Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей
Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но изза того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила,
нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми
знаменателями. Тогда:
Определение
Чтобы сложить
дроби с одинаковыми
знаменателями,
надо
сложить
их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой
дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению
сложения и вычитания дробей получаем:
Ответ
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители —
и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки.
Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже
начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто.
Попробуйте
сделать
то же самое
при вычитании.
получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
В результате
в знаменателе
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель
не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных
дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус
перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно,
не забывайте два простых правила:
1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.
Разберем все это на конкретных примерах:
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Ответ
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере,
мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так,
чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены
в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем
на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крестнакрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3.Последние
множители
в этих
разложениях
равны,
а первые
взаимно просты.
Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Ответ
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое
большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых
выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения
и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше
используйте простую схему, приведенную ниже:
1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим
нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются
по правилам, рассмотренным выше;
2. Собственно,
вычислить
сумму
или разность
полученных
дробей.
В результате мы практически найдем ответ;
3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование,
т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно
описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно
повторите. Примеры:
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому
остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы
упростить
выкладки,
я пропустил
некоторые
очевидные
шаги
в последних примерах.
Ответ
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби
с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается
именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь.
Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи
обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними
в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Резюме: общая схема вычислений
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму
или разность двух и более дробей:
1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите
эти дроби в неправильные;
2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас
способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями;
4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась
неправильной, выделите целую часть.
Помните,
что выделять
целую
часть
лучше
в самом
конце
задачи,
непосредственно перед записью ответа.
Умножение и деление дробей
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение
и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение
дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость
состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание.
Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби
без выделенной целой части.
Определение
Чтобы умножить
и знаменатели.
Первое
две
дроби,
число
надо
будет
отдельно
числителем
умножить
их числители
новой дроби,
а второе —
знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую»
вторую.
Обозначение
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы
«перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель.
Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате
умножения
может возникнуть (и зачастую
действительно
возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех
сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть.
Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю:
никаких
методов
«крест-накрест»,
наибольших
множителей
и наименьших
общих кратных.
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
По определению имеем:
Ответ
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные —
и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно
вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
1.
Плюс на минус дает минус;
2.
Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании
отрицательных
дробей,
когда
требовалось
избавиться
от целой части.
Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
1.
Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут.
В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2.
Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать
к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось
пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы
умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Ответ
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой
частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается
двух последних примеров).
Также
обратите
внимание
на отрицательные
числа:
при умножении
они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков
умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно
большие,
и чтобы
еще до умножения.
упростить
задачу,
Ведь по существу,
можно
попробовать
числители
сократить
и знаменатели
дробь
дробей —
это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное
свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
По определению имеем:
Ответ
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись
сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью.
На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором
примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений
все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании
дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить.
Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется
сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби
нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому
правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Правильное решение:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте
внимательны.