ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рабочая программа курса
реклама
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рабочая программа курса МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ, ИННОВАЦИЙ И БИЗНЕС-СИСТЕМ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рабочая программа курса по направлениям 08500.62 Менеджмент 080100.62 Экономика Владивосток Издательство ВГУЭС 2014 ББК Рабочая программа по дисциплине «Высшая математика» составлена в соответствии с требованиями государственного стандарта России. Предназначена для студентов направлений 08500.62 Менеджмент 080100.62 Экономика Составитель: моделирования. Шуман Г.И, доцент кафедры математики и Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования Рекомендована к изданию методическим советом института международного бизнеса и экономики ВГУЭС © Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса, 2014 3 ВВЕДЕНИЕ В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено, прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяется возможность успешного применения математики при решении конкретных задач. Курс «Высшей математики» является основой экономического образования. Знания, приобретаемые студентами в результате изучения математики, играют важную роль в процессе его обучения в институте. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами экономических направлений. Данная программа построена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Высшая математика». Учебная программа разработана на основе учебных планов направлений 08500.62 Менеджмент, 080100.62 Экономика. 1. ОРГАНИЗАЦИОННО – МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Целью изучения дисциплины «Высшая математика» для экономических направлений является повышение уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности, ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач, привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям, развить логическое и алгоритмическое мышление, выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести экономическую задачу на математический язык. При построении данного курса основное внимание уделяется классическому подходу изучения математики, повсюду, где это возможно, дается экономический смысл математических понятий, приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закон убывающей доходности, принцип убывающей предельной полезности, условие оптимальности выпуска продукции и др.), рассматриваются простейшие приложения математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, оптимизационные модели). 4 Все это позволяет повысить уровень подготовки студентов, более четко понимать и представлять экономические явления и законы. 1.2. Компетенции, которыми должен обладать студент в результате изучения дисциплины В результате изучения дисциплины «Высшая математика» студент должен обладать следующими компетенциями: - демонстрировать понимание основных терминов дисциплины; - владеть знанием основных теорем и алгоритмами решения типовых задач; - должен ясно и точно реализовывать знания в экономических приложениях; - владеть способностью к аналитическому мышлению. 1.3. Объем и сроки изучения курса Курс «Высшая математика» для ОФО общим объемом в среднем 460 часов изучается в течение первых трех семестров, для ЗФО и ВФО общим объемом в 524 часа изучается в течение первого и второго курсов. 1.4. Основные виды занятий и особенности их проведения при изучении данного курса 1.4.1. Лекционные занятия Построены как типичные лекционные занятия по высшей математике в соответствии с требованиями государственных стандартов для подготовки бакалавров экономических направлений. Цель лекций — дать общую схему построения отдельных разделов курса, подчеркнуть отдельные вопросы программы, указать главные практические приложения теоретического материала. 1.4.2. Практические занятия Практические занятия построены как типичные практические занятия по высшей математике в соответствии с требованиями государственных стандартов для подготовки бакалавров вышеперечисленных направлений. Решение в аудитории основных типовых задач, определенных программой курса, разбор задач для самостоятельного решения, защита индивидуальных домашних заданий, проведение аудиторных контрольных работ. 1.5. Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов при изучении курса 5 В ходе изучения данного курса студент слушает лекции по основным темам, посещает практические занятия, занимается индивидуально. Освоение курса предполагает, помимо посещения лекций и практических занятий, выполнение контрольных заданий. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе по изучению отдельных тем, решению текущих и индивидуальных домашних заданий (ИДЗ). Так студентам направления 080500.62 «Менеджмент» рекомендуется самостоятельно изучить дидактические единицы «Комплексный анализ», «Гармонический анализ», а студентам направления 080100.62 «Экономика» «Функциональный анализ», «Комплексный анализ», «Гармонический анализ» и «Численные методы» с последующим разбором и анализом этих тем на практических занятиях. Учебным планом предусмотрены консультации, которые студент может посещать по желанию. 1.6. Виды контроля знаний студентов и их отчетности В рамках изучения дисциплины «Высшая математика» для экономических направлений проводятся следующие виды контроля знаний студентов по дисциплине: - домашние задания; - текущие контрольные работы; - индивидуальные домашние задания. Виды контроля по итогам семестра: 1 семестр – одна промежуточная аттестация, экзамен, 2 семестр – одна промежуточная аттестация, экзамен, 3 семестр – одна промежуточная аттестация, экзамен. Текущий контроль осуществляется на практических занятиях в виде опроса теоретического материала и умения применять его к решению задач у доски, в виде проверки домашних заданий, математических диктантов. Промежуточный контроль осуществляется проведением контрольных работ по отдельным разделам математики, защитой индивидуальных домашних заданий, проведением коллоквиумов по теоретическому материалу. Итоговый контроль — экзамен в конце каждого семестра. Экзамен проводится письменно или устно (на усмотрение преподавателя), в экзаменационные билеты включаются теоретические и практические вопросы. Для успешной сдачи экзамена студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений изучаемой дисциплины и показать свои навыки применения теории при решении конкретных практических задач. 6 2. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА 2.1. Перечень тем лекционных занятий 1 семестр Тема 1. «Определители. Матрицы». Понятие определителя, минора и алгебраического дополнения. Свойства определителей. Единичные, диагональные, треугольные определители. Теорема Лапласа. Методы вычисления определителей (метод понижения порядка, приведение к треугольному виду). Диагональная, единичная, квадратная, вырожденная (невырожденная), транспонированная матрицы. Матрица-строка, матрица – столбец, нулевая матрица. Сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на число. Произведение матриц. Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Методы вычисления обратной матрицы (метод присоединенной матрицы, метод элементарных преобразований). Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Понятие линейной комбинации строк (столбцов) матрицы. Линейно зависимые и линейно независимые строки (столбцы) матриц. Тема 2. «Системы линейных алгебраических уравнений». Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными. Случаи определенной, неопределенной и несовместной СЛАУ. Понятие базисных и свободных переменных. Однородные СЛАУ. Свойства однородных СЛАУ. Фундаментальная и общая система решений. Представление любой системы векторов в виде однородной СЛАУ и проверка ее на линейную зависимость или независимость. Тема 3. «Метод Гаусса. Формулы Крамера». Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными. Случаи определенной, неопределенной и несовместной СЛАУ. Понятие базисных и свободных переменных. Формулы Крамера. Однородные СЛАУ. Свойства однородных СЛАУ. Фундаментальная и общая система решений. Представление любой системы векторов в виде однородной СЛАУ и проверка ее на линейную зависимость или независимость. Тема 4. «Линейные операторы». Понятие линейного оператора (преобразование). Представление линейного преобразования матрицей. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к 7 каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Знакоположительные и знакоотрицательные квадратичные формы. Тема 5. «Элементы векторной алгебры». Скалярные и векторные величины. Определение длины (модуля) вектора, определение нулевого, коллинеарного, компланарного вектора, противоположных и равных векторов. Линейные операции над векторами (сложение векторов, умножение вектора на число, вычитание векторов). Единичный вектор. Проекция вектора на ось и составляющая вектора по оси. Основные теоремы о проекциях. Арифметическое n--мерное векторное n пространство R . Тема 6. «Линейная зависимость векторов. Базис».Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Определение линейной комбинации векторов. Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Свойства линейно зависимых систем векторов. Необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Лестничная система векторов. Теорема о линейной независимости любой лестничной системы векторов. Прямоугольный декартов базис. Разложение любого вектора по ортам координатных осей. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. Тема 7. «Координаты вектора».Линейные операции над векторами в координатной форме. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы (определение, свойства).Скалярное произведение векторов. Экономический пример. Свойство скалярного произведения. Скалярное произведение в координатной форме. Ортогональная и ортонормированная система векторов. Векторное произведение векторов. Экономический пример. Свойства векторного произведения. Векторное произведение в координатной форме. Геометрический смысл векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение векторов в координатной форме. Геометрический смысл смешанного произведения. Условия коллинеарности двух векторов. Условие компланарности трех векторов. Тема 8. «Модель Леонтьева». Применение векторной и матричной алгебры в экономике. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Основная задача межотраслевого баланса. Матрица полных затрат. Продуктивная модель Леонтьева. Модель равновесных цен. Собственные векторы и собственные значения матриц в модели международной торговли (модель обмена). Линейные модели оптимизации. Тема 9. «Прямая на плоскости».Уравнение линии на плоскости. Уравнения прямых. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Понятие нормального 8 вектора. Общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках. Геометрический смысл параметров в уравнении прямой в отрезках. Каноническое уравнение прямой. Понятие направляющего вектора. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Пучок прямых. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Общее уравнение прямой в пространстве. Построение прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Прямая и плоскость. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоски в пространстве. Тема 10. «Кривые и поверхности второго порядка». Определение окружности. Каноническое уравнение окружности. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Гипербола, парабола, их канонические уравнения. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, конус, цилиндрические поверхности. Тема 11. «Плоскость и прямая в пространстве». Общее уравнение плоскости в пространстве, его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках. Построение плоскости по ее уравнению. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общее уравнение прямой в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Прямая и плоскость в пространстве. Условия параллельности перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости в пространстве. Тема 12. «Производственные функции». .Понятие множества. Понятие функциональной зависимости. Важнейшие функции, встречающиеся в экономике. Функция полезности (функция предпочтений), производственная функция, функция выпуска, функция издержек, функции спроса, потребления и предложения. Окрестность точки. Тема 13. «Предел функции». Абсолютная величина действительного числа. Предел функции, определение и примеры. признак существования предела. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение порядков бесконечно малых и бесконечно больших функций. Определение пределов дробно – рациональных функций, функций, содержащих иррациональность, тригонометрических функций. Первый 9 и второй замечательные пределы. Теорема о переходе к пределу в показателе степени. Односторонние пределы. Теорема о равенстве односторонних пределов. Тема 14. «Непрерывность функции в точке». Классификация точек разрыва. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность функции на отрезке. Другое определение непрерывности. Тема 15. «Производная функции в точке». Задачи, приводящие к понятию производной. Физический, геометрический, экономический смысл производной. Производная слева и справа. Дифференцируемость функции и связь ее с непрерывностью. Понятие суммарных, средних и предельных величин в экономике. Эластичность функции. Геометрическая интерпретация эластичности. Свойства эластичности. Эластичность элементарных функций. Экономический смысл эластичности. Эластичность спроса относительно цели (предложения). Эластичность предложения относительно цели. Эластичность полных и средних издержек, эластичность выпуска по ресурсам. Тема 16. «Основные свойства производной. Дифференциал функции». Производная сложной функции. Производные высших порядков. Дифференцирование неявной функции. Логарифмическое дифференцирование. производная степенно – показательной функции. Теоремы о дифференцируемых функциях. Дифференциал функции и его свойства. Теорема единственности дифференциала. Связь дифференциала с производной. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков. 2 семестр Тема 1. «Приложение производной к исследованию функций». Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие монотонности, геометрический смысл. Понятие экстремума функции. Необходимое условие существования экстремума (теорема Ферма). Критические точки первого рода. Первое и второе достаточные условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклости функции вверх (вниз). Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные). Общая схема исследования графика функции. Тема 2. «Функции нескольких переменных». Основные понятия. Пример функции двух переменных. Линии уровня. Частные производные функции двух переменных. Геометрический смысл 10 частных производных. Полных дифференциал функции двух переменных. Связь дифференциала и частных производных. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции. Понятие производной по направлению. Градиент функции. Частные производные высших порядков. Тема 3. «Экстремум функции двух переменных».»Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие локального экстремума. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Тема 4, 5. «Понятие первообразной функции». Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод замены переменной, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование простейших рациональных дробей, интегрирование по частям). Тема 6. «Определенный интеграл». Геометрический и экономический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Основные правила интегрирования. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Тема 7. «Геометрические приложения определенного интеграла». Площадь плоской фигуры. Длина дуги плоской кривой. Объем тела вращения. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике. Тема 8. «Несобственные интегралы». Геометрический смысл несобственных интегралов. интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Тема 9. «Дифференциальные уравнения первого порядка». Дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модель естественного роста при постоянном темпе. Логический рост. Неоклассическая модель роста. Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение, теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Методы их решения. Тема 10. «Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка». Методы решения однородных и 11 линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод вариации постоянной. Метод замены переменной. Тема 11. «Дифференциальные уравнения второго порядка». Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Методы их решения. Тема 12. «Дифференциальные уравнения в экономической динамике». Динамическая модель Кейнса. Модель Самуэльсона. Тема 13. «Числовые ряды». Основные понятия. Свойства сходимости рядов. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Признаки сравнения. Другие признаки сходимости. Сходимость произвольных числовых рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. Тема 14. «Степенные ряды». Основные определения. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорана. Тема 15. «Понятие временного ряда». Виды временных рядов. Правила построения временных рядов. наиболее распространенные способы определения Трейда. Тема 16. «Применение степенных рядов к приближенным вычислениям». Вычисление значений показательной функции, логарифмические функции, синуса, косинуса. Приближенное нахождение интегралов. 3 семестр Тема 1. «Основные понятия теории вероятностей».Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки. Основные понятия теории вероятностей. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятностей. Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Относительная частота. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Алгебра событий: сумма и произведение событий. Тема 2. «Теоремы сложения и умножения вероятностей». Противоположные события. Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу событий. Независимость событий. Определение условной вероятности. Теорема о вероятности совместного появления двух событий нескольких событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых в совокупности событий. Следствие. 12 Тема 3. «Полная вероятность». Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. Тема 4. «Повторные испытания». Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Тема 5. «Случайные величины».Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Способы задания закона распределения. Многоугольник распределения вероятностей. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства. Тема 6. «Числовые характеристики случайных величин». Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Вероятностный смысл математического ожидания. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Начальные и центральные моменты k-го порядка, мода, медиана. Тема 7. «Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин». Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики. Закон Пуассона. Простейший поток событий. Свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Интенсивность потока. Тема 8. «Законы распределения непрерывных случайных величин». Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Нахождение функции распределения по известной плотности рааспределения вероятностей. Закон равномерного распределения вероятностей, его функция распределения и числовые характеристики. Закон показательного распределения, его функция распределения и числовые характеристики. Тема 9. «Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины».Числовые характеристики нормального распределения. Кривая Гаусса и ее исследование. Влияние параметров a и σ на вид кривой Гаусса. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм. Тема 10. «Закон больших чисел». Неравенство Чебышева для дискретных и непрерывных случайных веичин. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева. Предельные теоремы. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных случайных величин. Теорема Ляпунова. 13 Тема 11. «Математическая статистика». Предмет математической статистики. Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Вариационный ряд и его характеристики. Полигон частот (относительных частот).Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Гистограмма частот (относительных частот). Тема 12. «Статистические оценки параметров распределения». Точечные оценки параметров и их свойства: несмещенность эффективность, состоятельность. Генеральная средняя, выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная дисперсия, выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии. Методы расчета статистических характеристик выборки. Равноотстоящие варианты, условные варианты. Начальные и центральные эмпирические моменты k-го порядка. Тема 13. «Интервальные оценки параметров. Критерий согласия». Точность оценки. Доверительная вероятность(надежность). Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном среднем квадратичном отклонении. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критерий Пирсона. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотез. Критические точки. Правило использования критерия Пирсона. Тема 14. «Элементы теории корреляции».Основные задачи теории корреляции. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Уравнения регрессии. Условные средние. Корреляционная таблица. Определение параметров методом наименьших квадратов. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции. Тема 15. «Корреляционное отношение». Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии. Выборочное корреляционное отношение. Свойства выборочного корреляционного отношения. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Сравнение истинных и оцененных зависимостей на примере экономической задачи. Тема 16. «Понятие о множественной корреляции». Выборочный совокупный коэффициент корреляции. Частные выборочные коэффициенты корреляции. Понятие двухфакторных и многофакторных уравнений регрессии. Применение мат. статистики в экономике. 14 Статистическое изучение связей между явлениями и их использованием для управления социально – экономическими процессами. 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА 3.1. Перечень и тематика самостоятельных работ студентов по курсу Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении аудиторных контрольных работ, текущих и индивидуальных домашних заданий. Темы контрольных работ: 1. Определители, операции над матрицами. 2. Векторная алгебра. 3. Кривые второго порядка. 4. Вычисление производной сложных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций. 5. Определенный интеграл и его приложения. 6. Решение дифференциальных уравнений первого и второго порядков. 7. Числовые и степенные ряды. 8. Задачи на классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей. 9. Нахождение функции распределения и плотности распределения случайной величины. Законы распределения случайных величин. Индивидуальные домашние задания: 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений различными методами. 2. Прямая на плоскости. 3. Вычисление пределов функции. Непрерывность функции. 4. Приложение производной к исследованию функции и построению графика. Общая схема исследования. 5. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. 6. Функции нескольких переменных. 7. Случайные величины. 8. Статистическая обработка одномерной выборки. 9. Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов. 3.2. Обзор рекомендованной литературы 15 В процессе изучения курса «Высшая математика» студент должен пользоваться теоретическим материалом, предоставленным преподавателем во время лекционных занятий. Рекомендовать какойлибо один учебник затруднительно, так как некоторые темы достаточно доступно изложены в одном учебнике, другие - в другом. Для формирования практических навыков решения задач по темам наилучшим образом подходят «Высшая математика в упражнениях и задачах» Данко П.Е. и др., «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» Гмурман В.Е., а также «Высшая математика» часть 1, учебное пособие Волгина О.А., Шуман Г.И., Гусев Е.Г., «Высшая математика» часть 2, практикум Шуман Г.И. Волгина О.А., Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н., «Дифференциальные уравнения» учебный комплекс Одияко Н.Н., Голодная Н.Ю., Волгина О.А., «Математическая статистика» часть 2, учебное пособие, Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н. 3.3. Методические указания по самостоятельному выполнению практических заданий При выполнении индивидуальных домашних заданий необходимо использовать теоретический материал, ссылаясь на соответствующие теоремы, формулы, формулировки. Решения предлагаемых задач должны излагаться подробно и сопровождаться необходимыми пояснительными ссылками. 3.4. Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества освоения дисциплины 1 семестр Определители второго и третьего порядков. 2. Свойства определителей. 3. Методы вычисления определителей. 4. Понятие матрицы. Виды матриц. 5. Невырожденная матрица. 6. Линейные операции над матрицами. 7. Свойства линейных операций. 8. Произведение матриц. Свойства. 9. Необходимое и достаточное условие существования матрицы, обратной данной. 10. Алгоритм нахождения матрицы, обратной данной. 11. Определители взаимно-обратных матриц. 12. Ранг матрицы (два определения). 16 13. Система линейных алгебраических уравнений. Решение системы. 14. Матричное уравнение и его решение. 15. Правило Крамера. 16. Метод Гаусса решения системы уравнений. 17. Однородные системы уравнений. Тривиальное решение. 18. Совместные (несовместные) системы. Определенные (неопределенные) системы. 19. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. 20. Теорема Кронекера-Капелли. 21. Векторные и скалярные величины. 22. Векторы. Основные определения. 23. Равенство векторов. Орт. 24. Линейные операции над векторами. 25. Линейно зависимые (независимые) векторы. 26. Базис на плоскости и в пространстве. 27. Разложение вектора по базису. 28. Линейные операции над векторами в координатной форме. 29. Деление отрезка в данном отношении. 30. Направляющие косинусы вектора. 31. Проекция вектора на ось. 32. Угол между вектором и осью. 33. Скалярное произведение векторов. Свойства. 34. Векторное произведение векторов и его свойства. 35. Смешанное произведение векторов и его свойства. 36. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов. 37. Понятие линейного оператора. Представление линейного оператора. 38. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 39. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 40. Знакоположительные и знакоотрицательные квадратичные формы. 41. Модель Леонтьева. Линейная модель оптимизации. 42. Задачи аналитической геометрии. 43. Различные способы задания прямой на плоскости. 44. Угол между двумя прямыми на плоскости. 17 45. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. 46. Общее уравнение плоскости. Частные случаи. 47. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 48. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Угол между плоскостями. 49. Прямая в пространстве. Способы задания. 50. Прямая и плоскость в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 51. Пересечение прямой и плоскости в пространстве. 52. Каноническое уравнение окружности. 53. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. 54. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. 55. Определение параболы. Каноническое уравнение параболы. 56. Функция, область определения. Способы задания функции. 57. Окрестность точки. 58. Понятие предела функции в точке. 59. Односторонние пределы функции. 60. Теоремы о пределах. 61. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 62. Первый замечательный предел. 63. Второй замечательный предел. 64. Правила раскрытия неопределенностей. 65. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 66. Свойства функций, непрерывных в точке. 67. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 68. Второе определение непрерывности функции. 69. Определение производной функции в точке. 70. Геометрический смысл производной функции в точке. 71. Правила нахождения производной функции. 72. Таблица производных сложных функций. 73. Производная функции, заданной параметрически, неявно. 74. Логарифмическое дифференцирование. 75. Критические точки первого рода. 76. Точки экстремума, экстремальные значения функции. 77. Необходимое условие существования экстремума функции в точке. 18 78. Достаточное условие существования экстремума функции в точке. 79. Критические точки второго рода. 80. Точки перегиба графика функции. 81. Достаточное условие существования перегиба графика функции в точке. 82. Асимптоты графика функции. 83. Общая схема исследования функции. 84. Условия максимизации прибыли, условие уровня наиболее экономичного производства. 2 семестр 1. Дифференциал функции. 2. Геометрический смысл дифференциала функции. 3. Правила нахождения дифференциала. 4. Инвариантность формы дифференциала. 5. Первообразная функции. 6. Неопределенный интеграл и его свойства. 7. Таблица интегралов. 8. Метод непосредственного интегрирования. 9. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. 10. Интегрирование по частям. 11. Интегрирование рациональных дробей. 12. Метод неопределенных коэффициентов. 13. Интегрирование иррациональных функций. 14. Тригонометрические подстановки. 15. Задача о площади. 16. Определенный интеграл. 17. Свойства определенного инт6грала. 18. Криволинейная трапеция. 19. Геометрический смысл определенного интеграла. 20. Формула Ньютона-Лейбница. 21. Метод замены переменной в определенном интеграле. 22. Интегрирование по частям. 23. Вычисление площадей плоских фигур. 24. Объем тела вращения плоской фигуры. 25. Длина дуги гладкой кривой. 26. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. 27. Сходящиеся несобственные интегралы. 28. Функция нескольких переменных, область определения. 19 29. Частное и полное приращение функции нескольких переменных. 30. Частные производные функции нескольких переменных. 31. Градиент функции нескольких переменных. 32. Производная функции по направлению вектора. 33. Локальный экстремум, необходимое и достаточное условие локального экстремума. 34. Условный экстремум. Функция Лагранжа. 35. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. 36. Предельные величины, эластичность функции двух переменных. Эластичность замещения. 37. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. 38. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения. 39. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. 40. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, общее решение. 41. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 42. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 43. Характеристическое уравнение. 44. Однородные уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного уравнения 2-го порядка. 45. Общее решение однородного уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения. 46. Неоднородные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения. 47. Подбор частного некоторого решения по виду данной правой части неоднородного уравнения. 48. Дифференциальные уравнения в экономической динамике. 49. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. 50. Необходимый признак сходимости. 51. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд. 52. Два признака сравнения числовых рядов. 53. Два признака Коши. 54. Признак Даламбера. 55. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 56. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов. 20 57. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. 58. Свойства степенных рядов. 59. Разложение функции в ряд Тейлора. 3 семестр 1. Предмет теории вероятностей. 2. Число перестановок, сочетаний, размещений. 3. Классификация событий. 4. Относительная частота появления события и его вероятность. 5. Основные определения теории вероятностей. 6. Классическое определение вероятности появления события. 7. Аксиомы вероятностей. 8. Алгебра событий. 9. Теоремы сложения вероятностей (формулировки и формулы). 10. Теоремы умножения вероятностей (формулировки и формулы). 11. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий. Следствие. 12. Формула полной вероятности. 13. Формулы Байеса, следствие. 14. Повторные испытания. Формула Бернулли. 15. Локальная и интегральная функции Муавра-Лапласа. 16. Формула Пуассона. 17. Случайные величины, классификация случайных величин. 18. Ряд распределения, многоугольник распределения. 19. Закон распределения и способы его задания. 20. Функция распределения вероятностей, плотность распределения. 21. Числовые характеристики случайных величин и их вероятностный смысл. 22. Свойства числовых характеристик. 23. Биномиальный закон распределения вероятностей и его числовые характеристики. 24. Простейший поток событий. Интенсивность потока. 25. Закон Пуассона. 26. Показательный закон распределения, его функция распределения и числовые характеристики. 27. Равномерный закон распределения, его функция распределения числовые характеристики. 28. Нормальный закон распределения. 29. Кривая Гаусса. 21 30. Влияние параметров на вид кривой Гаусса. 31. Понятие о законе больших чисел. 32. Математическая статистика и ее основные задачи. 33. Генеральная совокупность, выборка. 34. Полигон частот, гистограмма. 35. Статистический ряд. Статистическая совокупность. 36. Эмпирическая функция и ее свойства. 37. Точечные оценки параметров. Свойства точечных оценок. 38. Доверительная вероятность (надежность). 39. Интервальные оценки параметров. 40. Доверительные интервалы. 41. Понятие критерия согласия. 42. Критерий Пирсона. 43. Соотношение между экономическими переменными. 44. Понятие корреляции. 45. Основные задачи теории корреляции. 46. Линия регрессии. 47. Коэффициент корреляции. 48. Корреляционное отношение. Теснота связи. 49. Методы определения параметров в уравнении выравнивающей линии. 50. Метод наименьших квадратов. 51. Линия регрессии. 52. Парная линейная регрессия. Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии. 4. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 4.1. Основная литература 1. Солодовников А.С. Математика в экономике. ч. 1,2. – М.: Финансы и статистика, 2005. 2. Красс М.С. Математика для экономических направлений. – М.: ИНФРА М, 2005. 3. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2004. 4. Шипачев В.С. Основы высшей математике. – М.: Высшая школа, 2004. 5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2012. 22 6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2012. 7. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1,2. – М.: Высшая школа, 2010. 4.2. Дополнительная литература 1. Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗОВ. ч. 1,2. – М.: Высшая школа, 2006. 2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. – М.: Наука, 2003. 3. Крамер И.Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2007. 4. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2003. 5. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. – Киев.: Высшая школа, 2001. 6. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 2006. 7. Румшинский Л.З. Элементы теории вероятностей. – М.: Наука, 2002. 8. Солодовников А.С. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Высшая школа, 2003. 9. Колеснеков А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА М, 2006. 10. Абчук В.А. Экономико-математические методы. - СанктПетербург.:Союз, 2005. 11. Шелобаев С.И. Математические методы и модели. – М.: ЮНИТИ, 2000. 12. Фадеев Д.К., Соминский Н.С. Задачи по высшей алгебре. – Санкт-Петербург, 2004. 13. Замков О.О. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 2004. 4.3. Список учебно-методических разработок 1. Степанова А.А. Высшая математика. - Владивосток, 1999. 2. Волгина О.А., Шуман Г.И., Гусев Е.Г. Высшая математика, часть 1.- Владивосток, 2007. 3. Шуман Г.И., Волгина О.А., Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н. Высшая математика, часть 2. - Владивосток, 2008. 4. Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н. Функции нескольких переменных. - Владивосток, 2005. 23 5. Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н., Волгина О.А. Дифференциальные уравнения. - Владивосток, 2007. 6. Голодная Н.Ю.. Элементы теории корреляции. - Владивосток, 2008. 7. Голодная Н.Ю., Пивоварова И.В. Аналитическая геометрия. Владивосток, 2005. 8. Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н. Математическая статистика. Теория корреляции в расчетах, часть 2. - Владивосток, 2006. 5. Словарь основных терминов Матрица — это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Квадратная матрица — матрица, у которой число строк равно числу столбцов. Невырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Диагональная матрица — квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю. Треугольная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Транспонированная матрица — матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Эквивалентные матрицы — матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований. Минор некоторого элемента определителя n-го порядка — определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. . Алгебраическое дополнение элемента - минор этого элемента, умноженный на -1 в степени, равной сумме номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Присоединенная (союзная) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов данной квадратной матрицы. Ранг матрицы — наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. бы одно решение. Определенная система — совместная система, имеющая единственное решение. Тривиальное решение — нулевое решение системы. Совместная система уравнений — система, имеющая хотя определяются численным значением. 24 Векторные величины — величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением. Вектор — это направленный прямолинейный отрезок. Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Единичный вектор — вектор, длина которого равна единице. Орт вектора — единичный вектор, направление которого совпадает с направлением данного вектора. Компланарные векторы — три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Направляющие косинусы вектора — косинусы углов вектора с осями координат. Скалярное произведение двух ненулевых векторов число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Векторное произведение векторов — это вектор. Смешанное произведение трех векторов — это векторноскалярное произведение векторов. Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости: первая — зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая — зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства. Окрестность точки - любой интервал, содержащий данную точку. Функция - это правило или закон , по которому каждому значению одной переменной ставится в соответствие одно определенное значение другой переменной. Первая переменная является независимой и называется аргументов, а вторая переменная — зависимой и называется функцией. График функции - это множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых абсциссой является значение аргумента, а ординатой — соответствующее значение функции. Бесконечно малая — это функция, если при указанном стремлении аргумента ее предел равен нулю. Функция, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая. Функция непрерывна в некоторой точке, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке. 25 Функция непрерывна в некоторой точке, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, - точки разрыва этой функции. Производная функции в точке - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала, является дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции - дифференцирование функции. Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Дифференциал функции в точке - это главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на дифференциал независимой переменной. Значение функции в точке максимума (минимума) - максимум (минимум) функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует - критические точки. График дифференцируемой функции выпуклый вниз (выпуклый вверх) на некотором интервале, если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его части разной выпуклости, - точка перегиба. Асимптота кривой — это прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на этой кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Дробно-рациональная функция (или рациональная дробь) — это функция, равная отношению двух многочленов. Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Определенный интеграл от функции на данном отрезке (или в указанных пределах ) - это предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Несобственные интегралы — это определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. 26 Несобственный интеграл сходится, если он существует и равен конечному числу. Производная функции по направлению вектора - это число, равное сумме произведений частных производных этой функции, вычисленных в данной точке, на косинусы углов, образованных данным вектором с положительным направлением соответствующей оси. Производная по направлению представляет собой мгновенную скорость изменения функции в направлении вектора в данной точке. Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке, является градиентом функции. Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, есть дифференциальное (ДУ). Решение дифференциального уравнения - это функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Процесс отыскания решения ДУ - его интегрирование, а график решения ДУ — интегральная кривая. Общее решение ДУ первого порядка - это функция, содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении константы; 2) каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной, что данная функция удовлетворяет данному начальному условию. Частное решение ДУ первого порядка - любая функция, полученная из общего решения при конкретном значении постоянной . Дифференциальные уравнения порядка выше первого - ДУ высших порядков. Общее решение ЛНДУ второго порядка равно сумме частного решения неоднородного уравнения, подобранного по виду данной правой части, и общего решения соответствующего ему однородного уравнения. Числовой ряд (или просто ряд) - это бесконечная сумма действительных чисел, называемых членами ряда, а слагаемое, стоящее на n-ом месте - общий член ряда. Сумма первых n членов ряда - n-ая частичная сумма ряда. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм данного ряда, то этот предел есть сумма ряда и говорят, что ряд сходится. В противном случае ряд расходится. 27 Знакопеременный ряд - ряд, содержащий положительные и отрицательные слагаемые . Ряд, знаки членов которого чередуются, является знакочередующимся. Знакопеременный ряд абсолютно сходящийся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд условно сходящийся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Ряд, членами которого являются функции, - функциональный ряд. Совокупность числовых значений аргумента, при которых функциональный ряд сходится, - область сходимости этого ряда. Комбинаторика — раздел математики, изучающий, в частности, методы решения комбинаторных задач — задач на подсчет числа различных комбинаций. Перестановки — это множества, составленные из одних и тех же элементов, отличающиеся порядком расположения этих элементов. Сочетания — это множества, составленные из n различных элементов по m в каждом, отличающиеся хотя бы одним элементом. Размещения — это множества, составленные из n различных элементов по m в каждом, отличающиеся либо составом, либо порядком выбранных элементов. Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Испытание (опыт, эксперимент) — выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Случайное событие (возможное событие или просто событие) любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Событие — это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход результат испытания. Достоверное событие — событие, которое в результате испытания обязательно должно произойти. Невозможное событие — событие, которое в результате испытания не может произойти. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Несовместные (несовместимые) события — если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события совместные. Элементарные исходы (случаи или шансы) — исходы некоторого испытания, которые образуют полную группу событий и 28 равновозможны, то есть единственно возможны, несовместны и равновозможны. Благоприятствующий (благоприятные) случай некоторому событию — если появление этого случая влечет за собой появление интересующего события. Вероятность события — численная мера степени объективной возможности наступления события. Вероятность некоторого события равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев. Сумма нескольких событий — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий (для суммы событий характерен союз «или»). Произведение нескольких событий — событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий (для произведения событий характерен союз «и»). Два события независимы, если вероятность одного из них не меняется от того, произошло другое событие или нет. В противном случае события зависимы. Формула полной вероятности и формула Байеса — следствие двух основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и теоремы умножения. Случайная величина — переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает только одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее не известно). Дискретная (прерывная) случайная величина — величина, множество значений которой конечно, или бесконечно, но счетно (элементы множества можно перенумеровать натуральными числами). Непрерывная случайная величина — величина, бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси. Закон распределения случайной величины — всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.. Многоугольник распределения вероятностей — ломаная, соединяющая точки, координатами которых являются возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности их принятия. Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины - сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности 29 Дисперсия (рассеяние) случайной величины — это математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение или стандарт) случайной величины - арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии. Математическое ожидание, дисперсия среднее квдратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, - числовые характеристики случайной величины. Функция распределения случайной величины - функция, выражающая для каждого значения случайной величины вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее указанного значения. Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Плотность вероятности (плотность распределения или просто плотность) непрерывной случайной величины - это производная ее функции распределения вероятностей. . Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения. Коэффициент асимметрии случайной величины характеризует скошенность распределения. Эксцесс случайной величины характеризует крутость (островершинность или плосковершинность) распределения. Математическая статистика — раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) есть генеральная совокупность. Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, - выборочная совокупность или выборка. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом. Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки. 30 Оценка параметра - всякая функция результатов наблюдений над случайной величиной (иначе — статистику), с помощью которой судят о значении параметра. Оценка параметра несмещенная, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Оценка параметра состоятельная, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Несмещенная оценка параметра эффективная, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема. Статистическая гипотеза — любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Альтернативная или конкурирующая гипотеза — это гипотеза, являющаяся логическим отрицанием проверяемой (нулевой) гипотезы. Проверяемая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.. Правило, по которому проверяемая гипотеза отвергается или принимается, есть статистический критерий. Вероятность допустить ошибку 1-го рода, то есть отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна, называется уровнем значимости критерия. Вероятность не допустить ошибку 2-го рода, то есть отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна, - это мощность (или функция мощности) критерия. Раздел математической статистики, изучающий статистические (корреляционные) зависимости, - теория корреляции. Полная корреляция — когда каждый из отобранных элементов статистической совокупности объектов испытывается сразу по двум признакам. Две основные задачи в теории корреляции: 1) о форме корреляционной связи между и в виде некоторой функциональной зависимости, которая хотя бы приближенно изображала расплывчатую корреляционную зависимость; 2) об оценке тесноты корреляционной связи между признаками, то есть о степени близости корреляционной зависимости к функциональной. Задача о форме корреляционной связи решается с помощью регрессий. Регрессия — это функциональная зависимость между значениями одного из исследуемых признаков и условными средними значениями другого. 31 Уравнение сглаживающей линии дает хотя и приближенно, но аналитическое — в виде формулы — выражение регрессии. Две задачи отыскания эмпирической формулы: 1) выбор типа линии, выравнивающей ломаную регрессии, то есть типа линии, около которой группируются экспериментальные; 2) определение параметров, входящих в уравнение линии выбранного типа таким образом, чтобы из множества линий этого типа взять ту, которая наиболее близко проходит около точек ломаной регрессии. Для определения параметров в уравнении выравнивающей линии выбранного типа существует несколько методов: метод средних, метод проб, метод выровненных точек и метод наименьших квадратов. Для оценки тесноты корреляционной зависимости служит корреляционное отношение. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее корреляционная зависимость; чем ближе к 0, тем корреляционная зависимость слабее. В случае линейной корреляции корреляционное отношение и выборочный коэффициент корреляции совпадают. Уравнение регрессии считается адекватным, если расхождение между эмпирической и теоретической линиями регрессии можно объяснить ошибками в определении условных средних, вызванных разбросом (дисперсией) случайных результатов эксперимента. В случае полной линейной корреляции возможны два вида регрессии. Выборочный коэффициент корреляции является оценкой коэффициента корреляции. . . 32