Загрузил Стася Андреева

3 задачи мат моделирование

реклама
Вариант 2. m=0, n=2, k=1.
Задание 1
Постановка задачи. Определить количество органических и сложных
минеральных удобрений для разбрасывания на (20+1) га лугопастбищных
угодий таким образом, чтобы полная стоимость вносимых удобрений была
минимальной. Предполагается внести на луг не менее (80-0) кг/га азота, (20+2)
кг/га фосфора и (30+0+2) кг/га калия. Производительность труда при
разбрасывании органического удобрения может составлять (10+2) т/час, а
сложного удобрения – (0,4+0,1*0) т/час. Общее время на работы не должно
превышать 25 часов Стоимость и химический состав удобрений приведены в
таблице.
Стоимость и химический состав удобрений
Стоимость, Азот,
Удобрение
руб/т
кг/т
Органическое удобрение 126
7
Сложное удобрение
6490
220
Экономико-математическая модель задачи:
Фосфор,
кг/т
1,5
100
Калий,
кг/т
3
100
Нам необходимо найти оптимальный объем внесенных удобрений, цена
которых будет стремиться к минимуму
𝐹 = 126 ∗ 𝑥1 + 6490 ∗ 𝑥2 → 𝒎𝒊𝒏
при следующих ограничениях:
Ограничения на значения переменных накладываются, во-первых,
соображениями агронома о минимальных нормах внесения азота (80 кг/га),
фосфора (22 кг/га) и калия (32 кг/га) и, во-вторых, ресурсом времени (25 ч),
выделенным на выполнение всех работ. Рассмотрим сначала ограничение на
нормы внесения азота.
В 1 т органического удобрения содержится 7 кг, а в 1 т сложных
удобрений — 220 кг азота, то есть всего в органическом удобрении
содержится 7х1 кг, а в сложных удобрениях 220х2 кг азота. Т.е., общее
количество азота, вносимого на угодья, составляет 7х1 + 220х2 и это
суммарное количество не должно быть меньше 1680 кг, так как минимальная
норма внесения — 80 кг/га, а площадь угодий — 21 га.
Поэтому ограничения по азоту можно записать в виде:
7х1 + 220х2 ≥ 1680
Подобным образом составим ограничения по фосфору:
1,5х1 + 100х2 ≥ 462
и калию:
3х1 + 100х2 ≥ 672
Учтём, что у нас имеется – ограничение по ресурсу времени. Агроном
разбрасывает органические удобрения с производительностью 12 т/ч и вносит
сложные сложное удобрение с производительностью 0,5 т/ч. Общее время,
х
х
необходимое для выполнения этой работы, составляет 1 + 2 и не должно
12
0,5
превышать 25 часов.
Представим все ограничения системой неравенств:
7х1 + 220х2 ≥ 1680
1,5х1 + 100х2 ≥ 462
3х1 + 100х2 ≥ 672
0,083х1 + 2х2 ≤ 25
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
После построения математической модели, введем исходные данные в
табличный редактор Excel, получим следующее:
Т.к. мы имеем ограничения, введем их для дальнейших расчетов,
обновленный вид рабочего листа:
Решение задачи производится с помощью пункта меню Сервис/ Поиск
решения. При этом в диалоговом окне вводятся следующие значения:
Поиск решения осуществляется симплекс-методом. Результат имеет
следующий вид:
Таким образом стоимость необходимых удобрений 35122,22 руб
достигается при внесении в землю 179,35т органических удобрений и 1,93т
сложного удобрения.
Задание 2
Постановка задачи. Найти оптимальный план выпуска различных
видов продукции, если прибыль, полученная от реализации продукта П1 равна
(2+1), от П2 – (3+1) условной единицы. Запасы и число единиц ресурсов,
затраченных на изготовление одного вида продукции, заданы в таблице.
Запасы ресурсов и их расход при изготовлении единицы продукции.
Число единиц ресурсов, затраченных на
изготовление одной единицы продукции
П1
П2
1
3
4
1
0
1
5
0
Вид
Запас
ресурса ресурса
Р1
Р2
Р3
Р4
20
16
5
19
Т.е. необходимо определить оптимальный план производства для
достижения предприятием максимальной прибыли.
Экономико-математическая модель задачи:
𝐹 = 3 ∗ 𝑥1 + 4 ∗ 𝑥2 → 𝒎𝒂𝒙
при ограничениях
1 ∗ 𝑥1 + 3 ∗ 𝑥2 ≤ 20
4 ∗ 𝑥1 + 1 ∗ 𝑥2 ≤ 16
0 ∗ 𝑥1 + 1 ∗ 𝑥2 ≤ 5
5 ∗ 𝑥1 + 0 ∗ 𝑥2 ≤ 19
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
После построения математической модели, введем исходные данные в
табличный редактор Excel, получим следующее:
Т.к. мы имеем ограничения, введем их для дальнейших расчетов,
обновленный вид рабочего листа:
Решение задачи производится с помощью пункта меню Сервис/ Поиск
решения. При этом в диалоговом окне вводятся следующие значения:
Поиск решения осуществляется симплекс-методом. Результат имеет
следующий вид:
Таким
образом
максимальная
прибыль
предприятия
28,25
у.е
достигается при выпуске 2,75 шт товара П1 и 5 шт товара П2.
Задание 3
Постановка задачи. На трех базах A1, A2, A3 находится однородный
груз в количестве a1, a2, a3 тонн. Этот груз необходимо развести четырем
потребителям B1, B2, B3, B4, потребности которых в данном грузе составляют
b1, b2, b3, b4 тонн соответственно. Стоимость перевозок единицы продукции
от i-го поставщика к j-му потребителю cij известны (таблица). Требуется
установить такие объемы перевозок xij от каждого поставщика к каждому
потребителю, чтобы суммарные затраты на перевозки были минимальными и
потребности всех потребителей были удовлетворены.
Запасы груза, объемы потребностей потребителей и
стоимости транспортных перевозок.
Поставщики
А1
А2
А3
Потребности
Потребители
В1
В2
5
8
7
10
14
13
176
44
В3
15
4
17
157
В4
18
5
10
123
Запасы
140
160
200
500
В данном примере, сумма потребностей (176+44+157+123=500) и сумма
запасов (140+160+200) равны, следовательно – модель закрытая.
Экономико-математическая модель задачи:
𝐹 = 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 + 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 + 𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34
→ 𝒎𝒊𝒏
при ограничениях
𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 = 140
𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 = 160
𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 = 200
𝑥11 + 𝑥21 +𝑥31 = 176
𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 44
причем x11 ≥ 0, x12 ≥ 0,..., x34 ≥ 0
𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 = 157
𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 = 123
После построения математической модели, введем исходные данные в
табличный редактор Excel, получим следующее:
Т.к. мы имеем ограничения, введем их для дальнейших расчетов,
обновленный вид рабочего листа:
Решение задачи производится с помощью пункта меню Сервис/ Поиск
решения. При этом в диалоговом окне вводятся следующие значения:
Поиск решения осуществляется симплекс-методом. Результат имеет
следующий вид:
Таким образом минимальная стоимость доставки в соответствии с
потребностями потребителей имеет значение 3613 ден.ед при условии
доставки клиенту В1: 140 шт товара со склада А1, 3 шт товара со склада А2,
33 шт товара со склада А1; клиенту В2: 44 шт товара со склада А3; клиенту
В3: 157 шт товара со склада А2; клиенту В4 123 шт товара со склада А3.
Скачать