КИРИШ
Материаллардаги ички энергияни тарқалишини ифодаловчи гистерезис
типидаги эластик диссипативлик характеристикалари контурларининг
чизиқпимас боғланишлари турли олинган гипотезалар орқали механик
системаларнинг
тенгламаларида
эътиборга
олинади.
Г.С.
Писаренколарнинг гипотезаси экспериментал натижалар билан
солиштирилиб илмий асосланган холда мураккаб масалаларни ечишда
кулланилган [2.3].
Материаллардаги
ички
энергия
тарқалишининг
чизиқтимас
боғланишлар кўринишидаги бир қийматли бўлмаган функциялар
орқали эътиборга олинган механик системалар тебранишлари
масалаларида турли материаллар учун гистерезис типидаги
характеристикалар контурларининг мумкин бўлган кичик хадлари
хисобга олинмаган холда қаралган.
Ушбу ишда Писаренко гипотезаси билан эластик диссипативлик
хоссасининг чизиклимас функционалида кичик хадлар эътиборга
олинган холда эркинлик даражаси бирга тенг бўлган гистерезис
типидаги эластик характеристикали динамик системаларнинг бў̆йлама
тебранишларини резонанс соӽа атрофида текшириш масаласи
ўрганилган.
1- Гистерезис типидаги эластик диссипативлик характеристикалар
контурининг тенгламалари
Гистерезис типидаги эластик диссипативлик характеристикалар тугуни
контурининг чизиқтимас боғланишини ифодаловчи турли хил
кўринишдаги вариантлардан энг кўп кўлланиладигани [1]
2
3
𝜉
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 [𝜉 ± 𝛿(𝜉2 ) (𝜉2 ± 𝜉 − )]
8
𝜉
2
(1.1)
формула бўлиб, унга бевосита деформация амплитудаси 𝜉2 нинг
функцияси бўлган 𝛿 = 𝑓(𝜉2 ) тебранишлар декременти киради. Бу
формула m = 2k учун куйидаги кўринишда ифодаланади
𝛽(𝑟)
(2𝑘+1)!
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 {𝜉 − 2𝑘+1 [(𝜉 − 𝜉0 ± 𝑎)2𝑘+1 ∓ ∑𝑘ℓ=0 (𝜉2 − 𝜉0 )2𝑙 𝑎2𝑘−2ℓ+1 (2𝑘−2ℓ+1)!(2ℓ)]]}
вa m = 2k + 1 yчyн
𝛽(𝑟)
(2𝑘+2)!
2ℓ 2𝑘−2ℓ+2
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 {𝜉 ∓ 2𝑘+2 [(𝜉 − 𝜉0 ± 𝑎)2𝑘+2 − ∑𝑘+1
]}
ℓ=0 (𝜉2 − 𝜉0 ) 𝑎
(2𝑘−2ℓ+2)(2ℓ))
(1.2)
[2] олинган гистерезис характеристикаси формуласи нисбатан
қайишқок системаларнинг қайишқоқ элемент материалидаги энергия
тарқалишини кичик параметр 𝜀 кўлланиладиган методика билан
бажариладиган хисоблашларни анча соддалаштиради. Хусусан бу
боғланишлар Н.Н. Давиденков [3]
𝜂
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 {𝜉 ∓ (𝜉2 ± 𝜉)𝑛 − 2𝑛−1 𝜉2𝑛 }
𝑛
(1.3)
E.C. Сорокин [4]
2
𝜑𝜉
𝜉
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸𝜉 ∓ 𝐸 2 √1 − 𝑛
2𝜋
𝜉2
(1.4)
Я.Г. Пановко [5]
2
𝜉
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 [𝜉 ∓ 𝑎‾𝜉2𝑛 √1 − 𝑛]
𝜉2
(1.5)
лар томонидан таклиф этилган. Бу ерда ўнг томон (→) га йўналган
стрелка ва ишораларнинг юқорндагиси гистерезис тугунининг
чикишдаги шохчасига, чап томонга (→) йўналган стрелка ва
ишораларнинг пастдагиси эса тушишдаги шохчасига мос келади;
Ечўзилишдаги қайишқоклик модули; 𝜉-хакикатдаги нисбий деформация
координатаси; 𝜉0 -гистерезис тугуни марказининг координатаси; г-цикл
ассиметрияси коэффициенти; 𝛽(𝑟), 𝑚, 𝑎 = 𝑓(𝑐1 𝜉2𝑖+1 ), 𝜂, 𝑛, 𝜓 ≈ 2𝛿, 𝑎‾ −
𝛿 − дескрементнинг циклик деформация 𝜉2 амплитудадан, боғланиш
чизиғидан экспериментал равишда аниқланадиган параметрлар.
Кучланиш ва деформациялар ва улар таркибига кирувчи параметрлар
орасидаги чизиклимас боғланишлар тузилиши хисоблашларнинг талаб
килинган аниклигига таъсир килади. Тажрибалар экспериментал
берилган параметрлар яхши аник,лида берилган чизиклимас масалалар
ечими гистерезис тугуни контури тенгламалари (1.1) кўринишидан
олинганда анча содда топиш мумкинлигини кўрсатди [6].
Бошқа боғланишларнинг кўлланилиши ёки материалдаги энергия
таркаалиши эътиборга олинган қайишқок система тебранишларининг
инженер хисоблашларини жуда кийинлаштиради (масалан (1.2)) ёки
етарлича аникликни бермайди (1.3) - (1.5). тенгламада анча содда
бўлгани билан чизиклимас системаларнинг характерли хусусияти
кайишкок системалар тебранишларининг амплитуда - резонанс
чизиғининг «эГилиш»ини ўзида акслантирмайди.
Материаллардаги
энергия
тарқалишининг
чизиклимас
(1.1)
боғланишлар кўринишда этиборга олинган механик системалар
тебранишлари масалаларини ўрганишга жиддийрок ёндашиб қарасак,
унда турли материаллар учун гистерезис тугуни контурининг мумкин
бўлган фарқлари эътиборга олинмаган. Бу фарқларни эътиборга олсак
(1.8) муносабатни умумийроқ, n тугун формаси киритилган ӽолда
тасвирлаш мумкин: n = 2k учун
𝜉𝑛
⃗
𝜎⃖(𝜉) = 𝐸 [𝜉 ± 𝑎1 (𝜉𝑜 ∓ 𝑛𝜉 − 𝑛−1 )]
𝜉𝑎
n = 2k + 1 учун
(1.6)
𝑛+1
𝜉
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 [𝜉 ± 𝑎2 (𝜉𝑎 ∓ (𝑛 + 1)𝜉 − 𝑛 )].
𝜉𝑎
(1.7)
Бу ерда 𝑎1 , 𝑎2 -аниқланиш лозим бўлган параметрлар. (1.6) ва (1.7)
муносабатлар куйидаги шартларни каноатлантиришини кўриш қийин
эмас:
𝑑𝜎⃗
𝑑𝜎⃖
𝑑𝜎⃗
𝑑𝜎⃖
=( )
; ( )
=( )
;
( )
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
𝑑𝜉 𝜉=−𝜉
𝑑𝜉 𝜉=−𝜉
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
a
a
a
𝑎
𝑑𝜎⃗
𝑑𝜎⃖
=( )
= 𝐸.
( )
𝑑𝜉 𝜉=−𝜉
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
0
a
(1.6) ва (1.7) муносабатларга кирувчи 𝑎1 ва 𝑎2 параметрларни аниқлаш
учун материал хажми бирлигида тебраниш циклида энергия
тарқалишини характерловчи гистерезис тугунларининг юзаларини
топиш керак.
𝜉𝑎
𝜉𝑎
Δ𝑊 = ∫ 𝜎⃗ 𝑑𝜉 − ∫
−𝜉𝑎
𝜎⃖𝑑𝜉
(1.8)
−𝜉𝑎
ва (1.6) ёрдамида
𝜉𝑎
𝜉𝑎
Δ𝑊𝑛=2𝑘 = ∫ 𝜎⃗ 𝑑𝜉 − ∫
−𝜉𝑎
𝜎⃖𝑑𝜉 =
−𝜉𝑎
4𝑛
𝑎 𝐸𝜉 2
𝑛+1 1 𝑎
(1.9)
(1.7) ёрдамида эса
𝜉𝑎
𝜉𝑎
Δ𝑊𝑛=2𝑘+1 = ∫ 𝜎⃗ 𝑑𝜉 − ∫
−𝜉𝑎
𝜎⃖𝑑𝜉 =
−𝜉𝑎
𝜉𝑎 деформация амплитудали, 𝛿 =
𝜓
2
4𝑛
𝑎 𝐸𝜉 2
𝑛+2 2 𝑎
(1.10)
тебраниш декрементли
тебранишларнинг битта циклида таркалган энергия микдорини 𝜉𝑎
нисбий деформацияда материал борлигида йиғиладиган потенциал
энергия микдорининг амплитуда киймати оркали ифодалаш хаам
мумкин:
Δ𝑊 = 𝜓‾ = 2𝛿
𝐸𝜉𝑎2
= 𝛿𝐸𝜉𝑎2
2
(1.11)
(1.11) ва (1.9) ифодаларнинг ўнг томонларини тенглаштириб
𝑎1 =
𝑛+1
4𝑛
𝛿
(1.12)
(1.11) ва (1.10) дан
𝑎2 =
𝑛+2
4(𝑛+1)
𝛿
(1.13)
ларни оламиз.
(1.12) ва (1.13) ифодаларни.мос равишда (1.6) ва (1.7) га кўйиб 𝛿
тебранишлар декременти материал қайишқокљигини ифодалаб,
циклик деформациялар амплитудаси 𝜉0 нинг функцияси эканлигини
эътиборга оламиз. У холда n = 2k учун
𝜎‾⃗(𝜉) = 𝐸 [𝜉 ±
𝑛+1
𝜉𝑛
𝛿(𝜉𝑎 ) (𝜉𝑎 ∓ 𝑛𝜉 − 𝑛−1 )].
4𝑛
𝜉𝑎
(1.14)
𝑛+2
𝜉 𝑛+1
𝛿(𝜉𝑎 ) (𝜉𝑎 ∓ (𝑛 + 1)𝜉 − 𝑛 )]
4(𝑛 + 1)
𝜉𝑎
(1.15)
𝑛 = 2𝑘 + 1 yчy
𝜎‾⃗(𝜉) = 𝐸 [𝜉 ±
(1.14) ва (1.15) чизиклимас боғланишларга асосан 1-расмда ўзгармас
юзали, яъни 𝛿 декрементнинг ўзгармас кийматли n гистерезис тугун
формасини эътиборга олувчи параметрнинг турли кийматлари учун
Гистерезис тугуни схемалари келтирилган. (1.14) ва , (1.15)
Муносабатларни кỹпгина тажрибаларда текширилишичаб δ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
бỹлган ӽолда n-параметрнинг
1-расм. ỹзгармас юзали
гистерезистипини
схемалари;
1-n=2 ;
2-n=4.
ошиши билан тугун учи (𝜉 = 𝜉𝑎 ) ўкига якинлашиб, 𝜉 = 0 даги калинлиги
камаяди.
Гистерезис тугун формаси, яъни n-параметр ўзгаришининг эркинлик
даражаси бирга тенг система тебранишлари хисоблашлари
натижаларига таъсирини караб ўтамиз. Бунинг учун пружинага осилган
юкнинг вертикал тебранишларини караймиз. Пружкина массасини унга
осилган жисм массасига нисбатан эътиборга олмаса бўладиган
даражада кичик деб хисоблаймиз.
Юкори учи махкамланган пастки учига инерцион юк осилган. эркинлик
даражаси
бирга
тенг
системанинг
мажбурий
бўйлама
тебранишларининг дифференциал тенгламаси куйидаги кўринишда
бўлади
𝑑2𝜉
⃖ ⃗(𝜉, 𝑡)] = 𝜀𝑞Sin𝑤𝑡,
+ 𝑝2 [𝜉 + 𝜀Φ
2
𝑑𝑡
(1.16)
бу ерда p-система тебранишларининг хусусий айланма частотаси; t⃖ ⃗(𝜉, 𝑡)-циклик деформацияланган пружина материалидаги
вақт; 𝜀Φ
(1.14) ва (1.15) чизиклимас шартларда берилган энергия тарқалиши
функционали, бу ифоданинг юк пастга 𝜀⃗Φ(𝜉, 𝑡) харакатланаётгандаги
𝑑 2 𝑢2 (𝑡)
⃖ ⃗𝜉 [𝜉𝑎 Cos(𝑤𝑡 + 𝜓)]𝛿,𝑟 𝑢1 (𝑡) = 0
+ 𝑝2 𝑢2 (𝑡) + 𝑝2 Φ
2
𝑑𝑡
(1.23)
бунда «б,г» индекс ифоданинг бош гармоникасиз олинаётганлигини
билдиради.
(1.20) ифодадан 𝜀 > 0 да система тебранишларининг хусусий
частотасини аниклаш учун дефференциал тенглама оламиз. (1.22),
(1.23) тенгламалар ёрдамида мажбурий тебранишлар частотаси w ва
фазолар силжиш 𝜓 тангенсининг турли яқинланишдаги қийматларини
хисоблаш мумкин.
⃖ ⃗ чизиклимас функционалнинг юқорида кўрсатилган ифодалари (1.14)
Φ
ва (1.15) формулалар асосида кучланиш ва деформациялар ўртасида
чизиқли боғланиш йўқлигидан дарак беради. У холда
тебранишларнинг бошланғич фазаси) киритилгандан сўнг куйидагича
ёзиш мумкин:
n = 2k да
𝑛+1
⃖ ⃗(𝜉, 𝑡) = ±𝐸
𝜀Φ
𝛿(𝜉𝑎 )𝜉𝑎 (1 ∓ nCos 𝜃 − Cos 𝑛 𝜃)
4𝑛
(1.24)
n = 2k + 1 да
𝑛+2
⃖ ⃗(𝜉, 𝑡) = ±𝐸
𝜀Φ
𝛿(𝜉𝑎 )𝜉𝑎 (1 ∓ (𝑛 + 1)Cos 𝜃 − Cos 𝑛+1 𝜃)
4(𝑛 + 1)
(1.25)
⃖ ⃗ функционални ўзида сакљовчи тенгламаларни интеграллаш учун
Φ
тебранишлар цикли бўйича интегралдан фойдаланиш керак.
⃖ ⃗(𝜉, 𝑡)𝑑𝜉 = ∫2𝜋 𝛿Φ
‾ (𝜉, 𝑡)𝑑𝜉 = ∫2𝜋 𝛿Φ⃗(𝜉, 𝑡)𝑑[𝜉(𝜃)] +
∫ 𝜀Φ
0
0
𝜋
‾ (𝜉, 𝑡)𝑑[𝜉(𝜃)] (1.26)
∫ 𝛿Φ
0
(1.22) тенглама ёрдамида масала биринчи яқинлашишида ечилиши
мумкин, инженерлик хисоблашлари учун етарли аникликда бўлади,
кейинги яқинлашишлар аниқликни жуда кам тузатади-салқилиқ
функциясини 1% дан камга, амплитуда-резонанс чизиғининг айрим
нуқталарини 2% гача, бундан ташқари хисоблашлар жуда қийинлашиб
кетади.
⃖ ⃗ (𝜉, 𝑡) функционални 𝜃 = wt + 𝜓 ва 𝜉 = 𝜉 Cos 𝜃 эканлигини
Φ
𝑎
эътиборга олиб Фурье қаторига ёямиз.
∞
⃖ ⃗ (𝜉𝑎 , Cos 𝜃) = 𝐴(𝜉𝑎 ) + ∑ [𝐴𝑘 (𝜉𝑎 )Cos 𝑘𝜃 + 𝐵𝑘 (𝜉𝑎 )Sin 𝑘𝜃)]
Φ
(1.27)
𝑘=1
бунда
1 2𝜋 ⃗
⃖ (𝜉𝑎 Cos 𝜃)𝑑𝜃
𝐴𝑘 (𝜉𝑎 ) =
∫ Φ
2𝜋 0∗
1 2𝜋 ⃗
⃖ (𝜉𝑎 Cos 𝜃)Cosk𝜃𝑑𝜃
𝐴𝑘 (𝜉𝑎 ) = ∫ Φ
𝜋 0
1 2𝜋 ⃗
⃖ (𝜉𝑎 Cos 𝜃)Sin𝑘𝜃𝑑𝜃
𝐵𝑘 (𝜉𝑎 ) = ∫ Φ
𝜋 0
(1.28)
(1.28) формулани (1.22) тенгламага қўямиз:
𝑑 2 𝑢1 (𝑡)
+ 𝑝2 𝑢1 (𝑡) + 𝑝2 𝐴(𝜉𝑎 )
𝑑𝑡 2
∞
+ 𝑝2 ∑ [𝐴𝑘 (𝜉𝑎 )Cosk(𝑤𝑡 + 𝜓) + 𝐵𝑘 (𝜉𝑎 )Sink(𝑤𝑡 + 𝜓)]
𝑘=1
= 0 (1.29)
Охирги ифодадан
𝑢1 (𝑡) = −𝐴(𝜉𝑎 ) + 𝑝2 ∑∞
𝑘=1
𝐴𝑘 (𝜉𝑎 ) Cosk(𝑤𝑡+𝜓)+𝐵𝑘 (𝜉𝑎 ) Sink(𝑤𝑡+𝜓)
𝑘 2 𝑤 2 −𝑝2
(1.30)
(1.20) тенгламадан фойдаланиб, тебранишлар частотаси w ва фазалар
силжиши 𝜓 учун биринчи яқинлашишдаги гармоник баланс
тенгламаларини ёзиш мумкин:
2𝜋
𝑑2𝜉
⃖ ⃗(𝜉, 𝑡)] − 𝜀𝑞Sin𝑤𝑡} Coswt𝑑𝑡 = 0
∫ { 2 + 𝑝2 [𝜉 + 𝜀Φ
𝑑𝑡
0
2𝜋
𝑑2𝜉
⃖ ⃗(𝜉, 𝑡)] − 𝜀𝑞Sin𝑤𝑡} Sin𝑤𝑡𝑑𝑡 = 0
∫ { 2 + 𝑝2 [𝜉 + 𝜀Φ
𝑑𝑡
0
(1.31)
(1.32)
Шундай килиб, (1.16) дифференциал тенгламага кирувчи синус ва
косинусли бош гармоникалар ажратилади.
(1.31) ва (1.32) тенгламаларга (1.18) ва (1.19) ёйилмаларни кўйиб,
интеграллаб, 𝜀-кичик парметрнинг нолинчи ва биринчи даражасини
саклаб олиб w ва 𝜓 ни аникллаш учун биринчи яқинлашишдаги
ифодаларни оламиз:
2𝜋
2
𝜋(𝑝 −
𝑤 2 )𝜉𝑎
2
Cos 𝜓 + 𝑝 ∫
⃖ ⃗[𝜉𝑎 Cos(𝑤𝑡 + 𝜓)]Cos𝑤𝑡𝑑𝑡 = 0
𝜀Φ
(1.33)
0
2𝜋
2
−𝜋(𝑝 −
𝑤 2 )𝜉𝑎
2
Sin 𝜓 + 𝑝 ∫
⃖ ⃗[𝜉𝑎 Cos(𝑤𝑡 + 𝜓)]Sin𝑤𝑡𝑑𝑡 − 𝜀𝑞𝜋 = 0 (1.34)
𝜀Φ
0
(1.33) ва (1.34) тенгламаларни (1.27) ва (1.28) ифодаларни эътиборга
олиб, кўйидагича ёзамиз:
[(𝑝2 − 𝑤 2 )𝜉𝑎 + 𝑝2 𝜀𝐴1 (𝜉𝑎 )]Cos 𝜓 + 𝑝2 𝜀𝐵1 (𝜉𝑎 ) Sin 𝜓 = 0
−[(𝑝2 − 𝑤 2 )𝜉𝑎 + 𝑝2 𝜀𝐴1 (𝜉𝑎 )]Sin 𝜓 + 𝑝2 𝜀𝐵1 (𝜉𝑎 ) Cos 𝜓 = 𝜀𝑞
(1.35)
(1.36)
(1.35) ва (1.46) тенгламалардан амплитуда-резонанс чизиғи ва фазалар
силжиши 𝜓 ни топиш учун биринчи яқинлашишдаги формулаларини
олиш мумкин:
𝑤 2
𝜀𝐴1 (𝜉𝑎 )
𝜀𝑞 2 𝜀 2 𝐵12 (𝜉𝑎 )
√
=
1
+
∓
;
( )
( 2 ) −
𝑝
𝜉𝑎
𝑝 𝜉𝑎
𝜉𝑎2
(1.37)
√𝜀 2 𝑞 2 − 𝜀 2 𝐵12 (𝜉𝑎 )P 4
tg 𝜓 = ∓
𝑝2 𝜀𝐵1 (𝜉𝑎 )
(1.38)
бунда
𝐴1 (𝜉𝑎 ) =
∫
𝜀𝜋 0
2𝜋
⃖ ⃗ (𝜉𝑎 Cos 𝜃) cos 𝜃𝑑𝜃 ;
Φ
𝐵1 (𝜉𝑎 ) =
2𝜋
∫
𝜀𝜋 0
⃖ ⃗(𝜉𝑎 Cos 𝜃) Sin 𝜃𝑑𝜃 ;
Φ
1
1
(1.39)
(1.24) ва (1.25) ифодаларни эътиборга олиб, 𝐴1 (𝜉𝑎 ) ва 𝐵1 (𝜉𝑎 )
функцияларнинг кийматларини аниклаб (1.37) формулага кўямиз. У
холда эркинлик даражаси бирга тенг бўлган системанинг бўйлама
тебранишларидаги амплитуда-резонанс чизиғини чизамиз:
n = 2k учун
𝑤 2
(𝑝) = 1 −
𝑛+1
4
𝛿(𝜉𝑎 ) ∓ √(
𝜀𝑞
𝜀𝑞
2
𝑝2 𝜉𝑎
2
) −
𝛿 2 (𝜉𝑎 )
𝜋2
(1.40)
n = 2k + 1 учун
𝑤 2
(𝑝 ) = 1 −
𝑛+2
4
𝛿(𝜉𝑎 ) ∓ √(
𝑝2 𝜉𝑎
) −
𝛿 2 (𝜉𝑎 )
𝜋2
(1.41)
Охирги формулалар ёрдамида (1.14) ва (1.15) чизиклимас боғланиш
параметрларининг эркинлик даражаси бирга тенг система амплитудачастота характеристикасига таъсирини, 𝛿 декрементнинг 𝜎 нормал
кучланишларига боғликлиги экспериментал аниқланган (2-расм)
4OX (𝐸 = 2,175 ⋅ 105 MПа ) пўлатдан тайёрланган намунанинг
бўйлама тебранишлари мисолида қараб ўтамиз.
2-расм. Логарифмик декрементнинг . нормал. кучланишлардан
боғликлиги. (4ОХ пўлатнинг бўйлама тебранишлари)
(1.40) ва (1.41) формулаларга мос сонли қийматларни қўйиб, максимал
𝜎𝑎 = 240 Па га мос стержен (пружина) даги нисбий деформация 𝜉𝑎 =
1,1034 ⋅ 10−3 амплитудага эга килладиган кучланиш кўйиб, гистерезис
формасини характерловчи n-параметрнинг турли қийматлари учун
амплитуда резонанс чизиклари 3-расмда чизилган.
3-расм. Амплитуда-резананс
чизиқлари
1-n=2; 2-n=4; 3-n=6.
Штрих чизиқлар билан мос
резананс чизиқларининг
скелет чизиқлари берилган.
(1.40) ва (1.41) формулалар тахлилидан ва 3-расмдан куйидаги
хулосалар келиб чиқади:
1) амплитуда-резонанс чизиқларнинг кенглиги фақат тебранишлар
декременти билан характерланувчи материалдаги -энергия тарқалиш
микдорига, яъни (1.14) ва (1.15) чизиқлимас боғланишлар билан
аниқлангган гистерезис тугуни юзасидан боғлиқ;
2) резонанс скелет чизиклари циклик деформацияланган
материалнинг 𝛿 демпферлик хусусиятигагина, я'ъни гистерезис тугуни
юзасигагина боғлик бўлмай, гистерезис тугуни формасини
характерловчи n парметр катталигига хам боғлиқ; бу параметр нафақат
материалнинг хоссаларига, балки деформация турига (чўзилишсиқилиш ёки буралиш) хам боғлик, шунинг учун у умуман олганда
исталган қийматни қабул қилиш мумкин.
(1.40) формулани кўллаб, илдиз остидаги ифодани нолга
тенглаштириб, n параметрни аниқлаш учун ифода топиш мумкин:
𝑛=
4
𝛿(𝜉𝑎𝑖
𝑤 2
[1 − ( 𝑝 )
)
]−1
(1.42)
𝜉𝑎𝑖
бунда 𝛿(𝜉𝑎𝑡 )-нисбий деформация амплитудаси 𝜉𝑎𝑖 даги тебранишлар
𝑤
декременти; ( )
𝑝
𝜉ai
− ташки таъсир кучи частотасининг бўйлама
тебранишлар хусусий частотасига нисбати.
ऑ
ундай килиб, n параметр к̧аралаётган сйстема амплитудачастота
характеристикасидаги битта резонанс нуқта билан ёки скелет резонанс
чизиғидан олинган бир нукта ва шу амплитудага мос логарифмик
декремент оркали (1.42) формула орқали аникланиши мумкин.
(1.42) формулага ўхшаш трубка намунасидаги буралма
тебранишларидаги гистерезис тугунии формасини характерловчи 𝑛‾
параметрни хисоблаш учун формула ёзиш мумкин:
𝑛‾ =
4
𝛿(𝛾𝑎𝑖
𝑤 2
[1 − ( 𝑝 )
)
]−1
(1.43)
𝛾𝑎𝑖
бунда 𝛿(𝛾𝑎𝑖 )-ихтиёрий олинган бурчак силжиши 𝛾𝑎𝑖 амплитудадаги
𝑤
декремент; ( )
𝑝
𝛾ai
-ташқи кўзғатувчи куч частотасининг буралма
тебранишлардаги хусусий частотага нисбати.
Логарифмик декремент 𝛿 нинг циклик кучланиш (ёки деформация)
амплитудаларидан боғликликнинг функционал ифодасини бизга
маълум бўлган методлар, масалан, сўнувчи тебранишлардан
аниқљлаш мумкин. 𝛿 = 𝑓(𝜉𝑎 ) боғланишни, экспериментал аникланган
ампплитуда резонанс чизиғи кенглигидан фойдаланиб оламиз. (1.40)
ва (1.41) формулалардан
𝜋
4𝜀 2 𝑞 2
2
𝑝4 𝜉𝑎2
𝛿(𝜉𝑎 ) = √
𝑤 2
𝑤 2
z
𝑦
− [( ) − ( ) ]
𝑝
𝑝
2
(1.44)
𝑤
𝑤
бунда ( ) , ( ) -резонанс амплитуданинг бир хил баландлигидаги
𝑝
𝑝
𝑧
𝑦
қўзғатувчи ташқи куч частотасининт хусусий частотага нисбатининт
амплитуда-резонанс чизиғидаги мос равишда чап ва ўнг шохларидаги
кийматлари.
Техниканинг машинасозлик, ракетасозлик ва хоказо сохаларида
конструкция элементларининг демпферланиш нуктаи назаридан
механик системаларнинг тебранишларининг хисоблашларини
резонанс чизиқ чўққисини бир мунча силжитадиган гистерезис тугуни
формасини эътиборга олиб бажариш керак. Бунда резонанс холатидаги
тебранишларнинг максимал частотаси 0,1 % атрофида аникелашади,
резонанс чизиқ кенглиги эса ўзгармасдан қолади (яъни гистерезис
тугунига формасига боғлиқ бўлмайди).
Гистерезис тугуни формасини эътиборга олингандаги аниқланишлар
унчалик катта бўлмагани учун инженерлик хисоблашларда n
парметрни минимал жуфт деб қабул килиш мақсадга мувофиқ, яъни
n = 2. Конструкцион материаллардан ясалган эластик элементларнинг
тебранишини қараётганда (1.1) чизиклимас боғланишлар ишлатилиши
мумкин, лекин энг умумий холда (1.14) ёки (1.15) муносабатлар
хақикий механик тебранма системаларнинг эластиклик элементи
чизиклимас бўлган материалдаги энергия тарқалиши эътиборга
олинган холдаги инженерлик хисоблашлар учун жуда кулай. Шунинг
учун симметрик цикл учун бўлган бу натижаларни ихтиёрий
ассиметрик циклли циклик деформациялар холига умумлаштирамиз.
4-расм. Ихтийорий
ассиметрияли цикл учун
гистерезис тугуни
схемаси.
4-расмдаги белгилашларни қабул қилиб, мос равишда юқорига ва
пастга харакатланаётгандаги эластиклик модули
𝑑𝜎⃗
𝑑𝜉
𝑑𝜎⃗
𝑑𝜉
бунда 𝜉0 =
𝜉1 +𝜉2
2
= 𝐸 {1 − 𝛼𝑛 [1 + (
𝑑𝜉
𝜉−𝜉0 𝑛−1
𝜉2 −𝜉0
= 𝐸 {1 − 𝛼𝑛 [1 − (
𝑑𝜎
)
𝜉−𝜉0 𝑛−1
𝜉2 −𝜉0
)
ни ёзамиз:
]}
(1.45)
]}
- гистерезис тугуни маркази координатаси, 𝜉1 ва 𝜉2 мос
равишда нисбий деформация амплитудасининг кийматлари, 𝛼декрементнинг циклик боғликлиги
(1.45)HИ
(𝜎⃗)𝜉=𝜉1 = (𝜎⃖)𝜉=𝜉1 ; (𝜎⃗)𝜉=𝜉2 = (𝜎⃖)𝜉=𝜉2 ; (𝜎⃗)𝜉=𝜉0 + (𝜎⃖)𝜉=𝜉0 = 2𝐸𝜉0
чегаравий шартлар остида интеграллаймиз ва
𝑑𝜎⃗
𝑑𝜎⃖
𝑑𝜎⃖
𝑑𝜎⃗
=( )
; ( )
=( )
=𝐸
( )
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
𝑑𝜉 𝜉=𝜉
2
1
2
1
ни эътиборга олиб, n = 2k учун гистерезис тугунининг юқориги ва
пастга харакатланиш шохлари тенгламаларини оламиз:
(𝜉−𝜉0 )𝑛
𝜎⃗(𝜉) = 𝐸 {𝜉 − 𝛼 [𝑛𝜉 − 𝜉2 + (𝜉
2 −𝜉0 )
(𝜉−𝜉0 )𝑛
𝜎⃖(𝜉) = 𝐸 {𝜉 − 𝛼 [𝑛𝜉 − 𝜉1 − (𝜉
2 −𝜉0 )
]}
𝑛−1
𝑛−1
(1.46)
]}
Симметрик циклда, яъни 𝜉0 = 0, 𝜉2 = 𝜉𝑎 , 𝜉1 = −𝜉𝑎 бўлганда (1.46) (1.6)
билан устма-уст тушади. 𝛼 коэффициентни аниклаш учун циклик
деформацияланган материалнинг бирлик хажмдаги энергия
тарққалишини икки усулда хисоблаймиз:
1 𝑊 потенциал энергия ифодасининг △ CAB билан
характерланаётган ифодаси (4-расмга каранг) ва
Δ𝑊 = 𝜓‾𝑊 = 2𝛿𝑊
(1.47)
муносабатдан олинувчи нисбий энергия таркалиши 𝜓‾ ёки тебранишлар
декременти оркали;
2) тебранишлардаги энергия тарқалишини характерловчи гистерезис
тугуни юзасини бевосита хисоблаб:
𝜉
𝜉
1
1
Δ𝑊 = ∫𝜉 2 𝜎⃗(𝜉)𝑑𝜉 − ∫𝜉 2 𝜎⃖(𝜉)𝑑𝜉
(1.48)
△ СА𝐵 юзи билан характерланувчи деформациянинг потенциал
энергияси W куйидагича тасвирланади:
𝑊=
𝐸𝜉22
2
−
𝐸𝜉02
2
𝐸
𝐸
2
8
− 𝐸𝜉0 (𝜉2 − 𝜉0 ) = (𝜉2 − 𝜉0 )2 = (𝜉2 − 𝜉1 )2
(1.49)
y холда тебранишлар декременти маълум бўлганда, бирлик хажм
томонидан ютилган энергия микдори (1.47) га асосан қуйидагича
бўлади:
Δ𝑊 =
𝐸𝛿
4̇
(𝜉2 − 𝜉1 )2
(1.50)
Бу микдорни (1.46) ни (1.48) нинг ўнг томонига кўйиб
аниклаймиз:
(𝜉−𝜉0 )𝑛
𝜉
Δ𝑊 = ∫𝜉 2 𝐸 {𝜉 − 𝛼 [𝑛𝜉 − 𝜉2 + (𝜉
2 −𝜉0
1
𝑛
)𝑛−1
𝜉
(𝜉−𝜉0 )𝑛
1
𝑛−1
2 −𝜉0 )
]} 𝑑𝜉 − ∫𝜉 2 𝐸 {𝜉 − 𝛼 [𝑛𝜉 − 𝜉1 − (𝜉
= 𝑛+1 𝛼𝐸(𝜉2 − 𝜉1 )2 ;
(1.50) ва (1.51) ифодаларнинг ўнг томонларини тенглаштириб
𝐸𝛿
𝐿
𝑛
(𝜉2 − 𝜉1 )2 =
𝛼𝐸(𝜉2 − 𝜉1 )2 , 𝛼 =
𝑛+1
𝑛+1
4𝑛
𝛿
(1.52)
ни топамиз. (1.12) ва (1.52) ифодаларни солиштириб ассиметрик циклдаги
гистерезис тугуни контури тенгламасига кирган 𝛼 ва диссипативликни
характерловчи 𝛿 орасидаги “боғланиш худди симметрик циклдагидек эканлигини
топамиз. У холда циклнинг ихтиёрий ассиметрияли гистерезис тугуни контурининг
тенгламалари куйидагича бўлади: n = 2k учун
𝑛+1
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 {𝜉 −
𝛿(𝜉𝑎 ) [𝑛𝜉 − 𝜉2,1 ±
4𝑛
(𝜉−𝜉0 )
(𝜉2 −𝜉0 )
𝑛
𝑛−1
]}
(1.53)
n = 2k + 1 учун шунга ўхшаш ифода ёзиш мумкин:
𝜎⃖⃗(𝜉) = 𝐸 {𝜉 −
𝑛+2
4(𝑛+1)
𝑛+1
𝛿(𝜉𝑎 ) [(𝑛 + 1)𝜉 − 𝜉2,1 ±
(𝜉−𝜉0 )
(𝜉2 −𝜉0 )
𝑛
]}
(1.53) ва (1.54) ифодалар гистерезис тугуни параметрларининг махсус
аникланишини талаб килмайди.
(1.54)
]} 𝑑𝜉 =
(1.51)