Termiz agro texnalogiyalar va innovotsion
rivojlantirish instuti agrologistika va
biznes fakulteti agrobiznes va invission
ta’lim yo’nalish 114-guruh 1-bosqich
talabasi Ollayorov Sardorbekning iqtisodiy
matematika fanidan tayyorlagan mustaqil
ishi
Diskret tasodifiy miqdor va
uning sonli xarakteristikalari
Berilgan shart-sharoitlarda tasodifiy xolatga
bog`liq ravishda u yoki bu son qiymatlarini
qabul qiladigan o`zgaruvchi miqdor
tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlarga misollar:
1) 1 yanvarda Toshkentda tug`ilgan qiz
bolalar soni;
2) g`o`za to`pidagi gullagan ko`saklar soni;
3) paxta tolasi uzunligi;
4) bir yildagi quyoshli kunlar soni va h.k.
Chekli (bazan, cheksiz) sondagi (ko`pincha,
butun son) x1, x2, x3......xn qiymatlar qabul
qila oladigan tasodifiy miqdor diskret
tasodifiy miqdor deyiladi. Masalan, oila
azolari soni, quyon bolalari soni, yoz oyida
yomg`irli kunlar soni va x.k.lar diskret
tasodifiy miqdorga misol bo`la oladi.
Diskret tasodifiy miqdorning qabul qilishi
mumkin bo`lgan qiymatlar soni chekli yoki
cheksiz bo`lishi mumkin.
O`zi o`zgaradigan oraliqdagi har qanday
sonli qiymatlarni qabul qila oladigan
tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor
deyiladi. Bug`doy hosildorligi, paxta tolasi
uzunligi, ipak tolasi og`irligi, odam
bo`yininning uzunligi va x.k.lar uzluksiz
tasodifiy miqdorga misol bo`la oladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor qabul qilinishi
mumkin bo`lgan qiymatlar soni cheksiz
to`plamni, masalan, to`g`ri chiziq yoki biror
(a, b) intervalni tashkil etadi.
Diskret tasodifiy miqdorning qabul qilinishi
mumkin bo`lgan qiymatlari va bu qiymatlarni
qabul qilish ehtimollari berilgan bo`lsa, diskret
tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan
deyiladi. Tajriba natijasida X diskret tasodifiy
miqdor x1, x2, x3......xn qiymatlarni mos ravishda
p1, p2, p3,......pn ehtimollar bilan qabul qilgan
bo`lsin:
P(X= x1)= p1
Ehtimollar
nazariyasi
nuqtai
nazaridan
ko`rsatilgan ma`lumotlar X tasodifiy miqdorni
to`liq xarakterlash uchun yetarli bo`ladi.
Shunday qilib, X diskret tasodifiy miqdor
quyidagi jadval bilan to`liq aniqlanadi:
X
x1 x2 ..... .xn
P(x) p1, p2 ...... pn
Bu jadvalning birinchi yo`lida X tasodifiy
miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan
hamma qiymatlari ortish (yoki kamayish)
tartibida yozilgan, ikkinchi yo`lida esa ularga
mos ehtimollar ko`rsatilgan.
Bu jadval tasodifiy miqdorning qabul qilishi
mumkin bo`lgan qiymatlari va ularning
ehtimollari orasida bog`lanish o`rnatadi. Jadval
X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
deb atalishi mumkin.
X tasodifiy miqdor tajribada qabul qilinishi
mumkin bo`lgan x1, x2, x3......xn qiymatlaridan
birortasini albatta qabul qiladi. Shuning uchun
P ( yoki X= x1 , yoki X= x2…., yoki X= xn)=1.
Ikkinchi tomondan, ehtimollarni qo`shish
teoremasi bo`yicha
P(x) = pi
n
n
i 1
i 1
Shunday qilib tasodifiy miqdorning qabul qilishi
mumkin
bo`lgan
barcha
qiymatlarining
ehtimollari yig`indisi birga teng. Masalan, X
diskret tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot
qonuni bilan berilgan bo`lsin:
2 4 5 6
X
P(x) 0.3 0.1 0.2 0,4
pi= 0.3 + 0,1 + 0,2 + 0,4 = 1.
Jadval ko`rinishida berilgan taqsimot qonuni
diskret
tasodifiy
miqdorning
to`liq
xarakteristikasini beradi. Lekin uzluksiz
tasodifiy miqdor uchun bunday “jadval”
yordamida xarakteristika tuzish mumkin emas.
Buning sababi shuki, uzluksiz tasodifiy miqdor
o`zining har qanday o`zgarish oralig`ida turli
qiymatlarning cheksiz to`plamiga ega. Bunday
tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin
bo`lgan
qiymatlarining
“sanalgan
va
nomerlangan” jadvalini tuzish mumkin emas.
Ehtimollar
nazariyasida turli xarakterdagi
tasodifiy miqdorlarni yagona usul bilan tariflash
maqsadida tasodifiy funksiyasi tushunchasi
kiritiladi.
Taqsimot qonuni tasodifiy miqdorni to`liq
xarakterlaydi. Lekin ko`pincha taqsimot qonuni
noma`lum bo`lib, kam ma`lumotlar bilan
cheklanishga to`g`ri keladi. Bazan xatto
tasodifiy miqdorni yig`ma tasvirlaydigan
sonlardan foydalanish qulayroq bo`ladi. Bunday
sonlar
tasodifiy
miqdorlarning
sonli
xarakteristikalari deyiladi. Muhim sonli
xarakteristikalar jumlasiga matematik kutilma
tegishlidir.
Ko`p masalalarni hal etishda matematik
kutilmani bilish kifoya. Masalan, agar birinchi
mergan
urgan
ochkolarning
matematik
kutilmasi, ikkinchi mergan urgan ochkolarning
matematik kutilmasidan kattaligi ma`lum bo`lsa,
ularga birinchi mergan o`rtacha hisobda
ikkinchisiga qaraganda ko`proq ochko uradi va
demak, u ikkinchi mergandan yaxshiroq otadi.
Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi
diskret bo`ladi.
Tasodifiy diskret matematik kutilma {xk}
qiymatlarni {pk} ehtimollar bilan qabul qilsin.
n
x
k 1
k
pk
qator yig`indisi (agar bu qator absolyut
yaqinlashuvchi bo`lsa) diskret tasodifiy
miqdorning matematik kutilmasi(m.k.) deyiladi
va
n
x
M[x]=
k 1
kabi belgilanadi.
k
pk
Matematik kutilmaning xossalari:
1-xossa. O`zgarmas sonning matematik
kutilmasi shu sonning o`ziga teng:
M[C]=C,
c=const
2-xossa. O`zgarmas ko`paytuvchini matematik
kutilma belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin:
M[cX] = cM[X],
c=const
3-xossa. X va Y tasodifiy miqdorlar o`zaro
bog`liq bo`lmasin. Agar M[X] va M[Y] mavjud
bo`lsa, u holda M[XY ]= M[X]M[Y}
4-xossa. M[X] , M[Y] va M[X] + M[Y] larning
ixtiyoriy ikkitasi mavjud bo`lsa, u holda ushbu
M[X+Y] = M[X] + M[Y] tenglik o`rinli bo`ladi.
1-misol: X tasodifiy miqdorning taqsimot
qonuni berilgan, uning matematik kutilmasini
toping?
X 3
5 2
P 0,1 0,6 0,3
3
yechish:
3,9
EX xk pk
k 1
= 3·0,1+ 5·0,6 + 2·0,3=
Tasodifiy
miqdorning
mumkin
bo`lgan
qiymatlari uning matematik kutilma atrofida
qanchalik
tarqoqligini
baholash
uchun
dispersiya deb ataluvchi sonli xarakteristikadan
foydalanadi.
Tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb
D(X) =M [X – M[X]]2
ifodaga aytiladi.
Diskret matematik ifoda {xk} qiymatlarni {pk}
ehtimollar bilan qabul qilsa, shu matematik
miqdorning dispersiyasi uchun
n
2
D(X)
(x
–
M[X])
pk
k
k 1
formula o`rinli bo`ladi.
X matematik miqdorning dispersiyasini
ushbu formula bilan hisoblash qulaydir:
D(X) =M[X]2 – (M[X])2
Dispersiyaning xossalari.
1-xossa. D(0) = 0
2-xossa: O`zgarmas sonning kvadratga oshirib,
dispersiya ishorasidan tashqariga chiqarish
2
mumkin, ya’ni D(c X) = c D(X).
3-xossa. O`zaro bog`liq bo`lgan matematik
ifodalar yig`indisining dispersiyasi bu tasodifiy
miqdorlar dispersiyasining yig`indisiga teng,
yani
D (X+Y) = D(X) + D(Y)
2-Misol: Quyidagi tasodifiy miqdorning
matematik kutilmasi bilan dispersiyasini toping?
X : 1
2
5
P : 0,3 0,5
0,2
MX= 1· 0,3 + 2· 0,5 + 5· 0,2 = 2,3
DX = (xk – M[X])2 pk=
3
k 1
2
2
2
= (1- 2,3) · 0,3 + (2 – 2,3) 0,5 + (5- 2,3) 0,2=
= 2, 01
Tasodifiy
miqdorning
o’rta
kvadratik
chetlanishi deb uning dispersiyasidan olingan
kvadrat ildiziga aytiladi:
x Dx
yoki
x
n
(x
k 1
2
k
- M[X]) pk
Puasson taqsimot qonuni binomal taqsimot
qonuni kabi diskret tasodifiy miqdorning
taqsimot qonunidir. Alternativ o`zgaruvchan
belgilardan birining paydo bo`lish ehtimoli juda
kichik bo`lsa, ikkinchisiniki birga yaqin bo`ladi;
bu holda binomial taqsimot qonuni yaqqol
ifodalangan asimmetrik bo`ladi. Shunday
ehtimoli juda kichik, yani kamdan-kam ro`y
beradigan hodisalarning taqsimot qonuni
Puasson taqsimot qonuni deyiladi va quyidagi
formula bilan ifodalanadi:
Pm (a)=
a m a
e ,
m!
a = np
bunda Pm (a)- kamdan-kam ro`y beradigan
hodisaning takror tajribalar seriyasida m ta
uchrashi ehtimoligi.
Biror A hodisa har bir tajribada ro`y berishi yoki
ro`y bermasligi mumkin bo`lib, shu bilan birga
uning har bir tajribada ro`y berish ehtimoligi p,
ro`y bermaslik ehtimoli esa q bo`lsin (0 p<1,
q= 1 – p va p, q tajriba nomeriga bog`liq emas).
N ta tajribada A ning m marta takrorlanish
ehtimoligini bilishni istaymiz. Agar biz bu
ehtimolni Pn(m) bilan belgilasak, u holda
Pn(m) = С n p q
m
m
n-m
(m= 0, 1, 2,....n)
bo`ladi.
Formulani quyidagicha yoyib yozish mumkin:
n!
Pn(m) = m!(n m)! p m qn -m
Formula
n
n
n-1
n -2 2
n(n 1)
(q - p) = q + nq p+ 1 2 q p +....+
n–m m
n
q
p
+...+p
С
nyuton binomining umumiy hadidan iborat.
m
n
С
m
koeffisientlar binomial koeffisientlar
deb ataladi. Shuning uchun formula binomial
taqsimot qonuni deb ataladi.
n