Определение движения жидкости в закрытом сосуде при повороте мжг. Матюнин

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Факультет:
Специальность:
Специализация:
Кафедра:
Аэрокосмический
24.05.02 Проектирование авиационных
и ракетных двигателей
Проектирование авиационных двигателей
и энергетических установок
Авиационные двигатели
Дисциплина «Механика жидкости и газа»
Отчёт о решении задачи №6
На тему
Студенты
Группа
Определение предельного ускорения открытого сосуда,
частично заполненного жидкостью, при движении по дуге
Адамова Анна Александровна
Глухих Анастасия Викторовна
Пантелеева Светлана Дмитриевна
Силантьева Алена Анатольевна
АД-17-1с
(
(
(
(
)
)
)
)
Принял
(
Дата:
Пермь, 2020
ст. преп. Матюнин В.П.
)
Задание
Найти условие движения по кривой, при котором не происходит выплескивания жидкости из сосуда.
Введение
Задача немного отличается от задачи по поиску предельного ускорения
сосуда при движении по прямой, так как вводятся некоторые изменения в
физической модели. За исключением этих изменений, основные положения
были рассмотрены в задаче №5 [1].
В данной задаче машина с баком трогается с места, набирает скорость,
задавая некоторое ускорение, затем снижает ускорение и едет с постоянной
скоростью. При этом на пути машине необходимо совершить поворот, а значит нужно знать, с какой скоростью въезжать и ехать при повороте, чтобы
вода из сосуда не выплеснулась. Ведь при изменении траектории движения
появляются новые силы, которые влияют на движение жидкости. Это и необходимо узнать в этой задаче.
1. Физическая модель
Бак двигается с постоянной скоростью по прямой и совершает поворот,
при движении по окружности, то есть при повороте, возникает центробежное
ускорение.
Рисунок 1 – Действие сил на колеса
при повороте.
При движении машины по окружности, её передние колеса поворачиваются на некоторый угол, и появляется результирующая сила R, которая складывается из тормозящей силы Rтор и боковой Rбок. Тормозящая сила появляется из-за сопротивления трения колес при боковом скольжении, а боковая
сила заставляет машину поворачивать.
Следовательно, появляется такая внешняя центростремительная сила,
из-за которой траектория движения становится кривой. Также возникает
инерционная сила.
2
Так как бак прикреплен в кузове, то на него от машины передается такая
же центростремительная сила, а, значит, на жидкость начинает действовать
центробежная сила. Используя ответ предыдущей задачи №5 [1], можно
найти центростремительную силу, которая действует на жидкость при повороте. Должна быть такая сила, которая заставляет жидкость двигаться по
окружности.
Рисунок 2 – Распределение давления на дно
Давление по радиусу поворота будет увеличиваться, то есть
p
 0 , где r
r
– радиус поворота. В проекции на радиус это входит в уравнение в виде
ускорения от сил давления. Если по направлению оси r давление p возрастает, то есть градиент положителен, то в проекции градиента на ось получится:

1 p
 aц.с. .
 x
(1)
Следовательно, перепад давления будет являться источником центростремительной силы.
Так как жидкость имеет инерционные свойства, то при повороте возникает инерционная сила, порождающая центробежную силу:
aц.б.   2 r 
c2
.
r
(2)
Вывод: Вначале при повороте машины появляется инерционная центробежная сила, под действием которой жидкость поднимается вверх у
внешнего края, соответственно у внутреннего она будет опускаться, а значит,
появится перепад давлений, за счет которого жидкость будет поворачиваться
вокруг центра.
Для дальнейшего решения задачи необходимо знать форму свободной
поверхности жидкости. Для этого представим, что данный сосуд расположен
в еще одном большом сосуде. Объем в большом сосуде имеет форму в виде
фигуры вращения параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через
центр большого сосуда. Если вырезать из этого объема параллелепипед, по
форме меньшего сосуда, то получится, что свободная поверхность будет
представлять собой часть параболоида вращения. То есть свободная поверх3
ность будет иметь кривизну в двух направлениях: вдоль движения и поперек
сосуда, по радиусу поворота.
Радиус кривизны дуги по длине сосуда определяется углом φ (рисунок
4). При    радиус кривизны стремится к нулю Rц  0 , и параболоид свободной поверхности будет выгнут лишь в одном направлении. Если принять,
что радиус поворота 100 м при длине сосуда 1 м, то угол  (рисунок 4) будет
равен:
l/2
  arctg  0,5   0,3 .

 100 
 Rц 
  arctg 
(3)
Рисунок 3 – Определение допустимого
радиуса поворота
Следовательно, в качестве свободной поверхности выбирается плоскость, выгнутая вдоль длины сосуда.
Рисунок 4 – Полученная форма свободной
поверхности
Таким образом, принимается такая физическая модель:
1. движение осуществляется по криволинейной траектории;
2. на жидкость действует инерционная центробежная сила;
4
3. перепад давления происходит из-за действия инерционной центробежной
силы и является источником центростремительной силы;
4. принимается двумерное движение в вертикальной плоскости для упрощения решения задачи, что обеспечивается достаточно большим радиусом
поворота относительно длины бака.
2. Математическая постановка задачи
2.1. Построение математической модели
Основным уравнением является уравнение движения Эйлера (так же,
как и в задаче №5 [1]):
c
1
 c  c  J  p .
t
ρ
(4)
Выбирается локальная система координат, то есть система, связанная с
движущимся баком. Так как задача стационарная, локальная производная
с
 0 , субстанциональное ускорение тоже обнуляется с  с  0 . С учетом
t
этого, уравнение (4) преобразуется к виду:
1
0  J  p .
ρ
(5)
Ускорение от массовых сил будет состоять из ускорения свободного падения и центробежного ускорения:
J  0i  gj  aцб k .
(6)
Как уже было сказано в задаче №5 [1], дорога находится ниже уровня
моря и при движении машины оказывается, что дно аквариума самую малость ниже уровня моря, так что свободная поверхность находится примерно
на уровне моря. Поскольку разность между высотой жидкости у ближней
стенки и у дальней, очевидно, мала, а на 1 метр приходится 11,96 Па, то
можно считать, что между ними пренебрежимо малое изменение давления, и
принять его следует постоянным. А так как оно неизменно, то на свободной
поверхности градиент давления равен нулю.
Промежуточный вид уравнения движения Эйлера:
0  0i  gj  aцбk ,
(7)
где ускорение aцб может быть выражено:
c2
aцб   r  .
r
2
(8)
Так как рассматривается несжимаемая модель жидкости, то можно применить закон сохранения вещества, при котором масса жидкости остается
постоянной. Тогда условие постоянства объёма жидкости в баке:
5
rвнеш
жbh   ж y (r )dr .
(9)
rвн
Также из уравнения (2) можно получить формулу для определения предельной допустимой скорости движения машины с баком по криволинейной
траектории:
c  ωr .
(10)
В остальном математическая модель совпадает с задачей №5 [1].
Нужно учесть, что на решение задачи накладывается некоторое ограничение, так как жидкость не должна выплескиваться за края бака:
y  rвнеш   H .
(11)
2.2. Решение математической модели
Перед интегрированием нужно определиться с его пределами. Интегрирование вдоль радиуса поворота производится от величины наименьшего радиуса до величины наибольшего, то есть от ближней к оси y стенки до дальней. Разница этих величин будет равна ширине сосуда. Интегрирование
вдоль оси у происходит по параболе в тех же пределах, что и интегрирование
вдоль радиуса.
Так как первоначальный объём жидкости должен сохраняться, то условие равенства объёмов можно выразить через равенство площадей:
F
rвнеш
 y  r dr  hb .
(11)
rвн
Как и в задаче [1], уравнение движения Эйлера (7) надо скалярно умножить на вектор произвольного перемещения вдоль поверхности равного давления:
0  0i  gj  aцб k   dxi  dyj  drk  .
(12)
Тогда, учитывая уравнение (8), можно получить выражение для линии
уровня (постоянного давления):
gdy   2 rdr .
(13)
Следовательно, уравнение изолинии давления в жидкости будет
следующим:
y
r
g  dy   2 rdr .
y0
(14)
0
А после интегрирования примет вид:
6
2 r 2
;
2g
2 r 2
y  r   y0 
.
2g
y  y0 
(15)
(16)
Далее можно вычислить высоту, на которую поднимется жидкость на
оси вращения, подставив уравнение (16) в уравнение для площади стенки
(11):
hb 
rвнеш

(y0 
 2r 2
rвн
hb  y0 (rвнеш  rвн ) 
hb 
2
2g
2
6g
)dr ;
3
(rвнеш
 rвн3 ) ;
(18)
3
(rвнеш
 rвн3 )
6g
(rвнеш  rвн )
y0 
(17)
.
(19)
Полагая, что rвн  rвнеш  b , уравнение (19) принимает вид:


2 3
3
hb 
rвнеш  rвнеш  b 
6g
y0 
.
rвнеш  b  rвнеш
(20)
Далее, преобразовывая это уравнение, получается следующее:
2 3
3
2
hb 
(rвнеш  rвнеш
 3rвнеш
b  3rвнеш b 2  b 3 )
6g
y0 
;
b
2
2
y0  h 
(3rвнеш
 3rвнеш b  b 2 ) .
6g
(21)
(22)
Таким образом, подставляя уравнение (22) в функцию (16), уравнение
линии уровня жидкости будет выглядеть так:
y (r )  h 
2
6g
y (r )  h 
2
внеш
(3r
2
6g
 3rвнешb  b ) 
2
 2r 2
2g
2
(3rвнеш
 3rвнешb  b 2  3r 2 ) .
;
(23)
(24)
Если учесть, что при y  H и r  rвнеш достигается предельное ускорение,
то можно получить выражение для угловой скорости, соответствующей предельному ускорению:
7
пред 
 6 g ( H  h)
6 g ( H  h)
,

2
2
3rвнеш
 3rвнешb  b 2  3rвнеш
3rвнешb  b 2
(25)
откуда максимально допустимая скорость движения бака на повороте равна:
6 g ( H  h)
rвнеш ;
3rвнеш b  b 2
(26)
2
( H  h)rвнеш
 6g
.
3rвнеш b  b 2
(27)
cпред 
cпред
Подставляя выражение (27) в формулу (10), можно получить уравнение
для вычисления предельного ускорения:
2
2


( H  h)rвнеш
 6g

2


3
r
b

b
внеш

 ;
апред 
rвнеш
( H  h)rвнеш
.
апред  6 g
3rвнеш b  b2
(28)
(29)
3. Анализ решения и представление результатов
Из выражения (29) видно, что предельное ускорение зависит от трех параметров: радиуса поворота, высоты заливки и ширины бака, поэтому полученный результат можно отобразить графически.
Пусть бак с жидкостью имеет габариты: H=0,6 м, l=0,6 м, b=0,6 м. Максимальный радиус криволинейной траектории rвнеш  100м . Уровень заливки
принимается h=0,35 м.
Для анализа адекватности решения нужно рассмотреть влияние этих
трех параметров на предельную скорость. Поэтому пусть предельная допустимая скорость cпред является функцией радиуса поворота rвнеш. Тогда, при
увеличении радиуса поворота, предельная допустимая скорость будет увеличиваться (рисунок 5). Так как чем больше радиус поворота, тем меньше угол
заноса автомобиля, при котором можно развить большую скорость.
8
Рисунок 5 – График зависимости спред от радиуса поворота rвнеш
Помимо этого, можно оставить радиус поворота постоянным и посмотреть, как будет влиять изменение высоты заливки h. Из графика видно, что
при увеличении высоты заливки предельная допустимая скорость уменьшается (рисунок 6). Так как с увеличением высоты заливки, увеличивается и
масса воды, следовательно, ускорение жидкости будет уменьшаться, следовательно, и скорость будет тоже уменьшаться. Это так же видно по формуле
для вычисления предельной скорости, так как высота заливки стоит в знаменателе со знаком «-».
Рисунок 6 – График зависимости спред от высоты заливки h
9
Последний график характеризует зависимость предельной допустимой
скорости от ширины бака b при постоянстве радиуса поворота и высоты заливки. При увеличении ширины бака предельная допустимая скорость так же
будет уменьшаться (рисунок 7). Это можно объяснить по аналогии с высотой
заливки бака. Только ширина бака стоит в знаменателе формулы, но ее влияние очень мало.
Рисунок 7 – График зависимости спред от ширины бака b
Проанализировав полученные графики, можно сделать вывод, что решение является адекватным и соответствует физической модели.
Тогда предельная скорость движения по дуге с радиусом rвнеш  100м и
высотой заливки h=0,35 м:
cпред 
6  9,80665  (0,6  0,35)  100 2
 28,616 м / с  103,016 км / ч.
3  100  0,6  0,6 2
(30)
Полученный результат вполне соответствует действительности. С
уменьшением радиуса поворота уменьшается предельная скорость. Ширина
бака в знаменателе в сравнении с радиусом поворота является довольно малой величиной, поэтому ее влияние происходит в меньшей степени. С увеличением первоначального уровня заливки уменьшается числитель, а, значит,
уменьшается и предельная скорость. Потому, как в таком случае выплеск воды возможен при меньших скоростях из-за большей массы воды.
О б л а с т ь п р и м е н и м о с ти
Полученное решение дает адекватные результаты при глубине заливки
большей, чем половина стенки бака, и применяется только лишь для установившегося процесса движения с постоянным ускорением, в связи с рассмотренными особенностями физической модели.
10
Так же важно понимать, что полученное решение справедливо только
для случая, когда дно бака не осушается, так как в противном случае меняются пределы интегрирования в уравнении (9).
3.1. Дополнительное решение
Можно рассмотреть случай, когда дно бака будет осушаться, но при
этом вода из него выплескиваться не должна (рисунок 8):
Рисунок 8 – Дополнительная область решения
Необходимо применить закон сохранения вещества, как в предыдущей
области решения, с условием, что интегрирование ведётся по оси ординат:
H
жbh  ж Hrвнеш   ж r ( y)dy .
(31)
0
Далее нужно проинтегрировать выражение (13), но с некоторым изменением пределов интегрирования для упрощения решения задачи:

2
rвнеш

rdr  g
yвнеш
r

dy .
(32)
y
Учитывая, что yвнеш  H , можно получить зависимость r(y):
2 2
rвнеш  r 2   g  H  y  ;

2
2g
2
r  rвнеш
 2 H  y .

(33)
(34)
Подставив полученное уравнение (34) в выражение для площади стенки,
занятой жидкостью (31), оно примет следующий вид:
H
hb  Hrвнеш   r ( y )dy ;
(35)
0
H
2
hb  Hrвнеш   rвнеш

0
2g
 H  y dy .
2
(36)
Чтобы решить уравнение (36), сначала нужно вычислить интеграл:
11
H
2
 rвнеш 
0
2g
 H  y dy .
2
(37)
Решается данный интеграл с помощью замены в подынтегральном выражении:
2g

2
m  rвнеш  2  H  y  ,

dm  2 g dy,

2


2g
2
 y  0  m  rвнеш  2 H ,


2
 y  H  m  rвнеш
(38)
Тогда интеграл примет вид:
2 rвнеш
2
mdm 
m3

2g  r2  2 g H 
3g
2


внеш
2


2
rвнеш
(39)
2g 
 2
 rвнеш  2 H 



В результате получается:
2 

3g 

r 
3
2
внеш
2g 
 2
  rвнеш
 2 H



3




(40)
Выражение (40) подставляется в уравнение (36), и получается следующее:
2 

Hrвнеш 
3g 

r 
3
2
внеш
2g 
 2
  rвнеш
 2 H



3

  hb .


(41)
Глядя на формулу (41), возникают трудности при выражении угловой
скорости  из этого уравнения. Возможно, стоит попробовать взять другие
пределы интегрирования или пойти другим путем.
Нужно выразить из уравнения (15) зависимость r(y):
2 g ( y  y0 )
.
2
r ( y) 
(42)
Подставив полученное уравнение (42) в выражение для площади стенки,
занятой жидкостью (35), оно примет следующий вид:
H
hb  Hrвнеш  0
2 g  ( y  y0 )
2
dy.
(43)
Для начала нужно вычислить интеграл:
12
H
0
2 g  ( y  y0 )
2
dy 
2g
H
 2 0
2 g 2( y  y0 )
y  y0 d ( y  y0 ) 

2
3
3
H
2
(44)
0
В результате получается:
3
3
2 g  2( H  y0 ) 2 2( y0 ) 2 



2 
3
3


(45)
Теперь из уравнения (43) можно выразить угловую скорость движения
бака:
3
3
2 g  2( H  y0 ) 2 2( y0 ) 2 
hb  Hrвнеш 


;

2 
3
3


3
3
 2( H  y ) 2 2( y ) 2 
2g
0
0
.





Hrвнеш  hb
3
3


(46)
(47)
Учитывая, что максимальная допустимая предельная угловая скорость
достигается при y0=0, выражение (47) примет следующий вид:
2g
8 gH 3
2 H3
пред 


.
Hrвнеш  hb
3
3( Hrвнеш  hb)
(48)
Откуда можно получить выражения для предельной скорости и предельного ускорения:
2
8 gH 3 rвнеш
cпред 
;
3( Hrвнеш  hb)
8 gH 3 rвнеш
aпред 
.
9( Hrвнеш  hb) 2
(49)
(50)
Заключение
В заключение решения задачи №6 приводятся следующие выводы:
1. Алгоритм решения задачи очень похож на алгоритм решения задачи
№5 и содержит лишь некоторые особенности физической модели, которые
были учтены в решении.
2. При движении по криволинейной траектории с постоянной угловой
скоростью форма свободной поверхности имеет форму параболоида, так как
уравнение линии уровня жидкости представляет собой параболу:
2
2
y (r )  h 
(3rвнеш
 3rвнеш b  b 2  3r 2 ) .
6g
3. Решение основной задачи представлено формулой (29):
13
апред  6 g
( H  h)rвнеш
.
3rвнеш b  b2
Для решения дополнительной задачи, то есть в случае осушения дна
бака, нужно воспользоваться формулой (50):
8 gH 3 rвнеш
aпред 
.
9( Hrвнеш  hb) 2
Следовательно, решение можно применять для любого количества залитой жидкости.
Известно, что оба решения применимы только для установившегося
движения с постоянным ускорением.
4. С помощью представленных графиков зависимости скорости от различных параметров была произведена оценка адекватности решения. Решение задачи адекватно и соответствует физической модели.
5. Искомое предельное ускорение зависит от радиуса поворота автомобиля, высоты заливки жидкости в баке и ширины самого бака. По полученным результатам можно сказать, что радиус поворота и высота заливки влияют в большей степени на ускорение, чем ширина бака.
Список использованных источников
1. Определение предельного ускорения открытого сосуда, частично заполненного жидкостью, при движении по прямой: отчёт о решении задачи /
А. А Адамова и др. – Пермь: ПНИПУ, 2020. – 19 с.
14