5.1 - Теория графов. Осн.понятия и типы графов. Изоморфизм. Матричное представление графов

РАЗДЕЛ 5. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Основные понятия теории графов
Граф – пара G(V, X), где V = V(G) – конечное непустое множество – множество вершин графа, X = X(G)
– конечное множество неупорядоченных пар различных элементов из V – множество ребер графа.
Элементы v  V называются вершинами / узлами графа, элементы x = {v, w}X, где v, w V, – его
ребрами. Вершины v и w при этом называются смежными, а ребро x и каждая из вершин из вершин v и w –
инцидентными. Говорят, что ребро x соединяет вершины v и w, а v и w называются концами ребра x.
Два ребра x, y X – смежные, если они инцидентны одной и той же вершине, т.е. x  y   .
Из приведенных определений следует, что в графах любые две различные вершины могут быть
соединены не более чем одним ребром. Такие графы называют иногда простыми графами.
Если V (G ) = p , X (G ) = q , то граф G называется (p, q)-графом.
Иногда приходится рассматривать графы, в которых некоторые вершины могут соединяться более
чем одним ребром или некоторые вершины могут соединяться сами с собой.
Ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин, называется кратными ребрами. Их обозначают
x = {v, w, n}, v и w – различные вершины графа, а n – номер одного из кратных ребер.
Мультиграф – граф, в котором допускаются кратные ребра.
Ребро, концы которого совпадают, называется петлей. Обозначение – стандартное – x = {v, v}.
Псевдограф – граф, в котором допускаются петли.
В самом общем случае могут присутствовать и кратные ребра, и кратные петли.
Подграфы. Дополнения
Пусть даны два графа G = (V, X) и H = (W, Y).
Граф H называется подграфом графа G, если W  V & Y  X, G при этом называется надграфом
графа H. Данный факт обозначается: H  G.
Графы G и H считаем равными (G = H) если V = W & X = Y, т.е. H  G & G  H.
Подграф H графа G называется остовным подграфом / суграфом, если W = V.
Пусть S  V. Подграф, порожденный множеством S, или просто порожденный подграфом S , –
максимальный (в смысле ) подграф графа G с множеством вершин S.
Граф G называется пустым или нуль-графом, если X(G) = . Обозначение 0p, 0(V) (p = | V |).
Граф G называется полным, если v, wV :v, w X , т.е. любые две вершины смежны.
Обозначение: Kp, K(V)/
Пусть G1 = (V, X1) и G2 = (V, X2) – остовные подграфы графа G = (V, X). Тогда граф G2 называется
дополнением графа G1 в графе G, если X2 = X \ X1, т.е. дополнение графа G1 в G – это остовной подграф
графа G, который содержит те и только те ребра графа G, которые не содержатся в G1.
Дополнение G = (V, X) в K(V) называется просто дополнением графа G, обозначается G .
Две вершины в G смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G.
Очевидно G = G , K (V ) = 0(V ) и 0 (V ) = K (V ) .
Ориентированные графы
Ориентированный граф / орграф – называется пара G = (V, Г), где V – конечное непустое
множество вершин, Г – конечное множество упорядоченных пар различных вершин, т.е.   V2.
 = (v, w)  – дуга орграфа G. В этом случае говорят, что дуга γ исходит из вершины v и заходит
в вершину w. Вершина v называется началом дуги γ (v = Пр1 γ), а w – ее концом (w = Пр2 γ).
Дуги α и γ графа G называют симметричными, если v, w  V :  = (v, w) &  = (w, v ) .
Симметричный орграф – орграф G, в котором vi , v j  V :  ij     ji   .
1
Орграф называется направленным / антисимметричным, если в нем нет симметричных пар дуг.
Симметризация орграфа G = (V, Γ) – операция, при которой орграфу G ставится в соответствие
~
~
~
~
симметричный орграф G = V ,  , в котором  =   (v, w) : (v, w)    (w, v )   . Орграф G при этом
( )
называется симметризованным орграфом G.
Любой симметричный орграф можно понимать как простой орграф, каждое ребро которого
соответствует паре симметричных дуг с теми же концами, т.е. {v, w} = {(v, w), (w, v)}, и каждый простой
граф можно понимать как соответствующий симметричный орграф.
~
Основанием орграфа G = (V, Γ) называется граф G = (V , X ) , полученный симметризацией G.
Отношения и графы. Отображения, индуцируемые графами
Пусть G = (V, Γ) – орграф. Очевидно,   V2 и является бинарным отношением на V. И наоборот:
если R  V2, где V – конечное непустое множество, то пара (V, R) является орграфом.
Отображение : V → V, индуцируемое орграфом G, определяется так: vV :(v )=wV :(v,w).
Можно ввести обратное отображение: wV : −1 (w)=vV :(v,w) . Тогда множество Γ(v) будем
называть множеством образов вершины v, а Γ–1(w) – множеством прообразов вершины w.
И наоборот: если f : V → V – отображение, то графом этого отображения называется орграф
Gf = (V, Γ), где  = (v, w) : v  V & w  f (v ).
Изоморфизм графов
f
Два графа G = (V, X) и H = (W, Y) называют изоморфными и обозначают G ~ H или G ~ H , если
существует взаимнооднозначное соответствие f : V → W, сохраняющее связность, т.е.
G ~ H , если f :V → W vi , v j V ({vi , v j} X   f (vi ), f (v j )Y ).
Геометрически изоморфность графов означает возможность наложения их диаграмм друг на друга
без разрывов и склеиваний.
Теорема 5.1. Изоморфность графов является отношением эквивалентности на множестве графов.
Теорема 5.2. Пусть G = (V, X), H = (W, Y). Тогда, если G ~ H, то G1  G H 1  H : G1 ~ H 1 .
Матричное представление графов
Неориентированные графы
Пусть G = (V, X) – простой (p, q)-граф, V = {v1, v2, …, vp}, X = {x1, x2, …, xq}.
1, если vi см v j ,
Матрица смежности графа G – матрица A(G)p×p, в которой aij = 
0 , в противном случае.
Свойства матрицы смежности:
1) A(G) – симметричная матрица (AT = A);
2) i = 1, p (aii = 0) – граф не содержит петель;
1, если vi инцидентна x j ,
Матрица инциденций графа G – матрица B(G)p×q, в которой bij = 
0 , в противном случае.
Т.к. каждое ребро графа инцидентно двум разным вершинам, то каждый столбец матрицы
инциденций B(G) содержит ровно два единичных элемента, т.е. j = 1, q :
b
ij
= 2.
i
Теорема 5.3. Матрица A(G) и B(G) определяют граф с точностью до изоморфизма.
Матрица смежности мультиграфа G = (V, X), |V| = p, – (p×p)-матрица, в которой элемент aij равен
числу кратных ребер, соединяющих вершины vi и vj.
Для псевдографов диагональные элементы матрицы A(G) могут быть отличными от нуля: aii ≠ 0,
если имеется петля в вершине vi.
2
Ориентированные графы
Матрица смежности орграфа G = (V, Γ) – матрица A p p , в которой aij =  :  = (vi , v j ) .
Матрица
смежности
орграфа,
вообще
говоря,
не
является
симметричной


( AT  A ).
Симметризации орграфа можно добиться симметризацией матрицы A(G) .
1,если из vi исходит  j ,

Матрица инциденций орграфа G – матрица B(G)p×q, в которой bij = −1,если в vi заходит  j ,
0,если из vi не инцидентна  j .
3