MATEMATIKA 6 Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 6- sinfi uchun darslik Qayta ishlangan va to‘ldirilgan 2- nashri O‘zbekiston Respublikasi Xalq ta’limi vazirligi tasdiqlagan «O‘QITUVCHI» NASHRIYOT-MATBAA IJODIY UYI TOSHKENT – 2017 UO‘K: 51(075) KBK 22.1ya72 M-31 Mualliflar: M. A. MIRZAAHMEDOV, A. A. RAHIMQORIYEV, SH. N. ISMAILOV, M. A. TO‘XTAXODJAYEVA Maxsus muharrir: A.N.Elmurodov – Respublika ta’lim markazi uslubchisi. Taqrizchilar: Sh.H.Saidova – Yunusobod tumanidagi 273-o‘rta maktabning matematika o‘qituvchisi; G.A.Fozilova – Yunusobod tumanidagi 274-o‘rta maktabning matematika o‘qituvchisi. Aziz o‘quvchi! Ona yurtimiz O‘zbekiston jahon ilm-u fani, madaniyatiga yuzlab buyuk olimlar, shoirlar, davlat arboblari, rassomlarni yetishtirib bergan. Bilingki, siz ularning ezgu ishlari davomchisisiz! Kitobimiz sahifalarida diyorimizning buyuk allomalari ijodidan namunalar joy olgan. Ular asrlar osha siz bilan gaplashadilar – siz ular bilan faxrlaning! Yoshlik bilim olish davridir. Allomalar aytganlaridek, «Yoshlikda olingan bilim toshga bitilgan yozuv kabi o‘chmasdir». Matematikani o‘rganish qunt va izchillikni, ko‘plab masala va misollarni tushunib, idrok qilib yechishni talab etadi. Ushbu darslikni yaxshi o‘rganib olsangiz, u sizga umrbod do‘st bo‘lib qoladi! Hulq-u odobingiz barkamol, ilmingiz ziyoda bo‘lishini tilab, Mualliflar DARSLIKDAGI SHARTLI BELGILAR: – qoida, xossa, ta’riflar; ? – faollashtiruvchi savol va topshiriqlar; – sinfda ishlanadigan mashqlar; – rivojlantiruvchi mashqlar; – takrorlash uchun mashqlar; – uy vazifasi uchun mashqlar; – mavzu matnidan masalalarni ajratish. Respublika maqsadli kitob jamg‘armasi mablag‘lari hisobidan chop etildi ISBN 978-9943-22-053-9 © M.A. Mirzaahmedov, A.A. Rahimqoriyev, 2013. © M.A. Mirzaahmedov, A.A. Rahimqoriyev, Sh.N. Ismailov, M.A. To‘xtaxodjayeva , 2017. © «O‘qituvchi» NMIU, 2013, 2017. 2 5- SINFDA OTILGANLARNI TAKRORLASH MATEMATIKA FANLAR SULTONI Aziz oquvchi! Siz 5- sinfda natural sonlar, yuz va hajmlar, oddiy kasrlar, ularni qoshish va ayirish, onli kasrlar va ular ustida tort amalni bajarish, shuningdek, foizlar haqidagi bilimlarni egallagansiz. Olgan bilimlaringizni takrorlash uchun quyidagi mashqlarni yeching. «Kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, xalqimizning ertangi kunining qanday bolishi farzandlarimizning bugun qanday talim va tarbiya olishiga bogliq». I. A. Karimov. («Yuksak manaviyat yengilmas kuch» asaridan.) 1. Natural sonlar 1. Qulay usul bilan hisoblang: 1) (38 ⋅ 54 + 38 ⋅ 42) : 24; 3) 736 ⋅ 983 736 ⋅ 883; 2) 2 416 ⋅ 67 + 33 ⋅ 2 416; 4) (88 ⋅ 89 88 ⋅ 69) : 440 + 60. 2. Oxiri 7 raqami bilan tugaydigan son besh xonali sondan kichik va 9 987 dan katta ekani malum. Shu sonni toping. 3. Togri tortburchakning eni boyidan 8 m qisqa, perimetri esa 64 m. Shu togri tortburchakning yuzini toping. 4. Men bir son oyladim. Agar u son 12 ga bolinsa va bolinmaga 350 qoshilsa, yigindida 410 hosil boladi. Oylagan sonimni toping. 5. Ikkita javonda 180 ta kitob bor. 1- javondan 2- javonga 10 ta kitob olib qoyilgan edi, ikkala javondagi kitoblar soni teng bolib qoldi. Har bir javonda nechtadan kitob bolgan? 6. Men bir son oyladim. Agar undan 42 ni ayirib, ayirmani 12 ga kopaytirsam, kopaytmada 1 080 hosil boladi. Oylagan sonimni toping. 7. Sonlar orasidagi qonuniyatni aniqlab, bosh katakdagi sonni toping (1- rasm). 1 74 45 16 62 46 3 30 26 54 8. Etiborsizlik tufayli suv jomragi Suvni isrof 2 qilmang! yaxshi yopilmagan. Shu sababli undan sekundiga bir tomchi suv tomchilamoqda (2- rasm). Agar 100 tomchi suvning massasi 7 g ga teng bolsa, 1 soatda necha gramm suv isrof bolmoqda? Bir sutkadachi? Bir oyda-chi? 9. Sonli ifodaning qiymatini toping: 1) 1 + 1 ⋅ 1 − 1 : 1 + (1 + 1 − 1) : 1 + 1 − (1 + 1); 2) 1 : 1 + 1 + 1 ⋅ (1 + 1 : 1 − 1) ⋅ 1 + 1 − 1 : (1 + 1 ⋅ 1 − 1). 10. Amallarni bajaring: 1) 614 ⋅ 905 + 2 736 : 76; 2) 812 ⋅ 35 − 2 436 : (3 732 − 48 ⋅ 27). 11. Tenglamani yeching: 81 900 : (1 324 x) = 350. 2. Oddiy kasrlar 12. Kasrlarni taqqoslang: 1) 13. Amallarni 1) ( ) 14. Tenglamani ( va ' ; % 2) ! ! va . " # bajaring: ! − + ; % % % ' & % 2) " yeching: ) 1) % − N + % = % ; 2) ( # $ & + −! ; ! ! ! ) ' & − +N= ; # # # 3) # ' # −! + 3) # ' +N= & ' ! . − . ' 15. a ning qanday natural qiymatlarida: 1) = & kasr togri kasr; = 2) kasr notogri kasr boladi? 16. Maxraji 7 ga teng bolgan barcha togri kasrlarni yozing. 17. Amallarni 1) 22 37 − 7 37 bajaring: + 18. Tenglamani 1) N + # 8 = ; 9 9 15 ; 37 ! ( % ) 2) !# − !# − !# ; ! ( 4 % ) 3) # − # + # . yeching: 2) N − % = ; 4 3) 6 1' 35 −N =1 2 . 35 3. Onli kasrlar 19. Qulay usul bilan hisoblang: 1) 8,435 − (1,111 + 6,324); 20. Tenglamani yeching: 1) 7,05 ⋅ 12,4 − x = 28,5; 2) 29,14 + 15,39 − 28,14. 2) x + 25,4 = 5,04 ⋅ 6,05. 21. Togri tortburchakning bir tomoni 7,85 m, ikkinchi tomoni esa undan 4 marta uzun. Shu togri tortburchakning yuzi va perimetrini toping. 22. Samolyot 1 440 km ni 800 km/soat 3 tezlik bilan, qolgan 510 km ni ? esa 850 km/soat tezlik bilan uchib otdi. Samolyot butun yolni necha soatda uchib otgan (3- rasm)? 23. Taqsimot qonunidan foydalanib hisoblang: 1) 2,71 ⋅ 12,6 + 87,4 ⋅ 2,71; 3) 3,08 ⋅ 17,9 − 3,08 ⋅ 7,9; 2) 20,8 ⋅ 17,9 − 20,8 ⋅ 7,9; 4) 7,5 ⋅ 8,7 + 2,5 ⋅ (9,4 − 2,7). 24. Tenglamani yeching: 1) 15,6 : x = 2,6; 2) 5,12x = 20,48. 4. Foizlar 25. Togri tortburchakning boyi 45 sm, eni esa 60 % ini tashkil etadi. Shu togri tortburchakning va yuzini toping. 26. Bankka 1 000 000 som pul qoyildi. Bank 1 yilda chiga qoyilgan pulning 19 % i muqdorida foyda Omonatchi 1 yilda necha som foyda oladi? boyining perimetri omonattolaydi. 27. Vatanimiz Ozbekistonning maydoni 448,9 ming kv km (4- rasm). Bu maydonning taqriban 80 % ini tekislik tashkil qiladi. Maydonning tekislik qisOzbekiston Respublikasi mi necha ming kvadrat kilomaydoni 448 900 km2 metrdan iborat? 28. Oquvchi birinchi kun kitobning 32 % ini, ikkinchi kun kitobning 30 % ini, uchinchi kun qolgan 76 betini oqidi. Oquvchi 1- va 2- kun necha betdan oqigan? 5 Toshkent 4 6- SINF MATERIALLARI I bob. Natural sonlarning bolinishi 12 Sonning boluvchilari va karralisi Bolajonlar, oylab koring-chi! 15 ta guldan necha xil guldasta yasash mumkin? Odatda, guldastalarda nechtadan gul boladi? Bizning fikrimizcha, bu muammoni siz hal qila olasiz. Bu muammoni hal qilishda matematikadan olgan bilimlaringiz sizga yordam beradi. Natural sonlarni ikkita sonning kopaytmasi shaklida yoza olamiz. Masalan, 15 sonini ikkita sonning kopaytmasi shaklida quyidagicha yozish mumkin: 15 = 1 ⋅ 15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 = 15 ⋅ 1. Demak, 15 ta guldan yasash mumkin bolgan guldastalar sonini kopaytuvchilar aniqlab beradi: 1 ta gulli guldastalar soni 15 ta, 3 ta gulli guldastalar soni 5 ta, 5 ta gulli guldastalar soni 3 ta va 15 ta gulli guldastalar soni esa 1 ta boladi (5- rasm). Agar m son natural son n ga qoldiqsiz bolinsa, m son n ning karralisi (bolinuvchisi), n son esa m ning boluvchisi deyiladi. Bunday holda, m son n ga bolinadi deyiladi. 5 6 Malumki, 8 ni 1, 2, 4 va 8 sonlaridan biriga bolsak, qoldiqda 0 chiqadi. Masalan, 8 : 1 = 8; 8 : 2 = 4; 8 : 4 = 2; 8 : 8 = 1. 1, 2, 4 va 8 sonlarini 8 ning boluvchilari, 8 sonini esa 1, 2, 4 va 8 sonlarining karralisi deb ataymiz. U holda 8 soni 1, 2, 4 va 8 ga bolinadi deyiladi. Shu bilan birga 3 soni 8 ning boluvchisi bolmaydi, chunki 8 sonini 3 ga bolganda qoldiqda 2 qoladi. Bu holda 8 soni 3 ga bolinmaydi, deymiz. M a s a l a . 36 sonining barcha boluvchilarini yozing. Y e c h i s h . 1, 2, 3, 4 va h. k. sonlarni ketma-ket tekshiramiz. Bunda agar ularning biror songa kopaytmasi 36 sonini bersa, buni quyidagicha yozamiz: 36 = 1 ⋅ 36 = 2 ⋅ 18 = 3 ⋅ 12 = 4 ⋅ 9 = 6 ⋅ 6 = 9 ⋅ 4 = 12 ⋅ 3 = 18 ⋅ 2 = 36 ⋅ 1. Demak, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 sonlari 36 ning barcha boluvchilaridir. Kopaytirish natijasi kopaytuvchilar tartibiga bogliq bolmagani uchun tekshirishni 6 ⋅ 6 kopaytmada toxtatish mumkin. Agar son boluvchilar kopaytmasi shaklida yozilsa, bu son boluvchilarga yoyilgan deyiladi. Masalan, 10 sonini ikkita boluvchiga quyidagicha yoyish mumkin: 1 ⋅ 10, 10 ⋅ 1, 2 ⋅ 5, 5 ⋅ 2. Kopaytmalar kopaytuvchilar tartibiga bogliq emasligini inobatga olsak, 1 ⋅ 10 va 10 ⋅ 1 hamda 2 ⋅ 5 va 5 ⋅ 2 yoyilmalarni bir xil deb hisoblaymiz. Demak, 10 soni ikkita boluvchiga ikki usulda yoyiladi: 1 ⋅ 10 yoki 2 ⋅ 5. 12 soni 1, 2, 3, 4, 6 va 12 boluvchilariga ega bolib, quyidagi uchta usulda ikkita boluvchiga yoyiladi: 1 ⋅ 12, 2 ⋅ 6 va 3 ⋅ 4. Natural son 2 ga bolinsa, u juft son deyiladi. Natural son 2 ga bolinmasa, u toq son deyiladi. 2, 4, 6, 8, 10, ... juft sonlar qatori. 1, 3, 5, 7, 9, ... toq sonlar qatori. 0 soni ham juft sonlar qatoriga kiritilgan. 29. 1) Natural sonning karralisi nima? Qanday son berilgan natural sonning boluvchisi deyiladi? ? 2) Juft son deb nimaga aytiladi? Toq son deb-chi? Ular qanday raqamlar bilan tugashi mumkin? 7 30. Sonlarning barcha boluvchilarini yozing: 1) 30; 2) 19; 3) 54; 4) 59; 5) 62; 6) 89; 7) 95. 31. Mulohazalar togrimi: 1) 91 soni 7 ga karrali; 2) 12 soni 1 248 sonining boluvchisi? 32. Quyidagi sonlarning barcha umumiy boluvchilarini toping: 1) 36 va 24; 2) 15 va 48; 3) 18 va 42; 4) 76 va 57. 33. Qosh tengsizlik yechimlari ichidan juft va toq sonlarni ajratib yozing: 1) 23 < x < 34; 2) 34 < x ≤ 43; 3) 157 ≤ z ≤ 166. 34. Berilgan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20 sonlari orasidan 9, 10, 12, 15, 18, 20 sonlarining boluvchilarini ajratib yozing. 35. Koordinata nurida a son belgilangan. A, F, B, N, C va D nuqtalarning koordinatalarini toping. Bu nuqtalarga mos sonlar a songa karrali boladimi (6- rasm)? 6 O E A 0 1 a F B N D x C 36. Sonlarni ikkita boluvchining kopaytmasi shaklida yozing: 1) 38 = 2 ⋅ ...; 3) 48 = 12 ⋅ ...; 5) 90 = 5 ⋅ ...; 2) 88 = 8 ⋅ ...; 4) 54 = 3 ⋅ ...; 6) 72 = 12 ⋅ ... . 37. Ushbu 144, 153, 145, 150, 161, 139, 141, 165, 157 sonlari orasidan 3 ga karralilarini toping va ularni kamayib borish tartibida yozing. 38. Sonlar orasidan ozaro karralilarini toping: 9; 22; 15; 30; 70; 81; 17; 24; 28; 42; 60; 108. 39. Sonlarning joylanishidagi qonuniyatni aniqlab (7- rasm), tushirib qoldirilgan sonlarni toping (8 9- rasmlar). 7 1 3 2 18 9 8 6 1 18 3 5 45 9 8 9 1 3 2 12 12 40. «Juft» va «toq» sozlaridan foydalanib, togri mulohazalar hosil qiling: 1) ikkita juft sonning yigindisi doimo ... boladi; 2) ikkita toq sonning yigindisi doimo ... boladi; 3) uchta juft sonning yigindisi doimo ... boladi; 4) uchta toq sonning yigindisi doimo ... boladi. 41. Uch xonali 32∗ sonida yulduzcha (∗) orniga qanday raqamni qoysak, togri mulohaza hosil boladi? Barcha javoblarni toping. 1) 32∗ soni 2 ga bolinadi; 3) 32∗ soni 3 ga bolinadi; 2) 32∗ soni 5 ga bolinadi; 4) 32∗ soni 9 ga bolinadi. 42. 42 dan katta, 97 dan kichik sonlar orasidan 6 ga karrali sonlarni yozing. 43. 2 ga ham, 5 ga ham, 10 ga ham karrali sonlar qanday ? raqam bilan tugaydi? 44. Qaysi son istalgan natural sonning boluvchisi boladi? 45. Qosh tengsizlikning yechimlari orasidan juft va toq sonlarni ajratib yozing: 1) 11 < x < 25; 2) 66 < x ≤ 96; 3) 45 ≤ z ≤ 79. 46. 1) 21 ning barcha boluvchilarini yozing; 2) 75 ning barcha boluvchilarini yozing. 47. Faqat bitta boluvchisi bolgan natural sonlarni ayting. Bunday sonlar nechta? 48. «Juft» va «toq» sozlaridan foydalanib, togri mulohazalar hosil qiling: 1) ikkita toq sonning kopaytmasi doimo ... boladi; 2) toq va juft sonlarning kopaytmasi doimo ... boladi. 49. 26 dan katta ketma-ket kelgan uchta: 1) juft sonni; 2) toq sonni yozing. 50. Sonlardan birinchisi ikkinchisiga karrali boladimi: 1) 144 va 36; 2) 4 545 va 9; 3) 3 678 va 24? 51. Sonlardan birinchisi ikkinchisining boluvchisi boladimi: 1) 5 va 10; 2) 19 va 24; 3) 8 va 48; 4) 21 va 63? 52. 13, 2, 48, 3, 1, 15, 4, 17, 60, 6, 12 sonlari orasidan: 1) bir xonali juft sonlarni; 2) ikki xonali toq sonlarni; 3) 48 va 60 sonlarining boluvchilarini tanlab oling. 9 Sonlarning 10 ga, 5 ga va 2 ga bolinish belgilari 35 m m m m Tasdiqlardan qaysilari togri, qaysilari notogri: agar son 10 ga bolinsa, u son 5 ga ham bolinadi; agar son 5 ga bolinsa, u son 10 ga ham bolinadi; agar son 2 ga bolinsa, u son 10 ga ham bolinadi; agar son 5 ga bolinsa, u son 2 ga ham bolinadi? Xulosa chiqara olasizmi? Misollar keltiring. 1. Yigindi, ayirma va kopaytmaning bolinishi. 1.1. Yigindining bolinishi (1- xossa). Agar ikki yoki undan ortiq natural sonning har biri biror songa bolinsa, u holda bu sonlarning yigindisi ham osha songa bolinadi. Agar natural sonlardan biri biror songa bolinsa, ikkinchisi bolinmasa, u holda bu sonlarning yigindisi ham osha songa bolinmaydi. 1- m i s o l . 36 + 81 yigindi 9 ga bolinadi, chunki har bir qoshiluvchi 9 ga bolinadi; 12 + 17 yigindi 6 ga bolinmaydi, chunki 12 soni 6 ga bolinadi, 17 esa 6 ga bolinmaydi; 13 + 23 yigindi 6 ga bolinadi, ammo 13 va 23 sonlari 6 ga bolinmaydi. 1.2. Ayirmaning bolinishi (2- xossa). 2- m i s o l . 63 49 ayirma 7 ga bolinadi, chunki kamayuvchi va ayriluvchi 7 ga bolinadi; 56 48 ayirma 6 ga bolinmaydi, chunki kamayuvchi 56 soni 6 ga bolinmaydi, ayriluvchi 48 esa 6 ga bolinadi. 1- xossaga oxshash xulosa chiqarish ozingizga havola qilinadi. 1.3. Kopaytmaning bolinishi (3- xossa). Agar kopaytuvchilardan biri biror songa bolinsa, u holda bu sonlarning kopaytmasi ham shu songa bolinadi. 10 ga karrali natural sonlar 10 J 3- m i s o l . 15 · 17 kopaytma 5 ga bolinadi, chunki 15 : 5 = 3. Demak, (15 · 17) : 5 = 15 : 5 · 17 = 3 · 17 = 51. 2. 10 ga, 5 ga va 2 ga bolinish belgilari. 2.1. 10 ga bolinish belgisi. 10, 20, 30, ... Agar natural sonning yozuvi 0 raqami bilan tugasa, u son 10 ga bolinadi. Agar natural sonning yozuvi 0 dan farqli (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) raqam bilan tugasa, u son 10 ga bolinmaydi. 4- m i s o l . 1 230 soni 10 ga bolinadi, 31 esa 10 ga bolinmaydi. 2.2. 5 ga bolinish belgisi. J 5 ga karrali natural sonlar 5, 10, 15, 20, ... Agar natural sonning yozuvi 5 yoki 0 raqami bilan tugasa, u son 5 ga bolinadi. Agar natural sonning yozuvi 5 yoki 0 dan farqli raqam bilan tugasa, u son 5 ga bolinmaydi. 2 ga karrali natural sonlar J 10 ga bolinadigan barcha sonlar 5 ga ham bolinadi. 5- m i s o l . 105, 110 sonlari 5 ga bolinadi; 21, 23, 48, 26, 2 017 sonlari esa 5 ga bolinmaydi. 2.3. 2 ga bolinish belgisi. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... Bundan korinadiki, 2 ga karrali sonlar 0, 2, 4, 6, 8 raqamlaridan biri bilan tugaydi. Bu raqamlar juft raqamlar deyiladi. Qolgan 1, 3, 5, 7, 9 raqamlar toq raqamlar deyiladi. Agar natural sonning yozuvi juft raqam bilan tugasa, u son 2 ga bolinadi. Agar natural sonning yozuvi toq raqam bilan tugasa, u son 2 ga bolinmaydi. 2 ga bolinadigan natural sonlar juft sonlar, qolgan natural sonlar esa toq sonlar deyiladi. 6- m i s o l . 50, 102, 164, 566, 2 008, ... juft sonlar, chunki 2 ga bolinadi; 1, 3, 15, 27, 39, 2 017, ... toq sonlar, chunki 2 ga bolinmaydi. 10 ga bolinadigan barcha natural sonlar 2 ga ham, 5 ga ham bolinadi. 7- m i s o l . 1) 50 346 soni 2 ga bolinadimi? 50 343 soni-chi? 2) 17 325 soni 5 ga bolinadimi? 17 324 soni-chi? 3) 7 380 soni 10 ga bolinadimi? 7 384 soni-chi? Y e c h i s h . 1) 50 346 sonining oxirgi 6 raqami juft bolgani uchun bu son 2 ga bolinadi. Qolgan misollar ham shunga oxshash muhokama qilinadi. 11 Ko‘rinib turibdiki, sonlarning bo‘linish belgilari ma’lum hollarda sonlarni bevosita «ustun usuli»da bo‘lishga murojaat qilmasdan, biri ikkinchisiga bo‘linish-bo‘linmasligini tez aniqlash imkonini beradi. Masalan, 660 sonining 2 ga, 5 ga va 10 ga bo‘linish-bo‘linmasligini tekshiring. Y e c h i s h . 660 ning oxirgi raqami 0. Demak, bu son 2 ga, 5 ga va 10 ga bo‘linadi. 53. 1) Yig‘indi, ayirma va ko‘paytmaning bo‘linishini misollarda ? tushuntiring. 2) Qanday sonlar 10 ga; 5 ga; 2 ga bo‘linadi? 3) Qaysi raqamlar juft raqamlar, qaysilari toq raqamlar deyiladi? 54. Ushbu 12 + 36 + 18 yig‘indi 6 ga bo‘linadimi? 4 ga-chi? 11 ga-chi? 55. 64 – 56 ayirma 4 ga bo‘linadimi? 8 ga-chi? 7 ga-chi? 56. Ikki xonali juft son nechta? Ikki xonali toq son-chi? Ular orasidan eng kichigini ko‘rsatish mumkinmi? Eng kattasinichi? 57. 58, 125, 180, 462, 1 020 va 2 725 sonlaridan qaysilari: 1) 2 ga; 5 ga; 10 ga bo‘linadi; 2) 2 ga bo‘linadi, ammo 5 ga bo‘linmaydi; 3) 5 ga bo‘linadi, ammo 2 ga bo‘linmaydi? 58. 2, 5 va 7 raqamlari yordamida (ularni takrorlamasdan): 1) 2 ga; 2) 5 ga karrali barcha uch xonali sonlarni yozing. 59. Qo‘sh tengsizlik yechimlari orasidan 2 ga, 5 ga va 10 ga karralilarini yozing: 1) 34 < x < 53; 2) 75 < x < 95; 3) 115 < x < 132. 60. 100 ga (4 ga) karrali sonlar qatorini yozing. 100 ga (4 ga) karrali natural sonlarning oxirgi ikki raqamiga e’tibor bering. 100 ga (4 ga) bo‘linish belgisini ifodalang. 61. Agar har bir qo‘shiluvchi biror natural songa bo‘linmasa, u holda ularning yig‘indisi shu songa bo‘linishi mumkinmi? Agar mumkin bo‘lsa, misollar keltirib xulosa chiqaring. 62. Ushbu 1 653 − 78∗ ayirma: 1) 2 ga; 2) 5 ga; 3) 10 ga bo‘linishi uchun yulduzcha (∗) o‘rniga qanday raqamlarni qo‘yish mumkin? 12 63. 220, 555, 27, 63, 144, 1 236, 379, 458, 810, 151, 75, 7 894, 71, 12 547 sonlarining qaysilari 2 ga bolinadi? 64. 0, 1, 2, 3 raqamlari ishtirok etgan eng katta va eng kichik juft sonlarni yozing. 65. 25 ga karrali sonlar qatorini yozing. 25 ga karrali natural sonlarning oxirgi ikki raqamiga etibor bering. 25 ga bolinish belgisini ifodalang. 66. 2 ga ham, 5 ga ham bolinadigan eng katta va eng kichik tort xonali sonlarni yozing. 67. 5 ga bolinadigan juft son qanday raqam bilan tugaydi? Bunday son qaysi songa albatta karrali boladi? 68. 515, 160, 461, 505, 723, 1 012, 420, 5 435, 28, 33, 6 130, 866, 262, 990, 102 sonlarining qaysilari 5 ga bolinadi? 69. Ushbu 54∗ + 271 yigindi: 1) 2 ga; 2) 5 ga bolinishi uchun yulduzcha (∗) orniga qanday raqamlarni qoyish mumkin? 70. 2 110, 5 000, 45 980, 1 026, 2 017, 3 000, 32 110 va 2 018 sonlaridan qaysilari 10 ga bolinadi? 67 Sonlarning 9 ga va 3 ga bolinish belgilari Quyidagi mulohazalar orinlimi: m toq sonlar: 3 ga karrali, 9 ga karrali; m oxirgi raqami 3 bolgan sonlar 3 ga bolinadi; m oxirgi raqami 9 bolgan sonlar 9 ga bolinadi? Misollarda tushuntiring. 1. 9 ga bolinish belgisi. Agar natural sonning raqamlari yigindisi 9 ga bolinsa, u son 9 ga bolinadi. Agar berilgan natural sonning raqamlari yigindisi 9 ga bolinmasa, u sonning ozi ham 9 ga bolinmaydi. 1- m i s o l . 8 964 soni 9 ga bolinadimi? Y e c h i s h . 8 964 sonining raqamlari yigindisini hisoblaymiz: 8 + 9 + 6 + 4 = 27; 27 soni 9 ga bolinadi, yani 27 : 9 = 3. Demak, 8 964 soni ham 9 ga bolinadi: 8 964 : 9 = 996. 2- m i s o l . 2 643 soni 9 ga bolinadimi? Y e c h i s h . 2 643 sonining raqamlari yigindisini hisoblaymiz: 2 + 6 + 4 + 3 = 15 bolib, bu son 9 ga bolinmaydi. Shu sababli 2 643 soni ham 9 ga bolinmaydi. 13 2. 3 ga bolinish belgisi. 3 ga bolinish belgisi 9 ga bolinish belgisiga oxshashdir. Agar natural sonning raqamlari yigindisi 3 ga bolinsa, u son 3 ga bolinadi. Agar natural sonning raqamlari yigindisi 3 ga bolinmasa, u sonning ozi ham 3 ga bolinmaydi. 3- m i s o l . 52 461 sonining raqamlari yigindisi 5 + 2 + 4 + + 6 + 1 = 18 bolib, bu son 3 ga bolinadi. Shu sababli 52 461 soni ham 3 ga bolinadi: 52 461 : 3 = 17 487. 4- m i s o l . 4 327 sonining raqamlari yigindisi 16 ga teng bolib, bu son 3 ga bolinmaydi. Shu sababli 4 327 soni ham 3 ga bolinmaydi. «Raqamlar bilan ifodalangan bir xonali sonlar yigindisi» sozlari orniga jumlani soddalashtirish maqsadida «raqamlar yigindisi» iborasi qollaniladi. Vaholanki, raqam sonni bildiruvchi yozma belgi bolib, ular ustida amallar bajarilmaydi. Amallar esa sonlar ustida bajariladi. 71. 1) 9 ga, 3 ga bolinish belgisini ayting va misollarda tushun? tiring. 2) 3 ga bolinadigan son 9 ga ham bolinadimi? 9 ga bolinadigan son 3 ga ham bolinadimi? 72. 363, 454, 2 340, 5 463, 7 705, 3 777, 4 523 sonlari 9 ga bolinadimi? 3 ga-chi? Qaysilari 3 ga bolinmaydi? Nima uchun? 73. 2 017 soni kamida necha marta ketma-ket yozilsa, hosil bolgan son 3 ga bolinadi? 74. 1) 2 ga ham, 3 ga ham; 2) 5 ga ham, 9 ga ham bolinadigan sonlar yana qanday songa bolinadi? Misollarda sinab koring. 75. 1) 660; 2) 993; 3) 758; 4) 2 880; 5) 1 089 sonlarini 3 va 9 sonlariga bolinish-bolinmasligini tekshiring. 76. Yulduzchalar (∗) orniga shunday raqamlarni qoyingki, natijada 4∗3∗1 soni: 1) 9 ga; 2) 3 ga qoldiqsiz bolinsin. Mumkin bolgan barcha yechimlarni toping. 77. Ushbu 1) ∗23 + 1∗7; 2) 2∗0 + 35∗ yigindi: a) 3 ga; b) 9 ga bolinishi uchun yulduzchalar (∗) orniga qanday raqam qoyish kerak? 14 78. Quyidagi mulohazalar togrimi: 1) 9 ga bolinadigan sonlar albatta 3 ga ham bolinadi; 2) 3 ga bolinadigan ayrim sonlar 9 ga ham bolinadi; 3) 3 ga bolinadigan sonlarning hech biri 18 ga bolinmaydi? 79. Faqat 1 raqamidan foydalanib: 1) 3 ga; 2) 9 ga bolinadigan eng kichik sonni yozing. 80. 618, 70, 710, 1 446, 403, 868, 530, 124, 89, 961, 455, 2 016, 3 726, 15 470 sonlari 6 ga bolinadimi? K o r s a t m a . 618 soni 6 ga bolinadi, chunki u 2 ga ham, 3 ga ham bolinadi. 70 soni 6 ga bolinmaydi, chunki u 2 ga bolinadi, ammo 3 ga bolinmaydi. Bundan xulosa shuki: agar berilgan natural son 2 ga ham, 3 ga ham bolinsa, bu son 6 ga ham bolinadi. 81. Son 6 raqami bilan tugasa, uning 6 ga bolinishi togrimi? Son 6 ga bolinsa, u son 6 raqami bilan tugashi togrimi? 82. Qosh tengsizlik yechimlari ichidan qaysilari 9 ga karrali boladi: 1) 453 < x < 500; 2) 35 ≤ y < 70; 3) 44 < z ≤ 72? 83. Faqat: 1) 5 raqamidan tuzilib 3 ga bolinadigan; 2) 6 raqamidan tuzilib 9 ga bolinadigan 3 tadan son yozing. 84. 4 ga bolganda qoldiqda 4 ga teng son chiqishi mumkinmi? Qoldiqda 5 chiqishi mumkinmi? Javobni asoslang. 85. Bolinish belgilaridan foydalanib, quyidagi sonlardan qaysilari 2 ga, 3 ga, 5 ga va 9 ga bolinishini aniqlang: 1) 7 236; 2) 82 740; 3) 74 961; 4) 47 199. 86. 600, 81, 3 330, 405, 9 034, 9 339, 75 870, 2 763, 480, 1 536, 12 521, 7 587 sonlari: 1) 9 ga; 2) 3 ga bolinadimi? 87. 202 + 2∗2 yigindi: 3 ga; 9 ga bolinishi uchun yulduzcha (∗) orniga qanday raqam qoyish kerak? 88. Qosh tengsizlik yechimlari ichidan qaysilari 9 ga karrali boladi: 1) 120 < x < 170; 2) 81 < y ≤ 99; 3) 63 ≤ z ≤ 117? 89. Tort xonali 6∗5∗ soni: 3 ga; 9 ga bolinishi uchun yulduzchalar (∗) orniga qanday raqamlar qoyish kerak? Barcha hollarni korib chiqing. 90. Quyidagi 0, 4, 6 va 8 raqamlaridan ularni takrorlamasdan 9 ga bolinadigan barcha 4 xonali sonlarni tuzing. 15 10 Tub va murakkab sonlar 1 dan boshqa har bir natural sonning kamida ikkita boluvchisi boladi. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sonlarining har biri 2 ta boluvchiga ega: 1 va shu sonning ozi (tekshirib koring! ). Xuddi shuningdek, 4, 6, 12, 25, 28 sonlaridan har birining ikkitadan kop boluvchisi bor (tekshirib koring! ). Agar natural son faqat ikkita boluvchiga (sonning ozi va 1) ega bolsa, u tub son deyiladi. Shu tarifga asosan, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sonlari tub boladi. Tub sonlar tarifiga asosan, 1 soni tub boladimi? Agar natural son ikkitadan ortiq boluvchiga ega bolsa, bunday son murakkab son deyiladi. Shu tarifga asosan, 4, 6, 12, 25, 28 sonlari murakkab boladi. Shu tarifga asosan, 1 soni murakkab boladimi? Yuqoridagi mulohazalardan quyidagi xulosaga kelamiz: 1 tub son ham emas, murakkab son ham emas. Tub sonlar jadvalini tuzish usullaridan eng soddasi va shu bilan birga eng qadimiysini yunon matematigi Eratosfen taklif qilgan. Bu usul sondan katta bolmagan barcha tub sonlarni topish usulidir. Bu usul boyicha biror natural songacha bolgan barcha natural sonlar ketma-ketligini yozib chiqamiz va ular orasidan murakkab sonlarni ochiramiz, natijada ochirilmay qolgan sonlar tub sonlar boladi. Bunday usul bilan tuzilgan tub sonlar jadvali «Eratosfen galviri» nomi bilan malumdir. Eratosfen natural sonlarni mum bilan qoplangan taxtachaga yozib, murakkab sonlarni igna bilan teshgan, natijada teshiklar hosil bolgan. Taxtacha xuddi galvirni eslatadi, undan murakkab sonlar elanib tushib ketib, tub sonlargina qolgan. Eratosfen tub sonlar jadvalini faqat 1000 gacha natural sonlar uchun keltirgan. 16 Masalan, bu usulni 25 dan katta bolmagan tub sonlarni topishda qollaymiz: 1. 2 dan 25 gacha natural sonlarni quyidagicha yozamiz: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2. 2 dan boshqa uning barcha karralilarini ochiramiz: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3. 3 dan boshqa uning barcha karralilarini ochiramiz: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4. 5 dan boshqa uning barcha karralilarini ochiramiz: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 5. 7, 11, 13, 17, 19 va 23 sonlaridan boshqa ularga karrali sonlar mavjud emas. Demak, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 va 23 sonlari 25 dan katta bolmagan tub sonlardir. Birinchi eng kichik tub son 2 ga teng. 2 juft tub son. Qolgan barcha tub sonlar toq sonlardir. Tub sonlar cheksiz kop. 91. 1) Qanday natural sonlar tub sonlar deyiladi? ? 2) Qanday sonlar murakkab sonlar deyiladi? 3) Qaysi natural son tub son ham emas, murakkab son ham emas? 92. 17, 22, 31, 35, 41, 47, 222, 241, 308 va 312 sonlaridan qaysilari tub, qaysilari murakkab? 93. 2 ga, 3 ga va 5 ga bolinish belgilaridan foydalanib: 1) 708; 2) 873; 3) 3 302; 4) 8 415; 5) 111 111 sonlarining murakkab sonlar ekanligini korsating. 94. Qosh tengsizlikning tub yechimlarini toping: 1) 45 < x < 90; 2 Matematika, 6 2) 23 < y ≤ 73; 17 3) 47 ≤ y < 62. 95. Amaliy topshiriq. 100 dan katta bolmagan tub sonlarni toping. Y e c h i s h . Buning uchun quyidagi jadvalni daftaringizga kochirib, barcha tub bolmagan sonlarni ochiramiz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1. 1 sonini ochiring. 2. 2 ni aylanaga oling va 2 ga karrali qolgan sonlarni ochiring. 3. 3 ni aylanaga oling va 3 ga karrali qolgan sonlarni ochiring. 4. 5 ni aylanaga oling va 5 ga karrali qolgan sonlarni ochiring. 5. 7 ni aylanaga oling va 7 ga karrali qolgan sonlarni ochiring. 6. Shu jarayonni barcha sonlar ochirilguncha yoki aylanaga olinguncha davom ettiring. 96. Eng katta: 1) ikki xonali; 2) uch xonali tub sonni toping. 97. a ning qanday natural qiymatlarida 29 ⋅ a kopaytma: 1) tub son boladi; 2) murakkab son boladi? 98. Uchta ketma-ket kelgan natural sonlar yigindisi tub son boladimi? 99. 19, 28, 31, 45, 53, 59, 81, 89, 104 va 156 sonlaridan qaysilari tub, qaysilari murakkab? 100. Qosh tengsizlikning tub yechimlarini toping: 1) 10 < x < 18; 2) 27 < y < 37; 3) 23 ≤ y < 34. 18 1112 Natural sonlarni tub kopaytuvchilarga ajratish Natural sonlarni tub kopaytuvchilarga ajratish uni tub sonlarning kopaytmasi shaklida tasvirlash demakdir. 12 sonining boluvchilari: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu boluvchilar orasida 2 va 3 tub sonlar. Ular 12 sonining tub boluvchilari deyiladi. Agar murakkab son ozining faqat tub sondan iborat kopaytuvchilari kopaytmasi shaklida ifodalangan bolsa, bu murakkab son tub kopaytuvchilarga ajratilgan (yoyilgan) deyiladi. Natural sonlarni tub kopaytuvchilarga ajratishda quyidagi usuldan foydalanish mumkin. M i s o l . 315 sonini tub kopaytuvchilarga ajrating. Tushuntirish: 315 sonini yozamiz va ong tomoniga vertikal 315 3 chiziq chizamiz. Shu sonning eng kichik tub bo105 3 luvchisi 3 ni vertikal chiziqning ong tomoniga yoza35 5 miz. 315 : 3 = 105 bolinmani 315 ning tagiga yoza7 7 miz. 105 soni uchun ham yuqoridagidek yondasha1 miz: 105 : 3 = 35. Songra 35 : 5 = 7, 7 : 7 = 1 ni hosil qilamiz. Navbatdagi har bir tub boluvchini avvalgi boluvchi tagiga va har bir bolinmani esa avvalgi bolinma tagiga yozamiz. Chap ustundagi bolinmada 1 hosil bolgandagina, sonni tub kopaytuvchilarga ajratish tugaydi. Vertikal chiziqchaning ong tomonidagi ustunda yozilgan sonlar 315 ning tub kopaytuvchilarini tashkil qiladi va ularning kopaytmasi 315 ga teng, yani: 315 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7. Agar yoyilmadagi kopaytuvchilar orasida teng sonlar bolsa, daraja tushunchasidan foydalanib, yozuvni soddalashtirish mumkin. Masalan, yuqorida keltirilgan yoyilma quyidagicha yoziladi: 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7. 315 ning barcha boluvchilari 12 ta: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315. 19 101. 1) Tub kopaytuvchilarga ajratish deganda nimani tushunasiz? ? 2) Har qanday natural sonni tub kopaytuvchilarga ajratish mumkinmi? Javobingizni izohlang. 3) Tub sonlarni tub kopaytuvchilarga ajratib boladimi? 102. (Ogzaki.) Sonlarni tub kopaytuvchilarga ajrating: 8, 12, 18, 25, 27, 45, 51, 62. 103. 63, 71, 85, 101, 127, 160, 181, 204 sonlarining qaysilari tub, qaysilari murakkab? Murakkab sonlarni tub kopaytuvchilarga ajrating. 104. Yulduzcha (*) orniga qanday tub son qoyish mumkin: 1) 225 = 3 ⋅ 3 ⋅ * ⋅ 5; 3) 308 = 2 ⋅ * ⋅ 7 ⋅ 11; 2) 210 = * ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7; 4) 330 = * ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11? 105. Agar: 1) a = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7; b = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5; 2) a = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7; b = 490 bolsa, a ni b ga bolgandagi bolinmani toping. 106. Sonning raqamlari yigindisi: 1) 3 ga; 2) 9 ga karrali bolsa, uning yoyilmasida qaysi tub son albatta boladi? 107. 1) 252 ning barcha tub boluvchilari kopaytmasini toping. 2) 374 ning barcha tub boluvchilari yigindisini toping. 108. Faqat: 1) 2 ta; 2) 3 ta tub boluvchiga ega bolgan natural sonni yozing. 109. 1) 23 ⋅ 1; 2) 16 ⋅ 1; 3) 4 ⋅ 7; 4) 11 ⋅ 13; 5) 59 ⋅ 1; 6) 1 ⋅ 216 kopaytmalar tub sonmi yoki murakkab sonmi? 110. Tomonlari natural son, perimetri esa tub son bolgan uchburchaklar bormi? Misollar keltiring. 111. Tub kopaytuvchilarga ajrating: 2 240, 2 178, 7 272, 8 049. Tub kopaytuvchilarga ajratish togri bajarilganmi: 1) 72 = 8 ⋅ 9 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 23 ⋅ 32; 2) 112 = 4 ⋅ 28 = 4 ⋅ 4 ⋅ 7 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 24 ⋅ 7; 3) 48 = 42 ⋅ 3; 4) 84 = 3 ⋅ 4 ⋅ 7; 5) 216 = 63; 6) 200 = 8 ⋅ 25? 20 112. n ning qanday natural qiymatlarida: 1) 50 + n; 2) 17 + n; 3) 35 + n; 4) 10 + n sonlar eng kam sondagi tub kopaytuvchilarga ajraladi? 113. Togri burchakli parallelepipedning hajmi 1 001 sm3 bolib, qirralari tub sonlarda ifodalanadi. Shu parallelepipedning: 1) barcha qirralari uzunliklarini; 2) sirti yizini toping. 114. 57, 61, 78, 83, 98, 107, 140, 149 sonlarining qaysilari tub, qaysilari murakkab? Murakkab sonlarni tub kopaytuvchilarga ajrating. 115. Tub kopaytuvchilarga ajrating: 1) 512; 2) 686; 3) 666; 4) 5 175. 116. Uchburchakning perimetri 59 sm. Uning tomonlari tub sonlarda ifodalanadi. Uchburchakning tomonlari uzunliklari qanday bolishi mumkin? 117. 200 ning barcha tub boluvchilari kopaytmasini toping. 118. 96 ning barcha tub boluvchilari yigindisini toping. 119. 2 484, 7 375, 4 080 sonlarining tub kopaytuvchilarga yoyilmasida 2, 3, 5 sonlaridan qaysilari mavjud? 120. 42, 56, 25, 9, 6, 4, 121, 54, 169 sonlaridan qaysilarini ikkita tub sonning kopaytmasi korinishida yozish mumkin? Eng katta umumiy boluvchi. Ozaro tub sonlar 1314 «Yosh kitobsevarlar» tanlovi goliblariga 7 ta lugat kitob, 14 ta badiiy kitob va 21 ta sheriy kitob bir xilda taqsimlandi. Nechta oquvchi sovga olgan? Har bir golibga nechtadan lugat, badiiy va sheriy kitoblar berilgan? 24 va 90 sonlarining barcha boluvchilarini yozib chiqaylik: 24 1 2 3 4 6 8 12 24 90 1 2 3 5 6 9 10 15 18 30 45 90 24 va 90 sonlarining umumiy boluvchilari (ular kok rangda belgilangan) quyidagilar: 1, 2, 3, 6. Bu umumiy boluvchilar ichida eng kattasi: 6. 21 6 soni 24 va 90 sonlarining eng katta umumiy boluvchisi deyiladi. Ikkita natural sonning eng katta umumiy boluvchisi (EKUB) deb, shu sonlarning har biri bolinadigan eng katta songa aytiladi. Ikkita natural sonning eng katta umumiy boluvchisi shu sonlarning umumiy tub boluvchilari kopaytmasiga teng. 2 2 3 3 84 42 21 7 1 36 = 22 ⋅ 32 2 2 3 7 J 36 18 9 3 1 J Demak, EKUB (24, 90) = 2 ⋅ 3 = 6. 1 - m i s o l . EKUB (36, 84) ni toping. Y e c h i s h . 1- u s u l (tub kopaytuvchilarga ajratish usuli). 84 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 EKUB (36, 84) = 22 ⋅ 3 = 12. J a v o b : 12. m va n natural sonlarning eng katta umumiy boluvchisi quyidagicha belgilanadi: EKUB (m, n). Yuqoridagi misoldan shunday xulosaga kelish mumkin. EKUB (m, n) ni topish uchun: 1. m va n sonlar tub kopaytuvchilarga ajratiladi. 2. m va n sonlardagi umumiy tub kopaytuvchilarning eng kichik darajalari olinib, ulardan kopaytma tuziladi. 3. Tuzilgan kopaytmaning qiymati EKUB (m, n) boladi. 1- q a d a m . 2 30 36 2- q a d a m . 3 15 18 5 6 3- q a d a m . EKUB (30, 36) = 2 ⋅ 3 2- m i s o l . EKUB (30, 36) ni toping. 2- u s u l . =6 22 Bu sonlar 1 ga teng umumiy boluvchiga ega. Shu yerda toxtang! I z o h . 1- q a d a m . 30 va 36 sonlari 2 ga karrali bolgani uchun 2 umumiy boluvchini chapga yozamiz. 2- q a d a m . 30 va 36 sonlarini 2 ga bolib, natijalarni yozamiz (15 va 18). 15 va 18 sonlari 3 ga karrali bolgani uchun 3 umumiy boluvchini chapga yozamiz. 3- q a d a m . 15 va 18 sonlarini 3 ga bolib, natijalarni yozamiz: 5 va 6. 5 va 6 faqat 1 ga teng bolgan umumiy boluvchiga ega bolgani uchun hisoblashlarni toxtatamiz. Chapda turgan sonlarni kopaytiramiz: 2 ⋅ 3 = 6. Natijada EKUB (30, 36) = 6 ni hosil qilamiz. 3- m i s o l . Agar m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 11 va n = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 13 bolsa, EKUB (m, n) ni toping. Y e c h i s h . EKUB (m, n) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 4 ⋅ 9 ⋅ 5 = 180. 4- m i s o l . EKUB (125, 25) topilsin. Y e c h i s h . 125 soni 25 ga karrali: 125 = 25 ⋅ 5. Demak, EKUB (125, 25) = 25. m > n soni n ga bolinsa, u holda EKUB (m, n) = n boladi. 5- m i s o l . EKUB (15, 46) topilsin. Y e c h i s h . Berilgan miz: sonlarni 15 3 5 5 1 tub kopaytuvchilarga ajrata- 46 2 23 2 3 1 15 = 3 ⋅ 5 46 = 2 ⋅ 23 15 va 46 sonlarining umumiy tub boluvchilari yoq. Bunday hollarda berilgan sonlarning eng katta umumiy bolivchisi 1 ga teng boladi. Demak, 15 va 46 sonlari uchun EKUB (15, 46) = 1. Umumiy tub boluvchiga ega bolmagan sonlar ozaro tub sonlar deyiladi: EKUB (m, n) = 1, m va n natural sonlar. 20 va 21, 14 va 15 sonlari ozaro tub sonlar. Shuning uchun EKUB (20, 21) = EKUB (14, 15) = 1. Ikkita ketma-ket kelgan natural sonlar doimo ozaro tub boladi. 23 121. 1) Ikki sonning umumiy boluvchisi deganda nimani tushuEng katta umumiy boluvchisi deganda-chi? U qan? nasiz? day belgilanadi? 2) Ikki sonning eng katta umumiy boluvchisini bilgan holda ularning umumiy boluvchilari qanday topiladi? 3) Qanday sonlar ozaro tub deyiladi? Ular uchun EKUB nimaga teng? Misollar keltiring. 122. (Ogzaki.) Har bir sonning boluvchilari, sonlarning umumiy boluvchilari va eng katta umumiy boluvchisini toping: 1) 4 va 16; 2) 6 va 15; 3) 4 va 10; 4) 8 va 18. 123. Quyidagi sonlarning umumiy boluvchilari va eng katta umumiy boluvchisini toping: 1) 65 va 195; 2) 36 va 78; 3) 18 va 48; 4) 84 va 112. 124. 12, 17, 25 va 19 sonlaridan besh juft ozaro tub sonlar tuzing. 125. Quyidagi sonlarning eng katta umumiy boluvchisini toping: 1) 54, 36 va 99; 3) 7, 15 va 38; 5) 324, 286 va 432; 2) 30, 50 va 70; 4) 56, 84 va 126; 6) 215, 435 va 600. N a m u n a : EKUB (54, 81, 189) ni toping. Yechish. Sonlarni tub kopaytuvchilarga ajratamiz: 81 3 27 3 9 3 3 3 1 54 2 27 3 9 3 3 3 1 54 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 3 54 = 2 ⋅ 3 ; 1 8 9 3 63 3 21 3 7 7 1 81 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 3 81 = 3 ⋅ 3; 189 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 189 = 33 ⋅ 7. Demak, EKUB (54, 81, 189) = 33 = 27. J a v o b : 27. 126. 8, 54, 63, 22 sonlarining har biriga shunday son tanlangki, natijada ozaro tub sonlar jufti hosil bolsin. 127. EKUB (56, 224) = 112 togrimi? Hisoblashni bajarmasdan, xatolikka yol qoyilganini qanday topish mumkin? 24 128. a va b sonlarning EKUB ini toping: 1) a = 22 ⋅ 53 ⋅ 17; b = 2 ⋅ 52 ⋅ 13; 2) a = 22 ⋅ 32 ⋅ 5; b = 2 ⋅ 3 ⋅ 53; 3) a = 5 ⋅ 7 ⋅ 11; b = 52 ⋅ 72 ⋅ 13; 4) a = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 7; b = 22 ⋅ 3 ⋅ 7. 129. 1) 41 sonini; 2) 71 sonini 3 ta tub sonning yigindisi korinishida bir nechta usulda tasvirlang. N a m u n a : 11 + 43 + 17 = ... = 71. 130. Quyidagi tasdiqlardan qaysilari notogri? ? 1) Ikkita murakkab son ozaro tub 2) Ikkita murakkab son ozaro tub 3) Ikkita tub son har doim ozaro 4) Tub va murakkab sonlar ozaro togri, qaysilari esa bola olmaydi. bolishi mumkin. tub boladi. tub bola olmaydi. 131. Maxraji 15 ga teng shunday hamma togri kasrlarni yozingki, ularning surat va maxraji ozaro tub bolsin. 132. Surati 20 ga teng shunday hamma notogri kasrlarni yozingki, ularning surat va maxraji ozaro tub bolsin. 133. 20; 38; 54; 49 va 100 sonlarini tub sonlar yigindisi korinishida ifodalang. 134. Bir xil raqamlardan tuzilgan barcha: 1) uch xonali; 2) tort xonali sonlarning eng katta umumiy boluvchisini toping. 135. Toping: 1) EKUB (35, 55, 45); 2) EKUB (62, 74, 212). 136. 20 dan 30 gacha (30 ham kiradi) bolgan natural sonlar orasida ozaro tub bolganlarini alohida-alohida yozing. 137. 1) 50 va 60; 2) 21 va 84; 3) 225 va 50; 4) 93 va 85 sonlarining eng katta umumiy boluvchisini toping. 138. Dastlabki 30 ta natural sonlar orasida 6 soni bilan ozaro tub bolgan sonlar nechta? 7 soni bilan-chi? 29 soni bilan-chi? 139. Maxraji 18 ga teng shunday hamma togri kasrlarni yozingki, ularning surat va maxrajlari ozaro tub bolsin. 25 1516 Eng kichik umumiy karrali (bolinuvchi) 36 va 48 sonlariga karrali sonlarni yozib chiqaylik: 36 ning karralilari 36 72 108 144 180 216 48 ning karralilari 48 96 144 192 288 336 384 ... 240 252 288 ... Bu sonlar orasida ikkala qator uchun umumiy bolgan sonlar bor: 144, 288, 432, ... . Ular 36 va 48 sonlarining umumiy karralisidir. 144 soni 36 va 48 ga karrali barcha natural sonlar ichida eng kichigidir. 144 sonini 36 va 48 sonlarining eng kichik umumiy karralisi (bolinuvchisi) deymiz. Bir nechta natural sonning har biriga bolinadigan eng kichik natural son ularning eng kichik umumiy karralisi (EKUK) deyiladi. 36 2 18 2 9 3 3 3 1 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 EKUK (30, 36) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180. J 30 2 15 3 5 5 1 J 1- m i s o l . EKUK (30, 36) ni toping. Y e c h i s h . 1- u s u l (tub kopaytuvchilarga ajratish usuli). 36 = 2 2 ⋅ 3 2 J a v o b : 180. Yuqoridagi misoldan shunday xulosaga kelish mumkin. EKUK (m, n) ni topish uchun: 1. m va n sonlar tub kopaytuvchilarga ajratiladi. 2. m va n sonlardagi umumiy tub kopaytuvchilarning eng katta darajalari va umumiy bolmagan tub kopaytuvchilardan kopaytma tuziladi. 3. Tuzilgan kopaytmaning qiymati topiladi. Bu qiymat EKUK (m, n) boladi (m, n natural sonlar). 26 2- u s u l . 30 36 2- q a d a m . 3 15 18 3- q a d a m . 5 6 EKUK (30, Bu sonlar ozaro tub. Shu yerda toxtang va eng chap ustundagi hamda eng pastki qatordagi sonlarni kopaytiring. 2 1- q a d a m . 36) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 6 = 180 2- m i s o l . EKUK (15, 12) ni toping. Y e c h i s h . 1- u s u l . 15 va 12 sonlarini tub kopaytuvchilarga ajratamiz: 15 = 3 ⋅ 5 va 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3. 15 sonining barcha kopaytuvchilarini (bu qulay, chunki 15 > 12) yozib olamiz va uni 12 sonida bor, ammo 15 sonida yoq bolgan qoshimcha 2 ⋅ 2 kopaytma bilan toldiramiz yoki 12 sonining barcha kopaytuvchilarini yozib olamiz va uni 15 sonida bor, 12 da yoq bolgan qoshimcha 5 kopaytuvchi bilan toldirib, quyidagini hosil qilamiz: ⋅ 3 ⋅ 5 = 60. ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 2 = 60 yoki EKUK (15, 12) = 2⋅ 2 ! EKUK (15, 1 ) = 3{ 15 1 2- u s u l . EKUK (15, 12) ni quyidagicha topsak ham boladi. 1) 15 va 12 sonlarini kopaytiramiz: 15 ⋅ 12 = 180. 2) EKUB (15, 12) ni topamiz; EKUB (15, 12) = 3. 3) 180 : 3 = 60. J a v o b : EKUK (15, 12) = 60. 2- usulni umumiy holda shunday yozish mumkin: EKUK (m, n) = m ⋅ n : EKUB (m, n), EKUK (m, n) ⋅ EKUB (m, n) = m ⋅ n. 3- m i s o l . EKUK (20, 33) ni toping. 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 va 33 = 3 ⋅ 11 ozaro tub sonlar, ularning umumiy tub boluvchilari yoq. U holda, EKUK (20, 33) = 20 ⋅ 33 = 660. Ikkita ozaro tub sonning eng kichik umumiy karralisi shu sonlarning kopaytmasiga teng. 27 4- m i s o l . EKUK (240, 60) ni toping. Y e c h i s h . 240 = 4 ⋅ 60, yani 240 soni 60 ga bolinadi. Unday holda EKUK (240, 60) = 240 bolishi ravshan. Agar bir son ikkinchisiga bolinsa, u holda katta son shu sonlarning eng kichik umumiy karralisi boladi. 140. 1) Ikki sonning umumiy karralisi nima? Eng kichik umumiy karralisi-chi? U qanday belgilanadi? ? 2) Ikkita ozaro tub sonning EKUK i nimaga teng? 3) Qanday holda ikki sondan biri ular uchun EKUK boladi? 141. (Ogzaki.) Quyidagi sonlarning tortta umumiy karralisi va eng kichik umumiy karralisini toping: 1) 2 va 6; 2) 3 va 5; 3) 6 va 8; 4) 18 va 9. 142. Mamuraning bir qadami 54 sm, Manzuraniki 63 sm. Qanday eng qisqa masofada ularning oyoq izlari ustma-ust tushadi? 143. Eng kichik umumiy karralisi: 1) 10; 2) 15; 3) 26; 4) 60 bolgan uchtadan son yozing. 144. Abdurahmon, Mamura va Manzura kutubxonada uchrashishdi. Ular ortasidagi suhbat jarayonida Abdurahmon maktab kutubxonasiga har 3 kunda, Mamura har 5 kunda, Manzura esa har 7 kunda borishi aniqlandi. Ular keyingi marotaba qachon uchrashadilar? 145. Jadvalni toldiring va xulosa chiqaring: a 18 45 52 200 312 400 b 27 48 55 80 224 400 EKUB (a, b ) 9 EKUK (a, b ) 54 a ⋅ b 486 EKUB (a, b) ⋅ EKUK (a, b) 486 146. Sonlar qatori tuzilishidagi davom ettiring: qonuniyatni aniqlab, 3 taga 1) 90, 180, 270, 360, ...; 2) 75, 150, 225, 300, ... . Qatorlardan foydalanib, EKUK (90, 75) ni topish mumkinmi? 28 147. Agar: 1) k = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7; b = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11; 2) k = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11; b = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 bolsa, b ga karrali eng kichik sonni hosil qilish uchun k ni necha marta orttirish kerak? 148. EKUK (a, b) = 432, EKUB (a, b) = 72 va a va b natural sonlar bir-biriga bolinmaydi. Shu sonlarni toping. 149. Yigindisi va ayirmasi tub son boladigan ikkita tub son toping. 150. 32 ning nechta tub boluvchisi bor? 151. Kasr maxrajining EKUK ini toping: 1) 8 7 va ; 9 $ 2) 11 4 va ; 12 1# 3) 9 1$ va . 20 2# 152. Sonlarni tub kopaytuvchilarga ajrating: 1) 777; 2) 2 448; 3) 612; 4) 9 999. 153. Sonlarning eng katta umumiy boluvchisini toping: 1) 25 va 225; 2) 96 va 256; 3) 32 va 48. 154. Quyidagi sonlarning eng kichik umumiy karralisini toping: 1) 7 va 19; 2) 52 va 39; 3) 12 va 35; 4) 210 va 35. 155. Sonlarning eng kichik umumiy karralisini toping: 1) a = 22 ⋅ 32 ⋅ 11; b = 23 ⋅ 32 ⋅ 17; 2) a = 3 ⋅ 7 ⋅ 11; b = 32 ⋅ 7 ⋅ 11. 156. Quyidagi toping: sonlarning 1) 45, 90, 180; eng kichik umumiy 2) 25, 75, 100; bolinuvchisini 3) 30, 45, 225. Bilib qoygan foydali! Milliardni tasavvur qila olasizmi? 1 milliard sekund otishi uchun qariyb 32 yil kutishga togri keladi. 1 milliard betli kitobning qalinligi 40 km dan ortiq boladi. 1 000 000 000 29 Ingliz toq son odd number juft son even number bolinuvchi dividend boluvchi divisor bolinma quotient TEST 1 tilini organamiz! karrali multiple tub son prime number murakkab son composite number EKUB Greatest Common Divisor (GCD) EKUK Least Common Multiple (LCM) Ozingizni sinab koring! 1. Berilgan 1; 2; 3; 15; 17; 23; 49; 64; 121; 304; 324; 1 001 sonlari ichida nechta tub son bor? A) 3; B) 4; D) 5; E) 7. 2. 72 sonining natural boluvchilari nechta? A) 10; B) 9; D) 11; E) 12. 3. 6 va 16 sonlarining umumiy boluvchilari nechta? A) 4; B) 3; D) 2; E) 5. 4. 42 sonining tub boluvchilari yigindisini toping. A) 12; B) 5; D) 10; E) 9. 5. 1 782 753 soni ushbu sonlardan qaysi biriga qoldiqsiz bolinadi? A) 3; B) 10; D) 5; E) 9. 6. Qaysi juftlik ozaro tub sonlardan iborat? A) (6; 8); B) (9; 25); D) (12; 15); E) hammasi. 7. EKUB (168, 234, 60) ni toping. A) 168; B) 231; D) 60; E) 6. 8. 8 va 10 sonlarining eng kichik umumiy karralisini toping. A) 8; B) 10; D) 40; E) 18. 9. Agar a va b ixtiyoriy natural sonlar bolsa, u holda 2a + 8b ifoda quyidagi sonlarning qaysi biriga qoldiqsiz bolinadi? A) 2; B) 4; D) 3; E) 10. 10. EKUK (a, b) = 360, EKUB (a, b) = 20 hamda a va b natural sonlar bir-biriga bolinmaydi. Shu sonlarni toping. A) 40; 80; B) 18; 20; D) 40; 20; 30 E) 40; 180. II bob. Har xil maxrajli kasrlarni qoshish va ayirish 1920 Kasrning asosiy xossasi 2 2 4 = " & = Shakllarning boyalgan qismlari ozaro tengligini tushuntiring. Yuqoridagi rasmda bir xil togri tortburchaklar tortta va sakkizta teng bolakka bolingan. larning har biri bir xil togri 2 = 2 4 surat va maxrajini buning uchun " yetarlidir, yani: , " va " " & va = " = 4 8 ikkita, kasr- yarmini " . & tenglikni korib chiqamiz. Agar 2 kasrning ga kopaytirsak, tenglikning chap qismidan ong qismini hosil qilamiz. Demak, Shuningdek, 2 4 tortburchaklarning tasvirlaydi, demak, ular ozaro tengdir: Masalan, , 2 ⋅ 2 2 = = . 2 2 ⋅2 4 (1) kasrdan unga teng kasrni hosil qilish mumkin, kasrning surat va maxrajini ga kopaytirish 2 2⋅2 4 2 4 = = = = . ( ). (1) va ( ) dan: 4 4⋅2 8 2 4 8 kasrlar ayni bir kasrning turlicha yozilishidir. Agar kasrning surat va maxraji ayni bir natural songa kopaytirilsa, kasrning qiymati ozgarmaydi, yani avvalgisiga teng kasr hosil boladi. Bu xossa kasrning asosiy xossasi deyiladi. Umumiy holda bu xossani quyidagicha yozish mumkin: k k ⋅m = , bunda k, n, m natural sonlar. n n⋅m 31 157. 1) Kasrning surat va maxrajini bir xil natural songa kopaytirsak, uning qiymati ozgaradimi? ? 2) Kasrning asosiy xossasi nimadan iborat? Misollarda tushuntiring. 158. Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, quyidagi kasrlarga teng uchtadan kasr yozing: 5 9 ! 8 4 1) 7 ; 2) ; 3) 4 ; ") 7 ; 159. Tengliklarning togriligini tushuntiring: " ! 5 5 #) 4 . 5 5 = ; = ; = 1) " = 6 ; 2) 3) ") . 7 !5 9 7 0 50 160. Quyidagi kasrlar orasidan ozaro tenglarini toping: 1) !! 5 0 , , , , ; 4 0 4 0 2) 8 5 99 0 , , , . 99 4 $ 161. Kasrning surat va maxraji qanday songa kopaytirilgan: ! 4 8 8 7 49 = ; 2) 5 = !5 ; 3) ") 8 = 5$ ? 1) 8 = 4 ; $ 162. Quyidagi kasrlarni maxraji 2" bolgan kasr bilan almashtiring: ; ! ; ! ; 4 ; $ 7 ; 8 5 ; ! ; 8 . 163. Tomonlari $ sm va & sm bolgan togri tortburchakni $ ta teng bolakka boling. Uning # 5 $ qismini boyang. Chizma- dan foydalanib, 6 = = " ekanini korsating. 164. 7 kasrni maxraji: 1" ga; 21 ga; 3# ga; "2 ga; $3 ga; % ga; &" ga; %% ga, '& ga teng kasr shaklida yozing. # 165. % ga teng bolgan " ta kasr yozing. 166. Surati va maxraji 4 9 kasrning surati va maxrajidan katta, ammo shu kasrga teng bolgan tortta kasr yozing. 167. ! , , sonlarining har birida nechta ulush bor? 6 ' & 168. Kasrlarning tengligini tushuntiring: 1) 7 9 va ; 7 2) 5 5 va ; 8 40 32 3) ! va ; 5 $5 ") 9 !$ va . 44 ! # 169. Tenglamani yeching: 1) 4 = x + % ; Namuna: & " 5 170. Yozuvni tiklang: 9 9 5 9 = x −! ; 7 x + " 3) = 5 . & x + 24 = ⇒ & x + = 24 ⇒ x + = ! ⇒ x = 2 yoki % #6 #$ : % = &, " : & = 3, x + 1 = 3, x = ! ) 5 171. " , 7 , 5 , & , ! & kabi topilsa ham boladi. = * = * = * = * = * = * = * .7 5 5 ! !5 " kasrlar ichidan #$ maxrajga keltiriladi- ganlarini ajrating. N a m u n a : % = % ⋅ 4 = '8 yoki 4 4 ⋅ 4 14 #6 4 7 = 98 . 56 172. Tadqiqotga oid masala. «Agar a + b yigindi % ga bolinsa, u holda aba korinishdagi uch xonali natural sonlar ham % ga bolinadi» degan mulohaza togrimi? Javobingizni asoslang. Aytilgan mulohaza orinli bolsa, barcha yechimlarini toping. K o r s a t m a . a + b = 1 + 6 = 2 + # = ... ekanidan foydalaning. 173. m harfi biror sonni bildiradi. Faqat m suratli bitta notogri kasr mavjudligi malum. m harfi bilan qanday son belgilangan? 174. Kop xonali tub son qanday raqam bilan tugashi mumkin? A) 1 yoki 3, yoki #, yoki %, yoki '; B) 1 yoki 3, yoki #; D) 1 yoki 3, yoki %, yoki '; E) ixtiyoriy. 175. 10- rasmda nechta togri tort10 burchak tasvirlangan? " $ 176. 1) 3 ni maxraji 1# ga; 2) 5 ni maxraji 200 ga teng kasr shaklida yozing. , sonlarining har birida nechta ulush bor? " 8 6 ! 2 5 55 x = ; = ; = . 2) 3) 178. Tenglamani yeching: 1) 6 !6 4 66 x x 2 5 ! 4 5 7 7 179. 2 , ! , 6 , 4 , 9 , , 8 va 8 kasrlarni maxraji 36 bolgan 9 177. , kasr bilan almashtiring. 180. Yozuvni tiklang: 3 Matematika, 6 " =* = * = * = * = * = * = * . 8 $ " 8 3 33 181. Tengliklar nima uchun togriligini tushuntiring: ! 2 = ; 5 20 1) 6 8 8 24 0 !0 = ; = ; = 3) ") . 7 2 9 27 !! 2 5 ; 2) kasrning maxrajidan katta, ammo 5 6 2) 182. Maxraji: 1) shu kasrga teng bolgan tortta kasr yozing. 5 $ 3 7 , 5 , $ kasrlar ichidan 2" maxrajga keltiriladi183. " , 7 , 8 , ganlarini ajratib yozing. 2123 Kasrlarni " 8 " 8 k n = = = " = k ⋅m n⋅m qisqartirish = " 2 tengliklarni tushuntirishga harakat qiling. bu kasrning asosiy xossasini ifodalovchi formula bolib, bunda k, n, m natural sonlar. Bu tenglikning chap va ong qismlari orinlarini almashtiramiz. U holda quyidagi formula hosil boladi: k ⋅m k = , bunda k, n, m natural sonlar. n⋅m m Demak, birinchi kasrning k · m surati va n · m maxrajini ularning umumiy boluvchisiga bolsak, u holda kasrning qiymati ozgarmaydi, avvalgisiga teng kasr hosil boladi. 25 25 : 5 6 6:2 5 1- m i s o l . 5 = 5 : 5 = ! , bunda kasr # ga qisqartirildi. ! 2- m i s o l . 0 = 0:2 = 5 , bunda kasr 2 ga qisqartirildi. Kasrning surat va maxrajini ularning 1 dan farqli umumiy kopaytuvchisiga bolish kasrni qisqartirish deyiladi. Kasrning asosiy xossasini quyidagicha ifodalash ham mumkin. Agar kasrning surat va maxraji bir xil natural songa bolinsa, u holda kasrning qiymati ozgarmaydi. 3" Kasrlar qisqartirilgandan song ularga teng, lekin surat va maxraji kichikroq bolgan kasr hosil boladi. Har qanday kasrni ham qisqartirish mumkin bolavermaydi. Masalan, 8 9 kasrni qisqartirib bolmaydi, chunki uning surati & va maxraji ' birdan katta umumiy boluvchiga ega emas. Berilgan kasrdan qisqarmas kasrni hosil qilish uchun: 1- q a d a m . Kasrning surat va maxrajining EKUB i topiladi. 2- q a d a m . Kasrning surat va maxraji shu EKUB ga bolinadi. Kasrlarni qisqartirishning ikki usulini korib chiqamiz. 1- u s u l . Surat va maxrajining eng katta umumiy boluvchisiga qisqartirish, yani tola (birdaniga) qisqartirish usuli. 3- m i s o l . !84 kasrni qisqartiring. 52 Y e c h i s h . 1- q a d a m . EKUB (3&", #12) ni topamiz. 3&" = 2% ⋅ 3, #12 = 2&, demak, EKUB (3&", #12) = 2% = 12&. 2-qadam. !84 !84 :28 ! = = . Kasr 12& ga qisqartirildi. 52 52 :28 4 Odatda, surat va maxrajini bir xil natural songa bolish amali korsatilmaydi va bir yola qisqartirilgan kasr tenglik belgisidan keyin yoziladi: ! !84 ! !8" = yoki 52 4 #2 " = ! . " Javob: ! . 4 - u s u l . Surat va maxrajining umumiy boluvchilariga to qisqarmas kasr hosil bolguncha qisqartirish, yani ketma-ket qisqartirish usulini qollaymiz. 4- m i s o l . Yechish. %2 '6 kasrni qisqartiring. %2 !6 ' ! = = = '6 48 2 4 (dastlab undan keyin esa 3 ga qisqartirildi). ga, songra " ga, Javob: 3 . " 184. 1) Kasrni qisqartirish deganda nimani tushunasiz? kasr nima? Misollar keltiring. ? 3)) Qisqarmas Qanday kasrni qisqartirish mumkin? 3# 185. Kasrlarni qisqartiring, songra ularning qiymatini toping: ! ⋅# ; 8 ⋅! 1) 186. % ⋅2 ; 2 ⋅# ) 4⋅' ; 4 ⋅ 3) 4⋅' ; 4 ⋅ ") #) 2 ⋅ 8 . 4 ⋅ %0 6 24 8 !0 60 '6 #4 66 , , , , , , , kasrlarning surat va max2 8 24 !6 20 08 %8 42 rajini $ ga boling. Hosil bolgan mos tengliklarni yozing. 187. Har bir kasrning surat va maxrajini ularning EKUB iga boling: # , 0 0 , 00 # , ## !4 , !8 !2 , 40 !! , 0 02 , 80 28 . %0 188. Berilgan kasrning surat va maxrajini % marta kamaytiring: 1) % ; 4 4 ; 2 ) !# ; 28 3) ") %% ; 84 6! ; 4' #) $) '8 . %0 189. Berilgan kasrga teng bolgan qisqarmas kasrni toping: 1) " ; $3 190. 1) 24 ; !0 33 ; 99 ) ) 9& ; "9 3) ") & ; "& #) $$ ; "5 $) 33 . 55 2 kasrga teng bolgan, ammo surati va maxraji 60 bu kasrning surati va maxrajidan kichik bolgan " ta kasr yozing. 191. Oddiy kasr korinishida yozing va agar mumkin bolsa, qisqartiring: 0,$; 0,'; 0,0%; 0,0&; 0, #; 0,3$; 0,%#; 0,1 #. 192. Kasrlar orasidan qisqaradiganlarini ajratib oling va qisqartiring: 0 , 40 ' , 20 %2 , '0 4 Namuna: % , # " ! # = %% , %% 2 , !0 42 , #6 8# , 02 80 , 20 #2# . 0# " #. 193. Quyidagi kasrlar ichidan qisqarmas kasrlarni ajratib yozing: % , ' 0 , 8 8 , 22 22 , !' 2 , !6 2' . 4# 194. Kasrlarni qisqartiring va ularning butun qismini ajrating: 40 , 6 %2 , 60 080 , 8 68 , '6 2!6 , 40 Togri! 5+! & = &" ' & = 488 , 80 40 , 60 44 , 64 Notogri! 5 + !1 $ 1& " ' 3$ = 5 +1 $ = $ $ =1 #0 . 4# " n 195. n ning qanday natural qiymatlarida boladi? 2 kasr: 1) natural son n 196. n ning qanday natural qiymatlarida boladi; kasr natural son ) qisqaradi; 3) qisqarmas kasr boladi? 197. Javobni qisqarmas kasr korinishida bering: 1) # sm; # sm; ' sm metrning qanday qismini tashkil qiladi? ) $ g; g; %# g kilogrammning qanday qismini tashkil qiladi? 198. Ifodaning son qiymatini toping: # 8 + 2 ; 24 1) 4# − # ) 84 − 6 ; Namuna: ⋅ 5 − ! ⋅ $⋅7 + ⋅$ = 3) ! ⋅ ! + 6 . ⋅5 − ! $ ⋅ 7 + " . 9 = Javob: 4 . ' 199. (Amaliy ish.) Qisqartirish mumkin bolgan kasrni oylab toping. Uni bir varaq qogozga yozing va partadosh dostingizga shu kasrga teng qisqarmas kasrni topishni taklif qiling. Topshiriq qanday bajarilganini tekshiring. Qiziqroq bolishi uchun oson misolni tanlamang! 200. Bolinuvchi boluvchidan $ marta katta, boluvchi esa bolinmadan $ marta katta. Bolinuvchi, boluvchi va bolinma nimaga teng? 201. On yetti, uch, qirq va ikki sozlaridan qaysi biri ortiqcha? 202. Surati "&, maxraji esa EKUB ( 1$, 3$) ga teng bolgan kasrni toping va uni qisqartiring. 203. Kasrlarni qisqartiring, songra ularning qiymatini toping: 1) 4⋅# ; %⋅4 ) 6⋅2 ; ⋅ 2 3) '⋅# ; 8 ⋅ ' ") 8 ⋅ # ; % ⋅# #) "5 , $ $! , 9$ 2 ⋅0 . 2! ⋅0 204. Kasrlarning surat va maxrajini 3 ga boling. Hosil bolgan mos tengliklarni yozing: ! , $ $ , , 5 5 , & & , " , 5 . 205. Har bir kasrning surat va maxrajini ularning EKUB iga boling: # , 20 24 , 40 2# , #0 4# , %# 80 , 00 48 , 20 206. Surati 3$, maxraji esa EKUB (1"", kasrni toping va uni qisqartiring. 3% 00 , #0 84 , 20 #2 . 80 ") ga teng bolgan 6 n 207. n ning qanday qiymatlarida 1) natural son boladi; boladi? 208. Kasrlarni qisqartiring: kasr: ) qisqaradi; 3) qisqarmas kasr 75 & 5 &" 5 !" , , , , , , , . !! 7 5 5 "5 &5 209. Kasrlarni qisqartiring va ularning butun qismini ajrating: " , ! 75 , 5 9 , !$ , "& TEST 2 1. Quyidagi A) 3; 5 , " , &5 , $& 9 , "" 5 . "5 Ozingizni sinab koring! 9 = x tenglikdan x ni toping. " B) '; D) ; E) topib bolmaydi. !0# 2. Berilgan 2# kasrni qisqartiring. À) ! ; B) $ ; " ! D) 9 ; "7 E) "5 . !5 3. Kasrlarni qisqartiring, songra uning qiymatini toping: À) " ; 9 8 ⋅ ' ⋅! B) 8 ⋅ 2% ; 8 ⋅ ' ⋅ !0 . 8 ⋅ 2% ⋅0 8⋅! D) 8 ⋅ ! ; 8 ⋅ !0 E) 8 ⋅ 2% . 4. Maxraji ", surati esa EKUB (&", 1 ) ga teng kasrni toping va uni qisqartiring. A) 6 ; ; 24 4 B) 2 ; ; 24 2 5. EKUB (k, n) = 11 bolsa, D) k n = ! ; ; 24 8 E) 2 ; . 24 2 & tenglikdan k va n ni toping. 9 À) k = &$, n = '$; D) k = &&, n = ''; B) k = &, n = '; E) k = &%, n = '%. 6. EKUB (13#, ', "#) ni toping: A) '; B) #; D) 1#; E) "#. 7. EKUK ( #, "#, %) ni toping: A) 1 3#; B) #; D) %; E) " #. 8. EKUK (m, n) = 1 , m ⋅ n = 3$ bolsa, EKUB (m, n) ni toping. A) 1#; B) #; D) 3; E) $. 3& 2426 Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish 3 6 Bir xil ulushlarda ifodalay olasizmi? 2 Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, har xil maxrajli kasrlarni maxrajlari teng bolgan kasrlar bilan almashtirish mumkin. Bunday holda, har xil maxrajli kasrlar umumiy maxrajga keltirildi, deymiz. 1- m i s o l . 4 # va 2 kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Bu kasrlarning umumiy maxraji 1# ga ham, 1 ga ham bolinishi, yani u 1# va 1 sonlarining umumiy karralisi bolishi kerak. Biroq bunday umumiy karralilar cheksiz kop: $, 1 , 1&, ... . Yangi (umumiy) maxraj eng kichik bolishi uchun berilgan kasrlar maxrajlarining EKUK ini, yani $ sonini olamiz. Songra maxraji $ bolgan kasrlarni hosil qilish uchun berilgan har bir kasr uchun qoshimcha kopaytuvchini topamiz. Buning uchun yangi maxraj $ ni har bir kasrning maxrajiga bolamiz: $ : 1# = "; $ : 1 = #. Demak, " kasrga " soni, 5 kasrga esa # soni qoshimcha kopaytuvchi boladi. Qoshimcha kopaytuvchilarni mos suratlar chap tomonining yuqorisiga yozamiz hamda surat va maxrajini qoshimcha kopaytuvchilarga kopaytiramiz. Natijada quyidagini hosil qilamiz: 5 11 11 · 5 55 " " · " #6 = = . = = va 12 12 · 5 60 # # · " 60 " Shunday keltirdik. qilib, biz berilgan kasrlarni Javob: umumiy #6 ## , . 60 60 maxrajga Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish bu kasrlarni bir xil ulushlarda ifodalashdir. Berilgan kasrlarning umumiy maxraji har bir kasr maxrajiga bolinadigan eng kichik son, yani kasrlar maxrajlarining EKUK idir. 3' Kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltirish uchun: 1. Agar, mumkin bolsa, kasrlar qisqartiriladi va berilgan kasrlar maxrajlarining EKUK i topiladi. 2. Topilgan eng kichik umumiy maxrajni har qaysi kasrning maxrajiga bolib, har bir kasr uchun qoshimcha kopaytuvchini topish kerak. 3. Har qaysi kasrning surat va maxrajini ularga mos qoshimcha kopaytuvchilarga kopaytirish kerak. 9 va 2- m i s o l . " 5 kasrlarni umumiy maxrajga keltiring. Y e c h i s h . Birinchi kasrning maxraji ikkinchisining maxrajiga bolinadi: 100 : 2# = 4. Bunday holda maxrajlarning kattasi umumiy maxraj bolaveradi. Ikkinchi kasr uchun qoshimcha kopaytuvchi maxrajlar bolinmasi 4 ga teng. 9 6 , . ! " 3- m i s o l . va 8 # Javob: kasrlarni umumiy maxrajga keltiring. Kasrlarning maxrajlari ozaro tub sonlar. Bunday holda umumiy maxraj berilgan kasrlar maxrajlarining kopaytmasiga teng: & ⋅ # = 40. Demak, # & ! = & # ; " " ! = . 5 " Javob: 5 ! , . " " 210. 1) Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish nima degani? 2) Maxrajlardan eng kattasi qolganlarining har biriga bolin? sa, bunday kasrlarning umumiy maxraji nimaga teng boladi? 3) Maxrajlari ozaro tub bolgan ikki kasrning eng kichik umumiy maxraji nimaga teng? 211. (Ogzaki.) Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring: 1) va ; 8 " 2) # ! va ; $ 3) # va ! ; # 4) " va ' 8 . 7 212. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring: 1) 7 va ! ; 2) " va ; !# # 3) va ; " 4) va . "# # 213. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring: 1) ! va ; ! 2) " # va " ; ' 40 3) va ; 7 4) # 7 va . 8 214. Bir xil ulushlarda ifodalang: " 9 va ; 25 1) ) 5 " va ; 6 9 3) 3 2 va ; 2 5 4) 3 9 va . " 215. Kasrlarni qisqartiring, songra umumiy maxrajga keltiring: ! 1# va ; 9 2# 1) ) 4 6 va ; 6 8 3) 2 6 va ; 4 9 4) 21 20 va . 98 84 216. 3 5 3 3 23 , , , , , , kasrlarni 4& maxrajga keltiring. 3 " 6 8 2 6 2" 217. 2 # ! 14 2# 6 , , , , , kasrlardan bir necha juft teng kasrlar ! 7 8 21 !# 16 tuzing. 218. Kasrlarni shunday qisqartiringki, har bir juftlikdagi kasrlarning maxrajlari bir xil bolsin: # 8 va ; 7 14 1) 6 16 va ; 8 !2 ) 3) 8 6 va ; 24 18 4) 8 1# va . 28 !# 219. Kasrlarni qisqartiring, songra umumiy maxrajga keltiring: 2 7 va ; 8 8 1) ) " 2 va ; 35 "5 3) 8 75 va ; 6" 28 4) " 36 va . 2 96 220. Javobni qisqarmas kasr korinishida bering: 1) $0 sm; %# sm metrning qanday qismini tashkil qiladi? ) #0 g; &00 g kilogrammning qanday qismini tashkil qiladi? 221. Qisqarmas karsrlarni yozib oling, songra ularni umumiy maxrajga keltiring va kamayib borish tartibida yozing: 1) 2 26 72 18 # , , , , ; 7 !# 81 48 49 14 8 11 6 6 , , , , . 21 9 21 8 !# ) 222. Kasrlarni bir xil ulushlarda ifodalang: 1) 223. 7 va ; 52 26 ) 9 9 , va ; 8 36 3 3) 2 7 5 5 , , va . 9 2" 6 6 2 5 va sonlari orasida maxraji 30 ga teng nechta kasr bor? 3 6 224. Kasrlarni 12 , 20 qisqartiring: 14 , 16 28 , !# 49 , 70 !2 , 64 Kasrlarni qisqartirishda yol qoyilgan xatoni toping: !! , 1!2 26 , 169 22 , 176 4# . 1#0 6,25 − 1,25 = 6,25 : 1,25! Vo, ajabo!!! Xohlasang, tekshirib kor! ! $$ !! = = = & ' ! 41 225. Maxraji n ga teng bolgan ikkita togri kasr mavjud ekani malum. n harfi qanday son bolishi mumkin? 226. Mamura masalani yechish uchun 2 soat, Manzura esa 5 9 soat sarfladi. Ulardan qaysi biri masalani tez yechgan? 227. (Amaliy ish.) Ikkita kasr oylab toping va partadosh dostingizga shu kasrlarni taqqoslashni taklif qiling. Dostingiz topshiriqni qanday bajarganini tekshiring. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring (228229): ! 1# va ; 8 16 1 1 va ; 229. 1) 8 10 228. 1) 19 1! va ; 80 16 6 7 ) va ; 2# 40 ) # 41 va ; 9 81 # 1 3) va ; 16 12 3) 11 14 va . 7# 1# 1 # 4) va . 24 18 4) 230. Kasrlarni bir xil ulushlarda ifodalang: 1) 3 7 va ; 25 3 ) 5 7 , va ; 2 2 6 3) 9 , va . 3 8 5 231. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring: 1) 7 1 va ; 8 14 ) ! 1 va ; 8 10 3) 7 8 va ; 12 9 4) ! # va . 10 6 232. Qisqarmas kasrlarni yozib oling, songra ularni eng kichik umumiy maxrajga keltiring va osib borish tartibida yozing: " 6 27 3 2 3 5 7 2 3 , , , , ; ) , , , , . 5 8 5" 5 7 2 75 8 36 " 1 # 233. va sonlari orasida maxraji &4 ga teng nechta kasr 12 14 1) bor? 234. Kasrlarni qisqartiring: 27 40 14 21 1! !# !7 14 , , , , , , , . !6 4# 28 !# 91 98 111 196 235. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring: 1) 14 !1 va ; 1# 4# ) 7 # va ; 12 18 3) 17 ! va ; 40 16 4) 71 8! va . 72 90 Bilib qoygan foydali! Vaqtingizning qadriga yeting! 70 yoshga kirgan inson oz umrining 23 yilini uxlashga, 18 yilini gapirishga va 6 yilini ovqatlanishga sarflar ekan. Shunday ekan, qolgan vaqtingizdan unumli foydalanib, uni ilm olishga bagishlang! Zero, ilm boqiylik ramzidir. 4 2728 Har xil maxrajli kasrlarni taqqoslash Qaysi mashina kop yol yurgan? 2 2 kattami yoki kattami? 7 # B A 2 7 2 # Bir xil maxrajli va bir xil suratli kasrlarni taqqoslash qoidasini #- sinfdan bilasiz. 4 2 ! 7 > , chunki 4 > yoki < , chunki 3 < %. 8 8 10 10 6 ! ! 6 Masalan, > , chunki % < 11 yoki < , chunki & > %. 11 8 7 7 Masalan, Umuman, agar m < n bolsa, u holda k k > m n boladi. Har xil maxrajli kasrlarni taqqoslash uchun ularni umumiy maxrajga keltirish kerak. Masalan, ! 4 va kasrlarni taqqoslaylik. EKUK (10; 1#) = 30, 10 1# demak, bu kasrlar uchun umumiy maxraj 30, qoshimcha kopaytuvchilar esa 30 : 10 = 3 va 30 : 1# = boladi. U holda 3 " > . 5 k l va m n ! ! ' = 0 !0 va 4 8 = . Bundan, # !0 ' 8 > , demak, !0 !0 kasrlar quyidagicha taqqoslanadi: 1) agar kn > ml bolsa, sonlar; ) agar kn < ml bolsa, sonlar. M i s o l l a r . 1) k m > l n boladi; k, l, m va n natural k m < boladi; k, l, m va n natural l n 5 7 > , chunki # ⋅ ' > $ ⋅ %, yani #4 > 4 ; $ 9 43 5 = , chunki # ⋅ 1$ = & ⋅ 10, yani &0 = &0; & $ 9 < , chunki 10 ⋅ $ < % ⋅ ', yani $0 < $3. 3) 7 $ ) Berilgan togri kasrlarni taqqoslash orniga ularning «birga toldiruvchi» kasrlarini taqqoslash qulay. ! 4 ! va kasrlarni taqqoslaylik. ning birga toldiruvchisi: 4 # 4 3 " " − 5 − = = " " 5 5 3 " = ; ning birga toldiruvchisi esa , yani " " 5 5 " 3 " − = > , demak, < . . Bundan 5 5 " 5 " 5 − Ikki togri kasrdan qaysi birining birga toldiruvchisi kichik bolsa, osha kasr katta boladi va aksincha, qaysi birining birga toldiruvchisi katta bolsa, osha kasr kichik boladi. Ayrim hollarda kasrlarni bir yoki yarim bilan solishtirish orqali taqqoslash ancha oson kechadi. 1- m i s o l . kasr, 3$ 35 6 va ! 2% #6 # < togri 7 kasrlarni taqqoslaylik. > esa notogri kasr, bulardan, 2- m i s o l . 6 = ; 2 !2 # !6 va 7 !# 5 7 < !$ . !5 6 > , chunki ! 2 kasrlarni taqqoslaylik. 2% 2% 6 2% < , chunki = . Demak, > . #6 2 2 #4 ! #6 Togri kasr har doim 1 dan kichikdir. Har qanday notogri kasr har qanday togri kasrdan kattadir. 236. 1) Bir xil maxrajli kasrlar qanday taqqoslanadi? Suratlari ? teng bolgan kasrlar-chi? Misollarda tushuntiring. ) Har xil maxrajli kasrlar qanday taqqoslanadi? 237. Kasrlarni taqqoslang, natijani « > » yoki « < » belgisi orqali yozing: 1) 7 7 va ; 2 238. Qaysi kasr katta: 1) ) ! " " 5 va yoki 44 " ; ! " ; 9 3) ) 25 2$ va . 27 27 & 9 yoki ? 9 239. Kasrlarni osib borish tartibida joylashtiring: 2 , 2 ! , 2 # , 2 , 2 8 , 2 2# , 2 ' , 2 20 , 2 2 , 2 % . 2 Ular orasidan eng kichigini va eng kattasini korsating. 240. Kasrlarni qisqartirib, songra taqqoslang: 1) 28 42 va ; !6 !' 241. Kasrlarni 1) ## 2# va ; %% 80 ) 3) 26 !4 va ; %8 !6 4) 8 2 va . !# !# 3) 4 va ; 2# %# 4) ' va . 26 !' taqqoslang: 2 ' va ; # 20 ) # % va ; 8 2 242. Qaysi kasr 1 ga yaqin: 1) # 6 yoki 6 ; % 3) ' 0 yoki % ; 8 ) $ 7 yoki & ; 9 4) 2 2 yoki ? 2 243. Kasrlarning suratlarini tenglab, songra taqqoslang: 1) 5 5 va ; & & 2& 7 va ; 29 & 2 " 2 " va ; 4) va . ! 75 5 ! %−a , 3, 4, #, $ bolsa, korinishidagi kasrlarni a +2 ) 244. Agar a = 1, 3) osib borish tartibida yozing. 245. b ning: 1) tengsizlikni yozing. 246. a ning !$ b $ < ; ) b 7 ≤ ; qanoatlantiruvchi <a< $ 3) barcha b " < ; ") natural b 2 ≤2 qiymatlarini qosh tengsizlik togri boladigan bir necha qiymatini toping. Bunday qiymatlar nechta? 247. Kasrlarni taqqoslang: !! !4 1) va ; !4 !# 8 % va ; ' 8 ) 3) !6 !% va ; !% !8 ") !4 !! va . !# !4 248. n ning qanday natural qiymatlarida 1 + n va 1 sonlarining eng kichik umumiy karralisi $ boladi: A) ; B) ; D) #; E) ; ? 249. Kasrlarni taqqoslang, natijani « > » yoki « < » belgisi orqali yozing: 1) # # va ; ! % ) 2 24 va ; 2# 2# 4# 3) 8 8 va ; 2 ' ") 2# 2 va . 2' 2' 250. Tenglamani ! yeching: ' 2 1) # = x + 6 ; Namuna. # x +5 2 2 = ; x −2 ! ! 3) x − ! = # . ) 7 = 2& ; 2 2 ⋅ 6 2 = = ⇒ x − 2 = 8 ⇒ x = 2 . x −2 !⋅ 6 8 251. Agar k = 3; " va n = ; % bolsa, kasrlarning qiymatini toping. Mumkin bolsa, qisqartiring. Qisqarmas kasrlarni alohida yozing. 1) 2 + k ; n + 2! ) k +2 ; n +8 2# − k ; #6 −n 3) ") !2 + k . #6 − n 252. Bosh kataklarni shunday toldiringki (11- rasm), ixtiyoriy uchta qoshni katakdagi sonlar yigindisi 1# ga teng bolsin. 11 4 6 253. Kasrlarni taqqoslang: " 5 1) va ; 7 2 ) ! & va ; 5 3) ! $ va 5 ; !2 ") ! va . 2 $ 254. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring, songra taqqoslang: 1) 2 " va ; 5 25 255. Sonlarni 1) ) 2 , ! 2 va 2 ; 5 3) 5 , va . $ $ " 3) 99 "9 va . 5 taqqoslang: 7 !5 va ; & !$ ) !" "" va ; !5 5 256. Qaysi kasr 1 ga yaqin: 9 % ) 2 1) yoki yoki 7 ; 2 8 ; # ! yoki & 22 ") yoki 2! 3) 2 ; 7 4# ? 46 257. Kasrlarni taqqoslang, natijani « > » yoki « < » belgisi orqali yozing: 1) 4 # va ; % % ) 8 8 va ; ' 0 3) % 6 va ; 2 ") % !% va . 20 40 258. Kasrlarni kamayib borish tartibida joylashtiring: 2 , 2" 9 , 2" 22 , 2" & , 2" 2! , 2" "$ , 2" 5 , 2" $ , 2" 2 , 2" 2" . 2" 3133 Har xil maxrajli kasrlarni qoshish va ayirish + 2 = 2 4 = 4 ! 4 Rasmga izoh bering! = ! 4 2 = 42 4 1. Bir xil (teng) maxrajli kasrlarni qoshish va ayirish qoidalarini eslatib otamiz. 1- q o i d a . Bir xil maxrajli kasrlarni qoshish uchun kasrlarning suratlari qoshiladi va maxraji ozgarishsiz (ozi) qoldiriladi. Umuman, k, m va n natural sonlar uchun k m k +m + = . n n n 2- q o i d a . Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun kamayuvchining suratidan ayriluvchining surati ayiriladi va maxraji ozgarishsiz (ozi) qoldiriladi. k n Umuman, k, m va n natural sonlar uchun bunda k ≥ m . 2. Har xil maxrajli kasrlarni qoshish. M a s a l a . Sayyoh birinchi kuni yolning chi kuni esa 4 ! 0 − m n = k −m , n qismini, ikkin- qismini bosib otdi. Sayyoh ikki kunda yolning qancha qismini bosib otgan? Y e c h i s h . Bu savolga javob berish uchun ! va " kasr- larni qoshish kerak. Dastlab bu kasrlarni bir xil maxrajga keltiramiz. Berilgan kasrlar maxrajlarining eng kichik umumiy karralisi ga teng. Birinchi kasr uchun qoshimcha kopaytuvchi ( : 1 = ), ikkinchi kasr uchun qoshimcha kopaytuvchi # ( : " = #) boladi. Shunday qilib, rang). # ! 6 # 6 +# + = + = = 0 4 0 0 0 0 "% (1- qoidaga qa- Odatda, tagiga chizib korsatilgan qism yozilmaydi. U holda hisoblash jarayoni quyidagicha kechadi: # ! 6+# + = = . 0 4 0 0 J a v o b : sayyoh ikki kunda yolning qismini bosib otgan. 20 Har xil maxrajli kasrlarni qoshish uchun: 1 - q a d a m . Ular bir xil (umumiy) maxrajga keltiriladi. - q a d a m . Hosil qilingan suratlar qoshiladi va maxrajga (yigindi ostiga) umumiy maxraj yoziladi. 3. Har xil maxrajli kasrlarni ayirish. 5 $ M i s o l . Ayirmani toping: − . " Y e c h i s h . Berilgan kasrlar maxrajlarining eng kichik umumiy karralisi 1 ga teng. Birinchi kasr uchun qoshimcha kopaytuvchi (1 : $ = ), ikkinchi kasr uchun esa qoshimcha kopaytuvchi 3 (1 : " = 3) boladi. Natijani topamiz: ! # 0 ! 0 − ! % − = − = = 6 4 yoki qisqacha: ! # 0 − ! % − = = . 6 4 Har xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun: 1 - q a d a m . Ular bir xil (umumiy) maxrajga keltiriladi. - q a d a m . Kamayuvchining suratidan ayriluvchining surati ayiriladi va maxrajga (ayirma ostiga) umumiy maxraj yoziladi. Agar natijada qisqaradigan kasr hosil bolsa, u holda u qisqartiriladi, notogri kasrdan esa butun qismi ajratiladi va aralash son korinishida yoziladi. Masalan, " 5 − ! = &−! = 5 = ; ! ! # ' + 0 ' % + = = = . 4 6 259. 1) Har xil maxrajli kasrlar qanday qoshiladi? ) Har xil maxrajli kasrlar qanday ayiriladi? ? 260. Yigindini toping: 1) 261. Hisoblang: 1) 5 $ + 7 25 + ; 5 9 ; 262. Kasrlani qoshing: 1) ) & 2 7 + ; "& ) ! + 2 5 + ! ; " ) " ; 5 3) " + 3) 2 ; 5 + 7 2 + 5 . 2" " 5 + . ! 7 . 2 3) Ayirmani toping (263265): 263. 1) 7 & ; " ) 9 264. 1) # ! − ; 6 8 ) 265. 1) ! ) − 5 − ; 266. Agar b = toping. 2! ; ! 3) ! " − ; ") " 7 ! 2 − ; 0 2# 3) 2 2 − ; ' # ") % % − . 20 !0 " 7 3) & 5 ") ! 5 ; 5 − − ; " ! ; 5 ! ; 29 bolsa, ! ! & − ; 2 − 5 . 2& 7 − . − b ifodaning qiymatini 267. Velosipedchi birinchi soatda yolning yarmini, ikkinchi soatda esa butun yolning uchdan bir qismini bosib otdi. U ikki soatda yolning qanday qismini bosib otgan? 268. Yigindini toping: 1) 4 ! + + ; !0 # 0 ) % ' + + ; 40 20 0 3) 2 ! % + + . # 8 0 269. Ayirmani toping va natijani qoshish bilan tekshiring: 1) % # − ; !6 8 ) 4' 4 − ; #0 2# 8 2 − ; 6 ! 3) ") 2! % − . 24 8 270. Amallarni bajaring: 1) 2 + ! " − 7 ; & ) 29 ! ; ! 3) $ 7 ) ! !# +x= ; 8 !6 3) ' ! −x = . 24 48 − 2 5 + − ! " + . !5 271. Tenglamani yeching: 1) x − 272. a = % ! = ; 0 # 2 ; ! ! ; 4 % , 2 # 8 bolganda 2! 2" − a ifodaning qiymatini toping. 273. Bir togri tortburchakning yuzi ! m , ikkinchisiniki esa " ' m . Togri tortburchaklardan qaysi birining yuzi katta? 28 Qanchaga katta? 274. «Beshinchisi ortiqcha» oyini. Qaysi son ortiqcha bolishi mumkin: 1) 3,"""; ",3""; ","3"; ",3"3; ",""3; " Matematika, $ "' ) ; 3; #; $; %? () belgilangan. Shu nurda C ( a b 275. Koordinatalar nurida A va B a m + b n belgilang. 12 O E B 1 ) () m n nuqtalar (1 - rasm) va D ( a m − b n ) nuqtalarni A x 276. (Amaliy ish.) Maxrajlari har xil bolgan kasrlarni qoshishga doir ikkita misol oylab toping. Uni qogoz varagiga yozing va partadosh dostingizga bering. Dostingiz topshiriqni qanday bajarganini tekshirib koring. 277. Bir necha tub sonning kopaytmasi 1# 1# ga teng. Shu sonlarning yigindisi tub son boladimi yoki murakkab son boladimi? 278. Agar a = toping. # ! ! ; ; ; 8 24 6 4 2! − a ifodaning qiymatini 24 bolsa, 279. Kasrlarni taqqoslang: 1) 9 va ; 9 ) 2 7 va ; 9 & 3) 5 ! va . 9 7 Amallarni bajaring (280282): 280. 1) 28 ' − ; 2' #8 281. 1) 9 2 282. 1) ' # % + − ; 24 2 !6 + ! ) + 4 − ; # 6 ; 5 283. Tenglamani yeching: 284. Manzura malum Manzuradan 5 3) ) 25 ) # ' + − ; 2 6 24 + ! 5 − ; # # 1) x + masofani + 9 2 ! 5 " ; 75 = ") ! % − . !6 2 3) " 5 3) ! ! % − + . # 0 !0 ! ; " ) soatda, Ismoil soat tezroq, Fuzaildan esa 25 !$ + ! 7 ! + −x = 9 . 75 5 . & esa uni soat kam- roq vaqtda bosib otdi. Shu masofani Fuzail qancha vaqtda bosib otgan? # 3437 Aralash sonlarni qoshish va ayirish ! " + = ? ! " =? Bir xil maxrajli aralash sonlarni qoshish va ayirishga doir ayrim qoidalarni eslatib otamiz. Aralash sonlarni qoshish uchun: a ularning butun qismlari alohida qoshiladi va natija tenglik belgisining ong tomoniga yoziladi; a songra kasr qismlar qoshiladi, agar notogri kasr hosil bolsa, uning butun qismi ajratiladi va u hosil bolgan butun qismga qoshiladi hamda ortidan qolgan kasr yozib qoyiladi. Agar kasr qismida qisqaradigan kasr hosil bolsa, u qisqartiriladi. Masalan, ! +2 9 =! !+9 =! 2 =" 2 # # =" . Aralash sonlarni ayirish uchun: a ularning butun qismlari ayiriladi va ayirma tenglik belgisining ong tomoniga yoziladi; a agar kasr qismlari ayirilganda qisqaradigan kasr hosil bolsa, u qisqartiriladi va hosil bolgan butun qismga qoshiladi. Masalan, " 5 ! 5−! 2 − = ! =! =! . & & & & " " 13.1. Aralash sonlarni qoshish Har xil maxrajli aralash sonlarni qoshish uchun: 1- q a d a m . Avval kasr qismlari umumiy maxrajga keltiriladi. - q a d a m . Songra qoshish bir xil maxrajli aralash sonlarni qoshish qoidasiga kora bajariladi. #1 1- m i s o l . 4 =%+ 2' 2' =% !0 !0 ⎛! % % 4 4⎞ + 8 + ! = 4 + ! + ⎜ + =%+ = ⎟ 0 # # ⎠ !0 ⎝ 0 yoki qisqacha: 4 3- m i s o l . % 4 + 8 ' +! =% =% . 0 # !0 !0 # % ! # + 2 26 +2 =# =# ; % # !# !# 2- m i s o l . 1) ! ) ! ! !+ +4 =# 8 4 8 # 8 =# . ! # % 4 2 + + 20 #2 % + +& = ! = ! = 4 ; # 4# ' 4# 4# 4# 4 EKUK (1#, "#, ') = "#. 4- m i s o l . ( = 4 2 9 ! " " + + 2 ) ( 5 7 7 +5 + +! = 2 9 2 " ) ( ) ! 2 % # % +! + +# + 2 + = & + % + ! = & . 4 4 ' ' 2 2 Bu yerda qoshishning orin almashtirish va guruhlash qonunlaridan foydalanildi. 13.2. Aralash sonlarni ayirish Har xil maxrajli fralash sonlarni ayirish uchun: 1- q a d a m . Avval kasr qismlari umumiy maxrajga keltiriladi. - q a d a m . Ayirish bir xil maxrajli aralash sonlarni ayirish qoidasi kabi bajariladi. 1- m i s o l . " " ! % # 28 − # ! −2 =2 =2 . ' 2 !6 !0 Yuqorida keltirilgan misolda kamayuvchining ayriluvchining kasr qismidan katta. 2- m i s o l . =#+ % % =# 2 2 # 6 # − kasr qismi ( ) ⎛ # ! ⎞ # 0 − ! = #+ − =#+⎜ − =#+ = ⎟ 4 6 4 4 ⎠ ⎝ 6 yoki qisqacha: # ! # 0 − ! % − =# =# . 6 4 Bu misolda quyidagi qoidadan foydalanildi: yigindidan sonni ayirish uchun, mumkin bolgan holda, qoshiluvchilarning biridan sonni ayirib, natijaga ikkinchi qoshiluvchini qoshish kifoya. # % ' % −2 3- m i s o l . " ) ( ) ! % # 28 − # ! ! − =#+ =#+ =# ' 2 !6 !6 !6 =# yoki qisqacha: % ( # # # % # =% − 2+ = % −2 − = 2 2 2 ' 2 " ! % # 28 − # ! −2 =# =# . ' 2 !6 !6 Bu yerda quyidagi qoidadan foydalanildi: sondan yigindini ayirish uchun sondan qoshiluvchilardan biri (qulayi)ni ayirish, natijadan ikkinchi qoshiluvchini ayirish mumkin. 4- m i s o l . − % ' % 2 = − = , chunki 1 ni istalgan suratli va ' ' ' ' unga teng maxrajli kasr orqali ifodalash mumkin. 5- m i s o l . !− 6- m i s o l . & yoki qisqacha: & ! ! 6 = % ( + )− −4 −4 % % ! 6 = % =4+ ! =4 % −6 = % % ("- misolga qarang). !− 4 6 !−4 '−4 # =!+ + =!+ =! 6 6 6 6 6 !−4 '−4 # =! =! . 6 6 6 Songgi misolda kamayuvchining kasr qismi ayriluvchining 2 . Bunday holda kamayuvchining ! 6 butun qismidan bir birlik olinadi va u kasr korinishida ifo6 kasr qismidan kichik, yani 2 < dalanadi. 5 $ Javob: ! . Natural sonlarni qoshish va ayirishga oid barcha qonunlar kasr sonlar uchun ham orinli. Kop hollarda ularni qollash natijasida hisoblash jarayonlari soddalashadi. 285. 1) Bir xil maxrajli aralash sonlarni qoshish va ayirish qoiifodalang. Qoshishning qanday qonunlarini bilasiz? ? dasini ) Har xil maxrajli aralash sonlarni qoshish qoidasini ifodalang. 3) Har xil maxrajli aralash sonlarni ayirish qoidasini ifodalang. ") Ayirishning qanday qonunlarini bilasiz? #3 Yigindini toping (286289): 286. 1) ! " + ; " )! ! !7 287. 1) ! 2 +2 ; 6 ! )& 288. 1) ! 5 +$ ; & ) + 2 ! ) " # 289. 1) + " ; 290. C va D " ; !7 3) $ ! # + % ; 4 3) # +& ; 6 2 ") $ % # +' . 0 20 ! " ; $ 3) % + ! ; 5 9 $ ") ! 5 + . " $ 2 3) ! ! +2 ; ") " $ nuqta " sm, 2 AC = toping. " 5 + +5 ; AB CD = ! kesmani " ; + 2 5 uchta & sm va DB = ") $ bolakka ! $ + ! . $ 2 7 +7 . boladi. sm bolsa, AB ni 291. Ifodaning qiymatini toping: 4 # +& +' ; ' ! 2 1) % % % +# + ; 20 !0 # ) " 292. Qovunning massasi ! 7 & ! # +4 +# . 4 # 2 ! qovundan kg ga " kg, tarvuz 3) ! ogirroq, qovoqning massasi esa tarvuz va qovun massalari yigindisidan kilogramm & kg ga ortiq. Qovoqning massasi necha (13- rasm)? 13 293. Qoshish qonunlaridan foydalanib, yigindini hisoblang: ( 1) ) ' ) ( ) # % % # 8 8 ; +! +2 + + + ! 2! 22 # 22 # 2! 5 $ ! 5 7 + + 2 + $ 2 5 $ 7 + + 5 . Ayirmani toping (294296): 294. 1) 5 5 $ 295. 1) % # − 6 ! )7 5 7 −" 5 ; " 3) − # ; ! ; 8 ) " 7 & − ! ; 3) % − ; #" % 8 2 % −! ; 20 8 ") % ! − . 8 6 5 & ") & − ! ! . 2 7 9 296. 1) $ − " " ; 7 297. Bosh idish ) ! " " 5 −% ! ; 2 3) 2 5 7 4 − ; # 2 kg keladi, asal bilan toldirilgani esa $ Idishdagi asal necha kilogramm? 298. Jadvalni ! . 5 ") − 2 kg. toldiring: a b ! 7 ' ! 7 # 9 # " a+b ! 5 " 2 2 # 7 2 ! ! 0 " 5 & 3 % ! a−b ! $ ! 5 ! " 299. Nomalum sonni toping: 1) 300. 5 ! +x= ; 2 4 7 5 )2 ! % −x = ; 4 2 ni hosil qilish uchun % kerak? 301. Ikkita qopchadagi un # 4 # 3) x + =2 . 8 2 ga qanday sonni qoshish 2 kg, ulardan birida % kg un bor. 2 # Qaysi qopchadagi un kop va qanchaga kop? 302. Ifodaning son qiymatini toping: 1) 4 ! % +$ − ; # 4# 2 303. Sonlarni toping: 1) ! ) taqqoslang. 7 ... 2 8 ' " ; ( ) # 6 ! ; + − 28 % 4 Ularning ) # 7 ... & # 3) 8 yigindisi # ; 2 % # ! − + − 2 . 2 8 4 6 va 3) $ ayirmasini ... ! " ! # . 304. C va D nuqta AB kesmani uchta bolakka boladi. Agar ! 7 AB = % sm, AC = & sm va DB = ' sm bolsa, CD ni 5 " toping. 305. 1, , 3, #, &, 13, ... sonlar qatoridagi qonuniyatni aniqlang va keyingi uchta sonni yozing. ## Amallarni bajaring (306307): 7 7 + −5 ; 5 ! ! 307. 1) % − − ; ! # # ! 2! +" −$ ; 2 2" 2" % ) ! − − ; 8 4 2 306. 1) " ! 5 − + 2 . 2 " $ % 2 3) " − + . ' ! 6 )# 3) ! 308. Amallarni bajaring: 5 & 1) % + " & 309. Tenglamani 1) ( ! ; $ − ) )! 3) ! 2 ! $ 2 − + % . yeching: % ! −x +4 =# ; 8 6 4 ) y+ " ! = 2 ! + 2 . 5 ! dm ga, CD kesmaning uzunligi # 310. AB kesmaning uzunligi esa 2 ! 6 # + 2 − ; 28 % 4 " dm ga teng. Qaysi kesma uzun? Qanchaga uzun? 25 311. Soroq belgisi orniga mos sonlarni qoying (1"- rasm): 14 ? ! " +? 5 ! 1 8 1# −! ! ? +? 10 3 4 ga teng. Ikkinchi son undan 6 ga ortiq. 7 7 9 ga kam. Uchinchi son shu ikkala son yigindisidan % 0 312. Birinchi son # Uchala son yigindisini toping. 313. Bir topda 4 3 8 m mato, ikkinchisida esa undan ! 7 0 m kam mato bor. Ikkala topda jami necha metr mato bor? 314. Oylangan sondan 7 8 ayrilsa, u holda 3 8 va 36 sonlari ayirmasiga teng son hosil boladi. Qanday son oylangan? 315. Bir son ikkinchi sondan ! 7 0 7 0 ga ortiq. Ularning yigindisi ga teng. Shu sonlarni toping. 316. Agar a = # va & matini toping. b=! bolsa, ! #$ a+b−2 ifodaning son qiy! 317. Tenglamani 1) 318. 2 yeching: (x − 4 ) − 7 3# =2 ; 28 40 ) # ( ) 9 4 3 − +x =2 . 2# # 20 7 3 ni hosil qilish uchun 1 ni qanday songa kamaytirish 6 4 kerak? 319. Ifodaning qiymatini qulay usul bilan hisoblang: 1) (8 ) ( # 7 9 8 −# + ; 2# 3# 2# 8 # ) ) # 44 + 3 − 2 44 . Amallarni bajaring (320325): 320. 1) ' ! 7 321. 1) 3 3 + ; 2 8 + 2 ; 7 ) 5 22 ) # 2 + ; 9 $ ! ! 323. 1) % − 2 ; & & & 324. 1) # − 4 ; 9 ! ! 7 325. 1) ! − ; 0 5 +! 7 ; 22 ! 5 5 3) ! + 2 ; # # + ; 2 6 3) 2 7 + ; # # sotildi. Shundan song necha tonna un qoldi? 327. Bir xaltachada konfet bor. konfet bor? 2 xaltachada jami 4 9 ! . 0 ! ! ") 5 − . 5 5 7 5 ") ' − 1 . & $ " ") ! − . 5 $ 3 2 tonnasi 4 ") 5 kg, ikkinchisida esa undan Ikkala 2 +! . 3 )1 +% ; 326. Supermarketga 2 ") & + . ! 5 & " 3) " + ; & $ 5 9 " $ ) 5 −! ; 3) 2 − ; 5 5 7 7 ! 5 5 ! ) 4 − ; 3) ! − 1 ; 22 $ " 7 5 5 ! ) & −4 ; 3) 5 − ! ; & $ 2 & & t un keltirildi. Uning 2 322. 1) ! ") 2 necha 5 $ +2 kg kam kilogramm 3 m, songra 3 m mato # 0 qirqib olingandan keyin m mato qoldi. Topda ham2 328. Bir top atlasdan avval 6 masi bolib necha metr atlas bolgan? 329. Qulay usul bilan hisoblang: 1) 2 7 & " 5 & +! + ; 330. AB kesma ) " & 25 +! 5 " −2 5 ; " 3) 33 9 ! dm ga, CD kesma esa 0 " kesma uzun? Qanchaga uzun? #% ( ) # 8 # . + 3 −2 44 3 44 dm ga teng. Qaysi Ingliz tilini surat numerator kasrlarni qisqartirish simplifying fractions umimiy maxraj common denominator togri kasr proper fraction aralash son mixed number maxraj denominator qoshish addition ayirish subtraction TEST 3 Ozingizni sinab koring! + . 2 3 1. Yigindini hisoblang: A) 5 ; $ 2 ; 5 B) & 2. Yigindini hisoblang: A) 5 ; & ; 6 B) + D) ; 5 E) . ! D) ; 5 E) . 2 E) . 2 . 2 2 ; & B) 2 − . 3 2 3. Ayirmani hisoblang: A) organamiz! ; 3 D) 1; ! 2 5 B) ! ; $ 4. Yigindini toping: 2 + . A) 0 ; $ 2 5 E) 1 . ; 0 E) 2 . # 7 E) 4 . D) ! ; 3 − . # 2 B) 2 ; 5 2 5 5. Ayirmani toping: 2 A) 2 ; 0 D) ! 2 ! 2 7 6. Amalni bajaring: ! − 1 . # 7 A) 1 ; 2 7 B) 2 ; D) 2 ; 7. Ifodaning qiymatini toping: A) ; ! B) ; 5 3 − + . # # 3 D) #& 2 7 ; 5 E) . 5 III bob. Oddiy kasrlarni kopaytirish va bolish Oddiy kasrlarni va aralash sonlarni kopaytirish 4042 14.1. Oddiy kasrlarni kopaytirish ! 4 ! 4 ⋅ 1 ! 8 = Oddiy kasrlarni kopaytirish qoidasini keltirib chiqaramiz. M a s a l a . ABCD kvadratning to- C M K 3 dm 5 " "! 3 dm va moni 1 dm ga teng. Tomonlari # 2 dm bolgan AKME togri tortbur# B 15 " " !E A chakning yuzini 15- rasmdan foydalanib toping. D 2 dm 5 1 - u s u l . Masalani yechishdan avval togri tortburchakning tomonlarini onli kasrda ifodalab olamiz: ! # dm = 0,6 dm, 2 dm = 0,4 dm. U holda S = 0,6 ⋅ 0,4 = 0, 4 (dm ). # Endi topilgan onli kasrni oddiy kasrga aylantiramiz: , " dm = $ " # dm = $ dm . # Bu natijani dastlab berilgan kasrlarni onli kasrga aylantirmasdan ham osongina hosil qilish mumkin. Natijaning $ surati 2# berilgan kasrlar suratlarining kopaytmasi ! ⋅ ga, maxraji esa maxrajlarining kopaytmasi 5 ⋅ 5 ga tengligi korinib turibdi. Ho$ 3 kasr va 2# # 3 2 3⋅2 ⋅ = = ladi. Demak, # # #⋅# sil bolgan 2 kasrlarning kopaytmasiga teng bo# $ . 2# 59 -usul. ! ⋅ # # ni topish uchun bunday muhokama otkaza- miz. ABCD kvadrat 5 ta bir xil kvadratchaga bolingan, AKME togri tortburchakning yuzi esa shu kvadratchalardan 6 tasiga teng. Shuning uchun uning yuzi Demak, ! ⋅ # # = 6 # $ 2# dm ga teng boladi. (dm ). Bundan korinadiki, surat 6 ni hosil qilish uchun ! ni ga, maxraj 5 ni hosil qilish uchun esa 5 ni 5 ga kopaytirish kerak $ 3 kasr va 2# # 6 dm . Javob: # ekan. 2 # kasrlarning kopaytmasi boladi. Kasrni kasrga kopaytirish uchun shu kasrlar: a suratlari kopaytmasini natijaning suratiga yozish kerak; a maxrajlari kopaytmasini natijaning maxrajiga yozish kerak. Harflar yordamida bu qoidani quyidagicha yozish mumkin: k p k⋅p ⋅ = , bunda k, n, p, q natural sonlar. n q n ⋅q 1- m i s o l . 2 " 2⋅" & ⋅ = = . 3 # 3⋅# # Javob: & . # Agar mumkin bolsa, kopaytirishni bajarishdan oldin 1-kopaytuvchining surati va maxrajini -kopaytuvchining maxraji va surati bilan qisqartirib olish maqul boladi. 2- m i s o l . ' ⋅ ' ⋅ = = . ' 3 # ' ⋅ 3# Javob: # . Kopaytuvchilardan bazilari natural son bolsa, ularni maxraji 1 bolgan kasrlar deb qarash mumkin. U holda kasrni natural songa va natural sonni kasrga yuqoridagi qoida boyicha kopaytirish mumkin. 3- m i s o l . 3 ⋅ 3⋅ " 3 " 3 ⋅ " 2 2 = ⋅ = = =2 # # ⋅# # # " 3⋅" 2 2 = = =2 . # # # # 4- m i s o l . 1! ⋅7 = 7 ⋅ 1! 1 yoki qisqacha: 2 # Javob: 2 . = 14 1! =1 60 1 1! yoki 2 2 ⋅% " ⋅% = = = . 3 3 3 3 Natural sonni kasrga va kasrni natural songa kopaytirish uchun: 1- q a d a m . Natural sonni kasr suratiga kopaytirish kerak. - q a d a m . Maxrajning ozini ozgarishsiz qoldirish kerak. Harflar yordamida ushbu qoidani quyidagicha yozish mumkin: m⋅ k m ⋅k k k ⋅m = ⋅m = yoki , bunda m, k, n natural sonlar. n n n n Agar kopaytuvchilardan biri nolga teng bolsa, u holda kopaytma ham nolga teng boladi. Aksincha, agar kopaytma nolga teng bolsa, kopaytuvchilardan kamida bittasi nolga teng boladi. % % ⋅0 = 0⋅ = 0. J a v o b : 0. & & # = 0 bolsa, u holda 6- m i s o l . Agar # ⋅ x − $ # # Javob: x = . demak, x = . 6 6 5- m i s o l . ( ) x− # =0 $ va 14.2. Aralash sonlarni kopaytirish " 1- m i s o l . ! ⋅ # = ! ⋅ " # = ! ⋅ ! "⋅# = !' # " =% . # " # Javob: % . 1- q o i d a . Aralash sonlarni kopaytirish uchun ularni notogri kasrga aylantirish, songra ularni kasrni kasrga kopaytirish qoidasiga kora kopaytirish kerak. 2- m i s o l . 3 1 9 21 9 3⋅9 27 7 = ⋅ = = =2 . 5 14 5 14 2 5⋅2 10 10 4 ⋅ Javob: 2 7 . 1 2- q o i d a . Aralash sonni kasrga kopaytirish uchun dastlab aralash sonni notogri kasrga aylantirish, songra hosil bolgan kasrni berilgan kasrga kopaytirish kerak. 5 6 ( )⋅3 = 6 + 3- m i s o l . 2 ⋅ 3 = 2 + # $ 5 6 2 ⋅! = $ 1# $ 5 = 8,5 2 =8 ! $ yoki qisqacha: = 8,# . 3- q o i d a . Aralash sonni natural (butun) songa kopaytirish uchun butun va kasr qismini alohida-alohida kopaytirish maquldir. 61 ( ) )⋅ 4- m i s o l . ⎛ 3 4 ⎞ 3 9 9 9 9 ⋅ % ⋅ = ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ % = ⋅ % = % . 4 3 3 4 3 3 3 3 ⎠ ⎝ 5- m i s o l . ( 5 ⋅ "3 5 7 ⎛ 6 5 5 ⎞ 5 =⎜ ⋅ ⋅ "3 = ⎟ 3 ⎝ 5 3 ⎠ 7 ⋅ "3 5 0 = 86 . 7 7 Natural sonlarda bolgani kabi kopaytirishning orin almashtirish va guruhlash qonunlari kasr sonlar uchun ham orinlidir. Ularni qollash ogzaki va yozma hisoblashlarni soddalashtiradi. 331. 1) ? !)) 4) 5) Kasr kasrga Natural son Aralash son Aralash son Aralash son qanday kopaytiriladi? kasrga qanday kopaytiriladi? aralash songa qanday kopaytiriladi? kasrga qanday kopaytiriladi? butun songa qanday kopaytiriladi? Kopaytirishni bajaring (332334): 1 2 # 333. 1) $ 332. 1) 334. 1) 8 ' 1 3 $ ⋅ ; 7 2 2 ⋅ ; 3 5 1 ⋅ ; ) ' ⋅ ; ) ! " ⋅ ; ) 1 # ⋅ ; 7 5 1 ⋅ ; & 9 ! # ⋅ ; !) 1 7 !) ' ⋅ ; ! 1 !) 3 3 ⋅ ; 4 5 7 ' ⋅ ; 4) 1 1" 7 10 # 5) 1 4) 4) 5) " 1# ⋅ ; ! 1$ 5) ⋅ 1 . 4 ⋅ . ! # " ⋅ . $ !# 335. Kopaytirishni bajaring va natijani aralash son korinishida yozing: 1) 5 ⋅ 2 ; 3 3 5 ) "⋅ ; 336. Kasrlarni qisqartiring: 1) yigindisini; !) $ ⋅ 3 ; 7 4) # ⋅ ' ; 5) % ⋅ !. 33 %# 2# , , . Ularning: 66 ) kopaytmasini toping. 337. AB kesma km ga teng bolsin (16- rasm). Undan foyda" lanib, 1 km ga mos kesmani chizing. 16 A 1 " km B 338. Ifodaning qiymatini toping: 1) 1 1# ⋅ # 8 " # +! ; ) 5 " 1 6 − 18 7 ⋅ ; "' ' !) % ! 1 + !' 11 ⋅ . ## 1! 339. Hisoblang: 1) " " 3 ⋅ ⋅ ; % # & ) & # 2% ⋅ ⋅ ; ' 6 ## 2 % ' # ⋅ ⋅ ⋅ . 3 2# & 2& !) Kopaytirishni bajaring (340341): 340. 1) 1 " 1 ! 341. 1) $ 2 ⋅ ; " 2# ⋅1 ; ) # # 1 ⋅1 # ; 1! ! 8 # ⋅9 ; 3 ) 1 7 !) " ⋅ 1 ; 4) " 2# ; # 3& !) # ⋅ ' ⋅3 . 3 % " ⋅ . ' # 4) 342. Soroq belgisi orniga mos sonlarni qoying (17- rasm). 17 ·5 ! # · ? ! 343. Kopaytirishni bajaring: 1) % 344. Kvadratning tomoni ? · 5 ? & ⋅ 2 ⋅ ; 2 " "' · 8 ? % ) 5 ⋅ ⋅ 3 ⋅ . 3 ! dm. Uning perimetri va yuzini to8 ping. 345. AB kesma dalanib, 7 6 % sm ga teng bolsin (18- rasm). Undan foy- sm ga mos kesma chizing. 18 % 346. Hisoblang: 1) # + $ sm ( ) % ' ' ; ⋅ # − ' 347. Hisoblang: 1) $ 348. Togri B 1! " 7 8 )3 ! " + 5 − 10 ; tortburchakning " dm, eni esa undan # ! boyi 1 dm ga 8 qisqa. Shu togri tortburchakning yuzini toping (19- rasm). 6! " 2 " ⋅ 5 + 3 ⋅ . % 3 % 3 ) & 7 1# − # 1 ! +1 . 19 b (eni) A S=ab a (boyi) 349. «Neksiya» yengil mashinasi soatiga 20 # %0 tezlik bilan 1 soat-u 48 minut 8 yol yurdi. Mashina qancha masofani bosib otgan ( 0- rasm)? 350. 64 sonini uchta tub sonning yigindisi korinishida tasvirlash mumkinmi? 351. Qaysi holda qoshish togri bajarilgan? 3 3 + " 3 3 + " 3 3 ⋅# + ⋅# "# + # $ + = = = = "; % & %+& # # 3 3 ⋅& +⋅% 2" + % 3 E) % + & = % ⋅ & = #$ = #$ . À) % + & = % + & = # ; D) B) % + & = % ⋅ & = #$ ; 352. Kasrlarni taqqoslang: 1) 353. Bir idishda 5 ! 1 3%3%3% %%%%%% va 3% ; %% ) " " va . $ $ kg, ikkinchisida unga qaraganda " 1 1 kg ortiq yog bor. Ikkala idishda necha kilogramm yog bor? Kopaytmani toping (354359): 354. 1) 3 ⋅ ; $ % ) 2 " ⋅ ; 3 3 !) % ⋅ ; 3 & 4) 3 3 ⋅ ; # 5) 2 # ⋅ . ' % 355. 1) # ' ) 1" # ⋅ ; # 7 !) 7 8 1$ ; !# 4) " 3 ⋅ ; # & 5) 1# ⋅ . 1" ! ! 7 4) 7 1# 5) 11 18 ⋅ ! ; # 356. 1) 5 ⋅ 1 ; 1 1 7 1 357. 1) 7 ⋅ ! ; 358. 1) 3 ) "⋅ # ; 1 !) 0 ⋅ ; 1 ⋅ $. !) 1 7 1 " ⋅$ ; 2& !) " 2 # ⋅ ; # 3 4) ' 3 ⋅3 . 2 ' !) ⋅$; & 4) 2" ⋅ . 2# " ) ' ) #⋅% ⋅1 ; ; # 360. Togri tortburchakning eni # # 1 ! ⋅ ; 1 ! ) 10 2 3 ⋅ ; 3 % 359. 1) ' ⋅ ' ; ⋅ ⋅! ; 4) & ⋅ 1 ! 1! dm, boyi esa enidan marta uzun. Uning yuzini toping. 361. Kub, daraja va kvadrat sozlaridan qaysi biri ortiqcha? 64 . 1 4345 Sonning qismini topish Kopgina masalalarda berilgan sonning qismi yoki kasrini topish talab etiladi. Bunday masalalar kopaytirish bilan yechiladi. Masala. 5 km li yolning qismiga asfalt yotqizildi. # Necha kilometr yolga asfalt yotqizilgan ( 1- rasm)? Yechish. 21 2 # Bu yerda 5 sonining qismini topish talab qilinmoqda. Dastlab, qismini topamiz: 5 : 5 = 1. 5 ning # 1 qismi 5 ning qismidan ikki marta katta, shuning uchun 1 ni # # 2 ning kopaytmasini ga kopaytiramiz: 1 ⋅ = . Agar 5 bilan # 5 ning topsak ham, yuqoridagi natijaga kelamiz: #⋅ Demak, 5 ning 2 # # = #⋅ # = (km). km yolga asfalt yotqizilgan. Bunday holda biz qismini topdik, deymiz. Javob: km yolga asfalt yotqizilgan. Bu masalada: 5 berilgan son, ifodalovchi kasr, # izlanayotgan qismni berilgan sonning izlanayotgan qismi. Sonning berilgan qismini topish uchun sonni uning qismini ifodalovchi kasrga kopaytirish kerak: =⋅ k = ⋅k = , bunda a, k, n natural sonlar. n n 1- m i s o l . 49 ning Yechish. "' ⋅ # % qismini toping. % # "' ⋅ # = = % ⋅ # = 35 . % % J a v o b : !5. 5 Matematika, 6 65 2- m i s o l . 20 Yechish. 2 5 20 ning # 3 qismini toping. 34 2 # 102 # 1 ⋅ = ⋅ = 34 . # 3 31 1# J a v o b : !4. Bu misolda sonning qismini topmadik, chunki 2 5 !4 > 20 . Shuning uchun umumiy holda sonning kasrini topdik, deyiladi. 362. 1) Sonning berilgan qismi qanday topiladi? ) Sutkaning choragi, nimchoragi necha soat? ? Hisoblang (363367): 363. 1) 100 ning 9 qismini; 2# ) 110 ning 3 qismini. 364. 1) 5 1 25 ning qismini; 25 "2 ) 6,! ning 2 7 365. 1) ! 2 ning ! ) 1! ning 2 ! 1 1 qismini; 11 3 qismini; " " qismini; 5 km ning 5 qismini. 1 qismini. ! " qismini. # ! ) !,! km ning qismini. 367. 1) 11 ! 1 368. Zigir urugida (massasi boyicha) qism yog bor. 2 t 1 2 366. 1) 18 kg ning ) 45 kg ning zigir urugidan qancha yog olinadi? 369. Gosht qaynatilganda massasining 5 kg gosht qaynatilganda grammga kamayadi? 370. Oramda uning 2 # qismini massasi 8 m adras bor edi. Dastlab 3 uning qismi, songra qolgan matoning 7 ! qismi qirqib olindi. Shundan 8 yoqotadi. necha kilo- 1 " qismi 22 song oramda necha metr adras qolgan ( - rasm)? 371. Shirinliklarni tayyorlash uchun 1 ishlatildi. Qancha shakar qolgan? 66 kg shakarning 372. Uchburchakning perimetrining 2 ' perimetri !7,8 m. Uning qismiga, ikkinchisi esa Shu uchburchakning tomonlarini toping. ! 7 bir tomoni qismiga teng. 373. Qaldirgochning tezligi 1 600 m/min, chugurchiqning tez! " ligi qaldirgoch tezligining qaldirgoch tezligining 7 1 qismini, qirgiyning tezligi qismini tashkil qiladi. Chugur- chiq va qirgiyning tezligini toping ( !- rasm). 23 Qaldirgoch Chugurchiq Qirgiy 374. Dokonga keltirilgan 600 kg unning tushdan keyin esa qolgan unning un sotilmay qolgan? 3 # 3 & qismi tushgacha, qismi sotildi. Qancha 375. Bogdan 75 kg gilos terib olindi va ular uchta savatga joylandi. Birinchi savatga hamma gilosning savatga 2 5 1 ! qismi, ikkinchi qismi joylandi. Uchinchi savatga qancha gilos joylangan? 376. 4- rasmda kvadratning yuzi korsatilgan. Kvadratning boyalgan qismining yuzini toping. Boyalmagan qismining yuzi nimaga teng? 377. 10 m uzunlikdagi shoyi matosining ! qis5 mi qirqib olingandan song, necha metr shoyi matosi qolgan? 196 sm2 2 3 ning qismini. 3 0 ! 379. Togri tortburchakning boyi 15 sm, eni esa boyining 5 378. Toping: 1) !0 ning # 6 24 qismini; ) $ qismiga teng. Shu togri tortburchakning yuzi va perimetrini toping. 67 Kopaytirishning taqsimot qonuni va uning tatbiqlari 4648 m Nechta oq kvadratcha bor? m Nechta qizil kvadratcha bor? m Jami nechta kvadratcha bor? (5 + 4) ⋅ 4 va 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 ifoda nimani bildiradi? Masala. Togri tortburchak- ning boyi 7 dm, eni esa 8 teng. togri Shu perimetrini 25 B 3 dm ga " C P = 2(a + b) b tortburchakning A toping. a D Y e c h i s h . 1- u s u l . Togri tortburchakning perimetri qoshni tomonlari yigindisining baravariga teng ( 5- rasm), yani P = ⋅ (a + b). Bundan: 2 = ⎛ ⋅⎜ ⎝ 7 3⎞ + ⎟ = & " ⎠ ⋅3 7+6 = & ⋅3 3 37 37 = ⋅ = = 9 (dm). & &" " " - u s u l . Togri tortburchakning perimetri uning tortta tomonining yigindisiga teng. Shu bilan birga, AD = BC = a va AB = CD = b bolgani uchun: P = a + a + b + b = a + b. 7 ! 2! 7 2! 1" !7 1 Bundan, 2 = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 = 1 2 ⋅ + 2⋅ = + = = 9 (dm). 8 Javob: 9 1 " " 8" " " " " " dm. Perimetrni hisoblashning ikkala usulidan korinadiki, ⋅ ( ) 7 3 + = & " ⋅ 7 + & 3 ⋅ . " Umuman, a, b va c ixtiyoriy onli va oddiy kasrlar uchun quyidagi tenglik orinli: c ⋅ (a + b) = a ⋅ c + b ⋅ c. 68 Bu tenglik kopaytirishning taqsimot qonunini ifodalaydi. Sonni yigindiga kopaytirish uchun bu sonni qoshiluvchilarning har biriga kopaytirish, songra hosil bolgan kopaytmalarni qoshish kerak. Taqsimot qonuni qoshiluvchilar soni ikkitadan kop bolganda ham orinlidir. (a + b) ⋅ c va (a − b) ⋅ c kopaytmalardan a ⋅ c + b ⋅ c yigindiga va a ⋅ c b ⋅ c ayirmaga otish qavslarni ochish deyiladi. Aksincha, a ⋅ c + b ⋅ c yigindidan (a + b) ⋅ c kopaytmaga, a ⋅ c b ⋅ c ayirmadan (a − b) ⋅ c kopaytmaga otish umumiy kopaytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish deyiladi. Kopaytirishning taqsimot qonuni hisoblashlarni soddalashtirish uchun va kopincha, ogzaki hisoblashda qollaniladi. ( ) ⋅ 18 = 4 ⋅ 18 + + 6 ⋅ ! = ! ⋅ ( # 9 # 9 1- m i s o l . 4 ⋅ 18 = 4 + 2- m i s o l . ( = 3+ # 19 0 # ⋅! 7 9 ) ⋅ 19 = 3 ⋅ 19 + 7 7 # 1 19 # ⋅ 18 2 = 72 + 10 = 82. 9 1 # 9 # 9 ) 0 7 # +6 = ! ⋅ 9 = 7 7 9 ⋅ 19 1 = 57 + 5 = 62. ( ) 4 4 4 4 ⋅ ! − ! ⋅ 8 = ! ⋅ 8 − 8 = ! ⋅ 0 = 5 7 7 5 7 5 5 7 0 3 3 = 3 + ⋅ 0 = 3 ⋅ 0 + ⋅ 0 = 30 + = 30 + = 3 . 7 7 7 7 7 3- m i s o l . 8 ( ) ( ) )> = 4- m i s o l . ⎛ 4 5⎞ 4 5 & 5 3 + =+ ==⎜ ⎟ = = 4 + 4 = = 4 = . 7 4 7 4 ⎝ ⎠ 5- m i s o l . ⎛ # 3 " 2⎞ 3 2 # & − >− >=⎜ ⎟ > = 20 − 20 " # " # ⎝ ⎠ ( 7 >. 20 Sodda hollarda bunday shakl almashtirish ortiqchadir. 6- m i s o l . ! = 5 7- m i s o l . 5 3 >− >= + 2 = 5 2 5 = = . 5 5 5 ! 5−! 2 > , chunki 11 − 11 = 11 = = , chunki ! 5 + = 2 . 11 380. 1) Taqsimot qonunini ayting va misollarda tushuntiring. ochish deganda nimani tushunasiz? ? !)) Qavslarni Umumiy kopaytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish nima? 69 381. Qulay usul bilan hisoblang: 5 7 5 7 5 ! 382. Hisoblang: 1) 1 ⋅ 12 !" 1) 11 ⋅ " " 11 −" " 11 3 2 2 − 3 ⋅$ . 3 3 3 2 2 2 1 ) 10 ⋅ 2 − 2 ⋅ 5 . ! 5 5 2 ) 3 ⋅ 5 ⋅$ ; +1 5 12 ⋅1 !1 ; !" 383. Ifodaning son qiymatini toping: 1) 9 3 ⋅ ( x + O ) , bunda N = 3 ; O = 5 ; 4 3 3 ! 5 1 ! 1 2 1 5 ) 11 x − 5 O , bunda N = 2 ; O = 1 . ( 384. Hisoblang: 1) ) 5 3 − ⋅" ; 6 7 ) 385. Qulay usul bilan hisoblang: 5 " 8 ' 1) $ ⋅ ) 7 ! " ⋅ ; 8 ' 4 7 7 4 ⋅ − ⋅7 ; 0 0 386. Ifodani ! = 7 1) + ) 4 3 − ⋅ 5 ; 5 5 !) 21 ' 2 4) 3 3 3 3 ⋅" −% ⋅" . 9 5 9 5 ⋅ 1 5 =; 1" 387. Ifodani ) 7 5 =− =; 9 & !) $ ' 2 ⋅' ( ) & 5 . − 9 & 11 ; 15 4) 2 7 5 >+! >. 2 2 soddalashtiring: + 15 = 28 11 =; !5 − 5 $ " ' 2 & ( ) ) $ 391. Tortta sonning yigindisi 26 7 8 3 5 2 9 4 7 3 4 5 6 6 2 3 4 ) 5 2 3 − + ⋅ . 2 3 2 4 10 ga teng. Birinchi son shu 4 ! qismini, uchinchi son esa qolgan ikki son yigindisining 5 yigindining 2 5 1 2 ) " > −2 > + ! >. 1) ! + 2 + 5 ⋅ $ ; 4 + 21 9 2 ?− ?; 25 5 388. Barcha gorizontal va vertikal qatorqolgan sonlarning yigindisi ? larda teng bolishi uchun qaysi uchta sonni ochirish kerak ( 6- rasm)? 389. 5 ∗ ∗ soni !6 ga bolinishi malum. Shu sonning yuzlar va birlar xonasidagi raqamlarni toping. 390. Amallarni bajaring: ( " 15 !) & ⋅ soddalashtiring: + ! = 1) 1" ( qismini, ikkinchi son birinchi sonning qismini tashkil qiladi. Shu sonlarni toping. 70 392. 5 9 va ! & 6 393. 7 7 9 va " qismini toping. sonlari yigindisining sonlari ayirmasining & 9 qismini toping. 394. Ifodani soddalashtiring va berilgan a uchun uning qiymatini toping: ! = 7 + " = ' − 5 = , bunda a = 6!; $! ! ; 5 395. «Yosh tabiatshunoslar» togaragi azosi Anvar tabiatni organish maqsadida sa5 1" yohatga chiqdi. U yolning " 5 ; 1. 27 qismini otgandan keyin hisoblasa, qolgan yol otilganidan 1 km kop ekan. Anvar yana qancha yol yurishi kerak ( 7- rasm)? 396. Hisoblashni tekshiring: 1) ! ⋅ ) %& ⋅ =! ⋅ & + ! : & = $" + " = $& ; 2 = %& − %& : 3 = %& − $ = %2 . 3 Ozingiz ham shunga oxshash misollardan 45 tasini tuzing. 397. Sayyoh uch kunda d km yol yurdi. 1- kuni u yolning 40 % ini, - kuni esa yolning qancha yol yurgan? 398. Qoshish va ayirish amallari xossalaridan foydalanib hisoblang: ( ) 5 4 2 1) 29 + 29 − 3 ; ) ( 3 qismini otdi. U !- kuni + ... 60 : ... + 13 : ... 5 6 ) 7 & 7 + − . 25 9 25 ... 399. «Labirint» oyini. Labirintdagi bosh joylarni sonlar bilan toldiring ( 8- rasm). 71 28 2 12 29 : ... 400. Avtomobil !4 km yolni bosib otdi. yolning gorizontal (tekis) qismi uning lish qismi Bosib 7 ' otilgan qismini, kotari- 2 qismini tashkil qilgan. Qolgan qismi esa qiya1! likdan iborat bolgan. Qiya yol necha kilometrga teng? 5 & 401. Togri tortburchakning eni dm ga teng. Boyi esa enidan ,1 dm uzun. Uning perimetrini ikki usul bilan hisoblang. 402. Ifodaning qiymatini toping: ( ) 1) " 7 − ( 3 ⋅ 5 ; 5 5 ) ) + 5 ⋅ 34 . 34 7 403. Yulduzchalar (∗ ) orniga qanday sonlarni qoyish mumkin: 1) 1 1 ⋅ " * = * ; 12 ) 2 * ⋅ * 7 = 8 ; 21 * ! ⋅ 8 5 !) = ! ; * 4) 1 1 ⋅ * * = * ? 18 404. Ifodani soddalashtiring va uning son qiymatini toping: 5 $ 1 $ " = , bunda a = ; ; 6; 4; 1 . " 11 ' 1 =+ 405. Hisoblang va natijaga teskari sonni toping: 5 & 1) ! ⋅ 0,"& + !,$ 5 ⋅ 0,5 ; ) % & & ⋅ !,& − % ⋅ !,& . 5 5 406. Qulay usul bilan hisoblang: 1) 2 5 6 6 5 ⋅ " − ⋅ 2 ; 3 72 72 3 ) % 3 3 ⋅" + 5 & 3 ⋅" . 5 407. Ifodani soddalashtiring va berilgan N uchun uning qiymatini toping: 11 15 ! 5 x +1 x − 1" 15 5 ; 17 x , bunda N = 5; 1 ; 17 4,5. 408. Beruniy kochasida a km uzunlikdagi yol tamirlanishi kerak. 1- kun ishchilar yolning qismini tamirlashdi. lanishi kerak? 409. Togri 1,8 dm toping. Yana tortburchakning qisqa. Shu necha boyi togri 7 4 5 5 2 5 qismini, - kun esa kilometr yol tamir- esa undan ! dm, 8 eni tortburchakning perimetrini 4950 Ozaro teskari sonlar Surat, orning maxrajga boshat! n k Maxraj joyin surat oladi. k n Shunda berilgan kasr Teskari bolib qoladi! Biz ozaro teskarimiz! ! 5 kasrning surati va maxrajining orinlarini almashtirishdan hosil bolgan son 5 ! deyiladi. Umuman, 5 ! kasr boladi. n k kasr k n ! 5 kasr kasrga teskari kasr kasrga teskari kasr deyiladi, bunda k va n natural sonlar. Agar ozaro teskari bolgan ikkita kasrni kopaytirsak, quyidagi natijaga ega bolamiz: k n k ⋅n ⋅ = = 1. n k n ⋅k Ozaro teskari kasrlarning kopaytmasi birga teng. Kopaytmasi ga teng bolgan ikkita son ozaro teskari sonlar deyiladi. Masalan, ,2# bilan 0,8 ozaro teskari sonlar. Ularni oddiy kasr korinishida yozib olamiz: 1,25 = ozaro teskari kasrlardir, chunki 1- m i s o l . 3 1 & 5 4 ⋅ 4 5 5 ; 4 0,8 = 4 . 5 Bu kasrlar = 1. soniga teskari sonni topamiz. Berilgan songa 1 8 8 25 ⋅ x = 1; x = . 25 8 8 Javob: . 25 teskari sonni x deylik. U holda 3 ⋅ x = 1 , 1 8 25 8 = ⋅ =1. 8 25 8 25 Tekshirish. 3 ⋅ 2- m i s o l . 0,8# ga teskari sonni topamiz: 0,85 = 17 85 17 . = 100 20 20 Oddiy kasrga teskari sonni topish uchun uning surat va maxraji ornini ozgartirish kifoya. Demak, 20 3 =1 17 17 boladi. 73 17 20 kasrga teskari son Tekshirish: 17 ⋅ 17 = 1. Javob: 1 3 . 17 «Ozaro teskari sonlar» tushunchasidan kasrlarni taqqoslashda foydalanish mumkin. Bunda quyidagi oddiy qoidaga rioya qilinadi. Agar a > b bolsa, u holda 1 a < 1 b boladi. a va b natural, kasr sonlar bolishi mumkin. 3- m i s o l . 1 5 > 1 7 # < 7, ammo bu sonlarning teskarilari uchun tengsizlik orinli, yani « < » belgi teskari sonlar uchun « > » belgiga almashadi. 4- m i s o l . ! ; 2 3 10 9 2 > > . ekani ravshan: kasrga teskari kasr 3 5 15 15 3 ! 5 ! ga teskari kasr esa . Ular orasida 5 ! Chindan ham, 5- m i s o l . 9 10 < 6 6 2 067 2 069 < 5 ! munosabat bor. (« > » belgi « < » ga almashdi). 2 071 va 2 073 kasrlarni taqqoslang. Har bir kasrning teskarisini topamiz: 2 069 2 =1 ; 2 067 2 067 2 073 2 =1 . 2 071 2 071 Bir xil suratli kasrlarni taqqoslash qoidasiga kora: 2 2 2 069 2 073 > , yani 2 067 > 2 071 . 2 067 2 071 Kasrlarning teskarilari orasida « > » belgi bor, kasrlarning ozlari orasida « < » belgi bolishi kerak: demak, 2 067 2 071 < . 2 069 2 073 2 Oddiy kasrga teskari kasrni topish uchun kasrning surati bilan maxrajining ornini almashtirish kerak. 2 Natural songa teskari son bu surati 1, maxraji esa berilgan natural sondan iborat kasrdir. 2 Nolga teskari son yoq, chunki nolga bolish mumkin emas! 74 410. ) Qanday sonlar ozaro teskari sonlar deyiladi? Har qanday natural songa teskari son mavjudmi? 0 ga ? 2) teskari son mavjudmi? 3) Aralash songa teskari son qanday topiladi? 4) Ozaro teskari sonlar kopaytmasi nimaga teng? Kopaytmasi birga teng bolgan sonlar qanday sonlar deyiladi? 411. (Ogzaki.) ) 412. 0; 0,2#; 2,; 5 1 5 ; 2) ; 3) sonlariga teskari sonni ayting. & ! 5 3 1 1 ; 5 ; sonlariga teskari sonlarni toping. 14 5 25 413. Quyidagi sonlar ozaro teskarimi: ) 7 2 va 2 ; 16 7 2) 0,3 va 3; 3) 6 1 4 va ; 4 25 ! 1 va sonlarining yigindisi; 2) 4 4 5 2 va sonlarining ayirmasi; 3) 17 5 414. ) 2 ! va 4 4) 1 1 1 va 0,9? 3 ! sonlarining 1 kopaytmasiga teskari sonni toping. 415. Ozaro teskari 1 3 4 5 1 va sonlariga: ) ni qoshish; 2) ni 4 7 6 5 ayirish natijasida hosil bolgan sonlar ozaro teskari sonlar boladimi? 416. Ozaro teskari ,6 va 0,62# sonlarini: ) 2 ga bolish; 2) 3 ga kopaytirish natijasida hosil bolgan sonlar ozaro teskari boladimi? 417. Berilgan songa teskari son tarifidan foydalanib, tenglamalarni yeching: ) 7 ⋅ x = 1; 8 2) x ⋅ 1 3 = 1; 20 1 2 3) 5 ⋅ x = 1 ; 4) 0,3 ⋅ x = . 418. Ozaro teskari sonlarni kopaytirish xossasidan foydalanib, ifodaning qiymatini toping: ) ( ) 17 4 9 ⋅ ⋅ ; 69 9 4 1 3 ( 2) 3 ⋅ 1" ) 5 3 ; ⋅ 13 10 3) ( ) 4 1 5 3 ⋅ 2 ⋅ ⋅1 . 7 3 8 5 419. Amallarni bajaring va natijaga teskari sonni toping: 1 3 2 1 + 14 ⋅ 2 ; 9 41 3 4 2) " ) 9 ⋅ 1 1 2 7 ⋅ 3 − 10 ⋅ . 2 3 7 9 420. Qisqarmas kasrga teskari kasr ham qisqarmas kasr boladimi? Misollar keltiring. 7# 421. Ozaro teskari sonlardan biri k ga kopaytirildi. Ikkinchi sonni nechaga kopaytirsak (yoki bolsak), natijalar ozaro teskari sonlar boladi? Misollarda tushuntiring. 422. 29- rasmdagi A, B va C shakllarni ulardan ong tomonda joylashgan beshta tort katakli shaklchalardan tuzing. Yechimni daftaringizga chizib oling va shakllarni rangli qalamda boyang. 29 A C B 423. Ifodaning qiymatini toping: Yechish. 9 8 11 ⋅ ⋅ . 13 11 8 ( ) 9 8 11 9 8 11 9 9 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅1 = . 13 11 8 13 11 8 13 13 Javob: 9 . 13 Bu misoldan shunday xulosaga kelamiz: agar k son avval b ga kopaytirilsa, songra b ning teskarisiga kopaytirilsa, natijada yana k sonning ozini hosil qilamiz. Shu qoidaga kora hisoblang: ) 2 1 16 17 ⋅ ⋅ ; 4 17 16 2) 3 5 ⋅ 2,8 ⋅ ; 11 14 3) 8 9 ⋅ ⋅ 3,% . 9 8 424. Ifodaning qiymatini toping: ) " &7 15 19 ⋅ ⋅ ; 91 19 15 4 5 5 9 1 ! 2) 1 ⋅ 3,14 ⋅ ; 3) 0,%5 ⋅ 1," ⋅ 1 . 425. Berilgan songa teskari sonni yozing: ) 5 4 14 , , ; & 19 !7 1 ! ! 4 2) 1 , 10 , 5 ; 7 3) 0,7; 0,9#; ,0. 426. Quyidagi sonlar ozaro teskari boladimi: ) 9 4 va 1 ; 13 9 2) ,2# va 0,8; 3) 4 va 76 2 ; 11 4) 2,# va 4? 427. Sayyohlar ikki kunda 26 km yolni bosib otishlari kerak. 7 qismini otdilar. Ular 13 Ular birinchi kuni butun yolning ikkinchi kuni qancha yolni bosib otishlari kerak? 428. Agar x = ; #; 1 ; 2,#; ! 1 ! 4 5 ! ; 4,# bolsa, 1 ⋅ x ifodaning eng katta va eng kichik qiymatlari orasidagi farqni toping. 3 4 429. # ning 0,8 qismi bilan 6 ning qismini taqqoslang. 430. 2 07 ni 3 ta 2 raqami va arifmetik amallar yordamida hosil qiling. 1 6 16! yoki 1 6 167 431. Kasrlardan qaysi biri katta: 1 7 17! ? 1 7 177 432. Amallarni bajaring va natijaga teskari sonni toping: ) 2,5 + 1 ; 3 2) " 3 − 2,8 ; 8 1 2 +2 ; 2 3 3) " 4) 6,29 − 2,04. 433. Ozaro teskari sonlarning tarifidan foydalanib, tenglamalarni yeching: 434. Tenglamani ) (1 1 7 2) 3 ⋅ x = 1 ; ) ,2# ⋅ x = ; yeching: ) 5 19 1 ⋅ x = 1; + −1 8 24 12 (2 2) 3) 2 436. 2 7 , 34 4 5 1 11 , 45 2,8; ,0#; ⋅ x = 1. ) 23 5 13 ⋅ x = 1. +1 −1 28 7 14 435. Berilgan sonlarga teskari sonlarni toping: 2 ! 15 4 6,2#; 4 , 21 5 19 . 25 va ,2 sonlari: yigindisiga, ayirmasiga va kopaytmasiga teskari bolgan sonlarni yozing. 437. Tenglamani yeching: ) 7 & x+ ! 4 x − 7 = 6; 6 7 6 7 2) 2 x − 1 x − 8 = 7 . 438. Hisoblang va natijaga teskari sonni toping: 5 & ) 3 ⋅ 0,"& + 3,625 ⋅ 0,52 ; 2) 1% 439. Ifodaning qiymatini toping: ) 11 14 & 15 ⋅ 3,& − % 1 14 ; 7 11 ⋅1 ⋅ 1 4 ⋅ 2,5 ⋅ x = 1 ; 4 13 440. Tenglamani yeching: ) 3 ⋅ 77 & 15 ⋅ 3,& . 1 7 2) 3 ⋅ ",8 ⋅ 2) 7 . 9 2 x − x = 7. 7 7 5153 Oddiy kasrlarni bolish Kasrlarni bolish tushunchasiga olib keluvchi bitta masala koraylik. ! 4 M a s a l a . Togri tortburchakning yuzi m2 ga, eni esa 5 m ga teng. Shu togri tortburchakning boyini toping. & Y e c h i s h . Togri tortburchakning boyini x deylik. U hol- da masala mazmuniga mos 5 3 ⋅x = () tenglamani tuza olamiz. 8 4 Kasrlarni bolish uchun ham butun (natural) sonlarni bolish tarifi saqlanadi. Shuning uchun () tenglamadan x = ! 4 : 5 & (2) ni hosil qila- miz. Endi oddiy kasrlarni bolish qoidasini keltirib chiqaramiz. () tenglamaning ikkala qismini x oldida turgan teskari & 5 5 & kasrga kopaytiramiz: ⋅ x⋅ & 5 = ! & ⋅ . 4 5 5 & kasrga Bu tenglikning chap qismiga kopaytirish qonunlarini qollab, topamiz: yoki x = ( ⋅ )⋅ x = 5 8 8 5 ! &2 ⋅ 5 1 4 = 6 5 =1 5 8 3 8 ⋅ , ammo 4 5 5 8 ⋅ = 1 , demak, 8 5 ! & ⋅ 4 5 1 (m). 5 1 5 ⋅1 = 5 6 ⋅ 8 5 1 5 ⋅ 63 4 8⋅ 51 3 . 4 ! () tenglamaning ong tomoni ham 4 ! ! = . qilib, togri tenglikka ega boldik: 4 4 Tekshirish. x= = = J a v o b : togri tortburchakning boyi 1 ga teng. Shunday 1 5 m. Demak, oddiy kasrlarni bolish qoidasini quyidagicha ifodalash mumkin. Kasrni kasrga bolish uchun teskarisiga kopaytirish kerak: k n : p q = k n ⋅ q p = bolinuvchini boluvchining k ⋅q , bunda k, n, p, q natural sonlar. n⋅ p 78 1- m i s o l . 6 7 : 9 10 = 2 6 ⋅ 10 7 ⋅ 93 = 20 . 21 Agar bolinuvchi yoki boluvchi butun son bolsa, uni maxraji bolgan kasr korinishida ifodalaymiz. 2- m i s o l . 15 : 3- m i s o l . 3 4 = 15 1 : 3 4 = 5 15 ⋅ 4 1⋅3 1 = 20 1 = 21 . 4 8 8 2 8 ⋅1 4 = . :2 = : = 13 13 1 13 ⋅ 2 1 13 Biroq, songgi misolda suratni butun songa bolish qulaydir: 8 13 :2= 8:2 13 = 4 . 13 Agar berilgan sonlar ichida aralash son bolsa, ularni notogri kasrga aylantirish va faqat shundan keyin bolishni bajarish kerak. 4- m i s o l . 3 3 1 15 17 15 ⋅ 8 2 30 13 = = =1 . :2 = : 4 8 4 8 4 17 17 17 ⋅ 1 Agar berilgan sonlar ichida onli kasr bolsa, bolishni bajarishdan oldin uni oddiy kasrga aylantirish va faqat shundan keyin bolishni bajarish kerak. 1 1 9 9 9 ⋅ 10 5 5 = = = 2,5. : 0,9 = : 4 4 10 2 2 4 ⋅ 91 5- m i s o l . 2 6- m i s o l . 1,2 : 2 2 2 3 6 3 6 ⋅ 7 14 = : = = = 2,8 . 7 5 7 5⋅3 1 5 Nolga bolish mumkin emas! Noldan boshqa har qanday son uchun bolish bajariladi. 441. ) Kasrni kasrga bolish qanday bajariladi? ? 2) Kasrni natural songa bolish qanday bajariladi? 3) Aralash sonlarni bolish qanday bajariladi? Bolishni bajaring (442447): 2 3 : ; 5 7 1 443. ) 6 : ; 4 442. ) 1 1 : ; 8 4 5 2) 5 : ; 6 2) 1 4 : ; 2 5 5 3) 10 : ; 9 3) 79 5 3 : ; 8 4 13 : 26 ; 4) 16 4) 7 4 : . 9 18 6 : 3. #) 7 #) 444. (Ogzaki.) ) 1 : 445. ) 3 1 1 :2 ; 2 3 1 ; 5 2) 1 : 8 ; 9 1 2 :% ; 9 3 4) 1 : 5 3 :1 ; 8 4 3) 5 1 4 : ; 7 7 3) 15 1 :1 ; 38 19 3) 2 3 5 ⋅ : ; 9 7 21 5 2 :1 ; 6 3 2) 3 447. ) 5 7 5 ⋅ : ; 7 12 16 2) 2 5 3) 1 : 2) 2 446. ) 448. Yuzi 2 7 ; 10 9 5 50 : ⋅ ; 10 11 21 9 ; 10 3 . 4 #) 1 : 4) 10 4) % 4 2 :5 . 5 5 1 3 : . 2 4 7 3 5 : ⋅ . 25 10 6 4) m2 ga teng bolgan taxtani yuzi 0,3 m2 ga teng bolgan nechta bolakka bolish mumkin? 449. ) 8 Togri tortburchakning 62 yuzi 9 10 dm2, boyi esa 1 dm. Shu togri tortburchakning perimetrini toping. 2 2) Togri tortburchakning yuzi #2 sm2, balandligi esa 6 1 sm. Shu togri tortburchakning perimetrini toping. 2 450. Jadvalni toldiring: a 7 9 b 3 7 1 3 5 5 14 a ⋅ b 2 a : b ) (12 : 3 24 25 1 451. Amallarni 1 # 8 1 3 7 10 2 3 5 0 3 1 3 1 3 1 2 8 bajaring: ) 3 2 2 + ⋅ ; 5 3 3 2) ( )( ) 19 1 38 2 :1 : : . 21 21 41 41 452. Soroq belgisi orniga mos sonlarni qoying (30- rasm): 30 # ! " 1 % 12 :4 ? 80 1 6 9 ? 3 7 2 ? 1 1" ? 453. Poyezd 3 soat-u 45 minutda 225 km masofani otdi. U 1 soatda necha kilometr masofani bosib otadi? 2 soatda 3 454. Poyezd: 1) "0 1 1 km; 2) soatda 25 km masofani 2 2 bosib otadi. Poyezdning tezligi soatiga necha kilometr? 455. Velosipedchining tezligi soatiga 31 2 11 km (31- rasm). U 19 km ni 5 necha soatda bosib otadi? 38 km masofani-chi? 456. a, b va c harflar orniga shunday raqamlarni qoyingki, natijada togri tenglik hosil bolsin (barcha hollarni qarang): 1) aaaa + aaaa = baaac; 2) aaa + bbb = ccc. Bolishni bajaring (457460): 457. 1) 5 8 458. 1) 7 : 459. 1) 3 4 2) 1 ; 7 2) 6 : : ; 5 : 10 ; 7 460. 1) 4 2) 1 1 :2 ; 2 4 4 7 5 ; 14 3) : 4 ; 9 4) 3 ; 5 3) 1 : 2 ; 7 4) 1 : : 3 : 3; 5 2) 2 4 2 :1 ; 5 5 2 3 3) 8 :6; 11 4) 3) 7 1 :2 ; 9 3 4) 8 461. 1) Togri tortburchakning yuzi 31 4 1 dm ga 4 14 15 : 2 . 5 24 . 25 12 : 12 . 35 1 19 : . 2 20 9 dm2 ga, asosi esa 20 teng. Shu togri tortburchakning perimetrini toping. 462. Poyezd 2 soat-u 15 minutda 135 km masofani bosib otdi. U 1 soatda necha kilometr yol bosgan? 463. Tenglamani yeching: 1) 3 5 x+ 2 15 x = 10 ; 2) ( 464. Ifodaning qiymatini toping: 3 4 27 : a , bunda a = 1; 6 Matematika, 6 ) 2 5 + x ⋅ 21 = 29 ; 3 7 5 ; 27 8 9 1 ; 81 17 ; 2; 27 1 3 2 3 3) " x − 2 x = 5 . 5; 17; 0,17. 54 Qismiga kora sonning ozini topish Yashikdagi olmalarning chorak qismi 10 kg. Jami olmalar necha kilogramm? Ayrim hollarda sonning biror qismi berilgan bolib, osha qismi boyicha sonning ozini topish talab etiladi. Bunday masalalar bolish bilan yechiladi. M a s a l a . Abdurashid kitobning 36 betini oqidi, bu esa kitobning betli? 2 5 qismini tashkil qiladi (32- rasm). Shu kitob necha 32 36 ? Yechish. Masaladan kitobning malum. U holda kitob betlarining 2 5 qismi 36 ga tengligi 1 qismini topishimiz mum5 kin. Bu 36 ga qaraganda 2 marta kam, yani 36 : 2 = 18 boladi. Kitobning umumiy betlari 5 1 ni tashkil qiladi, yani 5 5 ga qara- ganda 5 marta kop boladi. Demak, kitobning umumiy betlari 18 ⋅ 5 = 90 boladi. Shunday qilib, bu kitob 90 betli ekanini aniqladik. Ushbu natijaga faqat bitta amal kasrga bolish amali orqali ham kelishimiz mumkin. Haqiqatan ham, 36 : 2 5 5 = 18 36 ⋅ = 90 (bet). 21 J a v o b : kitob 90 betli. Bu masalada berilgan kasrga kora sonning ozini topdik. 82 Berilgan qismiga kora sonning ozini topish uchun sonni uning qismini ifodalovchi kasrga bolish kerak. Biroq sodda hollarda, xususan, ogzaki hisoblashlarda bunday masalalarni ikki amal bilan yechish maqsadga muvofiq. Dastlab berilgan sonni kasrning suratiga bolib, berilgan sonning bir ulushini topamiz. Songra hosil bolgan sonni kasrning maxrajiga kopaytiramiz. Ikki amalning natijasi izlanayotgan son boladi. Misol. 3 4 qismi 18 ga teng bolgan sonni toping. Dastlab izlanayotgan sonning 1 qismini topamiz: 18 : 3 = 6. 4 Demak, izlanayotgan son 6 ⋅ 4 = 24 ga teng. J a v o b : 24. 465. 1) Berilgan qismi boyicha sonning ozi qanday topiladi? ? 2) Sonning berilgan qismi qanday topiladi? Bunda qaysi amallardan foydalaniladi? Misollarda tushuntiring. 466. 1) 1 qismi 50 ga; 3) 2 1 4 qismi 100 ga; 2) 0,6 qismi 12 ga; 4) 0,8 qismi 2,4 ga teng bolgan sonni ogzaki toping. 467. 1) 4) 5 qismi 35 ga; 2) 0,25 qismi 16 ga; 3) 1 7 7 8 qismi 2 3 qismi 0,8 ga; 5 3 ga teng bolgan sonni toping. 4 468. Togri tortburchakning boyi 8 3 2 sm, eni esa boyining 13 3 qismiga teng. Togri tortburchakning yuzi nimaga teng? 469. Togri tortburchak shaklidagi bogning 2 3 qismiga olma, qolgan qismiga esa nok ekildi. Olmalar 900 m2 yerga ekilgan bolsa, nok qancha yerga ekilgan? 470. «Oltin don» fermer xojaligi 480 ga yerdagi bugdoyni orib oldi. Bu esa butun yer maydonining 3 4 qismini tashkil qi- ladi. Fermer xojaligining maydoni qancha? 83 471. Shohimardon soyi boylab sayohatga chiqqan bolalar 4 km yol yurishdi. Shunda otilgan yol manzilgacha bolgan yolning 2 3 33 qismiga teng ekani aniq- landi. Bolalar jami necha kilometr yol yurishni rejalashtirishgan (33- rasm)? 472. a) Topshiriqni tahlil qiling. Ularning farqi nimada? 1) 20 ning 3 qismini toping. 4 2) 3 4 qismi 20 ga teng bolgan sonni toping. b) Ismoil (34- rasm) yuqoridagi qaysi masalani, Manzura (35- rasm) esa qaysi masalani bajarganini chizmadan foydalanib tushuntiring. 20 ? 34 ? 35 20 473. Mamura opaning yoshi 40 da. Qizining yoshi onasi yoshining 3 10 qismini va buvisi yoshining 6 31 qismini tashkil etadi. Buvining yoshini toping. 474. 1) 7 qismi 42 ga; 15 2) 0,05 qismi 1,6 ga; 3) 3 qismi 1,8 ga 5 teng bolgan sonni toping. 475. Yolovchi 3 soatda 14 km masofani bosib otdi. U shunday tezlik bilan 5 soatda qancha masofani bosib otadi? 476. AB kesma uzunligining: 1) 5 9 qismi 15 sm ga; 2) 2 3 qismi 5 dm ga teng. AB kesmaning uzunligini toping. 477. Togri tortburchak boyining 3 3 qismi 12 sm ga teng. Eni 5 qismini tashkil etadi. Shu togri tortburchakboyining 4 ning perimetrini toping. 84 478. Ikki chavandoz bir-biriga qarab ikki qishloqdan bir vaqtda 2 3 yolga chiqdi. Birinchi chavandoz chisi esa soatda 12 km, ikkin- 3 1 soatda 15 km yol bosdi. Agar ular 2 soatdan 4 2 keyin uchrashgan bolsa, toping (36- rasm). qishloqlar orasidagi masofani 36 479. Velosipedchi dastlabki 2 soatda 12 keyingi 3 soatda esa 10 3 4 km/soat tezlik bilan, 2 km/soat tezlik bilan yurdi. U shu 5 masofani 4 soatda bosib otishi uchun qanday tezlik bilan yurishi kerak? 480. Hisoblang: ( 2) ⎛⎜ (2 ⎝ )( ) 2 1 9 2 4 1⎞ 2 1) ⎛⎜ 13 − 2 ⋅ 1 ⋅ ⋅ : − 0,5 : 3 ⎟ : 3 ; 3 4 10 3 9 7⎠ 11 ⎝ ) 1 1 4 1 6 3 1⎞ 1 ⋅ 1 ⋅ − ⋅ ⎛⎜ 9 − : ⎞⎟ + 2 ⎟ ⋅ 17 . 4 9 15 3 ⎝ 7 14 ⎠ 3⎠ 4 481. Tenglamani 1) 2 ( yeching: ) 3 3 2 1 −1 = ; : x +1 5 14 5 3 2) (x − ) ⋅ 3 8 8 2 3 +2 =2 . 35 7 5 482. Xususiy tadbirkor Rasul ota xojaligida bugdoy ekish uchun 180 ga yer ajratildi. Bu esa xojalik ekin maydonining 3 4 qismini tashkil etadi. Xojalikning umumiy ekin maydoni necha gektar? 483. «Kobalt» yengil mashinasining Mashina har 100 km ga 8 1 l 8 bakida 40 l benzin benzin sarflaydi. Bakdagi benzin 450 km ni bosib otish uchun yetadimi? 85 bor. 484. Tenglik togri bolishi uchun 37- rasmdagi bitta raqamni qayerga siljitish kerak? 37 101 102 = 1 485. Sayyohlar 1- kun belgilangan masofaning 5 24 qismini bosib otishdi. 2- kun esa 1- kun otilgan masofaning 0,8 qismi bosib otildi. Agar sayyohlar 2- kun 24 km yolni bosib otishgan bolsa, belgilangan masofa necha kilometr? 486. Amallarni bajaring va natijaga teskari sonni toping: 1) 9 1 6 : 11 24 1 9 2 7 − 3 ⋅1 ; 2) 2 1 7 :1 17 28 1 9 + " ⋅2 7 . 37 487. Toshkent va Yangiyol shaharlaridan bir vaqtda bir-biriga qarab ikki velosipedchi yolga chiqdi. 38- rasmga qarab shaharlar orasidagi masofani toping. 38 ! qismi % oraliq masofa 14 km % qismi 488. Bogdan uzilgan uzumlar 3 ta savatga joylandi. 1- savatga jami uzumning 1 2 qismi, ikkinchisiga 3 5 qismi, uchinchisiga esa qolgan 20 kg uzum joylandi. Bogdan jami necha kilogramm uzum uzilgan? Ingliz tilini organamiz! kopaytirish multiplication orin almashtirish qonuni kopaytuvchi multiplier commutative law taqsimot qonuni distributive law ozaro teskari sonlar reciprocal guruhlash qonuni associative law numbers 86 TEST 4 Ozingizni sinab koring! 1. Sonni kasrga kopaytiring: "8 ⋅ A) 28; B) 47; D) 84; 2. Kasrni songa kopaytiring: A) 52; 3. Hisoblang: A) B) 7 8 23 ; 8 5. Hisoblang: 3 16 ; 56 B) 2; 6 7 B) 2 ; 3 27 49 : E) 4 . 8 D) 1 ; 8 E) 3. D) 7 : 4; E) 1,8. D) 1,5; E) 7 : 5. 18 . 35 7. Tenglamani yeching: (2 1 3 4 ; 7 4 7 1 ; 14 A) 2 ; D) :2 . B) 1 A) E) 55. 1 . 23 6. Bolishni bajaring: 14 ; 15 D) 78; 32 7 ⋅ . 49 8 21 ; 49 A) 1,5; E) 35. 13 ⋅ 85 . 17 B) 65; 4. Hisoblang: 2 ⋅ 1 A) 7 . 12 ) 8 4 2 : 1 − ⋅ x = 1. 9 9 3 1 3 D) 1 ; B) 2; E) 0,75. 8. Togri tortburchakning yuzi 32 sm2 ga, eni esa 3 1 5 sm ga teng. Shu togri tortburchakning boyini toping. A) 6,4 sm; B) 10 sm; D) 2 sm; 87 E) 96 sm. IV bob. Nisbat va proporsiya 5758 Nisbat tushunchasi. Proporsiyalar Ikki sonni solishtirish uchun ishlatiladigan «katta», «kichik» va «teng» kabi munosabatlardan nisbat tushunchasida ham foydalaniladi. a va b sonlarning nisbati deb a sonni b songa bolganda hosil bolgan natijaga aytiladi. a va b sonlarning nisbati quyidagicha ham oqilishi mumkin: a sonning b songa nisbati. Agar nisbat 1 dan katta bolsa, u holda nisbat birinchi son ikkinchisidan necha marta katta ekanini anglatadi. Agar nisbat 1 dan kichik bolsa, u holda nisbat birinchi son ikkinchisining qanday qismini tashkil etishini anglatadi. a va b sonlarning nisbatini belgilash uchun (:) yoki kasr chizigi belgisidan foydalaniladi: a : b yoki = . > Nisbat kasrning barcha xossalariga egadir. 1- m a s a l a . Matematikadan nazorat ishida 26 nafar oquvchi «4» va «5» baho, 7 nafar oquvchi «3» baho va 2 nafar oquvchi «2» baho oldi. «3» baho olgan oquvchilar sonining jami oquvchilar soniga nisbatini toping. Y e c h i s h . Nazorat ishini jami 26 + 7 + 2 = 35 nafar oquvchi bajargan. Demak, «3» baho olgan oquvchilar sonining jami oquvchilar soniga nisbati 7 : 35 yoki qartirsak, unga teng # % !# ga teng. % !# kasrni qis- kasrni hosil qilamiz. Bundan «3» baho olgan oquvchilar jami oquvchilarning # qismini tashkil qiladi, degan xulosaga kelamiz. Bir xil ikkita miqdor (masalan, uzunliklar, massalar) uchun ularning nisbati qaralishi mumkin. 2- m a s a l a . AB = 6 sm va CD = 4 sm kesmalarni korib chiqamiz (39- rasm). AB kesmaning CD ga nisbati $ " $ " ga teng. = 1,5 bolgani uchun AB kesma CD dan 1,5 marta uzun ekan. 88 39 A B C 6 sm Bundan tashqari, qismini tashkil etadi. 3- m a s a l a . bor. 1- qopdagi Yechish. EKUB (48, 32) 4 sm 4 6 = 2 2 bolgani uchun CD kesma AB ning 3 3 Bir qopda 48 kg, ikkinchisida kartoshka 2- qopdagidan necha 48 : 32 nisbatni yozamiz va = 16 ga qisqartiramiz. Natijada ! = hosil qilamiz: ! : D 32 kg kartoshka marta kop? har bir hadini 48 : 32 = 3 : 2 ni = 1,5 . J a v o b : 1- qopdagi kartoshka ikkinchi qopdagidan 1,5 marta kop. 1- m i s o l . Nisbatni sodda korinishda yozing: : 1 2 Yechish. 1 : 2 3 = 3 2 : 2 3 = 9 6 : 4 6 ! . = 9 : 4. J a v o b : 9 : 4. I z o h . Dastlab aralash sonni notogri kasrga aylantirdik va umumiy maxrajga keltirdik, songra nisbatning oldingi va keyingi hadlarini ularning umumiy maxraji 6 ga kopaytirdik. Agar miqdorlar turli olchov birliklarida ularni bitta olchov birligiga keltirish lozim. berilgan bolsa, 2- m i s o l . 73 sm ning 2,92 m ga nisbatini toping. Yechish. 7! sm 7! sm = = 0, 5 . ,9 m 9 sm Kasrning asosiy xossasiga kora, sa boladi: 4 5 = 8 4 (yoki 10 5 tengligi yozilgan, chunki proporsiyalar deyiladi. = 12 4 ; 15 5 4 5 = 0,8 va = J a v o b : 0,25. 4 nisbatni quyidagicha yoz5 16 ). Bunda ikkita nisbatning 20 8 10 = 0,8 . Bunday tengliklar Ikki nisbatning tengligi proporsiya deyiladi. 89 = ? Proporsiyaning umumiy korinishi: > = @ yoki a : b = c : d. Bu proporsiyalarni «a ning b ga nisbati c ning d ga nisbatiga teng», yoki «a ning b ga nisbati c ning d ga nisbati kabidir» deb oqish ham mumkin. chetkiâhad orta hadlar â â = > a:b = c:d â â ? @ = â orta had chetki hadlar ortaâhad â chetki had Proporsiyani tashkil qiluvchi nisbatning hadlari proporsiyaning hadlari deyiladi. Proporsiya tortta haddan tashkil topadi. a va d sonlar proporsiyaning chetki hadlari, b va c sonlar esa uning orta hadlari deyiladi. 489. 1) Nisbat deb nimaga aytiladi? Nisbatning asosiy xossasini ayting. ? 2) 3) Proporsiya deb nimaga aytiladi? 4) Nima uchun = " va , 8 = 0,7 $ tenglik proporsiya de- yiladi? Bu proporsiyalarning chetki (orta) hadlarini ayting. 490. (Ogzaki.) 1) 12 ning 4 ga; 2) 4 ning 12 ga; 3) 6,3 ning 9 ga; 4) 3 ning 1 9 ga nisbatini toping. 491. Nisbatni kasr korinishida yozing va mumkin bolsa, qisqartiring: 1) 18 : 72; 2) 14 : 28; 3) 10 : 13; 4) 10 : 15. 492. (Amaliy masala.) Kundaligingizni oling. Toldirilmagan va toldirilgan varaqlar sonini hisoblang va quyidagi mulohazalarni tuzing. Jami varaqlar soni: ... ta; shu jumladan, toldirilgan ... ta; toldirilmagan ... ta. Topshiriqlar: • Toldirilmagan varaqlar sonining toldirilgan varaqlar soniga nisbatini toping va xulosa chiqaring. • Toldirilgan varaqlar sonining jami varaqlar soniga nisbatini toping. 90 • Toldirilmagan varaqlar soni jami varaqlar sonining qanday qismini tashkil qiladi? • Jami varaqlar soni toldirilgan varaqlar sonidan necha marta kop? • Qaysi varaqlar kop: toldirilganlarimi yoki toldirilmaganlarimi? Necha marta kop? Nisbatni hisoblang (493494): 493. 1) 18 : 48; 2) 30 : 65; 494. 1) 50 sm ning 2 m ga; Kasr sonlar (495497): 495. 1) 1,4 : 2,1; 496. 1) 1 1 : ; 3 7 497. 1) 3 1 7 : 11 ; 14 nisbatini 3) 1 000 : 125; 4) 96 : 64. 2) 20 min ning 2 soatga. butun 2) 0,5 : 3,5; 2) 1 2 nisbatiga 3) 0,01 : 2; 1 1 : ; 2 4 2) 1 : sonlar 3 ; 4 aylantiring 4) 3,2 : 2,4. 3) 2 1 : ; 3 8 4) 3) 1 2 4) 1 : 2 . 1 3 :2 ; 4 5 : . 9 18 1 2 1 3 498. Nisbatning nomalum hadini toping: 1) x : 3 = 4; 5 1 2 2) 1 : x = 3 ; 8 3) x : 0,8 = 1 . " 499. Mototsiklchining tezligi 80 km/soat, velosipedchining tezligi esa 16 km/soat. Mototsiklchining tezligi velosipedchining tezligidan necha marta kop? 500. Nisbatlar zanjirida tushirib qoldirilgan joylarni toldiring: 2) 1 : 2,5 = 2 : ... = ... : 20. 1) 10 : 20 = 1 : ... = 3 : ...; 501. Nisbatni soddalashtiring: 1) 875 : 375; 2) 144 : 180 : 1 080. K o r s a t m a . Nisbatning har bir hadini shu sonlarning EKUB iga boling. 502. Chorvachilik fermalarida har 35 bosh qoramolga 1 nafar ishchi ajratilishi kerak, degan meyor qabul qilingan bolsin. 1) Agar hududdagi chorvachilik fermalarida 315 nafar ishchi mehnat qilayotgan bolsa, shu hududda necha bosh qoramol yetishtirilmoqda? 2) Agar chorvachilik fermasida 23 bosh qoramol bolsa, unda necha nafar ishchi kerak boladi? 3) Agar fermalarda 700 ta qoramol va 24 nafar ishchi bolsa, qancha ishchi ortiqcha? Har bir ishchining maoshi 640 000 som bolsa, oylik ish haqi tolashga har oyda qancha qoshimcha mablag sarflanmoqda? 91 40 503. Futbol jamoasining murabbiyi bolalardan birini darvozabon sifatida tanlashi kerak (40- rasm): Ismoil darvozaga tepilgan 15 ta topdan 6 tasini, Fuzail esa 18 tadan 7 tasini ushladi. Ulardan qaysi birining darvozabon bolishga imkoniyati kop? 504. Kubning qirrasi 4 sm ga teng. Ikkinchi kubning qirrasi esa undan 3 marta uzun. Shu kublarning: 1) qirralari; 2) barcha qirralari uzunliklari yigindisi; 3) sirtlari; 4) hajmlari nisbatini toping. 505. Quyidagi nisbatdan qaysilari teng ekanini aniqlang va ulardan proporsiyalar tuzing: 28 : 14; 2 1 2 : 2; 1 2 8 : 4; : 2 ; 3 3 : 10; 2,7 ; 3,6; 3 : 0,3. 506. Samolyotning tezligi 900 km/soat, yengil avtomobilning tezligi esa 108 km/soat ga teng. Bu tezliklarni m/s larda ifodalang va 900 : 108 = ... : ... proporsiyadagi bosh joylarga mos sonlarni qoying. 507. Bir idishning hajmi 800 ml, boshqasiniki esa 2,5 l. Har ikkala hajmni: 1) millilitrlarda; 2) litrlarda ifodalang va hajmlar nisbatini toping, songra proporsiya tuzing (1 l = 1000 ml). 508. Quyidagi tengliklarning togri yoki notogriligini aniqlang: 1) 4 1 1 : 3 = 27 : 21 ; 2 2 "7," 3,16 = ; 12 0,8 2) 3) 17,17 2,02 = . 8,5 0,1 509. Soroq belgisi orniga mos sonlarni qoying (41- rasm)? 41 " 1 1 3 1 ? 1 3 92 1 ? 19 :1 ? 2 3 ? 510. Hisoblashni bajarmasdan, ifodaning qiymati qanday topiladi: 2) a ⋅ b : b ⋅ c : c ⋅ d : d ? 1) 65 ⋅ 4 : 4 ⋅ 4 : 4 ⋅ 4 : 4 ⋅ 4 : 4; 511. Nisbatni kasr korinishida yozing va mumkin bolsa, qisqartiring: 1) 36 : 27; 2) 25 : 65; 3) 49 : 35; 4) 119 : 63. 512. Kasr sonlar nisbatini natural sonlar nisbatiga aylantiring: 1) 51 63 : 17 ; 27 1 2 13 :2 4 ; 13 1 3 5 6 4 :2 ; 2) 0,24 : 0,72; 0,125 : 0,25. 513. Nisbatning nomalum hadini toping: 1) x : 5 7 3 4 =8 ; 2) 72 : N = 9; 3) x : 3 1 7 =1 1 . 20 514. Quyidagi tengliklardan qaysilari togri va qaysilari notogri ekanini aniqlang: 1) 6 : 18 = 1 : 3; 2) 43,4 : 3,1 = 0,7 : 0,28; 3) 6 : 14 = 14 : 49. 515. Nisbati 2 : 5 ga teng bolgan 3 juft son toping. Ulardan proporsiyalar zanjirini hosil qiling. 5961 = > = Proporsiyaning asosiy xossasi = ? ? @ = > @ > = = @ ? > @ ? = = @ > ? = = @ > = = ? a⋅d=b⋅c @ > = @ ? ? = 1- m i s o l . = > = " 8 = 5 10 proporsiyadan 4 ⋅ 10 va 5 ⋅ 8 kopaytma- larning tengligi kelib chiqadi. = ? = > @ (yoki a : b = c : d) proporsiya uchun a ⋅ d = b ⋅ c tenglik orinli. Aksincha, a, b, c va d nolga teng bolmagan sonlar bolib, ular uchun a ⋅ d = b ⋅ c tenglik orinli bolsa, bundan = ? = > @ tenglik kelib chiqadi, yani a, b, c va d sonlar proporsiya tashkil qiladi. 93 a ⋅ d = b ⋅ c tenglik proporsiyaning asosiy xossasini ifodalaydi. orta hadlar â â - a:b = c:d â â Proporsiyaning chetki hadlari kopaytmasi uning orta hadlari kopaytmasiga teng. - a⋅d = b⋅c chetki hadlar a ⋅ d = b ⋅ c tenglikdan turli proporsiyalar tuzish mumkinligi sarlavhadan keyin keltirilgan. 2- m i s o l . Proporsiyaning togriligini tekshiring: 1 2 Yechish. 1 5 ⋅ 2 6 = 1 48 : 1 48 5 6 = 20 : . ⋅ 20 . Bu proporsiya togri, chunki pro- porsiyaning asosiy xossasi bajariladi: 5 5 = . 12 12 3- m i s o l . 8, 7, 14, 16 sonlari proporsiyaning hadlari boladimi? Y e c h i s h . 7 · 16 = 8 · 14 bolgani uchun berilgan sonlar proporsiya tashkil qiladi: 7 1" = . 8 16 J a v o b : ha, proporsiya hadlari boladi. 4- m i s o l . 1, 2, 3, 4 sonlari proporsiyaning hadlari boladimi? Y e c h i s h . 1 · 3 ≠ 2 · 4, 1 · 4 ≠ 2 · 3, 1 · 2 ≠ 3 · 4 bolgani uchun berilgan sonlar proporsiyaning hadlari bola olmaydi. J a v o b : 1, 2, 3, 4 sonlari proporsiyaning hadlari bola olmaydi. 5- m i s o l . Proporsiyaning nomalum hadini toping: x : 12 = 4 Yechish. x = 3 4 1 8 :7 . 3 19 19 12 ⋅ 12 ⋅ ⋅ 8 12 ⋅19 ⋅ 2 "56 " = " = " = = = 8. 1 57 57 57 57 ⋅8 7 8 8 8 12 ⋅ " 6- m i s o l . Proporsiyaning nomalum hadini toping: 10,4 : 3 5 7 =x: 5 . 11 Yechish. x= 5 5 5 10,4 ⋅ 10,4 ⋅ ⋅ 77 10,4 ⋅ 5 ⋅ 7 11 = 11 = 11 = = 5 26 26 26 ⋅11 3 ⋅77 7 7 7 94 10,4 ⋅ 14 1 364 14 3 = =1 . 26 ⋅ 11 11 11 Proporsiyaning nomalum hadini topish proporsiyani yechish deyiladi. 516. 1) Proporsiya qanday asosiy xossaga ega? ? 2) Nima uchun 3 60 = 0,2 " proporsiya boladi? 3) Proporsiyani yechish deganda nimani tushunasiz? 517. Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib, quyidagi tengliklardan qaysi biri proporsiya bolishini tekshiring: 1) 3 4 = 15 20 ; Javobingizni 2) 17 3 = 2," 51 ; 8 5 3) 0,1 = 0,02 ; 4) 8,4 4 = 10,5 . 5 asoslang. 518. Nisbati: 1) 3 ga; 2) 0,5 ga; 3) 2 3 ga; 4) 7 " ga teng bolgan tortta proporsiya tuzing. N a m u n a . Masalan, nisbati 5 ga teng bolgan proporsiyalar: 45 : 9 = 50 : 10; 55 : 11 = 75 : 15; 0,5 : 0,1 = 3,5 : 0,7; 8,5 : 1,7 = 2,5 : 0,5 va h. k. Bunday proporsiyalarni kasrning asosiy xossasidan foydalanib, istalgancha tuzish mumkin. 519. Berilgan tortta sondan, agar mumkin bolsa, proporsiya tuzing: 1) 7; 9; 3; 21; 2 1 1 1 ; ; ; ; 3 12 3 6 2) 3) 16; 12; 3; 4. 520. Berilgan nisbatlardan foydalanib proporsiya tuzing: 15 : 5; 17 : 34; 7 12 : 7 ; 36 0,6 : 0,15; 1 2 : 2 ; 3 0,1 : 0,2. 521. Olimjon 3,5 soatda 14 km yol bosishi mumkin. U shunday tezlik bilan yursa, 8 km masofani necha soatda bosib otadi? 522. Proporsiyani ikki usul bilan tekshiring: 1) 18 : 6 = 75 : 25; 2) 14 : 35 = 22 : 55; 3) 21 : 3 = 42 : 6. 523. 1) Proporsiyaning chetki hadlari 8 va 15 ga, orta hadlaridan biri 10 ga teng. Proporsiyaning ikkinchi orta hadini toping. 2) Proporsiyaning orta hadlari 28 va 10 ga, chetki hadlaridan biri 35 ga teng. Proporsiyaning ikkinchi chetki hadini toping. K o r s a t m a . Oldin proporsiya tuzing, songra proporsiyaning nomalum hadini toping. 95 524. Proporsiyaning nomalum hadini toping: 1) N : 18 = 68 : 17; 2) 18 : 5 = 72 : N; 3) 28 : N = 7 : 9; 4) N : 9 = 35 : 15; 5) 60 : 15 = N : 2; 6) 55 : N = 5 : 3. 525. Mumkin bolgan barcha proporsiyalarni tuzing: 1) 7 ⋅ 18 = 21 ⋅ 6; 526. Tenglamani 1) 3x 4 = 2) 3,5 ⋅ 6 = 1,4 ⋅ 15; 3) 6 ⋅ 21 = 14 ⋅ 9. yeching: 9 ; 20 2) 8 7x = 24 ; 35 3) 18 52 = 2x ; 13 4) 25 44 = 15 . 4x 527. Ikkita togri burchakli parallelepiped asoslarining yuzlari teng. Ulardan birining balandligi 6 sm, hajmi esa 72 sm3. Agar ikkinchi togri burchakli parallelepipedning balandligi 7,2 sm ga teng bolsa, uning hajmini toping. 528. Proporsiyaning nomalum hadini toping: 1 5 1) 1 x : 1 1 3 1 4 = 5 :2 1 ; 3 2 5 2) 1 : 5 6 3 7 = x :1 . 529. Chetki hadlari kopaytmasi 36 ga teng bolgan ikkita proporsiya tuzing. Bunday proporsiyalardan nechta tuzish mumkin? Javobingizni izohlang va xulosa chiqaring. 530. Yuk avtomobili 480 km masofani soatiga 60 km tezlik bilan bosib otdi. Tezligi soatiga 80 km bolgan yengil avtomobil shu vaqt ichida necha kilometr yol bosadi? 531. Tenglamani 1) 7 2 = ; 2" x − 1 yeching: 2) 3 1 = ; 2x − 1 " 3) 9 2 = x +3 ; 4 4) 5+ x 3 7 2 = . 532. 4, 12 va 20 sonlari uchligi uchun shunday bir tortinchi sonni topingki, natijada bu sonlar proporsiya tashkil qilsin. Masala nechta yechimga ega? 533. Ikkita boyoqchi 19 m2 ga teng bolgan devorni malum bir vaqtda boyadi. Shuncha vaqt ichida 133 m2 li devorni boyash uchun nechta ishchi kerak boladi? 534. Tenglamani 1) ( ) yeching: ( ) 2 3 + x : 14 = + x : 18 ; 3 2 535. Kesma, uchburchak ortiqcha? va 2) tonna 96 (5x − 12 ) : 38 = 12,5 : 1 169 . sozlaridan qaysi biri 536. Daryo oqimining tezligi 3 1 3 km/soat ga, motorli qayiqning turgun suvdagi tezligi esa 32 1 8 km/soat ga teng. Qayiq- ning daryo oqimi boyicha va oqimga qarshi tezligini toping. Chizmada: 1) qayiqning daryo oqimi boyicha tezligini; 2) qayiqning oqimga qarshi tezligini ifodalovchi kesmalarni korsating (42- rasm). 42 3 A â D 1 32 8 1 3 â km/soat â B â 1 3 3 km/soat C â km/soat 537. Proporsiyalar zanjirini davom ettiring: 72 2" ... 6 ... ... = = = = = . 360 120 60 ... ... 5 Ushbu nisbatlardan proporsiya tuzish mumkinmi (538539): 538. 1) 9 : 24 va 3 : 8; 2) 1 : 9 va 4 : 36; 3) 12 : 22 va 11 : 6? 1 2 2) 4 : 3 539. 1) 0,1 : 0,05 va 0,8 : 0,4; 1 va 13,5 : 10,5? 2 540. Piyoda 3 soatda 10,5 km yol yurdi. Piyoda shunday tezlik bilan yursa, 4,5 soatda necha kilometr yol bosadi? 541. Proporsiyaning chetki hadlari 63 va 54 ga, orta hadlaridan biri esa 24 ga teng. Shu proporsiyaning ikkinchi orta hadini toping. 542. Proporsiyaning orta hadlari 12 va 60 ga, chetki hadlaridan biri esa 24 ga teng. Shu proporsiyaning ikkinchi chetki hadini toping. 543. Proporsiyaning nomalum hadini toping: 1) N : 36 = 7 : 35; 2) 36 : 27 = 3,75 : N; 3) 18 : 4 = N : 12. 544. Mumkin bolgan barcha proporsiyalarni tuzing: 1) 6 ⋅ 32 = 3 ⋅ 96; 2) 4 ⋅ 30 = 10 ⋅ 12; 3) 1,25 ⋅ 16 = 2 ⋅ 10. 545. Quyidagi sonlardan proporsiya tuzish mumkinmi: 1) 26, 39, 6, 9; 2) 8, 16, 19, 36; 3) 8, 14, 4, 7? 7 Matematika, 6 97 6264 Proporsiya asosiy xossasining tatbiqlari 1. Besh miqdor qoidasi. Uch miqdor qoidasiga oid masalalar tez-tez uchrab turadi. Bu masalalarda uchta son berilib, ularga proporsional bolgan tortinchi sonni topish talab etiladi. M a s a l a . (Abu Rayhon Beruniy masalasi.) Agar 10 dirham (pul birligi) 2 oyda 5 dirham foyda keltirsa, 8 dirham 3 oyda qancha foyda keltiradi? Y e c h i s h . Masalani turli usullarda yechish mumkin. Ulardan birini keltiraylik. 1) 8 dirham 3 oyda N dirham foyda keltiradi, 10 8 deylik. Miqdorlarni jadvaldagidek joylashtiramiz: dir2 3 hamga dirham, oyga oy mos qilib yozilganiga etibor 5 N bering. 2) Masalada turli miqdordagi dirhamlar haqida gap ketayotgan bolsa ham, gap bir dirhamdan olinayotgan foydaga borib taqaladi. Ushbu tenglamani tuzamiz: 10 2 5 1 1 1 ⋅ = ⇒ ⋅ = . x x 8 3 2 3 Suratda chap ustundagi sonlar, maxrajda esa ong ustundagi sonlar turibdi. Nomalum N qatnashgan oxirgi tenglamadan topamiz: N = 6. J a v o b : 8 dirham 3 oyda 6 dirham foyda keltiradi. Proporsiyaga oid masala yechishning bu usuli Beruniyning «besh miqdor qoidasi» deyiladi. Masalada 5 ta miqdor berilgan bolib, oltinchi nomalum miqdor N topiladi. 2. Proporsiyalarni soddalashtirish. Shakl almashtirishlar jarayonida: 1) nisbatning har ikkala hadi; 2) oldingi yoki keyingi hadlarning har biri; 3) proporsiyaning hamma hadlari bir vaqtda bir necha marta orttirilsa (yoki kamaytirilsa), proporsiya buzilmaydi. Sanab otilgan shakl almashtirishlar natijasida proporsiyalar ancha soddalashadi. M i s o l . Proporsiyani soddalashtiring: Yechish. 1 2 : 1 48 = 20 : 5 6 1 1 5 = 20 : . : 2 48 6 proporsiyaning hamma 48 ga (EKUK ga) kopaytirib, topamiz: 24 : 1 = 960 : 40 yoki 98 24 : 1 = 96 : 4. hadlarini 546. Kasr sonlar nisbatini butun sonlar nisbatiga almashtiring: 1) 8 6 5 : 17 ; 7 7 3) 7,25 : 21,75; 5) 1 5 : 1, 3 : 0, 39 ; 8 2) 6 14 7 :3 ; 15 15 4) 18,63 : 6,21; 6) 0,66 : 0,11 : 1 . 5 6 547. Nisbatni qisqartiring: 1) 875 : 375; 3) 144 : 180 : 1 080; 5) 825 : 1 815 : 1 155; 2) 196 : 784; 4) 315 : 357 : 693; 6) 1 560 : 1 638 : 2 028. 548. Nisbatning nomalum hadini toping: 1) N : 11 2) N : 7 3 7 =1 1 ; 20 5 27 = ; 9 34 3) N : 4 4) 9 3 4 =2 3 ; 19 2 6 : N =1 ; 7 7 5) 10 2 13 6) 12 1 3 :N=2 . 7 7 : N =1 7 ; 26 549. 15 ga yerga 2,7 t bugdoy sepildi. 1 030 ga yerga sepish uchun qancha bugdoy kerak boladi? 550. 5 ta ot 3 kunda 60 kg yem yeydi. 7 ta shunday ot uchun 8 kunga qancha yem gamlash kerak? 551. Proporsiyani yeching (N ni toping): 1) 3N + 4 28 = 1 ; 4 3,8 18 2) 1,9 = 2 N + 7 ; 2 1 3) N − 1 = 5 ; 4) 3 N −4 = . 4 8 552. Sonlar uchligiga shunday tortinchi sonni tanlangki, ulardan proporsiya tuzish mumkin bolsin: 1) 4; 5; 6; 2) 5; 7; 9; 3) 12; 16; 17; 1 3 1 2 4) 2 ; 4 ; 4. Masalaning nechta yechimi bor? Javobingizni asoslang. 553. 5 ta nasos 3 soat davomida 27 m3 suvni kanaldan tortib chiqaradi. 4 ta shunday nasos 5 soatda necha kub metr suvni tortib chiqaradi? = ? 554. > = @ proporsiya orinli boladigan ? nuqtaning koordinatasini toping (43- rasm). 43 0 => @N 99 555. Agar: 1) 1 l suvning massasi 1 kg; 2) 5 m3 neftning massasi 4 t; 3) 556. 557. 558. 559. 1 m3 havoning massasi 430 g; 4) qirrasi 5 sm bol3 gan qorgoshin kubchaning massasi 1 412,5 g ga teng bolsa, suv, neft, havo va qorgoshinning zichligini g/sm3 hamda kg/m3 larda ifodalang. (Qadimiy masala.) 100 ta chittak 100 kunda 100 kg don yeydi. 10 ta chittak 10 kunda necha kilogramm don yeydi? Uzunligi 56 m ga teng bolgan maktab koridorini boyash kerak. Koridorning 22 m lik qismini boyash uchun 8,25 kg boyoq sarflandi. Koridorning qolgan qismini boyash uchun yana qancha boyoq kerak boladi? Olma quritilganda oz massasining 84 % ini yoqotadi. 16 kg olma qoqi tayyorlash uchun qancha olma kerak boladi? Sayyohlar uch kunda malum bir yolni bosib otishdi. Ular 1- kun butun yolning 3 2 qismini, 2- kun qolgan yolning 8 5 qismini, 3- kun qolgan 21,6 km yolni bosib otishdi. Butun yol qancha? K o r s a t m a . Tenglama tuzing va uni yeching (44- rasm). 44 â 3 8 5 2 ⋅ â8 5 N km â N km â 21,6 km N km â â 560. Proporsiyalar zanjirini davom ettiring: 80 40 ... 10 ... ... = = = = = . 240 120 60 ... ... 3 561. Proporsiyaning nomalum hadini toping: 1) N : 36 = 7 : 35; 2) 36 : 27 = 3,75 : N; 3) 18 : 4 = N : 12. 562. Nisbatning nomalum hadini toping: 1) x : 2 1 7 = 7; 1 3 2) 1 : x = 1 ; 3 3) N : 0,2 = 20; 4) 0,9 : N = 3. 563. 4 kg gilos uchun 20 000 som tolandi. Agar shu gilosdan 7 kg olinsa, qancha pul tolanadi? 564. Nisbati: 1) 0,25 ga; 2) 2 ga teng bolgan uchta proporsiya tuzing. 565. 15 sm3 misning massasi 133,5 g. 22 sm3 misning massasi qancha boladi? 100 6566 Togri va teskari proporsional miqdorlar Miqdorlar orasida boglanishning eng soddalari togri va teskari proporsionallikdir. Biz bu yerda togri proporsional miqdorlar haqida tushuncha beramiz. 1- m a s a l a. Mashina 1 soatda 70 km yol bosadi. U shunday tezlik bilan 1,5; 2; 3; 4; 4,5; 6; 7,5; 8 soatda necha kilometr yol bosadi? Masala yechimini ushbu jadval korinishida beraylik: Vaqt Tezlik (soat) (km/soat) Otilgan yol (km) 1 1,5 2 3 4 4,5 6 7,5 8 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 105 140 210 280 315 420 525 560 Jadvalni tahlil qilib, shunday xulosaga kelamiz: 1- x u l o s a . Vaqt necha marta ortsa, berilgan tezlikda bosib otilgan yol ham shuncha marta ortadi. Mashina 1,5 soatda 105 km yol bosgan. Sarflangan vaqtni 2 marta orttiraylik: 1,5 ⋅ 2 = 3 (soat). U holda bosib otilgan yol ham 2 marta ortadi: 210 : 105 = 2 (marta). 2- x u l o s a . Otilgan yolning vaqtga nisbati tezlik ozgarmay qoladi: 70 105 140 560 = = = ... = = 70 . 1 1,5 2 8 Agar bir miqdor k marta ortganda ikkinchi miqdor ham k marta ortsa, bunday miqdorlar togri proporsional miqdorlar deyiladi. N va y togri proporsional miqdorlar bolsa, ular orasidagi boglanish y = k yoki y = k ⋅ N formula yordamida beriladi, bu x yerda k togri proporsionallik koeffitsiyenti deyiladi. k natural yoki kasr son. 2- m a s a l a . 3 m mato uchun 11 400 som tolandi. Shu matoning 8 metri necha som turadi? Y e c h i s h . 1- u s u l . Masalani proporsiya tuzish bilan yechamiz. 101 _____ 3 m 11 400 som _____ 8 m N som (3 m matoga 11 400 som mos keladi) (8 m matoga N som mos keladi) Odatda, bir Nil «yonalishlar» (↓↓) miqdorlar togri proporsional boglanishda bolganda qoyiladi. Proporsiya tuzamiz: 3 11 400 = 8 x (yoki 3 : 8 = 11 400 : N). Proporsiyaning asosiy xossasiga kora: 3N = 11 400 · 8, bundan N = 11 400 ⋅ 8 : 3 = 11 400 : 3 ⋅ 8 = 3 800 ⋅ 8 = 30 400 (som). 2- u s u l . 1- s a v o l . 1 m mato necha som turadi? 11 400 : 3 = 3 800 (som). 2- s a v o l . 8 m mato necha som turadi? 3 800 ⋅ 8 = 30 400 (som). J a v o b : 8 m mato 30 400 som turadi. Miqdorlar orasidagi boglanishlarning yana biri teskari proporsionallik. Bu tushunchaga olib keluvchi masala bilan tanishaylik. Sizga qogozdan yuzi 24 sm2 ga teng bolgan bir necha togri tortburchakni yuzlari ozgarmas bolish sharti bilan qirqib olish topshirilgan, deylik. Togri tortburchakning qoshni tomonlari uzunliklarini (sm da) N va y bilan, yuzini esa S bilan belgilaymiz (45- rasm). Ular S = Ny formula bilan boglanganini bilasiz. Shartga kora, Ny = 24. Quyidagi jadvalni tuzamiz: N (sm) 45 N 24 sm2 1 2 2,4 3 4 5 12 y (sm) 24 12 10 8 6 4,8 2 S (sm2) 24 24 24 24 24 24 24 y Jadvaldan korinadiki, N va y larning qiymatlari turlicha bolsa ham, mos qiymatlarining kopaytmasi bir xil (ozgarmas) va u 24 ga teng boladi. Bunday miqdorlar teskari proporsional miqdorlar, 24 soni esa teskari proporsionallik koeffitsiyenti deyiladi. Demak, togri tortburchakning yuzi ozgarmas bolsa, uning tomonlari ozaro teskari proporsional boladi. 102 Agar ozaro boglangan ikki miqdordan birining bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan ikkinchisi shuncha marta kamaysa (ortsa), bunday miqdorlar teskari proporsional miqdorlar deyiladi. N va y teskari proporsional miqdorlar bolsa, ular orasidagi k boglanish O = formula yordamida beriladi, bu yerda k biror x ozgarmas (natural yoki kasr) son. Masalan, agar N = 2,4 sm bolsa, u holda jadvaldan O = 24 = 10 (sm) boladi. Endi N ni, yani 2,4 2,4 ni 5 marta orttiramiz. U holda N = 2,4 ⋅ 5 = 12 va y ning unga mos qiymati O = 24 = 2 (sm) ga teng, yani y = 12 : 2,4 = 5 marta 12 kamayadi. Bunda togri tortburchakning boyi va eni ozgarganiga qaramasdan, ularning kopaytmasi togri tortburchakning yuzi Ny = 24 ozgarmasdan qolaveradi. Hayotda shunday hollar uchraydiki, bunda butun yechimlar qidiriladi, ammo qoyilgan matematik masala yechimi kasr son bolishi mumkin. Bunday hollarda vaziyatdan kelib chiqqan holda qulay butun sonlar tanlash tavsiya etiladi. 3- m a s a l a . 4 ta ishchi bir ishni 32 soatda bajaradi. Shu ishni bir sutkada bajarish uchun (ishchilarning ish unumdorligi bir xil) nechta qoshimcha ishchi kerak boladi? Y e c h i s h . Berilgan ish hajmini bajarish uchun ketgan vaqt va ishchilar soni ozaro teskari proporsional miqdorlardir, yani ishchilar soni bir necha marta ortsa, shu ishning bajarilish vaqti shuncha marta kamayadi. Zarur ishchilar sonini N bilan belgilaymiz va masala shartini jadval korinishida yozamiz (jadvalda 1 sutka = 24 soat deb olingan). Odatda, har xil «yonalishlar» (↓↑) miqdorlar teskari proporsional boglanishda bolganda qoyiladi. Ishlash sharti Ishchilar soni Vaqt, soat 1- holat 4 32 2- holat N 24 4 24 " ⋅! 4 $ proporsiyani hosil qilamiz, bundan x = = = =# . 32 x " ! ! ! Ishchilar soni kasr son bola olmaydi, va demak, zarur ishchilar soni 6 ta, yani qoshimcha 6 − 4 = 2 ta ishchi kerak boladi. 103 Shu masalani qoshimcha ishchilar sonini N deb belgilab yechsa ham boladi. U holda proporsiya quyidagicha boladi: 4 24 = , bundan 24 ⋅ (4 + N) = 4 ⋅ 32 ni hosil qilamiz. 4+x 32 J a v o b : 2 nafar qoshimcha ishchi kerak. 566. 1) Togri proporsional miqdorlar deb nimaga aytiladi? Proporsionallik koeffitsiyenti deb nimaga aytiladi? ? 2) 3) Teskari proporsional miqdorlar deb nimaga aytiladi? 4) Teskari proporsionallik koeffitsiyenti deb nimaga aytiladi? 5) Togri proporsional miqdorlar bilan teskari proporsional miqdorlar bir-biridan nimasi bilan farqlanadi? 567. «Kobalt» yengil mashinasi shahar ichida 1 km yolni otish uchun 8,4 l yonilgi sarflaydi. Quyidagilarni toping: 1) «Kobalt»da 25 km yolni bosish uchun necha litr benzin sarflanadi? 2) 33,6 l yonilgi bilan «Kobalt»da necha kilometr yol yurish mumkin? 568. Yuk mashinasining tezligi 6 km/soat. U 1) 15 min; 2) 2 min; 3) 45 min; 4) 2,5 soat; 5) 3,25 soat; 6) 4 soat; 7) 4 soat-u 15 minutda qancha yol yuradi? Javobni jadval korinishida bering. 569. Quyidagi jadvallarning qaysi birida a va b miqdorlar togri proporsional boglanishni tashkil qiladi? 1) a 1 2 3 4 b 5 1 15 2 5 2) 25 a 6 3 12 6 ,6 b 2 1 4 2 1 Tashkil qilsa, proporsionallik koeffitsiyenti nimaga teng? 570. Uzunligi 5 m bolgan mis simning massasi 43 g. 1) Uzunligi 4 m; 5 m; 12 km bolgan simning massasi qancha boladi? 2) Massa va uzunlik orasidagi boglanishning proporsionallik koeffitsiyenti nimaga teng? 571. Jadvalda yuzi 8 sm2 ga teng bolgan togri tortburchakning qoshni tomonlari uzunliklari berilgan. Jadvalni toldiring. 1- tomon (sm) 1 2- tomon (sm) 8 2 4 16 14 8 4 1 572. (Ogzaki.) Quyidagi jadvallarning qaysi birida N va y miqdorlar teskari proporsional boglanishni tashkil qiladi? 1) N y 1 2 3 6 9 18 9 6 3 2 2) N ,1 ,3 ,5 y 1 3 2 2 2,5 ,5 ,4 Tashkil qilsa, proporsionallik koeffitsiyenti nimaga teng? 573. 8 km/soat tezlik bilan ketayotgan «Matiz» yengil mashinasi Toshkentdan Gulistongacha bolgan masofani 1,5 soatda bosib otdi. Shu masofani mashina 75 km/soat tezlik bilan qancha vaqtda bosib otadi? 574. Sayyoh 4,5 km/soat tezlik bilan yurib, hamma yolga 3,2 soat sarfladi. Shu yolni 2,4 soatda otish uchun u qanday tezlik bilan yurishi kerak? 575. Velosipedchi 12 km/soat tezlik bilan Toshkentdan Yangiyolga 2,5 soatda bordi. U shu masofani: 1) 2 soatda; 2) 2 soat-u 4 minutda bosib otishi uchun qanday tezlik bilan yurishi kerak? 576. Toshkent va Samarqand sha46 harlari orasidagi masofa 354 km. «Afrosiyob» poyezdi bu masofani: 1) 2 soatda; 2) 2 soat-u 1 minutda otishi uchun qanday tezlik bilan yurishi kerak (46- rasm)? 577. Yolovchi 3,6 km/soat tezlik bilan yurib, hamma yolga 2,5 soat sarfladi. U 5 km/soat tezlik bilan yursa, shu yolga qancha vaqt sarflaydi? kasrning surat va maxrajiga bir xil son qosh4 3 hosil boldi. Hosil bolgan kasrni qisqartirgandan keyin & 578. Manzura di. Manzura qanday son qoshgan? 579. «Matiz» yengil mashinasi 8 km/soat tezlik bilan harakatlanmoqda. t otilgan vaqt, s shu vaqtda bosib otilgan masofa. Jadvalni toldiring. t (soat) ,2 1,2 2,4 3 3,5 4 v (km/soat) 8 8 8 8 8 8 s (km) 15 580. Quyidagi jadvallarning qaysi birida a va b miqdorlar togri proporsional boglanishni tashkil qiladi? 1) a 1 2 3 4 b 4 8 12 16 2 581. Nigora 3 km yolni 5 2 3 2) a 3 15 6 3 ,3 b 1 2 1 1 5 soatda bosib otadi. U 3 km yolni 4 necha soatda bosib otadi? 582. Quyidagi jadvallarning qaysi birida N va y miqdorlar teskari proporsional boglanishni tashkil qiladi? 1) N ,2 2 3 4 6,5 y 6 6 4 3 2 2) N 1 2 3 5 6 y 3 15 1 6 5 Agar tashkil qilsa, proporsionallik koeffitsiyenti nimaga teng? 583. Samolyot 1,5 soatda 1 2 km masofani uchib otdi. U shunday tezlik bilan 3 2 km masofani qancha vaqtda uchib otadi? 584. 18 ta ishchi kop qavatli uydagi xonadonlarni 24 kunda tamirlaydi. Shu ishni 12 ta ishchi necha kunda bajaradi? Togri va teskari proporsional miqdorlarning tatbigi 6974 1- m a s a l a . 1 sm uzunlikdagi AB kesmani C nuqta 4 : 1 kabi nisbatda ikkita kesmaga boladi. AC va CB kesma uzunliklarini toping (47- rasm). 47 Aâ 4 bolak 1 bolak âC â âB â â 1 m Y e c h i s h . Jami bolaklar soni 4 + 1 = 5 ta. Har bir bolakka 1 : 5 = 2 (sm) togri keladi, yani CB = 2 sm. AC kesmaga 4 ta bolak togri kelgani uchun AC = 2 ⋅ 4 = 8 (sm) boladi. J a v o b : AC = 8 sm, CB = 2 sm. 2- m a s a l a . a va b sonlar 2 va 3 sonlariga proporsional. a va b sonlarning yigindisi 1 ga teng. Shu sonlarni toping. Y e c h i s h . Dastlab proporsionallik koeffitsiyentini topish lozim. Proporsionallik koeffitsiyentini k bilan belgilaymiz. Masala 16 a shartini = k va > = k tengliklar korinishida yozamiz. U holda 3 a = k ⋅ 2, b = k ⋅ 3. Bizga a + b = 1 ekani malum. Bulardan k ⋅ 2 + k ⋅ 3 = 1 tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamani kopaytirishning taqsimot qonunidan foydalanib, quyidagicha yozib olamiz: k ⋅ (2 + 3) = 1. Bundan k = 100 100 = = 20 . Endi izlana2+3 5 yotgan sonlarni topamiz: a = 2 ⋅ 2 = 4, b = 2 ⋅ 3 = 6. J a v o b : 4 va 6. Yechilgan masala quyidagicha ham ifodalanadi: 1 sonini nisbati 2 ning 3 ga nisbati kabi bolgan a va b sonlarga boling. Bu kabi masalalar quyidagi qoida boyicha yechiladi. Masalani ushbu qoida boyicha yechamiz: 1) 2 + 3 = 5; 2) 100 = 20 ; 3) a = 2 ⋅ 2 = 4; 4) b = 2 ⋅ 3 = 6. 5 T e k s h i r i s h : 4 + 6 = 1; 4 : 6 = 2 : 3. J a v o b : 4 va 6. 3- m a s a l a . 78 ni 1,5; ,75; ,4; 1,25 sonlariga proporsional qilib, tortta bolakka boling. Y e c h i s h . Izlanayotgan sonlarni N1, N2; N3 va N4 lar orqali belgilaymiz. Masala shartidan: N1 : N2 : N3 : N4 = 1,5 : ,75 : ,4 : 1,25 tenglikni yoza olamiz. Kasr sonlar nisbatini butun sonlar nisbatiga almashtiramiz: N1 : N2 : N3 : N4 = 3 : 15 : 8 : 25. k = %&0 %&0 = = 10 , N1 = 1 ⋅ 3 = 3, 30 + 15 + & + 25 %& N2 = 1 ⋅ 15 = 15, N3 = 1 ⋅ 8 = 8, N4 = 1 ⋅ 25 = 25. J a v o b : 3, 15, 8, 25. 4- m a s a l a . a va b sonlari 4 va 5 sonlariga teskari proporsional. Agar ularning yigindisi 72 ga teng bolsa, a va b sonlarni toping. Y e c h i s h . 72 sonini 4 va 5 sonlariga teskari proporsional bolgan ikkita qismga bolish shu sonni proporsional qilib bolish demakdir. 1) # " + " # = #+" 0 = ' 0 ; 2) 72 : 17 9 20 1 1 va sonlariga togri 4 5 20 = 8 72 ⋅ = 160 . 91 Togri proporsional sonlarni kora a va b sonlarni topamiz: a= 4 qismlarga ⋅ 60 = 40 , b = 5 bolish qoidasiga ⋅ 60 = 3 . J a v o b : a = 4, b = 32. Bu kabi masalalarni yechishda ushbu qoidadan foydalaniladi. Biror sonni berilgan sonlarga teskari proporsional qismlarga bolish uchun u sonni berilgan sonlarga teskari sonlarga togri proporsional qilib qismlarga ajratish kerak. Foizga doir masalalarni proporsiyalar yordamida yechish qulay. 5- m a s a l a . Gosht pishirilganda massasining 35% ini yoqotadi. 78 g pishgan gosht olish uchun qancha xom gosht kerak boladi? Y e c h i s h . N g xom gosht kerak bolsin. Pishirilgan gosht xom goshtning 1 % 35 % = 65 % ini tashkil qiladi. Endi shartni yozamiz: N g 1 % 78 g 65 % Tenglama tuzamiz va uni yechamiz: x 780 = 100 65 ⇒x= 12 780 ⋅ 100 65 1 = 1200 (g). 78 g pishgan gosht olish uchun 1 2 g xom gosht olish kerak boladi. J a v o b : 1 2 g yoki 1,2 kg. 6- m a s a l a . Eritmada 3 g tuz va 17 g suv bor. Eritmada necha foiz tuz borligini toping. Moddaning eritmadagi foiz miqdori moddaning eritmadagi (aralashmadagi) massasining eritmaning (aralashmaning) umumiy massasiga nisbatining 100 % ga kopaytirilganiga teng: Mo@@=ning foiz miq@ori = mo@@=ning m=ss=si ⋅100 %. eritm=ning m=ss=si Y e c h i s h . Masala shartiga kora modda (tuz)ning massasi 3 g, eritmaning (tuz + suv) massasi esa 3 + 17 = 2 (g). Tuzning eritmadagi foiz miqdorini topamiz: 18 30 ⋅ 00% = #% . 200 Moddaning eritmadagi foiz miqdori boshqachasiga eritmaning konsentratsiyasi deb ham ataladi. «Tuzning 15 % li konsentratsiyasi» iborasi tuz eritma massasining 15 % ini tashkil qilishini bildiradi. J a v o b : 15 %. Bu aslida ikki sonning foiz nisbatidir. Uni 5- sinfdan bilasiz. 7- m a s a l a . 12 % li 3 g eritmaga 1 g suv qoshildi. Tuzning eritmadagi foiz miqdori qancha boldi? Y e c h i s h . Dastlabki eritmadagi tuzning massasini topamiz: 12 % = ,12, u holda 3 · ,12 = 36 (g). Eritmaga suv qoshilganda tuzning miqdori ortmaydi, eritmaning massasi esa ortadi: 3 + 1 = 4 (g). Bundan tuzning eritmadagi foiz miqdori !6 400 ⋅ 00% = 9% ga tengligi kelib chiqadi. Masalani proporsiya tuzib yechish ham mumkin. 3 g 4 g Tenglama tuzamiz va 12 % N% uni yechamiz: 300 300 ⋅12 x = , x= , 400 12 400 bundan N = 9 %. J a v o b : 9 %. 8- m a s a l a . 92 probali 18 g oltin 48 752 probali 1 g oltin bilan qoshib eritildi. Natijada qanday probali qotishma hosil boldi (48- rasm)? Y e c h i s h . Birinchi qotishmadagi sof oltin 18 g ning ,92 qismini, yani 18 · ,92 = 165,6 (g) ni tashkil qiladi. Ikkinchi qotishmadagi sof oltin esa 1 g ning ,752 qismini, yani 1 · ,752 = 75,2 (g) ni tashkil qiladi. Demak, hosil qilingan qotishmadagi sof oltin 165,6 + 75,2 = 24,8 (g) ni tashkil qiladi. Qotishmaning umumiy massasi 18 + 1 = 28 (g) ga teng. Uning probasi quyidagiga teng: 240,& 240 &00 ⋅ 000 = = &60 . 2&0 2&0 J a v o b : 86- probali qotishma hosil bolgan. Proba lotincha «proba» sozidan olingan bolib, «sinab korish», «baholash» degan manoni bildiradi. 19 Oltin (yoki platina, kumush kabi qimmatbaho metallar) aralashtirib tayyorlangan buyum, bezak massasining qanday qismini sof oltin (platina, kumush) tashkil qilishini korsatuvchi son proba deyiladi. 585. C nuqta AB kesmani 3 : 5 kabi nisbatda ikki bolakka boladi. AB kesmaning uzunligi 48 sm. Har bir bolakning uzunligi qancha? 586. C nuqta KM kesmani 5 : 4 kabi nisbatda ikki bolakka boladi. KM kesmaning uzunligi 36 sm. Har bir bolakning uzunligi qancha? 587. 84 g li konfetni: 1) 2 : 3; 2) 13 : 8 kabi nisbatda boling. 49 588. Toqiladigan ip paxta va kaprondan iborat bolib, ularning massasi 6 : 4 kabi nisbatda. 1) 1 kg 2 g toqiladigan ipda qancha paxta bor? 2) 2 kg 5 g toqiladigan ipda qancha kapron bor (49- rasm)? 589. Sovgani orash uchun tasma 4 : 6 kabi nisbatda ikki bolakka bolindi. Kichik bolakning uzunligi 94 sm. Tasmaning uzunligini toping. 590. Aka va singil shokolad plitkasini yoshlariga mos nisbatda bolib olishdi. Akasi 14 yoshda, singlisi esa 12 yoshda. 50 1) Shokoladning necha bolagini akasi olgan? 2) Shokoladning necha bolagini singlisi olgan (5- rasm)? 591. 6, 18, 12 sonlarining 4, 12, 8 sonlariga proporsional ekanini tekshiring. Proporsionallik koeffitsiyentini toping. 592. Arqon 5 : 7 : 13 kabi nisbatda uchta qismga bolingan. Arqon bolaklaridan eng uzuni eng kaltasidan 2 m 88 sm ga uzun. Arqonning har bir bolagi uzunligini toping. 593. Uchta sonning nisbati 2 : 3 : 8 kabi, ularning yigindisi esa 67,6 ga teng. Shu sonlardan eng kattasi bilan eng kichigining ayirmasini toping. 11 594. Uchburchakning tomonlari 4, 9 va 6 sonlariga proporsional. Agar: 1) eng qisqa; 2) eng uzun; 3) ortacha tomon uzunliklari 36 sm ga teng bolsa, shu tomonlarni toping (51- rasm). 595. Qonuniyatni aniqlab, qatorni yana 3 ta songa davom ettiring: 5, 1, 2, 4, ..., ..., ... . 596. 798 ni B 51 A P = AB + BC + AC C 2 3 4 , va sonlariga togri proporsional qilib boling. 3 4 5 597. Shunday sonlarni topingki, N, y, 36 sonlari: 1) 3, 1, 1; 2) 1 1 , , sonlariga proporsional bolsin. ! & 27 598. 22,4 sonini: 1) 4 va 1; 2) 3 va 5 sonlariga teskari proporsional bolgan ikkita qismga ajrating. 599. 54 sonini 3, 4 va 6 sonlariga teskari proporsional bolgan uchta qismga ajrating. 600. 244 sonini 1, 2, 3 va 5 sonlariga teskari proporsional bolgan tortta qismga ajrating. 601. 765 sonini ! ; 4 va sonlariga teskari proporsional bolgan uchta qismga ajrating. 602. 1) 9 ½ 4 olchamli togri tortburchakni (52- rasm) qanday 52 qilib 2 ta teng shaklga ajratish mumkin? Ajratish faqat katak qogoz chiziqlari yordamida amalga oshirilsin. 2) Qaysi holatda hosil bolgan bolaklardan kvadrat yasash mumkin boladi? 603. Uchta traktor uchun 2 kunga 9 l yoqilgi kerak. 2 ta shunday traktor uchun 5 kunga qancha yoqilgi zarur boladi? 604. 6 ta quyon uchun 4 kunga 9 kg yem gamlandi. 1 ta quyon uchun 5 kunga qancha yem gamlash kerak? 605. Eni 1,1 m bolgan 126 m drap matosidan 42 ta bir xil palto tikish mumkin. Eni ,9 m bolgan 11 m drapdan nechta shunday palto tikish mumkin? 111 606. 18 ta sigirga 35 kunga 7,56 t pichan kerak boladi. Shunday kunlik meyor bilan 12 ta sigirga 45 kunga qancha pichan kerak boladi? 607. Turli uzunlikdagi xodalarning har biri arralanib, bir xil sondagi golachalarga bolindi. Natijada hosil bolgan golachalar soni arralangan xodalar sonidan 25 taga kop chiqdi. Dastlab xodalar nechta bolgan? 608. Agar 4 g eritmada 16 g tuz bolsa, eritmada necha foiz tuz borligini toping. 609. 5 % li eritma hosil qilish uchun 4 g tuzni qancha suvda eritish kerak? 610. 8 g eritmada 5 g osh tuzi bor. 24 g eritmada qancha osh tuzi bor? 611. 1 kg suvda: 1) 15 g; 2) 6 g; 1 kg tuz eritilsa, eritmaning (namakobning) konsentratsiyasi qancha boladi? 612. Qotishmada 84 % qalay, 1 % surma, 4 % mis va 2 % vismut bor. 12 kg qotishmada shu metallarning har biridan qanchadan boladi? 613. Mototsiklchi 12 km yol bosdi. U yolning 4 % ini asfalt yolda 3 km/soat tezlik bilan, qolgan qismini oldingi tezligidan 2 % kam tezlik bilan tuproq yolda bosib otdi. Mototsiklchi butun yolni qancha vaqtda bosib otgan? 614. Yuzi 24 m2 bolgan basketbol maydonchasi sport maydonchasining 15 % ini tashkil etadi (53- rasm). Sport maydonchasining yuzi butun maktab maydonining 32 % ini tashkil etadi. Maktab maydonining yuzini toping. 53 615. Tomoni a ga teng kvadratning yuzini hisoblang, bunda a = 3 sm; 5 sm; 8 sm; 1 sm; 15 sm. Kvadratning yuzi va uning tomoni togri proporsional miqdorlar bola oladimi? Nima uchun? 616. Polat hajmining ozgarishi bilan massasining ozgarishi orasidagi boglanish togri proporsional boglanish boladi. 25 sm3 polatning massasi 15,6 g bolsa: 1) 12 sm3 hajmga polat massasining qanday son qiymati mos keladi? 2) 23,4 g massaga polatning qanday hajmi mos keladi? 112 617. Bugdoy tortilganda 81 % i un, 2 % i manniy yormasi va 17 % i kepak chiqadi. 2,5 t bugdoydan qancha un, manniy yormasi va kepak olinadi? 618. Bodringni tuzlashda: katta bodringlar uchun 8 % li, ortachalari uchun 7 % li va maydalari uchun 6 % li namakob (tuzli eritma) ishlatiladi. 1) 1 kg li; 2) 16 kg li; 3) 5 kg li namakob tayyorlash uchun qancha tuz kerak boladi? 619. Narxi b som bolgan mahsulot avval 25 % ga, songra yana 2 % ga arzonlashdi, keyin esa 2 % ga qimmatlashdi. Hozir shu mahsulot necha somdan sotilmoqda? Mahsulotni dastlabki narxda sotish uchun narxni necha foizga qimmatlashtirish kerak? 620. Ikki dokonda bir xildagi konfetlar bir xil narxda sotilardi. Birinchi dokon dastlab narxni 1 % ga, bir oydan song yana 2 % ga oshirdi. Ikkinchi dokon esa bir yola 3 % ga oshirdi. Hozir bu dokonlardagi konfetlarning narxi bir xilmi? E s l a t m a . Masalani yechishda qiynalsangiz konfetning qulay narxini tanlab oling, songra zarur amallarni bajaring. 621. Sol daryoda 6 soat davomida 14,4 km masofaga oqib bordi. Bu sol 18 km masofaga necha soatda oqib boradi? 28,8 km masofaga-chi? 622. 1 m3 havoda 21 m3 kislorod bor. Boyi 2 m, eni 12 m va balandligi 3,5 m bolgan sport zalida necha kub metr kislorod bor? 623. 1 dona ananasning narxi 2 % ga arzonlashgandan keyin 1 som 54 boldi. Ananasning dastlabki narxini toping (54- rasm). 624. Birinchi son 1 % ga, ikkinchi son esa 25 % ga orttirildi. Unda shu ikki sonning kopaytmasi necha foizga ortadi? 625. Temiryolning bir qismida 8 m uzunlikdagi eski relslar 12 m uzunlikdagi yangi relslarga almashtirildi. Agar 24 ta eski rels olib tashlangan bolsa, uning orniga yangi 12 metrlik relsdan nechtasini qoyish kerak? 626. C nuqta AB kesmani 4 : 3 kabi nisbatda ikki bolakka boladi. AB kesmaning uzunligi 63 sm. Har bir bolakning uzunligi qancha? 627. 84 sonini: 1) 5 : 16; 2) 8 : 13; 3) 11 : 1; 4) 2 : 19; 5) 17 : 4; 6) 1 : 6 kabi nisbatda boling. 8 Matematika, 6 113 628. Tasma 8 : 3 kabi nisbatda ikki bolakka bolindi. Katta bolakning uzunligi 72 sm. Berilgan tasmaning uzunligi qancha? 629. 12 sonini: 1) 4 : 5 : 3; 2) 15 : 16 : 9 kabi nisbatda boling. 630. Arqon 2 : 4 : 1 kabi nisbatda uchta qismga bolingan. Arqon bolaklaridan eng kichigi eng kattasining uzunligidan 2 m 4 sm ga qisqa. Arqonning har bir bolagi uzunligini toping. 631. Uchburchakning perimetri 12 sm. Agar uchburchakning tomonlari 5, 12 va 13 sonlariga togri proporsional bolsa, uning tomonlarini toping. 632. N va y teskari proporsional miqdorlar bolsin. Jadvalni toldiring: N 1 25 y 1 4 8 2 3 5 2,5 2 ,5 32 25 4 633. 36,8 sonini 3 va 7 sonlariga teskari proporsional bolgan ikkita qismga ajrating. 634. 61 sonini 1, 2, 3 va 5 sonlariga teskari proporsional bolgan tortta qismga ajrating. 635. Qonuniyatni aniqlab, bosh katakdagi sonni toping (55- rasm). 55 77 30 13 28 25 47 16 44 636. Uchta tovuq 3 kunda 9 ta tuxum qoyadi. 6 ta tovuq 6 kunda nechta tuxum qoyadi? 637. 84 sonini 4 va 3 sonlariga teskari proporsional qismlarga ajrating. 638. Yukni 1,5 tonnali 5 ta mashina bilan 6,4 soatda tashish moljallangan. Ikki tonnali 2 ta mashina bilan shu yuk qancha vaqtda tashib bolinadi? 639. Kitobning narxi 15 % ga arzonlashtirildi. Dastlabki narxi: 1) 6 som; 2) 1 som bolgan kitob endi necha somdan sotilmoqda? 640. Avtomobil yozda har 1 km ni bosib otish uchun 8 l, qishda esa 8,8 l benzin sarflaydi. Qishki norma yozgisidan necha foizga kop? 641. Zargar buyum yasash uchun oltin va kumushdan 5 : 8 kabi nisbatda qotishma tayyorladi. Agar u oltindan 2 g olgan bolsa, qotishmaning massasini toping. 114 7578 Masshtab a AB masofa xaritada 2,5 sm deylik. Aslida-chi? a Toshkent va Termiz shaharlari orasidagi masofa 7 km. Xaritada bu masofaga necha santimetr mos keladi? A Masshtab 1: 4 1 sm da 4 km B 56 Proporsiyaning amaliyotga yana bir tatbigi sifatida masshtab tushunchasi bilan tanishaylik. 56- rasmda Ozbekiston Respublikasining xaritasi 1 : 4 masshtabda chizilgan. Bu yoziv xaritani tuzishda barcha masofalar haqiqiy olchamidan 4 marta kamaytirib chizilganini bildiradi. Shuning uchun xaritada 1 sm li kesmaning uzunligi 4 sm = 4 km li masofaga mos keladi. Boshqacha aytganda, xaritadagi masofa haqiqiy olchamga togri proporsional boladi: 1 = 0,0000000 # . Bu 40 000 000 son masshtab proporsionallik koeffitsiyenti vazifasini otaydi. Qurilajak inshootlar loyihasini tuzishda, mashinalarning chizmalarini tayyorlashda, xaritalar tuzishda masshtabdan foydalaniladi. Bunda qulay masshtab tanlanib, barcha olchamlar kichraytiriladi. Chizmadagi ixtiyoriy kesmaning uzunligi va unga (hayotda) mos keladigan haqiqiy uzunlik togri proporsional miqdorlardir. Masshtab chizmadagi olchamlarning haqiqiy olchamga nisbati. Masshtab chizmadagi olcham haqiqiy olchamdan necha marta kichikligini korsatuvchi son. Xaritada, chizmalarda M 1 : 1, M 1 : 1 , ... kabi belgilar uchraydi. Ular chizmaning, xaritaning masshtabidir. Masalan, M 1 : 1 yozuv chizmadagi olchamlarning haqiqiy olchamga nisbati 1 : 1 kabi ekanligini, yani haqiqiy kattalikni bilish uchun chizmadagi olchamni 1 ga kopaytirish (1 marta orttirish) kerakligini bildiradi. 115 Kichik buyumlarning olchamlarini kattalashtirib korsatish uchun 1 : 1; 1 : 1; ... kabi masshtablardan foydalaniladi. Bunday masshtab haqiqiy olchamlar chizmada, rasmda 1 marta, 1 marta, ... kattalashtirilganini bildiradi. 1- m a s a l a . Chizmaning masshtabi 1 : 4. Chizmada sport maydonining boyi 5 sm, eni 4 sm bolsa, uning haqiqiy olchamlari qanday? Y e c h i s h . Sport maydonining haqiqiy uzunligini N sm, deylik. Proporsiya tuzamiz: 5 : N = 1 : 4, bundan N = 5 ⋅ 4 = 2 (sm) = 2 (m). Maydon enining asl (haqiqiy) uzunligi y sm bolsin. U holda: 4 : y = 1 : 4, yani y = 4 ⋅ 4 = 16 (sm) = 16 (m). Ja v o b : sport maydonining boyi 2 m, eni 16 m. Masalani qisqaroq ishlash ham mumkin. Masshtabning manosiga kora, haqiqiy uzunlikni topish uchun chizmadagi uzunlikni 4 ga kopaytirish lozim. 5 ⋅ 4 = 2 (sm) = 2 (m); 4 ⋅ 4 = 16 (sm) = 16 (m). 2- m a s a l a . Hasharot qanotlarining uzunligi 5 : 1 masshtabda 15 sm ga teng. Uning haqiqiy uzunligi qancha? Y e c h i s h . Hasharot qanotlarining haqiqiy uzunligi 5 marta kattalashtirib korsatilgan. Avval hasharot qanotlari uzunligini millimetrlarda ifodalaymiz: 15 sm = 15 mm, hasharotning asl (ozining) uzunligini N mm deb belgilaymiz. Proporsiya tuzamiz va uni yechamiz: 5 : 1 = 15 : N, N = 15 : 5 = 3 (mm). J a v o b : hasharot qanotlarining asl uzunligi 3 mm ga teng. 3- m a s a l a . Dunyodagi eng mitti 57 qush kolibri hisoblanadi. U tumshugining uchidan dumining uchigacha 6 sm keladi. Kolibri qushining chizmadagi olchami: 1) 3 sm; 2) 2 sm; 3) 1,5 sm qilib korsatilgan, deylik. Qush rasmda necha marta kichiklashtirilgan (57- rasm)? Y e c h i s h . 1- holatni korib chiqamiz. Kolibri qushi uzunligi k marta kichiklashtirilgan, deylik. Qismiga kora sonning ozini topish uchun shu sonni unga mos keluvchi songa bolish kerakligini bilasiz. Shunday qilib, qushning haqiqiy uzunligi k = 6 : 3 = 2 (marta) kichiklashtirilgan yoki chizmani chizishda 1 : 2 masshtabdan foydalanilgan. 116 J a v o b : chizma 1 : 2 (1 : 3; 1 : 4) masshtabda chizilgan yoki 2 marta (3 marta; 4 marta) kichiklashtirilgan. 4- m a s a l a . Uzumzor bog togri 58 tortburchak shaklida bolib, uning boyi 36 m, eni esa 24 m ga teng. 1 : 1 2 masshtabli chizmada bogÌ: 1 : 1 2 ning olchamlari qanday boladi (58- rasm)? Y e c h i s h . Bogning haqiqiy ol1 sm chamlari chizmada 1 2 marta kichik korsatilgan. Demak, chizmada bogning boyi boladi. Eni esa 40 m 00 = m 0 = 00 sm 0 3$0 m 3m 300 sm = = = 30 sm 1200 10 10 = 0 sm ni tashkil qiladi. Masalani proporsiya tuzib yechish ham mumkin edi. Uzunlikning chizmadagi boyini N sm deylik. Masala shartiga mos proporsiya tuzamiz, bunda 36 m = 36 sm ekanini hisobga olish kerak, chunki olchamlar chizmada santimetrlarda beriladi: N : 36 = 1 : 1 2, bundan 1 2N = 36 , yani N = 3 (sm). Bogning chizmadagi enini y desak, yuqoridagi mulohazalarga kora, y : 24 = 1 : 1 2, bundan 1 2y = 24 , y = 2 (sm). J a v o b : chizmada bogning boyi 3 sm, eni 2 sm boladi. 642. 1) Masshtab deganda nimani tushunasiz? Misollar keltiring. ? 2) 1 : 1, 1 : 1, ... kabi masshtablar bilan 1 : 1, 1 : 1, ... kabi masshtablarning farqi nimada? 643. Yer maydoni xaritasida masshtab 1 : 1 deb korsatilgan. Xaritadagi ikki nuqta orasidagi masofa: 1) 1 sm; 2) 1,7 sm; 3) 4 sm; 4) 5,5 sm; 5) 7 sm; 6) 1 sm ga teng. Haqiqiy masofalarni hisoblang. 644. 1 : 2 masshtabda: 1) uzunligi 5 m li kesmani; 2) radiusi 3,2 m li aylanani tasvirlang. 645. Toshkent va Namangan shaharlari orasidagi masofa 432 km. 1 : 2 masshtabli xaritada bu masofa qancha boladi? 646. Xaritada 2,7 sm uzunlikdagi kesmaga 54 km li masofa mos keladi. Agar xaritada ikki shahar orasidagi masofa 12,6 sm bolsa, ular orasidagi masofa aslida necha kilometr? 117 647. Chizmaning masshtabi 1 : 5. Chizmada boyi 4 sm, eni esa 3 sm bolgan togri tortburchak shaklidagi sport maydonining haqiqiy uzunliklari qancha boladi? 648. 59- rasmda togri tortburchak shaklidagi yer maydonining tarhi tasvirlangan. Zarur olchashlarni bajarib, yer maydonining perimetri va yuzini toping. 59 649. 1) Katakli qogozda tasvirlangan shaklni teng ikkita shaklchaga bolishni korsating (6- rasm). Katak chiziqlari boyicha kesishga ruxsat etiladi. M 1 : 2 60 2) Hosil bolgan hollarning qaysi birida teng ikki shaklchadan kvadrat yasash mumkin? 650. 1 : 2 masshtabli chizmada uyning boyi 3 sm. Uyning haqiqiy boyi qanchaga teng? 651. Bolishni bajarmasdan, 3 3 · 1 8 + 3 3 · 1 9 yigindining 2 17 ga bolinishini isbotlang. 652. Xaritaning masshtabi 1 : 1 . Agar yerdagi masofa 5 km; 15 km; 1 km bolsa, xaritadagi kesmaning uzunligi qancha boladi? 653. 1 : 5 masshtabli xaritada ikki qishloq orasidagi masofa 24 sm ga teng. Bu masofa 1 : 2 masshtabli xaritada qancha bolishini toping. 654. Bugdoy sepish meyori 1 gektarga qiladi. 1 : 1 masshtabli tarhda 1 sm bolgan togri tortburchak sepish uchun qancha bugdoy kerak ,24 tonnani tashkil boyi 12 sm va eni shaklidagi maydonga boladi? 655. Zigir urugi sepish meyori 1 gektarga ,5 sr ga teng. Tarhda uzunligi 2 sm, eni 15 sm bolgan togri tortburchak shaklidagi maydonga sepish uchun qancha zigir urugi kerak boladi? Masshtab 1 : 1 . 656. 1 : 3 masshtabda bajarilgan chizmada togri tortburchakning boyi 24 sm, eni esa 19,2 sm ga teng. Xuddi shu togri tortburchakning 1 : 12 masshtabdagi chizmadagi boyi va enining uzunligi qancha boladi? 1 : 18 masshtabda-chi? 118 657. Afrika qoriqxonalarida dunyodagi eng 61 baland jirafalarni uchratish mumkin. Ularning boyi 6 m gacha yetadi. 61-rasmdagi jirafaning boyi 4 sm ga teng. Jirafa rasmda necha marta kichraytirilgan? Masshtabni aniqlang. 658. Xaritaning masshtabi 1 : 1 5 . Xaritada 12,8 sm li kesma korinishida tasvirlangan haqiqiy masofani mototsiklchi 2 soat-u 4 minutda bosib otdi. Uning tezligi qanday bolgan? 659. Sport zalining tarhi tomonlari 5 sm va 3 sm bolgan togri tortburchak shaklida. Agar tarhning masshtabi 1 : 12 bolsa, zalning olchamlari (boyi va eni)ni aniqlang. 660. Ikki shahar orasidagi masofa 5 km. Xaritada bu masofa 25 sm bolsa, xarita qanday masshtabda chizilgan? 661. Bog togri tortburchak shaklida bolib, uning chizmadagi boyi 3 sm, eni 4 sm. Chizma 1 : 1 masshtabda bajarilgan bolsa, bogning aslidagi perimetrini toping. 662. 4 km masofaga chizmada 2 sm togri keladi. Chizmada ikki qishloq orasidagi masofa 16 sm bolsa, aslida bu qishloqlar orasidagi masofa necha kilometr boladi? 663. Hasharot rasmda 6 sm qilib korsatilgan. Uning haqiqiy kattaligi ,5 sm. Hasharot rasmda necha marta kattalashtirilgan? 664. Markazdagi sonni qolgan sonlarga 62 boling (62- rasm). # 665. Yuzi 5 ga bolgan maydonning to4 monlari 25 sm va 2 sm bolgan 1 % togri tortburchak shaklidagi tarhini chizish uchun qanday masshtab 4 % kerak? # 4 4 666. Xonaning tarhi tomonlari 5 sm va 3 sm bolgan togri tortburchak korinishiga ega. Agar tarhning mas4 shtabi 1 : 3 bolsa, xonaning boyi va enini aniqlang. 667. Tarhning masshtabi 1 : 2. Agar yerdagi masofa 2 m; 5 m; 25 m bolsa, ularga tarhda togri keluvchi kesmalarning uzunliklari qanday boladi? 119 668. Tegirmonda tortilganda bugdoydan 8 %, arpadan esa 75 % un chiqadi. 4 sr bugdoy va 5 sr arpa tegirmonda tortildi. Qaysi dondan kamroq un chiqqan? 669. Poyezdning tezligi 6 km/soat. Masshtabi 1 : 2 bolgan xaritada 3 sm li kesma sifatida tasvirlangan haqiqiy masofani shu poyezd necha soatda bosib otadi? 670. Avtomobilning tezligi 8 km/soat. Masshtabi 1 : 1 bolgan xaritada 24 sm li kesma sifatida tasvirlangan haqiqiy masofani avtomobil necha soatda bosib otadi? 671. 63- rasmda kvadrat korinishidagi 63 yer maydonining tarhi tasvirlangan. Zarur olchashni bajarib, yer mayM 1 : 5 donining haqiqiy perimetri va yuzini a P = 4a toping. S = a2 672. Sirdaryoning uzunligi 2 137 km ga teng. Uni yuzlar xonasigacha yaxlitlang. Agar xaritaning masshtabi 1 : 2 5 bolsa, daryoning xaritadagi uzunligi taxminan qanchaga teng? 673. Toshkent teleminorasining suratdagi balandligi 7,5 sm ni tashkil qiladi. Teleminoraning asl balandligi 375 m. Teleminora suratda necha marta kichiklashtirib tasvirlangan? 674. Quyidagi jadvalning 1- satrida kvadrat tomoni uzunligi, 2- satrida esa uning perimetri korsatilgan. Shu jadvalni toldiring. a 4 5 P 1,5 36 2,4 4,4 ,1 3,5 5,2 9 28 675. Toshkent va Termiz shaharlari orasidagi masofa 7 km. Bu masofa xaritada 7 sm ga togri keladi. Xaritaning masshtabini toping. 676. Yuzi 2 gektar bolgan ekin maydonining olchamlari 5 sm va 4 sm li togri tortburchak shaklidagi tarhini chizish uchun masshtabni qanday tanlash kerak? Ingliz masshtab scale vaqt time tilini organamiz! tezlik speed nisbat ratio 12 proporsiya proportion foiz percentage TEST 5 Ozingizni sinab koring! 1. C nuqta AB kesmani ikki qismga shunday ajratganki, bunda AC = 16 sm va BC = 8 sm. A) 2 ; 3 B) 3 ; 2 AC nisbatni toping. AB D) 2; E) 1 . 2 2. Nisbatlardan qaysi biri 6 km ning 8 m ga nisbatini ifodalaydi? A) 4 : 3; B) 3 : 4; D) 2 : 15; E) 15 : 2. 3. Qaysi nisbatlar proporsiya tashkil qiladi? 1) 26 : 5,2 va 39 : 7,8; 3) 1,5 : 3 va 31,5 : 9; 2) 7,5 : 2,5 va 2,5 : 1,5; 4) 1 : 2 va 1,6 : 3,5. A) 1; 3; B) 1; 2; D) 3; 4; 4. Proporsiyaning nomalum hadini toping: A) 2,5; B) 6; D) 3; E) 2; 4. 22,5 : N = 45 : 6. E) 4,5. 5. Piyoda soatiga 4 km tezlik bilan ketmoqda. Shunday tezlik bilan u 2 soat-u 45 minutda necha kilometr yol bosadi? A) 9,4 km; B) 8,6 km; D) 1 km; E) 11 km. 6. Mashina soatiga 72 km tezlik bilan 3 soat 2 minut yurdi. U shu masofani 2 soat-u 4 minutda otishi uchun qanday tezlik bilan yurishi kerak? A) 96 km/soat; D) 9 km/soat; B) 85 km/soat; E) 1 km/soat. 7. Ikki shahar orasidagi masofa 48 km. Xaritaning masshtabi 1 : 1 . Xaritada bu shaharlar orasidagi masofa qancha boladi? A) 4,8 sm; B) 24 sm; D) 96 sm; E) 48 sm. 8. Togri tortburchak shaklidagi bogning 1 : 2 masshtabli chizmadagi olchamlari 5 sm va 6 sm ga teng. Bogning yuzini toping. A) 1,2 ga; B) ,6 ga; D) 6 ga; 121 E) 1 ga. Tarixiy malumotlar Proporsiya lotincha «proportio» sozidan olingan bolib, «olchovdosh» degan manoni bildiradi. Buyuk yunon olimi Evklidning «Negizlar» asarida proporsiyalar nazariyasiga keng orin berilgan. Evklid a : b = c : d proporsiyadan quyidagi «hosila proporsiyalar»ni keltirib chiqaradi: b : a = d : c; a : c = b : d; (a + b) : b = (c + d) : d; (a − b) : b = (c − d) : d; a : (a − b) = c : (c − d). Buyuk olim, yurtdoshimiz Abu Rayhon Beruniy (973148) matematika va boshqa fanlarga doir koplab asarlar yozgan. Nisbatlar nazariyasiga oid ishlari katta amaliy ahamiyatga ega. Berilgan uchta a, b, c son boyicha a : b = c : N proporsiyadan nomalum son N ni topish qoidasi «uch miqdor qoidasi» nomi bilan malum bolgan. Bu qoida Beruniy asarlaridan birida keltirilgan. Beruniy 5, 7 va hattoki 15, 17 ta miqdor uchun ham bu kabi Abu Rayhon Beruniy qoidalarni qollash yollarini korsatgan. (973148) Shu orinda Beruniy masalalaridan birini keltiraylik. Abu Rayhon Beruniy masalasi. Gishtning olchamlari 5 8 5, 4, 3 uzunlik birligiga teng. Bunday gisht 3 donasining 4 6 narxi 6 dirham. Olchamlari 8, 6, 2 uzunlik birligiga teng 3 2 2 dona gishtning narxi necha dirham boladi? Y e c h i s h . Izlanayotgan pul miqdori N dirham, deylik. 30 20 Berilgan malumotlar jadvalga quyidagicha joylashtiriladi: 60 x Songra ushbu tenglama yoziladi: $0 30 3 4 5 = ⋅ ⋅ ⋅ . 20 2 $ & x Bu tenglamadan nomalum N ni topiladi: N = $0 ⋅ 20 ⋅ 2 ⋅ $ ⋅ & , bundan 30 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 N = 64 (dirham). J a v o b : 64 dirham. Masalaning bunday sodda va nafis yechilishi Beruniyga mansub. Bu yechim olimning «Hind rashiklari haqida kitob»ida berilgan. Ushbu masalani ozingiz hal qiling. Uzunligi 18 m, eni ,8 m va balandligi 2,1 m bolgan devorni tiklash uchun 16 8 dona gisht kerak boldi. 12 8 ta shunday gisht bilan uzunligi 15 m, eni ,6 m devor urilsa, uning balandligi qanday boladi? (J a v o b : 1 metr). 122 V bob. Musbat va manfiy sonlar. Butun sonlar 8183 Musbat va manfiy sonlar. Butun sonlar haqida tushuncha Havo temperaturasini olchaydigan asbob 64 termometrni korgansiz, uning tuzilishini bilasiz (64- rasm). a Sanoq boshi sifatida nima olingan? a Yozilgan boshqa sonlar nimani anglatadi? a Termometr qanday temperaturani korsatyapti? a Nega ayrim sonlar ikki marta yozilgan? «Bugun temperatura qanday?» degan savolga «3 gradus iliq», «5 gradus sovuq» kabi javoblarni eshitgansiz. Temperaturani olchashda sanoq boshi sifatida suvning muzlash temperaturasi qabul qilingan. Shuning uchun ham «3 gradus iliq», «5 gradus sovuq» jumlalari orniga, mos ravishda, «noldan 3 gradus yuqori», «noldan 5 gradus past» jumlalari yoki +3 °C, −5 °C yozuvlar ishlatilishi mumkin. Shunday qilib, temperaturani olchashda musbat natural sonlar yetarli emas, buning uchun −1; −2; −3 va h. k. yangi sonlar zarur. Bunday sonlar manfiy sonlar deyiladi. M i s o l . +4; −4; +9; −2 sonlarini oqing. Ulardan qaysilari musbat, qaysilari esa manfiy? Musbat va manfiy sonlar nafaqat temperaturani olchashda, balki geografik balandliklarni dengiz sathi bilan solishtirishda, iqtisodiy masalalarda uchraydi. Natural sonlar (1, 2, 3, ...), unga qarama-qarshi sonlar (−1, −2, −3, ...) va nol (0) butun sonlar deb ataladi. ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... sonlar qatori butun sonlar qatori deyiladi. Butun sonlar qatorida 0 sonidan ongda joylashgan 1, 2, 3, ... sonlari natural yoki butun musbat sonlar deb ataladi. Butun sonlar qatorida 0 sonidan chapda joylashgan −1, −2, −3, ... sonlari butun manfiy sonlar deyiladi. 123 Butun sonlar qatori (toplami, majmuasi) Z harfi bilan belgilanadi: Z = {..., −1, 0, 1, ...}. 0 soni natural (butun musbat) sonlarni butun manfiy sonlardan ajratib turadi. 677. 1) Butun sonlar deb nimaga aytiladi? Butun sonlar qatori deganda nimani tushunasiz? ? 2) 3) Butun musbat va manfiy sonlar deb nimaga aytiladi? 678. « + » va « » ishoralarni qollab matnda uchragan sonlarni yozing: 1) Ozbekistonda qish xiyla sovuq keladi, yoz esa issiq va uzoq davom etadi. Eng sovuq oy yanvarning ortacha temperaturasi Ustyurtda 9° sovuq, Qizilqum cholining janubiy qismida 0°, Ozbekistonning chekka janubiy qismida esa 2°3° sovuqni tashkil qiladi. Toglarda havo temperaturasi, asosan, joyning dengiz sathidan balandligiga bogliq. Yoz oylarida tekisliklarda havo temperaturasi kam ozgaradi: iyul oyining (eng issiq oy) ortacha temperaturasi Ustyurtda noldan 26°27° yuqori, Termizda 30° issiqqacha ozgaradi. Toglarda esa har 100 m yuqoriga kotarilgan sari temperatura orta hisobda 0,650,70° ga kamayib boradi. Ozbekistonning eng shimoliy qismida ortacha eng past havo temperaturasi 30° sovuqni tashkil etadi. Ayrim yillari temperatura noldan 40° sovuqqacha pasaygan. Termiz atrofida 20° sovuqdan past temperatura kuzatilmagan. Bu yerda kopincha qish iliq keladi. 2) Qizilqumda joylashgan Mingbuloq botigi Ozbekistonda eng past nuqtadir (dengiz sathidan 12 m past). 3) Hisor tizmasidagi choqqi (dengiz sathidan 4 688 m yuqori) Ozbekistonning eng baland nuqtasidir. 679. Kunduzi havo temperaturasi +22 °C boldi. Kechasi temperatura 10 °C ga pasayib, ertalab 7 °C ga kotarildi. Ertalab havo temperaturasi qancha boldi? 680. Ozbekistondagi eng baland choqqi, dengiz sathidan 4 688 m baland (Hisor tizmasi, Surxondaryo viloyati), eng past nuqta dengiz sathidan 12 m past (Mingbuloq botigi). Eng past va eng baland nuqtalar orasidagi farq qancha? 124 681. Tadbirkor 4 ta koylak sotib olib, keyinchalik ularni sotdi. Har bir koylakdan u qanday daromad yoki yoqotishga ega boldi? Quyidagi jadvallarni daftaringizga kochirib, tegishli kataklarni toldirib yozing. Ong tarafdagi jadvalda « + » yoki « » ishoralarni qollashni unutmang! Sotib olish narxi (som) Sotish Daro- Yoqonarxi mad tish (som) (som) (som) Sotib olish narxi Sotish Savdo narxi natijasi (som) (som) 1. 115 000 120 000 115 000 120 000 2. 122 000 120 000 122 000 120 000 3. 50 000 48 000 50 000 48 000 4. 45 000 48 000 45 000 48 000 Jami 682. Jadvaldagi kop nuqta orniga « + » yoki « » ishoralaridan mosini qoyib, toldiring: Shahar nomi Margilon Dengiz sathidan balandligi Yanvar oyidagi Iyun-iyul oylaridagi ortacha tempeortacha temperatura, °C da ratura, °C da 475 m = ... 4 °C sovuq = ... 25 °C issiq = ... Namangan 450 m = ... 7 °C sovuq = ... 26 °C issiq = ... Navoiy 347 m = ... 6 °C iliq = ... 28 °C issiq = ... Jizzax 460 m = ... 1 °C sovuq = ... 32 °C issiq= ... 10 °C iliq = ... 35 °C issiq = ... Samarqand 695 m = ... 683. Termometr rasmini chizing. Unda quyidagi temperatura korsatkichlarini belgilang: +12 °C, −3 °C, +1 °C, −8 °C, +5 °C, +9 °C. 684. Avtobusga bir bekatda a kishi chiqib, undan b kishi tushdi. Avtobusdagi yolovchilar soni qanchaga ozgarganini yozing. 1) a = 5, b = 3; 2) a = 10, b = 12; 3) a = 7, b = 1; 4) a = 4, b = 9 qiymatlarda javobning manosini tushuntiring. Qanday hollarda masala yechimga ega emas? 125 685. Jadvaldagi kop nuqta orniga jumlaning manosiga mos sozlarni yozing: Jumla Temperatura −7 °C Uning manosi ga ozgardi. Yomgirdan keyin daryo +12 sm ga ozgardi. sathi Temperatura 7°C ga ... . Yomgirdan keyin daryo sathi 12 sm ga ... . Buyum −5000 som «foyda» bilan sotildi. Buyum 5000 som ... bilan sotildi. Daromad 0 som boldi. Mahsulot sotilganda korilmadi. ... 686. Fuzail otada a som bor. U shu puldan b somini kommunal tolovlarga sarfladi. Tolovlar amalga oshirilgandan keyin Fuzail otada qancha pul qoladi? Hisoblang, bunda: 1) a = 50 000, b = 36 000; 2) a = 25 000, b = 25 000; 3) a = 40 000, b = 60 000. Qanday hollarda masala yechimga ega emas? Javobingizni tushuntiring. 687. Bir necha natural sonning yigindisi va kopaytmasi 10 ga teng. Shu sonlarni toping. 688. Ifodaning qiymatini toping: (1 − ) ⋅ (1 − ) ⋅ (1 − ) ⋅... ⋅ (1 − ) ⋅ (1 − ). 1 2 1 3 1 4 1 99 1 100 689. Musbat, kamayuvchi va manfiy sozlaridan qaysi biri ortiqcha? 690. Togri tortburchakning yuzi 33 sm2 ga, perimetri esa 28 sm ga teng. Shu togri tortburchak tomonlarini toping. 691. Sayyohlar guruhidagi erkaklar sonining ayollar soniga nisbati 3 : 4 kabi. Quyida keltirilgan sonlardan qaysi biri guruhdagi sayyohlar soniga teng bola olmaydi? A) 28 B) 21 D) 23 E) 35. 692. Kunduzi havo temperaturasi +12 °C boldi. Kechasi temperatura 15 °C ga pasayib, ertalab 6 °C ga kotarildi. Ertalab havo temperaturasi qancha boldi? 693. Termometr rasmini chizib, unda quyidagi temperatura korsatkichlarini belgilang: +10 °C, +7 °C, +3 °C, 0 °C, −1 °C, −5 °C, −10 °C. Musbat son oldiga, odatda, plus ishorasi qoyilmaydi, lekin manfiy son oldiga minus ishorasini albatta qoyish kerak. 126 694. Ushbu −4; −7; 15; 0; −19; 11; −21; 3; −25; 25 sonlari orasidan musbat va manfiy sonlarni ajratib yozing. 695. Zumrad hozir 18 yoshda. 1) 10; 2) 8; 3) 7; 4) 11 yil avval u necha yoshda bolgan? Javobning manosini tushuntiring. 696. Metroning «Alisher Navoiy» bekatida vagonlarga jami k nafar kishi chiqdi, n nafar kishi esa vagonlardan tushdi. Yolovchilar soni qanchaga ozgarganini yozing. 1) k = 70, n = 80; 2) k = 50, n = 40; 3) k = 65, n = 50; 4) k = 72, n = 72 qiymatlarda javobning manosini tushuntiring. 697. Kocha temperaturasi −7 °C, uy temperaturasi esa +26 °C. Uy temperaturasi kocha temperaturasidan necha gradus farq qiladi? 698. Qumri opaning a som puli bor, u dokondan olmoqchi bolgan buyum b som ekan. Agar: 1) a = 15 000, b = 11 000; 2) a = 14 000, b = 14 000; 3) a = 15 000, b = 17 000 bolsa, Qumri opa bu hollardan qaysi birida buyumlarni sotib ololadi? Qaysi holda sotib ololmaydi? Agar buyumni xarid qilishga yetmagan pulni keyin tolash sharti bilan olsa, u necha som qarz bolib qoladi? 699. Ob-havo temperaturasi korsatkichini « + » va « − » ishoralaridan foydalanib yozing: 1) 36 °C issiq; 3) 17 °C issiq; 5) 7 °C sovuq; 2) 18 °C sovuq; 8485 4) 1 °C sovuq; 6) 1 °C iliq. Koordinata togri chizigi. Musbat va manfiy sonlarni son oqida tasvirlash Termometr shkalasi, odatda, tikka joylashgan bolsa ham, uning noldan yuqori qismi koordinata nuriga oxshaydi. Termometrni gorizontal holatda qoysak, undagi musbat sonlar 0 dan ong tomonda, manfiy sonlar esa 0 dan chap tomonda joylashgan boladi. Bunda O nuqtadan ongdagi yonalishni musbat yonalish, O nuqtadan chapdagi yonalishni manfiy yonalish, deb qabul qilamiz. Gorizontal togri chiziqda musbat yonalishni chapdan ongga, vertikal togri chiziqda esa pastdan yuqoriga qarab korsatish qabul qilingan. Musbat yonalish, odatda, strelka (oq uchi) yordamida korsatiladi. Unga qarama-qarshi yonalish manfiy yonalish deyiladi. 127 Sanoq boshi O nuqta koordinata oqini ikkita nurga ajratadi. Noldan ong tomonga yonalgan nur musbat koordinata nuri (musbat yarim oq) deb ataladi. Noldan chap tomonga yonalgan nur manfiy koordinata nuri (manfiy yarim oq) deyiladi (65- rasm). 65 manfiy koordinata musbat koordinata nuri nuri O 0 1 1 sanoq boshi «Nol» lotincha «nullus» «hech nima» degan manoni bildiradi. Songra birlik kesmani tanlaymiz. O nuqtadan boshlab koordinata togri chizigida har ikki yonalish boyicha birlik kesmani qoyib chiqamiz: sanoq boshidan ongdagi bolinish nuqtalariga 1, 2, 3, ... musbat (natural) sonlarni, chapdagi bolinish nuqtalariga esa −1, −2, −3, ... manfiy sonlarni qoyamiz. Togri chiziq unda tanlangan sanoq boshi, yonalish va birlik kesma bilan birgalikda koordinata togri chizigi deyiladi. O nuqtaga nol soni mos kelgani uchun O nuqtani koordinatasi nolga teng nuqta deymiz va O (0) kabi yozamiz. 66- rasmda A nuqtaga 3 soni, B nuqtaga − 4 soni mos keladi, yani 3 soni A nuqtaning, − 4 soni esa B nuqtaning koordinatasidir. Buni qisqacha A(3), B(−4) kabi yozamiz. 66 O B 5 4 3 2 1 0 A 1 2 3 4 5 Koordinata togri chizigida nuqtaning koordinatasi deb shu nuqtaga mos keluvchi songa aytiladi. Nuqtaning koordinatasi shu nuqtaning koordinata boshidan necha birlik masofada joylashganini bildiradi. 1- m a s a l a . Koordinata togri chizigida 5 soniga mos keluvchi nuqtani belgilang. Bu masalani koordinata togri chizigida koordinatasi 5 ga teng bolgan nuqtani toping, deb ham aytish mumkin. Y e c h i s h . Berilgan son 5 musbat bolgani uchun sanoq boshi O nuqtadan boshlab birlik kesmani ongga 5 marta qoyib chiqamiz (67- rasm). Bunda birlik kesmaning ong uchiga mos kelgan nuqta izlanayotgan nuqta boladi. 128 5 birlik ongga 67 O 0 1 2 3 4 3 birlik chapga 68 â â −3 5 O −2 −1 0 2 - m a s a l a . Koordinata togri chizigida koordinatasi −3 ga teng bolgan nuqtani toping. Y e c h i s h . Berilgan son −3 manfiy bolgani uchun sanoq boshi O nuqtadan boshlab birlik kesmani chapga 3 marta qoyib chiqamiz (68- rasm). Bunda birlik kesmaning chap uchiga mos kelgan nuqta izlanayotgan nuqta boladi. 700. 1) Koordinata togri chizigi deganda nimani tushunasiz? Koordinata togri chizigi gorizontal, vertikal bolsa, ? 2) musbat sonlar qayerga joylashadi? Manfiy sonlar-chi? Chizmada korsating. 3) Nuqtaning koordinatasi nima? Misollarda tushuntiring. 701. 69- rasmda tasvirlangan A, B, C, D va E nuqtalarning koordinatalarini yozing. 69 A −5 B −4 −3 −2 C O D −1 0 +1 E +2 +3 +4 +5 702. Koordinata togri chizigida A(−4) nuqtani belgilang. A nuqtadan: 1) ongda 3 birlik masofada yotuvchi B nuqtani; 2) chapda 2 birlik masofada yotuvchi C nuqtani belgilang. B va C nuqtalarning koordinatasi nimaga teng? Ularni yozing. 703. Koordinata togri chizigida 3; −2; −5; 1 va −6 sonlariga mos keluvchi nuqtalarni A, B, C, D va E harflar bilan belgilang. 704. A(7) nuqta: 1) +2 birlik; 2) −7 birlik; 3) 0 birlik; 4) 3,5 birlik; 5) −2 birlik masofaga kochirilgan bolsa, hosil bolgan nuqtalarning koordinatalarini toping. 705. Son oqida: 1) −2 va 2; 2) 3 va −3; 3) −4 va 4; 4) 1 va −1 sonlariga mos nuqtalarni belgilang. Har bir sonlar juftiga mos nuqtalar hisob boshiga nisbatan qanday joylashgan? 9 Matematika, 6 129 706. Koordinata togri chizigida koordinatasi quyidagi ifoda qiymatlariga teng nuqtalarni belgilang: 3 − 3,75 ; 4 4 1 2) 2 ⋅ 2 ; 7 3 2 7 1 3 4) − 5 : ; 4 4 3) 0 ⋅ 1 ; 1) 6 ( ) ( ) 1 3 ; 3 22 5) − 7 ⋅ 7) 6 6) −(9 : 1,8); sonli 2 5 : ; 3 6 8) 2,2 : 1,1. 707. O nuqtadan: 1) 2 sm 5 mm chapdagi 70 A nuqtani; 2) 3 sm ongdagi B nuqtani; 3) 4 sm chapdagi C nuqtani; 4) 5 sm 1 b 5 mm ongdagi D nuqtani belgilang va ularning koordinatalarini yozing. O 0 O 0 708. Koordinata togri chizigida: 1) 3 sonidan ongda; 2) −5 sonidan ongda; 3) −2 sob −1 nidan chapda; 4) 0 dan chapda joylashgan 3 ta nuqtani belgilang va ularning a) b) koordinatasini yozing. 709. Koordinata togri chizigida tasvirlangan (70- rasm) b son musbatmi yoki manfiymi? 710. A nuqta sanoq boshi O nuqtadan 4 sm ongda, B nuqta esa 5 sm chapda yotadi. C va D nuqtalar O nuqtaga nisbatan qayerda joylashgan (71- rasm): 71 B C −5 O A 0 4 D 711. 72- rasmda tasvirlangan A, B, C, D va E nuqtalarning koordinatalarini yozing. 72 −5 A B −4 −3 O D C −2 −1 0 E 1 2 3 4 5 712. Koordinata togri chizigida −3 sonidan teng uzoqlashgan ikki nuqtani belgilang, ularning koordinatalarini yozing. Yana 3 juft shunday sonlarni yozing. 713. Koordinata togri chizigida A(2), ... nuqtalarni belgilang. Malumotlarni jadvaldan oling: Nuqta A B C D E F P Q Koordinatasi 2 −3 4 −2 1 3 −5 5 130 714. 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 85 ⋅ 86 kopaytma nechta nol bilan tugaydi? 715. Tenglamani yeching: 8 ( ) 2 5 5 1 − x +3 :5 =7 . 15 14 8 3 716. Son oqida a soni tasvirlangan (73- rasm). U son musbatmi yoki manfiymi? 73 a) b) O 0 a O 1 0 1 a 7 1 7 . A(1) nuqta: 1) +1 birlik; 2) +2 birlik; 3) −2 birlik; 4) −1 birlik; 5) −3 masofaga kochirilgan bolsa, hosil bolgan nuqtalarning koordinatalarini toping. 718. Son oqida: 1) 2 sonidan ongda; 2) −1 sonidan ongda; 3) −3,5 sonidan chapda; 4) 0,5 sonidan chapda joylashgan 3 ta nuqtani belgilang va ularning koordinatasini yozing. 719. 74- rasmda tasvirlangan K, L, M, N, E va F nuqtalarning koordinatalarini yozing. 74 K −5 −4 L −3 −2 M O −1 0 E N 1 2 3 F 4 5 720. Koordinata oqida K(1,5), ... nuqtalarni belgilang. Malumotlarni jadvaldan oling: Nuqta Koordinatasi 721. Muz 0° C suyuq azot +39° C da 20° C ga 1 (tik) oqda K L M N E F P Q 1,5 −1 2 −2 3 −4 4 −3 da eriydi. Suv +100° C da, spirt +78° C da, −196° C da, suyuq vodorod −260° C da, simob qaynaydi. Kislorod −219° C da muzlaydi. katakni mos qoying va malumotlarni vertikal belgilang. Bu masalalarni hal qila olasizmi? Bir metr kvadratdagi kvadrat millimetrlarning hammasini bir-biriga zich qilib joylashtirishdan tuzilgan tasmacha qanday uzunlikka ega boladi? 131 8688 Qarama-qarshi sonlar. Sonning moduli 1. Qarama-qarshi sonlar. Koordinata oqida sanoq boshidan bir Nil uzoqlikda joylashgan ikkita nuqta olaylik (75- rasm). A nuqtaning koordinatasi 4, B nuqtaning koordinatasi −4 deylik: A(4), B(−4). A nuqta sanoq boshidan 4 birlik ongda, B nuqta esa sanoq boshidan 4 birlik chapda turibdi. 4 va −4 sonlari bir-biridan faqat ishorasi bilan farq qiladi. 75 B(4) 5 4 A(4) O 3 2 0 1 Bir-biridan faqat ishorasi qarama-qarshi sonlar deyiladi. 1 bilan 2 farq 3 4 qiladigan 5 sonlar Demak, A va B nuqtalarga mos keluvchi 4 va −4 sonlari qarama-qarshi sonlardir. Xuddi shuningdek, −3 va 3; 2 va −2; −1 va 1 va h. k. sonlar ham qarama-qarshi sonlardir. Qarama-qarshi sonlar koordinata togri chizigida sanoq boshidan bir xil uzoqlikda joylashgan boladi. Har qanday sonning oldiga minus « » ishorasi qoyilsa, shu songa qarama-qarshi son hosil boladi. Masalan, 2 ga qarama-qarshi son −2 va aksincha, −2 ga qarama-qarshi son esa 2; −7 ga qarama-qarshi son −(−7) = 7, va aksincha, 7 ga qarama-qarshi son −7 boladi. Umuman, k soniga qarama-qarshi son −k, yani −(−k) = k formula orinli. Yuqoridagi mulohazalardan, qarama-qarshi sonlarning ushbu Nossalari kelib chiqadi. 1- x o s s a . Koordinata oqida har qanday songa qaramaqarshi faqat bitta son mos keladi. 2- x o s s a . Musbat songa qarama-qarshi son manfiy son, manfiy songa qarama-qarshi son esa musbat son boladi. 3- x o s s a . 0 soni oziga ozi qarama-qarshi sondir: 0 = − −0 = + +0. 132 2. Sonning moduli. Sonning moduli deb koordinata togri chizigida sanoq boshidan shu songa mos keluvchi nuqtagacha bolgan masofaga aytiladi. 76- rasmda A nuqtaning koordinatasi 4 ga teng, bu nuqta sanoq boshidan 4 birlik ongda joylashgan. OA kesmaning uzunligi, yani sanoq boshi O nuqtadan 4 soniga mos keluvchi A nuqtagacha bolgan masofa ham 4 ga teng: OA = 4. Demak, tarifga kora, 4 sonining moduli 4 ga teng. Shu rasmdagi B nuqtaning koordinatasi −3 ga teng, u sanoq boshidan 3 birlik chapda joylashgan. OB kesmaning uzunligi, yani sanoq boshi O nuqtadan −3 soniga mos keluvchi B nuqtagacha bolgan masofa ham 3 ga teng: OB = 3. Demak, tarifga kora −3 sonining moduli 3 ga teng. 76 B(3) 4 3 O 2 A(4) 0 1 3 birlik chapda 1 2 3 4 4 birlik ongda Sonning moduli sonning absolut qiymati ham deyiladi. a sonning moduli = kabi belgilanadi va «a ning moduli» deb oqiladi. Sonning moduli manfiy emas, yani = ≥ 0. 5 bu 5 koordinatali nuqtadan O nuqtagacha bolgan 0 bu 0 koordinatali nuqtadan O nuqtagacha bolgan masofa; masofa; −4 bu −4 koordinatali nuqtadan O nuqtagacha bolgan masofa. Umuman, = − > son koordinata togri chizigida A(a) nuqtadan B(b) nuqtagacha bolgan masofani bildiradi (77- rasm). Masalan, 5 − ( −4) = 5 + 4 = 9 = 9 bu 5 va −4 nuqtalar orasidagi masofadir. 77 > b = 1 0 1 =−> 133 a N Musbat sonning moduli shu sonning oziga teng: = = = , bunda a > 0. 5 = 5; Masalan: 7 = 7 ; 100 = 100 ; 0,1 = 0,1 ; 3 4 = 3 . 4 Manfiy sonning moduli unga qarama-qarshi musbat songa teng: = = − = , bunda a < 0. Masalan, −8 = −(−8) = 8 ; −15 = −(−15) = 15 yoki qisqacha: −10 = 10 ; −7 = 7. Qarama-qarshi sonlarning modullari ozaro teng boladi: = = −= . Masalan, − 6 = + 6 = 6 ; − 1 = + 1 = 1 . 0 sonining moduli 0 ga teng: 1- m i s o l . 0 = 0. N = 4 tenglamani yeching. Y e c h i s h . Son modulining geometrik manosidan foydalanamiz. N = 4 va N = −4 nuqtalar uchun sanoq boshidan ulargacha bolgan masofalar teng. J a v o b : 4 va −4. 2- m i s o l . x − 2 = 0 tenglamani yeching. Y e c h i s h . Son modulining geometrik manosiga asosan, 2 sonigacha masofasi 0 ga teng bolgan nuqtalarni topamiz (78- rasm). Buning uchun tenglamani quyidagicha yozib olamiz: N− =⇔ N− =⇔ N = . J a v o b : N = 2. 78 B(2) 5 4 3 2 O A(2) 0 1 1 2 2 birlik 2 birlik chapga ongga 3 4 5 N Sonning moduli uni tavsiflovchi muhim tushunchadir. Geometrik nuqtayi nazardan, kesmaning uzunligi uning oNirlari orasidagi masofa ham deyiladi. 134 722. 1) Qanday sonlar bir-biriga qarama-qarshi sonlar deyiladi? sonlar koordinata togri chizigida qanday ? Qarama-qarshi joylashgan boladi? 2) Koordinata togri chizigida berilgan songa qaramaqarshi nechta son mavjud? 3) Nol soniga qarama-qarshi son nechaga teng? 4) Sonning moduli deb nimaga aytiladi? 5) Musbat sonning moduli qanday son boladi? Manfiy sonning moduli-chi? 0 sonining moduli nechaga teng? 6) Sonning moduli manfiy son bolishi mumkinmi? 79 O a 0 5 723. 79- rasmda −5 va a sonlari qarama-qarshi sonlar. a nechaga teng? Bundan foydalanib, shu son oqida 0; 2; −2; 3; −3 nuqtalarni belgilang. Rasmni daftaringizga chizib oling. 724. Jadvalni toldiring: Berilgan son Qarama-qarshi son Berilgan son −4 −(−4) = 4 −5 +16 −(+16) = −16 −25 +1 991 Qarama-qarshi son −2 018 725. (Ogzaki.) 1) 7 va −7; 2) +5 va 5; qarama-qarshi sonlarmi? 3) −8 va 8; 4) 6 va −6 726. Ifodaning qiymatiga: a) qarama-qarshi; b) teskari sonni toping: 1) 1,5 ⋅ 4,8 + 1,5 ⋅ 5,2; 3) 3,2 ⋅ 3,5 + 3,5 ⋅ 6,8; 2) 5,2 ⋅ 9,8 − 3,8 ⋅ 5,2; 4) 16,4 ⋅ 15,3 − 16,4 ⋅ 5,3. 727. Koordinata togri chizigida: 1) −3; 2) −7; 3) 6; 4) −4 sonlar va unga qarama-qarshi sonlarni belgilang. K o r s a t m a . 2 katakni birlik kesma deb oling. 728. Koordinata togri chizigidan foydalanib, qosh tengsizlikning butun yechimlarini toping: 1) 12,8 < N < 19,1; 2) −3,2 < N < 4,7; 3) −9 < N < −2. 135 729. 1) Son oqida −12 va 12 sonlari orasida nechta butun son joylashgan? 2) Son oqida −a va a butun sonlar orasida nechta butun son joylashgan? (a natural son.) 730. Tenglik togri bolishi uchun qavs ichiga qanday sonni yozish kerak: 1) −(...) = −76; 2) −(...) = 24; 3) −(...) = −9? 731. N ning tenglik orinli boladigan qiymatini toping: 1) −N = −3; 2) −N = 5; 3) −N = −(+7); 4) −(−N) = 2. 732. Quyidagi mulohazalardan qaysi biri togriligini aniqlang: 1) Hech bir son ozining qarama-qarshisiga teng emas. 2) Agar a = −b bolsa, u holda b = −a boladi. 3) Agar a = −b va b = c bolsa, u holda a = c boladi. 733. Quyidagi sonlarning modullarini toping va javobni tenglik korinishida yozing hamda hosil bolgan natijani oqing: 1) −6; 44; −150; 75; −78; 2) −52; 39; −45; −13; 21. 734. Koordinata togri chizigida sanoq boshi O nuqtadan: A(6); B(−7); C(−2); D(−4); E(−3) nuqtagacha bolgan masofani toping. 735. Agar: a = −3; 10; −73; 55; −6 bolsa, −a va | a | ni toping. 736. Hisoblang: 1) − # + − − − ! ⋅ − # ; 2) − 32 + − 32 : − 8 − − 4 . 737. Modullari teng, ammo ozlari teng bolmagan 4 ta son yozing. 738. 4 = − > + = ifodaning qiymatini toping, bunda: 1) a = −24 va b = −14; 2) a = −32 va b = −45; 3) a = −7 va b = −20. 4) a = −5 va b = −15. Tenglamani yeching (739740): 739. 1) x − 8 = 0 ; 2) − x = 9 ; 3) x − 4 = 0 ; 4) − x = −16 . 740. 1) −N = 3; 2) −N = −3; 3) −18 = −N; 4) −18 = N. 741. Sonlarning joylanishidagi qonuniyatni aniqlab, tushirib qoldirilgan sonni toping (80- rasm). 80 14 17 11 93 14 75 136 9 16 ? 742. Butun sonning moduli har doim natural son boladimi? Faqat bir son uchun bu tasdiq orinli emas. Bu qaysi son? Nima uchun qolgan butun sonlar uchun bu tasdiq orinli ekanini tushuntiring. 743. Son oqida (81- rasm) a va b sonlarga mos nuqtalar belgilangan. 81 82 a b a b c 1) Berilgan sonlardan qaysi biri katta ekanini aytish mumkinmi? 2) Qaysi sonning moduli katta ekanini aytish mumkinmi? 744. Son oqida a va c qarama-qarshi sonlar (82- rasm). Berilgan a, b va c sonlardan qaysi biri eng katta modulga, qaysi biri eng kichik modulga ega ekanini aytish mumkinmi? Javobingizni asoslang. 745. a ning qanday qiymatida: 1) | a | = a; 2) | a| = −a tenglik orinli boladi? 746. Bosh joylarga mos sonlarni qoying (83- rasm): 83 1 ·2 ! # : ? 1 5 : ·4 ? ? 2 5 ? 747. Kattasi: 1) 8 ga; 2) −5 ga; 3) 0 ga; 4) 3 ga teng bolgan tortta ketma-ket kelgan butun sonni yozing. 748. Hisoblang: A) 4; (2 )( ) 1 3 1 3 1 − 1 ⋅ 3 − ⋅1 . 2 & 2 $ 3 1 2 D) 4 ; B) 8; E) 3. 749. A, B, C, D, E, F, P va Q nuqtalarning koordinatalarini yozing (84- rasm): 84 −6 A −5 B −4 C −3 −2 −1 D O E 0 1 750. Tengliklardan qaysi biri togri: 1) −(−7) = 7; 3) +9 = −(+9); 2) −(+9) = −9; 4) −(+11) = −11; 137 F 2 P 3 4 Q 5 6 5) −8 = −(+8); 6) −(−32) = 32? 751. 18; 15; 21; 25; 33; 3; 9; 13 sonlarining modullarini osib borish tartibida yozing. 752. Jadvalni toldiring: a −4 −7 −a 0,8 −6 −24 28 −13 67 −180 19 753. Sonlarning modullarini toping, javobni tenglik korinishida yozing: 1) −52; 43; −35; −100; −65; 2) −9; 7; −4; −5; −6. 754. Hisoblang: 1) − 6 + ' ; 755. Tenglamani 1) N = ; 8990 2) ' − − 8 ; 3) − 7 + − 8 . yeching: 2) N − ! = ; Sonlarni 3) N + = ; 4) − N = − . taqqoslash. Miqdorlarning ozgarishi 1. Sonlarni taqqoslash. Manfiy sonlarning bir-biri bilan, manfiy sonlarning musbat sonlar bilan, nolning manfiy sonlar bilan qanday taqqoslanishini organamiz. Ikkita sondan koordinata togri chizigida ongda joylashgani katta, chapda joylashgani kichik boladi. Ikkita butun sondan butun sonlar qatorida ongda joylashgani katta, chapda joylashgani kichik boladi. Masalan, 2 > 1, 1 > 0, 0 > −1, −1 > −2, −3 > −6 boladi, chunki ... −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... butun sonlar qatorida 2 soni 1 dan, 1 soni 0 sonidan, 0 soni −1 sonidan, −1 soni −2 sonidan, −3 soni −6 sonidan ongda turadi (84- rasmga qarang). k son n dan katta bolsa, bu k > n yoki n < k kabi yozilishini bilasiz. Butun sonlarni taqqoslashning yuqorida keltirilgan qoidasidan shunday xulosalarga kelamiz: 1) ixtiyoriy musbat son: a) 0 dan; b) ixtiyoriy manfiy sondan katta; 2) ixtiyoriy manfiy son 0 dan kichik yoki 0 soni ixtiyoriy manfiy sondan katta. 138 Son oqida ikkita manfiy sondan moduli kattasi chaproqda yotadi. Masalan, | −13| < | −15| bolgani uchun −13 > −15. a sonning musbat ekanligi a > 0 kabi, manfiy ekanligi a < 0 kabi, manfiy emasligi (nomanfiyligi, 0 dan katta yoki 0 ga tengligi) a ≥ 0 kabi, musbat emasligi (nomusbatligi, 0 dan kichik yoki 0 ga tengligi) a ≤ 0 kabi yoziladi. 2. Miqdorlarning ozgarishi. Miqdorlar ozgarish xususiyatiga ega: havo temperaturasi; inson tanasining temperaturasi; odam massasi, boyi; mashinaning tezligi; daryo suvining sathi; hosildorlik; yillik yogin miqdori va h. k. Ertalab havo temperaturasi 10 °C, kunduzi 18 °C, kechga borib 5 °C bolgan, deylik. Kunning birinchi yarmida temperatura 8 °C ga ortdi, ikkinchi yarmida esa 13 °Ñ ga kamaydi. Temperaturaning ortishini musbat son bilan, kamayishini esa manfiy son bilan ifodalaymiz. Demak, kunning birinchi yarmida temperatura ertalabkiga nisbatan +8 °C ozgargan; kunning ikkinchi yarmida esa −13 °C ga ozgargan. Koordinata oqi boylab nuqta ongga yoki chapga siljishi mumkin. Nuqtaning ongga siljishi musbat son bilan, chapga siljishi esa manfiy son bilan belgilanadi. M i s o l . A (1) nuqta ongga 2 birlik siljitilsa, uning koordinatasi 1 + 2 = 3 boladi, A (1) nuqta koordinata oqida B (3) nuqtaga otadi. Agar A (1) nuqta 3 birlik chapga siljisa, uning koordinatasi −2 boladi, yani A (1) nuqta endi C (−2) nuqtaga otadi (85- rasm). 85 3 5 4 3 C 2 1 O A 0 1 +2 B 2 3 4 5 N Har qanday miqdorning ortishini musbat son bilan, kamayishini esa manfiy son bilan ifodalash mumkin. 756. 1) Butun sonlar qanday taqqoslanadi? Manfiy sonlar qanday taqqoslanadi? ? 2) 3) Qanday sonlar 0 dan katta? Qanday sonlar 0 dan kichik? 4) Miqdorlarning ozgarishiga misollar keltiring. 5) Tabiatda, oilada uchraydigan hamda maktabingiz hayoti bilan bogliq qanday miqdorlar ozgarib turadi? 139 757. (Ogzaki.) Agar: 1) a son 3 dan katta bolsa, albatta a musbat; 2) b son 3 dan kichik bolsa, albatta b manfiy; 3) c son −1 dan katta bolsa, albatta c musbat; 4) d son −4 dan kichik bolsa, albatta d manfiy bolishi shartmi? Javobingizni asoslang. 758. Quyidagi sonlarni: a) osib; b) kamayib borish tartibida joylashtiring: 1) −8; 6; −9; 0; 7; −11; 2) −3; 8; 0; −2; 1,2; 5. 759. 1) 3 dan kichik va 6 dan katta; 2) 0 dan ham va −4 dan ham kichik bolgan butun sonlar bormi? 760. 1) −1 dan kichik va ayni vaqtda 0 dan katta sonlar bormi? 2) 0 dan kichik va ayni vaqtda 0 dan katta sonlar mavjudmi? Chizmadan foydalanib tushuntiring. 761. Ushbu sonlar ketma-ket kelgan qaysi butun sonlar orasida joylashgan? Javobni qosh tengsizlik korinishida yozing: 1) 0; 2) −32; 762. Sonlarni qoying: 3) 1 991; taqqoslang 1) −1 va 0; va 4) −20; ular 2) −6 va 1; orasiga ikki belgisini 4) 500 va −500. nuqtadan 2) C(22) va D(11); 6) −2 017. tengsizlik 3) −3 va −5; 763. Koordinata togri chizigida chapda joylashgan: 1) A(−4) va B(0); 5) 20; qaysi biri 3) E(−6) va F(−1)? 764. Ifodalar qiymatlarini taqqoslang: 1) − "! + − " va "! − − " ; 2) − #" + # va − #" − − # . 765. Son oqidan foydalanib, qosh tengsizlikning butun yechimlarini toping: 1) −1 ≤ N ≤ 2; 2) −8 < N ≤ 5; 3) −4 ≤ N < 3. 766. Qosh tengsizlik orinli bolishi uchun kop nuqta orniga mos sonni qoying: 1) −1 < ... < 2; 767. Yulduzcha orniga yozing: 1) −302 < −3∗2; 2) −4 < ... < −1; tengsizlik togri 2) −4 7∗8 > −4,718; 3) −5 < ... < 1. boladigan raqamni 3) −3∗6 < −356. 768. Yulduzchalar orniga raqamni qoymasdan, sonlar orasiga mos tengsizlik belgisini qoying: 1) −4 4∗∗ ... −47∗∗; 2) −∗ 42 ... −∗∗1∗; 3) −∗∗∗ ... 0. 140 769. Koordinata oqida A (3) nuqtani belgilang. Agar A nuqta: 1) −5 ga; 2) +4 ga; 3) −6 ga; 4) +2,5 ga siljitilsa, u otadigan nuqtani belgilang va uning koordinatasini yozing. Birlik kesma 2 katak. 770. Eng kichik: 1) ikki xonali; 2) uch xonali; 3) tort xonali; 4) besh xonali butun sonni yozing. 771. Avtomobil s km masofani otish uchun sarflaydigan l litr benzin miqdori jadvalda berilgan: l (litr) 1 2 4 5,5 6 10 12 s (km) 10 20 40 55 60 100 120 15 18 150 180 l va s miqdorlar orasida qanday boglanish bor? s : l nisbatni toping. 772. Tomoni uzunligi a sm bolgan kvadratning yuzi S = a2 ekanini bilasiz. a miqdor ozgarsa, unga bogliq ravishda S miqdor ham ozgaradi. Jadvalni toldiring: a (sm) 1 2 S = a2 (sm2) 1 4 2,5 3 3,5 4 5 7 10 a va S miqdorlar togri (teskari) proporsional miqdorlarmi? 773. Iboraning manosini tushuntiring: 1) daryoda suvning sathi: +8 sm; +10 sm; −5 sm; −12 sm ga ozgardi; 2) daromad: +50 000 som; 0 som; −3 600 som boldi; 3) buyum: 20 000 som; −12 000 som «foyda» bilan sotildi. 774. Hisoblang: 1) − ⋅ −! + −" ⋅ −# ; 775. K (2) nuqta qaysi yonalishda va necha birlik siljitilsa: 1) L (−1); 2) M (5); 3) O (0); 4) N (−2) nuqtaga otadi? 776. Markaziy togri tortburchakdagi sonni qolgan togri tortburchakdagi sonlarga boling (86- rasm). 777. Tengsizliklardan qaysi biri togri: A) 0 < −12; D) −7 < −13; B) −29 > −30; E) −20 > 6? 141 2) −% ⋅ −5 − −9 ⋅ −3 . 86 2 3 4 % 1 5 6 1 5 5 7 1 2 778. Quyidagi sonlarni: a) osib; b) kamayib borish tartibida joylashtiring: 1) −4; 10; −5; 3; −7; −10; 2) −6; 6; 0; −11; 1,9; −1; 18. 779. Ushbu sonlar ketma-ket kelgan qaysi butun sonlar orasida joylashgan: 1) 18; 2) −9,5; 3) −20,5; 4) −2 018; 5) 0,1? 780. Son oqida ikki nuqtadan qaysi biri chapda joylashgan: 1) A(−3) va B(−1); 2) E(−1) va F(1); 3) C(1) va D(−2)? 781. Sonlarni taqqoslang va ular orasiga tengsizlik belgisini qoying: 1) −4 va −1; 2) 0 va −2; 3) −4 va −6; 4) −2 va 1. 782. Ifodalar qiymatlarini taqqoslang: 1) − + − va 783. 784. 785. 786. 787. 788. 2) − # + − va − # − − . − − ; Son oqidan foydalanib, qosh tengsizlikning butun yechimlarini toping: 1) −7 ≤ N ≤ 1; 2) −2 < N ≤ 11; 3) −10 ≤ N < 0. Koordinata oqida A (−2) nuqtani belgilang. Agar A nuqta: 1) +2 ga; 2) −3 ga; 3) +4 ga siljisa, u otadigan nuqtani belgilang va uning koordinatasini yozing. L (−1) nuqta qaysi yonalishda va necha birlik siljitilsa: 1) N (1); 2) M (−5); 3) O (0); 4) F (−2) nuqtaga otadi? Kecha ertalab havo temperaturasi −3 °C edi. Agar 1 sutka davomida havo temperaturasi: 1) −7 °C ga; 2) 5 °C ga; 3) 1 °C ga; 4) 0 °C ga ozgargan bolsa, bugun havo temperaturasi necha gradus bolgan? −5; −14; −1; −2,1; 1; −43; −0,7; −0,09; −1,4; 0,001 sonlar ichidan eng kichigi va eng kattasini aniqlang. −14 < N ≤ 1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi butun sonlarni kamayib borish tartibida yozing. Bilib qoygan foydali! Qoshish (+), ayirish (), kopaytirish (½) amallari belgilarini nemis matematigi U. Outred 1631-yilda; kopaytirish ( · ) va bolish ( : ) belgilarini esa mashhur nemis olimi G. Leybnis, mos ravishda, 1698- va 1684-yillarda kiritgan. N sonning moduli ( x ) belgisini nemis matematigi K.Weyeshtrass 1841- yilda kiritgan. 142 Ingliz tilini organamiz! musbat son positive number manfiy son negative number qarama-qarshi sonlar opposite numbers TEST 6 butun son integer koordinata coordinate sonning moduli modulus of number Ozingizni sinab koring! 1. Ifodaga qarama-qarshi sonni toping: (28 − 3,5) : 1,4 + 7,2 ⋅ 2 A) −32,5; B) 17,5; D) −15; 1 . 12 E) mavjud emas. 1 2. Koordinata oqida −3 va 1 sonlari orasidagi butun sonlarni 7 toping. A) −3, −2, −1; D) −4, −3, −2; B) −3, −2, −1, 0; E) 0; 1. 2 3. Koordinata oqida − 3 lashgan? A) 0 va 1; son qaysi butun sonlar orasida joy- B) −0,9 va 0; D) −1 va 0; E) −2 va −1. E) 13. E) 50. 4. Berilgan −2,3 sonining moduli nimaga teng? A) −2,3; B) 2,3; D) −13; 5. Ifodaning qiymatini toping: | −81 | + | −19 | − 50. A) 40; B) 150; D) −150; 6. Ushbu 4; −1; −4 va 1 sonlaridan qaysi biri koordinata togri chizigida boshqalariga nisbatan ongroqda joylashgan? A) 4; B) −1: D) −4; 7. Ifodaning qiymatini toping: A) 5; E) 1. − 2,8 + − 1,4 + − 3,6 . B) −5; D) 1,4; E) 50. 8. N = ! tenglik orinli boladigan N ning barcha qiymatlarini toping: A) 3 va 3; B) −3; D) 3; 143 E) bunday qiymatlar yoq. Tarixiy malumotlar Manfiy sonlardan kishilar juda qadim zamonlardanoq oz faoliyatlarida foydalanganlar. Manfiy sonlarni «qarz», musbat sonlarni esa «mol-mulk» manosida ishlatganlar. Xitoylik olim Jan Sanning miloddan uch asr avval yozgan asarlaridan birida «Qarz ustiga yana qarz qoshilsa, natijada qarz hosil boladi» deyiladi. Manfiy va musbat sonlarni bir-biridan ajratish uchun ularni turli rangdagi siyohlarda yozishgan. Manfiy sonlar ustidagi amallar qadimgi yunon olimi Diofant, hind olimi Braxmagupta (598660) asarlarida uchraydi. Bizning yurtimizda «musbat son» va «manfiy son» atamalari Mirzo Ulugbekning shogirdi, uning ilmiy maktabining yirik vakili, buyuk olim Ali Qushchi (14021474) tomonidan «Kitob-ul-Muhammadiya» asarida keltirilgan. Alouddin Ali ibn Muhammad Qushchi Ulugbek madrasasida Mirzo Ulugbek ilmiy maktabining yetakchi olimlari Qozizoda Rumiy va Giyosiddin Jamshid al-Koshiy qollarida tahsil olgan. Ali Ali Qushchi Mirzo yozadi: «Shuni bilish kerakki, har bir (14031474) son musbat yoki manfiy bolishi mumkin». Ali Qushchi sonlarni kopaytirishni tariflab, ushbu tengliklarning orinli bolishini korsatgan: (+a) · (−b) = −ab; (−a) · (+b) = −ab; (−a) · (−b) = +ab. Xitoy matematiklari musbat sonni «jen» (haqiqiy), manfiy sonni esa «fu» (yolgon) deb tushuntirganlar. Hind matematiklari esa musbat sonni «mol», manfiy sonni «qarz» deb talqin qilganlar. Orta osiyolik matematiklardan Abulvafo (940998) ishlaridan birida manfiy sondan foydalangan. Garbiy Yevropada «musbat» va «manfiy» sonlar XV asr oxirlarida pizalik Leonardo asari orqali malum bolgan. Leonardo ham manfiy sonni «qarz» (debitum) deb tushuntirgan. Manfiy sonlarni son oqida noldan chap tomonda tasvirlash gollandiyalik matematik A. Jirar (15951632) va mashhur fransuz olimi R. Dekart (15961650) asarlarida bayon etilgan. 144 VI bob. Musbat va manfiy sonlarni qoshish va ayirish 9394 Koordinata togri chizigi yordamida sonlarni qoshish va ayirish Havo temperaturasi ertalab 18 °C edi. Peshinga borib, temperatura 7 °C ga ozgardi, yani temperatura avvalgisiga qaraganda ortdi va 18 °C + 7 °C = 25 °C boldi. Bu temperatura avvalgisi va ozgarganining yigindisiga teng. Kechga borib havo temperaturasi −10 °C ga pasaydi, yani temperatura peshingiga nisbatan kamaydi va 15 °C ni korsatdi. Bu temperaturani ham avvalgisi va ozgarganining yigindisiga teng deb yoza olamiz: 25 °C + (−10 °C) = 15 °C. Umuman, k songa n sonni qoshish k sonni n birlikka ozgartirish demakdir. Har qanday son unga musbat son qoshilsa ortadi, manfiy son qoshilsa kamayadi. 1- m i s o l . −6 va 4 sonlari yigindisini toping. Y e c h i s h . Koordinata oqida A (−6) nuqtani belgilaymiz va uni 4 birlik ongga siljitamiz. Shunda A (−6) nuqta B (−2) nuqtaga otadi (87- rasm). Demak, (−6) + 4 = −2. 87 +4 (4 birlik ongga) A 6 O B 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2- m i s o l . −1 va −4 sonlari yigindisini toping. Y e c h i s h . Koordinata oqida A (−1) nuqtani belgilaymiz va uni chap tomonga 4 birlik siljitamiz. Shunda A(−1) nuqta B (−5) nuqtaga otadi (88- rasm). Demak, (−1) + (−4) = −5. 88 −4 (4 birlik chapga) 5 10 Matematika, 6 A B 4 3 2 145 1 O 0 1 3- m i s o l . 2 va −2 sonlari yigin89 −2 (2 birlik chapga) disini toping. A O Yechish. Koordinata oqida 1 0 1 2 A (2) nuqtani belgilaymiz va uni chap tomonga 2 birlik siljitamiz. Shunda A(2) nuqta hisob (koordinata) boshiga, yani O (0) nuqtaga otadi (89- rasm). Demak, 2 + (−2) = 0. Qarama-qarshi sonlar yigindisi nolga teng: n + (−n) = 0. 4- m i s o l . −4 va 0 sonlari yigindisini toping. Y e c h i s h . Koordinata oqida A (−4) nuqtani belgilaymiz va uni 0 soniga ozgartiramiz, 0 birlikka siljitamiz, yani −4 sonini ozgartirmaymiz, uni oz joyida, ozgarishsiz qoldiramiz. Demak, (−4) + 0 = −4. Songa nolni qoshish sonni ozgartirmaydi: k + 0 = k. 789. 1) k songa n sonni qoshish deganda nimani tushunasiz? 2) k songa musbat n sonni qoshganda k qanday ozgaradi? ? 3) k songa manfiy n sonni qoshganda k qanday ozgaradi? 4) k songa 0 ni qoshganda k ozgaradimi yoki yoqmi? 5) Qarama-qarshhi sonlar yigindisi nimaga teng? Koordinata togri chizigi toping (790791): yordamida sonlar yigindisini 790. 1) −1 va 3; 2) 3 va −5; 3) −3 va 7; 4) 1 va −6. 791. 1) 5 va 0; 2) 0 va −3; 3) 4 va −4; 4) 2 va 2. 792. Ifodaning qiymatini toping: 1) ((−8) + 8) + 3,2; 3) 0 + (4,5 + (−4,5)); 2) (−4,5) + ((−7) + 7); 4) (( − ) + ) + . ! ! 793. Koordinata togri chizigida a va a + 1 sonlar belgilangan (90- rasm). Shu oqda: 1) a + 3; 2) a + (−2); 3) a + (−1); 4) a + (−2,5); ( ); 5) = + − 6) = + nuqtalarni belgilang. 90 a a+1 146 794. Havo temperaturasi −5 °C edi. Agar temperatura: 1) 5 °C ga; 2) −2 °C ga; 3) 6 °C ga; 4) −7 °C ga; 5) 0 °C ga ozgarsa, havo temperaturasi necha gradus boladi? Sonlarni qoshishni koordinata oqi yordamida bajaring. 795. Koordinata togri chizigida a va a − 2 sonlar tasvirlangan (91- rasm). 91 a−2 a−1 a ( ); Shu oqda: 1) a + 2; 2) a + (−3); 3) a + (−1,5); 4) = + − ! 5) (a − 2) + 2,5; 6) (a − 2) + (−1,5) nuqtalarni belgilang. 796. a) Vertikal togri chiziqda A (−4) nuqtani belgilang. Ushbu: 1) (−4) + 2; 2) (−4) + 5; 3) (−4) + (−1); 4) (−4) + 4 yigindilarga mos keluvchi nuqtalarni belgilang. Songra vertikal togri chiziqda nuqtaning siljish qoidasini ifodalang. b) Yuqoridagiga oxshash topshiriqni oylab toping. Uni bajarishni yoningizdagi sinfdoshingizga taklif qiling. Topshiriq qanday bajarilganini tekshirib koring. 797. Koordinata togri chizigida A nuqtaga a + 5, B nuqtaga esa a + (−5) son mos keladi. AB kesmaning ortasiga qaysi son mos keladi? 798. Qaysi sonlar: 1) 0 sonidan 3 birlikka; 3) −5 sonidan 5 birlikka; 2) −1 sonidan 7 birlikka; 4) −2 sonidan 2 birlikka uzoqlashgan? Ularni koordinata togri chizigida korsating. 799. Koordinata oqida C nuqtaga a + 7, D nuqtaga esa a + (−1) son mos keladi. CD kesmaning ortasiga qaysi son mos keladi? 800. Daftaringizga 92- rasmdagi A va B shakllarni chizib oling. Ularni tortta katakchadan tuzilgan 5 ta shaklchaga shunday ajratingki, ular ong tomondagi shaklchani bersin. 92 A B 147 801. 1) −a; 2) −(−a) son: a) musbat; b) manfiy; d) nol bolishi mumkinmi? 802. a musbat son, b manfiy son bolsin. Quyidagi tengsizliklardan qaysi biri togri, qaysi biri notogri? Qaysi savolga javob berish mumkin emas? Nima uchun? 1) a < 0; 3) b < 0; 2) −a < 0; 4) −b < 0; 5) −a < b; 7) a < b; 9) a < −b; 6) −a > b; 8) a > b; 10) −b < a. K o r s a t m a . a va b orniga mos sonlarni tanlang. 803. Qaysi holda −0,01; 0,001 va −0,101 sonlari osib borish tartibida joylashtirilgan? A) −0,01; −0,101; 0,001; D) −0,101; −0,01; 0,001; B) 0,001; −0,101; −0,01; E) 0,001; −0,01; −0,101. 804. Bolinmaning qiymatini qisqa yol bilan toping: 1) (2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7) : (2 ⋅ 7); 2) (2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13) : (5 ⋅ 5 ⋅ 13). Koordinata togri chizigi toping (805806): yordamida sonlar yigindisini 805. 1) −2 va 4; 2) 4 va −5; 3) −2 va −4; 4) − 806. 1) 0 va 3; 2) −2 va 2; 3) 0 va −7; 4) − ! ! va va . ! ! . 807. Bekatda avtobusdan 8 kishi tushdi va unga 5 kishi chiqdi. Avtobusdagi yolovchilar soni qanchaga ozgardi? 808. Ifodaning qiymatini toping: 1) ((−4) + 4) + 5,8; 2) (−3,7) + ((−6) + 6). 809. 1) −28,5 va 28,5; 2) −100 va 100; 3) −99 va 199 sonlari orasida nechta butun son bor? 810. Qanday shartlarda quyidagi tengliklar orinli boladi: 1) −a + b = −a; 811. 1) −5 va 5; 2) − 2) −a + (−b) = −b; % va % 3) a − b = a? ; 3) −4,8 va 4,8 sonlari qaysi sondan baravar uzoqlikda joylashgan? 812. Qaysi sonlar: 1) 0 sonidan 1 birlikka; 3) −2 sonidan 5 birlikka; 2) 1 sonidan 1 birlikka; 4) −3 sonidan 3 birlikka uzoqlashgan? Ularni koordinata togri chizigida korsating. 148 9597 Manfiy ishorali sonlarni qoshish 1- m i s o l . Yigindini toping: (−3) + (−5). Y e c h i s h . −3 < 0, − # = # ekani ravshan. ..., −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, â â 1, 0, 2, ... 5 ta son chapga Butun sonlar qatorida −4 sonidan boshlab chap tomonga qa(− 1 3 ) + (− 2 7 ) = − 4 0 rab 5 ta sonni sanaymiz. Shunda sanash (−8) ga kelib toxtaydi, 1 3 demak, + 2 7 (−3) + (−5) = −8. 4 0 Bu jarayonni son oqida ham korsatish mumkin (93- rasm). Son oqida (−3) soniga mos keluvchi nuqtani belgilaymiz. Birlik kesmani shu nuqtadan boshlab chap tomonga oq yonalishiga qarama-qarshi tomonga 5 marta qoyamiz, shunda −8 soniga kelamiz. 93 3 dan boshlab birlik kesmani 5 marta chapga O 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 2- m i s o l . Havo temperaturasi −7 °C edi, u −3 °C ga ozgardi, yani temperatura pasaydi, deylik. U holda temperatura (−7) + (−3) gradusga teng boladi. Koordinata togri chizigi yordamida sonlarni qoshish uchun A (−7) nuqtani 3 birlik chapga siljitish kerak. Shunda B (−10) nuqtaga kelamiz. Demak, (−7) + (−3) = −10. Shu bilan birga 7 + 3 = 10 va −% = % , −! = ! ekaniga etibor bering. Bu misollardan shunday xulosaga kelish mumkin: Manfiy ishorali ikkita sonni qoshish uchun: 1- q a d a m : ularning modullarini qoshish; 2- q a d a m : hosil bolgan son oldiga minus « » ishorasini qoyish kerak. 149 813. 1) Manfiy sonlarni qoshish qoidasini ayting. Manfiy sonlarni qoshish natijasida nol hosil bolishi ? 2) mumkinmi? 3) Manfiy sonlarni qoshishni butun sonlar qatorida va koordinata togri chizigida tushuntiring. 814. −3 soni −8 ga ozgardi. Hosil bolgan son hisob boshidan qaysi tomonda boladi? Hisob boshidan hosil bolgan songacha bolgan masofa nechaga teng? −3 va −8 sonlarining yigindisi nechaga teng? 815. Qish kunlarining birida tunning birinchi yarmida temperatura −8 °C ga, ikkinchi yarmida esa −6 °C ga ozgardi. Shu tunda temperatura necha gradusga ozgargan? Qoshishni bajaring (816818): 816. 1) −12 + (−8); 817. 1) −1,7 + (−1,3); 818. 1) − ( ) % + − ; & & 2) −21 + (−11); 2) −2,8 + (−3,2); 2) − 3) −17 + (−13). 3) −8,4 + (−1,6). ( ) " + − ; ' ! 3) − ! ( ). + − ! 819. Togri tengsizlik hosil bolishi uchun ( ∗ ) orniga « > » yoki « < » belgilardan qaysinisini qoyish kerak: 1) −12 + (−15) ∗ −29; 2) −18 + (−17) ∗ −34? 820. Agar: 1) a = −2,5 va b = −3,5; 2) a = 0,53 va b = −3,53; 3) a = 7,7 va b = 2,3 bolsa, −a + (−b) ifodaning qiymatini toping. 821. Kop nuqta orniga shunday sonni tanlangki, natijada togri tenglik hosil bolsin: 1) −5 + ... = −20; 3) −5 + ... = 20; 2) −5 + ... = −3; 4) −5 + ... = 3. 822. Taqqoslang va tengsizlik yoki tenglik belgisini qoying: 1) (−14) + (−9) va −(14 + 9); 3) −((−3,5) + 7) va 3,5 + 7; (( ) − &) va " 2) (−180) + (−19) va −(180 + 20); 4) − − " ! − &. ! Ifodaning qiymatini toping (823825): ( + (−% )) + (− + (−! )) ; 3) (−# + (− )) + (− ) ; + ( − )) + ( − ) . 2) ( − + ( −! )) + ( − + ( −" )) ; 4) ( − 823. 1) − ! % & " % " " ' # ' % " 824. 1) (−8 + (−12)) + (−1 + (−9)); 150 ! ! ! $ ! # 2) (−38 + (−11)) + (−2 + (−29)). 825. 1) (−2,375 + (−3,625)) + (−0,8 + (−3,2)); 3) −6,31 + (−1,19); 2) (−0,324 + (−0,48)) + (−0,3 + (−0,623)); 4) −2,62 + (−5,38). 826. Tortta shaklning uchta kvadratda joylanishidagi qonuniyatni aniqlang (94- rasm). Bu qonuniyatning davomi sifatida tortinchi kvadratdagi bosh kataklarga shakllarni mos ravishda joylashtiring. 94 827. Mamura va Manzura bir xil 95 B raqamlardan tuzilgan biror olti xonali sonning hamma turli tub boluvchilari yigindisini hisoblashdi. Yigindi Mamurada 70, Manzurada esa 80 chiqqan. Ularning qaysi biri xato qilganini topa A olasizmi? Xulosa chiqaring. 828. A dan B gacha qaysi yol qisqa (95- rasm)? 829. Tengliklardan qaysi biri notogri? A) −(−5) = 5; B) +(−5) = −5; D) −(+5) = −5; E) +(−5) = 5. 830. Togri tengsizlikni korsating: A) −5 > 2; B) −20 < −40; D) −48 < − 36; E) −12 > −13. Qoshishni bajaring (831833): 831. 1) −54 + (−16); 2) −9 + (−31); 3) −55 + (−45). 832. 1) −4,5 + (−3,5); 2) −1,5 + (−7,3); 3) −2,76 + (−1,24). ! % ( ); 833. 1) − + −! " % 2) −% ( ) # + − ; $ $ 3) − " ( ) ! + − . " % Ifodaning qiymatini toping (834835): 834. 1) (−92 + (−8)) + (−2 + (−8)); 2) (−73 + (−17)) + (−3 + (−97)). (− + (−$ )) + (− + (− )) ; 2) ( −# + ( −" )) + ( − + ( −" )) ; 835. 1) # $ ! % " % ' % & % " # " # 151 ( ( )) + ( − & ) ; 4) ( −! ) + ( − + (−$ )) . 3) − % ! + −! # % " ' # ' # ' 98100 Har xil ishorali sonlarni qoshish Musbat va manfiy sonlarni qoshish natural va kasr sonlardagi kabi orin almashtirish va guruhlash qonunlariga boysunadi. Ixtiyoriy a, b va c musbat yoki manfiy sonlar uchun (orin almashtirish qonuni); a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) (guruhlash qonuni) tengliklar orinli boladi. Bir necha qoshiluvchilarning yigindisini topishda qoshishning bu qonunlari yordamida amallarni qulay tartibda bajarib, hisoblashlarni osonlashtirish mumkin. Turli ishorali bir necha sonni qoshish uchun musbat va manfiy sonlar hamda qarama-qarshi sonlar alohida-alohida qoshiladi. Shundan song hosil bolgan natijalar qoshiladi. 1- m i s o l . −7 + (−18) = −25, shuningdek, −18 + (−7) = −25. Demak, −7 + (−18) = −18 + (−7). 2- m i s o l . (13 + (−17)) + (−16) = −4 + (−16) = −20, shuningdek, 13 + ((−17) + (−16)) = 13 + (−33) = −20. 3- m i s o l . 3,5 + (−2,6) + 4,6 + (−5,9) = (3,5 + 4,6) + ((−2,6) + + (−5,9)) = 8,1 + (−8,5) = −0,4. Bu yerda dastlab alohida-alohida musbat sonlarni hisobladik. 4- m i s o l . + (−"" 3,5 + 5,4 + (−4,2) + (−3,5) + 4,2 = (3,5 3,5)) " " ! + + 5, 4 + ((" −4,2) 4,2) " +"" ! = 5,4. 0 Bu yerda qarama-qarshi sonlarning yigindisi nolga teng bolgani uchun ularni alohida-alohida guruhladik. Bunday hollarda mos qarama-qarshi sonlar tagiga bir xil chiziqchalar chiziladi, ular keyingi hisoblash jarayonida yozilmasa ham boladi bu bilan yozuvlar ixchamlashadi. 5- m i s o l . Yigindini toping: (−4) + (+6). Y e c h i s h . +6 > 0, +6 = 6 va −" = " ekani ravshan. Butun sonlar qatorida (−3) sonidan boshlab ong tomonga qarab 6 ta sonni sanaymiz. Shunda sanash (+2) soniga kelib toxtaydi, demak, (−4) + (+6) = +2 = 2. J a v o b : 2. 152 (− 1 3 ) + (+ 2 7 ) = + 1 4 + 2 7 > − 1 3 (+ 1 3 ) + (− 2 7 ) = − 1 4 − 2 7 1 3 1 4 − 2 7 > + 1 3 − 2 7 1 3 1 4 ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... â â 6 ta son ongga Bu misolda musbat qoshiluvchining moduli katta edi, shuning uchun ham yigindi natija musbat son chiqdi. (−4) + (+6) yigindini koordinata togri chizigida topishni ozingizga havola qilamiz. Bunda birlik kesma oq yonalishida koordinatasi (−4) bolgan nuqtadan boshlab 6 marta qoyiladi. 6- m i s o l . Yigindini toping: (+2) + (−5). Y e c h i s h .− 5 < 0 va −# = # bolgani uchun butun sonlar qatorida 1 sonidan boshlab chap tomonga qarab 5 ta sonni sanaymiz. Shunda sanash (−3) soniga kelib toxtaydi, demak, (+2) + (−5) = −3. J a v o b : −3. ..., −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... â â 5 ta son chapga 2- misolda manfiy qoshiluvchining moduli katta edi, shuning uchun ham yigindi natija manfiy son chiqdi. 1- va 2- misollardan shunday xulosaga kelamiz. Har xil ishorali va modullari teng bolmagan ikkita sonni qoshish uchun: 1- q a d a m: moduli kattadan moduli kichigini ayirish; 2- q a d a m: ayirma oldiga moduli katta qoshiluvchi ishorasini qoyish kerak. 1- va 2- misollarda kordikki, avval yigindining ishorasi aniqlanadi va yoziladi, songra modullar ayirmasi topiladi. 153 7- m i s o l . Yigindini toping: (+5) + (−5). Y e c h i s h . −5 < 0 va −# = # bolgani uchun ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, ... â â 5 ta son chapga Butun sonlar qatorida 4 sonidan boshlab chap tomonga qarab 5 ta sonni sanaymiz. Shunda sanash 0 soniga kelib toxtaydi, demak, (+5) + (−5) = 0. J a v o b : 0. Umuman, ixtiyoriy n soni uchun n + 0 = n; −n + 0 = −n. 836. 1) Qoshishning orin almashtirish va guruhlash qonunlari ifodalanadi? Ularning harflar yordamidagi ifodasini ? qanday yozing. 2) Qoshish qonunlari yordamida hisoblashni qanday osonlashtirish mumkin? 3) Har xil ishorali butun sonlarni qoshish qoidalarini ayting. 4) Qarama-qarshi sonlar yigindisi nechaga teng? 5) Son va nolning yigindisi nimaga teng? 837. (Ogzaki.) Qoshish qonunlaridan foydalanib hisoblang: 1) −6 + 23 + (−23); 2) −24 + (−16 + (−39)); 3) 15 + 25 + (−10). Qulay usul bilan hisoblang (838839): 838. 1) −12 + (−13) + (−17); 3) −4,8 + (−5,2) + (−10); 2) 19 + (−29) + (−36); 4) −6,2 + (−1,8) + (−8). 839. 1) −9,2 + 5,4 + (−3,6); 3) −5,3 + (−2,2) + (−4,7) + (−3,8); 2) −0,4 + (−8,01) + (−6,6); 4) 8,1 + (−4,3) + (−8,1) + (−1,9). 840. Agar: 1) a = −34, b = 17, c = −16; 2) a = 2,3, b = −1,9, c = −3,4; 3) a = −11,8, b = −20, c = −7,2 bolsa, a + b + c ifodaning son qiymatini toping. 841. Yigindini hisoblang: 1) −1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) + 6 + (−7) + 8 + (−9) + 10; 2) 1 + (−2) + 3 + (−4) + 5 + (−6) + 7 + (−8) + 9 + (−10); 3) −1 + (−2) + (−3) + (−4) + (−5) + (−6) + (−7) + (−8) + (−9). 842. Bir xil qoshiluvchilar yigindisini hisoblang: 1) −3 + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3); 2) −7 + (−7) + (−7) + (−7) + (−7) + (−7) + (−7) + (−7) + (−7); # + − # +"... +"""""" − # + − # 3) − """"" !. ta qoshiluvchi 154 843. Tenglik togri bolishi uchun nechta qoshiluvchini qoshish kerak: 1) −2 + (−2) + ... + (−2) = −20; 3) −8 + (−8) + ... + (−8) = −64; 2) −5 + (−5) + ... + (−5) = −45; 4) −9 + (−9) + ... + (−9) = −81. 844. Boboning bir qadami uzunligi 96 60 sm ga teng. Nabiraning bir 2 qadami bobosi qadamining 3 qismiga teng. Togri tortburchak shaklidagi bogning enini bobo 150 qadamda, boyini nabirasi 175 qadamda otadi. Bogning perimetri va yuzini toping (96- rasm). Qoshishni bajaring 845. 1) (+3) + (−3); 2) (−10) + (+10); 846. 1) (−8,5) + (+1,5); 2) (−7,5) + (+2,5); ( ) + (+1 ) ; 847. 1) −2 11 13 848. Jadvalni 11 13 (845847): 3) (−4) 4) (−9) 3) (+4,8) 4) (+7,3) + + + + (−6); (+9); (−5,2); (−1,3); 5) (+18) + (−17); 6) (+1) + (−6). 5) (−9,2) + (+1,8); 6) (−9,5) + (+5,5). (+ ) + (− 5 ) . ( ) + (− ) ; 3) Musbat qoshiluvchilar yigindisi Manfiy qoshiluvchilar yigindisi Sonli ifodaning qiymati 30 −20 10 2) + 3 1 9 5 18 7 12 13 24 toldiring: Sonli ifoda 20 + (−13) + (−7) + 10 25 + (−18) + 3 + (−15) (−40) + 48 + (−15) + 12 (−17) + (−20) + 10 + 14 (−175) + 75 + (−100) + 50 849. Sonni mumkin bolsa: 1) ikkita manfiy; 2) musbat va manfiy 2 9 sonning yigindisi korinishida yozing: −2; −8; −100; −9,5; 4 . Namuna: 1) −28 = (−8) + (−20) = (−21) + (−7) = ... . 2) −2 = (−3) + (+1) = (+43) + (−45) = ... . 155 850. Misollarda tushuntiring. Qachon ikki sonning yigindisi: 1) a) hamma vaqt musbat; b) hamma vaqt manfiy boladi? 2) a) musbat ham; b) manfiy ham bolishi mumkin? 851. Jadvalni toldiring: Sonli ifoda Musbat qoshiluvchilar yigindisi Manfiy qoshiluvchilar yigindisi Sonli ifodaning qiymati 4 −11,3 −7,3 2,8 + (−7,5) + (−3,8) + 1,2 (−9,2) + (−7,8) + 18,4 + 2,6 (−! ) + " + (− ) + + (− " ) + ( −1 ) + " $ 11 ! 7 9 11 # 11 ! 1" 1# 8 7 11 " 7 852. Yigindini toping: 1) (−7) + (−8) + (+7) + (+7); 2) (−1) + (+2) + (+1) + (−2); 853. Yigindini toping: 1) −6,5 + (−7,3) + 7,3 + 3; 2) 5,5 + (−14) + 11,5 + (−6); ( ) 3) (−8) + (−6) + (−4) + (+28); 4) (+19) − (−20) − (−39) + (−5). 4) 4,8 + (−5,8) + 5,2 + (−4,2); 5) 12 + (−7,5) + (−2,3) + (−3,2); ( ) ( ) 9 $ 1 + −1 + # + −7 ; 7 7 9 6) & 11 + −% 11 + −9 11 + 1 11 . 854. Sonlarning butun qismini toping: 3) − ! 1 7 −! ; − ! ; " −0,5; − ! ; −1,1. N a m u n a . (−3,14) sonining butun qismini toping. Y e c h i s h . Sonning butun qismi shu sondan katta bolmagan eng katta butun son. (−3,14) dan katta bolmagan eng katta butun son (−4) ga teng. J a v o b : −4. 855. Qavslar va arifmetik amallardan foydalanib, 37 ni 5 ta 3 yordamida ifodalashning boshqa usullarini toping. Qoshiluvchilarning orinlari almashgan hol boshqa usulga kirmaydi. N a m u n a . 37 soni 5 ta 3 yordamida yozilgan: 37 = 33 + 3 + 156 ! . ! 856. Beshta 5 raqami hamda arifmetik amallar va qavslardan foydalanib, −555, −55, −5, 0, 5, 55, 555 sonlarini hosil qiling. 857. Yulduzcha orniga >, <, = belgilaridan mosini qoying: 1) −10 + 10 ∗ 0; 4) 27 + (−69) ∗ −10; 2) −90 + 99 ∗ 8; 5) 7 + (−8) + (−7) ∗ 0; 3) 51 + (−54) ∗ 0; 6) 12 + (−10) + (−1) ∗ 0. 858. Jadvalni toldiring: 5, 5, 5, 5, 5 p 2,8 −1,5 −3,14 −4,91 8,93 −% q −3,8 0 2,71 14,91 −11,83 ' p +q −1 −1,5 ! # $ & ! % −' 7 % ! −' 10 ! 859. Ifodalarning son qiymatlarini taqqoslang: 1) (−11) + (−9) va −(11 + 9); 3) −((−17) + 3) va 17 − 7; 2) (−7) + (−5) va −(7 + 5); 4) −((−32) + 12) va 32 − 12. 860. Namunadan foydalanib hisoblang: 1) −202 + (−198); 3) −38 + (−162); 5) −279 + (−586); 2) −338 + (−62); 4) −75 + (−125); 6) −729 + (−731). N a m u n a: −875 + (−936) = −(875 + 936) = −1 811. 861. Beshburchakka chizgichni shun97 day qoyingki, u beshburchakni: 1) ikkita uchburchakka; 2) uchta uchburchakka; 3) uchburchak va tortburchakka; 4) ikkita uchburchak va tortburchakka; 5) ikkita tortburchakka ajratsin (97- rasm). 862. −39, −13, −18, −41 sonlaridan eng kattasini korsating. A) −39; B) −13; D) −18; E) −41. Qulay usul bilan hisoblang (863864): 863. 1) −2,1 + (−0,4) + (−7,9) + (−4,6); 2) −8,3 + (−4,5) + (−1,7) + (−5,5); 157 3) −37 + (−22) + (−13); 4) 42 + (−45) + (−12). 864. 1) 1 + (−2) + 3 + (−4) + 5 + (−6) + 7 + (−8); 2) −3 + 5 + (−7) + 9 + (−11) + 12 + (−18) + 26; Yigindini toping (865867): 865. 1) 2) 866. 1) 2) 23 + (−21); (−21) + 40; 4,7 + (−5,7); −8,3 + 17,3; 867. 1) ! 3) 4) 3) 4) ( ) 1 1 + −" ; $ 8 2) − $ ! (−23) + 19; 4 + (−54); 18,7 + (−21,5); −7,9 + 11,2; 3) −$ 1 ! +! ; 4) " ! % + 5) 6) 5) 6) " ; % (−75) + 70; 78 + (−70). −9,8 + 7,2; 1,8 + (−4,5). 5) −! ( ) # 1 + −$ ; 9 9 6) 1 # % +$ ' ; " ( ) 8 8 + −% . 11 11 868. Berilgan ( ∗ ) orniga >, <, = belgilaridan mosini qoying: 1) −160 + 60 ∗ −100; 4) −70 + 70 ∗ 0; 2) −80 + (−60) ∗ 0; 5) −9,1 + 12 ∗ 3; 3) 3,8 + (−10,8) ∗ −7; 6) ( ) " # ∗ 0. + − 9 9 869. Qulay usul bilan hisoblang: 4) 81 + (− 31 + 50); 1) −56 + 23 + (−23); 5) 46 + (−20) + 24; 2) −75 + 30 + (−15); 6) 69 + (−29) + 10. 3) 52 + (− 22 + 71); 870. Jadvalni toldiring: a −23 18 −71 −83 50 15 −18 −19 10 0 b −7 −22 0 100 −30 −65 16 10 −11 −12 c 28 13 −29 −17 −27 −40 −8 −1 −10 16 a + b +c 871. 1) Havo temperaturasi ertalab +4 °C bolib, kun davomida 6 °C ga pasaydi. Kechga borib havo temperaturasi necha gradus bolgan? 2) Havo temperaturasi ertalab −5 °C bolib, peshinga borib +8 °C ga kotarildi. Peshinda temperatura necha gradus bolgan? 3) Havo temperaturasi kunduzi −7 °C edi. Kechasi bilan temperatura 8 °C ga pasaygan bolsa, havo temperaturasi necha gradus bolgan? 158 101102 Sonlarni ayirish Ikki sonning ayirmasi deb shunday songa aytiladiki, uni ayriluvchiga qoshganda kamayuvchi hosil boladi. k va n sonlar ayirmasi k − n shunday sonki, uni n ga qoshsak, k hosil boladi: (k − n) + n = k. Masalan, 12 − (−4) = 16, chunki 16 + (−4) = 12, shu bilan birga 12 + (+4) = 16. Bu misoldan shunday xulosaga kelamiz: bir sondan ikkinchi sonni ayirish uchun kamayuvchiga ayriluvchiga qarama-qarshi sonni qoshish kerak, yani: k − n = k + (−n). Chindan ham, (k + (−n)) + n = k + ((−n) + n) = k + 0 = k. Bizga malumki, har qanday songa qarama-qarshi son mavjud. Bundan quyidagi xulosaga kelamiz. Sonlarni ayirish amali hamma vaqt ham bajariladi. Istalgan ikki son uchun ularning ayirmasi boladigan sonni topish, aksincha, sonni ikki sonning ayirmasi korinishida ifodalash mumkin. Xususan, kichik sondan katta sonni ayirish mumkin. Masalan: 1) 25 − 37 = 25 + (−37) = −12; 2) 2,01 − 5,01 = 2,01 + (−5,01) = −3; 3) −5 = 10 − 15 = 1,9 − 6,9 = ... , chunki 10 + (− 15) = 1,9 + (−6,9) = ... = −5. Quyidagi formulalarning togriligini misollarda tekshirishni ozingizga havola qilinadi. Agar kamayuvchi (k = 0) nolga teng bolsa, ayirma ayriluvchiga teng boladi: 0 − n = −n. Agar ayriluvchi (n = 0) nolga teng bolsa, ayirma kamayuvchiga teng boladi: k − 0 = k. Son oqida ayirish amalini qanday tasvirlash mumkinligini misollarda koraylik. 159 1- m i s o l . Ayirmani toping: 5 − 8. Bu ayirma 5 + (−8) ga teng. Y e c h i s h . Koordinata togri chizigida 5 soniga mos keluvchi nuqtani belgilaymiz. Shu nuqtadan boshlab birlik kesmani chap tomonga, yani oq yonalishiga qarama-qarshi tomonga 8 marta qoyamiz, shunda (−3) soniga kelamiz (98- rasm). Demak, 5 − 8 = 5 + (−8) = −3. J a v o b : −3. 98 5 dan boshlab birlik kesmani 8 marta chapga O 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2- m i s o l . −2 − (−3) ayirmani toping. Y e c h i s h . −(−3) = 3 ekani malum. U holda, −2 − (−3) = −2 + 3 = 1 (99- rasm). J a v o b : 1. 99 3 birlik ongga O 3 2 1 0 2 birlik chapga O 1 2 2 (3) = 2 + 3 = 1 1 yoki 0 1 2 3 2 (3) = 2 + 3 = 3 2 = 1 3- m i s o l . Koordinatasi 1 bolgan A(1) va koordinatasi 6 bolgan B(6) nuqta orasidagi masofani toping. Y e c h i s h . Koordinata togri chizigida olingan ikki nuqta orasidagi masofa uchlari shu nuqtalarda bolgan kesmaning uzunligi ekani ravshan. Demak, bu misolda AB kesmaning uzunligini topish soralmoqda. Koordinata togri chizigida A(1) nuqtadan boshlab birlik kesmani oq yonalishida n marta qoysak, B(6) nuqtaga kelamiz, deylik. U holda 1 + n = 6, bundan n = 6 − 1, n = 5. Shunday qilib, A(1) nuqtadan boshlab birlik kesma oq yonalishida 5 marta qoyilsa, B(6) nuqtaga kelinadi, yani AB = 5 (100- rasm). 100 O A(1) 0 1 B(6) 2 3 4 5 birlik ongga 160 5 6 7 8 9 Bizning misolda AB kesmaning oxiri (ong uchi) B nuqta bolib, uning koordinatasi 6 ga, boshi (chap uchi) A nuqta bolib, uning koordinatasi 1 ga teng. Demak, AB = 6 − 1 = 6. J a v o b : 5. Bu misoldan shunday xulosa kelib chiqadi: Koordinata togri chizigidagi kesmaning uzunligi uning ong uchi koordinatasi bilan chap uchi koordinatasining ayirmasiga teng. 4- m i s o l . 1) A(−1) va B(4); 2) C(−3) va D(0); 3) M(−8) va N(−2) nuqtalar orasidagi masofani toping. Y e c h i s h . 1) AB = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5. J a v o b : 5. 2) CD = 0 − (−3) = 0 + 3 = 3. J a v o b : 3. 3) MN = −2 − (−8) = −2 + 8 = 6. J a v o b : 6. Agar kamayuvchi ayriluvchidan katta bolsa, u holda ayirma musbat boladi. Agar kamayuvchi ayriluvchidan kichik bolsa, u holda ayirma manfiy boladi. Agar kamayuvchi va ayriluvchi teng bolsa, u holda ayirma nolga teng boladi: n − n = 0. 872. 1) Ikki sonning ayirmasi deb nimaga aytiladi? Sonlar qanday qoidaga kora ayiriladi? ? 2) 3) Koordinata togri chizigida kesmaning uzunligi qanday topiladi? 873. Ayirishni qoshish (« + ») bilan almashtiring va hisoblang: 1) −84 − 16; 2) −16 − 14; 3) −36 − (−30); 4) −80 − (−80). N a m u n a : −17 − 8 = (−17) + (−8) = −(17 + 8) = −25. 874. Ayirishni qoshish (« + ») bilan almashtiring va hisoblang: 1) 30 − (−5); 2) −7 − (−6); 3) 90 − (−10); 4) −83 − (−23). E s l a t m a : − (−a) = a ekanidan foydalaning. 875. Hisoblang: 1) −13 − (−7) + (−7); 3) 72 − (−12) − 104; 2) −3 + (−8) − (−13); 4) −15 − (−14) + (−24). 876. Jadvalni toldiring: k 15 −20 8 12 0 1 n 20 −10 −3 15 −1 −2 k−n −5 11 Matematika, 6 11 161 −31 −17 0 −17 −12 37 −40 24 −3 −50 877. Berilgan ( ∗ ) orniga mos sonlarni qoying: 1) 15 − ∗ = 0; 3) −5 − ∗ = 0; 2) 16 − ∗ = −1; 4) ∗ − (−3) = 4. 878. Amallarni bajaring: 1) −9 + (−28) − (−27); 3) −16 − (−30) + (−30); 2) 20 − (−9) − 9; 4) −12 − 8 + (−10). Ayirishni bajaring (879880): 879. 1) −3,8 − 2,2; 2) −4,9 − (−4,8); 880. 1) − 2) − ( ) − (− ) ; 8 7 − − ; 1# 1# 9 " 9 3) −0,45 − 0; 4) 0 − (−4,1); 5) −9,31 − (−9,31); 6) −8,3 − (−9,3). ( ) − ( − ) ; 7 # ( ) − (− ) − . 3) 1! − − $ ; 5) − 4) 6) ! 8 9 − − ; 17 17 7 9 # 9 881. Ayirmani ayriluvchiga qarama-qarshi sonni qoshish bilan almashtiring va hisoblang: 1) 28 − (−1); 3) (−63) − (−42); 5) (−35) − (−85); 2) 30 − (−5); 4) (−19) − (−11); 6) (−34) − (−34). N a m u n a : (−25) − (−35) = (−25) + (+35) = 10. 882. Namunadan foydalanib hisoblang: 1) −374 − (−352); 3) −958 − (−838); 5) −120 − (−280); 2) −474 − (−364); 4) −381 − (−470); 6) −480 − (−370). N a m u n a : −874 − (−461) = −874 + 461 = −(874 − 461) = −413. 883. Koordinata togri chizigida koordinatalari bilan berilgan ikki nuqta orasidagi masofani toping: 1) A(−2), B(2); C(0), D(4); E(3), F(5); M(−3), O(0); 2) K(−4), L(−1); P(−1), Q(1); M(−5), N(−2); S(−5), T(−1). Mos chizmalarni chizing. 884. Sonning kasr qismi shu son bilan uning butun qismi ayirmasiga teng. (−3,14) sonining kasr qismini toping. Y e c h i s h . −3,14 − (−4) = −3,14 + 4 = 0,86. J a v o b : 0,86. Sonning kasr qismini toping: − # ; 9 ! " −! ; −0,8; # 7 − ; −2,1. 885. Yigindini qavssiz yozing va hisoblang: 1) (−45) + (−55); 3) 51 + (−11); 5) (−35) +(−45 + 10); 2) (−54) + (−16); 4) 72 + (−22); 6) −35 + (−25 + 75). N a m u n a : (−16) + (−24) = −16 − 24 = −40. 162 886. Hisoblang: 1) −8 + 9 − 10 + 11 − 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18 + 19; 2) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100. 887. −5 va 7 sonlari orasida nechta butun son joylashgan? A) 13; B) 12; D) 11; E) 10. 888. Tenglamani yeching: 1) x + 10 = 3; 3) −1 − x = −10; 5) −5 + x = −30; 2) −1 − x = −1; 4) x + 17 = 0; 6) x − 23 = −43. N a m u n a : 4,8 − x = −1,8; x = 4,8 − (−1,8); x = 4,8 + 1,8; x = 6,6. 889. Sonlarni: 1) ikkita manfiy; 2) musbat va manfiy sonning yigindisi korinishida tasvirlang: −16; −7; −2 017; −5; 0; 13. 890. −3,5; 3,5; −4; 3 sonlaridan qaysilari: 1) − 5 + x = −8,5; 2) 3 − x = 7 tenglamaning ildizi boladi? 891. 1) 101- rasmdagi sonli pi101 1+2= 3 ramidada « + » va « − » −1 + 2 + 3 = 4 ishoralarini shunday qo1 2−3−4 =5 yingki, tenglik orinli bol1 2+3−4−5=6 sin. Bunda ayrim qoshni raqamlarni bitta son deb −1 + 2 + 3 + 4 + 5 − 6 = 7 qarash mumkin. 1 2 3 4 5 6 7 =8 2) 8 8 8 8 8 8 8 8 yozuvi1 2 3 4 5 6 7 8=9 dagi ayrim raqamlar orasiga qoshish belgisini shunday qoyingki, natijada qiymati 1 000 ga teng bolgan ifoda hosil bolsin. 892. Ayirishni bajaring: 1) 89 − 99; 2) 713 − 843; 3) 108 − 228; 4) 2 015 − 2 017. 893. Ayirishni qoshish bilan almashtiring va hisoblang: 1) −17 − 43; 2) −69 − 41; 3) −150 − 50; 4) −160 − 40. 894. Jadvalni toldiring: k 3 −15 −20 −5 25 38 52 −45 −47 80 −70 n 7 −8 10 15 29 48 68 15 −33 95 −80 k−n −4 895. Tenglamani yeching: 1) 30 − x = 42; 3) 62 − x = −1; 2) −8 + x = −7; 4) −4,8 + x = −5; 163 5) −x − 3,4 = 6,6; 6) −10 − x = −11. 896. Hisoblang: 1) −27 − (−10) + (−10); 3) 85 − (−15) − 105; 2) −6 + (−15) − (−16); 4) −24 − (−14) + (−40). 897. Nuqtalar orasidagi masofani toping: 1) A (−5) va B (−1); 3) K (−3) va L (2); 2) C (− 4,5) va D (−1,5); 4) E (−3) va F (2). Ingliz tilini organamiz! manfiy ishora minus sign musbat ishora plus sign temperatura temperature TEST 7 ong right chap left kesma segment Ozingizni sinab koring! 1. Yigindini toping: (−51 + 40) + (−78 + 47). A) 42; B) −42; D) −11; E) 2. Yigindini toping: (200 + (−206)) + (46 + (−51)). A) −9; B) −11; D) −20; E) 3. Yigindini toping: 89 + (−(−61)) + (−170). A) 70; B) −90; D) −111; E) 4. Yigindini toping: (3,8 − 5,4) + (−6,3 + 4,3). A) −3,6; B) 3,6; D) −0,4; E) ( ( )) + (−1 ) . 5. Yigindini toping: ! 1 + − −" ! 7 A) ! # ; 1" 6. Amallarni A) −5; 7. Amallarni A) 19; 8. Amallarni A) −47; 9. Amallarni A) −2,47; 10. Amallarni A) −8,6; B) % 20. −20. −1,4. # 1" 1" # ; " −31. D) −3; E) 3. bajaring: (−13 + 11) − (−4 + 7). B) −2; D) −3; E) 3. bajaring: −29 − (88 − 98). B) −19; D) −10; E) −39. bajaring: −108 − (−41 − 53). B) −35; D) −14; E) 14. bajaring: (−3,14 + 2,71) − (−4,7 + 1,8). B) 2,47; D) 3,33; E) −0,14. bajaring: −8,9 − (7,8 − 10,8). B) −11,9; D) −5,9; E) 11,9. 164 VII bob. Musbat va manfiy sonlarni kopaytirish va bolish 105106 Sonlarni kopaytirish Kopaytirishdagi ishoralar qoidasi Kopaytuvchilar Kopaytma + + + + + + − 4 5 · (− − 3 8) = 1 7 1 0 4 3 + 3 6 1 3 5 1 7 1 ½ 5 8 0 0 1- q o i d a . Bir xil ishorali ikkita sonni kopaytirish uchun ularning modullari kopaytiriladi va kopaytma oldiga « + » ishorasi qoyiladi. Masalan, 2,7 ⋅ 1,3 = 3,51; ( −8) ⋅ ( −$) = −8 ⋅ −$ = 8 ⋅ $ = 48 . 2- q o i d a . Har xil ishorali ikkita sonni kopaytirish uchun ularning modullari kopaytiriladi va kopaytma oldiga « » ishorasi qoyiladi. Masalan: ⋅ −! = − ⋅ − ! = − ⋅ ! = −!6 . −15 ⋅ 2,5 = − − 15 ⋅ 2,5 = −15 ⋅ 2,5 = −37,5 . Quyidagi tasdiqlar orinli: 1. Agar kopaytuvchilardan biri 0 ga teng bolsa, u holda kopaytma 0 ga teng boladi: 0 · n = 0. n · 0 = 0; Masalan, (+5) · 0 = 0; 0 · (+5) = 0; (−3) · 0 = 0; 0 · (−3) = 0. 2. Agar kopaytuvchilardan biri (1) ga teng bolsa, u holda kopaytma ikkinchi kopaytuvchining qarama-qarshisiga teng boladi. Demak, sonni (1) ga kopaytirish uning ishorasini ozgartiradi, xolos: − 1) · n = − n. − 1) = − n; (− n · (− Masalan, (−1) ⋅ 8 = −8; (−6) ⋅ (−1) = 6. Agar manfiy ishorali kopaytuvchilar soni juft (toq) bolsa, u holda kopaytmaning ishorasi musbat (manfiy) boladi. 165 Har qanday sonning 1- darajasi shu sonning oziga teng: n 1 = n. 01 = 0; 11 = 1; (2)1 = 2; 31 = 3; (2,5)1 = 2,5; 2 0171 = 2 017. ] 898. 1) a) Bir xil ishorali; b) har xil ishorali sonlar kopaytmasi topiladi? Misollarda tushuntiring. ? qanday 2) Bir necha sonlar kopaytmasining ishorasi qanday aniqlanadi? 899. Jadvalni toldiring: k 15 −4 −5 −4 18 27 −15 19 −13 −1 1 n 8 −3 8 12 −6 −3 −12 −8 7 −1 −1 120 12 k·n 900. Kopaytmani toping: 1) −8 ⋅ 11 ⋅ (−25); 3) −3 ⋅ (−12) ⋅ 7; 2) 15 ⋅ 12 ⋅ (−6); 4) −48 ⋅ 11 ⋅ 4; 901. Jadvalni toldiring: 5) −57 ⋅ (−3) ⋅ (−2); 6) −11 ⋅ (−12) ⋅ (−5). k −8 10 3 1 −7 10 −5 12 −9 25 m 3 −2 5 −10 2 5 −4 11 −5 −10 n 5 4 −1 −8 −3 −2 −8 −4 −10 −8 −8 8 −8 8 −4 10 −12 −12 12 12 −5 −7 0 k · m · n −120 902. Jadvalni toldiring: k −4 3 −3 n − 10 10 10 −10 k·n 80 3 903. Uchta sonning kopaytmasi musbat. Uchala son ham musbat deyish togrimi? Qanday hollar bolishi mumkin? Misollar keltiring. 904. Ifodaning son qiymatini toping: 1) −7 ⋅ 8 − (−10) ⋅ (−2); 3) −7 ⋅ (−5) − (−16) ⋅ (−3); 2) 3 ⋅ (−9) − 4 ⋅ (−5); 4) −15 ⋅ 4 − 20 ⋅ 9 ⋅ (−1). 905. Uchta sonning kopaytmasi manfiy. Uchala son ham manfiy deyish mumkinmi? Qanday hollar bolishi mumkin? Misollar keltiring. 166 906. a = −10, b = 7, c = −15 ekani malum. Kopaytmani toping: 1) a ⋅ b ⋅ c; 2) −a ⋅ (−b) ⋅ c; 3) −(a ⋅ b ⋅ c); 4) a ⋅ b ⋅ (−c). 907. Kopaytmaning qaysi biri: a) musbat; b) manfiy; d) nol ekanini aniqlang: 1) −1 ⋅ (−2) ⋅ ... ⋅ (−99) ⋅ (−100); 3) (−20) ⋅ (−1) ⋅ 0 ⋅ 20 ⋅ 100; 2) −2 ⋅ (−4) ⋅ (−6) ⋅ ... ⋅ (−100); 4) −1 ⋅ (−3) ⋅ ... ⋅ (−99). 908. Tengsizlikni qanoatlantiruvchi butun sonlar kopaytmasini toping: 1) −5 ≤ n ≤ 0; 2) −100 ≤ n ≤ 100; 3) −5 ≤ n ≤ −1. 909. 1) Katakchalarga −1, 2, −3, 4, −5, 6, −7, 8, −9 sonlarini shunday joylashtiringki, ularning satrlar, ustunlar va diagonallar boyicha kopaytmasi manfiy son bolsin (102- a rasm). 2) −1, −2, −3, −4, −5, −6, −7, −8, −9 sonlari berilgan. Ulardan bir nechtasi katakchalarga joylashtirilgan (102- b rasm). Qolganlarini bosh katakchalarga shunday joylashtiringki, ularning istalgan satrlar, ustunlar va diagonallar boyicha yigindisi −15 bolsin. 3) −2, −2, −2, −3, −3, −3 sonlarini bosh katakchalarga shunday joylashtiringki, ularning barcha satrlar va ustunlar boyicha yigindisi −6 bolsin (102- d rasm). 102 −4 −1 −5 −1 −1 −1 a) b) d) 910. Ushbu 25, −39, −52 va 9 sonlarini kamayib borish tartibida joylashtiring: A) −52, −39, 9, 25; D) 25, 9, −39, −52; E) 25, 9, −52, −39. B) −39, −52, 9, 25; 911. Kopaytmani toping: 1) (−8) ⋅ (−5); 3) 7 ⋅ (−28); 2) (−11) ⋅ (−12); 4) 10 ⋅ (−81). Hisoblang (912913): 912. 1) 4 ⋅ 7 ⋅ (−2); 2) −1 ⋅ (−2) ⋅ 8; 3) (−7) ⋅ (−10) ⋅ (−5); 4) (−3) ⋅ (−1) ⋅ (−4); 167 5) (−8) ⋅ 11 ⋅ (−25); 6) (−48) ⋅ 11 ⋅ 4. 913. 1) (−28) ⋅ (−5) − 7 ⋅ 8; 3) −15 ⋅ (−22) − (−3) ⋅ (−24); 4) −31 ⋅ (−11) − (−14) ⋅ (−12). 2) (−29) ⋅ 3 − (−10) ⋅ 12; 914. Kopaytirishni bajarmasdan, kopaytmalardan qaysi biri: a) musbat; b) manfiy; d) nol ekanini aniqlang: 1) 15 ⋅ 14 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) ⋅ (−2) ⋅ ... ⋅ (−14) ⋅ (−15); 2) −25 ⋅ (−24) ⋅ ... ⋅ (−2) ⋅ (−1) ⋅ 0 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 24 ⋅ 25; 3) −2 ⋅ 3 ⋅ (−4) ⋅ 5 ⋅ (−6) ⋅ 7 ⋅ (−8) ⋅ 9 ⋅ (−10) ⋅ 11 ⋅ (−12). 915. Jadvalni toldiring: k 28 n −5 −31 −40 4 9 14 −45 −52 −35 48 −75 −2 −6 −10 −8 −5 −8 −11 4 2 −6 k · n −140 −124 916. Tortta sonning kopaytmasi: a) musbat son; b) manfiy son bolsa, kopaytuvchilarning ishorasi haqida nima deyish mumkin? Misollar keltiring. 107109 Sonlarni bolish 1. Bir xil ishorali sonlarni bolish. Bolishda berilgan kopaytma va kopaytuvchilardan biri boyicha ikkinchi kopaytuvchi topiladi. a ni b ga bolish bu shunday x ni topish demakki, unda bx = a boladi. Masalan, 28 : 4 = 7, chunki 7 ⋅ 4 = 28; −28 : (−4) = 7, chunki 7 ⋅ (−4) = −28; −28 : 4 = −7, chunki −7 ⋅ 4 = −28; 28 : (−4) = −7, chunki −7 ⋅ (−4) = 28. Yuqoridagi mulohazalardan bolishning ushbu qoidalari kelib chiqadi. Bolishdagi ishoralar qoidasi Bolinuvchi Boluvchi Bolinma + + + + + + 168 7 3 6 : ( − 2 3)= 3 2 7 3 6 6 9 4 6 4 6 0 2 3 3 2 1- q o i d a . Bir xil ishorali sonlarni bolish uchun ularning modullari bolinadi va bolinma oldiga « + » (plus) ishorasi qoyiladi. Masalan, 2,99 : 1,3 = 2,3; ( −8) : ( −4) = −8 : −4 = 8 : 4 = 2. 2. Har xil ishorali butun sonlarni bolish. 2- q o i d a . Har xil ishorali sonlarni bolish uchun ularning modullari bolinadi va bolinma oldiga « » (minus) ishorasi qoyiladi. Masalan, 1,92 : ( −1,2) = − 1,92 : −1,2 = −1,92 : 1,2 = −1,6. Umuman, quyidagi tasdiqlar orinli: 1. Nolni noldan farqli ixtiyoriy n songa bolish natijasi 0 ga tengdir: 0 : n = 0. Masalan, 0 : (−8) = 0; 0 : 7 = 0. n:0 0:0 Nolga bolish mumkin emas! Masalan, (−6) : 0 va 3 : 0 kabi yozuvlar manoga ega emas! 2. Boluvchi (1) ga teng bolsa, u holda bolinma bolinuvchining qarama-qarshisiga teng boladi: n : (−1) = −n. 917. 1) a) Bir xil ishorali; b) har xil ishorali sonlarni bolish ? qoidasini bilasizmi? Misollarda tushuntiring. 2) 0 ni noldan farqli ixtiyoriy songa bolish mumkinmi? 3) Ixtiyoriy sonni nolga bolish mumkinmi? 918. Bolishni bajaring. Natijaning togriligini bolish va kopaytirish bilan tekshiring: 1) 84 : (−4); 2) −75 : 3; 3) −48 : (−6); 4) −36 : (−4). 919. Hisoblang: 1) (15 − 48) : 11; 3) 72 : (−22 − 14); 5) −75 : (17 − 42); 2) −75 : (17 − 42); 4) 0 : (−25 + 19); 6) −99 : (−28 + 61). 920. Nomalum son x ni toping: 1) 25x = −100; 3) −x : 3 = −5; 5) 5x + 70 = −40 : 8; 6) −0,6x = −1,2. 2) −2x = −14; 4) 3x = −51; 169 921. Hisoblang: 1) (−8 + 10 − 7) : (−5); 3) 2) (−37 + 15 − 24) : 2; 4) 922. Ifodaning son qiymatini toping: 1) (−48) ⋅ (−9) : (−8) ⋅ (−3); 3) 2) (−42) ⋅ (−14) : (−7) ⋅ 4; 4) 923. Jadvalni toldiring: (−90 − 40 − 20) : 15; (−96 − 48 − 72) : 12. (−49) ⋅ 8 : (−7) ⋅ 4; (−125) ⋅ 15 : (−25) ⋅ (−3). k −1 1 −1 15 20 −28 −32 −45 −72 18 −24 n k + n 1 0 −1 −1 −3 −4 −7 −15 −2 6 k − n −2 k ⋅ n −1 k : n −1 8 4 924. 864 : 48 = 18 ekanidan foydalanib, quyidagi ifodaning son qiymatini toping: 1) −864 : 18; 2) −48 ⋅ 18; 3) 864 : (−48); 4) 864 : (−18). 925. Quyidagi sonlarni ikkita butun sonning bolinmasi (nisbati) korinishida tasvirlang: 1; 5; −10; −3; −7; −15; 18; 40; 0; −12; 5; −40. N a m u n a: 1) 8 = −16 −2 = 16 2 = ...; 2) −6 = 18 −18 −12 = = = ... . 3 2 −3 926. Amallarni bajaring: 1) (−85) : (−17) + (−42) ⋅ (−3) − (−96) : 24; 2) (−70) : (−2) − (−84) : 4 + 63 : (−9). 927. Tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlarning eng kichigini eng kattasiga boling: 1) −2,5 ≤ x ≤ − 0,5 ; 2) − 6 ≤ x ≤ − ,4 ; 928. Tenglamani yeching: 1) (4 − x) : (−1) = (−11) : 11; 2) 3 1 2 : (− x ) = − 6 : (−1); 7 7 3) −4 2 9 1 9 ≤ x ≤ −2 . 3) (2 − x) : (− 2,5) = (− 0,8) : 2; 4) (4,8 + x) : (−1,2) = (−16) : 8. 929. Hisoblang: 1) ((1 − 3) + (5 − 7) + (9 − 11) + ... + (97 − 99)) : (− 5); 2) ((2 − 4) + (6 − 8) + (10 − 12) + ... + (98 − 100)) : (− 10). 170 930. Jadvalni toldiring: k 6 n −4 −16 k : (−3) + n : (−2) 18 0 −12 −15 9 21 27 −45 48 −3 −8 14 36 30 22 −24 −2 −20 2 931. Hisoblang: 1) (−9,8 + 5,6 − 8,4) : (−1,4); 2) (−3,6 + 2,7 − 7,2) ⋅ 1,8. 932. Yigindisi va kopaytmasi 20 ga teng bolgan 10 ta natural son toping. 933. Soroq belgisi orniga mos sonlarni qoying (103- rasm). 103 : (−2) (−5) − 20 ? + 10 : (−8) ? ? ? 934. Bolishni bajaring: 1) −100 : 25; 2) −56 : (−8); 3) 99 : (−3); 4) −78 : (−6). 935. Hisoblang: 1) −54 : (−3) − 52; 2) (89 − 69) : 2; 3) −48 : (12 − 6). 936. 420 : 28 = 15 ekanidan foydalanib, quyidagilarni hisoblang: 1) −420 : (−15); 3) − 420 : (−28); 5) (−15) ⋅ (−28); 4) −420 : 28; 6) (−15) ⋅ 28. 2) −420 : 15; 937. Jadvalni toldiring: : −144 −3 48 −6 24 18 8 36 4 −720 −2160 −1080 938. Tenglamani yeching: 1) 3 ⋅ (−x) + 51 = 6 − 12; 939. Hisoblang: 1) −2,7 : (−0,3) − 11; 2) (5 648 792 2376 −1188 2) −3x − 21 = 81 − 84. 3) 2,7 : (−3) + 1,1; ) 3 3 −7 : (−2) ; 11 11 4) 171 (− 8 ) 7 " +2 : (− 3) . 13 13 Ratsional sonlar haqida tushuncha. Ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar xossalari 110112 1. Ratsional sonlar haqida tushuncha. k n kasr korinishida yozilishi mumkin bolgan sonlar ratsional sonlar deyiladi, bunda k butun son, n natural son. Ixtiyoriy butun son k ratsionaldir, chunki k ni k = k 1 deb yozish mumkin. Masalan, −5 = −5 ; 1 10 = 10 ; 1 0= 0 . 1 Musbat va manfiy oddiy kasrlar, aralash sonlar va onli kasrlar ham ratsional sonlardir. M i s o l . 1) − 2 ; 2) % sonlar ratsional sonmi? 1) − 2 7 2) −2 2 3 = = 2 1 −2 ; 3) −0,3; 4) 3 1 ; 5) 2,743; 6) −7 3 3 7 −2 ; 7 3) −0,3 = −8 ; 3 4) 3 1 7 = −3 ; 10 22 ; 7 Berilgan sonlarning har biri k n 7"3 27"3 = ; 1000 1000 1 22 − 22 = 6) −7 = − . 3 3 3 5) 2,7"3 = 2 korinishida yozildi, bunda k butun son, n natural son. Demak, bu sonlarning hammasi ratsional sonlardir. k n ratsional son kasr son bolgani uchun u kasr sonlarning barcha xossalariga boysunadi. Ratsional sonlarning yigindisi, ayirmasi, kopaytmasi va bolinmasi (agar boluvchi noldan farqli bolsa) ham ratsional son boladi. M i s o l l a r . 1) − 2 " $ + = ' % % ' $ $ −" − & + #" + = = ; ' % $! $! 2 9 1 19 18 − 19 1 −1 − = = =− ; 11 22 22 22 22 172 3) 2 −3 4) 4 ( ) ⋅ − 9 4 = ( ) 2 −3 ⋅ ( ) −9 4 = 1 2⋅9 3 1 3⋅4 2 = 1⋅3 1 ⋅2 ( ) ( = 3 2 1 2 =1 ; ) ⎛ 1 25 12 2 ⎞ 1 1 25 25 25 25 2 = =− = −⎜ ⋅ = − = − 2. : −2 : − : ⎟ 6 12 6 12 6 12 1 ⎝ 6 1 25 1 ⎠ 2. Ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar xossalari. a, b va c ixtiyoriy ratsional sonlar bolsin. Quyidagi xossalar orinlidir: 1- x o s s a . Ratsional sonlarni qoshish orin almashtirish va guruhlash xossalariga ega, yani a + b = b + a; 2- x o s s a . a + (b + c) = (a + b) + c. Nolni qoshish sonni ozgartirmaydi: a + 0 = a. 3- x o s s a . Qarama-qarshi sonlar yigindisi nolga tengdir: −a) = 0. a + (− 4- x o s s a . Ratsional sonlarni kopaytirish orin almashtirish va guruhlash xossalariga ega, yani a · b = b · a; a · (b · c) = (a · b) · c. 5- x o s s a . 1 ga kopaytirish ratsional sonni ozgartirmaydi: a · 1 = 1 · a = a. 6- x o s s a . tengdir: Ratsional son bilan nolning kopaytmasi 0 ga a · 0 = 0 · a = 0. 7- x o s s a . Ozaro teskari ratsional sonlar kopaytmasi 1 ga tengdir: a⋅ 1 a = 1 , bunda a ≠ 0 . 8- x o s s a . Ratsional sonlarni kopaytirish qoshishga nisbatan taqsimot xossasiga ega, yani ixtiyoriy ratsional son a, b, c uchun (a + b) · c = a · c + b · c tenglik orinlidir. 9- x o s s a . Kopaytma kopaytuvchilardan hech bolmaganda biri nolga teng bolsagina nolga tengdir: agar a · b = 0 bolsa, u holda a = 0 yoki b = 0 (ham a = 0, ham b = 0 bolishi mumkin). 173 940. 1) Qanday sonlar ratsional sonlar deyiladi? Ratsional sonlarning yigindisi, ayirmasi, kopaytmasi ? 2) va bolinmasi qanday son boladi? Misollar keltiring. 3) Ratsional sonlarni qoshish, kopaytirish xossalarini ayting va misollarda tushuntiring. 4) Ikkita ratsional sonning kopaytmasi qachon nolga teng boladi? 5) Kopaytirishning qoshishga nisbatan taqsimot xossasini yozing. k n 941. Sonlarni korinishida yozing, bunda k butun son, n natural son: 5; 1; 0; −1; −2,19; k n 942. Amallarni bajaring va natijani 2 7 4 9 ; −! − ; 3,21; 2 . korinishida yozing (k butun son, n natural son): 1) − 5 8 + ; 7 2) − 1 2 3) − 1 3 − 4) 2 1 ; 6 5) ( ) ! ! ⋅ − ; 9 " 2 3 ( ) 7) − 4 ; 15 8) − 9 " + −! ; ! ! − 6) − 1 5 ! + ( ); ⋅ − 943. Hisoblang: 1) ⋅ ! ! " ! " 5 ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ; ! " ! " 5 " 5 6 2) (2,6 : (−13) + 1,2) : (−0,1); 8 9) ! − − ; ! 6 ( ); : (− ) . 9 − − ! 5 9 ( ) ( ) : (− ) ; 4) ( −" ) ⋅ + ( −6 ) : ! . 7 5 3) 8 : − " : 6 : − ! 7 " ! 6 5 ! ! 944. Kvadratning kataklaridagi hamma sonlar yigindisi −10 ga teng. Bosh katakka qanday sonni qoyish kerak (104- rasm)? 104 −2 − ! 7 1 7 −5 4 7 −1 4 5 3 5 − 5 9 " 7 −2 7 9 −5 −2 −6 −1 9 − −2 8 11 5 945. 1) a = −27,3, b = −12,5; 2) a = −54,8, b = 65,9 qiymatlarda a + b = b + a tenglikning togriligini tekshiring. 174 946. Qulay usul bilan hisoblang: 1) 4,4 + (−2,3) + 2,5 + (−1,7); 3) 0,4 + (−4,1) + (−3,4) + (−5,9); 2) " ! # " 8 + + − − ; ! ! ! ! ! 4) − ! ! ( ) + ! + (−! ) . + − # 6 ! " ! 8 947. Kopaytmani toping. Natijaning togriligini orin almashtirish xossasi yordamida tekshiring: 1) −15 ⋅ (−4); 2) −25 ⋅ (−9); 3) −94 ⋅ 2; 4) −100 ⋅ $. 948. Guruhlash qonunidan foydalanib, qulay usulda hisoblang: % 8 % 2) −! ⋅ ! % ( ); 4) − ⋅ $ ⋅ − 1) −25 ⋅ 2& ⋅ (−4); ! ⋅ ; " 8 % 5) −75 ⋅ (−9) ⋅ 4; $) − 3) 1& ⋅ (−25) ⋅ 5 ⋅ (−4); ( ) % " ⋅ −& ⋅ − . % 949. Umumiy kopaytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring va hisoblang: 1) 7,$ ⋅ $,9 − 7,$ ⋅ (−3,1); 3) $,2 ⋅ &,4 − &,4 ⋅ (−3,&); 2) − ( ) ! # " # ⋅ + − ⋅ ; % 8 % 8 4) − ( ) # ! # ⋅ − ⋅ − . ' " " ' 950. Kopaytirishning qoshishga nisbatan taqsimot xossasi (= + >) ⋅ ? = = ⋅ ? + > ⋅ ? ni sozlar bilan bayon qiling. 1) = = 0,3, > = −0,2, ? = −1,2; 2) = = − " , >=− # , ? = − da ' xossaning togriligini tekshirib koring. 951. Jadval boyicha ongga harakatlanganda sonlar qoshiladi, pastga harakatlanganda esa sonlar ayiriladi. Yuqoridagi chap burchakdan oxirgi satrning ong burchagiga olib boruvchi shunday yolni topingki, natijada jadvalning pastki ong uchida doirachaga yozilgan javob chiqsin (105- rasm). 105 ! % ' # # ! ' $ ' & ' " ' # ' = # ' " ' $ " # $ ' 10 6 & 6 $ # $ % " $ > 175 " $ % % # % ! $ " 6 % # $ ! % # % ! % @ # " % $ % $ % ! & ! % 952. Yigindini hisoblang: 1 + 2 − 3 − " + 5 + 6 − 7 − 8 + ... + 301. 953. Son oqida −" dan 2,3 birlik masofada joylashgan sonlarni toping. A) −6,3; B) −6,3 va −1,7; D) −6,3 va 1,7; E) −1,7. 954. Sonlarni k n korinishda yozing, bunda k butun son, n natural son: 7; −11; 2,81; −2,"3; −1,01; k n 955. Amallarni bajaring va natijani 1) −8 + (−2); 2) − 5 ") ," ⋅ − 5 9 ! ; −" 5) − ( ); & 2 3 − ; ! . korinishida yozing: 3) −1,8 + (−2); ( ); ⋅ −! 21; " 5 5 42 + ; 2 6) −4,8 : . 5 Qulay usul bilan hisoblang (956958): ( ) 956. 1) 7 ! − ! ' − # ! ; & 2) 957. 1) 2) 958. 1) 2) 3) ") & ! 3) (5 ) ' " − 7 − (− ,8) . 5 ) − (− ! ) ; ") $ − (! 3) − ⋅ ⋅ ( − ) ; − ⋅ (& ⋅ ( − )) ; ⋅ (− ) ⋅ ; ⋅ ! ⋅ (−7 ) ; ") ($ 7 − & " 5 ' 5 7 5 " ' 7 ! ! " 7 ' 5 5 6 ) − . " ( ) ! ⋅ − ⋅ $ ; & 7 5) 6) −8 ! ! ! 5 ⋅ ⋅ . −15 ⋅ 37 + 1" ⋅ 37 − 19 ⋅ 37 + 17 ⋅ 37; 26 ⋅ "5 − "5 ⋅ 27 + 31 ⋅ "5 − 30 ⋅ "5; −"8 ⋅ 5" : "8 + 5" ⋅ "8 : (−5"); 72 ⋅ 38 : (−72) − 38 ⋅ 72 : (−38). Amallarni bajaring (959961): ( ) 959. 1) ! − " − : ⋅ 5 + ,' : ,8 ; 960. 1) 2) 961. 1) 2) 5 5 ! ! 2) (",059 − 10,881) : 0,9 − 0,2; (0,3 ⋅ 15,8 − 3,8 ⋅ 2,3) : 0,2 − 2". (−8,6 ⋅ 0,8 − ",3) ⋅ (−20) − ",5; −5,08 ⋅ 12,5 − 5,6 ⋅ (−3,5) + 15,8. 176 (, 5 − " ) : ," − ! " ! : 5 . & 113 Sodda hollarda natural sonlarning darajalari, qiymatlari ratsional son bolgan kvadrat ildizlarni hisoblash. Davriy kasr haqida tushuncha 1. Sonning darajasini hisoblash. Ajabo!!! Natural sonning darajasi tushun2 (−1 (−12) + 332 = 1 233 chasi bilan 5- sinfda tanishgansiz. −4)2 = (− −2)4 (− 2 017 Endi natural sonlarda bolgani kabi (− (−1) = −1 manfiy sonning darajasi tushuncha(− (−1)2 018 = 1 sini ham kiritish mumkin. 25 · 92 = 2 592 3 02017 = 0 1- m i s o l . (−2) = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) kopaytmani hisoblang. Y e c h i s h . −2 = (−1) ⋅ 2; (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = (−1) ⋅ 2 ⋅ (−1) ⋅ 2 ⋅ (−1) 2 = (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ 23 = −8. Demak, (−2)3 = −8 = −23. Umuman, har biri n ga teng bolgan k ta (k natural son) kopaytuvchining kopaytmasi n sonning k- darajasi deyiladi va nk kabi belgilanadi: n k = " n ⋅ n ⋅ ... "⋅!n k ta n 2- m i s o l . (−2)" = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) lang. kopaytmani hisob- Y e c h i s h . (−2)4 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 4 ⋅ 4 = 16 = 2 4. " "! " "! 4 4 Yuqoridagi ikki misoldan quyidagi umumiy xulosaga kelamiz. Manfiy sonning juft darajasi musbat son, toq darajasi manfiy son boladi: (−n)2k = n2k , (−n)2k +1 = −n 2k +1 , bunda n va k natural sonlar. 2. Qiymatlari ratsional son bolgan kvadrat ildizlarni hisoblash. Dastlab quyidagi ikki masalani korib chiqamiz. 1- m a s a l a . Kvadratning perimetri 60 sm ga teng. Shu kvadratning yuzini toping. Y e c h i s h . Kvadratning tomoni 60 : " = 15 (sm) ga teng. Shuning uchun uning yuzi S = 152 = 225 (sm2) ga teng. J a v o b : S = 225 sm2. 12 Matematika, 6 177 2- m a s a l a . Tomoni a ga teng bolgan kvadratning yuzi 100 sm2 ga teng. Shu kvadratning tomonini toping. Y e c h i s h . Shartga kora, S = a2 = 100 sm2. Kvadrat tomonining uzunligi musbat son. Kvadrati 100 ga teng bolgan musbat son esa 10 ga teng. J a v o b : a = 10 sm. Bu masalada musbat sonning kvadrati malum bolganda, shu sonning ozini topishimizga togri keladi, yani S > 0 sonni bilgan holda, biz shunday a > 0 sonni topamizki, unda S = a2 boladi. Topilgan musbat a son quyidagicha belgilanadi: a = S va «a soni S dan chiqarilgan arifmetik kvadrat ildizga teng» deb oqiladi. Arifmetik kvadrat ildizni topish amali kvadrat ildizdan chiqarish deb ataladi va u kvadratga kotarish amaliga teskari amaldir. arifmetik kvadrat ildiz belgisi deyiladi. Demak, S = 100 sm2 bolgan kvadratning tomoni a = S = 00 = 0 (sm). Arifmetik kvadrat ildizni topishni kvadratning yuziga kora tomonini topish, deb geometrik talqin qilish mumkin. Sonni kvadrat ildizdan chiqarish togrisida 8- sinf algebra kursida kengroq toxtalib otiladi. 3- m i s o l . 1) 2) 25 36 3) = 9 = 6 25 36 1,21 = 1,1 , chunki 1,12 = 1,21; = 5 = 6 5 ⎛5⎞ , chunki ⎜ ⎟ 6 ⎝6⎠ 5 6 = = 5 ; 36 2 5 52 25 9 = , chunki ⎛⎜ 5 ⎞⎟ = 2 = = . 4 4 6 6 ⎝4⎠ 4 3. Davriy kasr haqida tushuncha. Istalgan ratsional sonni «burchakli bolish» orqali chekli yoki cheksiz davriy onli kasr korinishida ifodalash mumkin. 4- m i s o l . 1) 9 ; 2) 0 3 kasrlarni onli kasrga aylantiring. Y e c h i s h . 1) Agar qisqarmaydigan oddiy kasrning maxrajini tub kopaytuvchilarga ajratganda faqat 2 va 5 tub sonlar ishtirok etsa, bunday kasrni chekli onli kasr korinishida yozish mumkinligini es178 2 9 2 0 9 8 1 1 2 0 1, 4 5 0 0 0 0 0 0 0 latib otamiz. 29 2 kasrning maxraji 10 ning darajasi korinishida ifodalanadi, chunki Demak, berilgan 9 9 ⋅ 5 45 = = = ,45 . 0 0 ⋅ 5 00 kasrni chekli onli kasr hosil boladi: 2) 2 3 «burchak 29 2 usuli» bilan bolganda = 1,4# . kasrning maxraji 3 ni biror na- tural songa kopaytirib, 10 ning darajasini hosil qilib bolmaydi. «Burchak usuli» bilan bolganda har doim bir xil qoldiq (2) va bolinmada bir xil raqam (6) hosil bolaveradi. Demak, bu oddiy kasrni onli kasrga aylantirishda bolish jarayoni toxtamaydi, yani cheksiz davom etadi. Bolish 2 2 0 1 8 2 0 1 8 2 1 natijasida 0,666... sonini hosil qildik, yani 3 3 0, 6 6 6 ... 0 8 2 = ,666... . Kop nuqtalar bolishning tugamasligini, 6 raqamining cheksiz kop marta davriy ravishda takrorlanishini anglatadi. 0,666... soni cheksiz davriy onli kasr yoki qisqacha davriy kasr deyiladi, uni 0,(6) kabi yozish qabul qilingan. O q i l i s h i: «nol butun davrda olti» yoki «nol butun olti davrda». Verguldan keyingi bir yoki bir necha raqami uzluksiz ketmaket takrorlanadigan cheksiz onli kasr sof davriy onli kasr deyiladi. Takrorlanadigan raqamlar majmuasi (toplami) kasrning davri deb ataladi va qavsga olib yoziladi. Masalan, 0,777... = 0,(7); 2,171717... = 2,(17); 5,8"18"18"1... = 5,(841) sonlari davriy onli kasrlardir. Bu kasrlardan birinchisining davri ", ikkinchisiniki 17, uchinchisiniki esa 8"1. Istalgan cheksiz davriy onli kasrni oddiy kasrga aylantirish mumkin. Sof davriy onli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun uning davridagi sonni oddiy kasrning surati deb, davrida nechta raqam bolsa, shuncha 9 dan iborat sonni oddiy kasrning maxraji deb olish kifoya qiladi. Masalan, 6,( 4) = 6 4 . 999 179 962. 1) Sonning darajasi deb nimaga ayriladi? Misollarda tushuntiring. ? 2) Arifmetik kvadrat ildiz deganda nimani tushunasiz? 3) Qanday onli kasrlar sof davriy onli kasr deyiladi? Davr nima? ") Sof davriy onli kasr oddiy kasrga qanday aylantiriladi? 963. Darajaning ishorasini aniqlang va hisoblang: 1) (−1)10; 2) (−1)7; 3) (−3)8; ") (−2)7; 5) (−1)2 017. 964. Hisoblang: 1) 3 ⋅ (−2)" + 5 ⋅ (−3)3; 2) (−1)5 ⋅ (−2)3 − (−")3 ⋅ 2. 965. Hisoblang: 1) (−1)13 − (−1)15 + (−1)17; 2) (−2)3 − (−3)3 + (−3)2. 3 966. Agar x = −5; −9,3; −0,8; −8; − ; − 2 qiymatini toping. 967. Agar y = −"; −2; 0,1; 2 bolsa, x2 ifodaning 7 −1,1; 0,7; 7 − ; 7 bolsa, y3 ifodaning qiymatini toping. 968. Yuzi quyidagicha bolgan kvadratlarning tomonini toping: 1) 36 sm2; 2) 121 sm2; 3) 196 sm2; ") 0,16 dm2; 5) 1,96 sm2. 969. Davriy onli kasr korinishida ifodalang: 5 ; 9 7 ; 9 & . 9 970. Ushbu davriy onli kasrni qisqa korinishda yozing: 1) 5,222...; 2) 1,373737...; 3) 3,108108108... . 971. Cheksiz onli kasr korinishida yozing: 1,(3); 0,(28); 0,(001). 972. Yigindini hisoblang, natijani davriy kasr korinishida yozing: 1) 3 5 9 ( ); +1 + − & 9 2) 2 ( ) 7 5 + −1 + ; 9 3 9 2 3) 3 3 3 ( )+ + − 7 . 9 2) (−13) − (−1")2. 973. Hisoblang: 1) (−8) + (9) − (−") ; 2) (−1)2 + (−1)5 + (−1)". 974. Hisoblang: 1) (−1)6 − (−1)8 − (−1)"; 975. Yuzi: 1) 3,2" sm2; 2) 0,81 dm2; 3) 1"" mm2; ") "00 m2 ga teng bolgan kvadratning perimetrini toping. 976. Davriy onli kasr korinishida ifodalang: 2 9 ; 9 4 ; . 9 3 977. Davriy onli kasrni qisqa korinishda yozing: 1) 0,333...; 2) 2,565656...; 3) 1,020202... . 978. Cheksiz onli kasr korinishida yozing: 1,(07); 0,(12); 0,(23); 0,(17). 979. Yigindini hisoblang, natijani davriy kasr korinishida yozing: 1) ( ) 4 + −1 ; 9 3 2) " ( ) 5 + −3 ; 9 3 180 3 ( ). 3) 5 + − & 9 Ingliz tilini organamiz! ratsional sonlar rational numbers sonning darajasi power of a number TEST 8 kvadrat ildiz square root davriy kasr repeating decimal Ozingizni sinab koring! 1. Kopaytirishni bajaring: (−25) ⋅ 3 ⋅ ". A) 75; B) 100; D) −100; E) −300. 2. Kopaytirishni bajaring: 125 ⋅ (−5) ⋅ 8. A) −5000; B) 5000; D) −625; E) 1000. 3. Amallarni bajaring: (−8) ⋅ 5 + (−3) ⋅ 6 − (−28). A) 30; B) −30; D) −58"; E) 86. 4. Amallarni bajaring: (−15) ⋅ " + (−"8) : (−3) − 150 : (−6). A) −""; B) ""; D) 69; E) −19. 5. Bolishni bajaring: (−128) : (−") : (−8) : 2. A) −"; B) −128; D) 2; E) −2. 6. Hisoblang: (−3)3 : (−3)2 + (−2)3 : (−1)" − (−1)8 : (−1)7. A) 10; B) −10; D) −11; E) 12. 7. Hisoblang: −72 ⋅ 18 + 36 ⋅ 16 + 36 ⋅ (−"). A) −720; B) 86"; D) −86"; E) −1"". 8. Hisoblang: (5" ⋅ (−25) + "" ⋅ 25) : 50. A) 150; B) −3; D) 5; E) −5. 9. Amallarni bajaring: (−69 + "") : (−5). A) −3; B) −5; D) 5; E) 3. 10. Amallarni bajaring: (−12) ⋅ 5 + (−5") : 3 − (−8" : (−1"). A) −8"; B) −78; D) 90; E) −2". 11. Hisoblang: (28 ⋅ (−12) − 28 ⋅ (−2) : 1". A) −"0; B) 280; D) −280; E) −20. 12. Hisoblang: 72,09 : (−9) + (−3,2) ⋅ 5. A) −2"0; B) −2,"01; D) 0,6; E) −0,6. 181 VIII bob. Tenglamalarni yechish 116117 Qavslarni ochish qoidasi. Koeffitsiyent 1. Qavslarni ochish qoidasi. Kopaytirishning qoshishga nisbatan taqsimot qonunining musbat sonlar uchun tatbigi bilan tanishsiz. Bu qonun qoshiluvchilar soniga bogliq emas va ular orasida manfiy son bolgan hollarda ham orinlidir. Kopincha hisoblashlarni bajarish jarayonida qavslarni ochishga yoki umumiy kopaytuvchini qavsdan tashqariga chiqarishga togri keladi. Bunda quyidagi qoidalarga rioya qilish talab etiladi. 1- q o i d a . Agar qavs oldida « + » ishorasi turgan bolsa, u holda qavslarni ochishda qavs ichidagi qoshiluvchilarning ishoralarini ozgartirmay, qavs va « + » ishorasini tashlab yuborish mumkin: a + (b − c) = a + b − c. 1- m i s o l . +(−10 + 8 − 12) = −10 + 8 − 12 = −14. 2- q o i d a . Agar qavs ichidagi birinchi qoshiluvchi ishorasiz yozilgan bolsa, oldida « + » ishorasi bor deb faraz qilinadi: a + (b + c) = a + b + c. 2- m i s o l . −2,8 + (2,8 − 7,63) = −2,8 + 2,8 − 7,63 = −7,63. 3- q o i d a . Agar qavs oldida « − » ishorasi turgan bolsa, u holda qavs ichidagi qoshiluvchilar ishorasini qarama-qarshisiga almashtirib, qavsni ochish kerak: −b + c) = a + b − c. a − (− a − (b − c) = a − b + c ; 3- m i s o l . −(−7 + 8 − 14) = 7 − 8 + 14 = 13. 4- q o i d a . Agar yigindini qavslarga olib, qavs oldiga « + » ishorasi qoyilsa, u holda qavsga olingan qoshiluvchilarning ishoralari ozgarishsiz qoldiriladi. 4- m i s o l . −13 + 8 − 2 = +(−13 + 8 − 2) = +(−7) = −7. 5- q o i d a . Agar yigindini qavslarga olib, qavs oldiga « − » ishorasi qoyilsa, u holda qavsga olingan qoshiluvchilarning ishoralari qarama-qarshisiga ozgartiriladi. 5- m i s o l . 11 − 18 + 16 − 23 = −(−11 + 18 − 16 + 23) = −(−14) = 14. 182 2. Koeffitsiyent tushunchasi. Agar ifoda son va bir necha harflarning kopaytmasidan iborat bolsa, harf oldida turgan kopaytuvchi koeffitsiyent deyiladi. ( ) ⋅ b ⋅ 7 ifodani soddalashtiring. 6- m i s o l . 5 ⋅ a ⋅ − " # Y e c h i s h . Ifodani soddalashtirish deganda korsatilgan amallarni bajarib, uni berilganiga qaraganda iloji boricha ixchamroq, qisqaroq yoki soddaroq korinishda yozib olish tushuniladi. Ifodani ixchamroq yozib olishda kopaytirishning bizga malum bolgan xossalari yordam beradi, yani barcha sonli kopaytuvchilarni harflar oldiga yozishimiz mumkin. Natijada quyidagilarga ega bolamiz: ( ) ⋅ > ⋅ % = (# ⋅ (− ) ⋅ %) ⋅ = ⋅ > = − #⋅=⋅ − " # " # & ! ⋅=⋅>. Natija berilgan ifodaga nisbatan sodda korinishga ega boldi. Demak, − & ⋅= ⋅> ! ifodada − & ! soni koeffitsiyentdir. Odatda, koeffitsiyent harfiy kopaytuvchining oldiga yoziladi. Harfiy kopaytuvchi oldidagi +1 va −1 koeffitsiyentlar, shuningdek, kopaytmada koeffitsiyent bilan harf hamda harflar orasiga kopaytirish amali belgisi (yani « ⋅ » belgi) yozilmaydi: a2b, −ab3. Shunday qilib, berilgan ifodani soddalashtirish uchun son va harfiy kopaytuvchilar alohida guruhlanib, ularning kopaytmasi topiladi. Topilgan son kopaytuvchi harflar oldiga yoziladi. 980. 1) «Qavslarni ochish» deganda nimani tushunasiz? Qavs oldida « + » yoki « − » ishorasi bolsa, qavslar qanday ochiladi? ? 2) Yigindini qavslarga olib, qavs oldiga « + » yoki « − » ishorasi qoyilsa, qavslar ichidagi qoshiluvchilarning ishorasi ozgaradimi? 3) Koeffitsiyent deb nimaga aytiladi? Misollarda tushuntiring. 4) Harflar orasiga kopaytirish belgisi (« · ») qoyiladimi? 5) Ifodani soddalashtirish deganda nimani tushunasiz? 981. Avval qavslarni oching, songra hisoblang: 1) −(83 + 51) + 51; 2) +(−23 − 510) + 23; 3) −(−31 + 40) + 40. Odatda, qavs oldidagi « + » ishorasi yozilmaydi, ammo qavslarni ochishda u hisobga olinadi. 183 982. Qavslarni oching: 1) −2(a − 3b + 6); 3) (3a − 2b − 5) ⋅ 4; 5) 5(3 − 2c + d ); 6) −0,5(4 + 2a − b ). 2) (a − 5b) ⋅ (−4); 4) −(−7x − y + 1); 983. Avval qavslarni oching, songra hisoblang: 1) +(65 + 35 − 101); 3) −(8 ⋅ 9 + 3 ⋅ 7 − 68); 2) −(65 + 53 − 38); 4) −(8 ⋅ 12 − 4 ⋅ 9 − 56). 984. Qavs oldiga: a) « + » ishorasini; b) « − » ishorasini qoyib, birinchi ikkita qoshiluvchini qavsga olib hisoblang: 1) 65 + 94 − 45 − 23; 3) 617 + 313 − 514 − 722; 2) −97 + 83 − 42 + 120; 4) −397 + 248 − 324 + 201. N a m u n a : −17 + 23 − 33 + 50 = −(17 − 23) − 33 + 50 = 23. 985. Qavslarni oching va hisoblang: 1) (219 + 511) − (−89 + 219); 3) (218 − 425) − (18 − 435); 2) (625 + 139) − (325 + 139); 4) −(29 + 109) − (378 − 78). 986. « ? » belgilari orniga mos sonlarni yozing (106- rasm): 106 1) 10 2) ? ·? : (−3) −50 7 ? +? 20 · (−5) ? −20 −(−10) ? :? +(−20) 5 ? 987. Qavslarni ochib, ifodaning qiymatini hisoblang: 1) (20 − (−6)) − (15 − (−12)); 3) −(−65) − (−55 − 39) − (−34); 2) −29 − (18 − 74) − (74 − 19); 4) −48 − (−22) − (−34 − (−3)). 988. Qavslarni oching va ifodaning qiymatini toping: 1) (4,71 − 8,9) + (8,9 − 4,71); 3) (5,9 + 3,1) − (5,9 − 3,1); 2) ($ ) ( ) ! % − 4,2 − 2 − 1,2 ; & & 989. Qulay usul bilan hisoblang: 1) 18 ⋅ 52 − 18 ⋅ 37 − 18 ⋅ 13; 2) 42 ⋅ 31 − 38 ⋅ 42 + 21 ⋅ 16; 990. Tenglamani yeching: 1) 8,5 − (6,5 − x) = 3,8; 2) −2,3x + (2,8 + 9,3x) = 9,8; 991. Qulay usul bilan hisoblang: 1) 25 ⋅ 69 − 25 ⋅ 37 − 25 ⋅ 12; 2) 24 ⋅ 13 − 83 ⋅ 24 + 12 ⋅ 40; 184 4) −8 ( ) 11 11 − − . 13 3 13 3) 21 ⋅ 74 + 21 ⋅ 11 − 85 ⋅ 10; 4) −128 ⋅ 39 + 78 ⋅ 32 + 64 ⋅ 59. 3) −(9,8 − x) − 10,5 = −20,8; 4) −6,7x + (−3,5 − 3,3x) = 6,5. 3) 12 ⋅ 47 + 12 ⋅ 13 − 30 ⋅ 14; 4) 64 ⋅ 42 − 64 ⋅ 12 − 15 ⋅ 28. 992. Doirachalar ichiga mos sonlarni yozing (107- rasm): Qilingan hisoblashlarga mos keladigan sonli ifoda tuzing. 17 25 73 −19 87 27 7 28 + ? ? ? ? · (−5) · (−7) ·3 ? ? ? ? + ? ? 107 : (−3) 993. (Ogzaki.) Quyidagi ifodalarning koeffitsiyentini ayting: ! 1) −2,1a; 3) −9c; 5) −4 N ; 2) 5,5b; 4) −1,8d; 6) 5 q. & 994. Ifodani soddalashtiring va uning koeffitsiyentini toping: 1) 1,3x − 4,2x + 5,3x; 3) −9 ⋅ (−b) + 4 ⋅ (−c); 2) −8 ⋅ (−x) − 3 ⋅ (−y); 4) −x ⋅ (−3,2) + y ⋅ (−7). 995. Ifodaning son qiymatini toping: a) −0,4a, bunda: 1) a = −0,08; 2) −1,5; 3) −4; 4) 0,05; b) 1,2b, bunda: 1) b = 996. Poyezdning tezligi 60 7 ; 2) 6 km/soat. masofasini toping. U t = ! ; ! − ; 3) − ; 4) −0,04. Uning t soatda otgan 1 $ 1,4; 3; 3,5; $ ; 7,2 soatda qancha yol bosadi? 997. Ifodani soddalashtiring va koeffitsiyentining tagiga chizing: 1) 0,8a ⋅ 1,5; 3) −4,5 ⋅ (−1,2x); 5) − 2y ⋅ (− 3,54); 2) 3 ( )( ) 3 " = ⋅ −1 > ⋅ −1 ; % 4) −a ⋅ (−b) ⋅ (−c); 6) 4 5 N⋅ 3 28 998. Sonlarning joylashishidagi qonuniyatni aniqlab, qoldirilgan sonni (?) toping (108- rasm). 108 13 17 38 30 25 63 185 O. tushirib 1,7 0,9 ? Avval qavslarni ochib, songra hisoblang (9991002): 999. 1) +(84 − 208 + 25); 4) −(59 − 69) − 29; 2) +(86 − 98) + 42; 5) −(284 − 49 − 244); 3) −(45 − 69 − 21); 6) +(−38 − 410) + 38. 1000. 1) (119 + 141) − (−59 + 119); 3) (228 − 215) − (28 − 315); 2) (325 + 219) − (125 + 119); 4) −(82 + 98) − (186 − 86). 1001. 1) −95 − (33 − 75); 3) 350 + (47 − 340); 2) − 9,7 + (−1,8 + 9,7); 4) 9,75 − (8,05 − 1,3). 1002. 1) 4,95 + (3,275 − 4,95); 1003. Ifodani soddalashtiring sating: 1) −0,1a ⋅ (−10b); 3) 4) 2) 1,2a ⋅ (−b) ⋅ 0,5c; 1004. Ifodaning son qiymatini 2) (! ) 1 " + . 7 9 va koeffitsiyentini ajratib kor−0,7c ⋅ 0,4d; 5cd ⋅ (−0,2); toping: 1) −2,8a, bunda a = −1,5; 2,65; −5,5; − 2) 5,1b, bunda b = −10; −0,01; 118119 ) ( # + − 7 9 5) −1,6xy ⋅ (−0,5); 6) 0,18a ⋅ (−10b). ; " & ; − . 3 % Bir nomalumli butun koeffitsiyentli chiziqli tenglamalarni yechish 1. Oxshash hadlar va ularni ixchamlash. M i s o l . 8a − 6a − 4a ifodani soddalashtiring. Y e c h i s h . Bu ifodani yigindi shaklida yozib olish mumkin: 8a − 6a − 4a = 8a + (− 6a) + (− 4a), demak, uning hadlarini qoshiluvchilar desak bolaveradi. Bu misoldagi 8a, − 6a, − 4a qoshiluvchilar bir xil harfiy kopaytuvchiga ega, ular bir-biridan faqat koeffitsiyenti bilangina farq qiladi. Bunday qoshiluvchilar oxshash hadlar deyiladi. Taqsimot qonuniga muvofiq, umumiy kopaytuvchi a ni qavsdan tashqariga chiqarish mumkin: 8a − 6a − 4a = (8 − 6 − 4)a = −2a. J a v o b : −2a. Shunday qilib, berilgan 8a − 6a − 4a ifoda unga teng bolgan sodda korinishdagi ifoda bilan almashtirildi. 186 Ifodani unga teng bolgan sodda korinishdagi ifoda bilan almashtirish uchun: 1- q a d a m: oxshash hadlarning koeffitsiyentlari qoshiladi; 2- q a d a m: natija umumiy harfiy kopaytuvchiga kopaytiriladi. Ifodani bunday soddalashtirish oxshash hadlarni ixchamlash deyiladi. Kopaytirishning (a + b) ⋅ c = ac + bc taqsimot xossasi ixtiyoriy a, b va c sonlar uchun orinli ekanini bilasiz. (a + b) ⋅ c ifodani ac + bc yoki c ⋅ (a + b) ifodani ca + cb ifoda bilan almashtirish ham qavslarni ochish deyiladi. ac + bc ifodani (a + b) ⋅ c yoki c ⋅ (a + b) ifoda bilan almashtirish umumiy kopaytuvchi c ni qavsdan tashqariga chiqarish deyiladi. 2. Bir nomalumli butun koeffitsiyentli chiziqli tenglamalarni yechish. Tenglama, tenglamani yechish, tenglamaning ildizi tushunchalari bilan Siz, aziz oquvchi, 5- sinfdan tanishsiz. Tenglamani yechishga doir misollani korib chiqamiz. Biz 6- sinfda faqat chiziqli tenglamalarni, yani nomalumning faqat birinchi darajasi qatnashgan tenglamalar yechishni organamiz. Bunday tenglamalar malum shakl almashtirishlardan keyin ax = b (bunda a va b istalgan sonlar, x esa nomalum son) korinishga keladi. Tenglama tuzishga doir bir masalani korib chiqamiz. M a s a l a . Uchburchakning bir tomoni ikkinchi tomonidan 3 sm qisqa, uchinchi tomonidan esa 2 sm uzun. Uchburchakning perimetri 52 sm bolsa, uning tomonlari uzunligini toping. Y e c h i s h . Uchburchakning bir tomonini x sm deylik. U holda uning ikkinchi tomoni (x + 3) sm, uchinchi tomoni esa (x − 2) sm boladi. Masala shartiga muvofiq: x + (x + 3) + (x − 2) = 52. Bu ifodani ixchamlab, 3x + 1 = 52 tenglamaga kelamiz, bunda x nomalum son, yani uchburchakning birinchi tomoni uzunligi. Tenglamadagi 3x, 1, 52 ifodalar tenglamaning hadlari deyiladi. Nomalum x qatnashmagan hadlar 1 va 52 tenglamaning ozod hadlari deyiladi. Bu tenglama shunday yechiladi: 1) 3x + 1 = 52 tenglikning har ikkala qismiga (−1) sonini qoshamiz: 3x + 1 + (−1) = 52 + (−1), bundan 3x = 52 − 1, chunki 1 + (−1) = 0. 3x = 52 − 1 tenglik 3x + 1 = 52 tenglamaning chap qismidagi +1 187 qoshiluvchi qarama-qarshi ishora bilan (−1 bolib) tenglamaning ong qismiga otganini bildiradi. Natijada 3x = 51 tenglama hosil boladi. 2) 3x = 51 tenglamaning har ikkala qismini 3 ga bolamiz: 3x : 3 = 51 : 3, bundan x = 17 (sm). Unda uchburchakning tomonlari 17 sm, 20 sm, 15 sm boladi. T e k s h i r i s h : 17 + 3 = 20, 17 − 2 = 15, 17 + 20 + 15 = 52. J a v o b : 17 sm, 20 sm, 15 sm. Masala shartiga mos keluvchi tenglamani yechish jarayonidan shunday xulosaga kelamiz: 1- x o s s a . Tenglamadagi istalgan hadni uning ishorasini qarama-qarshisiga ozgartirib, tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga otkazish mumkin. 2- x o s s a . Tenglamaning barcha hadlarini nolga teng bolmagan ayni bir songa kopaytirish yoki bolish mumkin. Bu xossalar tenglamaning asosiy xossalaridir. Ularni qollash tenglama ildizini ozgartirmaydi. 1- m i s o l . 5(− 2x + 3) = 10 − 4x tenglamani yeching. Y e c h i s h . Bu tenglamani yechish bosqichlari quyidagicha: 1) qavslarni ochamiz: −10x + 15 = 10 − 4x; 2) nomalum x son qatnashgan hadlarni tenglikning chap qismiga, ozod hadlarni tenglikning ong qismiga 1- xossaga muvofiq otkazamiz: −10x + 4x = 10 − 15; 3) oxshash hadlarni ixchamlaymiz: −6x = −5; 4) 2- xossaga kora, bu tenglamaning har ikki qismidagi hadni (−6) ga bolamiz: −6x : (−6) = −5 : (−6), bundan x = # . Tekshirish: $ # # − # + "# + ! ⎞⎟ = − + ! # = = 1) # ⋅ ⎛⎜ − ⋅ (chap qismi); $! ! ! ! ⎝ ⎠ 2) − " ⋅ # ! − = ! − = = $! ! ! ! Demak, tenglama togri yechilgan. (ong qismi). Javob: # . $ 2- m i s o l . Tenglamani yeching: 3x + 2 = 4(x + 1) − x. Y e c h i s h . Qavslarni ochamiz va oxshash hadlarni ixchamlaymiz. Nomalum x qatnashgan ozgaruvchi hadlarni tenglamaning chap qismiga, ozod hadlarni esa ong qismiga otkazamiz va topamiz: 3x + 2 = 4x + 4 − x; 3x + 2 = 3x + 4; 3x − 3x = 4 − 2; 0 ⋅ x = 2. 188 Nolni ixtiyoriy songa kopaytirganda nol hosil boladi. Shuning uchun tenglik x ning hech bir qiymatida bajarilmaydi. Bunday holda berilgan tenglama yechimga ega emas, yani ildizi yoq deyiladi. J a v o b : tenglamaning ildizi yoq (yechimga ega emas). 3- m i s o l . Tenglamani yeching: 3x + 2 = 5(x + 1) − 2x − 3. Y e c h i s h . Qavslarni ochamiz; nomalum qatnashgan hadlarni tenglikning chap qismiga, ozod hadlarni tenglikning ong qismiga 1- xossaga muvofiq otkazamiz va oxshash hadlarni ixchamlaymiz. Natijada quyidagini hosil qilamiz: 3x + 2 = 5x + 5 − 2x − 3; 3x + 2 = 3x + 2, 3x − 3x = 2 − 2, 0 ⋅ x = 0. Nolni ixtiyoriy songa kopaytirganda nol hosil boladi. Demak, tenglik x ning istalgan qiymatlarida bajariladi. Bu x ning ixtiyoriy qiymati berilgan tenglamaning ildizi ekanini, yani tenglama cheksiz kop yechimga ega ekanini bildiradi. Ja v o b : tenglama cheksiz kop yechimga ega. 0 ⋅ x = 2 va 0 ⋅ x = 0 tenglamalarda x ning oldidagi koeffitsiyent 0 bolishi mumkin emasligini eslatib otamiz. Murakkab (chiziqli bolmagan) tenglamani korib chiqamiz. 4- m i s o l . Tenglamani yeching: (2x + 1)(5x − 3)(x + 3) = 0. Y e c h i s h . Uchta kopaytuvchining kopaytmasi nolga teng, u holda kopaytuvchilardan kamida biri nolga teng boladi. Tenglama uchta chiziqli tenglamaga ajraladi: 1) 2x + 1 = 0, bundan 2x = −1, yani x = −1 : 2, x = −0,5; 2) 5x − 3 = 0, bundan 5x = 3, yani x = 3 : 5; x = 0,6; 3) x + 3 = 0, bundan x = −3. Shunday qilib, berilgan tenglama uchta yechimga ega. J a v o b : −0,5; 0,6; −3. Tenglama matematikaning muhim tushunchalaridan biri bolib, undan amaliy va ilmiy masalalarni yechishda foydalaniladi. Tenglamani yechish deganda, tenglamaning hamma ildizlarini topish yoki birorta ham ildizi yoqligini korsatish tushuniladi. 1005. 1) Oxshash hadlar deb nimaga aytiladi? Oxshash hadlarni ixchamlash nimani anglatadi? ? 2) 3) Tenglamani yechish deganda nimani tushunasiz? 4) 2(x − 3) = 6 − x tenglamani tushuntirib yeching. Yechish bosqichlarini ayting. 189 1006. Qavslarni oching va oxshash hadlarni ixchamlang: 1) −(−7a + 5) − 4,5a + 2,8; 3) (3b − 2) ⋅ (−5) + 4; 2) (2,4x − 1) ⋅ (−0,5) − 0,5x; 4) −8(c − 3) + 9c. 1007. Oxshash hadlarni ixchamlang: 1) −8a − 5a + 7a + 2a; 3) 21b − 10b + 9b − 12b; 2) 1,3n − 4,3n − 5,7n − 2,9n; 1008. Ifodani toping: soddalashtiring, % songra uning 1) 7x − 4y + 5x − 6y + 9y, bunda x = 2) 2 # $ # ⋅! + $ ⋅! ; % ' % ' Tenglamani yeching # % # % xossasini son qiymatini , y = −1,8; 2 3 3 2) −8,7y + 15 − 2,3y − 7,5, bunda x = 2 1009. Kopaytirishning taqsimot qiymatini toping: 1) 17 ⋅ 679 + 17 ⋅ 321; " % 4) 2 y + y − " y − 3 y . ; 1 . qollab, ifodaning 3) 9,76 ⋅ 3,41 + 6,59 ⋅ 9,76; 4) 4 % & % & ⋅3 −4 ⋅2 . 3 3 (10101013): 1010. 1) 5(x − 1) + 7 = 3(x + 1) + 1; 2) 2(x + 1) + 3 = 3(x − 1) + 6; 3) 3(3x + 5) − 4(3x − 5) = 0; 4) 7(5 − x) + 2 = 5(6 − x) + 1. 3) −5(7 − x) − 4(x − 8) = 3; 1011. 1) 4(x − 3) − 3(x + 2) = −19; 2) 2x + 1 + 3(x − 2) = 14; 4) 2(x − 4) − 5(x − 6) = 1. 3) 5(x + 4) = 9x + 12; 1012. 1) −9 ⋅ (2x − 7) + 17 ⋅ (x − 1) = 0; 2) − 7 ⋅ (2x − 3) + 5 ⋅ (3x − 2) = 0; 4) 8 − 5(4 − 3x) = 18. 3) 3x − 7 = 2x + 3; 1013. 1) −8 ⋅ (3x − 2) + 5 ⋅ (5x − 3) = 0; 2) 5x + 6 − (3x − 4) = x − 3 − (2x − 4); 4) 21 − 9x = 24 − 12x. 1014. Ikkita ketma-ket kelgan natural sonlar yigindisi 821 ga teng. Shu sonlarni toping. 1015. Berilgan 1; 2; −1; 3; 0,5 sonlaridan qaysi biri ushbu tenglamaning ildizi boladi: 4(2x + 3) = 7(x + 2)? 1016. Togri tortburchakning qoshni tomonlari yigindisi 52 sm ga teng. Boyi enidan 1,6 marta ortiq. Shu togri tortburchakning boyi va enini toping. 1017. Uchta shkafda jami 253 ta kitob bor. Birinchi shkafda ikkinchisiga qaraganda 11 ta ortiq, uchinchisiga qaraganda 6 ta kam kitob bor. Har bir shkafda nechtadan kitob borligini toping. 190 1018. Doirachalarga 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlarini shunday yozingki, natijada togri tenglik hosil bolsin: = = 5 568. 1019. Ikkita ketma-ket kelgan toq sonlar yigindisi 452 ga teng. Shu sonlarni toping. 1020. Uchburchakning perimetri 80 sm. Uning bir tomoni ikkinchisidan 4 sm uzun, uchinchisidan 3 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlari uzunliklarini toping. 1021. Togri tortburchakning perimetri 56 sm ga teng. Boyi enidan 1,8 marta uzun. Shu togri tortburchakning tomonlari uzunliklari va yuzini toping. Oxshash hadlarni ixchamlang (10221023): 1022. 1) 5a + 3a − 7a − 2a; 2) −4b + 5b − 6b + 3b; 1023. 1) 19a − 12b − 7a + 24b; 2) 3 x+ 3) 2,8x + 3,5x − 1,8x − 2,5x; 4) 19a − 12b − 7a + 24b. 3) 7,5x − 9,4y − 3,5x + 4,4y; 3 3 x − x − x ; % % 4) 1024. Avval ifodani soddalashtiring, matini toping: $ # x − y − x − y. % 3 % 3 songra uning son qiy- ' 5a − 7b + 3a − 2b, bunda a = −1,75; b = . Tenglamani yeching (10251027): 1025. 1) 3(4 − x) + 1 = 2(3 − x) + 6; 3) 2x − 2) (5 − 3x) − (7 − 2x) = −3 − 2x; 4) 11 − 1026. 1) x + 2 = −x + 14; 3) 45 − 2x = 3x + 5; 5) 2) 2x − 3 = x + 1; 4) 9x − 32 = 2 + 5x; 6) 1027. 1) 4x + 3 = x − 9; 3) 7x + 3 = 3x + 27; 5) 2) 2x − 19 = 8 − x; 4) 3x − 7 = 2x + 3; 6) 19 = 8 − x; 6x = 31 − 10x. 4x − 7 = 2x − 3; 8x − 3 = x + 11. 42 − x = 2x + 9; 20 + 3x = 4 − x. 1028. Quyidagi −3; −2; 0; 1; 2 sonlaridan qaysi biri quyidagi tenglamalarning ildizi boladi? Ularni ajratib yozing. 1) 6x + 7 = 3x + 10; 3) 2x + 7 = 6x − 1; 5) 8x − 5 = 3x − 5; 2) 5x + 7 = x − 1; 4) 2x − 7 = 4x + 3; 6) 5x + 3 = 6x + 1. 1029. Biror natural son oylandi. Agar unga 5 qoshilsa va yigindi 3 ga bolinsa, 0 chiqadi. Qanday son oylangan? 1030. Ikki sonning ayirmasi 7 ga teng. Ularning biri ikkinchisidan 7 marta katta. Shu sonlarni toping. 191 Sodda hollarda bir nomalumli kasr 120121 koeffitsiyentli chiziqli tenglamalarni yechish Bir nomalumli kasr koeffitsiyentli tenglamalarni yechish xuddi butun koeffitsiyentli tenglamalarni yechishga oxshab ketadi. Tenglamalar yordamida kopgina masalalarni yechish mumkin. Buning uchun: 1) topilishi kerak bolgan nomalumni biror harf bilan belgilash; 2) masala shartidan foydalanib, uning mazmunini aks ettiradigan tenglama tuzish; 3) tuzilgan tenglamani yechish; 4) masalada qoyilgan savolga javob berish; 5) javobning masala mazmuniga mosligini tekshirish. Demak, masalani yechish unga mos tenglamani tuzish va uni yechishga keltiriladi. Biz bunday holda masala shartlari «matematik til»ga otkazildi, masalaning matematik modeli tuzildi, deymiz. Masalaning matematik modeli masalada bayon etilgan muammoli holatni (vaziyatni) matematika tiliga kochirish, bu holatni formulalar, tenglama va tengsizliklar orqali ifodalashdir. 1- m a s a l a . Togri tortburchakning perimetri 58 sm. Boyi enidan 5 sm uzun. Uning tomonlari uzunligini toping. Y e c h i s h . Togri tortburchakning enini x bilan belgilaymiz. U holda uning boyi x + 5 boladi. Togri tortburchakning qoshni tomonlari yigindisi 58 : 2 = 29 (sm) ga teng. Demak, masala shartiga muvofiq, x + (x + 5) = 29. Ayni shu tenglama masala mazmuniga mos tenglamadir. Uni yechish oson: 2x + 5 = 29; 2x = 29 − 5; 2x = 24; x = 12 (sm). U holda x + 5 = 12 + 5 = 17 (sm). J a v o b : togri tortburchakning tomonlari 17 sm va 12 sm. Masala yechishning yana bir usuli borki, uni «masalada aytilgan amallar tartibini va amallarning ozini ham teskarisiga, qarama-qarshisiga ozgartirish» usuli deyish mumkin. 2- m a s a l a . Men bir son oyladim. Agar uni 2 ga kopaytirib, hosil bolgan kopaytmani 8 ga bolib, bolinmaga 20 ni qoshib, yigindidan 15 ni ayirsam, 10 hosil boladi. Men oylagan sonni toping. Y e c h i s h . 1- u s u l . Sonlar bilan bajariladigan amallarni chizmada tasvirlaymiz. Amallarni teskari tartibda qarama-qarshisiga almashtiramiz (109- rasm). 192 109 2 :8 + 20 15 10 :2 8 20 + 15 1) 10 + 15 = 25; 2) 25 20 = 5; 3) 5 · 8 = 40; 4) 40 : 2 = 20. J a v o b : 20. 2- u s u l . Masala shartini matematik tilda yozish. Ozbek tilida Matematika Oylangan son U 2 ga kopaytirildi Kopaytma natijasi 8 ga bolindi Hosil bolgan bolinmaga 20 qoshildi Hosil bolgan yigindidan 15 ayirildi va ayirmada 10 hosil boldi tilida x 2x 2x : 8 2x : 8 + 20 2x : 8 + 20 − 15 = 10 Hosil bolgan tenglamani yechish ozingizga havola qilinadi. J a v o b : men oylagan son 20 ga teng. 3- m a s a l a . Agar biror uch xonali sonning dastlab chap tomoniga, songra ong tomoniga 7 raqami yozilsa, hosil bolgan tort xonali sonlardan birinchisi ikkinchisidan 3 555 ga ortiq boladi. Shu sonni toping. Y e c h i s h . Uch xonali son x bolsin. Agar uch xonali sonning chap tomoniga 7 raqami yozilsa, u tort xonali son boladi va uni 7 000 + x korinishida; uning ong tomoniga 7 raqami yozilsa ham tort xonali son hosil boladi, uni 10x + 7 korinishda ifodalash mumkin. Natijada quyidagi tenglamaga ega bolamiz: 7 000 + x = 10x + 7 + 3 555. Bu tenglamani yechib, topamiz: 7 000 + x = 10x + 3 562, bundan 7 000 − 3 562 = 10x − x, 3 438 = 9x, x = 3 438 : 9, x = 382. T e k s h i r i s h : 7 382 va 3 827 mos ravishda berilgan uch xonali sonning chap va ong tomonlariga 7 raqamini yozishdan hosil bolgan sonlar. 7 382 − 3 827 = 3 555 masala shartini qanoatlantirdi. J a v o b : 382 oylangan uch xonali son. 13 Matematika, 6 193 Tenglamani yeching (10311033): 1031. 1) 0,25x + 0,4x = 7 − 0,35x; 3) 0,3x − 0,8x + 5 = x − 4; 2) 4(2,5 − x) − 4,5 = 12,5; 4) 2,5x + 9,5 = 3 − x. 1032. 1) 2,5(4 − 2x) − 5(1 − 3x) = 5; 3) −(x − 5) − 1,2(5 − 4x) = 2,8; ( ) 2) 3 (3 x − ) − ' ' x − " = " ; 4) − ( x − 3 ) − ( x + ,5 ) = 5 . 3 3 1033. 1) 0,9 ⋅ (−4x) ⋅ (−0,5) = −6,3; 3) −2,4 : 2,3 = x : 6,9; 2) −0,24 ⋅ (−0,5y) ⋅ (−10) = −1,2; 4) y : (−3,5) = 4 : 1,4. 1034. Tenglamani yeching: 1) #N − % = 3; N +" Namuna: 2) N + = ; N+ N +% = "− N ' N +3 3 = ; #− N # 3) 4) % −3 N + " = . "N − −# tenglamani yeching. Y e c h i s h . Bu tenglamani proporsiya, yani ikki nisbatning tengligi deb qarash mumkin: (x + 7) : (4 − x) = 2 : 9. Proporsiyaning asosiy xossasiga muvofiq: 9(x + 7) = 2(4 − x), bundan, qavslarni ochib 9x + 63 = 8 − 2x tenglamaga kelamiz. Uni yechamiz: 9x + 2x = 8 − 63; 11x = −55; x = −55 : 11; x = −5. Tekshirish: demak, 2 2 = . ' ' −# + % = = " − −# "+# ' (tenglamaning chap qismi), J a v o b : x = −5. Masalalarni turli usullarda (izohlab, tenglama tuzib, savollar berib) yeching (10351036): 1035. Muyassar bir son oyladi. Uni 5 ga kopaytirib, 4 ga boldi. Natijadan 10 ni ayirdi. Hosil bolgan sonning 30 % ini 3 ga bolgan edi, 8 chiqdi. Muyassar oylagan sonni toping. 1036. Uchta shkafda jami 328 ta kitob bor. Birinchi shkafda ikkinchisiga qaraganda 17 ta kam, ammo uchinchisiga qaraganda 10 ta kop kitob bor. Har bir shkafda nechtadan kitob bor? Masalani ham tenglama tuzib, ham teskari usuldan foydalanib yeching (10371039): 1037. Agar nomalum natural sonni 3 ga kopaytmasidan 5 ayirilsa va ayirma 8 ga bolinsa, songra chiqqan bolinmaga 23 qoshilsa hamda yigindi 2 ga kopaytirilsa, 56 hosil boladi. Nomalum sonni toping. 194 1038. Men bir son oyladim. Agar undan 42 ni ayirib, ayirmani 12 ga kopaytirsam, 1 080 hosil boldi. Men oylagan sonni toping. 1039. Uchburchakning perimetri 62 sm. Uning bir tomoni ikkinchisidan 5 sm uzun, uchinchisidan 4 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlari uzunliklarini toping. 1040. (Al-Xorazmiy masalasi.) Sondan uning uchdan biri va tortdan biri ayirilsa, 8 qoladi. Sonning ozini toping. 1041. 1) 2,5x − 8 = 12 − 2,5x; 3) 3,7x − 1,8 = 5,2 − 3,3x; 2) 16,4x − 4,8 = 6,4x + 5,2; 4) −8,4 − 7,5x = 12,5x + 11,6. 1042. Agar nomalum natural sonni 3 ga bolishdan chiqqan bolinmaga 5 qoshilsa, songra yigindi 4 ga kopaytirilsa, hosil bolgan kopaytmadan 29 ayirilsa va ayirma 5 ga bolinsa, 3 hosil boladi. Nomalum sonni toping. 1043. Nomalum son 8 ga bolinib, bolinmaga 450 qoshilganda yigindida 500 chiqdi. Nomalum sonni toping. 1044. Biror natural son oylandi. U son 4 ga bolinsa va bolinmaga 6 qoshilsa, 24 hosil boladi. Qanday son oylangan? Ingliz tilini tenglama equation tenglama ildizi root of equation TEST 9 organamiz! oxshash hadlar similar terms chiziqli tenglama linear equation Ozingizni sinab koring! 1. Tenglamani yeching: 3(x + 1) = 5(x + 1) + 4. A) 2; B) −3; D) 1; E) −1. 2. Tenglamani yeching: −2x + 3 = 3x + 8. A) 1; B) −1; D) 0; E) 2. 3. Ikki sonning yigindisi 140 ga teng. Birinchi sonning 8 % i ikkinchi sonning 6 % iga teng. Shu sonlarni toping. A) 60; 80; B) 75; 65; D) 50; 90; E) 70; 70. 4. Ikki sonning yigindisi 140 ga, ularning ayirmasi esa 60 ga teng. Shu sonlarni toping. A) 70; 70; B) 110; 30; D) 100; 40; E) 80; 60. 5. Uchta ketma-ket kelgan butun sonlar yigindisi −3 ga teng. Shu sonlarni toping. A) −3, 0, 3; B) −2, −1, 0; D) −1, 1, 2; E) 10, −1, 2. 195 Tarixiy malumotlar ax + b = 0 korinishidagi tenglama chiziqli tenglama deyiladi. Chiziqli tenglamalar va Siz keyinchalik organadigan kvadrat tenglamalar, ularning yechish usullari yurtdoshimiz, buyuk matematik olim Muhammad ibn Muso al-Xorazmiyning «Al-jabr val-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob» asarida bayon etilgan. Al-Xorazmiy bu asari bilan algebra faniga asos solgan. Asar lotin tiliga, Yevropa davlatlari tillariga tarjima qilingan va bir necha bor nashr etilgan, undan asrlar davomida Sharq-u Garb universitetlarida darslik sifatida foydalanilgan. «Algebra» atamasining ozi asarning lotin tiliga tarjimasida asar nomidagi «al-jabr» sozining «algebra» kabi yozilishidan kelib chiqqan. XIV asrdan boshlab al-Xorazmiy asos solgan fan butun dunyoda algebra deb atala boshlangan. Al-Xorazmiy amaliyot masalalarini hal etishda matematikaning ahamiyati muhimligi Muhammad haqida quyidagilarni yozadi: ibn Muso «... men arifmetikaning oddiy va murakkab al-Xorazmiy masalalarini oz ichiga oluvchi «Al-jabr val(780850) muqobala hisobi haqida qisqacha kitob»ni talif qildim, chunki meros taqsimlashda, vasiyatnoma tuzishda, mol taqsimlashda va adliya ishlarida, savdoda va har qanday bitimlarda, shuningdek, yer olchashda, ariqlar otkazishda, muhandislikda va boshqa shunga oxshash turlicha ishlarda kishilar uchun bu zarurdir». Al-jabr «toldirish, tiklash» degan manoga ega. «Al-jabr» tenglamada ayirilayotgan («minus» ishorali) had bolsa, uni tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga musbat ishora bilan otkazish mumkinligini bildiradi. Val-muqobala «ropara qoyish» deganidir. Uning yordamida oxshash hadlar ixchamlanadi, tenglamaning ikkala qismidagi teng hadlar tashlab yuboriladi. 196 IX bob. Malumotlar Jadvallar 124125 Jadval malumotlarni berishning eng qulay va keng tarqalgan turlaridan biridir. Odatda, jadval qatorlardan va ustunlardan tashkil topib, ular kesishadigan katakka tegishli malumot yoziladi. Masalan, quyidagi jadvalda bahor faslida maktab hovlisida 6- sinf oquvchilari tomonidan ekilgan mevali daraxtlar soni haqida malumotlar keltirilgan. Tartib raqami Sinf Oy Mart Aprel May Jami 1 6- «A» 5 3 8 2 6- «B» 4 4 2 10 9 7 2 18 Mevali daraxtlar soni Boshqa misollar sifatida sinf jurnali, oquvchi kundaligi, maktab rahbarlarining fuqarolarni qabul qilish vaqti jadvali va sonlarni kopaytirish jadvalini keltirish mumkin. 1045. 1) Jadvallar togrisida nimalarni bilasiz? Darslik, gazeta va jurnallarda qanday jadvallarni kor? 2) gansiz? 3) Kompyuterda-chi? Bu jadvallar qanday malumotlarni ifodalaydi? 1046. Toshkent shahrining Shimoliy vokzalidan har kuni jonaydigan poyezdlarga oid malumotlar jadvalda keltirilgan: Toshkent Manzilga yetib shahridan jonash borish vaqti vaqti Masofa, km Reys Manzil 092F ANDIJON 06.40 12.40 423 760Z QARSHI 07.00 10.20 500 760Z SAMARQAND 07.00 09.08 343 762F BUXORO 08.00 11.47 562 197 Quyidagi savollarga javob bering: 1) Poyezdlardan qaysi biri manzilga yetib borish uchun eng kop vaqt sarflaydi? Qaysi biri eng kam vaqt sarflaydi? 2) Yolovchi Samarqandga yetib borishi uchun qancha vaqt sarflaydi? 3) Nega Samarqand va Qarshi shaharlariga boruvchi poyezdlarning reysi (raqami) bir xil? 1047. Jadvalda tumandagi iqtidorli oquvchilarning etiborga loyiq ishlari togrisida malumotlar keltirilgan: T.r. Ish turi Sentabr Oktabr Noyabr Dekabr Jami 1 Sher 22 30 15 28 95 2 Hikoya 14 17 20 19 70 3 Gazeta maqolasi 25 32 21 18 96 4 Ilmiy loyiha 9 7 12 16 44 5 Texnik model 15 11 23 14 63 Jami 85 97 91 95 368 Savollarga javob bering: 1) Noyabr oyida nechta ilmiy loyiha yaratilgan? 2) 4 oy ichida nechta hikoya yozilgan? 3) Sentabr oyida jami bolib nechta ish qilingan? 4) Dekabr oyida qanday ishlar eng kop qilingan? 4 oyda-chi? 5) Qaysi oyda eng kop ish qilingan? Eng kami-chi? 6) Boyalgan son qaysi sonlarning yigindisi boladi? 1048. Sinflararo futbol musobaqasining jadvalini organib chiqing. T.r. Sinf 1 2 1 6- «A» 2 6- «B» 3 : 3 3 6- «D» 2 : 1 5 : 5 3 Galaba Du- Maglu- Och- Top- Orin rang biyat ko lar 3:3 1:2 1 1 1 4:5 3 5:5 2 2 8:8 2 1 1 4 7:6 1 198 Savollarga javob bering: 1) Qaysi jamoa eng kop galaba qozongan? 2) Qaysi jamoa eng kam galaba qozongan? 3) Qaysi jamoa eng kop durang natija korsatgan? 4) Qaysi jamoa eng kam durang natija korsatgan? 5) Qaysi jamoa eng kop gol urgan? 6) Qaysi jamoa eng kam gol urgan? 1049. A m a l i y t o p s h i r i q . Kundaligingizdan foydalanib, oxirgi tort haftaning har birida qancha va qanday baholar olganingizni organib chiqing. Natijalarni quyidagi jadval korinishida ifodalang: Baholar 1- hafta 2- hafta 3- hafta 4- hafta Jami 5 4 3 2 Jami Savollarga javob bering: 1) Qaysi haftada eng kop baho olgansiz? 2) Qaysi haftada eng kam baho olgansiz? 3) Qaysi haftada eng kop «5» baho olgansiz? Eng kam-chi? 4) Tort hafta ichida qaysi bahodan koproq olgansiz? 5) Oxirgi tort hafta ichida qaysi bahoni kamroq olgansiz? 1050. A m a l i y t o p s h i r i q . Sinfdoshlaringizni qaysi oyda tugilganini aniqlang. Natijalarni jadval korinishida ifodalang. 1051. Sinflararo futbol musobaqasining jadvalini organib chiqing. T.r. Sinf 1 2 3 4 5 1 6- «A» 2 6- «B» 3:2 3 6- «D» 2:1 0:5 4 6- «E» 0:0 1:0 1:1 5 6- «F» 1:2 2:4 0:2 2:3 1:2 0:0 2:1 4 5:6 4 5:0 0:1 4:2 9 12 : 5 1 1:1 2:0 7 5:7 2 2:2 6 4:3 3 1 5 : 10 5 2:2 199 Ochko Toplar Orin Savollarga javob bering: 1) Qaysi jamoa eng kop galaba qozongan? 2) Qaysi jamoa eng kam galaba qozongan? 3) Qaysi jamoa eng kop durang natija korsatgan? 4) Qaysi jamoa eng kop gol urgan? 1052. Oila azolaringizni qaysi oyda tugilganini aniqlang. Natijalarni jadval korinishida ifodalang. Diagrammalar 126127 Turli kattaliklarni olchash natijasida hosil qilingan sonlar, olingan malumotlar, ulardan tuzilgan jadvalni yaqqol tasavvur etish, ulardan amaliyot uchun xulosalar chiqarishda diagrammalardan foydalaniladi. Diagrammalar uch xil bolishi mumkin: doiraviy, chiziqli va ustunli. Doiraviy diagramma bilan 5- sinfda tanishgansiz. M a s a l a . 6- sinfda matematika boyicha otkazilgan yozma nazorat ishi natijalari quyidagi jadval korinishida berilgan: Baholar Oquvchilar soni «5» «4» «3» «2» 6 11 17 2 110 Oquvchilar soni 111 17 Oquvchilar soni Masaladagi malumotlarni ustunli diagramma korinishida ifodalang. Bir katak bir oquvchiga mos keladi. 17 11 11 6 6 2 « 5» «4 » « 3» 2 « 2 » Baho « 2 » « 3 » «4 »«5 » Baho 200 Y e c h i s h . Asoslari ozaro teng, balandliklari esa berilgan 6; 11; 17; 2 sonlariga mos togri tortburchaklar chizamiz (110rasm). Hosil bolgan chizma ustunli diagrammani tashkil qiladi. Ustunli diagrammadan tashqari yana chiziqli diagramma ham bor. Endi masaladagi malumotlarni chiziqli diagramma korinishida ifodalaylik. «5», «4», «3», «2» baho olgan oquvchilar sonini uzunligi 6; 11; 17; 2 ga teng bolgan kesmalar korinishida tasvirlaymiz (111- rasm). Hosil bolgan kesmalar chiziqli diagrammani tashkil qiladi. 1053. 1) Qanday diagrammalarni bilasiz? Ustunli diagramma nima? Misolda izohlang. ? 2) 3) Chiziqli diagramma nima? Misolda tushuntiring. 1054. 1055. 1056. 1057. 112 Masalalarga mos ustunli, chiziqli diagrammalar chizing (10541058): Yer atmosferasining tarkibida azot 78 % ni, kislorod 21 % ni, argon va boshqa gazlar esa 1 % ni tashkil qiladi. Aviatsiya sanoatida ishlatiladigan duraluminiyning tarkibida aluminiy 95 % ni, mis 4 % ni, marganes 0,5 % ni va magniy 0,5 % ni tashkil qiladi. Tishga qoyiladigan metall tarkibida oltin 58 % ni, kumush 14 % ni, mis esa 28 % ni tashkil qiladi. 112- rasmdagi diagrammada tortta firmaning yanvariyun oylari davomida qancha mahsulotlari xarid qilinganligi haqida malumotlar keltirilgan. Yanvar oyida faqat birinchi va ikkinchi firmaning mahsulotlari sotilganligi korinib turibdi. Qolgan firmalarning mahsulotlari esa fevral oyidan boshlab sotilgan. 2 250 2 000 I firma II firma 1 750 III firma 1 500 1 250 IV firma 1 000 750 500 250 0 Yan. Fev. Mart Apr. May Iyun 201 Diagrammadan foydalanib savollarga javob bering: 1) Aprel oyida IV firmaning mahsulotlari qanday hajmda sotilgan? 2) Qaysi oylarda III firma savdo hajmi boyicha II firmadan otdi? 3) Iyun oyida I firmaning savdo hajmi qanday bolganini baholang. 4) 6 oy yakuniga kora qaysi firma kop savdo qilgan? 1058. Sport togaragida 72 oquvchi qatnashadi. Ulardan: 15 nafari shaxmat togaragiga, 20 nafari kurashga, 10 nafari boksga, 8 nafari stol tennisiga va qolganlari futbolga qatnashadi. Oquvchilarning sport turlari boyicha togaraklarga qatnashishiga oid ustunli diagramma yasang. Masalalarga mos (10591062). ustunli, chiziqli diagrammalar yasang 1059. Matematikaga ixtisoslashtirilgan maktabning 6- sinfida matematikadan otkazilgan test natijalari jadvalda berilgan: Ball 7180 8190 91100 4 16 10 Oquvchilar soni 1060. Quyidagi jadvalda oquvchining bir kunlik faoliyati aks etgan. Faoliyat turi Maktab Dam olish Dars tayyorlash Ovqatlanish Boshqa faoliyatlar Uxlash Sarflanadigan jami vaqt (soat) 7 1 3 1 4 8 1061. Quyidagi jadvalda okeanlarning sathi berilgan. Okeanlar Tinch Atlantika Hind Shimoliy Muz Yuzi (million kv km larda) 179,7 93,4 74,9 13,1 Masshtabni «10 mln kv km 1 sm» deb olishingiz mumkin. 1062. 6- sinfda ona tilidan otkazilgan diktantda yol qoyilgan xatolar soni jadvalda berilgan. Bu holatni aks ettiruvchi ustunli diagramma chizing. Xatolar soni 0 1 24 56 6 tadan kop Oquvchilar soni 3 5 15 6 1 202 Malumotlar 128129 tahlili Kundalik hayotimizdagi bazi kattaliklar, masalan, donli ekinlar hosildorligi, mehnat unumdorligi, foydalaniladigan buyumlar va hokazo sonli qatorlar yordamida beriladi. Ularga ishlov berish statistik kattaliklar yoki statistik xarakteristikalar tushunchasiga asoslangan. Statistik xarakteristikalarning eng sodda turlari: orta arifmetik qiymat, ozgarish kengligi, moda va mediana. 1- m i s o l . Shaxmat oyini musobaqasida 6- sinfning 8 nafar oquvchisi, mos ravishda, 13; 13; 12; 13; 10; 13; 12; 10 ochko topladi. Ular olgan ochkolarning orta arifmetigini topaylik: ! + ! + + ! + + ! + + & = . Demak, shaxmat oyini musobaqasida 6- sinf oquvchilari olgan ochkolarining orta arifmetigi 12 ochkodir. Endi sonlarning orta arifmetigini sonlarning absolut chastotasi jadvalidan foydalanib topaylik. Berilgan sonlar qatorida biror-bir sonning necha marta takroran uchrashini korsatuvchi son osha sonning absolut chastotasi deyiladi. Masalan, yuqorida berilgan sonlarni absolut chastotalar boyicha jadval korinishda yozaylik. Ochkolar soni Ochkolarning absolut chastotasi 13 4 12 2 10 2 Jadvalga, asosan, ! ⋅ " + ⋅ + ⋅ "+ + = , demak, sonlarning orta arifmetigi 12 ochkoga teng ekan. Jadvaldan korinib turibdiki, ochkolar son qiymatlarining eng kattasi 13, eng kichigi 10. Boshqacha aytganda, ochkolar son qiymatlarining ozgarish kengligi 13 − 10 = 3 ekan. Ozgarish kengligi deb, berilgan sonlar qatoridagi eng katta son bilan eng kichik son ayirmasiga aytiladi. 203 Texnikada, turmushda kattaliklarning ozgarish kengligini bilishingiz zarur. 2- m i s o l . Oyning Quyoshga 113 qaragan tomonida temperatura 130 °C, qarama-qarshi tomonida esa −170 °C ga teng. Ozgarish kengligini toping (113- rasm). Oydagi temperaturaning ozgarish kengligini topaylik: 130 °C − (−170 °C ) = 300 °C , demak, ozagarish kengligi 300 °C boladi. Oyni tekshirish uchun Oyga yuboriladigan suniy apparatlar temperaturaning ana shunday ozgarish kengligini bilishi bilan birga, uning eng katta son qiymati va eng kichik son qiymatini bilishi ham maqsadga muvofiq boladi. Statistik xarakteristikalarning eng kop foydalaniladigan turi moda hisoblanadi. Berilgan sonlar qatoridagi absolut chastotasi bolgan son sonlar qatorining modasi deyiladi. eng katta 3- m i s o l . Oquvchining matematika darsidan olgan baholari: 5, 5, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 5. Oquvchilarning matematikadan olgan baholarining absolut chastotalarini quyidagi jadval korinishida yozamiz. Baho Absolut chastotasi «5» 6 «4» 3 «3» 1 Demak, oquvchilarning matematikadan chorak davomida olgan baholarining modasi: 5. Statistik xarakteristikalarning yana bir turi medianadir. Berilgan sonlarning soni toq bolsa, u holda ularning medianasi osha sonlarni tartib bilan joylashtirgandagi eng ortada turgan sondir. Berilgan sonlar soni juft bolsa, u holda ularning medianasi osha sonlarni osish tartibida joylashtirganda ortada turgan ikki sonning orta arifmetigiga teng boladi. 4- m i s o l . Mart oyining birinchi haftasidagi havoning ortacha sutkalik temperaturasi hafta kunlari boyicha mos ravishda 3 °C; 4 °C; 5 °C; 8 °C; 6 °C; 4 °C; 7 °C boldi. 204 Haftalik temperaturaning medianasini topish uchun sonlarni osish tartibida ketma-ket joylashtiramiz: 3; 4; 4; 5; 6; 7; 8. Ushbu berilgan sonlar soni toq 7, u holda ortada faqat bitta son bor. U 5 soni. Bu 5 soni berilgan sonlar qatorining medianasi. Dastlabki uchta son (3, 4, 4) mediananing son qiymatidan kichik, keyingi uchta son (6, 7, 8) esa undan katta. Moda (lotincha modus) meyor, usul, qoida. Moda orta qiymat sifatida tabiatan sonli bolmagan malumotlar uchun koproq ishlatiladi. 1063. 1) Qanday statistik xarakteristikalarni bilasiz? 2) Berilgan sonlarning ozgarish kengligi nima? Moda-chi? ? 3) Berilgan sonlarning medianasi qanday topiladi? 1064. Sonlarning berilgan absolut chastotasi jadvaliga asosan orta arifmetigi va modasini toping. Sonlar Absolut chastotasi 14,35 4 11,9 3 7,9 2 1065. Sonlar qatorining orta arifmetigi va ozgarish kengligini toping: 5,9; 6,1; 4,85; 5,3; 4,9; 5,35. 1066. Sonlar qatorining modasini toping: 3,5; 2,6; 3,5; 1,3; 2,6; 3,5; 1,2. 1067. Sonlarning ozgarish kengligini hisoblang, modasini toping: 32,3; 27,1; 45; 27,1; 43,6; 32,3. 1068. Yanvar oyining bir sutkasida havoning temperaturasi ertalab 2 °C, tushda 6 °C, tushdan keyin 4 °C, kechqurun 3 °C, tunda 0 °C boldi. 1) Havoning sutkalik ortacha temperaturasi necha gradus bolgan? 2) Sutka davomida havoning ozgarish kengligi qanday? 3) Shu sutkadagi havo temperaturasining modasi bormi? 1069. Futbol jamoasi ishqibozlari soni 1- oyinda 18 000 nafar, 2- oyinda 15 200 nafar, 3- oyinda 16 900 nafar va 4- oyinda 17 500 nafar boldi. Futbol jamoasi ishqibozlari sonining ozgarish kengligini toping. 1070. Chorak davomida matematikadan olgan baholaringizni yozib, orta arifmetigi, ozgarish kengligi va medianasini toping. 205 130131 Kombinatorika elementlari Kombinatorika matematikaning keng tatbiqlarga ega bolimlaridan biri. Turmushda, texnika va ishlab chiqarishda uchraydigan masalalarni yechish usullari kop bolishi mumkin. Bu usullarning soni nechta? Ularni qanday hisoblash mumkin? Kombinatorika ana shu savollarga javob beradi. M a s a l a . 1- savatda 20 ta, 2- savatda 30 ta olma bor. 1- savatdan 1 dona olmani necha xil usulda olish mumkin? Ravshanki, 20 xil usulda. Shunga oxshash, 2- savatdan 1 dona olmani 30 xil usulda olish mumkin. U holda 1- yoki 2- savatdan 1 dona olmani olishning jami usullari soni 20 + 30 = 50 ta boladi. Korilgan masala kombinatorikaning qoshish qoidasini ifodalaydi. 1071. 1) Kombinatorika qanday savollarga javob beradi? Kombinatorikaning qoshish qoidasini biror misolda ? 2) tushuntiring. 1072. Ushbu 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan jami nechta: 1) 2 xonali; 2) 3 xonali sonlar tuzsa boladi? Raqamlar takrorlanmaydigan va takrorlanishi mumkin bolgan hollarni korib chiqing. 1073. Bir bola yozayotgan sherining 1- qatorida «Alo oqisang yaxshi-da!» deyilgan. Bola 1- qatordagi sozlarning orinlarini almashtirib, keyingi qatorlarni hosil qilmoqchi. Bu «sher»da nechta qator boladi? Qani, shu «sher»ni yozib koring-chi! 1074. Togdagi kolga 4 ta yol olib boradi. Kolga necha xil usulda borish va kelish mumkin? Agar kelishda boshqa yoldan yurilsa-chi? 1075. Nodira, Mubinabonu, Azamxon va Otabek ozlaridagi yashil, kok, qizil va sariq sharlarni bir-birlariga berishmoqchi. Buni necha xil usulda bajarsa boladi? 1076. 1) 2 ta; 2) 3 ta; 3) 4 ta; 4) 5 ta; 5) 6 ta togri chiziq eng kopi bilan nechta nuqtada kesishishi mumkin? Mos rasm chizing. 1077. Hech qaysi 3 tasi umumiy nuqtaga ega bolmaydigan va ozaro kesishadigan: 1) 3 ta; 2) 4 ta togri chiziq tekislikni nechta qismga ajratadi? 1078. 1) 2 ta; 2) 3 ta aylana eng kopi bilan nechta kesishish nuqtasiga ega bolishi mumkin? 206 1079. Stolda olma, nok, shaftoli, uzum bor. 2 ta turli mevani necha xil usulda olish mumkin? 1080. 1) 2 ta; 2) 3 ta aylananing har biri qolgan aylanalarning har biri bilan ozaro kesishib, tekislikni nechta qismga ajratadi? 1081. 4 nafar oquvchidan 2 nafarini «Bilimlar bellashuvi»da qatnashish uchun tanlab olishmoqchi. Buni necha xil usulda bajarish mumkin? 1082. Tekislikda a va b togri chiziqlar ozaro kesishmaydi. a togri chiziqda 2 ta, b togri chiziqda 3 ta nuqta belgilangan. Belgilangan nuqtalar bir-biri bilan tutashtirildi. Bunda nechta uchburchak hosil boladi? 1083. Togri chiziqda: 1) 2 ta; 2) 3 ta; 3) 5 ta; 4) 10 ta nuqta belgilandi. Har bir holda nechta kesma hosil boladi? 1084. Ixtiyoriy radiusli aylana chizing va unda: 1) 3 ta; 2) 4 ta; 3) 6 ta nuqtani belgilang. Belgilangan nuqtalar bir-biri bilan tutashtirilgan. Har bir holda nechta kesma hosil boladi? 1085. 1) Nechta ikki xonali son 5 ga bolinadi? 2) Nechta uch xonali son 5 ga bolinadi? Sodda kombinatorika qoidalari 132133 (kopaytirish)ga oid amaliy masalalarni yechish M a s a l a . Bulungur tumani markazidan Samarqandgacha ikki usulda avtobus va yengil mashinada kelish mumkin. Samarqanddan Toshkentgacha esa tort xil usul samolyot, poyezd, avtobus va yengil mashinada kelish mumkin. Bulungurdan Samarqand orqali Toshkentga necha xil yol bilan kelsa boladi? Y e c h i s h . Avval Bulungurdan Samarqandga olib keluvchi yollardan birini tanlaymiz. Buning 2 ta imkoniyati bor. Samarqandga kelgach, Toshkentga olib boruvchi yollardan birini tanlaymiz. Buning esa 4 ta imkoniyati bor. Demak, Bulungurdan Samarqand orqali Toshkentga kelishning jami imkoniyatlari soni 2 · 4 = 8 ta ekan. Bu masala kombinatorikaning kopaytirish qoidasini ifodalaydi. 1086. 1) Kombinatorikaning kopaytirish qoidasini biror misolda ? tushuntiring. 2) Kombinatorikaning kopaytirish qoidasi qanday savollarga javob beradi, deb oylaysiz? 207 1087. Samandar uyidan maktabgacha avtobus, metro yoki yengil mashinada borishi mumkin. U maktabdan chiqib buvisinikaga bormoqchi. Maktabdan Samandarning buvisinikiga avtobus va yengil mashinada borsa boladi. Samandar avval maktabga, songra u yerdan buvisinikiga necha xil yol bilan borishi mumkin? 1088. 3, 6, 7, 9 raqamlaridan ularni takrorlamasdan mumkin bolgan barcha tort xonali sonlarni tuzing. Bu sonlar orasida nechtasi: 1) 4 ga bolinadi; 2) 6 raqami bilan boshlanadi; 3) 7 raqami bilan tugaydi? 1089. Nozimaxonda Alisher Navoiyning 5 ta asari bor. Nozimaxon ularni kitob javoniga terib qoymoqchi. Buning necha xil usuli bor? 1090. Tekislikda hech qaysi uchtasi bitta togri chiziqda yotmaydigan: 1) 3 ta; 2) 4 ta; 3) 5 ta nuqtaning har birini har biri bilan tutashtiruvchi nechta togri chiziq bor? Mos rasm chizing. 1091. Telefon stansiyasi mijozlarining uy telefon raqamlari 7 xonali sonlardan iborat va 224 sonidan boshlanadi. Shu stansiya nechta mijozga xizmat korsatishi mumkin? 1092. Togri chiziqda: 1) 4 ta; 2) 5 ta; 3) 6 ta turli nuqtalar olindi. Uchlari berilgan nuqtalardan iborat nechta turli xil kesma hosil boladi? 1093. Diyora yashaydigan uy yolagining eshigi kod bilan ochiladi. Kod turli raqamlardan tuzilgan 3 xonali sondan iborat. Diyora kodni unutib qoydi, ammo bu sonning 9 ga bolinishini va ortadagi raqami 6 ekanini biladi. U kopi bilan nechta urinishdan song eshikni ochishi mumkin? Agar har bir urinishga 30 sekund ketsa, u qancha vaqtdan song eshikni ocha oladi? 1094. 2 ta bosh joy bor. 3 nafar kishidan 2 nafarini shu joyga necha xil usulda otqazish mumkin? 1095. Matematika xonasidagi rasmlarda tasvirlangan uchburchak va tortburchaklarning soni 15 ta. Ularning tomonlari soni 53 ta. Rasmlarda nechta uchburchak va nechta tortburchak chizilgan? 1096. Kochadagi uylar 1 dan 50 gacha nomerlangan. Shu uylar nomerlarida 4 raqami necha marta ishtirok etgan? 1097. 3 ta turli xatni 3 ta turli konvertga necha xil usulda joylashtirish mumkin? 208 X bob. Geometrik material Uchburchak, uning perimetri va turlari 136138 1. Uchburchak. Uchburchak, uning perimetri tushunchasi bilan quyi sinflardan tanishsiz. Tekislikda A, B, C nuqtalarni belgilaylik (114- a rasm). A, B, Ñ nuqtalarni AB, AC, BC kesmalar yordamida tutashtiramiz. A, B, C nuqtalar bitta togri chiziqda yotgan hol qaralmaydi (114- b rasm). B 114 115 A B B C Bu hol qaralmaydi. A C a) A b) C Tekislikning AB, BC, AC kesmalar bilan chegaralangan qismi ABC uchburchak deyiladi va H ABC kabi belgilanadi. Uchburchakning ixtiyoriy bir tomoni qolgan ikki tomoni yigindisidan kichik. K A, B va C nuqtalar uchburchakning uchlari, AB, BC, AC kesmalar uchburchakning tomonlari deyiladi (115- rasm). AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AB + AC 2. Uchburchakning turlari. Uchburchakda uchta burchak bor. Ularning gradus olchovlari yigindisi 180° ga teng (115- rasm): ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°. Burchaklariga kora, uchburchaklar: otkir burchakli, togri burchakli (togri burchakni tashkil qiluvchi tomonlar katetlar, togri burchak qarshisidagi tomon esa gipotenuza deb ataladi), otmas burchakli bolishi mumkin (1- jadvalga qarang). Tomonlariga kora, uchburchaklar: teng tomonli (muntazam), teng yonli va turli tomonli bolishi mumkin (2- jadvalga qarang). HABC teng yonli, yani AB = BC bolsa, odatda, AÑ tomon uchburchakning asosi deyiladi. 14 Matematika, 6 209 3. Uchburchakning perimetri. Uchburchakning uchala tomoni uzunliklari yigindisi uning perimetri deyilishini eslatib otamiz. 115- rasmdagi HABC ning perimetri quyidagiga tengdir: P = AB + BC + AC. 1- jadval Uchburchakning burchaklari Uchburchakning nomlanishi Hamma burchaklari otkir Otkir burchakli uchburchak Burchaklaridan biri togri Togri burchakli uchburchak Burchaklaridan biri otmas Otmas burchakli uchburchak Korinishi (rasmi) 2- jadval Uchburchakning tomonlari Uchburchakning nomlanishi Uchala tomoni ozaro teng: AB = BC = AC Teng tomonli (muntazam) Korinishi (rasmi) B A C B Ikkita tomoni ozaro teng: AB = BC Uchala tomon uzunliklari har xil: AB ≠ BC; AB ≠ AC; BC ≠ AC. Teng yonli A C B Turli tomonli A 210 C 1098. 1) Uchburchak deb nimaga aytiladi? Chizmada tushunti? ring. 2) Uchburchakning perimetri deb nimaga aytiladi? 3) Uchburchakning tomonlari orasida qanday boglanish bor? 4) a) burchaklariga kora; b) tomonlariga kora uchburchaklar qanday turlarga bolinadi? Mos chizmalar chizing. 5) Ikkita burchagi: 1) otmas; 2) togri bolgan uchburchak bormi? Nima uchun? Javobingizni asoslang. 1099. Uchburchakning: 1) uchala burchagi ozaro teng; 2) bir burchagi 120° ga, qolgan ikkita burchagi esa ozaro teng. Shu burchaklarni toping. Bu uchburchak qanday uchburchak boladi? 1100. Uzunliklari quyidacha bolgan kesmalardan uchburchaklar yasash mumkinmi? Sababini tushuntiring. 1) 1,3 dm; 2,7 dm; 45 sm; 3) 20 sm; 2 dm; 200 mm; 2) 0,8 dm; 10 sm; 0,2 dm; 4) 4 sm; 0,5 dm; 0,6 dm. 1101. Uchburchakning bir burchagi 40° ga teng. Ikkinchi burchagi esa undan 2,5 marta katta. Shu uchburchakning uchinchi burchagini toping. Bu uchburchak qanday uchburchak boladi? 1102. Jadvalni toldiring va uchburchakning turini aniqlang (a, b, c uchburchakning tomonlari uzunligi): Perimetri a b c 6,5 sm 7,2 sm 8,7 sm 1,4 dm 1,6 dm 5,2 dm 2,5 dm 75 sm 25 sm 1,7 dm 17 sm Uchburchakning turi 5,8 dm 1103. 1) Uchburchakning bir tomoni 6,5 sm, ikkinchi tomoni a sm, uchinchi tomoni esa b sm. Shu uchburchakning perimetrini topish uchun ifoda tuzing. 2) a) a = 5,8 sm; b = 4,6 sm; b) a = 7,3 sm; b = 8,2 sm bolganda tuzilgan ifodaning son qiymatini toping. 1104. Bir burchagi qolgan ikki burchagi yigindisiga teng bolgan uchburchak bormi? U qanday uchburchak boladi? 211 1105. Teng tomonli uchburchakning tomoni uzunligi 5,8 sm ga teng. Uning perimetrini toping. 1106. Uchburchakning bir tomoni 8,9 sm ga teng. Undan ikkinchi tomoni 1,8 sm qisqa, uchinchi tomoni esa 3,6 sm uzun. Shu uchburchakning perimetrini toping. 1107. Hamidulla uzunliklari 3,4 sm, 0,9 sm va 4,5 sm bolgan kesmalardan uchburchak yasamoqchi. U uchburchak yasay oladimi? Nima uchun? 1108. Teng yonli uchburchakning asosi 21,3 sm ga, yon tomoni esa 26,2 sm ga teng. Uning perimetrini toping. 1109. Uchburchakning bir burchagi 72° ga teng. Ikkinchi burchagi esa undan 2 marta kichik. Shu uchburchakning burchaklarini toping. Bu uchburchak qanday uchburchak boladi? 1110. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 52° ga teng. Asosidagi burchaklarini toping. 1111. Jadvalni toldiring va uchburchakning turini aniqlang (a, b, c uchburchakning tomonlari uzunligi). Perimetri a b c 1,8 dm 16 sm 20 sm 28,8 dm 36 sm 4,5 dm 3,6 dm 0,45 m Uchburchakning turi teng tomonli 1,08 m 17,3 dm 1112. 1) Teng tomonli uchburchakning perimetri 75,9 sm ga teng. Uning tomonlari uzunligini toping. 2) Teng tomonli uchburchakning tomoni uzunligi 23,8 sm ga teng. Uning perimetrini toping. 1113. Teng yonli uchburchakning asosi 74,7 sm ga teng. Yon tomoni asosidan % marta kichik. Shu uchburchakning perimetrini toping. 1114. Uchburchakning bir burchagi ikkinchisidan 10° ga kam, ikkinchi burchagi esa uchinchisidan 10° ga ortiq. Shu uchburchakning burchaklarini toping. Bu qanday uchburchak boladi? 212 Uchburchakning 136138 yuzi Siz 5- sinfda togri tortburchakning yuzini hisoblash formulasi bilan tanishib, turli togri tortburchaklar yuzlarini hisoblagansiz. Endi uchburchakning yuzini qanday hisoblashni organamiz. ABCD togri tortburchak olib (116- rasm), uning AC diagonalini otkazamiz. Bunda togri tortburchak 2 ta ozaro teng ABC va ACD togri burchakli ucburchakka ajraladi. Ularni qirqib olib, ustma-ust qoyish bilan uchburchaklarning tengligiga ishonch hosil qilamiz (117- rasm). 116 B C 117 b A a D Tomonlari boyi (asosi) a va eni (balandligi) b bolgan togri tortburchakning yuzi S = ab formulaga kora hisoblanishini bilasiz. Togri tortburchak ozaro teng ikkita togri burchakli uchburchakka ajralgani uchun bitta togri burchakli uchburchakning yuzi togri tortburchakning yuzidan ikki marta 1 kichik va demak, u S = ab ga teng 2 boladi (118- rasm). Togri burchakli uchburchakning yuzi katetlari uzunliklari kopaytmasining yarmiga teng. Har qanday uchburchakni doimo ikkita togri burchakli uchburchakka ajratish mumkin (119- rasm). U holda berilgan uchburchakning boyicha hisoblanadi: S = 1 2 AC ⋅ BD. 213 C 118 b A 119 a D C B h A D a) yuzi D C A quyidagi h B b) formula Bu formulaning togriligini tekshirish ozingizga havola qilinadi. Odatda, BD uchburchakning balandligi (h) va balandlik otkazilgan AC tomon esa uchburchakning asosi (a) deb olinadi. Har qanday ushburchakning yuzi uning asosi va balandligi kopaytmasining yarmiga teng: S = 1 ah . 2 1115. 1) Katet nima? Gipotenuza nima? Togri burchakli uchburchakning yuzi qanday hisob? 2) lanadi? 3) Ixtiyoriy uchburchakning yuzi qanday hisoblanadi? 1116. 1) 120- rasmda korsatilgan olchamlar boyicha tortburchakning yuzini hisoblang. 2) 121- rasmda tasvirlangan togri burchakli uchburchaklarning katetlarini olchang va yuzini hisoblang. 120 15 sm C 121 b 5 sm A 5 sm a D 1117. 122- rasmda tasvirlangan har bir shaklning yuzi 1 kv birlikka tengligini asoslang. 122 123 1 kv birlik 1118. Boyalgan uchburchakning yuzini toping (123- rasm). 1119. Uchburchakning perimetri 41,5 sm ga teng. Uning bir tomoni ikkinchisidan 3,8 sm uzun, uchinchisidan esa 2,4 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlarini toping. 1120. Asosi 5,2 sm, balandligi 4,5 sm bolgan uchburchak chizing. Uning yuzini hisoblang. Endi berilgan kattaliklarni ikki baravar orttiring, asosi 10,4 sm va balandligi 9 sm bolgan uchburchakning ham yuzini hisoblang. Yuzlar nis214 batini toping. Uni asoslar, balandliklar nisbati bilan taqqoslang. Xulosa chiqaring. 1121. 124- a rasmda tasvirlangan shakllarning yuzlari 1 kv birlikka teng. Nima uchun shunday ekanligini tushuntiring? Sizga bunda 124- b rasm yordam beradi. 1122. 125- rasmda tasvirlangan togri tortburchaklar tengdosh (yuzlari teng). Boyalgan uchburchaklarning yuzlari ham bir xilmi? 124 125 a) 1 kv birlik b) 1 2 4 3 4 2 1 3 1123. 126- rasmdagi AKD, APD va ACD uchburchaklarning yuzlari nima uchun teng ekanini tushuntiring. Xulosa chiqaring. 1124. Uchburchak bir burchagining gradus olchovi ikkinchi burchaknikidan 2 marta katta, uchinchi burchakniki esa birinchi burchaknikidan 1,5 marta katta. Shu uchburchakning burchaklarini toping. 1125. Kvadratdan tortta teng togri burchakli uchburchak qirqib olindi. Kvadratning qolgan qismining yuzini toping. Bu tortburchak qanday shakl boladi (127- rasm)? 126 B K P C A N F D 127 8 sm 6 sm 8 sm 6 sm ? 8 sm 6 sm 6 sm 8 sm 1126. Togri burchakli uchburchakning katetlari: 1) 14 sm va 6 sm; 2) 11,8 sm va 10 sm; 3) 1,5 dm va 12 sm; 4) 3,6 sm va 5 sm bolsa, uning yuzini toping. 215 1127. Asosi 5,2 sm, balandligi 4,5 sm bolgan uchburchak chizing. Uning yuzini hisoblang. Endi berilgan kattaliklarni ikki marta orttiring: natijada asosi 10,4 sm va balandligi 9 sm bolgan uchburchak hosil boladi. Uning ham yuzini hisoblang. Yuzlar nisbatini toping. Uni asoslar va balandliklar nisbati bilan taqqoslang. Xulosa chiqaring. 1128. 128- rasmda tasvirlangan teng yonli B 128 uchburchakning yuzini hisoblang va yuzi shu uchburchak yuziga teng bolgan togri tortburchak yasashni korsating. Bunda AC = 6 sm, BD = 8 sm. 1129. Uchburchak tomonlari uzunliklari 3, 4, 5 sonlariga proporsional, periC D metri esa 96 sm ga teng. Uchbur- A chak tomonlari uzunliklarini toping. 1130. Teng yonli uchburchakning asosi 2,4 dm ga teng. Uning yon tomoni asosining 2 3 qismiga teng. Shu uchburchak- ning perimetrini toping. 1131. Tenglamani yeching: 1) 2x + 5,3 = 4x − 5,5; 2) 4,7x − 1,8 = 3,2 + 2,2x. 1132. Togri burchakli uchburchakning kaC tetlari (togri burchak tashkil etuvchi 129 B tomonlar): 1) 14 sm va 6 sm; 2) 11,8 sm va 10 sm; 3) 1,5 dm va 12 sm bolsa, uning yuzini toping. 1133. 129- rasmda tasvirlangan tortburchakning yuzini kerakli tomonlar uzunliklarini olchab toping. A E F D 1134. Uchburchakning asosi 24 sm ga teng, balandligi asosidan 1,2 marta kichik. Shu uchburchakning yuzini toping. 1135. Uchburchakning balandligi 18 sm, asosi esa balandligidan 1,6 marta katta. Shu uchburchakning yuzini toping. 1136. Tenglamani yeching: 1) 4x − 1,6 = 6x − 7,6; 2) 4,7x − 1,8 = 3,2 + 2,2x. 1137. Uchburchakning bir burchagi ikkinchisidan 15° ortiq, uchinchisidan esa 9° kam. Shu uchburchakning burchaklarini toping. 216 145146 Katakli qogozda yuzlarni hisoblash Siz 5- sinfda shaklning yuzi tushunchasi bilan tanishib, togri tortburchak va kvadratning yuzini hisoblashni organgansiz. Sodda hollarda shaklning yuzi quyidagi qoida boyicha topiladi. Shaklning yuzini olchash shakl nechta birlik kvadratdan tashkil topganini bilish demakdir. Masalan, 130- rasmdagi shakllarni birlik kvadratlarga bolib, shu shakllarni tashkil qilgan birlik kvadratlar sonini hisoblaymiz. 130 1 sm 1 sm2 a) b) d) S = 9 sm2 S = 7 sm2 S = 3 sm2 Katakli qogozda berilgan kopburchakning yuzini hisoblash uchun «Pik formulasi» deb ataladigan formulani keltiramiz. Har bir katak tomoni uzunligi 1 sm bolsin. Katakli qogozdagi togri chiziqlar kesishish nuqtalarini birlik kvadrat uchlarini tugun nuqtalar deb ataymiz. U holda kopburchakning yuzi quyidagi formula boyicha hisoblanadi: S = M 2 + N − . Bu formulada M kopburchak chegarasida yotgan tugun nuqtalar soni, N kopburchak ichida yotgan tugun nuqtalar soni. 1- m a s a l a . Togri tortburchakning asosi 5 sm ga, balandligi 4 sm ga teng. Shu togri tortburchakning yuzini toping. Y e c h i s h . 1- u s u l . Togri tortburchakning yuzini hisoblash formulasi S = a · b ga kora: S = 5 · 4 = 20 (sm2). 2- u s u l . Shu javobning Pik formulasi 131 yordamida qanday topilishini korib chiqamiz. Tugun nuqtalarni belgilab olamiz (131- rasm). 4 sm 1) Togri tortburchak ichida yotgan tugun nuqtalarni (kok rangda belgilangan) sanaymiz: ular 4 · 3 = 12 ta, yani N = 12. 217 5 sm 2) Togri tortburchak tomonlarida yotgan tugun nuqtalarni (qizil rangda belgilangan) sanaymiz: ular 2 · (3 + 6) = 18 ta, yani M = 18. Pik formulasini qollaymiz: S = 18 2 + 12 − 1 = 9 + 11 = 20 (sm2). Bu qiymat son jihatdan avval hisoblangan yuzga teng. Yuzni hisoblashning bu usuli qiziqarli va qulaydir. Eng muhimi, katak qogozda turli korinishda chizilgan tortburchak va kopburchaklarning yuzini hisoblashni soddalashtiradi. 2- m a s a l a . Togri burchakli uchburchakning katetlari 6 sm va 8 sm. Uning yuzini toping. Mos rasmni chizing. Y e c h i s h . 1- u s u l . S = S = 1 ah 2 formulaga muvofiq, 1 ⋅ 8 ⋅ 6 = 24 (sm2). 2 2- u s u l . Birlik kvadratlarning uchburchak ichidagi uchlarini sanaymiz: ular N = 17 ta. Uchburchak perimetri boylab joylashgan uchlari soni M = 16 ta. Pik formulasini qollaymiz: S = 16 2 + 17 − 1 = 8 + 16 = 24 (sm2). Shunday qilib, ikkita usul ham bir xil natija bermoqda. Ja v o b : S = 24 sm2. 3- m a s a l a . 132- rasmdagi uchburchak yuzini hisoblang. Y e c h i s h . Tugun nuqtalar sonini sanaymiz: M = 15, N = 34. Pik formulasini qollaymiz: S = 15 2 + 34 − 1 = 7,5 + 33 = 40,5 (sm 2). 132 Uchburchakning yuzini topish formulasi S = 1 ab boyicha ham 2 1 S = ⋅ 9 ⋅ 9 = 40,5 (sm2). 2 Demak, Pik formulasi togri natijani bermoqda. 1138. 1) Togri tortburchak va uchburchak yuzlarini hisoblash? ning qanday usullarini bilasiz? 2) Pik formulasi deganda nimani tushunasiz? 3) Ixtiyoriy uchburchak chizing va Pik formulasi yordamida uning yuzini hisoblang. 218 1139. AOB uchburchakning O burchagi togri. Agar AO = 2,4 sm va BO = 10 sm bolsa, uchburchakning yuzini toping. 1140. 133- rasmdagi shakllarning yuzini toping (1 katak 1 sm2). 133 a) b) d) 1141. Tugun nuqtalarni belgilab, uchburchaklarning yuzini Pik formulasi yordamida hisoblang (134- rasm). 134 a) b) d) e) 1142. Boyalgan shakllarning yuzini toping (135- rasm). 135 a) b) d) 1143. Uchburchakning bir burchagi 60° ga teng. Ikkinchi burchagi undan 1,5 marta katta. Shu uchburchakning uchinchi burchagini toping va burchagiga kora turini aniqlang. 1144. 136- rasmdagi shakllarning yuzini toping. 136 a) b) 219 d) 147148 Katakli qogozda yuzlarni hisoblashga oid sodda masalalar Katakli qogozda kopburchak yuzlarini hisoblashga oid masalalar yechishni davom ettiramiz. 1- m a s a l a . 137- rasmdagi shakl parallelogramm deb ataladi. Uning yuzini hisoblang. Y e c h i s h . Tugun nuqtalar sonini sanaymiz. Rasmda M = 18 (qizil rang 137 bilan belgilangan), N = 20 (kok rang bilan belgilangan). Pik formulasini qollaymiz: S = 18 2 + 20 − 1 = 9 + 19 = 28 (sm2). Parallelogrammning yuzi S = ah formula bilan hisoblanadi. S = ah formula boyicha S = 7 · 4 = 28 (sm2). Bu holda ham Pik formulasi togri natijani berdi. 2- m a s a l a . 138- rasmdagi kopburchak 138 yuzini hisoblang. Y e c h i s h . Tugun nuqtalar sonini sanaymiz. Rasmda M = 11 (qizil rang bilan belgilangan), N = 5 (kok rang bilan belgilangan). Pik formulasini qollaymiz: S = 11 2 + 5 − 1 = 5,5 + 4 = 9,5 (sm2). J a v o b : S = 9,5 sm2. 1145. Tugun nuqtalari belgilangan shakllarning yuzini Pik formulasi yordamida hisoblang (139- rasm). 139 a) b) d) 1146. Togri tortburchakning perimetri 26 sm ga, tomonlaridan biri esa 9 sm ga teng. Shu togri tortburchakning yuziga teng yuzli kvadratning tomonini toping. 220 1147. Markaziy kvadratning yuzi tort katakka, yuqoridagi qism yuzi ikki katakka, qolgan qismlaridan har birining yuzi 1 ta katakka tengligi ravshan. Tugun nuqtalarni belgilab, shakllarning yuzini Pik formulasi yordamida hisoblang (140- rasm). 1148. Tugun nuqtalarni belgilab, shakllarning yuzini Pik formulasi yordamida toping (141- rasm). 140 141 a) b) d) 1149. Togri tortburchakning bir tomoni 25 sm ga, ikkinchi tomoni esa 16 sm ga teng. Shu togri tortburchakning yuziga teng yuzli kvadratning tomonini toping. 1150. Togri tortburchakning yuzi 40 sm2 ga, tomonlarining nisbati 2 : 5 ga teng. Shu togri tortburchakning perimetrini toping. 1151. Uchburchakning asosi 4,8 dm ga, balandligi 2,7 dm ga teng. Shu uchburchakning yuzini toping. 1152. Tugun nuqtalari belgilangan shaklning 142 yuzini Pik formulasi yordamida hisoblang (142- rasm). 1153. Uchburchakning yuzi 20,48 sm2, balandligi 6,4 sm. Shu uchburchakning asosi uzunligini toping. 1154. 143- rasmdagi shakllarning yuzini toping (1 katakning yuzini 1 sm2 ga teng deb oling). 143 1 sm2 a) b) 221 d) Aylana uzunligi va doira yuzi 150152 1. Aylana uzunligi. Aylana, doira tushunchalari bilan 5- sinfda tanishgansiz. Amaliy mashq sifatida quyidagi vazifani bajaring: qogoz kartondan radiuslari turlicha bolgan (masalan, 3 sm va 5 sm) ikkita doira kesib oling. Doira aylanasida biror nuqtani belgilang. Chizgichning O nuqtasi, yani hisob boshini shu nuqtaga qoying va uni A nuqta bilan belgilang. Songra A nuqtadan boshlab doirani chizgich boylab ong tomonga bir marta tola dumalating. Doiradagi nuqtaning chizgichga kelib uringan joyini B nuqta deb belgilab oling. Hosil bolgan AB kesma aylana uzunligi boladi. Xuddi shu ishni ikkinchi aylana uchun ham bajaring (144- rasm). Endi aylana uzunligini uning diametriga (diametr uzunligi 2 ta radius uzunligiga tengligini eslang!) nisbatini hisoblab koring. Olchashlarni aniqroq bajargan bolsangiz, ikkala aylana uchun ham bu nisbatlar 3,1 va 3,2 sonlari orasida boladi. 144 O 0 B 1 2 3 C d O O r A C = 2πr = r 4 5 6 r = C 2r πd =π Bu holda: 7 8 r = 1 sm AB = 6,28 sm. Aylana uzunligining shu aylana diametriga nisbati yunoncha π («pi» deb oqiladi) harfi bilan belgilanadi. Aylana uzunligini C, radiusini r, diametrini d harfi bilan belgilasak, u holda d = 2r, C:d = π π, yani C : (2r) = π πr. boladi. Bundan C = π ⋅ d yoki C = 2π Aylana uzunligini topish uchun uning diametrini π soniga kopaytirish kerak. π soni π soni virlanishi verguldan ozgarmas son. π soni aylana radiusiga bogliq emas. davriy bolmagan cheksiz onli kasr korinishida tasmumkin. Mirzo Ulugbek rasadxonasida π sonining keyingi 17 ta xonasi aniq topilgan: π = 3,14159265358979325... 222 Bu natijaning isboti Giyosiddin Jamshid al-Koshiyning «Aylana haqida risola» asarida bayon etilgan. Αmaliyotda, mashqlar bajarishda soddalik uchun, kopincha, π = 3,14 (bazan π = 3,1416; π = 22 ) deb olinadi. 7 1- m a s a l a . Aylananing radiusi 3 sm. Uning uzunligini toping. Y e c h i s h . C = 2πr formulaga asosan, C = 2 · 3,14 · 3 = 6 ⋅ 3,14 = 18,84 (sm). J a v o b : 18,84 sm. 2- m a s a l a . Aylana uzunligi 12,56 sm ga teng. Uning radiusini toping. Y e c h i s h . C = 2πr formuladan, r = C : (2π) = 12,56 : (2 · 3,14) = 12,56 : 6,28 = 2 (sm). J a v o b : 2 sm. 2. Doiraning yuzi. Doira yuzini S harfi bilan belgilaylik. Doiraning yuzi S = πr 2 formula boyicha hisoblanadi. Demak, doiraning yuzi tomoni shu doira radiusiga teng 145 bolgan kvadrat yuzidan π marta katta ekan (145- rasm). O r2 S = π· 3- m a s a l a . Doiraning rar diusi 1 sm ga teng. Uning yuzini toping. Y e c h i s h . S = πr 2 formulaga kora, S = π · 12 = π (sm2). J a v o b : S = π sm2. 4- m a s a l a . Doiraning yuzi 12,56 sm2 ga teng. Uning radiusini toping. Y e c h i s h . S = πr 2 formulada, S = 12,56; π = 3,14 desak, 12,56 = 3,14 · r 2, bundan r 2 = 4. Qanday son oz-oziga kopaytirilsa, 4 chiqadi? r · r = 2 · 2, demak, r = 2 (sm). J a v o b : r = 2 sm. 1155. 1) Aylana deb nimaga aytamiz? Doira deb-chi? Ularning bir-biridan farqi nimada-yu, oxshashligi nimada? ? 2) Aylana uzunligi deganda nimani tushunasiz? U qanday formula boyicha hisoblanadi? Misollar keltiring. 223 3) Doira yuzini hisoblash formulasini bilasizmi? 4) Aylana uzunligining diametrga nisbati nimaga teng? π harfi nimani bildiradi? 1156. Radiusi: 1) 0,5 sm; 2) 5 dm; 3) 20 sm; 4) 0,4 m; 5) 40 mm bolgan aylananing uzunligini toping. 1157. Diametri: 1) 4 dm; 2) 50 sm; 3) 0,01 m; 4) 100 sm; 5) 200 mm bolgan aylananing uzunligini toping. 1158. Uzunligi: 1) 31,4 sm ga; 2) 56,52 dm ga; 3) 0,628 m ga; 4) 2,512 m ga teng bolgan aylananing diametri nechaga teng? 1159. Aylana radiusi 3 dm ga orttirildi. Shu aylana uzunligi qanchaga ortadi? 1160. Diametri 2,4 dm ga teng bolgan gildirak 144,72 m masofada necha marta aylanadi? 1161. Gildirak 2 763,2 m masofada 440 marta aylandi. Shu gildirakning radiusi necha metr? 1162. Radiusi: 1) 5,5 sm ga; 2) 10,8 dm ga; 3) 15,2 dm ga teng bolgan doiraning yuzini toping. Natijani yuzdan birlar xonasigacha yaxlitlang. 1163. Diametri: 1) 3,6 dm; 2) 19,4 m ga teng bolgan doiraning yuzini toping. Natijani birlar xonasigacha yaxlitlang. 1164. 1) Diametri 26 sm bolgan basketbol topi uzunligi 81 sm bolgan simdan yasalgan halqadan otadimi? 2) Uzunligi 85 sm bolgan simdan yasalgan halqadan-chi? 1165. Doiraning radiusi 1,2 marta ortsa, uning yuzi qanchaga ortadi? 1166. Doiraning yuzi: 1) 36π sm2 ga; 2) 16π dm2 ga; 3) 81π dm2 ga teng. Shu doira aylanasining uzunligi qancha? 1167. Kvadratning tomoni 4 sm ga teng (146- rasm). Boyalgan yuzlarni toping va natijalarni taqqoslang. Xulosa chiqaring. 1168. Yuzi 50,24 sm2 ga teng bolgan doira aylanasining uzunligi necha detsimetr? Natijani ondan birlar xonasigacha yaxlitlang. 224 146 B C O A D 1169. Katta doiraning (147- rasm) ra147 diusi 1,3 dm ga, boyalgan yuz esa 1,44π dm2 ga teng. Kichik doiraning radiusini toping. R r 1170. Gildirakning diametri 68 sm ga O teng. U 100 marta aylanganda qancha metrni bosib otadi? 1171. a) Radiusi: 1) 3,6 sm ga; 2) 24 dm ga teng bolgan aylananing uzunligini toping. Natijani birlar xonasigacha yaxlitlang. b) Diametri: 1) 5,8 dm ga; 2) 42 sm ga teng bolgan aylananing uzunligini toping. Natijani birlar xonasigacha yaxlitlang. 1172. Yuzi: 1) 25π dm2 ga; 2) 314 sm2 ga teng bolgan doira aylanasining uzunligi qancha? 1173. Doiraning yuzi 314 sm2 ga teng. Doira diametrini toping. Ingliz tilini organamiz! uchburchak triangle to'rtburchak rectangle kvadrat square TEST 10 aylana circle trapetsiya trapezoid yuza area Ozingizni sinab koring! 1. Teng tomonli uchburchakning perimetri 28,8 sm ga teng. Uning tomoni uzunligini toping. A) 9,6 sm; B) 9,16 sm; D) 8,6 sm; E) 9,06 sm. 2. Uchburchakning perimetri 27,8 sm ga teng. Uning bir tomoni ikkinchisidan 3,5 sm qisqa, uchinchisidan esa 2,7 sm uzun. Shu uchburchakning uzun tomoni necha santimetr? A) 18,8 sm; B) 11,7 sm; D) 15,3 sm; E) 12,5 sm. 3. Aylananing uzunligi 25,12 sm ga teng. Shu aylana radiusini toping. A) 6,28 sm; B) 3,5 sm; D) 4 sm; E) 4,6 sm. 4. Radiusi 3 sm bolgan doira yuzini toping ( π ≈ !,14 deb oling). D) 21,126 sm2; A) 28,026 sm2; B) 28,36 sm2; 15 Matematika, 6 E) 27,26 sm2. 225 Tarixiy malumotlar π sonining amaliyotdagi ahamiyatini olimlar darhol payqaganlar va uni katta aniqlik bilan hisoblashga intilganlar. Buni quyidagi jadvaldan bilib olish mumkin: π ning taqribiy qiymati Verguldan keyingi nechta raqam aniq Miloddan Yunoniston avvalgi III 3,14285; 3,14084 2 Vitruviy Miloddan avvalgi I 3,12500 1 Ptolemey Milodiy II Yunoniston 3,14166 3 Olimning nomi Arximed Asr Mamlakatning hozirgi nomi Yunoniston Djan-Yen II Xitoy 3,16214 1 Ariabxatta V Hindiston 3,14159 5 Si-chun V Xitoy 3,14160 3 Braxmagupta VII Hindiston 3,14234; 3,1428 2 Muhammad Muso al-Xorazmiy VIII Ozbekiston 3,14285; 3,14160 3 22 62832 ; 7 20000 Abu Nasr Forobiy IX Ozbekiston 3,14285; 3,14084 2 Leonardo da Vinchi XIII Italiya 3,14183 3 Bxaskara XII Hindiston 3,14160 3 Giyosiddin Jamshid al-Koshiy XV Fransua Viyet XVI Ozbekiston 3,14159265358979325... Fransiya 3,1415926535 17 10 π ni aniqroq hisoblash borasida eng yaxshi natijani birinchi bolib Ulugbek rasadxonasining yetakchi olimlaridan biri Al-Koshiy olganligidan doimo faxrlanamiz. 226 Yakuniy takrorlash 1. Sonlarning bolinish belgilari 1174. Bir son ikkinchisidan 9 ta ortiq, uchinchisidan esa 6 ta kam. Bu uchta sonning yigindisini 3 ga bolganda bolinma 20 ga teng boladi. Shu sonlarni toping. 1175. Yulduzcha (∗) orniga shunday raqam qoyingki, natijada hosil bolgan son 3 ga bolinsin: 1) 3∗8; 2) ∗10; 3) 17∗; 4) 4 ∗25. 1176. 1) 1 dan 600 gacha sonlar ichida 9 ga bolinadigan sonlar nechta? 2) 3 ga bolinadigan sonlar-chi? 1177. Yulduzcha orniga shunday raqam qoyingki, natijada hosil bolgan son 9 ga bolinsin: 1) 283 + 1∗3; 2) ∗01 + 10∗; 3) 2 013 ∗25. 1178. Qosh tengsizlikning tub yechimlarini toping: 1) 1 ≤ x ≤ 32; 2) 31 ≤ x ≤ 47; 3) 101 ≤ x < 114. 1179. Yulduzchalar orniga shunday raqamlar qoyingki, 2 408 + 4 ∗2∗ yigindi; 9∗4∗ 2017 ayirma 9 ga bolinsin. 2. Har xil maxrajli kasrlarni qoshish va ayirish 1180. Hisoblang: 1) EKUB (372, 168); 2) EKUK (816, 51); 1181. Hisoblang: 1182. Tenglamani 1) ( "' & 1) + # $ + ; ! yeching: ) ! % − +N = ; # $ # 1183. Kvadratning tomoni # ning enidan 3) EKUB (840, 720); 4) EKUK (24, 25). 2) " 2) (N − ) + ! " % " + " # + ' . "# % ' = . $ $ dm bolib, u togri tortburchak- dm uzun, boyidan # ! dm qisqa. Togri " tortburchakning perimetri kvadratning perimetridan qancha ortiq? 1184. AB kesmani C nuqta ikkita qismga ajratadi: +* = AC esa CB dan " m, m uzun. AB kesmaning uzunligini toping. # 227 1185. Qulay usul bilan hisoblang: ' ; "% 7 1186. Oylangan songa 15 12 # 1) & "% ! " − +& 2) ! $ !% +% qoshilsa, 16 & ' 7 2" $ . !% 13 va 10 sonlar yi15 −4 gindisiga teng son hosil boladi. Oylangan sonni toping. 3. Oddiy kasrlarni kopaytirish va bolish 1187. Amallarni 1) 4 bajaring: 2 3 4 ⋅ − 2 ⋅ ; 7 # 3 9 2) 2,4 ⋅ # 7 4 ⋅ − 3 : 1 . 2 7 7 7 1188. Qulay usul bilan hisoblang: 5 7 1) 39 ⋅ 3 15 37 5 7 −2 ⋅3 1189. Songa uning 15 ; 37 5 9 2) 2 ⋅ 1 13 28 4 9 + 4 ⋅1 13 . 28 4 qismi qoshilsa, 90 hosil boldi. Shu sonni 5 toping. 1190. Mototsiklchi soatiga 60 km tezlik bilan 2 soat-u 45 minut yurdi. Songra soatiga 50 km tezlik bilan 3 soat-u 36 minut yol yurdi. Mototsiklchi jami necha kilometr yol yurgan? 1191. Amallarni bajaring: 1) 3 3 2# 1 1 −# :1 ; : 18 + 100 : 11 36 6 30 2) 12 3 21 17 1 1 − : : 1,19 + 3 : 1 . # 2# 20 17 #1 1192. Togri tortburchakning yuzi 20 4 1 m2 ga, asosi esa 6 m ga # 2 teng. Shu togri tortburchakning balandligini toping. 4. Nisbat va proporsiya 1193. Kasr sonlar nisbatini butun sonlar nisbatiga almashtiring: 1) 3,25 : 9,75; 2) 2 # 17 : : ; 3 12 18 3) 2 1 4 :8 . 9 9 1194. Nisbatning nomalum hadini toping: 1) x : 1,2 = 2,5; 2) 1,8 : x = 1,5; 3) N : 11 1195. Nisbatlardan proporsiya tuzish mumkinmi: 1 7 3 7 1) 1,5 : 7,5 va 1 : 3 ; 3 7 =1 2) 4 : 1 va 10 : 2,5? 228 1 . 20 1196. Proporsiyaning yeching: 1) 3N + 4 28 = asosiy 22 ; 7 2) 2 xossasidan 1 7 : 3 28 foydalanib 1 3 = 3 N : 1,5 ; 3) tenglamani 3 2 N −1 = 7 . 4 N −1 1197. Bir son ikkinchisidan 102 ga katta. Bu sonlar nisbati 9,3 : 0,8 ga teng. Shu sonlarni toping. 1198. Guruchda 75 %, arpada esa 60 % kraxmal bor. 5 kg guruchdan chiqadigan kraxmal necha kilogramm arpadan chiqadigan kraxmalga (massasi boyicha) teng boladi? 1199. Yuzi 20 gektar bolgan ekin maydonining olchamlari 50 sm ga 40 sm li togri tortburchak shaklidagi tarhini chizish uchun masshtabni qanday tanlash kerak? 1200. Proporsiyaning nomalum hadini toping: 2 7 1 7 1 9 :1 = N : 2 ; 1) x : 8 = 4 : 2; 3) 2 2) 7,8 : x = 7,2 : 1,2; 4) 5 : 4 = 2,5 : x. 1201. 10, 27, 15 sonlari uchligiga shunday bir tortinchi sonni topingki, natijada bu sonlar proporsiya hosil qilsin. Masala nechta yechimga ega? 1202. A va B shaharlar orasidagi masofa 180 km. Bu masofa yengil mashinada 2 soatda, yuk mashinasida esa 3 soatda bosib otiladi. A dan B ga qarab yuk mashinasi yolga chiqdi. Xuddi shu vaqtda B dan A ga qarab yengil mashina yolga chiqdi. Ular A shahardan necha kilometr narida uchrashadilar? 1203. Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib tenglamani yeching: 1) 2 N +1 6 = 3 N −1 ; 4 2) N : 2,5 = 8 4 7 1 7 :2 ; 3) 10,# #1 = . N − 3,6 N + 1,8 5. Musbat va manfiy sonlar. Musbat va manfiy sonlarni qoshish va ayirish 1204. Koordinata oqida A(2) nuqta berilgan bolib, u oq boylab siljitilgandan keyin B(3) nuqtaga otdi. B nuqta necha birlik va qaysi tomonga siljitilgan? 1205. Hisoblang: 1) −2,8 ⋅ −3,5 ⋅ −2 2 1 ⋅ −1 ; 3 2 229 2) −3,1 ⋅ −1 9 1 3 −1 ⋅ − . 31 3 4 1206. Tenglamani yeching: 1) | x | = 1; 2) | x | = 1,5; 3) | 3 x | = 3. 1207. Hisoblang: 1) 125 + ((−125) + 25); 4) 3,71 + ((−2,71) + 9); 2) 149 − (126 − (−70)); 5) 143 + (−176) + 166; 3) −202 + ((−38) + 102); 6) 43,1 − (7,8 − (−23,1)). 1208. Son oqida koordinatasi bilan berilgan ikki nuqta orasidagi masofani toping. Mos rasmlar chizing: 1) A(−1), B(3); 3) C(−4), D(−1); 5) E(−2), O(0); 2) F(2,5), G(4,5); 4) K(−1), L(2); 6) P(−5), Q(1). 1209. Tenglamani yeching: 3) −16 − x = 32 − (−12); 1) 10 + x = −20 + (−5); 2) −12 + x = −11 − (−10); 4) x + (−18) = −29 − (−19). 1210. Hisoblang: 3) −(−8 − 14) − (−18 + 32); 1) −29 − (−21); 2) −(−7,9) − 8,6; ( 4) − −2 ) ( ) 1 2 2 2 −1 − 3 −1 . 3 3 7 7 1211. Yulduzcha (∗) orniga mos sonlar qoying: 1) −28 + (−22) + ∗ = −55 − 3; 2) ∗ − 32 − (−38) = −29 − (−21); 3) −78 − (−22) − ∗ = −(−63) − 96. 6. Musbat va manfiy sonlarni kopaytirish va bolish 1212. Darajaning ishorasini aniqlang: 3) (−1)2; 1) (−1)1; 4) (−1)4; 2) (−1)3; 5) (−1)2 013; 6) (−1)2 014. 1213. Guruhlash qonunidan foydalanib hisoblang: (−2 ) ⋅ 27 ⋅ # 9 1) 2,5 ⋅ 3 ⋅ (−8); 4) 2) (−25) ⋅ 17 ⋅ (−0,4); 5) 0,125 ⋅ 3 3) 3 4 7 ⋅ (−18) ⋅ 7 ; 25 6) 9 ; 23 14 ⋅ ( −8); 15 (− 4 ) ⋅ (− 5,5) ⋅ 2. 1 11 1214. Umumiy kopaytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring va hisoblang: 1) −122 ⋅ 83 − 61 ⋅ 46 − (−6) ⋅ 122; 2) −136 ⋅ 57 − 68 ⋅ 36 − 50 ⋅ 68. 230 1215. Tenglamani yeching: −7 − N N −2 ; = 4 3 8 20 4) . = 3− N 4+ N 1) (12 + x) : (−3) = (−7) : 3,5; 3) 2) (x − 9) : (−1,8) = (−2,5) : (−0,5); 1216. Ifodaning qiymatini toping: 1) (−14,4) ⋅ (−2) : (−3,6) ⋅ (−1); 2) (−33,6) : 2,8 ⋅ (−3,5) : (−7); 3) 42,5 : (−5) : (−17) ⋅ (−24); 4) −8 6 3 : 4 ⋅ (−2,8) : (−0,7). 7 7 1217. Tenglamani yeching: 1) (−24) ⋅ x = 480; 3) 2,5x = −17,5; 2) 2 2 9 1 9 ⋅N =1 ; 4) −x : 1,2 = 1,3; 5) 28,9 : (−x) = 17; ( )= 6) N : −1 1 3 −3 . 4 1218. Umida bir son oyladi. Uni (−5) ga kopaytirib, javobni 9 ga boldi. Bolinmadan 80 ni ayirib, natijani (−11) ga boldi. Hosil bolgan sonning 80 % iga (−50) ni qoshgandi, (−46) chiqdi. Umida qanday sonni oylagan ekan? 7. Tenglamalarni yechish 1219. 1) Tenglamaning ildizi nima? Tenglama ildizga ega bolishi shartmi? Misollar keltiring. 2) Tenglamaning asosiy xossalarini ayting va misollarda tushuntiring. 1220. Nomalum x qatnashgan hadlarni tenglamaning chap qismiga, malum (ozod) hadlarni esa ong qismiga otkazib, ifodani soddalashtiring va hosil bolgan tenglamani yeching: 1) 2,7x − 2,8 = 4,2 − 4,3x; 3) −5,3x + 4,5 = 4,7x − 5,5; 4 3 2) 1 N − 4,9 = 11,1 − 6 N ; 7 7 4) 0,25x + 4 2 2 = 1,75x + 2 . 3 3 1221. 1) Beshta ketma-ket kelgan toq natural sonlar yigindisi 9 975 ga teng. Shu sonlarni toping. 2) Beshta ketma-ket kelgan juft natural sonlar yigindisi 10 080 ga teng. Shu sonlarni toping. 1222. Beshta sonning orta arifmetik qiymati (−3,2) ga teng. Shu 5 ta songa yana bir x son qoshib, orta arifmetik qiy2 mat hisoblangan edi, u: 1) 2,4 ga; 2) 8 ga; 3) −3 ga teng 3 chiqdi. x ni toping. 231 1223. Tijoratchida 110 kg mahsulot bor edi. Agar u 1 kg mahsulotni 4 000 somdan sotsa, 120 000 som zarar koradi. Tijoratchi hamma molini sotib, 100 000 som foyda kordi. U mahsulotning bir kilogramini necha somdan sotgan? 1224. Bir fermerning ekin maydoni ikkinchisinikiga qaraganda 20 % kop. Ammo hosildorlik ikkinchi fermerda birinchisinikiga qaraganda 25 % kop. Qaysi fermer va necha foiz ortiq hosil yigib oladi? 1225. Tortta sonning yigindisi 3 888 ga teng. Bu sonlarning nisbati 4 : 3 : 5 : 6 kabi. Shu sonlarni toping. 1226. 576 m masofada aravaning orqa gildiragi oldingisiga qaraganda 60 ta kam aylanadi. Oldingi gildirak aylanasi 3,2 m bolsa, orqa gildirak aylanasi uzunligini toping. 1227. Tenglamani yeching: 1) (7x + 3) − (5x − 7) = (2x − 5) − (3x − 6); 2) 3(2x − 3) + 4(2 − 5x) = 7(2 − 3x) − 2(3x − 1); 3) ) ( ) ( 5 4 1 1 ⋅ N − 1,6 + 0,75 ⋅ N + 1 = 5 − 3 N ; 8 5 3 3 4) 2 ⋅ (3,5 N − 4 ) − 3 ⋅ (3 N + 1) = 2 ( ) 1 7 ⋅ N − 1,4 . 7 15 1228. Ikkita sonning biri ikkinchisidan 11 ta ortiq. Katta sonning 30 % i kichik sonning 40 % idan 0,8 ga kop. Shu sonlarni toping. 1229. Uchta shkafda 376 ta kitob bor. Birinchi shkafda ikkinchisiga qaraganda 12 ta kam, ammo uchinchisiga qaraganda 17 ta kop kitob bor. Har bir shkafda nechtadan kitob bor? 1230. Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib tenglamani yeching: 1) 4N −7 N −1 2) 5 N +1 = ; 4 N −3 = 13 ; 4 3) N +1 N +2 1 ; 2 5) 2 N +3 5− N 4) 5 N +3 = ; 3 N +1 6) 1 N −3 = . 2 N +1 = = 3 ; 5 1231. Avtobusning tezligi yengil mashina tezligidan 20 km/soat kam. Malum bir masofani yengil mashina 5 soatda, avtobus 7 soatda otadi. Avtobus va yengil mashinaning tezligini toping. 1232. Tijoratchi mahsulotning 1 kg ini 16 500 somdan sotsa, 81 400 som zarar koradi. Agar 1 kg ini 19 800 somdan 232 sotsa, 162 800 som foyda qiladi. Tijoratchida necha kilogramm mahsulot bor? 1233. Ketma-ket kelgan uchta butun son yigindisi (−387) ga teng. Shu sonlarni toping. 1234. Uchburchakning perimetri 61 sm. Uning bir tomoni ikkinchisidan 3 sm qisqa, uchinchisidan esa 5 sm uzun. Shu uchburchakning tomonlarini toping. 8. Malumotlar 1235. 3, 5, 6 va 9 raqamlaridan ularni takrorlamasdan mumkin bolgan barcha tort xonali sonlarni tuzing. Bu sonlarning ichidan nechtasi: 1) 4 ga bolinadi; 2) 5 raqami bilan boshlanadi; 3) 9 raqami bilan tugaydi; 4) nechta holda toq raqamlar yonma-yon turadi? 1236. Mamura basketbol toriga 30 marta otilgan topdan 20 tasini, Manzura esa 28 marta otilgan topdan 18 tasini tushirdi. Qizlardan qaysi biri merganroq? 9. Geometrik material 1237. Uchburchakning bir burchagi 30° ga teng. Ikkinchi burchagi esa bundan 3 marta katta. Shu uchburchakning uchinchi burchagini toping. Bu uchburchak qanday uchburchak boladi? 1238. Uchburchak tomonlari uzunliklari 6, 8, 10 sonlariga proporsional, perimetri esa 72 sm ga teng. Uchburchak tomonlari uzunliklarini toping. 1239. Uchburchakning perimetri 41,5 sm ga teng. Uning bir tomoni ikkinchisidan 3,8 sm uzun, uchinchisidan esa 2,4 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlarini toping. 1240. Uchburchakning bir burchagi ikkinchisidan 18° ortiq, uchinchisidan esa 6° kam. Shu uchburchakning burchaklarini toping. 1241. 1) Aylana radiusi 2,5 sm ga teng. Aylana uzunligini toping. 2) Aylana uzunligi 21,98 sm ga teng. Aylana diametrini toping. 1242. Doira radiusi 1,5 sm ga teng. Shu doira yuzini toping. 1243. Doiraning yuzi 9 marta ortishi uchun uning radiusini necha martaga orttirish kerak? 1244. Yer ekvatorining radiusi 6 378 km ga teng. Yer ekvatorining uzunligini toping. 233 JAVOBLAR 3. 240 m2. 8. 1 soatda 252 g, 1 sutkada 6 048 g, 1 oyda 181 440 g. 22. 2 soat 24 min (2,4 soat). 28. 64 bet, 60 bet. 41. 1) 0, 2, 4, 6, 8 raqamlari. 44. 1. 47. 1. 59. 1) 2 ga: 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52; 2) 5 ga: 35, 40, 45, 50; 3) 10 ga: 40, 50. 64. Eng kattasi 3 210; eng kichigi 1 023. 79. 1) 111; 2) 111 111 111. 88. 1) x = 126; 135; 144; 153; 162; 2) y = 90; 99; 3) z = 63; 72; 81; 90; 99; 108; 117. 128. 1) EKUB (a, b) = 2 · 52 = 50; 3) EKUB (a, b) = 5 · 7 = 35. 137. 1) EKUB (50, 60) = 10; 2) EKUB (21, 84) = 21; 3) EKUB (225, 50) = 25. 144. 105 kun. 149. 2 + 5 = 7; 5 − 2 = 3. 169. 1) x = 13; 2) x = 18. 174. B). 3 1 9 1 m, 50 sm = m, 90 sm = m; 2) 60 g = kg, 2 50 4 10 1 3 kg,750 g = kg. 201. Qirq. 225. n = 3 bolishi mumkin: 200 g = 5 4 2 1 2 9 10 < ; . 226. Mamura tez yechgan, chunki . 246. = = ; 36 3 3 45 45 197. 1) 25 sm = 3 4 5 19 ; ; . 248. A) 2. 250. 1) x = 9; 2) x = 3; 3) x = 28. 284. 36 36 36 30 soat yoki 38 min. 301. 2- qopchada 8,1 kg; 0,7 kg kop bolgan. 310. AB kesma uzun, 1 25 1 8 dm ga uzun. 313. 41 m. 316. $ . 330. AB kesma CD kesmadan 0,15 dm ga uzun. 350. Ha, mumkin. Masalan, 2 + 3 + 59 = 64. 351. E). 353. 14,7 kg. 360. 72,9 dm2. 369. 2 kg. 371. 9 kg. 373. Chugurchiqniki 1 200 m/min, qirgiyniki 1 120 m/min. 375. 20 kg. 427. 12 km. 455. 1 ! soatda, ! soatda. 462. 1 soatda 60 km. 469. 450 m2. ! 473. 62 yoshda. 482. 240 ga. 484. 101 − 102 = 1, 487. 49 km. 498. 1) 12,8; 2) 4. 503. Ismoilda darvozabon bolish imkoniyati kop, chunki masofani 2 !6 !# > . 514. 1) Togri; 2) notogri. 521. 8 km ' ' soatda bosib otadi. 523. 2) 8. 528. 1) x = 3 ; # 2) x = 2,4. 531. 2) x = 6,5. 542. Chetki hadi 30 ga teng. 550. 7 ta ot 8 kunda 224 kg yem yeydi. 551. 1) x = 1. 556. 10 ta chittak 10 kunda 1 kg don yeydi. 558. 100 kg. 578. Manzura 7 ni qoshdi. 588. 1) 720 g paxta bor; 2) 1 kg kapron bor. 612. 100,8 kg qalay; 12 kg surma; 4,8 kg mis; 2,4 kg vismut. 614. 5 000 m2. 234 628. 99 sm. 631. Tomonlari 20 sm, 48 sm, 52 sm. 635. (77 + 13) : 3 = 30; (28 + 47) : 3 = 25; (16 + 44) : 3 = 20, yani orta katakdagi son chetki katakdagi sonlar yigindisini 3 ga bolinganiga teng. 636. 36 ta tuxum. 657. 150 marta kichraytirilgan. 658. 72 km/soat. 660. 1 : 2 000 000. 662. 32 km. 675. 1 : 1 000 000. 684. 1) 2 ta ortadi. 687. 1, 1, 1, 2, 5. 691. D). 692. 3 °C. 697. 33 °C. 729. 1) 23 ta. 738. 1) 106. 742. 75. 803. D). 827. Masofalar teng. 844. 320 m, 6 300 m2. 907. 3) 0; 4) musbat. 927. 1) 5. 958. 1) −111; 2) 0. 970. 1) 5,(2); 2) 1,(37); 3) 3,(108). 975. 1) 7,2 sm; 2) 3,6 dm. 989. 1) 36. 990. 1) x = 1,8. 998. −2,6. 1007. 1) −4a; 3) 8b. 1020. 27 sm, 23 sm, 30 sm. 1072. 1) 20, 25; 2) 60, 65. 1073. 6 qator. 1077. 2) 11 ta. 1079. 6 ta. 1081. 12 ta. 1083. 3) 10 ta; 4) 45 ta. 1085. 1) 18 ta; 2) 180 ta. 1087. 6 ta. 1089. 120. 1091. 10 000. 1093. 10 ta urinish; 5 min. 1097. 6. 1100. 1) Yasab bolmaydi, chunki uchburchak ikki tomonining yigindisi uchinchi tomonidan kichik (4 dm < 4,5 dm). 1101. 40°; otmas burchakli. 1103. 1) P = 6,5 + a + b; 2) a) 16,9 sm. 1104. Ha, bor; togri burchakli. 1106. 28,5 sm. 1116. 1) 50 sm2. 1130. 5,6 sm. 1132. 2) 59 sm2. 1135. 259,2 sm2. 1137. 62°, 47°, 71°. 1139. 12 sm2. 1145. a) 32,5 sm2; d) 20 sm2. 1147. 12 sm2. 1168. r = 0,5 dm. 1174. 21, 12, 27. 1189. 50. 1200. 2) x = 1,3. 1202. 72 km. 1229. 127 ta, 139 ta, 110 ta. 1230. 2) x = 19; 3) x = 0. 1231. 50 km/soat; 70 km/soat. 1232. 74 kg. 1233. −130; −126; −128. 1000 gacha bolgan tub sonlar jadvali 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 235 MUNDARIJA 5- sinfda otilganlarni takrorlash ............................................................. 3 6-SINF MATERIALLARI I BOB. SONLARNING BOLINISH BELGILARI 12- mavzular. Sonning boluvchilari va karralilari ......................... 6 35- mavzular. Sonlarning 10 ga, 5 ga va 2 ga bolinish belgilari ... 10 67- mavzular. Sonlarning 9 ga va 3 ga bolinish belgilari ........... 13 10- mavzu. Tub va murakkab sonlar ......................................... 16 1112- mavzular. Natural sonlarni tub kopaytuvchilarga ajratish .... 19 1314- mavzular. Eng katta umumiy boluvchi. Ozaro tub sonlar ... 21 1516- mavzular. Eng kichik umumiy karrali (bolinuvchi) .............. 26 Ozingizni sinab koring! (1- test) ......................................................... 30 II BOB. HAR XIL MAXRAJLI KASRLARNI QOSHISH VA AYIRISH 1920- mavzular. Kasrning asosiy xossasi .......................................... 2123- mavzular. Kasrlarni qisqartirish .............................................. Ozingizni sinab koring! (2- test) ......................................................... 2426- mavzular. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish .................... 2728- mavzular. Har xil maxrajli kasrlarni taqqoslash ..................... 3133- mavzular. Har xil maxrajli kasrlarni qoshish va ayirish ....... 3437- mavzular. Aralash sonlarni qoshish va ayirish ...................... Ozingizni sinab koring! (3- test) ......................................................... 31 34 38 39 43 47 51 58 III BOB. ODDIY KASRLARNI KOPAYTIRISH VA BOLISH 4042- mavzular. Oddiy kasrlarni va aralash sonlarni kopaytirish ... 4345- mavzular. Sonning qismini topish .......................................... 4648- mavzular. Kopaytirishning taqsimot qonuni va uning tatbiqlari .................................................................. 4950- mavzular. Ozaro teskari sonlar .............................................. 5153- mavzular. Oddiy kasrlarni bolish ........................................... 54- mavzu. Qismiga kora sonning ozini topish ................................ Ozingizni sinab koring! (4- test) ......................................................... 236 59 65 68 73 78 82 87 IV BOB. NISBAT VA PROPORSIYA 57–58- mavzular. 59–61- mavzular. 62–64- mavzular. 65–66- mavzular. 69–74-mavzular. Nisbat tushunchasi. Proporsiyalar .......................... 88 Proporsiyaning asosiy xossasi ................................. 93 Proporsiya asosiy xossasining tatbiqlari ................. 98 To‘g‘ri va teskari proporsional miqdorlar ............. 101 To‘g‘ri va teskari proporsional miqdorlarning tatbig‘i ............................................ 106 75–78- mavzular. Masshtab ................................................................. 115 O‘zingizni sinab ko‘ring! (5- test) ........................................................ 121 Tarixiy ma’lumotlar .............................................................................. 122 V BOB. MUSBAT VA MANFIY SONLAR. BUTUN SONLAR 81–83- mavzular. Musbat va manfiy sonlar. Butun sonlar haqida tushuncha ............................................................... 84–85- mavzular. Koordinata to‘g‘ri chizig‘i. Musbat va manfiy sonlarni son o‘qida tasvirlash ............................... 86–88- mavzular. Qarama-qarshi sonlar. Sonning moduli ............... 89–90- mavzular. Sonlarni taqqoslash. Miqdorlarning o‘zgarishi .... O‘zingizni sinab ko‘ring! (6- test) ........................................................ Tarixiy ma’lumotlar .............................................................................. 123 127 132 138 143 144 VI BOB. MUSBAT VA MANFIY SONLARNI QO‘SHISH VA AYIRISH 93–94- mavzular. Koordinata to‘g‘ri chizig‘i yordamida sonlarni qo‘shish va ayirish.......................... .....................145 95–97- mavzular. Manfiy ishorali sonlarni qo‘shish..................... 149 98–100- mavzular. Har xil ishorali sonlarni qo‘shish..........................152 101–102- mavzular. Sonlarni ayirish ................................................. 159 O‘zingizni sinab ko‘ring! (7- test) ........................................................ 164 VII BOB. MUSBAT VA MANFIY SONLARNI KO‘PAYTIRISH VA BO‘LISH 105–106- mavzular. Sonlarni ko‘paytirish ......................................... 107–109- mavzular. Sonlarni bo‘lish .................................................. 110–112- mavzular. Ratsional sonlar haqida tushuncha. Ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar xossalari .... 113- mavzu. Sodda hollarda natural sonlarning darajalari, qiymatlari ratsional son bo‘lgan kvadrat ildizlarni hisoblash. Davriy kasr haqida tushuncha ........................................................... O‘zingizni sinab ko‘ring! (8- test) ........................................................ 165 168 172 177 181 VIII BOB. TENGLAMALARNI YECHISH 116–117- mavzular. Qavslarni ochish qoidasi. Koeffitsiyent ........... 182 118–119- mavzular. Bir noma’lumli butun koeffitsiyentli chiziqli tenglamalarni yechish ....................................... 186 237 120121- mavzular. Sodda hollarda bir nomalumli kasr koeffitsiyentli chiziqli tenglamalarni yechish ... 192 Ozingizni sinab koring! (9- test) ........................................................ 195 Tarixiy malumotlar 196 IX BOB. MALUMOTLAR 124125- mavzular. 126127- mavzular. 128129- mavzular. 130131- mavzular. 132133- mavzular. Jadvallar ............................................................. 197 Diagrammalar .................................................... 200 Malumotlar tahlili ............................................ 203 Kombinatorika elementlari ............................... 206 Sodda kombinatorika qoidalari (kopaytirish) ga oid amaliy masalalarni yechish ........................ 207 X BOB. GEOMETRIK MATERIAL 136138- mavzular. Uchburchak, uning perimetri va turlari ........... 209 139142- mavzular. Uchburchakning yuzi ........................................ 213 145146- mavzular. Katakli qogozda yuzlarni hisoblash ................. 217 147148- mavzular. Katakli qogozda yuzlarni hisoblashga oid sodda masalalar ................................................. 220 150152- mavzular. Aylana uzunligi va doira yuzi .......................... 222 Ozingizni sinab koring! (10- test) ...................................................... 225 Tarixiy malumotlar 226 YAKUNIY 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. TAKRORLASH Sonlarning bolinish belgilari ........................................................... 227 Har xil maxrajli kasrlarni qoshish va ayirish ................................ 227 Oddiy kasrlarni kopaytirish va bolish ........................................... 228 Nisbat va proporsiya ........................................................................ 228 Musbat va manfiy sonlar. Musbat va manfiy sonlarni qoshish va ayirish ........................................................................... 229 Musbat va manfiy sonlarni kopaytirish va bolish......................... 230 Tenglamalarni yechish ..................................................................... 231 Malumotlar ...................................................................................... 233 Geometrik material .......................................................................... 233 Javoblar ................................................................................................ 234 238 22.1 M-31 Mirzaxmedov M. A., Rahimqoriyev A. A., Ismailov Sh. N., Toxtaxodjayeva M. A. Matematika 6: Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 6- sinfi uchun darslik, / M. A. Mirzaxmedov, A. A. Rahimqoriyev, Sh. N. Ismailov, M. A. Toxtaxodjayeva. – «O‘qituvchi» NMIU, 2017. – 240 bet. ISBN 978-9943-22-053-9 UO‘K: 51(075) KBK 22.1ya72 MIRFAZIL ABDILHAQOVICH MIRZAXMEDOV, ABDUVAHOB ABDURAHMONOVICH RAHIMQORIYEV, SHUXRAT NORALIYEVICH ISMAILOV, MIYASSAR ABDUVAXABOVNA TOXTAXODJAYEVA MATEMATIKA 6 Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 6- sinfi uchun darslik Qayta ishlangan va to‘ldirilgan 2- nashri «O‘qituvchi» nashriyot-matbaa ijodiy uyi Toshkent – 2017 Muharrir N. G‘oipov Tex. muharrir S. Nabiyeva Musahhihlar: Z. G‘ulomova, M. Mirsolihov Rassom va sahifalovchi Sh. Rahimqoriyev Nashriyot litsenziyasi AI ¹291 04.11.2016. Original-maketdan bosishga ruxsat etildi 25.04.2017. Bichimi 70½100 1/16. Kegli 11 shponli. Tayms garniturasi. Ofset bosma usulida bosildi. Ofset qog‘ozi. Shartli b.t. 19,35. Hisob-nashriyot t. 11,82. Adadi 58 070 nusxa. Buyurtma ¹ O‘zbekiston Matbuot va axborot agentligining «O‘qituvchi» nashriyot-matbaa ijodiy uyi. Toshkent, Yunusobod tumani, Yangishahar ko‘chasi, 1- uy. Shartnoma ¹19-17 239 Ijaraga berilgan darslik holatini ko‘rsatuvchi jadval T/r O‘quvchining ismi, familiyasi O‘quv yili Darslikning olingandagi holati Sinf Darslikning Sinf rahbarining topshirilgandagi rahbarining imzosi holati imzosi 1 2 3 4 5 6 Darslik ijaraga berilib, o‘quv yili yakunida qaytarib olinganda yuqoridagi jadval sinf rahbari tomonidan quyidagi baholash mezonlariga asosan to‘ldiriladi: Yangi Darslikning birinchi marotaba foydalanishga berilgandagi holati. Yaxshi Muqova butun, darslikning asosiy qismidan ajralmagan. Barcha varaqlari mavjud, yirtilmagan, ko‘chmagan, betlarida yozuv va chiziqlar yo‘q. Qoniqarli Muqova ezilgan, birmuncha chizilib, chetlari yedirilgan, darslikning asosiy qismidan ajralish holati bor, foydalanuvchi tomonidan qoniqarli ta’mirlangan. Ko‘chgan varaqlari qayta ’ta’mirlangan, ayrim betlariga chizilgan. Qoniqarsiz Muqova chizilgan, yirtilgan, asosiy qismidan ajralgan yoki butunlay yo‘q, qoniqarsiz ta’mirlangan. Betlari yirtilgan, varaqlari yetishmaydi, chizib, bo‘yab tashlangan. Darslikni tiklab bo‘lmaydi.