ЦОС

Задание
Используем результаты, полученные в предыдущей практической
работе.
1. В системе выбрана частота квантования 20000 Гц. Определите
наибольшую частоту в спектре сигнала (в герцах), при котором этот сигнал
можно восстановить по дискретным отсчётам.
2. Определите минимальную угловую частоту квантования, при которой
сигнал x  t   2sin  5t  8   6cos  4t  12  можно восстановить по дискретным
отсчётам.
3. Почему частотные характеристики дискретных систем строятся для
частот от 0 до частоты Найквиста?
Так же частотный анализ самих дискретных систем, без перехода к


аналоговым, проводится на частотах
, так как частотная
 
T
T
характеристика дискретной системы является периодической функцией
2
частоты с периодом
.
T
4. Известно z-преобразование сигнала: 3  2 z 1  5 z 2  3z 3 . Определите
величину сигнала x  k  при k  4 .
2
5. Известно z-преобразование сигнала: 3  2 z 1  5 z 2  3z 3 . Запишите zпреобразования того же сигнала с запаздыванием на 2 такта.
6. Постройте передаточную функцию регулятора по разностному
уравнению:
4  k   3e  k   2e  k  1  2  k  1 .
7. Постройте передаточную функцию регулятора по разностному
уравнению:
2  k   3e  k   2e  k  1  2  k  1 .
На вход действует единичный ступенчатый сигнал. Определите
значение y 5 .
3
8. Система с входом x  k  и выходом y  k  описывается разностным
уравнением:
2 y  k   8 x  k   2 x  k  1  y  k  1 .
На вход действует единичный ступенчатый сигнал. Определите
значение y  2 .
4
9. Постройте модель
передаточной функции
W  z 
системы
в
3z  2
.
z  0.5 z  0.3
2
Устойчива ли такая система?
5
пространстве
состояний
по
num
den
sys
A =
= [3 -2];
= [1 -0.5 0.3];
= tf(num,den, 0.5)
[0 1
-0.3 0.5];
B = [0
1];
C = [-2 3];
D = [0];
sys_d = ss(A,B,C,D, 0.5);
step(sys, sys_d, 10);
grid on
Графики совпадают, следовательно, модель системы в пространстве
состояний получена верно. Система устойчива.
10. Постройте модель системы в пространстве состояний по
передаточной функции
W  z 
3z 2  2 z  1
.
z 3  3z 2  3z  1
Устойчива ли такая система?
6
num
den
sys
A =
= [3 -2 1];
= [1 -3 3 1];
= tf(num,den, 0.5)
[0 1 0
0 0 1
-1 -3 3];
B = [0
0
1];
C = [1 -2 3];
D = [0];
sys_d = ss(A,B,C,D, 0.5);
step(sys, sys_d, 10);
grid on
Графики совпадают, следовательно, модель системы в пространстве
состояний получена верно. Так же видим, что система неустойчива.
7
11. Постройте матрицы модели в пространстве состояний по системе
разностных уравнений первого порядка.
x1  k  1  2 x1  k   x2  k 
x2  k  1  0.5 x2  k   u  k 
y  k   3x1  k   2 x2  k   4u  k .
Устойчива ли такая система?
A = [1 0
0 2];
B = [0
1];
C = [3 -2];
D = [0];
sys_d = ss(A,B,C,D, 0.5);
step(sys_d, 10);
grid on
8
Графики совпадают, следовательно, модель системы в пространстве
состояний получена верно. Система неустойчива.
12. Постройте передаточную функцию по модели дискретной системы в
пространстве состояний:
1 0 
1 
A
,
B


 2  , C  1 2, D  0.
0 2 
 
A = [1 0
0 2];
B = [1
2];
C = [1 2];
D = [0];
sys_d = ss(A,B,C,D, 0.5);
9
num = [5 -6];
den = [1 -3 2];
sys = tf(num,den, 0.5)
step(sys_d, sys, 10);
grid on
Графики совпадают, следовательно,
передаточной функции получена верно.
модель
системы
в
форме
13. Постройте модель в пространстве состояний для системы с
передаточной функцией
4 z 3  10 z 2  10 z  6
.
W  z 
2z3  4z 2  6z  8
10
A = [0 1 0
0 0 1
-4 -3 -2];
B = [0
0
1];
C = [-5 -1 1];
D = [2];
sys_d = ss(A,B,C,D, 0.5);
num = [4 10 10 6];
den = [2 4 6 8];
sys = tf(num,den, 0.5)
step(sys_d, sys, 10);
grid on
Графики совпадают, следовательно, модель системы в пространстве
состояний получена верно.
11
14. На вход системы с известной передаточной функцией действует
единичный ступенчатый сигнал. Вычислите установившееся значение выхода.
W  z 
3z  2
.
z  0.8
num = [3 -2];
den = [1 -0.8];
sys = tf(num,den, 0.1)
step(sys, 10);
grid on
15. На вход системы с известной передаточной функцией действует
ступенчатый сигнал, равный 3. Вычислите установившееся значение выхода.
12
W  z 
3z  1
.
z2
num = [3 -1];
den = [1 2];
sys = tf(num,den, 0.1)
step(sys, 10);
grid on
16. На вход дискретной системы с известным разностным уравнением
действует единичный ступенчатый сигнал. Вычислите установившееся
значение выхода.
4  k   3e  k   2e  k  1  2  k  1 .
13
num = [3 -2 ];
den = [4 -2];
sys = tf(num,den, 0.1)
step(sys, 10);
grid on
17. Выполните дискретизацию регулятора с помощью метода Эйлера
(прямых разностей) при T  0.1 :
14
C s 
1
3s  4
s2
.
, C s 
, C s  2
s 1
5s  1
s  3s  5
%Для 1-ой передаточной функции
clc;
clear;
num = [1];
den = [1 1];
sys = tf(num, den);
num_d = [1];
den_d = [10 -9];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 2-ой передаточной функции
clc;
clear;
num = [3 4];
15
den = [5 3];
sys = tf(num, den);
num_d = [30 -26];
den_d = [50 -47];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 20);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 3-ей передаточной функции
clc;
clear;
num = [1 2];
den = [1 3 5];
sys = tf(num, den);
num_d = [10 -8];
den_d = [100 -170 75];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
16
Графики дискретных передаточных функций почти совпадают с
графиками непрерывных передаточных функций.
18. Выполните дискретизацию регулятора с помощью метода обратных
разностей при T  0.1 :
C s 
1
3s  4
s2
, C s 
, C s  2
.
s 1
5s  1
s  3s  5
%Для 1-ой передаточной функции
clc;
clear;
num = [1];
den = [1 1];
sys = tf(num, den);
num_d = [1];
den_d = [11 -10];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
17
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 2-ой передаточной функции
clc;
clear;
num = [3 4];
den = [5 3];
sys = tf(num, den);
num_d = [34 -30];
den_d = [53 -50];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 20);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 3-ей передаточной функции
clc;
clear;
num = [1 2];
den = [1 3 5];
18
sys = tf(num, den);
num_d = [12 -10];
den_d = [135 -230 100];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
Графики дискретных передаточных функций почти совпадают с
графиками непрерывных передаточных функций. Сравним с предыдущим
использованным методом. Для первой передаточной функции более точным
оказался метод прямых разностей, метод обратных разностей. Для второй оба
метода примерно одинаковы. Для третьей передаточной функции метод
прямых разностей дал заметное различие по уровню перерегулирования по
сравнению с непрерывной передаточной функцией, а метод обратных
разностей дал некоторое отставание.
19. Выполните дискретизацию регулятора с помощью метода Тастина
при T  0.1 :
C s 
1
3s  4
s2
, C s 
, C s  2
.
s 1
5s  1
s  3s  5
19
%Для 1-ой передаточной функции
clc;
clear;
num = [1];
den = [1 1];
sys = tf(num, den);
num_d = [1 1];
den_d = [21 -19];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 2-ой передаточной функции
20
clc;
clear;
num = [3 4];
den = [5 3];
sys = tf(num, den);
num_d = [64 -56];
den_d = [103 -97];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 20);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 3-ей передаточной функции
clc;
clear;
num = [1 2];
den = [1 3 5];
sys = tf(num, den);
num_d = [22 4 -18];
den_d = [465 -790 345];
sys_d = tf(num_d,den_d, 0.1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
21
Графики дискретных передаточных функций совпадают с графиками
непрерывных передаточных функций. Сравним с предыдущими
использованными методами. Метод Тастина более точный, чем методы
прямых и обратных разностей.
20. Выполните дискретизацию регулятора с помощью метода
отображения нулей и полюсов при T  1 :
C s 
1
3s  4
s2
, C s 
, C s  2
.
s 1
5s  1
s  3s  5
22
(после 0.5076 стоит знак «+»). C  z  
0.8796 z  0.2786
.
z  0.5488
23
%Для 1-ой передаточной функции
clc;
24
clear;
num = [1];
den = [1 1];
sys = tf(num, den);
num_d = [0.6323];
den_d = [1 -0.3679];
sys_d = tf(num_d,den_d, 1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
%Для 2-ой передаточной функции
clc;
clear;
num = [3 4];
den = [5 3];
sys = tf(num, den);
num_d = [0.8796 -0.2786];
den_d = [1 -0.5488];
sys_d = tf(num_d,den_d, 1)
step(sys, sys_d, 20);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
25
%Для 3-ей передаточной функции
clc;
clear;
num = [1 2];
den = [1 3 5];
sys = tf(num, den);
num_d = [0.53 0.0459 0];
den_d = [1 0.39 0.0498];
sys_d = tf(num_d,den_d, 1)
step(sys, sys_d, 10);
grid on
legend('непрерывная','дискретная')
Графики дискретных передаточных функций не очень хорошо
совпадают с графиками непрерывных передаточных функций, что связано с
большим выбранным шагом дискретизации.
26
Заключение
В данной работе были выполнены различные задачи, связанные с
дискретными системами, и получены базовые навыки для работы с ними.
Проведены переводы между различными видами математического описания
дискретных систем и сравнение методов перехода от непрерывных
передаточных функций к дискретным.
27