Chiziqlimas Maltus modeli

Чизиқлимас математик
моделлар
(чизиқлимас Мальтус
популяция моделлари)
Reja
1. Чизиқли Мальтус модели
2. Математик моделлар чизиқлимасги ҳақида.
3. Чизиқлимас Мальтус модели (Логистик модел).
4. Популяция чизиқлимас моделининг уч режими.
а) Радиоактив емирилиш модели. Қуйидаги белгилишларни киритамиз:
N (0) - радиоактив модданинг (масалан уран, плутон кабилар) атомлар сони,
N (t ) - радиоактив модданинг
t
вақтдаги ҳали емирилмаган атомлари сони бўлсин.
Тажрибалардан маълумки, вақт бирлигида сочилаётган атомлар сонининг ўзгариш тезлиги
радиоактив модда атомлари сонига пропорционал
N'
бу ерда

dN (t )
  N (t ),   0
dt
(1)
- қаралаётган радиоактив моддагагина хос бўлган ўзгармас (радиоактивлик
коэффициенти деб аталади). Мактаб математика курсидан маълумки, (1) дифференциал
тенглама ечими
N (t )  N (0) e  t
каби кўринишда бўлади.
(2)
б) Мальтус чизиқли модели. Бу модел асосида қуйидаги оддий тасдиқ ётади:
аҳолининг вақт бўйича ўзгариш тезлиги унинг t вақт моментидаги сони N(t) нинг
кўпайиш коэффициенти  t   0 ва камайиш коэффициенти  t   0 лар
йиғиндисига кўпайтирилганига пропорционалдир.
Натижада радиоактив радиоактив емирилиш тенгламасига жуда ўхшаш бўлган ва
   (  ва  доимийлар) бўлганда эса, у билан устма-уст тушувчи қуйидаги
тенгламага келамиз:
d t 
  t    t  t 
dt
(3)
(3) тенгламани интеграллаб тенглама ечимини оламиз:
t
 
       
 d
  t     0  et0
(4)
бу ерда 0  t  0 - бошланғич тезлик.
Кўриниб турибдики, қаралган икки хил табиатга эга бўлган масалалар
моделлари ((1) ва (3) тенгламалар) бир хил, чунки бунда тенгламаларни келтириб
чиқаришда бир хил мулоҳазалардан фойдаланилади.
1-расмда  ва  доимий бўлганда t  функциянинг графиги келтирилган. Кўриниб
турибдики,    бўлганда аҳоли сони ўзгармайди, яъни бу ҳолда (1) тенгламанинг ечими
t   0 ўзгармас миқдордан иборат бўлади. Туғилиш ва камайиш орасидаги мувозанат
шу маънода турғун эмаски,    тенгликнинг озгина бузилиши вақт ўтиши билан t 
функциянинг 0 мувозанат қийматдан катта миқдорга оғишига олиб келади.  < 
бўлганда аҳоли сони камаяди ва бунда t   бўлганда нолга интилади,  >  бўлганда эса
экспоненциал қонун бўйича ўсади ва t   бўлганда чексизликка интилади.
1. Математик моделлар чизиқсизлиги ҳақида. Юқорида қаралган моделларнинг соддалиги
уларнинг чизиқли эканлигига боғлиқ. Математик нуқтаи назардан бу муҳим тушунча
суперпозиция принципи ўринли эканлиги англатади, яъни ечимларнинг ихтиёрий
комбинатцияси (масалан, уларнинг йиғиндиси) ҳам ечим бўлади. Суперпозиция принципидан
фойдаланиб хусусий ҳоллар учун ечимлар топиб умумий ҳол учун ечим қуриш қийин эмас.
Шунинг учун умумий ҳол сифат хусусиятлари ҳақида хусусий ҳол хоссаларидан хулоса
чиқариш мумкин. Бошқача қилиб айтганда, чизиқли моделларда объектнинг бирор-бир
шартлар ўзгаришига жавоби шу ўзгаришнинг катталигига пропорционал бўлади.
Математик моделлари суперпозиция принципига бўйсунмайдиган чизиқлимас
моделларда эса объектларнинг бир қисми ҳақидаги хулосалардан бутун объект ҳақида тўғри
хулоса чиқаришга кафолат бермайди, унинг шартлар ўзгаришига жавоби шу ўзгаришлар
катталигига сифат жиҳатдан боғланган.
Кўпгина реал жараёнлар ва уларга мос келувчи математик моделлар чизиқлимас
ҳисобланади. Чизиқли моделлар эса жуда хусусий ҳолларгагина мос бўлиб, одатда реал
воқеиликка дастлабки яқинлашиш учун хизмат қилади.
2. Чизиқлимас Мальтус модели (логистик модел). Масалан олдинги мавзуда қаралган
популяция модели учун зарурий ресурсларнинг чегараланганлигини эътиборга олсак, у
чизиқсиз моделга айланади. Бу чеклов киритилаётганда қўйидагилар ҳисобга олинади:
1) популяция сони учун атроф муҳит таъмирлай оладиган қандайдир N m «мувозанат»
сони мавжуд;
2) популяция сонининг ўзгариш тезлиги популяция сони билан унинг мувозанат
қийматидан оғиш катталигига кўпайтмасига (чизиқли Мальтус моделидан фарқли равишда)
пропорционал, яъни

dN
N 

 N ,
  1 
dt
Nm 

 0
(3)

N 

 ҳад популяция сони «тўйинганлик» механизмини таъминлайди:
1

Бу тенгламадаги 
Nm 

N  N m бўлганда ўсиш тезлиги мусбат ва N  N m да нолга интилади; N  N m бўлганда
эса ўсиш тезлиги манфий ва нолга интилади.
Энди олинган (3) моделни тадқиқ қиламиз. (3) тенгламани
dN
dN

  dt
Nm  N N
шаклда ёзиб олиб интеграллаймиз ва
ln N m  N   ln N   dt  C
тенгликни оламиз. Бу ердаги ўзгармас (С) N t  0  N 0 бошланғич шартдан олинади:
C  ln
N 0
. Натижада
N m  N 0
N  Nm
N 0 
N 0 
e t  N
et ,
N m  N 0 
N m  N 0 
ёки
N m N 0 et
N t  
N m  N 0 1  et 
(4)
Бу функциянинг ўзини тутиш логистик эгри чизиқ деб аталувчи график билан тасвирланади (2расм). Ихтиёрий N (0) бошланғич қийматда популяция сони N m мувозанат қийматга интилади,
бунда N (t ) қанчалик N (0) га яқин бўлса, яқинлашиши шунча секин юз беради. Шундай қилиб,
чизиқли Мальтус моделидан фарқли равишда чизиқсиз Мальтус моделида мувозанат ҳолати
турғун бўлар экан. Қараб чиқилган чизиқсиз Мальтус модели (логистик модел ҳам деб
юритилади) чизиқли Мальтус моделига қараганда популяция динамикасини нисбатан
ҳаққоний акс эттирсада, чизиқсизлиги туфайли мураккаб ҳисобланади. Шуни ҳам таъкидлаш
керакки, юқорида қўлланилган тўйинганлик механизми турли фан соҳаларидаги моделларда
қўлланилади.
3. Популяция чизиқсиз моделининг уч режими. Юқорида мураккаблиги таъкидланган
чизиқсиз моделни тадқиқ этишда давом этамиз. (1) ва (3) моделлардан фарқли равишда
туғилиш коэффициенти популяция сонига, яъни N (t ) га боғлиқ бўлсин деб ҳисоблаймиз:
   (N ). Камайиш (ўлим) коэффициенти ҳам N га боғлиқ бўлсин.
Аниқлик учун  N    0  const ,
  N    0 N деб оламиз, яъни туғилиш популяция сонига
пропорционал (масалан, чунки популяция аъзолари кўпайишдан манфаатдор). У ҳолда (1)
тенглама
dN
 0 N 2  0 N
dt
(5)
кўринишга келади. Турли бошланғич қийматларда N 0  N 0  N t  функция характерини
қараб чиқамиз (3-расм).
а) N 0  N m 
0
 0 бўлганда монотон равишда камайиб, нолга интилади t   . Бу ҳол учун
(5) тенглама ечими (3) тенглама ечимига ўхшаш формула билан берилади, фақат t қарама –
қарши ишора билан олинади (тескари логистик чизиқ).
б) N 0 нинг критик (мувозанат) қийматида  N 0  N m  популяция сони вақтга боғлиқ бўлмай
қолади.
в) N 0  N m бўлганда ечим
N t  
N0 
0
0

N0   0
 N 0   0t
  0

, N 0  N 0
кўринишда бўлиб, у а) ва б) ҳаракат жиҳатдан кескин фарқ қилади: популяция сони ўсади,
бунинг устига ўсиш шу қадар тезки чекли t  t f вақт оралиғида чексизликка интилади.
Популяция бошланғич сони N 0 қанча катта бўлса, бу t  t f вақт шунча кичик бўлади.
(6)
Демак, (5) тенгламанинг чизиқсизлиги, ҳатто оддий моделда ҳам турли туман
эффектларни юзага келтириб чиқаради, популяция сони вақт бўйича ўзгаришининг
мумкин бўлган уч режими; б) режимнинг турғунсизлиги, яъни а) ёки в) соҳаларга
томон кичик оғишлар юз берганда ечим N m 
0
 0 чизиқдан узоқлашади; N t 
функциянинг бошланғич қийматларга жуда сезгирлиги; ва ниҳоят N 0  N m
бўлганда чекли вақт оралиғида популяция сонининг кескин тарзда ошиб кетиши
кабилар.
Шуни ҳам қўшимча қилиш мумкинки, (5) муносабат, мева заруркунандалари
ва айрим турдаги бактериялар популяциялар динамикаси модделларини ҳам
ифодалайди.