Стереометрия Задачник к школьному курсу. 10-11 класс by Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н. (z-lib.org)

Г Л П П !
Александр Гайштут, Григорий Литвиненко
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ КУРСУ
х
х
ш
3
ш
0_
X
□_
ш
0_
X
со
Александр Гайштут, Григорий Литвиненко
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ
КУРСУ
«Магистр-3»
Москва
1998
«АСТ-ПРЕСС»
УДК 51
ББК 22
Г 12
Гайштуг А.Г., Литвиненко Г.Н.
Г 12
Стереометрия: Задачник к школьному курсу. — М.: АСТ-ПРЕСС: Магастр-5,1998. — 128 с.
Б В И 5-7805-0214-5
15ВК 966-557-031-5
Задачник к школьному курсу «Стереометрия» соответствует учебной программе по геометрии и адресован
учащимся 10—11-х классов, учителям, абитуриентам и студентам педагогических вузов.
г ш т т -т
8Ш9(03)-98
13ВК 5-7805-0214-5
у ж 51
ББК 22
© А.Г. Гайштут, Г.Н. Литвиненко, 1998
© «АСТ-ПРЕСС», 1993
© «Магистр-5», 1993
ПРЕДИСЛОВИЕ
Объем рассматриваемого на уроке материала воз­
растает, если при решении геометрических задач поль­
зоваться готовыми чертежами, но в этом случае до­
статочно хорошо развивается пространственное вооб­
ражение. Наибольший эффект в обучении или
самообразовании учащихся дает разумное сочетание
тех или иных заданий.
Система расположения материала, форма оформ­
ления и наличие справочного материала выгодно от­
личает его от имеющихся задачников.
Большая часть задач составлена авторами с таким
расчетом, чтобы задачник удовлетворял широкому кругу
пользователей. Часть несложных заданий дает возмож­
ность приобрести хорошие навыки в решении заданий
по различным разделам геометрии.
Другая часть заданий, развивая пространственное
мышление, не требует громоздких преобразований. В
конце книги на большую часть задач даны краткие
решения, что по мнению авторов поможет пользователю
заниматься самообразованием.
Цель книги — помочь учащимся систематизировать
свои знания. Этому способствует структура книги, в
начале которой изложен справочный материал, знание
которого необходимо для решения задач по стерео­
метрии. Но решение стереометрических задач состоит
из решения более простых планиметрических. В конце
книги расположен справочный материал, знание ко­
торого необходимо для решения задач по планиметрии.
Оглавление поможет легко отыскать необходимый
для работы материал.
3
Все это позволяет использовать книгу, не прибегая
к учебникам.
Задачи, родственные по идее решения, сгруппи­
рованы вместе. Для первых задач каждой группы
дается более подробное решение, чем для последующих.
Второстепенные моменты рассуждений и вычислений
опускаются. Решение задачи следует прочесть после
того, как задача решена самостоятельно или после
того, как вы убедились, что задача для вас непосильна.
Но решение задач — это труд, и, как любой труд,
он требует трудолюбия, настойчивости и терпения.
Решению задач помогут следующие советы:
1. Постарайтесь понять задачу, определить, что в
ней является искомым.
2. Определите, как неизвестное связано с данными
задачи.
3. Составьте и осуществите план решения задачи.
4. Оглядываясь назад, вновь проанализируйте пол­
ученное решение, определяя, все ли данные вы ис­
пользовали при решении задачи.
4
Стереометрия
Справочный материал
Если пирамида пересечена плоско
стью, параллельной основанию, то:
Если две пирамиды с равными вы­
сотами рассечены на одинаковом рас­
стоянии от вершины плоскостями, па­
раллельными основаниям, то:
3
я_ ш _5
«1
5]
ПРИЗМА
/
\
5Д
5В{
_ 301
~8А ~ ~8В ~ •" ” 5 0
НАКЛОННАЯ
II
ПРЯМАЯ
V = 5Я = 5^,р АА1
5боК= РН
^ПОЛ~ &бок 25
^бок Рпер ААу
$пол = $бок + 25
ЦИЛИНДР
А1В1С1й 1Е1 ьо АВСОЕ
V = лК2Н
$ АВСОЕ
_ 50?
502
3** = 2жВН
8тл = ЪгК(Н + В)
Справочный отдел
Обозначения:
5 —
5 бок
&МР
8 тл
Р —
площадь основания,
— площадь боковой поверхности,
— площадь перпендикулярного сечения,
— площадь полной поверхности,
периметр основания,
Р пер — периметр перпендикулярного сечения,
V
Н
Я
К
Ь
—
—
—
—
—
объем,
высота,
радиус цилиндра, конуса, шара,
апофема боковой грани,
образующая конуса.
5
ПИРАМИДА
ПОЛНАЯ
/
\
УСЕЧЕННАЯ
II
ю |н -
г
а
К = | я ( 5
+ « + л /5 Г )
^ - 5 ( Р , + Р а ) *
5 пол = 5 „бок + 5 ,1 *4"25 *
*пол =
З б с к + $
КОНУС
/
ПОЛНЫЙ
\
УСЕЧЕННЫЙ
У = ~ л Н • (.К2 + г 2 + Кг)
У = ± я К 2Н
8&ж = я ( К + г ) Ь
8 бок
=л
Ю '
8«ол = я Я ( Ь + К )
6
$пол
=
5 бок
+Я
# + ЯГ2
ШАР
V = з **3
$пол
= 4лЯ2
ШАРОВОЙ
СЕКТОР
СЕГМЕНТ
(СЛОЙ)
ПОЯС
Теорема о трех косинусах
а — плоский угол
при вершине пра­
вильной п-угольной
пирамиды,
х — угол при ребре
основания.
— плоский
угол при верши­
не правильной пугольной пира­
миды,
х — угол между
боковым ребром
и плоскостью ос­
нования.
. (X
ят2
С08* =
180соя---п
а — плоский
угол при верши­
не правильной
п-угольной пи­
рамиды,
х — угол при
Примечание* При п, равном 3, 4, 5, 6 и т.д. получим зависимость между данными
углами соответственно в правильных пирамидах: треугольной, четырехугольной и т.д.
7
1. Перпендикуляр и наклонная
Задача 1.
Дано: АВ — перпендикуляр,
АС и АО — наклонные,
ААСВ = 30% АС =16, ВБ = 6.
Найдите: АО.
д
Задача 4.
Дано: ААХ — перпендикуляр,
АВ и АС — наклонные,
ААСВ = 90% ААСА, = 30%
Задача 2.
Задача 5.
Дано: АВ — перпендикуляр,
АС и АО — наклонные,
ААСВ = 45% АС = 8 УТ, ВО = 6.
Найдите: АО.
д
Дано: КМ — проекция отрезка АВ на
Дано: АВ — перпендикуляр,
АС и АО — наклонные,
ААСВ = 60% АС = 4, ВО = \^ТТ.
Найдите: АО.
.
Дано: ОЕ — проекция отрезка АВ на
плоскость а, АО = 6, АС = 12,
ВЕ = 2.
Найдите: АВ.
в
Задача 7.
Дано: МЫ — проекция отрезка АВ на
плоскость а, АМ = 6, ВИ = 8,
АО = ОВ, О К 1 а.
Задача
8.
Дано: А/Лг — проекция отрезка АВ на
плоскость а, А Б : БВ = 3 :2 ,
АМ = 8, ДДГ= 12.
в
Задача 10.
Дано: СБ — проекция отрезка АВ на
плоскость а, АС = 5,
Дано: МК — проекция отрезка АВ на
плоскость а, АМ = 2, АС = 4СВ.
Найдите: ВК.
в
Задача
Задача 9.
Дано: СБ — проекция отрезка АВ на
плоскость а , АВ = 28,
12.
Дано: АВ — перпендикуляр к плоскости
а, АС и АБ — наклонные,
ААСВ = ААБВ = 30°, АСАБ = 60%
Я = '/Ъ (радиус окружности, опи­
санной вокруг треугольника АСБ).
Найдите: АВ
А
9
Задача 13.
Дано:АВ — перпендикуляр к плоскости
а, АС и АО — наклонные,
ААСВ = АЛОВ = 60% АСАО = 90%
Найдите: К: АВ (Я — радиус окруж­
ности, описанной вокруг треуголь­
ника АСО).
А
Дано: АВ — перпендикуляр к плоскости
а, АС и АО — наклонные,
ААСВ = 30% АЛОВ = 60%
АСВО = 90% АВ = 1.
Найдите: Р сао'
Дано: АВ — перпендикуляр, АС и
АО — наклонные к плоскости а,
ААСВ = ААОВ = 30% СО =
АВ.
Найдите: АСАО.
А
10
Задача 16.
Дано: АВ —перпендикуляр, АС и АО —
наклонные, ДСВО — равносторон­
ний, АВ = ВС = ВО.
Найдите: Р ^ с о :г (г — радиус окруж­
ности, вписанной в треугольник
СВО). д
ОА = ОБ = ОС, ОО 1 (ЛВС),
ААОВ = 60’.
Дано: ААВС, О — центр окружности,
описанной вокруг треугольника
ЛВС, ОО 1 (АВС),
ОА + ОВ + ОС = 3.
Найдите: ЮА + 4ОВ + ЗОС.
о
Задача 19.
Дано: АВСИ — трапеция, АВ = СО,
О — центр окружности, описанной
вокруг трапеции, О Е 1 (АВС),
АЕ = 10, ОЕ = 8, АВАй = 30*.
Найдите: Вй.
Е
Задача 22.
Дано: ДАВС, ААСВ = 90°, О — центр
описанной окружности, АМ —МС,
ОО А (АВС), АВ = 5, АС = 3,
ОО = 2у/3 .
Найдите: МО.
Задача 23.
Дано: ААВС, О — центр вписанной
окружности, ОИ А (АВС),
АС = ВС —5, АВ = 6, ОО = 1,
Дано: М БС , ААСВ = 90°, АО = ОВ,
ОО А (АВС), ОС = 5, 0 0 = 3.
Найдите: 8 — площадь круга, описан­
ного вокруг треугольника АВС.
Задача 21.
Дано: ДАВС, О — центр вписанной
окружности, АС = ВС =10,
АВ = 12, ОО А (АВС), ОО = 1.
Найдите: ОС.
т>
Дано: ДАВС, ААСВ = 90°,
ОО А (АВС), ОА = ОВ = ОС,
АО + СО + ВО = ЗЯС, ОО = 4,
ОС = 8.
0
Найдите: А 1 + Д2.
Задача 25.
Задача 28.
Дано: ДАВС, ААСВ = 90°, Р — точка
пересечения медиан, АО = ОВ,
ОО 1 (АВС), т = 2у1Г, АВ = 6.
Найдите: ИР.
б
Дано: ААВС, ААСВ = 90°, О — центр
вписанной окружности,
ОО 1 (АВС), АС = 3, СВ = 4,
ОО = УТ, ОМ = г.
Найдите: ОМ. в
Задача 26.
Дано: ДАВС, ААСВ = 90°, В — точка
пересечения медиан, ОВ 1 (АВС),
АСАВ = 30°, АВ = 4, ОВ = 1.
Найдите: АО.
_
Дано: ДАВС, ААСВ = 90°, АС = 6,
СВ = 8, О — центр вписанной ок­
ружности, ОО А (АВС), ОО = 21/3".
Найдите:
б
Дано: ДАВС, ААСВ = 90°, АС = СВ,
В — точка пересечения медиан,
ОВ ± (ЛВС), АО = 10, ОВ = 8.
Найдите: Вддвс*
Б
12
Задача 30.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр
треугольника АВС, ОО ± (АВС).
Найдите: угол между прямыми АС и
Задача 31.
Задача 34.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр
треугольника АВС, 1Ю X. (АВС),
ВС = 10, ОО = 8.
Найдите: ЗддвсБ
Дано: ДАВС, АВ = ВС = АС, О — центр
треугольника АВС, ОО 1 (АВС),
ЯМ = 5, ЯО = 4.
Найдите: Рд^сп
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС,
СЯ 1 (АВС), АМ = МВ, ЯМ = 15,
Дано: ДАВС, ВЯ _1_ (АВС), АМ = МЯ,
М — центр окружности, описанной
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС,
СЯ 1 (АВС), ЯС = АС.
Найдите: синус угла между прямой
ВЯ и плоскостью АЯС.
13
Задача 37.
Дано: ААВС, ААСВ = 90% АС = ВС,
ИВ 1 (АВС), А БАБ = 45°.
Найдите: тангенс угла между прямой
БС и плоскостью АБВ.
и
Дано: ААВС, ААСВ = 90% АВ Е а,
АБ А а, АС = 4, ВС = 3, СР А АВ,
АСРБ = 30%
Задача 40.
Дано: ААВС, ААСВ = 90% ВС Е а,
А Б ± а, АБ = | , ААСБ = 30%
Дано: ААВС, ААСВ = 90% АС = СЯ,
А В Е а , СБ А а, СР А АВ,
АСРБ = 45% СБ = 1.
Найдите: К (радиус круга, описанного
вокруг треугольника АВС).
Задача 41.
Дано: ААВС, ААСВ = 90% ВС € а,
А Б А а, ААВБ = 45% АС = 8,
С В
=
Дано: ААВС, АВ - ВС = АС, АС Е а,
ВБ 1 а, АВАБ = 45".
Найдите: ААБС.
6 .
Найдите: АБ.
-
Дано: ААВС, АВ - ВС —АС, АС Е а,
ВБ 1 а, ВБ = 1, АВАБ = 30%
И
Найдите: Я (радиус окружности, опи­
санной вокруг треугольника АБС).
в
I*».
^—1—
Дано: АЛВС и ДАВО,
АО = ОС = АС = АВ = ВС,
(АВС) 1 (АОС).
Найдите: угол между ВВ и плоскостью
треугольника АОС.
в
5 0 = 5, ВЕ = 3, О — центр окруж­
ности, описанной вокруг треуголь­
ника АБВ.
Найдите: Расо а-
Задана 46.
Дано: АВСО — квадрат, 5 5 1 (АВС),
Задача 47.
Дано: АВСО — квадрат, 5 5 1 (АБС),
АЕАВ — 45",
= 4.
Найдите: Вааес' Е
Дано: АВСО — квадрат, С Б 1 (АВС),
Я: г - 2 (Я — радиус окружности,
описанной вокруг треугольника
СОЕ, т — радиус окружности, впи­
санной в квадрат АВСО). е
Найдите: 4. 1 .
15
Задача 52.
Задача 49.
Дано: АВСО — квадрат, СЕ А (АВС),
АМ = МИ, МЕ = 8, АМЕС = 30°.
Н а й д и т е : Ва в с о .
Е
Дано: АВСО — квадрат, ОЕ 1 (АВС),
ЕС = Я (Я — радиус окружности,
описанной вокруг треугольника
ЛЕС).
Задача 50.
Дано'. АВСО — квадрат, ВЕ X (АВС).
Найдите: А1 + А2 + АЗ.
Задача 53.
Дано: АВСО — прямоугольник,
ОЕ 1 (АВС), ЕС = 10, АО = 8,
ЕС = 6.
Е
Задача 51.
Дано: АВСО — квадрат, ОЕ 1 (АВС),
ОЕ = ЕС.
Найдите: Вддео • ^ авср•
Е
16
Задача 54.
Дано: АВСО — прямоугольник,
ОЕ 1 (АВС), АО = 3, ОС = 4,
АЕ + ЕЕ + СЯ + ОЕ = 32.
Задача 58.
Задача 55.
Дано: АВСЛ — квадрат, АО € а ,
СМ 1 а, АСАМ = 60°, 5 ^ св = 4.
Дано: АВСО — квадрат, АО е а,
В М 1 а, А ВАМ = 45% ООг Л а,
ООх = 4.
Найдите: г (радиус окружности, впи­
санной в квадрат АВСО).
Дано: АВСО — ромб, АВАО = 60%
ОЕ Л (АВС), ОМ Л ОС,
ЛОМЕ = 45%
Дано: АВСЛ — ромб, АОЕ а, ЕЕ Л а,
АВАЕ = 30% 0 0 1 Л ЕО, 0 0 1 = 2.
Наидите: Рд псп'
Задача 57.
Дано: АВСО — ромб, АВАО = 60%
ОЕ Л (АВС), ОЕ = 9, ЕМ Л ОС,
ЕМ = 15.
Найдите: ВО.
Е
Задача 60.
Дано: АВСО — ромб, АЛ 6 а,
СМ Л а, АСОМ = 45% ЕО = АО.
Найдите: 8шА1.
17
Задача 61.
Дано: АВСО — прямоугольник,
АОЕсс, В М 1 а, ВМ = 1,5,
/.ВАМ = 30% АО = 4.
Найдите: К (радиус окружности, опи­
санной вокруг прямоугольника
Задача 64.
Дано: АВСО — трапеция, ААВС = 90%
А О Е а , СМ 1 а , АСАМ = 30%
АСОМ = 45°.
„
8Ш А1
Найдите: 51П / . 2
Дано: АВСО — трапеция, описанная
вокруг окружности, АО Е а,
АВ = СО, ВВХ 1 а, ВВХ = 2,
АВАВХ = 30“.
Найдите: Р
а в с о
Задача 65.
Дано: АВСО — трапеция, описанная
вокруг окружности, ААВС — 90°,
А О Е а , СМ 1 а , СМ = 8,
АСОМ = 30% АСОА = 60°.
Найдите: Равсов
Дано: АВСО — трапеция, А О Е а ,
АО :ВС = 4, ВМ 1 а , В М - 8,
18
с
Задача 66.
Задача 68.
Дано: АВСО — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О,
А В = С1)) О Е X (Л5С), В авсо =
АСОА = 30% ЕО = 4, М и К — точ­
ки касания окружности со сторонами
Дано: АВСБ — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О,
АВ = СО, ОЕ 1 (АВС), ОЕ = 3,
ЕАВС = 120% Р ^ с о = 32.
Найдите: ВЕ.
Задача 67.
Дано: АВСБ — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О,
АВ = СД ОЕ 1 (АВС), М — точка
касания окружности с боковой сто­
роной трапеции С2>, М Е = 5,
Дано: АВСБ — квадрат, О — центр
квадрата. ОЕ 1 (АВС), АО = 4 УТ,
ОЕ = 3.
Найдите: ЕС.
Задача 69.
Е
19
Задача 70.
2. Задачи разные
Задача 76.
Из точки пространства проведены к дан­
ной плоскости перпендикуляр, рав­
ный 6, и наклонная длиной 9.
Найдите проекцию перпендикуляра на
наклонную.
Задача 71.
Сторона равностороннего треугольника
равна 3.
Найдите расстояние от его плоскости
до точки, которая отстоит от каждой
из его вершин на 2 .
Задача 72.
Из точки А проведены к данной пло­
скости перпендикуляр АО = 1 и две
равные наклонные ВА и АС, которые
образуют с перпендикуляром
АВАО = АСАО = 60е,
а между собой АСАВ - 90°.
Найдите расстояние ВС между основа­
ниями наклонных.
Задача 73.
К данной плоскости проведены две на­
клонные, равные каждая 2 , угол
между ними равен 60°, а угол между
их проекциями — прямой.
Найдите расстояние от данной точки
до плоскости.
Задача 74.
К данной плоскости проведены две рав­
ные наклонные; угол между ними
равен 60°, угол между их проекци­
ями — прямой.
Найдите угол между каждой наклонной
и ее проекцией.
Задача 75.
В равнобедренном треугольнике осно­
вание и высота равны по 4. Данная
точка находится на расстоянии 6 от
плоскости треугольника и на равном
расстоянии от его вершин.
Найдите это расстояние.
20
Катеты прямоугольного треугольника
АВС равны 3 и 4. Из вершины пря­
мого угла С проведен к плоскости
этого треугольника перпендикуляр
СО — 1 .
Найдите расстояние от точки й до ги­
потенузы АВ.
Задача 77.
Стороны треугольника относятся как
10:17:21, а его площадь равна 84.
Из вершины большего угла этого
треугольника проведен перпендику­
ляр к его плоскости, равный 15.
Найдите расстояние от его концов до
большей стороны.
Задача 78.
В треугольнике АВС угол С прямой;
СО — перпендикуляр к плоскости
этого треугольника. Точка О соеди­
нена с А ъ В.
Найдите площадь треугольника АОВ, ес­
ли дано: СА = 3, ВС = 2 и СО = 1.
Задача 79.
К вершине А прямоугольника АВСО
проведен к его плоскости перпен­
дикуляр АМ, конец М которого от­
стоит от других вершин на рассто­
янии 6, 7 и 9.
Найдите длину перпендикуляра АМ.
Задача 80.
Высота правильной четырехугольной
пирамиды равна уП Т, апофема на­
клонена к плоскости основания под
углом в 60°.
Найдите боковые ребра.
Задача 81.
В правильной треугольной пирамиде бо­
ковое ребро равно 4 и образует с
основанием пирамиды угол в 30°.
Найдите сторону основания.
Задача 82.
Отрезок длиной 12 пересекает плоско­
сть; концы его находятся на рассто­
янии 4 и 2 от плоскости.
Найдите угол между данным отрезком
и плоскостью.
Задача 83.
Из точки, отстоящей от плоскости на
расстоянии ЗуТ, проведены две на­
клонные, образующие с плоскостью
углы в 45% а между собой угол
в 60%
Найдите расстояние между концами на­
клонных.
Задача 84.
Из точки отстоящей от плоскости на
5 уП>, проведены две наклонные, об­
разующие с плоскостью углы в 45°
и 30% а между собой прямой угол.
Найдите расстояние между концами на­
клонных.
Задача 85.
В равнобедренном прямоугольном тре­
угольнике один катет находится на
плоскости а, а другой катет образует
с ней угол в 45°.
Доказать, что гипотенуза образует с
плоскостью угол в 30°.
Задача
86.
Наклонная АВ составляет с плоскостью
М угол в 45°, а прямая АС, лежащая
в плоскости М, составляет угол в
45° с проекцией наклонной АВ.
Доказать, что АВАС = 60°.
Задача 87.
Если в правильной треугольной пира­
миде высота равна стороне основа­
ния, то боковые ребра составляют
с плоскостью основания угол в 60°.
Доказать.
Задача
88.
Концы данного отрезка, не пересекаю­
щего плоскость, удалены от нее на
10 и 30. Как удалена от плоскости
точка, делящая данный отрезок в
отношении 3:7? (Два случая).
Задача 89.
В параллелограмме АВСБ вершины А
и Б находятся на плоскости М,
а В и С — вне ее. Сторона
АО = 10, сторона АВ = 15, проекции
диагоналей АС и ВБ на плоскость
М соответственно равны 13,5 и 10,5.
Найдите диагонали.
Задача 90.
Через одну из сторон ромба
плоскость на расстоянии
тиволежащей стороны.
диагоналей ромба на эту
равны 8 и 2 .
Найдите проекции сторон.
проведена
4 от про­
Проекции
плоскость
Задача 91.
Через вершину прямого угла С прямо­
угольного треугольника АВС прове­
дена плоскость параллельно гипоте­
нузе на расстоянии 4 от нее. Про­
екции катетов на эту плоскость рав­
ны 2 'П и 3.
Найдите проекцию гипотенузы на эту
же плоскость.
Задача 92.
Отрезки двух прямых, заключенные
между двумя параллельными пло­
скостями, равны т/65 и 5, а их про­
екции на одну из этих плоскостей
относятся как 3:7.
Найдите расстояние между данными
плоскостями.
Задача 93.
А и В — точки на ребре прямого дву­
гранного угла; АС и ВО — перпен­
дикуляры к ребру, проведенные в раз­
ных гранях.
Найдите расстояние СО, если АВ - 6,
АС = 3 и ВО = 2.
Задача 94.
Треугольник АВС, прямоугольный при
С, опирается катетом АС на плос­
кость М, образуя с ней двугранный
угол в 45°. Катет АС = 6, а гипоте­
нуза АВ относится к катету ВС, как
5:4.
21
Найдите расстояние от вершины В до
плоскости М.
Задача 95.
Два равнобедренных треугольника име­
ют общее основание, а плоскости
их отклонены на 60°. Общее осно­
вание равно 16; боковая сторона
одного треугольника равна 17, а бо­
ковые стороны другого взаимно пер­
пендикулярны. Найдите расстояние
между вершинами треугольников.
Задача 96.
Катеты прямоугольного треугольника
равны 5 и 12. Найдите расстояние
от вершины прямого угла до пло­
скости, которая проходит через ги­
потенузу и составляет угол в 30° с
плоскостью треугольника.
Задача 97.
Из точки А проведены перпендикуляр
АВ и наклонная АС. Найдите длину
перпендикуляра, если длины отрез­
ков: проекции наклонной на пло­
скость, перпендикуляр и наклонная
представляют арифметическую про­
грессию, разность которой равна 2 .
Задача 98.
Из точки А проведены к плоскости пер­
пендикуляр АВ и наклонные АС и
АО. Найдите проекцию наклонной
АО на плоскость основания,' если
наклонные АС и АО больше пер­
пендикуляра соответственно на 3 и
1 , а проекция наклонной АС равна 9.
Задача 99.
Из точки А проведены к плоскости пер­
пендикуляр АВ и наклонные АС и
АО.
Найдите АВ, если проекции наклонных
на основание меньше длины пер­
пендикуляра соответственно на 3 и
7, а ВС - ВО = 45.
22
Задача 100.
АВ — перпендикуляр к плоскости.
АС и АО — наклонные,
АС:АЛ:АД = 15:13 :1.
Найдите длины наклонных, если угол
между их проекциями 90°, а пло­
щадь треугольника ВСБ равна 180°.
Задача 101.
АВ — перпендикуляр к плоскости.
АС и АО — наклонные.
Найдите длину перпендикуляра, если
угол между их проекциями 90°, а
площади треугольников АВС, АВБ
и ВСО соответственно равны 54; 30;
22,5.
Задача 102.
Из точки А проведены к плоскости пер­
пендикуляр АВ и наклонные АС и
АО. Проекция наклонной АС, равная
9, на 6 меньше наклонной АС и на
4 наклонной АО. Найдите проек­
цию наклонной АО, если
А О : АС — 13:15.
Задача 103.
КМ — проекция отрезка АВ на пло­
скость а. Отрезок АВ равен 8 /2 ” и
образует с плоскостью угол 45°.
Найдите расстояние от концов отрезка
до плоскости.
Задача 104.
АВ — перпендикуляр к плоскости.
АС и АО — наклонные. Наклонная
АС составляет с перпендикуляром
30° и меньше наклонной АО на еди­
ницу. Найдите меньшую наклонную,
если проекция большей равна ■/13’.
Задача 105.
Через вершину С треугольника АВС,
периметр которого равен 8 + 5 / 2",
проходит плоскость, параллельная
прямой АВ. Стороны треугольника
АС и ВС составляют с плоскостью
основания углы 45° и 30°, а расстояние
от стороны АВ до плоскости осно­
вания равно 3. Найдите проекцию
стороны АВ на данную плоскость.
3. Правильная треугольная призма
Задача 107 (обратная).
Задача 106 (прямая).
Дано: АВСАу Ву Су — правильная треу­ Дано'. АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная призма, М — точка пере­
гольная призма, О — центр треу­
сечения медиан треугольника АСуВ,
гольника АВС, О М ± ВС, А2 = 45°.
Найдите: 8Ш4.1.
М Р ± (АВС), АС1ВС = 4 5 \
Задача 106 (обратная).
Дано: АВСАу Ву Су — правильная треу­
гольная призма, О — центр треу­
гольника АВС, О М А ВС,
Задача 108.
Дано: АВСАу В1Су — правильная треу­
гольная призма, А К = КВ,
АуМ = МВу, в четырехугольник
К М С у С можно вписать окружность.
Найдите: Аа.
В
Задача 107 (прямая).
Дано: АВСАу Ву Су — правильная треу­
гольная призма, М — точка пере­
сечения
медиан
треугольника
АСуВу, МР 1 (АВС), 9МР = Р ^с .
Найдите. А1.
Задача 109. ®
Дано: АВСАу Ву Су — правильная треу­
гольная призма, АуМ = МВу,
•
51П
А/ , 1 = у1
23
Задача 110.
4. Правильная четырехугольная призма
Дано: АВСАХВхС{ — правильная треу
гольная призма, СХС = 2МК.
Найдите: А1.
Задача 112 (прямая).
Дано: АСХ — куб.
Задача 111 (прямая).
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу'
гольная призма, ОМ 1 АВ,
Задача 112 (обратная).
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма, 18 а = уТ.
Доказать, что данная фигура — куб.
$моср _ ЗУ5~
&авс
2
Найдите: Ас..
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, ОМ ± (АВС),
АОСМ = 45'.
Найдите: $моср • ^авс*
24
Задача 113.
Дано: АСХ — куб.
Найдите: 1§ а .
Задача 115.
Задача 114 (прямая).
Дано: АСу — куб, ОМ ± БС,
ВуБ = а.
Найдите: ОМ.
В,
С,
Дано: АСу — куб, О — центр симметрии
куба, Б М = МС, А Б = 2,
КЕ(ВуМ).
Найдите расстояние от А до плоскости
Задача 114 (первая обратная).
Дано: АСу — куб, ОМ 1 ОС,
а •ДЬ
ОМ =
б ‘
Найдите: В, Б.
Задача 116.
Дано: АСу — правильная четырехуголь­
ная призма, АВБВу = 45°.
Найдите: 4.1.
Задача 114 (вторая обратная).
Дано: АС х — правильная четырехуголь­
ная призма, О М А БС,
ОМ =
В уБ = а.
Докажите, что АВСБАуВуСуБу — куб.
Задача 117.
Дано: АСу — правильная четырехуголь­
ная призма, АБВуС = 30°.
Найдите: 4.1.
25
Задача 118.
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма.
Найдите:
• ‘^пп|с1С'
Задача 119 (прямая).
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма, АВХ = АС.
Найдите. 8 щ С : $вврр-
Задача 120.
Дано: АНХ— правильная шестиугольная
призма.
Докажите, что вокруг четырехуголь­
ника ЕАХВхИ можно описать окруж-
Задача 121.
Дано: АОх — правильная шестиугольная
призма, ААХВХВ — квадрат,
АХРХ = РХВХ, АР = РВ, ЕЫ = ИИ.
Задача 119 (обратная).
Дано: АСХ — правильная четырехуголь'/Ь
ная призма, $авс • $вврр ~
Доказать, что АВХ = АС.
26
Задача 122 (прямая).
Дано: АИХ— правильная шестиугольная
призма, АВ = 2, ВВХ = 1.
Наидите: 5 ^ ^ ^ .
Задача 122 (первая обратная).
Задача 123 (первая обратная).
Дано: ЛД — правильная шестиугольная
призма, АВ = 2, З щ СО = 6.
Найдите: ВВ1.
В. N С,
Дано: ЛД — правильная шестиугольная
призма, Зддее = уТ, ААх = 1.
Найдите: 3 основания.
А,
А,
Ш 5]
I II
I \
-4 р \
о
К
Е
Задача 123 (вторая обратная).
Задача 122 (вторая обратная).
Дано: ЛД — правильная шестиугольная
призма, АД = 1 , Зддрр ~ 6*
Найдите: АВ.
В. N С,
и
/ 1| н
Ю 1! Е 1 *
/ 1 Я 1 \
/
1/ 4Р \
г _
О
К
Е
Задача 123 (прямая).
Дано: ЛД — правильная шестиугольная
призма, 30сн =
ААХ = 1.
Дано: Л Д — правильная шестиугольная
3у/3
призма, Здд^Ер =
Дсч = _ 2~.
6. Неправильная призма
Задача 124.
Дано: АВСАХВХ(\ —прямая треугольная
призма, АС = ВС - 5, АВ - Ь,
В И 1 А С , ЛАДА = 30°.
Найдите: соз Л 1 .
27
Задача 125.
Дано: АВСАуВуСу —прямая треугольная
призма, АС —ВС, АВСА = 90°,
ВВу = 8, К. = 5 (К — радиус окруж­
ности, описанной вокруг треуголь­
ника АВуС).
Задача 128.
Дано: АСу — прямая четырехугольная
призма, АВС Б — ромб,
^вврр
Задача 126.
Дано: АВСАуВуСу —треугольная приз­
ма, О — центр треугольника АВС,
ВС = АС = АВ, АуО — высота приз­
мы.
Задача 127.
Дано: АСу — прямой параллелепипед,
Дано: АСу — прямой параллелепипед,
АВС Б — ромб, А В А Б = 60°,
ААу = 1, АВ = 2.
Задача 129 (первая обратная).
Дано: АСу — прямой параллелепипед,
АВС Б — ромб, АО = ОС,
А В А Б = 60°, АВ = 2, 8авс = / 6 .
Задача 129 (вторая обратная).
Дано : АСХ — прямой параллелепипед,
АО = ОС, АВСО — ромб,
АВАИ = 60°, ААХ = 1 , 8АВС = у'б.
Задача 131.
Дано: АСХ — прямая призма, АВСО —
трапеция, АВ = СО, О — центр впи-
Задача 129 (третья обратная).
Дано: АСХ — прямой параллелепи­
пед, АВСО — ромб, ААХ = 1, АВ = 2,
Найдите: АВАИ.
Дано: АС, — прямой параллелепипед,
АВСЭ — ромб, АВАН = 30°,
АВ = 18, ВВХ = 12.
Найдите: ЗлвррВ,
С,
Дано: АСХ — прямая призма, АВСО —
трапеция, АВ = СО, АВАИ = 30°,
О — центр вписанной окружности,
ВВХ — 6, Рдвсв ~ 64.
Дано: АСХ — прямая призма, АВСО —
трапеция, АВ = ЕЮ, АО = 3 ВС,
ААХ = 4, АС = 4.
7. Задачи разные
Задача 134.
Боковое ребро прямого параллелепипе­
да равно 5, стороны оснований рав­
ны 6 и 8 и одна из диагоналей
основания равна 12 .
Найдите диагонали параллелепипеда.
Задача 135.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда равны 3 и 5, а одна из
диагоналей основания — 4. Мень­
шая диагональ параллелепипеда с
плоскостью основания составляет
угол в 60°. Найдите диагонали па­
раллелепипеда.
Задача 136.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда равны 2 и 5; расстояние
между меньшими из них 4; боковое
ребро равно Ъ П . Найдите диаго­
нали параллелепипеда.
Задача 137.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда равны 3 и 4 и составляют
угол 60’, а боковое ребро равно
2'/Ъ. Найдите диагонали этого па­
раллелепипеда.
Задача 138.
В прямом параллелепипеде ребра, выхо­
дящие из одной вершины, равны 1 ,
2 и 3, причем два меньших образуют
угол в 60°. Найдите большую диа­
гональ этого параллелепипеда.
Задача 139.
Стороны основания прямоугольного па­
раллелепипеда равны 7 и 24, а высота
параллелепипеда равна 8. Найдите
площадь диагонального сечения.
Задача 140.
Боковое ребро прямого параллелепипе­
да равно 10 , стороны основания рав­
ны 23 и 11, а диагонали основания
относятся как 2:3. Определить пло­
щади диагональных сечений.
30
Задача 141.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда равны 17 и 28; одна из
диагоналей основания равна 25, сум­
ма площадей диагональных сечений
относится к площади основания как
16:15. Найдите площади диагональ­
ных сечений.
Задача 142.
В прямом параллелепипеде с основани­
ем АВСО дано: АВ = 29, АО = 36,
ВО = 25 и боковое ребро равно
48. Определить площадь сечения
А ВДО .
Задача 143.
Площадь основания правильной че­
тырехугольной призмы равна 144, а
высота равна 14.
Найдите диагональ этой призмы.
Задача 144.
Найти диагональ правильной четырех­
угольной призмы, если диагональ
основания равна 8, а диагональ бо­
ковой грани равна 7.
Задача 145.
Стороны основания прямой треуголь­
ной призмы равны 10, 17 и 21, а
высота призмы 18. Найдите пло­
щадь сечения, проведенного через
боковое ребро и меньшую высоту
основания.
Задача 146.
Основанием прямой призмы служит
ромб; диагонали призмы равны 8 и
5, высота 2. Найдите сторону ос­
нования.
Задача 147.
Боковое ребро наклонной призмы равно
15 и наклонено к плоскости осно­
вания под углом 30°. Найдите вы­
соту призмы.
8. Правильная треугольная пирамида
Задача 151.
Задача 148.
Дано: ААВС — правильная треугольная
пирамида, АО ± (АВС),
$ом с : $ а в с
= 1 : 2.
А
Найдите: Ла.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, АО ± (АВС).
Докажите, что любые два скрещиваю­
щихся ребра взаимно перпендику­
лярны.
А
Задача 149.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, ВО 1 (АВС), АВ = 3 -АО.
Найдите: Лот.
д
Задача 150.
Дано: ААВС — правильная треугольная
пирамида, ВЕ = ЕА, ВР = РС,
АМ = МА, Б К = КС.
Доказать, что ЕМКР — прямоугольник.
А
В
Дано: ААВС — правильная треугольная
пирамида, Ох — точка пересечения
медиан треугольника ААС, 0 2 —
точка пересечения медиан треуголь­
ника СДВ, СЕ = ВЕ, ДБ = 3 0 Х0 2.
Найдите: Ла.
АА
Дано: ИАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр ААВС,
ВС = ЗУЗ, АС = 5. д
Наидите: З ^ ее»
Задача 154.
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр ААВС,
АО • 10, 0 0 = 8, АР = РВ,
АЕ = ЕС.
Найдите: 8РОЕ.
Задача 155 (вторая обратная).
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, ОО ± (АВС), ОМ = МС,
ОО —а,
8 5оАМВ —
— 2 •
1/и
Найдите: АВ.
Д
Задача 156 [прямая).
Задача 155 (прямая).
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, ОО ± (АВС), ВС = ЗУТ,
0 0 = 8, О М = МС.
Найдите: 8ШВ. д
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, АК = КВ, ВС = 8,
ОК=Ъ, (А М В )Ю С .
Найдите: Бш в . д
Задача 155 (первая обратная).
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, ОО ± (АВС), АК = КВ,
ВС = 8, (АМВ) 1 ОС,
Задача 156 (обратная).
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, ОО ± (АВС), ВС = ЗуТ,
ОМ = МС,
С
_ 15^3
Найдите: ОО.
Найдите: ОК.
Задача 158 (вторая обратная).
Задача 157.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, БО ± (АВС), М Б ± СР,
ЗА, = 2/^, где В О = А,, СР = Л2.
В
Задача 158 (прямая).
Дано: 5 АВС — правильная треугольная
пирамида, 8 0 1 (АВС), А8 = у'ЗЙ’,
18 « = Т
Дано: 8АВС — правильная треугольная
пирамида, 8 0 ± (АВС), А8 — ТЭТ,
80 = т .
Найдите. а. 3
Задача 159.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, БО 1 (АВС), И = А2,
з
.
Найдите.
А
В
Задача 158 (первая обратная).
Дано: 8АВС — правильная треугольная
9. Правильная четырехугольная
пирамида
Задача 160.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, А8 = АБ.
Найдите: И .
с
В
33
Задача 164.
Задача 181.
Дано: 5АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 8С = 5,
5 0 = 3, АМ = МВ, АЕ = ЕБ.
Найдите: 8ШЕ.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 5Е = ЕС,
8
Задача 165.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, БМ = МС,
8 0 Л (АВС), 8л$с '■8р$с = ч/2": 2.
Найдите: Ах.
с
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, Б Е = ЕС,
8 0 Л (АВС), 5л$с : Зддсо ~
■4.
Найдите. А х .
Задача 166.
Дано: 5АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 8Е = ЕС,
А 1 = 60'.
34
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 8 0 Л (АВС),
АМ = МВ, Б К = КС, 8Вс$ ш 28т к .
Найдите: А а.
5
Задача 167.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 8 0 1 (АВС),
расстояние от точки А до плоскости
Задача 169 (первая обратная).
Дано: ТАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, АЕ = ЕТ,
ВК = КТ, Б М = МС = 2, 8оекс ш 3.
Найдите. МЫ.
т
Задача 169 (вторая обратная).
Задача 168.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 8 0 1 (А8С),
Дано: ТАВСБ — правильная четырех'
угольная пирамида, ТО 1 (АВС),
АЕ = ЕТ, ВК = КГ, МЫ = ~,
А
Д
Задача 170.
Дано: ТАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, ТО 1 (АВС),
АЕ = ТЕ, ВК = КТ, Б М = МС = 2,
Дано: РАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, Т — точка пе­
ресечения медиан в треугольнике
РВА, ЕК || АВ, 8векс = 16,
35
Задача 171.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, Т — центр ок­
ружности, описанной вокруг АА8В,
ЕК II АВ, А8 = 5,
е
АВ = 6.
Наидите: 8декс*
А
Задача 172.
д
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, 8 0 Л. (АВС),
Мг — точка пересечения медиан
&А8В, М2 — точка пересечения ме­
диан АА8Б,
§
МХМ2
2уП
80 ~ 3 •
Найдите: А а.
36
Задача 174.
Дано: КАВСБЕМ — правильная шес­
тиугольная пирамида, КО ± (АВС),
КТ 1 АМ,
к
Задача 175.
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, К — точка пе­
ресечения высот треугольника А8В,
ЕМ || АВ, А8 = 5, АВ = 6.
Наидите: 8]^^мсл
5
Задача 173. А
10. Правильная шестиугольная
пирамида
М
Е
Дано: КАВСВЕМ — правильная шес­
тиугольная пирамида, КО ± (АВС),
Дано: КАВСБЕМ — правильная шес­
тиугольная пирамида, КО 1 (АВС),
Ь — точка пересечения прямых
АВ и МЕ, АКРО = 60°.
Найдите:
АКЕР. ^
Задача 180.
Задача 177.
Дано: КАВСБЕМ — правильная шес­
тиугольная пирамида, КО 1 (АВС),
50 =54УЗ, КО = 4, 0 Р 1 КТ.
Найдите: ОР.
и
Задача 178.м
Е
Дано: КАВСБЕМ — правильная шес­
тиугольная пирамида, КО ± (АВС),
МИ 1 ВЕ, КМ = V'208, /СУ = 10.
Найдите: 5ВКЕ.
к
11.
Дано: ИАВС — треугольная пирамида,
ААСВ = 90°, БВА (АВС), О — центр
окружности,
описанной вокруг
ААБВ, ВО + СО = 2ВЛ.
Найдите: АБАВ.
п
Задача 181. С
Дано: БАВС — треугольная пирамида,
ЕЮ 1 (АВС), ААСВ = 90% С/У 1 АВ,
АБЫС = 45% ВС = УТ, А/У = 4.
М
Е
Неправильная пирамида
Задача 179.
Дано: БАВС — треугольная пирамида,
ЕЮ 1 (АВС), А 1 = 90% О — центр
окружности,
описанной вокруг
Дано: БАВС — треугольная пирамида,
ААСВ = 90% БВ А (АВС), АС = 3,
ВС = 4, САГ 1 АВ, АКЯС = 30%
Найдите: соза.
д
37
Задача 186.
Задача 183.
Дано’. ОАВС — треугольная пирамида,
АО = ОВ = ОС, АЛОВ =■ 100е,
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
ААСВ = 90°, /.ВАС = 30",
АОМО = 45", ОЛ = ОС = ОВ,
ОО 1 (АВС), ОМ 1 ЛС, ОЛТ 1 СВ.
Задача 184. В
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
ОО X (АВС), А 1 = / 2 = А 3,
Задача 185. ®
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
АО = ОВ = ОС, ОО А (АВС),
ВО = 5, АВ = 6, АОМО ж45’.
Найдите’. ОО.
п
Задача 187. ^
Дано: 5АВС — треугольная пирамида,
о м х а с , о м 1 с в , ол: а а в ,
А1 = А2 = АЗ, ОО 1 (АВС),
Задача 188. С
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
АВ = ВС —5, ЛС = 6, ОО А (АВС),
ОМ А АС, О К А ВС, АМ X АВ,
АОВО = 45", А1 = А2 = АЗ.
В
С
38
Задача 189.
Задача 192.
Дано: ВАВС — треугольная пирамида,
(АВС) 1 (ВАС), 8 М 1 (АВС),
А8 — 8С = АС = АВ = ВС,
Дано: ИАВС — треугольная пирамида,
АВ = ВС = АС = ИС = БА,
(АБС) 1 (АВС), ИР ± (АВС),
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
АВ = АС = ВС = А8 = 8С,
СА8С) ± (АВС), АС = 2, АЫ = ЫВ.
Найдите: 8И.
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
АВ = ВС = АС, (АВС) 1 (АВС),
ВЛГ1 (АВС), АВ = ВС, ААВС = 90%
Дано: ВАВС — треугольная пирамида,
А В - АС = ВС = А8 = 8С,
8Р ± (АВС), (А8С) ± (АВС),
АС = 2, 8Е = ЕС. 8
Найдите: 8 ^ .
ж
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
АВ = ВС = АС, (АВС) ± (АВС),
АВ = ВС, ВО 1 АС, ОЫ ± АВ,
ААВС = 90%
Найдите: соза .
Задача 193.
Задача 194.
В
В
Задача 198.
Задача 195.
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
АС = ВС, ААСВ = 90е, ААОВ = 90°,
АО = ОВ, (.АОВ ) 1 (АВС),
АОРВ = 90°, АЕ = ЕО.
Задача 196.
С
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
ААВС = ААОС = 90°, АВ = ВС,
АО = ОС, ОР 1 АС.
Найдите'. Вдцв •
д
Задача 197.
Задача 199.
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — квадрат, ВВ = 2,
ВВ 1 (АВС), О — центр окружности,
В
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
АВ = ВС = АО = ОС = 5, АС = 6,
(АОС) 1 (АВС).
Найдите: З ^д .
В
40
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — параллелограмм,
ЗА = ВВ = ВС = ВО.
Найдите: АОАВ. ^
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — квадрат,
ВС ± (АВС), О — центр окружности,
описанной вокруг АВАО, СО = 2,5,
Задача 204.
Задача 201.
Дано: 8АВСБ — четырехугольная пирамида, АВСБ — квадрат,
8В ± (АВС), N — точка касания ок­
ружности, вписанной в ДА5В,
8В = 3, АВ = 4.
8
д
Задача 202.
с
Дано: 8АВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — ромб,
8В 1 (АВС), ААВС = 120°,
Равсо ~ 24» 8В = 4.
Найдите: 80. 5
Задача 203.
Дано: 8АВС Б — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — ромб,
8В 1 (АВС), АС = 8, В Б = 6,
Б М 1 В С , АБ8М = 30°.
Найдите: 80.
§
Дано: 8АВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — трапеция, в кото­
рую можно вписать окружность,
АВ = СО, АВАО = 60% АН = N 0,
ВМ = МС.
Найдите:
\%А8ЫК:\% А8МК.
Задача 205.
А Р М
Д
Дано: 8АВСБ — четырехугольная пи­
рамида, 8 0 1 (АВС), АВСБ — тра­
пеция, АВАО = 90е, АСБ А = 30%
О — центр вписанной окружности,
Т — точка касания вписанной ок­
ружности, А8ТО = 45’, 3
АО + ВС = 6.
А
Найдите. 80.
Задача 206.
д
Дано: 8АВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — трапеция,
АВАО ш 90’, 8 М 1 АВ, 8М = 5,
СИ 1 АО, СИ = 8, 8 0 1 (АВС),
О — центр вписанной окружности.
Найдите: 80.
%
Задача 210.
Задача 207.
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
А ВАО = 90°, О — центр вписанной
окружности, ВО 1 (АВС), АВ = 10,
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
АС А ВО, ВО 1 (АВС),
АВ = ВВ = ВС = с п
5
ВО = уГГГ,
АВ = Ъ.
Найдите: АВ.
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
ВО А (АВС), ВА = ВВ = ВС = ВО,
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
АВ = ОС, ВР А АВ, АК А АО,
ВМ А ОС, ЗИЛ. ВС, ОМ = 4,
АВРО =АВКО =АВМО =А8ИО =
= 45°, АВАО = 150°.
Найдите: АВ.
В
д
и
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
ВО А (АВС), АВАО = АВВО =
= АВСО = А8ЕЮ = 60°, АВ = 4,
Задача 209.
42
Задача 212.
А Н Д
Дано: ВАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВ = СО, В К 1 АВ,
ВМ А ВС, ВР 1 СО, ВМ А АО,
А8КО = АЗМО = АВРО =АВМО =
= 45°, МИ = 2, АВАО = 60°.
Найдите: АВ.
Задача 216.
Задача 213.
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, АВСО — тра­
пеция, АВ = СД О — центр впи­
санной окружности, (В8С) 1 (АВС),
В8 — 8С = ВС,
РАВСй ~ 8
ААВС ш 120%
МИ А АО.
Найдите. Х%а.
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
А 1 - А 2, 8 0 А (АВС),
.
Задача 214.
В
М
С
Дано: МАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — равнобедренная
трапеция, описанная вокруг окруж­
ности, МС Л (АВС), 8мсй ~ ^ м с в '
Задача 217.
В
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
А 1 = А 2, 8 0 1 (АВС),
В
Задача 218.
12. Ключевые задачи
Задача 215 (ключевая задача).
Дано: КАР — угол в плоскости, МА —
наклонная, АО — ее проекция на
плоскость а, АМАР = АМАК.
Докажите, что АКАО = АО АР.
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
ААСВ = 90% ААВС = 30%
А 1 = А 2, 8 М 1 (АВС).
Найдите. А З .
с
М
С
43
Задача 219.
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
АВ = АС, /.1 = /.2 , 8 М ± (АВС).
Найдите: /. 3.
с
ковые ребра равны между собой и
каждое содержит 13. Найдите вы­
соту этой пирамиды.
Задача 224.
Основанием пирамиды служит равно­
бедренный треугольник, у которого
основание равно 12, а боковая сто­
рона 10. Боковые грани образуют с
основанием равные двугранные уг­
лы, равные по 45°. Найдите высоту
этой пирамиды.
Задача 225.
Дано: АС — параллелепипед, АВСБ —
параллелограмм, А{Е ± (АВС),
А 1 = А 2.
Основание пирамиды — прямоугольник
со сторонами 6 и 8; каждое боковое
ребро пирамиды равно 13. Найдите
высоту пирамиды.
Задача 226.
Сторона основания правильной четы­
рехугольной пирамиды равна 14, а
длина бокового ребра 10. Найдите
площадь диагонального сечения.
Задача 227.
Сечение, параллельное основанию, де­
лит высоту пирамиды в отношении
3:4 (от вершины к основанию), а
площадь сечения меньше площади
основания на 200. Найдите площадь
основания.
Задача 228.
Задача 221.
Высота правильной четырехугольной пи­
рамиды равна 7, а сторона основания
равна 8. Найдите боковое ребро.
Задача 222.
Основанием пирамиды служит паралле­
лограмм, у которого стороны равны
3 и 7, а одна из диагоналей 6.
Высота пирамиды, проходящая че­
рез точку пересечения диагоналей
основания, равна 4. Найдите боко­
вые ребра пирамиды.
Задача 223.
Основанием пирамиды служит равно­
бедренный треугольник, у которого
основание равно б и высота 9; бо­
44
Высота пирамиды равна 16; площадь
основания равна 512. На каком рас­
стоянии от основания находится се­
чение, параллельное основанию,
равное 50?
Задача 229.
В пирамиде площадь основания равна
150, площадь параллельного сече­
ния 54, расстояние между ними рав­
но 14. Найти высоту пирамиды.
Задача 230.
Высота правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна 7. Сто­
роны оснований 10 и 2. Найдите
боковое ребро пирамиды.
Задача 231.
Стороны оснований правильной треу­
гольной усеченной пирамиды 4 и 1.
Боковое ребро 2. Найдите высоту.
Задача 232.
В правильной четырехугольной усечен­
ной пирамиде высота равна 63, апо­
фема равна 65, а стороны оснований
относятся, как 7:3. Найдите эти сто­
роны.
14. Поверхность призмы
Задача 239.
Дано: АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная призма, О — центр треу­
гольника АВС, С]0 = 5, СХС = Ъ.
Задача 233.
Стороны основания правильной треуголь­
ной усеченной пирамиды 2 и 6. Бо­
ковая грань образует с большим ос­
нованием угол в 60. Найдите высоту.
Задача 234.
Высота правильной четырехугольной усе­
ченной пирамиды равна 4. Стороны
оснований равны 2 и 8. Найдите
площади диагональных сечений.
Задача 235.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, АМ = МВ,
Высота правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна 4, диа­
гональ 5. Найдите площадь диаго­
нального сечения.
Задача 236.
В правильной треугольной усеченной
пирамиде стороны оснований равны
8 и 5, а высота 3. Провести сечение
через сторону нижнего основания и
противоположную ей вершину вер­
хнего основания. Найдите площадь
сечения и двугранный угол между
сечением и нижним основанием.
Задача 237.
В правильной четырехугольной усечен­
ной пирамиде стороны оснований
равны 6 и 8, а боковое ребро 10.
Провести сечение через конец диа­
гонали меньшего основания перпен­
дикулярно к этой диагонали и найти
его площадь.
Дано: АВСА[ВХСх — правильная треу­
гольная призма, АМ = МВ,
АХМХ = МХВХ.
Задача 238.
Соответственные стороны оснований усе­
ченной пирамиды относятся как 3:5,
а периметр среднего сечения равен 20.
Найдите периметры оснований.
45
Задача 245.
Задача 242.
Дано: АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная призма, СМ 1 АВ,
АСХМС = 45°.
Найдите: 8ЛСВ: 8б.
4Г
Задача 243.
в*
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, АС = ААХ.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, АВ = ААХ,
АхНх ~ НхВх, Ах =
С|.
Дано: АВСА1ВхС1 — правильная треу­
гольная призма, О — центр треу­
гольника АВС, ОМ = МС,
СхО = Ш , СХМ = 5.
Найдите: 8б.
Задача 246.
в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, 8б = 150^6",
3
зхп а = ^
Найдите: 8АСВ.
Д
Задача 247.
в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, ИхОх - ОхКх =
= КХСХ = ГЮ = ОК - КС,
МЫ II МХЫХ II АВ, 8б = 90,
АВ = 6.
Найдите:
8 мм VV
Задача 251.
Задача 248.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, О — центр треу­
гольника АВС, М К || АВ, соз а = 4,
ССХ ш 4’/б', СХР ш РС.
Найдите: 8б.
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма, АСХГ>С = 45*.
Задача 252.
Задача 249.
в
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма, в грань ААхОхО можно
вписать окружность.
Найдите: 8п: 50СН. д ___________ с
//
✓
//
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма, 8тл = 8 +
в
Задача 250.
Дано: А (\ — правильная четырехуголь­
ная призма, 8б = 16, Равсо - 16-
Дано: АВХ— правильная шестиугольная
призма.
Найдите: 8б: 8ААКК.
47
Задача 254.
Дано: АОх — правильная шестиугольная
Задача 257.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, О — центр вписанной
окружности, АСхОС = 45°,
АС = ВС = 5, АВ = 6.
Задача 255.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь• ная призма, АС = ВС, ААСВ = 90°,
ВЫ = ЫА, АСЫСХ = 45’, ССХ = 6.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, АС = ВС = 10,
АВ =12, О — точка пересечения
Дано: АВСАХВХСХ — треугольная приз­
ма, ААСВ = 90°, АСЫВ = 90°,
ВЫ =2, АЫ = 8, АСХЫС = 30°.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, АС = ВС = 10,
АВ = 1 2 , О — центр описанной ок­
ружности, АСхОС = 45°.
Задача 260.
Задача 263.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, АВ = 13, СВ = 14,
АС — 15, О — центр описанной ок-
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, О — центр треу­
гольника АВС, АСхОС = 30°,
Дано: АВСАХВхС1 — правильная треу­
гольная призма, в грань ААХВХВ впи­
сана окружность единичного радиу-
Дано: АВСАХВхСх — правильная треу­
гольная призма, V — 873", ААХ = 2,
О — центр треугольника АВС.
Дано: АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная призма, О — центр треу­
гольника АВС, А 1 = А 2,
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма; АХЫ =
О —
центр треугольника АВС, СХС = 2,
Задача 264. В
49
Задача 269.
Задача 266.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, АМ = МС,
ММХ || ВВХ, 7 = 2 4 , 8ММВВ = 12.
Докажите, что ММХВХВ — квадрат.
В,
Дано: ЛС! — правильная чейлрехугольная призма, 8б = 12\ ^ , 7 = 9 \^ .
Найдите: А 1.
В___________ с
Задача 270.
Задача 267.
С'
Дано: ЛСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСО — ромб,
АВАО = 60°, О — центр окружно­
сти, описанной вокруг треугольника
ВСО, АВхОВ т 45% ЛО = 4.
А
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСО — трапеция, описан­
ная вокруг окружности, АВ - СО,
Равсо ~
АВАО — 30 ,
АВОВх ■
Найдите: 7.
\
А
!\ \
чк —*
1
\
!
1
/»
!/,*»
& \
/
)
Задача 268.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСО - ромб, АВ АО=60°,
АВхОВ = 45% ВВХ = 2,
Найдите: 7.
В,___________ с.
50
Задача 271.А
Дано: А (\ — прямая четырехугольная
призма, АВСО — трапеция,
АО = 10, ВС = 6, АВАО = 30% О —
центр окружности, описанной вок­
руг трапеции, АВхОВ = 30*.
Найдите: 7. ц ____________с ,
Задача 272.
Дано: АОх — правильная шестиугольная
ЗуТ
призма, Зам = ~ 2 ~, ВЕ = ВВг.
Найдите: V.
ц
16. Задачи разные
Задача 275.
Стороны основания прямоугольного па­
раллелепипеда относятся как 7:24,
а площадь диагонального сечения
равна 50. Найдите боковую повер­
хность.
Задача 276.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда равны б и 8 и образуют
угол в 30°; боковое ребро равно 5.
Найдите полную поверхность этого
параллелепипеда.
Задача 277.
Задача 273. к
Дано: АД — правильная шестиугольная
хфизма.
Найдите: V : Уаека^е^ '
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда равны 10 и 17; одна из
диагоналей основания равна 21,
большая диагональ параллелепипеда
равна 29. Найдите полную поверх­
ность параллелепипеда.
Задача 278.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда 3 и 8; угол между ними
содержит 60°. Боковая поверхность
параллелепипеда равна 220. Найди­
те полную поверхность и площадь
меньшего диагонального сечения.
Задача 279.
Дано: АО, — правильная шестиугольная
призма, /.5 ,0 5 = 30°, АВ - 2.
Основанием прямого параллелепипеда
служит ромб с диагоналями 6 и 9;
диагональ боковой грани равна 13.
Найдите полную поверхность этого
параллелепипеда.
Задача 280.
Стороны основания прямой треуголь­
ной призмы относятся как 17:10:9,
а боковое ребро равно 16; полная
поверхность этой призмы содержит
1440. Найдите стороны основания.
Задача 281.
Основанием прямой призмы служит
равнобедренный треугольник, у ко­
торого боковая сторона относится к
основанию, как 5:6. Высота призмы
равна высоте основания, опущенной
на его боковую сторону; полная по51
верхность содержит 2520. Найдите
ребра призмы.
Задача 282.
Расстояние между боковыми ребрами
наклонной треугольной призмы: 2,
3 и 4; боковая поверхность равна
45. Найдите боковое ребро.
Задача 283.
В наклонной треугольной призме рас­
стояния между боковыми ребрами
равны 37, 15 и 26, а боковая по­
верхность равновелика перпендику­
лярному сечению. Найдите боковое
ребро.
Задача 284.
В наклонной треугольной призме боко­
вые ребра содержат по 8; стороны
перпендикулярного сечения отно­
сятся как 9:10:17, а его площадь
равна 144. Найдите боковую по­
верхность этой призмы.
Задача 285.
Если каждое ребро куба увеличить на
2, то его объем увеличится на 98.
Найдите ребро.
Задача 286.
Измерения прямоугольного бруса: 3, 4
и 5. Если увеличить каждое его ре­
бро на х, то поверхность увеличится
на 54. Как увеличится его объем?
Задача 287.
Измерения прямоугольного параллеле­
пипеда: 15, 50 и 36. Найдите ребро
равновеликого ему куба.
Задача 288.
В прямом параллелепипеде стороны ос­
нования равны 13 и 37, а большая
диагональ основания равна 40. Бо­
ковое ребро относится к большей
диагонали параллелепипеда, как
15:17. Найдите объем этого паралЛСЛ6ПИП6ДЙ»
Задача 289.
Стороны основания прямого паралле­
лепипеда 8 и 15 и образуют угол в
52
60°; меньшая диагональ параллеле­
пипеда составляет с плоскостью ос­
нования угол в 30°. Найдите объем
этого параллелепипеда.
Задача 290.
Основанием прямого параллелепипеда
служит ромб, площадь которого рав­
на 1. Площади диагональных сече­
ний 3 и 6. Найдите объем парал­
лелепипеда.
Задача 291.
Диагональ правильной четырехугольной
призмы равна 3,5, а диагональ бо­
ковой грани 2,5. Определить объем.
Задача 292.
Основанием прямой призмы служит
прямоугольный треугольник, катеты
которого относятся, как 24:7; гипо­
тенуза основания относится к высоте
призмы, как 5:2, боковая поверх­
ность равна 140. Найдите объем
призмы.
Задача 293.
Стороны основания прямой треуголь­
ной призмы 4, 5 и 7, а боковое
ребро равно большей высоте осно­
вания. Найдите объем призмы.
Задача 294.
Боковые ребра наклонной треугольной
призмы равны 15, а расстояния меж­
ду ними 26, 25 и 17. Найдите ее
объем.
Задача 295.
Основанием призмы служит треуголь­
ник со сторонами 3, 5 и 7. Боковое
ребро длиной 8 составляет с пло­
скостью основания угол в 60°. Най­
дите объем призмы.
Задача 296.
Стороны основания наклонной треу­
гольной призмы равны 5, 6 и 9;
боковое ребро равно 10 и составляет
с плоскостью основания угол в 45*.
Определить объем призмы.
17. Поверхность пирамиды
Задача 297.
Задача 300.
Дано: Б АВС — правильная треугольная
пирамида, АМ = МВ, БМ = 4,
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, ОО 1 (АВС), ОС = 5,
0 0 = 3.
О
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, АМ = МВ, БО 1 (АБС),
А ВМС = 60°.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, АО = АВ, 5тл = 9уТ,
пирамида, 5 ^ = 28осн, БО 1 (АВС).
Найдите: а.
п
Дано: КАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, КМ 1 БС,
КО 1 (АВС), АО КМ = 30°,
5 пол - 48 •
.К
Найдите: АО.
Задача 303.
Дано: КАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, АКСО = 45°.
Найдите'. 8 ^ : 8 ^ . к
Задача 306.
Дано: КАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — квадрат,
КВ X (АВС),
„
АКАВ - 60°, *
АВ = 2.
Найдите: 8бок'
А
Задача 304.
Дано: КАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, А К -А С ,
КО X (АВС), КТ X ОС.
Найдите: 8 ^ : 8ЕКГ. к
Задача 307.
Дано: КАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — ромб,
АВАО = 30°, ОБ = ОВ,
= 4,
ОМ X БС,
К
АКМО = 60°.
Найдите. БС.
Задача 305.
Дано: КАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — ромб, АВ —ВБ,
Равсо = 16, КО X (АВС), КО = 1.
Найдите: 8бокК
54
Задача 308.
Дано: КАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — квадрат,
КВ X (АВС),
КВ = 3,
А В - 4.
Найдите: 8п.
Задача 309.
Дано: КАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, КО 1 (АВС), АВСБ — тра­
пеция, АВ = СБ, О — центр впи­
санной окружности, ОМ 1 АВ,
АВ = 4, А КМ О = 60°, АВАБ = 30°.
Дано: КАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — трапеция,
АВ = СД КО X (АВС),
А КМ О — 60°, О — центр вписанной
окружности, АВАБ = 30°,
Задача 312.
Дано: РАВСБЕК — правильная шести­
угольная пирамида, РО 1 (АВС),
8п =
5б = ^ .
Задача 313.
Дано: РАВСБЕК — правильная шести­
угольная пирамида, РО X (АВС),
ОМ ± АК,
.Р
АРМО = 60°.
Найдите: 8б: 8 ^ .
Задача 314.
Дано: РАВСБЕК — правильная шести­
угольная пирамида, РО ± (АВС),
К
Е
Дано: АВСАХВХСХ — правильная тре­
угольная
усеченная
пирамида,
ААХ = 8, ААХАВ = 30°, в трапецию
ААХВХВ можно вписать окружность.
Найдите: 86.
Задача 315.
Дано: АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная усеченная пирамида,
ВхМ - МСХ, В К = КС, К — радиус
окружности, описанной вокруг тре­
угольника АВС, г — радиус окруж­
ности, вписанной в треугольник
А1В1С1.
Докажите, что 8б =
А,
ЗуТ
(Л + 2г)МК.
Р.
Задача 316.
'в
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная усеченная пирамида,
Д М = МС1, ОК = КС.
Докажите что
8 6 = у/ 2 • МК(ВО + ВхОх).
18. Объем пирамиды
Задача 317.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида,
о
ЕС = ЗОЕ.
Найдите:
Уоавс • Уеавс
56
Задача 318.
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида,
У$лво + У8АСО 14' .3
Найдите: '8 АВСО
А
Задача 319.
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, V — объем пи­
рамиды 8АВСО, Н — расстояние от
точки О до (А8В).
жз
Найдите. 86.
Задача 320.
Дано: 8АВС — правильная треугольная
пирамида, {АКС) ± 8В, АО = ОС,
12
ОК = 3 , 8Ша = у^.
Найдите:
Задача 321.
Дано: БАВС — треугольная пирамида,
ВЫ = ЗСЫ, Уошс = 2.
Дано: БАВС — треугольная пирамида,
АВ = АС = 10, ВС = 12,
ОО ± (АВС), АВАО = АБСО =
=
= 45°.
Дано: БАВС — треугольная пирамида,
ААСВ = 90°, АС = ВС, АВ = 2,
ВО 1 (АВС), АВАО = АБСО =
= АБВО = 30°.
Задача 324.
Дано: ОАВС — треугольная пирамида,
АВ = ВС - 5, АС - 6, О — центр
окружности, вписанной в ААВС,
ОМ ХАВ, ОЫ X АС, О К ХВС ,
АОМО = А Б № = А Б КО = 45°.
Найдите: УОАВС.
А[>
Задача 325.
А
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, АЕ X (ВВС), АЕ = 3,
5« = 12^
Найдите: V.
Задача 326. В
Дано: МАВСО — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — параллелограмм,
МО X (АВС), БС = 3, А Б - 4,
АМБО = АМАО = АМВО =
Задача 327.
Дано: МАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — ромо,
МО 1 (АВС), АБ ш 4, АМАО =
= АМБО = АМСО = ХМВО = 30°.
Задача 328.
Дано: ВАВС — треугольная пирамида,
(АВС) А (АВС),
АВ = АС = ВС = АВ = ВС = 2.
Дано: ВАВС — треугольная пирамида,
ААСВ = 90°, АС = СВ,
(АВВ) 1 (АВС), ААВВ = 90°,
АВ = ВВ, АВ = 4. §
Найдите: V.
А
Задача 330.
Дано: КАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — ромо,
КО 1 (АВС),
.к
ОР X БС,
АКР О = 45°,
АВАБ = 60°,
АБ = 4.
Найдите: V.
А
4
Задача 331.
Дано: РАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, РО X (АВС), АВСБ — ромб,
АРЫО = 60°, ОЛТ X БС, ОМ X АВ.
Найдите:
Р
А
Задача 332.
Дано: МАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — трапеция,
МО X (АВС), АМАО = АМБО =
= ХЛ/С0 = ХМВО = 30°, АВ = 6,
БС = 2,
м
Х2ЭАВ = 30°.
Найдите: V.
Задача 333.
Д ана МАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
АВ = С Д АВАО = 30% АВ = 4,
МО X (АВС),
М
О — центр впи­
санного круга,
ОИ А СО,
АОММ • 45*.
Найдите: К.
19. Задачи разные
Задача 336.
Найдите боковую поверхность пра­
вильной треугольной пирамиды, ес­
ли ее высота равна 4, а апофема 8.
Задача 337.
В правильной четырехугольной пира­
миде определить сторону основания,
если боковое ребро равно 5, а пол­
ная поверхность 16.
Задача 338.
Задача 334.
Дано: МАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСО — трапеция,
АВАО — 90% О — центр вписанной
окружности, МО А (АВС),
ОРААВ,
М
АМРО = 45%
АСОА = 30%
СХ> = 4.
Найдите: V.
Основанием пирамиды служит ромб с
диагоналями 6 и 8; высота пирамиды
проходит через точку пересечения
диагоналей ромба, лежащего в ос­
новании пирамиды, и равна 1. Най­
дите боковую поверхность этой пир< 1М И Д Ы .
Задача 339.
Основанием пирамиды служит паралле­
лограмм, у которого стороны содер­
жат 20 и 36, а площадь равна 360.
Высота пирамиды проходит через
точку пересечения диагоналей осно­
вания и равна 12. Найдите боковую
поверхность этой пирамиды.
Задача 340.
Задача 335.
Дано: АС1 — правильная четырехуголь­
ная усеченная пирамида,
ООх 1 (АВС), ООх =Н , Ях и Р2 —
радиусы окружностей, описанных
вокруг верхнего и нижнего оснований.
Докажите, что
Основанием пирамиды служит паралле­
лограмм, у которого стороны равны
5 и 4, а одна из диагоналей 3.
Высота пирамиды проходит через
точку пересечения диагоналей осно­
вания и равна 2. Найдите полную
поверхность этой пирамиды.
Задача 341.
Основанием пирамиды служит равно­
бедренный треугольник, у которого
одна сторона содержит 40, а две
другие по 25. Высота пирамиды про­
ходит через вершину угла, образу­
емого равными сторонами основа­
ния, и 4)авна 8. Найдите боковую
поверхность этой пирамиды.
Задача 342.
Основанием пирамиды служит треуголь­
ник со сторонами 13, 14 и 15. Бо­
ковое ребро, противолежащее сред59
ней по величине стороне основания,
перпендикулярно к плоскости осно­
вания и равно 16. Найдите полную
поверхность этой пирамиды.
Задача 343.
Боковые ребра треугольной пирамиды
взаимно перпендикулярны, каждое
из них равно 6. Найдите объем
пирамиды.
Задача 344.
Сторона основания правильной треу­
гольной пирамиды 6, а боковое ре­
бро образует с плоскостью основа­
ния угол в 45'. Найдите объем пи­
рамиды.
Задача 345.
Высота правильной треугольной пира­
миды УЗ”, а боковая грань образует
с плоскостью основания угол в 60°.
Найдите объем пирамиды.
Задача 346.
Основанием пирамиды служит прямо­
угольник со сторонами б и 15, вы­
сота проходит через точку пересе­
чения диагоналей основания, и бо­
ковая поверхность равна 126.
Найдите объем этой пирамиды.
Задача 347.
Основанием пирамиды служит равно­
бедренный треугольник, у которого
равные стороны содержат по 6, а
третья сторона 8. Боковые ребра
равны между собой, и каждое со­
держит 9. Найдите объем этой пи­
рамиды.
Задача 348.
Основанием пирамиды служит равно­
бедренный треугольник, у которого
равные стороны содержат по 39, а
третья сторона 30. Двугранные углы
при основании равны между собой,
и каждый содержит 45°. Найдите
объем этой пирамиды.
Задача 349.
Основанием пирамиды служит равно­
бедренный треугольник, у которого
60
равные стороны содержат по 7, а
третья сторона 6. Вершина пирами­
ды удалена от всех сторон основания
на одинаковое расстояние, которое
относится к высоте пирамиды, как
5:4. Найдите объем этой пирамиды.
Задача 350.
В данной треугольной пирамиде дву­
гранные углы при основании равны
между собой; стороны основания 7,
8 и 9; объем пирамиды 40. Найдите
ее боковую поверхность.
Задача 351.
В правильной четырехугольной усечен­
ной пирамиде стороны оснований 8
и 2. Высота равна 4. Найдите пол­
ную поверхность.
Задача 352.
Стороны оснований правильной треу­
гольной усеченной пирамиды 6 и
12, высота равна 1. Найдите боко­
вую поверхность.
Задача 353.
Стороны оснований правильной усечен­
ной пирамиды 4 и 2, высота 1. Най­
дите боковую поверхность.
Задача 354.
В правильной четырехугольной усечен­
ной пирамиде высота равна 12, раз­
ность сторон оснований 10 и полная
поверхность равна 512. Найдите
стороны оснований.
Задача 355.
Боковое ребро правильной четырех­
угольной усеченной пирамиды равно
3, стороны оснований 5 и 1. Най­
дите объем.
Задача 356.
В усеченной пирамиде объем равен 76,
высота 6 и площадь одного из ос­
нований равна 18. Найдите площадь
другого основания.
Задача 357.
В усеченной пирамиде разность площа­
дей оснований равна 6, высота усе-
ченной пирамиды 9 и ее объем 42.
Найдите площади оснований.
Задача 358.
В треугольной усеченной пирамиде вы­
сота 10, стороны одного основания
27, 29 и 52; периметр другого ос­
нования равен 72. Найдите объем
усеченной пирамиды.
Задача 363.
Дано: прямой круговой цилиндр,
АВСЪ — осевое сечение,
АСАО = 45°, У = 2 л.
Задача 359.
Определить объем правильной треу­
гольной усеченной пирамиды, у ко­
торой стороны оснований 30 и 20,
а боковая поверхность равновелика
сумме оснований.
Задача 360.
Определить объем правильной четырех­
угольной усеченной пирамиды, если
ее диагональ равна 9, а стороны
оснований 7 и 5.
20. Цилиндр. Поверхность и объем
цилиндра
Дано: прямой круговой цилиндр,
АВСЪ — осевое сечение, в которое
вписана окружность единичного ра­
диуса.
Найдите: V.
Задача 361.
Дано: прямой круговой цилиндр,
Задача 365.
Дано: прямой круговой цилиндр,
АВСО — осевое сечение, V = 6л,
АСАО = 30е.
61
21. Конус. Поверхность и объем
конуса
Задача 366.
Дано: прямой круговой конус,
АО ± (МКЫ), МА = МИ = АЫ,
Дано: прямой круговой конус,
Задача 369.
Дано: прямой круговой
конус,
МО 1 (АВО),
ААМВ ж60%
О К1АВ,
АМКО ж60°.
Найдите: 8ШВ
22. Тела вращения
Задача 370.
Дано: ААВС, ААСВ = 90% С2? 1 АВ,
АО = 1, БВ = 4.
Найдите объем тела, полученного от
вращения треугольника вокруг ка­
тета АС.
у/
Задача 371.
Дано: ДАВС, .АС = ВС = 5, АВ = 6.
Найдите объем тела, образованного
вращением треугольника вокруг сто­
роны АВ.
д
Дано: прямой круговой конус,
МО 1 (АКБ), ААМВ = 120*.
Задача 372.
в
Дано: АВСО — трапеция, описанная
вокруг окружности,
ав = с в ,
АО ж 8,
ВС = 2. Е
62
Найдите поверхность тела, образован^ ного вращением трапеции вокруг
^ стороны АН.
Задача 373.
Дано: АВСI) — квадрат, АВ - 1.
Найдите объем тела, образованного
вращением квадрата вокруг оси,
проходящей через вершину С па-
Задача 374.
Дано: АВСО — ромб, АВАО = 60",
Р А В С О ~ 16
Найдите объем тела, образованного
вращением ромба вокруг оси, про­
ходящей через вершину А перпен­
дикулярно диагонали АС.
.
Задача 375.
Радиус основания цилиндра 3, высота 8.
Найти диагональ осевого сечения.
Задача 376.
Осевое сечение цилиндра — квадрат,
площадь которого 12. Найти пло­
щадь основания.
Задача 377.
Высота цилиндра 7, радиус основания
5. Найти площадь сечения, прове­
денного параллельно оси цилиндра
на расстоянии 3 от нее.
Задача 378.
Высота цилиндра 12, радиус основания
10. Цилиндр этот пересечен плоско­
стью параллельно оси так, что в
сечении получился квадрат. Найти
расстояние этого сечения от оси.
Задача 379.
В цилиндре проведена параллельно оси
плоскость, отсекающая от окружно­
сти основания дугу в 120°. Длина
оси равна 5, ее расстояние от секу­
щей плоскости 2. Определить пло­
щадь сечения.
Задача 380.
Площадь основания цилиндра относится
к площади осевого сечения, как л:4.
Найти угол между диагоналями
осевого сечения.
Задача 381.
Высота цилиндра на 10 больше радиуса
основания, а полная поверхность
равна 144 л. Определить радиус ос­
нования и высоту.
Задача 382.
Радиус основания конуса 5, высота 12.
Найти образующую.
Задача 383.
Образующая конуса 10 наклонена к
плоскости основания под углом в
30*. Найти радиус основания.
Задача 384.
Радиус основания конуса 3. Осевым се­
чением служит прямоугольный тре­
угольник. Найти его площадь.
Задача 385.
Высота конуса 20, радиус его основания
25. Найти площадь сечения, про­
веденного через вершину, если его
расстояние от центра основания ко­
нуса равно 12.
Задача 386.
Через вершину конуса под углом в 45“
к основанию проведена плоскость,
отсекающая четверть окружности
основания. Высота конуса равна 2.
Найти площадь сечения.
Задача 387.
Высота конуса 4, радиус основания 3,
боковая поверхность конуса развер­
63
нута на плоскость. Найти угол по­
лученного сектора.
Задача 388.
Полукруг свернут в коническую повер­
хность. Найти угол между образу­
ющей и высотой конуса.
Задача 389.
Радиусы оснований усеченного конуса
3 и 6, высота 4. Найти образую­
щую.
Задача 390.
Радиусы оснований усеченного конуса
Л и г , образующая наклонена к ос­
нованию под углом в 45°. Найти
высоту.
Задача 391.
Радиусы оснований усеченного конуса
11 и 16, образующая 13. Найти
расстояние от центра меньшего ос­
нования до окружности большего.
Задача 392.
Радиусы оснований усеченного конуса
3 и 7, образующая 5. Найти пло­
щадь осевого сечения.
Задача 393.
В усеченном конусе высота 10, а ра­
диусы оснований 8 и 18. На каком
расстоянии от меньшего основания
находится параллельное сечение,
площадь которого есть средняя про­
порциональная между площадями
оснований?
Задача 394.
Радиус шара равен 12. Точка находится
на касательной плоскости на рас­
стоянии 16 от точки касания. Найти
ее кратчайшее расстояние от повер­
хности шара.
Задача 395.
Радиус шара 4. Через конец радиуса
проведена плоскость под углом в
60“ к нему. Найти площадь сечения.
Задача 396.
Стороны треугольника 13, 14, 15. Най­
ти расстояние от плоскости треу­
гольника до центра шара, касатель­
64
ного к сторонам треугольника. Ра­
диус шара 5.
Задача 397.
Диагонали ромба 15 и 20. Шаровая
поверхность касается всех его сто­
рон. Радиус шара 10. Найти рас­
стояние его центра от плоскости
ромба.
Задача 398.
На шар, радиус которого 5, наложен
ромб так, что каждая сторона его,
равная 6, касается шара. Расстояние
плоскости ромба от центра шара 4.
Найти площадь ромба.
24. Комбинация геометрических тел
Задача 399.
Дано: 8МИК — правильная треуголь­
ная пирамида. М8 = М К = 1, Ах,
Вх, Су — точки пересечения медиан
боковых граней М8К, М8И, К8Ы,
АВСАу Ву Су - вписанная в пирамиду
3
правильная
треугольная
призма.
Найдите: АхСу.
Задача 400.
Дано: 8МЫКТ — правильная четырех­
угольная пирамида, Ах, Вх, С,, Д —
точки пересечения медиан боковых
граней М8Ы, Ы8К, с
Т8К, М8Т, АСу
прямая четы­
рехугольная
призма, впи­
санная в
пирамиду
Р8 = 5,
80 = 3.
Найдите:
УАС;
Задача 401.
Дано: 8АВС — правильная треугольная
пирамида, 8 0 ± (АВС),
А1В1С1А2В2С2 — вписанная в пира­
миду правильная треугольная приз­
ма, В^Сг-Вз — квадрат, 5 0 = 4,
Задача 404.
Дано: АВСА\В1С1 — правильная треу­
гольная призма, описанная вокруг
шара, АЫ = ЫВ.
Найдите: А а.д
^
А
Задача 405.
Дано: 8АВСИ — правильная четырех­
угольная
пирамида,
С8 = СО,
А2Сг — куб, вписанный в пирамиду.
Найдите: А 8 : АУА2. а8
д
Дано: АВСА1В1Сг — правильная треу­
гольная призма, О — центр вписан­
ного шара, ВО 1 АС.
Найдите: 8ша. Д,
с
А
Задача 406.
А--------------------- Т>
25. Комбинация призмы с
вписанным шаром
Дано: АВСА{ВхСх — описанная вокруг
шара правильная треугольная приз­
ма, Ог — центр ААВС.
Найдите: А а.
Задача 403.
Дано: АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная
д,
г
призма,
описанная
вокруг
шара.
Найдите: А а.
65
Задача 407.
Дано: АВСА^Сх — правильная треу­
гольная призма, описанная вокруг
шара.
Найдите: 8ЛСВ:8ВВСС.
Задача 410.
Дано: АСХ — правильная четырехуголь­
ная призма, О — центр вписанного
шара, Кш = 2.
Задача 411.
Задача 408.
Дано: АС\ — правильная четырехуголь­
ная призма, описанная вокруг шара.
Найдите: Вш: Вх Э.
Задача 409.
Дано: АС: — правильная четырехуголь­
ная призма, описанная вокруг шара
с центром в точке О, ОСх - 4л^2,
ИМ = МСх.
66
Дано: АВСАхВхСх — прямая треуголь­
ная призма, ААСВ = 90", АС = 3,
СВ = 4, О — центр вписанного ша-
Дано: АВСАхВхСх — прямая треуголь­
ная призма, АС - ВС - 5, АВ = б,
О — центр вписанного шара.
Найдите: Кш.
Задача 413.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, АС —ВС =10, АВ =12,
О — центр вписанного шара,
ВЕ ХАС.
Найдите: СХЕ. "1
^
Задача 416.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСБ — трапеция,
АВАБ = 90°, А Б = 8, ВС = 2,
АСБА = 30', О — центр вписанного
Задача 414.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСБ — ромб, АС =16,
В Б = 12, О — центр вписанного ша-
Задача 417.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, АХВХ = Зл/З",
ААХ = 8, О — центр описанного ша-
Задача 415.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСБ — трапеция,
АВ = СБ,
= 16, АВАО = 30%
О — центр вписанного шара.
Найдите: Кш.
Дано: АВСАХВхСх — правильная треу­
гольная призма, О — центр описан­
ного шара, Кш = 10, 30СН= 27уТ.
67
Задача 419.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная треу­
гольная призма, О — центр описан­
ного шара, Яш = 5, ААХ = 8,
ОЫ ± ВС, ОхОг ± (АВС).
Найдите: ОИ.
Задача 422.
Дано: АВСАХВХСХ
ная призма, О
шара, Яш= 5,
ССХ = 8,
/.АСВ = 30°.
Найдите: АВ.
прямая треугольцентр описанного
Задача 423
Задача 420.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, АС = СВ = 5, АВ — 6,
,,
^26 _
ААХ = ~ 2 ~ 1 О — центр описанного
шара
Найдите: Я“ • А,
Задача 421.
Дано'. АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, ААСВ = 90% Яш = 10,
ВВХ = 6.
Найдите: радиус окружности, описан­
ной вокруг треугольника АВС.
68
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, АВСБ — трапеция,
/.ВАБ = 30°, ААХ = 4 0 , О — центр
шара, описанного вокруг призмы,
я,ш = 25,
- - Ох
- — центр окружности,
описанной
вокруг
трапеции
АВСБ.
Найдите: ВБ.
27. Комбинация пирамиды с
вписанным шаром
Задача 424.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания вписан­
ного шара,
гч
БО : ООх = 2 :1. и
Найдите: 4.1.
Задача 425.
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания вписан­
ного шара, БМ = КОх.
Задача 428.
Дано: 8АВС — правильная треугольная
пирамида, М — точка касания впи­
санного шара, Ох — центр вписан­
ного шара, 8авс = ЗООуТ,
8
.3
соз а = уу.
Найдите: К,
Задача 429.
Задача 426.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания вписан-
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, Ох — центр впи­
санного шара, М — точка касания
вписанного шара, в
ООх = 1,
Вавси = 8^3".
/I |
Найдите: А а.
Задача 430.
Дано: БАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания вписан-
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, 0 { — центр впи­
санного шара, .3
М — точка
касания
вписанного
шара,
А а = 30°.
69
Докажите, что точка Ох делит высоту
пирамиды в отношении 2:1, считая
от вершины.
Задача 431.
Дано'. ЗАБСй — правильная четырех­
угольная пирамида, д
Ох — центр впи­
санного шара,
//
М — точка
касания впи­
санного шара,
ОК = КС,
8К = 5 ,
Задача 434.
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр описанного
шара, ООх : ОхО = 2 : 1 .
Найдите:
/.ОАО.
Чс
АО=ОС=6.
Найдите'.
Задача 435.
28. Комбинация пирамиды с
описанным шаром
Задача 432.
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, Ох — центр описанного
шара, ОхМ 1 (ОВС).
Найдите: /.1 + / . 2 + 2 / . 4.
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, О — центр описанного
шара, А — высота пирамиды, К —
радиус описанного шара, Ь — бо­
ковое ребро пирамиды.
Докажите
справедли­
вость фор­
мулы:
Л -2Л ~ 2К
Задача 433.
Дано: ОАВС — правильнаятреугольная
пирамида, О — центр описанного
шара,
2Х?1 = 4,
ОС = 5.
Найдите: Я,
70
Задача 436.
Дано: ОАВС — правильная треугольная
пирамида, Ох — центр описанного
шара, 0 , М 1 ( Ж ) .
ВМ
НО,
Докажите, что
Задача 437.
Дано:. ОАВС — правильная треугольная
пирамида, Ох — центр вписанного
и описанного шаров.
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, Ох — центр опи­
санного шара, 0 8 = ОВ.
Докажите, что /. а = 120°.
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, Ох — центр опи­
санного шара, АМ = МБ.
Докажите, что 8А • 8М = 8 0 1 • 80.
Задача 440.
Дано: 8АВСО — правильная четырех­
угольная пирамида, Ох — центр впи­
санного и описанного шаров, М —
точка касания вписанного шара.
Найдите: А
29. Нестандартные задачи на сферу
Задача 441.
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
N — центр описанного шара,
АВ = ВС = АС = Зу/З, А8 А (АВС),
А8 = 8,
8
ММ 1 А8.
Найдите: Яш.
8М -
Задача 442.
^
Дано: 8АВС — треугольная пирамида,
Р — центр описанного шара,
ААСВ = 90°, СВ = 3, АС = 4,
8 С 1 (АВС), 8С = 2, Р М 1 8С.
Найдите: Я
71
Задача 443.
Дано: ЗАВС — треугольная пирамида,
Е — центр описанного шара,
АВ = АС —5, ВС = 6, А8 ± (АВС),
А8 = 4, ЕМ 1 Л5.
Найдите: Яш. $
30. Задачи разные на комбинацию
геометрических тел с шаром
Задача 446.
Дано: МАВС — правильная треугольная
пирамида,
,,
МО 1 (АВС),
-М
ЕМ КС = 60%
ВС = 4, Ох —
центр впи­
санного
шара.
Найдите:
с
**шара*
Задача 447.
Дано: ЗАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, 0 5 = ОБ, О — центр опи­
санного шара, АВСБ — квадрат,
АО = 2уТ, 8В = 3, 8В 1 (АВС).
Найдите: Кш. 5
В
Дано: МАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, МО 1 (АВС),
О К 1 СО, АБ = 6, ЕМКО = 60%
О — центр
Ж
М
вписанного шара.
Найдите:
С
А
Задача 445.
2УУ
О
Дано: ЗАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, 5В 1 (АВС), АВСО — тра­
пеция, М — центр описанного шара,
ВБ = 4,
5
72
А<
Задача 448.
Дано: МАВСБЕК — правильная шес­
тиугольная пирамида, МО 1 (АВС),
ОР ± АК, 0 1 — центр вписанного
ЗуТ „М
шара,
ЕМРО = 60
Найдите:
Задача 449.
Дано: МАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — ромб,
МО А (АВС), АВАО = 60°,
О К 1 ОС,
АМКО = 60°,
8Ш= 64л, Ох —
центр
вписанного
шара.
Найдите: Умавсй'
Задача 450.
Дано: МАВСБ — четырехугольная пи­
рамида, АВСБ — трапеция,
АВ = СО, Уш = ~ л , МО А (АВС),
О — центр вписанного круга,
О К А АО, АМКО = 60% м
Ох — центр
вписанного шара,
АВАО = 30°.
Найдите: Умавсо’
Задача 452.
Дано: О — центр шара, вписанного в
цилиндр, АВСО — осевое сечение
цилиндра.
Задача 453.
Дано: О — центр шара, вписанного в
цилиндр, АВСБ — осевое сечение
цилиндра.
Задача 451
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, ~
Ох — центр
А
вписанного
шара, К —
точка касания
вписанного
шара,
А 1= 4
Дано: О — центр шара, вписанного в
цилиндр, АВСБ — осевое сечение
цилиндра, Уш = 8 л.
^ = 48.
Найдите:
73
Задача 455.
Дано: О — центр шара, вписанного в
конус, АМВ — осевое сечение ко­
нуса, /.М ВБ = 60°, МВ ш 4.
Задача 458.
Дано: О — центр шара, вписанного в
усеченный конус, АВСЭ — осевое
сечение конуса, ОЕ 1 С Д
М К 1 АО, МС = г, КО = К,
ОМ = гш.
Доказать, что
= Я • г.
Задача 459.
нуса, МВ = 5, АВ = 6.
Дано: О — центр шара, вписанного в
конус, АМВ — осевое сечение ко­
нуса, МО 1 АВ, АМВА = 2а,
02) = 2.
74
Дано: О — центр шара, вписанного в
усеченный конус, АВСЭ — осевое
сечение конуса, АВОА = а,
АВАЛ = 0, а + 0 = 150е.
Найдите: За - 20.
Задача 460.
Дано: АВСА1В1С1 — правильная треу­
гольная призма, О — центр описан­
ного шара, ДС, = 3, ААХ = 2,
Задана 461.
Задача 464.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь­
ная призма, АВ = ВС = 5, АС = 6,
5 ^ = 2, О — центр описанного ша­
ра, 0 Х0 2 1 (АВС).
Дано: МАВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, МО 1 (АВС),
Ох — центр описанного шара,
АБМВ = 60% МС = 2.
Дано: .АС! — правильная четырехуголь­
ная призма, О — центр описанного
шара, ААХ = 1, АО = 2.
Дано: правильная п-угольная пирамида,
МО 1 (АВС), МА - Ь, МО = Я,
С?! — центр описанного шара.
Доказать, что
Дано: МАВС — правильная треугольная
пирамида, МОх 1 (АВС), МС = 4,
МОх —1, О — центр описанного
Дано: 8АВСБ — правильная четырех­
угольная пирамида, V — объем пи­
рамиды, 5 О = Н — высота пирами­
ды, Ох5 = Я — радиус описанного
шара.
Задача 464.
75
Задача 467.
Задача 470.
Дано: АВСБ — осевое сечение цилин­
дра, О — центр шара, описанного
вокруг цилиндра, АО = 3, СО = 4.
Дано: АМВ — осевое сечение конуса,
О — центр шара, описанного вокруг
конуса, АМ = 10, АВ = 12.
Дано: АМВ — осевое сечение цилиндра,
О — центр шара, описанного вокруг
цилиндра, АВ = 6, Кш = 5.
Дано: АМВ — осевое сечение конуса,
О — центр шара, описанного вокруг
конуса, АМАВ = 30°, АМ = 4.
Найдите: 8,
Дано: АВСБ — осевое сечение цилин­
дра, О — центр шара, описанного
вокруг цилиндра, 5Ш= 16л,
АВ = у[15.
Дано: АМВ — осевое сечение конуса,
О — центр шара, описанного вокруг
конуса, I — образующая, Я — вы­
сота конуса.
Докажите справедливость формулы:
Задача 472.
76
Задача 473.
Дано: АВСО — осевое сечение усечен­
ного конуса, О — центр шара, опи­
санного вокруг усеченного конуса,
ВС = 2, АО = 8, /.СОА = 60°.
Задача 475.
Дано: АВСО — осевое сечение усечен­
ного конуса, О — центр шара, опи­
санного вокруг усеченного конуса,
АВ = I, АО = 2К, ВС = 2г, ВО = д,
АВАО = а.
Докажите справедливость равенства
с
.с
^б.у.к *
_ / (Л + г ) 31П2 а
Задача 474.
Дано: АВСО — осевое сечение усечен­
ного конуса, О — центр шара, опи­
санного вокруг усеченного конуса,
АС = 6, ^СДА = 30°.
Найдите: Уш.
77
Нахождение
зависимостей
(Использование
м еж ду
мнемонического
запоминания
в пирамиде
углами
приема
для
доказательства)
8 0 — перпендикуляр к плоскости,
8А — наклонная, ОБ Л. АВ,
А х — угол между наклонной и ее
проекцией,
А а — угол между наклонной и про­
извольной прямой, лежащей в пло­
скости ОАВ,
А р — угол между проекцией наклонной
и прямой АВ.
Доказать, что
Мнемонический прием
1. Запишем наименования треугольни­
ка, в котором находится искомый
угол.
2. Из трех букв 8, А, О составим раз­
личные пары. Получили три отрез­
ка.
3. Зачеркнем тот, который не является
общим для треугольников, имеющих
данные углы.
С05 СС
С08 X =
С08/3
(теорема о трех косинусах)
Доказательство.
СОЗ X =
АО
8А ’
А8АО
I
X
\
4. Добавим по букве, чтобы получить
наименование треугольника, вклю­
чающего один из данных углов: а
или /?.
5. Найдем отрезок, состоящий из общих
букв.
6. Для нахождения искомой зависимо­
сти разделим числитель и знамена­
тель на найденный отрезок.
АВ
СОЗ а
что и требовалось доказать.
78
Зависимость м еж ду плоским углом при вершине
правильной пирамиды и углом м еж ду боковым
р е б р о м и плоскостью основания
Задача 477.
а) пирамида треугольная
8
б) пирамида четырехугольная
АЗАО
/
С05 X '•
АО
ЗА
АО
АР
ЗА
АР
«ил л
1
соз 30‘
„ . а
2 8111 2
~7Т~'
а
зш. . а
2 зш 2
гг
Проверить справедливость:
СО
СОЗ* =
зс
I
\
со
см
зс
см
соз 45
/т*г • &
— у — =УТзш 2 . а
5Ш2
77*- • Я
СОЗ X = V2 51П-2
г) пирамида га-угольная
в) пирамида шестиугольная
пг . <2
СОЗ X = у2 81П 2 ‘
79
Зависимость м еж ду плоским углом при вершине
правильной пирамиды и углом при ребре основания
Задача 478.
б) пирамида четырехугольная
а) пирамида треугольная
8
8
А ЗМО
/
С08 X =
ОО
по
АО
№30°
а
18 2
= -у у
со $ х
=
I
МО
- еггр
Ш
=
МО
СМ
-* т т
Ш
СМ
\
=
18 45е
а
сов х = *8 2
Проверить справедливость:
в) пирамида шестиугольная
а
С08 х = у Т 18
80
2"
г) пирамида и-угольная
Ла
= *8т
Зависимость меж ду плоским углом при вершине
правильной пирамиды и углом при боковом ребре
Задача 479.
а) пирамида треугольная.
Проведем МО 1 АС и 8 К 1 СВ,
I’.К8В = АМСВ (как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами).
3
б) пирамида четырехугольная.
МО 1 ВБ и 8 М 1 ОС.
АК8С = АМРС.
АЛМО
/
. х _ Р С _____
СВ
2 СУ СМ
СВ
соз 60'
а
008 2
— за РО
5 2 ОМ
«
о
2 соз 2
I
РО
СР
ОМ
СР
\
5Ш
45“
соз ^
у Т соз
Проверить справедливость:
в) пирамида шестиугольная
81
Зависимость м е ж д у угл о м при б о к о в о м р е б р е
плоскостью основания правильной пирамиды
и
Задача 480.
а) пирамида треугольная
8
б) пирамида четырехугольная
8
АСМО
/
РМ
. а . а
Р М _ РС_ _ 8 2 сХ%2
*т х = РВ ~ РВ ~ Х&60° ° ~7Т~
РС
8ШX =
2
Проверить справедливость:
в) пирамида шестиугольная
82
5Ш X =
I
МО
СО
МО
РО
СО^
РО
\
а
018 2
ОД 45
а
5Ш X = О Д 2
а
П остроение сечений, проходящих ч ер ез линии
точки, выделенные на рисунке
и
Задача 481.
ААКС —
искомое
сечение
А
О
АРЫК — искомое сечение
Внимание,
п ар ам етр !
Задача 484.
В правильной четырехугольной пирамиде провести сечение, проходящее чере:
середины смежных ребер основания под углом а к нему.
2 случай
Задача 484.
3 случай
Л
_В___
РКЕЫМ —
искомое
сечение
84
Задача 487.
П ЛАН И М ЕТРИ Я.
Справочны й
м атери ал
Прямоугольный треугольник
( Я = Сд • СЬ ^
Если а = 30*,
то с = 2а
ч
Г
5. Радиус описанной окружности опре­
деляется формулой Я 5=
У
ч
а + Ъ —с
г =
_ 5
Т
г
5 =
5
Р
1
и
Л
2 е
6. Радиус вписанной окружности опре­
деляется формулами
а + Ъ- с
5
Г = ----- 52
и г = -р .
7. Площадь определяется формулами
5 = ^ с • /г и 5 =
=
Л
V
У
~у~
с
1. Катет — среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией это­
го катета на гипотенузу.
2. Высота, опущенная из вершины пря­
мого угла на гипотенузу — среднее
пропорциональное между отрезка­
ми, на которую она делит гипоте­
нузу.
3. Сумма квадратов катетов равна квад­
рату гипотенузы.
4. Против угла в 30° лежит катет, рав­
ный половине гипотенузы.
р = ° + 2 + С* г ’ ^ — радиусы вписанной и описанной окружностей.
86
• Ъ.
Косоугольный треугольник
в
Квадрат стороны, лежащей против
острого угла, равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное
произведение основания на проек­
цию второй боковой стороны на ос­
нование.
с2 = а2 + б2 - 2Ь
<? = <? + # - 2 Ъ
Квадрат стороны, лежащей против
тупого угла, равен сумме квадратов
двух других сторон плюс удвоенное
произведение основания на проек­
цию второй боковой стороны на ос­
нование.
г = а 2 + 9 - 2Ъ
\
Г
5 = \ъ •к
V
/
5 = Ур (р - а)(р - Ь)(р - с)
р -
10. Площадь определяется формулами:
5 = \ Ъ 'к ,
5 = Ур (р - я)(р - Ъ){р ~ с).
а + \ + С; г, Я — радиус» вписанной и описанной окружностей.
87
г = —, где 5 — площадь,
р — полупериметр
Я =
а • Ъ•с
, где 5 — площадь
45
И . Центр вписанной окружности лежит
на пересечении биссектрис, а радиус
вписанной окружности определяется
формулой г =
12. Центр описанной окружности лежит
на пересечении перпендикуляров к
серединам сторон, а радиус описан­
ной окружности определяется фор» „
а 'Ъ • с
мулои Я = — ^ — .
13. Биссектриса внутреннего угла тре­
угольника делит основание на части,
пропорциональные
прилежащим
сторонам.
14. Медианы треугольника пересекают­
ся в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, начиная от вершины.
Ромб
АС А В Р
А О А Р = АОАВ
15. Диагонали ромба вза­
имно перпендикуляр­
ны и делят углы по­
полам.
16. Площадь определяет­
ся формулами:
5 = ^Ж ? • ВР
5 = а • к.
88
Параллелограмм
17. Сумма квадратов диа­
гоналей равна сумме
квадратов всех его
сторон.
18. Площадь определяет­
ся формулой
5 = а • А.
( а С2 + ВР1 = 2с?+21?]
С5 = а • к )
Трапеция
МК =
19. Средняя линия равна
полусумме
основа­
ний:
а+Ь
МК =
а+Ь
20. Площадь определяет­
ся формулой
а+Ъ
5 =
А.
г
а+Ъ
5 =
2 •Л
ч.
)
а + Ъ= с + й
21. Если в трапецию впи­
сан круг, то сумма
оснований трапеции
равна сумме боковых
сторон.
Окружность и круг
АВ = АС
А 1 = А2
а2 = АО п
а •Ь= с •й
22. Если из одной точки, лежащей вне
окружности, провести к ней две
касательные, то
а) длины отрезков от данной точки
до точек касания равны;
б) углы между каждой касательной
и секущей, проходящей через
центр круга, равны.
23. Если из одной точки, лежащей вне
окружности, провести к ней каса­
тельную и секущую, то квадрат
касательной равен произведению
секущей на ее внешнюю часть.
24. Если две хорды пересекаются в
одной точке, то произведение от­
резков одной хорды равно произ­
ведению отрезков другой.
89
25. Длина окружности С = 2яЯ.
тт
„
26. Длина дуги Сд =
лЯп
27. Площадь круга 5 = яЯ2.
28. Площадь сектора
я Я2 п
8с ~ 360*
а = ^ ('-'АВ + ^СО)
5 С — площадь сектора, 5 — площадь круга, С — длина окружности, Сд — длина дуги,
^ А В — угловая величина дуги.
О тветы
и
реш ения
1.
10. 2. 10 (АВ = АС • 81П45‘ = 8,16. 2а/Т + 4\^(Г (Пусть
АО = ЧАВ1 + ВЕ? = 10). 3. 5. 4. 2,4.
ВС = ВО = СО = АВ = а,
5. ^ (АКСВ ААСМ,
откуда
АС = АО = а 'П , РАСО = а (1 + 2 УТ),
а V I.
КВ = | ) . б. 16. 7. 1 042) || МЛГ,
г = — >•
ЕО = ЕЛГ+М> = 8 + 6 = 14,
17. 30" 010 - СО ш ВО, О — центр
окружности, описанной вокруг треуОЕ = ^ ВО = 7,
в
голышка АВС, ААСВ = ^ А АОВ). 18.
ОЕ = ОЕ - КЕ = 7 - 6 = 1)
11 (АО = ВО = СО, поэтому
АО = ВО = ОС = 1).
19. 6 (АО = уГаШ ^ Ш Г = 6,
ВО = 2 АО 8ш 30°).
т/ТТ
1
20.
(МВ = | АВ = 3,
А
Е
О
8. 4. 9. 30' (см. рисунох к решению
задачи 7). 10. 10. 11. ^
(ААМС со АВСК, ^ | = ^ ,
но по условию
АС
= 4, тогда 4 =
2
■^6*
откуда находим В К)- 12. 1,5. 13. - у
(Пусть АС = АО = а, СО = 2К = сгП,
К =~ -,
^
^
АВ = АС 8Ш 60' = ^ ) .
( ^
- 2
АВ
АО = —
81П60°
, ВС = ^Т,
2уТ
3 ’ ВС = Х '
с в = 1/ с & П й ? = ^ ) .
15. 90° (Пусть АВ = а, тогда
АС = АО = 2а, СО = 2а т/Т.
Так как СО2 = АС2 + А2)2, то
АСАО = 90°).
14.
МС = УвС* - МВ1 = 4,
ОМ = г = | = | ,
м о = а/ м о ^ Т о о *").
21. У^26 (МВ = 6, МС = 8,
ОМ = г = ~ = 3,
ОС = М С -О М = 5,
о с - ■/оог~ + о с г ).
22. 4 (СЕ = \/АЕ2 - АС2 = 4,
МО = | СЕ = 2,
МО =
23. 16 л (ОС
5 = я/?2). 24.
= зес, | ае
А2 = 30“). 25.
у/мдгТ о о г ).
= Е = УсОг= ™ООг = 4,
60' (А1 = 30% ЗАО =
= зес,
5.
ес
= | ае,
(СО = АО = | АВ = 3,
ЕО = | с О = 1, ОЕ = УООа + Е0 2 ).
91
26. |У б Г {СВ = ^ АВ —2,
АС = УАВ2 - СВ2 = 2УТ,
СЕ = ВЕ = 1,
АЕ = УЛС2 + се ;2 = У1Т,
ле
= | л е = |у т т ,
ЛЕ = УЛЕ2 + ЕЕ2 ).
27.
(ЛЕ = УЛЕ2 - ЕЕ2 = 6,
ЛЕ = | л Е = 9 .
Пусть СЕ = ВЕ = х, ЛС = 2х,
АЕ2 = ЛС2 + СЕ2, 5л2 = 81, откуда
я2 = у . $ддлс = ±ЛС-СВ = 2 ^ =
= ^ у -). 28. 2 (АВ = у/АС1 + СВ1 = 5,
г = | = 1, МЕ = УМО2 + ОО2 ). 29. 12
(лв = Час 2л-св2 = 10,
ОМ = г = | = 2 ,
МЕ = у/м д г Т о о г = 4,
5 ^ = |л С - М Е ) .
30. 90* (ЕМ 1 ЛС и ВМ 1 ЛС,
ЛС 1 (ОМВ) и ЛС ± ЕВ).
31. 27УТ (ОС = УСЕ2 -О О 2 = 6,
ВС = ОС УТ= 6 УТ, Вдддс = АВ2/ ^ ).
ЛСЕ, лежит посередине гипотенузы).
Уб
36. - у (Провести ВЕ 1 ЛС, найти
•^р). 37. - у (Провести СЕ ± АВ, найти ^ | ) . 38. 12 (ЛС = 2ЛЕ = 3,
СВ = у/АВ г ^~АСг ).
39. 5УТ (ЛВ = УЛС7Т С Е Г= 10,
10 УТ
ЛЕ =
= 5 УТ, А О Ч ВЕ2= ЛВ2).
40. 1,2 (ЛВ = 5, ВС - АС = АВ • СЕ,
откуда СЕ = у , С Е = у С Е ). 41. УТ
(ЕЕ = СЕ = 1, СЕ = В = УТ). 42. 90“
(Пусть ВЕ = ЛЕ = а,
АВ = ВС = АС = УЛЕ2 + ВЕ2 = а УТ,
АО = ОС = а).
43. |У З (ЛВ = 2, ЛВ = ВУ Т). 44. 45“.
45. 9 (ВЕ = СЛ = У ЕЕ2 - ВЕ2 = 4,
ЛЕЛЕ = 90“, СО = ОЛ = | ЕЕ = 2,5).
46. у . 47. 2 УТ (ЛВ2 = 4,
АВ = В Е = 2 , АО = ВО = ~ В О = '/2,
е о = Ув е 2 + в о 2 = УЗ").
48. 60“ (ЕЕ = 2В, ОС = 2г,
/ , _ ОС _ г _ 1.
ОЕ В 2
49. у
(МС = 4, пусть МЕ = х,
32. 18 УТ (МО = У М ^ Г Ё О 2" = 3,
ОС — 2х, ОС2 + МЕ2 = МС2, откуда
ОС = 2МО = 6, ВС = ОС УЗ" = 6 УТ).
33. 45УТ (МС = УМЕ2 - ЕС2 = 9,
^
=^
= 4**>МС;т = 6 УЗ).
У Т
У Т
АВ ^ ВС =
5Ш 60“
50. 270“. 51. - у . 52. у 34. 120" (Л2 = 30“, Л 1 = 90“). 35. 180“
(ЕС = 2В зш ЛЕЛС.
(А АСО = 90“, так как центр окружно­
сти, описанной вокруг треугольника По условию ЕС = В, тогда
92
51П АЕАС =
АЕАС = 30°.
Пусть ЕО = а, АБ = 2ЕО = 2а,
АО = а УЗГ, АЛ = а V I).
53. 60* (АС = 10, ОС = 5, ЕОЕС =
= 30°). 54.
(АЕ = ВЕ = СЕ =
= ЛЕ = 8, АС = 5, АО = ^А С = | ) .
55. V I (АО = ОС = 2, АС = 2 VI).
56. 4 V I (ВМ = 2 • ОО, = 8,
АВ ■ 2г = 8 V I).
57. 16 V I (ОМ = УЕМ* - ОБ2 = 12,
ЕОБМ = 60*, ОЛ =
81П ои
= 8 VI).
СМ = МЛ = а, СЛ = а VI,
АС = 2а).
65. 16 VI + 32 (Провести СЕ 1 АО,
СО = 16, АВ = СЕ = СЛ зш 60“ = 8VI,
Равсо = 2 (АВ + СО)). 66. УТГ
<Л4ва> = 4СО = 16, СО = 4.
Провести СЕ 1 АО,
СР = МК = ^ С Л = 2).
67. 64. (МО = г = VЁМ7^ГЁ 02~= 4.
Проведем ВТ 1 АО, ЕВАО = 30“,
ВТ = 2г = Ъ, АВ = 2ВТ = 16,
Еддсо = 4АВ).
68. 5 (ЕВАО = 60“, Еддсд = 4АВ = 32,
58. ^ (Пусть ОМ = ОЕ = а,
АВ = 8, ЕАОВ = 90°,
АОСМ = 30°, ОС = 2а).
59. 32 (ВЕ = 2 • ОО1 = 4,
АВ = 2ВЕ= 8).
ВЕ = уПю г + О Ё г). 69. 5. 70. 4. 71. 1.
72. 2VI. 73. VI. 74. 45“. 75. 6,5. 76.
2,6. 77. 8 и 17. 78. 3,5. 79. 2. 80. 5.
81. 6. 82. 30°. 83. 6. 84. 30. 88. 16 или
24. 89. 19 и 17. 90. 5 и 3. 91. 7. 92.
4. 93. 7. 94. 4 VI. 95. 13. 96.
97.
8. 98. 5. 99. 12. 100. 30; 26. 101. 12.
102. 5. 103. 5; 3. 104. 4. 105. 2 + 2VI.
106 (прямая). СС, = а, тогда ОС = а,
60.
(Пусть СМ = МО = а,
СО = а VI, ААСЛ — 30°,
ОС = ЛС- С05 30* =
АС = 20С = а V I).
61. 2,5 (АВ = 2ВМ = 3,
ВО = УАВ* + АО* =5, Я = \В Л ) .
62. 16 (АВ = 2ВВ! = 4,
АВ + СЛ = ВС + АЛ = 8).
63. 6,4 (АВОС ^ ААОЛ, | § = ;§ § = | .
до
ОО,
д о о о , 40 АЛВМ,
. откуда
ООх = ^ ) . 64. ^ (Е 1 = Е З ,
5Ш Е 1 _ 51п Е 3 _ СО
3111 Е 2 ~ 8111 Е 2 “ АС
по теореме синусов. Пусть
ВО = ^АВ = 4,
ОС1 = я VI, ОМ = ^ ОС = §,
2
ОМ 1М С Х,
ОМ
а VI
81П Е 1 =
ОС, 2 •аVI
4
Ответ: ^р-.
4
VI
106 (обратная). з т Е 1 = -^ -.
ОМ = VI х, ОС! = 4х,
0С = 2 0 М = 2 уП х ,
ССу = Уос? - ОС* = 2 VI х.
Значит, ОС = СС!, Е1 = 45°.
Ответ: 45°.
93
107 (прямая). Пусть ВС = За, тогда
СС
с к
М Р ш а. АМ К Р <ЛАСу КС,
СС
3
—— = у, откуда СуС = За. Тогда
°
Д 1 = 45’.
ССу ~ 2ОМ а а V I
°мос,с = м о + с с < . „ с . И з * .
_
$иос.с
3 /3"
По условию -=— — = —т^—, откуда
ЛАВС
Ответ: 45*.
107 (обратная). Пусть ВС = ССу = а,
КС =
КР =
щ - =
откуда М Р = у, 9МР = За,
109. Пусть ССу - а. Тогда ВуС = За,
В ^ = т/ВуС*-С(% =2 V I а,
МВу т V I а,
МС =
- а VI,
^
2т ^
тЖ
МС
7 *
•/14
Ответ: - у - .
110. ДС, = 2МЙГ (ШГ — средняя ли­
ния Л^ВС,) и по условию
СС! = 2МАГ.
ВВХСХС — квадрат, 411 = 45°.
Ответ: 45°.
111 (прямая). Пусть АВ = а,
о2 /3"
аVI
МС =
1 &АВС ~
ОМ = МС 18 а =
94
а/3"
*
9с? Х§а • 4 _ 3 V I
8а* V I
ДКМР<л АКСХС,
9МР = Р ^ с, что и требовалось дока­
зать.
108. К М СуС — квадрат. Пусть
ССу = КС - а,
КС
2уТ а
тогда СВ =
81П60е
3 ’
С,С
VТ
. /Т
18 а - СВ ” 2 ’ “
8 2 °
♦ ^3
Ответ: агс!б-у.
а.
~
2 ’
16 а = 1, а = 45°.
Ответ: 45°.
111 (обратная). Пусть М О = МС = а.
ВС =
81П60°
^Д/ОС,С
’Яавс = 2 '
ССХ = 2а.
§А
а2
*МС —7 Г
з /з
^МОС С : $АВС
Ответ:
3 /3
112 (прямая). Пусть ВО = а. Тогда
АВ = а VI, ВВу = а VI,
ВВу
_
Ъ а = Т о = '/ 1 ‘
Ответ: /Т .
112 (обратная). Пусть ВО = а. Тогда
ВВу = а VI,
АВ = /В О 2 + АО1 — а VI, АВ = ВВ1,
что и требовалось доказать.
113. Пусть ОС = СС1 = СуВу = а. Тогда
ВуС = а VI, ИЮВу =90° (докажите).
1
РС
16 сс = В, С
7Г
Ответ:
18 а .
114 (прямая). Пусть ОК = КМ = х,
ОМ - ЫОК2 + км * - X V I,
ВВ1 = АВ = 2х,
18 А1 =
ВО = ЫАВг + АО1 = 2 V I х,
ВВ1 + В 0 1 = Вх& , 4л2 + 8х* = о2,
сс
Ответ: агс*8 V I.
117. Пусть ОС = а, тогда ВхО - 2а,
ДП \РТ
ВО = йУТ, С05 А1 =
откуда х = 2^ * . Тогда ОМ Ответ:
А1 = 45°.
оуТГ
Ответ: 45\
8аАс>
с - ЛС • СС1 _
Задсс " СО • ССХ ~
114 (первая обратная). Пусть
ОМ = КМ — х, КО = XVI,
ВО = 2КО = 2х V I, ВВ1 • Ю М = 2х,
АС
СО
в хо = V вв\ + во* ш 2х V I.
0 К = ^ - ВВХ = X, ОК2 + КМ2 = ОМ%
х г + х2 =
= V I, А 1 = агсф
119
(прямая).
Тогда 5 ^ = ^
6а2
36’
,
ЕЕ, =
В10 = 2 х у Ъ = 2 '/Т 6 ауГТ = а.
^вврр ~
с? V I
Ответ*, а.
> ^АВС
АВ.С•*
ВВРР
VI
4 '
Ответ:
114 (вторая обратная).
119 (обратная).
о о = | в 1о = | ,
о м = ч о о 2- о м 2 =
ВО = БС ■V I =
ЕЕ, = V в,0^ - ВО2 =
Ответ: V I.
Пусть ВО = АС = а.
СО - АС • 51П45е =
откуда х - ^ V I,
ос =
СО V I
СО
аУТ
Е ^ = ОС,
что и требовалось доказать.
115. Точки О, Е, М лежат в плоскости
ОА1В1С, Ох — центр грани А А ^ О .
Искомое расстояние А 0Х = V I.
Ответ: V I.
116. Пусть ОС = а. Тогда
ВВХ = ЕО = ССХ = аУТ,
± А С -В р
: 5мдв “ е о • ЕЕ, _
_ В ,0
_ ^
В,О _ -/(Г
“ 2 • ЕЕ, “ 4 ’ ЕЕ, ” 2 '
Пусть Вх0 = а Угб’, ЕЕ1 = 2а,
ЕО = УЕ10 2 - ЕЕ2 = а \ Т ,
АС = 2а УТ, АВ = ^ВО г Т а Ог = 2а,
АЕ! = 2а V I, АВ, —АС,
что и требовалось доказать.
120. А,Е! || АЕ, ЕО || АЕ, А ^ = АЕ,
ЕО - АЕ. Так как АЕ А ЕО, то
АХЕ А ЕО.
АхВхОЕ — прямоугольник.
95
121. Пусть АВ = РРг = а, РО = ОЛТ,
ЛО = а, РО = у/АО1 -А Р 1 =
откуда л = 2.
Ответ: 2.
123 (прямая). Пусть
РР
1
ОЕ = ЕО = О О = а,
РЫ —яУТ, сс = р ц —
За2 г=- За2УЗ" ЗУТ
*^о о Уз"»
А а = 30*.
2 •
Ответ: 30е.
,
аУТ УТ
122 (прямая). АО = ОО, В^Ы = ЫСХ, откуда а = 1, М Е = -у— = -у-;
ЫМ 1 ВС, ВО = 2,
АЕ = 2 •МЕ = УТ,
о м = у/вдг ^гв м г = УТ,
^АА^Е^Е ~ АЕ •АА( = Уз”.
олг = у/дм г Т Ш }г = 2,
Ответ: УТ.
_ АО + В{С{ п м _ ,
123 (первая обратная). АЕ = УТ.
2
^АВ{Ср -
~
Ответ: 6.
122 (первая обратная). АО = О Д
Пусть АК = КО = 2х, КМ = х,
Е ^ = ЫС1, ЫМ 1 ВС, ВО = 2,
АК2 - КМ2 = АМ2, Зл2 = |, х = ~.
ВМ= 1, ОМ = УТ, АО = 4.
По условию
сп = 6,
50СК= 6 ■~ К О - А М =
АО + В, С,
2 ~ ^-О М = 6 ,
ЗУТ
Ответ: — 2—.
откуда ОЫ = 2,
123 (вторая обратная). Пусть
МЫ = ВВ1 = у[Шг ^О М г = 1.
АК = КО = х, 50СН= ^ ,
Ответ: 1.
122 (вторая обратная). АО = О Д
з ^ ^з*= ЗУТ
2
2 ’
В1Ы = ЫС1, ЫМ1ВС.
Пусть АО = ОБ = ОВ = х, ВМ =
А Е =2 - АМ = '/3. АА{ •АЕ = УТ.
ОМ = ху / 3
2 *
А4; = 1.
ОЫ = УЛ^М2 + ОМ2 = У у - + 1 =
_ УЗ*2 + 4
-
2
’
АО + ДС,
_
“ °*
ОЫ=6.
Решаем уравнение
х у / З х * + 4 = 8. З*4 + 4л2 - 64 = 0,
96
Уз
откуда х = 11. Ал М,. = -у-.
Ответ: 1.
124. СМ ХАВ, МВ = ~АВ = 3,
МС = У ВС2 - МВ2 = 4.
АВ • МС = АС - ВО,
24
откуда ЕО = -у-. АВОС{ = 90° (дока­
зать), тогда
_ 48
1“ 5 ’
.. _ ВС _ 25
“ ВС, ~ 48'
25
Ответ: ^г.
125. ВС 1 АС, В1С 1 АС, ВхО = 5,
АВ = 4АВ( - ВВ\ = 6.
Пусть АС = ВС = а, АС2 + ВС2 = 36,
ВС = АС = уТ8~ = 3 уТ,
СВХ = у[СВг + В В [ = ■/82,
$лсд = | ЛС • СВ! = 3 /4Г .
Ответ: 3 /4Г.
126. АД/1 ВС. Проведем АЕ || ВС,
АМ 1 АЕ и А! А 1 АЕ. Тогда
АВ.ВС = ААДЕ = 90“.
Ответ: 90°.
■Ям.с.с
АС • АД
АС
ВЕ • ВВ,
ВЕ
_ АО _ 51П ААВЕ _
~ ВО ~ 5Ш АВАС “
128.
‘,с,с
дд
=
АС • АД
ВЕ • АА!
Ответ: 2.
АС
ВЕ
ААВО - 43,
ААВО = 60", ААВС = 120“,
АВАЕ = 60“.
Ответ: 60°.
129 (прямая). ВО = 1,
ВуО = уГв Щ~+~в о г = 42,
АО = УАВ2 - ВО2 = /Г ,
5^ ^ = АО " В! О ~~ /6 .
Ответ: /6".
129 (первая обратная). ВЕ = 2,
ВО = 1, ААОВ = 90“, АО = уТ ,
АО • ОВх = / 6 ,
откуда ОВх = уТ.
ВВ, = у/В, О2 - ВО2 = 1.
Ответ: 1.
129 (вторая обратная). Пусть
V
1Л/3
АВ = ВО = х, ВО = ^ , АО =
ВхО = У'ВВ2 + ВО2 =
+ х2.
~
^
хУТ \^4 + х 2
АО • ВхО = у б , —
^----- = уо»
л4 + 4л2 - 32 = О,
откуда удовлетворяет уравнению х = 2.
Ответ: 2.
129 (третья обратная).
АВ! = УАВ2 + ВВ2 = /5 .
Пусть АО = х, тогда
ВхО =
= 4 5 - х1,
Вщс = АО • В! О, / 5 ”= х 4 5 - х 1,
х* - 5л2 + 6 = 0.
Так как х > 0 по условию, XI = 43,
х 2 = 42.
43
а) С05 АВАО = -у-, АВАО = 30%
«1 = 60“.
42
б) С05 АВАО = ^ - , АВАО = 45“,
а2 = 90“.
130. ВДГ1 АЕ, В1 ДГ1 АЕ,
В А > ^А В = 9,
В ^ = 4ВХВ1 + В К* = 15,
&лв1Ср = АЕ ■В, Е = 18 ■15 = 270.
5вврр
Владв
Ответ: 270.
ВЕ • ВВ1 _ В й _ 45
А В -В В 1
АВ " 2 ’
АВ = 2х, ВЕ = УТ х.
97
134.
137.
141.
144.
148.
13 и 9. 135. 8 и 10. 136. 7 и 5.
5 и 7. 138. 4. 139. 2. 140. 2 и 3.
273 и 175. 142. 1872. 143. 22.
9. 145. 144. 146. 4,5. 147. 7,5.
Пусть АВ = ВС = а. МВ =
м о = |м с =
мс =
ПО = ОМ • 1§ а =
д у'З
^
а.
Тогда 5ол/с = ^ МС • ПО = ^ а218 а,
ВК = АВ 51Па - 2х зш а, АВ = КО,
ВЕР- = ВК2 + КЕР,
сР^З
4
По условию 5ДЛ/С : Етс = 1 :2 ,
5л2 = 4л2 51П2 а + 4л2,
откуда 81Па =
8’АВС
ляп -~
1 2*
^ а 18 а .
а = 30*.
Ответ: 30".
132. Рмсо = (АВ + СО) + {АО + ВС) =
= 4 • АВ = 64, (АО + ВС = АВ + СО) ,
^
„
—1 .2 ,
откуда 18 а. = уТ, а = 60°.
Ответ: 60°.
149. Пусть ОО = а, тогда АВ = За,
СМ =
3 а/3~ • а
9
ОС = ~ С М = а \/3 ,
ПО
18 а = о с
1
оТз* = 7 Т ’ а = 30°Ответ: 30°.
150. Пусть О1 О2 = а, так как
0[ 0 2 = ^ МП, то МП = ^ а. АВ = За,
АВ = 16, ВМ = ~ А В = 8.
В,М - '/1ЩТ~ВМГ = 10,
АП + В.С,
^ , 0,0 “
2
1 “
= АП+2 - ^ ■В>м = 160.
133. ДАОО сл ДВОС.
А П
А П
^
3
= у,
АО = Д О^ = 3,
АО, =
98
« 5.
Ответ: 5.
тогда ОВ = 1>С = ВС = За, Еа = 60°.
Ответ: 60°.
151. АВ 1 СМ и АВ 1 ОМ, следова­
тельно, АВ 1 (ОМС), поэтому
АВ 1 ПС.
152. МП || ВП, РН || ВП, откуда следу­
ет, что МП || ПР. МП || АС, ПР || АС,
значит, МП || РП. Но ВП 1 АС (зада­
ча 151), следовательно, ЕМКР — пря­
моугольник.
153. АВ = ОВ уТ, откуда
ОВ = ОС = 3, ПО = У'ПС2 - ОС2 • 4,
Змос = \ МС 0 0 = 9.
Ответ: 9.
154. АО = ЫА& - 0 & * 6,
ОМ = ±АО = 3, АМ = 9.
К О * О Р = РС, КР = 3,
МР * VКМ1 - К Р 1 * 4,
ВО = 2 • МР = 8.
Ответ: 8.
155 (вторая обратная).
МР = уО О = 4,
КО = К М - О М = | АМ - О М =
пусть К В * х, В С * 2х, КС = XVI,
= —- 3 = —
2
2’
о к = у/одг + ш г *
КО * ОР * РС. е р = | е с =
2 ’
км
= ^ кргТ м рг *
В С * АО V I * 6 УТ.
РЕ = | ВС =
3 уТ ,
5рлй = | р Е - О Е =
- А - Э ^ Т - ^ = |Л 5 Г .
Ответ: ^ У795.
155 (прямая). АВ = ОС VI, откуда
0 С * 3 , К 0 * \ , КР = КО+ 0 Р = 3.
МР 1 ЕС, МР = | ОО = 4.
ЕМ = '/КРГТ М Р Г = У9 + 16 = 5,
1_
8амв = ± А В - К М *
2
&
—
3аАМ
мП
в —
|х У Т ,
у/12*2 + 144
К В - КМ
2
х ^Т ъ Г + 1 4 4
15У Т
3
2 •
48л:4 + 576л2 - 6075 = 0.
При лс>0 находим
ЗуТ , _ _
_ гх * - у - ; АВ * 2 х * ЗуЗ.
Ответ: ЗуТ .
156 (прямая). К В * 4,
ВО = УгЁОг + Ё В г = 5,
ЕС = '/ВСГ^Г КВГ = 4\Т ,
ЕО = у ЕС = у уТ ,
о о = Уе в 2 - е о 2 =
Так как ОС • ЕМ = ЕС • ОО, то
5ЕМ = 4УТ •
15УТ
Ответ:
2 •
3^3"
155 (первая обратная). ЕВ = - у —;
5амв = КВ ■КМ,
• КМ = Щ ^ ,
откуда ЕМ = 5, К С * ВС • 5Ш 60* = у,
откуда ЕМ «■ уУТГ, Зш в *
* \ аВ • М К * \ • 8 • у \Т Г = ^ - Ш .
Ответ: -ууТ Г .
156 (первая обратная). К В * 4.
ЕС = ЕВ 18 60“ - 4\Т .
99
Пусть КО = х.
о в = б с = 4 к о г Т Ш г = V*2 + 16,
* ° = ! * с = н гДО - '/КО1 - К 0‘ =
5В = 4 8 0 2 + ОВ2 = 4 2 2 + Х2,
АВ2 = А$2 + $В2 - 2 А 8 ■8В соз а.
Так как
15п
- -у .
КС - О0 = ОС- к м .
Получаем уравнение
(*)
15
18 « = Т8 .’
8
то соз а = ^ .
Подставляя дан­
ные в формулу
решая которое, получим х = 3.
Ответ: 3.
157. Пусть МО = а, тогда ОС = 2а,
МС = За. Из ДСМР:
Л2 = МС зш А 1 = За зн1 А 1,
из А БОМ: Нх = МО А 1 = а А 1.
По условию ЗА! = 2А2,
За\% А1 = 6а зш А1,
(*), находим
х = 4Т2. АЗ = т/х2 + 22 = 434.
Ответ: 43Т.
158 (вторая обратная).
ВО = у/В З2 ~ 5 0 2 = 412,
АВ - ВО • 43 = 6,
АВ2 = А52 + 5В2 - 2А5 ■5В соз а.
Подставляя данные значения, получим
8
4
15
соз а = уу, тогда 1®а = -5-.
откуда соз А1 = ^, А1 = 60°, А2 = 60°.
Л
Ответ: ц15-.
4 43 - у/ х? —Щ- = 4х^ + 16 - ^ /Т Г ,
Ответ: 120°.
158 (прямая). Пусть ОВ = х, тогда
АВ - х43,
АВ2 = А52 + В52 - 2А5 - ВЗ соз а. (*)
По условию
15
18 а - Т ,
тогда
соз а = _8_
17'
Из формулы (*) находим х = 412.
5 0 = 4 в з 2 - ВО2 = 412.
Ответ: 4 П .
158 (первая
обратная). Пусть
ОВ = х, тогда
АВ = х43,
100
8
159. Пусть МЕ = А, ^
мс
=
откуда
\ъ , м о = | м с = |а ,
АЕМС = 60°.
Ответ: 60°.
160. Пусть Е5 = ЗС = ЕС = а,
АС = уГ Ш Т Ш * = а / 2 -, ОС =
соз А1 =
ОС = 42
ЗС
2 ’
откуда А1 = 45°.
Ответ: 45°.
161. АО = 4А51 - ЗО2 = 4 , ОТ = 2,
ЕМ = | ВЕ = 4,
Г5 = 450*+ 07* = 4Ш,
С
=
ЕЗМ
Ответ: 2у1Т.
162. Пусть АП = ПС = а, тогда
ОМ ж
х = ^ 1®х,
ОМ
соз х
а .
2соз х '
$АЗС • &05С ~
8Шх =
Хш
у/2
По условию
уТ зш х — -у/, откуда
значит, х - 30°.
Ответ: 30°.
163. ОЕ || А5, тогда
Е1 = Е2 = ЕЛ = АЗ = 60°.
Пусть ОС = ОЕ = а, А5 = 2а,
0 5 = УА52 - АО2 = аУТ,
$А$С ~
1
М К - 5 0 = ~О С • 5Н,
АС = аУТ,
0 5 = ОМ
5М =
166. 5 д5С — 25,
Змзю
•> $ В Ей ~
^ »
&А8С '• $ВЕО =
Ответ: уТ.
164. 5^$^ — 8вво = ОО • 08,
$в е о = С)О • ОН,
по условию $Л5С = 8вео, тогда
ОП • 0 5 = ОП • ОН,
откуда 0 5 = ОН, ОН || А5, ОЕ = 5Н.
Е08С = 60°, А1 = 30°.
Ответ: 30°.
165. Пусть АВ = а, тогда
АС = VгА 0г Т 0 С г = сЫ1, а
Из Д50Н: 5 0 = ОН 18 х = 1 18 х,
у Т 1| *
А5С• °АВСП
^
_
'/ 2 18 х
-/6"
По условию —
, откуда
18 х = УТ, х = 60°.
Ответ: 60°.
откуда 5Н = 205, Е а = 30°.
Ответ: 30°.
167. АМ = МВ. Проведем МН X 5Н,
АВ || (П5С), значит, расстояние от точ­
ки А до плоскости П5С равно МН.
Если МН = 50, то МП = 5Н, АМ8К —
равносторонний, Е а = 60°.
Ответ: 60°.
л
1 о8 (первый способ). 18 а = , . Тогда
соз
3
СС
5’ ® 2^=
•» /1 - соз а
1
„
ТТсоза = 2‘ ПуСТЬ
ОО
= 2а,
31
«2
5П = У 5 0 Ч ПО2 = аУТ,
АП = ау'Т, 5П :АО = V I: УТ.
Ответ: уТ : УТ.
168 (второй
способ). 18 а = у,
3
тогда соз « = 5 •
Пусть В5 = х,
ОО = а, тогда 5 0 =
*
В О = В52 + 8 0 - 2В8 ■5 0 соз а,
вп
2х
хуТ
откуда ВП =
АП =
5 П : АП = уТ : уТ .
Ответ: у'З’: уТ.
169 (прямая). НПЦАВЦПС, ПННС —
трапеция. Так как РЕ =РТ и РО =ОМ,
то N — точка пересечения медиан
треугольника РТМ, РТУ = ^ М/У =
.„
3Г)ЕКС
НМ = ЗИ/У = 1,
ПС + НП
РМ = 3.
Ответ: 3.
169 (первая обратная). ПН||АВ||ПС,
ПНПС — трапеция. РН =НГ, РО =ОМ,
101
значит, ТУ — точка пересечения медиан
треугольника РТМ, ЕК — ^ • АВ = 2,
184?
64
7ТУ= 171УТ849
256
•
ТЫ =
ОС + ЕК
1 )0 + ЕК ■РМ = 3, РМ = 1,
3РЕКС
МТУ = | • МР =
2
Ответ: у •
169 (вторая обратная). ТУ — точка
пересечения
медиан
треугольника
РТМ, РМ = 1. Пусть ЕК = х, тогда
АВ = БС = 2х,
+^
172. АВ -8Р = А5 -РР, откуда Р Р =
РР 4
так как соз а =
тогда
18 а = §, ТО> = Р Р -{ 8 с = | ;
• РМ = 3,
откуда х = 2, ОС = 4.
8 К = 5 Р - К Р = -;.
4
А8МЕ <л ДА5Р,
8К _ЕМ
5Р
А Р’
Ответ: 4.
170. Пусть М Т = у, тогда РТ = 2у,
РМ = 3у, ДРРР «л ДАРР,
РТ
ЕК _ 2
РМ
АВ
3'
Имеем Р Р = 2х, АВ = ОС = Зх,
ОС + ЕК
ТЫ.
3йЕКС
По условию
*
8
/ 2лг + Зх\
.
16х
21
М откуда РМ = -у .
В Из АРКЫ находим
РТУ= УРТУ* -
= 16, откуда
Г *"Т 4“,128
^лвсо
3йЕМС
^ •
Ответ:
128
5 •
аЬс
171. 8 0 3. (АВС), 5Г = Л = 4 5 ,
АМ = РМ = 3, 5М = УА5*- АМ1 = 4,
5 -5 -6
25
57 = Р =
4 • 12
8’
ЕК
57
АЕ8К (л АА8В.
АВ 5М’
7 Р 2 = 7М 2 + МТУ2 - 27М • МТУсоз а.
„
МО = 4>
3 находим
Зная,
что соз а = -д^-
РР 2
РМ +ОС
=
4
АЛГ= 69^493;
Ответ: Ш У495.
64
173. Пусть ОЕ = АЕ = АР = х. Тогда
5 0 = х а, Р Р = хУТ.
= у от.. ..
2УТ х _
куда М:М2 = —д— • Так как по услоМ{М2
2УТ
ВИЮ
то
50
3
2У2х
откуда Р Р = у |. М7 = М5 - 75 =
102
171л/Т849~
256
Ответ:
2У2 4
Ответ: 45°.
174. Пусть АМ = МО = а, ТМ =
70 =
ТР = аУЗ, РО =
178. М/У - /М Е 2 - ЕДУ2 = 6/3". Пусть
Змкс = \ м С - КО = Щ-, 0Е = §,
МЕ = МО = ОЕ = а, ОЛТ = | ,
кьш Ш ГТШ ш ?™ ,
МО2 = МД/2 + ОД/2, а 2 = 108 + у ,
МЕ = ^ - , МЕ = а/3",
3МКО = ~ М Е ■КЬ =
откуда а = 12, ЕО = /Е М 2 - МО2 = 8,
5 * .- у
а2 /3 0
ш
^лжо:^мкс — 6 •
Ответ:
/3 0
6 '
175. Пусть МО = ОЕ = МЕ = а,
а /3
ОЛГ = | , МЫ = /О М 2 - О# 2 =
2 ’
АДГ = 2М/У = а /3 -; соз а = “
=
Ответ:
1
176. Пусть А М = О М = а, РМ =а|
п4Т
ГО = ЬР= = ^-\ ЕЕ = а/3";
ЕО = /Е Е 2 - ЕО2 = у ; ЬО = а/3".
♦ , г т ъ - КО _ 4 З1§ АЛХЕ 2 *
Ответ: у .
а2/3"
177. Пусть ЕЕ = а, 50 = —^— 6, тогЗа2
да 54/3" = - у /3~, откуда а = 6,
ОЕ ЕЕ
ОГ = " 2 " = Т = 3*
е г = / е о 2 + от1 = 5,
О Т- КО = К Т - ОР,
откуда ОР = 2,4.
Ответ: 2,4.
В Е О Е = 96.
Ответ: 96.
179. АЕС А = 90°, СО = ОА = 2,
ЕА = 2АО = 4,
В** = АС+ СБ + БА = 10.
Ответ: 10.
180. АО = ОЕ = ОС = ОВ (докажите),
ВО + СО = АЕ, АЕ = 2ВЕ,
АЕАВ = 30°.
Ответ: 30°.
181 Пусть ЫВ = х, ВС* = АВ - КВ. Ре­
шая уравнение 5 = (4 + х) • х, находим
х = 1 , С Ы - Ш ^ Ш = 2,
СЕ = СИ = 2.
Ответ: 2.
182. АВ = /А С 2 + СВ2 = 5,
А В - КС = А С ' СВ,
откуда СЕ = 2,4, СЕ = 2СЕ = 4,8,
ВС 5
С08а = С Ё = 6 Ответ:
6‘
183. О — центр окружности, описан­
ной вокруг ДАВС, Ха = ^ ААОВ = 50°.
Ответ: 50°.
184. А5 + А4 = 30°,
АА + АВ = 2 А5 + 2 А4 = 60°,
С
103
АС = 180“ - 60“ = 120*.
Ответ: 120“.
185. ОМ X АВ, АО = ОБ, МВ = 3,
МО = ЧОВ1 - МВ1 = 4,
БО = МО = 4.
Ответ: 4.
186. О — центр окружности, описан­
ной вокруг ДАВС. Пусть ОБ = а,
ОМ = а, СВ = 2а, АВ = 4а,
АС = ЧАВ* - СВ2 = 2уТ а,
сЫЪ
2 ’
а.'/Ъ
189. Пусть АС = а, 53/ =
СР 1 АВ, СР =
МЕ = \ с Р = ^ ~ ,
8Е = у[Ш г+~8Шг =
у/Ъа^+ г Г = а гуу
У 16
4
4
’
53/
2 уТ
яш а =
5Р
5 ‘
0 ЛГ=ДаС = \Т а ,
а =
/.а = 30“.
Ответ: 30“.
187. О — центр окружности, вписан­
ной в ДАВС,
С
Ответ:
2уТ
ВС
190. РЫ = ^ - = 1, 8Р = у/3 ,
8Ы = ^8Р ГТЫ РГ = 2.
Ответ: 2.
191. 5Р = У5С2 - Р С = уТ,
РГ = ^ 5Р = ^ ; 3/С = а/3"; АГ = 1,5,
А
В
А4 + А5 + А6 + А1 = 90“,
А4 = А5, А6 = АТ,
тогда А5 + АП = 45°;
Аа = 180“ - (Д5 + АТ) = 135".
Ответ: 135“.
188. МС = \ а С = Ъ,
МВ = УСВ2 - М С = 4,
О — центр окружности, вписанной в
ААВС, Злвс = М С- МВ = 12,
= АВ + ВС + АС =16, Р = 8,
_ 5 _ 12 _ , .
г Р
8 “ ’ ’
ВО = ОБ = ВМ - ОМ = 4 - 1,5 = 2,5.
Ответ: 2,5.
104
ДААТ сл ДЗ/АС, 3/Г АГ
3/С АС’
М С- АТ 3 гг
откуда ЛТ = — ^ — = 4 а/Т,
д ге = уЛЁТг + Ш г =
8лве = ^ ‘ АВ • ЛР =
4 ’
д а
4 •
Ответ:
д а
4 •
192. Пусть АС = ВС = а,
ЫР = \ ' ВС = ^ , ИР = Щ -,
5ШР = \Ы Р • 0 Р =
“
4
»
:
<?<Ъ
8
—1 • 2 .
Ответ: 1 :2.
193. Пусть АС = ВС = а, тогда
5 ^ = АР • РО = ^ ;
5ТУ = | , РТУ = АТУ81П 60° =
• 2.
Ответ: УЗ”: 2 .
197. РТУ 1 АС, ОТУ 1 АС. Проведем
ЫМ ±А В , АТУ = ТУС = 3,
ОТУ = УОС2 - ТУС2 = 4, РТУ = 4,
АТУ • РТУ = АР • МТУ,
12 ,
откуда МТУ = -р
• ^и>с —
5ТУ 2УЗ= РТУ
™ = 3 •
Ответ:
2УЗ"
з •
194. Пусть АС = а, АО = 5 0 = | ,
дУТ
ОТУ = ОА 81П 60° = ^ р - ,
«УТ
ОТУ
5ТУ = - р - , соза = ж .
м о = Уоту2 + мту2 =
1
У544”
5 ^ д = | • АР • МО =
Ответ:
195. Пусть АС = СВ = а, 8ЛВС = ^ а2.
аУ2
АВ = а V I, АР = РО =
2 ’
ЕМ 1 А Р , Р М = ^ О Р = р р ;
ТУМ1 АС, ТУМ1 АС, ТУМ = | а ,
ые
= уПш г Т м ы г =
5 ^ с = ± АС-ТУР = ± а2 УГГ,
$АЕС ‘ ^АВС = УТТ: 4.
Ответ: УТГ: 4.
196. П усть АВ = ВС = а, АС = сЫ1,
а<1
АР = РО =
Проведем РТУ 1 АР, ТУР = ^ СВ = | ,
ОТУ = УТУР2 + РО2 = | УЗ",
5 ^ = |-А Р -О Т У = ^
,
Ответ:
•
198. По условию 8А = 8В = 8С = СО,
тогда ОА = ОВ = ОС = ОО. АВСО —
прямоугольник, АОАР = 90°.
Ответ: 90°.
199. А5СО = 90° (докажите), О 0= 05,
Р $Вй ~ РАОС = & В "*■
■*"
~
- (АО + ОС + АС) =
= 2 + ОР + 2АО - (2АО + ОР) = 2
(АО = ОС, АС = ОР).
Ответ: 2.
200. А8ВА = 90°, АО = 0 5 = ОС (до­
кажите), А5 = 2СО = 5,
8В = УА52 - АР2 = 4,
. . = РС = р3 Ответ:
Л
соз 4.1
р3
201. А5 = УАР2+ 5Р 2 = 5,
202. АВ ш 6, АВАО = 60°,
АВАО = 30°, ВО = ^ А В = 3,
8 0 = /ВВ 2 + ВО2 = 5.
Ответ: 5.
203. ОО = 3, АО - 4,
АЕ = /АО 2 + ЕО 2 = 5,
АЕ • ЕМ = у АС • ВЕ,
94
48
откуда йМ = у , 5Е = 20ЛГ = у- = 9,6.
Ответ: 9,6.
204. Пусть АЕ = х, ВС = у, тогда
2АВ = х +у, АВ =
соз 60° =
АР = ~
1-
у у =у
208. О — центр описанной окружно­
сти, АВ = СЕ, АВЕА = 45е,
АЛОВ = 90%
АВ = 2К зш АВЕА = 2АО зш АВЕА,
откуда АО = 4 /Т ,
АВ = /В 0 2+ АО1 = 7.
Ответ: 7.
209. О — центр описанной окружно­
сти, ААБО = 30°, АО = у АВ = 2,
АЛОВ = 60°, АВ = АО = ОВ = 2.
Ответ: 2.
210. О — центр описанной окружно­
сти, значит, АВ = СЕ, СЕ = 2.
Ответ: 2.
2 1 1 . О — центр вписанного круга,
О М = О Е = 4 , КИ = АЕ = 8, АВ = 16,
АК О
18 А5ЛЕ = Ц ; 18 А8МК = - Ц ;
18 АВДУЕПе А5МЕ = 1 :3.
Ответ: у
205. С К 1 АЕ, пусть АВ = СЕ = х, тог­
да СЕ = 2х, но АВ + СЕ = ВС + АЕ,
6 = Зх, откуда х = 2 ,
ОГ = ВО = у = 1.
Ответ: 1.
206. АМ = уАВ = уСЛГ=4,
ОМ = у СУ = 4,
8 0 = /ВМ 2- ОМ2 = 3.
Ответ: 3.
207. АО = /А 52 - ВО2 = 6,
АОАК = 45°, ОЕ = АО у
- 3 /Т ,
откуда ОЕ || СМ, СМ = 2ОЕ = 6/Т .
Ответ: 6 /Т .
106
= (АВ + ЕС)М+ (АЕ + ВС) -ИМ
(АО + ВС = АВ + БС).
Ответ: 64.
212. ОМ = ОК = 0 5 = 1, АОАМ = 30%
АО = 2, АВ = /А О г +ОВг = уТ.
Ответ: 45".
213. 4АВ = 8, АВ + СБ = ВС + АО,
АВ ш 2, СКА АО, ААОС = 60°,
/Т
СК = СЕ 81П60“ = 43, ОМ = у ,
ВМ = у ВС = 1, ВМ = у ,
18 « =
ВМ
М/У
1
2'
Ответ: у .
214. Змсо —25МСВ,
± МС ■БС = 2 • ^ СВ • МС,
откуда БС = 2СВ. Пусть СВ = х, тогда
СБ = 2х. АБ + ВС = 2С2).
Имеем: АО = Зл. Проведем
ВК ± АБ, СР 1 АБ, КА = х,
АКВА = 30% АБАВ = 60°.
Ответ: 60°.
215. МР ± АР и МК ± АК. Тогда
ОР 2. АР и О К ±ЛЯ,
Ш А К = АМРА,
откуда следует, что АР = АК.
Из АО КА - А.ОРА имеем
АОАК = АО АР,
что и требовалось доказать.
216. АВАС = 180° - 100° = 80°. Со­
гласно ключевой задаче, АЕ — биссек­
триса угла ВАС, АВАЕ - 40°.
Ответ: 40°.
217. АЕ — биссектриса угла ВАС (за­
дача 215), тогда
ВЕ'.ЕС = А В :А С = 1 :4 ,
значит, ВС:ЕС = 5: 4.
Ответ: 5:4.
218. АВАС = 60°, АЕ — биссектриса
угла САВ (задача 215), тогда
АЗ = 180° - (АЕВА + АЕАВ) = 120°.
Ответ: 120°.
219. АЕ — биссектриса угла ВАС (за­
дача 215), а значит, и высота (так как
АВ = АС), следовательно, АЗ = 90°.
Ответ: 90°.
220. АС — биссектриса угла ВАБ (за­
дача 215), следовательно, АВСБ —
ромб, АЗ = 90°.
Ответ: 90°.
221. 9. 222. 5 и 6. 223. 12. 224. 3. 225.
12. 226. 14. 227. 245. 228. 11. 229. 35.
230. 9. 231. 1. 232. 56 и 24. 233. 2.
234. 20УТ. 235. 12 . 236. 24; 30°. 237.
14. 238. 14; 25.
239. ОС = У С, О2 - С, С2 = 4,
ВС = ОС • УЗ" = 4 УЗ",
86 = 3ВС • СС, = 36УЗ".
Ответ: 36УЗ".
240. МС = УМС? - СС? = 6,
д г = -М*-' - = 4^Т
^
81П60°
’
5б = 3ВС • СС1 = 96УЗ".
Ответ: 96УЗ".
241. МС = аУЗ". Пусть
АМ = а, АС = 2а, СС, = Я,
$ б. а м са ,мхс , =
+ *УЗ) Н,
$б. а в с а [в [с 1 = 6 а Я ,
“^б. АЭСХ,В,С,: 86. АМСА>
М1С1 —
= 3 +6уТ = 3 ~ ^
Ответ: 3 - УЗ".
242. МС = СС, = аУЗ", МС, = аУГ.
Пусть АМ = а, АВ = ВС = 2а,
$АСВ = ~ А В ■МСХ = о2 Уб".
5б = ЗАВ ■СС, = 6 УЗ" а2,
= ^ 2 ": 6.
Ответ: УХ: 6.
243. С,М 1 АВ. Пусть АС —ААХ - а,
тоща 5б = За?.
$лс,в:
СМ = У ев 2 - МВ2 =
с \м = у /Щ Т м с г =
= \^ 7 7 = ^ У Т ,
5члс,в = —
4 УТ
»•» 5°лс,в ■
• 5°б = 22 •
Ответ: -уу.
107
244. АЕ = -~2 ~’ Пусть АВ = ААг = а,
Д К « АМ!, 8б = За2, А М1 = §•
Проведем Д О || РР || МХМ || АА{.
КЕ = ТАР2 + РР 2 =
откуда х2 = 250,
1
1 ■>
8АСВ= 2 ^ 1
51Па = 2 л з т а = 75.
Ответ: 75.
3
246 (второй способ), зш а = у тогда
соз а =
_ ВС + ДМ ,
чводс “
2
г сс 9
а
3
"2 = 5 ’ С05 2 = 7 1 0 •
Пусть Д О = Зх, С[В = 7ПГ х,
Ответ:
ОБ = Т Д В ^ ^ Д Ж = х, АВ = ВС = 2х,
с д = Т д в ^ Г в с 2- = 76 х,
8б = ЗАВ ■СС1( 15076 = 3 • 2х • 76 х,
откуда х = 5,
245. Пусть С! С = х, тогда
МС = 7 Ж ? - Д С2 = 7 2 5 - х 2, а
ОС = 2МС = 2 7 2 5 - х 2.
0 С?+ Д С2 = ОС?, 4 (25 - х2) + х ^ 52,
откуда х = 4, ОС = 6,
СВ = ОС 73" = 6 73,
5б = ЗСВ • СД = 72 уТ.
Ответ: 7273".
3
246. (первый способ). зш а =
тогда
&асв ~ ОВ * С|В = Зх2 ^ 75.
Ответ: 75.
247. ОС = 373, ОС = 273",
5^ = ЗАВ *А 3|,
2
откуда А ^ = 5, М3/ = ^ АВ, откуда
М З/= 4, М ^ = ^ А ^ .
Имеем: М, Д = 2,
ОД = 7 р 1 р 2+ ОР 2 = 7 2 5 + Т = 277",
м ы + м,ы, л
, гя_
^мл/длг —
^
' ОК^ — 6ТТ.
4
соз а = у
АВ2 = Ж ? + ВС\ - 2АС, • СВ • соз а,
находим
4
(АС, = С,В = х),
СС, = 7АС? - АС2 = х V I ”,
= ЗАВ • СС^ 9
15076 = Зх2 V I " •
108
9
1 + соз сс = у
_ _3^_2 ^Тп16
’
■^вцл/.с _ 719
^ “ " 16 -
АВ = х ■у[ \
4
248. соз а =
4
1 + соз а =
Ответ: 67Т.
9
„
га 9
а
3
оз 2 = 5 ; 008 2 = 7Й Г
Пусть РО = Зх, АР = 710 х,
О К ^ у/КР2 - О Р 2 = х , ОБ = |О Р ,
3
откуда ОБ = ^ х, АВ = 20В = Зх,
М К = КС = 2х. КР2 - КС2 = РС2,
из Юх2 — 4л2 = 24 имеем х = 2.
8б ш
• СС, = 9х • 4 /5" = 72 / б -.
Ответ: 7 2 /6 ”.
249. АС?! — куб. Пусть АВ = а,
8п = Ьс?, 80СН= с?, - ^ = 6.
255. СС1 = СЫ =ВЫ =6, АВ= 12.
V = Восн • Я = у АВ • С// • СС1 = 216.
Ответ: 216.
256. СЫ2 = ВЫ • ЫА, СЫ = 4.
4/3"
СС1 = СЫ ' Х§ 30" = у .
и осн
Ответ: 6.
250. 4АЕ = 16, АВ = 4; В„ = Вб + 2В0СИ,
= РаВСй ' - ^ 1 »
откуда АА! = 1 , В„ = 16 + 32 = 48.
Ответ: 48. 1.
251. С,Е = а/2". Пусть ЕС = а,
ССУ= ЕС = а,
А а д Е — прямоугольник (доказать).
= АВ ■ЕС! = я2 /Т ,
Вб = 4АЕ • СС1 = 4а2,
^45,0,0 : $б = / 2 *'• 4.
Ответ: / 2": 4.
252. Пусть АЕ = АВ = х, тогда
ВЕ = х /2 , В,Е = 2х/ 2 (А1 = 30"),
ВХВ т х / 6", В** =
По условию имеем:
8 (1 +
2 /6
) =
2Х 2
+
2Х 2 (1 +
4Х 2
Ответ:
257. ВЕ = 3, СЕ = /С В 2 - ВЕ2 = 4.
С1 С = СО = СЕ - ОЕ = | ,
V = 8 • Н = у АВ • ЕС • СС1 = 30.
Ответ: 30.
258. ЕВ = 6, ЕС = /В С 2 - ЕВ2 = 8.
СС1 = СО = | СЕ = у .
Р = В ■Я = уАВ • ЕС • СС, = 256.
Ответ: 256.
8.
/ 6.
259. АЕ = ЕВ, ЕС =
2 /6
),
откуда х = 2 , 8б = 8тл - 2Х2 = 16/6".
Ответ: 16/6".
6 • АВ • АА,
253. Вб: В ^ е - А Е - ААХ
6АВ
АЕ
У = 8 0СН- Н = \ а В -С Ы - СС, =
6АВ
= 2/3.
АВ/3"
Ответ: 2/3".
254 В .-В
- 6АВ • ВВ, ~_ 26АВ
_
Д дадв ~ В Е . щ
АВ ~
254.
Ответ: 3.
С С ,=О С = В = ^
=^ ,
V = В • Я = у АВ • ЕС • СС, = 300.
Ответ: 300.
260. У = 8 - Н .
8 = / р (р - а)(р - Ь)(р - с) = 84.
л л „ п аАс 65
4В ” 8 ’
СС, = ОС •
30" =
24
V = 455>/3"
2 '
455/3"
Ответ:
109
261. ВВ,С,С — квадрат, ВВ, = ВС = 2.
V = 8 • Н =
ВС2 Л
ЛС =
СС, = 2уТ.
Ответ: 2уТ .
СМ
СС, 1
СС,
262‘ Ж ? = О ф 3 = “1 2 "’ <яж»да
СС, = 4. ОС = УОС?- СС? = 8уТ,
5С = СС • V3" = 8 УГ.
У= 8 ■ Н =
Ответ: 384УТ.
263. С,С = Я = ^ ОС, = 2уТ.
ОС = \ /ОС? - С, С2 = 6,
ВС = ОС ■Л = 6 УТ,
• СС, = 162.
Ответ: 162.
264. Пусть АВ = х, тогда 3 ^ - —^—.
V _ ЪЛ
Зммдв
3
откуда 6 = 2уТ.
С, О = УОС* + СС, = | Л Г .
Ответ: ^ ЛГ.
265. ^.ЯОБ = 60*. Я Б * 2, ОС =
БО = ЯБ • с*8 60* =
ш
3 •
О1/Т
АВ = ОС • Л = 4.
7= 5 • Я =
АВ2 Л
4
2 = 8 Л".
Ответ: 8уТ.
266. Пусть МВ = 6, ВВ, = Я,
110
24
12
6 уТ
3 ’
Я = 2^}- = 2УТ. 6 = Я.
267. АО = 4 0 0 ,, откуда ОО, = 1 .
ВО = ВВ, = 200, = 2,
ВС = ОВ Л = 2Л ,
V = 8 • Н = АВ2 8Ш 60° • АД, = 12Л .
Ответ: 12Л.
268. ВВ, = ВО = АВ = АО = 2.
V = 8 ■Н =АВ2 8ш 60° • ВВ, = 4 Л .
Ответ: 4Л".
269. Пусть А, В, = а, ВВ, = Я.
У = ( ? -Н ,
** Л "
У = 3 АВС'Н , 8 >/3" = —7 — • 2 ,
4Л
откуда х = 4. АВ = ОС •'/Т. ОС =
3 •
& •Я уТ
^ м м ,в ,в — Ъ ' Н ,
V = 5 ■Я = “ БС2 УТ ■СС, = 384УТ.
У= 5 • Я =
26 Л "
В = 4аЯ,
<*>
(**)
V _ а
3 ~ 4‘
_
9а/5"
а
По условию имеем
= 4 ’ откУда
а —3. Подставляя в формулу (**),
имеем 12уо = 12Я, Я = л/о.
Так как В, Я, = з Л , то
ВО, = уГв Щ Т в ^ = 2 Л . А1 = 30°.
Ответ: 30°.
270. 4АВ - 16,
АВ = 4. В Е 1 АО.
ВБ =
= 2.
ОБ = АВ. ВО = УВБ2+ ОБ2 = 2 Л ,
ВВХ = ВО • 18 60* = 2713",
V = 8 ■Н - АВ • ВЕ • ВВХ = 16715.
Ответ: 16715".
МО = ^ МС = 2 73", ОО = 2, / 1 = 30".
Ответ: /.1
= 30е.
271. АЕ = — ~ ВС = 2,
2л/Т
ВЕ = АЕ-1§ 30° = у Ч Е й = 8.
в о
=
Т в в ^ Т о Ё 3" =
О твет:
- у .
С
ВО = 2ВО • зш 30“,
100
откуда ВО = ; у , ВВХ= ВО 18 30° = у .
Ответ:
22473"
9
272. Пусть ВВ[ = ВЕ = 2а,
^ОСК 3
о2 73"
2 ’
о2 73" 373"
2
’
2
2'
"
откуда а = 1. V = 50СЧ • Я = 373".
Ответ: 373".
273. П усть АК = а.
?
-
осн
9с
С
=
осн
от-
^
соз А 1’ осн соз А Г
куда соз А1 = у , А1 = 60°. Пусть
МО = а. СО = 2МО = 2а,
1Ю = СО 18 а,
ГЮ = ОМ 18 А1,
значит, СО 18 а = ОМ\% А 1,
ОМ 18 А1
аТЗ"
73"
СО
“ 2а “ 2 '
Ответ:
73"
300. ОС = VОС2 - ОО2 = 4,
АВ = О С - V I = 473", ОМ = у О С = 2,
5 ^ = 4 ^ , * = !<■>
2
ОМ = 7М 0 2 + ОО2 = 713",
^ ' *АЕ&4ДД = 6.
Ответ: 6.
5Лж = | А В * О М = 6 7 3 5 " .
274. ВЕ = 2АВ = 4.
473"
ВВ, = ВЕ 18 30° = - у - .
И= 5Я = | а В 2 73" • ВВ, = 24.
О твет: 6739".
301. Пусть АВ = АО = а,
МС = ОМ = 7 АО2 - АМ2 =
аТЗ"
2 ’
Ответ: 24.
=
275. 124. 276. 188. 277. 1416. 278.
_ 3А В - ОМ
220 + 2473"; 70. 279. 288. 280. 34; 20;
18. 281. 25; 25; 30. 282. 5. 283. 2. 284.
2----- + 5 ^ = 73" • а2,
576. 285. 3. 286. В 2 раза. 287. 30.
973^ = 73" • а2,
288. 36. 289. 780. 290. 3. 291. 3. 292.
105. 293. 48. 294. 3060. 295. 45. откуда а = 3, ОМ = ^1 • МС = у73".
296. 100. 297. Пусть АВ = х, тогда
МС = 673" 8/ьк = 6х, 72 = 6х, откуда
Ответ: у .
х = 12 .
111
302- ^
= соГАЕМО’ ^ ш о = 60°’
тоща 8 ^ = 28осн,
+ 5 бок - З^осн’
38осн = 48, откуда 8МН= 16,
8 пол = $осн
АЕ2 = 16, АЕ = 4.
Ответ: 4.
303. Пусть АО = а. Тогда
дУ2
_
КО = ОС = у , АС = а/2",
306. ЕВ = АВ 18 60' = 2/3",
А Е = 2 А В = 4, АЕАЕ = 90",
'Убок = 2 5 ^ ^ + 25^щ = 4/3" + 8.
Ответ: 8 + 4/3".
307. 5бок = со$ 60°’ отк/^ а ^осн = 2»
5 ^ = АВ • АЕ зш 30",
откуда АВ = 2.
Ответ: 2.
308. АЕ = у[А В г Т Ш г = 5,
= <5/5 +
ОЛ/ 1 ЕС, ОМ = у • АЕ = у,
а /Т
2 ’
5** = 2ЕС • ЕМ = а 2 УТ,
КМ = 4 0 К 1 + ОМ2 =
5лкс = ^ С - О Е = |
=
28ддК
+ 50СК +
2 83АКО
лкп ~
= 12 + 20 + 16 = 48.
Ответ: 48.
309. ВЕ ± АЕ, ВЕ = у АВ = 2,
АЕ + ВС
ВЕ = АВ • ВЕ = 8,
^оск “
5 =
? = 16.
* соз 60
$бок '• &АКС = 2/3".
Ответ: 2/3".
304. А 1 = 60е, пусть АЕ = ЕГ = а,
Ответ: 16.
310. ВЕ ± АВ, 56 “
откуда
ОТ = §, ОС = ^ ,
*ш - 4 . 4 Ц & . В Е -
ЕО = ОС 18 60" = у ,
= АВ • ВЕ = уАВ 2 = 4, АВ = 2/Г .
ЕГ = у!КО2 + О Т 1 = у ,
5** = 2ЕС • ЕГ = а 2 /Г ,
В*ет = ОТ ■КО = у ^ ,
^бок:
= 2/42 : 3.
Ответ: 2/42": 3.
305. АЕ = ВЕ = 4, ОЕ = 2,
АВЕС = 60", ОМ = ОЕ яп 60' = /Т ,
ЕМ = уГ Ш Т Ш = 2,
1
^бок ~ «2 Р
Равсп ‘
—
Ответ: 16.
112
8 0сн
Ответ: 8/Г .
311. ОМ = /Е М 2 - ОВ2 = 3. Пусть
х/3*
АЕ = ЕО = х, МО = у - ,
„ х/3 ”
„ —3 = —у -, х = 2 /Т ,
5„ = у • 6 • АЕ • ЕМ = 30/Т.
Ответ: 30/Т.
3 /Т
312. 8„п — 8к
"б +1 8~.и,
“оси» В„„
“ осч — 2 ’
6 • а е 2/ Т з / т
з /Т а е 2
_
ч
откуда АЕ = 1.
Ответ: 1.
313. Пусть АК = КО = х, ОМ =
х\1ъ
РМ = хЛ, РО = 0М1в 60° = \ х ,
&осн
_ З Л • х2
_
9
* б соз 60 о = З Л х2,
318.
= V,ЗВОС - У$СОО
Пусть У5^ 0 = У, тогда
~ У$АОО‘
+ УзАСО ~ ЗУ.
3
1
По условию 3V = ^, откуда У=
ЗАВСй
= 4У = 1.
= ВО ■РО = ^ х г,
8С:5КРС= 2 Л
Ответ: 1.
319.
У за в
э = ^ У О Е ± (А5В),
Ответ: 2 Л
314. А ,М 1 АВ, А ,М = 4,
Аб + А 2?!
5$ = 3 • 5лдв,в = 3 *
л
• А,М =
= ЗА4, • А,М = 96.
Ответ: 96.
3-ГВС + В.С.)
315. 5 б = ---- -— ^
=
КЛШ> = 4 5 А 5В •ОБ — 0 5^д ■ Л,
тогда ^ У=
5} АЗВ
.сп -—
ЗЛ
3 •V
2
• А, откуда
3 А5В
6У
• А’
5ЛВСО—4^Л5В_ ^ •
12
320. По условию зш а =
= \ м К ■(В Л + 2г Л ) =
=
^
соз а =
, тогда
5
13’
• МВ • (В + 2г),
что и требовалось доказать.
_
„
4 (СО + С О .)
316. 8б = — -----2
‘ м л: =
= 2МК • (СО + С,О,) =
.
а
\ / 1 — соз а
5ш 2 - V
2
2---- = Л Г '
Пусть ОС = 2х, тогда
СВ = УТЗ" х,
СВ2 - ОС2 = ОВ2,
13л2 - 4л2 = 9, х = 1,
= Л • МВ • (ВО + 0 ,0 ,),
что и требовалось доказать.
317. Проведем
ОО 1 (АВС), ЕМ 1 (АВС),
АООС <л АЕМС.
ЕЮ
ГЮ
4
ОО
Имеем
ЕЛ “ 3’ Т0Гда
ЕС
ЕМ
1
ОО
4
гДАОС __
3'
} ^ Б М
Ответ: 4 :3 .
ОВ = УСВ2 - ОС2 ■ 2 Л ,
в в = у'ов 2 - ОВ2 = Л ,
ОВ
вв
АЗОВ </>ДОВВ,
5В
ОВ’
откуда 5В =
1 1
^ алс = ^ • ^ • АС • ВО • 5В = ^ Л.
Ответ: 4 ^ Л .
321. ^
(докажите).
= Б»»: 8 ^ с = ВВ: ВС
113
УрАВЫ _ ВЫ _ а
т/
_ л
У
— кгп ~ 3» откуда гд^рдг —6.
КЛ4УС
МО = АО 18 30* =
^У1"
^ДАВС = УрАВЫ + УрАЯС ~ ®*
322. АМ = ЧАВ1 - ВМ* « 8,
5 ^ с = ВМ • АМ = 48,
АО = БО = К =
айс _ 25
45 " 4 ’
Г = 15Я =
Ответ:
328. 5 0 1 ЛС, 5авс = — ^
1
У = ~ 8 АВС - 0 0 = 100.
Ответ: 100.
323. АО = ОВ= 1,
ОБ = АО 18 30° =
&авс =
3
' СО = 1
уТ
1
,
32У^
= уТ.
8 0 = у/3, У = 1 5 Я = 1.
Ответ: 1.
329. 5 0 1 АВ, ЛО = 5 0 = 2,
АСАВ = 45% АС = АВ соз 45* = 2УТ,
1
8
5 ^ с = \А С • СВ = 4, У = | 5 Я = | .
Л
Ответ:
у8
330. Б М 1 АВ, М Б = АБ зш 60° = 2у/3,
Ответ:
324. БО — высота пирамиды,
АЫ —ЫС — 3, В Я = 4 ,
8авс = А Ы ‘ ВЫ= 12,
ОР = КО = - МО = УТ,
8 = АВ ■М Б = 8уТ, У = у 5 Я = 8.
Ответ: 8 .
/■= ОЯ = ОО = | = | , V = ^ 8Н = 6.
Ответ: 6.
325. 5дВС =
331. Пусть АО = а,
Е Б = МЯ = ЛО зш 60° =
5б = 4,
ОЯ =
У ~ 2"5ддс *-4^ = 4.
Ответ: 4.
326. АВСБ — прямоугольник
(доказать!),
АС = '^АБГ+БСГ = 5,
АО = ОМ = | , V = ^ 8 Н = 10.
Ответ: 10.
327. АВСБ — квадрат (докажите!),
АС ш 4у/2, АО = 2уТ,
114
сЫТ
2 ’
ВО - О Я *8 60° =
ЛОВЯ = 60°, БЫ = ОЯ с*8 60° = | ,
*лл//у= 3 ^д//лг • ОЯ =
В
—Л с
VГ АВСЭ " 3 ^АВСИ
. о
р
и г “
,
- Щ
3
»
К о м /у : У г а в с о = 1 : 8.
Ответ: 1 : 8.
лд _
332. ЛЯ = ---- 2------= 2, О — центр
описанной окружности,
ОЛ7 • АИЩ 30’ = Н р ,
= |я ( / г ? + л? + е д ,
ЫВ = АВ - АЫ = А,
что и требовалось доказать.
336. 288. 337. уП . 338. 26. 339. 768.
340. 22 + уГ Ш . 341. 540. 342. 448.
343. 36. 344. 18. 345. 3. 346. 120.
347. 48. 348. 1800. 349. 16. 350. 60.
351. 168. 352. 54. 353. 36. 354. 2 и 12 .
355. 4 р 356. 8. 357. 2 и 8. 358. 1900.
359. 1900. 360. 109.
ВО = у/ИВ1 + БЫ1 =
— 2Л
зш 30' ”
’
Л ~ ОА —
“
”
3 ’
361. 8б: 80сн = ЪгКН: лК2 =
О
2
с
л/5Т
1
МО = ОА1830" =
У = ~5Н =
2Я 1. Я
К
2’ Л
1 И_ш 1
4’ 2К 8 '
1 АО + ОС „ „ „ л
16^35"
= 3 ------ 2------ О * ■МО = ~ 2у™.
Ответ:
Ответ:
27 •
333. ВК = ~ А В = 2,
АО + ВС = АВ + СБ - 8,
ОЫ = ОМ = ~ В К = 1, У = 1 5 Я =
. 1 . 4 2 + * . * . * , . »
Ответ:
3’
334. С К 1А О , СК= 2,
ОМ = 0 ^ = ^ С Я = 1, У = | ЯЯ =
1 ЛВ + ОС
- А В - МО =
=3 '
2
1 АО + СО
АВ - МО = 2.
3 '
2
Ответ: 2.
335. У - ^ Я ( $ + 5 2 + У ^3 7 ) =
2 лт
362. 8б: Вдвсй ~ 2т = л.
Ответ: л.
363. У —лК2Н. Так как Я = 2К, то
У = 2лВ?. 2лВ? = 2л,
откуда К = 1, Я = 2. 8б = 2лКН = 4л.
Ответ: 4л.
364. У = лВ?Н, АВСО — квадрат,
АО = СО = 2, Л = 1, Я = 2, У = 2л.
Ответ: 2л.
365. Пусть СО = Я, тогда АС = 2Я,
АО = Нт/Т, Я =
У = *К‘Н = ЫНг ^
4 ’ 4
откуда Я = 2, Я =
= 6л,
= АО • СО = 2ЯЯ = 4\Т.
Ответ: 4уТ.
366. ЗАМ = 3, АМ = 1, МО =
=|я
• (АО2 + ДО? + АО • ДО,) =
= | Я (2Д2 + 2К1 + 2Л Д ) =
уТ
л V3"
АО = 2 У = 4 лЯ2Я =
24 ’
115
<2
8п = лЯ1 + лЯ2 = у л.
_
луТ
У = | л ( 2 У 5 ) 2 • У5
л
20лУ5~
Ответ: — ^— .
3
Ответ: - 24-; у л.
367. Пусть АМ = АЯ = а,
МЫ = у/АМ2 + АЫ2 = аУТ,
371. СО 1 АВ, АО = 3, .ОС = 4,
У ** - 2 ^ с =
мо = \ м ы = ^ ,
■ОС2 • АО = 32л.
Ответ: 32л.
372. 8т& = 8ад + 8дс + 8со —
= л М В • АВ + 2л М В • ВС + л К С • ОС =
8 б • ^ОСК~ У^"-
= 2л МВ • (АВ + ОС), АВ = ОС = 5,
Ответ: УТ.
368. 8п : 8б = лЯ (I + Я) : лЯ1 =
АМ = А О ~ ВС = з, МВ = КС = 4,
8т& = 56л.
1+ Г
Пусть АО —Я, /.АМО = 60*,
о
л/т^Т
У = зш 60° = Ц -, 5п :8 6 = 1 + ~ .
I
Ответ: 56л.
373. Пусть АС = Я, ОС = ОВ = г,
У т. в. = ^ (Уу. к. АДВА “ У к с в в ) =
= 2 ^ л Н (В ? + г 2+Я • г) - у л г 2Н | =
Ответ: 1 + Щ-.
пу]3"
369. Пусть АМ = АВ = а, МК = у у -,
= | лЯА (Я + г), Я = 2г, Я = г,
= 4лг3, СО = г = и
2 ’
ок = ^мк = ^ р , ае = |,
Уте. = * П .
оа = VIк^Тоа2-= у р ,
■^ЛМВ “
О2 У5~ „ _
_ ла2 УТ
- ,
- Я/С/ . ,
У2Г
*АМВ :5 Я= 7л •
Ответ:
370.
^т.<* = ^ (У 'у к одвС ~ У к В,Ав) =
= 2
У2 Г
7л ‘
лА (А2 + г2 + Аг) - у л г2 л| =
= у лАА (Я + г) = 4 лг 2 А, АВ = 4,
= | л • СВ2 ■АС,
ОО = А = ^ АВ = 2, АО = г = 2уТ,
СО = у/А О ' ОВ = 2,
СО = у/СО г Т Ш г = 2уТ,
Ужа = 96л.
АС - у/АО2 + ОС2 = У5-,
116
Ответ: лУТ.
374. Пусть АС = А, АО = г, АЕ = А,
Ответ: 96л.
375. 10. 376. Зл. 377. 48. 378. 8.
379. 20УТ. 380. 90°. 381. 4 и 14.
382. 13. 383. 5УЗ". 384. 9. 385. 500.
386.
390.
394.
399.
4VI. 387. 216°. 388. 30°. 389. 5.
К - г . 391. 20. 392. 30. 393. 4.
2. 395. 4л. 396. 3. 397. 8. 398. 36.
VI
\^3~
N1? = -у-, Ю = - у ,
Д&4,С>1 " А5/-0,
0 1 С1
ОС
= ^0
, л
VI
откуда ДО , = - у ,
501 ъ а V I - 2Ь
50' а
аЧ Т~'
Ь_,
Ш
а
а ’
откуда ^ (1 + V I ) = 1 , ^ = 1 + уТ.
Ответ: 1 + уТ.
Д С .- Д 0 ,- ^ = 4 .
Ответ:
3‘
400. РО = 4. ДА 50! «о АР50.
ДО, = - |Р 0 =
О, С1 = ^ у , Д 015 С1 со Д 05С ,
8
3’
8
ДО , = ДО, V? = ^ уТ ,
00! = у 5 0 = 1,
УАС = АО • ПС • 00 1 = 128
Ответ:
128
401. Пусть 0 0 1 = С1 С2 = В2С2 = х,
403. Пусть ВС = а,
тогда Рш = \ в й =
3
йуТ
6 ;
<тЛ
ВВ, = 2Я,„ =
3 •
С(\
1
- вс ~
а = 30°.
В
И
/V • л
404. Пусть ВС = а,
Я _
-
к
Ответ: 30°.
С
6 >
3
В, С, = 0 1 С1 уТ, откуда 0 1 С1 = —у ,
»—
ЛВ
ОС = 77^ - 2а/3",
7Г
501 = 5 0 - 001 = 4 - X,
С, О,
50,
Д5 О1 С1 </>Д50С, у у =
„
д:
Имеем
4 -х
„ ,
^—, откуда * = 2,4.
СС1
Х%а~ МС ~ 3 ‘ А
Ответ:
405. Пусть ВС = а,
Ответ: 2,4.
402. Пусть С5 = СП = а,
С,С2 = ОД, = 4, АС = йуТ,
о с - Г ^ с - 2^ .
аУТ
5 0 = УС52 - ОС^ =
На рисунке изобра­
жено серединное се­
чение.
СС, = 2Я = ^ у ,
117
ВС1 = УСС? + ВС1 =Щ ^-а,
8ш а =
АО = а. Яш = | , ВО = аУТ,
ВР
3
ВСг ~ 4*
^ О = уГ Щ П в ^ • суТ,
Лш:5 1^ = уТ : 6.
Ответ: ^3": 6.
Ответ: -г.
4
409. ОМ = ^ А Р (докажите), АВСР —
406. Пусть ВС = а,
тогда
квадрат, 20С 2 = ОС2, ОС = АО = 4,
ОМ = 2.
Ответ: 2.
410. ООх ± (АВС), ОС»! = Я Ш= 2,
АО = АВ = 2ВМ= 4, ВО = 4^2",
СС, =2ЯШ= ^
(рисунок — сере­
динное сечение),
0 ,0 - ф .
«вод = ^В О • ОО, = 4уТ.
о 1с = с с 1,
Ла - 45’.
411. АВ = 5,
Ответ: 45°.
407. АМ = МВ, пусть
.ВС = л,
С С ,(рисунок — середин­
ное сечение),
а>Г5
СМ-
с1м = \/с м 1 + СС? 5асв = \ а В - С 1М = ? ^ у
^вв,с,с =
• СС[ = —д ,
5дс,в: Звв&с = ^ 3 " : 4.
Ответ: уТ Т :4.
408. АВ = РС =
= СС, = 2КШ
(рисунок — середин­
ное сечение), пусть
В
л ш
р
(рисунок
—
серединное се­
чение),
м
к
5 = ^М Ы - ЫК= 6,
„ _ м к +к к +м к _ * „ _ ,
* "■
2
’ «
Ответ: 1.
N
412. ЕК = МЕ = 3,
Л(Е = 4
(рисунок — сере­
динное сечение),
р _1
ш — р*
5 = ЕК ■Ш = 12,
М
Е
6
К
Р = ^(М Ы + ИК + МК) = 8,
К = 1.5Ответ: 1,5.
118
413. А ш
КГ = 2х,
N
КТ2 -К Р * = РТ2,
откуда х = 2 УЗ",
р\
РК = 6, лгр= 8
(рисунок — сере­
динное сечение),
5 = РК • ЫР = 48,
/?Ш= ± Я Р = УЗГ.
Ответ: Уз".
Р = ^(М Ы + Ы К +
+ М К ) = 16,
М
Яш = 3, ССу ш 2КШ= 6, С Т 1 АВ,
ТВ = 6, СГ = 8, АВ ■ТС = АС ■ВЕ,
откуда В„г.
Е = -48
у,
ВСХ= '/В С *+ СуС1 = Ш Е ,
АВЕСу = 90* (докажите).
ЕСу = Уве? ~ В Е 1 = ~ 'Г Ш .
417. ООу = ~ А А у = 4 , АуВх = ДО, УТ,
откуда Д 0 ! = 3,
Д О = УД О,2 + Об\ = 5.
Ответ: 5.
а2V I
418. Пусть АВ = а, 8 ^ = —у ,
^ уТ
27УЗ" - —у , откуда л = 6уТ.
ОО, 1 (Д Д З Д , а = АуОу V I,
АуОу = 6, ОО! = УД О2 - ДО? = 8,
Ответ: ^ У274.
414. МО = 8,
ОР = 6,
МР = 10
м
(рисунок — се­
рединное сече­
ние), МО • ОР = МР • ОЕ, откуда
ОР = 4,8.
N п
Ответ: 4,8.
415. 4МИ = 16,
МЛГ = 4,
ЫЕ = 2,
РШ= \М Е = 1
(рисунок — сере­
динное сечение).
п К
п
{ • Л"
тД
Дт
/30°'Х . , /т \ р
Мт Е
Ответ: 1.
416. РТ = М Т - М Р = 6 (рисунок —
серединное сечение). Пусть К Р = л,
тогда
АД = 2 • ОО! = 16.
Ответ: 16.
419. О1 О = ^ Л Д = 4 ,
ДО, = УЛО2 - ОО? = 3, ОуМ = |,
V II
ОТУ= Уоо? + ОуМ2 =
2 •
Ответ:
уТ З "
420. СМ 1 АВ, М В = 3, МС = 4,
п г - р - аЬс - 25
т ' - К ~~48~Т'
1
У2 б"
ОП —2 М ~ ^ *
= У опг + п с г =
у .
27
Ответ: -у .
421. АД — диаметр описанного шара,
АВ = УАВ? - ВВ2 = 8,
119
К = ~ А В = 4.
Ответ: 4.
422. ООх = ^ СС, = 4,
ОС = 5, О,С = 3,
= 2 0,С,
откуда АВ = 3.
Ответ: 3.
423. ОО, = ^А 4, = 20,
по условию ЗООУГ = 75УЗ”л2, откуда
л = 2, Яш = 6.
Ответ: 6.
429. АО = у Рдвсв = 2УЗ~, ОЕ = УТ,
0 ,0 = УОО2 - ОО? = 15,
51П30°
откуда ОО = 15.
а
5
^ а
3
откуда соз у = у р ". Тогда
2 = 5'
Пусть Ощ = ОО, = Зл,
ОО = 5 л, ОС = 10х, а ОС = ЮлУТ.
АВ2 ^
Так как
= — ^— = 75УЗ" л2, то
— 20 О
Ответ: 15.
424. Пусть ОО, = ОМ = г, тогда
ОО = 2г, 4.АОО1 = 30*,
тогда 4.1 = 60°.
Ответ: 60°.
425. АО, = АМ = а, тогда и ОМ = а,
АО = 2а, следовательно, 4.АОО, = 30°.
Ответ: 30°.
426. АМ = АО, = 2, О, С = 4,
а3 = О, С УТ = 4УТ, О ^с = 12УТ.
Ответ: 12УТ.
427. Из условия
СО, = 2 0 0 + 20М = 2 (ОО + ОМ),
так как ОМ = 0 0 ,, то СО! = 20 0 ,. Но
СО, = 2АО, значит,
2АО! = 2 0 0 ,, АО1 = ОО,,
следовательно, 4.1 = 45°.
Ответ: 45°.
Зп
. а
1
Хё2 = 73'
значит, 4 .0 ,0 0 = 30°, а 4.а = 60°.
Ответ: 60°.
430. Пусть 0 0 , = 0 ,М = л. Так как
4.а = 30°, то
50, = 2л, 50, : 0 ,0 = 2 : 1,
что и требовалось доказать.
431. ОА = у АО = 3,
8 0 = у/ 8К2 ~ ОА2 = 4 , 4.1 = 4.2,
тогда ОО, : 0 , 8 = О А : 5А,
ОО1 :0 ,5 = 3 :5 .
Пусть ООх = З л , 0 , 5 = 5л, тогда
1
3
8л = 4, л = 2 » тш= Зл = 2 л
Ответ:
у3
432. Продолжим ОО, до пересечения с
поверхностью шара в т. М,
ОМ = 2 0 , 4.0АМ = 90°,
АО2 = ОМ • ОО,.
Тогда А2 = 20А, откуда О =
Данная
формула справедлива для любой пира­
миды, вписанной в шар. Докажите.
433. Ош= ^
(задача 124),
Ь = ОС = 5, к - Р 0 Х = 4,
25
тогда Ли = -у .
лОтвет: у25.
434. Пусть ООх = х, ОС?! = АО, = 2л:.
Тогда ЛОАОх = 30°, ЛАОхО = 60°,
ЛАОхО = 120°,
/ ^ А О = / ^ О А = 30°,
значит, ЛОАО = 60°.
Ответ: 60°.
435. Так как ОхР = ОхВ = ОхС, то
МО = МВ = МС,
следовательно, точка М — центр ок­
ружности, описанной вокруг треуголь­
ника ВЕЮ. Но тогда / 3 = 2 /4 , и
Л1+ Л2 + 2 /4 = / 1 + / 2 + / 3 = 180°.
Ответ: 180°.
436. ДС?! МО <л АРОК, откуда следует
ОМ
яс?!
ОС?
ОВ'
Но так как ОхО = ОхВ, то ОМ = МВ.
Подставляя значение ОМ, получим
мв
ро±
ЕЮ
РК"
437. Проведем ОхМ 1 (СРВ), М —
центр окружности, описанной вокруг
ДВОС (задача 128). Пусть
КМ —КО = х,
тогда ВО = 2х, а ВК = лг/З",
18 ЛВМК = у/Т, / 2 = 60°,
/ВМ С = 120°,
тогда / 1 = 60°.
Ответ: 60°.
438. Ох8 = ОхР = ОхВ, т.е. 0 Х — центр
окружности, описанной вокруг АВ8В,
в котором
0 5 = 8В = ОВ.
Следовательно, / а = 120°.
439. Из
С?! 5 = С?!А и
АМ = М5
следует, что
0 ^ 1 А5.
АОхМ8 Д5С?А,
тогда
8
или 5А ■5М = 5С?! • 50,
что и требова­
лось доказать.
440.
ОхМ ± (А50),
так как
0 ,5 = А = 0 !0 ,
то
М8 = МА = МР.
Пусть
ОК = КМ = КР = х (см. рис.),
тогда / 2 = 45°, / 3 = у - ,
ЛА8Р = / 1 = 2 /3 = 45°.
Ответ: 45°.
441. О — центр ААВС,
ЛВ • л/Т
А0 = — у -- = 3, АМ = М5,
КШ= АИ= '/АО1 + М ?2 = 5.
Ответ: 5.
442. ВЛГ = ЛГС, СМ = М5,
ВА = УСВГ+АСГ = 5,
ВЛГ = | с 5 = 1 , СЫ = ВЫ= 2,5,
СВ = УСЛГ2 + ЛГВ* = уТЖ Ответ: V7,25.
121
443. АО = ОВ = ОС, ЕО 1 (АВС),
АМ = М8 = ОЕ = 2, ВЫ = N 0 = 3,
АЫ = УАО2 - ВЫ* = 4,
ОО, = гш = 0 0 • 18 30° = у
5 ^ = } о С * А Я = 12,
<5Ш= 4л г „ = л.
аАс 25
А 0 = 45 = Т ’
УШ*
АЕ = Ш г Т О Е г =
8 *
Ответ: л.
449. 5Ш= 4л г 4лг^ = 64л, откуда
гш = ОО, = 4 . ОА = 4УТ,
МО = Я = ОА • 18 60° = 12,
ОЕ 1 ОС, ОЕ = 20А = 8УТ,
Ответ: } У881.
444. ОО = 4, 5 0 = У502 + ОО2 = 5,
5 0 = ОО = Ош = 2,5 (почему?).
Ответ: 2,5.
445. МО ± (АВС), О — центр круга
радиуса О, описанного вокруг трапеции
АВСо (докажите).
ОО = 20 81П 30°, откуда 0 = 4,
ВЕ = 0 5 = МО = 3,
ОМ = УОО2 + ОМ2 = 5.
Ответ: 5.
446. АВ = 2, АС = 2УТ,
1
2д/3”
АО = у АС = у р , 4 .0 ^ 0 = 30°,
Ои = 0 0 , = АО • 18 30° = у,
16
5 = 4 л 01 = ^ г Л.
лОтвет: -у16 л.
447. ОА = 3, 4.0,АО = 30°,
0 :0 = гш = ОА • 18 30° = УТ,
= } л г ^ = 4лУТ.
Ответ: 4л УТ.
448. Пусть АО = а, 50СК=
3 УЗ"
122
УТ
откуда с = 1. 0 0 = - у ,
За2 УТ
ОС = ОС = -т|§
гт = 16.
81П 60
^дмвсл - 1 5 Я = у ОС • ОЕ • МО =
= 512 УТ.
Ответ: 512 УТ.
4
, 4 , 4
450. Уш = у л г^, у л /^ = у л, откуда
гш = 0 0 , = 1, 4.ОАО, = 30°,
ОА = УТ, Я = МО = ОА • 18 60° = 3,
ОЕ 1АО, ОЕ = 20К = 2УГ,
АО = 4УТ, УМАВСО = } 5Я =
= 1 ^АО + О С ) . ^ > М О =
1 2АВ
2 УТ • 3 = 24.
3
2
Ответ: 24.
451. 4.1 = 4.2 (углы со взаимно-пер­
пендикулярными сторонами),
18 4.2 = у.
Пусть ОМ = Зл, 5 0 = 4л, АО = 6л,
Угар = у 5 Я . 48 = } (6л)2-4л,
откуда л = 1. ОМ = 3, 0 5 = 4. Тогда
5М = У502 + ОМ1 = 5,
ООу
ОМ
з ЛР _ „
_ а„
о ^ шт
ш 5 - 0 5 = 4 ' 0 0 ' - 3у'
1
3
0,5 = 5 у , 8 у = 4, У = 2' г ~ 2 '
4
П В - МП
^ (2МВ + ЛВ)
5И = 4яг2 = 9я.
457. АОВБ = ^ АМВБ = а,
452. Пусть ПС = ВС = 2а, тогда гш= а,
5Лч, : 5Ш= 2лг1: 4яг2 =
= 1:2г=2а:2а= 1 .
Ответ: 1.
453. СП = Я = 2г,
У ц : 8 ш = л г 2Н : ^ л г 3 =
_ о-.-3 . А
з_ 3
Ответ: 2 -
454. Я = СП = 2г,
^ л г г,
^
л
г
= -3
Ответ: 9я.
Ответ: у .
=
5
ч 9
^Ш= з я г ш= 2 я -
8 л
Од , г
3 ,
откуда г 3 = 6,
ОБ = гк = ОБ • с1б а = 2 с*8 а,
МП = Я = ПВ16 2а = 2 с1б а 18 2а,
Р = ^ д г 2Я = | ^яс1б3а • 1б2а.
О
Ответ: ^ я с1б* а • 16 2а.
458. АСОБ = 90‘ (докажите).
0 & = Б Е - СЕ, г 2и = Вт,
что и требовалось доказать.
459. а = 90* (докажите),
0 = 150" - а = 60",
За - 20 = 270° - 120° = 150°.
Ответ* 150е.
460. 0 ,0 2 1 (ЛВС), Л, С, = ОуВу V I,
О уВ у * УТ, ОО, = 1,
ОВ, = < Щ Т О у Щ = 2,
5й1+ = 2лгН = 4ят 2 = 4я УЗ(Г.
Ответ: 4я Узб".
455. ВП = ^М В = 2, АОВБ = 30е,
5И = 4яВ^ = 16я.
Ответ: 16я.
461. 0 0 2 1 (ЛВС), ВМ 1 ЛС.
м с = | л с = з,
ОП = гш = В П - 1б 30° = - у ,
в м = У свгТ м с г = 4,
5Ш—4яг —0 я.
ш
16
Ответ: у д.
456. ПВ = ^Л В = 3,
МП = У м в г г п в 2"= 4,
В02 = ^
=
ОО, = ± 0 ,0 2 = 1,
Кш = у [ Щ Т о ^ в Г =
С “—4Длш
&.тгТр- —
—689я
^ .
Ответ:
6 8 9 л
16 •
123
462. ОВ = 2 V I,
ВВХ = УОВ2 + ВВ\ = 3,
V = у Л2 к 81Па,
что и требовалось доказать.
Д(а = 0В 1 = ^О В ! = | ,
467. ВО = УАО2 + АВ2 = 5,
4
? 9
= з Я Л 2ш = 2 я -
в ш = | в о = §,
Ответ: у л.
Л2
463. Вш = 2^, где Ъ = МС = 4,
5Ш= 4яВ^ = 25л.
Ответ: 25л.
468. ВО = 2КШ= 10,
АО = УВО2 - АВ2 = 8,
к = МС?! = 1, тогда Вш = 8,
г/ _ 4
уш 2
»з _ 2048 ^
ш
д
гц = уАО = 4, V = л г 2Н = 96л.
Ответ: ^ г ^ -л .
464. ЛОМ В = у /ОЛ/В = 30°, ВО = 1,
О М - ^ С г - 2,
^
-
Ли = | ^ 3 . 5ш = 4яВ ^ =
Ответ: 96л.
469. 5Ш= 4яВ2, 16л = 4л В2,
Вш = 2, ВО = 2ВШ= 4,
АО = 2гц = УВО2 - АВ* = 1,
5Й1+ = 2лгч Я = я УТТ.
Ответ: л /ТУ.
2* .;
у Л .
Ответ: у л .
470. АО = уАВ = 6,
Л/О = \/АЛ/2 - АО2 = 8,
аЛс _ 25 ^ _ 4 _з _ 15625
45
4 ’ ш~ 3
ш ~ 48
465. В — точка пересечения прямой
МО с поверхностью шара.
/Л/АВ = 90°, МК = 2КШ
,
Ответ:
МА2 = Л/В • МО, Л2 = 2ВШ
Я,
откуда Вш =
доказать.
й2
что и требовалось
466. Пусть ОВ = а, тогда
^АВСй ~ "2^* ^ = ~3 ^АВС ^ = ~6 ^
По теореме синусов
- А - = 2Л,
зш а
откуда а — 2К 81Па. Подставляя, по­
лучим
АМ
81П30<г = 2ВШ, откуда Вш = 4.
5Ш= 4лВ2 = 64л.
Ответ: 64л.
472. Пусть О — точка пересечения
высоты конуса МК с его поверхно­
стью, /Л/АО = 90°, АЛ/2 = Л/О • Л/В,
/2
I 2 = 2В2 • Я, откуда Вш = тгг?, что и
2Я ’
требовалось доказать.
473. СК 1 АО, ВЛ/ 1 АО,
471.
К й = АМ = АО 0 ДС = 3, АК = 5,
Уш = | я ^ ш = 288я.
к с = зуТ. л с = у /а ^ гТ к с г = V5Т,
Ответ: 288я.
475. 5Л,,к = я I (К + г), 8Ш= 4Я&1,
ЛС = 2ЛШ5Ш60°,
откуда
й = 2КШзш а, откуда 2Яш =
-/ 52
= V -г ,
5 Ш =
4
л
Я 2ш =
™
л
5, =
.
208
Ответ: — я.
474. ЛС = 2ЯШзш 30°, откуда
= 6,
с
.с
” б.у.к • ” Ш
яй
зш2 а
_ I(К + г )зш2 а
~~р.
*
что и требовалось доказать.
125
ОГЛАВЛЕНИЕ
Справочный м атериал.............................................................................
1. Перпендикуляр и наклонная..............................................................
2. Задачи р а зн ы е ......................................................................................
3. Правильная треугольная призм а........................................................
4. Правильная четырехугольная п р и зм а...............................................
6. Неправильная п ризм а..........................................................................
7. Задачи р а зн ы е ......................................................................................
8. Правильная треугольная пирамида ..................................................
9. Правильная четырехугольная пирамида .........................................
10. Правильная шестиугольная пирам ида............................................
11. Неправильная пирамида....................................................................
12. Ключевые задачи .............................................................................
13. Задачи р а з н ы е ...................................................................................
14. Поверхность призмы .......................................................................
15. Объем п р и з м ы ...................................................................................
16. Задачи р а з н ы е ...................................................................................
17. Поверхность пирам иды ....................................................................
18. Объем пирамиды................................................................................
19. Задачи р а з н ы е ...................................................................................
20. Цилиндр. Поверхность и объем цилиндра.......................................
21. Конус. Поверхность и объем к о н у са ...............................................
22. Тела вращ ения...................................................................................
23. Задачи р а з н ы е ...................................................................................
24. Комбинация геометрических т е л .....................................................
25. Комбинация призмы с вписанным ш а р о м .......................................
26. Комбинация призм ы ..........................................................................
27. Комбинация пирамиды с вписанным ш аром....................................
28. Комбинация пирамиды с описанным шаром .................................
29. Нестандартные задачи на сферу .....................................................
30. Задачи разные на комбинацию геометрических тел с шаром . . .
126
5
8
20
23
24
27
30
31
33
36
37
43
44
45
48
51
53
56
59
61
62
62
63
64
65
67
68
70
71
72
Мнемонический прием ..........................................................................
Нахождение зависимостей между углами в пирамиде (Использование
мнемонического приема для запоминания доказательства) ...............
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды
и углом между боковым ребром и плоскостью основания..................
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды
и углом при ребре основания.................................................................
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды
и углом при боковом р е б р е ....................................................................
Зависимость между углом при боковом ребре и плоскостью основания
правильной пирамиды.........................................
Построение сечений, проходящих через линии и точки, выделенные
на чертеже ...............................................................................................
Планиметрия. Справочный материал ..................................................
Прямоугольный треугольник.................................................................
Косоугольный треугольник....................................................................
Р о м б ...........................................................................................................
Параллелотрамм......................................................................................
Т р а п ец и я ..................................................................................................
Окружность и к р у г ...................................................................................
Ответы и р е ш е н и я .......................................................
78
78
79
80
81
82
83
86
86
87
88
89
89
89
91
127
ЗАО «Компания «АСТ-ПРЕСС»:
Россия, 107078, Москва, Рязанский пер., д. 3
(ст. м. «Комсомольская», «Красные ворота»)
Тел./факс261 -31 -60, тел. 265-83-92,265-86-30, 974-12-76
По вопросам п о к у п к и кн и г «АСТ-ПРЕСС» обращ айтесь
в Москве: «КЛУБ Зб'б» —
эксклюзивный
дистрибьютор «АСТ-ПРЕСС»
Склад:
Офис: Москва, Рязанский пер., д. 3
Тел./факс: (095) 261 -24-90,
267-28-33,265-20-38,267-29-69
г. Балашиха, Звездный бульвар, д. 11
Тел.: (095) 523-92-63,523-11-10
Магазин (розница
Москва, Рязанский пер., д. 3,
и мелкий опт):
Тел.: (095) 265-81 -93
Переписка и книги— почтой: 107078, Москва, а/я 245, «КЛУБ Зб'б»
в Санкт-Петербурге и Северо-Западном регионе:
«Невская книга»
Тел. (812) 567-47-55,567-53-30
Гайштут Александр Григорьевич
Литвиненко Григорий Николаевич
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Задачник к школьному курсу
Компьютерная верстка А. Вербовикова
ЛР№ 064267 от 24.10.95.
Подписано в печать 17.11.97. Формат 84 х 108/16.
Бумага типографская. Печать высокая. Печ. л. 8,0.
Тираж 25000 экз. Зак № 396. С-007.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор
продукции ОК-005-93, том 2 — 953 ООО.
Гигиенический сертификат № Д-773 от 27.05.97.
«АСТ-ПРЕСС»
107078, Москва, а/я 5.
«Магистр-5»
252047, Киев, проспект Победы, 50.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГМП «Первая Образцовая типография»
Государственного комитета Российской Федерации по печати
113054, Москва, Валовая, 28.
I
Александр Гайштут, Григорий Литвиненко
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ КУРСУ
КШко" ь н о Му КУРСу
В. Полонский
Е. Рабинович
М. Якир
Геометрия
Задачник к школьному курсу
7— 11 класс
А. Гайштут
Г. Литвиненко
Стереометрия
Задачник к школьному курсу
1 0 — 11 класс
A. Мерзляк
B. Полонский
Е. Рабинович
М. Якир
Тригонометрия
Задачник к школьному курсу
8 — 11 класс
А. Гайштут
Г. Литвиненко
Планиметрия
Задачник к школьному курсу
8 — 9 класс