Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)» кафедра физики ОТЧЕТ по лабораторной работе № 8 «ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ТОКОПРОВОДЯЩИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ПОМОЩИ МОСТА УИТСТОНА» Выполнил : Группа № Преподаватель:______________________ Вопросы Задачи ИДЗ Даты коллоквиума Санкт-Петербург, 2022 Итог Цели работы: ознакомление с методом измерения сопротивлений при помощи моста постоянного тока; приобретение навыков расчета сопротивления проводников переменного сечения; определение удельных сопротивлений материалов токопроводящих моделей. Приборы и принадлежности: стенд для сборки измерительной цепи; токопроводящие модели; магазины образцовых сопротивлений; нульиндикатор (гальванометр); источник тока. Общие сведения Сопротивление проводников зависит от их формы и размеров, от рода вещества и его состояния. Для проводников в форме цилиндров постоянного поперечного сечения сопротивление равно: R l , S (1) где l и S - длина и сечение проводника, соответственно; - удельное сопротивление материала проводника. Удельное сопротивление является одной из основных электрических характеристик вещества. Оно определяется тока в веществе при заданной величине напряженности электрического поля E (закон Ома в дифференциальной форме): E, а также удельную тепловую мощность тока Pуд , т.е. количество тепла, выделяющегося в единицу времени в единицу объема (закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме): Póä dP E 2 . dV Зная значение , можно рассчитать размеры проводника, требуемые для получения заданного его сопротивления, или наоборот – значение сопротивления при известных геометрических размерах проводника. Выражение (1) имеет ограниченное применение: оно не пригодно для проводников переменного сечения, в которых плотность тока не одинакова в любом сечении, например, при расчете сопротивления утечки цилиндрического конденсатора, заполненного проводящей средой. Расчет таких сопротивлений производят, разбивая (руководствуясь соображениями симметрии) проводники (или проводящую среду) на множество элементов длиной dl и поперечным сечением dS так, чтобы плотность тока в любой точке отдельного элемента была одинаковой. Сопротивление каждого отдельного элемента равно dR dl , а сопротивление проводника на dS участке от l1 до l 2 будет l2 R 1, 2 S dl , l1 где S - поперечное сечение проводника, представленное в виде некоторой функции от l . Если такое разбиение невозможно, или зависимость S от l слишком сложна, используют подобие электрического поля в однородной проводящей среде с током электростатическому полю в диэлектрике при условии, что удельное сопротивление проводящей среды много больше удельного сопротивления материала электродов. Иначе говоря, распределение потенциала в проводящей среде с током окажется таким же, что и в диэлектрике (или вакууме), если, не меняя размеров и формы электродов, их взаимного расположения и разности потенциалов между ними, проводящую среду заменить диэлектрической. При этом выполняется соотношение R C 0 (2) где R - сопротивление утечки между двумя электродами в проводящей среде с удельным сопротивлением - емкость конденсатора, образованного этими же электродами в среде с относительной диэлектрической Таким образом, расчет сопротивления утечки между электродами в проводящей среде можно свести к расчету емкости конденсатора, образованного этими же электродами, т.е., по существу, к задаче электростатики. Расчет емкости конденсатора производится по формуле C Q , где Q - разность потенциалов между электродами. получается из связи напряженности E и потенциала электрического поля (E = –grad ): 2 2 2 1 Edl El dl , 1 (3) 1 где El - проекция вектора Е на направление l, вдоль которого производится интегрирование. Выражение для El, подставляемое в формулу (3), находится по принципу суперпозиции напряженностей электрических полей E 1 и E2 создаваемых зарядами электродов Q и -Q, либо по теореме Гаусса: n 0 EdS Qi . S i 1 В результате расчета получается выражение для , представленное функцией заряда Q, геометрических размеров, формы и взаимного расположения электродов. В этом выражении коэффициент пропорциональности перед и - есть величина, обратная емкости конденсаторы, образованного электродами. Формула для расчета сопротивления утечки между электродами в проводящей среде получается из соотношения (2). Следует также отметить, что из-за подобия распределения полей в проводящей среде и в диэлектрике проводящая среда с током может служить моделью для исследования электростатических полей. Например, вместо трудоемких расчетов или непосредственного измерения емкости какой-либо системы проводников сложной формы поместить модели этих проводников в проводящую среду, измерить сопротивление между ними, а затем найти емкость, используя соотношение (2). Во многих случаях такая методика оказывается предпочтительнее. Указания по проведению наблюдений 1. Собрать цепь измерительного моста, включить установку. 2. Установить отношение R1/R2 = 1 и подбором номинала резистора R3 при кратковременном нажатии кнопки SB1 добиться отсутствия тока через гальванометр. Провести несколько наблюдений при различных отношениях R1/R2, указанных на панели установки, оценивая предварительно ожидаемые значения R3. Результаты занести в таблицу произвольной формы. 3. Повторить измерения п. 2 для второй модели. Обработка: Модель 1 Формула 𝜌𝑥1 С= 𝑄 ∆𝜑 𝛿𝑅1 = 𝑅2 = 0,2% 𝛿𝑅3 = 0,1% для коаксиального кабеля: ′ 2 𝑅 ∆𝜑 = 𝜑1 − 𝜑2 = ∫1 𝐸⃗ 𝑑𝑙 = ∫𝑅′2 𝐸𝑙 𝑑𝑙; ; 1 𝜀𝜀0 ∮𝑆 𝐸𝑙 𝑑𝑆 = 𝑄; 𝜀𝜀0 𝐸𝑙 2𝜋𝑟ℎ = 𝑄; 𝐸𝑙 = 𝑅′ 𝑄 1 2𝜋𝑟ℎ𝜀𝜀0 ∆𝜑 = ∫𝑅′2 С= 2𝜋ℎ𝜀𝜀0 𝑅′ ln 2′ 𝑅1 ; 𝑅𝐶 = 𝜌𝜀𝜀0 ; 𝑑𝑟 = 𝜌𝑥1 = 𝑅 ′ 𝑑𝑟 𝑄 2𝜋ℎ𝜀𝜀0 ∫𝑅′2 1 𝑅𝑥1 2𝜋ℎ𝜀𝜀0 𝑅′ ln 2′ 𝜀𝜀0 𝑅1 = 𝑟 = 𝑄 2𝜋𝑟ℎ𝜀𝜀0 𝑄 𝑅2′ 2𝜋ℎ𝜀𝜀0 𝑅𝑥1 2𝜋ℎ ′ 𝑅 ln 2′ ; ln ′ ; 𝑅1 ; 𝑅1 Рассчет 𝑅𝑥1 𝑅𝑥 = 𝑅1 𝑅2 𝑅3 ; (𝑅𝑥1 )1 = 1 ∗ 1168,5 = 1168,5; (𝑅𝑥1 )2 = 0,5 ∗ 2288,11 = 1144,055; (𝑅𝑥1 )3 = 2 ∗ 633,71 = 1267,42; 𝑅̅𝑥 = 1193,33; ∆(𝑅𝑥1 )1 = 24,825 ∆(𝑅𝑥1 )2 = 49,27 ∆(𝑅𝑥1 )3 = −74,095 𝑆𝑅𝑥1 = 37,71 1 𝑅𝑥1 = (1193,33 ± 162,17) Ом Рассчет 𝜌̅𝑥1 𝜌̅𝑥1 = 2𝜋𝑅̅𝑥1 ℎ ′ 𝑅 ln 2′ = 0,48 Ом*м ∆𝜌̅𝑥1 = 0,015 ≈ 0,02 Ом*м 𝑅1 𝜌𝑥1 = (0,48 ± 0,02) Ом*м R1:R2 R1/R2 R3 1:1 1 1168,5 1:2 0,5 2288,11 2:1 2 633,71 Толщина проводящей поверхности h=80 мкм Внутренний радиус 𝑅1′ = 4 мм Внешний радиус 𝑅2′ = 14,5 мм Rx 1168,5 1144,055 1267,42 𝑅̅𝑥 = 1193,33 𝜌𝑥1 (0,48 ± 0,02) Ом*м Модель 2 𝛿𝑅1 = 𝑅2 = 0,2% 𝛿𝑅3 = 0,1% 𝑙−𝑅пр ∆𝜑 = ∫𝑅 пр 𝐸𝑟 𝑑𝑟; 𝜀𝜀0 ∮𝑆 𝐸𝑟 𝑑𝑆 = 𝜀𝜀0 𝐸𝑟 ∮𝑆 𝑑𝑆 = 𝑄; 𝜀𝜀0 𝐸𝑟 2𝜋𝑟ℎ = 𝑄; ∆𝜑 = 𝜌𝑥2 = 𝐸𝑟 = 𝑙−𝑅пр 𝑑𝑟 ∫ 𝑅 2𝜋𝑟ℎ𝜀𝜀0 пр 𝑟 2𝑄 𝑅𝑥1 2𝜋ℎ𝜀𝜀0 𝑙𝑛 𝑙−𝑅пр 𝑅пр 𝜀𝜀0 = 𝑄𝑙𝑛 = 𝑄 2𝜋𝑟ℎ𝜀𝜀0 ; 𝑙−𝑅пр 𝑅пр 𝜋ℎ𝜀𝜀0 ; 𝐶= 𝜋ℎ𝜀𝜀0 𝑙𝑛 𝑙−𝑅пр ; 𝑅пр 𝑅𝑥1 2𝜋ℎ 𝑙𝑛 𝑙−𝑅пр 𝑅пр Расчет 𝑅𝑥2 (𝑅𝑥2 )1 = 1 ∗ 1716 = 1168,5; (𝑅𝑥2 )2 = 0,5 ∗ 3435,8 = 1717,9; ∆(𝑅𝑥2 )1 = 9,51 ∆(𝑅𝑥2 )2 = 7,61 (𝑅𝑥2 )3 = 2 ∗ 871,32 = 1742,64; 𝑅̅𝑥 = 1725,51; ∆(𝑅𝑥2 )3 = −17,13 𝑆𝑅𝑥2 = 8,58 2 𝑅𝑥2 = (1725,51 ± 36,9) Ом Рассчет 𝜌̅𝑥1 𝜌̅𝑥2 = 2𝜋𝑅̅𝑥2 ℎ 𝑙𝑛 𝑙−𝑅пр = 0,39 Ом*м ∆𝜌̅𝑥2 = 0,008 ≈ 0,01 Ом*м 𝑅пр 𝜌𝑥2 = (0,39 ± 0,01) Ом*м R1:R2 1:1 1:2 2:1 R1/R2 R3 1 1716 0,5 3435,8 2 871,32 Толщина h=80 мкм Радиус двухпроводной линии 𝑅пр = 4 мм Длина двухпроводной линии 𝑙 = 16,3 мм Rx 1716 1717,9 1742,64 𝑅̅𝑥 = 1193,33 𝜌𝑥2 (0,39 ± 0,01) Ом*м
