Билет 1. Погрешность физических измерений. Классификация погрешностей. Вероятность. Плотность вероятности (функция распределения). Распределение Гаусса и его параметры. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Классификация погрешностей: ● Систематические – погрешности, значения которых одинаковы во всех измерениях, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов; ● Приборные – частный случай систематической погрешности и обуславливаются допусками, которые всегда делаются при изготовлении прибора. Приборная погрешность равна половине единицы последнего разряда для приборов и половине наименьшего деления шкалы для школьных приборов; ● Случайные – погрешности, которые вызваны большим числом случайных и независимых друг от друга причин, причем действием каждых в отдельности из них в отдельности на результат измерений очень мало; ● Промахи – погрешности, значения которых существенно превышает ожидаемые при данных условиях. Эти погрешности возникают вследствие неисправности прибора, невнимательности экспериментаторов и т.д. Вероятность — численная мера возможности наступления некоторого события. Плотность распределения вероятностей – производная функции распределения, отвечающей абсолютно непрерывной вероятностной мере. нормировка ; Если , то Распределение Гаусса: Кривая распределение случайных погрешностей была получена Гауссом при следующих предположениях: ● систематическая погрешность отсутствует; ● случайные величины могут иметь непрерывный ряд значений ; ● случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т.е. погрешность как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результата, встречаются одинаково часто; ● вероятность появления погрешности уменьшается с возрастание величины погрешности, т.е. чем больше погрешность по абсолютной величине, тем реже она появляется; ● число измерений бесконечно велико . При этих предложениях можно доказать, что истинное значение будеи совпадать со средним арифметическим. ; - дисперсия отдельного измерения для серии измерений 1 серия: … N серия: Доверительный интервал. Интервал , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью , называется доверительным интервалом среднего арифметического. Доверительной вероятностью результата серии измерений называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал: Билет 2. Погрешности физических измерений. Малое число измерений. Распределение Стьюдента. Выборочная дисперсия среднего арифметического. Правила сложения систематической и случайной погрешностей. Погрешности косвенных измерений. Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Число измерений должно определяться соотношением систематической и случайной погрешностей. Если случайная погрешность значительно больше систематической, то ее нужно уменьшить, увеличивая число измерений. Число измерений выбирается таким, чтобы случайная погрешность была значительно меньше систематической. Распределение Стьюдента Распределение Гаусса не применимо по 3 причинам: ● невозможно полностью устранить систематическую погрешность; ● число измерений бесконечно велико; ● неизвестно истинное значение измеряемой величины. Поэтому применяется модифицированное распределение Гаусса – распределение Стьюдента, справедливое для малого количества измерений . - выборочная дисперсия отдельного измерения - выборочная дисперсия среднего арифметического , где - к-т Стьюдента, - доверительная вероятность, надежность. Сложение случайных и систематических погрешностей В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются стандартными погрешностямиσсист и σслуч. Суммарная погрешность находится по формуле Поясним эту формулу. Систематическая и случайная ошибки могут, в зависимости от случая, складываться или вычитаться друг из друга. Как уже говорилось, точность опытов принято характеризовать не максимальной (и не минимальной), а среднеквадратичной погрешностью. Поэтому правильно рассчитанная погрешность должна быть меньше суммыσслуч + σсист и больше их разности |σслуч – σсист|. Легко видеть, что σполн, определенная формулой (4), удовлетворяет этому условию. Поэтому Знак равенства возникает только в том случае, когда одна из погрешностей равна нулю. Аналогично имеем Формула показывает, что при наличии как случайной, так и систематической погрешности полная ошибка опыта больше, чем каждая, из них в отдельности, что также является вполне естественным. Обратим внимание на важную особенность формулы. Пусть одна из ошибок, например σслуч, в 2 раза меньше другой – в нашем случае σсист. Тогда Погрешности редко удается оценить лучше 20%. Но в нашем примере с погрешностью 20% σполн≈σсист. Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. Этот вывод очень важен. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Измерения достаточно произвести 2–3 раза, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала. Погрешности косвенных измерений Косвенные – измерения, при которых искомое значение величины вычисляется на основании известной зависимости между этой величиной и результатом прямых измерений. , Билет 3. Погрешности физических измерений. Порядок действий при обработке результатов измерений. Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Порядок действий при обработке результатов измерений: 1. Снятие измерений. 2. Расчет среднего арифметического измерений. 3. Вычисление отклонений от среднего значения. 4. Возвести в квадрат отклонения от среднего значения. 5. Вычисление выборочной дисперсии отдельного измерения. 6. Расчет абсолютной погрешности. 7. Расчет относительной погрешности. 8. Расчет истинной величины. 9. Расчет погрешности косвенных измерений. 10. Расчет погрешности косвенных измерений. 11. Расчет истинной косвенной погрешности , В окончательном результате измерений необходимо провести округление согласно правилам: Если первая значащая цифра в числе, выражающем погрешность, равна или больше 3х, то оставляют 1 значащую цифру; если первая значащая цифра меньше 3х, то оставляют 2 значащие цифры. Билет 4 Кинематика материальной точки. Траектория. Путь. Перемещение. Скорость. Направление скорости по отношению к траектории (с доказательством) Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени. За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело. Скорость. Докажем, что скорость направлена по касательной траектории: - единичный вектор, направленный по касательной - единичный вектор, направленный по нормали Билет 5 Кинематика материальной точки. Ускорение. Разложение полного ускорения на тангенсальное и нормальное ускорения. Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени. За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело. Ускорение. Годограф скоростей – это кривая описываемая концом вектора скорости в процессе движения. ; , По определению радиуса кривизны R: , - проекция на направление касательной – тангенсальное ускорение - нормальное ускорение (центростремительное) - полное ускорение , Тангенсальное ускорение определяет изменение скорости по модулю, а нормальное ускорение определяет изменение скорости по направлению, т.е. форму траектории. Билет 6 Кинематика материальной точки. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками движения. Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени. За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело. Угловая скорость и ускорение. , - угловая скорость - угловое ускорение Вектор угловой скорости всегда направлен вдоль оси вращения, а конкретное его направление (вверх/вниз) определяется правилом буравчика. 1) направление - вектор скорости перпендикулярен плоскости, определяемой векторами и 2) Если О=О’, то , Билет 7 Кинематика материальной точки. Ускорение, скорость и перемещение при равнопеременном движении. Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени. За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело. 1) , , где 2) Билет 8 Динамика материальной точки. Сила. I-й и III-й законы Ньютона. Масса. Импульс. Импульс силы. Различные формулировки II-го закона Ньютона. Сила – физическая величина, характеризующая взаимодействие двух или более тел, определяющая изменение состояния движения или изменения формы тела, или и то, и другое. I-й закон Ньютона. Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут его из этого состояния. III-й закон Ньютона. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены в противоположную сторону. Масса – мера инертности. Инертность — свойство тела, состоящее в том, что для изменения его скорости относительно инерциальной системы отсчёта необходимо определённое воздействие на него. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот. , 1) 2) масса – величина аддитивная, т.е масса составного тела равна сумме масс его частей; масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении. II-й закон Ньютона. ● Произведение величины массы тела на его ускорение пропорционально величине, действующей на данное тело силы. Направление силы и ускорения совпадают. ● 1) Произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе. 2) - изменение массы 3) Изменение импульса тела за время равно импульсу силы за тот же промежуток времени. Билет 9 Движение тел при наличии связей (несвободное движение тел). Примеры. Несвободное движение тела – это движение, при котором на траекторию или скорость наложены определенные условия (ограничения). Эти условия называются связями. Связи, наложенные на движение какого-то тела, осуществляются недеформированными телами. Силы со стороны тел, осуществляющих связь, называются реакциями связи. Пример 1 (движение по окружности в горизонтальной плоскости): Пример 2 (движение тела по идеальной наклонной плоскости): Пример 3 (движение по выпуклому склону): Пример 3 (движение трех грузов, подвешенных на блоках): , а) из нерастижимости нити следует б) из поступательного движения , в) из вращательного движения блоков M – момент силы; I – момент инерции; - угловое ускорение , если Из вращательного движения блока I следует: Подифференцировав дважды, получаем: . Билет 10 Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского. Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет и др.). Пусть в некоторый момент времени t масса движущегося тела А равна М и движется оно со скоростью V, а отсоединившееся (присоединившееся) тело массой имеет скорость , тогда масса всего тела будет равняться , а скорость - скорость изменения массы Последнее слагаемое представляет собой произведение бесконечно малых приращений времени и скорости, т.е. является величиной второго порядка малости относительно первых двух слагаемых, поэтому им можно пренебречь. - относительная скорость отколовшегося куска относительно большего тела - реактивная сила - уравнение Мещерского (описывает движение тела, у которого меняется масса) Формула Циолковского. - уравнение Циолковского - начальная масса ракеты - масса ракеты в момент времени t - стартовая скорость ракеты - скорость ракеты в момент времени t - скорость выброса газов из сопла ракеты. Физический смысл формулы Циолковского: Формула позволяет определить начальную массу ракеты (т.е. запас топлива) необходимую для того, чтобы разогнать полезную нагрузку М (спутник) от начальной скорости до скорости при условии, что скорость истечения газов из сопла ракеты равно . Билет 11 Инерциальные системы отсчета. Понятие о неинерциальной системе отсчета. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. Примеры. Если системы отсчета движутся равномерно прямолинейно относительно друг друга и хотя бы в одной из них выполняются законы Ньютона, то такие системы называются инерциальными. В качестве инерциальной системы отсчета можно взять систему неизменно связанную с центром масс тел, образующих солнечную систему, оси которой имеют неизменное направление относительно неподвижных звезд. Неинерциальная система – это система, движущаяся ускоренно, относительно инерциальной; в частности любая вращающаяся система является неинерциальной. Принцип Галилея: Во всех инерциальных системах законы ньютона имеют одинаковый вид (законы Ньютона инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы к другой) Пример 1 (маятник в вагоне): 1) в неподвижной системе (рельс) ; ; 2) в подвижной системе отсчета (вагон) , на , при - поступательная сила инерции Пример 2 (тело на столе в вагоне): 1) в неподвижной системе (рельс) 2) в подвижной С.О. 3) вводим силу инерции Пример 3 (маятник на вращающемся диске): а) (равнодействующая) б) шарик покоится, в) (центробежная сила) Билет 12 Силы инерции, действующие на тело, движущееся прямолинейно и равномерно во вращающейся системе (шарик на диске). Кориолисово ускорение. (рад) - приращение по касательной Приращение возникает из-за поворота радиальной скорости приращение характеризует изменение модуля тангенсального ускорения - приращение по касательной - нормальное приращение вращательной скорости Кориолисово ускорение: Нормальное ускорение: 2 силы создают свое ускорение: создается создается В системе диска: 1) 2) Билет 13 Силы инерции, действующие на произвольно движущееся во вращающейся системе координат тело. - приращение вектора, полученное при помощи поворота вектора вокруг оси справедливо, если вектор вращающейся системе. - производная неподвижен во во вращающейся системе отсчета, когда вектор меняется во вращающейся системе отсчета - радиус окружности, которую описывает точка в данный момент времени. - скорость в неподвижной системе - скорость относительная вращающейся системы, относительная скорость - связь между абсолютной и относительной скоростью во вращающейся системе производная в неподвижном состоянии - относительное ускорение (ускорение относительно вращающейся системы) - производная относительной скорости, взятой в неподвижной системе абс отн кол центрострем. , Билет 14 Влияние вращения Земли на движение тел. Маятник Фуко. 5.5. Влияние вращения Земли на движение тел. Маятник Фуко Вернемся к рассмотрению случая движения тела вдоль радиуса диска, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . На рис. 5.15, а изображены кинематические характеристики этого тела при его движении к центру вращения, а на рис. 5.15, б — при движении от центра вращения. Вектор угловой скорости в обоих случаях направлен перпендикулярно за плоскость чертежа. Если тело движется вдоль диска не равномерно, то при рассмотрении движения тела относительно неподвижной системы отсчета, необходимо учесть, что абсолютное ускорение тела в этой системе будет равно векторной сумме не двух (как было в случае постоянной относительной скорости (5.26)), а трех ускорений: , (5.28) где — переносное ускорение, зависящее только от характера переносного движения (); — относительное ускорение, зависящее только от характера относительного движения; = −ω r a′ r — кориолисово ускорение, зависящее от характера как относительного, так и переносного движений. В общем случае нахождение абсолютного ускорения представляет сложную задачу. Мы ограничимся частным случаем, когда диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. В качестве примера такого случая может служить движение тела массой m в системе отсчета, связанной с Землей. Умножив все члены равенства (5.28) на массу тела, найдем силу . (5.29) Из равенства 5.29 имеем: . Откуда получаем уравнение движения тела во вращающейся (неинерциальной) системе отсчета rrr цб ma F F ′ , где — кориолисова сила. Угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца (2радиан в год) настолько мала, что связанные с ней силы инерции не играют существенной роли в ходе процессов, происходящих на Земле. В то же время угловая скорость суточного вращения Земли примерно в 365 раз больше угловой скорости ее годового Рис. 5.15 r вращения. Поэтому при составлении уравнения движения тела в системе отсчета, связанной с Землей нужно учитывать не только ньютоновские силы (Fr), но и все силы инерции (центробежные и кориолисовы). В то же время часто при грубых количественных оценках характеристик некоторых явлений можно пренебречь и силами инерции, вызываемыми суточным вращением Земли, а систему координат, связанную с Землей, считать приблизительно инерциальной. Таким образом, в соответствии с проведенными выше рассуждениями сила Кориолиса проявляется при движении по поверхности земного шара благодаря суточному вращению Земли. Рассмотрим более подробно некоторые примеры, подтверждающие это явление. Французский физик-экспериментатор Жан Фуко (1819—1868), наблюдая за колебаниями специально сконструированного маятника, в 1851 г. экспериментально доказал, что система координат, связанная с Солнцем, инерциальна, а Земля совершает суточное вращение вокруг своей оси. Этот маятник, состоящий из подвеса длиной 67 м и железного шара массой 28 кг, названный маятником Фуко, был сконструирован в парижском Пантеоне. В настоящее время известно около 20 действующих конструкций маятника Фуко. Например, в здании ООН (Нью-Йорк), Грифитской обсерватории (ЛосАнжелес), Калифорнийской академии наук, Кувейте, Национальном музее американской истории (Вашингтон), Сиднейском университете (Австралия) и др. В Республике Беларусь маятник Фуко специальной конструкции в виде четырехгранной застекленной пирамиды установлен в Белорусском государственном педагогическом университете им. М. Танка (2002). Шар из алюминиевого сплава массой 27 кг, подвешенный на стальной проволоке длиной 6,35 м колеблется с амплитудой 1,25 м и периодом 5,5 с. Верхний конец проволоки закреплен в кардановом подвесе, установленном в вершине пирамиды. Внутри шара расположен постоянный магнит из редкоземельного материала, а в основании пирамиды электромагнитная система, служащая для восполнения потерь энергии при колебаниях. На географической широте Минска (ϕ=) за сутки пирамида поворачивается относительно плоскости качаний маятника на угол, равный 290°. o mg Для простоты рассуждений рассмотрим случай, когда маятник Фуко находится на Северном полюсе (рис. 5.16). Выведем маятник из состояния равновесия и дадим ему возможность свободно колебаться. В гелиоцентрической системе отсчета на маятник действуют сила тяжести r и сила натяжения r . Обе силы лежат в плоскости качаний маятника, следовательно, плоскость качаний должна Рис. 5.16 сохранять свое положение в пространстве относительно этой системы. В то же время проекция плоскости качаний маятника поворачивается в направлении, противоположном вращению Земли, со скоростью 15° в час. Наблюдаемый поворот плоскости качаний маятника может быть обусловлен только лишь суточным вращением Земли. В системе отсчета, связанной с Землей, поворот плоскости качаний маятника объясняется действием силы Кориолиса. На полюсе скорость маятника при большой длине его подвеса можно считать перпендикулярной вектору угловой скорости вращения Земли . Сила Кориолиса в соответствии с формулой перпендикулярна плоскости качаний маятника и по правилу буравчика направлена вправо по отношению к относительной скорости движения маятника. Поскольку сила Кориолиса никакой другой силой не уравновешивается, то в результате ее действия и происходит поворот плоскости качаний маятника. Траектория движения маятника будет иметь вид розетки (рис. 5.17). Если маятник установлен на определенной широте , то в этом случае его плоскость качаний повернется за сутки на угол . Таким образом, опыт с маятником Фуко экспериментально подтверждает, что система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной системой отсчета. Сила Кориолиса, которая действует на тело, движущееся с относительной скоростью вдоль меридиана, направлена по отношению к этой скорости вправо в северном полушарии и влево — в южном (рис. 5.18, а ). Если тело движется в плоскости экватора с запада на восток, то сила Кориолиса направлена вертикально вверх, при движении тела с востока на запад она направлена вертикально вниз (рис. 5.18, б ). Сила Кориолиса равна нулю, если тело движется на экваторе в плоскости меридиана, потому что векторы и параллельны. Примером влияния сил Кориолиса на движение тел у поверхности земного шара является также отклонение свободно падающих тел к востоку (рис. 5.18, в ). Большую роль играют кориолисовы силы в метеорологических явлениях. Так, отклоняющее влияние кориолисовой силы заставляет мощное океаническое течение Гольфстрим, выходящее из Мексиканского залива через Флоридский Рис. 5.17 Рис. 5.18 пролив в направлении, близком к меридианному, отойти от берегов Америки, пересечь Атлантический океан и выйти в Баренцево море у берегов Скандинавии. Действием кориолисовых сил объясняется и направление ветров-пассатов. Массы холодного атмосферного воздуха приходят в движение в направлении от полюса к экватору, где давление атмосферного воздуха вследствие нагревания несколько ниже, чем у полюса. Под влиянием силы Кориолиса, которая в данном случае будет направлена на запад, пассаты в северном полушарии Земли дуют с северо-востока на юго-запад, а в южном — на северо-запад. При движении тел на Земле проявление кориолисовых сил не очень заметно, поскольку в обычных условиях малы и скорости движения тел, и угловая скорость вращения Земли. Так, например, на груз маятника Фуко, установленного в БГПУ, при его колебаниях действует сила мН. Однако следует иметь в виду, что малая сила, которая действует продолжительное время, может создать довольно ощутимый эффект. Продолжительное действие кориолисовых сил объясняет тот факт, что правый берег рек в северном полушарии всегда более крутой, чем левый, в южном полушарии более крутой — левый берег (закон Бера). Сила Кориолиса прижимает воду к правому берегу, и она подмывает его. Поскольку сила Кориолиса, как отмечалось ранее, в северном полушарии всегда направлена в правую сторону от направления движения тела, то этим и объясняется преждевременный износ правого рельса на двухколейной железной дороге. В научно-популярной литературе можно встретить информацию о том, что перелетные птицы при сезонной миграции сохраняют выбранный курс полета благодаря влиянию на них кориолисовой силы. Билет 15 Сухое трение. Сила трения покоя. Закон Амотона. Зависимость сил сухого трения от скорости соприкасающихся тел. Закон Кулона. Сила трения качения и ее свойства. Сухое трение - когда взаимодействующие твёрдые тела не разделены никакими дополнительными слоями/смазками (в том числе и твердыми смазочными материалами) — очень редко встречающийся на практике случай. Характерная отличительная черта сухого трения — наличие значительной силы трения покоя. Сила трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения. Закон Амонтона — эмпирический физический закон, устанавливающий связь между касательной и нормальной составляющими реакции связи, возникающими при контактном взаимодействии тел. Если — относительная скорость в точке контакта, — касательная составляющая реакции связи, т.е. сила трения, — нормальная составляющая реакции связи, μ — коэффициент трения, то ▪ при ▪ при причём сила трения направлена в сторону, противоположную результирующей активных сил, и равна ей по величине. Коэффициент трения μ зависит от ряда физических факторов таких как материалы соприкасающихся поверхностей, качества их обработки, температуры и других. Закон Кулона — это закон о взаимодействии точечных электрических зарядов. Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы: 1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии; 2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд; 3. взаимодействие в вакууме. Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов. В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом: где — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q1,q2 — величина зарядов; — радиус- вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r12); k — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются). Сила трения качения — сопротивление движению, возникающее при перекатывании тел друг по другу. Проявляется, например, между элементами подшипников качения, между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном. В большинстве случаев величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения при прочих равных условиях, и потому качение является распространенным видом движения в технике. Трение качения возникает на границе двух тел, и поэтому оно классифицируется как вид внешнего трения. Пусть на тело вращения, располагающееся на опоре, действуют ▪ P — внешняя сила, пытающаяся привести тело в состояние качения или поддерживающая качение и направленная вдоль опоры; ▪ N — прижимающая сила; ▪ Rp — реакция опоры. Если векторная сумма этих сил равна нулю то ось симметрии тела движется равномерно и прямолинейно или остаётся неподвижной(см. рис. 1). Вектор определяет силу трения качения, противодействующую движению. Это означает, что прижимающая сила уравновешивается вертикальной составляющей реакции опоры, а внешняя сила уравновешивается касательной составляющей реакции опоры. Рис. 2. — внешняя сила; — сила трения качения; R — радиус тела вращения; Равномерное качение означает также, что сумма моментов сил относительно произвольной точки равна нулю. Из равновесия относительно оси вращения моментов сил, изображённыхна рис. 2 и 3, следует: откуда где ▪ Ft — сила трения качения; ▪ f — коэффициент трения качения, имеющий размерность длины (следует отметить важное отличие от коэффициента трения скольжения, который безразмерен); ▪ R — радиус катящегося тела; ▪ N — прижимающая сила. Рис. 3. Момент силы трения действующий против часовой стрелки (относительно мгновенного центра вращения в зоне контакта — правого конца отрезка f) и тормозящий качение тела вправо; N — прижимающая сила; f — коэффициент трения качения, равный длине плеча силы N. Рис. 4. Коэффициент трения f; векторная сумма вертикальной сила; — сила трения качения. — асимметричная реакция опорной поверхности, и горизонтальной компонент; — прижимающая Эта зависимость подтверждается экспериментально. Для малой скорости качения сила трения качения не зависит от величины этой скорости. Когда скорость качения достигает значений, сопоставимых со значениями скорости деформации в материале опоры, трение качения резко возрастает и даже может превысить трение скольжения при аналогичных условиях. Момент сил трения качения Определим для подвижного цилиндра момент, тормозящий вращательное движение тела. Рассматривая данный момент относительно оси вращающегося колеса (например, колеса автомобиля), находим, что он равен произведению тормозного усилия на оси на радиус колеса. Относительно точки контакта движущегося тела с землей момент будет равен произведению внешней силы, уравновешивающей силу трения, на радиус колеса (рис. 2): . С другой стороны, момент трения равен моменту прижимающей силы на плечо, длина которого равна коэффициенту трения качения f: где ▪ — момент силы трения в [Н] · [м]; ▪ R — радиус тела качения; ▪ P — внешняя сила; ▪ Ft — сила трения качения; ▪ f — коэффициент трения качения в [м]. Коэффициент трения качения Из выписанного выше уравнения следует, что коэффициент трения качения может быть определен как отношение момента трения качения Mt к прижимной силе N: Графическая интерпретация коэффициента трения качения f дана на рис. 3 и 4. Коэффициент трения качения имеет следующие физические интерпретации: ▪ Если тело находится в покое и внешняя сила отсутствует, то реакция опоры лежит на той же линии, что и прижимающая сила. Когда тело катится, то из условия равновесия следует, что нормальная составляющая реакции опоры параллельна и противонаправлена прижимающей силе, но не лежит с ней на одной линии. Коэффициент трения качения равен расстоянию между прямыми, вдоль которых действуют прижимающая сила и нормальная составляющая реакции опоры (рис. 4). ▪ Движение катящегося тела без проскальзывания можно рассматривать как поворот вокруг мгновенной оси вращения (на рис. 4 — точка приложения вектора ), которая для абсолютно твёрдых тел совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра круга на опору. Для случая реальных (деформирующихся под нагрузкой) материалов мгновенный центр вращения смещён в направлении качения тела, а величина смещения равна значению коэффициента трения качения.
