Олимпиада «Экономическая элита России»-2013 (2-й тур).

Олимпиада «Экономическая элита России»-2013 (2-й тур).
Вариант №1.
1. Две бригады трактористов одновременно начали пахать два участка
земли. Участок второй бригады вдвое больше участка первой. Во
второй бригаде было на 10 трактористов больше, чем в первой. Вторая
бригада вспахала свой участок раньше, чем первая. Какое наибольшее
число трактористов могло быть в первой бригаде, если все трактористы
работали с одинаковой производительностью?
Решение. Пусть 𝑥 − число трактористов в первой бригаде, 1- площадь
первого участка. Тогда условие задачи означает, что
1
𝑥
>
2
𝑥+10
, откуда 𝑥 +
10 > 2𝑥, 𝑥 < 10. Следовательно, 𝒙 = 𝟗. (Это наибольшее натуральное
число, меньшее 10)
2. Решить неравенство:
√𝑥 + 1 + √𝑥 + 4 + √𝑥 + 9 + √𝑥 + 16 < 10.
Решение. Левая часть возрастает на луче [−1, +∞). Она равна 10 при 𝑥 =
0. Ответ:[−1,0).
3. Хорды 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 некоторой окружности пересекаются в точке 𝐹.
а) Дано, что 𝐴𝐹 ∙ 𝐹𝐵 = 8. Найти 𝐶𝐹 ∙ 𝐹𝐷.
б) Дано, что 𝐴𝐵 = 6, 𝐶𝐷 = 10 и длины отрезков 𝐴𝐹 и 𝐶𝐹 являются целыми
числами. Найти длины отрезков 𝐴𝐹 и 𝐶𝐹.
Решение. По известной теореме 𝐴𝐹 ∙ 𝐹𝐵 = 𝐶𝐹 ∙ 𝐹𝐷. Поэтому ответ в пункте
А): 𝐶𝐹 ∙ 𝐹𝐷 =8. Рассмотрим пункт Б). Наименьшее возможное значение
произведения 𝐶𝐹 ∙ 𝐹𝐷 равно 9 (так как длины отрезков целые числа,
произведение может принимать значения 1 ∙ 9 =9,2 ∙ 8 =16,3 ∙ 7 =21,4 ∙
6 =24,5 ∙ 5 =25). Наибольшее возможное значение 𝐴𝐹 ∙ 𝐹𝐵 тоже равно 9
(здесь возможные значения - 5,8,9), при этом 𝑨𝑭 = 𝐹𝐵 = 𝟑. Для 𝐶𝐹 имеем
два варианта: 𝑪𝑭 = 𝟏 или 𝑪𝑭 = 𝟗.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
1 3
𝑦 = |𝑥 2 + 𝑥| + |𝑥 2 − 3𝑥 + 2| на отрезке [− , ].
2 2
Решение. Функция равна 2𝑥 2 − 2𝑥 + 2 вне отрезков [−1,0], [1,2],
равна −4𝑥 + 2 на отрезке [−1,0] и равна 4𝑥 − 2 на отрезке[1,2].
Следовательно, наибольшее значение на отрезке равно 4, наименьшее
значение равно 1,5.
5. Пусть 𝐵𝐶 − верхнее основание трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.
а) Диагонали трапеции 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Площадь
треугольника 𝐴𝑂𝐵 равна 1. Найти площадь треугольника 𝐶𝑂𝐷.
б) На верхнем основании 𝐵𝐶 взяты точки 𝐸, 𝐹 в следующем порядке:
𝐵, 𝐸, 𝐹, 𝐶. На нижнем основании 𝐴𝐷 взяты точки 𝐺, 𝐻 в следующем
порядке: 𝐴, 𝐺, 𝐻, 𝐷. Отрезки 𝐴𝐸 и 𝐵𝐺 пересекаются в точке 𝑃, отрезки 𝐸𝐻 и
𝐹𝐺 пересекаются в точке 𝑄, отрезки 𝐹𝐷 и 𝐶𝐻 пересекаются в точке 𝑅.
Площадь треугольника 𝐴𝐵𝑃 равна 1, площадь треугольника 𝐶𝑅𝐷 равна 2.
Найти разность площадей четырёхугольников 𝐹𝑅𝐻𝑄 и 𝐸𝑃𝐺𝑄.
Решение. Пусть в трапеции, например, 𝑋𝑌𝑍𝑇 c основаниями 𝑋𝑇 и 𝑌𝑍
диагонали пересекаются в точке 𝑂. Тогда площади треугольников 𝑋𝑌𝑂 и
𝑂𝑍𝑇 равны.
Поэтому ответ в задаче А): площадь треугольника 𝐶𝑂𝐷 равна 1.
Б) Площадь треугольника 𝐴𝐵𝑃 равна площади треугольника 𝐸 𝐺𝑃 и равна
1, площадь треугольника 𝐶𝑅𝐷 равна площади треугольника 𝐹𝑅𝐻 и равна
2. Площади треугольников 𝐸𝑄𝐺 и 𝐹𝐻𝑄 равны друг другу. Поэтому
разность площадей четырёхугольников 𝐹𝑅𝐻𝑄 и 𝐸𝑄𝐺𝑃 равна разности
площадей треугольников 𝐶𝑅𝐷 и 𝐴𝐵𝑃, т.е 1.
6. Две группы туристов, общей численностью менее 70 человек,
отправились в лодочный поход. В первой группе туристов больше, чем во
второй, в которой не менее 31 человека. Все туристы сели в одинаковые
лодки, вмещающие более, чем по 3 человека. Оказалось, что в лодках нет
свободных мест. Сколько туристов в каждой из групп?
Решение. Пусть в первой группе −𝑥 туристов, во второй группе− 𝑦
туристов. Тогда 𝑥 + 𝑦 < 70, 𝑦 ≥ 31, 𝑥 ≤ 38. Числа 𝑥, 𝑦 имеют общий
делитель, не меньший 4. Среди чисел 31,32,33,34,35,36,37,38 только числа
32 и 36 имеют такой общий делитель 4. (Больше . чем 8 такой делитель
быть не может, так как чисел всего 8, но среди этих чисел нет ни двух,
делящихся на 5, ни двух, делящихся на 6, ни двух, делящихся на 7, ни двух,
делящихся на 8).