Муниципальное общеобразовательное учреждение Измайловская средняя общеобразовательная школа

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Измайловская средняя общеобразовательная школа
Кизильский район, Челябинская область
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Основные вопросы тригонометрии в курсе
средней школы. Тригонометрические
уравнения. Задания С-1 в ЕГЭ -2013.
(в помощь выпускникам)
Учитель математики: Шанкеева С.Г.
2013г.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тема актуальна т.к. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ежегодно входят в ЕГЭ, а
в школьной программе отводится мало времени на решение таких уравнений.
Цель данной работы: повторить основные вопросы тригонометрии, повторить методы
решения тригонометрических уравнений, рассмотреть решение прототипов заданий
С-1 из ЕГЭ
I.
Повторение:
1. Тригонометрический круг
2. Радианная мера угла
180˚=π рад

Преобразование углов из градусной меры в радианную меру:

α р а д = α ˚ * π/180
Преобразование углов из радианной меры в градусную меру:
α ˚ = α р а д * 180 ˚ / π
3. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Если а и b— катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, то
выполняются следующие равенства:
4.Линии тригонометрического круга
4. Основные тригонометрические формулы
I группа. Соотношения между тригонометрическими функциями одного
и того же аргумента:
I I группа. Формулы приведения:
формулы приведения для преобразования выражений вида:
Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким мнемоническим правилом:
а) перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если
если 0< α <π/2 ;
б) функция меняется на «кофункцию», если п нечетно; функция не меняется, если п четно.
(Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно
косинус, синус, котангенс и тангенс.)
III группа. Формулы сложения:
IV группа. Формулы кратных аргументов:
V г р у п п а . Формулы преобразования сумм или разностей в
произведения:
VI группа. Преобразование произведений в суммы или разности:
VII группа. Формулы половинного аргумента:
В этих формулах знак «+» или « —» выбирается в зависимости от того, в ка-кой четверти
находится угол α/2
VIII группа. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента:
III. Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими
тригонометрическими
вида
уравнениями
уравнения
.
 Уравнение
может иметь решение только при
Решение этого уравнения находят по общей формуле
.
Пример. 1. Решить уравнение
называются
.
(-1≤ а ≤ 1 ) .
Решение.
.
По
Следовательно,
кругу
находим
.
.
Частные случаи:
1.
2.
3.
.
 Уравнение
может иметь решение только при
уравнения находят по общей формуле
. Решение этого
.
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
Следовательно,
.
.
По
кругу
находим
.
Частные случаи:
1.
;
2.
3.
;
.
 Уравнение
имеет решение при всех значениях a. Решение может быть
найдено по формуле
,
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение.
.
Следовательно,
По
кругу
находим
.
.
 Уравнение
имеет решение при всех значениях a. Решение может быть
найдено по формуле
,
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
.
. Следовательно,
.
Ш. Тригонометрические уравнения. Основные методы решений.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
1. преобразование уравнения для получения его простейшего вида
2.
решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Решение.
cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Решение.
cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 ,
2). sin 3x = 0 ,
3). sin x = 0 ,
3 Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным
. относительно sin и cos, если все его члены одной и той же
степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравн
ение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое
следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tan x = –1,
2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно:
модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна
1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый
вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются
соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = / 2 + k ,
x = / 16 + k / 8 .
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .
Таким образом, решение даёт только первый случай
IV. ЕГЭ Часть С-1
Примеры тригонометрических уравнений с
решениями)
1. Решите уравнение
Решение.
Найдем область определения уравнения:
.
.
Найдем корни числителя, используем формулу
:
С учетом области определения уравнения получаем:
.
Ответ:
2. Решите уравнение
Решение.
Найдем ОДЗ:
.
.
.
Найдем корни числителя:
Отметим корни на тригонометрической окружности:
С учетом ОДЗ (см. рис.) получаем:
Ответ:
.
3. .Решите уравнение
Решение.
Ответ:
.
.
4. Решите уравнение
.
Решение.
Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а
другое при этом не теряет смысла:
Поскольку
, то
Ответ:
5. Решите уравнение
Решение.
Имеем:
. Поэтому
.
.
.
Ответ:
6. .Решите уравнение
.
Решение.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а
другой при этом не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности:
Из уравнения
получаем
либо
(что противоречит
условию
). Решением уравнения
соответствуют две точки единичной
окружности, одна из которых лежит в первой четверти (и значит, для нее неравенство
не выполняется), а другая — в четвертой четверти (для нее неравенство
выполняется, и решение уравнения дается формулой
). Теперь
осталось выписать решение простейшего тригонометрического уравнения
, т. е.
, и записать ответ.
Ответ:
;
.
7. Решите уравнение
.
Решение.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет
смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:
Решив уравнение системы как квадратное относительно
. Если
Следовательно,
учетом неравенства
, то
, находим
и условие
. Если
либо
выполняется.
, то
. В этом случае с
системы получаем, что из двух точек единичной
окружности, соответствующих решениям уравнения
ту, для которой
вид
, нужно оставить только
. Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет
.
Ответ:
;
.
8. Решите уравнение
Решение.
Решим уравнение
.
:
откуда
.
Из найденный решений условию (*) удовлетворяет только
.
Ответ:
,
9. Решите уравнение
Решение.
.
.
и
Решим уравнение
:
откуда
.
Из найденных решений условию (*) удовлетворяют только
и
.
Ответ:
10. Решите систему уравнений
Решение.
Из неравенства
получаем
1 случай. Пусть
или
второго уравнения получаем
2 случай. Пусть теперь
получаем:
.
Учтем, что
.
. Если
, то
, откуда
. Тогда
; если
или
, то
.
. Из
, и поэтому из первого уравнения
. Тогда
. Из всех решений уравнения
этому условию удовлетворяет только
. При этом
и, из второго
уравнения получаем:
. Из всех решений этого уравнения интервалу
принадлежит только
Ответ:
. Значит,
,
.
.
11. Решите уравнение
Решение.
Уравнение равносильно системе
Из неравенства получаем, что
.
. В уравнении сделаем замену
и решим
уравнение
,
или
. Равенствам
и
на
тригонометрической окружности соответствует четыре точки. Две из них, находящиеся в
верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию
. Получаем решения:
и
Ответ:
.
,
12. Решите уравнение
Решение.
Уравнение равносильно системе
.
.
Решим уравнение:
.
Тогда
или
учитывая, что
. Последнее уравнение не имеет решений, а из первого,
, получаем:
.
Ответ:
.
13. Решите уравнение
Решение.
Уравнение равносильно системе
.
Уравнение системы приводится к виду
. Уравнение
, откуда
не имеет решений. Учитывая, что котангенс должен
быть отрицательным, получаем:
Ответ:
или
.
.
14. Решите уравнение
Решение.
Уравнение равносильно системе
.
Уравнение системы приводится к виду
. Уравнение
не имеет решений. Учитывая, что
получаем:
Ответ:
15. Решите уравнение
, откуда
.
.
.
или
,
Решение.
Если
, то решений нет. Если
то
, то
, откуда
. Если
или
имеет решений. Учитывая, что
. Уравнение
, из уравнения
не
получаем:
.
Ответ:
;
16. Решите уравнение
Решение.
Левая часть уравнения имеет смысл при
Если
, то
.
.
.
, откуда
.
Если
, то
, откуда
или
Уравнение
получаем:
.
не имеет решений. Учитывая, что
, из уравнения
.
Ответ:
,
.
17. Решите уравнение
Решение.
Левая часть уравнения имеет смысл при
Если
, то
. Учитывая, что
.
.
. Если
, из уравнения
, то
,
, откуда
получаем:
.
Ответ:
,
.
18. Дано уравнение
а) Решите уравнение;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
Используем формулу приведения и синуса двойного угла:
Тогда
или
, откуда
или
б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке
Находим:
Ответ:
а)
б)
.
Примечание.
Уравнение может быть так же решено при помощи следующей теоремы:
19. Решите уравнение
. Укажите его корни, принадлежащие
отрезку
Решение.
Сделаем замену
, получим квадратное уравнение
которого являются числа
и
Уравнение
корнями
не имеет решений, а из уравнения
находим искомые корни:
или
;
Найдем корни, принадлежащие отрезку
.
Решим неравенства:
или
Соответствующие найденным значениям параметров корни:
Ответ:
;
и
.
. Заданному отрезку принадлежат корни
и
.
20. Решите уравнение
отрезку
Решение.
Укажите корни, принадлежащие
Сделаем замену
и получим квадратное уравнение
которого являются числа
и
Уравнение
корнями
не имеет решений, а из уравнения
находим:
или
Найдем корни, принадлежащие отрезку
.
.
,
.
Отрезку
Ответ:
принадлежат только корни
и
Отрезку
.
.
принадлежат корни:
и
21. Дано уравнение
а) Решите уравнение;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла:
Тогда
или
Откуда
или
б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке
и
Это числа
(см. рис.).
Ответ:
а)
б)
22. а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
.
.
Если
, то из уравнения следует
, что невозможно. Значит, на множестве
корней уравнения
. Разделим обе части уравнения на
:
.
б) Составим двойное неравенство:
, откуда
.
Следовательно,
. Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень
.
О т в е т : а)
; б)
.
23. а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
.
.
б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство:
,
откуда
.
Следовательно,
О т в е т : а)
или
, тогда искомые корни
; б)
и
и
.
24. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Разложим левую часть на множители:
.
Уравнение
, не имеет корней. Имеем
Если
, то
разделим обе его части на
, это невозможно. Это однородное уравнение первой степени,
. Получаем:
б) Отрезку
принадлежат корни
О т в е т : а)
где
, б)
и
(см. рис.)
и
25. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Преобразуем уравнение и разложим левую часть на множители:
Уравнение
не имеет корней. Уравнение
является
однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части
уравнения на
. Получаем:
б) Отрезку
О т в е т : а)
принадлежит только корень
,
, б)
26. А) Решите уравнение
Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
А) Преобразуем уравнение:
Значит,
В первом случае
или
где
во втором случае
Первая серия решений входит во вторую.
Б) Отметим решения на тригонометрической окружности.
Отрезку
принадлежат корни
и
где
Ответ:
А)
Б)
27. А) Решите уравнение
Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
А) Преобразуем уравнение, получаем
Значит,
где
В первом случае
Первая серия решений входит во вторую.
или
во втором случае
где
Б) Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку
корни
принадлежат
и
О т в е т : А)
Б)
28. Дано уравнение
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
А) Преобразуем уравнение:
Получаем:
или
Отсюда
или
Б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке
Это числа
Ответ:
A)
Б)
29. Дано уравнение
.
а) Решите данное уравнение.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:
.
.
Отсюда
или
. Если
, то
; если
. Из найденных решений промежутку принадлежат числа
.
О т в е т : а)
; б)
.
, то
30. Дано уравнение
а) Решите данное уравнение.
.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
.
.
Отсюда
или
. Если
то
, то
. Если
. Из найденных решений промежутку
числа
и
,
принадлежат
.
О т в е т : а)
; б)
31. а) Решите уравнение
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
Решим уравнение:
.
Отберём корни, принадлежащие отрезку
. Это числа (см. рис.):
.
Ответ:
A)
Б)
.
;
;
.
32. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
Решим уравнение:
Отберём корни, принадлежащие отрезку
. Это числа (см. рис.):
.
Ответ:
A)
Б)
.
.
.
33. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
.
а) Запишем уравнение в виде:
Значит, или
.
, откуда
, или
,
, откуда
,
б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку
. Находим числа
Ответ: а)
,
;
,
; б)
.
34. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
.
Значит, или
, откуда
,
или
,
, откуда
,
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку
Получим числа:
Ответ: а)
б)
,
35. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
.
а) Запишем уравнение в виде:
Значит, или
.
, откуда
, или
,
, откуда
,
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
Получим числа:
Ответ: а)
,
;
36. а) Решите уравнение
,
; б)
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Значит,
, откуда
или
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
Получим числа:
Ответ: а)
;
,
37. а) Решите уравнение
;
.
.
; б)
;
;
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
.
Значит, или
, откуда
или
,
или
, откуда
,
,
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку
Получим числа:
Ответ: а)
б)
,
Примечание.
Внимательный читатель, конечно, узнал формулу синуса тройного угла:
38. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
.
а) Запишем уравнение в виде
.
Значит, или
, откуда
,
, или
, откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
Ответ: а)
,
; б)
;
39. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Значит, или
, откуда
,
или
,
, или
, откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие
отрезку
.
Получим числа:
Ответ: а)
и
,
,
;
.
,
,
; б)
,
40. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
и
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Значит, или
— уравнение не имеет корней, или
,
, откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие
отрезку
.
Получим число
.
Ответ: а)
,
41. а) Решите уравнение
; б)
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Из данного уравнения получаем:
.
Значит, или
, откуда
, или
, откуда
или
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
. Получим числа:
Ответ: а)
,
.
;
,
42. а) Решите уравнение
; б)
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Значит,
, откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
Ответ: а)
;
.
;
; б)
43. а) Решите уравнение
.
;
;
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
.
а) Запишем уравнение в виде
Значит, или
— уравнение не имеет корней, или
или
,
, откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие
отрезку
.
Получим число
Ответ: а)
.
,
,
; б)
.
44. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Из данного уравнения получаем:
.
Значит, или
, откуда
, или
, откуда
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
, получим числа
Ответ: а)
,
;
.
; б)
,
.
45. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
.
а) Запишем уравнение в виде
Значит, или
.
, откуда
, или
,
, откуда
,
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
,
Ответ: а)
;
,
и
.
,
; б)
,
и
46. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
a) Запишем уравнение в виде:
.
Значит
.
б)
С помощью числовой окружности отберём
корни, принадлежащие отрезку
Находим числа:
.
Ответ: а)
.
б)
.
.
47. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Решим уравнение
.
б) Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:
Тогда искомый корень
.
Примечание.
Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).
О т в е т : а)
; б)
48. а) Решите уравнение
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Решим уравнение:
.
б) Отбор корней. Составим двойное неравенство:
Тогда искомый корень
.
О т в е т : а)
; б)
.
49. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а) Так как
, имеем:
,
.
Корни уравнения:
б) Корни уравнения
изображаются точками
и , а корни уравнения
— точками и , промежуток
изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня
уравнения:
и
.
О т в е т : а)
б)
50. а) Решите уравнение
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Решив последнее уравнение как
квадратное относительно
откуда
получим
или
или
Значит,
что невозможно.
б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие
промежутку
Ответ: а)
: это
; б)
.
51. а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
Значит, либо
откуда
либо
откуда
б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие
заданному промежутку:
Ответ:
а)
б)
52. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Заметим, что
Поэтому уравнение можно переписать в виде
откуда
либо
Значит, либо
откуда
откуда
б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие
промежутку
О т в е т : а)
б)
53. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Заметим, что
Поэтому уравнение можно переписать в виде
откуда
либо
Значит, либо
откуда
откуда
б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие
промежутку
О т в е т : а)
б)
Использованные ресурсы:
1. А.Н. Колмогоров, Учебник алгебра и начала математического анализа, 10-11
классы, Москва, «Просвещение», 2009
2. http://reshuege.ru/
3. http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action
4. http://uztest.ru/
5. http://videouroki.net./