Красота методов решения

Элективный курс в 9 классе
«Красота методов решения математических задач».
Пояснительная записка.
Программа рассчитана на 17 часов.
Основная цель курса – показать ученикам методы, приемы и примеры решения задач
и заданий, редко применяемые в школьном курсе математики, но часто встречающиеся
на вступительных экзаменах в вузы, на олимпиадах. Обратить внимание на те методы,
которые используются не только в алгебре, но и геометрии, физике, черчении.
Дополнительная цель – показать красоту математики, повысить интерес к предмету,
настроить учащихся на выбор математического профиля в 10 классе.
Сложилась уже определенная схема проведения уроков. На каждом занятии
приводятся цитаты из высказываний известных ученых по вопросам, которые изучаются,
рассматриваются исторические факты, относящиеся к теме, ученики знакомятся с
именами великих математиков, физиков, философов, внёсших большой вклад в развитие
науки. В конце занятия ученики получают для рассмотрения дома вопрос исторического
или занимательного характера. Ответ на него заслушивают все вместе на следующем
занятии и оформляют в виде краткой справки или небольшого доклада. Материал ребята
выбирают по справочникам, энциклопедиям или сайтам из Интернета. Уровень заданий,
используемый в курсе, различный: от элементарных, занимательных, старинных до
олимпиадных, повышенной сложности, заданий для абитуриентов.
Программа курса.
Методы оперирования числами. Фигурные числа. Перевод периодических дробей в
обыкновенные. Задачи с числами. Комплексные числа и простейшие действия над ними.
Методы решения уравнений. Методы замены или подстановки. Метод разложения
на множители. Теорема Виета. Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения.
Замена в системах уравнений. Простейшие уравнения с параметрами и модулями.
Текстовые задачи.
Методы решения неравенств. Обобщенный метод интервалов в неравенствах и
системах неравенств. Замена переменной в неравенствах. Простейшие неравенства с
параметрами и модулями.
Методы решения геометрических задач. Применение подобия треугольников.
Многоликая теорема Пифагора. Формула Герона для иррациональных длин.
Алгебраический метод в геометрии.
Тематическое планирование.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Тема
Методы оперирования числами.
Комплексные числа.
Метод разложения на множители. Теорема Виета.
Уравнения высших степеней. Системы уравнений.
Текстовые задачи.
Простейшие уравнения с параметрами и модулями.
Обобщенный метод интервалов в неравенствах и
системах неравенств.
Кол-во
часов
2
1
4
2
1
2
1
7
8
9
10
11
Замена переменной в неравенствах.
Простейшие неравенства с параметрами и модулями.
Алгебраический метод в геометрии.
Теорема Пифагора.
Обобщающий урок
1
1
1
1
1
Занятие 1.
Перевод периодических дробей в обыкновенные. Фигурные числа.
«Число есть начало всех вещей, воспринимаемых рассудком»
Немецкий философ и математик
Николай Кузанский (1401 - 1464)
Историческая справка. Для нас совершенно естественно повсеместное применение
чисел. Возможность все пересчитать считается закономерной и существующей вечно,
поэтому абсолютно не возникает мысли о том, как можно обходиться без счета. А ведь
без чисел наступил бы, скорее всего хаос. Мы совершенно свободно оперируем числами,
не задумываясь о том сложном пути, которое прошло общество в применении счета.
На первых порах расширение понятия числа происходило медленно. У многих
народов число 40 достаточно долго было пределом счета, поэтому выражение «сорок
сороков» в старину означало число, которое даже невозможно представить.
На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков – ста. Затем
появляются тысяча, десять тысяч (тьма) и миллион. В современной математике граница
счета – бесконечность, которая не означает какое-либо конкретное число.
Столь же сложно происходило расширение понятия числа «вглубь»: сначала
появились натуральные числа, затем целые отрицательные, потом дробные и т.д. сегодня
мы обсудим лишь одно небольшое правило о дробях, которое вы не рассматриваете в
школьном курсе математики.
Вспомним способы перевода обыкновенных дробей в десятичные:
 Разделить числитель на знаменатель;
 По основному свойству дроби умножить числитель и знаменатель дроби на
такой множитель, чтобы в знаменателе получилось число, которое является
делителем или кратным 10.
Примеры:
2)
2
 0,(9).
9
1)
1 1 2  2
1
 1 : 5 = 0,2 или


= 0,2.
5
5 5  2  10
2
2
3)  0,(285714).
4)  0,1(3).
15
7
Во втором и третьем примерах получились чисто периодические дроби, а в третьем –
смешанная периодическая дробь. Также не сложен перевод десятичных дробей в
обыкновенные: записываем дробь с помощью дробной черты так, как говорим в слух.
Примеры:
1) 3,3 =
33
.
10
2) 4,5 =
45 9
 .
10 2
Но таким образом нельзя перевести периодическую дробь в обыкновенную. Для такого
перевода необходимо знать следующее правило:
Чтобы периодическую дробь представить в виде обыкновенной, необходимо:
 Из числа, записанного до второго периода, вычесть число, стоящее до
первого периода, и эта разность – числитель искомой дроби;
 В знаменатель записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и
дописать столько нулей, сколько цифр между целой частью и периодом.
2
Примеры:
(25  2) 23
(1327 132) 1195 239



.
2) 1,32(7) =
.
9
9
900
900 180
(3254  32) 3222 179


3) 3,2(54) =
990
990
55
1) 2,(5) =
Теперь разберем более сложные примеры, связанные с периодическими дробями,
которые предлагались в разные годы на вступительных экзаменах в вузы.
0,8333...  0,4(6) 1,125  1,75  0,41(6)

11
0,59
6
(83  8) 75 5

 ;
Решение: 0, 83333…= 0,8(3) =
90
90 6
(416  41) 375 5

 ;
0,41(6) =
900
900 12
5 7 25 14 11
11 11 6 1


 ;
:   ;
6 15
30
30
6 30 5
30
5 9 7 5 27  42  10 59

1,125 + 1,75 -    
;
12 8 4 12
24
24
1 25 5
5

 .
Ответ:
5 6
6
6
Примеры:
1)
0,4(6) =
(46  4) 42 7

 ;
90
90 15
59
59
59 100 25


: 0,59 =
:
;
24
24 100 24
6
5
(  2,708333...) : 2,5
1
8
2)

110 2
[1,3  0,7(6)  0, (36)] 
401
127083  2708 24375 65


;
9000
9000
24
76  7 69 23
36  0 36 4

 ;

 ;
0,7(6) =
0,(36) =
90
90 30
99
99 11
10 10 10 2 2  2 4
5 65 15  65 80 10
10



 ;
 ;
: 2,5 =    
8 24
24
24 3
3
3 25 3 5 3  1 3
23 4 13 23 4 420  253  120 802 401
401 110 110 2


 ;

 




1,3 +
;
165 401 165 3
30 11 10 30 11
330
330 165
4 2
1
  2;
2  1
Ответ: 1
2
3 3
Решение: 2,708333… = 2,708(3) =
Ещё в древнем мире ученые придумывали различные игры с числами. Например,
Пифагор изображал числа точками, затем строил из точек различные фигуры и в
результате пришел к понятию фигурных чисел. Вот так он представлял фигурные числа.
Если начать с левой угловой точки и рассмотреть получившиеся треугольники, то
количество точек, принадлежащих каждому из треугольников, образует
3
последовательность чисел:1; 3; 6; 10; 15 и т.д. Возникает вопрос: как получается эта
последовательность? Так как 3=1 +2; 6 = 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4; 15 = 1 + 2 + 3 + 4
+ 5 и т.д., то видим, что каждое число есть сумма последовательных натуральных чисел.
Аналогично получаются и квадратные числа.
Из рисунка видно, что квадратные числа: 1; 4; 9; 16; 25 и т.д. Это квадраты
последовательных натуральных нечетных чисел, так как 4 = 1 + 3; 9 = 1 + 3 + 5;
16 = 1 + 3 + 5 + 7 и т.д.
Учащимся предлагается дома по желанию нарисовать пятиугольные, шестиугольные
числа и попробовать найти соответствующие закономерности.
Вопрос на дом. Какие числа называют вавилонскими?
Ответ: Вавилонскими называют тройки натуральных чисел, которые являются
корнями уравнения х2 + у2 = 2 z2. Например, такие тройки, как 1; 5 и 7 или 7; 13 и 17 и
т.д.
Занятие 2
Треугольник Паскаля. Задачи с целыми числами.
«Числа не управляют миром, но показывают,
как управляется мир»
Немецкий поэт и мыслитель И.В. Гёте (1749 - 1832)
Историческая справка. В современном русском языке названия всех чисел до
миллиарда, составляются всего из 39 слов, обозначающих числа 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600,
700, 800, 900, 1000, миллион и миллиард. В основе словообразования всех чисел лежит
число десять, поэтому наша система счёта называется десятичной.
Рассказывая о числах, не оставляю без внимания очень интересную конструкцию из
чисел – «треугольник Паскаля». Хотя это числовая таблица была частично известна в
Индии ещё во втором веке до нашей эры, фигурировала затем в работах китайских и,
позднее, среднеазиатских и европейских математиков, все-таки наибольшую известность
ей принесли работы французского математика семнадцатого века Блеза Паскаля.
Рассмотрим принцип составления и систему применения этого треугольника из
чисел. По боковым сторонам этого равнобедренного треугольника стоят единицы. Вниз
он может продолжаться до бесконечности. Внутри треугольника числа в каждой
последующей строке располагаются между числами предыдущей строки и равны их
сумме.
4
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
15 20
15 6
1
1 7
21 35
35 21 7 1
и т. д.
Этот «арифметический треугольник » применяется для возведения в любую
степень двучлена (бинома) (a + b), поскольку в нём заключены биноминальные
коэффициенты. Например, третья строка треугольника позволяет записать формулу
квадрата двучлена: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2.
Первое слагаемое содержит переменную а в той степени, в которую возводится вся
сумма, затем степень а уменьшается на единицу, а степень b, наоборот, увеличивается на
единицу. Продолжая таким образом, мы приходим к последнему слагаемому, которое
содержит b в наибольшей степени. Например, по последней из записанных строк
получим выражение для возведения бинома в седьмую степень:
(a + b)7 = a7 +7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.
Умение построить и применить этот числовой треугольник позволит вспомнить
формулы возведения суммы и разности двух выражений в любую степень. Для
возведения в степень разности выражений необходимо чередовать знаки + и -.
В дальнейшем вы ещё встретитесь с этой замечательной конструкцией из чисел не
только в школе, но и в курсе высшей математики в университете.
Довольно часто мы встречаемся с числами и в текстовых задачах. Решим одну из
них.
Задача. Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 3024.
найти эти числа.
Решение: Пусть наименьшее из чисел – х, тогда остальные три последовательных
натуральных числа будут равны х + 1, х + +2, х + 3.Учитывая условие задачи, составим
уравнение: х · (х + 1) · (х + 2) · (х + 30 = 3024.
Если умножить все четыре сомножителя, то получим уравнение четвертого порядка,
которое вы не сможете решить. Поэтому перемножим их попарно таким образом, чтобы
два из полученных выражения имели одинаковые слагаемые. Для этого перемножим
первый множитель с последним и два средних:
(х2+3х) · (х2+3х+2) = 3024
Выполнив замену у=х2+3х, получим следующее уравнение:
у·(у+2)=3024,
у2 +2у-3024=0,
D=4 + 4·3024=12100,
у1=  2  110  54 ,
2
6
у2 =  2  110   56
2
Возвратимся к первоначальной переменной х:
х2 +3х =54
или
х2 +3х =-56
х2 +3х -54 = 0
х2 +3х +56 =0
D= 9 + 216=225
D= 9 – 224 <0
х1=6, х2= -9
нет корней
5
Так как по условию искомые числа должны быть натуральными, то из полученных
корней выбираем лишь 6. итак, установлены четыре числа: 6, 7, 8, 9.
Как уже было сказано, много времени с числами посвящали древние математики.
Рассмотрим задачу, которую включил в свою «Арифметику» великий древнегреческий
учёный Диофант, и предложенное им решение.
Задача: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96.
Решение Диофанта. Из условия задачи ясно, что искомые числа не равны между
собой, иначе их произведение было бы не 96, а 100. Значит, одно из них меньше
половины 20, то есть (10-х), а другое – больше, поэтому (10+х). Тогда получим
уравнение: (10-х)· (10+х)=96
100-х2 =96
х2=4
х=2
Во времена Диофанта отрицательными числами еще не пользовались, решать
полные квадратные уравнения с помощью формул так же не могли, поэтому был получен
только один корень. Найдены числа 8 и 12. Ответ: 8 и 12.
Современное решение предлагают ученики с помощью системы уравнений.
Получают пары чисел (8; 12) и (12; 8) Ответ: 8; 12
Вопрос на дом: Какое число называли лудольфовым?
Ответ: Лудольфово число – приближенное значение числа «пи» с 35 верными
десятичными знаками, найденное голландцем Лудольфом Ван Цейленом (опубликовано
посмертно в 1615 году). Для поколения людей 17 века, не пользовавшихся почти
никакими вычислительными аппаратами, такое значение «пи» было сверхточным,
поэтому и было названо по имени великого вычислителя. Придавая огромное значение
своей работе, Лудольф завещал высечь на своём надгробном камне найденное им
значение числа «пи».
Занятие 3.
Комплексные числа.
Историческая справка. В 1545 году итальянский ученый Кардано столкнулся с
проблемой решения некоторых систем уравнений и предложил ввести в рассмотрение
числа, обладающие свойством: a  a = -а. Он назвал их «чисто отрицательными» или
«софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался по возможности
не употреблять. Долгое время эти числа считались не существующими, воображаемыми.
Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей».
С помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь
величины, ни изменение какой-нибудь величины. Мнимым числам не было места и на
координатной оси.
Но техника операций над мнимыми числами постепенно развивалась. В начале 19
века сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс) предложили изображать
комплексное число z = a + bi точкой М(а;b) на координатной плоскости, что
позволило расширить область применения этих чисел. А названы они комплексными,
потому что содержат действительные числа а и мнимые bi в комплексе.
Мы с вами рассмотрим лишь самые простые формулы, понятия и операции из
теории комплексных чисел, учитывая, что i2 = -1.
Если b= 0, то z = a - действительное число; если же а = 0, то z =bi – число мнимое.
6
Числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называются равными, если а1 =а2 и b1 = b2, то
есть равны их действительные и мнимые части.
Числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 - b2i называются сопряженными, их произведение
равно a2 + b2, то есть (a1 + b1i) · ( a2 - b2i) = a2 + b2.
Суммой чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется число
z1 + z2 = =(а1
+ а2) + i(b1 +b2).
Разностью этих чисел называется число z1 - z2 = =(а1 - а2) + i(b1 - b2).
Произведение таких чисел выполняется по правилу умножения двух многочленов z1
· z2 = (a1 + b1i) · ( a2 + b2i) = а1 а2+ ib1а2 + ia1b2 + i2b1b2 =(a1a2 – b1b2) + i(b1a2 +a1b2).
Деление комплексных чисел основано на применении основного свойства дроби:
если числитель и знаменатель разделить или умножить на одно и то же число, отличное
от нуля, то значение дроби не изменится. При этом умножают на число, сопряженное
знаменателю дроби:
z1 a1  b1i a 2  b2 i  a1a 2  b1b2   i b1 a 2  a1b2  a1a 2  b1b2  ib1a 2  a1b2 




z 2 a 2  b2 i  a 2  b2 i 
a2  b2
a2  b2
a2  b2
Примеры:
1) (7 – 3i) + (9i – 10) = (7 - 10) + i(-3 + 9) = -3 + 6i
2) (4 -5i) – (5 – 2i)= (4 - 5) + i(-5+ 2) = -1 – 3i
3) (2 + 3i)(3 – 2i) = 6 + 9i -4i -6i2 = 12 + 5i
1  i 1  i 1  i  1  2i  i 2 2i
4)


 i
1  i (1 i)1  i 
1 1
2
4  3i 4  3i 4  3i  16  24i  9i 2 7  24i
5)



 0,28  0,96i
4  3i 4  3i 4  3i 
16  9
25
 1  5i 2 3  4i   10  7i   1  5i 2 3  4i 5i  10  7i 1  3i  
1  3i 5i
1  3i
5i
6)

1 10i  25i 15i  20i  10  7i  30i  21i
2
2
5i  15i 2
2

 24  10i 15i  20  37i 11   360i 150i 2  480  200i  37i 11   523i  341 
5i 15
5i 15
5i  15
(523i  341) 5i 15 2615i  1705i  7845i  5115 2500  9550i


10  38,2i
5i 15  5i 15
225  25
250
2
Пример 6 можно решить по-другому: умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на сопряжённое знаменателю, а затем сложить полученные дроби. Попробуйте решить
пример этим способом.
При решении квадратного уравнения у нас получался отрицательный дискриминант и
мы с вами говорили, что уравнение не имеет корней. С введением комплексных чисел
стало возможным решать такие уравнения, например:
Решить уравнение х2 + 4х + 29 = 0
D = 16 – 116 = -100 = 100i2
x1 =  4  10i   2  5i
2
x2 =  4  10i   2  5i
2
Ответ: -2 – 5i, -2 + 5i
Вопрос на дом: Когда тысячу тысяч стали называть миллионом?
Ответ: Слово «миллион» (буквально «тысячища») появилось в Италии в 14 столетии и
обозначало первоначально 10 бочонков золота. В печати это слово появилось в
сочинениях итальянского математика Луки Пачоли (1445-1514).
7
Занятие 4.
Методы решения уравнений.
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль.
Историческая справка. Обратимся лишь к одному небольшому эпизоду, связанному с
историей алгебраических уравнений, а точнее к уравнению третьей степени вида
х3 + px = q.
В 16 веке в Италии были широко распространены математические поединки между
учеными. В городе Болонья при большом стечении народа противники предлагали друг
другу для решения определенное количество заданий по алгебре, которая в то время
была наиболее популярна и называлась «Великим искусством», в то время как
арифметика – «Малым искусством». Победитель такого диспута, решивший наибольшее
число задач, как правило, награждался денежным призом, всеобщей славой и
возможностью занять университетскую кафедру или другую должность.
Когда профессор математики Болонского университета Сципион дель-Ферро, одним
из первых нашедший формулу для решения указанного уравнения, неожиданно
скончался, тайну открытия знал лишь его ученик Фиоре, не очень способный математик.
Тем не менее он решил воспользоваться секретом т вызвал на поединок одного из
виднейших математиков Италии Николо Фонтана (Тарталья).
Последний понял, что его противник владеет формулой для решения уравнения
третьей степени, и за 8 дней до диспута сам вывел нужную формулу. Благодаря своему
усердию, он решил все предложенные ему задачи, в то время как Фиоре не смог решить
ни одного задания. По иронии судьбы формула, о которой идет речь, носит имя другого
известного математика – Кардано. Тарталья, решивший сразу не раскрывать своего
секрета, настолько затянул время, что уже третий ученый частично сам, а частью из
записей дель-Ферро смог вывести формулу решения уравнения, чем и увековечил свое
имя, хотя и не совсем честным путем.
Рассмотреть все методы и формулы на одном занятии невозможно, поэтому
разберем всего два метода: метод замены переменной, применённый к решению
уравнений высших степеней и метод разложения на множители.
Примеры:
1) х8 – 17х4 + 16 = 0.
Введем замену переменной х4 = у, получим уравнение у2 -17у + 16 = 0, корни которого
у = 1 и у = 16. Тогда, возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения х2 = 1 и х2 = 16.
Решая их, получаем корни исходного уравнения -1; 1; -4; 4.
Ответ: -1; 1; -4; 4.
2) (х2 + 5х)2 - 2(х2 + 5х) – 24 = 0
Пусть х2 + 5х = у, тогда у2 – 2у – 24 = 0. Откуда у = 6 или у = -4. Возвращаясь к х,
получим: х2 + 5х = 6
или
х2 + 5х = -4,
х2 + 5х - 6 = 0
или
х2 + 5х + 4 = 0,
х1 =-6, х2 = 1
или
х3 = -1, х4 = -4.
Ответ: -6; -4; -1; 1
3) (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) = 12.
Обозначим х2 + х + 1 = у, тогда х2 + х + 2 = у + 1. значит, уравнение примет вид:
у(у + 1) = 12,
у2 + у – 12 = 0,
8
у1 = -4, у2 = 3. Возвратимся к переменной х:
х2 + х + 1 = -4
или
х2 + х + 1 = 3,
х2 + х + 5 = 0
или
х2 + х – 2 = 0,
D = 1 – 20 = -19 < 0
D=1+ 8=9
 1  i 19
 1  i 19
, х2 =
2
2
 1  i 19  1  i 19
Ответ: -2; 1;
;
2
2
х1 =
х3 = -2, х4 = 1
Теперь рассмотрим способ разложения на множители. Здесь мы применим правило:
произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие
при этом не теряют смысла. Необходимо вспомнить, что способов разложения на
множители мы изучили всего три: вынесение общего множителя за скобки, группировка,
применение формул сокращенного умножения.
4) х3 – 4х2 – х + 4 = 0
Сгруппируем слагаемые, ориентируясь на коэффициенты:
(х3 - х) + (-4х2 + 4) = 0,
х(х2 - 1) – 4(х2 - 1) = 0,
(х2 - 1)(х - 4) = 0,
х2 – 1 = 0 или х – 4 = 0,
х = 1, х = -1, х = 4
Ответ: -1; 1; 4.
5) х4 + х3 – 12х2 = 0
Вынесем за скобки общий множитель х2 и получим:
х2(х2 + х - 12) = 0
х2 = 0 или х2 + х – 12 = 0,
х = 0 или х = -4, или х = 3
Ответ: -4; 0; 3.
6) х4 – 3х3 + 3х2 – х = 0.
Сгруппировав первое слагаемое с последним, а второе с третьим и разложив двучлен в
первой скобке по формуле разности кубов, получим:
(х4 - х) + (-3х3 + 3х2) = 0,
х(х3 - 1) – 3х2(х - 1) = 0,
х(х - 1)(х2 + х + 1) – 3х2(х - 1) = 0,
х(х - 1)(х2 + х + 1 – 3х) = 0,
х(х - 1)(х2 - 2х + 1) = 0,
х=0 или х = 1 или (х - 1)2 = 0.
Ввиду того, что корень х = 1 повторился три раза, его называют троекратным корнем.
Таким же образом в квадратном уравнении с дискриминантом, равным нулю, грамотнее
сказать, что уравнение имеет два равных корня или один двукратный корень, а не один
корень.
Ответ: 0; 1.
Вопрос на дом: Какой смысл имел в математике символ :: ?
Ответ: Английский математик Оутред (1574-1660) выражал равенство
a c

записью
b d
a,b :: c,d. Таким образом, это – знак пропорции. Этот знак применялся вплодь до 19 века.
9
Занятие 5.
Теорема Виета.
«Математические теоремы …сводятся к небольшому числу простых истин».
Французский философ и математик
Ж.Л. Даламбер
Историческая справка. Формулировка известной нам теоремы Виета во времена её
открытия была совершенно не похожа на современную. Вот так формулировал её сам
Франсуа Виет (французский математик 16 века) в 1591 году: «Если B + D, умноженное
на А минус А2, равно BD, то А равно В и равно D». Поскольку А у Виета означало
неизвестное, а В и D – коэффициенты при неизвестной, то в современной алгебре эта
фраза выглядит следующим образом: Если (a + b)х – х2 = ab или х2 – (a + b)x + ab = 0,
то х1 = а, х2 = b.
Теорема Виета может быть обобщена для уравнения любой степени.
Пусть многочлен Р(х) = аnxn + an-1xn-1 + … a1x +a0 имеет корни х1, х2, …, хn, тогда
х1 + х2 + … +хn = –
a n 1
an
x1x2 + x1x3 + … xn-1xn =
an2
an
x1x2x3 + x1x2x4 + … + xn-2xn-1x1 =
a n 3
an
………………………..............
a0
x1x2x3x4…xn = (– 1)n a
n
Например, для уравнения получаем следующую систему:
х1 + х2 + х3 = – а
х1х2 + х1х2 + х2х3 = b
х1х2х3 = – с
К сожалению, заданиям на применение такой замечательной теоремы в учебнике удалено
мало внимания, в то время, как свободное владение этой теоремой позволяет сэкономить
достаточно много времени для решения более интересных задач. Особенно это наглядно
в старших классах, когда различные виды уравнений после замены приводятся к
квадратным (как правил, приведенным) и основное внимание должно быть
сосредоточено на решении новых видов уравнений, а в квадратные в большинстве
случаев решаются устно.
Рассмотрим примеры, которые предлагались на вступительных экзаменах в вузы.
Примеры.
1) не решая уравнения х2 + 13х + 45 = 0, найти сумму квадратов его корней.
Решение:
Поскольку х1·х2 = 45, х1 + х2 = –13,
то
2
2
2
2
х1 + х2 = (х1 + х2) – 2х1х2 = (–13) – 2 · 45 =169 – 90 = 79. Задание можно было бы
считать выполненным, но здесь допущена ошибка – не найден дискриминант. Так как
D = 169 – 180 = – 11, то данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: во множестве действительных чисел задание не разрешимо.
10
Предложенный пример наглядно демонстрирует, насколько внимательно нужно
относиться к условию задачи, чтобы не упустить важных деталей. В заданиях для
поступающих в вузы это внимание должно быть особенно обострённым.
2) Не решая уравнения 4х2 – х – 4 = 0, найти значения следующих выражений:
а)
1
1

;
x1 x 2
б) х12 + х22;
в)
x1 x 2
;

x 2 x1
г)
x2
x
 1
1  x1 1  x2
Решение: Так как D = 65, то преобразуем данное уравнение к приведенному
1
1
x – 1 = 0. Тогда х1·х2 = –1, а х1 + х2 = . Значит, решение примет вид:
4
4
x x
1
1
1
а) 
= 2 1 =
4
x1 x 2
x1 x2
1
1
 2  2 ;
б) х12 + х22= (х1 + х2)2 –2х1х2 =
16
16
2
2
x  x2
x
x
1
в) 1  2 = 1
= 2
16
x1 x 2
x 2 x1
х2
г)

x2
x
 1 =
1  x1 1  x2
1
1
5
2
2
x 2  x 2  x1  x1
16  16  37  9 1 .
4
1
1
1  x1  x 2  x1 x 2
4
4
4
4
2
2
3) Найти наибольшее значение параметра b в уравнении х2 + bх + 12 = 0, при котором
разность корней уравнения равна 1.
Решение: По теореме Виета с учетом условия задачи и ограничения b2 – 48  0
получаем систему уравнений:
х1 + х2 = -b,
х1·х2 = 12,
х1 -·х2 = 1;
Сложим и вычтем первое и третье уравнения. Получим:
2х1 = 1 – b ,
1 b
2
 b 1
х2 =
2
х1 =
2х2 = – b – 1,
х1·х2 = 12,
1 – b2 = –48;
х1 = 4,
х2 =3,
b = –7;
х1 = –3,
х2 = –4,
b = 7;
Из двух полученных значений b наибольшим является 7.
Задания с параметрами должны присутствовать практически на каждом занятии,
потому что их очень мало в действующих учебниках по алгебре и достаточно много в
экзаменационных заданиях всех видов.
11
Вопрос на дом. Древний учёный Эпикур родился в 341 году до н.э. В 1959 году
отмечали 2300 лет со дня его рождения. Правильно ли праздновали его юбилей?
Ответ. Неправильно, так как в 1959 году со дня рождения прошло 2299 лет.
Занятие 6.
Методы решения уравнений высших степеней.
Историческая справка. Развитие математики до определённого времени
происходило из-за практических потребностей людей. Дальнейшие открытия были
сделаны математиками в связи с необходимостью разрешения внутренних проблем. К
таким сложным вопросам в математике много веков относилась идея решения уравнения
любой степени через его коэффициенты. В 16 веке усилиями нескольких итальянских
математиков были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвёртой
степеней определённого вида. В 1545 году в книге Кардана «Великое искусство» было
приведено решение уравнения вида х3 + рх + g = 0.
Эти открытия позволили учёным сделать предположение, что количество корней
любого уравнения равно его степени, если считать все корни (действительные и
комплексные), учитывая их кратность. Этому вопросу посвятил много времени
голландский математик Альберт Жирар (начало XVII века). Примерно через 100 лет
шотландец Колин Маклорен и великий математик Леонард Эйлер (по происхождению
швейцарец, прожил более 30 лет в России) сформулировали основную теорему алгебры:
«Уравнение n –й степени с комплексными коэффициентами во множестве комплексных
чисел имеет ровно n корней, если каждый кратный корень считать такое число раз,
какова его кратность». Доказательством этой теоремы занимались известные математики,
в их числе Декарт, Даламбер, Лагранж, Лаплас, Гаусс.
Продолжая изучение уравнений высших степеней, норвежский математик Нильс
Абель в 1826 году доказал, что для общего уравнения пятой степени не существует
формулы, которая выражает его корни через коэффициенты. Это не означает, что для
отдельных частных видов уравнений высших степеней также невозможно найти такие
формулы. Поэтому в решении этого вопроса ещё возможны открытия.
В существующих школьных учебниках алгебры при рассмотрении вопроса о
решении уравнений второй степени для простоты изложения материала указывается,
что, если дискриминант уравнения отрицателен, то уравнение не имеет корней. Это
утверждение противоречит основной теореме алгебры, на что необходимо обратить
внимание учащихся. С учётом этой теоремы целесообразно уточнить, что в этом
случае нет действительных корней, а уравнение имеет два комплексных корня, которые
не изучаются в средней школе. Необходимость такого уточнения обязательна,
поскольку учащимся, привыкшим к неточной формулировке, будет очень сложно
перестроиться при изучении комплексных чисел в курсе высшей математики.
Запишем теорему Безу, которая позволяет найти корни многочлена.
Остаток r(x) от деления многочлена f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 на двучлен
(х - а) равен f(a).
Отсюда следует, что если число а является корнем многочлена, то остаток r(a) ,
будет равен нулю. Нам также понадобится теорема о корнях уравнения и следствия из
неё.
Если несократимая дробь
p
является корнем уравнения anxn + an-1xn-1 + … + a1x
g
+a0 =0 с целыми коэффициентами, то число р является делителем свободного члена a0,
а g – делителем старшего коэффициента аn.
12
Следствие 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является
делителем его свободного члена.
Следствие 2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами
равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, - целые.
Для решения уравнений существует специальная схема Горнера. Мы рассмотрим
применение этих теорем на практике с помощью деления «уголком».
Примеры. Решить уравнения:
1) х3 + 15х – 16 = 0.
Возможные целые корни ищем среди делителей числа 16:  1,  2,  4,  8,  16.
Подставляя поочерёдно эти числа в данное уравнение, получаем, что 1 – корень
уравнения. Разделим «уголком» многочлен х3 + 15х – 16 на двучлен (х - 1). Получим
многочлен х2 + х + 16.
Два других корня найдём из уравнения х2 + х + 16 = 0 . Поскольку D = 1 – 64 = - 63,
то корни будут комплексными х =
Ответ: х=1; х =
 1  3i 7
.
2
 1  3i 7
2
2). 6х4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 =0.
Как видно в этом уравнении коэффициенты симметричны, поэтому такие уравнения
называют возвратными. Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с
одинаковыми коэффициентами.
4
6(х + 1) + 5(х3 + х) - 38х2 =0.
Разделим обе части уравнения на х2.
6(х2 +
1
1
1
1
1
) + 5(х + ) – 38 = 0. Обозначим (х + ) =t, тогда х2 + 2 + 2 = t2 или х2 + 2
2
õ
õ
õ
õ
õ
= t2 – 2. Значит, уравнение примет вид: 6(t2 - 2) +5t – 38 =0;
6t2 +5t – 50 =0; D =25 +1200=1225; t = Возвратимся к переменной х: х +
1
10
=õ
3
10
5
, t= .
3
2
или х +
1 5
= . Умножим на 3х все
õ 2
слагаемые в первом уравнении и на 2х во втором уравнении, получим:
3х2 + 10х + 3 = 0
или
2х2 – 5х + 2 = 0 ;
D = 100 – 36 = 64
D = 25 – 16 = 9;
1
3
1 1
Ответ: -3; - ; ; 2.
3 2
x = -3, x = -
x=
3) х4 – 2х3 + х = 0.
Вынесем общий множитель х:
1
, x = 2/
2
х(х3 – 2х2 + 1) = 0
х = 0 или х3- 2х2 + 1 = 0.
Возможные корни второго уравнения 1 или -1. Подставляя эти числа в уравнение,
получим, что 1-корень уравнения. Разделим многочлен х3- 2х2 + 1 на двучлен х – 1
получим трёхчлен х2 – х – 1. Корни уравнения х2 – х – 1= 0
Будут иррациональными х =
Ответ: 0; 1;
1 5
.
2
1 5
2
13
Вопрос на дом. В честь какой женщины-математика назван один из распространённых
в настоящее время цветов?
Ответ: Известная французская вычислительница Гортензия Лепот (1723-1788) из
путешествия по Индии привезла в Европу необычайно красивый цветок, который
назвали в её честь гортензией.
Занятие 7
Методы решения систем уравнений.
«…Правильному применению методов
можно научиться, только применяя их
на разнообразных примерах»
Датский историк математики Г.Г. Цейтен.
Историческая справка. Раздел математики, изучающий решение систем уравнений,
носит название линейной алгебры. Задачи, решаемые с помощью систем уравнений,
содержатся ещё в вавилонских текстах III-II тысячелетий до н.э.
Приёмы решения систем уравнений разрабатывали многие известные математики.
Среди них францизские математики Этьен Безу, Жозев Луи Лагранж, Пьер Ферма,
швейцарский – Габриель Крамер, немецкий – Готфрид Вильгельм Лейбниц, английский
Исаак Ньютон и другие. Среди наиболее распространённых методов решения систем
линейных уравнений следует назвать «метод Крамера», метод исключения переменных
Гаусса, графический и другие, большая часть которых изучается в курсе высшей
математике.
При решении уравнений мы постоянно пользуемся четырьмя знаками
арифметических действий, но не задумываемся, когда они появились в научных трудах и
были общеприняты. А между тем символы эти были введены не так давно по сравнению
с существующими математическими рукописями. Знаки «+» и «-» появились в 1489 году
в научных трудах чешского математика Яна Видмана, преподававшего в Лейпцигском
университете. И он же первым опубликовал таблицу умножения. Существующие знаки
умножения и деления введены намного позже Лейбницем: в 1684 году символ «:» и в
1698 году – символ «  » . Редко применяемый в настоящее время знак умножения
«  » опубликовал в 1631 году в своём научном труде английский математик Уильям
Оутред. Знакомый всем нам знак равенства «=» был введён в обращение в 1557 году
английским математиком и врачом Робертом Рекордом.
Каждый из этих символов прошёл свой часто сложный путь от создания до массового
применения. Ведь до их появления ещё с древних времён четыре указанных действия
уже применялись много веков и, очевидно, обозначались совсем иначе. Вам предлагается
найти старинные обозначения арифметических действий.
Сегодня мы рассмотрим знакомый вам метод сложения, а также замену переменных в
системах уравнений.
Несмотря на то, что указанные методы изучаются в общеобразовательном курсе
математики, примеры, предлагаемые в существующих школьных учебниках, довольно
просты и не в состоянии продемонстрировать всю многоплановость применения этих
методов. При этом в младших классах её трудно показать, а в старших классах
решение систем рациональных уравнений не предусмотрено.
Рассмотрим один из приёмов решения систем в древности.
1). В «Арифметике» Диофанта дана следующая задача: «Найти два числа, зная, что
их сумма равна 20, а сумма их квадратов - 208»
Одно из возможных современных решений:
14
х + у = 20
х2 + у2 = 208.
Решая систему подстановкой, получим ответ: х = 8, у = 12 или х = 12, у = 8.
Решение Диофанта. Пусть z =
1
(x - y), тогда
2
1
(х + у) = 10, значит
2
1
(x - y)= z,
2
1
(х + у) = 10.
2
Складывая и вычитая эти уравнения, получим:
х = z + 10,
у = 10 – z.
Выразим через z сумму квадратов х и у: х2 + у2= (z + 10)2 + (10 - z)2 = z2 + 20z +
100 +100 – 20z + z2 = 2z2 + 200.
По условию эта сумма равна 208. Получим уравнение 2z2 + 200 = 208, корнем
которого является число 2. Тогда х = 2 + 10 = 12, у = 10 – 2 = 8.
Следует учитывать, что во времена Диофанта ещё не были известны ни формула
корней квадратного уравнения, ни отрицательные числа, поэтому учёному приходилось
придумывать свои методы, в настоящее время практически не используемые.
2) Решить систему уравнений:
х2 + у2 = 34,
х + у + ху = 23.
Выполним замену: u = x + y, v = xy, тогда х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = u2 – 2v.
Получим систему:
u2 – 2v = 34
u + v = 23.
Решая её подстановкой, найдём решение: u = -10, v = 33 или u = 8, v = 15.
х + у = -10
или
х+у=8
ху = 33
ху = 15
Первая система не имеет действительных корней, а решение второй системы – две
пары: (3; 5), (5; 3).
Ответ: (3; 5), (5; 3).
3). Решить систему уравнений:
xy + xz = - 4
yz + yx = - 1
zx + zy = - 9
Сложив все три уравнения, получим 2xy + 2yz + 2xz = - 14. Тогда xy + yz + xz = -7.
сравнивая последнее уравнение с заданной системой, получим:
yz = -7 + 4
yz = -3
xz = -7 + 1
или
xz = -6
xy - -7 + 9
xy = 2
Теперь умножим все три последних уравнения, получим x2y2z2 = 36, отсюда xyz =  6
В результате имеем решения: х = -2, у = - 1, z = 3 или х = 2, у = 1, z = -3.
Ответ: (-2; -1; 3), (2; 1; -3) .
Вопрос на дом. Какой выдающийся математик XX века на самом деле не существует и
никогда не существовал?
Ответ: Никола Бурбаки – псевдоним коллектива французских математиков,
образованного в 1937 году из выпускников Высшей нормальной школы. В состав группы
входят более 40 как всемирно известных учёных (Андре Вейль, Жан Дьедоне, Клод
15
Шевалле), так и совсем неизвестных. С момента возникновения группа стала регулярно
публиковать статьи в многотомном трактате «Элементы математики».
Занятие 8
Текстовые задачи с процентами.
«Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их»
Американский математик Д. Пойа.
Историческая справка. Гармония и красота математики увлекали древних людей.
Вот почему почти все старинные задачи являются занимательными, будь то задачи из
вавилонских клинописных таблиц, египетских папирусов или более поздних греческих
источников.
Одни задачи имеют тысячелетний возраст, другие – вековой или десятилетний. Но
замечательны они тем, что в процессе их решения появлялись и совершенствовались
новые математические понятия, методы решения, символы.
Каждый народ наряду с распространёнными видами народного творчества (песни,
сказки, поговорки, пословицы, загадки и т.п.) имеет и более редкий вид – занимательные
математические задачи, которые передавались из поколения в поколение. Например,
всем нам известная старинная русская задача VIII века о волке, козе и капусте, которых
необходимо было переправить через реку. Не менее известна задача XVIII века о том, как
гусь летел навстречу стае гусей и решил их сосчитать. Распространённая ситуация и в
германской задаче: «За какое время лев, волк и собака могут съесть 3-х овец, если лев
один может съесть овцу за 1 час, волк – за 3 часа, а собака – за 6 часов? ». А вот
болгарская задача, аналог которой есть у многих народов: «По улице шли 2 матери, 3
дочки и 2 сестры - всего 4 женщины. Как это может быть?»
Одни задачи развивали логическое мышление, другие – пространственное. Ещё
какие-то 100 лет назад задачники по математике для школьников содержали в
большинстве своём только текстовые задачи, решаемые по действиям или логическим
рассуждениями. Решение задач с помощью уравнений также появилось ещё в древности.
В вот решение отдельно взятых уравнений, не связанных с определённой задачей,
практиковалось только у учёных.
Текстовые задачи – это одна из тем, задания которой с трудом решаются
многими абитуриентами, что подтверждается статистическими данными многих
вузов. Причин такого положения несколько.
Во-первых, в школьных учебниках эти задачи встречаются в основном в младших
классах, поэтому и уровень сложности у них соответствующий. Во-вторых, почти все
предложенные задачи решаются с помощью уравнений, лишь задачи из начальной школы
предлагаются по действиям. В результате ученики, не освоившие приёмы составления
уравнения по данному тексту, до конца обучения в школе испытывают трудности
психологического характера при решении текстовых задач. В-третьих, не существует
спиральной системы изучения текстовых задач, когда уровень их постепенно
усложняется. Тем более что в старших классах они не рассматриваются вообще, а на
ЕГЭ уровень трудности задач многократно возрастает.
Текстовые задачи можно разделить по темам: проценты, производительность,
смеси, движение, экономические, целочисленные, прогрессии и другие, более редко
встречающиеся.
16
Рассмотрим некоторые приёмы решения задач с процентами.
1). Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё на 15% и,
наконец, после перерасчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов
всего снизили первоначальную цену товара?
Решение. Пусть х – первоначальная цена товара, тогда цена после первого
снижения станет равной х – 0,2х = 0,8х. После второго снижения новая цена будет
0,8х – 0,150,8х = 0,8х – 0,12х = 0,68х. И, наконец, после третьего снижения цена станет
равной 0,68х – 0,10,68х = 0,68х – 0,068х = 0,612х. Разность между первоначальной и
конечной ценами будет равна: х – 0,612х = 0,388х. Это означает, что после трёх
понижений цена уменьшится на 38,8%.
Ответ: 38,8%
2) Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько сухих
грибов получится из 22 кг свежих?
Решение. Решим эту задачу по действиям. Если в свежих грибах 90% воды, то остальные
10% - это вещество гриба, которое при сушке не уменьшается
1) 100 – 90 = 10 (%) – вещество гриба.
2) 22 0,1 = 2,2 (кг) –вещества гриба в 22 кг свежих грибов.
3) 2,2 + 0,122,2 = 2,2 + 0,264 = 2,464 (кг)- сухих грибов.
Ответ: 2,464 кг
3). Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно
добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Решение. В 30 кг морской воды соли будет 30  0,05 = 1,5 кг. После добавления х кг
воды количество соли не изменится, т.е. останется 1,5 кг. Концентрация соли станет
1,5%, то (30 + х)  0,015 = 1,5, 30 + х = 100, х = 70. Нужно добавить 70 кг воды.
Ответ: 70 кг.
Вопрос на дом: Какой известный русский писатель окончил физико-математический
факультет Московского университета?
Ответ: А.С. Грибоедов, поступив в Московский университет, прошёл за 6,5 лет курс 3
факультетов: словесного, юридического и физико-математического.
Занятие 9
Текстовые задачи с целыми числами.
«Обучению искусству решать
задачи есть цель воспитания воли»
Американский математик Д. Пойа.
Историческая справка. Многие учёные с увлечением занимались изучением
различных видов и свойств чисел. В связи с расширением числовых множеств появилась
необходимость в новых терминах. Например, термин «иррациональный» ввёл в
обращение английский математик Томас Брадвардин (1290-1349). Для обозначения
бесконечности множества чисел в 1655 году английским математиком Джоном
Уоллисом Валдисом был предложен знак «  ». Для упрощения расчётов французский
астроном и математик Иоганн Буркхардт составил в 1814-1817 годах таблицы делителей
всех чисел до 3036000 вместе с простыми числами.
Числа всегда привлекали к себе внимание учёных своими магическими свойствами.
Ещё в древности учёные придумали математические шутки с числами, названные
софизмами. Софизмы играли очень важную роль, поскольку способствовали повышению
строгости математических выкладок, в результате чего приёмы и методы понимались и
17
запоминались намного лучше и качественнее. Разбор софизмов способствует развитию
логического мышления, сознательному, а не бездумному освоению математики.
Примеры имели искусно завуалированные математические ошибки, поэтому
нерадивые ученики не всегда могли их заметить и в результате получали курьёзные
ответы.
Рассмотрим два примера, доказывающих, что 2  2 =5.
1) 25 – 45 = 16 – 36, 25 – 45 + 20 +
5 –25
2
2
1
1
= 16 – 36 + 20 + ,
4
4
2
9
9
+   = 42 – 2
2
2
2
 9
 9
5  =  4   ,
2
 2

5-
2
9
9
 4  +   ,
2
2
9
9
=4- ,
2
2
5 = 4, то 2  2 = 5.
2) 44= 55, вынесем общий множитель, получим 4(1  1) = 5(1  1). Разделим обе
части на общий множитель, получим 4 = 5, т.е. 2  2 = 5.
Задачи с целыми числами не рассматриваются в школьном курсе математики,
поэтому ученики испытывают трудность уже на первом этапе - при введении
переменных. Для них проблематично представить, что каждое число можно
разложить по разрядам, ведь эта процедура изучается лишь в начальной школе и очень
редко упоминается в дальнейшем. По этой причине выбран именно этот вид текстовых
задач.
1) Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если цифры этого числа переставить, то
полученное число будет на 18 меньше искомого. Чему равно искомое число?
Решение. Пусть х  цифра десятков искомого числа, а у  цифра единиц, тогда это
число можно записать в виде 10х + у. По первому условию задачи х + у = 8. Если
переставить цифры числа, то получим новое число 10у + х. Так как последнее
число по условию на 18 меньше искомого, то получим второе уравнение
10х + у – 18 = 10у + х. В итоге составим систему:
х+у=8
10х + у – 18 = 10у + х
х+у=8
или
х – у = 2.
Сложим и вычтем полученные уравнения
2х = 10
х=5
2у = 6 или у = 3. Значит искомое число равно 53.
Ответ: 53
2)
Трёхзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести в
начало числа, то новое число будет больше утроенного первоначального числа на 1.
Найдите исходное число.
Решение. Пусть цифра сотен искомого числа  х, а цифра десятков  у; так как
цифра единиц равна 3, то это число имеет вид 100х + 10у + 3. После переноса цифры 3 в
начало числа, получим число 300 + 10х + у. По условию последнее число больше
утроенного искомого на единицу. Значит, 300 + 10х + у = 3(100х + 10у + 3) + 1,
300 + 10х + у = 300х + 30у + 10, 290х + 29у = 290, 10х + у = 10, тогда 100х + 10у =
100.
Поскольку искомое число имеет вид 100х + 10у + 3, значит, это число равно 100 + 3
= 103.
Ответ: 103
Особенность этой задачи состоит в том, что значения переменных отдельно не
найдены, но в этом и нет необходимости. На это следует обратить внимание
18
учащимся, т.к. такой приём при решении задач в школьных учебниках не
рассматривается.
3) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и
в остатке 6. Если же это двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится 3, а в остатке  число, равное сумме цифр исходного
числа. Найдите исходное число.
Решение.
В начале решения этой задачи необходимо напомнить ученикам, что если при
делении числа а на число b в частном получится с, а в остатке r, то данное число
можно представить в виде суммы а = bc + r.
Пусть данное число равно 10х + у. Тогда по первому условию получим 10х + у=
7(х + у) + 6. По второму условию получается уравнение 10х + у = 3ху +(х + у).
Объединим в систему:
10х + у= 7(х + у) + 6
или
3х – 6у = 6
10х + у = 3ху +(х + у)
9х = 3ху
После упрощения каждого из уравнений, получим систему:
х – 2у = 2
х(3 - у) = 0.
Поскольку последнее уравнение распадается на два, то получим две системы:
х=0
или
у=3
у = -1
х=8
Так как х и у  цифры, то значения первой системы не подходят. Значит искомое
число 83.
Ответ: 83
Вопрос на дом: В честь какого великого математика назван один их разделов
алгебры? Дочь этого человека  всемирно известная писательница.
Ответ: Основоположник математической логики  ирландский математик Джордж
Буль (1815-1864). В его честь раздел исследований назван «булевой алгеброй». Его дочь
 Этель Лилиан Войнич (Буль)  автор всемирно известного романа «Овод». Также она
перевела с русского на английский язык некоторые произведения Лермонтова, Гоголя,
Шевченко, Достоевского.
Занятие 10
Простейшие уравнения с параметрами и модулями.
Историческая справка. Понятия «модуля» и «параметра» были приняты в математике
сравнительно недавно. Знак модуля |а| был предложен в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что в
переводе означает «мера», «величина». Параметр специального обозначения не имеет,
как правило, это первые буквы алфавита. Уравнение с параметром это множество
уравнений в зависимости от значений параметра. Но решать уравнение при каждом
отдельном значении параметра - непосильная задача, поэтому рассматривают отдельно
ключевые его значения и все остальные.
Сегодня мы уделим больше внимания решению примеров.
• Рассмотреть всевозможные виды уравнений с параметрами и модулями на одном
занятии невозможно, поэтому мы разберём решение лишь некоторых типичных
примеров. При этом учтём, что в школьном курсе математики встречаются единичные
случаи таких уравнений.
1) При каких значениях параметра а уравнение Зх + а - ах + 7 имеет корень, больший
1?
19
Решение.
3х + а = ах + 7, Зх - ах =7 – а, х(3 – а)= 7 - а
Если а = 3,то х0 =4. Это равенство неверно при любых значениях х.
Если а  3, то х =
7à
3 à
По условию корень уравнения больше 1, поэтому
7à
>1,
3 à
4
> 0  3 – а >0, a < 3
3 à
Ответ: при а  (-  ; 3 ) данное уравнение имеет корень, больший 1 .
3 ) При каких значениях k уравнение (k - 2) x 2 + 2 ( k – 1 ) x + k – 3 = 0 н е
и м е е т д е й с тв и те л ь н ых к о р н е й ?
Решение. • При решении этого примера следует обратить внимание учащихся на
тот факт, что в аналогичных заданиях могут встретиться ситуации, когда уравнение
имеет два различных корня или один (два равных) корень, или необходимо рассмотреть
все три случая, которые также решаются с помощью исследования возможных
значений дискриминанта.
Заданное уравнение является квадратным относительно переменной х. Поэтому оно
не будет иметь действительных корней в том случае, когда дискриминант будет
отрицательным. Воспользуемся формулой дискриминанта для квадратного уравнения, у
2
b
которого второй коэффициент— чётное число, т.е. D1 =   - a.
2
Получим D1 =(k – 1)2 – (k – 2)(k – 3)= k2 – 2k + 1 – k2 + 2k + 3k – 6 = 3k – 5.
Так как D1<0, то 3k – 5 <0,
k<
5
3
5
) данное уравнение не имеет действительных корней.
3
õ
2) Решить уравнение |х| =  2
2
Ответ: при k ( -  ;
Решение.
• На доске записать определение модуля, чтобы в двух следующих примерах применить
его.
Но определению модуля, если х  0, то |х| = х, а если х<0, то |х| = - х.
Значит уравнение примет вид:
õ
 2  х = 4, если х  0,
2
õ
4
2) –х =  2  х =  , если х<0.
2
3
4
Ответ:  ; 4
3
Решить уравнение õ  2  õ  3  2õ  8  9
1) х =
Решение.
• При решении уравнений и неравенств с несколькими модулями удобно воспользоваться
методом интервалов, который состоит в следующем: найти нули всех подмодульных
выражений и нанести их на числовую ось; в каждом из получившихся промежутков
указать знак каждого из выражений; раскрыть модули на каждом из промежутков
отдельно с учётом знака и определения модуля; решить уравнение на каждом промежутке и объединить ответы.
20
Корни подмодульных выражений х = 2, х = 3, х =4 разбивают числовую ось на
следующие промежутки:
1) Если х  ( -  ; 2), то –х + 2 – х + 3 – 2х + 8 = 9, 4х = 4, х = 1, 1  ( -  ; 2), 1 
корень уравнения
2) Если х  2; 3 , то х – 2 – х + 3 – 2 х + 8 = 9 , - 2 х = 0 , х = 0 , 0  2 ; 3
3 ) Ес ли х  3; 4 , то х – 2 + х - 3 – 2 х + 8 = 9 , 3 = 9 неверно, корней нет
4) Если х  4;  , то х – 2 + х - 3 + 2 х - 8 = 9 , 4 х = 2 2 , х = 5 ,5 ,
5 ,5  4;  , 5 ,5  корень уравнения.
Ответ: 1; 5,5
4) Решить уравнение
3õ  2 õ  1 2

 0
à 2  2à à  2 à
Решение.
Уравнение является линейным относительно х. Рассмотрим ключевые значения
параметра. В данном случае это те, которые обращают знаменатели дробей в нуль.
Если а = 2, а=- 0, то решения нет.
Если а  2, а  0, то приведём все три дроби к общему знаменателю и воспользуемся
правилом: дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
3х - 2 + а(х- 1) + 2(а - 2) =0, Зх - 2 + ах - а + 2а - 4 = 0, 3х + ах + а- 6 = 0, х(3 + а) = 6 - а.
Если а=-3, то решения нет.
Если а  -3, а  0, а  2, то х =
6à
3 à
Ответ: если а = -3, а = 0, а = 2, то решения нет; если а  -3, а  0, а  2, то х =
=
6à
3 à
Вопрос на дом. Какой математический символ был введён благодаря типографской
опечатке?
Ответ. Наборщик типографии при наборе математического текста вместо слова
«cto» из-за неразборчивого почерка отпечатал знак «%» внешне похожий на это слово.
Знак процента понравился всем своей простотой и стал применяться повсеместно.
Занятие 11
Обобщённый метод интервалов в неравенствах
«В математике следует помнить не формулы,
а процесс мышления»
Украинский мателатик В.П. Ермаков
Историческая справка. В 1631 году английский математик Томас Гарриот предложил
знаки неравенства «>» и «<». Гарриот рассуждал следующим образом: если величины не
равны, то чёрточки в знаке должны быть не параллельны, а пересекаться. Эти знаки
стали общеупотребительными намного раньше введённого Рекордом за 74 года до этого
знака равенства, несмотря на то, что знак «=» был для них прообразом. Дело в том, что в
типографии для набора знаков неравенства применяли букву «v», в то время как знака,
похожего на равенство, не было, а изготовление его было трудоёмким.
21
Нестрогие знаки «  » и «  » были введены в 1734 году французским математиком
Пьером Бyre. Если учесть, что знак равенства, введённый английским учёным, стал
общеупотребительным лишь в XVIII веке благодаря работам немецкого математика
Готфрида Лейбница и его последователей, то становится ясно, что интернациональному
коллективу учёных пришлось в течение трехсот лет добиваться общественного
признания нескольких математических знаков.
Разберём обобщённый метод интервалов для решения неравенств, отличающийся от
описанного в ваших учебниках метода тем, что при его применении отпадает
необходимость вычислять знаки выражения в каждом из промежутков.
• Учащимся предлагается запись алгоритма обобщённого метода интервалов:
1) Привести запись нервенства к стандартному виду (х - а1)k(х - а2)т(х - а3)l…
(х -an)V0, где ап — все различные действительные числа, k, т, l,... t — показатели
степеней (могут быть одинаковыми), знак V подразумевает один из четырёх знаков:  ,
 , >, <.
2) Отметить все ап на числовой оси с учётом знака неравенства:
если знак строгий, то точки выколотые, а если нестрогий, то закрашенные. Если в
левой части неравенства дроби, то числа из знаменателя выколоты всегда.
3) В крайнем правом промежутке всегда знак « + », при переходе через корень
нечётной кратности (степени) знак меняется, а чётной не изменяется.
Рассмотрим несколько примеров.
1) (х - 1 )(3 - х)(х + 2)(х - 2)2  0.
Решение.
Вынесем из второй скобки знак « - » и, разделив обе части неравенства на -1,
изменим знак неравенства на противоположный:
(х -1)(х - 3)(х + 2)(х - 2)2  0.
Отметим на числовой оси точки -2; 1; 2; 3. Так как 2 — корень чётной кратности
(второй), то при переходе через эту точку знак не изменится.
Ответ: 1) х   2;1 2 3;  
2) (х – 1)(х2 – 1)(х3 – 1)(х4 – 1)  0.
Решение.
Разложим на множители два средних множителя, пользуясь формулами разности
квадратов и кубов. Для разложения последней скобки дважды применим формулу
разности квадратов
(х – 1)(х -1)(х + 1)(х – 1)(х2 + х + 1)(х – 1)(х + 1)(х2 + 1)  0
Поскольку х2 + х + 1 >0 и х2 + 1 > 0, то деление обеих частей неравенства на эти
выражения не изменит его знака: (х – 1)(х -1)(х + 1)(х – 1)(х – 1)(х + 1)  0.
Объединим одинаковые множители: (х – 1)4(х + 1)2  0.
. Отметим точки -1 и 1 на числовой оси и, так как оба корня чётной кратности, то во
всех промежутках получим знак «+».
Ответ: -1; 1
22
3)
1 1

õ 3
Решение.
• Обратить внимание учащихся на тот факт, что типичной ошибкой в подобных
примерах является ответ х<3 привести верное решение.
3 x
x 3
1 1
  0,
 0,
 0, x   ; 0  3;    .
õ 3
3x
x
Ответ:
x   ; 0  3;  
4) х5 – 34х3 + 225х <0
Решение.
Разложим левую часть неравенства на множители: х ( х 4 - 342 + 225)<0, x ( x 2 – 9)(х225)<0, х ( х - 3 ) ( х + 3)(х - 5 ) ( х + 5)<0, Так как все корни первой кратности, то знаки
чередуются.
Ответ: x   ;  5   3; 0  3; 5
Вопрос на дом. Какой английский математик писал нематематические детские
книги, известные во всём мире?
Ответ. Английский математик Марлю
Лютвидж
Доджсон (1832-1898),
преподаватель Оксфордского колледжа, опубликовавший 256 своих сочинений,
прославился благодаря двум детским книгам: «Приключения Алисы в стране чудес» и
«Алиса в Зазеркалье». К моменту выхода в свет сказок об Алисе автор принял сан
священнослужителя, поэтому не мог подписать произведения своим , х именем. Именно
по этой причине и появился его псевдоним «Льюис Кэрролл».
Занятие 12
Обобщенный метод интервалов в системах неравенств
«Ни одна другая наука не учит так ясно понимать
гармонию природы как математика»
Американский издатель и философ Н Карус
Историческая справка. Сегодня мы вспомним первую русскую женщину-математика
Софью Васильевну Ковалевскую. Родившись в 1850 году в богатой семье, девочка
получила хорошее образование. Первое знакомство с математикой произошло в
восьмилетнем возрасте, когда маленькая Соня подолгу рассматривала наклеенные на
стены в качестве обоев листы с лекциями известного математика М.В. Остроградского. В
то время женщинам было запрещено учиться в университетах, поэтому Ковалевская
уезжает в Германию, где занимается частным образом с известными немецкими
математиками.
В 1874 году в Геттингенском университете ей была присуждена степень доктора
философии. Но диплом доктора не помог Софье Васильевне получить работу преподавателя у себя на родине. Переехав в 1883 году в Швецию, Ковалевская до конца жизни
проработала в Стокгольмском университете, так и не воплотив в жизнь свою мечту о научной работе в России.
Решение систем неравенств.
1) (х2 – 4)(х2 – 2х + 1)  0
(х – 14)(9 – х2)  0
23
Решение.
Применим формулы разности квадратов, квадрата разности, а также умножим обе
части второго неравенства на -1, поменяв знак неравенства на противоположный:
(х – 2)(х + 2)(х – 1)2  0
(х – 14)(х – 3)(х + 3)  0
Отметим полученные решения на числовой оси. Учтём, что в первом неравенстве точка
1 двойной кратности, поэтому при переходе через неё знак функции
f(х) = (х – 2)(х + 2)(х – 1)2 не меняется.
Ответ:
2)
x  3;  2  
1  2; 3  14;  
4
3
х – 3 х + х2 + 3х – 2  0
х4 – 2х3 + х2 – 8х – 12  0
Решение.
Разложим на множители выражения, стоящие в левых частях заданных неравенств. •
Возвратившись к занятию 6, напомнить учащимся некоторые теоретические сведения
по решению уравнений высших степеней.
а) х4 – 3 х3 + х2 + 3х – 2 = 0
Целые корни этого уравнения ищем среди делителей числа 2: ±1; ±2. Подставим
каждый из них в уравнение.
х - 1, 1 - 3 + 1 + 3 - 2 = 0 - верно, 1 — корень;
х = - 1, 1+3 + 1 - 3 - 2 = 0- верно, -1 - корень;
х = 2, 16 -24 + 4 + 6 - 2 = 0- верно, 2
— корень;
х = - 2, 16 + 24 + 4 -6 -2-0-неверно, -2 не является корнем.
Таким образом, найдены три корня, четвёртый вычислим путём деления многочлена
х4 – 3х3 + х2 + 3х – 2 на выражение (х – 1)(х + 1)(х – 2) = (х2 – 1)(х – 2)= х3 – 2х – х +
+ 2. Получим двучлен (х – 1)
Значит, а) х4 – 3х3 + х2 + 3х – 2 = (х2 – 1)(х + 1)(х – 2)
б) х4 – 2х3 + х2 – 8х – 12 = 0.
Целые корни этого уравнения будем искать среди делителей числа 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6,
±12. Поскольку чисел довольно много, найдём лишь два корня, чтобы понизить степень
уравнения до второй.
х =1,
1 - 2 + 1-8-12 = 0,-неверно;
х = -1, 1+2 + 1+8-12=0,-верно;
х = 2, 16 – 16 + 4 – 16 – 12 = 0,- неверно;
х = -2, 16 + 16 + 4 – 16 – 12 = 0,- неверно;
х = 3, 81 – 54 + 9 – 24 – 12 = 0, - верно.
Для отыскания ещё двух корней разделим многочлен х4 – 2х3 + х2 – 8х – 12 на выражение
(х + 1)(х – 3)= х2 – 2х – 3. Получим двучлен х2 + 4.
В результате получаем х4 – 2х3 + х2 – 8х – 12 = (х + 1)(х – 3)( х2 + 4).
Исходная система принимает вид:
(х2 – 1)(х + 1)(х – 2)  0
(х + 1)(х – 3)( х2 + 4)  0
Учитывая, что обе части второго неравенства можно разделить на выражение
2
х + 4>0, а также то, что для первого неравенства 1 — корень четной кратности, получим
решение системы неравенств: х   ;  1  
1  3;  
Ответ: х   ;  1  
1  3;  
24
3) 1 
õ 1
3
2 õ
Решение.
• Двойным неравенствам необходимо уделить достаточно внимания, так как они
практически отсутствуют в школьном учебнике алгебры, за исключением самых
примитивных.
Двойное неравенство лучше представить в виде системы неравенств
õ 1
1
2 õ
õ 1
3
2 õ
õ 1 2  õ
0
2 õ
x  1  6  3x
0
2 x
2 õ 1
0
2 õ
4x  5
0
2 x
Приведём числители и знаменатели дробей к стандартному виду:
õ  0,5
0
õ 2
õ  1,25
 0.
õ 2
Отметим на числовой оси точки соответствующие каждой из
дробей, и найдём общую часть их решения.
Ответ: 0,5; 1,25
4) а(х – 2)  х – 3,
8(а + 1)х > 8ах + 9
Решение ■
• Учтем сведения о параметрах, полученные учениками на 1 0 -м занятии, а также
всё, что связано с решением неравенств и систем.
Преобразуем неравенства, сгруппировав в разных частях слагаемые с переменной
и без неё:
ах – 2а  х – 3,
ах – х  2а – 3,
х(а – 1)  2а - 3
8ах + 8х >8ax + 9;
8x > 9;
x>
Если а = 1, то система принимает вид:
9
8
0х  -1
x>
9
8
Это система не имеет решения.
Если а > 1, то а – 1 > 0 и при делении на а – 1 знак первого неравенства не
изменится. Система примет вид:
2à  3
à 1
9
x> .
8
õ
Выясним, при каких значениях параметра а правые части неравенств равны:
2à  3 9
 ,
à 1 8
16а – 24 = 9а – 9, 7а = 15, а =
Значит, при
а  1;
15 
 7 
15
7
будет выполняться неравенство
2à  3 9
 ,
à 1 8
поэтому
х   ;    .
9
8

25
 2a  3

2à  3 9
15

 , поэтому х  
;    будет выполняться неравенство
;    .
à 1 8
7

 a 1

2à  3
Если а < 1, то система принимает вид: х<
à 1
9
x> .
8
 9 2à  3 
Решение этой системы имеет вид х   ;

 8 à 1 
При а 
 9 2à  3 
;
 8 à 1 
15
9
если а  1;  , то х   ;    ;
 7
8

 2a  3

15
если а  ;    , то х  
;    .
7

 a 1

Ответ: если а  ; 1 < 1, то х   ;
Вопрос на дом. В каком европейском городе есть улицы, названные в честь великих
учёных из других стран: Пифагора, Архимеда, Ньютона и Коперника?
Ответ. В столице Нидерландов  Амстердаме.
Занятие 13
Замена переменных в неравенствах.
«Мыслить мыслимое – вот цель математики»
Американский математик К. Дж. Кайзер (1862-1947)
Историческая справка. В истории любой науки сохранились имена некоторых
талантливых учёных, которые смогли бы добиться намного больших результатов,
сложись их жизнь менее трагично. Назовем лишь двоих из их числа.
В Королевском парке в Осло стоит скульптура сказочного юноши, попирающего
двух поверженных чудовищ. Это памятник Нильсу Генриху Абелю (1802-1829).
Чудовища олицетворяют две важнейшие проблемы математики, которым посвятил свои
исследования известный норвежский учёный: алгебраические уравнения пятой степени и
эллиптические функции. В тот период в Норвегии ещё не было ученых, способных
оценить значения трудов Абеля. Лишь за два года до смерти к работам ученого пришло
признание. Всего 27 лет прожил норвежский учёный, постоянно нуждаясь в средствах и
не находя на родине достойной работы.
Так же трагична судьба французского математика Эвариста Галуа (1811-1832). Его
математические работы занимают чуть более 60 страниц, но обессмертили его имя на
века. Он прожил 20 лет (убит на дуэли), всего пять из них занимался математикой. Его
работы содержали окончательное решение проблемы о разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах. Сегодня это одна из глав алгебры, названная теорией Галуа.
Можно только догадываться, сколько новых гениальных открытий могли бы
совершить эти ученые, если бы их жизни не оборвались так рано.
Решить неравенства:
1) (х2 + 3х + 1)(х2 + 3х - 3)  5.
Решение:
Заметим, что в скобках повторяется выражение х2 + 3х, поэтому
сделаем замену: х2 + 3х = t . Тогда неравенство примет вид: (t + 1)(t - 3)  5.
Раскроем скобки: t2 + t – 3t – 3  5 или t2 – 2t – 8  0.
26
Поскольку 4 и -2 - корни уравнения t2 – 2t – 8 = 0, то последнее неравенство
можно представить в виде (t - 4)(t + 2)  0. Решение этого неравенства объединение промежутков  ;  2 4;   . Чтобы возвратиться к первоначальной
переменной х, представим полученный ответ в виде совокупности неравенств:
х2 + 3х  -2,
х2 + 3х + 2  0,
х2 + 3х  4
или
х2 + 3х – 4  0
Решим отдельно каждое из неравенств. Первое неравенство можно представить в
виде (х + 1)(х + 2)  0. Его решение - отрезок [-2; -1]. Так как числа -4 и 1
являются корнями уравнения х2 + 3х – 4 = 0, то второе неравенство представимо в
виде (х + 4)(х - 1)  0. Его решение -  ;  4 1;   . Объединяя решения обоих
неравенств, получаем ответ.
Ответ:  ;  4   2;  11;  
2) х(х + 1)(х + 2)(х + 3)  48.
Решение. Обратите внимание учащихся на тот факт, что приём, применённый к
этому неравенству, можно использовать и при решении подобных уравнений.
Сгруппируем множители попарно: первое с последним и второе с третьим:
(х2 + 3х)( х2 + х + 2х + 2)  48 или (х2 + 3х)( х2 + 3х + 2)  48 Выполним замену
х2 + 3х =t. Тогда неравенство принимает вид t(t + 2)  48 или t2 + 2t – 48  0.
Решая последнее неравенство методом интервалов, получим отрезок  8; 6 . Возвратимся
к переменной х:
х2 + 3х  -8
х2 + 3х + 8  0
х2 + 3х  6,
или
х2 + 3х – 6  0,
Поскольку дискриминант уравнения
х2 + 3х + 8 = 0 отрицательный, то первое
неравенство верно при всех х  ;   . Для уравнения х2 + 3х – 6 = 0 D = 32 - 4·(-6) =
9 + 24 = 33. Значит его корни имеют вид
 3  33
. Поэтому решением второго
2
  3  33  3  33 
;
 . В результате получаем, что решением всей
2
2


неравенства - отрезок 
системы неравенств является решение второго неравенства.
Ответ:
  3  33  3  33 
;


2
2


Обратите внимание учащихся на то, что в первом примере при возврате к переменной х
была получена совокупность неравенств, а во втором – система. Необходимо провести
чёткую параллель между знаком «  », союзом «или» и совокупностью. С другой
стороны, эквивалентны знак «  », союз «и» и система неравенств.
3)
1
1
 2
x( x  1) 2 x  2 x  3
Решение:
В данном неравенстве одинаковые выражения первоначально не видны, поэтому сделаем
1
1

. Теперь явно видна замена х2 + х = t.
2
x   x 2( x  x)  3
2t  3  t
t3
1
1
1
1

 0;
0 ;
0
Неравенство принимает вид: 
;
t 2t  3
t
2t  3
t (2t  3)
t (t  1,5)
преобразования:
2
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим ответ t   ;  3  1,5; 0 .
27
Возвращаясь к переменной х, получим совокупность, включающую в себя систему
неравенств:
х2 + х  -3,
х2 + х + 3  0,
х2 + х > -1,5
или
х2 + х + 1,5 > 0,
х2 + х <0
х2 + х <0;
Первое неравенство совокупности решения не имеет, так как дискриминант уравнения
х2 + х + 3 = 0 отрицательный и, следовательно вся парабола у = х2 + х + 3 расположена
выше оси Ох. По той же причине первое неравенство системы верно для всех х R .
Значит, решением всей совокупности является решение последнего из неравенств, то есть
х   1; 0.
Ответ:  1; 0.
4) 3х2(х - 4)2  32 – 5(х - 2)2
Решение: В этом неравенстве, как и в предыдущем, сразу выполнить замену
невозможно, поэтому вначале преобразуем его.
3х2(х2 – 8х + 16)  32 – 5(х2 – 4х + 4);
3(х4 – 8х3 + 16х2)  32 – 5(х2 – 4х + 4);
Даже в таком виде одинаковая часть не выделилась, поэтому необходимо подсказать
учащимся, что следует выполнить замену х2 – 4х = t. Тогда после возведения обеих
частей в квадрат получим х4 – 8х3 + 16х2 = t2. Неравенство принимает вид 3t2  32 –
5(t + 4) или 3t2 + 5t – 12  0. Решим соответствующее уравнение 3t2 + 5t – 12 =0 D = 25
+ 144 = 169. Тогда -3 и
4
4
— корни уравнения. Значит t   3;  . Возвращаясь к
3
3

переменной х, получим систему неравенств:
х2 – 4х  3
или
х2 – 4х + 3  0
х2 – 4х 
4
3
х2 – 4х -
4
 0.
3
Первое неравенство можно представить в виде (х - 1)(х - 3)  0
Его решение: х   ;1 3;  . Для второго неравенства соответствующее уравнение
4
16 64
= 0 имеет дискриминант , равный D = 16 +  . Корни уравнения
3
3
3
1
48
1
3
имеют вид
. Чтобы избавиться от дроби под корнем, умножим
24
2
3
4 3
числитель и знаменатель второй дроби на 3 , получим 2 
. Тогда решение второго
3
 4 3
4 3
; 2
неравенства принимает вид: 2 
 . Пересечение ответов двух неравенств есть
3
3 


4 3 
4 3
объединение промежутков 2 
  3; 2 

3; 1  
3 

х2 – 4х -

Ответ: 2 

4 3 
4 3
  3; 2 
.
3; 1  
3 
Вопрос на дом. Французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) в раннем
возрасте написал трактат по математике. Как назывался этот трактат и сколько лет было
тогда ученому?
Ответ. В возрасте 12 лет Паскаль написал «Трактат о звуках».
28
Занятие 14
Простейшие неравенства с модулями.
«Много математики не остаётся в памяти, но когда
поймёшь её, тогда легко при случае вспомнить забытое»
украинский математик М.В. Остроградский (1801- 1862)
Историческая справка. Сегодня мы поговорим о календаре. Нам совершенно
естественно, что год делится на месяцы, а они в свою очередь на недели, дни, часы,
минуты, секунды. Но что такое год? Это время, за которое Земля совершает по орбите
полный оборот вокруг Солнца. По подсчётам астрономов, год составляет 365 суток 5
часов 48 минут и 46 секунд. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно.
Поэтому в I веке до н.э. римский император Юлий Цезарь постановил считать одни годы
по 365 суток, а другие по 366, чередуя три коротких и один длинный. Этот календарь
называется юлианским. По нему средняя продолжительность года равна 365 суток 6
часов, что больше истинной на 11 минут и 14 секунд.
В результате к XVI веку ошибка составляла уже около 10 суток. Поэтому
следующую реформу провёл в 1582 году папа римский Григорий XIII. Созданная им
комиссия постановила: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и
високосных лет, но если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, а число
сотен не делится на 4, то этот год простой. Таким образом год 1800 – простой, а 2000 –
високосный. В настоящее время расхождение между юлианским и григорианским
календарями составляет три дня. Продолжительность григорианского года больше
истинной лишь на 26 секунд, что на много точнее юлианского.
В России григорианский календарь был принят в 1918 году, при этом 1 февраля
стали считать 14 февраля (вот откуда старый и новый стили).
Интересную систему календаря составил в свое время известный математик
древности Омар Хайям. Он предлагал считать високосными 8 лет из каждых 33, при этом
погрешность составляла всего 19 секунд. Самый точный календарь рассчитал в 1864 году
русский астроном И. Медлер, который вносил поправку в юлианский календарь: через
каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32, которые выпадают на этот
период. Погрешность этого календаря равна 1 секунде. Но это предложение не было
принято, скорее всего, из-за того, что 128 лет не является «круглым» числом.
В наши дни также поступают предложения от ученых о реформе календаря,
которые касаются длительности недель и месяцев.
Решить неравенства.
1) 1 < | 2х - 5|  3.
Решение: Избавимся от модуля, пользуясь геометрическим смыслом модуля (модуль –
это расстояние от нуля до точки, изображающей данное число на числовой оси).
2х – 5 < -1
2х < 4
2х – 5 > 1
2x > 6
или
2х – 5  3
2х  2
2х – 5  3
2x  8,
29
Тогда после преобразований получаем:
х < 2,
x > 3,
x 1
x4
Значит решение данного неравенства имеет вид: 1; 2 3; 4
Ответ: 1; 2 3; 4 .
2) |3 - |х - 2||  |х - 7|.
Решение: Решим неравенство, пользуясь определением модуля. Для этого вначале
раскроем внутренний модуль. Он раскрывается относительно числа 2, поэтому
необходимо рассмотреть два случая: x < 2 и x  2.
а) Если x < 2, то неравенство принимает вид: |3 + х - 2|  |х - 7| или |х + 1|  |х - 7|.
Поскольку обе части последнего неравенства неотрицательны, то от возведения их
в квадрат неравенство не изменится. Получим: х2 + 2х + 1  х2 – 14х + 49,
16х  48, х  3.
Учитывая, что первоначально x < 2, получаем решение этого пункта:  ; 2
б) Если x  2, то неравенство принимает вид: |3 - х + 2|  |х - 7| или |5 - х|  |х - 7|.
Воспользуемся тем же приёмом: поскольку обе части последнего неравенства
неотрицательны, то от возведения их в квадрат неравенство не изменится. Получим: 25 –
10х + х2  х2 – 14х + 49,
4х  24,
х  6. Учитывая условие x  2, получим
решение данного пункта: 2; 6 . Объединяя ответы обоих пунктов, получаем : х   ; 6.
Ответ:  ; 6
3) (|х| - 1)(|х| - 2)  0.
Решение: Выполним замену: |х| = t, тогда неравенство примет вид (t - 1)(t - 2)  0.
Решение запишем в виде двойного неравенства: 1  t  2 . Возвращаясь к переменной х,
воспользуемся геометрическим смыслом модуля. 1  |х|  2.
х  -1
х 1
-2  х  2
Значит, x   2;  1 1; 2.
Ответ:  2;  1 1; 2
4)
2
1

x x 1
2
1

.
t t 1
t 2
0
t (t 1)
Решение: Выполним замену: |х| = t, тогда неравенство примет вид :
Решим его дом интервалов.
2
1

0 ,
t t 1
2t  2  t
 0,
t (t  1)
Значит, t   ; 0 1; 2 . Поскольку модуль по определению – расстояние, то принимать
отрицательные значения он не может. Поэтому правая часть решения |х|< 0 не имеет
смысла. Вторая часть принимает вид 1 < |х|  2. Решение дальше аналогично
предыдущему примеру, поэтому сразу запишем ответ.
Ответ:  2;  1  1; 2
30
х2 + 4х + |х + 2| + 2  0.
Решение: Представим неравенство в виде
х2+ 4х + 4 + |х+2| -2  0 или
(х + 2)2 + |х + 2| - 2  0. Так как (х + 2)2 = |х + 2|2, то возможно выполнить замену
|х + 2|2 = t. Неравенство представляется в виде t2 + t – 2  0.
Решение его: -2  t  1. Возвратимся к переменной х: -2  |х + 2|  1. Его можно
записать в виде системы
|х + 2|   2
|х + 2|  1.
Первое неравенство системы верно при любых значениях х. Второе запишем как двойное
неравенство -1  х + 2  1 или -1 -2  х  1 -2. Тогда -3  х  -1.
Ответ: [-3; -1].
Вопрос на дом. Какая геометрическая теорема в старину называлась «теоремой
невесты»?
Ответ. Так называлась в средние века в Азии теорема Пифагора. Чертёж к теореме
напоминал пчелу или крылатого муравья в полёте. По-древнегречески слово 
означает «молодая пчёлка», «крылатый муравей», «невеста», «нимфа».
Занятие 15
Теорема Пифагора.
«Геометрия обладает двумя великими сокровищами.
Первое – это теорема Пифагора, второе – деление отрезка
в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить
с мерой золота, а второе можно назвать драгоценным камнем»
Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер
(1571-1630)
Историческая справка. Как это довольно часто случается в любой науке,
формулировка теоремы была известна за 1200 лет до Пифагора в Китае и Индии, но
именно этот древний ученый первым предложил её доказательство, и в его честь она
названа. Ещё за 2000 лет до н.э. египтяне знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 –
прямоугольный. Этим свойством они вероятно, пользовались при сооружении прямых
углов у зданий.
В настоящее время существует около ста способов доказательства теоремы
Пифагора. Чертёж в одном из способов доказательства, основанном на достраивании на
сторонах треугольника квадратов, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение
долгого времени это доказательство считалось наиболее удачным, при этом не одно
поколение школяров распевало стишки: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
31
Эту теорему в разных странах и в разное время называли довольно оригинально. Как
мы уже слышали, в средневековой Азии её называли теоремой невесты. Во Франции и
некоторых областях Германии она называлась «мостом ослов».
Интересно, что открытая этим же ученым теорема о сумме углов треугольника не
носит его имени.
Решим несколько задач с применением теоремы Пифагора.
1). Найти меньшую высоту треугольника, стороны которого равны 13, 14 и 15.
Решение:
1-й способ. Меньшая высота проведена к большей стороне треугольника. Пусть
АН=х, тогда НС = 15-х. По теореме Пифагора из треугольника АВН получим ВН2 = 132 –
х2, а из треугольника ВСН ВН2 = 142 – (15 - х)2. Приравняем правые части полученных
выражений:
132 – х2 = 142 – (15 - х)2
169 -– х2= 196 – 225 + 30х -– х2
30х = 198
х = 6,6
2
2
значит, ВН = 13 - 6,62,
ВН = 11,2
2-й способ. Найдем площадь треугольника по формуле Герона
Sтр = p p  a p  b p  c , где р=0,5(a+b+c)=0?5(13+14+15)=21
Sтр= 21 21  13  21  14  21  15  21 6  7  8  3  7  4  3  7  4  7  3  4  84 .
По другой формуле Sтр = 0,5 ah, откуда h =
S тр
a

168
. Значит h = 11,2.
15
3) В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота, проведенная к
основанию, - 20 м. Найти высоту, опущенную на боковую сторону.
ВС = 20 2  15 2 , ВС = 25 м.
Найдем площадь данного треугольника по формуле Sтр = 0,5 ah сначало через
основание, а потом через боковую сторону.
Sтр = 0,5ВК·АС = 0,5·20 ·30 = 300 м2
Sтр = 0,5АН · ВС, АН =
2S тр
BC

600
 24 м
25
Ответ: 24 м
32
3) В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН, разделившая сторону АВ
на части 16 см и 9 см. Найти высоту СН, стороны АС и ВС.
ВС2 = СН2 + ВН2,
АС2 = СН2 + АН2, АВ2 = АС2 + ВС2.
Учитывая, что ВС2 = 92 + х2, АС2 = 162 + х2, АВ = 16 + 9 = 25, получаем уравнение:
81 + х2 + 256 + х2 = 625,
2х2 = 288, х =12.
Таким образом, СН = 12 см, АС = 16 2  12 2  400  20 см .
ВС = 12 2  9 2  225  15 см
Ответ: СН = 12 см, АС = 20 см, ВС= 15 см.
4) Площадь прямоугольного треугольника АВС равна 6 см2. Найти стороны этого
треугольника, если они образуют арифметическую прогрессию.
АВ2 + АС2 = ВС2 и формулой площади прямоугольного треугольника
Sтр = 0,5АВ · АС. В результате получим систему уравнений:
0,5х(х + k) = 6,
х(х + k) = 12,
2
2
2
х + (х + k) = (х + 2k)
х2 + х2 + 2kx + k2 =х2 + 4kx +4k2
x+k=
12
x
k=
12
-x
x
x2 -2kx -3k2 = 0
x2 -2kx -3k2 = 0
Подставим выражение для k во второе уравнение системы и решим его отдельно:
2
12
12
144
x – 2x   x   3   x   0 ,
x2 – 24 + 2x - 3  2  24  x 2   0,
 x
  x

 x

432
432
 48,
3x2 – 24 - 2  72  3x 2  0,
x2 = 9,
x =  3.
x
x2
2
По смыслу задачи х > 0, поэтому х = 3. Тогда, учитывая первое уравнение системы,
получаем: k =
12
 3  1 . Значит, наименьшая из сторон данного треугольника равна 3, а
3
каждая последующая на 1 больше, то есть 4 и 5.
Ответ: 3 см, 4 см и 5 см.
Вопрос на дом. Кто открыл формулу Герона?
Ответ. По арабскому преданию, известную нам формулу для вычисления площади
треугольника открыл Архимед.
Занятие 16
Геометрические задачи из текстов ЕГЭ.
33
«Легче остановить Солнце, легче сдвинуть Землю, чем
уменьшить сумму углов в треугольнике и свести параллели к
схождению»
Советский математик В.Ф. Каган (1869-1953)
Историческая справка. Значение геометрии в развитии человека очень велико. Эта
древняя наука развивает логическое и пространственное мышление, чёткость и
лаконичность рассуждений, приучает грамотно строить чертежи. Всё это, несомненно,
пригодится не только в профессиональной, но и в повседневной деятельности каждому
человеку. Кроме всего прочего, знание геометрии объясняет многое в природе.
Например, немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571-1630) говорил:
«Геометрия есть прообраз красоты мира». Но не только математики указывали на
красоту геометрических заданий и значение геометрии. Великий русский поэт Александр
Сергеевич Пушкин писал, что «вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии». В
древности на здании академии Платона (427-347 г.г. до н.э.) была надпись: «Не знающий
геометрии сюда да не входит», которая ясно указывала на огромную роль, отводимую
этой науке руководством академии.
Решение задач.
1) В треугольнике АВС А  84 0 , В  76 0 . Найти (в градусах) угол между
биссектрисой угла А и высотой, опущенной на ВС.
Поскольку треугольник HAD = 900 – 620 = 280 (по свойству острых углов
прямоугольного треугольника).
Ответ: 280.
2)Периметр ромба 68 см, длина одной из диагоналей равна 30 см. найти длину
другой диагонали ромба.
Решение. По условию периметр ромба равен 68 см, то длина стороны ромба равна
68 : 4 = 17 см. одна из диагоналей ромба равна 30 см, то её половина будет 15 см. А
диагонали ромба пересекаются, точкой пересечения делятся пополам и взаимно
перпендикулярны, то по теореме Пифагора половина второй диагонали равна
17 2  15 2  8 см. Значит вся вторая диагональ будет равна 16 см.
Ответ: 16 см.
3)Площадь равнобедренного треугольника равна 25 3 см2, а угол при основании равен
300. Найти длину боковой стороны этого треугольника.
Решение. Пусть боковая сторона треугольника равна х см, тогда высота
треугольника, проведенная к основанию равна
1
x см (т.к. лежит против угла в 300).
2
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его
медианой. Тогда половину основания можно найти по теореме Пифагора:
2
x
3x 2 х
x 


3 см. Значит все основание равнобедренного треугольника
4
4
2
будет равно x 3 см. Площадь треугольника равна половине произведения
2
34
x2 3
1
1
·x 3 · x =
, а по условию
2
2
4
x2 3
площадь треугольника равна 25 3 см2. Получим уравнение:
= 25 3 . Отсюда
4
основания на высоту, тогда получим: Sтр =
х = 10 см.
Ответ: 10 см.
4) В окружности хорда пересекает диаметр под углом 300 и делит его на два
отрезка длиной 4 и 16 см. Найти расстояние от центра окружности до хорды.
Решение: Так как ВМ = 4 см, АМ = 16 см, то диаметр окружности равен 20 см,
следовательно, радиус ОА = ОВ = 10 см. Тогда ОМ = 6 см. В треугольнике ОКМ
(ОК – серединный перпендикуляр к хорде СD) ОК =
1
ОМ. ОК = 3 см по
2
свойству стороны, лежащей против угла в 300 в прямоугольном треугольнике.
Ответ: 3 см.
5) В выпуклом пятиугольнике величины углов относятся, как 2 : 3 : 4 : 5 : 6. Найти
величину большего из углов.
6) Решение. Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле
1800(n - 2). Так как n= 5, то 1800(5 - 2) = 5400.
Получим уравнение 2х + 3х + 4х + 5х + 6х = 540, где х – коэффициент
пропорциональности. Отсюда 20х = 540, х = 27. тогда наибольший из углов равен:
6 · 27 = 1620.
Ответ: 1620.
Вопрос на дом. Кто впервые открыл математическую теорию музыки?
Ответ. Пифагор.
Занятие 17.
Последнее занятие целесообразно посвятить подведение итогов занятий, вспомнить
рассмотренные в течение курса темы, решение наиболее сложных заданий. Можно
ознакомить учеников с некоторыми математическими играми, головоломками,
загадками, занимательными задачами. Задания приносят сами ученики по своему
усмотрению, либо в виде маленького доклада, либо в виде устного сообщения. Таким
образом, цикл занятий заканчивается самостоятельной деятельностью детей. По
результатам элективного курса учащимся выставляется зачет.
35