Тема:Точечные группы симметрии. Взаимодействие элементов симметрии. Фигура симметрична, если существуют преобразования, переводящие ее в саму себя. Они называются операциями симметрии. У операций симметрии есть геометрический «символ»: ось, плоскость или центр инверсии Действие операций симметрии: геометрические представления поворот + + + + + – инверсия отражение • Симметрию конечных фигур (молекул, полиэдров) описывают точечные группы. • Точечные группы могут описывать также симметрию окружения точки или повторяющегося фрагмента в бесконечных фигурах • Точечные группы содержат только закрытые элементы симметрии. • В результате действия закрытых элементов симметрии хотя бы одна точка фигуры остается неподвижной. Для описания симметрии конечного объекта существует только два вида закрытых преобразований симметрии: 1. Собственные вращения: повороты фигуры как единого целого. Соответствующий элемент симметрии – поворотная ось N 2. Несобственные вращения: перестановка одинаковых частей фигуры (отражение, инверсия и их комбинация с поворотами). Им соответствуют элементы симметрии: Зеркально-поворотная ось Sn или Инверсионная ось -N Точечные группы символика Шёнфлиса • Поворотные оси Сn • Зеркальноповоротные оси Sn символика Германа-Могена • Поворотные оси N • Инверсионные оси N РАЗНЫЕ геометрические образы для несобственного вращения Поворотная ось порядка n - прямая, при повороте вокруг которой на угол 360о/n, фигура самосовмещается. При вращении вокруг оси на угол 360о фигура n раз совместится сама с собой. Обозначения Cnk или Nk указывают, что относительно исходного положения фигура повернулась на угол k·360о/n, где k = 1, 2, …, (n-1) (кратность поворота) по Шёнфлису (n=N) Cn: по Герману-Могену N : C1=e C2 C3 C4 C5 C6 ... 1 2 3 4 5 6 ... Графический символ: Вертикальная ориентация Горизонтальная ориентация C∞ ∞ Инверсионная ось N - прямая, несущая особую точку, при повороте вокруг которой на угол 360о/n и последующей инверсии в особой точке, фигура самосовмещается. Операция инверсии: инверсионная ось первого порядка 1 + (x, y, z) → (x,y,z) – Графический образ – центр инверсии Графические обозначения для несобственного вращения m по Герману-МогенуN:1 2 3 4 5 6 7 8 ...∞ m вертикальная ориентация горизонтальная ориентация Зеркально-поворотная ось Sn - прямая, при повороте вокруг которой на угол 360о/n и последующем отражении в перпендикулярной плоскости, фигура самосовмещается. Обозначение Snk указывает, что операция поворота и последующего отражения была выполнена k раз относительно исходного положения фигуры. k = 1, 2, …, (n-1) Несобственное вращение тетраэдра: поворот с отражением на 90о + S4 − − N + катион тетраэтиламмония N(C2H5)4+ Графические обозначения для несобственного вращения m по Герману-МогенуN:1 2 3 4 5 6 7 8 ...∞ m вертикальная горизонтальная ориентация ориентация по Шёнфлису Sn, но S2=i S6 S1=σ S4 S10 S8... S14 ... S ∞ S3 ... НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn) N = 4k n=N нет ни m, ни1 Тетраэдр S4 + − − + вершины антипризмы с поворотной осью четного порядка 4 + − − + Тетрагональная антипризма 8 S8 НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn) N = 4k +2 ± S3 N = n /2 есть плоскость m 6=3/m ± ± вершины призмы, в основании которой правильный n-угольник, n – нечетное НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn) N=2k+1 n = 2N есть1 (центр инверсии) S6 + − −3: + + 3 и1 − вершины антипризмы с поворотной осью нечетного порядка Связь поворота с инверсией (N) и зеркальный поворота (Sn): N=2k+1 N ᴝ N,1 + N=4k N ᴝ N/2 m┴ 1 N=4k+2 N ᴝ N/2, m┴ ± − − + + + − − ± ± + − 3: 3 и1 S6 n=2N вершины антипризмы 6=3/m S3 n=N/2 вершины призмы 4 S4 n=N вершины антипризмы Тетрагональная пирамида: Операции симметрии: отражения и повороты на 90°, 180° и 270° (вид сверху) Элементы симметрии: 4 плоскости и поворотная ось 4-го порядка Совокупность всех операций симметрии фигуры называется ее группой симметрии. Графическое изображение всех элементов фигуры называется графиком группы. Молекула Н2О2 группа C2 (2) Молекула Н2О z y x Молекула Н2P−PH2 вид «сверху» К одной и той же точечной группе относятся многие фигуры (в частности, разные молекулы). группа C2v (mm2) Н2P−PH2 Н2О СН2Cl2 Взаимосвязь элементов симметрии: геометрический аспект Две взаимно-перпендикулярные плоскости Взаимосвязь элементов симметрии: геометрический аспект Взаимно-перпендикулярные ось 2-го порядка и плоскость + – – Возникающий элемент симметрии можно найти построением (размножением точек) + – + – + – – + + + + + Найти все элементы симметрии группы и изобразить их графически помогают правила взаимодействия элементов симметрии Взаимодействие 2-х осей симметрии 2-го порядка, поворотных или инверсионных (= плоскость зеркального отражения), приводит к возникновению третьей оси симметрии, проходящей через точку их пересечения. Если исходные оси одинаковые (обе поворотные или обе инверсионные), то результирующей будет поворотная ось. Если исходные оси разного типа (одна поворотная и одна инверсионная), то результирующая будет инверсионная ось. 1. Пересечение плоскостей 360º / n = 2α α – угол между пересекающимися плоскостями n – порядок поворотной оси α α = 60º 360º / n = 2 α 360º / n = 120º n=3 Следствие: если через поворотную ось порядка n проходит хоть одна плоскость, то таких плоскостей будет n 2. Пересечение двух поворотных осей 2-го порядка 360º / n = 2α α α = 30º 360º / n = 2 α 360º / n = 60º n=6 Следствие: если перпендикулярно поворотной оси порядка n проходит хоть одна ось второго порядка, то таких осей будет n 3. Пересечение поворотной оси 2-го порядка и плоскости Sn 360º / n = 2α N N = 360º / (180º - 2 α ) α Sn 360º / n = 60º; n = 6 α = 30º N = 360º / (180º - 60º) N = 3 Sn 360º / n = 2α α α = 45º Sn 360º / n = 90º ; n = 4 N N = 360º / (180º - 2 α ) = 4 Взаимодействие элементов симметрии: геометрический аспект А Д Б Е В Ж Г З Система Германа – Могена для обозначения точечной симметрии Символы групп – из символов операций, «привязанных» к системе координат Низшая категория Средняя категория N, N, N/m 42m 4mm 3m
