kontrolnaya IPTM

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку
чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставить поля 4–5 см для замечаний
рецензента.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента,
его инициалы, шифр зачетной книжки, номер контрольной работы, название дисциплины. В
конце работы следует поставить дату ее выполнения.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго согласно
варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего
варианта, не засчитываются.
4. Решения задач должны располагаться в порядке возрастания номеров задач.
5. Перед решением каждой из задач необходимо полностью выписать ее условие.
6. . Номер варианта контрольной работы определяется по последним двум цифрам номера
зачетной книжки студента и соответствует этим двум цифрам, если они образуют число от 01
до 25. Если же число больше 25, то номер варианта равен остатку после деления этого числа
на 25. Если же в остатке получился 0, тогда ваш вариант 25.
Например:
Шифр 235602, следовательно, вариант №2.
Шифр 235613, следовательно, вариант №13.
Шифр 235600, следовательно, вариант №25.
Шифр 235697, следовательно,
97
22
 3 , остаток 22, вариант №22.
25
25
7. Работы принимают в дирекции ИПТМ до 20 декабря
9. Студенты, не получившие зачет по контрольной работе, к экзамену не допускаются.
10. Задания выдаются на кафедре «Высшая математика» и
электронную почту группы.
высылаются на
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
ЗАДАНИЕ 1. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) методом Крамера;
б) матричным методом ( используя обратную матрицу);
в) методом Жордана – Гаусса.
 2 x1  3 x2  x3  5,

1.  3 x1  x2  x3  4,
 x  x  x  6.
2
3
 1
 x1  3 x2  x3  1,

2.  x1  x2  5 x3  9,
 2 x  x  2 x  3.
2
3
 1
 4 x1  x2  x3  6,

3.  x1  x2  2 x3  3,
 2 x  7 x  x  0.
2
3
 1
 x1  2 x2  x3  4,

4.  2 x1  x2  3 x3  5, .
 x  3 x  x  1.
2
3
 1
 x1  x 2  x3  2,

5.  2 x1  4 x 2  3 x3  18,
 3 x  2 x  5 x  21.
2
3
 1
 3 x1  3 x2  4 x3  7,.

6.  x1  x2  5 x3  6,
 2 x  x  x  2.
1
2
3

 x1  x2  x3  6,

7.  2 x1  3 x2  4 x3  21,
 7 x  x  3 x  6.
2
3
 1
 4 x1  2 x2  x3  0,

8.  x1  2 x2  x3  1,
 x  x  3.
3
 2
 4 x1  2 x2  x3  4,

9.   x1  2 x2  x3  1,
 x  x  1.
3
 2
 x1  2 x2  3 x3  6,

10.  2 x1  3 x2  x3  4,
 3 x  x  4 x  0.
2
3
 1
 2 x1  x2  5 x3  4,

11.  5 x1  2 x2  13 x3  2,
 3 x  x  5 x  0.
2
3
 1
 2 x1  3 x2  5 x3  11.

12.  3 x1  x2  5 x3  16,
 x  2 x  4 x  7.
2
3
 1
 x1  2 x2  3 x3  1,

13.  5 x1  8 x2  x3  7,
 2 x  3 x  2 x  9.
1
2
3

 x2  3 x3  6,

14.  x1  2 x2  x3  5,
 3 x  4 x  2 x  13.
2
3
 1
 3 x1  x2  x3  8,

15.  x1  2 x2  x3  2,
 2 x  3 x  2 x  2.
2
3
 1
 2 x1  3 x2  x3  4,

16.  x1  2 x2  2 x3  5,
 3 x  4 x  5 x  2.
2
3
 1
 x1  5 x2  x3  0,

17.  2 x1  4 x2  3 x3  1,
 3 x  4 x  2 x  8.
2
3
 1
 2 x1  x2  1,

18.  x1  2 x2  x3  2,
 x  x  2.
3
 2
 3 x1  2 x2  5 x3  10,

19.  2 x1  5 x2  3 x3  6,
 x  3 x  6 x  12.
2
3
 1
 2 x1  x2  x3  0,

20.  3 x2  4 x3  6,
 x  x  1.
2
 1
 x1  2 x2  x3  8,

21.  3 x1  2 x2  3 x3  10
 3 x  4 x  5 x  10.
2
3
 1
 2 x1  3 x2  x3  6,

22.  3 x1  4 x2  3 x3  5,
 x  x .  x  2.
2
3
 1
 2 x1  x2  0,

23.  x1  2 x2  x3  2,
 x .  x  5.
3
 2
 4 x1  x2  3 x3  1,

24.  3 x1  6 x2  2 x3  4,
 2 x  4 x .  x  4.
2
3
 1
 3 x1  4 x2  2 x3  8,

25.  2 x1  4 x2  3 x3  1,
 x  5 x .  x  0.
2
3
 1
ЗАДАНИЕ 2.
2.1. Найти объѐм тетраэдра A4 A1 A2 A3 и его высоту, опущенную из вершины A4 на
грань A1 A2 A3 .
1.
А1(3,3,9) ,
А2(6,9,1),
А3(1,7,3),
А4(8,5,8).
2.
А1(3,5,4) ,
А2(5,8,3),
А3(1,9,9),
А4(6,4,8).
3.
А1(2,4,3) ,
А2(7,6,3),
А3(4,9,3),
А4(3,6,7).
4.
А1(9,5,5) ,
А2(–3,7,1),
А3(5,7,8),
А4(6,9,2).
5.
А1(0,7,1) ,
А2(4,1,5),
А3(4,6,3),
А4(3,9,8).
6.
А1(5,5,4) ,
А2(3,8,4),
А3(3,5,10),
А4(5,8,2).
7.
А1(6,1,1) ,
А2(4,6,6),
А3(4,2,0),
А4(1,2,6).
8.
А1(7,5,3) ,
А2(9,4,4),
А3(4,5,7),
А4(7,9,6).
9.
А1(6,6,2) ,
А2(5,4,7),
А3(2,4,7),
А4(7,3,0).
10. А1(1,–3,1) ,
А2(–3,2,–3),
11. А1(–1,–1,6) , А2(4,5,–2),
А3(–3,–3,3),
А4(–2,0,–4).
А3(–1,3,0),
А4(6,1,5).
12. А1(1,1,1) ,
А2(3,4,0),
А3(–1,5,6),
А4(4,0,5).
13. А1(0,0,0) ,
А2(5,2,0),
А3(2,5,0),
А4(1,2,4).
14. А1(7,1,2) ,
А2(–5,3,–2),
А3(3,3,5),
А4(4,5,–1).
15. А1(–2,3,–2) ,
16. А1(3,1,1) ,
17. А1(4,–3,–2) ,
А2(2,–3,2),
А2(1,4,1),
А2(2,2,3),
А3(2,2,0),
А3(1,1,7),
А3(2,–2,–3),
А4(1,5,5).
А4(3,4,–1).
А4(–1,–2,3).
18. А1(5,1,0) ,
А2(7,0,1),
А3(2,1,4),
А4(5,5,3).
19. А1(4,2,–1) ,
А2(3,0,4),
А3(0,0,4),
А4(5,–1,–3).
20. А1(0,0,2) ,
А2(3,0,5),
А3(1,1,0),
А4(4,1,2).
21. А1(3,0,5) ,
А2(0,0,2),
А3(4,1,2),
А4(1,1,0).
22. А1(1,1,0) ,
А2(4,1,2),
А3(0,0,2),
А4(3,0,5).
23. А1(4,1,2) ,
А2(1,1,0),
А3(3,0,5),
А4(0,0,2).
24. А1(0,0,0) ,
А2(3,–2,1),
А3(1,4,0),
А4(5,2,3).
25. А1(3,1,0) ,
А2(0,7,2),
А3(–1,0,–5),
А4(4,1,5).
2.2. Используя преобразование координат, построить кривую. Указать
координаты центра в новой системе координат, а также полуоси кривой.
1. x 2  2 y 2  2 x  8 y  7  0
2. x 2  y 2  4 x  10 y  20  0
3. 4 x 2  9 y 2  40 x  36 y  100  0
4. 9 x 2  4 y 2  54 x  32 y  109  0
5. x 2  4 y 2  6 x  16 y  11  0
6. 9 x 2  4 y 2  18 x  0
7. x 2  4 y 2  6 x  8 y  3
8. x 2  4 y 2  8 x  24 y  24
9. 9 x 2  10 y 2  40 y  50  0
10. 3x 2  4 y 2  18 x  15  0
11. 5 x 2  9 y 2  30 x  18 y  9  0
12. 16 x 2  9 y 2  64 x  18 y  199  0
13. 3x 2  4 y 2  12 x  24  0
14. y 2  8 y  x 2  4 x  3  0
15. 16 x 2  25 y 2  32 x  100 y  284  0
16. 4 x 2  3 y 2  8 x  12 y  32  0
17. 16 x 2  9 y 2  64 x  54 y  161  0
18. 9 x 2  16 y 2  90 x  32 y  367  0
19. 9 x 2  16 y 2  54 x  64 y  127  0
20. 4 x 2  9 y 2  8 x  36 y  4  0
21. 6 y 2  12 y  4 x 2  8 x  22  0
22. 9 x 2  5 y 2  36 x  30 y  36  0
23. 9 x 2  4 y 2  36 x  24 y  36  0
24. 9 y 2  72 y  16 x 2  96 x  144  0
25. 3x 2  4 y 2  6 x  16 y  7  0
ЗАДАНИЕ 3.
3.1. Исследовать непрерывность функции f  x  . Найти точки разрыва функции и
определить их характер. Выполнить геометрическую иллюстрацию.
  2 x, если x  1,
 x 2  1, если  1  x  2,

1. f  x    x  1, если 2  x  3,
 1

, если x  3.
 x3
 x  2, если x  2,
 4  x 2 , если  2  x  0,

2. f x    1
  x , если 0  x  1,
 3  2 x, если x  1.

  1,5  x, если x  2,
 1
  , если  2  x  0,
3. f  x    x
2
 x  5, если 0  x  3,
 7  2 x, если x  3.

  3 x, если x  0,
 1
   2, если 0  x  1,
4. f  x    x
2
 x  4, если 1  x  3,
 2 x  5, если x  3.

 2 x  1, если x  1,
 2
  , если  1  x  0,
5. f  x    x
2
 x , если 0  x  2,
 6  x, если x  2.

 x 2  4, если x  2,

 x  1, если  2  x  0,
6. f  x    ln x, если 0  x  e,
x
 , если x  e.
e
  x 2  1, если x  2,
2
 , если  2  x  0,
x
7. f  x   
3
cos
x
,
если
0

x

,

2

3
3
 x  , если x  .

2
2
1


x

, если x  1,

2
 1
8. f  x     , если  1  x  0,
 sin2 xx, если 0  x  ,

  3, если x  .
 1
 x  2 , если x  2,
 2
9. f x    x , если  2  x  0,
 2 cos x, если 0  x  ,

  2, если x  .
 x 2  1, если x  0,


 cos x, если 0  x  ,
2

10. f  x   


 x  2 , если 2  x  4,
 1
, если x  4.

 x4
 x  4, если x  3,
 3
  , если  3  x  0,
11. f  x    x
2
 x , если 0  x  3,
 2 x  1, если x  3.

2
 x , если x  0,
 2
12. f  x    x  1, если 0  x  1,
 2 x, если 1  x  3,

  x  2, если x  3.
 1
 x  5 , если x  5,

13. f  x    x  4, если  5  x  0,
  x  22 , если 0  x  4,

 x  5, если x  4.
 2 x 2  10, если x  0,

 x, если 0  x  1,
14. f  x     x  2, если 1  x  3,
 1

, если x  3.
 x3
 x  1, если x  0,
 x 2 , если 0  x  2,

15. f  x    2 x, если 2  x  3,

1

, если x  3.
 x3
 1  x 2 , если x  0,

 1, если 0  x  2,
16. f  x    x  2, если 2  x  3,
 2

, если x  3.
 x3
 sin x, если x  0,
 x, если 0  x  2,

17. f  x    3, если 2  x  3,

1

, если x  3.
 x3
 1
 x   , если x  ,

18. f  x    sin x, если    x  0,
 3x, если 0  x  2,

 0, если x  2.
 x  2, если x  2,
 x 2  1, если  2  x  1,

19. f  x    2 x, если 1  x  3,
 5

, если x  3.
 x3
 x  1, если x  1,
  x 2  1, если  1  x  0,

20. f  x    2 x  1, если 0  x  2,

1

, если x  2.
 x2
 x  3, если x  2,
  x  12 , если  2  x  0,

21. f  x   
  ln x, если 0  x  e,
 x  e, если x  e.

 2
, если x   ,


4
 x
4


22. f  x   
cos 2 x, если   x  0,

4
 1, если 0  x  2,
 2
 x , если x  2.
1

  x  2 , если x  2,
 x, если  2  x  0,


23. f  x   
tgx
,
если
0

x

,

4


 2, если x  .

4
2
 x , если x  0,


 sin x, если 0  x  ,
24. f  x   
2


 0, если 2  x  ,
 x  , если x  .

 2
 x  1 , если x  1,
 2
25. f x    2 x , если  1  x  0,
 x, если 0  x  1,

 2, если x  1.
3.2. Провести исследование функции построить ее график по схеме, указанной
ниже.
Схема исследования функции
I. Общие свойства
1) Область существования функции (множество значений и область определения
функции).
2) Непрерывность. Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Вертикальные асимптоты
4) Пересечение с осями координат. Интервалы знакопостоянства.
5) Четность. Периодичность.
II. Монотонность. Точки экстремума.
6) Интервалы возрастания и убывания.
7) Точки максимума и минимума.
III. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
8) Области выпуклости и вогнутости.
9) Точки перегиба. (Если они имеются).
IV. Наклонные асимптоты. Построение графика.
10)
11)
12)
Асимптоты. (Если они имеются).
Дополнительные точки. (Если надо).
Построение графика.
2
1. y 3   x  1  x  2 
2
2. y 3   x  1  x  4 
2
3. y 3   x  2  x  2
2
4. y 3   x  1  x  2 
2
5. y 3   x  3  x  3
2
6. y 3   x  3  x  1
2
7. y 3   x  1  x  1
2
8. y 3   x  1  x  3
2
9. y 3   x  2  x  2
2
10. y 3   x  1  x  2
2
11. y 3  x  2 x  3
2
12. y 3   x  1  x  3
2
13. y 3   x  1  x  1
2
14. y 3   x  2  x  1
2
15. y 3   x  4  x  1
2
16. y 3   x  2  x  1
2
17. y 3   x  1  x  3
2
18. y 3   x  1  x  2
2
19. y 3   x  3  x  1
2
20. y 3   x  1  x  4
2
21. y 3   x  1  x  3
2
22. y 3   x  2  x  1
2
23. y 3   x  3  x  1
2
24. y 3   x  2  x  1
2
25. y 3   x  4  x  1
ЗАДАНИЕ 4.
4.1. Вычислить интеграл.
1. 
arctg 3 5 x  3x
dx
1  25 x 2
x arccos5 x  5
3.
 arccos5 x
5.
sin 2 x  1
 (sin 2 x  x) 4 dx
7.
9.

sin x  5
dx
cos2 x
x
11.
1 x2
dx
1 x2
x  x3
 x 4  1 dx
3x7 x
dx
13.  x
9  49 x
2.
tgx  sin x

cos2 x
dx
2
dx
x 2 e x  5 ln x  1
dx
4. 
x
6.

8.

3
x dx
1 x2
2x 
dx
x  5  x 1
arcsin 3 x  3x
10.

12.
tg 3 x  5
 cos2 x dx
14.

1 x2
2  ex
e2x  1
dx
dx
2ctgx  4
 sin 2 x dx
15.
dx

17.
x  1 x
dx

19.
x 1  x 1
arccos2 x  3

21.
6x
16.  x
dx
4  9x
1 x2
dx
3  ln 2 ( x  1)
dx
23. 
1 x
2 x  sin 2 x

25.
x 2  cos2 x
ex
18.

20.
 e x  ex
e 1
x
dx
dx
5 x  arcctg4 x
dx
22. 
1  x2
24.  tgx ln(cos x)dx
dx
4.2. Вычислить интеграл.

0
1.

( 4  3 х )е
3 х
dx
2.
2

(5 х  6) cos 2 x dx
4.
7.

0
х
( х  2)2 dx
6.

( x  11) 2 cos3xdx
0
1
1
2
 ( x  5) cos4 xdx
8.
0
 1  6xe
dx
10.
(2 x  1) sin 3 xdx
12.
 2
1
13.
 (6  x)5

x
x sin dx
4

1
x
dx
14.
0
2x  4
15.
dx
2x
e
1
 (3x  12) cos2 xdx
0
1
1


x
x cos dx
2
0
2
0

2  8 x) sin 6 xdx

3x
1
11.
(
0
0
9.
x 2 e 2 x dx
1
3

 3x  sin 2 x dx
2
0
5.
2
0

3.
 x
16.

0
x4
dx
e3 x
0
17.
 ( x  8) cos5xdx
1
18.
1
 (2  3x) sin 8xdx
20.
23.
 6  4 x2
x
dx
0
0
 (2x  4)3
dx
3
0
21.
x
0
2
19.
 (5  x)5
2
x
dx
22.
 x2
2
1
1
2
 (3x  4) cos9 xdx
4 x
dx

24. (2  9 x)e 3 x dx
0
0
2
25.
 (2  4 x) sin 2 xdx
0
4.3. Вычислить интеграл.
1.
3.
5.
7.
9.

x3  4x 2  4x  2
dx
x  12 x 2  x  1

2x3  7x 2  7x 1
dx
x  22 x 2  x  1

2x3  4x 2  2x  1
dx
x  12 x 2  2 x  2
6.

x3  6x 2  9x  6
dx
x  12 x 2  2 x  2
8.

2 x 3  11x 2  16 x  10
dx
x  22 x 2  2 x  3
11.
13.
15.
17.
19.

2 x 3  4 x 2  16 x  12
dx
x  12 x 2  4 x  5

 3x 3  13 x 2  13 x  1
dx
x  22 x 2  x  1

x 3  2 x 2  10 x
dx
x  12 x 2  x  1

4 x 3  24 x 2  20 x  28
dx
x  32 x 2  2 x  2

x3  4x 2  4x  1
dx
x  22 x 2  4 x  5
2.
4.

2 x 3  3x 2  3x  2
x 2  1x 2  x  1 dx

x3  x  1
x 2  1x 2  x  1 dx

x2  x  3
x 2  1x 2  x  1 dx

2x 3  4x 2  2x  2
dx
x 2  x  1x 2  x  2
10.
12.
14.
16.
18.
20.

2x 3  7x 2  7x  9
dx
x 2  x  1x 2  x  2

4 x 2  3x  4
x 2  1x 2  x  1 dx

3x 3  4 x 2  6 x
x 2  2x 2  2x  2 dx

2x 2  x  1
x 2  1x 2  x  1 dx

x3  x 2  1
x 2  1x 2  x  1 dx

x3  x  1
x 2  1x 2  x  1 dx
21.
23.
25.

3x 3  5 x 2  x  3
dx
x  12 x 2  2 x  2

x 3  x 2  5x  4
dx
x  12 x 2  2 x  2

2 x 3  4 x 2  8 x  17
dx
x  22 x 2  4 x  5
22.
24.

2x 3  2x  1
x 2  1x 2  x  1 dx

x 3  2x 2  x  1
x 2  1x 2  x  1 dx
4.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
1. y   x  12 , y 2  x  1
 x  2 cost ,
y  3  y  3
y

6
sin
t
,

2. y  1  x 2 , y  ln x , y  1
3. 
4. y  ln x , y  x  1, x  e
5. r  2 sin  , r  4 sin 
6. y  e x  1 , y  0 , x  ln 2
7. y 
1
, y  0 , x  1, x  e 3
x 1  ln x
 x  6 cost ,
y 3 y 3
y

2
sin
t
,


8. 

9. x  e y  1 , x  0 , y  ln 2
10. r  3sin  , r  5 sin 
11. y   x  12 , y 2  x  1
12. y  e x , y  e  x , x  1
 x  3 cos t
13. 
y  4 ( y  4) .
 y  8 sin t
 x2  y 2  2x , x2  y 2  4x ,
14. 
 y  x, y  0
15. r  6 sin  , r  4 sin 
16. xy  4 , x  y  5  0
17. y  ln x , y  x  1, y  1
18. xy  2 , y  2 x , y  3
 x  3 cost ,
y  4  y  4
y

8
sin
t
,

1
, x  0 , y  1, y  e3
y 1  ln y
19. 
20. x 
21. r  cos , r  2 cos
22. xy  3, y  4e x , y  3, y  4
23. 2 xy  1, 2 y  x , x  16
24. xy  3 , y  3 x , x  9
25. xy  2 , y  5e x , y  2 , y  5
4.5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

1.

e2
dx
x ln x
1
2.

0
2

xe
 x2
dx
3


3.
 x  1
x dx
4.
ln 3 x dx
x
2


5.

arctgx dx
x2  1

e  x dx
ex  3
0
7.

0
2
9.
8.


2

dx
x ln 2 x
2

dx
x  2x  2

12.

dx
13.
x 2  4x  8

0
15.
 e
e
 1dx
2x
14.
17.

0

16.
x 2  2x  2
arctg 2 x dx
19.
2
x
1


21.
 x  1
18.
x dx
2
3

25.

x dx
1  x 5

 x  1
x dx
4
2

20.
 e e
x
2x
 1dx


22.

1

e x dx
23.
e2x  1
0
dx
x ln x
1
2
0





x dx
1  x 2
0
2
dx
dx
x  x  1




1

x
2
e2x  1
10.
dx
x
e
0

11.

x dx
1  x 3
0

 x  1

6.

x dx
2


24.

2
dx
x 2  4x  5
dx
x ln 5 x
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Задание 1. Решить систему линейных уравнений
 х1  х 2  х3  1

 2 х1  3х 2  5 х3  4
 3х  2 х  х  2
2
3
 1
Решение. а) Метод Крамера.
Система совместна тогда и только тогда, когда главный определитель не равен
нулю.
1 1 1
Запишем главный определитель   2  3 5 и столбец свободных членов
3 2 1
1
 
данной системы B   4  .
 2
 
Вычислим главный определитель, разложением по элементам первого столбца,
получив предварительно нули, используя элементарные преобразования: к
элементам второй строки прибавляем элементы первой строки, умноженные на
 2, а к элементам третьей строки прибавляем элементы первой строки,
умноженные на  3 ,
1 1 1 1 1 1
5 7
1 7
  2 3 5  0 5 7 
 5 
 5  (4  7)  15  0
5 4
1 4
3 2 1
0 5 4
Так как главный определитель системы отличен от нуля, система имеет
единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
х1 

1

, х2  2 , х3  3 , где  1 ,  2 ,  3 – вспомогательные определители.



Вычисляем вспомогательные определители, заменив соответствующий столбец
главного определителя, на столбец свободных членов.
1 1 1 1 1 1
7 9
7 3
1  4  3 5  0  7 9 
 3
 3  (7  12)  15
4 3
4 1
2 2 1
0 4 3
1 1 1 1 1 1
2 7
2  2 4 5  0 2 7 
 (8  7)  15
1 4
3 2 1
0 1 4
1 1 1 1 1 1
5 2
1 2
3  2  3 4  0  5 2 
 5 
 5  (1  2)  15
 5 1
1 1
3  2 2 0  5 1
Находим неизвестные:
х1 
1 15

1
 15
х2 
 2 15

1
 15
х3 
 3 15

1
 15
1
 
Ответ: X  1 .
1
 
#
б) Метод обратной матрицы.
Обозначим через А – матрицу, элементы которой являются коэффициентами
при неизвестных;
Х – матрицу-столбец неизвестных; В – матрицу-столбец свободных членов:
 1 1  1


А  2  3 5 
3  2 1 


 х1 
 
Х   х2 
х 
 3
1
 
В   4.
 2
 
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую
матричную форму: АХ  В .
Если матрица А – невырожденная (определитель матрицы отличен от нуля), то
она имеет обратную матрицу А1 .
Умножив обе части уравнения АХ  В на матрицу А1 справа, получим:
А1 АХ  А1В .
Учитывая, что А1 А  Е и ЕХ  Х , имеем
Х  А 1 В .
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных
уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить
обратную матрицу.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы А отличен от нуля.
В нашем случае определитель матрицы совпадает с главным определителем
системы А    15  0 , а значит, матрица невырожденная и имеет обратную
матрицу.
Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
 а11 а12

Пусть имеем невырожденную матрицу А   а21 а22
а
 31 а32
а13 

а23  .
а33 
Тогда:
 А11

1
А 1   А12
А
 А13
А21
А22
А23
А31 

А32  , где Аij – алгебраическое дополнение элемента a ij в
А33 
определителе матрицы А.
Аij определяется формулой: Аij  (1)i  j M ij , где M ij – минор (определитель) n  1
-го порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в
определителе матрицы А.
Вычисляем алгебраические дополнения.
А11  (1)11 M 11 
3 5
 3  10  7;
2 1
А12  (1)1 2 M 12  
2 5
 (2  15)  13;
3 1
А13  (1)13 M 13 
2 3
 4  9  5;
3 2
А21   1 M 21  
1 1
 (1  2)  1;
2 1
А22  (1) 2 2 M 22 
1 1
 1  3  4;
3 1
А23  (1) 23 M 23  
1 1
 (2  3)  5;
3 2
А32  (1) 3 2 M 32  
1 1
 (5  2)  7;
2 5
А31  (1) 31 M 31 
А33  (1) 33 M 33 
Транспонируя
1 1
 5  3  2;
3 5
2 1
1 1
 3  2  5.
2 3
полученные
 А11

присоединенную матрицу А   А12
А
 13
алгебраические
дополнения,
А31   7 1 2 
 

А32   13 4  7 
А33   5 5  5 
7 1 2 


1
Находим обратную матрицу: А 1   13 4  7  .
15 

 5 5  5
А21
А22
А23
составим
 7 1 2  1
 7 1  1  4  2  2 
15  1






   
1
1
1
Тогда, Х  А1В   13 4  7    4   13  1  4  4  7  2   15   1 .
15 
   15  5  1  5  4  5  2  15 15  1
 5 5  5  2


   
 х1  1
   
Ответ: Х   х2   1 .
 х   1
 3  
#
в) Метод Жордана-Гаусса.
Запишем расширенную матрицу системы:
 1 1 1 1


~
А  ( А В)   2  3 5 4  .
 3  2 1 2


Идея метода заключается в переходе от расширенной матрицы ( А В) к матрице
вида ( Е Х ) , то есть, используя элементарные преобразования со строками
расширенной матрицы, получаем на месте матрицы А единичную матрицу Е ,
при этом на месте матрицы В получим матрицу неизвестных Х .
Итак:
1 1 1 1
1 1 1 1 
1 1 1 1 






~
А  ( А В)   2  3 5 4  1  0  5 7 2   2  0  5 7 2   3
 3  2 1 2
 0  5 4  1
 0  5 1  4






1  4 0  3
1  4 0  3
 1 0 0 1






 3  0 30 0 30   4  0 1 0 1   5  0 1 0 1 .
 0  5 1  4
 0  5 1  4
 0 0 1 1






Переход  1 : получаем нули в первом столбце (вводим переменную х1 в базис).
К элементам второй строки прибавляем элементы первой строки, умноженные
на  2  , к элементам третьей строки прибавляем элементы первой строки,
умноженные на  3 ;
Переход  2 : элементы третьей строки умножаем на (2) и вычитаем из них
элементы второй строки, чтобы получить единицу в третьей строке третьего
столбца;
Переход  3 : получаем нули в третьем столбце (вводим переменную х 3 в базис).
К элементам второй строки прибавляем элементы третьей строки, умноженные
на  7 , к элементам первой строки прибавляем элементы третьей строки;
Переход  4 : делим элементы второй строки на 30, чтобы получить единицу во
второй строке второго столбца;
Переход  5 : получаем нули во втором столбце (вводим переменную х 2 в базис).
К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные
на (4), к элементам третьей строки прибавляем элементы второй строки,
умноженные на (5).
 х1  1
   
Имеем: Х   х2   1
 х   1
 3  
x1  1, x 2  1, x3  1.
 х1  1
   
Ответ: Х   х2   1 .
 х   1
 3  
Задание 2.1. Найти объем треугольной пирамиды и длину высоты, опущенной
из вершины А на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3;
5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Решение. Найдем координаты векторов, на которых построена пирамида.
BA  (2;3;4)
BD  (1;4;3)
BC  (4;1;2) .
Тогда объем пирамиды
2 3 4
1
1
V  BA, BD, BC   1
4 3 
6
6
4 1  2


1
 (2(8  3)  3(2  12)  4(1  16))  20(ед 3 ) .
6
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания
BCD. В основании пирамиды лежит треугольник BCD, площадь которого
численно равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
BD и BC . Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного
произведения.


i
j
k






BD  BC  1 4  3  i (8  3)  j (2  12)  k (1  16)  11i  10 j  17 k .
4 1  2


BD BC 
S осн 

112  10 2  17 2  121  100  289  510 .

1
510
BD BC 
(ед2).
2
2
Т.к. V 
S осн  h
3V
120
4 510
, h
(ед).


3
S осн
17
510
Ответ: V  20 ед2  , h 
4 510
ед .
17
Задание 2.2. Построить кривую 5 x 2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 . Указать координаты
нового центра системы координат, полуоси кривой.
Решение. Выделим в уравнении полные квадраты по х и у:
5x 2  6 x  9  5  9  9 y 2  2 y  1  9 1  9  0 ,
2
2
5x  3  9 y  1  45 .
5x  3 9 y  1
45


.
45
45
45
2
Разделим обе части на свободный член:
2
Получим уравнение эллипса со смещенным центром:
x  32   y  12
9
5
 1.
Теперь используем формулы параллельного переноса координатных осей:
 x  x  3 ,

 y   y  1.
Получим каноническое уравнение эллипса в новой системе координат:
x 2 y  2

 1.
9
5
Центр новой системы координат: О1 3;1 , полуоси a  3, b  5.
Задание 3.1. Исследовать функцию на непрерывность и определить тип точек
разрыва, если они есть.
 x  4, x  1

f ( x)   x 2  2,  1  x  1
2 x,
x 1

Решение. Так как функция определена при всех значениях аргумента и состоит
из нескольких аналитических выражений, представляющих собой многочлены
(непрерывные функции), то для исследования достаточно рассмотреть, так
называемые точки стыка, то есть точки, при переходе через которые функция
меняет одно аналитическое выражение на другое.
Для исследования нам необходимо найти значение функции и односторонние
пределы в этих точках.
lim f ( x)  lim ( х  4)  3
x  1 0
x  1 0
lim f ( x)  lim ( х 2  2)  3
x  1 0
x  1 0
f (1)  12  2  3
Следовательно, lim f ( x)  lim f ( x)  f (1) , а значит, в точке x  1 функция
x 10
x 1 0
непрерывна.
lim f ( x)  lim ( x 2  2)  3
x 1 0
x 10
lim f ( x)  lim 2 x  2
x 1 0
x 1 0
f (1)  3
Точка x  1 является точкой разрыва первого рода, типа скачок, так как
односторонние пределы различны lim f ( x)  lim f ( x) .
x  1 0
x  1 0
у
3
2
-4
-1
0
1
х
Задание 3.2.
Исследовать функцию y  3 ( x  1)( x  2)2 и построить ее график.
При выполнении данного задания используем схему, указанную ниже.
Схема исследования функции
I. Общие свойства
13)
Область существования функции (множество значений и область
определения функции).
14)
Непрерывность. Точки разрыва. (Если они имеются).
15)
Вертикальные асимптоты
16)
Пересечение с осями координат. Интервалы знакопостоянства.
17)
Четность. Периодичность.
II. Монотонность. Точки экстремума.
18)
19)
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
III. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
20)
21)
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба. (Если они имеются).
IV. Наклонные асимптоты. Построение графика.
22)
23)
24)
Асимптоты. (Если они имеются).
Дополнительные точки. (Если надо).
Построение графика.
Решение. 1. Общие свойства
1.1. Находим область определения функции: x  R, функция непрерывна в
каждой точке числовой оси и, следовательно, не имеет вертикальных асимптот.
1.2. Находим точки пересечения графика с осями координат:
если x  0 , то y  3 4 ;
если y  0 , то x  1 или x  2 .
Таким образом Α(0; 3 4 ); Β(1;0); Ε (2;0) – точки
координатными осями.
пересечения графика с
1.3. Находим интервалы знакопостоянства функции.
Функция отрицательна, если
положительна.
x  ( ;1) , при
x  (1;2)  (2;) функция
1.4. Проверим, является ли функция четной, нечетной или она является
функцией общего вида:
1) x  R ;
2) Найдем y( x)  3 (1  x)( x  2) . Так как y( x)  y( x) функция не является
четной. При этом, y( x)   y( x) следовательно, свойство нечетности также не
выполняется, а значит данная функция общего вида.
1.5. Функция не обладает свойством периодичности.
2. Исследование функции по первой производной
2.1. Находим первую производную функции:
y 

3
( x  1)( x  2)
1
3
2


1
2 
2
2
1

3
3 
3
  ( x  1) ( x  2)   ( x  1) ( x  2) 3 

 3
2
3
1
3
2
( x  2)
2( x  1)
x  2  2( x  1)
x
.
 ( x  2) ( x  1) 



2
1
2
1
2
1
3
( x  1) 3 ( x  2) 3
3( x  1) 3 3( x  2) 3 3( x  1) 3 ( x  2) 3
1
3
2.2. Находим критические точки первого типа, т.е. точки, в которых первая
производная равна нулю или не существует: y '  0  x  0; y ' – не существует,
если x  1; x  2 .
2.3. Находим интервалы возрастания и убывания функции:
Функция возрастает, если x  (;1)  (1;0)  (2;) , при x  (0;2) функция
убывает.
2.4. Находим экстремумы функции:
x  0 точка гладкого максимума; y (0)  3 4 – максимум функции;
x  2 точка пикообразного минимума; y ( 2)  0 – минимум функции.
3. Исследование функции по второй производной
3.1. Находим вторую производную функции (применяя логарифмическое
дифференцирование)
y  yln y' 
2
1


ln
x

ln
x

1

ln
x

2


2
1
3
3
3
3

x  1 x  2 
x

2
1 
1




2
1




x
3
x

1
3
x

2
3
3

x  1 x  2 

 3x  1x  2  2 xx  2  xx  1 

2
1 



3
x
x

1
x

2
3
3

x  1 x  2 
x
x

3x 2  3x  6  2 x 2  4 x  x 2  x
5
3( x  1) ( x  2)
3
4

3
2
5
( x  1) ( x  2)
3
4
.
3
3.2. Находим критические точки для второй производной:
y  0 , y" не существует при x  1; x  2 .
3.3. Находим интервалы выпуклости и вогнутости функции:
Функция вогнута, если x  (;1) , при x  (1;2)  (2;) функция выпукла.
3.4. Находим точки перегиба: y (1)  0 точка перегиба с вогнутости на
выпуклость.
4. Исследуем функцию на наличие асимптот
4.1. Вертикальных асимптот нет (см. п.1)
4.2. Ищем наклонную асимптоту в виде y  kx  b
3
( x  1)( x  2) 2
f ( x)
k  lim
 lim
1
x 
x  
x
x
b  lim( f ( x)  kx)  lim
x 
 lim
x   3
x  
 ( x  1)(x  2)  x     
3
2
( x  1)( x  2)2  x3
( x  1) ( x  2)  x ( x  1)( x  2)  x
2
4
2
2

 3x 2  4
 
    lim
 1
   x   3 ( x  1) 2 ( x  2) 4  x ( x  1)( x  2) 2  x 2
y  x  1 двусторонняя наклонная асимптота.
5. Построение графика функции
0
Задание 4.1. Найти интеграл

xdx
.
x2  2
Решение. Воспользуемся формулами подведения под знак дифференциала:
xdx 
1
1
d ( x 2 )  d ( x 2  2) .
2
2
Тогда,
xdx
1 d ( x 2  2) 1

 ln x 2  2  C .
2
2
x 2 2
x 2
2


e
Задание 4.2. Найти  ln x dx .
1
Решение.
b
b
Используем формулу интегрирования по частям:  udv  uv a   vdu
a
Обозначим u  ln x, dv  dx , тогда du 
e
 ln x
1
dx 
e
x  ln x 1
e
b
a
dx
, v  x . Следовательно,
x
e
dx
e
x
 e  ln e  1  ln1   dx  e  x 1  e  (e  1)  1 .
x
1
1
Задание 4.3. Вычислить:

x 3  10 x 2  16 x  20
dx .
x 2  4 x  8x  22
Решение. Дробь
x 3  10 x 2  16 x  20
правильная, так как степень многочлена в
x 2  4 x  8x  22
числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе. Разложим еѐ на
сумму простейших дробей:
x 3  10 x 2  16 x  20
A
B
Cx  D
.



x 2  4 x  8x  22 x  2 x  22 x 2  4 x  8
Найдем неопределенные коэффициенты A,B,C,D. Приведем дроби к общему
знаменателю и приравняем числители.
x 3  10 x 2  16 x  20
A
B
Cx  D




x 2  4 x  8x  22 x  2 x  22 x 2  4 x  8
A x  2x 2  4 x  8  Bx 2  4 x  8  Cx  D  x  2

x  22 x 2  4 x  8
2
x 3  10 x 2  16 x  20  Ax  2x 2  4 x  8  Bx 2  4 x  8  Cx  Dx 2  4 x  4
Для нахождения неопределенных коэффициентов используем комбинированный
метод, т.е. используем «удобные» значения х и равенство коэффициентов при
одинаковых степенях многочленов.
x2
x0
x3
x2
8  40  32  20  4  8  8 B
20  16 A  8B  4 D
1 AC
 10  2 A  B  4C  D
Из первого равенства: 20  20 B ,  B  1. С учетом этого получаем систему трех
уравнений с тремя неизвестными:
x  0 D  3  4A
x3 C  1  A
x 2  10  2 A  1  4  4 A  3  4 A , 10 A  10 ,  A  1
D  1, C  2.
Используя свойства интегралов, имеем:
x 3  10 x 2  16 x  20
dx
dx
2x  1
dx




dx 
x2
x 2  4 x  8x  22
 x  2 2 x 2  4 x  8
2 x  4  5 dx   ln x  2  1  2 x  4 dx 
1
  ln x  2 

x2
x2
x 2  4x  8
x 2  4x  8
d x 2  4 x  8
d x  2
dx
1
5 2
  ln x  2 

5

2
x2
x  4x  8
x  4x  8
 x  2 2  4








  ln x  2 

1
5
x2
 ln x 2  4 x  8  arctg
 c.
x2
2
2
Задание 4.4.
а) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x и y  x 2  2 .
Решение. Данная фигура изображена на
у
рисунке. Площадь ее вычислим по формуле
b
S    f 2  x   f1 x  dx .
у=х
3
-2
-1
y  x,
,

2
 y  x  2,
у=х2-2
0
1
х
3
2
систему
a
2
1
Решив
находим
x1  1 ,
x2  2 ,
следовательно, a  1, b  2 . На отрезке
[1, 2] имеем: x  x 2  2 . Значит, в формуле
в качестве f 2 ( x) возьмем x, а в качестве
-1
f1 ( x) – x 2  2 .
-2
Получим:
 



x2
2
2
S   x  x  2 dx   x  x  2 dx 
2
1
1
2
 22   1 
2
2
2
 2 x 1 
1
4 1  8 1
   
2 2 3 3 
#
б) Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y  x , y 
5
4
3
2
1
S1 S2
1
сверху – графиками функций y  x и y 
у= 12
х
2
1
, y  0, x  3.
x2
Решение. Сделаем чертеж. Данную фигуру
можно рассматривать как криволинейную
трапецию, ограниченную снизу осью Ox ,
слева и справа – прямыми x  0 и x  3 ,
у=х
0
x3

3
1
3
9
 3  6  кв.ед..
2
2
у
-1
2
3
4
5
х
1
x2
. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления
ее площади разобьем данную фигуру прямой x  1 на две части (х=1 – это
абсцисса точки пересечения линий y  x и y 
1
).
x2
b
Площадь каждой из этих частей находим по формуле S   f ( x)dx :
a
x2
S1   x dx 
2
0
1
1
0
1
1
  0  кв. ед. ;
2
2
3
3
1
1
1
2
S 2   2 dx  
    1  кв. ед. .
x1
3
3
1x
Следовательно:
S  S1  S 2 
1 2 7
  кв. ед..
2 3 6
#
в) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy  2 , y  2 x , y  3.
Решение. Строим фигуру. Видим, что для решения задачи наиболее подходит
d
формула S   x2  y   x1  y  dy .
c
y
2
и x1  y   .
2
y
При этом c  2 и d  3 , где c  2 – точка
пересечения графиков функций xy  2 и y  2 x .
В нашем случае x2  y  
y
S    x 2  y   x1  y  dy    
c
2 2
d
3
.
#
г) Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
 x  2 cost

 y  2 2 sin t
и y  2 ( y  2) .
3
 y2

2
5
 dy  
 2 ln y  
y
4
 4

2
 x  2 cost
 y  2 2 sin t
Решение: Параметрические уравнения 
определяют эллипс с
полуосями а  2 , b  2 2 . На рисунке представлена фигура, площадь которой
надо найти.
Требуется вычислить площадь области, ограниченной эллипсом и прямой y  2 ,
находящейся выше этой прямой. Будем искать площадь по формуле: S  S1  S 2 ,
t2
где S1   y (t ) x (t )dt . Найдѐм значения параметров t1 и t 2 , соответствующих
t1
точкам пересечения эллипса и прямой. Для этого решим систему уравнений:
 y  2 2 sin t
2
3

 t1 
, t2  .
 sin t 

2
4
4
y  2
Параметру t1 соответствует значение x1  2 cos

3
2
 2 (
)  1 , а параметру
4
2
2
 1 . Так как область симметрична относительно
4
2
оси Оу, то можно найти площадь половины области в пределах от x  0 до x  1 ,
t 2 значение x  2 cos
 2
и удвоить это значение. Итак, значению x  0 соответствует значение параметра
t

2

t2
4
t1

, тогда S1   y(t ) x(t )dt  2 2 2 sin t  ( 2 sin t )dt 
2



4
4
82
sin 2t 2

 8 sin 2 tdt   (1  cos 2t )dt  4(t 
)  4  2    2
2
2 
4

2
4
S 2 ‒ это площадь прямоугольника, ограниченного осью абсцисс и прямой y  2
. Стороны прямоугольника а  2 и b  2 , а значит его площадь S 2  ab  2  2  4 .
В итоге получаем: S  S1  S 2    2  4    2 (кв. ед.) .
#
д) Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
 1  4 cos3

 2  2 .
Решение. Построим область, ограниченную трѐхлепестковой розой 1  4 cos 3
и окружностью  2  2 радиуса 2, с центром в начале координат.
Найдем точки пересечения данных линий:
1

 2n
4 cos3  2, cos3  , 3    2n,    
, n  Z.
2
3
9
3
С учетом симметрии фигуры можно найти площадь заштрихованной части и
умножить на 6.
Воспользуемся
формулой
S


9
9


1
2
2
 2    1   d .

2
В
нашем
случае:

9
1
1  cos 2
2
2
S  6S1  6   (16 cos 3  2 )d  3 (16 
 4)d  3 (4  8 cos 6 )d 
20
2
0
0

9
8
 4 2
4
4
 3(4   sin 6 )  3(4   sin
 0  sin 0) 
 2 3 (. ед 2 .) .
6
9 3
3
3
3
0
Задание 4.5.

dx
dx


B

lim

lim
arctgx

lim
arctgB

arctg
0


0

а)
, интеграл
2
0
B  1  x 2
B 
B 
1

x
2
2
0
0
B


сходится.
#

б)

1
B
dx
d x  3
 lim
 lim 2 x  3  lim 2 B  3  2 4   ,
1
B 
x  3 B  1 x  3 B 
B

интеграл расходится.