ТРИГОНОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ

ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Тригонометрические функции углов
Рис. 1. График функции

В жизни мы описываем не только
объекты, но и отношения между
ними: например, дружба, любовь
– на них не укажешь пальцем,
однако мы не только говорим про
них, но и изучаем (целые романы
посвящены отношениям между
людьми).

В
математике
отношение
объектов тоже является объектом
для изучения. Так, функция – это
отношение
двух
множеств
(соответствие
между
их
элементами) (см. рис. 1).
Всего можно выделить 6 различных
соотношений, каждое из которых имеет
свое название
Прямоугольный треугольник

синус – отношение противолежащего данному
углу катета к гипотенузе:

косинус – отношение прилежащего к данному
углу катета к гипотенузе:

тангенс – отношение противолежащего данному
углу катета к прилежащему катету:

котангенс – отношение прилежащего к данному
углу катета к противолежащему катету:

секанс – отношение гипотенузы к катету,
прилежащему к данному углу:

косеканс – отношение гипотенузы к катету,
противолежащему данному углу:

Угол на плоскости можно
рассматривать как отношение
между двумя прямыми (см. рис.
2). При этом стороны угла могут
быть не ограничены лучами или
конечными отрезками, но его
величина меняться не будет – это
важное свойство, которое мы
можем использовать при
измерении.
Другое важное свойство – это
ограниченность угла. Если
отрезок можно взять сколь угодно
большой длины, то угол
ограничен полным кругом
Именно на этом основана идея
измерения углов в градусах:
максимальный угол делим на некоторое
количество одинаковых частей
(договорились, что их будет 360), тогда
величина угла будет равна количеству
таких единиц (градусов), которые в него
вмещаются

Но такой способ измерения не
всегда удобен. Треугольник
однозначно задается тремя своими
сторонами. Значит, углы можно
связать с длинами. Это позволит
решать разные задачи: например,
зная длины отрезков, находить
углы и наоборот.

Вспомним, что угол не зависит от
длины своих сторон. Если
рассмотреть прямоугольные
треугольники с острыми углами ,
то все такие треугольники будут
подобны (см. рис. 5).
Рис. 5. Подобные прямоугольные треугольники с острыми углами
Более того, если взять треугольник с другим острым
углом, то такие отношения будут отличаться.
Получаем, что острый угол прямоугольного
треугольника однозначно задает отношение длин его
сторон, и наоборот. То есть можно ввести различные
функции острого угла, т.е опять таки 6 соотношений!!!
Всего можно выделить 6 различных
соотношений, каждое из которых имеет
свое название
Прямоугольный треугольник

синус – отношение противолежащего данному
углу катета к гипотенузе:

косинус – отношение прилежащего к данному
углу катета к гипотенузе:

тангенс – отношение противолежащего данному
углу катета к прилежащему катету:

котангенс – отношение прилежащего к данному
углу катета к противолежащему катету:

секанс – отношение гипотенузы к катету,
прилежащему к данному углу:

косеканс – отношение гипотенузы к катету,
противолежащему данному углу:
Расширение понятия «угол»
Изображенные углы 90°, 180°, 360°

В геометрии мы определили понятие угла так: это
часть плоскости между двумя лучами,
проведенными из одной точки. Это накладывает
ограничения на величину угла: минимальный – это
нулевой угол (0°), максимальный – полный (360°).
Но термин «угол» можно встретить не только в
геометрии. Например, мы можем сказать об угле
поворота.

Так, выполняя команду «Направо», солдат
поворачивается на 90° ; выполняя команду кругом –
на 180°. Фигуристка в прыжке может сделать
полный оборот – повернуться на 360° . Пока что мы
не выходили за рамки геометрического понятия
угла. Все указанные углы можно изобразить так: до
и после поворота рисуем лучи вдоль линии зрения
(см. рис.).
Расширенное понятие угла: ввели углы 
больше 360° и отрицательные углы.
Но как нарисовать угол поворота, если фигуристка
сделала полтора оборота? Как раньше нарисовать
не получится – полученный угол ничем не будет
отличаться от угла, соответствующего половине
оборота, то есть 180°
Итак, фигуристка сделала полтора оборота. Это
один полный поворот на 360° и еще разворот на
180° . Угол поворота мы определим как сумму этих
величин:
Более того, и углы в 2,5 оборота
; 3,5 оборота и т.д. будут на
рисунке выглядеть одинаково.
Чтобы различать такие углы,
придется расширить само
понятие угла.
В общем случае, угол поворота равен:
При повороте нужно учесть и его направление: по часовой стрелке
или против. Для этого удобно использовать давно известный нам
инструмент – отрицательные числа. Угол поворота принято считать
положительным, если поворот происходит против часовой стрелки;
отрицательным – если по часовой (см. рис. 12).
Рис. 12. Направление угла поворота

зачем нужны тригонометрические функции для геометрических углов
понятно: с их помощью мы можем вычислять длины и углы.

А зачем они нужны для обобщенного понятия угла? Как минимум, для
описания вращательного движения – ведь именно на примере поворотов
мы обобщали понятие угла. Но кроме вращения тригонометрические
функции произвольного угла помогают описать любое повторяющееся
движение: механические колебания, звуковые волны, распространение
света. Также они нашли применение в обработке данных и
моделировании процессов.
По значению тригонометрических функций
не получится восстановить угол

Обратите внимание, что для расширенного
понятия угла уже не получится восстановить
угол по значению его тригонометрических
функций, даже если известна координатная
четверть. Например, если точка расположена
таким образом (см. рис. ), то угол может
равняться , , и т.д.

Но такая неоднозначность не должна нас
пугать, мы с ней часто встречаемся в жизни.
Так, у каждого человека есть размер обуви,
но по размеру обуви восстановить человека,
которому эта обувь принадлежит, не
получится (иначе бы детективам было очень
просто).

Другой пример – часы. Если вы находитесь в
комнате без окон, то по этим часам не
сможете определить, сейчас 12 часов дня или
ночи.

На самом деле, чтобы связать угол и длины сторон прямоугольного
треугольника, нам достаточно всего одной функции, например, синуса. По
известному синусу можно восстановить значения всех остальных функций (мы
тренировались это делать с использованием основных тригонометрических
тождеств). Поэтому можно было бы выразить все остальные соотношения длин
сторон прямоугольного треугольника через синус. Но эти формулы получаются
довольно громоздкими, а тригонометрические функции очень часто
встречаются при решении различных задач, поэтому всем им дали отдельные
названия и для каждой исследовали свойства. Правда, это не касается секанса
и косеканса – они встречаются редко и легко выражаются через синус и
косинус. По этой же причине иногда отдельно не выделяют свойства
котангенса – это просто обратное значение тангенса. В дальнейшем мы в
основном будем рассматривать синус, косинус, тангенс и иногда котангенс.

Подчеркнем еще одно важное свойство – так как значение синуса не зависит
от длин сторон, то можно его посчитать один раз для конкретного
треугольника, а затем использовать полученное значение для данного угла в
любом треугольнике.
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно
интересная абстракция в математике.

Тригонометрический круг – это окружность
единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в
точках (−1;0) и (1;0), ось y в точках (0;−1) и (0;1)

На данной окружности будет три шкалы отсчета –
ось x, ось y и сама окружность, на которой мы
будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности
откладываются от точки с координатами (1;0), – то
есть от положительного направления оси x, против
часовой стрелки. Пусть эта точка будет
называться S (от слова start). Отметим на
окружности точку A. Рассмотрим ∠SOA, обозначим
его за α. Это центральный угол, его градусная мера
равна дуге, на которую он опирается, то
есть ∠SOA=α=∪SA.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для
каждого из острых углов найдем прилежащий к
нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет
гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет
гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение
синуса к косинусу).
tg a = Противолежащий катет
Прилежащий катет
Понятие синуса встречается уже в III в. до н. э.
и имел название джива (тетева лука) ,
в IX в. заменено на арабское слово
джайб (выпуклость) , XII в. заменено на латинское
синус (изгиб, кривизна) .
Косинус – это дополнительный синус.
Тангенс переводится с латинского
как «касающийся»
Рассмотрим прямоугольный
треугольник ABC, угол C равен 90°
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в
прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого
опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией
отрезка OA на ось x, отрезок OC является
проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный
треугольник AOB:

Итак, косинус угла – координата точки A по
оси x (ось абсцисс), синус угла –
координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай,
когда угол – тупой, то есть больше 90°
Отметим на этой окружности
углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.
Из каждой точки на окружности, соответствующей
углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную
координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока
не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0° до 180°. Поэтому
мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.
Координата по оси x – косинус угла,
координата по оси y – синус угла.

Синус тупого угла – положительная
величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к
косинусу. При делении положительной
величины на отрицательную результат
отрицательный. Тангенс тупого угла
отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к
синусу. При делении отрицательной
величины на положительную результат
отрицательный. Котангенс тупого угла
отрицательный.
Запомним !
cos 
tg
ctg

45
60
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
30
sin 

1
3

3
3
3

1
3
1
1
3

3
3
Основное тригонометрическое
тождество

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном
треугольнике OAB:
Тригонометрия: Формулы приведения
Рассмотрим тупой угол :
Для произвольного тупого
угла β=180°− α всегда будут
справедливы следующие
равенства:

sin(180°−α)=sinα

cos(180°−α)=−cosα

tg(180°−α)=−tgα

ctg(180°−α)=−ctgα