Задание 1. Для бинарного отношения 𝑅, заданного на множестве Ω найти множество Ω(𝑅) мажорант
(недоминируемых элементов)
Ω = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
𝑏𝑅𝑎, 𝑐𝑅𝑏, 𝑑𝑅𝑐, 𝑑𝑅𝑎, 𝑏𝑅𝑏, 𝑐𝑅𝑎, 𝑏𝑅𝑑, 𝑑𝑅𝑑
1) 𝐷 = ∅
2)
𝑏𝑅𝑎: 𝑎 ∉ 𝐷 → 𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑎} = {𝑎}
𝑐𝑅𝑏: 𝑏 ∉ 𝐷 → 𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑏} = {𝑎, 𝑏}
𝑑𝑅𝑐: 𝑐 ∉ 𝐷 → 𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑐} = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝑑𝑅𝑎: 𝑎 ∈ 𝐷
𝑏𝑅𝑏: 𝑏 ∈ 𝐷
𝑐𝑅𝑎: 𝑎 ∈ 𝐷
𝑏𝑅𝑑: 𝑑 ∉ 𝐷 → 𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑑} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
𝑑𝑅𝑑: 𝑑 ∈ 𝐷
3) Ω(R) = Ω \ D = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} \ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = ∅
Задание 2.
Для таблицы, содержащей векторные оценки вариантов х1 − х8 по критериям f1 – f4,
найти оптимальные варианты по Парето и лексикографически оптимальные.
Рассмотреть разную ориентацию критериев. Результаты обосновать.
Оптимальные по
Парето
𝑓1
𝑓2
𝑓3
Лексикографически
оптимальные
𝑓4
𝑥1
1
7
3
7
𝑥2
1
1
3
4
𝑥3
9
2
1
7
𝑥4
5
6
9
8
𝑥5
4
6
4
3
𝑥6
7
3
2
3
𝑥7
3
6
7
6
𝑥8
9
9
8
1
Ориентация
критериев
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
𝑓1
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓2
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓3
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓4
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓1
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓2
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓3
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓4
→ 𝑚𝑎𝑥
+
+
+
𝑓1
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓2
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓3
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓4
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓1
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓2
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓3
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓4
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓1
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓2
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓3
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓4
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓1
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓2
→ 𝑚𝑎𝑥
𝑓3
→ 𝑚𝑖𝑛
𝑓4
→ 𝑚𝑖𝑛
1. Оптимальные по Парето
𝑓1 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓2 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓3 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓4 → 𝑚𝑎𝑥
1) 𝐿 = Ω = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝐷=∅
𝑥 𝑏 = 𝑥1 = (1,7,3,7)
2)
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (1, 1, 3, 4) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
𝐿 = 𝐿 \ 𝑦 = {(1, 7, 3, 7), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (9, 2, 1, 7) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (5, 6, 9, 8) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7)
2)
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (5, 6, 9, 8) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (9, 2, 1, 7)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = { (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8)
2)
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
𝐿 = 𝐿 \ 𝑦 = { (5, 6, 9, 8), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
𝐿 = 𝐿 \ 𝑦 = { (5, 6, 9, 8), (7, 3, 2, 3), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8) 𝑦 = (9,9,8,1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (9, 2, 1, 7), (5,6,9,8)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = { (7, 3, 2, 3), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3)
2)
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (9, 2, 1, 7), (5,6,9,8), (7, 3, 2, 3)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(9, 9, 8, 1)}
4) 𝐷 ∪ 𝑧 = Ωp == {(1, 7, 3, 7), (9, 2, 1, 7), (5,6,9,8), (7, 3, 2, 3), (9, 9, 8, 1)}
𝑓1 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓2 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓4 → 𝑚𝑎𝑥
1) 𝐿 = Ω = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝐷=∅
𝑥 𝑏 = 𝑥1 = (1,7,3,7)
2)
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (1, 1, 3, 4) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (9, 2, 1, 7) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (5, 6, 9, 8) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4)
2)
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (9, 2, 1, 7) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (5, 6, 9, 8) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
𝐿 = 𝐿 \ {𝑦} = {(1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
𝐿 = 𝐿 \ {𝑦} = {(1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6)}
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = { (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6)}
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7)
2)
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (5, 6, 9, 8) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7) }
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(5, 6, 9, 8), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6)}
𝑥 𝑏 = (5, 6, 9, 8)
2)
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (5,6,9,8) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5,6,9,8)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6)}
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3)
2)
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3) 𝑦 = (3,6,7,6) − несравнимы
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(3, 6, 7, 6)}
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5,6,9,8), (7, 3, 2, 3)}
4) 𝐷 ∪ 𝑧 = Ωp = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5,6,9,8), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6)}
𝑓1 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓2 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓4 → 𝑚𝑖𝑛
1) 𝐿 = Ω = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (5, 6, 9, 8), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝐷=∅
𝑥 𝑏 = 𝑥1 = (1,7,3,7)
2)
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (1, 1, 3, 4) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (9, 2, 1, 7) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (5, 6, 9, 8) − 𝑥 𝑏 𝑃𝑦
𝐿 = 𝐿 \ {𝑦} = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 7, 3, 7) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4)
2)
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (9, 2, 1, 7) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (1, 1, 3, 4) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7)
2)
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (4, 6, 4, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (9, 2, 1, 7) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (4, 6, 4, 3)
2)
𝑥 𝑏 = (4, 6, 4, 3) 𝑦 = (7, 3, 2, 3) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (4, 6, 4, 3) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (4, 6, 4, 3) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = { (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3)
2)
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3) 𝑦 = (3, 6, 7, 6) − несравнимы
𝑥 𝑏 = (7, 3, 2, 3) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3) }
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = {(3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
𝑥 𝑏 = (3, 6, 7, 6)
2)
𝑥 𝑏 = (3, 6, 7, 6) 𝑦 = (9, 9, 8, 1) − несравнимы
3)
𝐷 = 𝐷 ∪ {𝑥 𝑏 } = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6)}
𝐿 = 𝐿 \ {𝑥 𝑏 } = { (9, 9, 8, 1)}
4)
4) 𝐷 ∪ 𝑧 = Ωp = {(1, 7, 3, 7), (1, 1, 3, 4), (9, 2, 1, 7), (4, 6, 4, 3), (7, 3, 2, 3), (3, 6, 7, 6), (9, 9, 8, 1)}
2) Лексикографический порядок
𝑓1 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓2 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓3 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓4 → 𝑚𝑎𝑥
По критерию 𝑓1 − 𝑥3 , 𝑥8
По критерию 𝑓2 − 𝑥8
𝑓1 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓2 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓4 → 𝑚𝑎𝑥
По критерию 𝑓1 − 𝑥1 , 𝑥2
По критерию 𝑓2 − 𝑥1
𝑓1 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓2 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓4 → 𝑚𝑖𝑛
По критерию 𝑓1 − 𝑥1 , 𝑥2
По критерию 𝑓2 − 𝑥2
Задание 3. Придумайте практическую задачу выбора из 5 вариантов, которые оценены по 4
критериям, сравнительная важность которых определяется вами. Сформулируйте ее постановку в
терминах теории сравнительной важности критериев. Найдите решение этой задачи и выделите
выбранные решения
Пусть есть директор компании, которая занимается производством игрушек. Необходимо выбрать
одну из 5 новых моделей игрушек, которая будет выпускаться в следующем году. Необходимо
оценить каждую модель по 4 критериям: стоимость производства, качество, доходность и
популярность среди детей. Сравнительная важность каждого критерия:
𝐾1 −стоимость производства
𝐾2 −качество
𝐾3 −доходность - важность
𝐾4 −популярность среди детей
𝑠1 − солдатик, 𝑠2 − машинка, 𝑠3 − автомат, 𝑠4 − мячик
𝑆 = {𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , 𝑠4 }
𝐾1
𝐾2
𝐾3
𝐾4
𝑠1
2
4
3
1
𝑠2
1
3
2
3
𝑠3
3
5
2
2
𝑠4
2
1
5
3
𝑠5
1
2
4
2
𝑠1 , 𝑠2 : > > > <
𝑠1 , 𝑠3 : < < > >
𝑠1 , 𝑠4 : = > < <
𝑠1 , 𝑠5 : > > < <
𝑠2 , 𝑠3 : < < = >
𝑠2 , 𝑠4 : < > < =
𝑠2 , 𝑠5 : = > < >
𝑠3 , 𝑠4 : > > < <
𝑠3 , 𝑠5 : > > < =
𝑠4 , 𝑠5 : > < > >
Все варианты несравнимы по Парето
Введем важность критериев
𝑘2 ~𝑘3 , 𝑘2 ≻ 𝑘1 , 𝑘3 ≻ 𝑘1 , 𝑘2 ≻ 𝑘4 , 𝑘3 ≻ 𝑘4 , 𝑘1 ≻ 𝑘4
𝑠3 = (3,5,2,2) 𝑠4 = (2,1,5,3)
𝑥 3 = (3,5,2,2)𝐼𝑘2~𝑘3 𝑧1 = (3,2,5,2) 𝑝𝑘1≻𝑘4 𝑧 2 = (2,2,5,3) 𝑝0 (2, 1, 5, 3) = 𝑥 4
𝑠3 = (3,5,2,2), 𝑠1 = (2,4,3,1)
𝑥 3 = (3,5,2,2) 𝑝 𝑘3≻𝑘1 𝑧 3 = (2,5,3,2) 𝑝0 (2,4,3,1) = 𝑥1
𝑠3 = (3,5,2,2), 𝑠2 = (1,3,2,3)
𝑥 3 = (3,5,2,2) 𝑝 𝑘1≻𝑘4 𝑧 4 = (2,5,2,3) 𝑝0 (1,3,2,3) = 𝑥 2
𝑠3 = (3,5,2,2), 𝑠5 = (1,2,4,2)
𝑥 3 = (3,5,2,2) 𝐼𝑘2≻𝑘3 𝑧 5 = (3, 2, 5,2) 𝑝𝑘3≻𝑘1 𝑧 6 = (2,3,5,2) 𝑝0 (1,2,4,2) = 𝑥 5
Таким образом 𝑆 ∗ = {𝑠3 }
ОТВЕТ: 𝑠3
Задание 4.
Для иерархической структуры задачи выбора из четырех вариантов A, B, C и D,
оцененных по трем критериям С1, С2, С3, найдите лучший вариант методом анализа иерархий.
Оцените согласованность. Результаты парных сравнений представлены таблицами
ИС∗4 = 0.9
ИС∗3 = 0.58
Матрица сравнений для критериев
Критерий
С1
С2
С3
Вес критерия
7
Вектор важности
критериев
11
С1
1
3
С2
0.33
1
3
4.33
0.26
С3
0.14
0.33
1
1.47
0.09
0.65
𝜆𝑚𝑎𝑥 = 2.99
ИС =
2.99 − 3
ИС
= −0.005 ОС =
< 0.20 − веса приемлемые
2
ИС∗
Сравнение по критерию С1
Альтернатива
А
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴
1
3
5
7
Вектор важности
альтернатив
16
Вес
𝐵
0.33
1
3
5
9.33
0.3
𝐶
0.2
0.33
1
3
4.53
0.14
𝐷
0.14
0.2
0.33
1
1.67
0.05
0.51
𝜆𝑚𝑎𝑥 = 4.1
4.1 − 4
ИС
ИС =
= 0.05 ОС =
< 0.20 − веса приемлемые
2
ИС∗
Сравнение по критерию С2
Альтернатива
А
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴
1
0.33
3
5
Вектор важности
альтернатив
9.33
Вес
𝐵
3
1
5
7
16
0.51
𝐶
0.33
0.2
1
3
4.53
0.14
𝐷
0.2
0.14
0.33
1
1.67
0.05
Вес
0.3
𝜆𝑚𝑎𝑥 = 4.1
4.1 − 4
ИС
ИС =
= 0.05 ОС =
< 0.20 − веса приемлемые
2
ИС∗
Сравнение по критерию С3
А
Альтернатива
𝐴
1
ИС =
𝐵
𝐶
𝐷
3
0.33
5
Вектор важности
альтернатив
9.33
0.3
𝐵
0.33
1
0.2
3
4.53
0.14
С
3
5
1
7
16
0.51
𝐷
0.2
0.33
0.14
1
1.67
0.05
4.1 − 4
ИС
= 0.05 ОС =
< 0.20 − веса приемлемые
2
ИС∗
𝑆𝐴
0.51 0.3
𝑆𝐵
( ) = ( 0.3 0.51
𝑆𝐶
0.14 0.14
0.05 0.05
𝑆𝐷
0.3
0.44
0.65
0.14) (0.26) = (0.34)
0.17
0.51
0.09
0.05
0.05
𝐴 − наиболее предпочтительный, 𝐷 − наименее
Задание 5
Для заданного профиля индивидуальных предпочтений выборщиков (r1,r2,r3,r4) найти
победителей в задаче группового выбора из множества кандидатов {x1,x2,x3,x4,x5} в соответствии
со следующими правилами голосования (принципами согласования): а) правило простого
большинства; б) правило Борда́ ; в) обобщенное правило Борда́cо шкалой 7,4,2,1,0; г) правило
Кондорсе; д) правило Симпсона; е) правило Коупленда.
𝑟1 : 𝑥5 ≻ 𝑥1 ≻ 𝑥3 ≻ 𝑥2 ≻ 𝑥4
𝑟2 : 𝑥1 ≻ 𝑥5 ≻ 𝑥3 ≻ 𝑥4 ≻ 𝑥2
𝑟3 : 𝑥4 ≻ 𝑥1 ≻ 𝑥2 ≻ 𝑥3 ≻ 𝑥5
𝑟4 : 𝑥5 ≻ 𝑥1 ≻ 𝑥3 ≻ 𝑥4 ≻ 𝑥2
а) правило простого большинства
𝑚(𝑥1 , 𝑥2 ) = 4 → (𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥1 , 𝑥3 ) = 4 → (𝑥1 , 𝑥3 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥1 , 𝑥4 ) = 3 → (𝑥1 , 𝑥4 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥1 , 𝑥5 ) = 𝑚(𝑥5 , 𝑥1 ) = 2 → (𝑥1 , 𝑥5 ) ∈ 𝑅, (𝑥5 , 𝑥1 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥2 , 𝑥3 ) = 1 → (𝑥3 , 𝑥2 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥2 , 𝑥4 ) = 1 → (𝑥4 , 𝑥2 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥2 , 𝑥5 ) = 1 → (𝑥5 , 𝑥2 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥3 , 𝑥4 ) = 3 → (𝑥3 , 𝑥4 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥3 , 𝑥5 ) = 1 → (𝑥5 , 𝑥3 ) ∈ 𝑅
𝑚(𝑥4 , 𝑥5 ) = 1 → (𝑥5 , 𝑥4 ) ∈ 𝑅
Победители 𝑥1 и 𝑥5
б) правило Борда
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑥5
𝑥1
𝑥4
𝑥5
4
𝑥1
𝑥5
𝑥1
𝑥1
3
𝑥3
𝑥3
𝑥2
𝑥3
2
𝑥2
𝑥4
𝑥3
𝑥4
1
𝑥4
𝑥2
𝑥5
𝑥2
0
𝑟(𝑥1 ) = 3 + 4 + 3 + 3 = 13
𝑟(𝑥2 ) = 1 + 0 + 2 + 0 = 3
𝑟(𝑥3 ) = 2 + 2 + 1 + 2 = 7
𝑟(𝑥4 ) = 0 + 1 + 4 + 1 = 6
𝑟(𝑥5 ) = 4 + 3 + 0 + 4 = 11
Побеждает 𝑥1
в) Обобщенное правило Борда
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑥5
𝑥1
𝑥4
𝑥5
7
𝑥1
𝑥5
𝑥1
𝑥1
4
𝑥3
𝑥3
𝑥2
𝑥3
2
𝑥2
𝑥4
𝑥3
𝑥4
1
𝑥4
𝑥2
𝑥5
𝑥2
0
𝑟(𝑥1 ) = 4 + 7 + 4 + 4 = 19
𝑟(𝑥2 ) = 1 + 0 + 2 + 0 = 3
𝑟(𝑥3 ) = 2 + 2 + 1 + 2 = 7
𝑟(𝑥4 ) = 0 + 1 + 7 + 1 = 9
𝑟(𝑥5 ) = 7 + 4 + 0 + 7 = 18
Побеждает 𝑥1
г) Правило Кондорсе
Изобразим мажоритарный граф
𝑚
Если 𝑚 (𝑥, 𝑦) > = 2 → (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐺
2
𝑥3
𝑥4
𝑥1
𝑥2
𝑥5
Видно что побеждают 𝑥1 , 𝑥5
д) По правилу Симпсона
Используем результаты сравнения по правилу простого большинства
𝑓 (𝑥1 ) = 𝑚𝑖𝑛(4,4,3,2) − 2
𝑓 (𝑥2 ) = 𝑚𝑖𝑛(0,1,1,1) − 1
𝑓 (𝑥3 ) = 𝑚𝑖𝑛(0,3,3,1) − 1
𝑓 (𝑥4 ) = 𝑚𝑖𝑛(1,3,1,1) − 1
𝑓 (𝑥5 ) = 𝑚𝑖𝑛(2,3,3,3) − 2
Побеждают 𝑥1 и 𝑥5