Подстановки

Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных функций
Qx 
1.Проверяем, является ли рациональная дробь
праPx 
вильной. Если у неё степень многочлена числителя не
меньше степени многочлена знаменателя (т.е. дробь неправильная), то делением многочлена на многочлен выделяем целую часть.
2.Раскладываем Px  на вещественные множители (линейные и квадратичные).
3.Представляем правильную рациональную дробь в виде
суммы простых дробей по правилу:
 udv  uv   vdu
 p x  e dx

 p x  a dx  u  P x
 P x  sin xdx
 P x  cos xdx
 Px  log xdx


 Px arctgxdx

2.  Px arcctgxdx  dv  Px dx

 Px  arcsin xdx


 Px  arccos xdx




1. 




x
n
x
n
n
n
n
а) множителю знаменателя x  a k соответствуют дроби
Ak 1
Ak
A1
A2



;
k
k 1
2
x  a  x  a 
x  a  x  a 
a

3. Циклические интегралы (формула интегрирования по частям применяется два раза)
 ex cos xdx

 u  ex

x
 e sin xdx



Интегрирование правильных рациональных дробей I, II и III типов
A
dx  A ln x  a  c .
1.
xa

2.
 x  a 
A
k
dx 
x  a k 1  c .
x
2
 px  q

 
l

 x ax
m
n
dx 
 x  p / 2
2
 q  p2 / 4
замена
, где D  p 2  4q  0
x  p / 2  t , dx  dt
dx =
2.


 Rx, ax  b
m/ n

, , ax  br / s dx 
замена
ax  b  t k
замена

dx  ax  b
, где k 

 tk

cx  d
общий знаменатель дробей m/n,…, r/s (наименьшее общее кратное
знаменателей m,…,s).
  ax  b 
R  x, 

  cx  d 

3.

4.
 R x,
5.

6.

7.

m/n
 ax  b 
,, 

 cx  d 
r/s
замена
a 2  x 2 dx 
x  a sin t , dx  a cos tdt

замена
2
2 

R x, a  x dx 
adt
x  atgt, dx 


cos 2 t
замена
2
2 

R x, x  a dx 
a
a sin tdt
x
, dx 


cos t
cos 2 t
 Ax  Bdx
ax 2  bx  c


 Ax  Bdx
a  x  b / 2a  2  c  b 2 / 4 a
замена
x  b / 2a  t , dx  dt
Интегрирование дифференциального бинома
 x ax
p
 b dx , m, n  Q
m
n

p
 b dx , m, n  Q
a  bn  a n  na n1b  nn  1 a n2 b 2    b n
r
m 1
 дробь и
 целое число. Замена ax n  b  t s .
s
n
m 1
r
 p  целое число.
4. p   дробь и
n
s
2. p < 0 (p  целое). Замена x  t k , где k  общий знаме-
Замена ax n  b  t s x n , где s  знаменатель p.
1. p > 0 (p  целое). Возводим выражение (ax n  b) в
1 2
Ax  B
 
Интегрирование дифференциального бинома
степень p по формуле бинома Ньютона:
 k 1
3.
Ax  B

б) множителю знаменателя x  px  q D  0 соответствуют дроби
M x  Nl
M 1 x  N1
M 2x  N2

 2 l
.
l
l 1
2
2
x  px  q
x  px  q
x  px  q
4. Приводим сумму простых дробей к общему знаменателю и сравниваем числители исходной и полученной дроби.
5. Находим неопределённые коэффициенты разложения.
6. Находим интеграл от рациональной дроби, как от суммы функций.
2
Интегрирование иррациональных функций
(R  рациональная функция своих аргументов)
замена
1. R x, x m / n ,  x r / s dx 
x  t k , dx  kt k 1 dt
натель дробей n и m.
3. p 
Интегрирование тригонометрических функций
(R  рациональная функция)
1. Универсальная подстановка
2t
, cos x 
1 t 2
1 t 2
1 t 2
2. Если R sin x, cos x   Rsin x, cos x  , то
8.
замена
 Rsin x, cos xdx = tgx  t, dx  1  t
dt
sin 2 x 
t
2
1 t
2
2
, cos 2 x 
1
1 t
замена
 Rtgxdx = tgx  t, dx 
1 t 2
5.
6.
 Rctgxdx = ctgx  t, dx  
 sin
n
xdx ,
 cos
n



1 t 2
замена
sin x  t , cos xdx  dt

Rsin x  cos xdx =

замена
Rcos x  sin xdx =
cos x  t , sin xdx  dt
xdx ,
 sin
x cos xdx  sin x cos
m
= sin n x 1  sin 2 x
dt
n
n

m 1
2 d
n
m1
x cos xdx =
 sin
=

x cos xdx  sin
m
 1  cos x
2
n 1
2
2.
3.
n 1
подстановка
e x dx

e 2x  e x 1
e 2 x dx

4
e x 1
x
dx



dt
t
4t 3 dt
t 4 1
подстановка
 x  atgt
или
x
1
z
по частям


ln  x  1  x 2 dx 


u  ln  x  1  x 2 , dv  dx





5.
 cos
6.
e x  t , x  ln t , dx 
 e x  1  t 4 , x  ln t 4  1 , dx 
x2  a2
2
4.
замена
sin x  =
sin x  t ,
в) m  рациональное или целое число, n  нечётное положительное целое число
n
1.
x cos m xdx
а) если n, m  чётные целые положительные числа, то
применяем формулы понижения степени
1  cos 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
, sin 2 x 
,
2
2
1
sin x cos x  sin 2 x ;
2
б) n  рациональное или целое число, m нечётное положительное целое число
 sin
dt
замена
4.
2
Интегрирование некоторых трансцендентных
функций
 sin mx  cos nxdx ,  cos mx  cos nxdx ,  sin mx  sin nxdx
1
sin     sin   
2
1
cos   cos   cos     cos   
2
1
sin   sin   cos     cos   
2
x
2dt
Rsin x, cos x dx = tg  t , dx 
2
1 t 2
sin x 
3.
7.
sin   cos  
замена

Интегрирование тригонометрических функций
по частям
xdx

2

x
ln xdx
x
u  x, dv 
dx
cos 2 x
по частям

u  ln x, dv 
dx
x
m
x cos x sin xdx =
cos m xd cos x  =
замена
cos x  t ,
«Неберущиеся» интегралы
cos x
dx
sin x
dx ,
dx , cos x 2 dx ,
,
x
ln x
x
x
 x dx ,  
 sinx dx ,  e dx
e
2
 x2

  