Модда оғирлиги сақланиши

Reja
• Трубадаги зарралар оқими.
• Ер ости сувлари оқимининг гравитацион режими ҳақида.
• Грунт (ер қатламидаги аралаш жинслар) элементидаги масса баланси.
• Массанинг сақланиш қонунининг ёпиқлиги ҳақида.
1. Трубадаги зарралар оқими. Кўндаланг кесим юзаси S бўлган
цилиндрик трубадан заррачалар оқими ҳаракатланаётган бўлсин (масалан,
чанглар, электронлар…). Оқим йўналиши
трубадаги
x
ўқи бўйлаб ҳаракатлансин ва t вақтдаги ҳаракатланиш
тезлиги u(t) бўлсин. Бу тезлик вақт ўтиши билан ўзгариб туриши мумкин.
Масалан, зарядланган заррачалар ҳаракати электр майдони таъсирида
тезлашади ёки сустлашади.
Қаралаётган ҳаракатнинг оддий тенгламасини (моделини) тузишда қуйидаги
талабларни киритамиз:
а) заррачалар ўзаро таъсирлашмасин. Бунинг учун тўплами зичлиги етарлича кичик
бўлиши керак;
б)
x
координатали кўндаланг кесим юзасида жойлашган заррачалар бошланғич
тезликлари бир хил ва
x
ўқи бўйича йўналган;
в) заррачалар тўплами зичлиги х координатадан боғлиқ;
г) заррачаларга таъсир этувчи ташқи кучлар
x
ўқи бўйича йўналган.
а) шартнинг бажарилиши заррачалар тезлиги фақат ташқи куч таъсирида
ўзгаришини, в) – г) шартлар силжиш жараёни бир ўлчамли бўлишини, яъни
заррачалар оқими зичлиги фақат
x
координата ва t  0 вақтдан боғлиқ эканлигини
таъминлайди.
Масалада заррачалар ҳаракати тезлиги u(t) ва t=0 моментдаги 0 ( x)   ( x,0)
зичликни билган ҳолда ихтиёрий t момент ва
x
координата қийматларидаги  ( x, t ) -
заррачалар зичлигини аниқлаш моделини тузамиз.
Материянинг сақланиш қонуни ёрдамида модда балансини ҳисоблаймиз.
dt
вақт мобайнида x
дан x  dx гача бўлган труба қисмида қараймиз.
dt вақт мобайнида элементар ҳажмга массаси қуйидагича бўлган моддалар киради.
Su  t  dt  ( x, t   dt ),  0,1,
бунда Su  t  dt 
dt
вақт оралиғида кирган модда ҳажми. Кесим ўнг томонидан шу
dt
вақт мобайнида
массаси
 Su (t )dt  ( x  dx, t   dt ),
  0,1
бўлган заррачалар чиқиб кетади. ( dt  кичик бўлганлиги учун
u (t )
ўзгармайди деб ҳисоблаймиз).
Шундай қилиб, массалар ўзгариши қуйидагича экан:
dm  Su (t )   ( x, t   dt )   ( x  dx, t   dt )  dt ,
 ( x, t   dt )
ва  ( x  dx, t   dt ) вақт бўйича
x
ва
x  dx
кесимдаги заррачалар ўртача зичлиги.
Иккинчи томондан
Sdx
ҳажмдаги заррачалар массаси қуйидагича бўлади (  ( x, t ) катталик
қийматига кўра):
dm  Sdx   ( x   dx, t  dt )   ( x   dx, t )  ,  ,  (0,1),
бунда  ( x   dx, t  dt ) ва  ( x   dx, t )  ,  (0,1)  қийматлар координатаси (фазо) бўйича
t
ва
t  dt моментдаги заррачалар зичлиги. Массанинг сақланиш қонунидан фойдаланиб, ҳосил
қилинган dm ни қийматларини тенглаштириб ва dxdt га бўламиз
u (t ) 
 ( x, t   dt )   ( x  dx, t   dt )
dx

 ( x   dx, t  dt )   ( x   dx, t )
dt
Бу ердан dt  0 да dx  0 эканлигидан ушбу
 

u t   0 , x  R, t  0
t x
 ( x,0)  0 ( x),
тенгламани ҳосил қиламиз.
xR
(1)
(2)
.
Маълумки, зичлик ва тезлик кўпайтмаси   u ( моддалар оқими, масса оқими) вақт бирлиги ичида труба
кўндаланг кесими юзаси бирлигидан ўтаётган заррачалар сонини ифодалайди. (1) дан кўриниб турибдики,
ихтиёрий кесимдаги вақт бўйича модда зичлиги ўзгариш тезлиги координата бўйича модда зичлиги ўзгариш
тезлиги бўйича аниқланар экан.
Тезлик ўзгармас бўлганда u (t )  u0 , хусусий ҳосилали оддий чизиқли тенглама пайдо бўлади:


 u0
 0,
dt
dx
   x  , t  0
(3)
(3) тенгламада характеристикаси – x  u0t  c чизиқда зичлик вақт бўйича ўзгармас  (u0t  c, t )  0 эканлигини
эътиборга олсак, яъни
 ( x, t )   ( x  u0 (t0  t ), t ),
t  t0  0
эканлигидан унинг умумий ечимини топиш мумкин.
t  0 да
 ( x, t )   ( x  u0t ).
(4)
(4) функция (3) тенгламани умумий ечими бўлади.
(4) формула ва (2) бошланғич шартлардан фойдаланиб, изланувчи функцияни осонгина топиш мумкин,
бинобарин бу функция нафақат алоҳида x, t ўзгарувчилардан, балки уларнинг комбинацияси   x  u0t дан
боғлиқ (югурувчи функция) бўлади.
2. Ер ости сувлари оқимининг гравитацион режими ҳақида. Ғовак муҳит сув ўтказувчи материаллар
(қум, тупроқ) дан иборат қатлам бўлиб, қуйидан сув ўтказмайдиган қатлам (гранит), юқоридан эса ер юзаси
билан чегараланган.
Агар қатламнинг бирор жойида сув сатҳи ўзгарса, у ҳолда сирт текислиги
нормаллашгунча оғирлик кучи таъсирида суюқликнинг ҳаракати юзага келади.
Бу жараённи тавсифлаш учун бир қатор шартларни киритамиз:
1) Сув ўзгармас  зичликга эга сиқилмайдиган суюқлик бўлсин;
2) Қатламнинг қалинлиги унинг эни ва бўйига нисбатан анча кичик;
3) Ерости муҳитидаги кесим-сирт букилиш ва узилишларга эга эмас ва уни ифодаловчи H ( x, y) функция
етарлича силлиқ фунция;
4) Сувнинг юқори сиртини ифодаловчи h  h( x, y, t ) функция x ва y аргумент ўзгариши билан узвий боғлиқ;
5) Ер ости сувлари ҳеч қачон ер сиртига чиқмайди, шунингдек суюқлик эркин сиртига тушувчи босим
ўзгармас;
6) Тупроқ қатлами бир жинсли, яъни унинг физик-механик хоссалари x , y , z аргументлардан боғлиқ эмас.
Биринчи шарт табиий ҳисобланади, чунки қаралаётган жараёнда сув зичлигини ўзгартирувчи босимнинг
юзага келиши мумкин эмас. Қолган шартлар эса муқобиллаштирувчи шартлардир. Масалан, иккинчи шарт
(юпқа қатлам) суюқлик оқими икки ўлчамли ва унинг барча характеристикалари z координатадан боғлиқ
бўлмаслигини англатади, охирги икки шарт эса грунтнинг ҳар бир нуқтасида бир қийматли модел яратиш
имконини беради.
3. Грунт элементидаги масса баланси.
элементар ҳажмни қарайлик.
Грунтда
ABCD
вертикал призма билан кесишувчи, ер остида таъсирлашувчи
h функцияларнинг силлиқлигидан бу ҳажмни параллелепипед деб қараш
мумкин. x ва y ўқлари бўйлаб йўналган суюқлик тезликларини ифодаловчи номаълум функцияларни v  v( x, y, t ) ва
Призманинг dx ва dy ўлчамлари кичик ҳамда H ва
u  u ( x, y, t ) орқали белгилаймиз.
Бу параллелепипедга dt вақт мобайнида кирувчи ва чиқувчи суюқликлар миқдорини ҳисоблаймиз. CD қирра орқали
кирадиган суюқлик массаси шу ердан ўтувчи суюқлик ҳажмининг  суюқлик зичлиги кўпайтмасига тенг бўлади, яъни
u( H  h)dydt ,
AB қирра орқали чиқадиган суюқлик массаси эса


u ( H  h)dydt   [ u ( H  h)]dx  dydt .
 x

Бу ифодага, олдингисига қараганда, u( H  h) функциянинг x текисликдан x  dx текисликка ўтишдаги орттирмаси қўшилмоқда.
u( H  h) миқдор эса оқим массасини ифодалайди. Шундай қилиб, суюқлик x ўқи бўйлаб йўналганда грунт элементига

миқдорда масса тўпланар экан.

[ u ( H  h)]dxdydt
x
Худи шу тарзда AD ва BC қирралар учун мулоҳаза юритиб, сув y ўқи бўйлаб ҳаракатланганда грунт элементидаги массаси


[ v( H  h)]dxdydt
y
миқдорга ўзгаришини ҳосил қиламиз.
Шартга кўра суюқлик
z ўқи бўйлаб
ҳаракатланмаганлиги учун грунт элементидаги умумий массаси



  [ u( H  h)]  [  v( H  h)] dxdydt
x
 x

(5)
миқдорга тенг бўлади.
Параллелепипеддаги суюқликнинг умумий массаси ундаги суюқлик ҳажми,  суюқлик зичлиги ва ғоваклик коэффициенти m  1 (ҳажмнинг бир
қисми грунт эгаллаганлиги учун) кўпайтмасига тенг бўлади, яъни
m ( H  h)dydx ,
Сув массасининг dt вақт мобайнида ўзгариши эса


 m ( H  h)dxdy  dt
 t

га тенг бўлади.

H
 0 бўлганлиги учун охирги ифода
 0,
t
t
m
h
dxdydt
t
(6)
кўринишни олади. (5) ва (6) ифодаларни тенглаштириб, қаралаётган жараёндаги массанинг сақланиш қонунини ифодаловчи ушбу
m
h


  u H  h   vH  h 
t
x
y
(7)
тенгламани ҳосил қиламиз. (7) тенглама қаралаётган миқдор массасининг ўзгариши вақт ўтиши билан шу миқдор оқим дивергенцияси орқали
аниқланишини билдирар экан.
4. Массанинг сақланиш қонунининг ёпиқлиги ҳақида. (8)
учта h ,
тенгламада
u ва v номаълум миқдорлар иштирок этмоқда. Шунинг учун, жараён
характеридан келиб чиққан ҳолда, бу параметрларни камайтириш лозим бўлади.
Бунинг учун ушбу Дарси қонунидан фойдаланамиз:
u  
p
p
v



,
,
y
x
(9)
Бунда p  p( x, y, z, t ) – суюқлик босими,  – группа хоссаларидан аниқланадиган
коэффициент. Дарси қонунига кўра суюқлик оқими тезлиги компоненталари унга
мос босим градиенти компоненталарига пропорционал бўлади. Физик маъносига
кўра босим градиенти – бу (ҳажм бирлигига нисбатан) кучдир. Бошқа томондан
Ньютоннинг иккинчи қонунига кўра, жисмга таъсир этувчи куч унинг тезлигига
эмас, балки тезланишига пропорционалдир. Лекин бу қарама-қаршиликдек
тасаввур қилиняпти, холос, чунки грунтдан ўтувчи суюқлик оқими эркин
ҳаракатланмайди, балки унинг заррачалари қаршиликка учрайди.
(5) формулаларда янги номаълум миқдор суюқлик иштирок этяпти. Бу миқдорни сувни секин
ва деярли горизонтал ҳаракатланмоқда деб ҳисоблаб, юқорида киритилган параметрлар
орқали ифодалаш мумкин. Бу ҳолда мавжуд динамик босимни ҳисобга олмасдан, фақат
гидростатик қонун бўйича босимни ифодалаймиз:
p( x, y, z, t )   g[h( x, y, t )  z ]  const
Бунда g – эркин тушиш тезланиши, const – суюқлик сиртидаги босим (масалан, атмосфера
босими). Охирги ифодани (9) га қўйсак,
h
h
v



g
u    g ,
,
y
x
(10)
Бу тенгликларни (8) тенгламага қўйиб, грунтли сув ҳаракатининг тенгламасини ҳосил
қиламиз:
h

h

h
 k [( H ( x, y)  h) ]  k [( H ( x, y)  h) ],
t
x
x
y
y
бунда k 
 g
m
(11)
. (11) тенглама фақат h( x, y, t ) га нисбатан чизиқсиз тенглама ҳисобланиб, унга
Буссинеск тенгламаси дейилади.