Выполнение операций над матрицами. Определители квадратных матриц.

Понятие матрицы. Выполнение
операций над матрицами. Определители
квадратных матриц. Вычисление
определителей.
Понятие матрицы
Матрица – это таблица из m строк и n столбцов. Элементами
матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы:
числа, переменные или, к примеру, иные матрицы.
Например, матрица
содержит 3 строки и 2 столбца;
элементами её являются целые числа.
Матрица
содержит 2 строки и 4 столбца.
Размер матрицы
Произведение m×n называют размером матрицы. Например, если
матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице
размера 5×3.
Матрица
имеет размер 3×2.
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского
алфавита: A, B, C и так далее.
Элементы матрицы
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами.
Например, элементы матрицы A обозначаются aij. Двойной
индекс ij содержит информацию о положении элемента в матрице.
Число i – это номер строки, а число j – номер столбца, на
пересечении которых находится элемент aij. Например, на
пересечении второй строки и пятого столбца матрицы расположен
элемент a25=59:
Равные матрицы
Две матрицы одинакового размера Am×n=(aij) и Bm×n=(bij)
называются равными, если их соответствующие элементы равны.
Какая пара матриц является равной:
Пример №1
Определите размер матрицы А. Укажите, чему равны
элементы a12, a33, a43.
Виды матриц в зависимости от их
размера.
Задана матрица Am×n. Если m=1 (матрица состоит из одной строки),
то заданную матрицу называют матрица-строка.
Если же n=1 (матрица состоит из одного столбца), то такую
матрицу называют матрица-столбец.
Например:
(−1 −2 0 −9 8) – матрица-строка
– матрица-столбец.
Виды матриц в зависимости от их размера.
Если для матрицы Am×n верно условие m≠n (т.е. количество
строк не равно количеству столбцов), то часто говорят,
что A – прямоугольная матрица.
Например, матрица
Виды матриц в зависимости от их
размера.
Если для матрицы Am×n верно условие m=n (т.е. количество
строк равно количеству столбцов), то говорят, что A –
квадратная матрица порядка n.
Например,
Главная и побочная диагонали матрицы
Говорят, что элементы a11, a22, …, ann находятся на главной
диагонали матрицы An×n. Эти элементы называются
главными диагональными элементами.
Элементы a1n, a2n−1, …, an1 находятся на побочной
(второстепенной) диагонали; их называют побочными
диагональными элементами.
Пример
Выполнение операций над матрицами.
1. Сложение и вычитание
2. Умножение на число
3. Умножение двух матриц
Сложение и вычитание матриц
Суммой A+B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется
матрица Cm×n=(cij), где cij=aij+bij.
Аналогичное определение вводят и для разности матриц:
Разностью A−B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется
матрица Cm×n=(cij), где cij=aij−bij.
Пример
Размеры матриц A и B совпадают, т.е. данные матрицы содержат
равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применимы
операции сложения и вычитания.
Вычитание
Решите самостоятельно
Найти сумму и разность матриц
Решение
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы Am×n=(aij) на число α называется
матрица Bm×n=(bij), где bij=α⋅aij.
Пример
Задана матрица:
Найти матрицы 3⋅A, −5⋅A и −A.
Найдите самостоятельно −A, помните, что это краткая запись -1·А.
Произведение двух матриц.
Произведением матрицы Am×n=(aij) на матрицу Bn×k=(bij) называется
матрица Cm×k=(cij), для которой каждый элемент cij равен сумме
произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A на
элементы j-го столбца матрицы B:
Пример
Если мы хотим умножить матрицу A на матрицу B, то
сперва нужно убедиться, что количество столбцов
матрицы A равно количеству строк матрицы B (такие
матрицы часто называют согласованными).
Результатом умножения матриц A5×4 и B4×9 будет матрица
C5×9, содержащая 5 строк и 9 столбцов:
Для начала сразу определим размер матрицы C. Так как матрица A имеет
размер 3×4, а матрица B имеет размер 4×2, то размер матрицы C таков: 3×2:
В результате произведения матриц A и B мы должны получить
матрицу C, состоящую из трёх строк и двух столбцов:
Начнем с элемента c11. Чтобы получить элемент c11 нужно найти
сумму произведений элементов первой строки матрицы A и
первого столбца матрицы B.
Начнем с элемента c11:
c11=−1⋅(−9)+2⋅6+(−3)⋅7+0⋅12=0.
Найдем c12:
c12=−1⋅3+2⋅20+(−3)⋅0+0⋅(−4)=37.
Найдем c21:
Аналогично находим оставшиеся элементы
c22=5⋅3+4⋅20+(−2)⋅0+1⋅(−4)=91.
c31=−8⋅(−9)+11⋅6+(−10)⋅7+(−5)⋅12=8.
c32=−8⋅3+11⋅20+(−10)⋅0+(−5)⋅(−4)=216.
Все элементы матрицы C найдены, осталось лишь записать, что
Самостоятельно найдите произведение матриц А·В и В·А
Решение
Определитель матрицы
Определение.
Определитель матрицы — это алгебраическая сумма n!
слагаемых, составленных следующим образом. Каждое
слагаемое — это произведение элементов матрицы, взятых
по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное
на (−1) в степени количество инверсий:
Варианты обозначения определителя:
det A
или А
или ∆
Определитель квадратных матриц
2-го и 3-го порядка
Универсальная формула вычисления определителя для
матрицы 2x2 выглядит так:
Определитель матрицы второго порядка
Вычислите определитель:
Решение:
Определитель матрицы 3-го порядка
Определитель будет считаться по формуле:
Правило треугольника
Способ Саррюса или способ
«параллельных полосок».
Пример. Вычислить ∆ матрицы
Вычислить ∆ матрицы
Решение
Спасибо за занятие!