Основы квантовой коммуникации. Часть 1. Учебник магиструтара.

А.В. Козубов, А.А. Гайдаш, С.М. Кынев,
В.И. Егоров, А. Е. Иванова, А.В. Глейм,
Г.П. Мирошниченко
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ КОММУНИКАЦИИ:
ЧАСТЬ 1
Санкт-Петербург
2019
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УНИВЕРСИТЕТ ИТМО
А.В. Козубов, А.А. Гайдаш, С.М. Кынев,
В.И. Егоров, А.Е. Иванова, А.В. Глейм,
Г.П. Мирошниченко
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ КОММУНИКАЦИИ:
ЧАСТЬ 1
Учебно-методическое пособие
РЕКОМЕНДОВАНО К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ В УНИВЕРСИТЕТЕ
ИТМО
по направлению подготовки (cпециальности) 12.04.03 Фотоника и
оптоинформатика
в качестве учебного пособия для реализации основных
профессиональных образовательных программ высшего образования
магистратуры
Санкт-Петербург
2019
Козубов А.В., Гайдаш А.А., Кынев С.М., Егоров В.И., Иванова А.Е., Глейм
А.В., Мирошниченко Г.П., Основы квантовой коммуникации: часть 1. – СПб:
Университет ИТМО, 2019. – 85 с.
Рецензент: Трифанов Александр Игоревич, кандидат физ.-мат. наук, доцент
В пособии рассматриваются основные принципы и подходы к построению систем квантовой коммуникации и распределенных защищенных сетей на их основе. Приведены основные принципы формирования, передачи и регистрации
квантовых сигналов в волоконно-оптических и атмосферных каналах передачи данных. Рассмотрены базовые протоколы, подходы к обоснованию их
стойкости, методы экспериментальной реализации, представлен обзор современного состояния отрасли. Учебное пособие предназначено для студентов
Университета ИТМО по направлению подготовки 12.04.03 «Фотоника и оптоинформатика» и является методическим обеспечением курсов «Квантовые
Коммуникации и сети», «Оптические линии связи и квантовые коммуникации»
Университет ИТМО – ведущий вуз России в области информационных и фотонных технологий, один из немногих российских вузов, получивших в 2009
году статус национального исследовательского университета. С 2013 года
Университет ИТМО – участник программы повышения конкурентоспособности российских университетов среди ведущих мировых научно-образовательных центров, известной как проект «5 в 100». Цель Университета ИТМО – становление исследовательского университета мирового уровня, предпринимательского по типу, ориентированного на интернационализацию всех направлений деятельности.
 Университет ИТМО, 2019
Козубов А.В., Гайдаш А.А., Кынев С.М., Егоров В.И., Иванова А.Е., Глейм
А.В., Мирошниченко Г.П., 2019
Содержание
1 Введение
1.1 Проблемы распределения ключей для современной защиты информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Основные принципы квантового распределения ключей . .
1.3 Системы квантового распределения ключа . . . . . . . . . .
6
6
7
9
2 Протоколы квантового распределения ключа
10
2.1 Обзор основных протоколов КРК . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Протокол BB84 с поляризационным кодированием (пример) 13
3 Квантовые коммуникации по ВОЛС
3.1 Концепция квантовой сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Мультиплексирование в системах квантовой коммуникации
3.3 Квантовые коммуникации и передача данных по одному
каналу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Квантовые повторители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
18
4 Мировой уровень развития систем КРК
4.1 Квантовые сети в мире . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 DARPA (США) . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 SECOQC (Евросоюз, Швейцария) . . .
4.1.3 Swiss quantum (Швейцария-Франция) .
4.1.4 Квантовая сеть Toshiba . . . . . . . . .
4.1.5 Квантовая сеть Китая . . . . . . . . . .
4.1.6 Квантовые сети в России . . . . . . . .
4.2 Коммерческие образцы систем . . . . . . . . .
4.3 Комплексные решения на основе КРК . . . .
29
29
29
30
30
32
34
35
37
39
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Актуальные задачи развития систем квантового распределения ключа
5.1 Увеличение скорость и дальность систем квантовой коммуникации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Увеличение спектральной эффективности систем квантовой коммуникации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Разработка квантовых повторителей . . . . . . . . . . . . .
5.4 Повышение эффективности источников и приёмников одиночных фотонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
23
26
41
41
42
42
42
5.5
Разработка методов борьбы с атаками на квантовый канал, использующие несовершенство устройств (квантовый
взлом, quantum hacking) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Типы атак на системы квантового распределения ключа 44
7 Математический аппарат квантовой коммуникации
7.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Математическая интерпретация . . . . . . . . .
7.1.2 Операции над кубитами . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Теория информации . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Математическое описание квантовых каналов . . . . .
7.2.1 Общие свойства информационных каналов . . .
7.2.2 Распространение сигнала в квантовых каналах
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Квантовые коммуникации в свободном пространстве и
космосе
8.1 Первый эксперимент по передаче квантовых ключей через
атмосферный канал связи . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Квантовая коммуникация по атмосферному каналу связи
в условиях прямой видимости . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Передача запутанных фотонных пар по атмосферному каналу связи на 144 км . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Квантовая коммуникация между движущимся и наземным
объектами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Квантовая коммуникация между наземными и низкоорбитальными летательными объектами . . . . . . . . . . . . .
8.6 Квантовая коммуникация с использованием фотонов, обладающих орбитальным угловым моментом . . . . . . . .
9 Квантовые генераторы случайных чисел
9.1 Генерация случайных чисел и сферы её применения . . .
9.2 Генераторы случайных чисел на основе физических процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Квантовые генераторы случайных чисел . . . . . . . . . .
9.3.1 Квантовые генераторы случайных чисел, использующие детекторы одиночных фотонов . . . . . . . .
9.3.2 Квантовые генераторы случайных чисел, использующие детекторы одиночных фотонов с различением
числа фотонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
45
48
50
52
54
54
56
в
59
. 59
. 59
. 62
. 64
. 66
. 70
73
. 73
. 74
. 74
. 75
. 78
9.3.3
Квантовые генераторы случайных чисел, использующие классические фотодетекторы . . . . . . . . . . 78
5
1
Введение
Данное пособие рекомендовано для использования в рамках дисциплины «Квантовые коммуникации и сети» в качестве вспомогательного материала для проведения контактной работы (лекционных занятий) при
изучении раздела «Основы квантовых коммуникаций». Также пособие
рекомендовано в качестве вспомогательного материала для проведения
контактной работы (лекционных занятий) в рамках дисциплины «Оптические линии связи и квантовые коммуникации» при изучении разделов
«Физические принципы квантовой коммуникации» и «Экспериментальные подходы в квантовой коммуникации».
1.1
Проблемы распределения ключей для
современной защиты информации
На сегодняшний день вопрос защиты информации является особенно
актуальным ввиду практически полного перехода к цифровым технологиям и созданию интернета вещей. Основные методы шифрования,
используемые в настоящее время, базируются на одном очень уязвимом
допущении – вся защищенность (секретность) данных методов строится
с учетом сложности вычислительных алгоритмов, использующихся для
дешифровки сообщения, или же, другими словами, ограниченной вычислительной мощности злоумышленника. Это касается как симметричного
шифрования (например AES, DES), так и асимметричного шифрования
(например RSA). Фундаментальной задачей в разрезе шифрования является необходимость распределения ключей. Именно в этом заключается
основное отличие методов шифрования.
Главным принципом в системах симметричного шифрования является условие, что передатчик и приемник заранее знают алгоритм шифрования, а также ключ к сообщению, без которых информация представляет собой всего лишь набор символов, не имеющих смысла. В связи с
этим встает проблема распределения ключей шифрования. Для этого существует два возможных варианта: шифровать сами ключи (сейчас для
этого используются асимметричные шифры типа RSA, уязвимые для
квантовых вычислителей), или передавать ключи с помощью посыльных (и надеяться, что их никто не перехватит в пути). Оба варианта
распределения ключей не могут считаться полностью удовлетворяющими будущим требованиям обеспечения секретности, однако повсеместно
применяются в технике. В случае появления универсального квантового
компьютера потенциально возможен взлом всех современных криптосистем.
6
Идея криптографии с открытым ключом (асимметричного шифрования) тесно связана с идеей односторонних функций, то есть таких
функций 𝑓 (𝑥), что по известному 𝑥 довольно просто найти значение
𝑓 (𝑥), тогда как определение 𝑥 из 𝑓 (𝑥) невозможно за разумный срок.
Но сама односторонняя функция бесполезна в применении: ею можно
зашифровать сообщение, но расшифровать нельзя. Поэтому криптография с открытым ключом использует односторонние функции с лазейкой.
Лазейка — это некий секрет, который помогает расшифровать сообщение. То есть существует такой 𝑦, что зная 𝑓 (𝑥) и 𝑦, можно вычислить
𝑥. Например, разобрать любое устройство достаточно просто, а вот собрать его обратно задача куда более трудоемкая, однако облегчить ее
может инструкция. Стоит отметить, что собрать это устройство достаточно быстро все же принципиально возможно. Именно такой вариант
представляет собой появление квантового компьютера, который способен оперативно находить 𝑥, зная только 𝑓 (𝑥).
В связи с вышеизложенными проблемами необходимо переходить к
абсолютно новой парадигме распределения ключей, которая не будет
столь уязвима к возрастанию вычислительной мощности злоумышленника, а будет основываться на фундаментальных законах физики.
Системы квантовой рассылки ключа (КРК) гарантируют отсутствие
подслушивания в канале и используются для генерации случайных двоичных последовательностей, известных только отправителю и получателю. Эти последовательности могут быть использованы для получения
симметричных ключей, которые невозможно подобрать даже на квантовом компьютере. Таким образом, в отличие от классических методов
защиты данных, стойкость систем квантовой коммуникации не зависит
от времени и вычислительной мощности нарушителя. Квантовая коммуникация может осуществляться по любому оптическому каналу: волокну
или открытому пространству.
1.2
Основные принципы квантового распределения
ключей
В настоящее время переход на технологии, основанные на использовании
квантовых эффектов, является одним из основных трендов в современных коммуникациях и высокопроизводительных вычислениях. Во всём
мире в развитие квантовых методов передачи информации вкладываются большие ресурсы. Такой интерес вызван тем, что даже частичный
переход на квантовые технологии позволит достичь принципиально новых качеств, недоступных при использовании классических подходов.
7
Достижение качественно новых возможностей с помощью технологии квантовой передачи и обработки информации основано на законах
квантовой физики, лежащих в их основе. В качестве примеров можно
привести “мгновенную” передачу квантового состояния на расстоянии
на основе принципа запутанности (квантовая телепортация), ускорение
квантовых вычислений за счёт их неклассического параллелизма и обеспечение конфиденциальности данных в системах квантовой рассылки
ключа, основанное на неделимости квантовых объектов и невозможности их клонирования.
Устройства квантовой передачи и обработки информации используют квантовые единицы информации – кубиты, которые в отличие от
классического аналога (бита) могут находиться в суперпозиции двух состояний, т.е. при измерении обнаруживаются в любом из этих состояний.
Материальным воплощением кубита может быть любая микроскопическая физическая система с двумя состояниями.
Область квантовой передачи информации возникла на стыке нескольких областей знания, развивавшихся достаточно давно. К ним относятся фотоника, квантовая физика, информатика, теория информации и
криптография. Все задачи, относящиеся к этому направлению, можно
разбить на две категории: задачи квантовой коммуникации и тесно взаимосвязанные с ними задачи квантовых вычислений. К квантовым коммуникациям относятся разработка систем квантовой криптографии, квантовой связи (например, на основе телепортации) и построение квантовых
защищённых и вычислительных сетей. К квантовым вычислениям относят технологии обработки классической или квантовой информации и
квантовыми методами: создание квантовых логических схем и вычислительных элементов, построение квантового компьютера (процессора
и памяти) и разработка квантовых алгоритмов для него. Две области
объединяет единая технологическая база: источники и приёмники одиночных фотонов, линейные и нелинейные элементы квантовых схем.
За три десятилетия с момента, когда были предложены теоретические основы квантовой криптографии, были сформулированы алгоритмы (протоколы) манипулирования и передачи квантовых состояний и
предложены экспериментальные схемы, реализующие эти новые подходы. Однако на пути развития квантовых технологий всё еще присутствуют технологические и научные барьеры.
На сегодняшний день использование несовершенных устройств и технологий фотоники (источников излучения для генерации квантовых состояний, однофотонных детекторов, оптических волноводов для их передачи) в практических системах квантовой передачи информации оставляют значительные возможности для внедрения в них нелегитимных
8
пользователей, что существенно снижает уровень защищенности систем.
В области квантовой передачи информации существует несколько
классов возможных атаки на систему КРК. Важным параметром, по
которому делятся атаки, является внесение ошибок в квантовый канал
между отправителем и получателем. Делятся они на два типа: атаки,
вносящие ошибки в канал, и атаки с нулевой ошибкой. Если атаки, вносящие ошибку в канал, легко распознать и понять присутствие в канале
злоумышленника, то атаки с нулевой ошибкой распознать не представляется возможным. Поэтому необходимы другие методы выявления и
борьбы с подобными атаками.
1.3
Системы квантового распределения ключа
Квантовая коммуникация в широком смысле обеспечивает связь квантовых систем. Свои истоки она берет в работе С. Визнера «Сопряженное
кодирование», где показана возможность передачи информации с помощью единичных квантов света. В результате эта работа стала основой
для создания области квантовой рассылки ключей и вдохновила Ч. Беннета и Ж. Брассара на создание первого протокола квантовой рассылки
ключа.
Системы квантовой рассылки ключа (КРК), представляющие собой
наиболее развивающийся класс устройств квантовой передачи информации, позволяют осуществлять распределение ключей, которые могут
быть использованы в качестве симметричных ключей, между двумя (и
более) пользователями (Алиса и Боб). Генерация квантовых ключей происходит путём получения, передачи и обработки закодированных квантовых сигналов по определенному алгоритму (протоколу). На практике
в системах КРК в основном используются следующие характеристики
однофотонного излучения: поляризация, фаза, пространственная и временная отстройки. Системы КРК обеспечивают безусловную конфиденциальность передачи информации. В теории все возможные вмешательства в квантовый канал нелегитимного пользователя (Евы) и попытки
получить доступ к информации о ключе ведут к увеличению квантовых
ошибок по битам (QBER) в соответствии с законами квантовой физики, а именно: с принципиальной невозможностью измерения состояния фотона, с невозможность его разделить, а также скопировать. Уровень ошибок, вызванный, в том числе, прослушиванием
канала нелегитимным пользователем, может быть устранен, если значение в просеянной последовательности не превышает 11% (для протокола
BB84). В противном случае канал связи считается заблокированным. Однако в квантовой теории информации принято считать, что все ошибки,
9
вносимые в канал, вносятся как раз нелегитимным пользователем, что
значительно усложняет работу по очистке ключа.
Появление систем КРК заблаговременно предвосхитило реализацию
квантового компьютера, который потенциально обладает более высокой
вычислительной мощностью по сравнению с классическими аналогами.
Системы КРК разрабатываются исходя из принципа технологической и
вычислительной неограниченности возможностей нелегитимного пользователя, что учитывается при строгих математических доказательствах
обеспечения секретности.
В настоящее время квантовые коммуникации активно развиваются.
За последние годы был достигнут ряд выдающихся рекордных показателей. Видно, однако, что по сравнению c традиционными телекоммуникационными системами с высокой скоростью (до 100 Гбит/c) и практически не ограниченной дальностью, данные показатели в квантовых
коммуникациях пока что являются невысокими.
Большая часть работ в области квантовых коммуникации и КРК сегодня проводится уже в инженерной плоскости. Основная задача заключается в увеличении дальности и скорости. В области теоретических исследований центральной задачей является строгое математическое доказательство секретности конкретных протоколов и их экспериментальных
реализаций. На данный момент разработано несколько «классических»
подходов к анализу, но их применение к конкретным квантовым системам является иногда затруднительным. Основная проблема заключается
в расхождении идеализированной теории с особенностями функционирования реальных экспериментальных схем, что требует значительного
усложнения расчетов за счет учета различных несовершенств оборудования, потерь и т.д.
2
2.1
Протоколы квантового распределения
ключа
Обзор основных протоколов КРК
В данной главе будет приведено краткое рассмотрение основных используемых сегодня протоколов и методов КРК.
Протокол BB84 является исторически первым протоколом квантового распределения ключа, однако активно используется и сегодня из-за
своей простоты реализации и доказанной секретности, в том числе и в
коммерческих системах. Этот протокол использует четыре поляризационных попарно ортогональных состояния света в двух неортогональных
10
базисах, и для него получены строгие доказательства секретности. В системе, основанной на модифицированном протоколе четырех состояний
BB84 с введенными в него состояниями- ловушками, достигнуты рекордные параметры скорости КРК. На расстоянии 35 км она составила
2,38 Мбит/с, а на расстоянии 70 км – 52 кбит/с.
Фазовым аналогом классического протокола BB84 отчасти можно
считать протокол B92. Этот протокол использует два неортогональных
фазовых состояния света, и для него также получены строгие доказательства секретности. Одним из его преимуществ является увеличенная
скорость генерации квантовых бит по сравнению с BB84.
В качестве альтернативы BB84 протоколы DPS и COW были предложены группами экспериментаторов, которые разрабатывали системы,
применимые на практике для эффективной рассылки квантовых кодирующих последовательностей в оптических линиях связи на дальние расстояния. Достигнутые в этих системах дальности более 250 км длительное время являются рекордными. Так, например, использование системы, построенной на протоколе COW, помогло достичь дальности передачи 307 км. Преимуществами этих протоколов являются более высокая
скорость генерации просеянного ключа по сравнению с протоколом BB84
и повышенная устойчивость к атаке разделением числа фотонов для
COW. Однако для этих двух протоколов еще не выведено полное строгое
доказательство защищённости. Особенности формирования квантовых
состояний в них также требуют использования высокочастотной (более
1 ГГц) управляющей электроники. Помимо этого, в протоколе COW возникает необходимость точного контроля времени прихода импульсов.
Стоимость и конструкцию системы КРК в существенной мере определяет детектор одиночных фотонов, неудобный вне лабораторных применений. Для преодоления этого технико-экономического барьера был
предложен альтернативный способ детектирования в квантовой коммуникации – гомодинный или гетеродинный. Квантовый сигнал смешивается с высокоинтенсивным лазерным излучением на симметричном светоделителе, а затем детектируется на двух фотодиодах. Регистрируемым
сигналом для легитимного пользователя является разностный фототок.
Системы КРК, использующие в качестве приемного устройства гомодинные или гетеродинные детекторы, получили название систем на непрерывных переменных.
Однако на практике системы на непрерывных переменных не
могут достичь максимальных дальностей других систем. Для некоторых
из них также затруднительно строгое доказательство секретности.
В теории предполагается, что нелегитимный пользователь не имеет
прямого доступа к блокам отправителя и получателя. Однако потенци11
ально он может воздействовать на блоки опосредованно, а именно генерировать оптические состояния таким образом, чтобы изменить получаемые получателем после детектирования данные. Для противостояния
подобным атакам на квантовый канал необходима защита от подведения
побочного канала к детектору. Концепция такой системы КРК, независимой от измеряющего устройства (Measurement-device independent)
была предложена и развита.
Различия между идеализированным математическим описанием протокола и его физическим воплощением в виде реального устройства накладывают ряд требований к системам КРК. При их разработке необходимо учитывать поляризационные искажения в волокне, поляризационную зависимость электрооптических модуляторов, проблему юстировки
плеч интерферометров, обязательное наличие оптической синхронизации блоков и пр. Впервые эти задачи были комплексно решены в устройствах типа «Plug-and-Play» за счет двойного прохода оптического сигнала. Именно на архитектуре «Plug-and-Play» основана одна из первых
систем КРК, выпускаемая компанией idQuantique. Однако у данных систем есть и ряд недостатков, обусловленных двойным проходом излучения: в частности, наличие ограничения сверху на скорость генерации
ключей и сложности обеспечения совместимость с телекоммуникационной инфраструктурой.
С точки зрения внедрения квантовых коммуникаций в существующие
линии связи телекоммуникационного стандарта перспективным является
метод квантовой коммуникации на боковых частотах модулированного
излучения (SCW QKD). Основное отличие от аналогов заключается
в том, что в системах SCW QKD сигнал выносится на боковые частоты в результате фазовой модуляции, а не генерируется непосредственно источником. Поскольку метод предлагает лишь подход к генерации
квантовых состояний, то его уникальность заключается в принципиальной возможности использовать практически любой фазовый протокол
квантовой связи. Системы SCW обладают всеми преимуществами Plugand-play систем, однако избавлены от их недостатков, связанных с двунаправленностью схемы. Кроме того, метод SCW позволит на порядок
повысить эффективность использования полосы пропускания оптического канала связи: значение спектральной эффективности теоретические
достигает 40% (по сравнению с 2 — 4% для других типов систем КРК).
Это достигается за счет возможности передачи нескольких квантовых
каналов в окрестности сильного излучения на несущей частоте внутри
одного окна DWDM. Помимо этого, стоит отметить простоту ввода и согласования оптической фазы в этом методе, что обеспечивает высокую
видность квантового сигнала и снижает QBER. Данный метод считает12
ся наиболее перспективным с точки зрения интеграции систем квантовой
коммуникации в квантовые и оптические сети.
2.2
Протокол BB84 с поляризационным
кодированием (пример)
Протокол BB84 является исторически первым протоколом квантовой
коммуникации (1), но используется по сей день, в том числе и в коммерческих системах. Этот протокол оперирует четырьмя поляризационными или фазовыми состояниями света в двух базисах: диагональном и
вертикально-горизонтальном.
Алгоритм формирования ключей для данного протокола состоит в
следующем:
1. Участники договариваются, как будут интерпретировать каждое из
состояний фотонов (например, 0 для вертикальной поляризации, 1
– для горизонтальной в вертикально-горизонтальном базисе, аналогично для диагонального базиса)
2. Отправитель посылает отдельные фотоны получателю в произвольно выбранном базисе, используя генератор случайных чисел
3. Получатель измеряет принимаемые фотоны в выбранном произвольно базисе. В итоге у получателя будет находиться “сырая” строка битов с 25% ошибок
4. Для каждого переданного состояния получатель по открытому каналу сообщает, в каком базисе проводилось измерение, но не сообщает его результаты.
5. Отправитель сообщает, в каких случаях её базис совпал с базисом
получателя. Если базисы совпали, то бит оставляют, а если нет, то
игнорируют его.
Половина данных, соответствующая событиям несовпадения базисов,
выбрасывается, оставляя “просеянную” битовую последовательность. При
отсутствии шумов в канале связи или подслушивания у отправителя и
получателя будет находиться коррелированная строка случайных битов.
Ошибки, вызванные шумами и прослушиванием канала нелегитимным
пользователем, могут быть идентифицированы и устранены, если их количество в просеянной последовательности не превышает 11%. В противном случае квантовый канал считается блокированным. Одна из первых
13
Рис. 1 – Схема системы квантовой коммуникации с поляризационным
кодированием работающая по протоколу BB84
(1) систем квантовой рассылки ключа с поляризационным кодированием
по протоколу BB84 с четырьмя состояниями показана на рисунке 1.
Оптическая схема, реализующая данный протокол, описана далее. В
блоке отправителя находятся четыре лазерных диода, излучающих короткие импульсы. Поляризации фотонов принимают значения −45∘ , 0∘ ,
45∘ и 90∘ , при этом один лазерной диод активизируется для передачи
одного бита с соответствующей поляризацией. Далее импульсы ослабляются набором фильтров для достижения ими однофотонного уровня,
после этого фотоны отправляются к блоку получателя. В блоке получателя импульсы проходят через набор волновых пластинок, восстанавливающих исходные состояния поляризации путем компенсации изменений, внесенных волокном. Далее импульсы попадают на светоделитель, в
котором фотоны отправляются к диагональному (−45∘ , 45∘ ) или линейному (0∘ , 90∘ ) анализатору. Принятые фотоны анализируются в ортогональном базисе при помощи поляризационной светоделительной призмы
и двух лавинных фотодиодов (ЛФД). Поляризация фотонов, прошедших
через волновые пластинки, поворачивается на 45∘ (с −45∘ до 0∘ ). В то же
время остальные фотоны анализируются вторым ЛФД в диагональном
базисе.
14
3
Квантовые коммуникации по ВОЛС
3.1
Концепция квантовой сети
На сегодняшний день использование устройств и технологий фотоники
(в частности, источников ослабленного лазерного излучения для генерации квантовых состояний) в практических системах квантовой коммуникации фактически стало индустриальным стандартом. Несмотря на то,
что такой подход роднит устройства квантовой связи с традиционными
телекоммуникациями, свойства квантовых объектов (фотонов) накладывают дополнительные ограничения на параметры сигналов и передающей среды, причём не все технические проблемы могут быть решены
“традиционными” средствами. Перечислим основные особенности систем
квантовой коммуникации:
1. Квантовые каналы должны быть полностью оптическими и не допускают промежуточного преобразования сигнала;
2. Требуются специальные меры по сохранению фазы и/или поляризации квантового сигнала при его распространении по оптическому
кабелю;
3. Предельное расстояние между узлами определяется потерями в канале, так как уровень сигнала на выходе из передатчика не превышает однофотонный, а классическое усиление невозможно;
4. Блоки отправителя и получателя должны быть напрямую засинхронизированы сигналом специальной формы;
5. Передача по одному волокну классического и квантового сигналов
на разных длинах волн затруднительна из-за возникновения “шумовых” фотонов за счёт нелинейных эффектов (в первую очередь,
рамановского рассеяния).
Это объясняет, почему появление первых практических образцов систем квантовой коммуникации в условиях широкого распространения
волоконно-оптических линий связи (ВОЛС) не привело к немедленному появлению квантовых сетей. Внедрение квантовых устройств в существующие ВОЛС предполагает проведение широкого спектра научноисследовательских работ, охватывающих почти все основные области
телекоммуникаций: от разработки сетевых устройств и протоколов до
создания международных (региональных) стандартов связи. Выделим
несколько широких направлений, развивающихся в мире в настоящее
время:
15
1. Мультиплексирование в системах квантовых коммуникаций (обеспечение передачи нескольких потоков квантовых состояний от одного или нескольких источников по одному волокну)
2. Передача квантовых состояний по одному волокну с информационными сигналами (дуплексным каналом данных)
3. Разработка специальных квантовых повторителей для увеличения
предельной дальности рассылки фотонов
4. Организация сетевого взаимодействия устройств квантовых коммуникаций различных типов
5. Разработка сетевых протоколов для квантовых сетей.
Таким образом, квантовая сеть, объединяющая все перечисленные технологии, представляет собой единый комплекс сетевого оборудования,
предназначенный для передачи квантовых состояний между несколькими пользователями по сложному (составному) маршруту в ВОЛС. Квантовые сети должны обеспечивать следующий функционал:
1. Рассылку квантовых бит;
2. Обработку квантовых бит (просеивание, поиск ошибок, усиление
секретности);
3. Хранение и нумерацию побитово формируемых квантовых ключей;
4. Анализ параметров передачи (QBER, состояние канала);
5. Управление сетевыми маршрутами;
6. Интерфейс конечного пользователя и/или взаимодействия с СКЗИ.
Квантовая коммуникационная сеть в перспективе может применяться
для кодирования и защищённой передачи данных (разработка специальных алгоритмов обработки квантовых бит для этих целей в задачи данной работы не входит). В этом случае квантовая сеть становится одним
из слоёв защищённой оптической сети. Пример её принципиальной схемы
приведен на рисунке 2.
Представленная на рисунке 2 сеть имеет четыре узла КРК (А, Б,
В и Г), которые соединены квантовыми каналами через систему управляемых оптических переключателей (например, на основе МЭМС). Генерируемые КРК ключи поступают на криптомаршрутизатор (СКЗИ),
16
Рис. 2 – Принципиальная схема оптической сети с квантовым уровнем. Модули КРК выступают в качестве источников ключей для крипто
маршрутизаторов
17
который осуществляет распределение поступающих в сеть данных между локальными пользователями (показано подробно для узлов А и В) и
их защищённую передачу между удалёнными узлами по каналам сети
оператора.
3.2
Мультиплексирование в системах квантовой
коммуникации
Спектральное уплотнение каналов (WDM) — технология, позволяющая
одновременно передавать несколько информационных каналов по одному оптическому волокну на разных несущих частотах. В её основе лежит
тот факт, что волны с разными длинами распространяются независимо
друг от друга. Исторически первыми возникли двухволновые WDM системы, работающие на центральных длинах волн из второго и третьего окон прозрачности кварцевого волокна (1310 и 1550 нм). Однако в
дальнейшем стали применяться системы WDM с меньшими промежутками между каналами, например, CWDM (промежуток 20 нм, доступно
16 каналов), DWDM (промежуток менее 0,8 нм, 40 каналов), HDWDM
(промежуток 0,4 нм, не менее 64 каналов). Технологии спектрального
мультиплексирования имеют для квантовых коммуникаций не меньшее
значение, чем в классических, поскольку они позволяют не только реализовать многопользователиский режим, но и обеспечить достаточно
высокую скорость передачи квантовых бит по одному волокну (теоретически до 60 Мбит/с при современном уровне развития систем КРК и
использовании HDWDM). Существует несколько вариантов использования WDM в системах квантовых коммуникаций:
1. Мультиплексирование квантового и классического канала. Применяется для того, чтобы объединить в одном волокне передачу квантовых бит, синхронизационный сигнал, каналы данных;
2. Мультиплексирование квантовых каналов. Применяется для увеличения скорости генерации квантовых ключей или для обеспечения
их генерации для нескольких абонентов;
3. Объединение первого и второго.
Впервые мультиплексирование квантового и классического (на примере синхронизационного) канала было изучено в 1997 году. В работе (2)
приводится сравнение параметров квантовой передачи ключей со спектральным уплотнением квантового и синхронизационного канала и по
отдельным волокнам. Схема эксперимента представлена на рисунке 3.
18
Рис. 3 – Схема установки КРК. Синим и зеленым обозначены оптические
пути квантового и синхронизационного сигналов, соответственно
Из графика 4 видно, что лучшие параметры были достигнуты при передаче сигнала синхронизации по отдельному волокну, что обусловлено повышением квантового коэффициента ошибок по битам вследствие
нелинейного преобразования частоты фотонов канала синхронизации.
Мультиплексирование нескольких независимых квантовых каналов
было изучено в (3). В работе экспериментально продемонстрирована КРК
по трем параллельным каналам (на длинах волн 1549,32 нм,
1550,12 нм, 1550,92 нм) на расстояние 45 км (общие потери в системе
составили 14.5 дБ). Генерация квантовых бит успешно продолжалась в
течение 12 часов, скорость генерации просеянной последовательности достигала 1 мбит/с, а секретного – 200 кбит/сек. Использовался протокол
BB84 с состояниями-ловушками. Синхронизационный сигнал передавался по тому же волокну, в котором происходила генерация квантовых бит.
Общая схема эксперимента представлена на рисунке 5.
Детектирование квантовых ключей осуществлялось одним детектором, основанном на лавинном фотодиоде (квантовая эффективность 10
— 15%, темновой счет 1кГц) и двумя сверхпроводниковыми детекторами
19
Рис. 4 – Зависимость скорости генерации квантовых бит и ошибок от
среднего количества фотонов в импульсе
Рис. 5 – WDM уплотнение каналов в системах КРК
20
Рис. 6 – Реализация мультиплексирования в системе квантовой коммуникации на боковых частотах
Рис. 7 – Принципиальная схема устройства квантовой передачи информации на боковых частотах, содержащего 40 квантовых и 4 классических
канала
21
фотонов (квантовая эффективность 5 — 10% темновой счет 100Гц). Коэффициент квантовых ошибок для не превысил 3,5%. В таблице 1 представлены экспериментальные данные по генерации квантовых ключей в
каждом из каналов.
Также в работе отмечена возможность увеличения количества квантовых каналов в системах КРК с помощью технологии WDM. Так, например, при 8 каналах скорость по прогнозам увеличится до 1.5 Мбит/с
в линии связи с потерями в 10 дБ. В ряде работ предложена интересная
возможность мультиплексирования квантовых каналов в системах КРК
на боковых частотах модулированного излучения. В этом классе систем
квантовые состояния не излучаются непосредственно источником, а генерируются на боковых частотах спектра оптического сигнала за счёт
его фазовой модуляции. Это даёт возможность организации параллельного распределения квантовых каналов на нескольких парах боковых
частот в окрестностях одной оптической. Поскольку данная методика
может быть использована совместно с WDM, системы квантовой передачи информации на боковых частотах в перспективе позволят достичь
на порядок более высокой спектральной эффективностью по сравнению
с другими подходами и существенно повысить число квантовых каналов
в оптическом волокне.
Квантовые каналы возникают на боковых частотах при фазовой модуляции оптического сигнала с частотой 𝜔 бегущей волной с частотой Ω,
лежащей в диапазоне радиочастот ( 1 ГГц). Кодирование квантовых бит
осуществляется внесением фазовой задержки 𝜑 в радиочастотный сигнал. При использовании нескольких модулирующих частот (Ω1 < Ω2 ),
поступающих на модулятор с разных генераторов (VCO), генерируемые
квантовые каналы оказываются независимыми друг от друга, поэтому
кодируемые кубиты могут одновременно передаваться и детектироваться при использовании четырех боковых частот. Была экспериментально
продемонстрирована одновременная передача 2 квантовых и 2 классических каналов в одном оптическом волокне с использованием метода
КРК на боковых частотах. Принципиальная схема представлена на рисунке 5, схема эксперимента представлена на рисунке 6. При применении этого подхода принципиально может быть достигнута спектральная
эффективность 40%. В системе использовались частоты модулирующих
сигналов 10 ГГц и 15 ГГц, а также применялось CWDM-уплотнение.
Эксперимент ставился на линии связи длиной 11км.
В России системы КРК на боковых частотах, перспективные с точки
зрения мультиплексирования в ВОЛС, разрабатываются в Университете
ИТМО.
22
Рис. 8 – Схема эксперимента. (а) Схема мультиплексирования сигналов данных, синхронизации и квантового. (б) Квантовый передатчик.
(в) Квантовый приёмник. ЛФД – самодифференцирующиеся лавинные
фотодиоды, А – оптический аттенюатор, CWDM – грубый спектральный
мультиплексор, УПФ – узкий пропускающий фильтр
3.3
Квантовые коммуникации и передача данных по
одному каналу
Квантовые коммуникации доказали свою жизнеспособность в выделенных волокнах. В условиях отсутствия информационного сигнала в том
же волокне достигнуты скорости безопасного распределения квантовых
бит до 1 Мбит/с и дальность передачи более 250 км. На сегодняшний
день большинство экспериментов проводилось в "тёмных"волокнах. Поскольку такие волокна являются малодоступным и дорогим ресурсом,
существует реальная необходимость добиться совместного существования КРК и информационного сигнала в одном волокне. Однако все проводившиеся до недавнего времени работы ограничивалась очень низкой
битовой скоростью, малой протяжённостью волокна и/или при одностороннем обмене данными. Основное препятствие к сосуществованию квантового и информационного сигнала в одном и том же волокне исходит
от огромного различия в их интенсивностях. Каждый квантовый сигнал
содержит, как правило, около 0,1 — 1 фотона в импульсе при реализации протоколов с состояниями-ловушками с помощью ослабленного
23
Рис. 9 – Производительность КРК с дуплексным безошибочным гигабитным каналом передачи данных. (а) Вычисленные (линии) и измеренные
(маркеры) значения скоростей генерации квантовых ключей в зависимости от длины волокна. (б) Вычисленные (линии) и измеренные (маркеры)
значения QBER. Также пунктирной линией показано значение QBER без
вклада канала данных
24
лазерного излучения, в то время как импульс информационного лазера может содержать 106 фотонов и более для гигабитного канала. Хотя
передаваемые этим лазером данные могут быть легко отфильтрованы
с помощью мультиплексирования по длине волны, вторичные фотоны,
появляющиеся при рамановском и нелинейном взаимодействии с волокном, невозможно отсеять полностью из-за их спектрального перекрывания с квантовым сигналом. Спектральное удаление квантового канала
от информационных способно уменьшить перекрывание. Однако в таких системах квантовый канал, как правило, находится в полосе частот
порядка 1310 нм или менее (менее 1 мкм). Потери в оптическом волокне
для этих длин волн значительно выше, что ещё сильнее ограничивает
дальность КРК и скорость генерации. Другие общепринятые методы отсекания шумовых фотонов включают снижение интенсивности лазера
в канале данных и спектральную фильтрацию. Также было показано,
что использование промежутков между импульсами данных позволяет
подавить рамановские фотоны, рассеивающиеся при совместном распространении импульсов.
Используя новый принцип пространственной фильтрации, в работе
(4) демонстрируется КРК в присутствии передачи данных по двунаправленному безошибочному гигабитному каналу, причём битовая скорость
в защищённом канале более чем на три порядка превышает достигнутую
ранее. На рисунке 8(а) показана схема эксперимента, проведённого авторами. Две передающие информацию стороны (Алиса, рисунок 8(б), и
Боб, рисунок 8(в)) соединены одним волокном. На каждой стороне имеются три подсистемы для передачи данных, рассылки квантовых бит и
синхронизации. Квантовый и синхронизационный каналы являются однонаправленными, в то время как канал данных формируется симметричным двунаправленным гигабитным соединением, запущенным с типичным значением скорости синхронизации 1,25 Гб/с. Эти каналы мультиплексируются с помощью грубого мультиплексирования по длине волны (CWDM) для передачи их по одному волокну. CWDM вносит потери
0,5 — 1 дБ в полосах пропускания с центральными длинами волн 1551,
1571, 1591 и 1611 нм. Волоконная линия сделана из волокна со смещённой
дисперсией, обладающего низкой хроматической дисперсией 4 пс/нм*км
и измеренными потерями 0,2 дб/км на длине волны 1550 нм. Чтобы минимизировать потери при квантовой рассылке, полоса CWDM 1551 нм
была отведена квантовой подсистеме.
Для минимизации влияния рамановских “шумовых” фотонов в системе КРК детектирование может ограничиваться узкими временными окнами (гейтами). В дополнение к временной фильтрации в работе используются и другие общепринятые техники для подавления рамановского
25
шума. На первом этапе помещается узкий пропускающий спектральный
фильтр (NBF) перед квантовым приёмником, как показано на рисунке
8(а). Следующий шаг состоит в том, чтобы снизить мощность лазеров
в каналах данных с помощью оптических аттенюаторов так, чтобы она
соответствовала чувствительность фотоприёмников. Достигнутая авторами скорость генерации квантовых бит в присутствии дуплексной безошибочной передачи данных со скоростью 1,25 Гбит/с составила 935 и
507 кбит/c на 35 и 50 км волокна соответственно (Рисунок 9). Значение
коэффициента квантовых ошибок по битам (QBER) при этом не превышало 5
По сравнению с предыдущими демонстрациями, в работе (4) были
достигнуты не только значительно большие длины линии связи, но и
на порядки более высокие скорости генерации квантовых бит. Полагаем, что этот результат окажет большое влияние на развитие КРК и будущее разворачивание КРК в сетях. Во-первых, продемонстрированная
дальность 90 км превышает оптимальную протяжённость топологически оптимизированной квантовой сети и длиннее всех каналов, продемонстрированных сегодня в квантовых сетях. Во-вторых, достигнутая
дальность является достаточной для большинства каналов в городских
сетях. В частности, она является достаточной для использования в «умных городах», где типичная длина канала составляет 30 — 80 км. Втретьих, система КРК способна поддерживать трафик 10 Гбит Ethernet,
что необходимо для создания дешёвых, надёжных и простых в установке и эксплуатации решений. Для каналов данных 10 Гбит/c предельное расстояние снизится до 65 км из-за более низкой чувствительности
приёмников на этих скоростях . Тем не менее, длина линии превышает 40 км, максимальную протяжённость волокна, определяемую одним
из стандартов 10 Гбит Ethernet. Обладая поддержкой 10 Гбит Ethernet,
КРК получит возможность плавно интегрироваться в важные информационные инфраструктуры.
3.4
Квантовые повторители
Распределение квантовых состояний на большие расстояния, очевидно,
является важным аспектом для настоящих и будущих приложений в
областях квантовых технологий, таких как квантовые коммуникации и
квантовые сети. Протяженные квантовые каналы в виде оптического волокна или свободного пространства подвержены декогеренции и вносят
значительные потери. Это ограничивает дальность передачи квантовой
информации путем отправки фотонов. Тем не менее наиболее существенным фактором является поглощение оптического излучения в волокне
26
(0,2 дБ/км для длины волны 1,55 мкм). Ввиду экспоненциальной зависимости потерь от длины волокна именно они становятся определяющим фактором ограничения дальности систем квантовых коммуникаций. В классической телекоммуникационной инфраструктуре эту проблему решают с помощью усилителей (или иначе повторителей). Однако
непосредственной усиление квантового сигнала невозможно ввиду одного из основных квантовых принципов – теоремы о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния из набора неортогональных базисов. Эту проблему можно решить, используя альтернативный
подход, основанный на принципах квантовой запутанности, известный
как «квантовый повторитель». Примечательной особенностью квантового запутывания является то, что его можно «передать». Однако создание
запутанной пары состояний, разнесённых на большое расстояние, является затруднительным. Одним из решений выступает идея квантового
повторителя и состоит в том, что запутанность на большом расстоянии
может быть «передана» через цепь более близких запутанных пар, как
показано на рисунке 10.
Одним из важных условий описанного подхода является необходимость заранее точно знать, когда запутанность будет установлена. Наиболее очевидным решением проблемы будет являться создание запутанности локально между двумя системами (фотонами) и дальнейшее их
разведение на дальнее расстояние. Однако элементарные участки линии
передачи будут порядка сотен километров для реалистичных протоколов, что соответствует низким пропускным способностям (10−2 ) таких
каналов. Важным фактором является и то, что необходимо детектировать фотон без разрушения запутанности, что является весьма трудной
практической задачей. Существует создания запутанности «сразу на расстоянии», не локально. Например, запутанность между атомами A и B
может быть создана детектированием фотона, которые мог испустить
любой из этих двух атомов. Детектирование же фотона служит сигналом
того, что запутанность установлена. Другим важным условием работы
протокола квантового повторителя является возможность хранения запутанности в элементарном участке линии связи достаточно долго – до
того как установится запутанность с соседним элементарным участком.
Полученная запутанность более высокого уровня, в свою очередь, должна также сохраниться до момента запутывания с соседним участком.
Таким образом, квантовому повторителю необходима квантовая память.
В случае недоступности квантовой памяти возможна схема одновременного спутывания всех участков линии передачи; такой метод называется
«квантовое реле». Такой подход не решает проблему потерь в волокне, но
помогает преодолевать проблему темновых отсчетов детекторов. Один
27
Рис. 10 – Принцип квантового повторителя. Для того, чтобы распределить запутанность на большое расстояние между пунктами A и Z, необходимо выполнить следующие шаги: (a) Запутанность создается независимо в коротких элементарных участках линии передачи, между A и B,
C и D, . . . , W и X, Y и Z. (б) Запутанность передается между двумя соседними элементарными участками линии передачи таким образом, что
пункты A и D, . . . , W и Z становятся запутанными. (в) Передача запутанности выполняется далее последовательно с увеличением дальности
до достижения необходимой длины и соответственно пунктов A и Z. QM
– квантовая память, пунктирные стрелки показывают запутанность
28
из наиболее успешных подходов к реализации квантовых повторителей
является DLCZ протокол. Авторы показывают, как выполнить все представленные выше требования, используя атомные ансамбли как квантовую память и линейную оптику совместно с технологией различения
одиночных фотонов для выполнения всех заявленных операций. Использование атомных ансамблей как альтернатива одиночным квантовым системам, таким как одиночные атомы, в качестве квантовой памяти было
мотивировано тем, что коллективные эффекты, относящиеся к большому числу атомов в ансамбле, позволяют добиться более сильного и более
контролируемого взаимодействия памяти и фотонов, которые выступают в роли переносчиков информации на большие расстояния. Статья, в
которой впервые освещается протокол DLCZ, породила череду довольно
успешных экспериментов, основанных на применении атомных ансамблей, линейной оптики и детектировании одиночных фотонов. Недавно
предложен принцип нового квантового повторителя, который основан
на элементах фотоники и не использует квантовую память. Однако на
сегодняшний день коллективам, развивающим идею протокола DLCZ,
несмотря на экспериментальные успехи в области квантовой памяти, так
и не удалось осуществить экспериментально передачу состояния фотонов
по линии связи через квантовый повторитель, и работа в этом направлении продолжается.
4
4.1
4.1.1
Мировой уровень развития систем КРК
Квантовые сети в мире
DARPA (США)
Начиная с начала 2000-х, DARPA (американское агентство передовых
оборонных исследовательских проектов) начало спонсирование проекта
развития квантовой сети с целью реализации безопасной связи. В результате разработок в лаборатории BBN Technologies в октябре 2003 года
была создана первая в мире квантовая сеть. В июне 2004 года она была
расширена и с тех пор работает на шести узлах, связывающих при помощи волоконных телекоммуникаций Гарвардский университет, Бостонский университет и BBN Technologies. На втором этапе были запущены
еще четыре узла сети, таким образом, в общем итоге в данной сети планировалось использование не менее десяти узлов КРК. Точные параметры
сети DARPA на сегодняшний день из открытых источников неизвестны.
Данная квантовая сеть поддерживала несколько различных технологий
29
КРК, в том числе основанных на использовании фазовой модуляции лазерного излучения, запутанности и КРК по открытому пространству.
4.1.2
SECOQC (Евросоюз, Швейцария)
В 2004 году коллективами нескольких лабораторий Евросоюза был запущен, а уже в 2008 продемонстрирован проект SECOQC. Данная квантовая сеть состоит из 6 узлов (модулей) со средним расстоянием между
ними 25 км (максимальная дальность 83 км). Генерация квантовых бит
проводилась со скоростью 10 кбит/с, коэффициент квантовых ошибок
составлял не более 2,6%. Проект объединил более 40 научных организаций и промышленных предприятий. В число задач проекта входила разработка сетевых протоколов для функционирования различных систем
квантовой коммуникации и и их взаимодействия с сетевым оборудованием. Несомненным достижением явилось объединение наиболее перспективных разработок в области квантовой коммуникации в единую сеть:
в проекте использовались plug-and-play системы, системы на непрерывных переменных, системы с временным кодированием и один канал для
открытого пространства. На рисунке 11 представлена топология сети.
Узлы BRT, ERD, CUD, FRM и SIE находились непосредственно в Вене,
в помещениях компании Siemens, в то время как узел STP находился в
городе Санкт-Пёльтен, который находится на линии связи между Веной
и Мюнхеном. Все модули отправителя и получателя были расположены
в 19-дюймовых стойках. Каждый модуль решал следующие задачи:
1. Генерация ключей в квантовых каналах между устройствами КРК
(Квантовый уровень, Q3P);
2. Определение оптимального пути между двумя произвольными узлами сети, соединенными квантовыми каналами (Сетевой уровень,
QKD-NL);
3. Транспорт квантовых бит по этому пути (Транспортный уровень,
QKD-TL)
4.1.3
Swiss quantum (Швейцария-Франция)
Следующим этапом разработки квантовых сетей в Европе стал запуск
сети SwissQuantum (2009-2011), состоящей из трёх узлов. Битовая скорость генерации квантовых ключей составила 0,9 кбит/c при коэффициенте квантовых ошибок 2%. В сети продемонстрирована рассылка квантовых бит и передача информации в сложной сетевой инфраструктуре и
30
Рис. 11 – Топология и географическое расположение сети SECOQC.
Пунктирные линии обозначают классические каналы, сплошные – квантовые
31
продемонстрирована долгосрочная – полтора года – работоспособность
систем квантовой коммуникации в операционной среде. Сеть состояла
из узлов, находящихся в университете Женевы, ЦЕРНе и высшей школе строительства и архитектуры в Женеве. Квантовый уровень состоит
из трех квантовых каналов между устройствами КРК, расстояние между устройствами, находящимися в Женеве, составляло 3,7 км, а между
устройствами в ЦЕРН и Женеве, порядка 15 км. Как и сеть SECOQC,
сеть SwissQuantum состояла из трех уровней: квантового, управляющего
и уровня приложений. Квантовый уровень состоял из трех линий связи «точка-точка». Каждая линия реализована с помощью специально
настроенных коммерчески доступных систем КРК фирмы idQuantique.
Эти приборы относятся к классу plug-and-play систем КРК с фазовым
кодированием, в которых для компенсации поляризационных искажений
сигнала в волокне используется схема с обратным проходом квантового
сигнала по линии связи после отражения от зеркала Фарадея. Системы КРК в этой квантовой сети могли использовать протоколы BB84 и
SARG, которые различаются лишь при процедуре просеивания квантовых кодирующих последовательностей. Протокол SARG является более
стойким к атакам с разделением пучка фотонов, следовательно, он более эффективен для больших расстояний между узлами сети. Обработка
ключей выполнялась в 3 этапа: коррекция ошибок, усиление секретности
и аутентификация по классическому каналу связи. Дистилляция проходила каждый раз после заполнения буфера (1,25 - 1,75 миллионов бит
после просеивания). Коррекция ошибок была реализована с помощью
каскадного алгоритма. Сырая последовательность квантовых бит была разделена на блоки по 8192 бит, которые корректировались друг за
другом. Усиление секретности выполнялось с помощью универсальных
хэш-функций, предложенных Кравчуком. Аутентификация происходила
по схеме Вегмана-Картера. Генерация квантовых бит и их дистилляция
проходили последовательно: 4 - 5 минут на сеанс передачи, 1 минуту на
дистилляцию.
4.1.4
Квантовая сеть Toshiba
Toshiba является одной из крупнейших коммерческих компаний, научное
подразделение которой активно занимается квантовыми сетевыми технологиями. В качестве основной цели проекта авторы заявляют демонстрацию сервисов безопасной передачи данных, основанных на методах
квантовой коммуникации по оптической сети. Так, были впервые продемонстрированы защищённая квантовыми методами передача видеосигнала и мобильная телефония. Сеть включает 6 узлов, объединяющих 6
32
различных реализаций систем КРК. Расстояния между узлами составляли от 1 до 90 км. На расстоянии 45 км битовая скорость генерации
квантовых ключей составляет до 1 Мбит/c при коэффициенте квантовых ошибок 3%, что позволило впервые использовать квантовое шифрование для кодирования передаваемого в реальном времени видеопотока.
С точки зрения организации сетевого взаимодействия сеть использует
опыт проекта SECOQC. В сети Toshiba работы по обеспечению функционирования квантовой сети ведутся в течение длительного периода,
а также исследуются практические аспекты использования квантовых
ключей для безопасной передачи информации. За 34 дня работы устройствами КРК было сгенерировано 875 Гбит данных со средней скоростью
301 кбит/с. Компания Toshiba проводит исследования в области отработки сетевого взаимодействия систем квантовых коммуникаций для обеспечения безопасной передачи данных в пассивных оптических сетях (PON)
в присутствии каналов передачи данных. Известно, что многие развивающиеся приложения PON, такие как умные сети электроснабжения или
системы электронной медицины, нуждаются в лучшей системе защиты
данных в PON ввиду возможных катастрофических последствий взлома
таких систем. В работе показано, как слабые квантовые сигналы могут распределяться совместно с данными, передаваемыми по стандарту
GPON. Исследуется квантовая сеть с 9 узлами, где в сеть PON добавлен
квантовый канал методом мультиплексирования по длине волны. В рамках проекта продемонстрирована успешная фильтрация шумовых фотонов, генерируемых за счёт обратного рамановского рассеяния в ВОЛС
классических информационных каналов PON. Временная и спектральная фильтрация оказалась эффективной мерой подавления рамановского шума в случае стандартного соединения КРК “точка-точка” в существующих телекоммуникационных оптических волокнах. Рисунок 12 схематично иллюстрирует экспериментальную установку. Восемь рабочих
станций были соединены через пассивный оптический разделитель 1 к 8
с терминалом оптической линии связи (ТОЛ). Квантовые передатчики
(Алисы) интегрированы в рабочие станции, а приемник (Боб) располагается на стороне ТОЛ. Информационные сигналы в оптической сети
передавались в дуплексном режиме на длинах волн 1490 нм и 1310 нм,
квантовый канал – 1550 нм, сигнал синхронизации – 1610 нм. Между оптическим разделителем и ТОЛ протянуто 4,4 км оптического волокна, а
полное расстояние передачи составляет порядка 20 км.
33
Рис. 12 – Схема объединения систем КРК и PON. Сеть состоит из пассивного оптического делителя (passive splitter), соединенного промежуточным волокном длиной 4,4 км с приёмным узлом (OLT)
4.1.5
Квантовая сеть Китая
Главный проект в сфере квантовых технологий в Китае — национальная
квантовая сеть Пекин - Шанхай протяженностью 2000 километров 13. На
данный момент этот проект по амбициозности готов соперничать с американской квантовой сетью. Оценочная стоимость проекта составляет 15
млн. долл. на 10 000 пользователей. Организаторы проекта — китайская
Академия наук и Научно-технический университет Китая. Проект стартовал в 2011 году.Первыми были соеденины три города: Хэфэй, Чаоху
и Уху. В окрестностях г. Хэфэй находилось пять узлов, в окрестностях
Уху находилось три узла, еще один был расположен в Чаоху таким образом, что шесть узлов находятся на северном побережье реки Янцзы,
а еще три – на южном. В системах КРК, формирующих сеть, используется протокол BB84 в комбинации с состояниями-ловушками . В данной
квантовой сети были впервые апробированы новые схемы оптических
соединений на основе активных и пассивных элементов, реализующих
внутри квантовых подсетей соединения “все со всеми”. В одном из сегментов сети была экспериментально апробирована методика организации
соединений “один-ко-многим” в квантовом канале на основе оптического
переключателя.
34
Рис. 13 – Магистральная квантовая сеть Китая (на 2017 год)
4.1.6
Квантовые сети в России
Квантовые сети в России создаются и развиваются четырьмя научными
центрами. В Санкт-Петербурге специалистами Университета ИТМО была создана первая в РФ квантовая линия связи в городской инфраструктуре. В Казани совместно специалистами КНИТУ-КАИ им. Туполева и
Университета ИТМО была создана первая в СНГ многоузловая квантовая сеть. В Москве проблематикой также занимаются МГУ (создана
первая в РФ квантовая линия связи между городами в Московской области на сетях ПАО "Ростелеком"и Российский квантовый центр (создана
первая межбанковская квантовая линия связи)
Проекты Университета ИТМО были инициированы в период между
35
Рис. 14 – Георграфическое расположение квантовых сетей на карте РФ
2014 и 2018 годами в сотрудничестве с исследовательскими центрами и
коммерческими компаниями. Их результатом является запуск четырёх
квантовых сетей в трех российских городах. Расположение этих квантовых сетей представлено на рисунке 14. Исторически первая российская
квантовая сеть была запущена в 2014 году, когда квантовая линия соединила два здания в Санкт-Петербурге. Была продемонстрирована скорость генерации просеянного ключа более 1,2 Мбит/с в канале 1,63 дБ.
Первая многопользовательская сеть ККБЧ, которая позволила продемонстрировать долгосрочную стабильность нескольких устройств, является результатом сотрудничества между Казанским квантовым центром
КНИТУ-КАИ им. Туполева, Университетом ИТМО и телекоммуникационным оператором ПАО «Таттелеком». Сеть соединяет четыре узла в
Казани: два здания КНИТУ-КАИ и два офиса Таттелеком. Типичные
скорости генерации ключей составили 20 кбит/с (в каналах с потерями
10 дБ) при использовании однофотонных детекторов на основе лавинных
фотодиодов. Третья квантовая сеть ККБЧ была запущена в ноябре 2017
года в Самаре в сотрудничестве с компанией «Открытый код», чтобы
экспериментально продемонстрировать новый подход к управлению гибридной (квантово-классической) безопасной сетью на основе парадигмы
программно-конфигурируемых сетей (ПКС). Сеть включала три узла,
36
соединенные двумя сегментами. В штатном режиме узлы 1 и 3 поддерживали квантово-зашифрованное соединение через доверенный узел 2.
В случае компрометация канала ККБЧ квантовые ключи отбрасывались
и сигнал о неисправности отправлялся контроллеру ПКС. Контроллер
был настроен так, чтобы при отказе квантовой подсистемы автоматически переключать сеть на классические методы шифрования (SSL). Когда
работа квантового канала восстанавливалась, сеть автоматически возвращалась в «квантово-защищённое» состояние. Полученные результаты
важны для эффективного управления будущими многопользовательскими квантовыми сетями, которые должны быть масштабируемыми, динамически регулируемыми и не требовать вмешательства пользователя во
время их нормального функционирования.
В марте 2018 года еще одна трехузловая сеть ККБЧ в Санкт- Петербурге соединила офисы производителя телекоммуникационного оборудования «Супертел», Научно-исследовательского института «Масштаб» и
Технопарка Санкт-Петербурга. Эта сеть будет использоваться в качестве
тестового стенда для разработки гибридных сетевых систем.
Следующим этапом в инициативе квантовой сети Университета ИТМО является масштабирование линий ККБЧ от городского до национального и международного уровней. В 2017 году телекоммуникационный провайдер АО «СМАРТС» и Университет ИТМО начали проект,
посвященный разработке сетей распределенных центров обработки данных с квантовой защитой. Эти результаты лягут в основу магистральных
линий КК в России, которые станут связующим звеном между европейской и китайской квантовой инфраструктурой.
4.2
Коммерческие образцы систем
Мировой рынок коммерчески доступных систем квантовой коммуникации фактически формируют три компании: Qasky, Китай , QuantumCTek,
Китай и ID Quantique, Швейцария. Данные фирмы представляют на
рынке спектр продукции связанной с квантовой криптографии: от отдельных составных частей (источники и приемники одиночных фотонов,
генераторы случайных чисел) до конечных устройств квантовой криптографии (поставляются для исследований и разработок, находятся на
стадии сертификации) В настоящий момент компания ID Quantique является лидером рынка и предлагает два типа систем квантовой криптографии: на основе двунаправленной схемы (Plug and play) и когерентной однопроходной (COW). Безопасность протокола последней в настоящий момент является недоказанной. Устройства рассчитаны на работу в
городских сетях волоконно-оптических сетях и предоставляют возмож37
ность генерации квантовых ключей шифрования на расстояниях 70 км.
Устройство выполнено в виде модулей для серверной стойки стандарта 19”, могут применяться в корпоративных сетях. Опционально может
быть приобретен совместимый шифратор.
Компания Qasky (Китай) производит решения для государственных, в
том числе силовых структур, продукция на открытом рынке не представлена. Ведется работа по доработке образцов и сертификации
Компания QuantumCTek в 2018 году представила линейку устройств для
городских сетей: системы генерации ключей, совместимые коммутаторы,
устройства телефонии и т.д.
В настоящий момент производители квантовой криптографии наиболее
активно работают в следующих направлениях преимущественно на национальных рынках:
1. Банки и финансовый сектор (компании ID Quantique, QuantumCTek)
2. Государственный сектор (ID Quantique, Qasky)
3. Объекты критической инфраструктуры (QuantumCtek)
4. Центры обработки данных (ID Quantique, QuantumCtek)
Совокупный рынок квантовой криптографии в 2018г. оценивается
объемом 845 млн. долл. По открытым данным, объем закупки оборудования квантовой криптографии в Китае в 2017 г. составил 50 млн. долл,
2018 составляет 100 млн.долл. (около 1000 устройств в год) и продолжает расти. Оборудование установлено в крупнейших банках Китая (Сhina
banking regulatory commission, The People’s bank of China, Industrial and
Commercial bank of China, Bank of Communications и др., финансовых
компаниях (Hua-An Fund, CIB FINTECH), сервисных компаниях в области безопасности (Orient Securities) и др. Поставки производила компания QuantumCTek. На основе продукции компании создана квантовая
сеть Китая, суммарная протяженность составила 6000 км. Продукция
компании ID Quantique эксплуатируется пятеркой крупнейших банков
Швейцарии. Строятся магистральные сети в США совместно с компанией Battelle. Информация об объемах продаж публично не представлена.
Капитализация компании в настоящий момент составляет около 150 млн.
долл. США Компания Toshiba демонстрирует свои решения на тематических конференциях. Запущен полигон сети, однако на открытом рынке
решения не представлены. В России на рынке доступны решения компаний Кванттелеком (Университет ИТМО) и Q-Rate (Российский квантовый центр). На рисунке 15 представлено сравнение решений в области
квантовой связи, представленных на рынке в настоящий момент.
38
Рис. 15 – Основные параметры коммерчески доступных систем квантовой криптографии
4.3
Комплексные решения на основе КРК
Поскольку скорость генерации квантовых ключей остаётся относительно
невысокой, на практике они используются не непосредственно для шифрования данных, а как источник "зёрен"для обновления ключей СКЗИ. Это позволяет "на лету"обновлять ключи шифрования в криптомаршрутизаторах с частотами до нескольких раз в минуту (то есть в
много раз чаще, чем установлено стандартами в области безопасности,
в том числе российскими). Таким образом реализуются гибридные комплексы с квантово-классической защитой информации. На сегодняшний
день можно выделить следующие гибридные решения:
1. Ethernet шифраторы серии "Centauris"производства компании
idQuantique (Швейцария). Эта серия устройств обеспечивает шифрование сетевого трафика со скоростями от 0,1 до 10 Гбит/с с
применением ключей AES 128/256 бит. Генерация и распределение
"классических"ключей обеспечивается квантовыми методами: с помощью квантовых генераторов случайных чисел и систем квантовой рассылки ключей, производимых той же компанией. Скорость
генерации квантовых ключей составляет не менее 1,4 кбит/с (50
км), предельная дальность 100 км.
2. Шифратор трафика "Quantum SSLVPN"компании QuantumCTek
(Китай) [5], основанный на комбинации квантовых ключей с протоколом SSL для создания квантово-стойких VPN-туннелей. Скорость генерации квантовых ключей составляет не менее 80 кбит/с
(50 км), предельная дальность 130 км.
39
Продукция ID Quantique позиционируется как решения для средних
крупные корпоративные сети. Стоимость систем квантового распределения ключа при поставке в Россию составляет около 200 тыс. долл. США.
Компания QuantumCTek ведёт продажи оборудования в интересах компании CAS Quantum Network, выступающей оператором квантовой сети Китая, предоставляющего услуги широкому кругу пользователей. В
линейке продукции компании представлено около 12 устройств, обеспечивающих интеграцию с корпоративными сетями и сетями операторов
связи, в том числе L2/L3 маршрутизаторы, коммутаторы с разным числом портов, системы телефонии и пр. Информация о выручке по источникам в открытых источниках не представлена. Стоимость устройств
распределения ключа составляет около 100 тыс. долл. США.
40
5
Актуальные задачи развития систем
квантового распределения ключа
Прогресс в области квантовой коммуникации существенно ограничивается из-за существования большого количества научно-технических барьеров. Большинство из них напрямую связано с квантовыми свойствами
носителей информации – то есть недостатки квантовых систем проистекают из того же источника, что и их преимущества над классическими.
Другой блок проблем, возникающих в экспериментальных реализациях, связан с несовершенством применяемого оборудования и технологий.
Рассмотрим основные трудности, на преодоления которых в настоящее
время направлены усилия коллективов во всём мире.
5.1
Увеличение скорости и дальности систем
квантовой коммуникации
Сравнивая параметры систем классических коммуникация (скорости до
100 Гбит/с и условно неограниченная дальность за счет повторителей) с
лучшими квантовыми аналогами, становится очевидным значительный
разрыв в их характеристиках. Основными причинами такого разрыва
являются вероятностный характер измерений в протоколах КРК, низкая эффективность детекторов фотонов и необходимость поддерживать
энергию излучения в квантовом канале на однофотонном уровне.
Потери в оптическом волокне растут экспоненциально с увеличением его длины. Поэтому, когда в волокне распространяются сигналы с
энергией порядка энергии одиночных фотонов, крайне сложно добиться высоких дальностей передачи данных. На сегодняшний день лучшие
лабораторные образцы систем КРК едва преодолели порог дальности
300 км при скоростях порядка 1 бита в секунду. Таким образом, в условиях отсутствия квантовых повторителей потери также ограничивают
скорость передачи. В результате существенно возрастают требования к
скорости и точности работы управляющей электроники в блоках отправителя и получателя систем КРК. На сегодняшний день в квантовых
коммуникационных системах их технологические пределы находятся на
уровне нескольких гигагерц. Отметим при этом, что современный уровень развития технологий позволяет осуществлять обмен квантовой информации с Земли на спутник, так как потери оптического излучения в
атмосфере малы.
Однако малая скорость генерации ключей может быть скомпенсирована относительно нечастой сменой ключа в симметричных шифрах.
41
Это позволяет виртуально увеличить скорость передачи зашифрованных
данных.
5.2
Увеличение спектральной эффективности систем
квантовой коммуникации
Другой актуальной задачей в квантовой коммуникации является решение проблем малой спектральной эффективности систем квантовой связи. Действительно, рекордные значения скорости квантовой связи на
расстоянии 50 км не превышают 1 - 2 Мбит/с. Использование DWDMмультиплексирования 40 таких каналов гипотетически позволит развить
скорости до 80 Мбит/с в одном волокне. В то же время стандартом связи
в системах оптических коммуникаций является 10 Gbit Ethernet. Таким
образом, спектральная эффективность использования полосы пропускания оптического канала составляет не более 4 - 8%. При этом сегодня
ожидается переход на стандарт 100 Gbit Ethernet. Как отмечалось выше,
одним из возможных способов повышения спектральной эффективности
является использовании систем квантовых коммуникаций на боковых
частотах модулированного излучения.
Несмотря на то, что большинство систем подвержены данному изъяну, разрабатываются системы, способные предоставить на порядок более эффективное использование рабочей спектральной зоны, например
со спектральной эффективностью до 40%.
5.3
Разработка квантовых повторителей
Как уже упоминалось, на разработку квантовых повторителей направлены большие усилия, так как их отсутствие является центральным ограничивающим фактором в квантовых коммуникациях. Основные трудности в этом направлении связаны с отсутствием эффективной квантовой
памяти и декогеренцией фотонов.
5.4
Повышение эффективности источников и
приёмников одиночных фотонов
Несмотря на то, что квантовая оптика имеет более длительную историю,
чем квантовая информатика, источники и приёмники одиночных фотонов пока не достигли предела своих возможностей. Как правило, при создании источников разработчикам приходится искать компромисс между быстродействием устройств, равномерностью свойств излучения и
42
«чистотой» квантовых состояний. Так, в большинстве экспериментов по
КРК используется ослабленное лазерное излучение, поскольку сегодня
ещё не созданы источники фотонов, работающие на частотах в несколько
сотен мегагерц. Лучшие приёмники фотонов, одновременно обладающие
низким уровнем темновых отсчётов ( 10 Гц), малым джиттером (100 пс)
и высокой скоростью счёта (до 1 ГГц), основаны на сверхпроводниковых
технологиях и требуют поддержания температур порядка 2 К, что является неудобным при эксплуатации систем квантовых коммуникаций вне
лабораторных условий и увеличивает их стоимость. Кроме того, их квантовая эффективность сильно взаимосвязана с уровнем темновых отсчётов и при оптимальном соотношении составляет всего порядка 10 - 20%.
Недавно была опубликована работа, в которой описывается лавинный
фотодетектор со схожими характеристиками, но более приспособленный
для практических применений.
5.5
Разработка методов борьбы с атаками на
квантовый канал, использующие несовершенство
устройств (квантовый взлом, quantum hacking)
В теории системы КРК способны обеспечивать безусловную безопасность передаваемых и их помощью данных. Однако на практике эти
системы имеют различные уязвимости, причём их особенности напрямую зависят от архитектуры и используемого оборудования. Например,
был продемонстрирован «взлом» коммерческой системы КРК фирмы
idQuantique с помощью ослепления детектора сильными лазерными импульсами. Несмотря на то, что эта уязвимость была впоследствии ликвидирована, этот эксперимент открыл широкую дискуссию о надёжности
практических методов квантовой криптографии. На сегодняшний день
известны атаки на фотодетекторы, модуляторы (troyan horse), источники
и другие компоненты КРК.
Следует также упомянуть, что при анализе стойкости квантовых коммуникационных систем все регистрируемые пользователями ошибки
(QBER) принято относить к действиям злоумышленника. По этой причине QBER в современных системах остаётся достаточно высоким (1 2% при предельном значении 11%).
43
6
Типы атак на системы квантового
распределения ключа
Рассматривая системы квантового распределения ключа, необходимо
помнить, что оборудование легитимных пользователей не является идеальным, как и было показано в предыдущих главах, в то время как безусловная надежность предполагает отсутствие каких-либо ограничений
для злоумышленника. В то же время необходимо помнить, что возможности нелегитимного пользователя никак не ограничены технологически, единственным ограничением выступают сегодняшние законы физик, которые нельзя нарушать. Это существенно осложняет работу по
обеспечению надежности передачи квантовых бит, ибо необходимо держать в уме не только существующие сегодня технологии взлома систем
квантовой коммуникации, но и все возможные, которые могут появиться
в будущем. Злоумышленник может предпринимать различные действия
для того, чтобы узнать квантовую битовую последовательность (или же
какую-то её часть). Совокупность любых действий нелегитимного пользователя, приводящих к получению квантовой битовой последовательности, называется атакой. Существует три основные категории атак,
которые нелегитимный пользователь может провести на систему КК: индивидуальные, коллективные и общие (когерентные).
Индивидуальные атаки являются наиболее простым классом атак
на систему квантовой коммуникации. Их основными свойствами являются: во-первых, воздействие на каждую квантовую систему (фотон),
следующую от Алисы к Бобу, по отдельности и производя одинаковые
действия, во-вторых, измерение последовательности фотонов до стадии
просеивания ключа и оглашения базисов. Самой известной является атака «перехват-пересылка» (intercept-resend). Стоит отметить, что подобный класс атак не является наиболее критичным для систем квантовой
коммуникации.
Второй класс атак включает коллективные атаки, которые по принципу действия достаточно схожи с индивидуальными атаками. Основное
отличие — нелегитимному пользователю не обязательно производить измерения до стадии просеивания квантовых ключей и объявления базисов. Злоумышленник имеет возможность хранить фотоны в квантовой
памяти и провести измерения после стадии просеивания квантовых ключей, что существенно осложняет обеспечение надежности систем КРК.
Кроме того, злоумышленник проводит коллективное измерение фотонов,
позволяющее получить больше информации за счет квантовых свойств
состояний.
44
Последняя категория — когерентные атаки — является наиболее
опасной для систем КК. Этот класс атак подразумевает более сложный
протокол перехвата квантовой битовой последовательности, а некоторые
из этих атак крайне сложно представить практически. Однако существуют методы, определяющие максимальные границы для обеспечения
безусловной надежности. Данные атаки подразумевают учет конечности
используемых для распределения ключа ресурсов (время генерации, количество сгенерированных бит). Подобное расширение протокола атаки
заставляет легетимных пользователей учитывать различные возможные
флуктуации в конечных битовых выборках относительно равномерного
распределения. Подобные границы были найдены для действия подобных атак на системы, реализующие некоторые протоколы, и в данных
случаях ограничения, накладываемые учетом флуктуаций конечных битовых выборок, совпадали с границами для коллективных атак или были
близки к их значениям. Однако стоит отметить, что далеко не все протоколы систем КРК имеют на сегодняшний день доказательство стойкости
к когерентным атакам.
7
7.1
7.1.1
Математический аппарат квантовой
коммуникации
Основные понятия
Математическая интерпретация
В данном разделе будут введены минимальные основные математические понятия, необходимые для дальнейшего изучения курса.
Введем
комплексное число 𝑐 = 𝑎 + 𝑖𝑏, такое, что 𝑐 ∈ C, где 𝑎, 𝑏 ∈ R,
√
𝑖 = −1, тогда 𝑐* = 𝑎 − 𝑖𝑏 – комплексно сопряженное к нему. Подобное представление также будет необходимо на протяжении всего курса
квантовой теории информации.
Помимо этого, необходимо ввести специальное представление векторов – bra- и ket-векторы. Изначально подобное представление может показаться слишком громоздким и обременительным, однако впоследствии
удобство использования именного этого представления будет неоспоримо.
Определение №5.1.1: Пусть ket-вектор, |·⟩, представляет собой dразмерный вектор-столбец в комплексном векторном пространстве C𝑑 ,
тогда bra-вектор, ⟨·|, — d-размерный вектор-строка, соответствующий
комплексному сопряжению ket-вектора и имеющий вид ⟨·| = ((|·⟩)* )𝑇 ,
45
где *– комплексное сопряжение, а Т – транспонирование.
Пример №5.1.1: Пусть |𝑣⟩ ∈ C2 – вектор в двумерном векторном
пространстве, имеющий следующий вид:
(︂ )︂
1
|𝑣⟩ =
= |0⟩,
0
(︂ * )︂𝑇
(︀
)︀
1
* 𝑇
⟨𝑣| = ((|0⟩) ) =
= 1 0 .
*
0
Определение №5.1.2(абсолютное значение комплексного числа): Пусть 𝑐 ∈ C –комплексное число и имеет вид 𝑐 = 𝑎 + 𝑖𝑏, где 𝑎, 𝑏 ∈ R.
Абсолютным значением, или модулем, c называют:
√
√
|𝑐| = 𝑐* 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2
Пример №5.1.2:
𝑐 = 1 + 𝑖2 ⇒ |𝑐| =
√
12 + 22 =
√
5
Определение №5.1.3(скалярное произведение): Пусть есть два
d-размерных вектора
⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎1
𝑏1
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
|𝑣1 ⟩ = ⎝ . ⎠ , |𝑣2 ⟩ = ⎝ . ⎠
𝑎2
𝑏2
тогда скалярное
этих векторов есть не что иное как ⟨𝑣1 |𝑣2 ⟩ :=
∑︀𝑑 произведение
*
⟨𝑣1 ||𝑣2 ⟩ = 𝑖=1 𝑎𝑖 𝑏𝑖 . Необходимо отметить, что скалярное произведение
двух векторов |𝑣1 ⟩, |𝑣2 ⟩ ∈ C𝑑 является в общем виде комплексным числом.
Пример №5.1.3: Пусть есть два вектора
(︂ )︂
(︂ )︂
1
3
|𝑣⟩ =
, |𝑤⟩ =
,
0
2
тогда
(︂ )︂
3
⟨𝑣|𝑤⟩ = 1 0 ·
=2
2
(︀
)︀
Определение №5.1.4(длина вектора): Пусть имеется вектор
⎛ ⎞
𝑎1
⎜ .. ⎟
|𝑣⟩ = ⎝ . ⎠ ,
𝑎2
46
тогда длина вектора имеет следующий вид:
⎯
⎯
⎸ 𝑑
⎸ 𝑑
⎸∑︁
⎸∑︁
√︀
‖|𝑣⟩‖ = ⟨𝑣|𝑣⟩ = ⎷
𝑎* · 𝑎 = ⎷
|𝑎 |2 .
𝑖
2
𝑖=1
𝑖
𝑖
𝑖=1
Если ‖|𝑣⟩‖2 = 1, то принято говорить, что вектор |𝑣⟩ имеет норму 1, или
же просто нормирован.
Пример №5.1.4: Пусть существует вектор |𝑣⟩ ∈ C2 , такой, что
(︂
)︂
1 1+𝑖
|𝑣⟩ =
,
2 1−𝑖
тогда его длина равна
√︂
√︂
1
1
‖|𝑣⟩‖2 =
· 2 · (1 + 𝑖) · (1 − 𝑖) =
· 2 = 1.
4
2
Когда речь заходит о векторах, логично предположить, что возможно
существование вектора следующего вида – 𝛼|0⟩+𝛽|1⟩. Подобное описание
вектора есть не что иное как представление квантового бита (кубита). Вместо того, чтобы находиться строго в состоянии “0” либо строго
в состоянии “1”, кубит находится в суперпозиционном состоянии. Представляя биты в виде векторов, можно сказать, что квантовый бит может
быть описан как |𝑣⟩ ∈ C2 .
Определение №5.1.5(квантовый бит): Чистое состояние кубита
может представлено как двумерный ket-вектор |𝜓⟩ ∈ C2 , имеющий вид
|𝜓⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩, где 𝛼, 𝛽 ∈ C, и |𝛼|2 + |𝛽|2 = 1. Условия на 𝛼, 𝛽 говорят
о том, что вектор |𝜓⟩ нормирован.
В предложенном представлении кубита предлагается использовать
для описания классических бит векторы |0⟩ и |1⟩. Необходимо отметить,
что данные векторы являются ортонормированными, что может быть
выражено на квантовом языке как ⟨1|0⟩ = 0, тогда как ⟨1|1⟩ = ⟨0|0⟩ = 1.
Таким образом, данные векторы, |0⟩ и |1⟩ составляют базис в C2 , и любой
вектор |𝑣⟩ ∈ C2 может быть представлен как |𝑣⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩, где 𝛼, 𝛽 –
некоторые комплексные коэффициенты.
Определение №5.1.6(стандартный базис): Пусть C2 – двумерное
комплексное векторное пространство, тогда стандартный базис (вычислительный базис) – I = {|0⟩, |1⟩} – является ортонормальным базисом
этого пространства с базисными векторами
(︂ )︂
(︂ )︂
1
0
|0⟩ =
,|1⟩ =
.
0
1
Безусловно, данный базис не является единственным, и можно подобрать бесконечно много других различных базисов.
47
7.1.2
Операции над кубитами
Как и над классическими битами, над квантовыми тоже можно совершать различные операции. Так как квантовые биты представляются в
виде векторов, то для описания операций над ними необходимо ввести
оператор 𝑈 , который бы проецировал вектор на вектор следующим образом:
|𝜓𝑜𝑢𝑡 ⟩ = 𝑈 |𝜓𝑖𝑛 ⟩.
Если вектор |𝜓𝑖𝑛 ⟩ ∈ C𝑑 , то тогда опертор 𝑈 может быть представлен
матрицей размерности 𝑑 × 𝑑, заполненной комплексными числами.
Кроме того, следует помнить, что для любого квантового состояния
|𝜓⟩ выполняется следующее условие: ⟨𝜓|𝜓⟩ = 1. Важность данного условия заключается в том, что оно показывает, что сумма вероятностей всех
исходов возможных измерений должна равняться 1. В свою очередь, это
говорит нам о том, что оператор 𝑈 должен сохранять скалярное произведение, т.е.
⟨𝜓𝑜𝑢𝑡 |𝜓𝑜𝑢𝑡 ⟩ = ⟨𝜓𝑖𝑛 |𝑈 † 𝑈 |𝜓𝑖𝑛 ⟩ = ⟨𝜓𝑖𝑛 |𝑈 𝑈 † |𝜓𝑖𝑛 ⟩ = 1.
Очевидно, что для того, чтобы сохранять вероятности, оператор 𝑈
должен сохранять длину любого вектора. Данное условие выполняется в
том случае, если 𝑈 𝑈 † = 𝑈 † 𝑈 = I, где I – оператор идентичности. Данный
оператор будет часто появляться в дальнейшем, так что определим его
следующим образом.
Определение №5.2.1 (оператор идентичности): Оператором идентичности I является диагональная квадратная матрица, соответствующей размерности, каждый диагональный элемент которой равен 1.
⎛
⎞
1 0 ... 0 0
⎜0 1 . . . 0 0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
I = ⎜ ... ... . . . ... ... ⎟ ,
⎜
⎟
⎝0 0 . . . 1 0⎠
0 0 ... 0 1
Определение №5.2.2 (унитарность оператора): Оператор 𝑈 является унитарным тогда и только тогда, когда 𝑈 𝑈 † = 𝑈 † 𝑈 = I
Пример №5.2.1(унитарность оператора): Рассмотрим матрицу:
(︂
)︂
1 1 1
.
𝐻=√
2 1 −1
Нетрудно заметить, что 𝐻 = 𝐻 † , таким образом 𝐻𝐻 † = 𝐻 † 𝐻 = I, что
говорит об унитарности оператора 𝐻.
48
Определние №5.2.3 (линейный оператор): Пусть C𝑑 – d-размерное
комплексное векторное пространство. Тогда линейный оператор 𝐿 : C𝑑 →
′
C𝑑 может быть представлен в виде 𝑑′ × 𝑑-размерной матрицей
⎛
⎞
𝐿11 𝐿12 . . . 𝐿1𝑑
..
..
⎜
.
. 𝐿2𝑑 ⎟
⎜ 𝐿21
⎟
𝐿=⎜ .
⎟,
.
.
.
..
..
.. ⎠
⎝ ..
𝐿𝑑′ 1 𝐿𝑑′ 2 . . . 𝐿𝑑′ 𝑑
где каждый элемент 𝐿𝑖𝑗 C. Набор линейных операторов обозначается как
′
L (C𝑑 ,C𝑑 ).
Определение №5.2.4 (Эрмитов оператор): Линейный оператор
′
𝑀 ∈ L (C𝑑 ,C𝑑 ) эрмитов, если 𝑀 † = 𝑀 .
Спектральная теорема говорит о том, что каждый эрмитов оператор
′
𝑀 ∈ L (C𝑑 ,C𝑑 ) может быть диагонализован с помощью вещественных
собственных чисел. Это значит, что существует ортонормальный базис
{|𝑣𝑗 ⟩} ∈ C𝑑 (собственные∑︀векторы) и вещественные числа 𝜆𝑗 (собственные
числа), такие что 𝑀 = 𝑗 𝜆𝑗 |𝑣𝑗 ⟩⟨𝑣𝑗 |
Определение № 5.2.5 (положительный полуопределенный оператор): эрмитов оператор 𝑀 является положительным полуопределенным оператором в том случае, если все его собственные числа {𝜆𝑗 }𝑗 неотрицательны, т.е. 𝜆𝑗 ≥ 0. Это условие всегда обозначатся как 𝑀 ≥ 0.
Определение №5.2.6 (след оператора(матрицы)): Следом мат′
рицы 𝑀 ∈ L (C𝑑 ,C𝑑 ) принято считать
∑︁
Tr(𝑀 ) =
⟨𝑖|𝑀 |𝑖⟩,
𝑖
где {|𝑖⟩} – любой ортонормальный базис на C𝑑 .
Определение №5.2.7 (положительная операторнозначная мера): Положительная операторнозначная мера (ПОМ) на C𝑑 есть не что
иное, как набор положительных полуопределенных операторов {𝑀𝑥 }𝑥∈X ,
такой, что
∑︁
𝑀𝑥 = IC𝑑 .
𝑥
Индекс 𝑥 используется для обозначения результата измерения. Вероятность 𝑝𝑥 выпадения результата 𝑥 может быть представлена, основываясь
на правиле Борна, как:
𝑝𝑥 = Tr(𝑀𝑥 𝜌)
49
7.1.3
Теория вероятностей
Прежде чем переходить к описанию теории вероятностей на квантовом
языке, необходимо вспомнить основные понятия из классической.
Представим, что у нас есть дискретная случайная переменная 𝑋, принимающая одно из значений алфавита X размера 𝑛. Тогда пусть 𝑝(𝑋)
– распределение дискретной случайно величины 𝑋, |𝑋| – размерность
алфавита, используемого в 𝑋, а 𝑃 𝑟𝑜𝑏(𝑋 = 𝑥) – вероятность того, что
случайная величина принимает значение 𝑥 ∈ X . Иногда для упрощения
будет использоваться 𝑝𝑥 = 𝑝(𝑥) = 𝑃 𝑟𝑜𝑏(𝑋 = 𝑥).
Распределение 𝑝(𝑋) определено набором неотрицательных вероятностей, а именно ∀𝑥
∑︀∈ X , 𝑝𝑥 ≥ 0. Более того, 𝑝(𝑋) должно быть нормированно, а значит 𝑥∈X 𝑝𝑥 = 1.
Важно понимать, что случайная величина 𝑋 может быть скоррелирована со случайной величиной 𝑌 . Это значит, что у них есть совместное
распределение 𝑝(𝑋𝑌 ), которое в общем виде не обязательно является их
прямым произведением 𝑝𝑥𝑦 ̸= 𝑝𝑥 𝑝𝑦 . Это подводит нас к понятию условной вероятности 𝑃 (𝑋|𝑌 ), где 𝑃 𝑟𝑜𝑏(𝑋 = 𝑥|𝑌 = 𝑦) — вероятность того,
что случайная величина 𝑋 принимает значение 𝑥, при условии что 𝑌
принимает значение 𝑦.
Однако подобного формализма недостаточно для описания квантовых состояний системы, а, следовательно, требуется более общий подход. В частности, классическое описание вероятностей не позволяет нам
описать такие состояния, как ЭПР пары, или же ситуации, когда состояние |𝜓1 ⟩ выпадает с вероятностью 𝑝1 , а |𝜓2 ⟩ с вероятностью 𝑝2 . Чтобы
описать общее состояние точно, нам необходимо принять во внимание
весь набор состояний и вероятностей {|𝜓𝑖 ⟩,𝑝𝑖 }. Можно ли как-то математически точно описать состояние, появляющееся в результате подобного
процесса?
Да, оказывается такой способ есть, и он называется формализм матриц плотности. Представим, что существует некоторое квантовое состояние одной системы |𝜓⟩, и запишем его в виде матрицы 𝜌 = |𝜓⟩⟨𝜓|. Стоит
отметить, что это матрица с рангом 1, а значит, у нее есть только одно
(равное единице) ненулевое собственное число с соответствующим собственным состояние(вектором) |𝜓⟩ .
Пример № 5.3.1:Матрица плотности состояния |0⟩ выглядит следующим образом:
(︂ )︂
(︂
)︂
)︀
1 (︀
1 0
1 0 =
|0⟩⟨0| =
0
0 0
Возвращаясь к вопросу об описании квантового состояния, постав50
ленному выше, как подобный формализм поможет нам описать тот случай, когда кто-то приготавливает одно из двух квантовых состояний |𝜓1 ⟩
и |𝜓2 ⟩ с равной вероятностью 𝑝1 и 𝑝2 соответственно? Очевидно, что суперпозиционное описание не будет корректным в достаточно мере, ввиду
того, что состояние точно находится в одном из состояний с вероятностью 1/2. И тем не менее, мы можем описать данное общее состояние как
смесь |𝜓1 ⟩ и |𝜓2 ⟩. Для равных вероятностей |𝜓1 ⟩ и |𝜓2 ⟩ данное смешанное
состояние будет иметь вид:
1
1
𝜌 = |𝜓1 ⟩⟨𝜓1 | + |𝜓2 ⟩⟨𝜓2 |.
2
2
В общем случае, если источник приготавливает состояние |𝜓𝑥 ⟩ с вероятностью 𝑝𝑥 , то результирующее состояние системы будет иметь следующий вид:
∑︁
𝑝𝑥 |𝜓𝑥 ⟩⟨𝜓𝑥 |.
𝜌=
𝑥
Для того, чтобы правильно описывать состояние квантовой системы, матрица плотности должна удовлетворять следующим двум важным свойствам – она должна быть положительным полуопределенным
оператором и ее след должен быть равен 1.
Определение №5.3.1(свойства матрицы плотности): Представим квантовую систему в пространстве состояний C𝑑 . Тогда матрица
′
плотности, 𝜌, – линейный оператор 𝜌 ∈ L (C𝑑 ,C𝑑 ), такой, что:
∙ 𝜌≥0
∙ Tr(𝜌) =
∑︀𝑑
𝑖
𝜌𝑖𝑖 = 1
Если 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝜌) = 1, тогда 𝜌 – чистое состояние, иначе – смешанное.
Полезным прием выглядит возможность записать распределение вероятностей в классической строке x в терминах матриц плотности. Представим, что у нас есть классическое распределение вероятностей символов из алфавита X = {0, ..., 𝑑 − 1}, где 𝑝𝑥 – вероятность появления
конкретного 𝑥. Соотнося классические биты (или просто числа) с элементами стандартного базиса {|0⟩, ..., |𝑑 − 1⟩}, мы можем описать источник,∑︀
приготовляющий каждое состояние |𝑥⟩ с вероятностью 𝑝𝑥 в виде
𝜌 = 𝑑−1
𝑥=0 𝑝𝑥 |𝑥⟩⟨𝑥|. В данном случае на главной диагонали матрицы плотности стоят вероятности 𝑝𝑥 , а все остальные элементы равны 0.
Определение №5.3.2. (классическое состояние): Представим си𝑑−1
стему 𝑋 с пространством состояний C𝑑 , и пусть {|𝑥⟩}𝑥=0
– стандартный
51
базис на C𝑑 . Система 𝑋 находится в классическом состоянии, если соотвествующая матрица плотности диагональна в пространстве состояний
𝑋 и имеет следующий вид:
𝜌𝑋 =
𝑑−1
∑︁
𝑝𝑥 |𝑥⟩⟨𝑥|𝑋 ,
𝑥=0
где, {𝑝𝑥 }𝑑−1
𝑥=0 – нормированное распределение вероятностей.
Однако в квантовой криптографии мы часто будем сталкиваться с
соcтояниями, которые частично классические, частично квантовые.
Определение №5.3.3(классически-квантовое состояние):
Классически-квантовое состояние имеет вид:
𝜌𝑋𝑄 =
𝑑−1
∑︁
𝑝𝑥 |𝑥⟩⟨𝑥|𝑋 ⊗ 𝜌𝑄
𝑥.
𝑥=0
Данное состояние имеет классический регистр 𝑋 и квантовый 𝑄. Если
квантовый регистр отсутствует, то это просто классическое состояние.
7.1.4
Теория информации
∑︀𝑑−1
Представим, что у нас есть состояние 𝜌𝑋 =
𝑥=0 𝑝𝑥 |𝑥⟩⟨𝑥|𝑋 . Заметим,
что это означает, что мы эффективно рассматриваем распределение вероятностей 𝑝𝑥 по строкам 𝑥. Как мы можем измерить присущую 𝑝𝑥
неопределенность? Говоря о различных видах коммуникации, одной из
важных
мер является энтропия фон Неймана или Шеннона 𝐻(𝑋) =
∑︀
− 𝑥 𝑝𝑥 log 𝑝𝑥 . Но является ли эта мера подходящей для оценки в контексте криптографии?
К сожалению, данная мера не может быть использована в разрезе
криптографии, ввиду того, что здесь используется усреднение по всем
возможным результатам, в то время как мы должны рассматривать худший из возможных вариантов. Однако на сегодняшний день существует
альтернативная мера, которая может быть использована в этом разрезе.
Определение №5.4.1. (мин-энтропия): Для любого распределения вероятностей {𝑝𝑥 } мин-энтропия, 𝐻min , оценивается как
𝐻min (𝑋) = − log max 𝑝𝑥 .
𝑥
В общем случае вероятность того, что мы угадаем всю битовую строку,
оценивается как 𝑃𝑔𝑢𝑒𝑠𝑠 (𝑋) = max𝑥 𝑝𝑥 . В таком случае,
𝐻min (𝑋) = − log 𝑃𝑔𝑢𝑒𝑠𝑠 (𝑋).
52
Можем ли мы также количественно оценить неопределенность относительно 𝑋, учитывая некоторый дополнительный квантовый регистр
𝐸? Оказывается, что как и для энтропии фон Неймана, для мин-энтропии
существует условный вариант 𝐻min (𝑋|𝐸). Самый простой способ думать
об условной мин-энтропии заключается в вероятности того, что Еве удается угадать 𝑋, получив доступ к ее квантовому регистру 𝐸.
Определение №5.4.2(условная мин-энтропия): Рассмотрим двустороннее классически-квантовое состояние 𝜌𝑋𝐸 , где 𝑋 – классический
регистр. Тогда условная мин-энтропия 𝐻min (𝑋|𝐸) может быть записана
как
𝐻min (𝑋|𝐸) := − log 𝑃𝑔𝑢𝑒𝑠𝑠 (𝑋|𝐸),
где 𝑃𝑔𝑢𝑒𝑠𝑠 (𝑋|𝐸) – вероятность того, что Ева угадает 𝑥, максимизированная по всем возможным квантовым измерениям. Её можно представить
в виде:
∑︁
𝑃𝑔𝑢𝑒𝑠𝑠 (𝑋|𝐸) := max 𝑥
𝑝𝑥 Tr[𝑀𝑥 𝜌𝐸
𝑥 ],
{𝑀𝑥 }
𝑥
∑︀
где максимизация взята по всем ПОМам {𝑀𝑥 ≥ 0| 𝑥 𝑀𝑥 = I}. В данном
контексте 𝐸 называют сторонней информацией о 𝑋.
Однако из-за несовершенства протокола или алгоритмов мы часто не
можем точно создать состояние 𝜌𝑋𝐸 , которое мы хотим, скорее мы можем
пытаться создать похожее (𝜀-близкое) состояние 𝜌′𝑋𝐸 . По этой причине
обычно более физично смотреть на сглаженную мин-энтропию, которая
дает нам максимальное значение 𝐻min (𝑋|𝐸) на всех 𝜌′𝑋𝐸 ∈ B 𝜀 (𝜌𝑋𝐸 ).
Определение №5.4.3 (сглаженная условная мин-энтропия):
Рассмотрим двустороннее классически-квантовое состояние 𝜌𝑋𝐸 , где 𝑋
– классический регистр. Тогда сглаженная условная мин-энтропия
𝐻min (𝑋|𝐸)𝜀 может быть записана как:
𝐻min (𝑋|𝐸)𝜀𝜌 := ′max′ 𝐻min (𝑋|𝐸)𝜌′
𝜌 ∈B(𝜌 )
В классической теории информации неопределенность о переменной
A с учетом сторонней информации B может быть количественно определена числом бит, которые необходимо узнать дополнительно к B, для
того чтобы восстановить A. Хотя это количество может быть различным, оно — за исключением вероятности порядка 𝜀 > 0 — не больше,
чем 𝜀-гладкая мин-энтропия,𝐻min (A|E), оценивающаяся для некоторого
совместного распределения 𝜌 для A и B [1]. Иными словами, число бит
необходимое для восстановления A из B с вероятностью 1 − 𝑂(𝜀), лежит
в интервале
𝜀
𝜀
𝐼 = [𝐻min
(A|B)𝜌 , 𝐻max
(A|B)𝜌 ]
(1)
53
границы которого определены 𝜀-гладкими энтропиями.
Этот же подход может быть применен и в том случае, если A и
B являются квантовыми системами. Необходимое количесвто бит для
устранения неопределенности также находится в интервале (1), с одним
отличием — 𝜌 здесь является оператором плотности, описывающим совместное состояние A и B.
Нахождение границ данного интервала является одной из центральных задач теории информации. Однако, несмотря на это, расчет гладких
энтропий для больших систем A сопряжен с большими сложностями.
Для решения данной задачи принято пользоваться определенными приближениями. Одним особенно популярным методом как в классической
так и в квантовой теории информации является приближение, допускающее, что система состоит из множества взаимно независимых и равновероятностных посылок. Более точно данное приближение требует того,
чтобы система имела вид 𝐴 = 𝐴𝑛1 = 𝐴1 ⊗ ... ⊗ 𝐴𝑛 , сторонняя информация имела аналогичную структуру 𝐵 = 𝐵1𝑛 = 𝐵1 ⊗ ... ⊗ 𝐵𝑛 , а совместное
⊗𝑛
⊗𝑛
состояние системы 𝜌𝐴1 𝐵1 ...𝐴𝑛 𝐵𝑛 = 𝜈𝐴𝐵
, где 𝜈𝐴𝐵
— произвольный оператор
плотности. Фундаментальный результат в теории информации – асимтотическое свойство равнораспределения (см. также квантовый аналог)–
показывает, что интервал неопределенности удовлетворяет следующему
выражению:
)︂ (︂
)︂]︂
[︂ (︂
𝑐𝜀
𝑐𝜀
, 𝑛 𝐻(A|B)𝜈 + √
(2)
𝐼 ⊂ 𝑛 𝐻(A|B)𝜈 − √
𝑛
𝑛
где 𝑐𝜀 - константа, независящая от n, 𝐻(A|B)𝜈 — условная энтропия
⊗𝑛
фон Неймана, оценивающаяся для состояния 𝜈𝐴𝐵
. Другими словами, для
большого n, общая неопределенность относительно
𝐴𝑛1 , при известных
∑︀
𝐵1𝑛 , хорошо аппроксимируется 𝑛𝐻(A|B)𝜈 = 𝑖 𝐻(Ai |Bi )𝜌 . Таким образом, энтропия индивидуальной системы Ai аккумулируется энтропией
общей системы 𝐴𝑛1 .
7.2
7.2.1
Математическое описание квантовых каналов
Общие свойства информационных каналов
Квантовая и, следовательно, классическая теории информации рассматривают взаимные переходы между различными информационными ресурсами. Ресурсы могут быть квантовыми или классическими, статическими или динамическими, с шумом и идеальными. Также ресурсы
разделяются по количеству пользователей, чаще всего выделяют двухпользовательские, как самый простой случай (ресурсы одного пользователя считаются неограниченными). Введем обозначения для ресурсов: 𝑐
54
— классический, 𝑞 — квантовый, {·} — c шумом, [·] — идеальный, → —
динамический.
Динамические ресурсы — это четыре вида каналов, определяемые
квантовой/классической природой входных/выходных данных. Так, например, {𝑐 → 𝑐} — классический канал связи, определяемый произвольной стохастической матрицей, {𝑞 → 𝑞} — квантовый канал связи, определяемый произвольным полностью положительным отображением сохраняющим след, {𝑐 → 𝑞} — приготовление квантового состояния, используя
произвольный квантовый алфавит {𝜌𝑥 }, {𝑞 → 𝑐} — обобщенное квантовое измерение с классическим результатом, задаваемое произвольной положительно определенной мерой. Замена фигурных скобок на квадратные дает соответственные идеальные каналы с единичной пропускной
способностью (сохраняя соответствующую размерность б/в, бит/кубит,
кубит/бит).
Существует три типа статических ресурсов: классические {𝑐𝑐}, квантовые {𝑞𝑞} и смешанные квантово-классические {𝑐𝑞}. Первым типом является коррелированная пара случайных переменных 𝑋 и 𝑌 , определенные на множестве 𝒳 × 𝒴 и имеющие совместное распределение вероятностей 𝑝(𝑥,𝑦) = 𝑃 𝑟{𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦}. Квантовым типом {𝑞𝑞} является
двухчастичная квантовая система 𝒜ℬ, определенная на гильбертовом
пространстве ℋ𝒜 ⊗ ℋℬ и имеющая оператор плотности 𝜌𝒜ℬ . Ресурс {𝑐𝑞}
является гибридной квантово-классической системой 𝒳 𝒬, описываемая
ансамблем {𝜌𝑥 ,𝑝(𝑥)}, где 𝑝(𝑥) определено на множестве 𝒳 , а 𝜌𝑥 является
набором операторов плотности системы 𝒬 в гильбертовом пространстве
ℋ𝒬 . Состояние системы 𝒬 коррелировано со значением классической
переменной 𝑋. Для описания ресурса {𝑐𝑞} пользуются "расширенным
гильбертовым пространством"(РГП), где под расширением понимается
добавление подсистемы 𝒜, которая описывает классическую переменную
на квантовом языке. Таким образом, ансамбль∑︀{𝜌𝑥 ,𝑝(𝑥)} можно представить единым оператором плотности 𝜌𝒜𝒬 = 𝑥 𝑝(𝑥)|𝑥⟩⟨𝑥|𝒜 ⊗ 𝜌𝒬
𝑥 , где
{|𝑥⟩ : 𝑥 ∈ 𝒳 } — ортонормальный базис в гильбертовом пространстве ℋ𝒜
системы 𝒜.
Идеальный ресурс [𝑐𝑐] представляет собой полностью коррелированные случайные переменные, для которых справедливо 𝒳 = 𝒴 и 𝑝(𝑥,𝑦) =
𝑝(𝑥)𝛿(𝑥,𝑦). Ресурс [𝑞𝑞] является полностью запутанным состоянием
|𝜓⟩𝒜ℬ = √12 (|0⟩𝒜 |0⟩ℬ + |1⟩𝒜 |1⟩ℬ ) системы 𝒜ℬ.
Таким образом, различные протоколы квантовой информатики можно представить в виде процессов преобразований ресурсов, например
{𝑞𝑞} + [𝑐𝑐] ⇒ [𝑞𝑞] — усиление запутанности, {𝑐 → 𝑐} ⇒ [𝑐 → 𝑐] — теорема
Шэннона, [𝑐 → 𝑐] + [𝑞𝑞] ⇒ [𝑞 → 𝑞] — квантовая телепортация и т.п.. Протоколы квантовой коммуникации/криптографии, в свою очередь, можно
55
представить в виде следующих последовательных преобразований ресурсов:
{𝑐 → 𝑞} + {𝑞 → 𝑞} + {𝑞 → 𝑐} + [𝑐 → 𝑐] ⇒ [𝑐𝑐],
(3)
где {𝑐 → 𝑞} — приготовление Алисой состояний, {𝑞 → 𝑞} — распространение состояний по квантовому каналу, {𝑞 → 𝑐} — измерение состояний
Бобом (и Евой), [𝑐 → 𝑐] — классическая постобработка "сырого"ключа
и усиление секретности. Далее рассмотрим подробнее этап {𝑞 → 𝑞} и
связанные с ним особенности.
7.2.2
Распространение сигнала в квантовых каналах
Рассмотрим квантовую систему, состоящую из подсистемы 𝑆 — квантового сигнала, и 𝐸 — внешней среды (включая сам канал). Каждая из
подсистем определена на соответствующем гильбертовом пространстве
ℋ𝑆 и ℋ𝐸 . Гамильтониан общей системы выражается в виде
ˆ =𝐻
ˆ 𝑆 ⊗ 𝐼ˆ𝐸 + 𝐼ˆ𝑆 ⊗ 𝐻
ˆ𝐸 + 𝐻
ˆ𝐼 ,
𝐻
(4)
ˆ𝑆 и 𝐻
ˆ 𝐸 — гамильтонианы соответствующих подсистем, 𝐻
ˆ 𝑆 — гагде 𝐻
мильтониан взаимодействия, 𝐼ˆ𝑆 и 𝐼ˆ𝐸 — единичные операторы соответствующих подсистем. Развитие во времени, описывающее преобразование совместного состояния 𝜌𝑆𝐸 , является унитарным (рассматривая общее состояние как чистое) и выглядит следующим образом:
𝜌𝑆𝐸 (𝑡) = 𝑈ˆ (𝑡)𝜌𝑆𝐸 𝑈ˆ † (𝑡),
(5)
ˆ
где 𝑈ˆ (𝑡) = exp(−𝑖𝐻𝑡/~)
— унитарный оператор развития. Предполагая,
что в начальный момент времени сигнальная подсистема и подсистема
окружающей среды не перепутаны, т.е. 𝜌𝑆𝐵 = 𝜌𝑆 ⊗ 𝜌𝐵 , развитие будет
выглядеть как
𝜌𝑆𝐸 (𝑡) = 𝑈ˆ (𝑡)𝜌𝑆 ⊗ 𝜌𝐵 𝑈ˆ † (𝑡).
(6)
Гамильтониан взаимодействия можно выразить в виде
∑︁
ˆ𝐼 =
𝐻
𝑆ˆ𝑖 ⊗ 𝐸ˆ𝑖 ,
(7)
𝑖
где 𝑆ˆ𝑖 ⊗ 𝐸ˆ𝑖 — набор операторов, действующих на объединенном пространстве обеих подсистем, 𝑆ˆ𝑖 и 𝐸ˆ𝑖 — операторы, действующие в пространстве
соответствующей подсистемы.
Представленное описание взаимодействия сигнала с внешним миром
(и/или квантовым каналом) является самым общим. С его помощью
56
можно описать различные физические явления и процессы, происходящие с квантовыми состояниями, например затухание, декогеренцию, деполяризацию и пр.
Пример №6.2.1.: Рассмотрим процесс декогеренции. Взаимодействие
с внешним миром вызывает декогеренцию квантового состояния — его
разрушение. Взяв след по подсистеме окружающей среды 𝐸, иными словами, отбросив подсистему окружающей среды, рассмотрим развитие
только сигнальной подсистемы
(︁
)︁
𝜌𝑆 (𝑡) = Tr𝐸 𝑈ˆ (𝑡)𝜌𝑆 ⊗ 𝜌𝐸 𝑈ˆ † (𝑡) ,
(8)
где 𝜌𝑆 (𝑡) — вырожденная матрица плотности, описывающая только сигнальную подсистему. Если подсистема окружающей среды в начальный
момент времени описывается ортогональным базисом (в пространстве
этой
∑︀ подсистемы), т.е. ее оператор плотности диагонализован, 𝜌𝐸 (0) =
𝑖 𝑎𝑖 |𝑖⟩⟨𝑖|, то частичный след (по подсистеме) можно описать с помощью операторов Крауса
∑︁
𝜌𝑆 (𝑡) =
𝐴ˆ𝑗 𝜌𝑆 (0)𝐴ˆ†𝑗 ,
(9)
𝑗
√
где 𝐴ˆ𝑗 = 𝑎𝑖 ⟨𝑗|𝑈ˆ |𝑖⟩ — оператор Крауса, описываемый так называемым
∑︀
разложением единицы, т.е. 𝑗 𝐴ˆ†𝑗 𝐴ˆ𝑗 = 𝐼ˆ𝑆 , обеспечивающий свойство
Tr[𝜌𝑆 (𝑡)] = 1. Несмотря на то, что в общей системе преобразование 𝑈ˆ
было унитарным, подсистема испытывает неунитарное преобразование,
что в общем случае приводит к частичному или полному (в зависимости
от времени и силы взаимодействия) разрушению квантового состояния.
Пример №6.2.2.: Рассмотрим процесс деполяризации произвольного состояния 𝜌, который в общем случае может быть описан в виде
𝜌 → (1 − 𝛿)𝜌 +
𝛿 ∑︁
𝜎𝑖 𝜌𝜎𝑖 ,
3 𝑖
(10)
где 𝜎𝑖 — полный набор матриц Паули, преобразующий различные составляющие поляризации квантового состояния, 𝛿 — коэффициент деполяризации, который играет очень важную роль в поляризационных
протоколах квантовой коммуникации и криптографии.
Пример №6.2.3.: Рассмотрим когерентное состояние 𝜌 = |𝛼⟩⟨𝛼| и
процесс его затухания в результате действия операторов Линдблада
𝜌˜ = exp(−𝛾𝑎† 𝑎)|𝛼⟩⟨𝛼| exp(−𝛾𝑎𝑎† ) = |𝛾𝛼⟩⟨𝛾𝛼|,
57
(11)
где 𝛾 - коэффициент затухания амплитуды. Стоит отметить, что данный
коэффициент не является общепринятым коэффициентом затухания по
мощности 𝜂, часто выражаемый в дБ. Связь этих коэффициентов выра−𝜂
жается как 𝛾 2 = 10 10 .
58
8
8.1
Квантовые коммуникации в свободном
пространстве и в космосе
Первый эксперимент по передаче квантовых
ключей через атмосферный канал связи
Стоит отметить, что исторически первый эксперимент по передаче квантовых ключей был проведен именно в открытом пространстве в 1989
году. В работе были представлены результаты по передаче квантовых
ключей на лабораторном столе на расстояние 32 см. На рисунке 16 представлена фотография эксперимента. Устройство отправителя состояло
из зеленого светодиода, луч которого из 25 мкм отверстия был коллимирован в объектив с фокусным расстоянием 25 мм, затем прошел через 550
нм фильтр и горизонтальный поляризатор. Ячейки Поккельса у отправителя преобразовывали горизонтальную поляризацию в произвольную
последовательность четырех состояний поляризации (горизонтальной,
вертикальной, лево-круговой и правой-круговой) в соответствии с протоколом BB84. Среднее число фотонов в импульсе на выходе из устройства отправителя составило 0,1. После прохождения квантового сигнала
по открытому пространству на 32 см луч попадал в устройство получателя. Здесь ячейка Поккельса преобразовала линейную поляризацию в
круговую и наоборот. Затем призма Волластона разбивала пучок света
на горизонтально- и вертикально-поляризованные компоненты, которые
регистрировались с помощью фотоэлектронных умножителей А и В соответственно.
Квантовая эффективность фотоэлектронных умножителей составляла 9%, при темновых отсчетах порядка 200 в секунду или около 10−4 на
500 нс временном окне. При использовании среднего числа фотонов в
импульсе 𝜇 = 0,1 теоретически рассчитанный коэффициент квантовых
ошибок составил около 2%; фактическая коэффициент ошибок составил
около 4%, что было обусловлено несовершенством используемых ячеек
Поккельса.
8.2
Квантовая коммуникация по атмосферному
каналу связи в условиях прямой видимости
Большое количество работ об квантовой коммуникации в открытом пространстве посвящено лабораторным исследованием таких систем (5; 6;
7; 8; 9). В таких работах передача квантовых ключей по атмосферному
каналу связи осуществляется на небольшие расстояния в пределах ла59
бораторий, подобно эксперименту, описанному в предыдущем разделе.
Однако в ряде работ квантовая коммуникация по атмосферному каналу
связи в пределах прямой видимости была осуществлена между отдельно
стоящими зданиями на значительные расстояния.
В 2008 году в рамках проекта создания европейской квантовой сети SECOQC в качестве одного из каналов связи между узлами сети был
использован атмосферный лазерный канал. Узлы располагались в пределах прямой видимости (80 м). На Рисунке 17 представлена фотография
атмосферной линии связи и схема устройства квантовой коммуникации.
В блоке передатчика импульсы восьми лазерных диодов объединяются
с использованием специальной конструкции конических и пирамидальных зеркал в пространственный фильтр. Диоды управляются в соответствии со случайным выбором четырех состояний поляризации −45∘ , 0∘ ,
45∘ и 90∘ со средним числом фотонов в импульсе 𝜇=0.3. Далее ослабленные импульсы попадали в атмосферный канал связи. Атмосферный
канал связи был реализован при помощи линзовых телескопических систем диаметром 25 мм. В блоке получателя сигнал после фильтрации
попадал на систему из светоделителей и пластинок 𝜆/4, в которой случайным образом анализировалось его поляризационное состояние (−45∘ ,
0∘ , 45∘ и 90∘ ). Далее фотоны регистрировались на лавинных фотодиодах.
Узлы работали в тестовом режиме в течение месяца при различных погодных условиях с использованием поляризационного протокола BB84
с состояниями-ловушками. Среднее значение скорости генерации просеянных квантовых ключей составило 50 кбит/с при уровне квантовых
ошибок порядка 2,3%.
В работе (10) исследовалась высокоскоростная передача квантовых
ключей в городских условиях на расстояния до 300 м по атмосферному
каналу связи между зданиями. Фотографии и схемы устройств отправителя и получателя представлены на Рисунке 18. Для достижения высокой скорости передачи квантовых бит отправитель генерировал сигнал с
тактовой частотой 1 ГГц, используя два высокоскоростных лазерных диода на длине волны 𝜆=848 нм и два высокопоглощающих поляризатора
для генерации двоичных логических состояний «1» и «0». Среднее число
фотонов в импульсе было равно 0,2. Оба состояния объединялись на специальной призме и передавались через атмосферный квантовый канал
связи получателю. Получатель состоял из 25-миллиметрового телескопа
Шмидта-Кассегрена и оптических компонентов, необходимых для распознавания логических состояний «1» и «0».Предельная скорость обмена
квантовыми ключами составляла 1 Мбит/с (ночью). В условиях яркого
дневного света система работала со средней скоростью передачи квантовых ключей 0,5 Мбит/с при среднем коэффициенте квантовых ошибок
60
Рис. 16 – Первый экспериментальный стенд системы квантовой коммуникации
Рис. 17 – a. Вид на атмосферную линию связи, б. Оптическая схема
устройства квантовой коммуникации
61
Рис. 18 – Фотография устройства отправителя (а) и его оптическая схема
(б). Фотография устройства получателя (в) и его оптическая схема (г)
порядка 4,5%. Система была протестирована на безотказную работу в
течение 24 часов.
8.3
Передача запутанных фотонных пар по
атмосферному каналу связи на 144 км
В работах (11; 12) экспериментально продемонстрировано распределение
квантовых ключей на расстояние 144 км. На сегодняшний день этот эксперимент является рекордным для передачи квантового состояния света на земле через атмосферный канал связи. Данная работа являлась
важным шагом на пути к спутниковой квантовой коммуникации и экспериментальным испытаниям квантовой физики в космосе. Поляризованные запутанные пары фотонов были получены с помощью спонтанного параметрического рассеяния II типа накачкой кристалла 𝛽-боратабария (BBO) с помощью мощного ультрафиолетового лазера. Один фотон измерялся локально на Ла-Пальме; другой был отправлен через 15сантиметровый приемо-передатчик по атмосферной оптической линии
длиной 144 км на телескоп с диаметром апертуры 1 м оптической наземной станции на острове Тенерифе. Связь активно стабилизировалась
путем анализа направления пучка слежения (532 нм), отправленного из
Ла-Пальмы, который был получен во второй линзе, фокусирующей ее
на ПЗС. В квантовом канале оптических перекрестных помех не было,
поскольку следящий лазер был направлен в противоположном направлении; дополнительно использовались интерференционные фильтры. Обе
стороны использовали четырехканальные поляризационные анализаторы, состоящие из делителей пучков 50/50 (BS), полуволновой пластины
(HWP) и поляризационных делителей пучка (PBS). Всего в эксперимен62
Рис. 19 – Схема эксперимента по передаче запутанного квантового состояния на 144 км по атмосферному каналу между островами Ла Пальма и
Тенерифе
63
те была передана квантовая битовая последовательность длиной 178 бит,
т.е. передавался один фотон приблизительно за 75 секунд.
8.4
Квантовая коммуникация между движущимся и
наземным объектами
В 2013 году группа исследователей из Германии впервые продемонстрировала (13) возможность квантовой коммуникации между самолетом и
наземной станцией. Устройство передатчика было установлено на самолет Dornier 228. Передача квантовых ключей осуществлялась в темное
время суток во время облета самолетом по дуговой траектории приемного телескопа (Рисунок 20). Расстояние между самолетом и приемной
станцией составляло 20 км. При передаче ключей использовался протокол BB84 c кодированием поляризационных состояний фотона.
Скорость генерации просеянных ключей составила 145 бит/с с коэффициентом квантовых ошибок 4,8%. Высокий уровень ошибок в первую
очередь был связан с высоким темновым шумом приемника одиночных
фотонов. В общей сложности в результате одного облета самолета вокруг
приемного телескопа было получено около 80 кбит секретного квантового ключа.
В 2017 году канадские ученые реализовали квантовый канал связи
для распределения секретных ключей шифрования между летящим самолетом в качестве получателя и наземной станцией в качестве отправителя (14). В работе была продемонстрирована возможность квантового
распределения ключа между летящим самолетом и наземной станцией.
Для приема и передачи фотонов физики использовали пару телескопов.
Приемник был установлен на самолете, облетавшем наземную станцию
как показано на рисунке на высоте 1,6 километра. Протяженность линии
связи колебались от 3 до 10 километров. В установке были предприняты
методы защиты от простейших атак на системы квантовых коммуникаций, например, против атаки типа «Троянский конь». Самолет выполнил
14 полетов вокруг наземной станцией со скоростью около 200 - 250 километров в час. Из них 7 раз удалось установить квантовый канал связи
и в 6 из них – сгенерировать квантовый ключ. Время квантовой связи
колебалось от 30 секунд до четырех с половиной минут, максимальный
размер секретного ключа составил 867 килобит.
64
Рис. 20 – a, Самолет The Dornier 228, использованный в эксперименте. Вставка: оптический купол с CPA. b, траектория полета самолета, с
красной секцией, обозначающей позиции во время передачи квантовых
ключей. c телескоп OGS.
Рис. 21 – Траектория полета самолета вокруг наземной станции (обозначена звездой), желтым и синим показаны траектории, во время которых
осуществлялся сеанс квантовой связи
65
8.5
Квантовая коммуникация между наземными и
низкоорбитальными летательными объектами
Искусственные спутники, летающие на околоземной орбите, могут использоваться в качестве доверительных узлов для передачи квантовых
ключей на большие расстояния, так как на данный момент ограниченная
дальность передачи квантовых ключей по волоконным линиям связи является одной из важнейших проблем. На данный момент существует два
основных подхода для её увеличения. Первый — использование квантовых повторителей. Данный вариант является самым очевидным, однако
имеет один существенный недостаток — реализация подобных элементов
сети в полной мере так и не осуществлена на сегодняшний день, несмотря на то, что некоторые технологические компоненты, необходимые для
их создания, уже разработаны и исследуются в лабораторных условиях.
Второй — использование доверенных узлов. Доверенный узел представляет собой схему, соединяющую две разнесенные квантовые сети, либо
две линии квантовой коммуникации, построенные по принципу “точкаточка”, в одну. Подобный узел, несмотря на то, что между блоками отправителя и получателя происходит классическая передача информации,
является доверенным, в связи с тем, что обмен информацией происходит в пределах одного устройства, куда у нелегитимного пользователя
нет доступа, благодаря одному из основных требований к системам КРК.
Как показано на рисунке 22 данный доверенный узел включает в себя
два модуля отправителя. На земле же находятся два модуля получателя,
разнесенные географически. Таким образом, в доверенном узле образуются две ключи от каждой из сторон, которые складываются по модулю
два, а результат данной операции отправляется в приемный модуль второй стороны. Затем в приемном модуле второй стороны производится
сложение по модулю два данной последовательности с ключом, сгенерированным в этом участке сети. Данная операция позволяет получить
одинаковые ключи на обоих участках сети, что позволяет таким образом
увеличить дальность передачи ключа.
Далее рассмотрим работы, посвященные созданию спутников для квантовой связи.
Первой работой по передачи квантовой информации в виде одиночных фотонов с орбитального спутника на земную станцию является работа 2008 года Антона Цайленгера и его исследовательской группы. В работах (15; 16) ими были представлены результаты первого в мире успешного эксперимента по устойчивой передаче и детектированию однофотонных импульсов между Землей и спутником на высокой орбите. В работе
была показана возможность защиты средствами квантовой коммуника66
ции каналов спутниковой связи, телеметрической и разведывательной
информации, даже для спутников, находящихся на высокой орбите.
В эксперименте использовалось стандартное оборудование лазерной
станции Матера Итальянского космического агентства и геодезический
спутник Аджасти японского космического агентства (минимальное расстояние от орбиты до земли составляло 1485 км). Этот спутник представляет собой покрытую угловыми отражателями сферу. Контроль орбиты спутника осуществляется методами лазерной локации с помощью
телескопа станции Мастера с апертурой 1,5 м. В эксперименте использовались лазерные импульсы со следующими характеристиками: длина
волны 𝜆 = 532 нм, продолжительность импульс 𝑡 = 700 пс, мощность 𝑃 =
490 нДж, частота повторения 𝐹 = 17 кГц. Детектирование отраженных
спутником сигналов осуществлялось при помощи узкополосного лавинного фотодиода.
Основными ограничивающими факторами передачи квантовой информации от спутника к земной станции были атмосферные искажения,
которые приводили к искажению фронта волны, атмосферное поглощение, потери сигнала из-за нестабильности установки лазерного локатора
на наземной станции вследствие сейсмических колебаний. Расчеты показали, что лазерный импульс проходил на пути к спутнику и обратно
в атмосфере расстояние, эквивалентное дистанции 8 км на уровне моря. Помимо спутника Аджасти, подобные эксперименты были проведены также со спутниками Лагос (минимальное расстояние от орбиты до
земли 5625 км), Посейдон (минимальное расстояние от орбиты до земли
приблизительно 1350 км) и Бикон-С (минимальное расстояние от орбиты
до земли 927 км), также оснащенными уголковыми отражателями. Эксперимент показал возможность осуществления закрытой передачи данных со спутника и на спутник с использованием существующих средств
лазерной спутниковой связи. В 2013 г. научная группа Цзяньвэя Паня
из Научно-технического университета в Шанхае (КНР) представила работу, в которой было показано отражение одиночного фотона от спутника, вращающегося вокруг Земли, и регистрация его обратного прихода
на планету. В эксперименте использовались два телескопа в бинокулярной формации, которую направили на спутник, вращающийся на высоте
400 км. Аппарат покрыт отражателями, способными отражать лазерные
пучки назад к Земле, а точнее – почти к тому же месту, откуда они вышли. В сравнении с работой (15) авторы уверяют, что получили гораздо
большее отношение «сигнал-шум» — 16:1 против 1:1 в работе (15). Поскольку атмосфера Земли поглощает довольно большую часть фотонов,
отправляемых с поверхности, в каждом импульсе, посылаемом с земли,
количество фотонов должно было быть примерно равно 1.5 * 109 , чтобы
67
Рис. 22 – Схема устройства доверенного узла в системах квантовой коммуникации
Рис. 23 – Схема однофотонной локации спутника LAGEOS
68
до спутника долетел хотя бы один фотон. Далее этот фотон отражался
и направлялся от спутника к земле. Однако и этот фотон мог быть поглощён атмосферой, поэтому передача повторялся несколько миллионов
раз в секунду, и лишь примерно 600 раз в секунду на приемном модуле детектировались одиночные отражённые фотоны. Для эксперимента
использовался немецкий спутник CHAMP, запущенный в 2000 году и
ушедший с орбиты в 2010-м. Далее в 2016 году сотрудниками этой лаборатории был запущен первый спутник в мире, предназначенный для
квантовой передачи информации на Землю.Спутник получил названия
«Мо-Цзы» и Quantum Sciense Sattelite (QSS). QSS является проектом Китайской академии наук при участии Австрийской академии наук. Общая
стоимость проекта оценивается около 100 млн долларов. Вес спутника
составляет более 600 кг.
В 2017 году были представлены первые научных результатах миссии
квантового спутника связи. Аппарат обеспечил распределение запутанных фотонов на рекордно большое расстояние, свыше 1200 километров
— это в 12 раз больше чем в предыдущих экспериментах. Эксперимент
вновь подтверждает нарушение локальности запутанными частицами. В
дальнейшем в планах миссии реализация квантовой спутниковой линии
связи между Веной и Пекином, где спутник будет выступать в роли доверительного узла и эксперименты по квантовой телепортации.
С помощью космического аппарата «Мо-Цзы» физикам удалось распределить запутанные фотоны между парами обсерваторий, находившихся на расстоянии до 1203 километров (17; 18; 19). Эксперимент был
устроен следующим образом. На космическом аппарате был установлен
яркий источник запутанных фотонов — кристалл, в котором происходило спонтанное параметрическое рассеяние — превращение одного фотона
в два с уменьшенной энергией. Источник формировал около шести миллионов пар запутанных фотонов в секунду. Затем фотоны пары отправляли с помощью двух телескопов к наземным обсерваториям: Дэлинха (Тибет), Наньшань (Урумчи) и Гаомеигу (Юньнань). Как телескопы
спутника, так и телескопы-приемники требовали высокой точности наведения — «Мо-Цзы» двигался по орбите со скоростью около восьми километров в секунду. По словам авторов, наибольшие потери одиночных
фотонов происходят в нижних 10 километрах атмосферы Земли. Расстояния от спутника до наземных станций по прямой составляли от 500
до 1700 километров. В таких условиях физикам удалось собрать свыше
1000 событий, когда оба фотона запутанной пары достигали наземной
обсерватории — примерно одно событие на шесть миллионов отправленных фотонных пар. Для проверки запутанности и нарушения локальности ученые анализировали взаимную поляризацию пар фотонов. Со
69
Рис. 24 – Расположение наземных станций
статистической значимостью в четыре стандартных отклонения исследователи показали, что поляризация частиц оказывалась взаимно перпендикулярной чаще, чем того можно было ожидать в предположении
локальности.
8.6
Квантовая коммуникация с использованием
фотонов, обладающих орбитальным угловым
моментом
Для преодоления проблемы расхождения поляризационных базисов в работе (20; 21) был предложен уникальный способ кодирования кубитов
с использованием "закрученного"света. В таких системах базис квантовых ключей можно описать гибридными состояниями, связанными с
орбитальными и спиновыми угловыми моментами:
|1⟩𝐿 = |𝑅⟩𝑝 |𝑙⟩𝑜 ,
|0⟩𝐿 = |𝐿⟩𝑝 |𝑙⟩𝑜 .
Первые экспериментальные исследования систем квантовой комму70
никации в открытом пространстве на основе этого метода были представлены в работе (22).
Устройство отправителя состояло из четырех лазеров (с длиной волны 𝜆=850 нм) с четырьмя различными поляризациями: горизонтальной
H, вертикальной V, левосторонней L и правосторонней R [L и R получены комбинацией поляризации лазера и 𝜆/4 волновой пластины (ВП)].
Квантовые ключи отправлялись блоками из 2880 бит. Программируемая
логическая интегральная схема (ПЛИС) управляла четырьмя лазерами
с частотой 2,5 МГц. Из-за ограничений с передачей данных ПЛИС скорость передачи ключей составляла 30 кбит/ с. Фотоны были соединены в
одномодовое волокно, затем на делителе (Д) 95% сигнала отправлялись к
телескопу передатчика и 5% к однофотонному детектору (ДОФ), используемому для оценки среднего числа фотонов на импульс. В телескопной
системе разделитель пучка (Д) доставляет половину фотонов на поляризатор, а другую половину на q-пластинку с топологическим зарядом
𝑞 = 1/2. Поляризатор вместе с контроллером поляризации (КП) позволяет устройству отправителя корректировать поляризованные вращения,
вызванные волокном. Q-пластинка превращает кубиты, закодированные
поляризационными состояниями (H и V), в кубиты, закодированные в гибридных поляризационных состояниях c угловыми моментами (L и R).
После q-пластинки фотоны попадают в 12-сантиметровый апертурный
телескоп с фокусным расстоянием f 1/4 900 мм (увеличение 12 ) и отправляются на приемную станцию. Увеличение было выбрано для того,
чтобы иметь почти коллимированный луч между передатчиком и приемником. На приемной стороне была использована телескоп с апертурой
большей, чем диаметр пучка, чтобы свести к минимуму дифракционные
эффекты. Телескоп установлен на ступени вращения, что обеспечивает
жесткий поворот всего передающего устройства. На приемном устройстве 5-сантиметровый апертурный телескоп принимал фотоны (с потерями на дифракции порядка 2%), а вторая q-пластинка декодировала гибридные кубитные состояния в поляризационные кубиты. Затем сигнал
собирался в одномодовое волокно и доставлялся в измерительное устройство, состоящее из делителя луча (Д), 𝜆/4 волновой пластины (ВП) и
двух поляризационных делителей (ПД). Четыре разных однофотонных
детектора были связаны с четырьмя поляризационными состояниями H,
V, R и L. Длина линии связи составляла 210 м.
В работах (23; 24) было продемонстрирована передача квантовых
ключей на расстояние 300 м между зданиями в Оттаве (Канада). Для
кодирования квантовых состояний использовались как свободные, так
и орбитальные угловые моменты одиночных фотонов. Такая комбинация оптических угловых моментов позволила авторам создать 4-мерное
71
Рис. 25 – Экспериментальное исследование системы квантовой коммуникации с использованием "закрученного"света. а. Изображение экспериментального стенда. Телескоп отправителя находится слева, телескоп
получателя - справа. Профиль луча в зависимости от расстоянием распространения z от телескопа показан в квадратных рамках. б. Оптические схемы установок отправителя и получателя
72
квантовое состояние, в котором, используя известный протокол BB84,
коэффициент квантовых ошибок составил 11% с соответствующей скоростью передачи 0,65 бит на фотон. Для сравнения, для случая 2-мерных
структурированных фотонов достигается частота ошибок 5% со скоростью 0,43 бит на фотон. Таким образом, в работе было продемонстрировано, что использование 4-мерных состояний фотонов с орбитальным
угловым моментом, помимо инвариантности к повороту к телескопическим приемно-передающим системам, обеспечивает более высокие скорости передачи квантовых бит.
9
9.1
Квантовые генераторы случайных чисел
Генерация случайных чисел и сферы её
применения
Для генерации случайных чисел (СЧ) может использоваться численная
характеристика значений некоторой зарегистрированной в заданный момент времени случайной величины. Таким образом, СЧ — это числа, порожденные процессом, исход которого непредсказуем и который не может быть надежно воспроизведен впоследствии. Можно только сравнить
её статистические свойства со статистическими свойствами идеальных
случайных последовательностей. Цифры или биты в случайной последовательности не должны быть связаны между собой, чтобы информация
об одном из элементов последовательности не несла информации о других и не могла быть использована в прогнозировании.
Необходимость использования генераторов случайных чисел возникает во множестве отраслей. В криптографических системах, как классических, так и квантовых, степень непредсказуемости ключа для шифрования информации зависит от качества генератора случайных чисел
(ГСЧ), используемого в данной системе. Случайные числа также используются для осуществления процедуры аутентификации – проверки подлинности пользователя при предоставлении ему доступа к каким-либо
данным. В различных отраслях науки для моделирования сложных систем разработаны методы, опирающиеся на использование СЧ. Эти методы имеют большое значение для современного численного моделирования (метод Монте-Карло, методы имитационного моделирования и т.
д.). В лотереях и теории игр для гарантии одинаковой вероятности выигрыша также используется генерация случайных чисел.
73
9.2
Генераторы случайных чисел на основе
физических процессов
На данный момент наиболее распространенными подходами к генерации случайных чисел являются два класса систем: основанные на программном обеспечении (алгоритмические или псевдослучайные ГСЧ) и
ГСЧ, основанные на физических процессах (физические или аппаратные ГСЧ). В случаях, когда использование псевдослучайных чисел не
является приемлемым (например, при проведении электронных коммерческих операций, шифровании персональных данных, в криптографических или иных системах, где необходим высокий уровень конфиденциальности данных), требуется использование аппаратного ГСЧ, основанного на доверенном источнике энтропии. Аппаратные ГСЧ работают на
основе измерения параметров сложного и непредсказуемого физического процесса, который может описываться при помощи уравнений либо
классической, либо квантовой физики. На сегодняшний день разработаны ГСЧ на основе различных физических процессов, таких как электрические шумы тока в резисторе, радиоактивный распад, турбулентность
атмосферы, космическое излучение, фотоэлектрический эффект, квантовые явления.
Недостатком наиболее характерных генераторов случайных чисел на
основе физических процессов является возникновение в процессе генерации так называемых смещенных последовательностей (в подобных последовательностях определенная комбинация чисел или битов повторяется чаще других). Смещение возникает из-за сложности в разработке
и реализации точно сбалансированных физических схем генерации СЧ.
Однако для удаления подобного смещения существуют алгоритмы последующей обработки.
Традиционно, в связи с простотой и доступностью, для создания ГСЧ
использовались макроскопические процессы, которые могут быть описаны при помощи уравнений классической физики. К этому подтипу принадлежит один из простейших и древних ГСЧ — бросание монеты. Последовательности СЧ, полученные при помощи генераторов, основанных
на использовании макроскопических процессов, являются детерминированными, однако их предсказание является трудновыполнимой задачей.
9.3
Квантовые генераторы случайных чисел
В отличие от процессов, которые можно охарактеризовать при помощи
уравнений классической физики, для квантовых процессов не используется полностью детерминированное описание движения отдельных ча74
стиц, в связи с тем, что данные процессы имеют вероятностную природу. Вероятностная природа квантового случайного процесса позволяет
выбрать его в качестве источника энтропии для построения генератора
истинно случайных чисел. Подобные системы называются квантовыми
генераторами случайных чисел (КГСЧ).
Наибольшее распространение получили три класса систем квантовой
генерации случайных чисел:
∙ КГСЧ, использующие детекторы одиночных фотонов
∙ КГСЧ, использующие детекторы одиночных фотонов с различением числа фотонов
∙ КГСЧ, использующие фотодетекторы
Для каждого из вышеупомянутых классов систем квантовой генерации случайных чисел характерны свои особенности, далее они
будут рассмотрены более подробно.
9.3.1
Квантовые генераторы случайных чисел, использующие
детекторы одиночных фотонов
В данных системах в качестве устройств детектирования используются
детекторы одиночных фотонов (ДОФ), что позволяет производить точные измерения однофотонных импульсов для различных классов КГСЧ.
Устройства данного класса можно условно разделить на несколько типов:
∙ КГСЧ, основанные на пространственном разделении излучения(25)
∙ КГСЧ, основанные на использовании массива из детекторов одиночных фотонов (26)
∙ КГСЧ, основанные на времени детектирования фотонов(27)
∙ КГСЧ, основанные на явлении квантовой запутанности(28)
Несмотря на различия в физических принципах, используемых для генерации случайных чисел, для всех типов данных систем необходимо
использование детекторов одиночных фотонов в качестве устройств регистрации ослабленного лазерного излучения.
В связи с простотой используемых схем генерации случайных последовательностей первым примененным для КГСЧ стал подход, основанный на разделении излучения. Реализации подобных КГСЧ используют
75
Рис. 26 – Схема КГСЧ, который основан на разделении пути следования одиночных фотонов при помощи оптического светоделителя СД с
коэффициентом деления 50/50 с использованием двух детекторов(25)
прохождение фотонов через оптический светоделитель (25) или волоконный разветвитель (29), прохождение поляризованных фотонов через
поляризационный делитель (25).
Данные системы основаны на процессе прохождения одиночных фотонов через светоделитель (25). Работа системы заключается в следующем: лазер (Л) испускает фотон, который после прохождения через оптический светоделитель (СД) идет по одному из двух возможных путей,
итоговый сигнал регистрируется на одном из двух детекторов одиночных
фотонов.
В случае срабатывания детектора одиночных фотонов Д1 в последовательность случайных битов записывается бит «1»; в случае срабатывания детектора одиночных фотонов Д2 записывается бит «0». В случае,
когда от источника исходит более одного фотона и происходит срабатывание на обоих детекторах, запись бита случайной последовательности
не производится. Скорость генерации на данных устройствах достигает
порядка 1 Мбит/с.
КГСЧ, основанные на разделении излучения, разнообразны и широко
распространены, но эффективный однофотонный источник, который является основным элементом приведенных схем с разделением пути следования одиночных фотонов, еще не существует, и на практике схемы
осуществляются на ослабленных оптических импульсах, имеющих пуассоновское распределение. Таким образом, практическая реализация подобных КГСЧ не может быть исполнена абсолютно корректно. Несовершенством систем квантовой генерации случайных чисел, основанных на
разделении излучения, является то, что вероятности получения во время генерации единиц и нулей не в точности равны из-за различия путей,
проходимых фотонами. Поэтому необходимо добиться, чтобы детекторы
обладали именно такой эффективностью, которая бы компенсировала
различие путей следования фотонов, а также сохраняли эту эффектив-
76
ность постоянной.
Схемы КГСЧ, основанные на использовании массивов из детекторов одиночных фотонов, позволяют кодировать события одного отсчета
при помощи нескольких битов итоговой последовательности. В зависимости от результатов детектирования происходит запись результата в
последовательность битов. Пространственная регистрация фотонов может осуществляться после отражения сигнала от дифракционной решетки, попадания одиночного фотона на светоделитель с одним входным и
несколькими выходными портами (с последующим детектированием, на
каком именно выходе разветвителя был зарегистрирован фотон) или без
помощи элементов, изменяющих траекторию движения фотона. Из-за
наличия в схеме нескольких ДОФ необходима точная калибровка детекторов для того, чтобы их параметры были максимально схожи и не
возникало статистического смещения. Также с увеличением числа детекторов возрастает стоимость устройства
На данный момент разработаны несколько типов КГСЧ на основе
времени детектирования фотонов, использующих случайность эмиссии
и последующего обнаружения фотонов при помощи фотоэффекта. В данных схемах в качестве источника излучения обычно применяется низкоэффективный СИД (светоизлучающий диод). При использовании достаточно низкой мощности диод испускает независимые друг от друга фотоны, при этом их испускание может быть охарактеризовано при помощи случайного пуассоновского процесса. Когда каждый фотон достигает
фотокатода, есть некоторая вероятность, что из-за фотоэлектрического эффекта произойдет излучение электрона. Создание фотоэлектрона
является, таким образом, истинно случайным событием. Достоинствами
систем КГСЧ на основе времени детектирования фотонов являются простота исполнения устройства, а также возможность кодировать несколькими битами события одного отсчета.
Реализации схем, основанных на явлении квантовой запутанности,
имеют преимущество в том, что становится возможным подавление большей часть паразитного шума при использовании схемы совпадений на детекторах. КГСЧ данного типа использует запутанные фотонные пары.
Для реализации этой схемы необходимо поддержание чистоты поляризации запутанных состояний, что является нетривиальной экспериментальной задачей, также возникает необходимость квантовой томографии
состояний. Системы КГСЧ, основанные на явлении квантовой запутанности, отличает возможность проверить, что имеют место именно квантовые эффекты, так как при ложных срабатываниях ДОФ биты в итоговую последовательность случайных чисел не записываются. Недостатком подобных систем является сложность их реализации и настройки.
77
Для всех схем, использующих ДОФ, характерным является ограничение по скорости генерации, вызванное нечувствительностью детекторов
после срабатывания. Статистическое смещение числа нулей и единиц в
полученных последовательностях может возникать из-за различной эффективности детектирования фотонов при использовании двух или более ДОФ. Также детекторы одиночных фотонов очень чувствительны к
изменению температуры окружающей среды или к флуктуациям напряжения. В связи с этим КГСЧ данного типа должны быть очень точно
настроены перед использованием. Существуют также проблемы со стабильностью настройки данных устройств во время длительного использования.
9.3.2
Квантовые генераторы случайных чисел, использующие
детекторы одиночных фотонов с различением числа
фотонов
Случайные последовательности могут быть получены не только посредством измерения однофотонных состояний, но также и измерением состояний, в которые входят несколько фотонов (30).
Таким образом, измеряя число фотонов в когерентном лазерном импульсе при помощи детекторов одиночных фотонов с различением числа
фотонов, можно получить случайные числа, которые могут быть охарактеризованы при помощи пуассоновского распределения.
КГСЧ, построенные на ДОФ в режиме счета фотонов, являются чувствительными как к распределению числа фотонов, излучаемых источником, так и к эффективности детектирования, что требует точной настройки. Они предельно просты, так как, по сути, состоят только из источника и детектора, и позволяют кодировать в одном отсчете несколько
битов.
9.3.3
Квантовые генераторы случайных чисел, использующие
классические фотодетекторы
Как было указано выше, основным недостатком всех схем, использующих ДОФ, является ограничение по скорости генерации, вызванное
нечувствительностью детекторов после срабатывания, зависимость характеристик ДОФ от изменения температуры окружающей среды или
от флуктуаций напряжения. Таким образом, возникает необходимость
точной настройки и стабильности данных устройств во время длительного использования. Для решения данных проблем были предложены
схемы квантовой генерации случайных чисел, основанные на использова78
Рис. 27 – Схема КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума (32)
нии фотодетекторов. В данной работе будeт рассмотрены КГСЧ данного
класса, основанные на:
∙ шумах лазера (31)
∙ флуктуациях вакуума (32)
Источником фазового шума лазера является спонтанное излучение:
каждый случайным образом испускаемый фотон имеет свою фазу, которая вносит случайное колебание фазы в общее электрическое поле,
вследствие чего происходит уширение спектральной линии. Спонтанная
эмиссия фотонов и соответствующий ей фазовый шум имеют квантовомеханическое происхождение. Скорость генерации случайных чисел в
данной схеме может достигать 500 Мбит/с.
Принципом работы КГСЧ, основанных на флуктуациях вакуума является извлечение случайности из квантового шума, получаемого после
вычитания на балансном детекторе сигналов, полученных с выходов светоделителя. На один из входов светоделителя при помощи лазера (Л)
подается когерентное состояние, а на второй — вакуум, на светоделителе (СД) данные сигналы смешиваются, а затем сигналы с его выходов
поступают на балансный детектор (состоящий из фотодиодов Д с одинаковыми характеристиками и вычитателя), где сигналы вычитаются друг
из друга, а затем переводятся в цифровой формат при помощи АЦП.
Полученный при этом итоговый сигнал является квантовым шумом, который можно при помощи последующей обработки (ПО) преобразовать
в случайную последовательность (СЧ). Основным преимуществом данной схемы является измерение квантовых состояний при помощи классических детекторов, что достигается за счет использования гомодинного
детектирования.
79
В 2011 году была создана система, позволяющая достичь скорости
генерации 2 Гбит/с. Устройства квантовой генерации случайных чисел,
основанные на флуктуациях вакуума, позволяют получать истиннослучайные последовательности, используя классические фотодетекторы,
а также обладают высокой скоростью генерации, надежным источником
энтропии и, соответственно, высокой степенью случайности генерируемых последовательностей, также они устойчивы к внешнему воздействию.
Устройства квантовой генерации случайных чисел, в которых используются классические детекторы, реализуются при помощи в достаточной
степени простых схем, при этом обладая высокой скоростью генерации.
Также они обладают надежным источником энтропии, что обеспечивает
высокую степень случайности получаемых последовательностей.
Список литературы
[1] Bennett C. H., Brassard G. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing // Proceedings of IEEE International Conference
on Computers, Systems, and Signal Processing. — India, 1984. — P. 175.
[2] Long-distance QKD transmission using single-sideband detection
scheme with WDM synchronization / Olivier L Guerreau, J-M Mérolla,
Alexandre Soujaeff et al. // IEEE Journal of selected topics in quantum
electronics. — 2003. — Vol. 9, no. 6. — P. 1533–1540.
[3] Ortigosa-Blanch A, Capmany J. Subcarrier multiplexing optical quantum key distribution // Physical Review A. — 2006. — Vol. 73, no. 2. —
P. 024305.
[4] Coexistence of high-bit-rate quantum key distribution and data on optical fiber / KA Patel, JF Dynes, I Choi et al. // Physical Review X. —
2012. — Vol. 2, no. 4. — P. 041010.
[5] Kim Y. S., Jeong Y. C., Kim Y. H. Implementation of polarization-coded
free-space BB84 quantum key distribution // Laser Physics. — 2008. —
Jun. — Vol. 18, no. 6. — P. 810. — Access mode: https://doi.org/10.
1134/S1054660X08060212.
[6] Experimental studies in quantum cryptography / V. L. Kurochkin,
A. V. Zverev, Yu. V. Kurochkin et al. // Russian Microelectronics. — 2011. — Jul. — Vol. 40, no. 4. — P. 245–253. — Access mode:
https://doi.org/10.1134/S1063739711040068.
80
[7] Kurochkin V. L., Kolyako A. V. Investigating the bit rate of a quantum
key over free space, depending on the conditions of transmission //
Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. — 2016. — Jan. —
Vol. 80, no. 1. — P. 1–4. — Access mode: https://doi.org/10.3103/
S1062873816010147.
[8] Kurochkin V. L., Ryabtsev I. I., Neizvestny I. G. Experimental setup for
quantum cryptography by means of single polarized photons // Technical Physics. — 2005. — Jun. — Vol. 50, no. 6. — P. 727–731. — Access
mode: https://doi.org/10.1134/1.1947348.
[9] Probing free-space quantum channels with laboratory-based experiments / M. Bohmann, R. Kruse, J. Sperling et al. // Phys. Rev.
A. — 2017. — Jun. — Vol. 95. — P. 063801. — Access mode: https:
//link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.95.063801.
[10] High-speed free-space quantum key distribution system for urban daylight applications / M. J. García-Martínez, N. Denisenko, D. Soto
et al. // Appl.
Opt. — 2013. — May. — Vol. 52, no. 14. —
P. 3311–3317. — Access mode: http://ao.osa.org/abstract.cfm?
URI=ao-52-14-3311.
[11] Experimental Demonstration of Free-Space Decoy-State Quantum Key
Distribution over 144 km / Tobias Schmitt-Manderbach, Henning Weier,
Martin Fürst et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Jan. — Vol. 98. —
P. 010504. — Access mode: https://link.aps.org/doi/10.1103/
PhysRevLett.98.010504.
[12] et al. Ursin R. Entanglement-based quantum communication over 144
km // Nature physics. — 2007. — Jan. — Vol. 3. — P. 010504.
[13] et al. Nauerth S. Air-to-ground quantum communication // Nature Photonics. — 2013. — Jan. — Vol. 7. — P. 382–386.
[14] Airborne demonstration of a quantum key distribution receiver payload / Christopher J Pugh, Sarah Kaiser, Jean-Philippe Bourgoin
et al. // Quantum Science and Technology. — 2017. — Vol. 2, no. 2. —
P. 024009. — Access mode: http://stacks.iop.org/2058-9565/2/i=
2/a=024009.
[15] Experimental verification of the feasibility of a quantum channel between
space and Earth / P Villoresi, T Jennewein, F Tamburini et al. // New
Journal of Physics. — 2008. — Vol. 10, no. 3. — P. 033038. — Access
mode: http://stacks.iop.org/1367-2630/10/i=3/a=033038.
81
[16] Feasibility of satellite quantum key distribution / C Bonato, A Tomaello,
V Da Deppo et al. // New Journal of Physics. — 2009. — Vol. 11,
no. 4. — P. 045017. — Access mode: http://stacks.iop.org/
1367-2630/11/i=4/a=045017.
[17] Direct and full-scale experimental verifications towards ground–satellite
quantum key distribution / Jian-Yu Wang, Bin Yang, Sheng-Kai Liao
et al. // Nature Photonics. — 2013. — Vol. 7, no. 5. — P. 387.
[18] Satellite-based entanglement distribution over 1200 kilometers /
Juan Yin, Yuan Cao, Yu-Huai Li et al. // Science. — 2017. — Vol. 356,
no. 6343. — P. 1140–1144.
[19] Long-distance free-space quantum key distribution in daylight towards inter-satellite communication / Sheng-Kai Liao, Hai-Lin Yong,
Chang Liu et al. // Nature Photonics. — 2017. — Vol. 11, no. 8. —
P. 509.
[20] Photon spin-to-orbital angular momentum conversion via an electrically
tunable q-plate / Bruno Piccirillo, Vincenzo D’Ambrosio, Sergei Slussarenko et al. // Applied Physics Letters. — 2010. — Vol. 97, no. 24. —
P. 241104.
[21] Complete experimental toolbox for alignment-free quantum communication / Vincenzo D’ambrosio, Eleonora Nagali, Stephen P Walborn
et al. // Nature communications. — 2012. — Vol. 3. — P. 961.
[22] Free-space quantum key distribution by rotation-invariant twisted photons / Giuseppe Vallone, Vincenzo D’Ambrosio, Anna Sponselli et al. //
Physical review letters. — 2014. — Vol. 113, no. 6. — P. 060503.
[23] High-dimensional intracity quantum cryptography with structured photons / Alicia Sit, Frédéric Bouchard, Robert Fickler et al. // Optica. —
2017. — Vol. 4, no. 9. — P. 1006–1010.
[24] Generalized optical angular momentum sorter and its application to high-dimensional quantum cryptography / Hugo Larocque,
Jérémie Gagnon-Bischoff, Dominic Mortimer et al. // Optics Express. —
2017. — Vol. 25, no. 17. — P. 19832–19843.
[25] A fast and compact quantum random number generator / Thomas Jennewein, Ulrich Achleitner, Gregor Weihs et al. // Review of Scientific Instruments. — 2000. — Vol. 71, no. 4. — P. 1675–1680. —
https://doi.org/10.1063/1.1150518.
82
[26] Multi-bit quantum random number generation by measuring positions
of arrival photons / Qiurong Yan, Baosheng Zhao, Qinghong Liao,
Nanrun Zhou // Review of Scientific Instruments. — 2014. — Vol. 85,
no. 10. — P. 103116. — https://doi.org/10.1063/1.4897485.
[27] An ultrafast quantum random number generator with provably
bounded output bias based on photon arrival time measurements /
Michael Wahl, Matthias Leifgen, Michael Berlin et al. // Applied Physics Letters. — 2011. — Vol. 98, no. 17. — P. 171105. —
https://doi.org/10.1063/1.3578456.
[28] Secure self-calibrating quantum random bit generator /
Marco Fiorentino, C M. Santori, S M. Spillane et al. // Physical
Review A. — 2007. — 01. — Vol. 75.
[29] Optical quantum random number generator / André Stefanov, Nicolas Gisin, Olivier Guinnard et al. // Journal of
Modern Optics. — 2000. — Vol. 47, no. 4. — P. 595–598. —
https://doi.org/10.1080/09500340008233380.
[30] High speed optical quantum random number generation / Harald Fürst,
Henning Weier, Sebastian Nauerth et al. // Opt. Express. — 2010. —
Jun. — Vol. 18, no. 12. — P. 13029–13037. — Access mode: http://
www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-18-12-13029.
[31] Truly Random Number Generation Based on Measurement of Phase
Noise of Laser / Hong Guo, Wenzhuo Tang, Yu Liu, Wei Wei // Physical
review. E, Statistical, nonlinear, and soft matter physics. — 2010. —
05. — Vol. 81. — P. 051137.
[32] Symul T, Assad Syed, Lam Ping Koy. Real time demonstration of
high bitrate quantum random number generation with coherent laser
light // Applied Physics Letters. — 2011. — 07. — Vol. 98. — P. 231103
– 231103.
83
Козубов Антон Владимирович, Гайдаш Андрей Алексеевич, Кынев
Сергей Михайлович, Егоров Владимир Ильич, Иванова Алёна
Евгеньевна, Глейм Артур Викторович, Мирошниченко Георгий
Петрович
Основы квантовых коммуникаций: часть 1
Учебно-методическое пособие
В авторской редакции
Редакционно-издательский отдел Университета ИТМО
Зав. РИО
Н.Ф. Гусарова
Подписано к печати
Заказ №
Тираж
Отпечатано на ризографе
Редакционно-издательский отдел
Университета ИТМО
197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49