Загрузил Школа интеллектуального обучения

Документ Microsoft Word

реклама
Как найти задуманное число
Существует множество способов найти задуманное кем-то целое
положительное число по результатам произведенных над ним действий.
Ограничимся лишь несколькими примерами. Всякий, кто знаком с
арифметической, без труда придумает другие фокусы того же рода.
nчисло. (ⅱ) Выясните, четно или нечетно полученное произведение. Если
оно четно, то его следует далее разделить пополам; если нечетно,- прибавить к
нему 1 и разделить пополам. (ⅲ) Полученный результат следует умножать на
3. (ⅳ) Попросите разделить это произведение на 9 и узнайте целую часть
частного. Допустим, в ответе получилось n. (ⅴ) В таком случае задуманное
число равно 2n или 2n+1 в зависимости от того, четным или нечетным был
результатом шага (ⅰ).
Доказательство очевидно. Любое четное число имеет вид 2n, и проделанные
над ним операции дают: (ⅰ) 6n (четное число); (ⅱ) 6n/2=3n; (ⅲ) 3*3n=9n; (ⅳ)
9n/9=n; (ⅴ) 2n. Нечетное же число имеет вид 2n+1; поэтому те же операции над
ним проводят к ответу: (ⅰ) 6n+3 (нечетное число); (ⅱ) (6n+3+1)/2=3n+2; (ⅲ)
3(3n+2)=9n+6; (ⅳ) (9n+6)/9 =n+ остаток; (ⅴ) 2n+1. Итак, в обоих случаях
указанное правило работает безупречно.
Второй способ ( [1], задача Ⅳ, с. 74). Предложите задумавшему число
проделать над ним следующие операции: (ⅰ) умножить задуманное число на 5;
(ⅱ) прибавить к произведению на 6; (ⅲ) умножить сумму на 4; (ⅳ) прибавить к
произведению 9; (ⅴ) умножить полученную сумму на 5. Если теперь из
последнего результата вычесть 165 и разность разделить на 100, то получитя
задуманное число.
В самом деле, пусть задумано число n. Тогда указанная последовательность
операций приводит к следующему результату: (ⅰ) 5n; (ⅱ) 5n+6; (ⅲ) 20n+24; (ⅳ)
20n+33; (ⅴ) 100n+165. Отсюда и следует изложенное выше правило.
Третий способ ( [1], задача Ⅴ, с. 80). Попросите задумавшего число
выполнить следующие операции: (ⅰ) умножить число на любое другое,
названное вами, скажем на а; (ⅱ) разделить произведение на ещё одно число,
скажем на b; (ⅲ) умножить число на с; (ⅳ) разделить произведение на d; (ⅴ)
разделить результат на задуманное число; (ⅵ) прибавить к частному
задуманное число. Вычитая из полученного результата ac/ba, вы определите
задуманное число.
В самом деле, пусть n-задуманное число. Тогда в результате первых
четырех операций получается nac/bd. Операция (ⅴ) дает ac/bd, а (ⅵ) приводит
к n+ac/bd. Но ac/bd нам известно, и, вычитая его, мы получаем n.
Разумеется, в качестве чисел a, b, c и d можно брать любые положительные
числа. Пусть, например, a=12, b=4, c=7, d=3; тогда достаточно вычесть 7 из
конечного результата – и задуманное число определено.
Четвёртый способ (см. [3])*. Попросите кого-то задумать число меньше 90
и произвести над ним следующие операции: (ⅰ) умножить на 10 и прибавить
любое число меньше 10, скажем число а (однако число а он должен назвать);
(ⅱ) разделить полученный результат на 3 и назвать остаток – допустим, это
будет число b; (ⅲ) умножить частное, полученное на предыдущем шаге, на 10
и прибавить любое число меньше 10, например число с (которое загадывающий
также должен вам сообщить); (ⅳ) разделить результат шага (ⅲ) на 3 и назвать
остаток (пусть он равен d), а также треть справа цифру частного (предположен
это будет е). Теперь вы без труда найдете задуманное число. Действительно,
пусть оно имеет вид 9х+у, где х≤9, у≤8, и пусть r-остаток от деления a-b+3(c-d)
на 9; тогда х=е, у=9-r.
Это несложно доказать. Если задуманное число равно 9х+у, то после шага
(ⅰ) мы получим число 90х+10у+а. Пусть у+а=3n+b; тогда частное, полученное
в результате шага (ⅱ), ровно 30х+3у+n. Шаг (ⅲ) приводит к числу
300х+30у+10т+с. Если n+c=3m+d, то частное, полученное в результате шага
(ⅳ), равно 100х+10у+3n+m; обозначим его через Q. Третьей цифрой числа Q
должно быть х, так как в силу у≤8 и а≤9 обязательно n≤5, а неравенства n≤5 и
c≤9 вместе дают m≤4. Следовательно, 10y+3n+m≤99, и значит, третья цифра
числа Q (т.е. число сотен в нем) равна х.
Далее из равенств y+a=3n+b и n+c=3m+d получаем
Скачать