10.2. Иррациональные уравнения и неравенства. Используемая литература: 1. 2.

10.2. Иррациональные уравнения и неравенства.
Используемая литература:
1. Алгебра и начала анализа 10-11 под редакцией А.Н.Колмогорова
2. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 под
редакцией Е.П.Ершова
3. Алгебраический тренажер , авторы А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский
Пояснительная записка для родителей.
1. Для освоения этой темы ваш ребенок должен хорошо знать
определения и свойства арифметического корня.
2. Разобрать параграф 10 пункт 33 учебника и выполнить следующие
номера №417-420,422-425
Пояснительная записка для учащихся.
1. Знать определения и свойства арифметического корня.
2. Уметь находить область определения уравнения, а так же знать
какие уравнения называются равносильными, а какие являются
следствием данного уравнения..
3. Решать алгебраические уравнения и неравенства, методы
решения которых изучались ранее в программе 6 – 10 классов.
Теоретический материал.
Определение:
Арифметическим корнем n-ой степени (nN, n1) из числа а называется
неотрицательное число b , n-ая степень которого равна а.
Свойства корня:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определение:
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называется
иррациональным.
Определение:
Областью определения уравнения
, где
Определение:
Два уравнения
называется множество
– области определения функций
и
и
.
называются равносильными
(эквивалентными), если множество всех корней первого уравнения совпадает с
множеством всех корней второго уравнения. Если оба уравнения не имеют
решений, то они равносильны.
Определение:
Если множество корней уравнения
уравнения
уравнения
содержит множество корней
, то уравнение
называется следствием
.
Рассмотрим примеры решений иррациональных уравнений:
1.Пример.
Решите уравнение:
Решение.
1-ый способ:
Возведя обе части уравнения в квадрат, переходим к уравнениюследствию:
,
онятно, что найденные значения переменной должны быть подвергнуты проверке.
Она покажет следующий ответ.
Ответ: x = - 4
2-ой способ:
Данное уравнение можно решать и методом равносильных переходов. Для этого,
достаточно исходное уравнение заменить равносильной системой
В этом случае проверку делать не надо.
Ответ: x = - 4
2.Пример
Решить уравнение
Решение.
Перейдем к системе, равносильной данному уравнению :
Ответ : x = 2.
3.Пример.
Решить уравнение
Решение.
Запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Ответ : x = 3
4. Пример.
Решите уравнение (x – 3)(
Решение.
Перепишем данное уравнение в таком виде:
(x – 3)(
Казалось бы, X=3 - корень данного уравнения. Однако число 3 не входит в его область
определения уравнения. Чтобы избежать подобных неприятностей, решение проведем
по такой схеме. Данное уравнение равносильно системе
Теперь понятно, что исходное уравнение равносильно такому:
Ответ: x = 0; x=5.
Задания для самостоятельной работы:
1.
9  5x
1

3  8x
2
2.
1
1
2
 
1 x x
1 x
3.
x2  2 x6
4. ( x 2  4 x ) x  3  0
5.
x  1  11  x
6. 2 x  1 
7.
8
10  x
4
x 1
7 0
 10  x  2
8.
x62 x5  x62 x5  6
9.
x  2  3 3x  2  0
10.
4  2x  x 2  x  2
11. ( x  1) x 2  x  2  2 x  2
12.
x 2  x  2  x 2  4x  3  x 2  1
13.
x  1  x  3  2 ( x  1)( x  3)  4  2 x