КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 3 «Эрмитовы операторы. Коммутатор операторов»

*
*
∫ div(ψ1∇ψ 2 )dV = ∫ ψ1 ∇ψ 2 ⋅ ds по теореме Остроградскогоr
Гаусса, ∫ ψ1*∇ψ 2 ⋅ ds = 0 – по свойству функций.
r
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Решение задач по теме 3:
Тогда
«Эрмитовы операторы.
Коммутатор операторов»
{ (
Задачи
1. Найдите правило эрмитового сопряжения произведения
операторов.
Правило получим, пользуясь следующими преобразованиями
матричных элементов операторов L̂ и M̂ .
( )
( )
(( ) )
( ( ) ) (
)(
)
= ∑ (Lˆ ψ ;ψ )(Mˆ ψ ;ψ ) = ∑ (ψ ; Lˆ ψ )(ψ ; Mˆ ψ ) =
= ∑ (ψ ; Mˆ ψ )(ψ ; Lˆ ψ ) =(ψ ; Mˆ Lˆ ψ ) = (ψ ; Mˆ Lˆ ψ ) ,
(LˆMˆ ) = Mˆ Lˆ .
Ответ: (Lˆ Mˆ ) = Mˆ Lˆ .
⎛⎜ Lˆ Mˆ + ⎞⎟ = ⎛⎜ψ ; Lˆ Mˆ +ψ ⎞⎟ = Lˆ Mˆ ψ ;ψ =
k
n
k
⎠
⎝
⎠ nk ⎝ n
*
*
*
= ψ k ; Lˆ Mˆ ψ n = ∑ ψ k ; Lˆ ψ m ψ m ; Mˆ ψ k =
m
+
m
k
k
m
m
m
+
n
k
m
m
+
+
k
m
m
+ +
n
k
+ +
n
k
n
m
+
+
+ +
+ +
2. Докажите, что оператор Лапласа является самосопряженным.
Воспользуемся равенствами r
r r
Δϕ = div∇ϕ и div ϕB = ϕdivB + B ⋅ ∇ϕ .
Рассмотрим произвольные функции ψ1 и ψ 2 , интегрируемые
с квадратом модуля и равные нулю на бесконечности. Найдем
(ψ1 ; Δψ 2 ) = ∫ ψ1*Δψ 2 dV = ∫ ψ1* div(∇ψ 2 )dV =
( )
= ∫ div
(
ψ1*∇ψ 2
)dV − ∫
∇ψ1*
⋅ ∇ψ 2 dV .
(ψ1 ; Δψ 2 ) = − ∫ ∇ψ1* ⋅ ∇ψ 2 dV = − ∫ ∇ψ 2 ⋅ ∇ψ1*dV =
)
}
= − ∫ div ψ 2 ⋅ ∇ψ1* − ψ 2 div∇ψ1* dV = ∫ ψ 2 Δψ1* dV = ∫ Δψ1*ψ 2 dV .
Выполняется условие самосопряженности оператора
(ψ1 ; Δψ 2 ) = (Δψ1 ; ψ 2 ) ,
что требовалось доказать.
3. Оператор Â эрмитов. Является ли оператор Bˆ = CAˆ ,
где C – произвольная константа, тоже эрмитовым?
Согласно определению эрмитового оператора
ψ , Aˆ ϕ = Aˆ ψ , ϕ ,
где ψ и ϕ – произвольные функции. Т.е.
(
) (
)
∫ψ (x )Aˆ ϕ (x )dx = ∫ Aˆ ψ (x )ϕ (x )dx .
*
*
*
Воспользуемся этим определением для оператора B€
∫ψ (x )CAˆ ϕ (x )dx = C ∫ψ (x )Aˆ ϕ (x )dx =
= C ∫ Aˆ ψ ( x )ϕ ( x )dx = ∫ CAˆ ψ ( x )ϕ (x )dx ,
следовательно, ∫ψ (x )Bˆ ϕ ( x )dx = ∫ Bˆ ψ ( x )ϕ ( x )dx выполняется
*
*
*
*
*
*
*
*
*
для действительных C .
Ответ: является при действительном C.
4. Найдите оператор, сопряженный оператору трансляции
координаты x на величину a Tˆaψ ( x ) = ψ ( x + a ) .
Воспользуемся определением эрмитовости оператора
(ψ (x );Tˆ ψ (x)) = (Tˆ ψ (x);ψ (x ))
1
a
+
a
2
1
2
или в явном виде:
∫ψ (x )Tˆ ψ (x )dx = ∫ Tˆ ψ (x )ψ (x )dx .
*
1
a
+
a
2
*
1
2
Воспользуемся определением оператора трансляции
Tˆaψ ( x ) = ψ ( x + a ) :
2
∫ψ (x )Tˆ ψ (x )dx = ∫ψ (x )ψ (x + a )dx .
*
1
a
*
1
2
2
Поскольку интегрирование ведется по всему координатному
пространству, замена x + a = x′ не отразится на пределах интегрирования:
ψ 1* ( x′ − a )ψ 2 (x′)dx′ = Tˆ− aψ 1* ( x′)ψ 2 ( x′)dx′ ,
∫
∫
то есть Tˆa+ = Tˆ− a .
Ответ: Tˆa+ = Tˆ− a .
5. Докажите, что собственные значения эрмитового оператора действительны.
Пусть ψ n и λ n – собственные функции и собственные значе-
ния эрмитового оператора L̂ . Тогда они связаны определением:
Lˆ ψ n = λnψ n .
Умножим это уравнение слева скалярно на ψ n :
(
)
ψ n ; Lˆ ψ n = (ψ n ; λnψ n ) = λn (ψ n ;ψ n ) = λn .
Умножим это уравнение справа скалярно на ψ n :
(Lˆψ ;ψ ) = (λ ψ ;ψ ) = λ (ψ ;ψ
n
n
*
n
n
*
n
n
n
) (
7. Докажите, что собственные функции вырожденного состояния ортогональны друг другу.
Пусть оператор L̂ обладает дискретным спектром собственных значений и имеет место вырождение:
Lˆψ ni = λnψ ni ,
(1)
где i = 1, 2, ..., mn . Здесь одному и тому же собственному значе-
mn
)
что возможно только для действительных собственных значений.
6. Докажите, что невырожденные собственные функции
оператора L̂ , принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.
Пусть λ и μ – различные ( λ ≠ μ ) собственные значения опе-
ратора L̂ , а ψ и φ – его собственные функции, соответствующие
этим собственным значениям.
Тогда для ψ и φ выполняется определение
3
(3)
По определению эрмитового оператора левая часть равенства
равна 0, по условию λ ≠ μ , следовательно, (ψ; φ) = 0 , что возможно, только если эти функции ортогональны, что требовалось
доказать.
ций ψ nj = ∑ Cij ψ ni . Эта функция нормирована на единицу. Пока-
ψ n ; Lˆ ψ n = Lˆ ψ n ;ψ n и λ*n = λ n ,
L̂ψ = λψ ,
L̂φ = μφ .
( ) ( ) ( )
(ψ ; Lˆφ ) = (ψ ; μφ ) ⇒ (ψ ; Lˆφ ) = μ (ψ ;φ ) .
Вычтем одно из другого
(Lˆψ ;φ )− (ψ ; Lˆφ ) = (λ − μ )(ψ ;φ ) .
нию λ n принадлежит несколько ( mn ) собственных функций
ψ n1 , ψ n 2 , ..., ψ nmn , где mn – кратность вырождения. Уравнению
(1) удовлетворяет также любая линейная комбинация этих функ-
*
n ) = λn .
Так как оператор L̂ эрмитов, то
(
Домножим (1) на φ справа, а (2) на ψ слева и учтем действительность собственных значений
Lˆ ψ ;φ = λ*ψ ;φ ⇒ Lˆ ψ ;φ = λ (ψ ;φ ) ,
(1)
i =1
жем, что если данные функции ψ ni неортогональны, то мы можем заменить их последовательностью функций, являющихся их
линейной комбинацией, и потребовать, чтобы они были ортогональными.
Рассмотрим случай двукратного вырождения. Пусть имеет
место
Lˆ ψ 1 = λψ 1 ; Lˆ ψ 2 = λψ 2 .
Допустим, ψ1 и ψ 2 неортогональны, т. е. (ψ1 , ψ 2 ) ≠ 0. Вместо ψ1 и ψ 2 выберем ортогональные друг другу функции ψ1′ = ψ1
и ψ′2 = ψ1 + aψ 2 , тогда (ψ1′ , ψ′2 ) = 0, т. е.
(2)
4
откуда
(ψ1, ψ1 + aψ 2 ) = 0 ; (ψ1, ψ1 ) + a(ψ1, ψ 2 ) = 0,
(ψ , ψ )
a = − 1 1 . Аналогично можно провести ортогонализа(ψ1, ψ 2 )
цию собственных функций и при mn -кратном вырождении.
8. Покажите, что унитарный оператор Û можно предстаˆ
вить в виде Uˆ = eiΦ , где Φ̂ – некоторый эрмитов оператор.
Если Uˆ = eiΦ , то Uˆ −1 = e − iΦ .
Покажем, что Uˆ −1 = Uˆ + . Разложим экспоненту в ряд
ˆ
ˆ
2
3
ˆ +i Φ
ˆ2+i Φ
ˆ 3 + ...
Uˆ = e = 1 + iΦ
2!
3!
2
3
ˆ
ˆ +i Φ
ˆ2−i Φ
ˆ 3 + ...
Uˆ −1 = e − iΦ = 1 − iΦ
2!
3!
ˆ
ˆ и его любая стеПоскольку оператор Φ̂ эрмитов, то Φ + = Φ
n
+
ˆn= Φ
ˆn = Φ
ˆ + , собирая члены разложения опять в экспень Φ
поненту, получим Uˆ −1 = Uˆ + .
[ pˆ x ; xˆ ]ψ
Поскольку функция была выбрана произвольно, то равенство
доказано.
б) Аналогично пункту а)
[pˆ ; xˆ ]ψ = pˆ xˆψ − xˆpˆ ψ = −ih ∂∂y (xψ ) + xih ∂∂y ψ =
y
[
]
f (x€) – функция оператора x€;
[[ ] [
] [ [ ]]
∂f ( xˆ )
, где
∂x
г) aˆ; bˆ; cˆ + bˆ; [cˆ; aˆ ] + cˆ; aˆ; bˆ = 0 .
а) Найдем коммутатор, действуя им на некоторую произвольную функцию ψ(x, y, z ) .
[ pˆ x ; xˆ ]ψ .
Раскроем коммутатор и подставим явный вид операторов
xˆ = x , pˆ x = −ih
∂
.
∂x
y
∂ψ
∂ψ
+ ihx
= 0.
∂y
∂y
в) Покажем, что действие коммутатора на произвольную
функцию ψ(x, y, z ) равносильно умножению этой функции на
правую часть равенства
[ f (xˆ ) pˆ x ; f (xˆ )]ψ
= −ψih
∂f ( xˆ )
.
∂x
Для этого раскроем коммутатор и подставим явный вид операторов xˆ = x , pˆ x = −ih
9. Докажите следующие равенства для коммутаторов:
а) [ pˆ x ; xˆ ] = −ih ; б) pˆ y ; xˆ = 0 ; в) [ f ( xˆ ) pˆ x ; f ( xˆ )] = −ih
y
= −ihx
ˆ
iΦ
( ) ( )
∂
(xψ ) + xih ∂ ψ =
∂x
∂x
∂ψ
∂ψ
= −ihψ − ihx
+ ihx
= −ihψ .
∂x
∂x
= pˆ x xˆψ − xˆpˆ xψ = −ih
[ pˆ x ; f (xˆ )]ψ
= −ih
∂
.
∂x
= pˆ x f ( xˆ )ψ − f ( xˆ ) pˆ xψ = −ih
∂
( f (xˆ )ψ ) + f (xˆ )ih ∂ ψ =
∂x
∂x
∂f ( xˆ )
∂ψ
∂ψ
∂f ( xˆ )
ψ − ihf ( xˆ )
+ ihf ( xˆ )
= −ihψ
,
∂x
∂x
∂x
∂x
что требовалось доказать.
г) Раскроем коммутаторы
[aˆ; [bˆ; cˆ]]+ [bˆ;[cˆ; aˆ ]]+ [cˆ; [aˆ; bˆ]] =
= aˆ (bˆcˆ − cˆbˆ ) − (bˆcˆ − cˆbˆ )aˆ + bˆ(cˆaˆ − aˆcˆ ) − (cˆaˆ − aˆcˆ )bˆ + cˆ(aˆbˆ − bˆaˆ ) − (aˆbˆ − bˆaˆ )cˆ =
= aˆbˆcˆ − aˆcˆbˆ − bˆcˆaˆ + cˆbˆaˆ + bˆcˆaˆ − bˆaˆcˆ − cˆaˆbˆ + aˆcˆbˆ + cˆaˆbˆ − cˆbˆaˆ − aˆbˆcˆ + bˆaˆcˆ = 0.
Для наглядности подчеркнуты некоторые одинаковые слагаемые с разными знаками.
5
6
10. Найдите коммутаторы операторов
а) Lˆ x ; xˆ ; б) Lˆ x ; yˆ ; в) Lˆ x ; zˆ ; г) Lˆ x ; pˆ x ; д)
[ ]
[ ]
[ ]
[
е) [Lˆ ; pˆ ]; ж) [Lˆ ; Lˆ ]; з) [Lˆ ; Lˆ ]; и) [Lˆ ; Lˆ ] .
]
[
]
Lˆ x ; pˆ y ;
2
x
z
x
x
y
z
x
а) Найдем коммутатор операторов, используя соотношение
между операторами проекции момента импульса и проекции импульса и координаты
Lˆ x = yˆ pˆ z − zˆpˆ y .
[Lˆ ; xˆ ] = Lˆ xˆ − xˆLˆ = (yˆpˆ
ˆpˆ y )xˆ − xˆ ( yˆ pˆ z − zˆpˆ y ) =
x
x
x
z − z
= yˆ pˆ z xˆ − zˆpˆ y xˆ − xˆyˆpˆ z + xˆzˆpˆ y = xˆyˆ pˆ z − xˆzˆpˆ y − xˆyˆ pˆ z + xˆzˆpˆ y = 0 .
б) Аналогично пункту а)
[Lˆ ; yˆ] = Lˆ yˆ − yˆLˆ = (yˆpˆ
x
x
x
z
− zˆpˆ y )yˆ − yˆ ( yˆ pˆ z − zˆpˆ y ) =
= yˆ pˆ z yˆ − zˆpˆ y yˆ − yˆyˆ pˆ z + yˆzˆpˆ y = yˆ yˆpˆ z − zˆ ( yˆ pˆ y − ih ) − yˆ yˆpˆ z + yˆ zˆpˆ y = ihzˆ
.
Здесь использованы результаты предыдущей задачи. Из коммутатора pˆ y yˆ − yˆ pˆ y = −ih следует pˆ y yˆ = yˆpˆ y − ih .
в) Аналогично пункту б)
Lˆ x ; zˆ = −ihyˆ .
г)
[Lˆ ; pˆ ] = (yˆpˆ
д)
[
[ ]
− zˆpˆ y ) pˆ x − pˆ x ( yˆ pˆ z − zˆpˆ y ) =
= yˆ pˆ z pˆ x − zˆpˆ y pˆ x − pˆ x yˆ pˆ z + pˆ x zˆpˆ y =
= yˆ pˆ z pˆ x − zˆpˆ x pˆ y − yˆ pˆ z pˆ x + zˆpˆ x pˆ y = 0.
Lˆ ; pˆ = ( yˆpˆ − zˆpˆ ) pˆ − pˆ ( yˆpˆ − zˆpˆ ) =
x
x
x
y
]
z
z
y
y
y
z
= Lˆ x zˆpˆ x − Lˆ x xˆpˆ z − zˆpˆ x Lˆ x + xˆpˆ z Lˆ x =
= zˆLˆ x − ihyˆ pˆ x − xˆLˆ x pˆ z − zˆpˆ x Lˆ x + xˆpˆ z Lˆ x =
= zˆpˆ x Lˆx − ihyˆpˆ x − xˆ pˆ z Lˆx − ihpˆ y − zˆpˆ x Lˆ x − xˆpˆ z Lˆ x =
= −ihyˆ pˆ x − xˆpˆ z Lˆ x + ihxˆpˆ y + xˆpˆ z Lˆ x = ih(xˆpˆ y − yˆpˆ x ) = ihLˆ z .
(
)
(
)
з) Аналогично пункту ж)
[Lˆ ; Lˆ ] = ihLˆ .
и) Используем результаты предыдущих пунктов
[Lˆ ; Lˆ ] = Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ (Lˆ + Lˆ + Lˆ ) − (Lˆ + Lˆ
x
2
2
x
y
2
x
x
z
2
x
x
2
y
2
x y
(
(
)
2
x z
(
2
x
y
x
z
)
x
(
(
z
y
y
y
x
y
2
z
) (
z
z
y
y
[ ]
[ ]
[ ]
г) [Lˆ ; pˆ ] = 0 , д) [Lˆ ; pˆ ] = ihpˆ , е) [Lˆ ; pˆ ] = −ihpˆ ,
ж) [Lˆ ; Lˆ ] = ihLˆ , з) [Lˆ ; Lˆ ] = ihLˆ , и) [Lˆ ; Lˆ ] = 0 .
x
x
x
y
z
x
z
y
2
x
y
z
x
y
z
y
y
− Lˆ y Lˆ x = Lˆ x ( zˆpˆ x − xˆpˆ z ) − ( zˆpˆ x − xˆpˆ z )Lˆ x =
7
)
+ Lˆ2z Lˆx =
z
)
)
Ответ: a) Lˆ x ; xˆ = 0 , б) Lˆ x ; yˆ = ihzˆ , в) Lˆ x ; zˆ = −ihyˆ ,
ж) Используем результаты предыдущих пунктов и соотношения Lˆ y = zˆpˆ x − xˆpˆ z , Lˆ z = xˆpˆ y − yˆ pˆ x .
x
2
y
)
[Lˆ ; pˆ ] = −ihpˆ .
[Lˆ ; Lˆ ] = Lˆ Lˆ
2
y
= Lˆ2x Lˆx + Lˆ y Lˆx + ihLˆz Lˆ y + Lˆz Lˆx − ihLˆ y Lˆ z − Lˆ2x Lˆx − Lˆ2y Lˆx − Lˆ2z Lˆ x =
= ih Lˆz Lˆ y − Lˆ y Lˆz + Lˆ y Lˆ y Lˆx + ihLˆ z + Lˆ z Lˆ z Lˆ x − ihLˆ y −
− Lˆ2 Lˆ − Lˆ2 Lˆ = ih Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = 0 .
e) Аналогично пункту д)
z
2
x
= Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆx − Lˆ Lˆ x − Lˆ Lˆx =
2
x x
= yˆ pˆ z pˆ x − zˆpˆ y pˆ x − pˆ x yˆ pˆ z + pˆ x zˆpˆ y =
= yˆ pˆ z pˆ y − zˆpˆ y pˆ y − ( yˆ pˆ y − ih ) pˆ z + zˆpˆ x pˆ y = ihpˆ z .
x
2
z
8
x
11. Докажите, что [ pˆ x ; f ( xˆ )] = pˆ x f ( xˆ ) − f (xˆ ) pˆ x =
f ( xˆ ) – функция оператора x̂ .
Воспользуемся
pˆ x = −ih
явным
видом
оператора
импульса
∂
и подействуем коммутатором [ pˆ x ; f ( xˆ )] на произ∂x
вольную дифференцируемую функцию ψ(x ) :
[ pˆ x ; f (xˆ )]ψ (x ) = pˆ x f (xˆ )ψ (x ) − f (xˆ ) pˆ xψ (x ) =
∂
( f (x )ψ(x )) − f (x )⎛⎜ − ih ∂ ⎞⎟ψ(x ) =
∂x
∂x ⎠
⎝
∂f
∂f
∂ψ
∂ψ
h ∂f
= − ih ψ =
ψ,
= − i h ψ − ih
f + i hf
∂x
∂x
∂x
∂x
i ∂x
поскольку функция произвольная, то равенство доказано.
= − ih
12. Докажите, что физические величины L и M одновременно могут быть точно измерены тогда и только тогда, когда
операторы этих величин L̂ и M̂ коммутируют.
Пусть у этих операторов существует произвольная общая
собственная функция ψ , и собственные значения операторов,
которым соответствует эта функция λ и μ тогда
Lˆ Mˆ ψ = Lˆ μψ = λμψ , MˆLˆ ψ = Mˆ λψ = μλψ ,
вычтем одно равенство из другого
MˆLˆ ψ − Lˆ Mˆ ψ = μλψ − λμψ = 0 ,
тогда Mˆ ; Lˆ = MˆLˆ − Lˆ Mˆ = 0 , что требовалось доказать.
[
]
13. Перейдите от классической скобки Пуассона к квантовой, считая, что ее свойства сохраняются и для операторов.
Используем свойство классической скобки Пуассона
( f ; gϕ) = g ( f ; ϕ) + ( f ; g )ϕ ,
где f , g , ϕ – функции, представляющие физические величины.
По первой аксиоме квантовой механики это же соотношение
справедливо и для операторов физических величин fˆ , gˆ ,ϕ̂ . Используем это соотношение для операторов, считая сначала произведением первое слагаемое, а затем – второе. Получим:
9
( fˆ fˆ ; gˆ ) = ( fˆ ; gˆ ) fˆ + fˆ ( fˆ ; gˆ ),
( fˆ ; gˆ gˆ ) = ( fˆ ; gˆ )gˆ + gˆ ( fˆ ; gˆ ).
h ∂f
, где
i ∂x
1 2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
Положим в первом равенстве gˆ = gˆ1 gˆ 2 и используем второе равенство, получим
f€1 f€2 ; g€1 g€2 = f€1 ; g€1 g€2 f€2 + f€1 f€2 ; g€1 g€2 =
(
(( )
( )
(
) (
)
))
( )
((
(
(
)
)
)
(
))
= fˆ1; gˆ1 gˆ 2 + gˆ1 fˆ1; gˆ 2 fˆ2 + fˆ1 fˆ2 ; gˆ1 gˆ 2 + gˆ1 fˆ2 ; gˆ 2 =
= fˆ1; gˆ1 gˆ 2 fˆ2 + gˆ1 fˆ1; gˆ 2 fˆ2 + fˆ1 fˆ2 ; gˆ1 gˆ 2 + fˆ1 gˆ1 fˆ2 ; gˆ 2 .
Положим во втором равенстве fˆ = fˆ fˆ и используем первое ра-
(
)
1 2
венство, получим
f€1 f€2 ; g€1 g€2 = f€1 f€2 ; g€1 g€2 + g€1 f€1 f€2 ; g€2 =
(
) (
)
(
)
(( ) ( )) (( ) ( ))
( )
( ) ( )
( )
Сравнивая правые части, получаем равенство
( fˆ ; gˆ )[ fˆ gˆ − gˆ fˆ ] = [ fˆ gˆ − gˆ fˆ ]( fˆ ; gˆ ),
= fˆ1; gˆ1 fˆ2 + fˆ1 fˆ2 ; gˆ1 gˆ 2 + gˆ1 fˆ1; gˆ 2 fˆ2 + fˆ1 fˆ2 ; gˆ 2 =
= fˆ1; gˆ1 fˆ2 gˆ 2 + fˆ1 fˆ2 ; gˆ1 gˆ 2 + gˆ1 fˆ1; gˆ 2 fˆ2 + gˆ1 fˆ1 fˆ2 ; gˆ 2 .
1
1
2
2
2 2
1 1
1 1
2
2
справедливое для любых самосопряженных операторов. Следовательно,
fˆ ; gˆ = C fˆgˆ − gˆfˆ .
( ) [
В силу самосопряженности
]
fˆ = fˆ , gˆ + = gˆ , получаем, что
+
C * = −C . (Размерность С должна быть обратной размерности
действия по аналогии с классической скобкой Пуассона
∞ ⎛
⎞
( f ; g ) = ∑ ⎜⎜ ∂f ∂g − ∂g ∂f ⎟⎟ , величина C = i вполне удовлетвоh
∂pi ∂qi ⎠
i =1 ⎝ ∂pi ∂qi
ряет этому свойству.) Квантовая скобка Пуассона
( fˆ ; gˆ ) = hi [ fˆgˆ − gˆfˆ ].
i
Ответ: ( fˆ ; gˆ ) = [ fˆgˆ − gˆfˆ ].
h
10
14. Докажите, что квантовые скобки Пуассона определяются коммутатором следующим образом:
{Fˆ , Qˆ }= hi (FˆQˆ − Qˆ Fˆ ).
Квантовые скобки Пуассона для физических величин F и Q
определяются условием:
⎛
⎞
{F, Q} = ∑ ⎜⎜ ∂F ∂Q − ∂F ∂Q ⎟⎟ ,
(1)
⎝ ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi ⎠
где pi , qi – обобщенные импульсы и координаты соответствен-
{
}
но. Рассмотрим Fˆ1 ⋅ Fˆ2 , Qˆ . Эти квантовые скобки в соответствии
с условием (1) имеют значение:
{Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ }= ∑ ⎛⎜⎜ ∂(F∂ˆ p⋅ Fˆ ) ∂∂qQˆ − ∂(F∂ˆ q⋅ Fˆ ) ∂∂pQˆ ⎞⎟⎟ =
1
1
2
⎝
2
1
i
i
{
{
} { }{ }
} { }{ }
Рассчитаем произведение {Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ ⋅ Qˆ }, используя сначала
равенство (2), затем (3):
{Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ ⋅ Qˆ }= Fˆ {Fˆ , Qˆ ⋅ Qˆ }+ {Fˆ , Qˆ ⋅ Qˆ }Fˆ =
= Fˆ Qˆ {Fˆ , Qˆ }+ Qˆ {Fˆ , Qˆ }Fˆ + Fˆ {Fˆ , Qˆ }Qˆ + {Fˆ , Qˆ }Qˆ Fˆ . (4)
Затем рассчитаем {Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ ⋅ Qˆ }, используя сначала равенство (3), затем (2):
{Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ ⋅ Qˆ }= Qˆ {Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ }+ {Fˆ ⋅ Fˆ , Qˆ }Qˆ =
= Qˆ Fˆ {Fˆ , Qˆ }+ Fˆ {Fˆ , Qˆ }Qˆ + Qˆ {Fˆ , Qˆ }Fˆ + {Fˆ , Qˆ }Fˆ Qˆ . (5)
Вычтем из равенства (4) равенство (5):
(Qˆ Fˆ − Fˆ Qˆ ){Fˆ , Qˆ }− {Fˆ , Qˆ }(Fˆ Qˆ − Qˆ Fˆ ) = 0 . (6)
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1 1
2
2
1 1
1
2
2
1
1 1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
11
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
)
ˆ ˆ
2 − Q2 F2 .
(7)
2
2
2
Так как условия (7) должны выполняться для любых операторов, то они должны выполняться и для операторов pˆ x = −ih
∂
и
∂x
xˆ = x . В соответствии с условием (1) и учитывая то, что обобщенные импульс p x и координата x независимы,
⎛
∂x ⎞
⎟ = 1,
∂x ∂px ⎟⎠
{px , x} = ∑ ⎜⎜ ∂px ∂x − ∂px
⎝ ∂p x ∂x
{pˆ x , xˆ} = C (− ih )⎛⎜ ∂
i
Рассмотрим первое и третье и второе и четвертое слагаемые,
получим:
(2)
Fˆ1 ⋅ Fˆ2 , Qˆ = Fˆ1 Fˆ2 , Qˆ + Fˆ1 , Qˆ Fˆ2 .
Аналогично
(3)
Fˆ , Qˆ1 ⋅ Qˆ 2 = Qˆ1 Fˆ , Qˆ 2 + Fˆ , Qˆ1 Qˆ 2 .
1
{ } (
{Fˆ , Qˆ }= C (Fˆ Qˆ
но так как из (7):
2
⎠
ˆ
ˆ
ˆ
⎛ ∂Fˆ ∂Q ˆ
∂Fˆ ∂Q ∂Fˆ1 ∂Q ˆ
∂Fˆ ∂Qˆ ⎞⎟
= ∑ ⎜⎜ 1
−
F2 + Fˆ1 2
F2 − Fˆ1 2
⎟.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
p
q
p
q
q
p
q
p
i
i
i
i
i
i
i
i
⎝
⎠
i
Чтобы равенство (6) было абсолютным, необходимо, чтобы
выполнялись условия:
Fˆ1 , Qˆ1 = C Qˆ1Fˆ1 − Fˆ1Qˆ1 ,
⎝ ∂x
то необходимо, чтобы
C=
{ } h(
)
i
то есть Fˆ , Qˆ = FˆQˆ − Qˆ Fˆ .
x−x
∂ ⎞
⎟ = 1,
∂x ⎠
i
,
h
Квантовые скобки Пуассона пропорциональны коммутатору
рассматриваемой пары операторов, причем коэффициент пропорi
циональности равен .
h
r
15. Проверьте, является ли импульс p̂ интегралом движения в центральном поле.
Необходимым и достаточным условием того, что физическая
величина является интегралом движения, является равенство нулю производной по времени от соответствующего оператора
r
r
r
dpˆ ∂pˆ
+ Hˆ , pˆ = 0 ,
=
dt ∂t
{ }
{ r} hi [Hˆ , prˆ ] – квантовые скобки Пуассона, выраженные
где Hˆ , pˆ =
12
r
r
pˆ 2 ˆ
ˆ
H=
+ U (r ) ,
2m
через коммутатор оператора p̂ с оператором Гамильтона. В центральном поле оператор Гамильтона имеет вид:
r
pˆ 2
ˆ
H=
+ Uˆ (r ) ,
2m
r
где r – модуль радиус-вектора. Оператор p̂ явно не зависит от
времени, следовательно, его частная производная равна нулю, он
r
pˆ 2
, но не
коммутирует со слагаемым кинетической энергии
2m
коммутирует с оператором потенциальной энергии:
[Uˆ (r ), prˆ ]ψ = Uˆ (r ) prˆ ψ − prˆ Uˆ (r )ψ = −ih(Uˆ (r )∇ψ − ∇(Uˆ (r )ψ )) =
(
(
)
[
]
)
(
)
= −ih Uˆ (r )∇ψ − ∇Uˆ (r )ψ − Uˆ (r )(∇ψ ) = −ih ∇Uˆ (r ) ψ ,
следовательно, коммутатор
r
Uˆ (r ), pˆ = −ih∇Uˆ (r ) .
Вывод: оператор импульса не является интегралом движения
в центрально симметричном поле.
r̂
16. Проверьте, является ли момент импульса L интегралом движения в центральном поле.
Необходимым и достаточным условием того, что физическая
величина является интегралом движения, является равенство нулю производной по времени от соответствующего оператора
{ rˆ}
{ }
rˆ
rˆ
rˆ
dL ∂L
=
+ Hˆ , L = 0 ,
dt ∂t
i ⎡ ˆ rˆ ⎤
H , L – квантовые скобки Пуассона, выраженные
⎥⎦
h ⎢⎣
r̂
через коммутатор оператора L с оператором Гамильтона. Операr̂
тор L явно не зависит от времени, следовательно, его частная
где Hˆ , L =
производная равна нулю. В центральном поле оператор Гамильтона имеет вид:
где r – модуль радиус-вектора. Найдем коммутатор оператора
одной из проекций импульса Lˆ z = xˆpˆ y − yˆ pˆ x с оператором Гамильтона:
[Hˆ , Lˆ ] = 21m [( pˆ
z
2
x
] [
)
]
+ pˆ y2 + pˆ z2 , xˆpˆ y − yˆ pˆ x + Uˆ (r ), xˆpˆ y − yˆpˆ x .
Операторы xˆpˆ y и yˆ pˆ x коммутируют с p̂ z . Воспользуемся
[
]
соотношением [ pˆ x , xˆ ] = −ih и pˆ x , pˆ y = 0 .
[Hˆ , Lˆ ] = 2pˆm [pˆ , xˆ ] − 2pˆm [pˆ , yˆ ] + xˆ[Uˆ (r ), pˆ ]− yˆ [Uˆ (r ), pˆ ] =
y
z
2
x
x
2
y
y
x
pˆ pˆ
⎛ pˆ pˆ
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞⎞
= −ih⎜⎜ y x − x y + xˆ⎜⎜Uˆ (r ) − Uˆ (r )⎟⎟ − yˆ ⎜Uˆ (r ) − Uˆ (r )⎟ ⎟⎟ =
m
∂y ∂y
∂x ∂x
⎝
⎠⎠
⎝
⎠
⎝ m
⎛ ⎛
∂ ∂Uˆ (r ) ˆ
∂⎞ ⎛
∂ ∂Uˆ (r ) ˆ
∂ ⎞⎞
= −ih⎜ xˆ⎜⎜Uˆ (r ) −
− U (r ) ⎟⎟ − yˆ ⎜⎜Uˆ (r ) −
− U (r ) ⎟⎟ ⎟ = 0.
⎜
∂y
∂y
∂y ⎠ ⎝
∂x
∂x
∂x ⎠ ⎟⎠
⎝ ⎝
Аналогично можно показать, что Hˆ , Lˆ = 0 и Hˆ , Lˆ = 0 .
[
x
]
[
x
]
Вывод: оператор момента импульса является интегралом движения в центральном поле.
17. Проверьте, является ли квадрат момента импульса L€2
интегралом движения в центральном поле.
Поскольку оператор L̂2 явно не зависит от времени, следовательно, его частная производная равна нулю. Тогда необходимым
и достаточным условием того, что физическая величина является
интегралом движения, является равенство нулю скобки Пуассона
соответствующего квантового оператора с оператором Гамильтона.
{Hˆ ; Lˆ }= hi [Hˆ ; Lˆ ] = hi (Hˆ Lˆ − Lˆ Hˆ ).
2
2
2
2
Оператор Гамильтона для частицы в центральном поле имеет вид:
13
14
Lˆ2
Hˆ =
+ U (r ) ,
2mr 2
h2 ∂
1 ∂2
∂
где Lˆ2 = −
– оператор, содержа+ 2
sin θ
∂θ sin θ ∂ 2ϕ
sin θ ∂θ
щий только производные по угловым переменным, следовательно, он коммутирует с любой функцией радиальной переменной.
Тогда
[
]
[
]
⎡ Lˆ2 ˆ2 ⎤ ˆ
2
ˆ
ˆ
H;L = ⎢
; L ⎥ + U (r ); Lˆ2 = 0 ,
2
⎦
⎣ 2mr
следовательно, момент количества движения является интегралом
движения. В классическом случае модуль момента импульса сохраняется.
18. Покажите, что квадрат момента количества движения
свободной частицы является интегралом движения.
Поскольку оператор L̂2 явно не зависит от времени, следовательно, его частная производная равна нулю. Тогда необходимым
и достаточным условием того, что физическая величина является
интегралом движения, является равенство нулю скобки Пуассона
соответствующего квантового оператора с оператором Гамильтона.
{Hˆ ; Lˆ }= hi [Hˆ ; Lˆ ] = hi (Hˆ Lˆ − Lˆ Hˆ ).
2
2
2
2
Оператор Гамильтона для свободной частицы имеет вид:
Поскольку коммутатор
Pˆ 2
.
Hˆ =
2m
[Hˆ ; Lˆ ] = ⎡⎢ 2Pˆm ; Lˆ ⎤⎥ = 21m [Pˆ ; Lˆ ] = 0 ,
2
2
⎣
2
2
⎦
2
следовательно, момент количества движения является интегралом
движения свободной частицы. В классическом случае модуль
момента импульса свободной частицы сохраняется.
15