РЛИИ-минимум - logicrus.ru
advertisement
2.07.12
В. И. Лобанов, вед.научн.сотрудник ЦНИИ "Комета",
к. т. н., член РФО РАН
РУССКАЯ ЛОГИКА – ИНДИКАТОР ИНТЕЛЛЕКТА
Москва
2012
2
Аннотация
Данное пособие в популярной форме знакомит читателей с Русской логикой, которая опровергает многие постулаты классической логики, являясь на
сегодня единственной истинно математической логикой. Обучение классической логике не только бесполезно, но и преступно, поскольку уничтожается
всякое мышление. Все школьные и вузовские учебники по логике невежественны, безграмотны и бестолковы. Издание рассчитано на школьных преподавателей математики и информатики, но может быть освоено и школьниками
старших классов самостоятельно. Учебное пособие весьма полезно преподавателям и студентам вузов, а тем более всем профессорам и академикам.
Каждый сможет оценить свой интеллект, изучая Русскую логику, новую науку
21-го века.
Американский Биографический институт избрал автора Человеком года2011 за работы в области математической логики.
Москва
2012 г.
.
УДК 621.3.049.77:681.518.3
УДК 681.32.001.2
УДК 161:162
ББК 87.4
Л..
2
3
Посвящается Русским инженерам и учёным, интеллектуальной элите России.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уважаемый Читатель, книге, которую Вы держите в руках, нет цены: всё, что
за последние 128 лет вышло в свет по гуманитарной и математической логике –
макулатура (за редчайшим исключением). Ценность предлагаемого Вам пособия
определяется тем, что оно создано на основе работ величайшего в мире русского
логика Платона Сергеевича Порецкого, впервые в истории построившего математическую силлогистику, о которой мечтал и над которой всю жизнь безуспешно
работал Лейбниц, непревзойдённый математик Запада. Основополагающий труд
русского учёного вышел в 1884г [45], но до сих пор не освоен русскими логиками и
математиками. О зарубежной науке говорить не приходится: она не разобралась
даже в скромных результатах своего талантливого логика и сказочника
Л.Кэрролла, который повторил некоторые выводы Порецкого спустя 12 лет. Академический автор И.Л.Галинская в своей работе [7,с.1] утверждает, что «Символическая логика» впервые была издана в Англии в 1896г. Именно в этой работе
Кэрролл повторил формулы Порецкого для общеутвердительных и общеотрицательных кванторов силлогистики. Русские логики и математики не разобрались не
только в достижениях Порецкого, но и в примитивных трудах Л.Кэрролла.
Дорогой Читатель, знаете ли Вы математическую логику? Я абсолютно уверен, что не знаете. В этом Вы сразу же убедитесь, пройдя тестирование по нижеприведённому вопроснику.
Вопросник для математика и логика.
1. Как работать с картой Карно на 8 и более переменных?
2. Что такое метод обобщённых кодов Мавренкова?
3. Что можно вычислить с помощью кванторного исчисления?
4. Алгебра множеств и алгебра логики. Назовите различия.
5. Логика предикатов и логика суждений. В чём разница?
6. Физический смысл и вывод формулы импликации.
7. Фигуры и модусы Аристотеля. В чём их практическая ценность?
8. Правильны ли правила посылок в силлогистике?
9. Как выглядят аналитические представления для Axy, Exy и Ixy?
10. В чём смысл логики Платона Сергеевича Порецкого?
3
4
11. В чём главное достижение логики Льюиса Кэрролла?
12. Что такое вероятностная логика?
13. Что такое 4-значная комплементарная логика?
14. Как решаются логические уравнения?
15. Что такое логическое вычитание и деление?
16. Как найти обратную логическую функцию?
По характеру ответов можно судить о профессиональном уровне логикагуманитария и тем более математика. Даже в 2011г. ни на один из этих вопросов
не могли дать правильного ответа ни академики от логики, ни математики, ни инженеры-цифровики, что говорит не только о недостаточной профессиональной
подготовке, но и о низком культурном уровне. Освоив Русскую логику, любой семиклассник легко пройдёт предложенное автором тестирование.
В 1938 г. русский физик В. И. Шестаков впервые в мире (за два года до
Клода Шеннона) доказал возможность описания и преобразования релейноконтактных схем методами алгебры логики. C этого момента зарождается практическая логика. Поскольку практическая логика решала чисто инженерные задачи,
то вполне естественно назвать эту логику инженерной. Эта наука профессионально решает такие проблемы, как графический и аналитический синтез комбинационных схем (многоаргументные методы минимизации логических функций), синтез
микропрограммных автоматов (МПА) на базе интегральных, ламповых и релейных
схем. К проблемам инженерной логики относится также создание искусственного
интеллекта, фундаментом которого является силлогистика. Но классическая силлогистика совершенно беспомощна в решении поставленных перед нею задач.
В конце 1980-х — начале 1990-х годов руководимый мною отд.450 ЦНИИ
«Циклон» (головной институт Минэлектронпрома СССР) имел тесные контакты с
проблемной лабораторией ЭВМ МГУ, возглавляемой талантливым русским инженером и учёным Н.П.Брусенцовым. Именно ему и его сподвижникам удалось создать и запустить в производство троичную ЭВМ "Сетунь" и "Сетунь-70", чего до
сих пор не смогла сделать ни одна держава в мире, несмотря на все их титанические усилия. Это именно он и его ученики разработали Диалоговую систему структурированного программирования (ДССП) и Развиваемый адаптивный язык РАЯ
(Русский адаптивный язык, по определению Ершова), являющиеся непревзойдёнными до сих пор эталонами дисциплины и языков программирования. На чествовании юбилея Н.П.Брусенцова 2.03.95г. я получил в подарок от юбиляра его только что изданную книгу «Начала информатики», которая и открыла передо мной
4
5
проблемы классической логики. Поэтому я имею честь считать себя учеником Николая Петровича Брусенцова. Некоторые проблемы логики показались мне надуманными, превращёнными «из мухи в слона». Захотелось найти простое, прозрачное математическое решение высосанных из пальца проблем. Алгоритм решения логических уравнений удалось найти за 5 минут в присутствии Учителя.
Смешно, но, принимаясь за эту проблему, я даже не знал, что значит «решить логическое уравнение». Однако был абсолютно уверен, что справлюсь с этой задачкой за 5 минут: за плечами был 20-летний опыт «железных» оборонных разработок на основе инженерной логики. В течение месяца построена Русская логика
(РЛ), в которой была решена проблема силлогистики. Силлогистика – это раздел
логики, занимающийся силлогизмами. А силлогизм – это умозаключение, состоящее из двух посылок, связанных общим термином, и следующего из них заключения. Пример такого силлогизма:
Все люди талантливы.
Все ученики – люди.
Все ученики талантливы.
В этом силлогизме заключение выводится просто. Но подавляющее большинство силлогизмов, встречающихся в быту, в любой из наук, «физической» или
«лирической», не имеют такого прозрачного решения. А потому и не решаются
современной мировой логикой.
В 1997г. я уже излагал Русскую логику студентам и школьникам. Поскольку
все алгоритмы чрезвычайно просты, то учащиеся осваивали новую логику (логику
нового тысячелетия) играючи.
В Русской логике решены проблемы Аристотеля и Лейбница, их мечты реализованы в России. С 1998г Русская логика прошла проверку на различных конференциях, конгрессах, в том числе и международных, симпозиумах и семинарах.
Самой серьёзной проверкой автор считал и считает проверку на лекциях и уроках
студентами и школьниками: это самые дотошные и любознательные критики в
отличие от официозных «учёных». Лекции и занятия автор проводил только по
совместительству, в свободное от основной работы время: 1) без работы по основной профессии теряешь квалификацию, 2) штатному преподавателю внедрять
новую науку весьма сложно.
Положительными отзывами заполнен Интернет: я получал письма со всех
концов бывшего Советского Союза. Читатели могут узнать много интересного о
РВЛ и её создателе, набрав в любом поисковике дескриптор «Русская логика Ло5
6
банова». Мои лекции по Русской логике были записаны в декабре 2007г на телестудии Современной Гуманитарной Академии (Москва) и в 2008 году транслировались на весь бывший Советский Союз по каналу СГУ ТВ спутникового телевидения. Вполне возможно, они транслируются до сих пор. Основные работы автора
переведены в США. Очень не хотелось бы, чтобы Русская логика вернулась к нам
в зарубежной упаковке. Основания для таких опасений более чем весомые. Ни
для кого не секрет, что среди западных учёных очень много невежественных жуликов и мошенников. Начнём с Эйнштейна, которого выгнали из гимназии за бестолковость, от невежества и безмозглости которого в институте стонали профессора математики и который обокрал не только французского физика Пуанкаре и
голландского физика Лоренца, но и свою жену-славянку Милеву Марич (см. Георг
Галецки и Петер Марквардт «Реквием по частной теории относительности», изданной в Кёльне, Булавин В. «Гений всех времён» и работы советских учёных
Ацюковского В.А. и Бояринцева В.И.). Такое же интеллектуальное воровство, плагиат, допустил Винер - «отец кибернетики» по отношению к русскому учёному
Колмогорову. Кстати, на встрече со студентами МГУ Винер в присутствии Колмогорова признал приоритет советской науки в области кибернетики. Лампа русского
физика Лодыгина стала называться лампой Эдисона, теорема советского учёного
Котельникова теперь упоминается только как закон Найквиста, радио русского
исследователя Попова превратилось в радио Маркони, «отцом информатики»
вместо русского физика В.И.Шестакова называют Клода Шеннона. Примеры жуликоватости, безграмотности, невежества и бестолковости западных «учёных»
можно множить до бесконечности (см., например, моё математическое доказательство бестолковости и невежества нобелевского лауреата Б.Рассела).
До сих пор никто из официальной профессуры не понял гениальных
работ выдающегося русского учёного Порецкого П.С. Именно он предвосхитил создание истинно математической силлогистики. Позже на 12 лет к аналогичным результатам в силлогистике пришёл Л. Кэрролл: он получил такие же математические выражения для кванторов "Все х суть y" и "Ни один х не есть y". Хотя уровень достижений Л.Кэрролла значительно ниже уровня результатов
П.С.Порецкого, но даже относительно простых работ английского математика и
сказочника никто не понял ни в России, ни тем более за рубежом. Пусть Порецкий
и Кэрролл не сумели решить всех проблем Аристотеля и Лейбница, но они заложили прочный аналитический фундамент, который так и не был в течение 128 лет
востребован классической логикой из-за невежества "так называемых логиков". Я
6
7
думаю, что саркастическое отношение Л. Кэрролла к "логикам" можно смело перенести на наших современников, которые до сих пор не сумели разобраться в
достижениях своих великих предшественников. В море макулатуры, издаваемой
сегодня по логике, лишь работы Брусенцова Н.П. [3, 4], Катречко С. Л. [8], Кузичева А.С. [10] и Светлова В.А.[47] заслуживают внимания. Кстати, это «море» свидетельствует о значимости логики, а тем более Русской, о возросшем интересе и
внимании к этой древней науке.
Все современные учебники логики невежественны, безграмотны и бестолковы. До сих пор никто из официальных логиков не принял мой вызов, не защитил
честь официозной науки. Преподавание логики (основных её разделов) ведётся
невежественно, как и 25 веков тому назад. Можно констатировать тот факт, что
официальная наука встала железобетонной стеной на пути Русской логики. Подавляющее большинство (вполне возможно, что даже все без исключения) официальных учёных не приемлет Русскую логику. Истина определяется не большинством голосов, но эти голоса обрекают отечественную логику на плачевное
дремотное состояние, а студентов и школьников на унылую и бестолковую зубрёжку. За 14 лет автору не известно ни одного случая внедрения Русской логики
в образование другими педагогами. Но и критики не существует: никто не рискует защитить честь математического мундира. Вместо открытого и жёсткого диспута используется страусиная тактика замалчивания, а иногда предлагается даже запретить РЛ (см. форумы). За всё время существования РЛ была только одна профессиональная, аргументированная попытка её опровергнуть. Достойным
оппонентом выступил Олег Иванович Сидоренко, русский логик, изобретатель и
инженер-цифровик из Саратова. Все остальные попытки не содержали ничего,
кроме эмоций, и исходили от русофобов, т.е. дилетантов, невежд, неучей и бестолочей, хотя некоторые из оппонентов и имели профессиональное математическое образование. Воистину «многознайство уму не научает». Буду признателен за любые критические замечания по существу Русской логики.
Хотелось бы предостеречь отечественных олигархов: в Оксфорде и Кембридже преподаватели логики намного невежественнее и глупее, чем в Российских
учебных заведениях (см. раздел «Дисциплина мышления»). Не торопитесь отдавать своих отпрысков в западные вузы: там из них сделают мартышек с арифмометром (в голове).
Почему-то студенты и школьники на моих лекциях и уроках легко осваивали
Русскую логику, а вот академики с нею никак не могут справиться. Наверное, мне
7
8
попадались глупые академики, поэтому ищу умных. В математической и тем более гуманитарной логике за последние 128 лет я умных академиков не заметил.
Даже такие «корифеи» в логике, как акад. Колмогоров А.Н., акад. Адян С.И., акад.
Садовничий (ректор МГУ), акад. Фёдоров И.Б.(ректор МГТУ им. Баумана), проф.
Зиновьев А.А., всякие расселы, заде, гёдели и чёрчи ни черта не поняли ни в работах гениального логика Порецкого П.С., ни в результатах, полученных
Л.Кэрроллом. Кстати, академик Л.С. Понтрягин, гениальный русский математик и
Человек с большой буквы, назвал Колмогорова «ложкой дёгтя» в русской математике. За развал Русской математической школы талантливый русский инженер и
учёный Брусенцов Н.П. также дал нелестную характеристику Колмогорову. Даже
В.И. Арнольд, ученик Колмогорова, критиковал своего учителя. С этой оценкой
согласно абсолютное большинство школьных преподавателей математики. Если
уж ты не способен создать что-либо стоящее в науке, то разберись вначале хотя
бы с достижениями своих предшественников в данной области.
Никакое образование немыслимо без изучения логики. Основателем формальной логики считается Аристотель. Его логика не имела отношения к математике, а потому не являлась наукой и «была не
только бесполезной, но и
вредной» (Ф.Бэкон). Лейбниц, величайший математик Запада, в течение всей
своей жизни пытался создать математическую логику, которая позволила бы
чисто формально решать проблемы доказательства тех или иных суждений,
теорем, законов, правил, силлогизмов, соритов и т.п. С поставленной задачей
великий учёный не справился. Первые успешные шаги в этом направлении были
сделаны в 1884г гениальным русским логиком Порецким Платоном Сергеевичем
[45]. Однако до сих пор никто в мире не понял его работ, и во всех учебных заведениях мира вот уже 25 веков преподаётся бестолковая и безграмотная классическая логика. Даже самый корректный и элегантный учебник (Кириллов В.И.,
Старченко А.А. Логика. - М.: Юрист,1995) излагает в корне ошибочную силлогистику Аристотеля и не приводит достижений Порецкого в создании истинно математической силлогистики.
Логику в качестве основного предмета ввёл в гимназиях и Академии великий
русский учёный М.В. Ломоносов. С тех пор эту науку в обязательном порядке
изучали в гимназиях России и по указанию Сталина в 1946 – 1957 гг. (после
смерти Сталина с 1953г. по 1957г. – по «инерции») в школах СССР. Причём в
дореволюционной гимназии на логику отводилось вдвое больше времени, чем
на математику. А русские математики были, есть и, я надеюсь, будут сильней8
9
шими математиками в мире. Но для этого нужно восстановить старую русскую
математическую школу, уничтоженную академиком Колмогоровым и его безмозглыми последователями. Для начала убрать всю макулатуру по математике
современных авторов и вернуть в среднюю школу учебники выдающегося математика и педагога Киселёва Андрея Петровича. Советский математик В.И. Арнольд, ученик Колмогорова, жёстко критиковал его нововведения. Поскольку у
антирусского правительства стоит задача уничтожения российского образования, поэтому призываю всех преподавателей и учеников осваивать математику,
хотя бы и в виде факультатива, только по учебникам Киселёва А.П., которые
имеются в издательстве "URSS". Затем следует возродить преподавание логики, начиная с четвёртого класса. В старших классах средней школы и вузах изучать математическую логику только по работам Порецкого и Лобанова.
Трудно переоценить роль математической логики в современных науке и
технике. Проектирование вычислительных машин на основе синтеза микропрограммных автоматов, создание цифровых систем обработки информации и систем вооружений, сигнальные процессоры, системы управления ракетами и
спутниками, разработка систем и устройств народнохозяйственного назначения
и многое другое [13, 15, 26, 31]. Особенно велика роль логики в 21 веке, названным «веком искусственного интеллекта (ИИ)». А искусственный интеллект – это
один из самых перспективных разделов информатики, которая сегодня является
едва ли не основным предметом в средних и высших учебных заведениях России. Войны 21-го века будут не технологическими, а интеллектуальными. По
уровню решения проблем ИИ судят о научном потенциале державы. Фундаментом ИИ опять-таки служит математическая логика. И здесь Россия вновь оказалась «впереди планеты всей».
Русская логика (РЛ) является прекрасным индикатором бестолковости.
Каждый математик (по большому счёту, и каждый «лирик») может самостоятельно с помощью РЛ оценить свой интеллект по 5-балльной системе (перечень
сокращений см. в конце книги):
не понял "РЛИ" - 2,
понял "РЛИ" - 3,
понял работы Порецкого и устранил его ошибки - 4,
нашёл принципиальные ошибки в "РВЛ" (а они есть) и создал метод их
устранения - 5.
Про гуманитариев говорить не приходится: их интеллект по РЛ «ниже плин9
10
туса». Да и все современные математики – невежды и бестолочи, поскольку не
знают или не поняли работ Порецкого и Кэрролла. Для таких «математиков» и
была написана на языке четвероклассника «РЛИ». Кстати, на одном из форумов
кто-то из читателей, восхищаясь Русской логикой, заявил, что она «проста как полено» (см. раздел «Отзывы на Русскую логику»). Именно к такой простоте и стремился автор, хотя, видимо, с поставленной задачей всё-таки не справился: преподаватели математики в школах и вузах не сумели понять и внедрить РЛ.
В настоящее время поражают и удручают бестолковость и безграмотность
матлогиков и логиков-гуманитариев:
«изобретено» кванторное исчисление, которое ровным счётом ничего не
исчисляет, т.к. является просто мнемоникой (один идиот от математики придумал, а миллионы попугаев повторяют);
«придумана» алгебра множеств, с задачами которой прекрасно справляется алгебра логики (бестолковость, попугайство);
единая математическая логика расчленена на логику суждений и логику
предикатов с бесполезными субъектами, предикатами, фигурами и модусами,
с некорректными правилами посылок и прочей наукообразной зубрёжной чепухой (попугайство и неграмотность);
доктора физматнаук и даже инженеры-цифровики не знают математической логики и бравируют своим невежеством (невежество и безграмотность);
ни один логик не сумеет аналитически доказать, почему (x y) = x’+y –
здесь и далее апостроф означает отрицание (неграмотность и бестолковость);
ни один математик не умеет аналитически представить общеутвердительный, общеотрицательный и частноутвердительный функторы (невежество);
более 120 лет математики и логики не могут освоить результатов П.С. Порецкого и даже Л. Кэрролла (невежество и бестолковость);
ни один академик не умеет решать задачи силлогистики;
математики не умеют мыслить (см. сайты с моими публикациями).
Логика дисциплинирует мышление. Ещё Гераклит говорил, что учить
нужно многомыслию, а не многознанию. Не путайте Божий дар с яичницей: телевизионные «знатоки» - это не мыслители, они зарабатывают деньги не «своим
собственным умом», а противоположным местом. Все «интеллектуальные игры»
на телевидении – это проверка «мартышек с арифмометром». Если немного подумать, то к этому же разряду можно отнести шахматистов и программистов. ЭВМ
уже обыгрывает Каспарова, чемпиона мира по шахматам. Значит, Каспаров – это
10
11
просто калькулятор (мартышка с арифмометром), а любой программист, не владеющий математикой – толмач, переводчик с одного языка на другой. Но переводчик Пастернак далеко не поэт Пушкин и даже не Шекспир. Ломоносова, Менделеева, Порецкого, Курчатова, Келдыша и Королёва не забудут в веках, а о программистах и переводчиках не вспомнит никто. Эвристика, мышление – прерогатива человека, а ЭВМ пока ещё не умеет мыслить, да и вряд ли научится. Автор –
программист с 40-летним стажем, но уже почти 40 лет считает, что уметь программировать необходимо, но лучше всегда эту работу поручать кому-либо другому. То же самое можно сказать и о микропрограммировании, т.е. схемотехническом проектировании цифровых устройств. К сожалению, этими дисциплинами
приходится заниматься всё больше и больше. Творчество доступно и грузчику, и
скрипачу, но о серьёзном творчестве и серьёзном мышлении может идти речь
лишь в фундаментальных науках, базирующихся на математике.
Над проблемой формализации мышления ВСЁ ЧЕЛОВЕЧЕСТВО (и «физики», и «лирики») трудилось 25 веков. И, тем не менее, классическая логика, которую изучают во всём мире, вопиюще безграмотна и дремуче невежественна. С
задачей формализации, чётко поставленной
Лейбницем, справляется только
Русская логика.
Если вы устали от зубрёжки силлогистики Аристотеля, хотите чуточку поумнеть и превзойти в логике П.С. Порецкого, Л. Кэрролла, Дж. Буля и Лейбница,
если вас интересует истинно математическая, понятная школьнику логика здравого смысла, то осваивайте эту науку по следующим источникам:
1. Сайты
в
Internet:
http://logicrus.ru
,
http://naztech.org/lobanov
,
http://matema.narod.ru/newpage113.htm, http://www.mirit.narod.ru/zerkalo.htm ,
http://ito.edu.ru/, http://www.trinitas.ru, http://lord-n.narod.ru/walla.html/Книги и
софт с Walla.com и др.
2. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001 – 192с.
3. Лобанов В.И. Решебник по Русской логике. – М.: Компания Спутник+, 2002 –
133с.
4. Лобанов В.И. Русская логика для «физиков» и «лириков». – М.: Спутник+,
2005 – 427с.
5. Лобанов В.И. Русская вероятностная логика.– М.: Русская Правда,2009 –
320 с.
6. Лобанов В.И. Русская логика в информатике. – М.: Русская Правда,2010 –
11
12
48с.
В перечне сайтов только первый является авторским, все остальные созданы
единомышленниками, оценившими значение Русской логики и поместившими математическую логику России на своих страницах. Я чрезвычайно признателен за
это патриотам русской науки. Почти все мои книги и статьи выложены в открытом
доступе на указанных сайтах. Вторая и четвёртая книги в этом перечне написаны
в основном для инженеров. Их безграмотность в матлогике, в инженерных методах разработки, контроля и диагностики цифровых устройств, а также в программировании и микропрограммировании пугает: некому будет разрабатывать оборонные системы вооружений, нечем будет защищать Россию.
Автор до сих пор занимается разработками электронных цифровых
устройств оборонного назначения. Накопленный опыт позволяет утверждать, что
формальные и инженерные методы проектирования цифровых устройств легко
осваиваются семиклассниками. Поэтому выпускники средних школ, освоившие
«Русскую логику» и «Азбуку разработчика цифровых устройств»[29, 26] могут сразу приступить к работе на инженерных должностях. Это чрезвычайно актуально в
связи с переходом на «болонкино образование» (Болонская конвенция), гуманитаризацией и вымыванием математики из программы обучения. Но так называемые «гуманитарные науки» в большинстве своём представляют собой «не замутнённый интеллектом поток сознания с очень специфическим подходом» (Андрей
Борцов.
«Дебилизаторы
подрастающего
поколения»//«Знание
–
власть!»,
№41(310), ноябрь,2006). Дело в том, что любой гуманитарий безоговорочно верит
в авторитеты, а значит, перестаёт мыслить. Математик постоянно анализирует.
Для него только истина является авторитетом. России нужны не болтуны и спекулянты, не жулики и ростовщики, не «смехачи» и поп-звёзды, не «эффективные
менеджеры» и толпы бухгалтеров, а инженеры и учёные, истинная и единственная интеллектуальная элита России. Каждый русский патриот обязан любить математику: математика - это держава, наука, оборона, космос, вооружение.
Без математики мы будем защищать Россию дубинами. Все мы живы сейчас
только потому, что советские математики и инженеры создали оборонный щит
России, а русские офицеры и солдаты проявили самоотверженность и героизм. А
душа России жива только потому, что русские писатели и учёные не дали русофобам уничтожить Русский язык и Русскую литературу. Тот разгром нашей армии,
оборонной промышленности, науки, культуры и образования, который учинила
«пятая колонна», является государственным преступлением и требует государ12
13
ственного вмешательства и огромных усилий всего общества (в первую очередь
профессионалов старшего поколения, поскольку молодых нет и не предвидится в
ближайшем будущем) по ликвидации катастрофических последствий.
Хочу заранее вызвать у читателей агрессивный настрой. Не верьте ни единому слову Русской логики, проверяйте, возражайте. Тем более что мой учитель в науке о мышлении Николай Петрович Брусенцов категорически не согласен
с Русской логикой. Но и не отметайте всё с самого порога. Имейте в виду, что в
области научной деятельности Американский Биографический институт избрал
автора Человеком года-2011. Вашего интеллекта и образования более чем достаточно, чтобы разоблачить автора. У меня семиклассники решали такие задачи
по логике, с которыми не справится ни один инженер, ни один профессор, и уж
тем более академик. Кроме того, помните, что все вы по определению безграмотны: не знаешь логики – невежда по критериям Русской гимназии и
Древней Греции.
Дополнительно примите к сведению, что с точки зрения «логиковпрофессионалов», автор Русской логики – дилетант, поскольку я действительно
не изучал в институте логику Аристотеля. Пришлось изучить, чтобы уничтожить
болтологику. Но стоит ли тратить время на то, что ещё 400 лет назад было разгромлено Френсисом Бэконом, что вызывало возмущение советского логика Васильева Н.А., что опроверг 127 лет назад величайший Русский логик Платон
Сергеевич Порецкий и немного позже даже английский математик и сказочник
Льюис Кэрролл. Аналогичная ситуация у автора сложилась и с другим «классиком»: «А Вы читали Бертрана Рассела?». Прочёл – убедился в невежестве и безмозглости нобелевского лауреата. Поэтому нет ни малейшего желания тратить
время на невежественных и бестолковых заде, гёделей, и чёрчей. Не освоил
фундаментальных для математической логики работ П.С. Порецкого и Льюиса
Кэрролла - невежда, неуч и бестолочь по определению. А ведь никто из "классиков" этих работ не понял - "короли"-то голые. Обращаюсь к читателям: «Вы, закончившие пусть советскую, но все же лучшую в мире школу, получившие общее обязательное среднее образование, которое по своей глубине за пояс заткнет не одного "ихнего" бакалавра, не бойтесь говорить правду о своих ощущениях; не бойтесь самих себя. (Альфред Барков «Интеллект»).
Поскольку до сих пор, вот уже почти 40 лет, я разрабатываю цифровые системы управления, в основном оборонного назначения, где всё построено на инженерной, т.е. строгой математической, логике, то
13
у меня есть все основания
14
считать всех логиков мира (и математиков, в первую очередь) за последние
128 лет дилетантами, невеждами, неучами, да ещё и бестолочью. Такое
утверждение звучит невежливо, но, во-первых, за 12 лет, прошедших с выхода в
свет Русской логики, я исчерпал все дипломатические выражения и называю вещи своими именами. Во-вторых, «вежливость – любимая добродетель убогих…последнее прибежище бестолочей» (Диана Сеттерфилд «Тринадцатая
сказка»). В науке, в отличие от дипломатии, нужно всё и всех называть своими
именами. Порецкий и Понтрягин не церемонились со своими оппонентами и были
абсолютно правы. В науке не должно быть «толерантности» и «консенсуса».
Кстати, употребление этих и других «модных» псевдонаучных словечек сразу
«высвечивает» невежду, недоумка, западного холуя и русофоба.
Классическая логика, которую изучают во всём мире, ни в коей мере не годится для решения проблем ИИ. С задачей формализации, чётко поставленной
Лейбницем, справляется только Русская логика [12 - 41]. А поскольку логика –
наука о мышлении, то именно Россия является родиной самых выдающихся в мире мыслителей. Наверное, поэтому термин «Русская логика» вызывает такое агрессивное неприятие у всяческих русофобов: как это русские «фашисты» и «пьяницы» (по утверждению наших горячо любимых косноязычных и
картавых СМИ) смогли создать науку о мышлении. Автору неоднократно «советовали» назвать вновь открытую науку «Логикой Лобанова», в частности секретарь
Комитета по обороне Госдумы РФ Симкин Владимир Соломонович считал, что
науку с эпатажным названием "Русская логика" никто изучать не будет.
Я не имел морального права на подобное «увековечивание» своего имени
по чисто этическим и патриотическим соображениям. Поскольку вновь созданная
логика опирается в основном на работы русских логиков Давыдова И.И.(17941863),Владиславлева М.И.(1840-1890), Порецкого П.С.(1846-1907), Введенского
А.И.(1856-1925), Лосского Н.О.(1870-1965), Поварнина С.И.(1870-1952), Васильева Н.А.(1880-1940), Брусенцова Н.П., Кузичева А.С. и др., то автор назвал её Русской логикой. Я не имел права на «Логику Лобанова» также и потому, что это не
лично моя заслуга, а свойство Русского образа мышления, Русского языка. В прекрасной и глубоко познавательной книге В.А. Истархова «Удар Русских Богов»
(М.: Русская Правда»,2007 – 416с.) на стр.363 приводится фундаментальное высказывание: «Чем примитивнее язык, тем примитивнее мышление человека…».
Наш родной Русский язык самый богатый и красивый в мире. Поэтому русским
легче было создать истинно математическую логику, и поэтому только русскими
14
15
учеными и инженерами была решена эта многовековая проблема.
Феномен эллинской культуры – зарождение философии, литературы, искусства, науки и их поразительно быстрый расцвет в Древней Греции – известный
французский филолог, историк религий и философ Эрнест Ренан объясняет присущими арийским языкам абстрактностью и метафизичностью. Этими свойствами
не обладают другие языки, к примеру семитские, на базе которых не могли бы зародиться ни мифология, ни эпическое творчество, ни наука, ни философия, ни
изящные искусства, ни гражданская жизнь.
Именно поэтому Русский язык должен стать и станет языком науки(см. форумы в Интернет). Английский язык ущербный, убогий, поэтому он порождает соответствующее мышление. Следовательно, он не имеет никакого права быть языком учёных.
Термин «Русская логика» не должен вызывать агрессивных эмоций хотя бы
потому, что существуют логика Пор-Рояля (захудалый монастырь во Франции),
«новейшая английская логика» (Льар Л. «Английские реформаторы логики») и
польская инверсная запись в программировании, но никого это не возмущает. А
вот «Русская логика» застряла у русофобов, как кость в горле. К тому же
Ф.М.Достоевский всегда говорил о национальном характере науки. В последнее
время появилась «Русская механика» А.Ф.Черняева (М.:2001 – 592с.), «Русская
физика» В.М.Антонова (М.:Метрика,2008), т.е. ряды Русских наук пополняются. Да
и Русский адаптивный язык (РАЯ) в программировании тоже подчёркивает выдающиеся мыслительные способности русских инженеров и учёных.
Ну и, в конце концов, нужно как-то различать болтологику (официальную
классическую логику) и истинно математическую логику (Русскую).
Русская логика (РЛ) проста и прозрачна для понимания. Для её начального
освоения достаточно 4-х классов образования. На сегодня это единственно правильная математическая логика. Кроме того, она несёт в себе огромную патриотическую составляющую, а у нас в загоне патриотическое воспитание. Русофобы любят цитировать какого-то недоумка: «Патриотизм – прибежище негодяев».
Даже если эта фраза и принадлежит великому писателю, то её оценку автор
оставит прежней. Многие молодые и не очень молодые люди как попугаи повторяют набивший оскомину идиотизм: « Я – гражданин мира». Это идеология быдла, забывшего свою Родину. Некоторые молодые инженеры и учёные покидают
Россию, оправдывая свой поступок материальными обстоятельствами. Они
предают свою больную Мать и пополняют ряды врагов России. Если у них оста15
16
лась совесть, то она никогда не простит им этого предательства.
К сожалению, математическую логику в объёме классической преподают
невежественно даже в ведущих вузах России: МГТУ им. Баумана, МФТИ, МГУ.
Во всяком случае, Порецкого П.С., который создал истинно математическую логику, там не знают, т.е. его работ не понял ни один математик мира. Это свидетельство невежества, безграмотности и бестолковости. Получается, что мы,
Русские – иваны, не помнящие родства. Россия может и должна гордиться Порецким, решившим проблему, с которой всё человечество не справилось за 25
веков и до сих пор прозябает в невежестве.
Постоянно действующий научно-методологический «Круглый стол» по военной безопасности при Комитете по обороне Госдумы РФ, где 13 ноября 2003г. автор рассказал о создании Русской логики и выступил с докладом «Ликбез по логике в России как проблема национальной безопасности», так сформулировал первоочередные задачи в отношении логики: «…необходимо ликвидировать логическую необразованность всего российского общества в целом так же, как в начале
20-го века была ликвидирована начальная неграмотность в Советской России».
Никакого продвижения с тех пор в этом направлении не произошло: россиянское
образование возглавляют русофобы. Русская логика ждёт безотлагательного
внедрения в школьное и вузовское Российское образование.
В процессе освоения Русской логики читателю станет ясно, что нет логики
суждений и логики предикатов, а есть просто логика. Однако автор сохранил традиционное разделение, чтобы не создавать психологического барьера. О вероятностном характере всей силлогистики автор впервые сказал в «Русской логике
для школьников (и академиков)». Поэтому некоторые примеры в силлогистике
требуют уточнения в постановке задач: необходимо оговорить мощность всех
терминов-множеств. Однако главный, мыслительный, аспект этих примеров не
утрачен.
Автор считает, что читатель имеет право знать профессиональный уровень
создателя любого произведения, тем более интеллектуальные возможности разработчика математической логики. Если этот сочинитель – двоечник, то читать
его совершенно не за чем. Правда, и отличник – не всегда профессионал даже в
своей области: наверное, Колмогоров получал великолепные оценки по математике, но в матлогике он оказался полнейшей невеждой и бестолочью. Академические звания и Нобелевские премии тоже не гарантируют высокий интеллект их
обладателя. Примеры: Б.Рассел в логике и Эйнштейн – в математике и физике.
16
17
Если бы учащиеся досконально знали биографию Эйнштейна, они никогда бы не
поверили этому двоечнику. Поэтому в брошюре приведена биография создателя
РЛ. Автор предлагаемого пособия – нормальная посредственность в мышлении,
поэтому русским преподавателям математики стыдно будет не освоить Русскую
логику.
Автор рекомендует к обязательному изучению главы 1 из части 1 и 1 - 3 из части 2. Если у школьников вызовет затруднение вычисление вероятностей вариантов заключения, то эту процедуру можно опустить: она не имеет отношения к качеству мышления. В главе 10 части 2 могут возникнуть вопросы по 4-значной и 6значной комплементарным логикам. Школьникам можно не отвлекаться на алгебру этих логик, поскольку для решения логических уравнений автором параллельно
предложен метод, основанный на двоичной алгебре. Если не рассматривать вышеперечисленные вопросы, то все разделы вполне можно излагать четвероклассникам. В крайнем случае для них можно использовать [41]. Рекомендуется обратить особое внимание на разделы, выделенные в оглавлении полужирным курсивом: в них излагается совершенно новые методы решения проблем математической логики.
Из всего перечня литературы достаточно проработать сначала брошюру
«Русская логика в информатике»[41], а затем – монографию «Русская вероятностная логика» [36]. Автор надеется, что предлагаемое вниманию читателей
пособие сможет заменить для наиболее настойчивых любителей математики
все предыдущие работы. Студенты техникумов, институтов и академий, старшеклассники школ, гимназий и лицеев легко справлялись с этой немудрёной
наукой. Ученики 5-го класса нематематической СШ №3 г. Москвы тоже воспринимали РЛ с интересом и пониманием. Лекции по РЛ в 2007г. были записаны в
Современной гуманитарной академии и транслировались по каналу СГУ-ТВ
спутникового телевидения на весь бывший Советский Союз. Вполне возможно,
что эта трансляция продолжается и сегодня: у автора нет спутниковых телеканалов. Начиная с 1998г., апробация РЛ происходила на конференциях, конгрессах, в том числе и международных, на семинарах и непосредственно в классах и
аудиториях. Основные работы автора переведены за рубежом. За державу будет обидно, если РЛ вернётся к нам в зарубежной упаковке. Для преподавателей, собирающихся внедрить РЛ в образование, готов ответить на все вопросы.
Мой электронный адрес для них – e-mail: lobanov-v-i@mail.ru.
Автор родился и вырос в Осташкове, на берегу озера Селигер, на родине
17
18
Леонтия Филипповича Магницкого, основателя Российской математики. Поэтому
он не мог не упомянуть этого города и самого озера хотя бы в названиях алгоритмов. Мне кажется, что не случайно именно осташи продолжили работы
П.С.Порецкого и создали Русскую вероятностную логику.
Замысел книги родился благодаря зав. проблемной лаб. ЭВМ МГУ Брусенцову Н.П., ознакомившему автора с проблемами современной логики. Путёвку в
жизнь новой науке дал научный сотрудник Института проблем управления (ИПУ)
Пётр Петрович Вороничев. Русская логика была впервые внедрена в Тушинском
вечернем авиационном техникуме (ТВАТ). Автор выражает свою глубокую признательность директору ТВАТ Немченко Т.П. и завучу Волковой Е.И., оказавших
всевозможное содействие в организации учебного процесса. Автор изъявляет
сердечную благодарность всем единомышленникам, разместившим материалы
РЛ на своих сайтах. Особую признательность необходимо высказать в адрес Евгения Антоновича Капустина, безвозмездно создавшего сайт http://logicrus.ru и заочно научившего автора методам его наполнения. Признание автора Человеком
года-2011 г. не могло бы произойти без рекомендаций Бакумцева Н.И., Президента Интеллектуального Международного Фонда «Перестройка Естествознания».
18
19
«И может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать.»
М.В.Ломоносов.
ЧАСТЬ 1
Введение.
Под современным определением интеллекта понимается способность к осуществлению процесса познания и к эффективному решению проблем, в частности
при
овладении
новым
кругом
жизненных
задач.
Согласно
академику
Н. Н. Моисееву, интеллект — это, прежде всего, целеполагание, планирование
ресурсов и построение стратегии достижения цели. Есть основания полагать, что
зачатками интеллекта обладают животные, и уже на этом уровне их интеллект
посредством механизмов целеполагания и достижения целей влиял и влияет на
эволюцию животных. Изучением интеллекта животных занимается сравнительно
молодая область науки, когнитивная этология.
Интеллект — это способность находить алгоритм решения ранее неизвестных задач (путь решения проблем).
Другой П. Н.
Исходя из этого определения данная способность различается для разного
рода задач. Например, коэффициент IQ показывает способность выдавать ответы, совпадающие с ответами автора теста IQ.
Интеллект — это способность планировать, организовывать и контролировать свои действия по достижению цели с учетом совпадения истины и блага.
Мигашкин Н. В.
Все эти описания приведены в Википедии. Осюда становится ясно, что никто
не в состоянии дать чёткое определение интеллекта. Однако на уровне интуиции
все понимают, как можно оценить интеллект. Интеллект – это не начитанность, не
натасканность на решение стандартных задач. Шахматист – это не интеллектуал:
его обыгрывает безмозглая ЭВМ. Вот что говорит Альфред Барков в своей работе
«Интеллект»: «Честно признаюсь, что на чисто интуитивном уровне у меня
19
20
всегда возникали сомнения относительно "качества" того интеллекта, который проявляется в шахматах. Ведь интеллект — это комплекс свойств иррационального характера, который, включая в себя в том числе врожденные инстинкты и приобретенные условные рефлексы, при создании шедевров искусства подключает к процессу весь накопленный мозгом пласт культуры». Барков задаётся вопросом: «Может ли интеллект чукотского оленевода превосходить суммарный интеллект шестерки "Что? Где? Когда?" и крупье?» И отвечает на него утвердительно. Телеигроки «интеллектуальных» шоу – это мартышки
с арифмометром в голове: если в любую ЭВМ загрузить все энциклопедии, то она
обыграет всех вместе взятых телеигроков.
Всевозможные тесты по определению IQ (см., например, Ф.Картер « IQ и личностные тесты» - М.: АСТ, 2010») абсолютно непригодны для решения заявленной задачи. Более всего автору симпатизирует определение интеллекта, приведённое в самом начале, а именно:
Интеллект — это способность находить алгоритм решения ранее неизвестных задач (путь решения проблем).
Другой П. Н.
Поэтому, учитывая, что логика является наукой о мышлении, автор предлагает простое интеллектуальное тестирование. Русская логика (РЛ) является
прекрасным индикатором бестолковости и измерителем интелекта. Знаний
здесь требуется на уровне начальной школы, а всё остальное в освоении РЛ
определяется интеллектом читателя. Каждый математик может самостоятельно
с помощью РЛ оценить свои способности по 5-балльной системе:
не понял брошюру "Русская логика в информтике" – 2,
понял брошюру "Русская логика в информтике" - 3,
понял работы Порецкого, нашёл его принципиальные ошибки и разработал метод их нейтрализации - 4,
нашёл принципиальные ошибки в "Русской вероятностной логике"(а они
есть) и создал метод их устранения - 5.
По данной методике интеллект автора РЛ оценивается на уровне «4». Автор сомневается в своей оценке интеллекта выдающихся русских математиков
20-го столетия, но и опровергнуть её не в состоянии. Каждый человек, а тем бо20
21
лее учёный, обязан знать математическую логику. Но её не знает никто в мире.
Работы П.С.Порецкого являются фундаментальными для математической логики,
поскольку в них решены все проблемы, поставленные Лейбницем, с которыми не
справилось всё человечество за 25 веков. Математики, не знающие работ Порецкого, автоматически попадают в разряд невежд. Бестолочами они являются тоже
по определению: ни один математик не возмутился кванторным исчислением, алгеброй множеств и логикой предикатов. Мне известен только один русский математик, знакомый с работой Порецкого. Это А.А.Марков-старший, блестящий учёный с мировым именем. Однако и он не понял результатов гениального русского
логика. Маркова нельзя назвать невеждой, но из разряда бестолочей и неучей он,
к сожалению, тоже не выпадает. Заглянем в книгу Э.Мендельсона "Введение в
математическую логику", которую так нахваливает академик Адян С.И. Здесь тоже
сплошь кванторы и кванторный вычисления. Это безмозглость и попугайство.
Мендельсон не ссылается на Порецкого - значит, он невежда. Нет ни одной работы за последние 128 лет, в которой авторы разобрались бы с достижениями
П.С.Порецкого и Л.Кэрролла. Следовательно, все логики – невежды, неучи и бестолочи.
Предложенную оценку интеллектуальных способностей можно использовать при подборе кадров, особенно научных. Уже в VI веке в Китае были разрботаны тесты для определения уровня способности чиновников. Логикой должен
владеть каждый образованный человек. Поскольку истинной логикой сегодня является только Русская логика, то её обязан изучить каждый чиновник, а тем более
учёный. Одновременно по степени освоения РЛ мы получим информацию о интеллекте того или иного чиновника или учёного.
Когда незабвенный Аркаша Райкин, клоун и н.а. СССР, в «своих» интермедиях издевался над отличниками, то все понимали, что интеллект Аркаши ниже
плинтуса, а по математике он наверняка был двоечником. . Разумеется, не из
каждого круглого отличника вырастает гениальный учёный, но каждый учёный
обязан быть отличником хотя бы в математической логике. Строго говоря, математики – это соль земли. Поэтому каждый государственный деятель обязан иметь
математическое образование наряду с каким-либо гуманитарным. У автора складывается впечатление, что человечество деградирует: нет больше Ломоносовых,
Менделеевых, Порецких. Мы уже опустились до того, что не понимаем достижений своих предшественников. Иногда мне заявляют, опровергая деградацию, что
вот Лобанов выше Порецкого. Но это случилось лишь потому, что я стою на его
21
22
плечах. Эволюционная теория Дарвина предполагает, что человек произошёл от
обезьяны. Возможно, Дарвин, Аркашка Райкин и им подобные – потомки обезьян.
Современная наука считает, что человек – результат генетических экспериментов
высокоразвитых цивилизаций и ,вероятнее всего, обезьяны – результат деградации человека. Поэтому, чтобы не превратиться в мартышек, нужно осваивать математику и в частности РЛ.
Основываясь на определении и оценке интеллекта по критериям РЛ, можно
дать такое определение термина «интеллигент». Интеллигент – это человек, в
котором гармонично сочетаются душевная чуткость, порядочность, культура, интеллект и образованность. Первые три качества не поддаются объективной оценке, интеллект мы уже научились определять. Осталось оценить образованность.
Кто-то из классиков заявил, что без математики нет науки. А я добавлю, что без
математики нет образования. Становится смешно, когда какого-нибудь полиглота,
заядлого театрала, знатока искусств, пустомелю политолога или литературного
критика считают образованным человеком. Следовательно, интеллигентами могут
быть только инженеры и учёные, т.е. те, кого гуманитарии высокомерно называют
технарями. Так называемая «творческая интеллигенция» к интеллигенции никакого отношения не имеет, поскольку не обладает ни интеллектом, ни образованностью. Истинными интеллигентами (этот термин существует только у русского
народа) могут быть лишь русские инженеры и учёные.
А теперь попробуем ответить на вопрос, который был задан автору после
прочтения доклада о РЛ в Военной Академии РВСН (Ракетных Войск Стратегического Назначения): «Зачем нужна математическая логика?». Ответов может быть
много:
1. Весь мир пытается её создать вот уже 25 веков.
2. На её основе построена вся вычислительная техника и все электронные системы управления оборонного и народно-хозяйственного
назначения.
3. РЛ – индикатор интеллекта.
4. РЛ – это и есть теория доказательства, которую невежды и неучи
ищут до сих пор.
5. РЛ – фундамент искусственного интеллекта(ИИ), стратегического
направления науки 21-го века.
6. Русских интеллектуалов много, а интеллектуального инструмента у
них нет. РЛ – интеллектуальный инструмент.
22
23
7. «Море» макулатуры по логике за 2011 г.(на полках «Московского дома книги» автор насчитал более 60 наименований учебных пособий и
монографий ) говорит о возросшем интересе к указанной науке.
8. Математика даёт иногда неожиданные плоды и спустя десятилетия.
9. Логика – это Бог мыслящих (Л.Фейхтвангер).
10. Логика необходима потому, что одолеть её можно только с помощью
логики (О.Хевисайд).
Когда прозвучал первый ответ, то тут же последовало возражение одного из
офицеров: «Ну и что из того, что весь мир разрабатывает логику 25 веков! Весь
мир те же 25 веков демонстрирует глупость и осваивает логику Аристотеля, но
нашлись Ф.Бэкон, П.С.Порецкий и В.И.Лобанов, которые утверждают, что это
бред сивой кобылы». Да и сам автор РЛ 50 лет обходился без классической логики, не испытывая никаких неудобств. Вполне возможно, что весь мир ошибается,
считая необходимым освоение логики. Положа руку на сердце, все остальные мои
обоснования необходимости логики тоже выглядят неубедительно. Кстати, именно этим вопросом задавался А.А.Марков в учебном пособии «Элементы математической логики»(М.:МГУ,1984), но его обоснование необходимости изучения
«науки о хороших способах рассуждения» выглядит ещё беспомощнее. Надеюсь,
что читатели познакомятся с работами Левитина Е.С., считающего, что «логика
стоит над математикой», и найдут более весомые аргументы в защиту науки о
мышлении. Ну а пока будем верить древним грекам, русскому гению Ломоносову
и талантливому немецкому математику Лейбницу, которые считали, что без знания логики не может быть ни образования, ни науки. Поскольку только математическая логика становится наукой(иначе она остаётся просто болтологикой), постарайтесь освоить Русскую логику, единственную на сегодня истинно математическую логику, науку 21-го века. «Не стыдно и не вредно не знать. Всего знать никто не может, а стыдно и вредно не хотеть знать того, что необходимо каждому
человеку»(Л.Н.Толстой). Русская логика – это общечеловеческая математическая
логика(когда РЛ признают во всём мире, тогда она потеряет национальный признак), поэтому ею должны овладеть учащиеся всех национальностей. Тем более
её обязаны освоить русские студенты, преподаватели и учёные, что не только
повысит их интеллектуальный уровень,но и подтвердит аксиому: «Россия – родина талантов».
23
24
Инженерная логика.
Глава первая
КОМБИНАЦИОННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
1.1 Основные положения алгебры логики
Анализ и синтез логических схем осуществляется на базе аппарата алгебры
логики или булевой алгебры. Излагать весь аппарат не имеет смысла, так как в
инженерной практике используются два-три закона алгебры логики.
В алгебре логики переменные могут принимать только два значения, 0 или
1. Для двух аргументов существуют 16 логических функций (операций, логических
действий). Над переменными в основном производятся три логических действия:
сложение, умножение, отрицание (инверсия), что соответствует функциям ИЛИ, И,
НЕ. Все функции в булевой алгебре могут быть описаны с помощью таблицы истинности. В нижеследующих таблицах описаны функции И(f1), ИЛИ(f2),НЕ(f3).
Вместо функции И часто используется термин «конъюнкция», вместо функции
ИЛИ - термин «дизъюнкция». Вместо функции НЕ употребляется термин «инверсия» или «отрицание». Для двоичной логики понятия «инверсия» и «отрицание»
24
25
эквивалентны, но для многозначной дело обстоит иначе. По ЕСКД логические
элементы, реализующие функции И(f1), ИЛИ(f2), НЕ(f3), изображаются так, как
представлено на рисунке.
При написании логических формул для функции И используются следующие знаки: &, Λ, точка или ее отсутствие; для функции ИЛИ -
V,+. Функция НЕ
обозначается штрихом над аргументом. Мы для обозначения отрицания будем
использовать апостроф. Таким образом, можно записать:
f1 = x2&x1 = x2
Λ x1 = x2x1
f2 = x2 V x1 = x2+x1
f3 = x’
Основные законы алгебры Буля.
Прежде, чем приступить к изложению основных законов алгебры логики,
зафиксируем некоторые очевидные её положения.
1 + a = 1; 0 + a = a; a & 1 = a; a & 0 = 0; a + a’ = 1.
Эти соотношения легко проверяются подстановкой.
Как уже отмечалось, в булевой алгебре все операции осуществляются с
логическими переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем некоторые из них.
а) Переместительный закон
а+в=в+а;
ав = ва
б) Сочетательный закон
( а + в ) + с = а + ( в + с) ;
( ав )с = а(вс)
в) Распределительный закон
а( в + с ) = ав + ас ;
а + вс = (а + в)( а + с )
г) Закон поглощения
а + ав = а( 1 + в ) = а ;
а( а + в ) = а + ав = а
д) Закон склеивания
ав + ав’ = а ;
( а + в )(а + в’) = а
25
26
е) Идемпотентный закон
a + a = a;
a&a=a
ё) Правила де Моргана
Эти правила справедливы для любого числа аргументов.
а + в + с + .... + z = ( а’в’с’...z’ )’
авс... = ( а’ + в’ + с’ + ... + z’ )’
Эти правила можно описать таким алгоритмом.
Для перехода от логической суммы к логическому произведению необходимо проделать следующие операции:
1) проинвертировать все слагаемые в отдельности;
2) заменить знаки дизъюнкции на знаки конъюнкции;
3) проинвертировать получившееся выражение.
Аналогично выполняется переход от логического произведения к логической сумме. В инженерной практике используются лишь правила де Моргана и
закон склеивания (в виде карт Карно).
Свойства эквивалентности и неравнозначности.
Кроме основных функций И, ИЛИ, НЕ в алгебре логики часто используются
функции равнозначности (эквивалентности) и неравнозначности (сумма по модулю 2).
Для обозначения этих функций используются следующие знаки : равнозначность - ~, сумма по модулю 2 - . Содержание этих функций отражено в таблице.
Из таблицы получаем:
f4 = а ~ в = а’в’ + ав
f5 = a в = а’в + ав’
Из таблицы видно, что
26
27
f4 = f5’ или
f5 = f4’
Таким образом,
а’в’ + ав = ( ав’ + а’в )’ , или
а~в = ( а в )’ , а в = (а~в)’
Кроме того, автор обнаружил некоторые неожиданные свойства функций
эквивалентности и неравнозначности:
ab’ a’в = ab’(a+b’)+(a’+b)a’b = ab’+a’b = а в.
ab a’в’ = ab(a+b)+(a’+b’)a’b’ = ав+a’b’ = а~в.
а a’ = a+a’ = 1.
(a в)(c+d) = (ac+ad) (bc+bd).
(a в) (c d) = (a c) (b d).
(a в) c = (ab+a’b’)c+(ab’+a’b)c’ = abc+a’b’c+ab’c’+a’bc’.
(a ~ b) ~ c = (ab+a’b’)c+(ab’+a’b)c’ = abc+a’b’c+ab’c’+a’bc’.
Т.е. удалось доказать, что
В то же время
Автором предложена гипотеза: сумма по модулю 2 для нечётного количества аргументов равна эквиваленции этих аргументов, а для чётного - инверсии
эквиваленции тех же аргументов. Проверка с помощью САПР MAX+PLUS II не
опровергла авторской гипотезы(см.нижепредставленные рисунки). Конечно, эту
гипотезу можно доказать и аналитически, превратив её тем самым в закон. Или
опровергнуть, приведя хотя бы один пример несоответствия. Предоставляю эту
возможность наиболее дотошным математикам.
Кроме того, представляет определённый интерес мажоритарная функция 2
из 3.
27
28
Мажоритарность
часто
используется
при
создании
высоконадёжных
устройств и систем, в том числе и для построения спутниковых систем навигации,
связи и мониторинга Земли и космического пространства.
28
29
29
30
30
31
Особое место в алгебре логики занимает функция импликации: a→b = a’+b.
Физический смысл этого соотношения не может объяснить ни один академик. Он
будет разъяснен в разделе «Базисы силлогистики».
Необходимо особо отметить свойство элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Это так
называемый функционально полный базис: с помощью любого из этих элементов
можно построить сколь угодно сложный компьютер, любую цифровую электронную схему управления.
1.2 Алгебра множеств.
Обычно множества изображаются в виде окружностей, эллипсов, прямоугольников, квадратов и других фигур. Однако переход от двумерности к одномерности, т.е. к скалярным диаграммам, позволяет существенно расширить возможности анализа и синтеза в алгебре множеств. Попробуем доказать идентичность функций и законов в алгебре логики и алгебре множеств.
Полная система булевских функций(z0 – z15) для двух аргументов(x,y) показана в таблице.
Эти функции для алгебры множеств можно представить с помощью скалярных диаграмм, которые предложены автором в качестве основного инструмента
алгебры множеств. Здесь и далее в том случае, если аргумент или функция равны
нулю, то они изображается тонкой линией, в противном случае – толстой.
31
32
Все вышеперечисленные законы булевой алгебры легко и просто доказываются с помощью алгебры множеств. Приведем, к примеру, графическое доказательство правила де Моргана для двух аргументов x+y = (x’y’)’.
Из скалярных диаграмм видно, что x+y = (x’y’)’. Далее будет показано, что
минимизация функций в алгебре множеств не отличается от минимизации логических функций в алгебре логики. Таким образом, мы доказали, что алгебра логики и алгебра множеств идентичны.
В этом доказательстве не было никакой необходимости, поскольку аргументами в логике могут быть как отдельные переменные, так и множества. Следовательно, алгебра логики и алгебра множеств – синонимы. Создатель «алгебры
множеств» и его последователи – невежды и бестолочи.
1.3. Синтез комбинационных схем
Синтез комбинационных схем можно проиллюстрировать решением простой задачи.
Задача 1.3.1.
32
33
Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя
решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется той группой, в которой оказался председатель приемной комиссии. Построить автомат для тайного голосования, обеспечивающий определение большинства голосов.
Решение.
Пусть f - функция большинства голосов. f = 1, если большинство членов комиссии проголосовало за приём абитуриента, и f = 0 в противном случае.
Обозначим через x4 голос председателя комиссии. Пусть x4 = 1, если председатель комиссии проголосовал за приём абитуриента. Аналогично представляются через x3, x2, x1 - голоса членов приёмной комиссии.
С учётом вышеуказанных допущений условие задачи можно однозначно
представить в виде таблицы истинности.
Заполнение таблицы осуществляем с учётом того, что функция f является
полностью определённой, т.е. она определена на всех возможных наборах переменных x1 - x4. Для n входных переменных существует N = 2n наборов переменных. В нашем примере N = 24 = 16 наборов.
Записывать эти наборы можно в любом порядке, но лучше в порядке возрастания двоичного кода.
33
34
Примечание. Здесь и далее под набором будем понимать конъюнкцию всех
входных переменных. Существует множество научных определений для набора
(конституента, терм, импликанта, минтерм и т.д.), но они только вносят путаницу.
Все наборы, на которых функция принимает значение 1 , будем называть
единичными, или рабочими. Наборы, на которых функция принимает значение 0,
будем называть нулевыми, или запрещенными.
Для того, чтобы по таблице истинности найти функцию f, достаточно выписать все единичные наборы и соединить их знаком дизъюнкции.
Таким образом,
f = x4’x3x2x1 + x4x3’x2’x1 + x4x3’x2x1’ + x4x3’x2x1 + x4x3x2’x1’ + x4x3x2’x1 + x4x3x2x1’ +
x4x3x2x1
Полученная форма функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), так как каждое логическое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов.
Очевидно, применяя основные законы булевой алгебры, мы могли бы аналитически уменьшить сложность полученного выражения. Но это наихудший способ минимизации булевых функций. Покажем это на примере вышеописанного
автомата для тайного голосования. Представим полученную функцию в виде логической суммы цифровых рабочих наборов и произведём группировку слагаемых
34
35
с целью минимизации результата на основе законов склеивания и идемпотентности:
f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111 =
= (0111+1111)+(1001+1011)+(1010+1011)+(1100+1101)+(1110+1111) =
= -111+10-1+101-+110-+111- = -111+10-1+(101-+111-)+(110-+111-) =
= -111+10-1+1-1-+11-- = x3x2x1+ x4x3’x1+ x4x2+ x4x3.
Как мы потом увидим, результат минимизации должен быть компактнее. Но
при аналитической минимизации придётся ввести неочевидную группировку:
(1101+1111).
f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111 =
=(0111+1111)+(1001+1011)+(1010+1011)+(1100+1101)+(1110+1111)+(1101+1111).=
-111+10-1+101-+110-+111-+11-1 = -111+(10-1+11-1)+(101-+111-)+(110-+111-) = 111+1--1+1-1-+11-- = x3x2x1+ x4x1+ x4x2+ x4x3 = =x3x2x1+ x4 (x1+ x2+ x3).
После длинных и неочевидных группировок удалось, наконец, получить
правильное решение в виде минимальной дизъюнктивной нормальной формы
(МДНФ). Даже для 4-х аргументов аналитический метод минимизации не рационален.
Однако не всегда исходное условие задано в виде таблицы истинности.
Задача 2.
Найти МДНФ функции, заданной в виде выражения:
M = (ax=bc)(bx=ac).
Решение.
Вначале необходимо выполнить операцию логического умножения, а затем
преобразовать полученную ДНФ в СДНФ. Далее по СДНФ заполняется таблица
истинности и следует традиционная минимизация с помощью карты Карно. Однако перемножать сложные выражения достаточно утомительно, поэтому заменим
эту операцию сложением на основе формулы де Моргана. Получим:
M’ = (ax bc) + ( bx ac) = ab’x+ac’x+a’bc+bcx’+a’bx+bc’x+acx’+ab’c.
Мы получили ДНФ инверсии логической функции М. Теперь необходимо
развернуть её в СДНФ. Выполняется эта процедура достаточно просто добавле35
36
нием недостающей переменной (в данном случае домножением на (c+c’), (b+b’)
или (x+x’)):
ab’x = ab’x(c+c’) = ab’cx+ab’c’x = 1011+1001,
ac’x = ac’x(b+b’) = abc’x+ab’c’x = 1101+1001,
a’bc = a’bc(x+x’) = a’bcx+a’bcx’ = 0111+0110 и т.д.
Против полученых кодов СДНФ в таблице истинности вписываем нули, а
для остальных кодов – единицы (см.Рис.1.8).
После занесения M’в карту Карно получим
M = a’b’+abcx+c’x’.
1.4.Минимизация полностью определённых булевых функций.
Существует несколько способов минимизации булевых функций. Прежде
всего, это метод Квайна-Мак-Класки, метод Блека-Порецкого и метод минимизации с помощью карт Карно или диаграмм Вейча [26]. Здесь будет подробно излагаться метод карт Карно, как самый удобный метод, позволяющий быстро решать
задачи минимизации булевых функций от достаточно большого числа аргументов
(6-12). При этом получается минимальная форма в базисе И, ИЛИ, НЕ.
Существуют карты Карно на 2 , 3 , 4 , 5 и 6 переменных[14,26]. Причем по36
37
следние стали использоваться достаточно недавно. На рисунке представлены
карты Карно для 2, 3, 4, 5 и 6 аргументов.
1.5.Карты Карно для 7, 8, 9 и 10 переменных.
Карты Карно позволяют решать задачу минимизации логических функций
элегантно и просто. Карно был не только сообразителен (кстати, за 30 лет я так и
не нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия), но и,
вероятно, весьма ленив: он считал, что его карты настолько прозрачны, что нет
резона описывать алгоритм работы с ними (вполне возможно, что Карно и не
представлял себе карт более, чем для 4-х переменных). Поэтому до сих пор неблагодарное человечество не научилось работать с этими картами. Алгоритм работы с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был
разработан автором более 30 лет назад, изложен в «Инженерных методах разработки цифровых устройств»(1977г.), «Русской логике для школьников» и «Русской
логике против классической», а также на вышеназванных сайтах.
До сих пор сохранилось мнение, что карты Карно для 7-10 переменных являются труднообозримыми, поэтому ни в какой литературе, кроме [13,14], нельзя
найти не только описания метода работы с картами Карно на большое количество
переменных, но и самих карт. Этим же обстоятельством объясняется тот факт,
что до недавнего времени в литературе редко встречались карты Карно даже для
37
38
6 переменных. Прежде, чем приступить к рассмотрению многоаргументных карт
Карно, покажем на простых примерах, как осуществляется соседнее кодирование
для произвольного числа переменных. Для одной переменной существует только
соседнее кодирование, так как она кодируется нулём и единицей. Чтобы перейти
к соседнему кодированию для двух переменных x2 и x1 предлагается следующая
операция. Напишем в один столбец коды для x1. Между нулём и единицей для
столбца x1 проведём ось, которую назовём осью симметрии 1-го ранга.
Проведём под этим столбцом ось симметрии, которую в дальнейшем будем
называть осью симметрии 2-го ранга, и продолжим столбец кодов для x1 симметрично относительно этой оси (симметрично относительно оси симметрии 2-го ранга разместятся и оси симметрии 1-го ранга).
Дополним одноразрядный код до двухразрядного, для чего выше оси симметрии впишем для x2 нули , а ниже - единицы.
38
39
Таким образом, мы осуществили соседнее кодирование для двух переменных. Чтобы построить соседние коды для трёх переменных, проведём под столбцами двухразрядных кодов ось симметрии 3-го ранга и продолжим эти столбцы
вниз симметрично относительно оси 3-го ранга, т.е. осуществим симметричное
отображение относительно оси 3-го ранга.
Дополним двухразрядные коды до трёхразрядных, вписав в третьем разряде нули выше оси Карно 3-го ранга и единицы ниже этой оси. Получим соседнее
кодирование для трёх переменных.
39
40
Следовательно, для того, чтобы осуществить соседнее кодирование для
(Р+1) переменных, если известно соседнее кодирование для Р переменных, необходимо выполнить следующий алгоритм:
1) под столбцом известного Р-разрядного соседнего кодирования провести
ось симметрии (Р+1)-го ранга ;
2) осуществить симметричное отображение относительно оси симметрии
(Р+1) - ранга всех Р-разрядных кодов и осей симметрии всех рангов до ранга Р
включительно ;
3) дополнить Р-разрядные коды слева одним разрядом, в котором записать
0 для всех кодов выше оси симметрии (Р+1)-го ранга и 1 для кодов, расположенных ниже оси симметрии (Р+1)-го ранга.
Соседнее кодирование карт Карно по вышеизложенному алгоритму производится как для вертикальных, так и для горизонтальных сторон карт. Примеры
кодирования карт Карно приведены на рисунке. На нём стрелками обозначены
оси симметрии, ранг которых отмечен цифрами, стоящими рядом со стрелками.
Покрытие всех единичных наборов булевой функции, размещённых в карте
40
41
Карно, прямоугольниками Карно не вызывает затруднений, если функция зависит
не более, чем от 6 переменных. Обозримость карт Карно для большего числа переменных усложняется, так как становится трудно определить, соответствует ли
данная фигура покрытия понятию прямоугольника Карно. Определение достоверности прямоугольника Карно основано на принципе симметрии, значительно повышающем обозримость карт Карно, и осуществляется с помощью приводимого
ниже алгоритма.
Принцип симметрии Лобанова
(Алгоритм проверки достоверности прямоугольника Карно)
1. Если предполагаемый прямоугольник Карно (ППК) охватывает одну ось
симметрии, либо не охватывает ни одной, то перейти к п.4.
2. Если ППК располагается по обе стороны от нескольких осей симметрии,
то он должен быть симметричен относительно той из этих осей, которая имеет
максимальный ранг, иначе данная фигура не является прямоугольником Карно
(ПК).
3. Разбить исходный ППК пополам. Считать любую его половину новым
ППК. Перейти к п.1.
4. Конец.
Этот алгоритм необходимо применить дважды: относительно горизонтальных и относительно вертикальных осей симметрии.
Проверим достоверность прямоугольника Карно А на вышеприведённом
рисунке. Прямоугольник А размещается по обе стороны от горизонтальной оси 4го ранга. Симметричность его очевидна. Верхняя половина фигуры А симметрична относительно горизонтальной оси симметрии 1-го ранга. Так как ППК охватывает одну единственную ось симметрии, то проверка фигуры покрытия А на соответствие принципу симметрии относительно горизонтальных осей закончена.
Приступаем к проверке принципа симметрии относительно вертикальных
осей симметрии. Фигура покрытия А размещается по обе стороны от вертикальной оси симметрии 4-го ранга и симметрична относительно этой оси. Левая половина фигуры А симметрична относительно оси симметрии 3-го ранга. После повторного деления левая половина фигуры покрытия оказалась симметричной относительно оси симметрии 2-го ранга. После 3-го деления ППК не охватывает ни
одной оси симметрии, на этом проверка достоверности прямоугольника Карно
заканчивается. Таким образом, фигура покрытия А действительно является пря41
42
моугольником Карно. Аналогично доказывается, что фигура покрытия В также является прямоугольником Карно. В результате минимизации прямоугольники А и В
будут описаны следующими формулами:
a = x7x6’x1’
b = x7’x6x2.
На рисунке даны примеры фигур, не являющихся прямоугольниками Карно.
Фигуры k, m и n не являются прямоугольниками Карно в силу нарушения принципа
симметрии. Фигура n не симметрична относительно горизонтальной оси симметрии 2-го ранга, фигура m не симметрична относительно вертикальной оси симметрии 3-го ранга. Фигура k симметрична относительно оси симметрии 3-го ранга,
но её половина не симметрична относительно оси 2-го ранга.
Поразительно, что за 30 лет никто из преподавателей и «учёных» так и не
освоил моего алгоритма. До сих пор плодятся неграмотные методы работы с картами Карно, в которых утверждается, что достаточно убедиться, что в фигуре покрытия 2n клеточек, чтобы считать её ПК. Фигура m на Рис. 1.11 содержит 8 клеточек, но не является прямоугольником Карно.
Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций.
1. Заполнить карту Карно нулями и единицами в соответствии с таблицей
истинности или заданным алгебраическим выражением.
2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством фигур покрытия, каждая из которых имеет максимальную площадь.
3. Проверить каждую фигуру покрытия на соответствие принципу симметрии Лобанова. В противном случае изменить контур фигуры покрытия в соответствии с указанным принципом симметрии так, чтобы она превратилась в прямоугольник Карно.
4. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта, причём
42
43
если в границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0 , так и 1 , то эта переменная не войдёт в импликанту.
Применим карту Карно для решения задачи 1. На рисунке дан единственный минимальный вариант решения (иногда их бывает несколько).
f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1
Эти выражения представляют собой пример дизъюнктивной нормальной
формы (ДНФ).
В некоторых случаях приведение результата минимизации к скобочной
форме позволяет уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых
для реализации булевой функции. Скобочная форма получается после вынесения
общих множителей за скобки и для f имеет вид:
f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1
Кстати, полученный результат f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1 наводит на печальные размышления. На русский язык эта формула переводится так: «Абитуриент
будет принят в учебное заведение, если за него проголосуют 3 члена комиссии
или председатель вместе хотя бы с одним членом комиссии». Но ведь этот ответ
мы могли бы получить и эвристически, на основе здравого смысла, просто немного подумав. Не пришлось бы рисовать таблицу истинности, заполнять карту Карно
и т.д. Формальное решение логических задач иногда превращает нас в «мартышек с арифмометром», отвращает от мышления. Аналогичная опасность грозит и
программистам, и микропрограммистам, т.е. схемотехникам.
В алгебре множеств также возможна минимизация логических функций. На
рисунке представлены скалярные диаграммы, каждый столбец которых помечен
соседними кодами. Фактически эти диаграммы представляют собой одномерную
карту Карно, поэтому здесь применимы все вышеприведенные алгоритмы минимизации.
43
44
Вполне естественно, что результат минимизации не изменился:
f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1
1.6. Оценка сложности реализации булевых функций
Приблизительную оценку сложности реализации логической функции можно
дать по ДНФ, подсчитав коэффициент сложности Кс, равный общему количеству
переменных, входящих в ДНФ, плюс количество импликант. Например, для СДНФ
к задаче 1 Кс = 32+8=40, а для отминимизированной функции Кс = 9+4=13.
Для того, чтобы перейти от логической функции (ЛФ) к электронной схеме,
построенной на интегральных микросхемах (ИМС) типа И-НЕ, достаточно преобразовать ЛФ по правилу де Моргана. Например:
f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1 = [(x4x1)’ & (x4x2)’ & (x4x3)’ & (x3x2x1)’]’.
Из полученного уравнения видно, что для реализации его в виде электронной схемы необходимы только элементы типа И-НЕ: 3 двухвходовых элемента(2И-НЕ), один трёхвходовой элемент(3И-НЕ) и один четырёхвходовой элемент(4И-НЕ). При этом нужно иметь в виду, что в одном корпусе ИМС могут быть
размещены 4 элемента И-НЕ, 3 элемента 3И-НЕ , 2 элемента 4И-НЕ или 1 элемент 8И-НЕ. В наше время отпала необходимость в реализации ЛФ на элементах
типа И-НЕ, поэтому можно сразу рисовать схему на элементах И и ИЛИ. Кроме
того, применение программируемых интегральных схем (ПЛИС) вообще снимает
проблему реализации: достаточно представить лишь готовую формулу ЛФ. Минимизация по таблицам истинности в САПР для ПЛИС зачастую оказывается неэффективной, поэтому советую иногда проверять результаты минимизации при
работе в САПР.
При использовании базиса И-НЕ обе функции примут вид, представленный
на рисунке. Из рисунка видно, что реализация функции по СДНФ потребовала 5
корпусов ИС, по минимальной форме - 1,58 корпуса ИС, по скобочной форме 1,16 корпуса. Таким образом, минимизация по карте Карно дала нам трёхкратный
выигрыш по корпусам ИС относительно реализации по СДНФ. Реализация по ско44
45
бочной форме уменьшила объём оборудования ещё на 30%. Кстати, оценка экономии по Кс даёт приблизительно такой же результат: 40/13 = 3,08.
1.8. Формы задания булевых функций.
Об одной форме задания булевых функций мы уже говорили - это таблица
истинности. Иногда применяется более компактная запись, использующая восьмеричные, десятичные или шестнадцатеричные эквиваленты наборов. Например,
набор x4x3x2’x1’ может быть представлен обобщённым кодом 1100 , десятичным
эквивалентом которого является число 12. Удобнее всего 8-чные и 16-чные коды.
Ниже приведена Паскаль-программа синтеза псевдослучайных кодов для
задания произвольных булевых функций. Эта программа использовалась автором
45
46
при проведении контрольных работ и выдаче домашних заданий в школе, а также
на семинарских занятиях в вузах.
program nabor;
uses crt;
type stroka = string[4];
txt = file of stroka;
var f1:txt;
x,y,i,j,n,m,b:integer;
st:stroka;
{-------------------------------------------------------------}
function intchar(m:integer):char;
var
ch:char;
begin
case m of
0..9: ch:=chr(m+ord('0'));
10..35: ch:=chr(ord('A')+m-10);
else
begin
writeln('Ошибка ввода');
halt;
end;
end{case};
intchar:=ch;
end;
{--------------------------------------------------------------}
function int10(a:longint;b:integer):string;
{Пеpевод целого 10-ичного числа в (2..36)-ичные системы}
{a,b - исх. 10-ичн. число и основание сист. счисл. соотв-енно}
var s:string;
m,i,j:integer;
chrarr:array[0..30] of string;
begin
i:=0;
for j:=0 to 30 do chrarr[j]:=' ';
46
47
repeat
m:=(a mod b);
chrarr[i]:=intchar(m);
a:=a div b;
i:=i+1;
until (a=0);
s:=chrarr[i];
for j:=i-1 downto 0 do
s:=s + chrarr[j];
int10:=s;
end;
{=================================================}
begin
{$I-} {Внутр.проверка правильности операции с файлом отключена}
writeln('**************************************************************');
writeln('*
Фоpмиpование файла случайных
writeln('* 2-pазpядных 4,8,16-ичных чисел для каpт Каpно
writeln('*
Pезультиpующий файл - rnd.txt
writeln('*
Лобанов В.И. 16-09-1997
*');
*');
*');
*');
writeln('**************************************************************');
writeln;
write('Введите длину файла n и количество пеpеменных m(4,6,8) ');
readln(n,m);
assign(f1,'rnd.txt');{Связь f1 с pезультиpующим файлом }
{$I+}
{Включить внутр.проверку}
rewrite(f1);
{Открыть файл для записи}
case m of
4: begin b:=4; x:=15; end;
6: begin b:=8; x:=63; end;
8: begin b:=16;x:=255; end;
end;{case}
randomize;
for i:=1 to n do
begin
y:=random(x);
47
48
st:=int10(y,b);
write(st:8);
write(f1,st);
end;
close(f1);
writeln;
writeln('Файл rnd.txt сфоpмиpован');
writeln('Нажмите клавишу пpобела');
repeat until keypressed;
end.
Задача 3.
Полностью определённая булева функция от 4-х переменных задана десятичными рабочими наборами: РН(4) = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.Число в скобках указывает количество переменных. Найти минимальную форму этой функции.
Решение.
Так как функция является полностью определённой, то запрещёнными
наборами ЗН(4) являются наборы 0 - 4, 12 - 15. Исходя из этой информации, составляем таблицу истинности и осуществляем минимизацию по карте Карно.
Таблица 4.
РН(4)
x4 x3 x2 x1
f
5
0
1
0
1
1
6
0
1
1
0
1
7
0
1
1
1
1
8
1
0
0
0
1
9
1
0
0
1
1
10
1
0
1
0
1
11
1
0
1
1
1
ЗН(4)
x4 x3 x2 x1
f
0
0
0
0
0
0
48
49
1
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
3
0
0
1
1
0
4
0
1
0
0
0
12
1
1
0
0
0
13
1
1
0
1
0
14
1
1
1
0
0
15
1
1
1
1
0
По карте Карно получаем результат:
f = x4x3’ + x4’x3(x1 + x2)
Задание 1.
Найти минимальную форму полностью определённых булевых функций,
заданных 10-чными рабочим наборами:
1-1) РН(4) = 0, 1, 5, 7 - 9, 13, 15. (Кс = 6)
1-2) РН(5) = 4, 6, 8, 10, 13, 17, 24, 30. (Кс = 28)
1-3) РН(6) = 1 - 8, 16 - 24, 32 - 40. (Кс = 32)
1-4) РН(7) = 7 - 15, 23 - 31, 39 - 47, 50 - 63. (Кс = )
1-5) РН(8) = 7 - 15, 100 - 132. (Кс = )
1.9. Минимизация недоопределённых булевых функций
Функция от n переменных называется недоопределённой, если она задана
не на всех 2n наборах.
Задача минимизации такой функции заключается в оптимальном
49
50
доопределении, которое позволило бы покрыть рабочие наборы минимальным количеством прямоугольников Карно, каждый из которых имел
бы максимальную площадь.
Этот алгоритм был опубликован автором в 1977 году, но до сих пор его не
освоили "логики".
Задача 4.
Найти минимальную форму функции y, представленной на рисунке 1.16.
Решение.
Функция задана только на 5 наборах. Добавим к трём рабочим наборам
ещё пять, а именно: 0000, 0011, 1000, 1011, 1010. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно, состоящий из 8 элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция: y = x3’.
В этом разделе изложен общепринятый подход к минимизации недоопределённых логических функций (НОЛФ). В электронике существуют дополнительные требования, связанные с противогоночной защитой цифрового устройства. В
соответствии с этими требованиями желательно взаимное перекрытие всех прямоугольников Карно.
1.10. Минимизация системы булевых функций.
Существуют достаточно сложные методы минимизации системы булевых
функций. Однако все эти методы не дают оптимального решения, поэтому при
инженерном синтезе комбинационных схем осуществляется раздельная минимизация функций, которая тоже не всегда обеспечивает минимальное решение, но
подкупает простотой.
50
51
Задача 5.
Построить преобразователь двоичного кода, получаемого на выходе делителя частоты на 12, в двоично-десятичный код. Условие задачи отражено в таблице. Делитель работает в коде 8-4-2-1. Такой делитель и преобразователь используются в электронных часах.
Решение.
Для каждой функции yi заполняем карту Карно, производим доопределение
и осуществляем минимизацию. Весь процесс отражён на рисунке.
В результате минимизации получаем систему функций:
51
52
y1 = x1;
y4 = x4x2’;
y2 = x4’x2;
y3 = x3;
y5 = x4x2 .
Задача 6.
Построить один разряд многоразрядного сумматора.
Решение.
Пусть ai и вi - значения i-ых разрядов слагаемых а и в , Pi и Si - значения переноса и суммы на выходе i-го разряда, Pi-1 - значение переноса на выходе
предыдущего разряда, тогда работу сумматора можно описать с помощью таблицы истинности.
Имеем систему полностью определённых булевых функций. Производим
раздельную минимизацию (см. рисунок).
Si = ai’вi’Pi-1 + ai’вiPi-1’ + aiвi’Pi-1’ + aiвiPi-1 = Pi-1(ai~вi) + Pi-1’(ai вi) =
= Pi-1 ~ (ai~вi).
Pi = вiPi-1 + aiPi-1 + aiвi
Для реализации лучше Pi = aiвi + Pi-1(ai~вi)’ , так как может быть использован
общий для Si и Pi сомножитель (аi~вi)’. Схема сумматора представлена на рисунке. Здесь же дано условное обозначение одноразрядного сумматора , где А и В -
52
53
одноразрядные слагаемые, P0 и P1 - входной и выходной переносы, S1 - сумма.
На этом же рисунке изображён двухразрядный сумматор, выполненный на
микросхеме 133ИМ2. Здесь А1, В1, А2, В2 - соответственно значения первых и
вторых разрядов слагаемых А и В; S1 и S2 - 1-ый и 2-ой разряды суммы; P0 входной перенос для первого разряда,
P2 - выходной перенос.
Задание 2.
2-1. Построить 2/(2-10) преобразователь для делителя частоты на 24 , работающего в коде 16-8-4-2-1. Этот преобразователь использовался на заре цифровой схемотехники в радиолюбительских электронных часах.
2-2. Построить 4-входовой сумматор для суммирования одноразрядных
53
54
двоичных чисел.
54
55
Глава вторая
МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ОБОБЩЁННЫХ
КОДОВ.
В СДНФ функции от n переменных каждый набор &xi можно заменить последовательностью нулей и единиц. Такая последовательность носит название
обобщённого кода.
Метод обобщённых кодов был разработан в конце 60-х годов на 21-й кафедре Академии им. Дзержинского д. т. н. Мавренковым Леонидом Трофимовичем. Дальнейшее развитие метода и доведение его до инженерных методик было
выполнено сотрудниками этой кафедры к.т.н. Кустенко А.С., к.т.н. Кузнецовым
Н.В. и к.т.н. Салтыковым Ю.А.(см. "Вопросы оборонной техники", 1972 г.). Этот
метод до сих пор является самым эффективным методом минимизации логических функций.
Я понимаю, что доходчиво изложить метод Мавренкова очень непросто.
Вполне допускаю, что не все читатели освоят этот метод. Для решения подавляющего большинства задач вполне достаточно знания карт Карно. Метод Мавренкова должен быть реализован на ЭВМ.
Например, набору x4x3’x2x1’ соответствует обобщённый код 1010. Для ДНФ
обобщённый код (ОК) имеет прочерки на местах отсутствующих переменных.
Например, для функции от 5 переменных набору x5x2’ соответствует ОК = 1--0-.
Методом обобщённых кодов удобно работать с функциями, заданными
таблицами истинности. Причём рабочим наборам соответствуют рабочие обобщённые коды (РОК), запрещённым наборам - запрещённые обобщённые коды
(ЗОК).
Введём понятие оценочной функции. Оценочная функция F0p(F1p) определяет количество нулей (единиц) для одного разряда всех РОК. Оценочная функция F0з(F1з) определяет количество нулей (единиц) для одного разряда всех ЗОК.
Функция вида F0 = F0р + F1з называется нулевой оценочной функцией.
Функция вида F1 = F1р + F0з называется единичной оценочной функцией.
В результате минимизации булевой функции получается минимальная ДНФ
(МДНФ), состоящая из простых импликант, т.е. таких импликант, дальнейшая минимизация которых не возможна. В методе обобщённых кодов простой импликан55
56
те соответствует минимальный обобщённый код (МОК). Будем говорить, что данный МОК покрывает определённый РОК, если нули и единицы в этом РОК стоят в
тех же разрядах, что и в данном МОК.
Сущность метода ОК заключается в том, чтобы по максимуму оценочных
функций выбрать такие переменные, которые чаще всего встречаются в РОК и
реже всего в ЗОК, и на их основе построить такую совокупность минимальных
обобщённых кодов, которая покрывала бы все РОК и не покрывала бы ни одного
ЗОК.
56
57
2.1. Общий алгоритм определения МОК.
Алгоритм 1.
1. Присвоить индексу МОК значение 1, т.е. i :=1.
2. Подсчитать по таблице истинности F0 и F1 для всех разрядов РОК и ЗОК.
3. В качестве базы МОКi (БМОКi) или дополнение к БМОКi выбрать переменную с максимальной F0 или F1 . Если F0 = max, то переменная входит в БМОКi
нулём. Если F1=max , то переменная входит в БМОКi единицей. Если несколько
переменных имеют максимальные оценочные функции, то выбрать в качестве
БМОК ту переменную, у которой соответствующая запрещённая оценочная функция (F0з, F1з) имеет минимальное значение; в противном случае в качестве БМОК
взять любую переменную с максимальной оценочной функцией.
4. Выписать все РОК и ЗОК, покрываемые базой МОКi. Если БМОКi не покрывает ни одного РОК или покрывает все ЗОК, то приравнять нулю оценочные
функции F0 и F1 для данного разряда и перейти к п.3. Если покрываемых ЗОК нет,
то перейти к п.6.
5. Подсчитать F0 и F1 для всех разрядов РОК и ЗОК, покрытых данной базой, кроме тех разрядов, которые образуют БМОКi . Присоединить к БМОКi переменную (дополнение к БМОКi) с максимальной оценочной функцией в соответствии с требованиями п.3. Считать этот ОК новой базой МОКi . Если новая БМОКi
покрывает столько же ЗОК, сколько и на предыдущем шаге, то приравнять нулю
оценочные функции для дополнения к БМОКi , отбросить присоединённую переменную и добавить к БМОКi переменную с максимальной оценочной функцией в
соответствии с требованиями п.3, считать полученный ОК новой БМОКi . Если
БМОКi покрывает хотя бы один ЗОК, перейти к п.4.
6. Принять в качестве МОКi базу МОКi.
7. Если все РОК из исходной таблицы истинности покрыты минимальными
обобщёнными кодами, перейти к п.9.
8. Выписать из исходной таблицы истинности все ЗОК и те РОК, которые не
покрыты минимальными обобщёнными кодами. Считать вновь полученную таблицу исходной таблицей истинности . Увеличить индекс МОК на единицу,
т.е. i
:=i+1. Перейти к п.2.
9. Конец.
Поясним положение пп.4 и 5 алгоритма 1. Пусть таблица истинности состо57
58
ит из одного РОК 1110 и трёх ЗОК: 1010, 0110 и 1111.
После подсчёта оценочных функций оказалось, что для второго разряда F0
= 3 = max. Если в соответствии с максимумом оценочной функции взять в качестве БМОК код --0- , то этот код не покроет ни одного РОК, что недопустимо, т.к.
БМОК обязательно должна покрыть хотя бы один РОК.
Несколько иная ситуация складывается в том случае, когда БМОК, найденная по максимуму оценочной функции, покрывает часть РОК и все ЗОК. Пусть
функция задана пятью РОК и одним ЗОК.
Если в соответствии с максимумом взять в качестве БМОК код --1-, то мы покроем ЗОК, что недопустимо. Поэтому в качестве БМОК можно,например, взять --1.
Проиллюстрируем выполнение алгоритма 1 примерами.
Задача 7.
Построить МДНФ булевой функции y, заданной таблицей, по методу ОК.
58
59
Решение .
1. Выбираем в качестве БМОК1 переменную x3 , т.е. БМОК1 = -1--. Эта
БМОК1 покрывает все РОК и один ЗОК .
2. Выписываем эти РОК и ЗОК (см. след. таблицу).
3. По максимальному F0 = 5 определяем вторую переменную базы МОК1.
Это переменная x1. Она входит в БМОК инверсным значением, т.е. БМОК1 = -1-0.
4. Так как БМОК1 = -1-0 не покрывает ни одного ЗОК и покрывает все РОК,
то минимизацию считаем законченной и принимаем МОК1 = БМОК1 = -1-0 , т.е.
y = x3x1’ .
Такой же результат получается и по карте Карно.
Задача 8.
Построить МДНФ функции, заданной таблицей.
59
60
Решение.
1. Принимаем БМОК1 по F1 = 10 (можно по F0 =10).
БМОК1 = --1----БМОК1 покрывает один ЗОК и все РОК.
2. Выписываем все РОК и ЗОК, покрываемые БМОК1. После подсчёта оценочных функций оказывается, что максимум F0 приходится на x1, поэтому
БМОК1 = --1----0
МОК1 = БМОК1 = --1----0
3.Непокрытым оказался только один РОК. Выписываем этот РОК и все ЗОК
в таблицу.
4. Находим БМОК2 = -----1-МОК2 = БМОК2 = -----1-Результат минимизации выглядит так:
y = x6x1’ + x3
Такой же результат получен и по карте Карно.
60
61
Задание 3.
Найти минимальную форму функций, указанных в задании 1, методом
обобщённых кодов.
2.2. Алгоритм соседнего определения базы МОК (алгоритм Мавренкова).
Алгоритм 1 требует раздельного размещения РОК и ЗОК. Приведение таблицы истинности к такому виду усложняет метод ОК.
Процесс минимизации методом ОК может быть существенно упрощен, если
определение БМОК производить с использованием приводимого ниже алгоритма.
Алгоритм 2.
1. Присвоить индексу МОК значение 1, т.е. i := 1 .
2. Присвоить индексу РОК значение 1 , т.е. j := 1.
3. Взять РОК из исходной таблицы истинности и, сравнивая его со всеми
ЗОК, определить переменные, по которым РОК может быть склеен с ЗОК. Эта совокупность переменных и будет базой МОКi . Перейти к п.7.
4. Если РОКj не имеет соседних ЗОК, то j := j + 1 и перейти к п.3. Если в
таблице истинности нет ни одного РОК, соседнего хотя бы с одним ЗОК, то перейти к п.5.
5. Подсчитать по таблице истинности F0 и F1 для всех разрядов.
6. В качестве базы МОКi (БМОКi) или дополнения к БМОКi выбрать переменную с максимальной F0 или F1. Если F0 = max, то переменная входит в БМОКi
нулём. Если F1 = max, то переменная входит в БМОКi единицей. Если несколько
переменных имеют одинаковые оценочные (максимальные) функции , то выбрать
в качестве БМОКi ту переменную , у которой соответствующая запрещённая оценочная функция ( F0з или F1з ) имеет минимальное значение, в противном случае в
качестве БМОКi взять любую переменную с максимальной оценочной функцией F0
или F1 .
7. Выписать РОК и ЗОК, покрываемые базой МОКi. Если БМОКi не покрывает ни одного РОК или покрывает все ЗОК, то приравнять нулю оценочные функции F0 и F1 для данного разряда и перейти к п.6. Если покрываемых ЗОК нет, то
перейти к п.9.
8. Подсчитать F0 и F1 для всех разрядов РОК и ЗОК, покрываемых данной
61
62
базой, кроме разрядов (переменных), образующих БМОКi. Присоединить к БМОКi
переменную (дополнение к БМОКi) с максимальной оценочной функцией в соответствии с требованиями п.6. Считать полученный ОК новой базой МОКi . Если
новая БМОКi покрывает столько же ЗОК, сколько и на предыдущем шаге, то приравнять нулю оценочные функции или дополнения к БМОКi , отбросить присоединённую переменную и добавить к БМОКi переменную с максимальной оценочной
функцией в соответствии с положениями п.6, считать полученный ОК новой
БМОКi. Если БМОКi покрывает хотя бы один ЗОК, перейти к п.7.
9. Принять в качестве МОКi базу МОКi .
10. Если все РОК из исходной таблицы истинности покрыты минимальными
обобщёнными кодами, перейти к п.12.
11. Выписать из исходной таблицы истинности все ЗОК и те РОК, которые
не покрыты минимальными обобщёнными кодами. Считать вновь полученную
таблицу исходной таблицей истинности. Увеличить индекс МОК на единицу, т.е. i
:= i+1. Перейти к п.2.
12. Конец.
Задача 9.
Произвести минимизацию булевой функции, заданной таблицей.
Решение.
1. По алгоритму 2 пп. 1-3 для РОК2 находим соседний ЗОК, т.е. находим
62
63
БМОК1 = ---0----.
2. По алгоритму 2 пп. 7-9 находим
МОК1 = ---0--0Так как МОК1 покрывает все РОК, то в соответствии с п.10 алгоритма 2 получаем
y = x5’x2’
Сущность алгоритма 2 заключается в том, что отыскиваются в первую очередь « необходимые « МОК, т.е. МОК для тех РОК, развязывание которых с ЗОК
максимально затруднено, так как они развязываются только по тем переменным,
по которым возможно склеивание данного РОК со всеми ЗОК. Под развязыванием
понимается процесс выявления тех переменных в РОК, которые не встречаются в
ЗОК.
Задача 10.
Произвести минимизацию булевой функции, заданной таблицей.
Решение .
1. По алгоритму 2 пп.1-3 для РОК1 находим
БМОК1 = ----02. По алгоритму 2 пп.7, 8 строим таблицу.
63
64
3. По алгоритму 2 п.8 из таблицы находим БМОК1 = ---004. По алгоритму 2 п.9
МОК1 = БМОК1 = ---005. По алгоритму 2 для непокрытых РОК (для РОК3) находим
БМОК2 = -1----.
6. По алгоритму 2 пп.7, 8 , 11 строим таблицу.
7. По алгоритму 2 п.9 находим МОК2
МОК2 = 01---8. По алгоритму 2 пп.7, 8, 11 строим следующую таблицу .
9. По алгоритму 2 п.3 находим БМОК3
БМОК3 = ----110. По алгоритму 2 пп. 7, 8, 11 строим таблицу.
64
65
11. Из таблицы по алгоритму 2 п.8 находим
БМОК3 = ----11
12. По алгоритму 2 пп. 7, 8 строим следующую таблицу.
13. По таблице 17 определяем
МОК3 = -1--11
Таким образом ,
y = x3’x2’ + x5x2x1 + x6’x5
На рисунке представлено решение задачи 10 с помощью карты Карно .
Функция y представлена в виде МДНФ.
Из рисунка видно, что результаты минимизации по карте Карно и по методу
обобщённых кодов совпадают.
65
66
Задача 10а.
Произвести минимизацию логической функции, заданной таблицей истинности.
66
67
Т.к. РОК3 и ЗОК1 являются соседними по x7,то в качестве БМОК1 выбираем
х7’,не обращая внимания на абсолютный максимум F0 для х8.БМОК1 покрывает
РОК1 - РОК5 и ЗОК3,ЗОК5.Подсчитаем оценочные функции для выбора дополнения к БМОК1 и получения МОК1.
Дополнение х4’ могло бы привести нас к МДНФ, поэтому мы выберем эквивалентное по оценочной функции дополнение х1,чтобы убедиться в некоторых
недостатках метода. В результате получим МОК1 = x7’x1. Поскольку МОК1 покрывает РОК с номерами 1,3 - 5,то стартовая таблица для синтеза БМОК2 выглядит
так:
Исходя из этой таблицы, получаем БМОК2 = x8’. Для нахождения МОК2
строим следующую таблицу.
67
68
Отсюда получаем МОК2 = х8’x5’, который дополнительно покрывает РОК2 и
РОК6. Найдём БМОК3.
F0 для х3 имеет максимальное значение, но использовать x3’ в качестве
БМОК3 нельзя, поскольку единственный РОК не имеет нуля в данном разряде.
Принимаем БМОК3 = x8’. Строим очередную таблицу для синтеза последнего
МОК.
Из последней таблицы получаем МОК3 = x8’x7x4.Таким образом, мы получили тупиковую ДНФ
y = x8’x7x4 + х8’x5’ + x7’x1.
68
69
По карте Карно получена минимальная ДНФ
y =х8’x5’ + x7x1’ + x7’x4’.
Т.е. высокая эффективность метода обобщённых кодов не всегда гарантирует получение МДНФ. Кроме того, если рассмотреть недоопределённую логическую функцию, заданную 8-ичными наборами: РОК – 67,73,63 и ЗОК – 37,65,66, то
окажется, что по первому алгоритму получим избыточное решение. В этом случае
y = x3’ + x6x2x1. При минимизации по второму алгоритму y = x6x2x1.Таким образом,
алгоритм 2 не только менее трудоёмок, но и более эффективен.
Проверка результата минимизации булевых функций.
Результат минимизации булевой функции является корректным, если выполняются следующие условия:
1. Совокупность МОК покрывает все РОК .
2. Совокупность МОК не покрывает ни одного ЗОК.
2.3. Выводы.
Далеко не всегда по методу ОК может быть получена МДНФ. Чаще всего в
результате минимизации удаётся получить одну из тупиковых ДНФ. В этом недостаток метода. Алгоритм 2 по сравнению с алгоритмом 1 даёт более компактный
результат, т.е. вероятность получения МДНФ по алгоритму 2 выше, чем по алгоритму 1.
Достоинствами метода являются простота и высокая скорость получения
результата. Особенно этот метод эффективен для минимизации булевых функций
от большого числа переменных (n8). Вполне приемлемым даже без применения
ЦВМ является число наборов, на которых задана функция , в пределах 1000.
Например , 6 булевых функций от 12 переменных, определённые на 320 наборах
были отминимизированы вручную в течение 30 минут. Разумеется, задача такой
сложности может быть решена на ЭВМ. Однако даже только на ввод с последующей проверкой 320 наборов для 6 функций потребуется значительно больше
времени, чем на ручное решение. Эффективность данного алгоритма выше всех
69
70
других, известных автору.
В соответствии с алгоритмом 2 в 1974г. была написана программа, которая
позволяла минимизировать булевы функции от 36 переменных, определённые на
2000 наборах. Программа осуществляла контроль правильности ввода исходных
массивов. Если функция введена неверно, то выводились на печать неправильно
введённые РОК или ЗОК, а программа переходила к минимизации следующей
функции. Время, затраченное ЦВМ М-220 на минимизацию булевой функции от 36
переменных, определённой на 1000 наборах, составило 6 минут. В 1985г. на языке Паскаль эта программа была переписана для ПЭВМ ДВК-2М. Она обрабатывала 16 функций от 32 переменных. Количество наборов достигало 2000.
Вопрос о минимизации булевых функций вручную или с использованием
ПЭВМ решается в зависимости от количества наборов, на которых задана функция, количества соседних РОК и ЗОК, а также от частоты чередования РОК и ЗОК
в исходной таблице истинности. Чем больше количество наборов, задающих
функцию, чем меньше соседних РОК и ЗОК, чем выше частота чередования РОК
и ЗОК, тем предпочтительнее использование ЭВМ. Например, систему из 7 булевых функций от 18 переменных, заданную на 80 наборах, оказалось рациональнее решать с помощью ЭВМ, так как в этой системе не нашлось ни одной соседней пары РОК и ЗОК, а частота чередования РОК и ЗОК для отдельных функций
достигала 40. Однако за 40 лет инженерной практики разработки цифровых
устройств и систем автор лишь трижды обращался к услугам ЭВМ при решении
задач минимизации булевых функций.
70
71
Задание 4.
Методом обобщённых кодов найти минимальное представление функций,
заданных на рабочих и запрещённых наборах.
4-1) РН(4): 0, 4, 6, 10; ЗН(4): 7, 13. Ответ: Кс = 1
4-2) РН(5): 4, 2, 29, 23; ЗН(5): 3, 21. Ответ: Кс = 7 = (1+1+2)+3
4-3) РН(6): 0, 9, 10, 13, 57, 63, 36; ЗН(6): 27, 29, 18, 44, 33.
Ответ: Кс = 9 = (2+2+2)+3
4-4) РН(6): 1, 4, 14, 21, 35, 62; ЗН(6): 3, 7, 30, 9.
Ответ: Кс = 8 = (2+2+1)+3
4-5) РН(8): 16, 49, 35, 41, 253, 167, 158; ЗН(8): 99, 125, 90, 249, 1
Ответ: Кс = 9 = (2+2+2)+3
Примечание: Кс - коэффициент сложности булевой функции.
71
72
«Читай и слушай для собственного развлечения рассказы
о хитроумных системах,
вникай в интересные вопросы, поставленные там со всей изощрённостью, какой
только может наделить их пылкая фантазия, но
смотри на всё это только как на
упражнения для ума и возвращайся каждый
раз к согласию со здравым смыслом...»
(Честерфилд «Письма к сыну»)
ЧАСТЬ 2
Математическая логика суждений и предикатов.
Глава первая
Всё, о чем далее будет идти речь (комплементарная логика, решение логических уравнений, русская
силлогистика, силлогистика Аристотеля-Жергонна,
общеразговорная силлогистика и т. д.) разработано в России и не известно мировой науке. Поэтому призываю всех читателей воспринимать мои методы крайне
критически и обязательно проверять их с точки зрения здравого смысла. Весьма
показателен пример некритического отношения к теории относительности (ТО),
которую к 1998г. немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с
пьедестала почёта. "Тысячи" экспериментов в защиту нечистоплотного Эйнштейна
оказались фиктивными. Из 5 реальных попыток не было ни одной удачной.
Великие русские учёные Н.Е.Жуковский и К.Э.Циолковский категорически отрицали ТО Эйнштейна. В СССР ещё в 40-е и 60-е годы также были выступления и
публикации учёных, критиковавших
ТО. Наиболее ярко отношение советской
науки к ТО выражено в работах В. А. Ацюковского "Логические и экспериментальные основы теории относительности" – М.: МПИ, 1990 – 56с., «Блеск и нищета
теории относительности Эйнштейна» - г. Жуковский: Петит, 2000 – 17с., в статье
В.Булавина «Гений всех времён» (см. Internet) и монографии В.И.Бояринцева
72
73
«Русские и нерусские учёные».
Аналогичные высказывания выдающихся учёных приводит талантливый
физик Канарёв Ф.М. на сайте http://www.micro-world.su/:
«Русский академик А. А. Логунов в своих лекциях по теории относительности и
гравитации, убедительно показал, что в Общей Теории Относительности (ОТО)
А. Эйнштейна отсутствуют законы сохранения энергии и импульса, а инертная масса, определенная в ней, не имеет никакого физического смысла. Все
это, по его мнению, ставит под сомнение существование таких объектов, как
Черные дыры и таких явлений, как Большой взрыв, в результате которого,
как считают сторонники ОТО, образовалась Вселенная.
Поэтому не случайно французский ученый Л. Бриллюэн отметил, что «...Общая
Теория Относительности - блестящий пример великолепной математической
теории, построенной на песке и ведущей ко все большему нагромождению математики в космологии (типичный пример научной фантастики)».
А вот высказывание лауреата Нобелевской премии академика - астрофизика Ханнеса Алвена. Называя космологическую теорию расширяющейся Вселенной, которая следует из ОТО, мифом, он продолжает: «Но чем меньше существует доказательств, тем более фанатичной делается вера в этот миф. Как Вам известно, эта космологическая теория представляет собой верх абсурда - она
утверждает, что Вселенная возникла в некий определенный момент подобно
взорвавшейся атомной бомбе, имеющей размеры (более или менее) с булавочную головку. Похоже на то, что в теперешней интеллектуальной обстановке
огромным преимуществом теории "Большого взрыва" служит то, что она является оскорблением здравого смысла: "верю, ибо это абсурдно"! Когда ученые
сражаются против астрологических бессмыслиц вне стен "Храма науки", неплохо было бы припомнить, что в самих этих стенах подчас культивируется
еще худшая бессмыслица»
Российский ученый В.А. Ацюковский – наш современник, скрупулезно проанализировал экспериментальные основы эйнштейновских теорий относительности и
пришел к такому выводу: "Анализ результатов экспериментов, проведенных
различными исследователями в целях проверки положений СТО и ОТО, показал, что экспериментов, в которых получены положительные и однозначно
интерпретируемые результаты, подтверждающие положения и выводы
теорий относительности А. Эйнштейна, не существует".
Во всех этих работах подчёркивается математическое и физическое убожество «гения всех времён и одного народа».
Прежде, чем приступить к рассмотрению базовых проблем, стоит совершить небольшой экскурс в историю логики. Эта наука как основополагающий раздел философии появилась в конце второго тысячелетия до н. э. в Индии. Затем
она перекочевала в Китай, где в 479-381гг до н. э. наблюдался период расцвета
логики и философии, связанный с учением Мо Цзы.
Наибольшего развития логика достигает в Древней Греции. Главные её до73
74
стижения связываются с именами Сократа(470-399гг. до н. э.), Платона(428-348 гг.
до н. э.), Аристотеля(384-322гг. до н. э.), стоиков Зенона из Китиона (336-264гг. до
н. э.) и Хризиппа(280-205гг. до н. э.), представившего теорию материальной импликации. Следует хотя бы просто перечислить имена ученых, уделявших самое
пристальное внимание логике[49].
Ибн-Сина (Авиценна) – среднеазиатский мыслитель с широким кругом интересов, род. в 980г. в Афшане, возле Бухары, умер в 1037г. Ему уже была известна формула импликации (возможно, из работ стоиков).
Михаил Псёлл – византийский логик (1018-1096гг.), автор «квадрата Псёлла».
Роджер Бэкон – английский философ(1214-1294гг.), считал в частности, что
«простой опыт учит лучше всякого силлогизма», т. е. опирался на логику здравого
смысла.
Уильям Оккам – английский философ, логик(1300-1349гг.). Ввёл троичную
логику за много веков до Лукасевича. Автор «принципа простоты» ("бритва Оккама").
Фрэнсис Бэкон (1561—1626), английский философ, родоначальник английского материализма. Лорд-канцлер при короле Якове I. В 1605 г. опубликовал
свой трактат “Распространение образования”, в котором призывал положить в
основу образования эксперименты и наблюдения. В его главном труде - “Новый
органон” (1620 г.) - был намечен научный метод, названный им индуктивным, для
увеличения власти человека над природой. Он резко критиковал предложенный
ещё Аристотелем метод установления истины из априорных предположений и
предлагал производить множество опытов, которые способствуют ускорению темпа и строгости научного открытия. Утверждал, что логика Аристотеля не просто
бесполезна, но вредна.
Антуан Арно(1612-1694) и Пьер Николь(1625-1695) – французские логики,
авторы книги «Логика Пор-Рояля» (монастырь во Франции), последователи Декарта.
Арнольд Гейлинкс – бельгийский логик и философ(1625-1669гг). Опроверг
за несколько веков до официального признания общезначимость модуса
DARAPTI для 3-й фигуры силлогизмов. Доказал правила Де Моргана:
1. ab a+b
2. (a b)’ (b’ a’)’
3. (bc)(ac)’ (ab)’
74
75
4. (ab)(ac)’ (bc)’
5. ab’ (ab)’
Готфрид Вильгельм Лейбниц – немецкий философ, математик, физик(16461716). Основоположник символической логики. Впервые чётко сформулировал
задачу математизации логики. Задолго до Эйлера использовал «круги Эйлера».
Впервые поставил «техническое задание» для силлогистики. Сформулировал и
доказал теоремы:
1. Aab Aac Aa(bc).
2. Aab Acd A(ac)(bd).
3. A(ab)a, т. е. все (ab) суть а.
4. A(ab)b, т. е. все (ab) суть b.
Якоб и Иоганн Бернулли(1654-1705 и 1667-1748) – ученики Лейбница. Ввели
операцию вычитания множеств.
Леонард Эйлер – математик, физик, астроном(1707-1783). Родился в
Швейцарии, но вся научная жизнь прошла в России. Создатель «кругов Эйлера»,
основы формальной силлогистики.
Иоганн Генрих Ламберт – швейцарский логик(1728-1777), последователь
Лейбница. Предвосхитил ряд работ Джорджа Буля (разложение функции на элементарные составляющие), ввёл скалярные диаграммы для геометрической интерпретации силлогизмов, но не довёл их до практического применения для анализа и синтеза силлогизмов.
Ж.. Д. Жергонн – французский астроном и логик(1771-1859). Впервые зафиксировал с помощью кругов Эйлера силлогистический базис Аристотеля.
Август Де Морган – шотландский логик(1806-1871), автор логики отношений, «правил Де Моргана».
Джордж Буль – английский логик(1815-1864),создатель Булевой алгебры.
Отец Этель Лилиан Войнич (автор романа «Овод»).
Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907) – профессор Казанского университета. Он опередил не только своё время, но и Бертрана Рассела. П.Эренфест
сказал, что Порецкий намного упростил приёмы решения логических уравнений по
сравнению с Дж. Булем и Шредером. Могу добавить, что русский логик впервые в
мире дал аналитическое представление силлогистических функторов Axy и Exy.
Этого не заметили ни зарубежные логики, ни, что самое обидное, отечественные
учёные. В течение 128 лет научные результаты великого русского логика не были
востребованы наукой, которая до сих пор прозябает в невежестве. Основопола75
76
гающие результаты Порецкого до сих пор не освоены отечественной и мировой
наукой. Аналитическая силлогистика зародилась в 1884 году в России, в стенах
Казанского университета, но до сих пор не вошла в учебники логики.
Николай Александрович Васильев(1880-1940) – советский учёный, автор
монографии «О частных суждениях», в которой впервые заявляет, что силлогистика Аристотеля не имеет никакого отношения к здравому смыслу. Сформулировал требования к силлогистическому базису здравого смысла. Он как и его отец,
А.В.Васильев, «наставник» Порецкого, не понял достижений гениального логика.
Из современных учёных, пытающихся решить фундаментальные проблемы
логики, необходимо в первую очередь отметить Брусенцова Н. П. [3, 4], Светлова
В. А., создавшего элегантные методы синтеза силлогизмов [47]. Особенно отрадно, что наряду с изяществом решения проблем силлогистики Светлов В.А. насытил свой труд огромным количеством примеров. Это признак высокого профессионализма.
Глава вторая
2.1.Законы логики суждений
Автор, излагая данный материал, хочет показать всю простоту аналитических выводов данных законов, следовательно, и их никчёмность: незачем заучивать десятки правил, если доказательство столь примитивно. Всё дело в том, что
в классической логике доказательство построено на громоздком аппарате таблиц
истинности и словесной казуистике[9].Трудно назвать грамотным такое решение
проблемы. Инженерная логика использует более совершенный инструмент для
анализа и синтеза законов[26].
Алгоритм «Импульс» анализа законов логики суждений.
Алгоритм анализа законов логики суждений чрезвычайно прост:
1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x y = x’ + y;
2)привести полученное выражение к ДНФ;
3)занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами –
это свидетельствует о истинности проверяемого закона или суждения.
76
77
Воспользуемся перечнем законов из [9] для апробации алгоритма «Импульс».
1.Закон исключённого третьего: p или неверно, что p.
В переводе на язык логики этот закон выглядит так: p + p’ = 1.Это тривиальное равенство, не требующее доказательства.
2.Закон непротиворечивости: неверно, что [р и не р].
На языке логики: p & p’ = 0. Это равенство верно по определению.
3.Закон двойного отрицания: если [не (не р)], то р.
Необходимо доказать, что (p’)’ p = 1.Доказательство основано на двойном отрицании и импликации: (p’)’ p = p p = p’ + p = 1.
4.Обратный закон двойного отрицания: если р, то [не (не р)].
p (p’)’= p’ + p = 1.
5.Закон контрапозиции: если(если р, то q), то [если(не q), то(не р)].
(p q) (q’ p’) = (p’ + q) (q + p’) = pq’ + p’ + q = 1.
6.Законы, характеризующие конъюнкцию.
6.1.Если (р и q), то (q и р): pq qp = (pq)’ + pq = 1.
6.2.Если (р и q),то р: (pq) p = (pq)’ + p = p’ + q’ + p = 1.
6.3.Если р и q, то q: (pq) q = (pq)’ + q = p’ + q’ + q = 1.
6.4.Если р, то [если q, то (p и q)]: p (q pq) = p’ + q’ + pq = 1.
7.Законы импликативных силлогизмов.
7.1.Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )].
[(p q)(p r)] (p qr) = [(p’ + q)(p’ + r)]’ + p’ + qr =
= (p’+qr)’+p’+qr = 1.
7.2.Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].
[(pq)(rs)] (prqs) = [(p’+q)(r’+s)]’+p’+r’+qs = pq’+rs’+p’+r’+qs = 1.
7.3.Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).
[(pq)(qr)] (pr) = pq’+qr’+p’+r = 1.
7.4.Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q].
[(pq)(rq)] [(p+r) q] = pq’+rq’+p’r’+q = 1.
8.Законы, характеризующие дизъюнкцию.
8.1.Если (р или q), то (q или p).
(p+q) (q+p) = (p+q)’+(p+q) = 1.
8.2.Если (р или q), то (если не р, то q).
(p+q) (p’q) = p’q’+p+q = 1.
77
78
Как видит читатель, такие законы можно «изобретать» и доказывать десятками. Во всех выводах применялась аналитическая минимизация логических
функций. Однако значительно проще для этой цели использовать карты Карно.
Безусловно, доказательство истинности того или иного суждения, закона,
правила и т.п. весьма важно, но значительно интереснее и важнее выяснение
всех возможных заключений, которые могут последовать из заданных посылок.
Для этой цели служит алгоритм «Импульс-С».
Алгоритм «Импульс-С» синтеза импликативного заключения.
Алгоритм инженерного синтеза импликативных силлогизмов по заданным
посылкам немногим отличается от предыдущего алгоритма:
1)найти полную единицу системы М посылок, заменив импликацию по формуле x y = x’ + y;
2)привести полученное выражение к ДНФ;
3)подставляя в полученное выражение необходимые аргументы и отбрасывая лишние, т.е. заменяя их логической единицей, выводим соответствующие заключения как функции интересующих нас аргументов. Если в результате подстановки будет получена единица, то заключение является частноутвердительным.
Пример.
Пусть известно, что [(pq)(qr)]. Найти заключение f(q,r).
Решение.
По алгоритму «Импульс-С» имеем:
1. M = (pq)(qr) = (p’+q)(q’+r).
2. M = (p’+q)(q’+r) = p’q’+p’r+qr = p’q’+qr.
3. f(q,r) = M(q,r) = q’+qr = q’+r = q r.
Задача 2.1.1.
Рассмотрим задачу из [7] о крокодиле. Когда крокодил похитил ребёнка одной египтянки и та попросила его не есть ребёнка, то крокодил ответил: " Я верну
тебе ребёнка, если ты отгадаешь, что я с ним сделаю". Найти ответ египтянки.
78
79
Решение.
В [7] даётся пространное, на 5 страницах, словесное толкование различных
ситуаций. Решим эту задачу аналитически.
Обозначим через х - "крокодил съест ребёнка", через у - ответ египтянки: "
Ты съешь ребёнка". Тогда условие крокодила будет описано следующей формулой:
[(xy)x'][(xy)x] = ((xy)+x’)((xy)+x) =
= (xy'+x'y+x')(x'y'+xy+x) = (x'+y')(x+y') = y'.
Следовательно, условие крокодила непротиворечиво лишь при ответе: " Ты
не съешь ребёнка". Значит, египтянка должна ответить: " Ты съешь ребёнка" тогда крокодил умрёт от противоречий.
Аналогично решается задача о путнике на мосту, которого за правдивый
ответ должны повесить, а за ложный - утопить.
Задача 2.1.2.
В тёмной комнате находятся 3 мудреца. На столе лежат 2 белых и 3 чёрных шляпы. Каждый мудрец надевает наугад одну из шляп, затем все "кильватерной колонной" выходят в освещённое помещение. 3-й мудрец видит шляпы 1го и 2-го мудрецов, 2-й - только шляпу 1-го. На вопрос о цвете шляп 3-й и 2-й мудрец ответили: " Не знаю". Что сказал 1-й мудрец ?
Решение.
Пусть х1, х2, х3 означают, что чёрные шляпы надеты соответственно 1-м, 2-м
и 3-м мудрецами. Ответ 3-го мудреца означает, что на 1-м и 2-м - не белые шляпы, что соответствует выражению (х1' х2')'. Если бы на первом мудреце была белая шляпа, то 2-й по ответу 3-го определил бы, что на нём чёрная шляпа. Т. к. 2-й
мудрец не нашёл ответа, то имеем (х1')' = х1. В итоге получим: (х1' х2')'х1 = (х1
+
х2)х1 = х1. Значит, на первом мудреце чёрная шляпа, а на втором могла быть любая шляпа.
Задача 2.1.3.
В [48,стр. 432] приведена аксиоматическая система Фреге. Непонятно, почему эта система носит название аксиоматической. Аксиома – это исходное по79
80
ложение, принимаемое без доказательств при дедуктивном построении теории
(“Толковый математический словарь” – М.: Рус. яз., 1989 – 244с.). Докажем все
“аксиомы” с помощью алгоритма “Импульс”.
1. M = a (b a) = a’+b’+a = 1
2. M = (c (ab)) ((ca) (cb)) = (c’+a’+b) (a’c+c’+b) =
(c’+a’+b) (a’+c’+b) = 1
3. M = (a(bc)) (b(ac)) = (a’+b’+c) (b’+a’+c) = 1
4. M = (ab) (b’ a’) = (a’+b) (a’+b) = 1
5. a’’ a = a’+a = 1
6. a a’’ = a’+a = 1
Таким образом, мы подтвердили корректность всех “аксиом “ Фреге. Аксиомами их считать можно лишь при полном незнании математической логики.
Арнольд Гейлинкс – бельгийский логик и философ(1625-1669гг) доказал
правила де Моргана:
6. ab a+b
7. (a b)’ (b’ a’)’
8. (bc)(ac)’ (ab)’
9. (ab)(ac)’ (bc)’
10. ab’ (ab)’
Докажем эти правила современными методами (алгоритм “Импульс”).
ab a+b = (ab)'+a+b = a'+b'+a+b = 1
(a b)' (b'a')' = (a b)+(b+a')' = (a'+b)+(a'+b)' = 1
(bc)(ac)' (ab)' = bc'+a'+c+ab' = 1
(ab)(ac)' (bc)' = ab'+a'+c+bc' = 1
ab' (ab)' = (a'+b)+(a'+b)' = 1
Позднеримский философ Боэций (480-524) [48, стр. 100] выявил следующее соотношение: (x y) (x’y’ xy x’y). Классическая логика доказывает этот
закон с помощью таблиц истинности, что и громоздко, и непрофессионально. С
помощью РЛ доказательство укладывается в одну строчку.
(x y) (x’y’ xy x’y) = (x’+y) [(x’y’+xy) x’y] = (x’+y) (x’+y).
Задача 2.1.4.
80
81
В
[48,стр.284]
приводится
закон
замкнутых
(гауберовых)
систем:
(ab)(cd)(ef)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e) (a’b’)(c’d’)(e’f’).
Проверим его состоятельность.
Решение.
По алгоритму “Импульс” получим следующие соотношения.
М
=
(ab)(cd)(ef)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e)
(a’b’)(c’d’)(e’f’)
=
=
(a’+b)(c’+d)(e’+f)(b’+d’)(d’+f’)(f’+b’)(a+c+e) (a+b’)(c+d’)(e+f’) =
= ab’+cd’+ef’+bd+df+bf+a’c’e’+ad’e+ad’f’+b’d’e+b’d’f’+b’ce+b’cf’+acf’ = 1.
Таким образом, мы доказали истинность закона. Однако проверим его физическую реализуемость. Ведь совершенно ясно, что (ab) (a’b’) 1. Поэтому проверим, какие выводы на самом деле следуют из заданных посылок. По алгоритму “Импульс - C” найдём полную единицу системы, а из неё сможем получить любые интересующие нас функции от необходимых аргументов.
М=(ab)(cd)(ef)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e)=
(a’+b)(c’+d)(e’+f)(b’+d’)(d’+f’)(f’+b’)(a+c+e)
M’ = ab’+cd’+ef’+bd+df+bf+a’c’e’
После занесения M’ в карту Карно и заполнения оставшихся пустыми клеток
карты единицами получим:
M = a’b’c’d’ef+a’b’cde’f’+abc’d’e’f’, откуда
M(a,b) = a’b’+ab = (a b)
M(c,d) = c’d’+cd = (c d)
M(e,f) = e’f’+ef = (e f)
Это отнюдь не согласуется с выводами Гаубера. Для большей наглядности
проиллюстрируем закон замкнутых систем скалярными диаграммами. В формуле
полной единицы М мы получили три набора. Изобразим эти наборы в виде скаляров: М = 000011+001100+110000. Каждая единица набора изображается утолщённой линией.
81
82
Графические результаты подтверждают наши аналитические выкладки.
Функции импликации и равнозначности не идентичны. Как будет показано в дальнейшем, импликация аналогична силлогистическому общеутвердительному функтору. Поэтому результаты Гаубера некорректны. Суть его ошибки заключается в
том, что были заданы очень жёсткие исходные условия, которые могут быть выполнены лишь с некоторыми ограничениями. Исправим ошибки Гаубера – получим:
Закон замкнутых систем по Лобанову:
(ab)(cd)(ef)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e) (a’b’)(c’d’)(e’f’) или в более компактном виде с испльзованием силлогистических функторов
Аналогично выведем и импликативные законы логического умножения и
сложения, не известные мировой классической логике. Следовательно, их
резонно назвать Импликативными законами Лобанова. Простота алгоритмов
«Импульс» и «Импульс-С» превращает дедуктивную логику в индуктивную.
Математическое доказательство импликативных законов настолько просто,
прозрачно и примитивно, что нет никакого резона запоминать не только их, но и
подавляющее большинство остальных логических законов. Школьники и студенты
ни в коем случае не должны зубрить любые законы, но обязаны при необходимо82
83
сти уметь их выводить. Зубрёжка унижает Человека.
Импликативные законы Лобанова.
83
84
84
85
85
86
86
87
87
88
Рассмотрим некоторые частные случаи импликативных законов. Попытаемся
найти условия, при которых возможно сокращение общих множителей или исключение общих слагаемых.
(ac=bc)(a→c)(b→c) → (a=b) = (ac=bc)(a’+c)(b’+c) → (a=b)=(ac≠bc)+ac’+bc’+(a=b) =
= ac(bc)+(ac)’bc+ac’+bc’+ab+a’b’ = 1.
((a+c)=(b+c))(a→c’)(b→c’) → (a=b) = ((a+c)≠(b+c))+ac+bc+(a=b) =
=(a+c)(b+c)’+(a+c)’(b+c)+ ac+bc+(a=b) = ab’c’+a’bc’+ac+bc+ab+a’b’ = 1.
Нам удалось найти такие условия. Смысл этих условий станет понятным при изучении силлогистики, когда мы докажем, что (x → y) ≡ Axy.
2.2. Практикум по логике суждений.
2.2.1. Задачи Катречко С.Л.
Прекрасным примером применения логики суждений для доказательства
законов в различных областях науки являются задачи, предложенные Сергеем
Леонидовичем Катречко[8]. Речь идёт о таких науках как математика, физика, химия, грамматика, богословие и др. Катречко решает эти задачи на основе рассуж88
89
дений. Такой подход развивает мышление, но он беспомощен с точки зрения математической логики. Зачем напрягать интеллект, когда прекрасно работают
формальные аналитические и графические методы Русской логики. Алгоритм
“Импульс” существенно упрощает выводы.
Задача 2.2.1.
Если равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, не
равна 0, то оно движется неравномерно или непрямолинейно, так как известно,
что если эта равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно и прямолинейно.
Решение.
Проверим это утверждение. Введём следующие обозначения:
X – равнодействующая всех сил равна 0,
Y – движение равномерно,
Z - движение прямолинейно.
Тогда по алгоритму “Импульс” получим:
(x yz) (x’ (y’+z’)) = (x’+yz) (x+y’+z’) = x(y’+z’)+x+y’+z’ =
= x+y’+z’ 1.
Т.е. мы доказали несостоятельность данного доказательства, но не утверждения. Здесь в посылке x и yz связаны эквивалентностью (см. школьный учебник физики), а не импликативностью.
(x ~ yz) (x’ (y’+z’)) = (x≠yz) + (x+y’+z’) = x’yz+x(y’+z’)+x+y’+z’ = 1, что и
требовалось доказать.
Задача 2.2.2.
Если все посылки истинны и рассуждение правильно, то заключение правильно. В данном рассуждении заключение ложно. Значит, или рассуждение неправильно, или не все посылки истинны.
Решение.
X – посылки истинны,
Y – рассуждение правильно,
Z - заключение верно.
(xy z)z’ (y’+x’) = (x’+y’+z)z’ (y’+x’) = xy+z+y’+x’ = 1.
Задача 2.2.3.
89
90
Если в суффиксе данного полного прилагательного или причастия пишется
два н, то они пишутся и в соответствующем наречии. Неверно, что в суффиксе
данного наречия пишется два н. Следовательно, в суффиксе полного прилагательного или причастия, из которого образовалось наречие, пишется одно н.
Решение.
X – в причастии два н,
Y – в полном прилагательном два н,
Z – в наречии два н.
((x+y) z)z’ x’y’ = (x’y’+z)z’ x’y’ = x’y’z’ x’y’ = x+y+z+x’y’ = 1.
Мы доказали даже более сильное утверждение.
Задача 2.2.4.
Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его
(зло существует на Земле). Если бог всемогущ, то неверно, что он бессилен
предотвратить зло. Если бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Следовательно, неверно, что бог всемогущ и всеблаг.
Решение.
X – бог всемогущ,
Y – бог всеблаг,
U – зло существует,
V – бессилен против зла,
W – желает предотвратить зло.
u(u (v+w’))(x v’)(y w) (xy)’ = u(u’+v+w’)(x’+v’)(y’+w) (xy)’ =
= u’+uv’w+xv+yw’+x’+y’ = 1.
Таким образом, мы чисто аналитически (математически) доказали, что бог
не всемогущ и не всеблаг одновременно. Однако это заключение можно оспорить,
если удастся доказать некорректность посылок.
Задача 2.2.5.
Если каждый раз в полдень солнце находится в зените и сейчас полдень, то
сейчас солнце находится в зените.
Решение.
X – сейчас полдень,
Y – солнце в зените.
(x y)x y = (x’+y)x y = xy y = x’+y’+y = 1.
90
91
Однако обратное утверждение неверно:
(x y)y x = (x’+y)y x = y x 1.
Это заключение не согласуется со здравым смыслом. Ошибка вызвана тем,
что X и Y связаны отношением эквивалентности, а не следования. Поэтому формальный вывод должен выглядеть так:
(x ~ y)x y = xy y = x’+y’+y = 1
(x ~ y)y x = xy x = x’+y’+x = 1
Задача 2.2.6.
Если нельзя получить воду, то неверно, что имеется в наличии водород и
оксид магния. Если имеется углерод, но углекислого газа получить не удалось, то
не было в наличии кислорода. Если имеется углекислый газ и вода, то можно получить углекислоту. Можно ли получить углекислоту, если имеется в наличии оксид магния, кислород, водород и углерод.
Решение.
X – нет воды,
Y – есть водород и оксид магния,
Z – есть углерод,
U – есть углекислый газ,
V – есть кислород,
W – есть углекислота.
(x y’)(zu’ v’)(ux’ w) (yvz w) = (x’+y’)(z’+u+v’)(u’+x+w) (y’+v’+z’+w)
= xy+zu’v+ux’w’+y’+v’+z’+w = 1.
Это означает, что углекислоту получить можно.
Задача 2.2.7.(18)
Он сказал, что придёт, если не будет дождя. (а на его слова можно полагаться). Но идёт дождь. Значит, он не придёт.
Решение.
X – он придёт,
Y – нет дождя.
(y x)y’ x’ = (y’+x)y’ x’ = y’ x’ = y+x’ 1.
Заключение ошибочно.
Задача 2.2.8.(19)
Джонс утверждает, что не встречал этой ночью Смита. Если Джонс не
91
92
встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Если
Смит не был убийцей, то Джонс не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Следовательно, убийцей был Смит.
Решение.
X – Джонс не встречал Смита,
X’ – Джонс лжёт, т.е. он встречал этой ночью Смита,
Y – Смит – убийца,
Z – убийство было совершено после полуночи.
(x ( y+x’))(y’ xz)(z (y+x’)) y = (x’+y)(y+xz)(z’+y+x’) y =
xy’+y’(x’+z’)+xy’z+y = 1. Убийцей был Смит.
Задача 2.2.9.(23)
Если элементарная частица имеет античастицу или не относится к числу
стабильных, то она имеет массу покоя. Следовательно, если элементарная частица не имеет массы покоя, то она относится к числу стабильных.
Решение.
X – наличие античастицы,
Y – частица нестабильна,
Z – наличие массы покоя.
((x+y) z) (z’ y’) = (x’y’+z) (z+y’) = (x+y)z’+z+y’ = xz’+yz’+z+y’ = 1. Т.е.
частица относится к числу стабильных.
Задача 2.2.10.(26)
Прямые a и b или параллельны, или пересекаются, или скрещиваются. Если прямые a и b лежат в одной плоскости, то они не скрещиваются. Прямые a и b
лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые a и b параллельны.
Решение.
X – прямые параллельны,
Y – прямые пересекаются,
Z – прямые скрещиваются,
U – прямые лежат в одной плоскости.
(xy’z’+x’yz’+x’y’z)(u z’)uy’ x = (xy’z’+x’yz’+x’y’z)(u’+z’)uy’ x =
(xy’z’+x’yz’+x’y’z)’+uz+u’+y+x = 1.
92
93
Эта задача может быть упрощена за счёт того, что z = (x+y)’:
(u (x+y))uy’ x = (u’+x+y)uy’ x = xy’u x = x’+y+u’+x = 1
Следовательно, прямые a и b параллельны.
Дополнительно решим ещё одну задачу для заданных аргументов при изменённых условиях:
M = (y u)y’ = (y’+u)y’ = y’
M(u) = 1, т.е. нельзя сказать ничего определённого относительно плоскостей
в том случае, когда прямые не пересекаются: « Возможно, прямые лежат в одной
плоскости».
Задача 2.2.11.(28)
Если философ – дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то
он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или
дуалист.
Решение.
X – дуалист,
Y – материалист,
Z – диалектик,
U – метафизик.
(x y’)(y’ (z+u))u’ (z+x) = (x’+y’)(y+z+u)u’(x+z) = xy+u’y’z’+u+x+z 1.
Следовательно, заключение неверно. А каков же правильный ответ? По алгоритму «Импульс – С» получим следующие результаты.
M = (x y’)(y’ (z+u))u’ = (x’+y’)(y+z+u)u’.
M’ = xy+u’y’z’+u.
Из карты Карно получим M = u’y’z+u’x’y. Откуда выводятся правильное заключение:
f(x,y,z) = x’y+y’z , т.е. философ – материалист или диалектик или то и
другое вместе.
Задача 2.2.12.(34)
Перед последним туром футбольного чемпионата сложилась турнирная ситуация, позволяющая утверждать следующее. Если «Динамо» проиграет свой последний матч, то в случае выигрыша «Спартака» он станет чемпионом. Если же
«Спартак» выиграет матч и станет чемпионом, то «Торпедо» займёт второе место. В последнем туре первыми стали известны результаты встреч с участием
93
94
«Динамо» и «Спартака»: «Динамо» проиграло, а «Спартак» выиграл. Можно ли в
этом случае, не дожидаясь результатов других встреч, утверждать, что «Спартак»
стал чемпионом, а «Торпедо» заняло второе место?
Решение.
A – выиграет «Динамо»,
B – выиграет “Спартак”,
C – “Спартак” – чемпион,
D – “Торпедо” на втором месте.
(a’b c)(bc d)a’b cd = ( a+b’+c)(b’+c’+d)a’b +cd = 1, т.е. «Спартак» стал
чемпионом, а «Торпедо» заняло второе место.
Задача 2.2.13.(37)
Докажите следующую теорему: если прямая l, принадлежащая плоскости P,
не перпендикулярна прямой n, то она не перпендикулярна проекции m прямой n
на плоскость P, если верна следующая теорема: если прямая l принадлежит
плоскости P и перпендикулярна проекции m прямой n на плоскость P, то прямая l
перпендикулярна прямой n.
Решение.
X – l перпендикулярна m,
Y – l перпендикулярна n.
(x y) (y’ x’) = (x’+y) (y+x’) = 1.
Мы доказали теорему, не привлекая никаких познаний из стереометрии и
даже не зная о существовании этой науки.
Задача 2.2.14.(38)
Известно, что, если данный многоугольник правильный, то в него можно
вписать окружность.
1. Данный многоугольник правильный, следовательно, в него можно вписать окружность.
2. В данный многоугольник нельзя вписать окружность, следовательно, он
неправильный.
3. В данный многоугольник можно вписать окружность, следовательно, он
правильный.
Проверить эти утверждения.
Решение.
94
95
X – многоугольник правильный,
Y – в многоугольник можно вписать окружность.
1. (x y)x y = (x’+y)x y = xy y x’+y’+y = 1.
2. (x y)y’ x’ = (x’+y)y’ x’ = x’y’+x’ x+y+x’ = 1.
3. (x y)y x = (x’+y)y x = y x y’+x 1, т.е. третье утверждение ложно. Это легко докажет школьник, знающий геометрию(в любой треугольник можно вписать окружность или вокруг окружности можно описать
любой многоугольник), но нам эти познания не потребовались.
Задача 2.2.15.(39)
Если число делится на 4, то оно чётное. Число – чётное. Значит, оно делится на 4.
Решение.
X – число делится на 4,
Y – число чётное.
(x y)y x = (x’+y)y x = y x = y’+x 1. Нет, не всякое чётное число делится на 4.
Задача 2.2.16.
Если целое число больше 1, то оно простое или составное. Если целое
число больше 2 и чётное, то оно не является простым. Следовательно, если целое число больше 2 и чётное, то оно составное (здесь присутствует скрытая посылка).
Решение.
x – число больше 1
y – число простое
z – число составное
u – число больше 2 и чётное.
Скрытая посылка заключена в том, что число может быть или простым, или
составным, третьего не дано, т.е. y’ = z.
(x (y+z))(u y’)(y’=z) (u z) = (x’+y+z)(u’+y’)(y’=z) (u’+z) =
= xy’z’+uy+yz+y’z’+u’+z = 1
Заключение правильное: число составное.
Задача 2.2.17.
95
96
Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он
не подготовил домашнее задание.
Решение.
x – пошёл в кино
y – получил двойку
z – подготовил домашнее задание.
(x’ y’)(z x’)y z’ = (x+y’)(z’+x’)y z’ = x’y+xz+y’+z’ = 1.
Т.е. школьник не подготовил домашнее задание.
Задача 2.2.18.
Я люблю Бетти или я люблю Джейн. Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.
Следовательно, я люблю Джейн.
Решение.
х – люблю Бетти
у – люблю Джейн
(x+y)(x y) y = (x+y)(x’+y) y = y y = y’+y = 1. Я люблю Джейн.
Задача 2.2.19.
Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является
таковым, то рассуждение не является правильным. Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.
Решение.
X – аргументы верны
Y – тезис верен
Z – рассуждение верно.
(xy’ z’)xz y = (x’+y+z’)xz y = xyz y = x’+y’+z’+y = 1.
Следовательно, его тезис является истинным.
Задача 2.2.20.
Докажите, что если натуральное число оканчивается на 0 и сумма цифр кратна 3, то само это число кратно 15. Используйте при этом следующие посылки: ес96
97
ли число оканчивается на 0, то оно кратно 5; если сумма цифр числа кратна 3, то
число кратно 3; если число кратно 3 и кратно 5, то оно кратно 15.
Решение.
X – число кратно 5
Y – число кратно 3
Z – число кратно 15
U – число оканчивается на 0
V – сумма цифр числа кратна 3.
(u x)(v y)((xy z) (uv z) = (u’+x)(v’+y)(x’+y’+z) (u’+v’+z) =
ux’+vy’+xyz’+u’+v’+z = 1.
Т.е., если натуральное число оканчивается на 0 и сумма цифр кратна 3, то
само это число кратно 15
Задача 2.2.21.
Если студент знает логику, то он сможет проверить выводимость формулы из
посылки. Если студент не знает логику, но он прослушал курс "Логика" и освоил
математический анализ в логике суждений, то он также сможет установить выводимость формулы. Значит, если студент или знает логику, или прослушал курс
"Логика" и освоил матанализ в логике суждений, то он может проверить выводимость формулы из посылок.
Решение.
X – знает логику
Y – сможет проверить выводимость формулы из посылки
Z – прослушал курс логики и освоил матанализ в логике суждений.
(x y)(x’z y) ((x+x’z) y) = (x’+y)(x+z’+y) (x’z’+y) =
xy’+x’zy’+x’z’+y = 1.
Мы доказали, что если студент или знает логику, или прослушал курс "Логика"
и освоил матанализ в логике суждений, то он может проверить выводимость
формулы из посылок.
Задача 2.2.22.
Если каждое действительное число есть алгебраическое число, то множество действительных чисел счётно. Множество действительных чисел несчётно.
Следовательно, не каждое действительное число есть алгебраическое число.
97
98
Решение.
X – действительное число
Y – алгебраическое число
Z – счётное множество чисел.
((x y) (x z))(x z)’ (x y)’ = ((x’+y) (x’+z))(x’+z)’ (x’+y)’ =
(xy’+x’+z)(x’+z)’ xy’ = (x’+y)xz’+x’+z +xy’ = xyz’+x’+z+xy’ = 1.
Следовательно, не каждое действительное число есть алгебраическое число.
Задача 2.2.23.
Курс акций падает, если процентные ставки растут. Большинство владельцев
акций разоряется, если курс акций падает. Следовательно, если процентные
ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется.
Решение.
X – курс акций падает
Y – процентные ставки растут
Z – акционеры разоряются.
(y x)(x z) (y z) = (y’+x)(x’+z) (y’+z) = x’y+xz’+y’+z = 1
Если процентные ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется.
Задача 2.2.24.
Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы
не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастёт. Следовательно,
правительственные расходы не возрастут.
Решение.
X – капиталовложения постоянны
Y – правительственные расходы растут
Z – растёт безработица
U – снижаются налоги.
(x (y+z))(y’ u)(ux z’) y’ = (x’+y+z)(y+u)(u’+x’+z’) y’ =
xy’z’+y’u’+xzu+y’ 1.
Следовательно, заключение неверно.
98
99
Задача 2.2.25.
Проверьте правильность рассуждения средствами логики суждений: "Если
человек осуждён судом, то он лишается избирательных прав. Если человек признан невменяемым, то он также лишается избирательных прав. Следовательно,
если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осуждён
судом".
Решение.
X – осуждён судом
Y – лишён избирательных прав
Z – невменяем.
(x y)(z y) (y’ x’z’) = (x’+y)(z’+y) (y+x’z’) =
xy’+zy’+y+x’z’ = 1.
Если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осуждён судом".
Задача 2.2.26.
Если Джон - автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Следовательно,
если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого
слуха.
Решение.
X – Джон – автор слуха
Y – Джон глуп
Z – Джон беспринципен.
(x (y+z)) ((y’+z’) x’) = (x’+y+z) (yz+x’) = xy’z’+yz+x’ 1, т.е. Джон даже в
этом случае может распускать слухи.
Задача 2.2.27.
Если в параллелограмме один угол прямой, то диагонали такого параллелограмма равны. Следовательно, при несоблюдении этого требования диагонали
параллелограмма не равны.
Решение.
99
100
X – в параллелограмме один угол прямой;
Y - диагонали
параллелограмма равны.
(x y) (x’ y’) = (x’+y) (x+y’) = xy’+x+y’ = x+y’ 1, т.е. мы утверждаем, что
заключение неверно. Однако любой школьник, любящий геометрию, скажет,
что мы ошибаемся. И он будет прав: дело в том, что прямоугольники и параллелограммы с равными диагоналями соединены не причинно-следственными
связями, а функцией эквивалентности. Нельзя применять логику бездумно. Поэтому решение должно быть таким:
(x y)(x’ y’)=(x’y’+xy)(x+y’)=xy’+x’y+x+y’ = 1, что и требовалось доказать.
Задача 2.2.28.
Недавно вышла из печати "Большая книга головоломок". Там есть задача
"Напиток на десерт": Абигейл, Бриджит и Клаудия часто обедают в ресторане.
1. Каждая из них после обеда заказывает чай или кофе.
2. Если Абигейл заказывает кофе, то Бриджит заказывает то, что заказывает Клаудия.
3. Если Бриджит заказывает кофе, то Абигейл заказывает то, что Клаудия
не заказывает.
4. Если Клаудия заказывает чай, то Абигейл заказывает то же, что и Бриджит.
Кто, по-вашему, всегда заказывает один и тот же напиток после обеда?"
Решение.
Введём следующие обознаения:
a – Абигейл,
b – Бриджит,
c – Клаудия,
k – кофе,
k’ – чай.
Тогда все четыре посылки будут описаны следующими уравнениями.
1. [a(k’+k)] [b(k’+k)] [c(k’+k)] = abc.
2. ak → (ck → bk) (ck’ → bk’) = (ak)’+(c’+k’+bk)(c’+k+bk’) = a’+k’+c’+b.
100
101
3. bk → (ck → ak’) (ck’ → ak) = (bk)’+(c’+k’+ak’)(c’+k+ak) = b’+k’+c’.
4. ck’ → (bk → ak) (bk’ → ak’) = (ck’)+(b’+k’+ak)(b’+k+ak’) = a+b’+c’+k.
Полная единица системы М равна логическому произведению всех четырёх
посылок:
M = abc(a’+b+c’+k’)(b’+c’+k’)(a+b’+c’+k).
Вычислять это произведение муторно, поэтому воспользуемся формулой де
Моргана и картой Карно.
M’ = a’+b’+c’+ab’ck+bck+a’bck’.
Занесём M’ = a’+b’+c’+ab’ck+bck+a’bck’ в карту Карно в виде нулей, а в свободные клетки впишем единицы. Тогда рабочие наборы после минимизации
дадут следующий результат: M = abck’, т.е. все женщины после обеда пьют
чай.
2.2.2. Задачи Р.М.Смаллиана.
№28(с.27).
В этой задаче два персонажа: А и В. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец.
А высказывает следующее утверждение: «По крайней мере один из нас лжец».
Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?
Решение.
Введём обозначения:
a – A – рыцарь, a’ – А - лжец.
b – B – рыцарь, b’ – В - лжец.
M = ab’ a’(a’+b’)’ = ab’+0 = ab’, т.е. А – рыцарь, В – лжец.
№29(с.27).
Предположим, что А говорит: «Или я лжец, или В рыцарь». Кто из двух персонажей рыцарь, а кто лжец?
Решение.
M = a(a’b) a’(а’~в) = ab+a’b = b, т.е. В - рыцарь. Отсюда А тоже рыцарь(см.
первую половину формулы), т.к. он не мог бы сказать правду про рыцаря и про
себя-лжеца.
№34(с.28).
101
102
Перед нами три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что
он либо рыцарь, либо лжец. Условимся двух островитян называть однотипными,
если они оба рыцари или оба лжецы. Пусть А и В высказывают следующие
утверждения:
А: В – лжец.
В: А и С однотипны.
Кто такой С: рыцарь или лжец?
Решение.
Строго говоря, первая посылка должна быть представлена в виде ab’a’в,
поскольку не могут быть истинны одновременно два взаимоисключающих суждения. Но мы с Вами доказали следующие соотношения:
ab’ a’в = ab’(a+b’)+(a’+b)a’b = ab’+a’b = а в.
ab a’в’ = ab(a+b)+(a’+b’)a’b’ = ав+a’b’ = а~в.
а a’ = a+a’ = 1.
Поэтому описание посылок будет простым, решение тоже прозрачным:
M = (ab’+a’b)[b(ac+a’c’)+b’(ac’+a’c)] = ab’(ac’+a’c)+a’b(ac+a’c’) = c’(ab’+a’b),
Т.е. С – лжец. Решение уложилось в одну строчку.
№35(с.28).
Перед нами снова трое островитян А, В и С. А высказывает утверждение: «В
и С однотипны». Кто-то спрашивает у С: «А и В однотипны?» Что ответит островитянин С?
Решение.
Полная единица системы
M = a(bcb’c’) a’(bc’b’c) = abc+ab’c’+a’bc’+a’b’c.
Решая это уравнение относительно С(см.раздел 11.3), получим
c = ab+a’b’, т.е. С ответит: «А и В однотипны».
2.2.3. Задачи неизвестного автора.
Тест на логическое мышление
Для взрослых и очень умных детей.
Автор неизвестен.
© Веб-версия Детей на Куличках
102
103
Тест состоит из 30 пунктов. Каждый пункт имеет вид:
- Условие
a. первое следствие
b. второе следствие
c. третье следствие
"Условие" - это условие задачи, некоторые обстоятельства, которые считаются ранее каким-то образом доказанными и всегда истинными.
"Следствие" - это логическое следствие из условия. Из трех следствий одно
и только одно правильно. Ваша задача - проверить свою способность отделять правильные логические следствия от неправильных.
Тест не требует специальных математических знаний. Все слова в тесте
надо толковать так, как это делается в обычном повседневном русском
языке, но не так, как в математике или иной специальной области. Все слова в тесте надо толковать буквально, никаких метафор или намеков в тесте не предусмотрено.
В тесте вы можете обнаружить незнакомые слова, такие, как "куздра". Эти
слова предназначены для того, чтобы оценить вашу способность к логическому мышлению, отделив ее от других ваших знаний об окружающем мире.
Считайте, что эти слова могут означать все, что угодно, но так, чтобы
фраза в условии была правдивой по смыслу. Например, если написано, что
"куздра бежит", это означает, что куздра действительно умеет бегать и,
по-видимому, имеет ноги или лапки, это может быть к примеру человек, животное или шагающий механизм:)
Иногда в тесте встречаются противоположные по смыслу слова и выражения, например "умеют" и "не умеют", "большой" и "маленький" и т.п. Во всех
таких случаях предполагается, что промежуточные варианты ("умеет, но
плохо", "средний") не рассматриваются.
1. Шмурдик боится как мышей, так и тараканов.
103
104
a. шмурдик не боится тараканов;
b. шмурдик боится мышей;
c. шмурдик боится мышей больше, чем тараканов, но и тараканов боится тоже.
Решение.
Введём следующие обозначения:
х – шмурдик, у – боится мышей, z – боится тараканов. Тогда все варианты будут представлены следующим образом.
a) (x → yz) → (x → z’) = (x’+yz)→(x’+z’) = x(y’+z’)+x’+z’ ≠ 1, т.е. данный вариант
следствия ошибочен.
b) (x → yz) → (x →y) = x(y’+z’)+x’+y = xy’+xz’+x’+y = 1, т.е. второе следствие истинно.
c) промежуточные варианты ("больше") не рассматриваются.
2. Известно, что грымзик обязательно или полосат, или рогат, или то
и другое вместе.
a. грымзик не может быть безрогим;
b. грымзик не может быть однотонным и безрогим одновременно;
c. грымзик не может быть полосатым и безрогим одновременно.
Решение.
х – грымзик, у – полосат, z – рогат.
a) (x → y+z) → (x → z) = (x’+y+z) → (x’+z) = xy’z’+x’+z ≠ 1, т.е. неверно.
b) (x → y+z) → (x → (y’z’)’) = xy’z’+(x’+y+z) = xy’z’+x’+y+z = 1, т.е. следствие истинно.
c) (x → y+z) → (x → (yz’)’) = xy’z’+x’+y’+z ≠ 1, следствие ошибочно.
3. Если запырку отравить, то она сразу начнет пускать пузыри.
104
105
a. если запырка пускает пузыри, то она была отравлена;
b. если запырку не отравить, то она не будет пускать пузыри;
c. если запырка не пускает пузыри, то она не отравлена.
4. Все охлотушки умеют играть в шашки
a. не бывает охлотушек, которые не умеют играть в шашки;
b. все, кто умеет играть в шашки, являются охлотушками;
c. не бывает охлотушек, которые умеют играть в шашки.
5. Дубараторы бывают либо хорошими, либо плохими. Неправда, что
этот дубаратор не плохой.
a. этот дубаратор хороший;
b. этот дубаратор средненький;
c. этот дубаратор плохой.
6. В природе обнаружено более десятка тиалей. Все обнаруженные тиали сплошь красного цвета.
a. по крайней мере некоторые из тиалей красного цвета;
b. по крайней мере некоторые из тиалей зеленые;
c. некоторые тиали (из тех, что уже обнаружены) могут оказаться не
красными.
7. Существуют шакалы с больной мухропендией.
a. не всякий шакал может похвастаться здоровой мухропендией;
b. не всякий шакал может похвастаться больной мухропендией;
c. существуют шакалы со здоровой мухропендией.
8. Неправда, что наша тумельница большая и круглая.
a. наша тумельница маленькая и некруглая;
105
106
b. наша тумельница маленькая, или некруглая, или то и другое вместе;
c. наша тумельница маленькая, или некруглая, но не то и другое вместе.
9. Джон всегда либо урдит, либо мурлит.
a. Джон иногда урдит;
b. Джон иногда урдит, а иногда мурлит;
c. Джон никогда не занимается одновременно и урдением, и мурлением.
10. Журналисты наврали, что бздыш болотный безграмотен и нахален.
a. на самом деле бздыш болотный образован и тактичен;
b. на самом деле бздыш болотный безграмотен, но не нахален;
c. те журналисты солгали.
11. Если тряхнуть бурдылькой, то начнется стрельба. Бурдылькой
тряхнули.
a. стрельба уже началась;
b. стрельба начнется когда-нибудь;
c. стрельба начнется когда-нибудь или уже началась.
12. Если тряхнуть перпелькой, то немедленно начнется стрельба. За
последний час стрельбы не было.
a. в течении последнего часа перпелькой не трясли;
b. в течении последнего часа перпелькой трясли;
c. а нечего было трясти чем попало.
13. Огромный бутряк напугал деревенского старосту.
a. старосте приснился ночной кошмар;
b. староста попробовал некачественной выпивки;
106
107
c. староста был напуган.
14. Если почесать угубку за ухом, он начнет довольно шипеть. Если
угубок довольно зашипит, то молоко поблизости скиснет.
a. если не чесать угубка за ухом, то молоко поблизости не скиснет;
b. если почесать угубка за ухом, молоко поблизости скиснет;
c. молоко вдалеке никогда не скисает от чесания угубков.
15. Всех, кто громко обуривает, обязательно съедают. Все ухмырки
постоянно громко обуривают.
a. все, кто громко обуривает,- ухмырки;
b. всех ухмырков обязательно съедают;
c. некоторых ухмырков не съедают.
16. В реках близ Тимуграда обитает и вобла, и щука.
a. в реках близ Тимуграда не бывает воблы;
b. в реках близ Тимуграда обитает щука;
c. в реках близ Тимуграда обитает только вобла и щука.
17. Все пуфелки радуют умом или красотой, а иногда даже и тем, и
другим.
a. пуфелка не может быть глупой;
b. не бывает глупых некрасивых пуфелок;
c. не бывает умных красивых пуфелок.
18. Когда вы спите, вы всегда мухряете.
a. если вы мухряете, значит, вы спите;
b. если вы не спите, вы не мухряете.
c. если вы не мухряете, значит, вы не спите.
107
108
19. Все болельщики любят ыгу.
a. не бывает болельщиков, которые не любят ыгу;
b. все, кто любит ыгу, болеет за кого-нибудь;
c. не бывает болельщиков, которые любят ыгу.
20. Есть только два вида здунцов: красные и синие. Что касается этого конкретного здунца, то он оказался вовсе не синим.
a. этот здунец синий;
b. этот здуней синекрасный;
c. этот здунец красный.
21. Найдено множество останков быдлозавров. Но все они очень плохо
сохранились.
a. некоторые останки быдлозавров очень плохо сохранились;
b. по крайней мере некоторые останки быдлозавров в отличном состоянии;
c. некоторые найденные останки быдлозавров сохранились хорошо.
22. Некоторые лапухондрии не стабильны.
a. не всякая лапухондрия не стабильна;
b. существуют стабильные лапухондрии;
c. не всякая лапухондрия стабильна.
23. Говорили, что дукни и острые, и твердые. Оказывается, это вовсе
не так.
a. на самом деле дукни тупые и мягкие;
b. на самом деле дукни тупые или мягкие или то и другое сразу;
c. на самом деле дукни тупые или мягкие, но не то и другое сразу.
108
109
24. Кафля всегда либо бегает, либо дышит.
a. Кафля дышит на бегу;
b. Кафля не дышит стоя;
c. Кафля не дышит на бегу.
25. Информация о том, что завтрашнее совещание будет посвящено
альным утятам, оказалась ложной.
a. информация оказалась ложной;
b. совещание будет посвящено не утятам;
с. совещание будет посвящено утятам, но вовсе не альным.
26. Если облить уузку водой, она испортится сразу же. Эта уузка не
испорчена. Сейчас я оболью ее водой.
a. не надо обижать уузку;
b. уузка испортится;
c. уузка не испортится.
27. Если облить уузку водой, она испортится сразу же. Эта уузка не
была испорчена.
a. уузку не обливали;
b. уузку обливали;
c. да отстаньте вы от уузки.
28. Вася бросил проходить этот тест, ответив только на 28 вопросов.
a. Вася устал, проходя тест;
b. Вася заколебался, проходя тест;
c. Вася не закончил тест.
29. Если покормить бушку, она успокоится. Спокойную бушку можно
доить.
109
110
a. если бушку не кормить, ее нельзя будет доить;
b. бушку можно доить, но не кормить, она сама чего-нибудь найдет и
съест;
c. после кормления бушку можно доить.
30. Если обрадовать бушку, она даст молока. Бушка обрадуется, если
дернуть ее за хвост.
a. если дернуть бушку за хвост, она даст молока;
b. никто не обрадуется, если дернуть его за хвост;
c. если не дернуть бушку за хвост, она не даст молока.
Надеюсь, что такая логика понравится даже тем учащимся, которые не любят математику, грамматику, физику, химию и другие науки, поскольку логика легко и просто решает задачи всех научных дисциплин.
Что касается задач неизвестного автора, то с точки зрения Русской логики
они примитивны и свидетельствуют о безграмотности анонимного логика, но одновременно и о его изобретательности, стремлении к нешаблонному мышлению.
Это самые ценные интеллектуальные качества инженера и учёного. Задачи Анонима интересны для эвристического решения, когда нужно «шевелить извилинами». Формально, на основе Русской логики их может решить любой идиот. Именно поэтому решены только первые две задачки. С другой стороны, зачем напрягать мышление, если формалистика просто и быстро выдаёт результат.
110
111
Глава третья
Силлогистика.
Употребляйте с пользой время.
Учиться надо по системе.
Сперва хочу вам в долг вменить
На курсы логики ходить.
Ваш ум, не тронутый доныне,
На них приучат к дисциплине,
Чтоб взял он направленья ось,
Не разбредаясь вкривь и вкось.
Что вы привыкли делать дома
Единым махом наугад,
Как люди пьют или едят,
Вам расчленят на три приема
И на субъект и предикат.
В мозгах, как и в мануфактуре,
Есть ниточки и узелки.
Посылка не по той фигуре
Грозит запутать челноки.
(Гете "Фауст")
В этом фрагменте из «Фауста» как в капле воды отразилась вся классическая силлогистика, вся логика Аристотеля. Этот раздел посвящён так называемому обобщённому (интегрированному) анализу и синтезу силлогизмов. Едва ли подобные интегрированные оценки потребуются при решении проблем искусственного интеллекта (ИИ), поэтому интегрированную силлогистику можно просмотреть
«по диагонали».
Под силлогистикой понимается раздел логики, занимающийся анализом и
синтезом силлогизмов. Силлогизм – это логическая конструкция, состоящая из
двух посылок, связанных общим термином, и следующего из этих посылок заключения. В [9] утверждается, силлогизм обязательно содержит 3 термина, один из
которых – средний. В дальнейшем покажем, что терминов может и больше.
Классический пример силлогизма с общим (средним) термином «люди»:
Все люди смертны.
Сократ – человек.
Сократ смертен.
В жизни такие силлогизмы встречаются чрезвычайно редко. Гораздо чаще
111
112
мы сталкиваемся с такими наборами посылок, из которых вывести заключение
значительно сложнее. Рассмотрим некоторые примеры подобных силлогизмов.
В книге Бахтиярова К.И. "Логические основы компьютеризации умозаключений" приводится тест Ф.Джонсон-Лэрда и М.Стидмена:
Ни один химик не есть пчеловод.
Некоторые пчеловоды - художники.
-------------------------------------------Некоторые художники - не химики.
Такое заключение должно следовать, по мнению авторов, из данных посылок.
Тестирующие весьма огорчились, что с этим простым заданием справились лишь
8 человек из 20. На самом же деле задачку не решил никто, в том числе и тестирующие профессора. Ответ совершенно иной. Западные преподаватели в принципе не могли решить данный силлогизм.
Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 –
768с.) на стр.194 решает силлогизм:
Все люди разумны.
Некоторые животные – люди.
Некоторые животные – разумны.
«Провокационный» силлогизм автора.
Все люди смертны.
Некоторые люди неграмотны.
-----------------------------------------Некоторые смертные неграмотны.
В соответствующих разделах мы рассмотрим и проверим все вышеприведённые примеры.
Троичная логика.
При аналитическом описании базисов силлогистики приходится использовать троичную логику. Эту логику представим следующими базисными операциями: инверсией, конъюнкцией и дизъюнкцией [3].
112
113
Таблица базисных функций 3-значной логики
Базисные функции определяются следующие соотношениями:
XY = min(X,Y)
X+Y = max(X,Y)
Минимизация логических функций от двух аргументов в троичной логике несущественно отличается от аналогичной операции в булевой алгебре. Используя
свойство 1+i=1, мы, например, имеем право приводить выражения типа xy+i(x’+y’)
к виду xy+i.
Базисы силлогистики.
Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как своим
несоответствием Аристотелевой логике, так и нечеткостью описания с точки зрения математической логики. Введение кванторов не разрешило этих проблем,
поскольку кванторы являются просто мнемоникой. Это называется «поменяли
шило на мыло»: вместо силлогистических общеутвердительного и частноутвердительного функторов А, I ввели квантор всеобщности и квантор существования.
Рассмотрим вначале
логику
непосредственных
ражения любого умозаключения или посылки
умозаключений[9]. Для вы-
достаточно двух конструкций (в
скобках представлена краткая мнемоническая форма записи суждений):
1)Все X суть Y(Axy);
113
114
2)Некоторые X суть Y(Ixy);
Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения (силлогистических функтора или квантора):
1)Все X суть Y(Axy);
2)Ни один X не есть Y(Exy);
3)Некоторые X суть Y(Ixy);
4)Некоторые X не суть Y(Oxy).
Из диаграмм Лобанова с помощью таблиц истинности на основе классического
синтеза логических функций могут быть тривиально получены следующие соотношения [23]:
Axy = x'+y (1)
Exy = x'+y' (2)
Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому
можно найти при внимательном прочтении фундаментальной, основополагающей
работы Порецкого П.С.[45]. Не знать её или не разобраться в ней для логика (для
математика тем более) так же постыдно, как для школьника не знать таблицу
умножения. Используя метод представления общеутвердительного функтора как
пересечения множеств Х и Y по Порецкому, получим следующий результат:
Axy ≡ (x = xy) = xy + x’(xy)’ = xy + x’(x’ + y’) = xy + x’ = x’ + y.
Аналогично выводится и соотношение для Exy:
Exy ≡ (x = xy’) = xy’+x’(xy’)’ = xy’+x’(x’+y) = xy’+x’ = x’+y’.
Кстати говоря, из соотношения Axy = x'+y = x → y следует и объяснение физического смысла импликации. Поскольку высказывание «Все Х суть Y» эквивалентно импликации «Из истинности Х следует истинность Y», постольку эквивалентны
и их аналитические представления. Действительно, высказывания «Все люди талантливы» и «Если ты человек, то ты талантлив» с точки зрения здравого смысла
означают одно и то же.
Отсюда же следует и вывод о бессмысленности разде-
ления логики на силлогистику и логику суждений.
Что касается суждений Ixy, Oxy, то здесь сложилась спорная ситуация.
Во-первых, ни в одном источнике нет аналитического представления силлогистического функтора (квантора[1, 9]) Ixy, т.е. фактически нет аналитического описания базиса силлогистики. Это и понятно: для решения данной задачи требуется
многозначная логика. В классической силлогистике все авторы стремились использовать двузначную логику. Во-вторых, здравый смысл и булева алгебра
утверждают, что Oxy =(Ixy)', а в традиционной логике Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)', что
114
115
отнюдь не бесспорно и не убедительно. Однако примем на веру эти формулы,
поскольку именно их рекомендуют для запоминания студентам.
На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy, Oxy:
Ixy = (Exy)' = xy (3)
Oxy = (Axy)' = xy'
Прежде всего, эти соотношения противоречат друг другу. По
определению
"Некоторые Х суть Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверсны, т.е. Ixy =
(Oxy)', Oxy = (Ixy)'. А из приведённых формул следует эквивалентность суждений
"Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не-Y", что совсем не соответствует
действительности. Кроме
того, частноотрицательное
суждение
вообще
не
имеет самостоятельного смысла, поскольку является тривиальным отрицанием
частноутвердительного высказывания.
Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусов EIO
1-й - 4-й фигур, EAO, OAO 3-й фигуры и AAI, EAO 4-й фигуры также подтвердила
всю несостоятельность соотношений Ixy, Oxy. Аналитический метод контроля
силлогизмов дал такие же результаты.
Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения (3), из которого следует, что, безусловно, существуют лишь ситуация x=y=1. Поскольку
логические аргументы представляют собой скаляры, максимальная длина которых не может превышать "полной единицы" (универсума), т.е. x+x'=1, введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера. Необходимо отметить,
что впервые геометрическую интерпретацию (интервальный метод изображения
множеств) силлогистических функторов применил Иоганн Генрих Ламберт(17281777гг.), немецкий философ, математик, физик и астроном. Однако он допустил
ряд ошибок, главной из которых явилось отсутствие фиксации универсума. Эта
ошибка на несколько столетий похоронила идею математической силлогистики.
На двумерных диаграммах Венна невозможно отобразить всевозможные
размещения нескольких множеств: теряется наглядность. А на одномерных диаграммах Лобанова этой проблемы не существует. Это делает возможным анализ
многоаргументных соритов и силлогизмов.
115
116
Из рисунка видно, что такая "логика" не имеет никакой практической ценности.
"Бытовой" логике, вероятно, более
соответствует нижеприведённая скалярная
диаграмма.
Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересечения
множеств X и Y, но и отмечает различные ситуации этого пересечения. Все аналитические соотношения получены на основе трёхзначной логики.
B Аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комбинация понятий
x,y, лишь бы пересечение этих понятий не было пустым[1,48]. Аристотелевой
трактовке этого суждения соответствуют следующие скалярные диаграммы.
Вновь введенные скалярные диаграммы отличаются от диаграмм Ламберта[49] следующими принципиальными характеристиками:
116
117
1)наличие фиксации универсума;
2)размещение силлогистических функторов Axy, Еxy, Ixy на двух и более, а не
на одном уровне;
3)возможность "дробного" (разрывного) представления понятия в пределах
универсума;
4)возможность графической и аналитической интерпретации
результатов
анализа и синтеза силлогизмов.
Наличие даже одного из перечисленных отличий привело к переименованию
кругов Эйлера в диаграммы Венна [10]. Вполне естественно, что вновь введённые
скалярные диаграммы получили название диаграмм Лобанова. Справедливости
ради следует отметить, что скалярные диаграммы впервые применил Лейбниц[12,
стр.601], но, как и его ученик, Ламберт, не сумел их использовать для аналитического описания функторов и синтеза заключений в силлогизмах.
На рисунке показан процесс перехода от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова и синтез по ним аналитического описания силлогистических функторов Axy,
Exy, Ixy.
117
118
Из полученного аналитического выражения для Axy следуют далеко идущий
вывод: нет логики суждений и логики предикатов, а есть просто общая логика.
Приведём пример.
Любая кухарка, сравнив левую и правую половину таблицы, скажет академику118
119
неучу о двух силлогизмах: «Это что в лоб, что по лбу». А мы подтвердим, что импликация из логики суждений и общеутвердительный квантор из логики предикатов тождественны. Значит, логика суждений и силлогистика – синонимы.
Много разговоров ведётся по поводу так называемых парадоксов материальной импликации: из ложной посылки можно вывести какое угодно заключение. Но
из скалярной диаграммы для Axy, которая эквивалентно отображает импликацию
x → y, видно, что x’ → iy, т.е. из x’ следует y только с некоторой вероятностью, но
никак не безусловно.
С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны многие
логики. В работе [5] автор утверждает, что "научное употребление слова "некоторые" совпадает с общеразговорным", т.е. с бытовым, а не аристотелевским.
Кроме того, Васильев Н.А. считает, что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением. Он также заявляет: "В математике так называемые частные суждения сводятся ... к общим, и она прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной
науке слова "некоторые". К этому же должна стремиться и всякая наука... Частное
суждение нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего суждения,
а как особый вполне самостоятельный вид суждения, вполне координированный с
общими
суждениями,
исключающий
их
и
исключаемый
любым
из
них…Частноутвердительное и частноотрицательное суждение суть одно суждение, а не два". С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться.
Да и здравый смысл просто бунтует против Аристотелевой трактовки частноутвердительного и частноотрицательного суждений.
Имеет некоторый практический смысл и такая трактовка суждения Ixy, как представленная на скалярной диаграмме.
Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты представления суждений Axy, Exy, Ixy. Суждение Oxy получается автоматически из Ixy,
поскольку является его отрицанием.
119
120
3.1. Все x суть y(Axy).
1. Традиционное представление этого суждения изображено на скалярной
диаграмме, по которой заполнена таблица истинности.
По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy:
Axy = (xy')' = x'+y = Ay'x' = Exy' = (xy) = (y'x')
2. Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации. Вторая
комбинация аргументов x,y представлена на диаграмме.
Ситуация, представленная на рисунке под символом Y2, может быть проиллюстрирована следующим высказыванием: "Все люди смертны". Это справедли120
121
во при условии, что "мир» (универсум) - все живые существа, т.к. все живоесмертно. С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет вид:
Axy = y+ix'y'
С точки зрения здравого смысла, учитывая то обстоятельство, что аргументами
во всех силлогистических функторах (кванторах) являются множества, не может
множество Y быть одновременно и равно множеству X, и больше этого множества. Возможно, Аристотель пытался искать заключения в силлогизмах для случаев полного отсутствия информации о мощности аргументов-множеств. При решении задач ИИ такая ситуация недопустима. Однако сохраняя традиции классической логики, все базисы Axy, Exy, Ixy будут рассматриваться без учёта количественных характеристик терминов.
3. Третий вариант суждения Axy изображен на скалярных диаграммах. По
cравнению со 2-м вариантом здесь добавлено суждение "y эквивалентно универсуму".
Для ситуации на рисунке под символом Y3 справедливо высказывание "Все
люди владеют словом". Если весь "мир" - живые существа, то понятия "люди" и
"говорящие живые существа" эквивалентны. Из таблицы получаем следующее
соотношение:
Axy = xy+ix'
Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций, но в силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргументов не являются решающими.
121
122
3.2. Ни один x не есть y(Exy).
1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах.
Из таблицы имеем:
Exy = (xy)' = x'+y' = Axy' = Ayx' = Eyx = (xy') = (yx')
По методу Порецкого [45] с использованием формулы равнозначности получим:
Exy = (x = xy’) = xy’+x’(xy’)’ = xy’+x’ = x’+y’.
2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.
Для иллюстрации диаграммы рисунка под символом Y2 подходит высказывание
"Ни один живой не есть мертвый", т.е. Y2 = X’.
Из таблицы имеем:
122
123
Exy = x'y+xy'+ix'y' = (xy)+ix’.
3.3. Некоторые x суть y.
Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию", с которой не согласится
любой здравомыслящий человек. Выдающийся русский математик с мировым
именем М.В. Остроградский дал такой отзыв об этой геометрии «Всё, что я понял
в геометрии г–на Лобачевского, ниже посредственного». Все русские учёные
отвергли геометрию Лобачевского. Даже великий русский писатель Достоевский
не принял этих измышлений. "Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьезной целью книгу,
которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не
ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а
в новой геометрии нередко недостает и сего последнего", - писал неизвестный
рецензент, По образу и подобию «великого» геометра не менее «великий» логик
Васильев Н.А. разработал "воображаемую логику" (такую же бестолковую, как и
«воображаемая геометрия»). Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной (бытовой) логике, тем более что в [5] частному суждению Ixy уделено недостаточное внимание.
1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Иллюстрацией для этого варианта служит высказывание "Некоторые люди(x)
- мудрые люди(y)"("мир" - люди). Так могли выразиться только телезвезда, академик (Нобелевский или Шнобелевский лауреат) или любой член команды телезнатоков. Правильным является лишь высказывание «Все мудрые люди – часть Че-
123
124
ловечества». Однако тем не менее из таблицы получим соотношение:
Ixy = x
2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y+ix'y'.
После минимизации формула примет вид
Ixy = x+y+ix' = x+y+iy'.
Здесь метод Порецкого бессилен, т. к. он рассчитан лишь на описание общеутвердительных или общеотрицательных суждений.
3.Третий вариант суждения Ixy представлен на рисунке. Этот базис соответствует
Аристотелевскому [49].
124
125
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+i(x'+y') = xy+i.
4.Четвёртый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Этот базис получил название несимметричного.
Ситуация на рисунке под символом Y1 иллюстрируется высказыванием "Некоторые юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические
вузы не выпускают).
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y'+ix'y = x+y'+iy
5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
125
126
Ситуация на рисунке под символом Y3 иллюстрируется высказыванием "Некоторые люди(x) суть неговорящие существа(y)" (не - люди тем более не разговаривают). Универсум - "живые существа".
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+ix' = x+i.
6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y = Ax'y = Ay'x.
7. Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:
После минимизации получим Ixy = y+i.
8. Восьмой вариант функтора Ixy (базис Васильева Н. А.).
126
127
Этот вариант удовлетворяет всем требованиям Васильева Н.А.:
Ixy = Ix’y = Ixy’ = Ix’y’ = Iyx = Iy’x = Iyx’ = Iy’x’.
9.Девятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) = xy+x'y'+i
Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конкретного силлогизма. Нередко частноутвердительное суждение бездумно употребляется вместо общеутвердительного. Если для суждения
"Некоторые животные -
млекопитающие" мы будем использовать любой симметричный чачтноутведительный базис, то придем к абсурдному заключению "Некоторые млекопитающие
- животные", поскольку на самом деле исходное суждение должно иметь вид "Все
млекопитающие - животные". Именно такую ошибку дважды допустили преподаватели Кембриджа и Оксфорда, авторы занятного учебного пособия по философии, на стр.170 и 174[50].
Для указания используемого базиса автор применяет нумерацию, состоящую
из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy. Например, для анализа силлогизмов в общем (неконкретном) виде автор когда-то предпочитал общеразговорный
базис 1-1-2, который описывается следующими соотношениями:
Axy = (xy')' = x’+y
Exy = (xy)' = x’+y’
127
128
Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i.
В настоящее время автор считает единственно правильным базисом только
базис здравого смысла 1-1-8. Этот базис назван автором базисом Васильева, т.к.
он удовлетворяет требованиям русского логика Васильева Н.А.
относительно
научного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.
Axy = (xy')' = x’+y
Exy = (xy)' = x’+y’
Ixy = 1.
128
129
Заключение.
1. Анализ современного состояния логики показал полное отсутствие аналитического представления базиса силлогистики, а также несостоятельность классического силлогистического базиса, который не является ни Аристотелевским, ни общеразговорным (бытовым).
2. Впервые показано, что даже общие суждения имеют неоднозначную структуру и аналитическое описание.
3. Впервые представлено
все многообразие базиса частноутвердительного
суждения и дано его аналитическое представление.
4. Впервые найдено аналитическое выражение для
частноутвердительного
суждения, удовлетворяющего критерию Васильева.
5. Впервые доказано, что логика суждений и логика предикатов тождественны,
т.е. нет никакой логики предикатов и кванторного исчисления.
129
130
Глава четвёртая
Силлогистика Аристотеля - Жергонна.
В [49] приведены так называемые "Жергонновы отношения". С помощью этих
отношений Ж.Д.Жергонн(1771-1859) представил все классы суждений (силлогистические
функторы), выделенные
Аристотелем, на языке теории множеств.
Автор пока не может дать однозначного заключения о корректности проделанной
Жергонном операции. Строго говоря, это бред сивой кобылы: правильно представлен только общеотрицательный квантор Exy.
Переведем "Жергонновы отношения" на язык скалярных диаграмм [24].
По скалярным диаграммам были построены соответствующие таблицы истинности.
130
131
Из таблиц истинности получаем следующие соотношения:
«Все X суть Y»
: Axy = xy+x'y'+ix'y = (x ~ y) + iy
«Ни один X не есть Y»
: Exy = x'+y'
«Некоторые X суть Y» : Ixy = xy+i(xy)' = xy + i
«Некоторые X не суть Y»: Oxy = xy'+i(xy')' = xy’ + i
Полученные соотношения позволяют построить силлогистику без кванторов
[26]. Известны попытки решения задач силлогистики с помощью кванторного аппарата исчисления предикатов[43]. Однако, судя по современному состоянию
силлогистики, такие попытки успеха не имели, да и иметь не могли: мнемоника не
может быть исчислением. Это обстоятельство ставит под сомнение здравомыслие современных математиков, до сих пор не отказавшихся от термина «кванторное исчисление». С помощью формул для силлогистических функторов A, E, I, O
можно
выполнять все операции над силлогизмами, т.е. находить аналитиче-
ское решение задач, связанных с силлогизмами. Все задачи этого раздела, посвящённого силлогистике Аристотеля, решаются в базисе Аристотеля-Жергонна.
Для того, чтобы проверить силлогизм, нужно выполнить алгоритм «Осташ-Т» [27].
4.1. Алгоритм «Осташ-Т» (тест, анализ)
1.Заменить посылки и заключение выражениями в соответствии с формулами для функторов A, E, I, O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок, имплицирующей заключение.
3.Проверить это выражение на тождественность единице, занеся его в
карту Карно (КК). Если выполняется тождественность единице, то заключение
истинно. Если хотя бы одна из посылок или заключение являются частным суждением, то силлогизм является истинным даже при получении модальной единицы
(т.е. в некоторых клетках КК проставлены символы модальности i) при условии,
что m=1 или m'=1 (в этом случае строка m или соответственно m' должна содержать не менее 3-х целых единиц и только одну составную, т.е.1=i+j). В противном случае заключение не имеет места.
Для синтеза заключения по заданным посылкам также можно использовать алгоритм «Осташ-Т», несколько изменив его.
131
132
Алгоритм «Осташ-С» (синтез)
1.Заменить посылки
выражениями
в
соответствии с формулами
для функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок и проинвертировать его. Занести полученное выражение в карту Карно (КК).
3.Доопределить полученную функцию одним из выражений для силлогистических функторов A, E, I, O таким образом, чтобы получить тождественную
или модальную
единицу. При доопределении иметь в виду, что из частной по-
сылки должно следовать частное заключение. Перед доопределением в одной
строке КК(m или m') должно быть не менее 2-х, а после доопределения не менее
3-х целых единиц. Доопределяемое заключение должно содержать минимально
необходимое количество единиц. Функция доопределения является искомым заключением. Если в доопределяемой строке КК имеется 2 полных единицы и 2
значения j, то доопределение невозможно.
4.Если вышеуказанное доопределение невозможно, то из данных посылок нельзя вывести никакого заключения.
Синтез посылок от синтеза заключений отличается лишь тем, что доопределение КК выполняется в этом случае для отрицания посылки.
Аналитические методы на основе алгоритмов «Осташ-Т» и «Осташ-С» дополняются графическим методом на базе скалярных диаграмм. Алгоритм ТВАТ
(Тушинский вечерний авиационный техникум) прост и нагляден.
4.2. Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов).
1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов
xy: 00,01,10,11.
3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y) в трёхзначной логике.
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.
Пример 4.2.1.
132
133
Ни один x не есть m
Некоторые m суть y
Найти f(x,y)
Решение.
Будем считать, что частно-утвердительное суждение представлено в базисе Аристотеля-Жергонна. По алгоритму ТВАТ получим:
4.3. Алгоритм «РЕДАН» (синтез недостающей посылки).
1.Изобразить все возможные ситуации для исходной посылки и заключения
с помощью скалярных диаграмм.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(m,y) для входных наборов my:
00,01,10,11.
3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(m,y) в трёхзначной логике.
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в
соответствии с известным базисом.
Пример 4.3.1.
Найти недостающую посылку в силлогизме
Amx & f(m,y) Ixy(3).
Решение.
133
134
Из диаграммы видно, что заключение описывается формулой
Fz(x,y) = xy + i = Ixy(3), т.е. все условия задачи соблюдены. Однако это не
единственное решение.
Во второй скалярной диаграмме заключение также описывается формулой
Fz(x,y) = xy + i = Ixy(3), но вторая посылка выглядит иначе.
F(m,y) = m’ + y = Amy
Чем вызван такой разнобой в результатах? Только тем, что не заданы количественные характеристики терминов силлогизма, т.е безграмотной постановкой
задачи.
Пример 4.3.2.
Найти недостающую посылку в силлогизме
134
135
Emx & f(m,y) Exy.
Решение.
Из диаграммы видно, что интегрированное решение описывается формулой
f(m,y) = x’y’+i = Ix’y’(3).
На самом деле здесь нужно раздельно рассматривать 3 варианта: Emy,
(m~y), Imy с вероятностями P(Emy) = P(m~y) = 1/6, P(Imy) = 2/3.
Аналитическое решение этой задачи может быть получено с помощью алгоритма «Комета».
Алгоритм «Комета» аналитического синтеза недостающей посылки.
1. Записать уравнение полной единицы системы, представив недостающую
посылку в виде f(m,x) или f(m,y).
2. Занести в карту Карно (КК) полученное выражение.
3. В незаполненные клетки КК вписать f’(m,x) или f’(m,y).
4. По полученным f’(m,x) или f’(m,y) определить f(m,x) или f(m,y).
Решение задачи 4.3.2 по алгоритму «Комета».
M = Emx & f(m,y) Exy
135
136
(m’+x’) & f’(m,y) + x’+y’ = 1
Из КК получим f’(m,y) = m’y
В результате f(m,y) = m+y’ = Aym. Это один из трёх вариантов решения, т.е.
полный корректный результат может быть получен лишь по графическому алгоритму «Редан».
4.4. Алгоритм «НИИДАР» графического представления силлогизма по
СДНФ полной единицы системы М.
1. По СДНФ полной единицы системы М построить сокращённую таблицу истинности для неё.
2. По сокращённой таблице истинности построить скалярные диаграммы,
разбив интервал универсума на части, количество которых равно числу наборов в
таблице истинности для М. Каждая часть универсума изображается соответствующим набором из таблицы истинности для М.
3.
Из скалярных диаграмм выбрать N логических функций от двух пере-
менных, где N – число аргументов.
Пример 4.4.1.
Дано: M = m’x’+my’.
Найти все исходные посылки силлогизма.
Решение.
По полной единице системы М строим сокращённую таблицу истинности, а по
ней скалярные диаграммы.
Из диаграмм видно, что исходными посылками являются Axm, Emy, т.е.
136
137
M = AxmEmy = (x’+m)(m’+y’) = m’x’+x’y’+my’ = m’x’+my’, что и требовалось доказать.
4.5. Алгоритм «СГА» аналитического нахождения исходных посылок силлогизма.
1.
По полной единице системы построить две посылки от двух аргументов.
2.
Посылки должны в совокупности охватить все аргументы.
Пример 4.5.1.
Дано: M = m’+x’y’.
Найти все исходные посылки силлогизма.
Решение.
По полной единице системы М строим функции M(m,x), M(m,y).
M = M(m,x)M(m,y) = (m’+x’)(m‘+y’) = EmxEmy.
Это и есть исходные посылки силлогизма, полученные чисто аналитически.
Пример 4.5.2.
Дано: M = m’+y’.
Найти все исходные посылки силлогизма.
Решение.
По полной единице системы М строим функции M(m,x), M(m,y).
M = M(m,x)M(m,y) = 1 & (m‘+y’) = ImxEmy.
Это и есть исходные посылки силлогизма, полученные чисто аналитически.
На основании алгоритма СГА возможно также нахождение исходных посылок сорита, но лучше с этой целью использовать алгоритм «ОМТ»: не приходится
думать, какие посылки нужно выбирать.
137
138
4.6. Алгоритм «ОМТ» нахождения исходных посылок сорита.
1. Найти инверсию функции М и представить её в виде ДНФ, т.е. в виде логической суммы.
2. Проинвертировать полученную M’ и представить М в виде КНФ, т.е. в виде произведения логических сомножителей.
Пример 4.6.1.
Дано: M = ab+cd.
Найти все исходные посылки сорита.
Решение.
По п.1 алгоритма «ОМТ» находим M’:
M’ = (ab+cd)’ = (ab)’(cd)’ = (a’+b’)(c’+d’) = a’c’+b’c’+a’d’+b’d’.
По п.2 алгоритма «Комета» получим М:
M = (a’c’+b’c’+a’d’+b’d’)’ = (a+c)(b+c)(a+d)(b+d).
Проверка:
M = (a+c)(b+c)(a+d)(b+d) = (ab+c)(ab+d) = ab+cd, что и требовалось доказать.
Пример 4.6.2.
Дано: M = abc+de.
Найти все исходные посылки сорита.
Решение.
По п.1 алгоритма «ОМТ» находим M’:
M’ = (abc+de)’ = (a’+b’+c’)(d’+e’) = a’d’+b’d’+c’d’+a’e’+b’e’+c’e’.
По п.2 алгоритма «Комета» получим М:
M = (a’d’+b’d’+c’d’+a’e’+b’e’+c’e’)’ = (a+d)(b+d)(c+d)(a+e)(b+e)(c+e).
Пример 4.6.3.
Дано: M = ab+cd+ef.
Найти все исходные посылки сорита.
Решение.
По п.1 алгоритма «ОМТ» находим M’:
M’ = (ab+cd+ef)’ = (a’+b’)(c’+d’)(e’+f’) =
138
139
= a’c’e’+b’c’e’+a’d’e’+b’d’e’+a’c’f’+b’c’f’+a’d’f’+b’d’f’.
По п.2 алгоритма «Комета» получим М:
M = (a’c’e’+b’c’e’+a’d’e’+b’d’e’+a’c’f’+b’c’f’+a’d’f’+b’d’f’)’ =
= (a+c+e)(b+c+e)(a+d+e)(b+d+e)(a+c+f)(b+c+f)(a+d+f)(b+d+f).
Точно такой же результат, но значительно проще, можно получить по алгоритму «СГА»:
M = M(a,c,e)M(b,c,e)M(a,d,e)M(b,d,e)M(a,c,f)M(b,c,f)M(a,d,f)M(b,d,f) =
= (a+c+e)(b+c+e)(a+d+e)(b+d+e)(a+c+f)(b+c+f)(a+d+f)(b+d+f).
Простота графического алгоритма анализа и синтеза силлогизмов наводит
на мысль о том, что и скалярные диаграммы, и алгоритм могли быть открыты 25
веков назад Аристотелем. Во всяком случае, скаляры были известны Евклиду.
Алгоритмы «Осташ» и «ТВАТ» дают одинаковые по полноте и корректности
результаты. Существует более простой и эффективный аналитический метод,
позволяющий получать корректные, но для некоторых частных силлогизмов не
всегда полные результаты. Этот метод оформлен автором в виде алгоритма
«ИЭИ» (Ивановский энергетический институт). Предпочтительная область применения данного алгоритма - силлогистика здравого смысла, т.е. русская и общеразговорная. Кроме того, алгоритм «ИЭИ» незаменим при аналитическом синтезе
соритов (многопосылочных силлогизмов).
И всё же графические методы анализа и синтеза силлогизмов и соритов,
т.е. с помощью скалярных диаграмм Лобанова, самые наглядные и корректные.
4.7. Алгоритм "ИЭИ "(аналитический синтез заключения)
1. Заменить посылки
выражениями
в
соответствии
с формулами для
функторов A,E,I,O.
2. Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнкции
всех посылок.
3. Получить из М функцию М(х,у), заменив средний член m или m' на 1. Если
средний член m/m' входит в силлогизм автономно, то заменить его на i. Полученная функция М(х,у) является заключением силлогизма. Если в М встречается
терм im или im’, то заключения не существует.
Алгоритм «ИЭИ» можно считать частным случаем алгоритма «Селигер»
139
140
для решения логических уравнений.
Пример 4.7.1.
Все m суть х
Все m суть y
Найти f(x,y)
Решение.
По алгоритму ИЭИ получим:
M = AmxAmy = (x+m’)(m’+y) = m’+xy
Если это выражение представить в виде таблицы истинности M(m,x,y), а из
неё получить таблицу M(x,y) = f(x,y), то выражение для искомого заключения примет вид: f(x,y) = xy+i = Ixy(3). Этот процесс представлен на рисунке. Из рисунка
становится ясно, почему при автономном вхождении среднего термина m в формулу для полной единицы системы M(m,x,y) средний термин нужно заменять не
на 1, а на i. Если проведём синтез заключения по алгоритму «ТВАТ», то для X<Y и
U<(X+Y), U=(X+Y), U>(X+Y) получим 3 различных решения: Ixy(7), Ixy(8), Ixy(3).
Следовательно, только задав количественные характеристики всех терминов и
заключения, можно будет получить правильный результат. С количественными
характеристиками работает лишь алгоритм «ТВАТ».
Пример 4.7.2.
Ни один x не есть m
Некоторые m суть y
Найти f(x,y)
Решение.
140
141
По алгоритму ИЭИ получим:
M = ExmImy(3) = (x’+m’)(my+i) = mx’y+ix’+im’
F(x,y) = x’y+i = Ix’y(3)
По алгоритму ТВАТ получим:
В классической логике[9] при синтезе заключений для конкретного силлогизма в качестве шаблона используются фигуры(1 – 4), представленные на рисунке, и модусы. Считается, что с помощью таких шаблонов-ходуль для инвалидного
мышления можно придти к правильным выводам.
Приведём так называемые «правильные» модусы[9].
Фигура 1: AAA, EAE, AII, EIO.
Фигура 2: EAE, AEE, EIO, AOO.
Фигура 3: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO.
Фигура 4: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO.
Развёрнутая запись модуса AAA для первой фигуры, например, выглядит
так: AmxAym Aym.
141
142
Используя приведённые методы, проверим некоторые модусы для 4-х фигур категорического силлогизма в базисе Аристотеля - Жергонна. Синтез силлогизмов проведём графическим методом в связи с его простотой и наглядностью. В
результате получим следующие заключения. Здесь и далее под обозначением N.n
понимается номер фигуры и номер модуса в данной фигуре. Например, 1.6 означает 6-й модус первой фигуры.
Фигура 1.
1.1. AmxAym -> f(x,y) = mx'+jm'x+m'y+jmy'+f(x,y) = 1
Алгоритм «ТВАТ» и алгоритм «Осташ-С» дали одинаковый результат:
f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Ayx.
Для алгоритма «ИЭИ» получим:
M = AmxAym = (m’x’+mx+im’x)(y’m’+ym+iy’m) = m’x’y’+ixy’+mxy
M(x,y) = x’y’+xy+iy’x = Ayx
Таким образом, все три алгоритма дали одинаковый результат, который
совпал с «правильным» модусом AAA. В дальнейшем синтез силлогизмов будем
выполнять по самым простым и прозрачным алгоритмам ИЭИ и ТВАТ.
1.6. EmxEym -> f(x,y).
142
143
По алгоритму «ИЭИ»
M = EmxEym = (m’+x’)(y’+m’) = m’+x’y’
M(x,y) = x’y’+I = Ix’y’.
Фигура 2.
2.4. AxmOym -> f(x,y) = m’x+jmx’+j(m’y)’+f(x,y) = 1(i)
По алгоритму «ИЭИ»
M = AxmOym = (x’m’+xm+ix’m)(ym’+iy’+im) = m’x’y+im+ix’y’
M(x,y) = x’y+i = Ix’y
Фигура 3.
3.2.
AmxEmy -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)
Фигура 4.
4.1.AxmAmy -> f(x,y) = m’x+jmx’+my’+jm’y+f(x,y) = 1
143
144
У Аристотеля этому модусу соответствует заключение Ixy, что не согласуется
ни со здравым смыслом, ни с формальным выводом. Кроме того, из анализа фигур 1 и 4 видно, что они идентичны, а, следовательно, должны давать одинаковые
модусы. Например, модусу AII 1-й фигуры должен соответствовать модус IAI 4-й
фигуры, модусу EIO 1-й фигуры – модус IEO 4-й фигуры. Таких несоответствий
между модусами 1-й и 4-й фигур насчитывается не менее четырёх. Указанные
несоответствия можно было бы заметить 24 века назад, поскольку для этого не
требуется ничего, кроме начального образования.
4.5. ExmAmy -> f(x,y) = mx+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i)
В результате полной проверки традиционных 64-х силлогизмов мы убедились в некорректности «правильных модусов».
Автор с глубочайшим уважением относится к Аристотелю, впервые в истории человечества предложившему формальные методы анализа и синтеза силлогизмов. Однако нельзя признать, что логика Аристотеля является логикой здравого смысла, а его «правильные» модусы исчерпывают все достоверные ситуации
силлогистики. Поэтому логика Аристотеля-Жергонна представляет интерес с чисто научно-исторической точки зрения.
Посмотрим, как влияют количественные характеристики терминов (множеств) на поиск недостающей посылки. Проиллюстрируем это применением алго144
145
ритма «Редан» на простом примере. Пусть задан тривиальный силлогизм:
Все люди(m) талантливы(x).
Все студенты(y) – люди(m).
Все студенты(y) талантливы(x).
Казалось бы, если нам известны первая посылка и заключение, то мы легко
найдём вторую посылку, и она будет иметь вид Aym, т.е. “Все студенты – люди.
Проверим наши рассуждения с помощью алгоритма «Редан».
Все люди(m) талантливы(х)
F(m,y) = ?
Все студенты(y) талантливы(x).
Решение.
Для универсума «живые существа» получим такие диаграммы.
Результат, казалось бы, парадоксален. Однако здесь нет никаких противоречий, поскольку мы не определили ни содержание термина «студенты», ни его
количественные характеристики.
Наряду с этим необходимо подчеркнуть пассивную роль кванторного исчисления, предназначенного, казалось бы, для защиты Аристотелевой силлогистики.
В [43] приводится пример элегантного доказательства достоверности первого
модуса первой фигуры (AmxAym -> Ayx) с применением кванторного исчисления.
145
146
Однако этот модус самый примитивный из всех, и легко доказывается даже в
обычной двоичной логике без привлечения кванторов («лишних сущностей» по
Оккаму). Кванторный механизм создавался, в первую очередь, для того, чтобы
проверить силлогистику Аристотеля. Однако до сих пор такой проверки не произошло. Отсюда можно сделать следующий вывод: либо кванторным исчислением матлогики не владеют настолько, чтобы доказать или опровергнуть правоту
Аристотеля, либо само кванторное исчисление является ущербным. Автор склоняется ко второму выводу, поскольку кванторное исчисление – примитивная мнемоника и ничего более.
4.8. Ошибки Аристотеля.
Важнейшим разделом классической логики является силлогистика, основные положения которой были разработаны Аристотелем. Решение задач силлогистики
опирается на Аристотелевы фигуры, модусы и 4 основных правила посылок[9].
Задача 1.
Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики.
Решение.
Это правило формулируется так [9, стр.133]: «Хотя бы одна из посылок
должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует». Подберём контр-пример на 1-е правило
посылок.
Ни один человек(m) не является бессмертным(x).
Ни один человек(m) не является счастливым(y).
F(x,y) = ?
В данном силлогизме универсумом(U) является множество существ. По алгоритму ИЭИ получим следующий результат. Примем априори, что счастливых
меньше, чем бессмертных.
По алгоритму ТВАТ получим графическое решение. Здесь Y1 – Y4 – различные ситуации распределения множеств счастливых существ. Предполагается, что
Боги тоже могут быть несчастны.
146
147
F(x,y) = y’+I = Ixy’(7), т.е. “Некоторые бессмертные несчастливы”. Результаты
графического синтеза заключения совпали со здравым смыслом и опровергли 1-е
правило посылок. Здесь и далее апостроф обозначает инверсию, а цифра в скобках – номер базиса.
Приведу здесь задачку проф. Белорусского Государственного Университета Беркова В.Ф.:
Ни один ребёнок (х) – не юноша (m).
Ни один юноша (m) – не взрослый мужчина (y).
F(x,y) = ?
Казалось бы, она по Аристотелю полностью совпадает с предыдущей. Следовательно, заключение должно быть аналогичным. Однако аналитический метод
требует скрупулёзного учёта всех условий. Поэтому в данном силлогизме будут не
две посылки, а, по меньшей мере, три. Причём эта третья сразу сделает задачку
Беркова бессмысленной: придётся указать, что универсум мужчин состоит из трёх
непересекающихся множеств юношей, детей и взрослых мужчин. Аналитика (алгоритм ИЭИ) лишь подтвердит очевидность.
M = EmxEym & (mx’y’+m’xy’+m’x’y) = (m’+x’)(y’+m’)(mx’y’+m’xy’+m’x’y) =
(x’y’+m’)(mx’y’+m’xy’+m’x’y) = m’xy’ + m’x’y + mx’y’.
F(x,y) = xy’ + x’y + x’y’ = x’ + y’ = Exy.
Значительно проще и безопаснее пользоваться графо-аналитическим алгоритмом ТВАТ: он страхует от неучёта дополнительных условий. Все условия в
графике изображаются автоматически, машинально.
147
148
Из этого рисунка и без таблицы истинности видно, что «Ни один ребёнок – не
взрослый мужчина». Главная ошибка Аристотеля как раз и заключается в том, что
он не принимает во внимание содержание терминов и универсума.
Оппоненты иногда возражают, что в моих силлогизмах появляются скрытые
дополнительные посылки. Это вызвано лишь требованиями здравого смысла: не
может быть одновременно множество X больше, меньше и равно множеству Y.
Поскольку Аристотель игнорирует требования рассудка, то будем играть по его
правилам. В этом случае опровержение 1-го правила посылок будет выглядеть
таким образом: EmxEmy → f(x,y).
148
149
Мы получили заключение «Некоторые не-Х суть не-Y» в третьем базисе, т.е. в базисе Аристотеля. В этом случае опровержение Аристотеля выполнено без привлечения скрытых посылок.
Задача 2.
Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики.
Решение.
Это правило формулируется так [9, стр.134]: «Если одна из посылок – отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным». Контрпример для этого случая может быть таким.
Все люди(m) – животные(x).
Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).
F(x,y) = ?
В качестве универсума(U) примем множество существ, в том числе и Богов
(бесхвостых). Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму
ТВАТ.
149
150
Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: «Все хвостатые существа – животные», что опровергает 2-е правило посылок.
Опять сыграем по правилам Аристотеля, т.е. пренебрежём здравым смыслом: у нас Y одновременно и меньше, и больше Х. Найдём заключение для следующих посылок: АmxEmy → f(x,y).
Полученное заключение прочитывается так: «Некоторые Х суть не-Y». Можно ли считать это отрицательным заключением? Едва ли. Если Y-бесхвостые, а Х
– животные, то результат выглядит так: «Некоторые животные имеют хвосты».
Если под отрицательными суждениями иметь в виду только общеотрицательные
функторы, то тогда неправота Аристотеля абсолютна.
Задача 3.
Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики[9,
стр.134].
150
151
Решение.
Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть
общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не
следует». Рассмотрим контр-пример:
Некоторые люди (m) неграмотны (x).
Некоторые люди (m) бескультурны (y).
F(x,y) = ?
Пусть U – множество животных и богов. Предположим, что культурным (вежливым, например) может быть и неграмотный, т.е. примем, что некультурных
меньше, чем неграмотных. Животные по определению не могут быть ни культурными, ни грамотными. Боги могут быть и невежами, и невеждами. Вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.
f(x,y) = x+i = Ixy(5), т.е. «Некоторые неграмотные бескультурны». Это соответствует математике и здравому смыслу, что ставит под сомнение корректность
3-го правила посылок. Если принять, что без образования не может быть культуры, то мы сразу получим тривиальное заключение «Все неграмотные бескультурны». И это общеутвердительное заключение получено абсолютно корректно в
полном соответствии со здравым смыслом при двух частноутвердительных посылках.
151
152
Однако проверим это утверждение, пренебрегая здравомыслием, т.е. опять
строго по-Аристотелю. Получим следующую картину при невыполнимом в реальной жизни условии, что Y одновременно и меньше, и больше Х.
Проведём синтез силлогизма ImxImy → f(x,y).
Да, действительно для человека с больным рассудком 3-е правило посылок
Аристотеля неопровержимо.
Задача 4.
Проверить 4-е правило посылок на примере синтеза силлогизма:
Все люди (m) смертны (x)
Некоторые люди (m) неграмотны (y)
-----------------------------------------------f(x,y) = ?
Решение.
Конкретизируем рассматриваемый силлогизм.
В храме Аполлона находятся 2 жреца, 3 жертвенных животных и сам бог
Аполлон. Известно, что неграмотных четверо.
Универсум состоит из 6 «душ»: жрецов, животных и бога. Следовательно, по
152
153
алгоритму ТВАТ возможно одно единственное заключение: «Все неграмотные
смертны». Мы не можем считать Аполлона неграмотным: пришлось бы увеличить
количество безграмотных до 5 единиц.
Такое заключение перечёркивает 4-е правило посылок[9,стр.135]:” Если одна
из посылок – частное суждение, то и заключение должно быть частным”.
Однако вновь вернёмся к правилам игры Аристотеля. Вновь по алгоритму
ТВАТ проведём синтез силлогизма. Пусть это будет силлогизм EmxImy → f(x,y).
Мы подтвердили 4-е правило посылок, но нужно иметь в виду, что частноутведительный функтор Аристотеля не «вписывается ни в какие ворота», ему по
утверждению Васильева[5] нет места в науке.
Следовательно, мы доказали, что с точки зрения здравого смысла все правила посылок и все модусы некорректны. Даже для человека с больным воображе153
154
нием, пользующегося базисом Аристотеля, первая половина всех правил посылок
ущербна.
Одновременно мы доказали, что на заключение влияют не только характер
посылок, но и количественные характеристики всех терминов-множеств. Таким
образом, все логические построения Аристотеля оказались хрупкими костылями
для интеллектуальных инвалидов.
Итак, мы убедились, что все правила силлогистики некорректны. Рассматривать после этого “правильные” модусы Аристотеля уже не имеет смысла. Наиболее очевидная ошибка Аристотеля связана с первым модусом 4-й фигуры. Здравый смысл и математика убеждают нас в том, что от перестановки посылок заключение не изменяется. Однако все логики как попугаи вслед за Аристотелем
повторяют, что 1-й фигуре соответствует модус ААА, а 4-й – AAI. Приведём результаты синтеза этого модуса в базисе Аристотеля по алгоритму ТВАТ:
Мы доказали, что первые модусы 1-й и 4-й фигуры ничем не отличаются друг
от друга, т.е. строго математически в базисе Аристотеля подтвердили правоту
здравого смысла. Наиболее грубая, невежественная ошибка Аристотеля заключается в том, что он в своих модусах не учитывает ни универсма, ни содержание
терминов, ни их количественные характеристики. Это невежество тиражируется
мировой наукой, преподаванием безграмотной болтологики в средних и высших
учебных заведениях России. Невежество современных математиков заключается
не только в том, что они проигнорировали предостережение Ф. Бэкона, который
ещё в 1620г. заявил о бесполезности и даже вредности логики Аристотеля, но и в
том, что эти «так называемые логики» (по саркастическому выражению Кэрролла)
не сумели за 120 лет освоить трудов выдающихся математиков П.С. Порецкого и
154
155
Л. Кэрролла. Аналитическое представление кванторов Axy и Exy впервые разработал в 1884 г. гениальный русский логик П.С. Порецкий, а вслед за ним к таким
же результатам пришёл талантливый английский писатель и учёный Л. Кэрролл.
До сих пор ни в одном учебнике по математической логике вы не встретите этих
формул, однако будете всюду натыкаться на кванторное исчисление, которое ничего не исчисляет, и алгебру множеств, которая является обычной алгеброй логики.
Заключение
1.Предложены простые и надежные способы графической и аналитической проверки силлогизмов и синтеза заключений или посылок для любых базисов.
2.Применение предложенных методов избавляет от необходимости запоминания множества логических правил и законов.
3.Предложенные методы ставят крест на исчислении предикатов, кванторный аппарат которого не справился, да и не мог по определению справиться, с
задачами анализа и синтеза силлогизмов, поскольку является не исчислением, а
примитивной мнемоникой.
4.Впервые аналитически описан базис логики Аристотеля-Жергонна.
5.Впервые на основе базиса Аристотеля-Жергонна разработана силлогистика, существенно отличающаяся от классической.
6.Впервые проверены
все
64
модуса
силлогистики
Аристотеля-
Жергонна. Доказано, что Аристотелев модус AAI в 4-й фигуре не является правильным.
7.Впервые доказано, что ни силлогистика Аристотеля-Жергонна, ни
классическая силлогистика не укладываются в прокрустово ложе 19 «правильных» модусов.
8.Доказано, что ни классическая силлогистика, ни силлогистика Аристотеля-Жергонна не имеют никакого отношения к логике здравого смысла.
9. Доказано, что все 4 правила посылок с точки зрения здравого смысла
некорректны.
155
156
Глава пятая
Атомарная силлогистика.
Внимательный анализ силлогизмов приводит к выводу о том, что даже базисы
логики
здравого смысла не всегда корректно выражают содержание посылок.
Проиллюстрируем это следующим силлогизмом [11].
Все солдаты (х) храбрые(m)
Некоторые англичане(y) храбрые(m)
---------------------------------Некоторые англичане – солдаты
Решение.
Представим 2-ю посылку в русском базисе.
Правомерно ли использование во второй посылке русского базиса? По
меньшей мере, допущена некорректность по отношению к англичанам (Y2 соответствуе суждению «Все трусы – англичане») и нарушена достоверность посылки.
Исходя из скалярной диаграммы для Imy(2) и полагая универсумом все человечество, приходим к выводу, что возможны ситуации, когда все трусы - англичане.
Это несправедливо. Правильным в этом случае будет использование базиса Васильева. Рассмотрим посылку, которая не вписывается ни в один из базисов.
Суждение "Все люди (х) смертны (у)" при условии, что универсумом являются живые существа, описывается следующей формулой: Axy = y. Посылка "Ни один живой человек(x) не есть труп(y)" также имеет нестандартное аналитическое представление: Exy = xy'+x'y. Многообразие базисов приводит к мысли о том, что разумнее иметь некий элементарный базис, на основе которого можно как из кирпи156
157
чиков (атомов) строить описание любой посылки. Автор предлагает следующий
"атомарный" базис.
Все Х суть Y.
a)
Иллюстрация: "Все
квадраты(x) суть прямоугольники(y)".В данном случае
универсум - параллелограммы.
b)
Иллюстрация: "Все люди(x) смертны(y)" при условии, что универсум – смертные существа.
Ни один X не есть Y.
a)
157
158
Иллюстрация: "Ни один круг(x) не есть квадрат(y)" Универсум(U) - геометрические фигуры.
b)
Иллюстрация: "Ни один живой (х) не есть труп (у)"
Некоторые X суть Y.
a)
158
159
Иллюстрация: " Некоторые студенты (х) отличники (у)". U – учащиеся.
b)
Иллюстрация: «Некоторые люди (х) неграмотны (у)». Универсум – смертные существа.
На основе атомарного базиса может быть построен любой другой. Например,
функтор Ixy(2)
Axy(3)
представляет
является
комбинацией
собой
объединение Ixy(a), Ixy(b). Функтор
функторов Axy(a), Axy(c). Все эти объедине-
ния легко выполняются с помощью скалярных диаграмм. Для фиксации и компактного описания введём операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда вышеприведенные словесные описания могут быть
представлены в виде следующих выражений.
Ixy(2) = Ixy(a) || Ixy(b)
Axy(3) = Axy(a) || (x=y)
Можно ли сделать атомарный базис более компактным, более элементарным? Да, безусловно. Необходимо произвести следующие замены.
Axy(b) = Axy(a)Ax'y(a);
Axy(с) = (y=x) – равнозначность;
Exy(a) = Axy'(a);
Exy(b) = (y=x') – неравнозначность, инверсия;
Ixy(b) = Ax'y(a)&Ay’x(a).
Таким образом, элементарный атомарный базис в качестве фундамента имеет всего лишь два силлогистических функтора:
Axy = x'+y,
Ixy = x+y+x'y' = 1
Опишем на основе этих формул все базисы здравого смысла и базис Аристо159
160
теля.
Русский базис.
Axy(2) = Axy = x'+y
Exy(2) = Axy' = x'+y'
Ixy(2) = Ixy || Ax'y = x+y+ix’y' = x+y+i
Базис Васильева.
Axy(8) = Axy = x'+y
Exy(8) = Axy' = x'+y'
Ixy(8) = Ixy = x+y+x'y' = 1
Базис Аристотеля-Жергонна.
Axy(3) = Axy || (x=y) = xy+x'y'+ix'y = xy+x'y'+iy
Exy(3) = Axy' = x'+y'
Ixy(3) = Ixy || Ax'y || Axy || Ayx || (x=y) = xy+i(x'+y') = xy+i
Oxy(3) = Ixy || Ax'y || Axy' || Ayx = xy'+i(x'+y) = xy’+I = Ixy'(3)
Для синтеза силлогизмов в атомарном базисе пригодны все разработанные автором алгоритмы: «Осташ», «ИЭИ», «ТВАТ». Самым простым и надёжным является
графический алгоритм «ТВАТ».
Пример 1.
Все люди(m) смертны (х)
Некоторые люди(m) неграмотны (у)
_______________________________
Найти f(x,y)
Решение.
В данном случае универсум – существа.
M = Amx(b)Imy(b) = x(m+y) = xm+xy
f(x,y) = xy+x = x = Ayx(b)
Число в скобках (индекс) указывает вариант базиса. Базис заключения может
быть не только атомарным, но и смешанным (русский, общеразговорный, Аристотеля и т.д.). Базис посылок, как правило, должен быть атомарным. Рассмотрим
синтез соритов, т.е. многопосылочных силлогизмов. Никаких проблем здесь не
существует, если логик хорошо знает карту Карно или метод обобщенных кодов
для минимизации логических функций[13,14]. При числе посылок более 10 разумнее использовать программы минимизации на основе метода обобщённых ко160
161
дов Мавренкова для любого ПК.
Пример 2.
Пусть в атомарном базисе в варианте «a» задан сорит из 6 посылок:
M = AabAbcAcdAdeAexExy = (ab')'(bc')'(cd')'(de')'(ex')'(xy)'.Найти заключения для
различных комбинаций аргументов.
Решение.
Перемножать все эти функторы слишком утомительно. Инженерная логика в
таких ситуациях использует формулу Моргана и работает с M'.
M' = ab'+bc'+cd'+de'+ex'+xy.
Заполнив карту Карно на 7 переменных для М', сразу из нее получим выражение для М:
M = a'b'c'd'(e'x'+xy') + dexy'(a'b'+bc).
Отсюда можем получить заключение для любых аргументов. Вся операция занимает не более 5 мин при условии, что под рукой бланки карт Карно на 6-8 переменных. Однако не мешает проверить истинность полученного для М выражения. Делается это просто: нужно вывести из М все исходные посылки. Для чего
нужно просто заменить на логическую единицу все «лишние» переменные.
Например, для M(a,b) получим:
M(a,b) = a’b’+a’b’+b = a’+b = Aab, что точно соответствует первой посылке заданного сорита. Остальные посылки читатель может проверить самостоятельно.
Аналогично могут быть получены заключения(функции) для любых других аргументов. Это метод Порецкого и здесь он намного превзошёл Кэрролла, который
из каждого сорита мог вывести лишь одно заключение.
М(a,y) = a’+a’y’+y’a’+y’ = a’+y’ = Eay
М(a,x) = a’x’+a’x+xa’+x = a’+x = Aax
М(b,d) = b’d’+db’+db = b’+d = Abd и т.д.
Все заключения получены в атомарном базисе (вариант «а»).
Пример 3.
Пусть первые 5 посылок сорита заданы в атомарном базисе, а шестая – в русском.
M = AabAbcAcdAdeAexIxy
Найти заключение f(a,y).
161
162
Решение.
Используя решение предыдущего примера для М(a,x),получим:
M = AabAbcAcdAdeAexIxy = AaxIxy = (a'+x)(x+y+ix'y') =x+a'y+ia'x'y'
M(a,y) = a’y+I = Ia’y(3).
Заключение получено в 3-м (Аристотелевом) базисе. Скалярные диаграммы
подтверждают полученные результаты.
Пример 4.
Все добрые люди – честные
Все недобрые люди – агрессивные
Найти заключение f(x,y).
Решение.
Добрые люди – m.
Честные люди – x.
Агрессивные люди – y.
Люди – универсум U
По алгоритму «ИЭИ»
M = AmxAm’y = (m’+x)(m+y) = mx+m’y.
F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax’y = Ay’x.
F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax’y = Ay’x, т.е. результаты всех методов синтеза совпали.
Пример 5.
На конференциях, семинарах и лекциях я часто подбрасывал слушателям
силлогизм:
Все люди(m) смертны(x).
Некоторые люди(m) неграмотны(y).
162
163
-----------------------------------------Некоторые смертные неграмотны.
Я заранее предупреждал испытуемых, что все их попытки решения задачи
обречены на провал. "Корифеи" возмущались, но справиться с силлогизмом не
смог никто. Это в принципе невозможно без знания Русской логики. Она дисциплинирует мышление, заставляет конкретизировать посылки, вкладывая строго
определённый смысл в каждый термин, требует чёткого определения универсума.
По канонам классической логики заключение должно выглядеть так: Некоторые
смертные неграмотны". На самом деле здесь возможны несколько вариантов решения в зависимости от универсума и конкретного наполнения терминов, почему
и не может решить силлогизм ни один академик. Одно из возможных заключений
имеет вид:
Все неграмотные смертны.
Это вопиюще противоречит законам классической логики, но вполне согласуется со здравым смыслом, если мы в качестве универсума примем множество
смертных и бессмертных существ и будем считать всех животных неграмотными,
а богов - грамотными.
5.1. Практикум по силлогистике.
В своей книге “Логика для студентов” О. А. Солодухин приводит большое
количество задач. Это первый гуманитарий, который пытается привлечь математику для анализа силлогизмов. Проверим эти задачи алгоритмами ИЭИ и ТВАТ.
В дальнейшем все примеры будут построены на базисе Васильева, поскольку именно он более всего отражает логику здравого смысла. Напомним, что
этот базис имеет следующее аналитическое представление:
Axy = x'+y
Exy = x'+y'
Ixy(8) = x+y+x'y' = 1, где в скобках указан номер базиса для частно163
164
утвердительного суждения, а апостроф означает отрицание.
Силлогизмы с четырьмя терминами .
Рассмотрим популярный пример силлогизма с четырьмя терминами и докажем его корректность.
Пример.
Сахар(m) сладкий(x).
Все дети(y) любят(z) сахар(m).
------------------------------Все дети любят сладкое.
Решение.
На основании алгоритма ИЭИ получим следующее выражение для полной
единицы системы:
M = AmxAy(zm) = (m’+x)(y’+mz) = m’y’+xy’+mxz.
F(x,y,z) = M(x,y,z) = y’+xy’+xz = y’+xz = Ay(xz), т.е. «Все дети любят сладкое»,
ч.т.д. Однако ребёнок может любить сладкий сахар и не любить сладких конфет,
так что заключение не бесспорно.
Мы убедились в том, что силлогизмы могут содержать более 3-х терминов,
и нашли способ анализа таких силлогизмов.
Следующие задачи созданы Кэрроллом[11].
Задача 1[11]
Только философы эгоисты.
Нет циника, который не был бы эгоистом.
Следовательно, все циники – философы.
Решение.
Пусть x – философы, y – циники, m – эгоисты. Универсум – люди. Тогда по
алгоритму ИЭИ получим:
M = AmxAym = (m’+x)(y’+m) = m’y’+xy’+mx
F(x,y) = y’+x = Ayx, т.е. наш результат подтвердил истинность заключения.
Проверим решение по алгоритму ТВАТ.
164
165
F(x,y) = y’+x = Ayx, т.е. результаты по алгоритмам ИЭИ и ТВАТ совпали.
Задача 2[11]
Лишь глупые люди верят в конец света.
Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.
Всегда найдётся глупец, который не верит в гармонию мира.
Решение.
Пусть х – глупые люди, m – верящие в конец света, у – верящие в гармонию
мира. Универсум – люди.
M = AmxEym = (m’+x)(y’+m’) = m’+xy’
f(x,y) = xy’+i = Ixy’(3)
F(x,y) = xy’+i = Ixy’(3).
Если трактовать заключение как “Все глупцы не верят в гармонию мира”, то
такой вывод ошибочен.
Задача 3[11]
Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком.
Никто, ни один Человек не верит политикам.
165
166
Все, кто верит политикам, не верит в себя.
Решение.
Пусть х – кто верит в себя, m – Человек, у – кто верит политикам. Универсум
– люди.
M = (x m)Emy = (xm+x’m’)(m’+y’) = x’m’+xmy’
f(x,y) = x’+y’ = Exy.
Задача 4[11,стр.151]
Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве.
Только 12% членов парламента составляют юристы.
Не все, кто создают законы, являются юристами.
Решение.
Пусть x – законотворцы, m – члены парламента, y – юристы. Универсум –
люди.
M = AmxImy(8) = (m’+x)&1 = m’+x
F(x,y) = x+i = Ixy(5).
166
167
F(x,y) = x+i = Ixy(5), т.е. алгоритмы ИЭИ и ТВАТ дали одинаковые результаты, формально не подтверждающие заключение Кэрролла, поскольку в нём
не указан базис.
Задача 5[11]
Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.
Настоящий бизнесмен не боится инфляции.
Некоторые юристы не опасаются инфляции.
Решение.
Пусть x – юристы, m – бизнесмены, y – не боящиеся инфляции предприниматели. Универсум – люди.
M = IxmAmy = 1*(m’+y) = m’+y
F(x,y) = y+i = Ixy(7).
Опять формальное несовпадение исходного заключения с полученными результатами, поскольку в заключении не указан базис. По умолчанию в классиче167
168
ской логике используется базис Аристотеля, т.е. 3-й базис.
Задача 6[11]
Только политики верят в пользу насилия.
Не всякий любитель насилия любит собственных детей.
Некоторые политики не любят своих детей.
Решение.
Пусть x – политики, m – любители насилия, y – не любящие своих детей родители. Универсум – люди.
M = AmxImy(8) = (m’+x)&1 = m’+x
F(x,y) = x+i = Ixy(5)
Опять формальное несовпадение результатов с исходным заключением
Кэрролла.
Задача 7[11]
Только в споре рождается истина.
Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.
Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.
Решение.
Пусть x – “родители истины”, m – спорщики, y – глупец или мошенник. Универсум – люди.
M = AxmAmy = (x’+m)(m’+y) = m’x’+x’y+my
F(x,y) = x’+y = Axy.
168
169
Задача 8[11,стр.151]
Боязливый к прекрасному полу – боязлив и в жизни.
Тот, кто знает логику, не боится женщин.
Трус не разбирается в логике.
Решение.
Пусть x – боязливый в жизни, m – боящийся женщин, y – знающий логику.
Универсум – мужчины.
M = AmxEym = (m’+x)(y’+m’) = m’+xy’,
F(x,y) = xy’+i = Ixy’(3).
В данном случае исходное заключение кардинально ошибочно. Должно
быть в 3-м базисе: «Некоторые трусы не разбираются в логике».
Задача 9[11]
Среди болтунов нет логиков.
Только болтун может стать политиком.
Ни один логик не станет политиком.
Решение.
Пусть x – логик, m – болтун, y – политик. Универсум – люди.
M = EmxAym = (m’+x’)(y’+m) = m’y’+x’y’+mx’
F(x,y) = x’+y’ = Exy.
169
170
Задача 10[11]
Иногда проходимец может оказаться ясновидцем.
Если ты ясновидец, то не должен лгать.
Существуют проходимцы, которые обязаны говорить правду.
Решение.
Пусть x – проходимец, m – ясновидец, y – честный. Универсум – люди.
M = IxmAmy = 1&(m’+y) = m’+y
F(x,y) = y+i = Ixy(7)
Опять Кэрролл получил заключение в 3-м базисе, а должно быть в 7-м.
Задача 11[1,стр.152]
Лишь двоечник по убеждению – лентяй.
Ни один студент не любит получать двойки.
Значит, среди студентов нет лентяев.
Решение.
Пусть x – лентяй, m – двоечник, y – студент. Универсум – учащиеся.
170
171
M = AxmEym = (x’+m)(y’+m’) = x’y’+my’+m’x’
F(x,y) = x’+y’ = Exy.
Задача 12[11]
Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.
Только демократическое государство может быть правовым.
Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.
Решение.
Пусть x – реализующее права граждан государство, m – правовое государство, y – демократическое государство. Универсум – государство.
M = AxmAmy = (x’+m)(m’+y) = m’x’+x’y+my = m’x’+my
F(x,y) = x’+y = Axy.
Особый класс рассуждений составляют логические конструкции, в которых
вместо связки «есть» («суть») используется любой другой глагол. В книге Вагина
В.Н. «Дедукция и обобщение в системах принятия решений» – М.: Наука, 1988 на
171
172
стр.44 приводится пример 2.18:
Некоторые студенты(m) любят(z) всех преподавателей(x).
Ни один студент(m) не любит(z) ни одного невежду(y).
Следовательно, ни один преподаватель не является невеждой.
Этот силлогизм (?!) якобы анализируется с помощью “кванторного исчисления”, которое ничего кроме мнемоники собой не представляет. На двух страницах
приводится “доказательство” истинности заключения. Однако 5 минут здравого
размышления дают совершенно иной ответ. Поэтому проверим результат с позиций Русской логики.
Вариант 1.
Не очень обоснованно, но будем считать глагол “любить” эквивалентом
обычной связки “есть”. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:
M = ImxEmy = m’+y’.
F(x,y) = y’+i = Ixy’(7).
Поскольку обоснованность замены глагола “любить” связкой “есть” весьма
сомнительна, то проверим заключение по варианту 2.
Вариант 2.
Учтём глагол «любить» как ещё одну логическую переменную z. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:
M = Im(zx)Em(zy) = m’+(zy)’ = m’+z’+y’.
F(x,y) = i+i+y’ = y’+i = Ixy’(7), т.е. “Некоторые преподаватели – не невежды”,
что и требовалось доказать.
Задача 13
В книге Федора Сергеевича Сельского “Пять рассказов о философах” (Тюмень,
1998) пятый заключительный рассказ открывается личным воспоминанием автора
о том, как им, первокурсникам философского отделения, молодой и талантливый
преподаватель логики доказал, что без логики нет счастья, построив “немудрящий
силлогизм”:
“Без знания нет счастья.
Логика дает знания.
Следовательно, без логики нет счастья.
172
173
Силлогизм нас сразил. Удивительно, но факт: я до сих пор нахожусь под обаянием этого простенького умозаключения и убежден, что логика необходима для
счастья ” (с. 33), – признается Ф.С.Сельский. И напрасно. Это характеризует всеобщую логическую безграмотность и бестолковость.
Решение.
Пусть m – обладающий знанием, x – счастливый, y – знающий логику. Универсум – человечество. Поскольку в этом случае посылки трудно записать сразу в
кванторной форме, то используем импликативное представление.
M = (m’ x’)(y m) = (x’+m)(y’+m) = AxmAym = m+x’y’.
В этом случае при определённых количественных характеристиках можно
получить три варианта заключений: Axy, Exy, Ixy. Обобщённое заключение может
выглядеть так: f(x,y) = M(x,y) = x’y’+i = Ix’y’ в третьем базисе, т.е. “Некоторые из
тех, для кого недоступно счастье, не изучают логику”. Но такое интегрированное
заключение никому не интересно: нужно знать все варианты заключений и их вероятности.
Силлогизм имел бы единственное заключение при следующих посылках:
Без знания(m) нет счастья(x).
Без логики(y) нет знания(m).
Следовательно, без логики нет счастья.
M = (m’ x’)(y’ m’) = (x’+m)(m’+y) = AxmAmy = m’x’+my.
F(x,y) = x’+y = Axy, т.е. «Все счастливые знают логику», или «Без логики нет
173
174
счастья», или «Все, не знающие логику, несчастливы».
5.2. Практикум по решению соритов.
Сорит – это умозаключение, в котором из нескольких посылок выводится, как правило, одно заключение. Посылки в сорите, за редчайшим исключением, являются
общеутвердительными или общеотрицательными. На самом деле реально посылки могут быть как общего, так и частного характера. Но самое главное, что заключений в сорите может быть огромное количество. Оно определяется как число
сочетаний из числа посылок по 2, т.е.
K = С(n, 2) = n(n-1)/2, где
К – число заключений, n – число терминов в посылках. Количество абсолютно новых заключений меньше К на число исходных посылок. Если же рассматривать
искомые заключения, как функции от трёх и более переменных, то К значительно
возрастает. Однако при этом теряется прозрачность полученных результатов. Алгоритм «Осташков» для решения соритов достаточно прост. Он является следствием из алгоритмов «ИЭИ» (синтез силлогизмов) и «Селигер» (решение логических уравнений) [25]. Аббревиатуры СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) и МДНФ (минимальная дизъюнктивная нормальная форма) являются традиционными в классической логике, поэтому не требуют пояснений.
Алгоритм «Осташков» синтеза соритов.
1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей
исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы М.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное
174
175
соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы М.
4. Получить из М все заключения сорита как функции от двух заданных переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные.
5. Представить результаты в виде скалярных диаграмм.
Пример 1.
«Энциклопедия - Россия-Он-Лайн» излагает пример решения сорита классическим методом. Далее это решение приводится в виде текста, выделенного курсивом.
Алгебра множеств является подразделом булевых алгебр,
впервые возникших в трудах Дж. Буля (1815–1864). В аксиомах булевой алгебры
отражена аналогия между понятиями «множества», «событие» и «высказывания».
Логические высказывания можно записать с помощью множеств и
проанализировать с помощью булевой алгебры.
Даже не вдаваясь в детальное изучение законов булевой алгебры, мы можем
получить представление о том, как она используется на примере одной из
логических задач Льюиса Кэрролла. Пусть у нас имеется некоторый набор
утверждений:
1. Не бывает котенка, который любит рыбу и которого нельзя научить
всяким
забавным штукам;
2. Не бывает котенка без хвоста, который будет играть с гориллой;
3. Котята с усами всегда любят рыбу;
4. Не бывает котенка с зелеными глазами, которого можно научить забавным
штукам;
5. Не бывает котят с хвостами, но без усов.
Какое заключение можно вывести из этих утверждений?
Рассмотрим следующие множества (универсальное множество I включает
в себя всех котят):
175
176
A – котята, любящие рыбу; B – котята, обучаемые забавным
штукам; D – котята с хвостами; E – котята, которые будут играть с
гориллой; F – котята с зелеными глазами и G – котята с усами. Первое
утверждение гласит, что множество котят, которые любят рыбу, и дополнение
множества котят, обучаемых забавным штукам, не имеют общих элементов.
Символически это записывается как
1. AC(B) = O.
Аналогичным образом остальные утверждения можно записать так:
2. C(D)E = O;
3. G М A;
4. BF = O;
5. D М G.
Принимая во внимание теоретико-множественный смысл символов (или
воспользовавшись законами булевой алгебры), мы можем переписать
утверждения 1, 2 и 4 в виде
1. A М B;
2. E М D;
4. B М C(F).
Таким образом, мы переформулировали исходные утверждения в следующие:
1. Котят, которые любят рыбу, можно обучить забавным штукам;
2. У котят, которые будут играть с гориллой, есть хвосты;
4. У котят, которых можно обучить забавным штукам, глаза не зеленые;
Теперь можно расположить символические записи утверждений в таком порядке,
чтобы последний символ предыдущего утверждения совпадал с первым
символом
следующего (этому условию удовлетворяет расположение утверждений в
порядке 2, 5, 3, 1, 4). Возникает цепочка включений E М D М G М A М B М C(F), из
которой можно сделать вывод, что E М C(F) или «Не бывает котенка с
зелеными глазами, который будет играть с гориллой». Такое заключение
едва
ли очевидно, если рассматривать пять исходных утверждений в их словес176
177
ной
формулировке.
Как несложно убедиться, классическая логика при синтезе соритов громоздка
и однобока (даёт одно единственное заключение). Решим этот сорит в соответствии с алгоритмом «Осташков». Используем все обозначения и универсум из
цитируемой энциклопедии.
Тогда наши посылки будут описаны с помощью силлогистических функторов
следующим образом:
1. Aab.
2. Aed.
3. Aga.
4. Ebf.
5. Adg.
Для перевода мнемонических записей на язык математики воспользуемся Руской
логикой[26]: Axy = x’+y; Exy = x’+y’; Ixy(8) = 1. Здесь и далее во всех аналитических
выражениях апостроф представляет инверсию аргумента или функции. Переходим к выполнению алгоритма “Осташков”. Вначале находим полную единицу системы М как логическое произведение всех исходных посылок.
1. M = AabAedAgaEbfAdg = (a’+b)(e’+d)(g’+a)(b’+f’)(d’+g).
Поскольку перемножать 5 двучленов утомительно, то переходим к M’ с помощью
правила Де Моргана:
M’ = ab’+d’e+a’g+bf+dg’
2 и 3. После заполнения карты Карно и проведения минимизации[13] получим:
M = a’b’d’e’g’+bd’e’f’g’+abd’e’f’+abdf’g
4. Перебирая все комбинации из шести переменных по 2 получим 15 заключений:
177
178
f1(a,b) = a’b’+b+ab+ab = a’+b = Aab;(Все котята-“рыболюбы” обучаются забавным
штукам)
f2(a,d) = a’d’+d’+ad’+ad = a+d’ = Ada;(Все котята с хвостами любят рыбу)
f3(a,e) = a’e’+e’+ae’+a = a+e’ = Aea;(Все играющие с гориллой любят рыбу)
f4(a,f) = a’+f’+af’+af’ = a’+f’ = Eaf;(Все зеленоглазые не любят рыбу)
f5(a,g) = a’g’+g’+a+ag = a+g’ = Aga;(Все усатые любят рыбу)
f6(b,d) = b+d’ = Adb;(Все хвостатые обучаются забавным штукам)
f7(b,e) = b+e’ = Aeb;(Все играющие с гориллой обучаются забавным штукам)
f8(b,f) = b’+f’ = Ebf;(Зеленоглазые не обучаются забавным штукам)
f9(b,g) = b+g’ = Agb;(Все усатые обучаются забавным штукам)
f10(d,e) = e’+d = Aed;(Все играющие с гориллой имеют хвосты)
f11(d,f) = d’+f’ = Edf;(Все зеленоглазые – бесхвостые)
f12(d,g) = d’+g = Adg;(Все хвостатые – с усами)
f13(e,f) = e’+f’ = Eef;(Зеленоглазые не будут играть с гориллой)
f14(e,g) = e’+g = Aeg;(Все играющие с гориллой имеют усы)
f15(f,g) = g’+f’ = Efg.(Зеленоглазые – без усов).
Поскольку универсум – котята, то во всех заключениях речь идёт только о них.
Отобразим исходные посылки на скалярных диаграммах в таком порядке:
AabAgaAdgAedEbf. Из диаграмм легко получаются все 15 заключений.
178
179
Для разнообразия построим ещё одно заключение в виде функции от трёх
переменных.
f16(a,b,d) = a’b’d’+bd’+abd’+abd = a’d’+ab =(a+d)’+ab = A(a+d)(ab), т.е. “Все рыболюбы или обучаемые забавным штукам суть хвостатые рыболюбы”. Такое заключение подтверждается и скалярными диаграммами. Кстати, диаграммы дают
более разнообразные заключения. Кроме полученного из М аналитически
f16(a,b,d) из диаграмм можно вывести заключение f17(a,b,d) = A(ad)b и т.д.
Из анализа результатов можно сделать следующие выводы:
1. Полученные функции f1(a, b),f5(a, g),f8(b, f),f10(d, e),f12(d, g) соответствуют исходным посылкам 1,3,4,2,5, что подтверждает правильность результатов синтеза.
2. Даже все синтезированные заключения не дают наглядного представления о
взаимном соотношении множеств a,b,d,e,f,g. С этой задачей могут справиться
лишь скалярные диаграммы.
179
180
Рассмотренный пример чрезвычайно прост. Такой примитивностью грешат
все сориты (по определению), поскольку они представляют «цепочки» вложенных
друг в друга посылок, когда из одной посылки легко выводится другая.
Попробуем решить более сложную задачу, когда посылки не укладываются в
прокрустово ложе традиционного сорита.
Пример 2.
Пусть заданы 4 суждения: Aa’c, Aa’d, Ab’c, Ab’d. Если исходные посылки из
предыдущего примера можно было сразу представить в виде скалярных диаграмм и тем самым получить готовое решение сорита, то в данном примере так
не получится. Решение по алгоритму «Осташков» выглядит следующим образом.
M = Aa’c Aa’d Ab’c Ab’d = (a+c)(a+d)(b+c)(b+d).
M’ = a’c’+a’d’+b’c’+b’d’.
После занесения в карту Карно и минимизации получим:
M = ab+cd.
f1(a,b) = ab+1 = 1 = Iab(8);
f2(a,c) = a+c = Aa’c;
f3(a,d) = a+d = Aa’d;
f4(b,c) = b+c = Ab’c;
f5(b,d) = b+d = Ab’d;
f6(c,d) = 1+cd = 1 = Icd(8).
Полученные функции f2 – f5 совпали с исходными посылками, что подтвердило корректность синтеза, но впредь лишнюю работу делать не обязательно: можно было построить лишь f1, f6. Пример 2 впервые показывает, что заключение
сорита может быть частноутвердительным. По результатам синтеза построим
скалярные диаграммы. Поскольку такой процесс эвристического построения несколько затруднителен, то предлагается использовать с этой целью сокращённую
таблицу истинности для М и формализовать синтез скалярных диаграмм.
180
181
Как несложно догадаться, скалярные диаграммы представляют собой двоичные
коды рабочих наборов полной единицы системы М.
Иногда возникает задача восстановить по известной полной единице системы М исходные посылки. Алгоритм разложения логического уравнения на исходные посылки прост.
Алгоритм графического нахождения исходных посылок.
1. Построить сокращённую таблицу истинности для М.
2. По сокращённой таблице истинности построить скалярные диаграммы.
3. Из скалярных диаграмм выбрать C(N,2) логических функций от двух переменных, где N – число аргументов, а C(N,2) – число сочетаний из N по 2.
Пример 3.
В задаче Порецкого о птицах получена полная единица системы:
M = sy+gx’. Найти минимальное количество возможных посылок.
Построим сокращённую таблицу истинности для М.
181
182
По полученной таблице истинности нарисуем скалярные диаграммы.
По скалярным диаграммам выберем наиболее простые логические функции от
двух переменных:
f1(g,s) = g+s = Ag’s;
f2(g,y) = g+y = Ag’y;
f3(s,x) = s+x’ = Axs;
f4(y,x) = x’+y = Axy.
После перемножения полученных посылок определим M:
M = (g+s)(g+y)(x’+s)(x’+y) = (g+sy)(x’+sy) = sy+gx’, что совпадает с исходными данными. Кстати, у Порецкого вместо 4-х посылок использованы 5. Т.е. для описания
логической системы от n переменных достаточно n двухаргументных посылок.
Однако это одно из возможных решений задачи: в результате мы можем получить
f5(g,x) = Egx. Поэтому правильным решением будет полный перебор всех двухаргументных посылок. Из М следует, что f5(g,x) = 1 = Ixy(8), но никак не Egx.
Алгоритм аналитического отыскания исходных посылок.
По заданной полной единице системы построить C(N,2) посылок сорита как
функций от двух переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные. Здесь N –
число аргументов.
Проверить полученные результаты логическим перемножением посылок и сравнением
с заданной полной единицей системы.
Пример 4.
182
183
Пусть задано M = m’+xy. Найти исходные посылки.
f1(m, x) = m’+x = Amx;
f2(m, y) = m’+y = Amy.
M = (m’+x)(m’+y) = m’+xy, что и требовалось доказать. Однако данный пример не
так прост, как кажется на первый взгляд. Здесь кроется подвох, связанный с отысканием f3(x,y). Поэтому из М находим третью посылку f3(x,y) = 1 = Ixy(8). Именно
эти три посылки однозначно определяют всю систему М.
При графическом методе по заданной М нужно построить таблицу истинности, а по ней нарисовать скалярные диаграммы.
Из скалярной диаграммы видно, что на самом деле M = AmxAmyIxy(8). Если
не использовать графический алгоритм поиска посылок, то можно было бы получить f3(x,y) = Axy, f4(x,y) = Ayx и т.д.
Пример 5
Если Бог существует, то он всемогущ и всеблаг. Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его (зло существует на Земле). Если Бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если Бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Вывести все возможные
заключения.
Решение.
X – Бог всемогущ,
Y – Бог всеблаг,
Z – Бог существует,
U – зло существует,
V – Бог бессилен против зла,
W – Бог желает предотвратить зло.
183
184
Рассматривая эту задачу в разделе «Логика суждений», мы пришли к выводу
о невозможности существования Бога (при условии, что все посылки корректны).
Однако, этот вывод далеко не единственный из заданных посылок. Чтобы найти
все 15 двухаргументных заключения, необходимо вначале получить полную единицу системы:
M = (z xy)u(u (v+w’))(x v’)(y w) =
= (z’+xy)u(u’+v+w’)(x’+v’)(y’+w).
Чтобы не перемножать все посылки, воспользуемся формулой де Моргана.
M’ = z(x’+y’)+u’+uv’w+xv+yw’.
После занесения нулей в карту Карно в соответствии с M’ и заполнения
оставшихся пустыми клеток карты Карно единицами получим в результате минимизации:
M = x’y’z’uv + y’z’uv’w’ + x’z’uvw.
Из М выведем все двухаргументные заключения:
F1(x,y) = x’y’+y’+x’ = x’+y’ = Exy;
F2(x,z) = x’z’+z’ = z’;
F3((x,u) = x’u+u = u;
F4(x,v) = x’v+v’ = x’+v’ = Exv;
F5(x,w) = x’+w+x’w = x’+w’ = Exw;
F6(y,z) = z’;
F7(y,u) = y’u+u = u;
F8(y,v) = y’v+y’v’+v = y’+v = Ayv;
F9(y,w) = y’+y’w’+w y’+w Ayw;
F10(z,u) = z’u = (Auz)’, т.е. «Неверно, что всё зло от Бога»;
F11(z,v) = z’v+z’v’+z’v = z’;
F12(z,w) = z’+z’w’+z’w = z’;
F13(u,v) = uv+uv’+uv = u;
F14(u,w) = u+uw’+uw = u;
F15(v,w) = v+v’w’+vw = v+w’ = Awv.
Пример 6.
Дано: M = A(a+b)c & A(c+d)e.
Найти все незаданные логические функции от двух переменных.
Решение.
184
185
M = A(a+b)c & A(c+d)e = (a’b’+c)(c’d’+e) = a’b’c’d’+a’b’e+ce.
Отсюда легко могут быть получены все функции от двух переменных (см. алгоритм «Осташков» и работу Порецкого [45]). Однако в таком решении нет наглядности, оно непрозрачно. Поэтому построим таблицу истинности, а по ней –
скалярные диаграммы Лобанова.
Из диаграмм видны все соотношения между множествами (логическими переменными a – e). Но для восстановления полной единицы системы достаточно 5
посылок: M = (a’+c)(b’+c)(c’+e)(d’+e)(a’+e) = a’b’c’d’+a’b’e+ce.
Пример 7.
Это задача Акимова О.Е. [1, №24, с.58]. Вот её текст.
Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению
объёма. Увеличение объёма приводит к росту скорости потока. Повышение давления приводит к падению уровня, если при этом уменьшать температуру. Снижение скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры. Технолог Иванов рассудил так: «Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объём и температуру».
Автор утверждает, что истинным утверждением является такое: «Уменьшение температуры и увеличение давления ведут к уменьшению объёма».
Решение.
Введём обозначения:
a – уменьшение температуры.
185
186
b – снижение давления.
c – уменьшение объёма.
d – снижение скорости.
e – падение уровня.
По алгоритму «Импульс» получим следующее решение.
(a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) → (a’c’→b’d) = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d+a+ c +
b’d = c’d’+a+c+b’d ≠ 1, т.е. технолог Иванов ошибается.
Чтобы проверить Акимова О.Е. [1,с.64], заменим правую часть нашего выражения:
(a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) → (a’b→c) = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d+a+b’+ +c
= c’d’+a+b’+c ≠ 1, т.е. автор примера не прав. Однако, это, скорее всего опечатка
Акимова, поскольку словесная формулировка заключения переводится на язык
логики иначе: (ab’→c).
В этом случае заключение по алгоритму «Импульс» получается достоверным:
(a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) → (ab’→c) = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d+a’+b+ +c
= 1.
Но не будем торопиться с выводами. Проверим решение задачи с помощью
алгоритма «Осташков». Полная единица системы выглядит так:
M = (a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) = (a’+bc)(c+d’)(b+a’+e)(d’+b+a’).
Перемножать все эти выражения в скобках утомительно – воспользуемся
формулой де Моргана:
M’ = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d = ab’+ac’+c’d.
Занесём M’ нулями в карту Карно – получим в результате:
M = a’(c+d’)+bc.
Найдём заключение в виде f(a,b,c) = M(a,b,c) = a’c+a’+bc = a’+bc = a→bc.
Для проверки этого абсолютно правильного и единственного заключения представим полную единицу системы в графическом виде.
186
187
Посмотрим, возможно ли заключение Акимова в виде (ab’→c), что эквивалентно A(ab’)c. Из диаграмм Лобанова видно, что пересечение множеств ab’ пусто, т.е. исходная посылка ложна. А из ложной посылки можно вывести всё, что
угодно. Следовательно, решение Акимова безграмотно. Работа [1] насыщена
примерами и задачами, что говорит о высоком профессионализме автора и его
любви к математике. Однако, в области математической логики – дремучее невежество и вопиющая безграмотность. Это общая беда всех матлогиков и тем более
логиков-гуманитариев.
Какие ещё выводы можно было бы сделать из диаграмм? Ну, например,
A(ac)b = ac→b. Как это понимать? Заключение a→bc не единственное? Нет, единственное: просто заключение ac→b вторично, является производным из исходного a→bc. Дело в том, что здесь проявляются импликативные законы.
Импликативно-силлогистические законы и их связь с силлогистикой.
1. Законы умножения.
1.1. Левую часть импликации можно логически умножить на любую логическую переменную.
(a→b) → (ac→b) = (a’+b) → (a’+c’+b) = ab’+a’+c’+b = 1, или
Aab → A(ac)b
1.2.
Обе части импликации можно логически умножить на одну и ту же
логическую переменную.
(a→b) → (ac→bc) = (a’+b) → (a’+c’+bc) = ab’+a’+c’+bc = 1, или
Aab → A(ac)(bc)
1.3. Нельзя сокращать обе части импликации на общий множитель.
(ac→bc) → (a→b) = (a’+c’+bc) → (a’+b) = ac(b’+c’)+a’+b ≠ 1.
187
188
1.4. Любой логический сомножитель правой части импликации можно переносить в левую.
(a→bс) → (ac→b) = (a’+bc) → (a’+c’+b) = a(b’+c’)+a’+c’+b = 1, или
Aa(bc) → A(ac)b
(a→bс) → (ab→c) = (a’+bc) → (a’+b’+c) = a(b’+c’)+a’+b’+c = 1, или
Aa(bc) → A(ab)c
1.5. Нельзя в правой части импликации вводить любой сомножитель.
(a→b) → (a→bc) = (a’+b) → (a’+bc) = ab’+a’+bc ≠ 1, или
Aab → Aa(bc) ≠ 1
1.6. Нельзя выносить за скобки общий множитель из эквивалентности.
(ac=bc) → c(a=b) ≠ 1
(ac=bc) → c(a=b) = ac(bc)’+(ac)’bc+c(a=b) = ab’c+a’bc+abc+a’b’c ≠ 1.
1.7. Можно выносить за скобки общий множитель из неравнозначности.
(ac≠bc) → c(a≠b) = (ac=bc) + c(ab’+a’b) = abc+c’+a’b’+ab’c+a’bc = 1.
2. Законы сложения.
2.1. Левую и правую части импликации можно логически сложить с одной
и той же логической переменной.
(a→b) → ((a+c)→(b+c)) = (a’+b) → (a’c’+b+c) = ab’+a’c’+b+c = 1, или
Aab → A(a+c)(b+c).
2.2. К правой части импликации можно добавлять любое логическое слагаемое.
(a→b) → (a→(b+c)) = (a’+b) → (a’+b+c) = ab’+a’+b+c = 1, или
Aab → Aa(b+c).
2.3. Из левой части импликации можно удалять любое логическое слагаемое.
((a+c)→b) → (a→b) = (a’c’+b) → (a’+b) = (a+c)b’+a’+b = 1, или
A(a+c)b → Aab, A(a+c)b → Acb.
2.4. Нельзя исключать общие логические слагаемые из левой и правой частей импликации.
((a+c)→(b+c)) → (a→b) = (a’c’+b+c) → (a’+b) = b’c’(a+c)+a’+b ≠ 1, или
A(a+c)(b+c) → Aab ≠ 1.
В этом случае правильная импликация выглядит так: A(a+c)(b+c) → Iab(8).
Импликативные законы хорошо иллюстрируются скалярными диаграммами,
подтверждая лишний раз единство логики суждений и силлогистики.
188
189
Все вышеперечисленные «аксиомы», законы и правила приведены не для
запоминания, а в качестве иллюстрации простоты доказательства этих законов, в
качестве иллюстрации возможностей созданной в России Русской логики, т.е. математической теории доказательств.
189
190
Выводы.
1. Анализ силлогистик здравого смысла (русской и общеразговорной) привел к
выводу о том, что наряду с использованием этих силлогистик необходимо построение атомарной силлогистики.
2. Впервые разработана атомарная силлогистика и даны
методы синтеза
атомарных силлогизмов и примеры их использования для решения конкретных
задач.
3. Впервые представлены методы синтеза соритов.
4. Показано, что для
каждой содержательной посылки нужно использовать
свой конкретный базис.
190
191
Глава шестая
Естественный вывод и кванторы.
В главе под таким названием в [43] излагается вывод умозаключений из
нескольких посылок. Это может быть непосредственное умозаключение, простой
категорический силлогизм или сорит. Но суть не в названии, а в методах получения результатов. В [43] для анализа умозаключений (доказательства корректности формулы) применяются кванторы. Автор при доказательстве применяет
вспомогательные выводы с достаточно обременительными правилами. Приведём
пример одного такого доказательства[42,стр.299].Необходимо проверить формулу:
x(A(x) B(x)) & x A(x) x B(x)
Цепочка вспомогательных выводов выглядит следующим образом.
x(A(x) B(x)) & x A(x)
A(c1)
A(c1) B(c1)
B(c1)
x B(x)
x(A(x) B(x)) & x A(x) x B(x)
Во-первых, сложно, а во-вторых, не очевидно. Поскольку здесь налицо простой категорический силлогизм (две посылки и одно заключение), то можно применить алгоритм «Осташ-Т». Для экономии заменим А(х) на a и В(х) на b. Не применяя кванторов, получим в русском базисе следующее выражение.
Ax(a b)Ixa Ixb = x(a b)’ + jx’a’ + x + b + ix’b’ = 1(i), что доказывает истинность исходной формулы. Более очевидным является доказательство в обычной логике суждений.
M = (a b) & ia ib = (a’+b)ia ib = iab ib = (iab)’+ ib = a’+b’+jab+ib = 1
Без кванторов также можно анализировать сориты, т.е. умозаключения с
тремя и более посылками. Из [42,стр.301] позаимствуем для доказательства
формулу, которая без кванторов примет вид:
Ax(a+b)Ix(a c)Ax(b c) Ixc = x(a+b)’ + jx’(a’+c)’ + x(b’+c)’ + x + c + ix’c’ =
x+c+x’ac’+ix’ac’ = 1(i).
191
192
Полученные по алгоритмам «Осташ-Т» и «ТВАТ» результаты подтверждают
достоверность анализируемого сорита. Поскольку каждый сорит, в конце концов,
приводится к силлогизму, то анализ и синтез соритов можно проводить по алгоритмам «Осташ», «ИЭИ» и «ТВАТ». В данном сорите после приведения его к силлогизму средним термином является переменная a.
Доказательство ложности непосредственного умозаключения «поскольку
все люди - мужчины или женщины, то все люди - мужчины или все люди - женщины» сопровождается в [42,стр.300] сложными вспомогательными выводами и пространными рассуждениями, что отнюдь не делает доказательство убедительным.
Более того, подобные попытки обречены на неудачу, поскольку в данной ситуации
требуется не двоичная, а комплементарная логика. Словесная формулировка
данного умозаключения чрезвычайно аморфна. Это неотъемлемая черта любого
естественного языка, с которой приходится мириться. Поэтому для анализа умозаключения, прежде всего, необходимо корректно аналитически представить посылку и заключение, для чего изобразим посылку на скалярной диаграмме. Здесь
x - люди, m - мужчины, g - женщины.
192
193
Дело в том, что в посылке на основе здравого смысла предполагается исключение ситуации, когда человек является одновременно и мужчиной и женщиной (гермафродит). Кроме того, человек не может быть одновременно не мужчиной и не женщиной. И уж тем более не может быть никогда мужчины или женщины не-человека. Поэтому в таблице истинности данные ситуации отмечены как
невозможные. Отсюда получаем выражение для посылки f:
f = x(mg’+m’g)+x’m’g’
На самом деле в этой задаче условие и доказательство должны были выглядеть так:AmxAgx Amx+Agx = (Amx)’+(Agx)’+Amx+Agx = 1
В примере 11.2.3.4[42, стр.301] требуется доказать кванторное соотношение:
x(A(x) + B(x)) & x (A(x) C(x)) &x(B(x) C(x)) x C(x).
На основе русской силлогистики получим следующее доказательство:
A(a+b)x Ix(ac) A(bc)x Ixc = (a+b)x’+jx’ac’+(b’+c)x’+x+c+i = x’+x+c+i = 1
На основе инженерной логики суждений доказательство выглядит ещё проще:
(a+b) i(ac) (bc) ic = a’b’+ac’+j(a’+c)+bc’+ic = 1.
В примере 11.2.3.1[42, стр.301] заменим кванторное выражение
x (A(x)B(x)) x (A(x)) x (B(x)) на бескванторное и проведём доказательство:
iab ia ib = iab iab = 1.
Проведём аналогичные замены в примерах 11.2.3.2 – 11.2.3.6[43]. Получим
следующие доказательства.
11.2.3.2. x(A(x) + B(x)) & x(A(x))’ xB(x)
(a+b) ia’ ib = a’b’+a+ja’+ib = 1.
11.2.3.3. x (A(x) + B(x)) & x(A(x))’ xB(x)
i(a+b) a’ b = (i(a+b))’+a+b = a’b’+j(a+b)+a+b = 1.
11.2.3.5. x(A(x) + B(x)) & x(A(x) C(x)) & x(B(x) D(x)) x(C(x)+D(x)).
(a+b)(ac)(bd) (c+d) = a’b’+ac’+bd’+c+d = 1.
11.2.3.6. xA(x)+xB(x) x (A(x)+B(x))
193
194
ia+ib i(a+b) = i(a+b) i(a+b) = 1.
В книге В. Ф. Беркова “Логика: задачи и упражнения” (М.: 1998, стр. 122)
приведена задача из логики отношений, которую предлагается решать с помощью
многоместных предикатов. Попытаемся её решить без привлечения кванторного
исчисления.
Задача 8б.
Выведите заключение из следующих посылок:
Иван дружит с Марьей, Марья дружит с Петром.
Решение.
Примем в качестве универсума множество дружественных отношений(круг
друзей). Введём следующие обозначения: m – множество друзей Марьи, x – множество друзей Ивана, y – множество друзей Петра.
Тогда по алгоритму ТВАТ получим следующие скалярные диаграммы.
Кстати, по алгоритму ИЭИ мы получим такой же результат.
M = Ixm(3)Imy(3) = (mx+im’+ix’)(my+im’+iy’) = mxy+im’+ix’y’
f(x,y) = i.
Следовательно, никакого заключения из этих посылок сделать невозможно. На
скалярных диаграммах изображены не все возможные «дружественные» ситуации, но даже представленных скаляров хватило для корректного решения задачи.
Решение могло быть получено лишь при заданных количественных характеристиках для терминов силлогизма.
194
195
Заключение.
Автор не считает предложенные методы, алгоритмы и полученные по ним
результаты истиной в последней инстанции. Однако эти результаты хорошо согласуются со здравым смыслом. Автор видит пути ревизии изложенных методов
и собирается критически переосмыслить их при более благоприятных обстоятельствах. Но некоторые итоги не вызывают сомнения:
-
силлогистика Аристотеля не является полной;
-
многие «правильные» модусы Аристотеля ошибочны (наиболее очевид-
ная ошибка - модус
AAI 4-й фигуры);
-
правила посылок некорректны;
-
модусы не имеют смысла, поскольку не учитывают универсум, конкретное содержание посылок и количественные характеристики терминов;
-
аналитическое представление силлогистических функторов Axy,Exy
впервые дано русским логиком П. С. Порецким;
-
кванторы не решают проблем анализа и синтеза силлогизмов;
195
196
Глава седьмая
Логика П.С.Порецкого.
Платон Сергеевич Порецкий родился 3 октября 1846 г.
в Елизаветграде
Херсонской губернии в семье военного врача[49]. В 1870 г. закончил физматфак
Харьковского университета. Был оставлен профессорским стипендиатом на кафедре астрономии. С 1876 г. избирается астрономом-наблюдателем Казанского
университета. За 1876-79 гг. Порецкий опубликовал 2 тома наблюдений на
меридианном круге. Несмотря на слабое здоровье участвует в общественной
жизни университета, являясь секретарем секции физматнаук, казначеем, а затем
и пожизненным членом. Редактирует либеральную газету "Телеграф".
За астрономические исследования в 1886 г. ему присуждается ученая
степень доктора астрономии и звание приват-доцента.
Принимал заочное участие в ряде международных научных конгрессов, вел
активную переписку как с русскими, так и иностранными учеными.
П.С.Порецкий умер 9 августа 1907 г. в с.Жоведь Гродненского уезда
Черниговской губернии, куда переехал из Казани в 1889 г., будучи уже тяжелобольным. Смерть застала его за неоконченной статьей по логике.
Логикой занимается с 1880 г. В 1881 г. выходит его работа "Изложение
основных начал мат.логики ...". В 1884 г. издает свой большой труд "О способах
решения логических равенств и об обратном способе математической логики"[45],
где излагает теорию логических равенств, закон форм посылок, закон замещения
системы посылок одной посылкою, закон разложения посылок на элементы, закон
исключения терминов из посылок, закон умозаключений(синтез), закон причин.
В этой работе Платон Сергеевич решил поставленную Лейбницем проблему
создания логического исчисления. Сам Лейбниц связывал с идеями заложенного
им логического исчисления неосуществимую мечту о времени, когда вместо того,
чтобы спорить, люди возьмут карандаши и будут вычислять. Какой-нибудь конкретной потребности в логическом исчислении как таковом в эпоху Лейбница ещё
не было. Независимо от Лейбница идеи алгебры логики, или исчисления классов,
равносильного логике Аристотеля, были развиты наряду со многими другими исчислениями, созданными в XIX столетии, А. де Морганом, Булем, Джевонсом,
196
197
Пирсом, Шредером. Венцом этого периода в истории математической логики были работы русского логика, астронома и математика, собрата Н. И. Лобачевского
по Казанскому университету Платона Сергеевича Порецкого. Переходя в своей
известной «Алгебре логики» к изложению метода П. С. Порецкого, Л. Кутюра
•писал: «Буль и Шредер преувеличивали аналогию алгебры логики с обыкновенной алгеброй. В логике различие терминов известных и неизвестных является искусственным и почти бесполезным: все термины, в сущности, известны, и речь
идёт только о том, чтобы из данных между ними отношений вывести новые отношения (т. е. отношения неизвестные или неявно известные)». Такова цель метода
П. С. Порецкого. П. С. Порецкий и сам сознавал значение созданного им метода.
В предисловии к своей первой большой работе по математической логике (1884)
«О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики» он писал: «Обращаясь к нашему сочинению, предлагаемому ныне на
суд читателя, мы должны сказать, что: 1) оно заключает в себе первый опыт (не
только в нашей, но и в иностранной литературе) построения полной и вполне законченной теории качественных умозаключений и 2) оно представляет собой (за
исключением немногих страниц, посвящённых изложению приёмов других авторов) вполне самостоятельную работу, имеющую тем большее значение, что самые общие формулы и приёмы этой теории получены впервые только нами. Целая же часть этой теории (переход от умозаключений к посылкам) вполне и безраздельно принадлежит нам, как по приёмам, так и по самой идее о возможности
решения этой задачи».
Порецкий далёк от претензии построить универсальное логическое исчисление. В предисловии к [45] он чётко заявляет, что развиваемое им исчисление пригодно лишь для «качественных» умозаключений(«качество» в понимании Порецкого соответствует одноместному предикату). В логических равенствах Порецкий
использует суждения только общего характера(утвердительные или отрицательные). Более того, можно утверждать, что в случае получения частного заключения
эти методы не работают
Работа П.С.Порецкого "Из области математической логики"(1902) является
обобщением классической силлогистики. Синтезируется несколько заключений
из заданных посылок(элиминация), что даёт возможность доказать отсутствие
каких-либо других следствий, помимо следствий искомого вида. Элиминацию до
сих пор не освоила современная логика.
Аксиоматика Порецкого.
197
198
В [49] утверждается, что аксиоматика Порецкого имеет вид:
a a,
((a b)(b c)) (a c),
(ab) a,
(ab) b,
((a b)(a c)) (a (bc)),
((a b)(b a)) (a = b),
(a = b) (a b),
(a = b) (b a).
Непонятно, почему все эти соотношения называются аксиомами, поскольку
они легко и просто доказываются с помощью алгоритма «Импульс».
Воспользуемся алгоритмом «Импульс» для доказательства того, что все аксиомы Порецкого являются теоремами:
1) a a = a’ + a = 1,
2) ((a b)(b c)) (a c)=((a’+b)(b’+c))(a’+c)=ab’+bc’+a’+c = 1,
3) (ab) a = a’+b’+a = 1,
4) (ab) b = a’+b’+b = 1,
5) ((ab)(ac))(a(bc))=((a’+b)(a’+c))(a’+bc)=ab’+ac’+a’+bc = 1,
6) ((a b)(b a)) (a=b)=((a’+b)(b’+a))(a=b)=ab’+ba’+ab+a’b’ =1,
7) (a = b) (a b) = ab’+ba’+a’+b = 1,
8) (a = b) (b a) = ab’+ba’+b’+a = 1.
Стяжкин Н.И.[49] приводит исчисление Порецкого в виде длинного списка из
более чем 20 аксиом и правил:
(1A) e = e – принцип тождества;
(2П) (e=c) (c=e) – симметричность равенства;
(3П) ((e=c)&(c=b)) (e=b) – транзитивность равенства;
(4A) ee = e – идемпотентность умножения;
(4*A) e+e = e – идемпотентность сложения;
(5A) ec = ce – коммутативность умножения;
(5*A) e+c = c+e – коммутативность сложения;
(6A) (ec)b = e(cb) – ассоциативность умножения;
(6*A) (e+c)+b = e+(c+b) – ассоциативность сложения;
(7A) e(e+c) = e – принцип поглощения;
(7*A) e+ec = e – принцип поглощения;
198
199
(9П) (e=c) (e+b=c+b);
(9*П) (e=c) (eb=cb);
(10A) e(c+b) = ec+eb;
(11A) e+e’ = 1;
(11*A)e&e’ = 0;
(12A) e&0 = 0;
(12*A)e&1 = e.
Нет нужды доказывать, что весь этот набор аксиом и правил на самом деле
является набором теорем, которые легко выводятся по алгоритму «Импульс». Более того, на стр.377 [49] долго и многословно поясняется, как с помощью аксиом и
правил можно доказать одну из теорем логических следствий Порецкого. Покажем, как просто это делается по алгоритму «Импульс»(здесь переменная e1 заменена на c):
(e=ec)(e=e(c+x))=e(ec)’+e’ec+ec+ex+e’(e’+c’x’)=ec’+ec+ex+e’=e+e’ = 1.
Главные задачи Порецкого рассмотрены в разделе, посвящённом решению
логических уравнений. Здесь лишь необходимо подчеркнуть, что аналитическое
описание силлогистических функторов Axy, Exy впервые в мире ввёл Платон Сергеевич Порецкий, а через 12 лет после него к таким же результатам пришёл
Л.Кэрролл. Современная логика до сих пор об этом не догадывается.
Если внимательно изучать его работу[45], то становится очевидным, что
функтор Axy Порецкий воспринимал как пересечение множеств X и Y. Таким образом, по-Порецкому имеем:
Axy (xxy) = xy + x’(x’+y’) = xy+x’ = x’+ y.
Ayx (yxy) = xy + y’(x’+y’) = xy+y’ = y’+x.
Exy (xxy’) = xy’ + x’(x’+y) = xy’+x’ = x’+y’.
Вышеприведённые аналитические представления общеутвердительного и
общеотрицательного функторов были получены гениальным русским логиком более ста двадцати лет назад, а мировая беспомощная наука до сих прозябает в
невежестве. Чтобы ликвидировать невежество и безграмотность официальной
науки, автору пришлось на собственные средства пенсионера переиздать фундаментальный труд гениального русского учёного (П.С.Порецкий. Логические равенства. – М.: Русская Правда, 2011 – 160с.). Работы Порецкого никогда не переиздавались с 1884г.
199
200
Глава восьмая
Вероятностная логика.
Впервые в мире о связи логики с теорией вероятности заявил П.С.Порецкий
в своей работе «Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической
логики»//Собрание
протоколов
заседаний
секции
физико-
математических наук общества естествоиспытателей при Казанском ун-те. 1887.
Т.5. Он показал, как легко и просто решаются вероятностные задачи с помощью
логики. Мы будем решать обратную задачу: рассчитывать вероятностные характеристики силлогизма.
Этот раздел требует знаний основ комбинаторики. В наше время сочетания,
размещения и перестановки изучали в 7-м классе. Будем обозначать число сочетаний из m элементов по n как C(m,n), а размещения – как A(m,n). Известно, что
C(m,n) = A(m,n)/n!,
A(m,n) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1), C(m,n) = C(m,m-n).
При синтезе заключений зачастую имеют место несколько вариантов решений. Такие силлогизмы будем называть многовариантными. Требуется определить вероятность реализации каждого заключения в многовариантном силлогизме. Сначала рассчитаем вероятности общих и частных суждений вида Axy, Exy,
Ixy.
Вероятность события Axy.
Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество
элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется
определить вероятность события «Все Х суть У», т.е. найти P(Axy). Построим
скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.
200
201
В 8 клетках скалярной диаграммы множество У, состоящее из 4 элементов
можно разместить различными способами, число которых определяется как число
сочетаний из n=8 по ny=4, т.е. C(n,ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Однако при соблюдении условия Axy количество вариантов размещения элементов множества
У существенно меньше. Их число определяется из следующих соображений. Два
элемента множества У должны обязательно занимать 1-ю и 2-ю клетки диаграммы. Оставшиеся (ny-nx) = 4-2 = 2 элемента можно разместить в 6 клетках с 3-ей
по 8-ю включительно разными способами, число которых определяется как число
сочетаний C(n-nx,ny-nx) = C(8-2,4-2) = C(6,2) = 6*5/2! = 15.
Таким образом, вероятность P(Axy) = C(n-nx,ny-nx)/C(n,ny) = 15/70 = 3/14.
P(Axy) = C(n-nx,ny-nx)/C(n,ny) = C(ny,nx)/C(n,nx)
Вероятность события Exy.
Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество
элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется
определить вероятность события «Ни один Х не есть У», т.е. найти P(Exy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.
Общее количество вариантов размещения элементов множества У в универсуме как и в предыдущем случае равно C(n,ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Количество вариантов размещения элементов множества У при соблюдении условия Exy
определяется по формуле C(n-nx,ny) = C(8-2,4) = C(6,4) = C(6,2) = 6*5/2! = 15.
Таким образом, вероятность P(Exy) = C(n-nx,ny)/C(n,ny) = 15/70 = 3/14.
P(Exy) = C(n-nx,ny)/C(n,ny) = C(n-ny,nx)/C(n,nx)
201
202
Вероятность события Ixy.
Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество
элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется
определить вероятность события «Некоторые Х суть У», т.е. найти P(Ixy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.
Общее количество вариантов размещения элементов множества У в универсуме как и в предыдущих случаях равно C(n,ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Для выполнения условия Ixy нужно, чтобы один элемент множества Y размещался или в
клетке 1, или в клетке 2, но не в двух сразу (тогда получится Axy). Таким образом,
существуют две равновеликих группы вариантов размещения элементов множества Y при выполнении требования Ixy. Рассчитаем количество размещений для
одной группы вариантов. Оно определяется числом сочетаний
C(n-nx,ny-1) = C(8-2,4-1) = C(6,3) = 6*5*4/3! = 20.
Следовательно, общее количество вариантов размещения элементов множества Y при выполнении условия Ixy составит 2*20 = 40.
Таким образом, вероятность P(Ixy) = C(n-nx,ny-1)/C(n,ny) = 40/70 = 4/7. Определим сумму вероятностей P(Axy)+P(Exy)+P(Ixy) = 3/14+3/14+4/7 = 1. Следовательно,
P(Ixy) = 1 – P(Axy) – P(Exy).
Для «разминки» решим следующую задачку.
Задача 8.1.
Некоторые студенты (m) – отличники (x).
Некоторые студенты (m)– блондины (y).
202
203
-----------------------------------------------Найти f(x,y), если известно, что в компании молодёжи из 10 человек студенты
составляют 20%, отличники – тоже 20%, а блондины – 40%.
Решение.
Классическая логика однозначно утверждает, что заключения не существует.
Однако в Русской логике эта задача легко решается. Примем в качестве универсума (U) всю компанию молодёжи из 10 человек, тогда получим решение по алгоритму ТВАТ: Ixy = x'+i= Ix’y(5), т.е. «Некоторые не-отличники – блондины».
Такое интегрированное заключение не противоречит здравому смыслу, но не
имеет количественной оценки возникновения возможных ситуаций Axy, Exy, Ixy.
Определим эти вероятности, для чего найдём количество всевозможных способов реализации второй посылки Imy, т.е. k(Imy). Нам известны количественные
характеристики: n=10, m=2, x=2, y=4. Отсюда получим, используя формулу для
сочетаний
k(Imy) = 2 x C(n-m,y-1) = 2 x C(8,3) = 2 x 56 = 112.
Аналогично найдём количество возможных вариантов для заключений Axy,
Exy, Ixy.
k(Axy) = C(n-x-1,y-x) = C(7,2) = 21.
k(Exy) = C(n-x-1,y-1) = C(7,3) = 35.
k(Ixy) = C(n-x-1,y-1) + C(n-x-1,y-2) = C(7,3) + C(7,2) = 35 + 21 = 56.
Проверка подтверждает, что k(Axy)+k(Exy)+k(Ixy) = k(Imy).
Теперь легко находятся вероятности всех вариантов заключений.
P(Axy) = k(Axy)/k(Imy) = 21/112 = 3/16.
203
204
P(Exy) = k(Exy)/k(Imy) = 35/112 = 5/16.
P(Ixy) = k(Ixy)/k(Imy) = 56/112 = ½ = 0,5.
Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов).
1.
Убедиться, что для всех терминов-множеств исходных посылок и универсу-
ма силлогизма указаны количественные характеристики (заданы мощности множеств или хотя бы соотношения между ними).
2.
Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью
скалярных диаграмм Лобанова.
3.
Определить вероятность каждого варианта заключения, используя форму-
лы вычисления количества сочетаний.
4.
В том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или
общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных для первой посылки.
Необходимо отметить влияние количественной характеристики терминов на
заключение силлогизма.
Задача 8.2.
Дана полная единица системы в виде M = AxmImy. Найти заключение.
Решение.
Поскольку содержимое терминов не оговорено, то мы имеем право представить решение задачи в виде следующих скалярных диаграмм.
204
205
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5).
Задача 8.3.
Сохраним условие предыдущей задачи, т.е. пусть M = AxmImy. Но оговорим
количественные характеристики множеств U, M, X, Y. Пусть множество универсума содержит 5 элементов,т.е. nU = 5, а остальные характеристики соответственно
nM = 3, nX = 1, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
205
206
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5). Хотя интегрированное заключение и не изменилось, но количество вариантов решения
уменьшилось: здесь физически невозможна ситуация Ixy. Таким образом, решение силлогизма зависит и от соотношения содержимых терминов, т.е. от мощностей всех задействованных множеств. В этой задаче несложно подсчитать вероятности вариантов заключений (на скалярных диаграммах представлено лишь по
одному варианту для Exy, Axy).
P(Exy) = 4/6 = 2/3,
P(Axy) = 2/6 = 1/3.
Задача 8.4.
Пусть M = AxmAym и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 1. Найти заключение.
Решение.
F(x,y) = y’ + i = Ixy’(5), т.е. «Некоторые Х суть не-У» в 5-м базисе. Вероятностные характеристики различных вариантов заключений легко находятся из
диаграмм.
P(Exy) = 1/3.
P(Ayx) = 2/3.
Задача 8.5.
Пусть M = AxmImy и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
206
207
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Imy) = C(3,1)*C(2,2)+C(3,2)*C(2,1) = 3*1+3*2 = 9.
n(Axy) = 1.
n(Ixy) = 9-1 = 8.
P(Axy) = n(Axy)/n = 1/9.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 8/9.
Задача 8.6.
Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 4, nX = 2, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'y’+i= Ix’y’(3). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Aym) = C(4,2)=4* 3/2 = 6.
n(Exy) = 1.
207
208
n(x=y) = 1.
n(Ixy) = 6-(1+1) = 4(на рисунке представлен лишь один вариант из 4-х).
P(Exy) = n(Exy)/n = 1/6.
P(x=y) = 1/6.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 4/6 = 2/3.
Задача 8.7.
Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 4, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Aym) = C(4,3)=4* 3*2/6 = 4.
n(Axy) = 2.
n(Ixy) = 4 - 2 = 2.
P(Axy) = 2/4 = 1/2.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 2/4 = 1/2.
Задача 8.8.
Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 5, nX = 3, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
208
209
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Aym) = C(5,2)=5* 4/2 = 10.
n(Exy) = 1.
n(Ayx) = C(3,2) = 3*2/2 = 3
n(Ixy) = 10 – (1+3) = 6.
P(Exy) = 1/10.
P(Ayx) = 3/10.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 6/10 = 3/5.
Задача 8.9.
Пусть M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5). Определим вероятностные характеристики.
209
210
n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45.
n(Exy) = C(3,1)*C(3,2) + C(3,2) * C(3,1) = 18.
n(Axy) = C(3,1) = 3.
n(Ixy) = 45-(18+3) = 24.
P(Exy) = n(Exy)/n = 18/45 = 2/5.
P(Axy) = 3/45 = 1/15.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 24/45 = 8/15.
Задача 8.10.
Пусть M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключение задачи
9.9 при смене мест посылок.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5), т.е. от
перестановки посылок заключение не изменилось. Определим вероятностные
характеристики.
n = n(Axm) = C(5,2) = 5* 4/2 = 10.
n(Exy) = C(3,2) = 3.
n(Axy) = 1.
n(Ixy) = 10-(1+3) = 6.
P(Exy) = n(Exy)/n = 3/10.
P(Axy) = 3/45 = 1/10.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 6/10 = 3/5.
210
211
Мы получили совершенно иные вероятностные характеристики, чего быть
не может. Это связано с тем, что при частной посылке, стоящей на первом месте
необходимо рассматривать не один вариант Imy, а все
n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45, и находить среднее значение вероятностных характеристик. Поэтому для упрощения расчётов
нужно на первое место ставить общеутвердительную или общеотрицательную
посылку.
Задача 8.11.
Для задачи 9.9 M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключения при различных вариантах первой общеутвердительной посылки.
Решение.
Таких вариантов будет C(5,2) = 10. Для первого варианта диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45.
n(Exy) = C(3,1)*C(3,2) + C(3,2) * C(3,1) = 18.
n(Axy) = C(3,1) = 3.
n(Ixy) = 45-(18+3) = 24.
P(Exy) = n(Exy)/n = 18/45 = 2/5.
P(Axy) = 3/45 = 1/15.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 24/45 = 8/15.
211
212
212
213
Все 10 вариантов диаграмм для данного силлогизма дают одинаковые вероятностные характеристики заключений. Это означает, что в том случае, когда
первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из
всех возможных.
213
214
Задача 8.12.
Пусть M = AmxAmy и nU = 5, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Из скалярных диаграмм видно, что
n(Amy) = C(4,2) = 6, n(Axy) = C(3,1) = 3, n(Ixy) = C(3,2) = 3.
P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
Задача 8.13.
Пусть M = AmxAmy и nU = 5, nM = 2, nX = 3, nY = 4. Найти заключение.
Решение.
Из скалярных диаграмм получим такие результаты.
n(Amy) = C(3,2) = 3, n(Axy) = C(2,1) = 2, n(Ixy) = 1.
P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 2/3.
P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 1/3.
Задача 8.14.
214
215
Пусть M = AmxAmy и nU = 6, nM = 2, nX = 3, nY = 4. Найти заключение.
Решение.
Из скалярных диаграмм получим такие результаты.
n(Amy) = C(4,2) = 6, n(Axy) = C(3,1) = 3, n(Ixy) = 6-3 = 3.
P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
Решение в общем виде для ситуации nu>(nx+ny-nm), ny>nx, nx>nm:
n(Amy) = C(nu-nm,ny-nm), n(Axy) = C(nu-nx,ny-nx), n(Ixy) = n(Amy)-n(Axy).
P(Axy) = C(nu-nx,ny-nx)/ C(nu-nm,ny-nm),
P(Ixy) = n(Ixy)/ C(nu-nm,ny-nm) = [C(nu-nm,ny-nm) - C(nu-nx,ny-nx)]/ C(nu-nm,ny-nm).
Задача 8.15.
Пусть M = EmxEmy и nU = 3, nM = 1, nX = 1, nY = 1. Найти заключение.
Решение.
Найдём интегрированное заключение по алгоритму ИЭИ.
M = EmxEmy = (m’+x’)(m’+y’) = m’+x’y’
F(x,y) = x’y’ + i = Ix’y’(3).
Вероятностные оценки двухвариантного заключения:
215
216
P(Exy) = 0,5; P(x ~ y) = 0,5.
Задача 8.16.
Пусть M = AmxAmy и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение f(x,y) = y+i = Ixy(7).
Вероятностные характеристики двухвариантного заключения:
P(Axy) = 2/3; P(Ixy) = 1/3.
Задача 8.17
Пусть M = ImxImy и nU = 6, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение: f(x,y) = x’+i = Ix’y(5).
Задача 8.18
216
217
Пусть M = ImxImy и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение: f(x,y) = x’y+i = Ix’y(3).
Задача 8.19
Пусть M = ImxImy и nU = 4, nM = 2, nX = 2, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение: f(x,y) = i , т.е. нет заключения.
217
218
Вероятностные характеристики 3-вариантного заключения:
P(Exy) = ¼; P(x~y) = ¼, P(Ixy) = ½.
Результаты решения трёх последних примеров ярко высвечивают зависимость
заключения не только от объёма терминов и универсума, но и от соотношения
этих объёмов.
Задача 8.20.
Вернёмся к вышеприведённому тесту Ф.Джонсон-Лэрда и М.Стидмена:
Ни один химик(x) не есть пчеловод(m).
Некоторые пчеловоды(m) – художники(y).
-------------------------------------------Некоторые художники - не химики.
Решение.
Пусть универсум состоит из химиков, пчеловодов и художников, причём n=4,
m=2, x=1, y=2. Решение представлено на диаграммах Лобанова.
Из диаграмм видно, что заключение двухвариантно: Exy, Axy. Определим
вероятности этих вариантов: P(Exy), P(Axy).
N(Imy) = C(2,1)*C(2,1) = 2*2 = 4
N(Exy) = C(2,1)*C(1,1) = 2
N(Axy) = C(2,1)*C(1,1) = 2
P(Exy) = n(Exy)/n(Imy) = 2/4 = 0,5
P(Axy) = n(Axy)/n(Imy) = 2/4 = 0,5.
Если внимательно присмотреться к диаграммам, то можно заметить, что ситуация Axy невозможна: нарушается требование состава универсума. В этом случае в 3-й «дискрете» появляется один участник, который не является ни химиком,
ни пчеловодом, ни художником. Следовательно, единственное правильное заключение в тесте Ф.Джонсон-Лэрда и М.Стидмена: Exy, т.е. «Ни один химик – не художник».
218
219
Поскольку авторы силлогизма не имели ни малейшего представления о математической силлогистике, то они в принципе не имели права тестировать студентов. Кроме того сам тест задан некорректно: не указаны количественные характеристики терминов и не определён универсум. Именно на этом построен провокационный силлогизм автора. Не оговорив универсума и не задав количественных характеристик терминов, автор просил проверить заключение. Естественно,
все попытки решения этой задачки были обречены на провал.
Задача 8.21.
Все люди(m) смертны (x).
Некоторые люди (m) неграмотны (y).
-----------------------------------------Некоторые смертные неграмотны.
Решение.
Пусть универсум состоит из животных и богов, тогда при условии, что все
боги грамотные и все животные безграмотны, решение будет выглядеть так:
Из диаграмм очевидно заключение: «Все неграмотные смертны».
Аналогично, вероятностным методом, решается задача нахождения недостающей посылки.
Задача 8.22.
Дано: Axm & f(m,y) → Exy, n=6, m=3, x=1, y=2.
Найти f(m,y).
Решение.
По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и определяем, что
в этом случае искомая посылка трехвариантна.
219
220
По п.2 алгоритма «Комета» находим
K(Exy) = C(5,2) = 20/2 = 10.
K(Emy) = C(3,2) = 3.
P(Emy) = 0,3.
K(Aym) = 1.
P(Aym) = 0,1.
K(Imy) = 10-3-1 = 6.
P(Imy) = 0,6.
Аналитический метод дал бы единственный результат: Emy.
Задача 8.23.
Пусть M = Amx & f(m,y) → (Axy, Ixy) и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти
недостающую посылку.
Решение.
В этой задаче заключение двухвариантно. А сколько вариантов будет иметь
искомая посылка? По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и
определяем, что в этом случае искомая посылка тоже двухвариантна.
Следовательно, искомая посылка имеет вид (Amy, Emy). Определение вероятностей дало следующие результаты:
P(Emy) = 0,5.
P(Amy) = 0,5.
220
221
Задача 8.24.
Пусть M = Amx & f(m,y) → Ixy и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти недостающую посылку.
Решение.
В этой задаче заключение одновариантно. А сколько вариантов будет иметь
искомая посылка? По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и
определяем, что в этом случае искомая посылка двухвариантна.
Следовательно, искомая посылка имеет вид (Amy, Emy). Определение вероятностей даёт следующие результаты:
P(Emy) = 0,5.
P(Amy) = 0,5.
К вероятностной логике относятся и комбинаторные задачи (см.Ежов И.И. и
др. «Элементы комбинаторики». – М.:Физматлит, 1977 – 80с.).
Задача 8.25.
Каждый ученик класса – либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, и одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек.
Сколько учеников в данном классе.
Решение.
Введём обозначения: А – множество девочек, В – блондинов, С – мн-во учеников, которые любят математику. Тогда на диаграммах Лобанова получим результат: в данном классе 32 ученика.
221
222
Кстати, в силлогистике решение этой задачи выглядит так: IabIac → Ibc.
Задача 8.26.(Ежов И.И., с.15)
В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учеников
посещают и математический, и физический кружок? Сколько учащихся посещают
только математический кружок?
Решение.
Введём обозначения: А – множество учеников, членов математического
кружка; В – мн-во учеников, членов физического кружка; С – мн-во учеников, которые не посещают ни один кружок. Тогда на диаграммах Лобанова получим результат:
Из диаграмм видно, что и математический, и физический кружок посещают 6
учащихся, а только математический – 14 учащихся.
Задача 8.27.
В забегаловке «Макдоналдс» собрались 8 мужчин. Двое из них хоккеисты, трое
– настоящие мужчины (отслужили в армии). Известно, что «в хоккей играют
настоящие мужчины, трус не играет в хоккей». В этой компании Сахарович не играет в хоккей. Определить, является ли Сахарович настоящим мужчиной.
Решение.
Введём следующие обозначения:
M – хоккеисты,
X – настоящие мужчины,
Y – Сахарович,
U – универсум(8 мужчин)
222
223
Из диаграмм Лобанова видно, что P(Ayx) = 1/6, P(Exy) = 5/6.
Таким образом, с вероятностью 5/6 можно утвеждать, что Сахарович – трус,
т.е. ненастоящий мужчина.
Базовые силлогизмы.
Создавая формальную логику, Аристотель надеялся все задачи силлогистики
решить с помощью фигур и модусов. Френсис Бэкон уже 400 лет тому назад понял, что это тупиковый путь. Для современных математиков и логиков такая простая истина недоступна.
Порецкий П.С.[45] указал правильное направление в решении поставленной
задачи. Однако для искусственного интеллекта (ИИ) классические интегрированные заключения не имеют смысла [37]. А всё-таки хотелось бы дать готовые шаблоны решения всех силлогизмов. Попробуем это сделать.
Силлогизм вида M = AmxAmy.
1. M = AmxAmy. Универсум n>(x+y), x<y.
223
224
Определим вероятности заключений Axy и Ixy, для чего вначале посчитаем
количество возможных вариантов для обще- и частноутвердительных суждений
k(Amy), k(Axy), k(Ixy). Будем записывать число сочетаний из m элементов по n в
виде C(m,n). Тогда получим:
k(Amy) = C(n-m,y-m),
k(Axy) = C(n-x, y-x),
k(Ixy) = k(Amy) - k(Axy).
Искомые вероятности определим из соотношений:
P(Axy) = k(Axy)/k(Amy), P(Ixy) = k(Ixy)/k(Amy) = 1-P(Axy).
Для заданных значений терминов-множеств получим:
P(Axy) = C(5,1)/C(6,2) = 5/15 = 1/3,
P(Ixy) =[C(6,2)-C(5,1)]/C(6,2) = 10/15 = 2/3.
2. M = AmxAmy. Универсум n=(x+m), x<y.
В этом случае имеем:
P(Axy) = C(n-x,y-x)/C(n-m,y-m) = C(2,1)/C(3,2) = 2/3,
P(Ax’y) = 1- P(Axy) = 1/3
3. M = AmxAmy. Универсум n<(x+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m, y-m) = 1/C(2,1) = ½,
P(Ax’y) = 1 – P(x=y) = 1-1/2 = ½.
4. M = AmxAmy. Универсум n>=(x+m), x=y.
224
225
P(x=y) = 1/C(n-m, y-m) = 1/C(3,1) = 1/3,
P(Ixy) = 1 – P(x=y) = 1-1/3 = 2/3.
Силлогизм вида M = AxmAym.
1. M = AxmAym. Универсум n>=(m+1), x<y, m<(x+y).
P(Axy) = C(m-x,y-x)/C(m,y) = C(2,1)/C(4,3) = 2/4 = 0,5.
P(Ixy) = 1 - P(Axy) = 0,5.
2. M = AxmAym. Универсум n>=(m+1), x<y, m>=(x+y).
P(Axy) = C(m-x,y-x)/C(m,y) = C(3,1)/C(5,3) = 3/10 = 0,3.
P(Exy) = C(m-x,y)/C(m,y) = C(3,3)/C(5,3) = 1/10 = 0,1.
P(Ixy) = 1 - P(Axy) - P(Exy) = 1 - 0,3 - 0,1 = 0,6.
3. M = AxmAym. Универсум n>=(m+1), x=y, m<(x+y).
225
226
P(x=y) = 1/C(m,y) = 1/C(3,2) = 1/3.
P(Ixy) = 1 – P(x=y) = 1 – 1/3 = 2/3.
4. M = AxmAym. Универсум n>(m+1), x=y, m>=(x+y).
P(x=y) = 1/C(m,y) = 1/C(4,2) = 1/6.
P(Exy) = C(m-x,y)/C(m,y) = C(4-2,2)/C(4,2) = 1/6.
P(Ixy) = 1 – P(x=y) – P(Exy) = 1-1/6-1/6 = 2/3.
Силлогизм вида M = ExmEym.
1. M = ExmEym. Универсум n>(y+m), x<y.
P(Axy) = C(n-m-x,y-x)/C(n-m,y) = C(2,1)/C(7-2,4) = 2/5 = 0,4.
P(Ixy) = 1 – P(Axy) = 1 – 0,4 = 0,6.
2. M = ExmEym. Универсум n>=(x+y+m), x<y.
226
227
P(Axy) = C(n-m-x,y-x)/C(n-m,y) = C(5,1)/C(8,4) = 5/70 = 1/14.
P(Exy) = C(n-m-x,y) )/C(n-m,y) = C(5,4)/C(8,4) = 5/70 = 1/14.
P(Ixy) = 1 – P(Axy) – P(Exy) = 1 – 1/14 – 1/14 = 6/7.
3. M = ExmEym. Универсум n>(y+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m,y) = 1/C(4,3) = ¼.
P(Ixy) = 1-1/4 = ¾.
4. M = ExmEym. Универсум n=(2y+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m,y) = 1/C(6,3) = 1/20.
P(Exy) = C(n-m-x,y) )/C(n-m,y) = C(3,3)/C(6,3) = 1/20.
P(Ixy) = 1-1/20-1/20 = 0,9.
Силлогизм вида M = AmxImy.
227
228
1. M = AmxImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
P(Ixy) =1.
2. M = AmxImy. Универсум n>=(x +m), x>y.
P(Ayx) = 2/4 = 0,5.
P(Ixy) = 0,5.
В этом случае определение вероятности в общем виде можно не производить, а возложить эту нудную операцию, никоим образом не связанную с мышлением, на метод Монте-Карло. Кстати, здесь все задачи синтеза базовых силлогизмов можно переложить на ЭВМ, т.е. определять и характер вариантов заключений и их вероятностные оценки.
Силлогизм вида M = AmxImy.
1. M = AxmImy. Универсум n>=(y+m), x<y.
Получены заключения Axy,Ixy,Exy. Всё остальное выполнит метод МонтеКарло.
2. M = AxmImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
228
229
Получены заключения Ixy,Exy.
Силлогизм вида M = EmxImy.
1. M = EmxImy. Универсум n>=(y+m), x<y.
Получены заключения Axy,Ixy,Exy.
2. M = EmxImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
Получены заключения Ixy,Exy.
3. M = EmxImy. Универсум n>=(y+m), x<y.
229
230
Получены заключения Axy,Ixy.
Силлогизм вида M = ImxImy.
1. M = ImxImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
Получены заключения (x=y),Ixy,Exy.
2. M = ImxImy. Универсум n>=(y+m), x<y.
Получены заключения Axy,Ixy,Exy.
Для этого случая предлагается алгоритм нахождения вероятностных характеристик полученных заключений.
Алгоритм нахождения вероятностных характеристик для M = ImxImy.
230
231
1. Зафиксировать m = (1,2,3,…m-1,m).
2. Выбрать Х псевдослучайных чисел из множества U. Проверить выполнение условия Imx. В случае невыполнения этого условия произвести
дополнительное извлечение псевдослучайных чисел.
3. Зафиксировать полученное множество Х.
4. Выбрать Y псевдослучайных чисел из множества U. Проверить выполнение условия Imy. В случае невыполнения этого условия произвести
дополнительное извлечение псевдослучайных чисел.
5. Зафиксировать полученное множество Y.
6. Зафиксировать варианты заключений Axy,Ixy,Exy.
7. Повторить пп. 2-6 10000 раз, каждый раз инкрементируя число
Axy,Ixy,Exy, если они проявились в данном варианте испытания.
8. Найти p(Axy), p(Ixy), p(Exy).
Автор не может утверждать, что исчерпал все базовые силлогизмы, но представлено достаточное количество примеров для того, чтобы все остальные случаи не вызывали затруднений в определении заключений любых силлогизмов и
их вероятностных характеристик.
Силлогистика с вероятностными посылками.
Ранее было доказано, что вся силлогистика является вероятностной, поскольку в подавляющем большинстве случаев заключение из двух заданных посылок оказывается многовариантным. Каждый вариант такого заключения имеет
определённую вероятность. Алгоритм «Циклон» синтеза такого заключения был
изложен выше.
Задача нахождения заключения становится ещё более интересной, если и
посылки являются вероятностными.
Задача 8.28.
Известно, что множества M, X, Y и универсум U имеют следующие мощности
231
232
(количество элементов в множестве) соответственно: m=1, x=2, y=3, u=4. Известно также, что Amx. Соотношение множеств M и Y не задано.
Найти вероятность заключения Axy для посылок AmxAmy.
Решение.
Вначале определим вероятность посылки Amy. Обозначим число сочетаний
из m по n как C(m,n). Тогда искомая вероятность составит P(Amy) = C(u-m,ym)/C(u,y) = C(3,2)/C(4,3) = 3/4 = 0,75.
Теперь в соответствии с алгоритмом "Циклон"[1, c.250] и полученной P(Amy)
найдём вероятность заключения Axy для посылок AmxAmy: P(Axy) = 3/4 x 2/3 = 1/2
= 0,5.
Задача 8.29.
Для задачи 8.28 найти вероятность заключения Ax'y.
Решение.
Из условий задачи видно, что заключение Ax'y возможно лишь при второй
посылке Emy. Вероятность такой посылки составляет P(Emy) = C(u-m,y)/Cu,y) =
C(3,3)/C(4,3) = 1/4 = 0,25.
Поскольку при заданных количественных характеристиках множеств возможны лишь два варианта второй посылки(Amy, Emy), то вероятность искомого заключения составит:
P(Ax'y) = 1/3 x 3/4 + 1 x 1/4 = 1/2 = 0,5.
Результат подтверждается суммой вероятностей P(Axy) + P(Ax'y) = 0,5+0,5 = 1.
В рассмотренных задачах представлен один из простейших случаев с одной
вероятностной посылкой. Однако изложенный метод годится и для синтеза заключений с двумя и более вероятностными посылками.
Задача 8.30.
Известны количественные характеристики силлогизма: m=1, x=2, y=3, u=4.
Исходные посылки не заданы.
Определить вероятность заключения Axy для всей совокупности исходных
посылок.
Решение.
P(Axy)=C(u-x,y-x)/C(u,y)=C(4-2,3-2)/C(4,3) = C(2,1)/C(4,3)=2/4=0,5.
232
233
Глава девятая
Дисциплина мышления.
Человеческое мышление по своей природе хаотично, неорганизованно,
аморфно, недисциплинированно. Автор в этом отношении не является исключением из общего правила. Стоит ли огорчаться по данному поводу? Вероятно, с
этим нужно смириться как с неизбежностью. Ведь мы не бьём тревогу относительно того, что не в силах состязаться с ЭВМ в шахматах и прочих рутинных вычислительных операциях. Человек – это изумительное по совершенству создание,
его истинное предназначение состоит в решении творческих, эвристических задач, где «неорганизованность» мышления, возможно, играет главную роль. Заставлять человека играть в шахматы – это то же самое, что забивать микроскопом гвозди. Однако вооружить человека инструментом, дисциплинирующим мышление, можно и нужно. Эта задача значительно сложнее и важнее повальной компьютеризации. Зачастую компьютеризация превращает нас в
«мартышек с
арифмометром», а дисциплинирование мышления такой катастрофой не грозит. К
тому же если «знание – это сила», то «мышление – это могущество». Поэтому
игра стоит свеч. В качестве такого «мыслительного инструмента» выступает Русская логика.
Проиллюстрируем её возможности на конкретном примере. Бертран Рассел в
своей работе «История западной философии» (М.:2000 –768с.) на стр.194 приводит силлогизм:
Все люди разумны.
Некоторые животные – люди.
Некоторые животные – разумны.
Покажем на этом примере недостатки мышления Б.Рассела. Во-первых,
отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже
100 лет назад Льюис Кэрролл[11] не позволял себе такого невежества. Определим,
например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых,
последняя посылка с позиции Русской логики просто бестолкова. Дело в том, что
частноутвердительный функтор обладает симметрией. Мы можем высказать четыре
равноценных суждения:
233
234
1. Некоторые студенты - молодые люди.
2. Некоторые студенты – немолодые люди.
3. Некоторые молодые люди – студенты.
4. Некоторые немолодые люди – студенты.
В силу симметрии частноутвердительного функтора мы должны при выбранном
нами универсуме считать, что некоторые люди – животные, а остальные - деревья, кусты, грибы, цветы или другие растения. В соответствии с русской логикой и
здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все люди –
животные». В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова разумными могут быть люди, и только люди, т.е. «люди» и «разумные существа» –
эквивалентные понятия.. Следовательно, и первая посылка некорректна. Устранив ошибки невежества и бестолковости Б.Рассела - Шнобелевского лауреата,
получим следующие посылки.
Все люди(m) и только люди разумны(x).
Все люди(m) – животные(y).
F(x,y) = ?
Решение.
Пусть x – разумные существа, m – люди, y – животные. Универсум – животный и растительный мир.
M = (xm)Amy = (xm+x’m’)(m’+y) = m’x’+xmy+x’m’y = m’x’+xmy
F(x,y) = x’+y = Axy.
Таким образом мы получили правильное заключение «Все разумные – животные», что вполне согласуется со здравым смыслом. Кстати, заключение не изменится, если вместо посылки «Все люди и только люди разумны» мы используем
более корректное суждение «Все разумные – люди», т.к. среди людей могут оказаться и неразумные.
Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее невежество
234
235
Б.Рассела, но и его безграмотность и бестолковость. Маститый академик и Нобелевский (точнее Шнобелевский) лауреат шаблонно использовал при решении задачи фигуры и модусы (хрупкие костыли Аристотеля для интеллектуальных инвалидов типа телевизионных «знатоков»), которые не учитывают содержание терминов силлогизма и универсума.
«Сыграем в поддавки» с Б.Расселом: он пытался использовать фигуры и модусы Аристотеля. Подгоним силлогизм под Аристотеля:
Все люди(m) разумны(x).
Некоторые люди(m) вежливы(y).
----------------------------------------------F(x,y) = ?
Если в качестве универсума примем множество людей, богов(разумных и
вежливых) и животных, то получим заключение: «Все вежливые – разумны», что
опять не совпадает с заключением именитого академика.
Б.Рассел в монографии «Искусство мыслить»(М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм: «Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне
С». Данный силлогизм – образец вопиющей безграмотности и бестолковости.
Вначале зададим количественные характеристики терминов:
u=3n, a=2n, b=c=n, где n - любое целое число элементов множества.
По алгоритму ТВАТ построим диаграммы.
Мы получили абсолютно неожиданный для Б.Рассела результат: Aca, т.е.
"Все С суть А". Кстати, вся аморфность мышления Б. Рассела, как и любого друго235
236
го «мыслителя», сразу проявляется при прорисовке скалярных диаграмм Лобанова. Именно они принудительно дисциплинируют мышление.
Не блещут дисциплиной мышления и преподаватели Оксфордского и Кембриджского университетов, самых престижных вузов Запада. В своей книге "Философия"(М.:1997) на стр. 172 Д. Тейчман и К. Эванс проявили не только оголтелую славянофобию ("Все поляки - маньяки"), но и вопиющую безграмотность.
Вместо того, чтобы сформулировать посылку в виде "Все олени - животные", они
заявляют "Некоторые животные - олени"(стр.170). Из такой посылки следует абсолютно абсурдное заключение: “Некоторые олени – животные”. Или совсем уж
бестолковый перл: "Некоторые солдаты - люди"(стр.174). Таких ляпсусов отечественные логики всё-таки не допускают.
Рассмотрим ещё один силлогизм:
Все животные (m) смертны(х).
Некоторые животные(m) неграмотны(y).
F(x,y) = ?
В этом случае могут быть несколько вариантов универсума. Например:
1. U = животные + растения.
2. U = животные + растения + неживая природа(НП).
3. U = животные + растения + неживая природа+боги.
Тогда для первого варианта получим следующие скалярные диаграммы:
Из скалярных диаграмм видно, что f(x,y) = x = Ayx & Ay’x, т.е. “Все неграмотные и все грамотные смертны”.
Скалярные диаграммы для второго варианта универсума имеют вид:
236
237
Заключение в этом случае получается совершенно иным:
F(x,y) = x+y = Ax’y & Ay’x, т.е. “Все бессмертные неграмотны, а все грамотные
смертны".
Все эти результаты не соответствуют ни одному классическому модусу и
нарушают главный закон силлогистики о частной посылке и частном заключении,
однако вполне согласуются со здравым смыслом.
Для третьего универсума диаграммы выглядят иначе:
Из таблицы истинности получаем третье заключение, также противоречащее классическим модусам (результат в 5-м базисе, а не в базисе Аристотеля):
F(x,y) = x+ix’ = Ixy(5).
Однако исходя из здравого смысла, боги не могут быть одновременно грамотными, неграмотными и “полуграмотными”, как это представлено на скалярных
диаграммах для 3-го универсума. Следовательно, силлогизм для этого универсума должен быть построен для трёх случаев:
боги грамотные;
боги неграмотные;
некоторые боги неграмотные.
Для грамотных богов решение выглядит так:
237
238
Из диаграмм видно, что f(x,y) = Ayx, т.е. «Все неграмотные – смертны».
Для варианта с неграмотными богами имеем:
Заключение в этом случае имеет вид f(x,y) = x+y = Ax’yAy’x, т.е. «Все бессмертные неграмотны, а все грамотные смертны».
Построим скалярные диаграммы для «полуграмотных» богов.
Для этого варианта заключение выглядит так: f(x,y) = 1 = Ixy(8), т.е. в базисе
Васильева «Некоторые смертные неграмотны». В силу симметричности и обратимости частноутвердительного функтора Васильева имеем: Ixy = Ixy’ = Ix’y = Ix’y’.
Следовательно, одновременно можно утверждать, что «Некоторые смертные
грамотны», «Некоторые бессмертные неграмотны», «Некоторые бессмертные
грамотны».
Силлогизмы подобного типа не могут быть решены без скалярных диа238
239
грамм, конкретизации универсума и содержания посылок. Автор и сам без скалярных диаграмм и русской логики становится беспомощным при анализе и синтезе сложных силлогизмов. Таким образом, логика дисциплинирует мышление,
тренирует ум. Это вполне согласуется с мыслью Гераклита о том, что надо воспитывать в себе «многомыслие», а не «многознание».
В «Диалогах» Платона [43, стр.117] встречается такой вопрос: “ Скажи мне,
Клиний, те из людей, кто идёт в обучение, - они мудрецы или невежды?» И далее
утверждается, что любой ответ будет неверным. Это яркий пример терминологической путаницы: мудрец – не всезнайка, а просто умный, обогащённый жизненным опытом и знаниями многих наук(в первую очередь математических) человек.
Если бы Клиний и его оппоненты определили содержание термина, то никакого
диспута не возникло бы.
В Интернете помещён «Тест на логическое мышление». Автор приводит его не
полностью: уж больно он длинный, да к тому же мышлением здесь и не пахнет.
Все читатели, освоившие Русскую логику, легко пройдут предложенное неизвестным автором тестирование.
«Тест на логическое мышление
Для взрослых и очень умных детей.
Автор неизвестен.
© Веб-версия Детей на Куличках
Тест состоит из 30 пунктов. Каждый пункт имеет вид:
- Условие
a. первое следствие
b. второе следствие
c. третье следствие
"Условие" - это условие задачи, некоторые обстоятельства, которые считаются ранее каким-то образом доказанными и всегда истинными.
"Следствие" - это логическое следствие из условия. Из трех следствий одно
и только одно правильно. Ваша задача - проверить свою способность отделять правильные логические следствия от неправильных.
239
240
Тест не требует специальных математических знаний. Все слова в тесте
надо толковать так, как это делается в обычном повседневном русском
языке, но не так, как в математике или иной специальной области. Все слова в тесте надо толковать буквально, никаких метафор или намеков в тесте не предусмотрено.
В тесте вы можете обнаружить незнакомые слова, такие, как "куздра". Эти
слова предназначены для того, чтобы оценить вашу способность к логическому мышлению, отделив ее от других ваших знаний об окружающем мире.
Считайте, что эти слова могут означать все, что угодно, но так, чтобы
фраза в условии была правдивой по смыслу. Например, если написано, что
"куздра бежит", это означает, что куздра действительно умеет бегать и,
по-видимому, имеет ноги или лапки, это может быть к примеру человек, животное или шагающий механизм:)
Иногда в тесте встречаются противоположные по смыслу слова и выражения, например "умеют" и "не умеют", "большой" и "маленький" и т.п. Во всех
таких случаях предполагается, что промежуточные варианты ("умеет, но
плохо", "средний") не рассматриваются.
1. Шмурдик боится как мышей, так и тараканов.
a. шмурдик не боится тараканов;
b. шмурдик боится мышей;
c. шмурдик боится мышей больше, чем тараканов, но и тараканов боится
тоже.
2. Известно, что грымзик обязательно или полосат, или рогат, или то и
другое вместе.
a. грымзик не может быть безрогим;
b. грымзик не может быть однотонным и безрогим одновременно;
c. грымзик не может быть полосатым и безрогим одновременно.
3. Если запырку отравить, то она сразу начнет пускать пузыри.
240
241
a. если запырка пускает пузыри, то она была отравлена;
b. если запырку не отравить, то она не будет пускать пузыри;
c. если запырка не пускает пузыри, то она не отравлена.
4. Все охлотушки умеют играть в шашки
a. не бывает охлотушек, которые не умеют играть в шашки;
b. все, кто умеет играть в шашки, являются охлотушками;
c. не бывает охлотушек, которые умеют играть в шашки.
5. Дубараторы бывают либо хорошими, либо плохими. Неправда, что
этот дубаратор не плохой.
a. этот дубаратор хороший;
b. этот дубаратор средненький;
c. этот дубаратор плохой.
6. В природе обнаружено более десятка тиалей. Все обнаруженные тиали
сплошь красного цвета.
a. по крайней мере некоторые из тиалей красного цвета;
b. по крайней мере некоторые из тиалей зеленые;
c. некоторые тиали (из тех, что уже обнаружены) могут оказаться не
красными.
7. Существуют шакалы с больной мухропендией.
a. не всякий шакал может похвастаться здоровой мухропендией;
b. не всякий шакал может похвастаться больной мухропендией;
c. существуют шакалы со здоровой мухропендией.»
Решим первую задачку из данного теста.
Решение.
Введём следующие обозначения:
Шмурдик – x.
241
242
Боится мышей – y.
Боится тараканов – z.
Тогда получим (x → yz) → (x → y) = (x’+yz) → (x’+y) = x(yz)’+x’+y = 1, т.е. истинно заключение «Шмурдик боится мышей».
Рассмотрим седьмую задачу из данного теста.
Решение.
Неизвестный автор – невежда (не знает Порецкого) и неуч (не знаком с
Русской логикой), но не бестолочь: предлагает решить нетрадиционные задачи.
Однако он не понимает, что частноутвердительное суждение симметрично, поэтому будут истинны все три заключения, а не одно.
242
243
Глава десятая.
Логические уравнения и обратные функции.
10.1. Решение уравнений и 4-значная комплементарная логика.
Под решением логического уравнения понимается преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. Такую формулировку предложил Вороничев Пётр Петрович, научный сотрудник Института
Проблем Управления, когда рецензировал первую статью автора по решению логических уравнений. Сам автор до такого чёткого определения поставленной задачи не додумался бы. Даже когда эта формулировка прозвучала, автор не сразу
её осознал.
Наиболее полно проблема решения логических уравнений рассмотрена в
работах П.С.Порецкого [45] и Н.П.Брусенцова [3].
Предлагается более простой и эффективный метод решения логических
уравнений[17, 29], основанный на применении таблиц истинности и четырёхзначной логики.
Автором для решения логических уравнений впервые предлагается четырехзначная комплементарная логика. Она полностью соответствует общеразговорной, или бытовой логике. Вышеназванная логика представлена базисными
функциями. Значения этой логики имеют следующий смысл: 0 - нет, j - не может
быть никогда, i- может быть, 1 - да.
243
244
Следует обратить внимание на комплементарность (взаимодополняемость,
взаимоинверсность) значений переменных : 0+1=1, i+j=1, 01=0, ij=0. В связи с
этим вполне естественно было назвать такую логику комплементарной. Для приведённых базисных функций комплементарной логики как и для 3-значной логики
также справедлив закон Де Моргана.
При решении системы логических уравнений вначале определяется так
называемая полная единица задачи (системы)[44], а потом отыскивается решение уравнения относительно одной из переменных. Под решением здесь и далее
понимается преобразование исходного уравнения к явному виду относительно
одной из переменных. Поскольку построение полной единицы системы не вызывает затруднений, рассмотрим решение логического уравнения с помощью таблиц истинности, считая полную единицу (m) известной.
В качестве примера рассмотрим именно ту задачку, с которой автор начинал освоение классической логики. Тогда, в 1995г.,только что получив в подарок
от Н.П.Брусенцова его книжку «Начала информатики»[3], я заявил, что в логике
нет и не может быть проблем, поскольку там всё понятно даже четверокласснику.
В ответ Учитель предложил решить любое логическое уравнение. Я ответил, что
справлюсь с этим за 5 минут. При всём при том я даже не знал, что такое «решение логического уравнения». Я взял в качестве уравнения первое, что пришло в
голову: M = ab+cd. Брусенцов Н.П. заявил, что это сложное уравнение, но мне оно
таким не казалось – я справился с ним за обещанные 5 минут. Надеюсь, что Читатель тоже уложится в этот интервал.
244
245
Пример 1.
Дано : m = ab + cd = 1
Найти : d = f(a,b,c)
Решение.
На основании исходного логического уравнения полной единицы строим
таблицу истинности для разрешённых наборов, т.е. тех наборов, на которых исходное уравнение имеет решение, т.е. разворачиваем ДНФ в СДНФ. Перенеся
столбцы a,b,c из исходной таблицы в качестве значений аргументов, а столбец d в качестве значений искомой функции, получим таблицу истинности для d =
f(a,b,c).
По полученной таблице заполним карту Карно, откуда после минимизации
выведем соотношения для d = f(a,b,c). Если на некотором наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем символ i. Если на каком либо наборе функция не определена, то в соответствующую клетку карты Карно вносим значение j. Здесь и далее апостроф означает отрицание аргумента или функции. Применение карты Карно не имеет принципиального значения: просто автор считает карты Карно наиболее эффективным
инструментом для минимизации логических функций.
245
246
Клетки карты Карно с координатами 011 и 111 заполнены значением i, т.к.
на этих наборах(индивидах, конституентах) d принимает значения как 0, так и 1.
Наборы 000, 001 и 010 в таблице отсутствуют, поскольку при таких значениях аргументов исходное уравнение не имеет решения, поэтому соответствующие карты
Карно заполнены символом j.
Для трёхзначной логики в этих клетках помещается прочерк [17], т.е. символ
недоопределённости. Доопределение минимизируемой функции единицами позволяет получить компактную формулу.
Для комплементарной логики имеем:
d = cb’ + ca’ + iba + j(c’b’ + c’a’)
Для трёхзначной логики это уравнение выгдядит проще:
d = b’ + a’ + iba
Но просто ещё не значит истинно. Поэтому произведём проверку полученных результатов. Кстати, эту проверку я ввёл далеко не сразу. Как её сделать?
Очень просто. Если из M = ab+a’b’ мы получили решение a=b, то и из a=b мы
должны на основе формулы эквивалентности вернуться к M = ab+a’b’.
Работать с эквивалентностью в 4-значной комплементарной логике достаточно сложно, поэтому я предлагаю Читателю более простой метод обычной булевой алгебры. Дело в том, что для выражения y = f1+if2+jf3 удалось установить
соответствие y = f1+yf2+y’f3. Запомните это рекурсивное соотношение:
Я предлагаю Читателю поломать голову над выводом вышеприведённого
соответствия. Кстати, заодно и над модификацией разработанной мною алгебры
четырёхзначной комплементарной логики: не всё мне там нравится. Да, есть ещё
246
247
интересная проблема: один студент ТВАТ на моих лекциях по Русской логике заявил, что общеразговорная логика 5-значна: 5-е значение – «не знаю». Надеюсь,
что кто-нибудь из русских мыслителей создаст алгебру 5-значной логики. К стыду
своему, фамилию этого талантливого русского студента я не запомнил. Приношу
ему свои самые искренние извинения. За 15 прошедших лет это был единственный студент (надеюсь, будущий выдающийся учёный), который открыл 5-значную
логику здравого смысла.
А теперь приступим непосредственно к проверке полученных результатов.
Начнём с 4-значной комплементарной логики.
Приведём выражение d = cb’ + ca’ + iba + j(c’b’ + c’a’) к рекурсивному виду.
Получим d = c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’). Теперь найдём полную единицу системы, т.е.
M. Поиск будем вести по формуле эквивалентности M = (x=y) = xy+x’y’, т.е. проверим равносильность преобразований в прямом и обратном направлении.
Тогда получим следующее выражение для М:
M = [d=c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’)] = d[c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’)]+d’[c(a’+b’)+abd+
+c’d’(a’+b’)]’ = cd(a’+b’)+abd+d’(a’c’d+abd’+b’c’d) = cd(a’+b’)+abd+abd’ = ab+cd, что и
требовалось доказать.
То, что [c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’)]’ = (a’c’d+abd’+b’c’d), удалось выяснить с помощью карты Карно: очень скучен процесс аналитического инвертирования.
Итак, проверка решения уравнения в 4-значной комплементарной логике
закончилась благополучно.
Проведём проверку решения уравнения в 3-значной логике. Приведём выражение d = b’ + a’ + iba к рекурсивному виду. Получим d = b’+a’+dba=b’+a’+d. Откуда
M = (d = b’+a’+d) = d(b’+a’+d)+d’(b’+a’+d)’ = d+abd’ = d+ab, что не сответствует исходному значению М. Мы доказали, что решение логических уравнений возможно
только в 4-значной комплементарной логике, чего не знал и не мог знать
П.С.Порецкий. Внимательно анализируя метод решения логических уравнений
великого русского логика П.С.Порецкого[45], приходишь к выводу, что кое в чём
гениальный математик ошибался. Но и на солнце бывают пятна, поэтому великим
грехом эту оплошность назвать нельзя. Можно утверждать, что метод Порецкого
даёт правильный результат только в том случае, если искомая функция является
полностью определённой (ПОЛФ).
В связи с тем, что при решении логических уравнений приходится зачастую
проводить минимизацию булевых функций от большого числа переменных, полезно ознакомиться с соответствующими алгоритмами, изложенными в [13,14] и в
247
248
диссертации автора[15].
Пример 2.
Рассмотрим 1-ю задачу Порецкого[45]. Между птицами данного зоосада существует 5 отношений:
1. Птицы певчие - крупные или обладающие качеством Y.
2. Птицы, не имеющие качества Y - или не крупные, или не имеют качества Х.
3. Птицы певчие в соединении с крупными объединяют всех птиц с качеством Х.
4. Каждая не-крупная птица есть или певчая, или обладающая качеством Х.
5. Между птиц с качеством Х совсем нет таких птиц с качеством Y, которые, не будучи певчими, были бы крупные.
Определить, были ли птицы качества Х певчие или нет, крупные или нет.
Узнать то же в отношении птиц качества Y. Найти, были ли среди птиц качества Х
птицы качества Y и наоборот.
Решение.
Пусть Х - птицы качества Х.
Y - птицы качества Y.
S - певчие птицы.
G - крупные птицы.
Тогда условие задачи будет представлено следующими рекурсивными
уравнениями [45]:
1. s= (g+ у)s;
2. у’= (g’+x’)у’;
3. s+g+x’=1;
4. g’=(s+x)g’;
5. xуs’g=0.
Эти уравнения Порецкий через эквивалентность приводит к единичной
форме:
1. g+у+s’=1
2. g’+x’+у=1
3. s+g+x’=1
4. s+g+x=1
5. x’+у’+s+g’=1
248
249
Нетрудно заметить, что система уравнений Порецкого представляет собой
сорит, содержащий посылки общего характера. Посылки частно-утвердительного
характера метод Порецкого обрабатывать не может.
Кстати, используя силлогистические функторы Аху и Еху, можно получить
эти соотношения сразу, не прибегая к рекурсии и эквивалентности. Исходя из вышесказанного можно утверждать, что аналитическое представление силлогистических функторов Axy, Exy было впервые в мире дано русским логиком Порецким
П.С. Правда, мировая логика не заметила этого научного достижения, как не увидела и того, что позже к аналогичному выводу пришел и Л.Кэрролл[11]. Логика до
сих пор прозябает в невежестве. На основе соотношений Axy = x’+y и Exy = x’+y’,
выведенных нами в разделе «Базисы силлогистики»(см. рис. «Переход от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова»), получим:
1.As(g+y) = s’+g+y = 1
2. Ay’(g’+x’) = y+g’+x’ = 1
3. Ax(s+g) = x’+s+g = 1
4. Ag’(s+x) = g+s+x = 1
5. Ex(ys’g) = x’+y’+s+g’ = 1
Поэтому, видимо, целесообразно изучать решение логических уравнений
после освоения силлогистики.
Полная логическая единица всей задачи определится как конъюнкция всех
левых частей системы логических уравнений. Эту рутинную операцию можно заменить на менее утомительную процедуру построения дизъюнкции нулей. Получим систему:
1. g’у’s=0
2. gxу’=0
3. g’s’x=0
4. g’s’x’=0
5. gs’xу=0
Полный логический нуль системы равен дизъюнкции всех левых частей системы логических уравнений. Проведём решение задачи Порецкого с использованием карты Карно, а потом сопоставим результаты. Заполним карту Карно нулями
в соответствии с нулевыми термами системы, а в оставшиеся клетки впишем
249
250
единицы. Тогда полная логическая единица всей задачи после минимизации примет вид:
m = sу+gx’
xy
00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
0
1
1
0
11
1
1
1
0
10
1
1
0
0
gs
Выпишем из карты Карно все единичные термы в виде таблицы истинности.
По полученной таблице построим таблицы для х=f1(g, s),y=f2(g,s) и у=f3(х). Если
на каком-либо наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем i. Если какой-нибудь набор отсутствует,
то для этого набора в карту Карно вносим значение j комплементарной логики.
После минимизации получим для комплементарной логики системы уравнений:
x = is + jg’s’
у = g’s + ig + jg’s’
у = x + ix’ = (x + ix) + ix’ = x + i
250
251
x = iy
После приведения к рекурсивной форме имеем:
x = xs + x’g’s’
у = g’s + yg + y’g’s’
у=x+y
x = xy
Результаты, полученные Порецким:
x = xs
у = gу + g’s
у=у+x
x = xy
Сравнивая системы уравнений, можно заметить расхождение в результатах. Проверим себя и Порецкого. Полная единица системы M(g,s,x) = s+gx’. Это
следует из основной формулы M(g,s,x,y) = sy+gx’. Для комплементарной логики
имеем M(g,s,x) = (x=xs+x’g’s’) = xs+x’(xs+x’g’s’)’ = xs+x’(x’s+gs’+xs’) = xs+x’s+x’g =
s+gx’, что и требовалось доказать. Проверка остальных результатов комплементарной логики также завершилась успешно.
Для Порецкого проверка не увенчалась успехом. Здесь великий логик допустил ошибку: он нашёл лишь частное решение. Привожу проверку равносильности
преобразований для x=xs:
M(g,s,x) = (x=xs) = xs+x’(xs)’ = xs+x’ = s+x’, что не соответствует заданному
M(g,s,x).
Строгим решением является лишь результат, полученный на основе четырёхзначной комплементарной логики.
Комплементарная логика в электронике повышает надёжность любого
устройства. Электронная система, построенная на такой логике, фиксирует те ситуации, которые не могут быть никогда. Например, в сложной системе управления
своевременное обнаружение таких состояний может предотвратить аварию или
отказ. Поэтому можно надеяться, что вычислительная техника (да и не только
она, но и юриспруденция тоже) будет строиться на комплементарной логике.
Кстати, первая в мире троичная ЭВМ «Сетунь-70» была создана в России
Брусенцовым Н.П. (МГУ). Что касается 4-значной ЭВМ, то аппаратная реализация
комплементарной логики на современной двоичной элементной базе весьма несложна.
251
252
Основываясь на примерах 1 и 2, составим алгоритм решения системы логических уравнений.
10.2. Алгоритм «Селигер» решения уравнений в 4-значной логике.
1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы.
Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы.
4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и
выходной переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.
5. Произвести минимизацию полученного выражения..
6. Привести полученное выражение к рекурсивной форме, заменив i на
прямое значение искомой переменной, а j – на инверсное значение этой переменной.
7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его
полной единице системы для задействованных аргументов, т.е. выполнить
проверку равносильности произведённых преобразований.
Если система уравнений простая и позволяет легко найти СДНФ для М, то
решение можно начинать сразу с п.3 алгоритма "Селигер". Алгоритм предполагает не только графическую, но и аналитическую минимизацию методом обобщённых кодов [13, 26]. Для систем уравнений с числом аргументов не более 10 графический метод эффективнее. Минимизация в комплементарной логике для двоичных аргументов несущественно отличается от минимизации в двузначной: нужно лишь проводить раздельное склеивание по i, j, 1 или 0.
Пример 3
Рассмотрим 2-ю задачу Порецкого.
252
253
Относительно белья в комоде известны 2 положения:
1) часть его состояла из крупных предметов, всё же остальное было тонким,
причём часть этого последнего была поношена, прочая часть дёшево стоила;
2) всё бельё не тонкое, а также всё бельё не новое, но дорогое, принадлежало или к такому тонкому белью, которое не было ни крупно, ни дорого, или же к
такому крупному белью, которое частью было ново, частью же, будучи тонким,
было дёшево.
Узнать, какое бельё было поношено: крупное или мелкое.
Решение.
Пусть а - тонкое, b - крупное, с - дорогое, d - новое бельё. Тогда имеем следующую систему уравнений:
1. b + a(d’ + c’) = 1
2. (a’ + d’c) = ab’c’ + b(d + ac’)
В соответствии с алгоритмом «Селигер» получим:
1. a’b’ + b’cd = 0
2. a’b’ + a’d’ + cd’ + 0
Нулевые термы системы уравнений занесём в карту Карно, откуда получим
функцию полной единицы.
M = ac’+bd.
По полученному соотношению строим сокращённую таблицу истинности и
выписываем из неё значения b и d в виде таблицы, из которой получаем логическую функцию. Из этой функции следует, что d не зависит от b, что совпадает с
результатом Порецкого.
253
254
Если построить диаграммы Лобанова, то сразу становятся очевидными все
зависимости между аргументами a, b, c, d. Например, понятно, что «Всё дорогое
бельё – новое» и «Всё дорогое бельё – крупное».
Пример 4
Дано: M = xy+x’y’ = 1.
Найти: x = f(y).
Решение.
Применяя метод Порецкого, домножим левую и правую части исходного равенства на х. Получим (xy+x’y’)x = x или после минимизации x = xy. Но для этого
равенства полная единица M = x’+y = Axy, что не соответствует заданной формуле равнозначности M = xy+x’y’. Кроме того, по алгоритму «Селигер» истинное решение уравнения выглядит так: x = y. К тому же это общеизвестный факт. Но ещё
первичнее то обстоятельство, что 2-й закон Лобановой С.В. не позволяет этого
делать.
Таким образом, мы видим, что метод Порецкого может давать противоречащие математике и здравому смыслу решения логических уравнений.
254
255
10.3. Алгоритм «Волга» решения уравнений в двоичной логике.
Под решением логического уравнения мы понимаем преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. Впервые в
мире эту проблему сумел разрешить гениальный русский учёный Платон Сергеевич Порецкий в своей работе о логических равенствах [45].
Однако Порецкий П.С. допустил ряд ошибок, для уcтранения которых пришлось разработать алгебру 4-значной комплементарной логики и алгоритм «Селигер».
А нельзя ли найти решение поставленной задачи, не прибегая к 4-значной логике? Оказывается, можно. Автором разработан алгоритм «Волга», опирающийся
только на булеву алгебру.
Алгоритм «Волга» решения уравнений в двоичной логике.
1. Привести систему уравнений к нулевому виду.
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы.
Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет минимальную дизъюнктивную нормальную
форму (МДНФ) уравнения полной единицы системы.
4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и
выходных переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.
5. Если на каком-либо наборе функция Y принимает как 0, так и 1, то
присвоить ей значение Y. Если существуют наборы, на которых функция Y не
определена, то на этих наборах искомой функции присвоить её инверсное значение, т.е. Y’.
6. Произвести минимизацию полученного выражения.
7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его
полной единице системы для задействованных аргументов, т.е. выполнить
проверку равносильности произведённых преобразований.
Рассмотрим вновь 1-ю задачу Порецкого[45]. Между птицами данного зоосада
255
256
существует 5 отношений:
1. Птицы певчие - крупные или обладающие качеством Y.
2. Птицы, не имеющие качества Y - или не крупные, или не имеют качества Х.
3. Птицы певчие в соединении с крупными объединяют всех птиц с качеством Х.
4. Каждая не-крупная птица есть или певчая, или обладающая качеством Х.
5. Между птиц с качеством Х совсем нет таких птиц с качеством Y, которые, не будучи певчими, были бы крупные.
Определить, были ли птицы качества Х певчие или нет, крупные или нет.
Узнать то же в отношении птиц качества Y. Найти, были ли среди птиц качества Х
птицы качества Y и наоборот.
Решение.
Пусть Х - птицы качества Х, Y - птицы качества Y,
S - певчие птицы,
G - крупные птицы.
На основе соотношений Axy = x’+y и Exy = x’+y’ получим:
1.As(g+y) = s’+g+y = 1
2. Ay’(g’+x’) = y+g’+x’ = 1
3. Ax(s+g) = x’+s+g = 1
4. Ag’(s+x) = g+s+x = 1
5. Ex(ys’g) = x’+y’+s+g’ = 1
Полная логическая единица всей задачи определится как конъюнкция всех
левых частей системы логических уравнений. Эту рутинную операцию можно заменить на менее утомительную процедуру построения дизъюнкции нулей. Получим систему:
1. g’у’s=0
2. gxу’=0
3. g’s’x=0
4. g’s’x’=0
5. gs’xу=0
Полный логический нуль системы равен дизъюнкции всех левых частей системы логических уравнений. Заполним карту Карно нулями в соответствии с нулевыми термами системы, а в оставшиеся клетки впишем единицы. Тогда полная
логическая единица всей задачи после минимизации примет такой же вид, как и в
[44, с.113]:
M = sу + gx’
xy
00
01
11
10
256
257
gs
00
0
0
0
0
01
0
1
1
0
11
1
1
1
0
10
1
1
0
0
Выпишем из карты Карно все единичные термы в виде таблицы истинности.
По полученной таблице построим таблицы для х=f1(g, s),y=f2(g,s) и у=f3(х). Если
на каком-либо наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем символическое обозначение искомой
функции. Если какой-нибудь набор отсутствует, то для этого набора в карту Карно вносим символическое обозначение инверсии искомой функции.
После минимизации получим следующие системы уравнений:
x = xs + x’g’s’,
у = g’s + gy + g’y’,
у = x + y.
Проверим корректность решения задачи на более простом первом результате. Полная единица системы M(g,s,x) = s+gx’. Это следует из основной формулы
M(g,s,x,y) = sy+gx’.
Аналогично: M(g,s,y) = g+sy, M(x,y) = x’+y.
Проверка равносильности преобразований выглядит так: M(g,s,x) =
(x=xs+x’g’s’) = xs+x’(xs+x’g’s’)’ = xs+x’(x’s+gs’+xs’) = xs+x’s+x’g = s+gx’, что и требо257
258
валось доказать. Проверка остальных уравнений также завершилась успешно:
M(g,s,y)=( у=g’s + gy + g’y’) = g+sy, M(x,y) = (y=x+y) = y(x+y)+y’(x+y)’ = y+y’(x’y’) =
y+x’y’ = x’+y.
10.4. Равносильные преобразованиялогических уравнений.
При решении логических уравнений иногда возникает необходимость в равносильных преобразованиях. Эта проблема рассмотрена в [3] и решена путём
введения понятий парного и непарного индивидов. Однако, чёткое определение
этих понятий отсутствует. Рассмотрим проблему на примере решения задачи.
Задача 10.4.1.
Это задача Лобановой С.В. При синтезе функции переноса в одноразрядном сумматоре получается выражение:
p1 = p0(ab)+ab, где а,b – складываемые числа, p0 и p1 – входной и выходной переносы. После минимизации получается функция p1 = p0(a+b)+ab.
Напрашивается «очевидный» вывод: (ab) = (a+b). Но это противоречит здравому смыслу и математике. Поэтому проверим истинность суждения:
[(p0(ab)+ab) = [(p0(a+b)+ab)] [(ab) = (a+b)].
Решение.
Доказывать истинность {(p0(ab)+ab) = [(p0(a+b)+ab)]} [(ab)=(a+b)]=1
достаточно муторно, поэтому рассмотрим общий случай, на его основе выведем
общий закон, а на основе закона решим задачу Лобановой С.В.
Исходя из равенств y = ax+b, y = az+b проверить суждение
[(ax+b) = (az+b)] (x=z), т.е. можно ли удалять из правой и левой части равенства одинаковые логические слагаемые и сомножители.
На основе алгоритма «Импульс» получаем
[(ax+b)=(az+b)](x=z) = (ax+b)(az+b)+(x=z) = (ax+b)(az+b) + b’(a’+x’)+ (x=z) =
b+axz+a’b’+b’x’+xz+x’z’ = x’+z+a’+b 1.
Из этого закона ясно видно, что исходное суждение ложно. Это было видно
и без закона, на основании здравого смысла, однако его всегда нужно поддерживать строгими математическими доказательствами. Поскольку закон инициирован
задачей Лобановой С.В., то он носит её имя. Поставить вопрос оказалось сложнее, чем ответить на него.
Мы доказали, что нельзя в общем случае сокращать обе части равенства
на общие логические сомножители или удалять общие логические слагаемые.
258
259
Отсюда возник вопрос: что же можно "безболезненно" добавлять и удалять
из логического равенства. Вопрос этот опять-таки навеян задачей Лобановой.
Докажем равносильность преобразований с помощью традиционных методов. Пусть х, у - логические функции, для которых справедливо уравнение х = у,
приведённое через эквивалентность к виду.
( х = у ) = ху + х’у’
Требуется найти парный индивид z , т.е. такую функцию, добавление (удаление) которой к обеим частям равенства х=у не нарушало бы его равносильности. Это требование записывается в виде уравнения.
x+z=у+z
Но полученное выражение через формулу эквивалентности приводится к
виду:
(x+z=у+z) = (x+z)(у+z)+(x+z)’(у+z)’ =
= xу+x’у’+z = (х=у)+z
Откуда следует, что z должен принадлежать исходному равенству, и парным индивидом для исходного уравнения х=у может быть любой терм уравнения
или их комбинация, т.е. в данном случае парными индивидами являются только
три терма: ху, х’у’,xу+х’у’.
х=у
(х +ху = у + ху) = (x = y)
(х + х’у’ = у + x’у’) = (x+y’ = x’+y) = [(x+y’)(x’+y) + (x+y’)’(x’+y)’] =
=x’y’+xy+x’y & xy’ = x’y’+xy = (x=y)
(x + ху + x’у’ = у + xу + х’у’) = [(x+y’) = (y+x’)] = (x = y)
Все эти 4 логических равенства равносильны.
Задача 10.4.2
Пусть х+а = у+b . Найти парные термы (индивиды).
Решение.
Развернём исходное уравнение на основе формулы эквивалентности:
(x+a=у+b)=(х+а)(у+b)+(х+а)’(у+b)’ = xу+ау+bx+ab+a’b’x’у’
Парными термами в этом случае являются ху, ау, bx, ab, a’b’x’у’ и все их
комбинации, которые более наглядно можно представить на карте Карно.
259
260
Любой набор термов из единичных фигур покрытия [3] карты Карно может
быть парным индивидом. Самым неочевидным является парный терм a’b’x’у’. Вот
его и проверим.
[(x+a+ a’b’x’у’=у+b+ a’b’x’у’)] = (х+а+b’y’)(у+b+a’x’) = xy+ay+bx+ab+a’b’x’y’+
+(a’bx’+a’x’y)(ab’y’+b’xy’) = xy+ay+bx+ab+a’b’x’y’+0 = (x+a=у+b).
Проверка подтвердила правильность наших утверждений.
Определим общее количество парных индивидов n. Пусть u - количество
переменных, входящих в уравнение f1=f2. Тогда количество конституент единицы
k определится следующими соотношениями.
Для чётного u: k = 1 + [2^(u/2) - 1]^2
Для нечётного u: k = 1+(2^[(u+1)/2]-1)
Эти соотношения легко(?) выводятся из анализа карты Карно для уравнения х+а = у+b .Общее количество парных индивидов равно сумме биноминальных
коэффициентов для бинома степени k без единицы:
n = 2^k – 1.
Более надёжно определяется минимальное количество парных индивидов:
оно равно количеству логических слагаемых в СДНФ анализируемой функции.
А теперь рассмотрим равносильное преобразование при умножении обеих
частей уравнения на один и тот же логический сомножитель.Имеем исходное
уравнение x = y. Домножим обе части уравнения на логический сомножитель с.
Получим:
(cx = cy) = cxy+(cx)’(cy)’ = cxy+c’+x'y' = (x=y)+c’.
Полученное выражение будет эквивалентно исходному уравнению только
при c’ = x’y’, c' = xy или c' = xy+x'y'. Отсюда получим c1 = x+y, c2=x'+y', c3 = (xy'+x'y) .
Проверим полученные результаты.
[(x+y)x = (x+y)y] = (x=y).
[(x'+y')x = (x'+y')y] = (xy'=x'y) = [0+(x'+y)(x+y')] = (xy+x'y') = (x=y).
260
261
[(xy'+x'y)x = (xy'+x'y)y] = (xy'=x'y) = (x'+y)(x+y') = (xy+x'y') = (x=y).
Следовательно, домножать обе части уравнения можно только на логическую сумму этих частей или их инверсий.
Законы Лобановой С.В.
1. Сокращение на общий множитель или отбрасывание общих частей в
левой и правой половинах логического уравнения в общем случае недопустимо.
2. Можно домножать левую и правую части логического уравнения только на сомножитель, являющийся парным индивидом исходного уравнения. Соответственно удалять можно только такой сомножитель, который является парным индивидом остающегося уравнения.
3. Можно добавлять к обеим частям логического уравнения одно и то же
логическое слагаемое, являющееся парным индивидом уравнения.
Соответственно удалять можно только такое логическое слагаемое,
которое является парным индивидом остающегося уравнения.»
Из законов Лобановой известно, что в общем случае [(x=y)=(x+c=y+c)] ≠ 1,
т.е. [(x=y) ≠ (x+c=y+c)]. Однако также известно, что операции «равно» и «не равно» взаимноинверсны: (а=в) = ( а в )’ , а в = (а=в)’.
Проверим тождественность операций и ≠, заменив знак ≠ на знак в
уравнении [(x=y) ≠ (x+c=y+c)] .
[(x=y) (x+c=y+c)] = {(x=y) [(x=y)+c]} = (x=y)[(x=y)+c]’ + (xy) [(x=y)+c] =
= (x=y)(xy)c’ + (xy) [(x=y)+c] = (xy)c = cxy’+cx’y ≠ 1, т.е. операции и ≠ не эквивалентны.
10.5. Отыскание обратных функций.
На основе метода, заложенного в алгоритме «Селигер», можно вывести соотношения для операций, обратных конъюнкции и дизъюнкции. Поскольку эти
операции часто называются соответственно логическими умножением и сложением, то логично обратным операциям присвоить имена логического деления и логического вычитания. Впервые формулы для логического частного и логической
разности для троичной логики получены Н.П.Брусенцовым[3, с.37]. Поскольку в
261
262
троичной логике не может быть получено корректное решение, то требуется проверка уравнений Брусенцова.
Если логическое уравнение вида z=f(x1, x2, x3 .....xi .....xn) решается относительно одной из своих переменных, например, отыскивается обратная функция
x1=fi(z, x2, x3 .....xi ..... xn), то можно воспользоваться более простым алгоритмом
«Селигер-С» решения задачи.
Алгоритм «Селигер-С» синтеза обратных функций.
1. Построить таблицу истинности для уравнения z=f(x1, x2 ..... xn).
2. По исходной таблице истиннсти построить таблицу истинности для обратной функции вида x1=fi(z, x2 ......xn) простой перестановкой столбцов z и х1.
3. По полученной таблице истинности построить обратную функцию x1=fi(z,
x2, ..... xn) и провести её минимизацию.
4. Проверить полученное решение, вычислив полную единицу системы М по
обратной функции.
Пример 5.
Дано: z = xу , v = x + у.
Найти: у = z/x , у = v-x .
Решение.
На основе формулы эквивалентности преобразуем исходную формулу z=xу.
Тогда получим (z=xу) = zxу + z’(x’+у’). В соответствии с пп.4, 5 алгоритма «Селигер» получим у = xz+ix’z’+jx’z.
Решим ту же задачу посредством алгоритма «Селигер-С». Исходные уравнения представим в виде таблицы истинности. Тогда в соответствии с п.2 алгоритма «Селигер-С» построим частные таблицы истинности для у= z/x и у=v-x.
262
263
В соответствии с п.3 алгоритма «Селигер-С проведём минимизацию искомых функций в комплементарной логике.
Для комплементарной логики получим:
у = z/x = xz + ix’z’ + jx’z = xz+x’yz+x’y’z - уравнение логического деления.
у = u-x = x’v + iv + jxv’ = x’v+yv+xy’v’ - уравнение логического вычитания.
Проверим оба полученных результата(проверка всех 16 обратных логических функций от двух аргументов будет проведена ниже). Пусть вначале это будет
операция логического деления. В рекурсивной форме она выглядит так:
у = xz + yx’z’ + y’x’z
Найдём полную единицу системы М для полученной функции.
M = (у = xz + yx’z’ + y’x’z ) = y(xz + yx’z’ + y’x’z )+y’(xz + yx’z’ + y’x’z )’ =
= xyz+x’yz’+y’(y’z’+xz’+x’yz) = xyz+x’yz’+y’z’ = xyz+z’(x’+y’).
Она должна совпадать с исходной
263
264
M = (z=xy) = xyz+z’(xy)’ = xyz+z’(x’+y’). Налицо совпадение результатов.
Проверим формулу, полученную для логической разности. Исходная полная
единица M = (v = x+y) = v(x+y) + v’(x+y)’ = xv+yv+x’y’v’.
Полная единица системы на основе логической разности
M = (y = x’v+yv+xy’v’) = x’yv+yv+y’(x’v+yv+xy’v’)’ = yv+y’(x’v’+yv’+xy’v) =
= yv+x’y’v’+xy’v = xv+yv+x’y’v’, ч.т.д.
Проверка подтвердила правильность полученных результатов.
Теперь проверим формулы, полученные Брусенцовым Н.П. [3, с.37]. Для логического деления была получена формула: y = xz+ix’.
Приведём её к рекурсивному виду – получим y = xz+yx’. Найдём полную
единицу системы: M = (y = xz+yx’) = xyz+x’y+y’(xz+yx’)’ = xyz+x’y+y’(xz’+y’x’)’ =
xyz+x’+xy’z’ = x’+x(y=z) = x’+(y=z), что не соответствует исходной М.
Для логического вычитания Брусенцовым Н.П. построена частичная функция [3, с.37] : y = x’z+ix. В рекурсивном виде y = x’z+yx. Найдём полную единицу
системы M = (y = x’z+yx) = x’yz+xy+y’(x’z+yx)’ = x’yz+xy+y’(x’z’ + y’x) = x’yz + xy + xy’ =
x’yz + x, что не соответствует исходной М.
Как мы убедились, однозначными и строгими решениями являются лишь
уравнения комплементарной логики. Следовательно, в принципе не может быть
правильным решение логического уравнения в троичной логике.
Пример 5.
Дана система логических уравнений (В. С. Левченков «Булевы уравнения» –
М.:1999 ):
ax = bc
bx = ac
Найти х.
Решение .
Напрашивается простой и “очевидный” метод решения: сложить левые и
правые части уравнений и сократить на общий множитель. В результате получим
(a+b)x = (a+b)c. Откуда x = c, a = b. Ответ настораживает, тем более, что решение
противоречит принципу отыскания парных индивидов, поэтому проверим его на
основе разработанных алгоритмов.
. Действительно, сложить левые и правые части уравнений мы имеем право
264
265
на основании правила (9П) Порецкого[48,стр,376]. Кстати, заодно и проверим это
правило:
(e=c) (e+b=c+b) = ec’+e’c+(e+b)(c+b)+(e+b)’(c+b)’ = ec’+e’c+ec+b+e’b’c’ = 1;
Да, Порецкий не ошибся. Однако относительно сокращения на общий
множитель великий русский логик нам ничего не сообщил. А так хочется это сделать, тем более что всё очевидно, и обычная алгебра нам не запрещает подобные операции. Проверим допустимость сокращения на общий множитель с помощью алгоритма “Импульс”:
(cx=cy) (x=y) = cx(cy)’+(cx)’cy+xy+x’y’ = cxy’+cx’y+xy+x’y’ 1.
Оказывается, что алгебра логики, а точнее 1-й закон Лобановой, не разрешает нам этакие вольности
По алгоритму “Селигер” :
M = (ax = bc)( bx = ac)
M’ = (axbc)+(bxac)=ab’x+ac’x+a’bc+bcx’+a’bx+bc’x+acx’+ab’c.
После занесения M’в карту Карно получим
M = a’b’+abcx+c’x’.
Откуда решение системы логических уравнений в соответствии с алгоритмом «Селигер» примет вид:
x = abc+ia’b’+jc(ab’+a’b) = abc+xa’b’+x’c(ab’+a’b).
a = bcx+ic’x’+jb(cx’+c’x) = bcx+ac’x’+a’b(cx’+c’x).
Проверка этих рекурсивных уравнений по полной единице системы М дала
положительные результаты.
Заданная система уравнений может быть представлена графически при помощи скалярных диаграмм . Скалярные диаграммы построены по рабочим наборам таблицы истинности для М.
265
266
Скалярные диаграммы дают полное представление о системе уравнений.
Подтвердим корректность метода на решении более прозрачной задачи.
Пример 6.
Дана система логических уравнений:
x=y
u=v
Найти решение системы.
Решение.
M = (x = y)(u = v) = (xy + x’y’)(uv + u’v’) = u’v’(x’y’ + xy)+uv(x’y’ + xy)
По алгоритму «Селигер» получим
y(x,u,v) = x(u = v)+j(u v)
Для перехода к y(x) достаточно в таблице истинности для полной единицы
М вынести столбец значений y в графу функций и произвести синтез y(x) по вышеизложенным алгоритмам. В результате мы подтвердим исходное уравнение
системы y(x) = x. Аналогично можно показать,что u(v) = v.
Кстати, в данном случае есть более простой способ поверки решения системы: в уравнении y(x,u,v) = x(u = v)+j(u v) убрать «лишние» переменные, т.е.
подставить u = v = 1. Получим y(x) = x(1 = 1)+j(1 1) = х+ j0 = х, что и требовалось
доказать.
Используя алгоритм «Селигер» или «Селигер-С», можно получить полную
систему обратных функций для двоичной логики. В таблице приведена полная
система прямых функций двоичной логики.
xy
z0
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z9
z1
z1
z1
z1
z1
z1
0
1
2
3
4
5
00
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
01
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
10
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
266
267
Перестановкой столбцов у и z исходной таблицы строим таблицу истинности для полной системы обратных функций.
xz
y0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y
y
y
y
y
y
10 11 12 13 14 15
00
i
i
i
i
0
0
0
0
1
1
1
1
j
j
j
j
01
j
j
j
j
1
1
1
1
0
0
0
0
i
i
i
i
10
i
0
1
j
i
0
1
j
i
0
1
j
i
0
1
j
11
j
1
0
i
j
1
0
i
j
1
0
i
j
1
0
i
Из таблицы обратных функций впервые получим полную симметричную систему обратных функций y = f1(x,z),а по алгоритму «Селигер» – y = f2(x):
у0 = iz’+jz
y0 = j
у1 = xz+ix’z’+jx’z
y1 = x+jx’
у2 = xz’+ix’z’+jx’z
y2 = jx’
у3 = i(xz+x’z’)+j(xz’+x’z)
y3 = ix+jx’
у4 = x’z+ixz’+jxz
y4 = x’+jx
у5 = z
y5 = 1
у6 = xz’+x’z
y6 = x’
у7 = x’z+ixz+jxz’
y7 = x’+ix
у8 = x’z’+ixz’+jxz
y8 = jx
у9 = xz+x’z’
y9 = x
у10= z’
y10 = 0
у11= x’z’+ixz+jxz’
y11 = ix
у12= i(xz’+x’z)+j(xz+x’z’)
y12 = ix’+jx
у13= xz+ix’z+jx’z’
y13 = x+ix’ - импликация
у14= xz’+ix’z+jx’z’
y14 = ix’
у15= iz+jz’
y15 = i
Кстати, переход от левой системы уравнений к правой легко выполняется
простой заменой z на 1 и z’ на 0. Аналогичные результаты мы получим, если таблицу прямых функций заменим скалярными диаграммами, а из них по алгоритму
ТВАТ выведем соотношения y = f(x). Самой примечательной из полученных функ267
268
ций является y13 = x+ix’ – импликация. Из этого выражения легко просматривается физический смысл импликации: y обязательно истинно, если истинно x, но иногда y истинно даже при ложном х.
Решая 1-ю задачу Порецкого, мы заметили аналогию между рекурсивным
вхождением функции и комплементарным значением i. Резонно предположить,
что такая аналогия существует между комплементарным j и рекурсивным значением инверсии функции. Проверим это предположение на полученных одноаргументных функциях и убедимся в их обратимости с помощью формулы эквивалентности.
0) (y = j) (y = y')
M = (y=y') = yy'+y'y = 0
1) (y = x+jx') (y = x+x'y') = (y = x+y')
M = (y=x+y') = y(x+y')+y'(x+y')' = xy+y'x'y = xy
2) y = jx' x'y'
M = (y=x'y') = yx'y'+y'(x'y')' = y'(x+y) = xy'
3) y = ix+jx' xy+x'y'
M = (y=xy+x'y') = y(xy+x'y')+y'(xy'+x'y) = xy+xy' = x
4) y = x'+jx x'+xy' = x'+y'
M = (y=x'+y') = y(x'+y')+y'(x'+y')' = x'y
5) y = 1
M = (y=1) = y&1+y'&0 = y
6) y = x'
M = (y=x') = xy'+x'y
7) y = x'+ix x'+xy = x'+y
M = (y=x'+y) = y(x'+y)+y'(x'+y)' = y+xy' = x+y
8) y = jx xy'
M = (y=xy') = yxy'+y'(xy')' = x'y'
9) y = x
M = (y=x) = x'y'+xy
10)y = 0
M = (y=0) = y&0+y'&1 = y'
11)y = ix xy
M = (y=xy) = yxy+y'(xy)' = xy+y' = x+y'
268
269
12)y = ix'+jx x'y+xy'
M = (y=x'y+xy')=y(x'y+xy')+y'(x'y'+xy)=x'y+x'y' = x'
13)y = x+ix' x+x'y = x+y
M = (y=x+y) = y(x+y)+y'(x+y)' = y+x'y' = x'+y
14)y = ix' x'y
M = (y=x'y) = yx'y+y'(x'y)' = x'y+y' = x'+y'
15)y=i y
M = (y=y) = y&y+y'&y' = y+y' = 1
После обращения были получены все 16 прямых функций от двух аргументов без какого-либо искажения. Это подтверждает правильность всех алгоритмов
решения логических уравнений и корректность комплементарной логики.
10.6. Разложение логических функций на множители.
В своей работе[44, с.130-134] П.С.Порецкий много внимания уделяет разложению логических функций на множители. На самом деле это чрезвычайно простая задача: достаточно перейти от дизъюнктивной нормальной формы(ДНФ)
представления функции к конъюнктивной(КНФ).
Алгоритм «ОМТ» аналитического нахождения посылок сорита.
1. Найти инверсию функции М и представить её в виде ДНФ, т.е. в виде логической суммы.
2. Проинвертировать полученную M’ и представить М в виде КНФ, т.е. в виде произведения логических сомножителей.
Например, нужно разложить функцию М полной единицы системы на множители, т.е. на элементарные посылки.
Пусть M = ab+cd. Тогда, проведя первое инвертирование, получим:
M’ = (ab+cd)’ = (a’+b’)(c’+d’) = a’c’+b’c’+a’d’+b’d’.
Проведя второе инвертирование, получим:
M = (a’c’+b’c’+a’d’+b’d’)’ = (a+c)(b+c)(a+d)(b+d).
В полученном результате легко просматривается более простой алгоритм
269
270
механического разложения логической функции на множители.
Пусть M = ab+cd+ef. Тогда после разложения на множители получим следующий результат:
M = (a+c+e)(b+c+e)(a+d+e)(b+d+e)(a+c+f)(b+c+f)(a+d+f)(b+d+f).
10.7. Алгебра 6-значной комплементарной логики.
Когда автор в 1996г. заявил, что общеразговорная логика, т.е. логика здравого смысла (ЛЗС), четырёхзначна, то в это поверили не сразу. Однако один из моих
студентов в ТВАТ, к стыду своему я не запомнил фамилии этого талантливого
русского юноши, заявил, что ЛЗС пятизначна: пятое значение – «не знаю» (k). Я
согласился, но создание 5-значной алгебры переложил на инициатора.
Прошло десять лет, и я вернулся к этой проблеме. Мне пришла в голову
мысль, что ЛЗС шестизначна и комплементарна. Шестое значение – «знаю, но не
скажу»(s). Так может ответить, например, патриот на вопрос оккупанта.
Если принять шестизначность за аксиому, то алгебра такой логики может выглядеть так.
270
271
Следует обратить внимание на комплементарность (взаимодополняемость,
взаимоинверсность)
значений переменных : 0+1=1, i+j=1, k+s=1, 01=0, ij=0,
k&s=0. В связи с этим вполне естественно назвать такую логику комплементарной. Для приведённых базисных функций 6-значной логики как и для 2-, 3- и 4значной логики также справедлив закон Де Моргана.
10.8. Парадоксы Русской логики.
Прошло уже 128 лет, как вышла в свет работа выдающегося русского логика Порецкого П.С. о решении логических равенств [45]. По сути дела это основополагающий труд, ознаменовавший создание истинно математической логики, о
которой мечтал Лейбниц и всё человечество. До сих пор никто в мире не понял
достижений русского учёного. Пришлось перевести работу Порецкого П.С. на язык
четвероклассника, устранить принципиальные ошибки великого логика и создать
корректные методы решения логических уравнений, а также методы анализа и
синтеза силлогизмов и соритов [16-41]. В итоге родилась Русская вероятностная
логика (РВЛ). Поскольку и её никто не понял, пришлось написать конспект по
РВЛ[42]. Фундаментом РЛ явились скалярные диаграммы Лобанова. На их основе
были выведены все аналитические соотношения для общеутвердительных, общеотрицательных и частноутвердительных кванторов, а также разработаны методы анализа и синтеза силлогизмов и соритов.
В настоящее время Русская логика стала индикатором интеллекта: если
освоил РЛИ [41], то интеллект на «3», не понял РЛИ – бестолочь. Если разобрался с Порецким [45] и устранил его принципиальные ошибки, то интеллект на «4».
Если нашёл ошибки («парадоксы») в РЛ и сумел их нейтрализовать, то интеллект
на «5».
За прошедшие 14 лет никто не сумел обнаружить эти парадоксы. Боюсь,
что математики будут ещё 128 лет разбираться в РЛ. Поэтому раскрываю парадоксы для толковых математиков-патриотов. Надеюсь, что русским матлогикам
удастся решить те задачи, с которыми не справился автор.
Из диаграмм Лобанова были получены соотношения: Axy = x’+y, Exy=x’+y’,
Ixy=1. Однако суждение Exy→Ixy=(x’+y’)’+1 = 1 парадоксально: мы доказали истинность шокирующей импликации, что противоречит здравому смыслу.
271
272
Следующие парадоксы можно усмотреть в алгебрах комплементарных 4- и
6-значных логик. Парадокс 4-значной логики автор нейтрализовал за счёт перехода к двоичной логике при решении логических уравнений. Результаты такого метода абсолютно корректны, но хотелось бы научиться решать логические равенства, используя комплементарные 4-значную и 6-значную логики. Это умение пригодится при создании ИИ.
Успеха вам в доработке РЛ, Русские математики!
Выводы.
1. Простота методов, заложенных в алгоритмах «Селигер» и «Волга», позволяет решать логические уравнения от большого числа переменных.
2. Минимизация функций в 3-значной и комплементарной логиках для двоичных аргументов несущественно отличается от традиционных методов двузначной логики.
3. Парные термы для равносильных преобразований определяются набором термов, полученных на основе применения формулы эквивалентности к исходному логическому уравнению.
4. Применение метода при выводе обратных логических функций показало,
что корректное решение для двоичных аргументов может быть получено лишь в
четырёхзначной комплементарной логике.
5.Впервые получены все 16 обратных логических функций для двух аргументов.
6. Комплементарная логика при аппаратной реализации позволяет значительно упростить решение проблемы самодиагностирования вычислительной
техники: например появление j на любом
сбое или отказе.
272
выходе может свидетельствовать о
273
Глава одиннадцатая.
О невежестве, безграмотности и бестолковости современных логиков.
Необходимость написание данного раздела возникла после выступлений автора на VI Российском философском конгрессе (РФК-6), проходившем в Нижнем
Новгороде 26-30 июня 2012 г. Мне казалось, что подобная оценка вполне очевидна из сути Русской логики (РЛ). Однако потребовались разъяснения. Попытаюсь
сделать их в предлагаемом читателю разделе.
Автор на РФК-6 сделал 15-минутный доклад по Русской логике (РЛ) на секции "Логика". Завершив изложение основ РЛ, автор открытым текстом заявил о
невежестве, безграмотности и бестолковости современных логиков и матлогиков.
Доклад был встречен слушателями весьма доброжелательно и с повышенным интересом. Руководителю секции проф. Ивлеву такое шокирующее заключение пришлось не по душе. Это и понятно: выбивается мягкое и доходное кресло
из-под невежественных преподавателей. Однако никаких возражений не последовало: вся РЛ предельно проста и прозрачна, автор не в состоянии обмануть даже
четвероклассника. Особенно по нраву РЛ пришлась студентам и слушателям с
естественно-научным образованием. Молодёжь и представители точных наук не
могут равнодушно относиться к современной логике, превратившейся в пустопоржнюю болтовню, в болтологику.
VI Российский философский конгресс на самом деле был международным:
молодой бразильский учёный Тейшера да Мата Жозе Вериссимо с восхищением
отозвался о РЛ и сердечно благодарил за создание РЛ и материалы по ней, подаренные автором. Вполне возможно, что в Бразилии РЛ освоят раньше, чем в
России.
Итак, на секции "Логика" было получено негласное одобрение РЛ и выводов
автора о низком интеллекте современных матлогиков. Но логическая секция была
весьма малочисленна: не более десятка участников. Поэтому автор решил выступить на следующий день, т.е. 29.06.12, на общем собрании членов РФО. Собрание насчитывало более 320 участников РФК-6. Выступающим было предоставлено 3-5 минут на актуальное сообщение. Автор достаточно агрессивно с трибуны
273
274
заявил о невежестве, безграмотности и бестолковости современной науки о
мышлении. Возражений и возмущений не последовало. Более того, докладчика
проводили бурными аплодисменами. Один из участников РФК-6 высказал следующую мысль:" Вы обозвали всех дураками, а они не возражают. Следовательно,
они слабые и боятся Вас". Такого же мнения придерживаются и в Минобразе РФ.
Меня не следует пугаться - нужно освоить РЛ и попытаться её разгромить. Это
будет достойным ответом нелицеприятному, нахальному, самоуверенному автору. Поторопитесь с опровержениями: в Интернете уже появились требования запрета РЛ. Шансов на достойную отповедь у нынешнего поколения нет никаких, но
попытаться следует: по крайней мере хотя бы молодёжь поймёт РЛ. Кстати, судя
по форумам в Интернет и по электронной почте, молодёжь уже активно осваивает
РЛ. Спасибо им за интерес к отечественной логике. Скоро даже школьники будут
смеяться над академиками.
Я считаю, что в науке не должно быть авторитетов и дипломатии, нужно всё
называть своими именами, поэтому у меня появились такие "грубые, шокирующие" оценки учёных 20 - 21 веков. Остроградский, Порецкий и Понтрягин тоже не
стеснялись в выражениях по поводу своих оппонентов. Остроградский дал разгромную, уничижительную характеристику Лобачевскому, и эта оценка справедлива и актуальна до сих пор. Понтрягин назвал Колмогорова "ложкой дёгтя в бочке
мёда русской математики", и с ним согласны все преподаватели математики
средней школы России. Не бойтесь обидеть "авторитеты", сражайтесь за истину!
На следующий день после собрания РФО автор случайно встретился с одним из участников конгресса. Он отрекомендовался "действующим физиком", любителем философии. Как я понял, это был специалист с хорошей, советской
физмат-подготовкой. Его возмутили мои характеристики, выданные логикам,
нашим современникам, однако поведение физика было чрезвычайно корректным.
Автор же считает, что нелицеприятные оценки вполне можно распространить не
только на логиков, но и на всех "физиков" и "лириков": в Российской гимназии до
1917 года человека, не знающего логику, называли невеждой и неучем. Мои оценки немного мягче: невеждой является логик, не знакомый с работами Порецкого, а
неуч - это тот логик, кто не знает РЛ. Читателя, "проглотившего" фундаментальный труд гениального русского логика, невеждой не назовёшь, но абсолютно
справедливо уличишь его в бестолковости: никто в мире не освоил логики Порецкого.
На заявление "действующего физика" о моём неполном тестировании учё274
275
ных я ответил, что протестировал весь мир. Действительно, вот уже 14 лет я распространяю сведения о результатах русских логиков, но до сих пор нигде в мире,
кроме моих работ, читатель не найдёт основополагающих формул Порецкого
(x=xy) и Лобанова (Axy = x'+y) ~ (x=xy). Именно отсюда следует вывод (Axy = x'+y)
~ (xy), т.е. логика суждений и логика предикатов - синонимы, чего до сих пор никто не понял. Это ли не доказательство бестолковости науки.
Сегодня термин "кванторное исчисление" используется реже, чем 10 лет
назад. Возможно, сказывается влияние РЛ: более 10 лет я называю тупицами
всех, кто путает исчисление с мнемоникой. На V Общероссийской конференции
"Современная логика: проблемы..." (СПбГУ, 1998г) д.ф.-м.н. Непейвода Н.Н. пытался с помощью "кванторного исчисления" решать силлогистические уравнения,
т.е. искал заключение силлогизма [43]. Я уже тогда заявил, что это бред сивой
кобылы, что вызвало весьма агрессивную реакцию отпетого апологета исчисления-мнемоники. "Кванторное исчисление" было в чести у недоумка в области логики Колмогорова, да и Ивлеву "кванторное исчисление" греет душу. Ну как тут не
посочувствовать недотёпе.
Очередной признак безмозглости связан с понятием "алгебра множеств". Горе-логикам и невдомёк, что алгебра логики выполняет те же задачи, что и пресловутая "алгебра множеств". Алгебра логики оперирует как единичными терминами,
так и терминами-множествами. Таким образом, "алгебра множеств" - просто интеллектуальный выкидыш. Один идиот придумал, а миллионы попугаев повторяют.
Весьма часто «логики» путают аксиомы с теоремами. В РЛ можно найти
множество примеров подобного невежества, безграмотности и глупости. Даже у
Стяжкина[49], перед которым автор РЛ преклоняется, приводится «Аксиоматика
Порецкого», являющаяся на самом деле набором десятка теорем.
Далее, все задачи силлогистики формулируются бестолково: ни в одной из
них нет количественных характеристик терминов, а зачастую даже не определён
универсум. Это ещё один весомый показатель бездумного подражания "авторитетам".
За 128 лет никто в мире не понял работ Порецкого и Л.Кэрролла. Разве это
не доказательство безмозглости логиков, а по сути всего Просвещённого Человечества? Ведь для их освоения не требуется освоение уравнений матфизики, а
достаточно познаний начальной школы.
Никто в мире не обнаружил "парадоксы" в РЛ за прошедшие 14 лет. Думаю,
275
276
что их не обнаружили бы и ещё 128 лет, как не обнаруживали Порецкого. Поэтому
я сам раскрыл эти скользкие места в РЛ: попытайтесь их ликвидировать. Пока же
можно считать всех логиков бестолочами.
Выслушав все вышеперечисленные доводы автора, "действующий физик"
пришёл к выводу о справедливости моей оскорбительной характеристики современных логиков, логики, да и математики в целом: матлогика - фундамент математики, а матлогику (РЛ) никто в мире не знает. Мой оппонент пожелал мне успехов в пропаганде РЛ и внедрении её в Российское образование.
Дебилизация молодого поколения.
Существует гипотеза о деградации человечества. Начиная с 20-го века, исчез естественный отбор: как правило, более глупые, невежественные и безграмотные процветают, становятся миллионерами и главами правительств. Как результат отсутствия естественного отбора не появляются новые Ломоносовы,
Менделеевы, Порецкие, Келдыши и Королёвы. Мне иногда возражают: « А вот Вы
смогли превзойти Порецкого П.С., нашли у него принципиальные, грубые ошибки
в решении логических равенств и сумели разработать корректные методы решения этой проблемы!». Не надо забывать, что я «стоял на плечах» своего предшественника. В 1884 году я не решил бы эту проблему, т.е. моё поколение глупее
поколения Порецкого. Ну а нынешнее – едва ли интеллектуальнее нашего, советского. Более того, я абсолютно уверен, что современная молодёжь не изобретёт
атомную бомбу, не запустит первый спутник и не отправит первого человека в
космос. Достижения такого уровня им не по плечу. Здесь сработает не только недостаток интеллекта, но и полное отсутствие образования по меркам СССР, и потеря моральных ориентиров. Это анализ состояния интеллекта человека современного 21-го века.
А если копнуть более древние века и тысячелетия, то при-
дётся горевать об утраченных способностях телепатии, телекинеза, телепортации, левитации и пр.
Молодое и не очень поколение 1990 – 2010 гг. отличается слабым здоровьем, низким интеллектом, дремучим бескультурьем и вопиющей безграмотностью. Бескультурье и безграмотность целенаправленно культивируется современным оккупационным государством, т.е. государством с оккупационным режимом и геноцидом в отношении государствообразующей русской нации. Безмозг276
277
лость современной молодёжи проявляется в том, что она с удовольствием проглатывает наживку русофобов и оккупантов. Идёт по улицам такая космополитическая молодь недоумков («Я – гражданин мира, а не России») с забугорными
«лейблами» на груди, с бейсболками - «пидорками» на голове, с капюшонами
«под Гарри Поттера», пританцовывая под западную ухающую и бухающую «музыку», попивая «пивко» в транспорте, на детских площадках, в грязных подъездах и
отращивая «пивное пузо». Ещё омерзительнее выглядят девушки и женщины,
жующие жвачку(поэтому, наверное их прозвали «тёлками»), смолящие сигареты,
пьющие пиво и водку («Пей, а то засохнешь!»). Всё это признаки быдла. Такую
кличку припечатали нам русофобы, но мы им с удовольствием помогаем в этих
подлых, паскудных оскорблениях. Следуя попугайски космополитской моде, молодёжь унижает Россию, холуйствует перед Западом и даже не замечает своего
лизоблюдства. В советское время такое поведение считалось верхом бескультурья, неуважения окружающих и страны в целом. К 2012 году у молодёжи стало
побуждаться национальное самосознание: на улицах уже можно встретить ребят
в футболках с эмблемой России. Но опять-таки безголовость проявляется и в том,
что гордое слово «Россия» написано латиницей. Оболванена молодёжь фундаментально. Правда, оболванить легко можно и молодых и старых: Геббельс легко
справлялся с этой задачей. Современные СМИ значительно упростили дебилизацию населения, поэтому и успехи пятой колонны впечатляют.
Удручает не только невежество нынешнего поколения, но и отсутствие тяги к
знаниям. Если студенты первого курса МГТУ им. Баумана проявили повышеный
интерес к РЛ, то старшекурсники считают, что им не нужна математическая логика. Вполне вероятно, что эти студенты поступили в технический вуз ради отсрочки
от армии. Такое положение печально для русской инженерии.
В нашей стране молодёжи усиленно прививается культ наживы. У русских же
всегда в чести был один принцип: «Не в деньгах счастье». Это древний арийский
принцип. Его исповедовали Русы и древние греки. А теперь молодые инженеры и
учёные бегут за длинным рублём к нашему «вероятному противнику», предают
Россию. Это то же самое, что бросить родную Мать на смертном одре. В связи с
отсутствием интеллекта нынешнее поколение даже не понимает, какое чудовищное преступление оно совершает. Настоящие инженеры и учёные никогда не покидали Россию из-за меркантильных соображений.
Безмозглость молодёжи подтверждается отсутствием критического отношения к антирусской «культуре». Молодёжь не умеет ни танцевать, ни петь песни.
277
278
Ни одного русского танца не увидишь на улице, ни одной русской песни не услышишь на Арбате, да и во всей Москве. Западные «танцы» современной молодёжи
напоминают отвратительные корявые акробатические номера. Не воспитывается
красота движений, пластика, вкус к изящному. Да и зачем они хилой молодёжи с
«впуклой» грудью и весьма выпуклым животом. У читающей, «продвинутой» молодёжи в моде лишь англоязычные авторы. Но ведь английский – язык дебилов.
Прежде, чем приниматься за западную литературу, нужно прочесть и понять всего
Пушкина, Лермонтова, Гоголя, Толстого, Достоевского, Шолохова и других русских
и советских поэтов и писателей-патриотов. Русский язык и Русская литература –
это душа народа. Молодёжный сленг – признак бескультурья и дебильности: калечишь Русский язык – уничтожаешь душу России. Пока жив язык, жива и нация.
Бережно хранить, уважать и ценить Русский язык, не засорять его зарубежной и
псевдонаучной терминологией. Как только я слышу слова «толерантность», «консенсус» или что-либо подобное, то я сразу определяю оратора как круглого дурака, полного невежду и неуча, у которого нет ни одной собственной мысли.
Всем поколениям нужно изучить истинную историю Руси по трудам Ломоносова и Татищева, а также по работам современных историков-патриотов. Обязательно прочесть все работы по истории Великой Отечественной войны как советских историков и военачальников, так и мемуары немецких солдат и генералов.
Это в какой-то степени компенсирует безмозглость нынешнего молодого поколения и историческую безграмотность всего населения России.
Ликвидируется опять-таки целенаправленно советское и русское образование. Навыпускали толпы бухгалтеров, безмозглые орды «успешных менеджеров»,
безголовых дармоедов политологов, адвокатов, "сыновей юристов" и прочих болтунов. Нет инженеров и учёных, нет математиков. Некому создавать современное
оружие для защиты России от внешних и внутренних врагов. Все мы живы сейчас
только потому, что советские инженеры и учёные сформировали надёжный ракетно-ядерный щит СССР и России. Современное поколение не сотворит ничего
подобного: нет ресурсов, нет знаний, нет советской самоотверженности. Уничтожены образование, наука, промышленность, оборонный комплекс и армия. Во
главе армии поставлен «Маршал Табуреткин», «штафирка»-мебельщик Сердюков
– недоумок, невежда, самодур и абсолютный профан в военном деле, из армии
изгоняются настоящие профессионалы, истинные офицеры России. Проводится
откровенно предательская политика. Возглавлять армию должны лишь военные
профессионалы-патриоты. Управлять державой должны патриоты-технократы,
278
279
т.е. инженеры и учёные, а не безграмотные и невежественные болтуны, ворюги,
жулики, взяточники и предатели. Даже русофобская радиостанция «Эхо Москвы»
в конце июня 2012г. возопила о нехватке инженеров и низком качестве подготовки
молодых специалистов. Математику в школах и вузах уничтожили в связи с переходом на «болонкино образование» (Болонская конвенция). А именно математика
является фундаментом государства. Это понимали шумеры, это было известно в
Египте и Древней Греции. Платоном было написано сочинение «Государство»,
которое изучается философами, политологами и экономистами более 25 веков.
При входе в Академию Платона была надпись: « Негеометр – да не войдёт». Так
высоко ценил величайший мыслитель математику. Это понимали и Иван Грозный,
и Пётр Первый, и все остальные Российские императоры. Более всех ценил науку
(а без математики нет науки) и армию Сталин. Поэтому при нём слова «офицер»
и «инженер» звучали гордо. Гордо звучало и название Державы: Союз Советских
Социалистических Республик (СССР). Нынешняя «Наша Раша» - это издевательство над Русскими, которое вызывает лишь довольные ухмылки отпетых русофобов и «пятой колонны». Возрождение России начнётся с возрождения армии, образования, инженерии и науки. Все остальные «реорганизации», «модернизации»
и пр. являются просто болтовнёй и оголтелой демагогией.
Очередная провокация русофобов – расплодившиеся фанатские клубы. Мало того, что фанаты ведут себя по-свински в общественных местах, орут и матерятся в присутствии женщин и детей, так они ещё и лупят друг друга (русские –
русских) в фанатских разборках. Этого только и добиваются представители гнилой «пятой колонны». Даже Гитлер не мечтал о таких достижениях в деле разобщения русских. Фанаты, объединитесь и направьте свои силы и свой интеллект на
защиту России и русского населения!
Заключение.
Подводя итог вышеизложенному, необходимо отметить следующее. Никакое образование немыслимо без изучения логики. Этот предмет в качестве основного впервые ввёл в гимназиях и Академии великий русский учёный М.В. Ломоносов. С тех пор логику в обязательном порядке изучали в гимназиях России и
по указанию Сталина в 1946-1957 гг. в школах СССР. В связи с этим удивляют
безграмотность и бестолковость современных логиков.
279
280
Перечислим основные недостатки классической логики.
1. Классическая логика никак не может понять, что нет кванторного исчисления, а
есть кванторная мнемоника.
2. Классические логики ввели алгебру множеств, не понимая, что её функции выполняет алгебра логики.
3. «Классики» до сих пор не поняли, что логика суждений и логика предикатов –
синонимы.
4. Классическая логика не использует минимизацию логических функций с помощью карт Карно, в том числе и в связи с незнанием алгоритмов, разработанных
автором. Карты Карно – необходимейший
и обязательный инструмент логика.
5. Классическая логика проявляет невежество при доказательстве законов логики
суждений, поскольку не применяет аналитических методов, что катастрофически
сужает круг рассматриваемых задач.
6. Отсутствие аналитического представления силлогистических функторов лишает фундамента логику предикатов.
7. Все законы и правила силлогистики либо некорректны, либо никчёмны по своей сути, поскольку в них не учитывается влияние универсума и конкретного содержания терминов.
8. Все фигуры и модусы силлогистики никчёмны, поскольку нельзя анализировать и синтезировать силлогизмы в общем виде без рассмотрения конкретного
базиса, универсума и содержания каждого термина.
9. Классическая силлогистика оперирует лишь функторами Axy, Exy, Ixy, Oxy и не
охватывает подавляющее большинство суждений любого другого типа.
10. Функтор Oxy является не только лишним, но и некорректным.
11. В классической логике до сих пор не решена проблема единичного множества.
12. Нет окончательного результата в проблеме решения логических уравнений и в
синтезе обратных логических функций.
13. Искореняется всякое мышление.
14. В связи с вышеизложенным студенты и преподаватели обречены на унылую
бестолковую зубрёжку и не умеют решать серьёзные задачи логики.
Приведём основные результаты, полученные при создании Русской логики.
1. Создана графическая алгебра логики [29].
2. Впервые обнаружены и доказаны связи эквивалентности и неравнозначности
для любого числа аргументов.
280
281
3. Разработаны графические методы минимизации логических функций для
большого числа аргументов с помощью карт Карно (алгоритм «НИИРТА») [13].
4. Создана 4-значная комплементарная логика и её алгебра с методами минимизации комплементарных функций [17].
5. Впервые дан анализ ошибок П.С.Порецкого при решении логических уравнений.
6. Разработаны простые методы решения логических уравнений (алгоритм «Селигер») на основе комплементарной логики [17].
7. Разработан метод проверки решений логических уравнений, построенный на
восстановлении полной единицы системы М на основе функции равнозначности.
8. Применение алгоритма «Селигер-С» при выводе обратных логических функций показало, что однозначное решение для двоичных аргументов может быть
получено лишь в комплементарной логике [17].
9. Впервые получены все 16 обратных логических функций для двух аргументов,
в том числе функции логического вычитания и деления [27].
10. Комплементарная логика при аппаратной реализации позволяет значительно
упростить решение проблемы самодиагностирования вычислительной техники: например, появление j на любом
выходе может свидетельствовать о
сбое или отказе [26].
11. Синтезированы методы нахождения парных термов для равносильных
преобразований логических равенств [26].
12. Предложен простой математический метод анализа и синтеза законов логики
суждений (алгоритм «Импульс») [28].
13. Предложены скалярные диаграммы, позволившие формализовать силлогистику и дать графическую интерпретацию алгебры логики [19].
14. Впервые создан аналитический базис силлогистики и определены его разновидности: русский, аристотелевский, базис Васильева и т.д. [18]
15. Впервые показано, что даже общие суждения имеют неоднозначную структуру
и аналитическое описание [16].
16. Впервые представлено все многообразие базиса частноутвердительного суждения и дано его аналитическое представление [28].
17. Впервые найдены аналитические выражения для всех частноутвердительных
суждений, удовлетворяющих критерию Васильева [29].
281
282
18. Предложен простой и надежный способ графической и аналитической проверки
силлогизмов и синтеза заключений для любых базисов (алгоритмы
«Осташ», «ИЭИ» и «ТВАТ») [27].
19. Применение предложенного метода избавляет от необходимости запоминания
множества логических правил и законов.
20. Русская логика оперирует не только функторами Axy, Exy, Ixy, но и суждениями
любого типа [24].
21. Впервые аналитически описан базис логики Аристотеля-Жергонна. Впервые
на основе базиса
Аристотеля-Жергонна
разработана силлогистика, суще-
ственно отличающаяся от классической [27].
22. Впервые проверены все 64 модуса силлогистики Аристотеля-Жергонна. Доказано, что многие «правильные» модусы Аристотеля, в том числе и модус
AAI 4-й фигуры, не корректны [18].
23. Впервые доказано, что силлогистика Аристотеля-Жергонна не укладывается в
прокрустово ложе 19 «правильных» модусов [18].
24. Разработаны графоаналитический алгоритм «Осташков» синтеза полисиллогизмов и графический алгоритм «Суздаль» синтеза соритов [29].
25. Разработан графический алгоритм «Редан» синтеза недостающей посылки.
26. Доказано, что ни силлогистика Аристотеля, ни силлогистика АристотеляЖергонна не имеют никакого отношения к логике здравого смысла [30].
27. Впервые обнаружена и учтена при синтезе силлогизмов зависимость заключения от объёма универсума и содержания терминов [29].
28. Впервые решена проблема единичного множества в силлогистике [19].
29. Доказано, что все 4 классических правила посылок ошибочны [29].
30. Показано, что фигуры и модусы не имеют смысла, поскольку не учитывают
универсум и конкретное содержание посылок [31].
31. Отмечено, что аналитическое представление силлогистических функторов Axy,
Exy впервые дано русским логиком П. С. Порецким, чего до сих пор не поняла
мировая наука [29].
32. Показано, что общеразговорная логика не является двоичной [17].
33. Впервые показано, что вся силлогистика является вероятностной, поскольку,
как правило, заключения получаются многовариантными [31].
34. Разработаны методы определения вероятностных характеристик многовариантных заключений [31].
35. Впервые разработана алгебра шестизначной комплементарной логики.
282
283
36. Впервые доказано, что вся современная логика после Порецкого невежественна, безграмотна и безмозгла.
37. Впервые создана истинно математическая логика, новая наука, о которой мечтал и над которой всю жизнь безуспешно работал Лейбниц, самый выдающийся математик Запада.
38. Создана эффективная и объективная система оценки интеллекта, которую
можно использовать при подборе научных руководящих кадров.
39. Совершена первая научная, а не обычная научно-техническая революция:
учёные впервые получили инструмент для интеллектуальных исследований.
40. Впервые доказано, что всех академиков нужно сажать за парту в начальной
школе вместе с четвероклассниками.
Подводя итог, нельзя не придти к выводу, что впервые в мире создана истинно математическая логика, не противоречащая здравому смыслу. Фактически
родилась совершенно новая наука, сделан первый шаг в осуществлении
именно научной, а не просто очередной научно-технической революции, поскольку созданы предпосылки для рационализации труда учёных. Впервые в мире реализованы мечты Аристотеля и Лейбница. Их чаяния воплощены в России. Работы автора отмечены за рубежом: Американский Биографический институт избрал
автора Человеком года-2011.
13 ноября 2003г. автор выступил с докладом « Ликбез по логике в России как
проблема национальной безопасности» перед ректорами ведущих вузов Москвы
на постоянно действующем научно-методологическом семинаре «Круглый стол по
военной безопасности» при Комитете по обороне Госдумы РФ. В результате
«Круглый стол» так сформулировал первоочередные задачи в отношении логики:
«…необходимо ликвидировать логическую необразованность всего российского
общества в целом так же, как в начале 20-го века была ликвидирована начальная
неграмотность в Советской России». Никакого продвижения с тех пор в этом
направлении не произошло.
Требуется безотлагательное внедрение Русской логики в школьное и вузовское преподавание для искоренения недостатков и грубейших ошибок классической логики, чтобы школьники не смеялись над академиками, а также в связи с
тем, что логика составляет фундамент искусственного интеллекта, главного стратегического научного направления 3-го тысячелетия, по уровню развития которого
судят о научном потенциале державы. Россия вновь может вернуть себе мировое
лидерство в одной из самых важных математических наук.
283
284
Перечень предлагаемых мероприятий по внедрению математической логики в образование:
1. Чтение авторских лекций на курсах повышения квалификации преподавателей высшей и средней школы.
2. Издание учебников и учебных пособий в авторской редакции по Русской логике.
3. Публикация цикла статей по математической логике в общеобразовательных журналах.
4. Проведение цикла телепередач на канале «Культура».
5. Проведение международных логических олимпиад по решению задач
Порецкого П.С., Л.Кэрролла, Катречко и др. авторов.
6. Введение изучения Русской (математической) логики в средней школе, во всех технических и гуманитарных вузах, а также в системе
среднего специального образования.
В заключение хочется сказать: русскому человеку стыдно не знать Русскую логику, стыдно быть невеждой и неучем.
284
285
Краткий справочник по русской логике.
Варианты силлогистического функтора Ixy.
1.Ixy = Ixy || Ayx || Axy = xy+x'y'+i(xy'+x'y)
(Ixy)' = j(xy'+x'y)
2.Ixy = Ixy || Ax'y = x+y+ix'y'
(Ixy)' = jx'y'
3.Ixy = Ixy || Axy || Ayx || Ax'y || (x=y) = xy+i(x'+y')
(Ixy)' = j(x'+y')
4.Ixy = Ixy || Ayx = x+y'+ix'y
(Ixy)' = jx'y
5.Ixy = Ixy || Ayx || Ax'y = x+ix'
(Ixy)' = jx'
6.Ixy = Ax'y = Ay'x = Ex'y' = x+y
(Ixy)' = x'y'
7.Ixy = Ixy || Axy || Ax'y = y+iy'
(Ixy)' = jy'
8.Функтор Васильева изображен на рисунке.
Ixy = 1
(Ixy)’ = 0
Любой базис может быть представлен с помощью атомарного базиса,
состоящего всего из двух функторов:
Axy = x'+y,
Ixy = x+y+x'y' = 1
Русский базис.
Axy(2) = Axy = x'+y
Exy(2) = Axy' = x'+y'
Ixy(2) = Ixy || Ax'y = x+y+ixy'
285
286
Базис Васильева.
Axy(8) = Axy = x'+y
Exy(8) = Axy' = x'+y'
Ixy(8) = Ixy = x+y+x'y' = 1
Базис Аристотеля-Жергонна.
Axy(3) = Axy || (x=y) = xy+x'y'+ix'y
Exy(3) = Axy' = x'+y'
Ixy(3) = Ixy || Ax'y || Axy || Ayx || (x=y) = xy+i(x'+y')
Oxy(3) = Ixy || Ax'y || Axy' || Ayx = xy'+i(x'+y) = Ixy'(3)
286
287
Алгоритмы.
«Волга» - решение уравнений в двоичной логике.
«Импульс» - анализ законов логики суждений.
«Импульс-С» – синтез законов логики суждений.
«ИЭИ» - аналитический синтез силлогизмов.
«Комета» - вероятностный графический синтез недостающей посылки.
«НИИДАР» - графическое представление силлогизма по М.
«НИИРТА» – минимизация логических функций по картам Карно.
«ОМТ» - аналитическое нахождение исходных посылок сорита.
«Осташ-Т» - аналитическая проверка заключения
«Осташ-С» - аналитический синтез заключения
«Осташков» - синтез полисиллогизмов.
«РЕДАН» – графический синтез недостающей посылки.
«Селигер» – решение логических уравнений в 4-значной логике.
«Селигер-С» синтез обратных функций.
«Суздаль» – графический синтез соритов.
«ТВАТ» – графический синтез силлогизмов.
«Циклон» - синтез многовариантных силлогизмов.
Алгоритм «Волга» решения уравнений в двоичной логике.
1. Привести систему уравнений к нулевому виду.
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей
исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное
соотношение представляет минимальную дизъюнктивную нормальную форму
(МДНФ) уравнения полной единицы системы.
4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и выходных переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.
5. Если на каком-либо наборе функция Y принимает как 0, так и 1, то присвоить ей значение Y. Если существуют наборы, на которых функция Y не определена, то на этих наборах искомой функции присвоить её инверсное значение,
287
288
т.е. Y’.
6. Произвести минимизацию полученного выражения.
7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его полной единице системы для задействованных аргументов, т.е. выполнить проверку
равносильности произведённых преобразований.
Алгоритм «Импульс» (анализ законов логики суждений).
1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x y = x’ + y;
2)привести полученное выражение к ДНФ;
3)занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами –
это свидетельствует об истинности проверяемого закона или суждения.
Алгоритм «Импульс-С» (синтез импликативных силлогизмов).
Алгоритм инженерного синтеза импликативных силлогизмов по заданным
посылкам немногим отличается от предыдущего алгоритма:
1)найти полную единицу системы М посылок, заменив импликацию по формуле x y = x’ + y;
2)привести полученное выражение к ДНФ;
3)подставляя в полученное выражение необходимые аргументы и отбрасывая лишние, т.е. заменяя их логической единицей или на i в случае автономного
их вхождения, выводим соответствующие заключения как функции интересующих
нас аргументов.
Алгоритм "ИЭИ "(аналитический синтез силлогизма).
1.Заменить посылки
выражениями
в
соответствии
с формулами
для функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнкции всех посылок.
288
289
3. Получить из М функцию М(х,у), заменив средний член m или m' на 1.
Если средний член m/m' входит в силлогизм автономно, то заменить его на i. Полученная функция М(х,у) является заключением силлогизма. Если в М встречается терм im или im’, то заключения не существует.
Алгоритм «Комета»
(вероятностный графический синтез недостающей посылки).
1. Изобразить на диаграммах Лобанова исходную посылку и все варианты
заданного заключения.
2. Определить вероятность каждого варианта искомой посылки.
Алгоритм «НИИДАР» графического представления силлогизма по М.
1. По СДНФ полной единицы системы М построить сокращённую таблицу
истинности для неё.
2. По сокращённой таблице истинности построить скалярные диаграммы,
разбив интервал универсума на части, количество которых равно числу наборов в
таблице истинности для М. Каждая часть универсума изображается соответствующим набором из таблицы истинности для М.
3. Из скалярных диаграмм выбрать (N – 1) логических функций от двух переменных, где N – число аргументов.
Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций.
1. Заполнить карту Карно нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.
2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством фигур покрытия, каждая из которых имеет максимальную площадь. Если в КК единиц больше, чем нулей, то покрыть все нулевые
наборы и получить инверсию искомой функции.
3. Проверить каждую фигуру покрытия на соответствие принципу симметрии.
В противном случае изменить контур фигуры покрытия в соответствии с принципом симметрии так, чтобы она превратилась в прямоугольник Карно.
289
290
4. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта, причём
если в границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0 , так и 1 , то эта переменная не войдёт в импликанту.
Алгоритм «ОМТ» аналитического нахождения исходных посылок сорита.
1.
Найти инверсию функции М и представить её в виде ДНФ, т.е. в виде
логической суммы.
2.
Проинвертировать полученную M’ и представить М в виде КНФ, т.е. в
виде произведения логических сомножителей.
Алгоритм «Осташ-Т» (тест, анализ)
1.Заменить посылки и заключение выражениями в соответствии с формулами для функторов A, E, I, O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок, имплицирующей
заключение.
3.Проверить это выражение на тождественность единице, занеся его в
карту Карно (КК). Если выполняется тождественность единице, то заключение
истинно. Если хотя бы одна из посылок или заключение являются частным суждением, то силлогизм является истинным даже при получении модальной единицы
(т.е. в некоторых клетках КК проставлены символы модальности i) при условии,
что m=1 или m'=1 (в этом случае строка m или соответственно m' должна содержать не менее 3-х целых единиц и только одну составную, т.е.1=i+j). В противном случае заключение не имеет места.
Алгоритм «Осташ-С» (синтез)
1.Заменить посылки
выражениями
в
соответствии с формулами для
функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок и проинвертировать его. Занести полученное выражение в карту Карно .
3.Доопределить полученную функцию одним из выражений для силлогистических функторов A, E, I, O таким образом, чтобы получить тождественную или
модальную
единицу. При доопределении иметь в виду, что из частной посылки
290
291
должно следовать частное заключение. Перед доопределением в одной строке
КК(m или m') должно быть не менее 2-х, а после доопределения не менее 3-х целых единиц. Доопределяемое заключение должно содержать минимально необходимое количество единиц. Функция доопределения является искомым заключением. Если в доопределяемой строке КК имеется 2 полных единицы и 2 значения j, то доопределение невозможно.
4.Если вышеуказанное доопределение невозможно, то из данных посылок
нельзя вывести никакого заключения.
Алгоритм «Осташков» (синтез заключений полисиллогизма).
1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы М.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное
соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы М.
4. Получить из М все К заключений сорита как функции от двух заданных переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные или на i в случае автономного их вхождения в формулу.
5. Представить результаты в виде скалярных диаграмм.
Алгоритм «РЕДАН» (графический синтез недостающей посылки).
1.Изобразить все возможные ситуации для исходной посылки и заключения
с помощью скалярных диаграмм.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(m,y) для входных наборов my:
00,01,10,11.
3.Выполнить минимизацию логической функции посылки f(m,y).
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в
соответствии с известным базисом.
Алгоритм «Селигер» решения логических уравнений в 4-значной логике.
291
292
1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей
исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное
соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы.
4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и выходной переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.
5. Произвести минимизацию полученного выражения..
6. Привести полученное выражение к рекурсивной форме, заменив i на
прямое значение искомой переменной, а j – на инверсное значение этой переменной.
7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его полной единице системы для задействованных аргументов.
Алгоритм «Селигер-С» синтеза обратных функций.
1. Построить таблицу истинности для уравнения z=f(x1, x2 ..... xn).
2. По исходной таблице истинности построить таблицу истинности для обратной функции вида x1=fi(z, x2 ......xn) простой перестановкой столбцов z и х1.
3. По полученной таблице истинности построить обратную функцию x1=fi(z,
x2, ..... xn) и провести её минимизацию.
4. Проверить полученное решение, вычислив полную единицу системы М по
обратной функции.
Алгоритм «Суздаль» (графический синтез заключений сорита).
1. Устранить по возможности все инверсии аргументов в посылках.
2. Выстроить посылки в «цепочку», обеспечивающую однозначное графическое представление сорита.
3. В соответствии с «цепочкой» изобразить скалярные диаграммы сорита.
4. Найти все возможные двуместные заключения с помощью скалярных диаграмм.
Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов).
292
293
1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью
скалярных диаграмм Лобанова.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов
xy: 00,01,10,11.
3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора
в соответствии с известным базисом.
Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов).
1.
Убедиться, что для всех терминов-множеств исходных посылок и
универсума силлогизма указаны количественные характеристики (заданы мощности множеств или хотя бы соотношения между ними).
2.
щью
Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помоскалярных диаграмм Лобанова.
3.
Определить вероятность каждого варианта заключения, используя
формулы вычисления количества сочетаний.
4.
В том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное
или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных для первой посылки.
293
294
Перечень сокращений
БИС
- большая интегральная схема
БМОК – база минимального обобщённого кода
ДНФ
- дизъюнктивная нормальная форма
ДССП – Диалоговая система структурированного программирования
ЗОК
- запрещённый обобщённый код
ИИ
- искусственный интеллект
ИС
- интегральная схема
ИЭИ
- Ивановский энергетический институт
КА
- конечный автомат
КДУ
- контрольно-диагностическое устройство
КК
- карта Карно
КС
- комбинационная схема
Комета – ФГУП «ЦНИИ «Комета»
ЛЗС
- логика здравого смысла
ЛФ
- логическая функция
МДНФ – минимальная ДНФ
МОК - минимальный обобщённый код
МПА – микропрограммный автомат
НИИДАР – ОАО НПК «НИИ дальней радиосвязи»
НИИРТА – НИИ радиотехнической аппаратуры
НТР
- научно-техническая революция
ОМТ – Осташковский механический техникум
ПК
- прямоугольник Карно
ПЛИС - программируемая логическая интегральная схема
ПЛМ - программируемая логическая матрица
ПМЛ - программируемая матричная логика
ППК
- предполагаемый прямоугольник Карно
РАЯ
- Развиваемый (Русский) адаптивный язык
РВЛ
- «Русская вероятностная логика»
Редан – ООО НПП «Редан»
РЛ
- Русская логика
294
295
РЛИ
- «Русская логика в информатике»
РЛИИ – «Русская логика – индикатор интеллекта»
РОК
- рабочий обобщённый код
СГА
- Современная Гуманитарная Академия
СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма
ТВАТ - Тушинский вечерний авиационный техникум
ТО
- теория относительности
ЭВМ
- электронная вычислительная машина
295
296
Литература
1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы.– М.:ЛБЗ,2003.
2. Аристотель. Сочинения. В 4-х томах. Т.2- М.: Мысль,1978.
3. Брусенцов Н.П. Начала информатики. - М: Фонд "Новое тысячелетие",1994.
4. Брусенцов Н. П. Полная система категорических силлогизмов Аристотеля.
- В кн. Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып.19. - М.:
МГУ,1982.
5. Васильев Н.А.О частных суждениях. - Казань: Университет,1910.
6. Войтов А. Г. Самоучитель мышления. – М.: 1999.
7. И.Л.Галинская. Льюис Кэрролл и загадки его текстов – М.: РАН, Институт
научной информации по общественным наукам,1995.
8. Катречко С. Л. Введение в логику. Программа курса. – М.: УРАО, 1997.
9. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. - М.: Юрист,1995.
10. Кузичев А.С. Диаграммы Венна. История и применения. М., Наука, 1968 .
11. Кэрролл Л. История с узелками. - М.:Мир,1973.
12. Лейбниц Собрание сочинений в 4 томах. Том 3. – М.:1983.
13. Лобанов В.И. Инженерные методы разработки цифровых устройств. - М.:
НИИРТА,1977.
14. Лобанов В.И. Метод минимизации булевых функций от большого числа переменных с помощью карт Карно. - Инф. листок N54-87,М: МособлЦНТИ,1987.
15. Лобанов В.И. Отказоустойчивый микроконтроллерный регулятор с программируемой структурой обработки данных. Диссертация на соискание
ученой степени канд. техн. наук. - Харьков, ХПИ,1989.
16. Лобанов В.И. Кризис логики суждений и некоторые пути выхода из него.//Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке
(Материалы V Общероссийской научной конференции) - СПб: 1998.
17. Лобанов В.И. Решение логических уравнений. //Научно-техническая информация. Сер. 2. N%9, 1998, с. 40 - 46.
18. Лобанов В.И. Силлогистика Аристотеля-Жергонна. //НТИ, сер.2, Информационные процессы и системы, N9, 1999, с. 11 - 27.
296
297
19. Лобанов В.И.
Базовые
проблемы
классической
логики.//Современная
логика: Проблемы теории, истории и применения в науке (Материалы VI
Общероссийской научной конференции), СПбГУ, 2000 — с.499 — 504.
20. Лобанов В.И. Синтез и минимизация комбинационных схем//Информатика
и образование,N5,2000, стр. 60 – 63.
21. V. I. Lobanov. The solution of logical equations. // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5,1998, p. 16 – 27 .
22. V. I. Lobanov. Many-valued quantifier-free syllogism (second basis). // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5,1998, p. 40 – 60 (гонорар
выплачен 4.11.2000).
23. Лобанов В.И.
Практикум по логике суждений. //Информатика и образова-
ние, №2,2001, с. 47-52.
24. Лобанов В.И.
Практикум по силлогистике. //Информатика и образование,
№5,2001.
25. Лобанов В.И. Решебник по Русской логике. – М.: Компания Спутник+, 2002 –
133с.
26. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001 – 192с.
27. Лобанов В.И. Русская логика против классической (азбука математической
логики) - М.: Компания Спутник+, 2002 – 126с.
28. Лобанов В.И. Русская логика против классической. //Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия (материалы Третьего Российского философского конгресса), том 1, стр.278, г. Ростов-на-Дону, 2002.
29. Лобанов
В.И.
Русская
логика
для
школьников
(и
академиков).
–
М.:»Эндемик»,2004 – 110с.
30. Лобанов В.И. Русская логика и дисциплина мышления. // Созидание. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. – М.:2004,
с.237 – 245.
31. Лобанов В.И. Русская логика для «физиков» и «лириков». – М.: Спутник+,
2005 – 427с.
32. Лобанов В.И. Преподавание логики в естественнонаучных вузах. // Учебник
философии. Материалы Всероссийской научно-методической конференции. – Казань, 2006, с.108 – 111.
33. Лобанов В.И. Ликбез по логике в России как проблема национальной безопасности.//Общечеловеческое и национальное в философии (материалы
297
298
выступлений на IV международной научно-практической конференции КРСУ
25-26 мая 2006 г.) – Бишкек, 2006; с. 210 – 213.
34. Лобанов В.И. Логика в информатике.//Применение новых технологий в образовании (Материалы 18-й Международной конференции) – Троицк: 27-28
июня 2007г., с.35-38.
35. Лобанов В.И. Курс лекций «Математика в логике» для спутникового образовательного телевидения. – М.: СГА, Спутниковое телевидение, канал СГУТВ – телестудия Современной Гуманитарной Академии, 2007
36. Лобанов В.И. Русская вероятностная логика для школьников и умных академиков. – М.: 2008 – 33с.
37. Лобанов В.И. Русская вероятностная логика. – М.: «Русская Правда», 2009
– 320с.
38. Лобанов В.И. Современная логика как пример интеграции учебных дисциплин.// Общеобразовательная и профессиональная подготовка специалиста в вузе: проблемы интеграции. Материалы межвузовской научнопрактической конференции (16-17 апреля 2009г.) – Владимир: 2009.
39. Лобанов В.И. Силлогистика для искусственного интеллекта.//Современная
логика: проблемы и истории (Материалы XI Международной конференции
24 – 26 июня 2010г.)- Санкт-Петербург, 2010, с. 295 - 297.
40. Лобанов В.И. Порецкий – гордость России.// Теоретическое наследие казанской научной, философской, богословской мысли в контексте мировоззренческого диалога (сборник статей Всероссийских научных семинаров). –
Казань, 2010, с.124 – 125.
41. Лобанов В.И. Русская логика в информатике. – М.: Русская Правда, 2010 –
48с.
42. Лобанов В.И. Конспект по Русской вероятностной логике. – М.: - ЛЕНАНД,
2012 - 80с.
43. Непейвода Н.Н. Прикладная логика. - Ижевск: Удмурт. университет,1997.
44. Платон. Диалоги. – М.: Мысль, 2000.
45. Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики.// Собрание протоколов заседаний
секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при
Казанском университете, т. 2, Казань, 1884.
46. Сайты в Internet: http://logicrus.ru , http://matema.narod.ru/newpage113.htm,
http://www.mirit.narod.ru/zerkalo.htm , http://ito.edu.ru/, http://www.trinitas.ru,
298
299
http://lord-n.narod.ru/walla.html/Книги
и
софт
с
http://naztech.org/lobanov , http://www.rsl.ru и др.
47. Светлов В.А. Практическая логика. - СПб: Изд. Дом «МиМ»,1997.
48. Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? – М.: 2008 – 272 с.
49. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. - М: 1967.
50. Тейчман Д. , Эванс К. Философия. - М.: Весь Мир,1997.
51. Шачнев В.А. Математическая логика. - М: 1991
299
Walla.com,
300
ЛОБАНОВ ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ.
Автобиография.
Родился 1 марта 1940г. в г. Осташкове Калининской обл., на берегу оз. Селигер. Отец, Лобанов Иван Ефимович, инженер, нач. Осташковского радиоузла, погиб на фронте в мае 1942г. Мать, Лобанова Ольга Сергеевна, до войны сотрудница оборонного института, после войны няня в детских яслях, скончалась в 1992г.
После эвакуации с 1941г. по 1946г. проживал в г. Суздаль.
В 1947г поступил в среднюю школу №63 г. Осташкова. Был отличником, пионером, комсомольцем. В 1957г. поступил в Осташковский механический техникум
(ОМТ).
В 1960г. окончил теплотехническое отделение ОМТ. Диплом с отличием. Работал теплотехником (г. Сталинабад Таджикской ССР). 1960 – 1963 гг. – служба в
Советской Армии (группа глубинной разведки, командир взвода ст. л-нт Сивеев,
в/ч 77701, Киргизская ССР, г. Ош, ТуркВО). Был отличником Советской Армии,
старшим разведчиком. Во время Карибского кризиса первым подал заявление о
добровольном участии в оказании помощи Кубинской республике. Горжусь службой в спецназе. В армии был принят кандидатом в члены КПСС.
В 1963г. поступил в Ивановский энергетический институт (ИЭИ). Занимался
спортом – имел разряды по лыжам, лёгкой атлетике, волейболу, ручному мячу,
военному троеборью, фигурному катанию (парное катание и спортивные танцы на
льду). Был солистом танцевальных ансамблей ИДНТ и ИЭИ. Окончил ИЭИ в
1968г по специальности инженер по автоматизации теплоэнергетических процессов. Ленинский стипендиат, диплом с отличием. Работал старшим инженеромналадчиком в тресте ОРГРЭС (г. Горловка). Налаживал автоматику горения энергоблоков 300 МВт на Новочеркасской ГРЭС. Возглавлял бригаду специалистов по
наладке автоматики ТЭЦ ВАЗ (г. Тольятти).
С 1972 по 1973 гг. обучение в аспирантуре ВТИ им. Дзержинского (г. Москва).
Сдал все экзамены кандидатского минимума, но работа над диссертацией показалась бесперспективной.
1973 - 1979 гг. работал ведущим инженером НИИРТА (НПО «Импульс») по
созданию систем управления оборонного назначения.
300
301
С 1979г. по 1995г. возглавлял отдел 450 ЦНИИ "Циклон", головной институт МЭП
СССР. Внедрение микроэлектроники и вычислительной техники в
народное хозяйство. Защитил кандидатскую
диссертацию «Отказоустойчивый
микроконтроллерный регулятор с программируемой структурой обработки данных». Имею более 100 научных публикаций. К настоящему времени издал несколько монографий, в которых зафиксировал приоритет гениального русского
логика Порецкого П.С. в создании математической силлогистики, решил проблему создания логики здравого смысла, т.е. Русской логики. При этом были доказаны некорректность и неполнота силлогистики Аристотеля, а также подвергнуто
критике кванторное исчисление, т.е. дана отрицательная оценка мировой математической науке в области теории множеств и предложены пути преодоления
указанных недостатков. Результаты по Русской логике были доложены на общероссийских и международных конференциях в Москве и Санкт-Петербурге
(СПбГУ) в 1998-2010гг, в ИЕН РАН, на конференции «Эволюция и иносферы» в
Президиуме РАН(28.03.2001), на IV и VI Российском философском конгрессе и в
Комитете по обороне Госдумы РФ. Кстати, в Комитете по обороне ГД РФ было
принято положительное решение о внедрении Русской логики и ликвидации логической безграмотности в России. Мною прочитаны курсы лекций по русской логике
во Всероссийском обществе «Знание»(1999-2000гг.), а также в ТВАТ(1995-2001гг.)
и других лицеях, колледжах и вузах. Все мои работы по Русской логике за 1998 –
1999гг. переведены в США. Избран Американским Биографическим институтом
Человеком года-2011 за научные достижения в области математической логики.
В 2007/2008 гг. читал лекции по Русской логике в Современной гуманитарной
академии (Москва). Эти лекции были записаны на телестудии СГА и транслировались по спутниковому телевидению на канале СГУ-ТВ.
С 1995 по 1998гг. возглавлял (по конкурсу) отдел автоматики в ф. "РоссЭко".
За время работы в НИИРТА создал в рамках ОКР несколько приборов для
систем бортового управления, доведя их до выпуска опытных партий. Проводил
обучение ведущих специалистов НИИРТА инженерным методам разработки цифровых устройств.
В ЦНИИ "Циклон" мною лично или под моим руководством были разработаны
в результате проведения НИОКР следующие устройства и системы: УУ УКВтюнером, УУ
всеволновым тюнером (на
КР 580ИК80),система
автоконтроля
таксофонов (на КР1801ВЕ1), микроконтроллерный регулятор (на i8048)-прообраз
ПРОТАРа МЗТА, отладочное устройство "Техника" для TMS270, оригинальные
301
302
запатентованные адаптируемые отладочные системы АОС-6502, АОС-1814, АОС1868, АОС-1801; автоматизированная система централизованной охраны и обороны ОНХ и квартир граждан, диагностический процессор, инструментальные
системы контроля и диагностики цифровых устройств.
В ф. "РоссЭко" мною разработаны различные модификации универсальных
промышленных микроконтроллеров и симисторные схемы управления электроприводом высокой мощности.
Работал на нескольких десятках микропроцессоров и микро-ЭВМ. Владею
несколькими
языками
программирования
высокого
уров-
ня(ALGOL,FORTRAN,FORTH,PASCAL,MODULA,C,РАЯ,BASIC) и ассемблерами.
Программист высокой квалификации. Работал на нескольких типах ЭВМ и ПК.
С 13.10.1998г. по 31.01.2000г. работал в НПО «Химавтоматика» в должности
главного специалиста по микроэлектронике. Разрабатывал микроконтроллеры
для газовых анализаторов.
С 7.02.2000г. по 12.05.2001 работал в ОАО «Импульс» над созданием систем
управления оборонного назначения (КПА-БАНКОР, БСК-Контейнер, КПА-БСК).
С 22.05.2001 по 14.07.04 работал главным специалистом на НПП «Редан»
(ГНПП «Регион», Каширское ш., 13а) по разработке цифровых систем управления
оборонного назначения.
С 2004 по 2007 гг. работал главным специалистом в разрабатывающем
подразделении НИИ Дальней Радиосвязи (НИИДАР).
С 2007г. по настоящее время являюсь ведущим научным сотрудником
ФГУП «ЦНИИ «Комета». Разрабатываю цифровые системы управления оборонного назначения.
Являюсь изобретателем, трижды лауреатом премии ВДНХ, награжден медалью "Ветеран труда.
Раб. тлф. (495) 675-56-56. E-mail: lobanov-v-i@mail.ru
302
303
Отзывы читателей на форумах.
За время существования Русской логики у автора накопилось много электронных писем читателей, ни в одном из которых не содержалось критики РЛ. Все
письма носили доброжелательный характер. Огромное спасибо авторам этих писем за интерес к Русской логике и благожелательные отзывы. Публиковать переписку я не имею права без разрешения авторов. Но читатель может удовлетворить свою любознательность, заглянув в Интернет на различные многочисленные
форумы, где идёт оживлённый диспут на тему РЛ. Русофобы нажимают на эмоции, не приводя ни одного аргумента. Это и понятно: племя русофобов по определению невежественно, безграмотно и бестолково. Читателю предстоит самостоятельно определить истину. Автор заглянул лишь на два-три форума, поэтому
он много чего о себе и РЛ не знает. Это конечно, интересно, но пока нет времени
на поиски таких дискуссий.
Здесь приведены лишь два «окна» из какого-то диспута в Интернет. Оценки на
этом форуме варьируются от «гения» до совершенно инверсного определения.
Это чрезвычайно забавно и весьма радует: следовательно, проявили интерес как
апологеты РЛ, так и её обозлённые оппоненты. Автор точно не гений: его интеллект по вышеприведённой системе оценок на уровне «четвёрки», а мышление
нормально посредственное. Судя по рекомендации на сайте Карасёва К.Е., скоро
какой-нибудь дилетант и недоумок потребует или уже потребовал запрета РЛ
(оказалось, уже потребовал).
Читатель далее увидит, что в запрете русофоба содержится невольное признание невозможности опровержения РЛ. Ну а далее следует истеричное требование категорического запрета Русской логики.
303
304
Оглавление
РУССКАЯ ЛОГИКА – ИНДИКАТОР ИНТЕЛЛЕКТА ..................................................... 1
ПРЕДИСЛОВИЕ ....................................................................................................................................................... 3
ЧАСТЬ 1 ....................................................................................................................... 19
Введение. ................................................................................................................................................................... 19
ИНЖЕНЕРНАЯ ЛОГИКА. ............................................................................................ 24
Глава первая .......................................................................................................................................................... 24
КОМБИНАЦИОННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ........................................................................................... 24
1.1 Основные положения алгебры логики ........................................................................................................ 24
Свойства эквивалентности и неравнозначности. ........................................................................................ 26
1.2 Алгебра множеств. ..................................................................................................................................... 31
1.3. Синтез комбинационных схем ...................................................................................................................... 32
1.4.Минимизация полностью определённых булевых функций. ...................................................................... 36
1.5.Карты Карно для 7, 8, 9 и 10 переменных. ................................................................................................ 37
Принцип симметрии Лобанова ......................................................................................................................... 41
Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций......................................................... 42
1.6. Оценка сложности реализации булевых функций .................................................................................. 44
1.8. Формы задания булевых функций. ............................................................................................................... 45
1.9. Минимизация недоопределённых булевых функций................................................................................ 49
1.10. Минимизация системы булевых функций.................................................................................................. 50
Глава вторая ............................................................................................................................................................ 55
МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ОБОБЩЁННЫХ КОДОВ. .................. 55
2.1. Общий алгоритм определения МОК. ........................................................................................................... 57
2.2. Алгоритм соседнего определения базы МОК (алгоритм Мавренкова). .................................................... 61
2.3. Выводы............................................................................................................................................................ 69
ЧАСТЬ 2 ....................................................................................................................... 72
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА СУЖДЕНИЙ И ПРЕДИКАТОВ. ................................ 72
Глава первая ............................................................................................................................................................ 72
Глава вторая ........................................................................................................................................................... 76
2.1.Законы логики суждений ................................................................................................................................ 76
Алгоритм «Импульс» анализа законов логики суждений. ............................................................................ 76
Алгоритм «Импульс-С» синтеза импликативного заключения. ................................................................ 78
Закон замкнутых систем по Лобанову: ........................................................................................................... 82
Импликативные законы Лобанова. .................................................................................................................. 83
2.2. Практикум по логике суждений. ................................................................................................................... 88
2.2.1. Задачи Катречко С.Л. .................................................................................................................................. 88
2.2.2. Задачи Р.М.Смаллиана.............................................................................................................................. 101
2.2.3. Задачи неизвестного автора. .................................................................................................................... 102
Глава третья ......................................................................................................................................................... 111
304
305
Силлогистика. ....................................................................................................................................................... 111
Троичная логика. .................................................................................................................................................. 112
Базисы силлогистики. .......................................................................................................................................... 113
3.1. Все x суть y(Axy). ....................................................................................................................................... 120
3.2. Ни один x не есть y(Exy)............................................................................................................................ 122
3.3. Некоторые x суть y. ................................................................................................................................... 123
Глава четвёртая ................................................................................................................................................... 130
Силлогистика Аристотеля - Жергонна. ........................................................................................................... 130
4.1. Алгоритм «Осташ-Т» (тест, анализ) .................................................................................................... 131
4.2. Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов). .................................................................... 132
4.3. Алгоритм «РЕДАН» (синтез недостающей посылки). ........................................................................ 133
Алгоритм «Комета» аналитического синтеза недостающей посылки. ................................................. 135
4.4. Алгоритм «НИИДАР» графического представления силлогизма по СДНФ полной единицы
системы М. ......................................................................................................................................................... 136
4.5. Алгоритм «СГА» аналитического нахождения исходных посылок силлогизма. ............................ 137
4.6. Алгоритм «ОМТ» нахождения исходных посылок сорита. ................................................................ 138
4.7. Алгоритм "ИЭИ "(аналитический синтез заключения) .................................................................... 139
4.8. Ошибки Аристотеля. ................................................................................................................................ 146
Заключение ........................................................................................................................................................... 155
Глава пятая ............................................................................................................................................................ 156
Атомарная силлогистика. ................................................................................................................................... 156
5.1. Практикум по силлогистике. ....................................................................................................................... 163
Силлогизмы с четырьмя терминами . ........................................................................................................... 164
5.2. Практикум по решению соритов................................................................................................................. 174
Алгоритм «Осташков» синтеза соритов. .................................................................................................... 174
Импликативно-силлогистические законы и их связь с силлогистикой. ................................................... 187
Глава шестая ......................................................................................................................................................... 191
Естественный вывод и кванторы. ..................................................................................................................... 191
Глава седьмая ........................................................................................................................................................ 196
Логика П.С.Порецкого. ........................................................................................................................................ 196
Глава восьмая ........................................................................................................................................................ 200
Вероятностная логика. ........................................................................................................................................ 200
Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов). ................................................................ 204
Базовые силлогизмы. ......................................................................................................................................... 223
Силлогистика с вероятностными посылками. ............................................................................................ 231
Глава девятая ........................................................................................................................................................ 233
Дисциплина мышления. ...................................................................................................................................... 233
Глава десятая. ........................................................................................................................................................ 243
Логические уравнения и обратные функции. ............................................................................................. 243
10.1. Решение уравнений и 4-значная комплементарная логика. .............................................................. 243
10.2. Алгоритм «Селигер» решения уравнений в 4-значной логике. .......................................................... 252
10.3. Алгоритм «Волга» решения уравнений в двоичной логике. ............................................................... 255
10.4. Равносильные преобразованиялогических уравнений. ........................................................................ 258
Законы Лобановой С.В. ..................................................................................................................................... 261
10.5. Отыскание обратных функций. ............................................................................................................ 261
305
306
Алгоритм «Селигер-С» синтеза обратных функций. ................................................................................. 262
10.6. Разложение логических функций на множители. .............................................................................. 269
Алгоритм «ОМТ» аналитического нахождения посылок сорита. ........................................................... 269
10.7. Алгебра 6-значной комплементарной логики. ..................................................................................... 270
10.8. Парадоксы Русской логики. ..................................................................................................................... 271
Выводы................................................................................................................................................................. 272
Глава одиннадцатая. ............................................................................................................................................ 273
О невежестве, безграмотности и бестолковости современных логиков. ................................................... 273
Дебилизация молодого поколения. .................................................................................................................... 276
Заключение. ....................................................................................................................................................... 279
Краткий справочник по русской логике. ......................................................................................................... 285
Перечень сокращений .......................................................................................................................................... 294
Литература ............................................................................................................................................................. 296
ЛОБАНОВ ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ. ............................................................................................................ 300
Автобиография. ..................................................................................................................................................... 300
Отзывы читателей на форумах. ......................................................................................................................... 303
Оглавление ............................................................................................................................................................. 304
306