expression, le passage de ε à σ nécessite donc essentiellement :
- une première utilisation de la loi de Boyce dans le sens contrainte-déformation pour le
calcul du tenseur de déformation B −1 (σ ° − pc I ) associé au tenseur de contrainte
σ ° − pc I
- puis l’utilisation de la loi de Boyce dans le sens déformation-contrainte pour le calcul
de la quantité B ε + B −1 (σ ° − pc I ) .
(
)
On note au passage que la donnée du champ de contrainte σ ° − pc I doit satisfaire en tout
point d’un milieu satisfaisant à la loi de Boyce la condition tr (σ ° − pc I ) ≤ 0 .
CALCUL PAR ELEMENTS FINIS DES STRUCTURES INCLUANT DES
MATERIAUX REPONDANT A LA LOI DE BOYCE
Le LCPC a développé au sein du code aux éléments finis CESAR-LCPC un module, dit
CVCR, dédié au calcul des Chaussées Visco-élastiques sous Charge Roulante. Ce module
permet d’étudier ainsi la réponse en contrainte et déformation des chaussées bitumineuses et
des chaussées souples soumise à un trafic de type routier ou aéronautique. Le comportement
des couches de matériaux non liés (sols, graves,…) peut être considéré dans ce module de
type élastique linéaire ou élastique non linéaire, satisfaisant notamment aux modèles de Boyce
ou k − θ . Il est possible pour celles-ci de tenir compte des différentes variantes évoquées cidessus : anisotropie, présence d’un état de contrainte initial et/ou d’une pression capillaire. Le
comportement bilatéral des couches d’enrobés bitumineux peut être choisi de type élastique
linéaire ou visco-élastique linéaire, répondant notamment au modèle de Huet-Sayegh.
Pour de plus amples informations sur cette dernière loi de comportement et sa prise en compte
dans le module structurel CVCR on pourra se reporter aux références suivantes (réf.).
Nous rappelons simplement ici la description de l’algorithme de type Newton-Raphson utilisé
globalement pour résoudre le problème structurel posé dans CVCR et qui s’applique à
l’ensemble des lois de comportement envisagées pour ce module.
En nous limitant ici au traitement des lois de comportement élastiques (linéaires ou non
linéaires), nous noterons celles-ci sous la forme générale :
(
)
σ ( x) = B ε ( x) + B −1 (σ °( x) − pc ( x) I ); x + pc ( x) I
[]
où x désigne le point courant dans la structure considérée. Cette notation rend compte non
seulement de la variation des quantités σ , ε , σ °, p c avec x , mais également de la nature de la
loi B et de ses paramètres. Dans la pratique, ces derniers varient par morceaux, en fonction
des groupes d’éléments constituant le maillage de la structure (ex : maillage constitué d’un
groupe d’éléments par couche de chaussée).
Les calculs sont présentés en utilisant essentiellement la formulation continue du problème
issue de l’écriture du principe des puissances virtuelles en petites déformations. La
transcription de l’algorithme en termes de problème algébrique obtenu par discrétisation de la
formulation continue au moyen de la méthode des éléments finis s’en déduit aisément.
Ainsi, l’équilibre de la structure Ω demande à ce que pour tout champ de déplacement virtuel
uˆ ( x) cinématiquement admissible la somme de la puissance des efforts intérieurs P̂i et de la
puissance des efforts extérieurs P̂e calculée sur Ω soit nulle, soit :
[]
∫Ω f .uˆ dx + ∫Γq q.uˆ dx − ∫Ω σ : εˆ dx = 0
avec :
f = efforts volumiques extérieurs (limité en général au poids propre des matériaux
responsable du champ de contraintes initiales σ ° )
Γq = frontière du maillage à efforts extérieurs imposés (ex : surface de la chaussée)
q = efforts extérieurs imposés (ex : pression exercée par les pneumatiques des charges
roulantes considérées)
εˆ = champ de déformation virtuel associé au champ û
f .uˆ , q.uˆ , σ : εˆ = produits scalaires entre vecteurs ou tenseurs.
(nota : par simplification d’écriture, on omet la variation suivant x de ces diverses quantités)
En substituant l’expression [ ] de σ dans l’équation précédente, on obtient alors la condition
que doivent vérifier les champ de déplacement et de déformation réels u , ε pour tout champ
de déplacement virtuel cinématiquement admissible :
∫Ω f .uˆ dx + ∫Γq q.uˆ dx − ∫Ω [B(ε + B
−1
)
]
(σ ° − p c I ) + pc I : εˆ dx = 0
[]
En vue de la résolution itérative du problème, associons en tout point x du maillage (ou en
fait, de façon plus restrictive, à tout groupe d’éléments finis du maillage de Ω ) une loi de
Hooke, notée :
σ = H * ( x)ε
[]
caractérisée par un module d’Young E * ( x) et un coefficient de Poisson ν * ( x) , dont on
précisera le choix ultérieurement. ( H * est le tenseur d’élasticité de Hooke d’ordre 4)
Considérons alors la succession de problèmes, définis sur le domaine Ω par :
•
∫Ω H * ε
•
u (1) ( x ) tel
Trouver le champ de déplacement
uˆ ( x) cinématiquement admissible :
(1)
[(
)
que
pour
tout
champ
]
[]
: εˆ dx = ∫ f .uˆ dx + ∫ q.uˆ dx − ∫ B B −1 (σ ° − p c I ) + p c I : εˆ dx
Ω
Γq
Ω
Pour tout indice entier i > 1 , trouver les champs de déplacement Δu (i ) ( x) , u (i ) ( x)
tels que pour tout champ uˆ ( x) cinématiquement admissible :
- d’une part :
∫Ω H * Δε
(i )
[(
)
]
: εˆ dx = ∫ f .uˆ dx + ∫ q.uˆ dx − ∫ B ε (i −1) + B −1 (σ ° − pc I ) + pc I : εˆ dx
Ω
Γq
Ω
[]
- d’autre part :
[]
u (i ) ( x) = u (i −1) ( x) + Δu (i ) ( x)
On peut alors observer à partir de l’équation
∫Ω H * Δε
(i )
[]
que si la suite Δu (i ) ( x) et donc le terme
: εˆ dx tendent vers 0 lorsque i tend vers l’infini, la limite u (x) de la suite u (i ) ( x)
est solution du problème de départ
[ ].
La discrétisation de cet algorithme au moyen de la méthode des éléments finis en déplacement
conduit alors à l’algorithme suivant de type de Newton-Raphson:
•
Résolution du système linéaire
: K * U (1) = Fe − Fi (0, σ °, p c )
•
Pour i > 1 :
o résolution du système linéaire
: K * ΔU (i ) = Fe − Fi (U (i −1) , σ °, pc )
: U (i ) = U (i −1) + ΔU (i )
o calcul de
o test sur la norme infinie de ΔU (i )
ƒ
si ΔU
ƒ
si ΔU (i )
-
(i )
∞
∞
∞
> ε , passage à l’itération suivante
<ε :
arrêt des itérations
calcul des déformations et contraintes associées à U (i )
enregistrement de U (i ) et de ces quantités, en vue de leur
exploitation graphique ou autre
avec :
K * = matrice de rigidité associée au champ de tenseur d’élasticité H * ( x) , indépendante des
itérations
U (i ) = vecteur des déplacements nodaux à l’itération i
Fe = vecteur de forces nodales associé aux chargements extérieurs f et q
Fi =
vecteur
de
forces
nodales
associé
au
champ
(
Bε
(i −1)
−1
)
de
contrainte
+ B (σ ° − pc I ) + pc I
Le choix du tenseur H * par groupe d’éléments joue un rôle relativement important dans le
processus de convergence de l’algorithme. Sans entrer dans les détails, signalons simplement
que le choix de modules d’Young E * trop petites peut être à l’origine de la divergence des
calculs avec des incréments de déplacement ΔU (i ) croissant en norme à partir d’un certain
rang, au lieu de diminuer. Le choix inverse de valeurs E * trop importantes peut conduire à
une convergence lente des calculs nécessitant un nombre d’itérations élevé. Une bonne
méthode consiste à intuiter si possible l’ordre de grandeur du module d’Young sécant
maximal attendu au sein du groupe d’éléments considéré et à choisir pour celui-ci E *
« légèrement » supérieur à cette valeur. La bonne maitrise du domaine d’application visé (ex :
Mécanique des chaussées) peut se révéler précieuse à cet endroit.
Pour les groupes d’éléments modélisés par une loi de Hooke de coefficients E , ν , on peut
simplement prendre pour E * , ν * ces mêmes valeurs.
EXEMPLES DE RESULTATS DE CALCUL OBTENUS AVEC LE
MODULE CVCR – EXAMEN DES CHAMPS DE CONTRAINTES
RESULTANTS ET DES MODULES SECANTS K , G
A voir avec Denis et Pierre en fonction des nombreux exemples testés récemment.
Orienter la discussion vers l’interprétation des champs de contrainte en termes de modules
sécants K, G ou de module d’Young et de coefficient de Poisson sécants, en s’intéressant aux
cas les plus simples : loi de Boyce isotrope dérivant d’un potentiel, absences de contrainte
initiale et de pression capillaire.
Poser la question de la validité des résultats, lorsque le coefficient K devient négatif ou ce
qui revient au même lorsque le coefficient de Poisson sécant dépasse la valeur 1 / 2 .
(Nota : cet article n’a pas véritablement pour objet de comparer le comportement des
structures mesuré in situ avec les modélisations CVCR. On pourra simplement faire quelques
commentaires à cet égard, en donnant les références d’articles où ces aspects sont plus
largement débattus)
DISCUSSION SUR LA VALIDITE DES SOLUTIONS OBTENUES AVEC
LA LOI DE BOYCE DANS LE CAS DE COEFFICIENT DE
COMPRESSIBILITE NEGATIVE - ETUDE DE LA CONVEXITÉ DE
LA DENSITÉ D’ÉNERGIE ÉLASTIQUE COMPLÉMENTAIRE,
ASSOCIÉE À LA LOI DE BOYCE
Les résultats présentés ci-avant font fréquemment apparaître dans les groupes d’éléments
répondant à la loi de Boyce des zones à coefficient de compressibilité sécant négatif, qui
peuvent jeter un doute sur la validité des résultats obtenus, si l’on s’en réfère à l’élasticité
linéaire isotrope pour laquelle on s’interdit cette situation par le choix de coefficients de
Poisson inférieurs à ½ .Qu’en est-il réellement ?
Il faut pour cela revenir sur l’origine des conditions K > 0 , G > 0 de l’élasticité linéaire en se
souvenant en premier lieu que celles-ci ne dérivent pas des principes de la Thermodynamique
et notamment pas du second principe, qui porte sur la non négativité de l’énergie dissipée.
En effet la linéarité des lois élastiques (satisfaisant au principe de réciprocité) supprime par
construction l’existence d’énergie dissipée et respecte automatiquement de ce fait le second
principe, quels que soient en particulier dans le cas isotrope les signes de K et G .
Dans le cas des exemples présentés ci-avant, il en va de même quant à l’absence d’énergie
dissipée et donc du respect du second principe, du fait d’avoir choisi de faire dériver la loi de
Boyce d’un potentiel élastique (à travers le choix adéquat du coefficient β ). La propriété
découle du résultat classique et général de Mécanique des Milieux Continus, qui établit
l’absence de dissipation d’énergie dans le cas de lois élastiques dérivant d’un potentiel.
La positivité des coefficients K et G de l’élasticité isotrope résulte en fait de la condition de
convexité que l’on impose en sus au potentiel élastique, dont dérive la loi de Hooke, afin
d’assurer l’unicité et la stabilité des solutions des problèmes d’élasticité. En effet on montre
de manière générale que les densités d’énergie élastique, qui possèdent la propriété d’être
convexe, permettent d’obtenir des problèmes mathématiquement bien posés pour lesquels
l’unicité et la stabilité des solutions (lorsqu’elles existent) sont assurées. Ce résultat découle
des théorèmes classiques de l’élasticité, qui établissent que la solution en déplacement
minimise l’énergie élastique totale et que la solution en contrainte maximise l’énergie
élastique complémentaire.
Nous nous proposons donc ici de déterminer les conditions permettant d’assurer la convexité
de la densité d’énergie élastique complémentaire w * associée à la loi de Boyce (isotrope).
Nous utilisons pour cela la caractérisation de la convexité basée sur le caractère défini positif
de la forme quadratique en δσ :
Q=
∂2w *
δσ ij δσ kl
∂σ ij ∂σ kl
où w * est donné par l’équation
Calcul du tenseur
[]
[].
∂ 2w *
∂σ ij ∂σ kl
Repartons pour cela de la relation :
∂w *
p I
s
p n−1 ⎡ ⎛ 3β X
=ε =−
+
= n−1 ⎢− ⎜1 − 2
⎜
∂σ
K 3 2G p a
p
⎣⎢ ⎝
⎞ p
1 ⎤
⎟
I+
s⎥
⎟ 3K
2Ga ⎥⎦
⎠ a
Soit :
p n−1
∂w *
= n−1
∂σ ij
pa
⎡⎛
⎤
p
(1 − n) X ⎞
1
⎟⎟δ ij +
sij ⎥
+
⎢⎜⎜ −
6Ga p ⎠
2Ga ⎥⎦
⎣⎢⎝ 3K a
et ajoutons aux propriétés
∂sij
∂σ kl
[]
[ ] , [ ] déjà introduites, la relation suivante
:
[]
1
= δ ijkl − δ ij δ kl
3
avec : δ ijkl = 1 , si i = k , j = l , δ ijkl = 0 sinon.
Il vient alors :
∂ 2 w * ∂sij
∂ 2 w * ∂X
∂ 2 w * ∂p
∂2w *
+
+
=
∂σ kl ∂σ ij ∂p∂σ ij ∂σ kl ∂X∂σ ij ∂σ kl ∂sij ∂σ ij ∂σ kl
Soit :
p n−1
∂2w *
= n−1
∂σ kl ∂σ ij
pa
⎡⎛ (n − 1) ⎛
(−δ kl ) ⎤
p
(1 − n) X ⎞ ⎛⎜
1
(1 − n) X ⎞⎟ ⎞⎟
(n − 1) 1
⎜⎜ −
⎟⎟ + −
⎥
⎢⎜
s
δ
+
−
+
ij
ij
6Ga p ⎠ ⎜⎝ 3K a
6Ga p 2 ⎟⎠ ⎟⎠
p 2Ga
3 ⎥
⎢⎜⎝ p ⎝ 3K a
⎥
⎢
⎥
⎢+ (1 − n) 1 δ s + 1 ⎛ δ kl − 1 δ δ ⎞
⎥
⎢ 6G p ij kl 2G ⎜⎝ ij 3 ij kl ⎟⎠
a
a
⎦
⎣
Et donc :
p n −1
∂ 2 w*
=
∂σ kl ∂σ ij p a n −1
⎡⎛ n
⎤
(1 − n)(2 − n) X ⎞⎟
(1 − n) 1
1
1
kl
−
+
( s ij δ kl + δ ij s kl ) +
δ
δ
δ
+
⎢⎜⎜
⎥
ij
kl
ij
18G a
6G a p
2G a
p 2 ⎟⎠
⎢⎣⎝ 9 K a 6G a
⎥⎦
Calculons à présent la forme quadratique associée
∂ 2W
δσ ij δσ kl en nous plaçant dans le
∂σ ij ∂σ kl
repère principal du tenseur δσ , de telle sorte que δσ ij = 0 si i ≠ j .
Il vient :
∂ 2W
δσ ij δσ kl =
∂σ ij ∂σ kl
⎤
p n −1 ⎡⎛⎜ n
(1 − n)(2 − n) X ⎞⎟
(1 − n) 1
1
1
2
δσ
δσ
δσ
δσ
s kk δσ kk +
−
+
+
⎥
⎢
ii
kk
ii
ii
18G a
3G a p
2G a
p 2 ⎟⎠
p a n −1 ⎢⎣⎜⎝ 9 K a 6G a
⎥⎦
Soit :
p n−1
∂ 2W
δσ ij δσ kl = n−1
∂σ ij ∂σ kl
pa
⎡⎛ ⎛ n
1
−
⎢⎜⎜ ⎜⎜
⎣⎢⎝ ⎝ 9 K a 6Ga
⎤
⎞ (1 − n)(2 − n) X ⎞ 2
⎟tr (δσ ) + (1 − n) 1 tr (δσ )tr ( sδσ ) + 1 tr (δσ 2 )⎥
⎟⎟ +
18Ga
3Ga p
2Ga
p 2 ⎟⎠
⎠
⎦⎥
[]
Cette expression a le signe de la forme quadratique Q(δσ ) suivante,
Q(δσ ) = A tr 2 (δσ ) + B tr (δσ )tr ( sδσ ) + C tr (δσ 2 )
où l’on a posé : A =
n
1− n 1
1
(2 − n)(1 − n) X
1
,C=
, B=
−
+
2
3Ga p
9 K a 6Ga
18Ga
2Ga
p
L’étude du signe de telles formes quadratiques montre que cette quantité est positive si les
quantités C et S , définie par :
S = A−
B2
C
B2
C
tr ( s 2 ) + = A −
X+
4C
3
2C
3
sont positives.
La première condition impose : Ga > 0 .
La seconde conduit au calcul de S , à savoir :
S=
n
1
(2 − n)(1 − n) X (1 − n) 2 1
1
−
+
−
Ga X +
2
2
2
9 K a 6Ga
18Ga
6Ga
p
9Ga p
soit : S =
n
(2 − n)(1 − n) X 2(1 − n) 2 X
n
n(1 − n) X
+
−
=
+
9K a
18G a
18G a p 2 9 K a
18Ga p 2
p2
La condition S > 0 se traduit alors par la condition :
soit en développant :
tr 2 (σ ) (1 − n) ⎡ 1
1
⎤
+
tr (σ 2 ) − tr 2 (σ )⎥ > 0
⎢
6
81K a
18Ga ⎣ 2
⎦
p2
(1 − n)
+
X >0 ,
9 K a 18Ga
ou encore :
⎛ 1
(1 − n)
(1 − n) ⎞ 2
⎟⎟tr (σ ) +
⎜⎜
tr (σ 2 ) > 0
−
4
G
9
K
12
G
a ⎠
a
⎝ a
On peut alors se référer à nouveau au résultat donné en annexe pour obtenir la condition
permettant d’assurer cette condition sur l’ensemble de l’espace des contraintes et notamment
sur le domaine p ≥ 0 .
Il suffit de poser cette fois :
1
1− n
1− n
A=
−
, B=0 , C=
9 K a 12Ga
4Ga
pour obtenir la condition, A +
C
1
> 0 , soit :encore
> 0 ou K a > 0 .
3
Ka
En conclusion de cette partie, on voit donc que les deux conditions Ga > 0 , K a > 0 suffisent
à assurer le caractère convexe de la densité d’énergie élastique associée au modèle de Boyce
et ceci pour toute valeur de n comprise entre 0 et 1. En particulier pour n = 1, on retrouve les
conditions bien connues de stabilité du modèle de Hooke, qui se traduisent de manière
équivalente par la positivité du module d’Young et une valeur du coefficient de Poisson
comprise entre -1 et 0,5
En revanche, l’étude ne conduit pas au fait que pour obtenir un problème bien posé le module
de compressibilité sécant de Boyce doive nécessairement être positif. La présence d’un
déviateur d’intensité relativement importante par rapport à la pression moyenne peut autoriser
le coefficient K à devenir négatif.
Ceci permet donc d’admettre mathématiquement et physiquement les solutions des problèmes
structurels, telles que calculées par le module CVCR, dans lesquelles apparaissent des zones à
coefficients K infinis ou négatifs et ceci bien qu’une interprétation en termes de loi de Hooke
conduise à des valeurs « paradoxales » de coefficients de Poisson supérieures à 0,5.
Ces outils et résultats de calcul peuvent donc être utilisés avec confiance pour l’étude et le
dimensionnement des chaussées incorporant des couches de matériaux granulaires non liés.
Annexe
Etude du signe de la forme quadratique
Q(σ ) = A tr 2 (σ ) + B tr (σ ) tr ( sσ ) + C tr (σ 2 )
avec : σ =tenseur symétrique
s = tenseur de type déviateur de contrainte ( tr ( s ) = 0 ), sans lien avec σ
On cherche les conditions pour lesquelles la forme quadratique ci-dessus est définie positive.
On note x, y, z les contraintes principales associées au tenseur σ et a, b, c les termes
diagonaux de s dans ce repère, qui vérifient l’égalité : a + b + c = 0 .
Ainsi : Q(σ ) = Q( x, y , z ) = A( x + y + z ) 2 + B ( x + y + z )(ax + by + cz ) + C ( x 2 + y 2 + z 2 )
Considérons d’abord le cas particulier : x + y + z = 0 .
Alors Q( x, y, z ) = C ( x 2 + y 2 + z 2 ) , ce qui nécessite C > 0 pour satisfaire la condition
recherchée sur Q .
Considérons à présent le cas général : x + y + z ≠ 0 . Soit r le scalaire tel que :
r ( x + y + z) = 1
Alors :
•
d’une part : Q(rx, ry, rz ) = r 2 Q( x, y, z )
•
d’autre part : Q(rx, ry, rz ) = Q( X , Y , Z ) = A + B (a X + b Y + c Z ) + C ( X 2 + Y 2 + Z 2 )
avec : X + Y + Z = 1 .
La première relation montre que Q( x, y, z ) et Q(rx, ry, rz ) sont de même signe. On peut donc
limiter l’étude à celle de cette seconde fonction, en recherchant dans un premier temps ses
extrema.
Formons à cet effet le Lagrangien : L( X , Y , Z ) = Q( X , Y , Z ) − λ ( X + Y + Z − 1) et recherchons
∂L
∂L
∂L
= 0,
les solutions du système :
= 0,
= 0 , soit :
∂y
∂z
∂x
Ba + 2CX * = λ
Bb + 2CY * = λ
Bc + 2CZ * = λ
Par sommation de ces 3 équations, on en déduit la valeur de λ , compte tenu des relations
a + b + c = 0 et X * +Y * + Z * = 1 , à savoir :
2
3
λ= C
D’où : X * =
1 B
a
−
3 2C
; Y* =
1 B
1 B
b ; Z* = −
c
−
3 2C
3 2C
Pour ce triplet, on obtient alors :
Q( X *, Y *, Z *) = A −
B2 2
1 B2
(a + b 2 + c 2 ) + C ( +
(a 2 + b 2 + c 2 ))
2
2C
3 4C
soit : Q( X *, Y *, Z *) = A −
B2 2
C
(a + b 2 + c 2 ) +
4C
3
ou encore : Q( X *, Y *, Z *) = A −
B2
C
tr ( s 2 ) + ..
4C
3
Or quand cette dernière quantité est positive, elle correspond au minimum de la fonction
Q( X , Y , Z ) sur l’ensemble du plan : (P) X + Y + Z = 1 . Du même coup, cette condition assure
la positivité de la forme quadratique Q( X , Y , Z ) sur l‘ensemble du plan (P) et donc la
positivité de Q( x, y, z ) pour tout triplet ( x, y, z ) tel que : x + y + z ≠ 0 .
Conclusion : en réunissant les 2 cas x + y + z = 0 et x + y + z ≠ 0 , on obtient les 2
conditions permettant d’assurer le caractère défini positif de la forme quadratique Q , à
savoir :
C>0
A−
B2
C
tr ( s 2 ) + > 0
4C
3