ТЕМА 3: КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ТЕМА 3: КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
1. Семантика КЛВ. Табличное определения связок.
2. Статус формул КЛВ (и соответствующих им предложений). Основные законы логики
высказываний.
3. Отношения между формулами логики высказываний (и соответствующими
высказываниями). Отношения совместимости/несовместимости, отношение логического
следования.
4. Табличный метод логики высказываний.
5. Основные схемы правильных рассуждений логики высказываний.
Определения следующих терминов надо знать?
Алфавит ЯКЛВ
Понятие закона логики
Выражение языка
высказываний
Формула ЯКЛВ
Основные законы ЛВ:
Подформула
Закон тождества
Объектный- и метаязык
Закон непротиворечия
Табличные определения
Закон исключенного третьего
каждой связки
Закон снятия двойного
Тождественно-истинная
отрицания
формула
Законы де Моргана
Логически истинное
Закон отрицания импликации
высказывание
Закон выразимости
Тождественно-ложная формула импликации
Логически ложное
Закон выразимости
высказывание
эквиваленции
Недетерминированная формула Законы коммутативности,
Логически
ассоциативности и
недетерминированное
дистрибутивности конъюнкции
высказывание
и дизъюнкции
Упражнения:
Совместимость формул по
истинности
Совместимость формул по
ложности
Отношение логического
следования
Критерий правильности
рассуждения
Основные схемы правильных
рассуждений ЛВ:
Рассуждения по правилам
контрапозиции (прямой и
обратной) и транзитивности
(простой и сложной), modus
ponens, modus tollens, modus
tollendo ponens, modus ponendo
tollens, 4 дилеммы.
1. Найти истинностное значение следующих высказываний
+
а)
Москва – столица России, а Рим – столица Греции.
б)
Москва – столица России, или Рим – столица Дании.
в)
Если 11 делится на 3, то 11 делится на 6.
г)
Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6.
д)
11 делится на 3 тогда и только тогда, когда 15 делится на 6.
е)
Если Майк Тайсон негр, то все негры.
ж)
Если Петр I – негр, то все негры.
2. Найдите значение формулы (р  q) & (q  r) при следующих оценках:
а) + ϕ1(р) = И, ϕ1(q) = И, ϕ1(r) = Л;
ϕ1((р  q) & (q  r)) = …
б) ϕ2(р) = Л, ϕ2(q) = Л, ϕ2(r) = Л;
ϕ2((р  q) & (q  r)) = …
Можно ли на основании значений данной конъюнктивной формулы при ϕ1 и ϕ2 сделать вывод о её
логическом статусе?
3. Что вам подсказывает ваша интуиция, каков логический статус нижеследующих формул –
логический закон (ЛЗ), логическое противоречие (ЛП) или логически недетерминированная
формула (ЛН)? Заполните первый столбец таблицы.
Теперь установите логический статус формул с помощью таблиц истинности, заполните
второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.
Формула
Интуитивно определённый статус
Таблично определённый статус
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
( p  q)  (р  q)
q & q  p
+
(р & q)  (q & р)
+
((р  q)  r)  (q & r)
p  q  q
(р & q)  (q & р)
(р  q)  (q  p)
+
+
з)
и)
к)
л)
м)
н)
(p & q)  (р & q)
p & (q & р)
((р  (q  r))  ((р  q)  r)
(p  q)  (р & q)
((р  q) & (р  r))  ((q  r)  p)
((рqr)  s)  ((ps) & (qs) & (rs))
4. Используя законы ассоциативности для & и  опустите максимальное число скобок в формулах.
а) (((р(q & r))q)(((s&r)p)&q1))  (((p&s) & (q&s)) & (rs))
б) ((р  (q & r))  (s&(r&s1)))  (((p &s) & (q &(r s)) & (r  s))
в) (((р&(q & r))  (s&(r&s1)))  (((p &s) & (q  (r s)) & (r  s)))&p1
5. Для следующих формул решите вопрос об их логическом статусе (является ли каждая из них
тождественно-истинной, тождественно-ложной или логически недетерминированной), не строя
таблицы истинности.
а)
(((s(рq))((q&r) q & q)))&((sr)&( q & q &p))
б)
(((q&r)r1))&((sr)&(p12&p))) ((p12r)(( q  q p12)&( q & q  p  p)))
в)
(p&r&r1&r2&r3)(((pp1)&(p2r3))((sp)&(rq)))
6. Что вам подсказывает интуиция: значения (истина или ложь) следующих предложений зависят от
фактов (т.е. являются логически недетерминированными) или в следующих предложениях от фактов
ничего не зависит, а их (предложений) значения целиком определяются их структурой, т.е. (а)
истинны в силу структуры (б) ложны в силу структуры; (в) они логически недетерминированы. Сначала
решите, что вам подсказывает интуиция, затем установите ответ, проанализировав их структурную
информацию с помощью таблиц истинности (т.е. найдите структуру предложения и проанализируйте ее как
в упражнении 3.)
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Если неверно, что не знаешь английский, французский и немецкий, значит, ты знаешь эти языки.
Москва – столица России или Португалии.
Если верно, что Москва – столица Португалии, тогда верно, что она столица Португалии или
России.
Либо если идет снег, то жарко, либо если жарко, то идет снег (или и то, и другое)1.
Неверно, что если сегодня – четверг, то сегодня четверг.
Если на лекции не было Р.Раскольникова или Д.Разумихина, значит неверно сказать, что на
лекции присутствовали Р.Раскольников или Д.Разумихин.
Дождь пойдет в том и только в том случае, если я возьму с собой зонтик, хотя неверно, что если я
беру с собой зонт, то дождь пойдет.
То, что она изучает латынь или (2-й вариант) и латынь, и древнегреческий эквивалентно тому, что
она изучает латынь.2
+
7. Что вам подсказывает ваша интуиция, какова каждая из схем рассуждений а-и – логически
корректная или нет? Заполните первый столбец таблицы. Теперь осуществите табличным методом
проверку этих схем умозаключений на логическую правильность, заполните второй столбец
таблицы получившимися результатами и сравните их.
Номер схемы рассуждения
Интуитивно
Таблично
а)
+
p&q⊨ pvq
б)
+
pvq⊨ p
в)
+
p  q, q  r, p ⊨ r
г)
+
(p  q)  q & q, r  q  q ⊨ (p  r)
д)
p&q⊨p
е)
pvq⊨ p&q
выражение в скобках указывает, что надо использовать нестрогую дизъюнкцию (), выражение «или и то, и другое»
не отображайте формульно ( р  q): эта информация присутствует в .
2
«или» нестрогое
1
ж)
p  q & q, q  q  q ⊨ (p  q)
з)
p  q, q  r, p v q ⊨ r
и)
p  q, q  (r & s), p ⊨ r
8. Что вам подсказывает ваша интуиция, каково каждое из нижеследующих рассуждений –
логически корректное или нет? Заполните первый столбец таблицы.
Теперь найдите структуры этих рассуждений и осуществите табличным методом их проверку на
логическую правильность. Заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и
сравните их.
Номер рассуждения
Интуитивно
Таблично
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Неверно, что он знает английский и французский. Значит, французским он не владеет.
Неверно, что он знает английский или французский. Значит, французским он не владеет.
+
Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости. Я и выспался, и в гости сходил.
Значит, сегодня воскресенье.
Множество вузов Москвы пусто, единично или бесконечно. Но множество вузов в Москве не
пусто и не единично. Следовательно, их число бесконечно.
Если есть справедливость в этом мире, я не сдам логику, если не подготовлюсь. Не подготовился.
Не сдал. Значит, справедливость все-таки существует.
«– А когда ты в первый раз заметил, Веничка, что ты дурак? – А вот когда. Когда я услышал
одновременно сразу два полярных упрёка: и в скучности, и в легкомыслии. Потому что если
человек умён и скучен, он не опустится до легкомыслия. А если он легкомыслен да умён – он
скучным быть себе не позволит. А вот я, рохля, как-то умел сочетать.» (Вен. Ерофеев. Москва–
Петушки).
Я не подготовлюсь и к английскому, и к математике, если у меня не будет много времени. Но
времени у меня навалом. Значит, я подготовлюсь к обоим предметам.
(А заодно, значит, и с логикой у меня все в порядке) 3
+
+
9. Для следующих формул определите, сравнимы ли они по силе. Если да, тогда решите вопрос,
являются ли эти формулы логически эквивалентными или нет; если нет (т.е. сравнимы, но не
эквивалентны), какая из формул в паре логически сильнее, а какая слабее?
Номер пар формул
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
Интуитивно
Таблично
+
pvq - pvq
(pq) – (pq)&(qp)
+
p – pvq
pq – pq
 (рq) - рq
 (рq) - рq
p&q - pvq
p&q – p
p-q
pq - qp
(р  q)  r - (р  q)  r
(р  q)r – (pr)&(qr)
р(qr) – (рq)r
+
10. Для следующих высказываний определите, сравнимы ли они по силе. Если да, тогда решите
вопрос, являются ли эти предложения логически эквивалентными или нет; если нет (т.е. сравнимы,
но не эквивалентны), какое из предложений в паре логически сильнее, а какое слабее?
Номер пар предложений
3
Интуитивно
Замечание в скобках не входит в структуру рассуждения.
Таблично
а)
Если сегодня 16 июня, то я нахожусь в Дублине и праздную Блумсдэй. – Я нахожусь в Дублине и
праздную Блумсдэй.
б)
Если сегодня 16 июня, то я нахожусь в Дублине и праздную Блумсдэй. – Если сегодня 16 июня и
я нахожусь в этот день в Дублине, то я отмечаю Блумсдэй.
в)
Если за дело берется Ш.Холмс или Э.Пуаро, преступление будет раскрыто. – Если за дело берется
Ш.Холмс и Э.Пуаро, преступление будет раскрыто.
г)
Если О.Бендер мрачен и молчалив, значит он обдумывает комбинацию. – Если О.Бендер не
мрачен и не молчалив, значит он не обдумывает комбинацию.
д)
Если холодно или идет дождь, мистер NN не идет на работу. – Если мистер NN идет на работу,
значит не холодно или нет дождя.
11. Приведите пример:
а)
фактически ложного простого высказывания;
б)
логически ложного высказывания;
в)
фактически истинного простого высказывания;
г)
логически истинного высказывания;
д)
фактически ложного дизъюнктивного высказывания;
е)
фактически истинного дизъюнктивного высказывания;
ж) фактически истинного конъюнктивного высказывания.
12. Проверьте, насколько хорошо вы усвоили определение отношения логического следования в
КЛВ, ответив на следующие вопросы.
а)
Допустим, о рассуждении известно, что все его посылки являются фактически ложными, а
заключение фактически истинно. Что можно сказать о логической корректности такого рассуждения?
б)
Известно, что некий NN, крепко напившись, сформулировал замечательное умозаключение, в
котором и посылки, и заключение логически ложны. Несмотря на прискорбное состояние, в котором он
находился, произнося выше упомянутое рассуждение (его содержание история не сохранила), вполне
можно поставить вопрос о логической корректности последнего. Итак: является ли рассуждение, в котором
и посылки, и заключение логически ложны, логически корректным? Логически некорректным? Или
предоставленной информации не хватает для того, чтобы решить этот вопрос?
+
в)
Пусть в рассуждении все посылки фактически истинны, а заключение фактически ложно. Можно
ли что-то сказать о его логической правильности или информации не достаточно?
г)
Пусть о рассуждении известно только то, что и его посылки, и заключение фактически истинны. На
какую сумму вы готовы спорить, что это рассуждение является логически правильным? Варианты ответа:
1) «Я человек бедный, на 5 копеечек рискну»;
2) «Само собой, рассуждение логически неправильное. На это ставлю 1000 000 долларов»;
3) «Вне всяких сомнений, рассуждение может оказаться логически некорректным, и вот на это
ставлю сколь угодно большую сумму, ну там, рубля три-четыре…»;
4) «Я, конечно, понимаю, что такое рассуждение может быть только логически корректным, но
принципиально не спорю деньги.»
д)
Известно, что в рассуждении одна из посылок оказалась логически ложной. Можно ли что-то
сказать о логической корректности этого рассуждения или предоставленной информации недостаточно?
13. Определите, являются ли следующие умозаключения правильными, опираясь только на знание
правильных и неправильных схем умозаключений, а также некоторых законов логики.
а)
б)
в)
г)
д)
Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но ты не умнее. Значит, я не император.
Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Значит, ты не умнее.
Только если сегодня суббота, у меня есть шанс выспаться. Шанс есть. Значит, суббота.
Если сегодня суббота, у меня есть шанс выспаться. Шанс есть. Значит, суббота.
Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Да и ты тоже. Значит, ты не
умнее.
е) Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия.
Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра нет ни логики, ни математики.
ж) Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия.
Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра нет логики или математики.
з) Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия.
Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра логики нет.
14. Для следующих схем рассуждения определите, являются ли они логически корректными, не
строя таблицы истинности (в некоторых случаях предполагается, что студенты знают ряд законов
КЛВ).
а)
p&p, qr ⊨ r
б)
p& q1&q4&p&s, qr ⊨ rq
в)
p&q1&q4&s, q1  p, q ⊨ (rq1srp)&(pqspq4)
г)
p&q1&q4&s, rq1ss1p ⊨ p4q4s4q4
ОТВЕТЫ:
Упр. 1 а)
Москва – столица России - истина,
Рим – столица Греции – ложь.
Предложения соединены союзом "а", с логической точки зрения – конъюнкцией. Если с помощью
конъюнкции соединяются истинное и ложное предложение, результирующее предложение – по
определению конъюнкции – будет ложным.
Ответ: логическое значение данного высказывания – ложь.
Упр. 2 а)
Будем вычислять значение формулы в следующем порядке:
1 2
6 3 5 4
(р  q) & (q  r)
ϕ1 (р)= л; (при этой оценке р полагаем истинным, тогда его отрицание будет ложным – по определению
отрицания)
ϕ1 (р  q)= и;
ϕ1 (q)= л;
ϕ1 (r) =и;
ϕ1 (q  r) = и;
ϕ1 ((р  q) & (q  r))=и.
Упр. 3
Ответ к а)
Разбор решения
1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой формулы: = 2 (p, q)
2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В
данной случае имеем:
2 1 6 3 5 4
(p  q)  (р  q),
т.е. сначала вычисляем значение (p q), затем (p  q) и т.д.
Главный знак этой формулы (связка, которая вводилась последней при построении данной формулы) –
эквиваленция (). Важно понимать, где главный знак формулы, т.к. ее логический статус будем определять,
рассматривая столбец именно под главным знаком формулы (итоговый столбец).
3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если формула содержит n различных
переменных, то количество строк в таблице для данной формулы = 2n. В нашем случае в таблице будет
(22=) 4 строки.
4. Строим таблицу.
Порядок
2 1
6 3
5 4
вычисления
действий 
функции
p q
 (p q)  (p  q)
оценок перемен
ных
pиq
1
2
3
4
и
и
л
л
и
л
и
л
л
л
л
и
и
и
и
л
и
л
л
и
л
л
и
и
л
и
и
и
л
и
л
и
Например,  определяется так:
А
и
и
л
л

и
и
и
л
B
и
л
и
л
Из таблицы видно, что формула вида А В ложна только в том случае, если и слева, и справа от
дизъюнкции () формулы оценены как ложные. Это и воспроизведено в таблице для нашей формулы – под
знаком .
Далее мы вычислили значение формулы (p  q). Отрицание меняет значение формулы на
противоположное:
 А
л и
и л
Значение столбца под первым отрицанием (2) вычисляем по значению столбца под первой
конъюнкцией (1).
Значение столбца под р вычисляем по столбцу под р. Например, если р – «и» при первой оценке
(1), тогда р при этой же оценке (т.е. в первой строке) принимает значение «л» и т.д.
Значение столбца под q вычисляем по столбцу под q.
Значение столбца под второй дизъюнкцией  - в формуле (р q) вычисляем по столбцам под р
и под q.
Значение столбца под эквиваленцией () вычисляем по столбцам под первым отрицанием (второе
действие - (p  q) и под второй дизъюнкцией - (р  q) (пятое действие).
Эквиваленцию вычисляем по следующему определению:
А  B
и и и
и л л
л л и
л и л
Проанализируем теперь построенную для формулы (pq)(рq) таблицу истинности.
Под главным знаком формулы -  - иногда стоит истинна («и»), а иногда ложь («л»), значит логический
статус этой формулы: логически недетерминированная.
Более культурный анализ таблицы звучит так. Существует оценка переменных p и q (например, 1), при
которой формула принимает значение «и» и существует оценка этих переменных (например, 3), при
которой формула принимает значение «л». Следовательно, данная формула логически недетерминирована.
Ответ к б)
Число параметров в формуле: n =1.
Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=21=2
оценки
 р p
переменной р
л и
и
1
л
л
и
2
.
Формула принимает значение «истина» при любой оценке переменной р. Логический статус формулы:
тождественно-истинная (= закон логики, общезначимая)
Ответ к в) (р & q)  (q & р)
1. Число параметров в формуле: n =1.
2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В
данной случае имеем:
2 1
5 4
(p  q)  (q  р),
т.е. сначала вычисляем значение (p  q), затем (p  q) и т.д.
3. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=21=2
4. Строим таблицу (немного не так, как в примере 1).
р q p  q (p  q) (q  р) (p  q)  (q  р)
и и
и
л
и
л
и л
л
и
л
л
л и
л
и
л
л
л л
л
и
л
л
Анализ таблицы: при любой оценке параметров р и q формула принимает значение «л». Логический статус
формулы: логическое противоречие (тождественно-ложная).
Ответ к г) ((р  q)  r)  (q & r)
1. Число параметров в формуле: n = 3.
2. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=23=8
3. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В
данной случае имеем:
1) q
2) р  q
3) (р  q)  r
4) r
5) (q & r)
6) ((р  q)  r)  (q & r)
Данная последовательность вычислений не единственно возможная (как и выше разобранных примерах 1 и
3). Скажем, не будет ошибкой сначала вычислить r, а затем q. Но ошибочно сначала пытаться
вычислить, например, р  q, а уже затем q4.
4. Строим таблицу
Функции
p q r q r рq (рq)r q & r ((рq)r) (q&r)
оценки переменных
и и и л
л
и
и
л
л
1
и
и
л
л
и
и
л
и
и
2
и л и и
л
и
и
л
л
3
и
л
л
и
и
и
л
л
и
4
л и и л
л
л
л
л
и
5
л
и
л
л
и
л
л
и
и
6
л л и и
л
и
и
л
л
7
л
л
л
и
и
и
л
л
и
8
Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой формула принимает значение «и»
(например, 2), и существует оценка переменных р, q и r, при которой формула принимает значение «л»
(например, 1). Логический статус формулы: выполнимая, логически недетерминированная.
Упр. 6 а)
Если неверно, что ты не знаешь английский, французский и немецкий, значит ты знаешь эти языки.
Сначала найдем структуру этого предложения, затем проанализируем ее таблично.
простые предложения, входящие в состав предложения
Ты знаешь английский.
Ты знаешь французский.
Ты знаешь немецкий.
символизация
p
q
r
Аналогия: если кто-то в выражении 5+32 сначала пытается вычислить сумму, а затем возводит в квадрат, он
допускает ошибку того же типа.
4
Структура предложения: (р  q  r)  (р  q  r).
1. Число параметров в формуле: n = 3.2. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице):
2n=23=8.
3. Последовательность вычислений (один из возможных вариантов):
1.
р
2.
q
3.
r
4.
р  q
5.
р  q  r
6.
 (р  q  r)
7.
рq
8.
рqr
9. (р  q  r)  (р  q  r)
p q r р q r рq рqr (рqr) р  р  q  (рqr)
q
r
(рqr)
и
и
и
и
л
л
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
л
л
л
л
л
и
и
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
л
л
л
л
л
и
и
л
л
л
л
л
л
л
и
и
и
и
и
и
и
и
л
и
и
л
л
л
л
л
л
и
л
л
л
л
л
л
л
и
л
л
л
л
л
л
и
Из таблицы видно, что при некоторых значениях переменных формула истинна, при других – ложна.
Значит, данная формула логически недетерминирована, а вместе с ней логически недетерминировано и
исходное высказывание, по которому она была получена. Последнее означает, что истинность или ложность
данного высказывания зависит не только от понимания связок, но и от «фактов» - от значений параметров.
Упр. 7
а) p & q ⊨ p v q
В данной схеме умозаключения одна посылка: p&q.
⊨ - шаг вывода, pvq – заключение.
Проверяем, следует ли из информации посылок информация заключения.
Число переменных в схеме умозаключения: n=2.
Число строк в таблице: 2n, т.е. 22, т.е.4.
функции
p q p&q ⊨ pvq
оценок переменных
pиq
и и
и
и
1
и л
л
и
2
л
и
л
и
3
л л
л
л
4
В столбце под p&q просто стоит определение связки , в столбце под pvq – . Анализируя данную схему
рассуждения на логическую правильность, принимаем в расчет только эти столбцы. Проверяем,
реализуется ли для этой схемы умозаключения логически неприемлемая ситуация: переход от всех
истинных посылок к ложному заключению. В нашем случае проверяем, есть ли такая оценка i переменных
р и q, что i (p&q) = и, i(pvq)=л. При 1 посылка истинна и заключение истинно, - нормально. При 2 и 3
посылка ложна, заключение истинно, - не искомый случай. Наконец для 4 имеем: 4(p&q)=л, 4(pvq)=л.
Таким образом, какими бы ни были предложения р и q (а мы просмотрели все возможности), от истинного
утверждения к ложному, рассуждая по данной схеме, мы не придем.
Анализ таблицы: не существует оценки переменных р и q, при которой посылка истинна, а заключение –
ложно. Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между
посылкой и заключением) имеет место.
б) p v q ⊨ p
Посылка: pvq.
⊨ - шаг вывода, p – заключение.
Число переменных в схеме умозаключения: n=2.
Число строк в таблице: 2n, т.е. 22, т.е.4.
функции
оценок переменных
pиq
1
2
3
4
p
q
и
и
л
л
и
л
и
л
pvq ⊨ р
и
и
и
л
Проверяем, реализуется ли для данной схемы логически неприемлемая ситуация, т.е. существует ли такая
оценка параметров i, что i(pvq)=и, i(p)=л. Такая оценка есть. Для 3 имеем: 3 (pvq)=и, 3(р)=л.
Анализ таблицы: существует оценка переменных р и q, при которой посылка истинна, а заключение –
ложно (3). Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования
(между посылкой и заключением) не имеет места.
в) p  q, q  r, p ⊨ r
Посылки: pq, qr, p.
⊨ - шаг вывода.
Заключение – r.
Число переменных в схеме умозаключения: n=3.
Число строк в таблице: 2n, т.е. 23, т.е.8.
Проверяем, есть ли такая оценка  параметров р,
(r) =л (логически неприемлемый случай).
Функции
p
оценки переменных
и
1
и
2
и
3
и
4
л
5
л
6
л
7
л
8
q и r, для которой верно: (pq)=и, (qr)=и, (p)=и,
q
r
и
и
л
л
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
л
pq qr р ⊨ r
и
и
л
л
л
л
и
и
и
л
и
и
и
л
и
и
л
л
л
л
и
и
и
и
*
л
и
л
и
л
и
л
и
Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой все посылки истинны, а заключение
ложно (7). Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования
(между посылкой и заключением) не имеет места.
г) (p  q)  q & q, r  q  q ⊨ (p r)
(Прочтем схему рассуждения: из р или q следует логическая ложь, а r эквивалентна логической истине.
Следовательно, р и r не эквивалентны.)
В этой схеме умозаключения две посылки: (p  q)  q & q, r  q  q.
Заключение: (p r)
Число переменных в схеме умозаключения: n=3 .
Число строк в таблице: 2n, т.е. 23, т.е.8.
Проверяем, есть ли такая оценка  параметров р, q и r, для которой верно: ((p  q)  q & q)=и, (r Т)=и,
((p  r)) =л
Функции
оценки переменных
1
2
3
p
q
r
и и и
и и л
и л и
q & q q  q p  q (p  q)  q & q r  q  q ⊨ p  r (рr)
л
л
л
и
и
и
и
и
и
л
л
л
и
л
и
и
л
и
л
и
л
4
5
6
7
8
и
л
л
л
л
л
и
и
л
л
л
и
л
и
л
л
л
л
л
л
и
и
и
и
и
и
и
и
л
л
л
л
л
и
и
л
и
л
и
л
л
л
и
л
и
и
и
л
и
л
Анализируя таблицу, принимаем в расчет только значения под главными знаками формул (т.е.
промежуточные вычисления: pq и рr, - не учитываем).
Анализ таблицы: не существует оценки переменных р, q и r , при которой все посылки истинны, а
заключение – ложно. Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического
следования (между посылкой и заключением) имеет место.
Упр. 8
а) Неверно, что он знает английский и французский. Значит, французским он не владеет.
В этом умозаключении одна посылка: Неверно, что он знает английский и французский.
Значит – шаг вывода.
Заключение: Французским он не владеет.
Найдем структуру умозаключения. В его составе два простых высказывания.
простые предложения, входящие в состав умозаключения
символизация
Он знает английский.
p
Он знает французский.
q
Структура посылки: (рq)
Структура заключения: q
Структура умозаключения: (рq) ⊨ q
Проанализируем структуру умозаключения таблично.
функции
p q рq (рq) ⊨ q
оценок переменных
pиq
и и
и
л
л
1
и л
л
и
и
2
л и
л
и
* л
3
л л
л
и
и
4
Анализ таблицы: существует оценка переменных р и q, при которой посылка истинна, а заключение –
ложно (3). Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования
(между посылкой и заключением) не имеет места. Следовательно, и исходное рассуждение, по которому
была получена данная схема, логически некорректна.
б) Неверно, что он знает английский или французский. Значит, французским он не владеет.
Структура умозаключения: (рq) ⊨ q
Таблица истинности для данной структуры рассуждения:
функции
оценок переменных
pиq
1
2
3
4
p
q
и
и
л
л
и
л
и
л
рq (р  q) ⊨ q
и
и
и
л
л
л
л
и
л
и
л
и
Анализ таблицы: не существует оценки переменных р и q, при которой посылка истинна, а заключение –
ложно. Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между
посылкой и заключением) имеет место; рассматриваемое умозаключение логически правильно.
в) Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости. Я и выспался, и в гости сходил. Значит,
сегодня воскресенье.
В этом умозаключении посылки:
(1) Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости.
(2) Я и выспался, и в гости сходил.
Заключение: Сегодня воскресенье
Найдем структуру умозаключения. В его составе два простых высказывания.
простые предложения, входящие в состав умозаключения
символизация
Сегодня воскресенье.
p
Я высплюсь.
q
Я схожу в гости.
r
Структура 1-й посылки: р(qr)
Структура 2-й посылки: qr
Структура заключения: р
Структура умозаключения: р(qr), qr ⊨ р
Проанализируем структуру умозаключения таблично.
Функции
p q r qr р(qr) qr ⊨ р
оценки переменных
и и и и
и
и
и
1
и и л и
и
л
и
2
и л и и
и
л
и
3
и л л л
л
л
и
4
л и и и
и
и
* л
5
л и л и
и
л
л
6
л л и и
и
л
л
7
л л л л
и
л
л
8
Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой все посылки истинны, а заключение
ложно (5). Вывод: схема умозаключения логически некорректна, отношение логического следования
(между посылкой и заключением) не имеет места; исходное умозаключение, по которой была построена
данная схема, логически неправильна.
Упр. 9
а) – в) В формулах из а-в две переменные: р и q. Построим таблицы для всех формул из а-в.
функции
p q рq
рq qр (рq)(qр)
р рq
рq
рq
оценок
переменных
pиq
и
и
л
и и
и
л
и
и
и
1
л
и
л
и л
и
и
л
л
л
2
и
л
и
л и
и
и
л
л
и
3
и
и
и
л л
л
л
и
и
и
4
а) Рассмотрим отношение между строгой и нестрогой дизъюнкцией: pvq - pvq.
(а) pvq |pvq (при 1имеем 1(pvq)=и, 1(pvq)=л)
(б) pvq |= pvq (нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pvq) истинна, а заключение pvq –
ложно.)
Из (а) и (б) и следует, что строгая дизъюнкция логически сильнее нестрогой, структура pvq логически
подчиняется pvq.
б) (pq) – (pq)&(qp)
(а) pq ⊨ (pq)&(qp) (нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pq) истинна, а заключение
(pq)&(qp) – ложно.)
(б) – (pq)&(qp) ⊨pq (нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pq)&(qp) истинна, а
заключение (pq) – ложно.)
Из (а) и (б) и следует, что формулы (pq) и (pq)&(qp) логически эквивалентны.
в) p – pvq
(а) p| pvq (по 2: 2 (р) = и, 2(pvq)=л)
(б) pvq| p(по 3 или 4: 3(pvq)=4 (pvq)=и, 3(р)=4 (р)=л)
Из (а) и (б) следует, что р и рq несравнимы по силе.
Упр. 12 в) sapienti sat