Sbornik Fedorenko Petrashev

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
Б. З. ФЕДОРЕНКО, В. И. ПЕТРАШЕВ
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Практикум
Белгород
2017
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
Б. З. ФЕДОРЕНКО, В. И. ПЕТРАШЕВ
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Практикум
Утверждено учёным советом университета в качестве
учебного пособия
2-е издание, исправленное
Белгород
2017
УДК 51(075.8)
ББК 22.1 я 73-2
ФЗ33
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор Белгородского юридического
института МВД имени И. Д. Путилина С. Е. Савотченко
Доктор технических наук, профессор Белгородского государственного
технологического университета им. В. Г. Шухова В. Г. Рубанов
Федоренко, Б.З.
ФЗ33 Индивидуальные задания по математике: практикум: учебное
пособие Б. З. Федоренко, В. И. Петрашев. – 2-е изд., испр. –
Белгород: Изд-во БГТУ, 2017. – 231 с.
Пособие содержит задания по общему курсу математики (по 30 вариантов в каждой
задаче) и предназначено для обеспечения самостоятельной работы при изучении курса
математики студентами укрупнённых групп направлений 08.03.01, 09.03.01–09.03.04,
13.03.01, 13.03.02, 15.03.01–15.03.06, 18.03.01, 18.03.02, 20.03.01, 20.03.02, 21.03.02,
22.03.01,23.03.01–23.03.03, 27.03.01, 27.03.02, 27.03.04, 28.03.02, 29.03.04, 38.03.01–
38.03.03, 38.03.05, 54.03.02.
Издание публикуется в авторской редакции.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1 я 73-2
 Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2008
 Оформление.
БГТУ им. В. Г. Шухова, 2017,
с изменениями
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................................................... 4
1. Линейная алгебра ......................................................................................... 5
2. Аналитическая геометрия .......................................................................... 29
3. Введение в математический анализ .......................................................... 56
4. Дифференциальное исчисление ................................................................ 77
5. Интегральное исчисление .......................................................................... 97
6. Дифференциальные уравнения ............................................................... 123
7. Функции нескольких переменных .......................................................... 134
8. Кратные и криволинейные интегралы.................................................... 146
9. Векторный анализ .................................................................................... 187
10. Ряды ......................................................................................................... 197
11. Функции комплексного переменного ................................................... 213
Библиографический список ......................................................................... 229
4
Предисловие
Важным условием усвоения математики и овладения её методами
является самостоятельная работа. Одна из форм активизации обучения –
рациональная организация самостоятельной работы студентов. Этой цели
служит система индивидуальных домашних заданий (ИДЗ). Каждое ИДЗ
предусматривает изучение соответствующего раздела теории, выполнение
практических заданий по этому разделу, проверку заданий
преподавателем и выполнение итоговой контрольной работы по теме,
предусматривающей контроль усвоения теории и практических навыков
решения задач.
Настоящее пособие является одним из вариантов системы
индивидуальных заданий по общему курсу математики для всех
специальностей БГТУ им. В.Г. Шухова.
Основными учебниками по общему курсу математики для
технических специальностей БГТУ являются учебники [1-5], а для
экономических специальностей – учебники [6-10]. Основные сборники
задач и упражнений по курсу математики для технических
специальностей – это задачники [11-15], для экономических
специальностей, кроме того, используются задачники [16-17]. Для
индивидуальных
домашних
заданий
используются
сборники
индивидуальных заданий [18-20].
В девяностые годы ввиду отсутствия централизованных планов
издания учебно-методической литературы для вузов в БГТУ возник
острый дефицит на сборники индивидуальных заданий по математике.
Для обеспечения учебного процесса на кафедре высшей математики был
разработан и составлен с использованием сборников индивидуальных
заданий [18-20] и задачников [11-15] сборник индивидуальных заданий по
математике [21].
Настоящий
сборник
индивидуальных
заданий
–
это
переработанный и дополненный вариант пособия [21], охватывающий
разделы общего курса математики.
Цель пособия – не заменить сборники индивидуальных заданий
[18-20], а дополнить их и обеспечить многовариантность индивидуальных
домашних заданий.
5
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1. Вычислить определитель: а) разложив его по элементам i-ой строки,
б) по элементам j-го – столбца, в) приведя его к треугольному виду.
1.1. 0 2 1 7
1.2.  1 2 0 4
1.3. 4  1 1
5
4
8
2
3
10
1
5
4
8 3 2 1
i = 4, j = 2.
1.4. 4 3  2  1
2 1 4
3
0
2
4
1
1
5 0 1
i = 2, j = 3.
1.7. 3 1 2
0
0 6
1
5
2 2
,
1
3 9 0
1 3
0 2
2 3
1
0
,
2 3 2 0
i = 3, j =3.
1.16. 3
2 0 2
1
1 2
3
4
5
1
0
1
2
3 3
i = 3, j =1.
3
1 2 4
,
2
0 1 3
i = 4, j = 4.
1.5. 2  3 4 1
4 2 3 2
3
0
2 1
0
3
3 1
0
2
2
3
3
4
1
2
,
2
4 1
1
i = 1, j =2.
1.6. 2  2 0
,
1 1
2
0
3
3
2
1
1
1
1
2
1
,
3 4 4 0
i = 3, j = 4.
1.9. 5 0 4 2
,
1 1 2 1
4
1
2 0
,
1 1 1 1
i = 2, j =4.
1.12. 4  5  1  5
3 2 8 2
2
3
0
6
,
,
5
3
1
3
2 2 1
4
 2 4 6 8
3
1  2 1
i =4, j =3.
i =4, j =3.
1.14. 3 2 0 5
1.15. 4
1 2 0
4 3 5 0
1 2 1 1
,
,
3 1 2 1
1 0 2 3
5 0 4 2
0 1 3 4
i = 1, j =2.
i = 3, j =1
1.17. 3  5 1
1.18. 1 1 2 0
2
,
4 2 0 6
i = 3, j =3.
1.13. 1 1 2 3
1 2 2 3
3 1 1
4
2 1 2
i = 4, j = 4.
1.11.  1  2 4
1
1 3 2 1
i = 3, j =2.
1.10. 2 0  1 3
6
2
3 1 4 3
i = 2, j = 4.
1.8.  1  2 3 4
,
3
,
,
0
1
1  2
3
1
3
0
1
2
1
2
i = 4, j =1.
,
3 6
2
5
1 0
6
4
2 3
5
1
i = 4, j =1.
,
6
1.19. 6
1 1
0
2 2
0
1
3 3
1
1
1.20. 2 7
,
4
5 3 7
1
1 1 1
0
3 4
2
3
,
0
,
2
1
2
3
3
0
1
1
4
1
2
2 1 0
1
,
2
1 2 3
i = 2, j =2.
1.28. 6
2  10 4
 5 7
4
1
2
2
6
3 0 5
i = 2, j =3.
4
2
1
1
1
2
1
3
2
0
2
1
4 6
3 2 9
i = 3, j =4.
2
4
3
2
2
4
1
0
2
1
4 1 2 4
,
3
3
5
,
5 1 2 4
i = 2, j =4.
1.24. 3 1 2 3
1 1 1 1
,
,
4 1 2 5
i =1, j =3.
1.27. 0 4 1 1
4 2 1 3
0
1 2 2
,
1 3 4 3
i =4, j =3.
1.30. 1
2 3 4
4 0
1 2
i = 3, j =1.
1.29. 5  3 7  1
,
1.21. 3
1 2
1 2 3 2
i =2, j =3.
1.26. 1  1 0
3
3 2 0 2
i = 1, j =4.
1.25.  4 1
2 0
4
1
0 5 1  3
i = 4, j =1.
1.23. 2  1 2 0
4 1 1 2
i = 4, j =2.
1.22. 1 8 2  3
3 2 0
2
,
2
1
4
3
3
 4 1
2
,
4 3  2 1
i =1, j =2.
2. Даны две матрицы А и B. Найти: а) AB; б) BA; в) A-1; г) AA-1; д) A-1A.
 2 1 4   0 0 4 
 8 5 1 
 4 7 6 

 





2.1. A 4 9 3  , B  5 6 4 . 2.2. A 1 5 3  , B  3 2 1 .
 2 7 1   7 4 1 
1 1 0 
0 1 2 

 





 1 1 1   1 0 4 
 5 8 4 
1 5 5 

 





2.3. A 2 4 1  , B  2 5 3 . 2.4. A 7 0 5  , B  1 2
1 .
 4 3 1   4 3 2 
4 1 0 
 2 1 3 

 





2.5.
1 2 1
7 5 1 




A 1 2 4  , B  5 3 1 .
 3 5 3 
1 2 3 




0 
 2 1 1 
3 6




2.6. A 2 1 1  , B  2 4 6 .
1 0 1 
 1 2 3 




7
2.7.
 6

A 9
0

2.9.
3

A 2
 3

2.11.
6

A 1
 10

2.13.
5

A 1
8

2.15.
 3

A 1
0

2.17.
 3

A 1
5

2.19.
4

A 2
1

2.21.
2

A 1
4

 2 1 3 
 2 1 2 


1 11
 3 0 1  2.8. A 8 7 6 ,B  3 5 4 .







2 5  , B  0 2 7 .
 3 4 2 
1 2
1 



 1 3 2 
3 7 


 2 6 1
 4 3 2 


5 6 
 2 8 5  2.10. A 1 3 2 , B  4 0 5 .







4 3  , B  3 1 0 .
0 1 1
 3 2 3 




 4 5 3 
1 1 


 1 0 3
3 5 4 




9 4
1 1 1
2.12.
A

3
1
7
,
B


3
0
1



.



1 1  , B  3 4 3 .
2 1 8
 5 6 4 




0 5 2
1 7 


2 2 5
 1 1 1 




1 2 
3 5 5
2.14.
A

3
3
6
,
B

2
3
3



.



3 1  , B  7 1 2 .
4 3 4
 1 2 1 




1 6 0
4 1 


 3 4 0 
 1 7 1 


4 2
 1 4 4  2.16. A 4 5 1 , B  0 2 6 .







5 3  , B  1 3 2 .
 2 3 3 
 2 1 1 




 4 1 2 
1 2 


 1 0 2 
 3 0 1


4 3 
 2 2 0  2.18. A 2 3 2 , B  3 1 7 .







2 3  , B  5 4 1 .
 3 7 1
 1 3 2




 1 1 2 
0 1 


 3 1 2
 0 1 2 


1 4 
 0 1 1  2.20. A 1 0 2 , B  2 1 1 .







4 6  , B  2 5 0 .
 1 2 1
 3 7 1




 1 1 2 
2 1 


6 7 3
2 0 5 


3 2
 3 2 1  2.22. A 3 1 0 , B  4 1 2 .







3 1  , B  3 1 2 .
 2 2 1
4 3 7 




5 3 0 
1 3 


8
2.23.
 1 7 3
6 5 2




2.24. A 4 9 4  , B  1 9 2 .
 0 3 2
4 5 2




2.25.
5 4 2
 5 4 5 




2.26. A 1 2 4  , B  3 7 1 .
3 0 5
1 2 2 




2.27.
 8 1 1 
3 2 5




2.28. A 5 5 1  , B  3 2 1 .
 10 3 2 
1 0 2




 2 3 4 
3 3 1




A 3 1 4  ,B  0 6 2 .
 1 2 2 
1 9 2




 1 2 5   1 1 1 

 

A 3 0 6  , B  2 3 3 .
 4 3 4   1 2 1 

 

3 1 0 
2 7 0




A 4 3 2  , B  5 3 1 .
 2 2 7 
 1 6 1 




2.29.
 3 7 2 
 0 5 3 




A 1 8 3  , B  2 4 1 .
 4 2 3 
 2 1 5 




 3 1 0 
 1 0 2 




2.30. A 3 5 1  , B  1 8 5 .
 4 7 5 
 3 0 2




3. Проверить совместность системы уравнений и в случае
совместности решить ее: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
3.1..2 x1  3 x2  x3  12,
3.2.. 2 x1  x2  2 x3  8 ,

 x1  x2  2 x3  11,
4 x  x  4 x  22.
3
 1 2
3.3.. x1  2 x2  3 x3  14,

2 x1  3 x2  4 x3  16 ,
3 x  2 x  5 x  8.
2
3
 1
3.4..2 x1  x2  3 x3  9 ,
3.5.. 3 x1  4 x2  2 x3  11,
3.6..2 x1  x2  3 x3  0 ,
3.7.. x1  5 x2 6 x3  15,
3.8..  3 x1  5 x2  6 x3  8 ,

3 x1  x2  x3  4 ,
 x  4 x  2 x  9.
2
3
1
3.9..4 x  x  6 ,
1
2

2 x1  x2  3 x3  16 ,
3 x  2 x  x  8.
2
3
 1

 x1  5 x2  x3  20,
3 x  4 x  2 x  15.
2
3
 1

3 x1  x2  4 x3  13,
2 x  3 x  x  9.
2 3
 1

2 x1  x2  x3  4 ,
3 x  2 x  4 x  11.
2
3
 1

3 x1  4 x2  2 x3  1,
 x  5 x  x  3.
2
3
 1

3 x1  2 x2  5 x3  14,
 x  3 x  4 x  19.
2
3
 1
9
3.10..3 x1  x2  x3  4 ,
3.11.. 5 x1  2 x2  4 x3  16 , 3.12..3 x1  x2  x3  11,



5 x1  x2  2 x3  8 ,
 3 x1  5 x2 6 x3  36 ,
 x1  3 x3  6 ,
 x  2 x  4 x  16.
 x  4 x  2 x  19.
2 x  3 x  x  9.
2
3
 1
2
3
 1
 1 2 3
3.13.. x1  4 x2  x3  9 , 3.14.. 3 x1  x2  x3  9 ,
3.15..7 x1  4 x2  x3  13,



4 x1  x2  5 x3  2 ,
5 x1  x2  2 x3  11,
3 x1  2 x2  3 x3  3,
 3 x 7 x  6.
 x  2 x  4 x  19.
2 x  3 x  x  10.
2
3
2
3
2
3

 1
 1
3.16..2 x1  3 x2  x3  4 , 3.17.. 3 x1  2 x2  5 x3  5 , 3.18..2 x1  x2  2 x3  3 ,



2 x1  x2  3 x3  0 ,
2 x1  3 x2  4 x3  12,
 x1  x2  2 x3  4 ,
3 x  2 x  x  1.
 x  2 x  3 x  1.
4 x  x  4 x  3.
2
3
2
3
3
 1
 1
 1 2
3.19..4 x1  x2  4 x3  19, 3.20.. 2 x1  x2  3 x3  4 , 3.21..8 x1  3 x2  6 x3  4 ,



2 x1  x2  2 x3  11,
 x1  3 x2  x3  11,
 x1  x2  x3  2 ,
 x  x  2 x  8.
 x  2 x  2 x  7.
4 x  x  3 x  5.
3
2
3
3
 1 2
 1
 1 2
3 x1  2 x2  4 x3  21,

3 x  4 x 2  2 x3  9 ,
3.22.  1
2 x  x  x  10.
 1 2 3
4 x1  x2  3 x3  9 ,
2 x1  x2  2 x3  0 ,


x

x

x


2
,
4 x  x  4 x3  6 ,

3.23. 1 2 3
3.24.. 1 2
8 x  3 x  6 x  12.
 x  x  2 x  4.
2
3
3
 1
 1 2
3.25..2 x1  3 x2  4 x3  33, 3.26.. 2 x1  x2  3 x3 7 , 3.27..2 x1  3 x2  4 x3  12,

7 x1  5 x2  24,
4 x 11x  39.
3
 1
3.28..3 x1  x2  x3  12,

 x1  2 x2  4 x3  6 ,
5 x  x  2 x  3.
3
 1 2

2 x1  3 x2  x3  1,
3 x  2 x  x  6.
2
3
 1
3.29..  x1  4 x 2  x3  6 ,

5 x 2  4 x3  20 ,
3 x  2 x  5 x  22 .
2
3
 1

7 x1  5 x2  x3  33,
4 x  x  7.
 1 3
3.30..3 x1  2 x2  4 x3  12,

3 x1  4 x2  2 x3  6 ,
2 x  x  x  9.
 1 2 3
10
4. Проверить совместность системы уравнений и в случае
совместности решить ее: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
4.1. 3 x1  x2  2 x3  3,
4.2.  x1  2 x2  3 x3  3 ,
4.3. 5 x1  9 x2  4 x3  6 ,
4.4. 4 x1  x2  3 x3  1,
4.5. 5 x1  5 x2  4 x3  3,
4.6.  x1  2 x2  3 x3  6 ,

2 x1  2 x2  5 x3  5 ,
5 x  3 x 7 x  1.
2
3
 1

 x1  3 x2  5 x3  0 ,
2 x  x  8 x  4.
3
 1 2

 x1 7 x2  5 x3  1,
4 x  2 x  x  2.
2 3
 1



3 x1  x2  x3  2 ,
 x1  x2  5 x3  1,
2 x1  3 x2  4 x3  2 ,
 x  2 x  5.
4 x  4 x  9 x  0.
3 x  x  x  5.
3
 1
2
3
 1
 1 2 3
4.7. 4 x1  3 x2  x3  3 ,
4.8. 2 x1  8 x2 7 x3  0 , 4.9. 6 x1  3 x2  5 x3  0 ,



2 x1  5 x2 6 x3  1,
9 x1  4 x2 7 x3  3,
 x1  x2  x3  4 ,
4 x  3 x  x 7.
3 x  x  2 x  5.
3 x  4 x  2 x  2.
2
3
3
 1
 1 2
2
3
 1
4.10. 2 x1  3 x2  4 x3  1, 4.11. 2 x1  3 x2  4 x3  5 , 4.12. 3 x1  x2  2 x3  6 ,

7 x1  9 x2  x3  3,
5 x 6 x  3 x 7.
2
3
 1

 x1  x2  5 x3  6 ,
3 x  4 x  9 x  0.
2
3
 1
4.13. 5 x1 6 x2  2 x3  2 , 4.14. 2 x1  x2  x3  2 ,

2 x1  3 x2  x3  9 ,
3 x  3 x  x  1.
2
3
 1
4.16.  x1  4 x2  2 x3  0 ,

3 x1  5 x2 6 x3  2 ,
4 x  9 x  8 x  1.
2
3
 1

5 x1  x2  3 x3  4 ,
7 x  2 x  4 x  1.
2
3
 1
4.15.  x1  x2  x3  1,

 x1  x2  2 x3  5 ,
2 x  3 x  2.
3
 1
4.17. 3 x1  3 x2  2 x3  2 , 4.18. 3 x1  5 x2  3 x3  4 ,

4 x1  5 x2  2 x3  1,
 x  2 x  5.
 1
2
4.19. 3 x1  4 x2  x3  2 , 4.20. 5 x1  x2  2 x3  1,

 x1  5 x2  3 x3  4 ,
2 x  x  4 x  5.
3
 1 2

5 x1  3 x2  2 x3  4 ,
 2 x  5 x  4 x  0.
2
3
 1

3 x1  4 x2  x3 7 ,
2 x  3 x  3 x  4.
2
3
 1

 x1  2 x2  x3  8 ,
2 x 7 x  2 x  1.
2
3
 1
4.21. 4 x1  9 x2  5 x3  1,

7 x1  4 x2  x3  11,
3 x  5 x  4 x  5.
2
3
 1
11
4.22. 2 x1  3 x2  2 x3  5 , 4.23.  x1  5 x2  x3  3 ,

3 x1  4 x2 7 x3  2 ,
5 x  x  5 x  9.
3
 1 2

3 x1  2 x2  x3 7 ,
4 x  3 x  1.
 1
2
4.24. 3 x1  2 x2  4 x3  8 ,

2 x1  4 x2  5 x3  1,
5 x 6 x  9 x  2.
2
3
 1
4.25. 7 x1  2 x2  x3  2 , 4.26. 4 x1 7 x2  2 x3  0 , 4.27. 3 x1  x2  2 x3  1,

6 x1  4 x2  5 x3  3,
 x  2 x  4 x  5.
2
3
 1
4.28. 3 x1  2 x2  4 x3  8 , 4.29. 8 x1  x2  3 x3  2 ,

2 x1  4 x2  5 x3  11,
 x  2 x  x  1.
2 3
 1

2 x1  2 x2  3 x3  9 ,
 x  x  x  2.
 1 2 3

2 x1  3 x2  4 x3  6 ,
2 x  4 x  2 x  2.
2
3
 1

4 x1  x2 6 x3  1,
4 x  2 x  3 x 7.
2
3
 1
5. Решить однородную
уравнений.
систему
4.30. 2 x1  x2  4 x3  15,

3 x1  x2  x3  8 ,
5 x  2 x  5 x  0.
2
3
 1
линейных
алгебраических
5.1.  x1  x2  2 x3  0 ,

2 x1  x2  3 x3  0 ,
3 x  2 x  0.
3
 1
5.2. 2 x1  x2  3 x3  0 ,

 x1  2 x2  5 x3  0 ,
3 x  x  x  0.
 1 2 3
5.3. 5 x1  5 x2  4 x3  0 ,

3 x1  x2  3 x3  0 ,
 x 7 x  x  0.
2
3
 1
5.4.  x1  3 x2  4 x3  0 ,
5.5. 2 x1  x2  3 x3  0 ,
5.6. 3 x1  2 x2  x3  0 ,
5.7. 2 x1  x2  x3  0 ,
5.8.  x1  2 x2  4 x3  0 ,

2 x1  x2  3 x3  0 ,
 x  3 x  x  0.
2
3
 1
5.9. 4 x1  x2  10 x3  0 ,

 x1  2 x2  x3  0 ,
2 x  3 x  4 x  0.
2
3
 1
5.10. 5 x1  4 x2  2 x3  0 , 5.11.  x1  2 x2  3 x3  0 ,
5.12. 8 x1  2 x2  3 x3  0 ,

5 x1  8 x2  2 x3  0 ,
2 x  x  x  0.
 1 2 3

3 x1  2 x2  4 x3  0 ,
 x  5 x  3 x  0.
2
3
 1

3 x2  2 x3  0 ,
4 x  x  3 x  0.
3
 1 2

3 x1  x2  2 x3  0 ,
 x  3 x  4 x  0.
2
3
 1

2 x1  x2  x3  0 ,
3 x  3 x  2 x  0.
2
3
 1

2 x1  3 x2  2 x3  0 ,
4 x  x  4 x  0.
3
 1 2

 x1  5 x2  x3  0 ,
4 x 7 x  2 x  0.
2
3
 1
12
5.13. 3 x1  x2  2 x3  0 ,

 x1  x2  x3  0 ,
 x  3 x  3 x  0.
2
3
 1
5.15. 4 x1  x2  10 x3  0 ,


 x1  2 x2  x3  0 ,
2 x1  3 x2  4 x3  0 ,
2 x  3 x  4 x  0.
4 x  11x  10 x  0.
2
3
 1
2
3
 1
5.14.  x1  x2  x3  0 ,
5.16.  x1  3 x2  2 x3  0 , 5.17. 3 x1  x2  3 x3  0 ,


2 x1  x2  3 x3  0 ,
2 x1  3 x2  x3  0 ,
3 x  5 x  4 x  0.
 x  x  3 x  0.
2
3
3
 1
 1 2
5.18. 2 x1  5 x2  x3  0 ,

4 x1  6 x2  3 x3  0 ,
 x  x  2 x  0.
3
 1 2
5.19. 3 x1  2 x2  1x3  0 , 5.20. 2 x1  x2  5 x3  0 ,


2 x1  x2  3 x3  0 ,
 x1  2 x2  3 x3  0 ,
4 x  3 x  4 x  0.
5 x  x  4 x  0.
2
3
3
 1
 1 2
5.21. 3 x1  5 x2  x3  0 ,

2 x1  4 x2  3 x3  0 ,
 x  3 x  x  0.
2
3
 1
5.22.  x1  3 x2  x3  0 ,
5.23. 7 x1  x2  3 x3  0 , 5.24.  x1  2 x2  x3  0 ,



2 x1  5 x2  2 x3  0 ,
3 x1  2 x2  3 x3  0 ,
2 x1  3 x2  2 x3  0 ,
 x  x  5 x  0.
 x  x  2 x  0.
3 x  2 x  5 x  0.
3
3
2
3
 1 2
 1 2
 1
5.25. 7 x1  6 x2  x3  0 ,

4 x1  5 x2  0 ,
 x  x  x  0.
 1 2 3
5.26. 4 x1  x2  3 x3  0 , 5.27. 6 x1  5 x2  4 x3  0 ,


8 x1  x2  7 x3  0 ,
 x1  x2  x3  0 ,
2 x  4 x  5 x  0.
3 x  4 x  3 x  0.
2
3
2
3
 1
 1
5.28.  x1  2 x2  x3  0 ,
5.29.  x1  7 x2  3 x3  0 , 5.30. 3 x1  2 x2  0 ,



3 x1  x2  2 x3  0 ,
3 x1  5 x2  x3  0 ,
 x1  x2  2 x3  0 ,
2 x  3 x  5 x  0.
3 x  4 x  2 x  0.
4 x  2 x  5 x  0.
2
3
2
3
2
3
 1
 1
 1
6. Решить однородную систему линейных алгебраических
уравнений.
6.1. 3 x1  2 x2  x3  0 ,
6.2. 2 x1  2 x2  x3  0 ,


5 x1  4 x2  6 x3  0 ,
2 x1  3 x2  5 x3  0 ,
3 x  2 x  5 x  0.
5 x  x  4 x  0.
2
3
 1
 1 2
3
6.3. 5 x1  x2  2 x3  0 ,

3 x1  2 x2  3 x3  0 ,
2 x  x  x  0.
 1 2 3
13
6.4.  x1  2 x2  5 x3  0 ,

 x1  2 x2  4 x3  0 ,
2 x  9 x  0.
3
 1
6.5.  x1  3 x2  5 x3  0 ,

 x1  2 x2  3 x3  0 ,
2 x  x  2 x  0.
3
 1 2
6.6. 2 x1  x2  2 x3  0 ,

3 x1  2 x2  3 x3  0 ,
5 x  x  x  0.
 1 2 3
6.7. 2 x1  x2  3 x3  0 ,

 x1  3 x2  2 x3  0 ,
 x  2 x  x  0.
2
3
 1
6.8.  x1  3 x2  2 x3  0 ,

3 x1  x2  4 x3  0 ,
2 x  2 x  x  0.
2
3
 1
6.9. 5 x1  x2  2 x3  0 ,

3 x1  x2  x3  0 ,
2 x  2 x  3 x  0.
2
3
 1
6.10. 3 x1  2 x2  3 x3  0 , 6.11. 4 x1  x2  5 x3  0 , 6.12.  x1  5 x2  x3  0 ,



2 x1  3 x2  x3  0 ,
2 x1  3 x2  2 x3  0 ,
2 x1  3 x2 7 x3  0 ,
5 x  x  2 x  0.
2 x  2 x  3 x  0.
3 x  2 x  6 x  0.
3
2
3
2
3
 1 2
 1
 1
6.13. 3 x1  4 x2  x3  0 ,

 x1  5 x2  2 x3  0 ,
4 x  x  x  0.
 1 2 3
6.14. 2 x1  4 x2  3 x3  0 , 6.15. 7 x1  6 x2  x3  0 ,


 x1  3 x2  2 x3  0 ,
3 x1  3 x2  4 x3  0 ,
3 x  x  x  0.
4 x  3 x  5 x  0.
2
3
 1 2 3
 1
6.16. 5 x1  3 x2  2 x3  0 , 6.17.  x1  8 x2  7 x3  0 , 6.18. 5 x1  8 x2  5 x3  0 ,



2 x1  4 x2  3 x3  0 ,
3 x1  5 x2  4 x3  0 ,
7 x1  5 x2  x3  0 ,
3 x 7 x  5 x  0.
4 x  3 x  3 x  0.
2 x  3 x  4 x  0.
2
3
2
3
2
3
 1
 1
 1
6.19. 5 x1  x2  6 x3  0 , 6.20. 2 x1  x2  4 x3  0 , 6.21. 5 x1  3 x2  4 x3  0 ,



4 x1  3 x2 7 x3  0 ,
3 x1  2 x2  x3  0 ,
7 x1  5 x2  3 x3  0 ,
 x  2 x  x  0.
8 x  x  3 x  0.
5 x  4 x  x  0.
2
3
3
 1
 1 2
 1
2
3
6.22. 5 x1  6 x2  4 x3  0 , 6.23.  x1  2 x2  5 x3  0 , 6.24.  x1  x2  x3  0 ,



3 x1  3 x2  x3  0 ,
2 x1  4 x2  x3  0 ,
2 x1  3 x2  4 x3  0 ,
2 x  3 x  3 x  0.
3 x  2 x  4 x  0.
3 x  2 x  5 x  0.
2
3
2
3
2
3
 1
 1
 1
6.25.  x1  2 x2  4 x3  0 , 6.26. 3 x1  x2  x3  0 ,
6.27.  x1  2 x2  x3  0 ,



5 x1  x2  2 x3  0 ,
2 x1  3 x2  4 x3  0 ,
3 x1  3 x2  5 x3  0 ,
4 x  x  2 x  0.
5 x  2 x  3 x  0.
4 x  x  6 x  0.
3
2
3
3
 1 2
 1
 1 2
14
6.28. 2 x1  x2  3 x3  0 , 6.29. 2 x1  x2  2 x3  0 , 6.30. 4 x1  x2  4 x3  0 ,



 x1  2 x2  4 x3  0 ,
4 x1  x2  5 x3  0 ,
3 x1  2 x2  x3  0 ,
 x  x  x  0.
2 x  2 x  3 x  0.
7 x  x  3 x  0.
2
3
 1 2 3
 1
 1 2
3
7. Найти общее решение для каждой из заданных систем
алгебраических уравнений.
7.1.
3 x1  2 x2  4 x3  x4  2 x5  0 ,

3 x1  2 x2  2 x3  x4  0 ,
3 x  2 x  16 x  x  6 x  0.
 1
2
3
4
5
 x1  2 x2  3 x3  4 x4  1,

4 x1 7 x2  2 x3  x4  3,
3 x  5 x  x  3 x  2.
2
3
4
 1
7.2.
 x1  x2  x3  2 x4  x5  0 ,

 x1  2 x2  3 x3  x4  x5  0 ,
2 x  x  2 x  3 x  0.
 1 2
3
4
 x1  4 x2  2 x3  3 x5  2 ,

2 x1  9 x2  x3  4 x4  5 ,
 x  5 x  x  4 x  3 x  3.
 1
2
3
4
5
7.3.
6 x1  9 x2  21x3  3 x4  12 x5  0 ,

 4 x1  6 x2 14  x3  2 x4  8 x5  0 ,
2 x  3 x 7 x  x  x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  5 x2  3 x3  4 x4  4 ,

2 x1  9 x2  2 x3  x5 7 ,
 x  4 x  x  4 x  x  3.
2
3
4
5
 1
7.4.
2 x1  x2  2 x3  x4  x5  0 ,

 x1  10 x2  3 x3  2 x4  x5  0 ,
4 x  19 x  4 x  5 x  x  0.
 1
2
3
4
5
 x1  3 x 2  x3  2 x4  1,

2 x1  7 x 2  4 x3  3 x4  3,
 x  4 x  3 x  x  2.
2
3
4
 1
x  3x  x  2 x4 1,

2 x1 7 x2  4 x3  3x4  3,
x  4 x  3x  x  2.
1 2 3 4
7.5.
5 x1  2 x2  9 x3  4 x4  x5  0 ,

 x1  4 x2  2 x3  2 x4  5 x5  0 ,
6 x  2 x  11x  2 x  6 x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  x2  4 x3  2 x5  0 ,

3 x1  4 x2  x3  3 x4  1,
2 x  3 x  3 x  3 x  2 x  1.
 1
2
3
4
5
7.6.
2 x1  2 x2  3 x3 7 x4  2 x5  0 ,

 x1  11x2  34 x4  5 x5  0 ,
 x  5 x  2 x  16 x  3 x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  5 x2  3 x3  4 x4  4 ,

2 x1  9 x2  2 x3  x4 7 ,
 x  4 x  x  3 x  3.
2
3
4
 1
15
7.7.
3 x1  x2  8 x3  2 x4  x5  0 ,

 x1  11x2  12 x3  5 x5  0 ,
 x  5 x  2 x  x  3 x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  2 x2  3 x3  4 x4  1,

3 x1 7 x2  2 x3  x5  4 ,
2 x  5 x  x  4 x  x  3.
2
3
4
5
 1
7.8.
 x1  3 x2  5 x3  9 x4  x5  0 ,

2 x1 7 x2  3 x3 7 x4  2 x5  0 ,
 x  4 x  2 x  16 x  3 x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  x2  4 x3  2 x4  0 ,

3 x1  4 x2  x3  3 x4  1,
2 x  3 x  3 x  4 x  1.
 1
2
3
4
7.9.
5 x1  2 x2  x3  3 x4  4 x5  0 ,

3 x1  x2  3 x3  3 x4  5 x5  0 ,
6 x  3 x  2 x  4 x  5 x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  3 x2  x3  2 x5  1,

2 x1 7 x2  4 x3  3 x4  3,
 x  4 x  3 x  3 x  2 x  2.
 1
2
3
4
5
7.10.  x1  x2  x3  x4  x5  0 ,
 x1  x2  3 x3  4 x4  0 ,

2 x1  x2  2 x3  x4  1,
4 x  3 x  8 x  9 x  1.
2
3
4
 1
7.11. 2 x1  2 x2  2 x3  x4  3 x5  0 ,
 x1  x2  3 x3  4 x4  1,

4 x1  5 x2  2 x3  x5  3,
3 x  4 x  x  4 x  x  2.
2
3
4
5
 1
7.12.  x1  2 x2  3 x3  10 x4  x5  0 ,
 x1  4 x2  2 x3  3 x4  5 ,

2 x1 7 x2  4 x3  x4  9 ,
 x  3 x  2 x  2 x  4.
2
3
4
 1
7.13. 2 x1  x2  x3 7 x4  5 x5  0 ,
 x1  2 x2  2 x3  3 x5  4 ,

2 x1  5 x2  x3  4 x4  9 ,
 x  3 x  x  4 x  3 x  5.
2
3
4
5
 1
 x1  2 x2  2 x3  3 x5  0 ,

3 x1  5 x2  3 x3  4 x4  1,
2 x  3 x  x  4 x  3 x  1.
2
3
4
5
 1

2 x1  x2  2 x3  x4  2 x5  0 ,
 x  2 x  5 x  2 x  x  0.
2
3
4
5
 1

3 x1  x2  2 x3  x4  2 x5  0 ,
 x  3 x  4 x  2 x  5 x  0.
2
3
4
5
 1

 x1  2 x2  3 x3  10 x4  x5  0 ,
 x  6 x  9 x  30 x  3 x  0.
2
3
4
5
 1

 x1  2 x2  3 x3  5 x4 7 x5  0 ,
3 x  x  2 x  2 x  2 x  0.
3
4
5
 1 2
7.14.  x1  x2  3 x3  2 x4  3 x5  0 ,

2 x1  2 x2  5 x3  x4  3 x5  0 ,
 x  x  4 x  5 x  6 x  0.
3
4
5
 1 2
7.15.  x1  2 x2  3 x3  2 x4  x5  0 ,

 x1  2 x2 7 x3  4 x4  x5  0 ,
 x  2 x  11x  6 x  x  0.
 1
2
3
4
5
 x1  x2  3 x3  4 x4  0 ,

4 x1  3 x2  x3  2 x4  1,
3 x  2 x  2 x  2 x  1.
2
3
4
 1
16
7.16. 8 x1  x2  x3  x4  2 x5  0 ,
 x1  3 x2  x3  2 x4  4 ,

2 x1  5 x2  4 x3  3 x4 7 ,
 x  2 x  3 x  x  3.
2
3
4
 1
7.17.  x1  3 x2  x3  12 x4  x5  0 ,
 x1  x2  3 x3  4 x4  0 ,

4 x1  3 x2  x3  2 x5  1,
3 x  2 x  2 x  x  2 x  1.
2
3
4
5
 1
7.18. 7 x1  14 x2  3 x3  x4  x5  0 ,
 x1  4 x2  2 x3  3 x4  2 ,

2 x1  9 x2  x3  4 x4  5 ,
 x  5 x  x  x  3.
2
3
4
 1
7.19.  x1  2 x2  3 x3  x4  x5  0 ,
 x1  2 x2  3 x3  4 x5  1,

4 x1 7 x2  2 x3  x4  3,
3 x  5 x  x  x  4 x  2.
 1
2
3
4
5
7.20. 3 x1  2 x2  2 x3  x4  4 x5  0 ,
 x1  x2  4 x3  3 x4  0 ,

3 x1  2 x2  x3  2 x4  1,
2 x  x  3 x  x  1.
 1 2
3
4
7.21. 6 x1  3 x2  2 x3  4 x4 7 x5  0 ,
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0 ,

2 x1  3 x2  x3  4 x5  1,
3 x  5 x  3 x  3 x  4 x  1.
2
3
4
5
 1
7.22. 3 x1  5 x2  2 x3  5 x4  0 ,
 x1  3 x2  4 x3  3 x4  2 ,

3 x1  8 x2  x3  2 x4  5 ,
2 x  5 x  3 x  x  3.
2
3
4
 1
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0 ,

2 x1  3 x2  x3  4 x4  1,
3 x  5 x  3 x 7 x  1.
 1
2
3
4
7.24.  x1  2 x2  x3  4 x4  x5  0 ,
 x1  x2  4 x3  3 x4  0 ,

3 x1  2 x2  x3  2 x5  1,
2 x  x  3 x  3 x  2 x  0.
3
4
5
 1 2

3 x1  3 x2  2 x3  x4  3 x5  0 ,
5 x  4 x  3 x  2 x  5 x  0.
2
3
4
5
 1

2 x1  2 x2  x3  10 x4  x5  0 ,
3 x  x  2 x  0.
4
 1 2

 x1  2 x2  x3  3 x4 7 x5  0 ,
5 x  10 x  x  5 x  13x  0.
 1
2
3
4
5

2 x1  2 x2  6 x3  4 x4  x5  0 ,
3 x  2 x  3 x  3 x  x  0.
2
3
4
5
 1

7 x1  5 x2  3 x3  2 x4  x5  0 ,
 x  x  x 7 x  0.
 1 2 3
5

7 x1  4 x2  3 x3  2 x4  4 x5  0 ,
 x  x  x  2 x  3 x  0.
4
5
 1 2 3

7 x1  4 x2  x3  3 x4  0 ,
5 x 7 x  4 x  9 x  0.
2
3
4
 1
7.23. 12 x1  x2 7 x3  11x4  x5  0 ,

24 x1  2 x2  14 x3  22 x4  2 x5  0 ,
 x  x  x  x  2 x  0.
5
 1 2 3 4

2 x1  x2  3 x3  x4  5 x5  0 ,
 x  3 x  x  6 x  x  0.
2
3
4
5
 1
17
7.25. 2 x1  3 x2  3 x3  3 x4  5 x5  0 ,
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0 ,

3 x1  5 x2  x3  4 x4  1,
2 x  3 x  x  x  1.
2
3
4
 1
7.26.  x1  2 x2  x3  x4  x5  0 ,
 x1  3 x2  4 x3  3 x5  2 ,

3 x1  8 x2  x3  2 x4  5 ,
2 x  5 x  3 x  2 x  3 x  3.
2
3
4
5
 1
7.27. 6 x1  3 x2  2 x3  3 x4  4 x5  0 ,
 x1  3 x2  x3  2 x4  4 ,

2 x1  5 x2  4 x3  3 x4 7 ,
 x  2 x  3 x  2 x  3 x  3.
 1
2
3
4
5
7.28. 3 x1  x2  4 x3  2 x4  x5  0 ,
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  4 ,

2 x1  5 x2  x3  4 x4  9 ,
 x  3 x  x  x  5.
 1
2
3
4
7.29. 7 x1  2 x2  x3  2 x4  2 x5  0 ,
 x1  4 x2  2 x3  3 x5  5 ,

2 x1 7 x2  4 x3  x4  9 ,
 x  3 x  2 x  x  3 x  4.
 1
2
3
4
5

 x1  6 x2  x3  x4  2 x5  0 ,
 x  16 x  6 x  6 x 7 x  0.
2
3
4
5
 1

 x1  x2  2 x3  x4  x5  0 ,
2 x  3 x  x  0.
2
3
 1

4 x1  2 x2  x3  2 x4  3 x5  0 ,
2 x  x  x  x  x  0.
 1 2 3 4 5

2 x1  2 x2  3 x3 7 x4  2 x5  0 ,
 x  11x  34 x  5 x  0.
2
4
5
 1

 x1  3 x2  x3  x4  x5  0 ,
2 x  3 x  2 x  x  x  0.
2
3
4
5
 1
7.30.  x1  x2  10 x3  x4  x5  0 ,
 x1  2 x2  3 x3  4 x4  1,


5 x1  x2  8 x3  2 x4  2 x5  0 ,
3 x1 7 x2  2 x3  2 x4  4 ,
3 x  3 x  12 x  4 x  4 x  0.
2 x  5 x  x  3 x  3.
2
3
4
5
2
3
4
 1
 1
' ' '
8. Найти координаты вектора X в базисе e1 ,e 2 ,e 3 , если он задан в


базисе e1 , e 2 , e 3 .
8.1. X  1,4 ,8.
e'  e  e  3e ,
3
1 1 2
'
e2  3 / 4 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .

8.2. X 1,4 ,8.
e1'  e1  e2  3e3 ,

'
e2  3 / 4 e1  e2 ,
 '
e3  e1  e2  e3 .

8.3. X 2,4 ,1.
e1'  e1  e2  3 / 2 e3 ,

'
e2  3e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
18
8.5. X  7 ,5,10.
e'  e  e  4 e ,
e'  e  e  4 / 5 e ,
3
3
1 1 2
1 1 2
'
'
e2  4 / 5 e1  e2 ,
e2  4 e1  e2 ,
'
'
e


e

e

e
.
e3  e1  e2  e3 .
 3
1
2
3
8.4. X 5,5,4.
8.7. X  6 ,6 ,2.
e'  e  e  5 / 6 e ,
3
1 1 2
'
e2  5e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.10..X  7 ,7 , 2.
e'  e  e  6 / 7 e ,
3
1 1 2
'
e2  6 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.13..X  1, 9 , 9.
e'  e  e  8 e ,
3
1 1 2
'
e2  8 / 9 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.16. X 3,  10,10.
e'  e  e  9e ,
3
1 1 2
'
e2  9 / 10e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
.
8.8. X  1,6 ,6.
e'  e  e  5e ,
3
1 1 2
'
e2  5 / 6 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.11. X  1, 3, 6.
e'  e  e  4 e ,
3
1 1 2
'
e2  4 / 3e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.14. X  6 , 3,1.
e'  e  e  4 / 3 e ,
3
1 1 2
'
e2  4 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.17. X 8 , 4 ,1.
e1'  e1  e2  5 / 4 e3 ,

'
e2  5e1  e2 ,
 '
e3  e1  e2  e3 .
8.6. X  1,4 , 8.
e'  e  e  5e ,
3
1 1 2
'
e2  5 / 4 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.9 X  2, 5 ,10.
e'  e  e  6 e ,
3
1 1 2
'
e2  6 / 5 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.12.. X  1,6 ,12.
e'  e  e 7 e ,
3
1 1 2
'
e2  7 / 6 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.15.. X   1,7 ,14.
e'  e  e  8 e ,
3
1 1 2
'
e2  8 / 7 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.18. X  2 , 4 , 3.
e'  e  e  1 / 2 e ,
3
1 1 2
'
e2  e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
19
8.19..X  1, 9 ,18.
8.20. X  10, 5 ,1.
e'  e  e  6 / 5 e ,
3
1 1 2
'
e2  6 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
e'  e  e  10e ,
3
1 1 2
'
e2  10 / 9 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.22..X  1, 2 , 4.
8.23. X   12,6 ,1.
e'  e  e  7 / 6 e ,
3
1 1 2
'
e2 7 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
e'  e  e  3e ,
3
1 1 2
'
e2  3 / 2 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.25..X  6 ,  1, 3.
8.26. X   3, 2 , 4.
e'  e  e  2e ,
3
1 1 2
'
e2  2e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.28..X  10,10,7.
e'  e  e  e ,
1 1 2 3
'
e2  1 / 2 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.29. X  2 ,6 ,  3.
e'  e  e  9 / 10e ,
3
1 1 2
'
e2  9 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
e'  e  e  2e ,
3
1 1 2
'
e2  2 / 3e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.21.. X  12, 3,  1.
e'  e  e  2 / 3e ,
3
1 1 2
'
e2  2e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.24.. X  1,7 , 7.
e'  e  e  6 e ,
3
1 1 2
'
e2  6 / 7 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.27.. X  3,  8 , 8.
e'  e  e 7 e ,
3
1 1 2
'
e2  7 / 8 e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
8.30.. X  9 , 9 , 2.
e'  e  e  8 / 9 e ,
3
1 1 2
'
e2  8e1  e2 ,
'
e3  e1  e2  e3 .
9. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
9.1. e x , e  x , e 2 x на  ,  .
9.2. 1, tgx, ctg x на 0 , π / 2  .
9.3. a 3,2,-4,b 4 ,1,2,c 5,2,3.
9.4. a 1,2,3,b 6 ,5,9,c 7 ,8 ,9.
9.5. 1 x  x 2 , 1 2 x  x 2 , 1 3 x  x 2 , на
 ,  .
9.6. x , 1 x , 1 x 2 на  ,  .
20
9.7. a 0,1,1,b 1,0 ,1, c 1,1,0.
9.8. a 2,1,0,b 5,0 , 3, c 3,4 ,3.
9.9. 1, e x , sh x на  ,  .
9.10. e x , xe x , x 2 e x на  ,  .
9.11. a 5,-6,1,b 3,5,2, c 2,1,3. 9.12. a  2,0,2, b  1,1, 0, c  0 ,1,2.
9.13. 1 / x , x ,1 на 0 , 1.
9.14. e x , sh x , ch x на  ,  .
9.15. a 7,1,-3,b 2,2,4,c 3,3,5.
9.16. a   2,1, 5, b  4,3,0,c  0,1,10.
9.17. a 1,-1,2,b 1,1,1,c 2,1,1.
9.18. cos x , sin x ,tgx на  π / 2 , π / 2 .
9.19. x , x 2 , 1 x 2 на  ,  .
9.20. a  2,3, 1, b  3,1,5, c  1,4 , 3.
9.21. a 1,2,3,b 4 ,5,6,c 7 ,8 ,9.
9.22. sin x , sin 2 x , cos2 x на
 , .
9.24. a 5,4,3,b 3,3,2, c 3,1,3.
9.23. 1, x , x 2 , 1 x 2 на  ,  .
9.25. a 1,1,1,b 1,2,3,c 1,3,6.
9.26. 1, π , sin x на  ,  .
9.27. cos x , sin x , sin 2 x на  π / 2 , π / 2 . 9.28. a 1,1,1,b 0 ,1,1,c 0 ,0 ,1.
9.29. a 3,4,5,b 3,7 ,2, c 2,1,8.
9.30. e x , e 2 x ,e3 x на  ,  .
10. Пусть x  x1 ,x 2 ,x 3  . Являются ли линейными следующие
преобразования?
10.1.
Ax 2 x1  x2 ,x32 ,2 x1 3 x2 4 x3 ,


Bx2 x1  x2 ,x3 ,2 x1 3 x2 4 x3 ,
Cx 2 x1  x2 ,x3 ,2 x1 3 x2 4 .
10.3.


Bxx ,x 2 x ,3 x 4 x 5 ,
Cx x ,x 2 x ,3 x 4 x 5 x .
Ax x1 ,x2 2 x3 ,3 x1 4 x2 5 x3 ,
1
1
2
2
2
3
1
2
3
1
2
3
10.2.


Bx3 x 2 x x ,0 , x 2 x 3 x ,
Cx 3 x 2 x x , x , x 2 x 3 x ,
Ax 3 x1 2 x2  x3 ,1, x1 2 x2 3 ,
1
2
3
1
2
3
3
1
3
2
1
3
2
10.4.


Bx2 x x ,x ,x 2 x 3 x ,
Cx 2 x  x ,1,x 2 x 3 ,
Ax 2 x1 x2 ,x3 ,x1 2 x2 3 x34 ,
1
2
1
2
1
3
1
2
2
3
3
21
10.5.
Ax3 x1 2 x2 1,0 ,x1 2 x2 3 x3 ,


Bx 3 x12 2 x2 x3 ,0 ,0 ,
Cx 3 x1 2 x2 x3 ,0 ,x1 2 x2 3 x3 .
10.6.
Axx3 ,2 x1 3 x2 4 x3 ,5 x1 6 x2 7 x3 ,
Bx x3 ,2 x1 3 x2 4 ,5 x1 6 x2 7 ,


Cx  x3 ,0 ,5 x 4 6 x2 7 x3 .
1
10.7.
Ax 2 x12 x2 , x3 ,2 x2 3 x3 ,
Bx2 x1 x2 , x3 ,2 x2 3 x3 ,
Cx 2 x1 x2 , x3 ,2 x2 3.
10.8.
Ax6 x1 5 x2 4 x3 ,3 x1 2 x2 x3 ,0 ,
Bx6 x1 5 x2 4 ,3 x1 2 x2 x3 ,0 ,
10.9.
Ax 4 x1 3 x2 2 x3 , x12 , x2 2 x3 ,


Bx4 x 3 x 2 x , x , x 2 x ,
Cx4 x 3 x 2 , x , x 2 .
10.10.
Ax 5 x1 4 x2 3 ,2 x1 x2 , x32 ,
10.11.
Ax 3 x1 2 x2  x3 ,0 ,x1 2 x2 3 x3 ,


Bx3 x 2 x 1,0 ,x 2 x 3 ,
Ax3 x 2 x  x ,0 ,x 2 x 3 x .
10.12.
Ax x13  x3 ,2 x1 3 x2 4 x3 ,0 ,
10.13.
Ax x1 ,x2 2 x3 ,3 x1 4 x2 5 ,
10.14.
Ax 3 x1 2 x2 x3 ,x2 2 x3 ,3 x1 4 x2 5 x3 ,


1
2
3
1
2
1
1
1
1
2
3
3
2
2
2
1
3
2
1
3
3
2
3
1
2
1
2
3
1
2
3
1
3
1
2
1
2
3
1
1
2
2
3
3


Bx3 x 2 x 1,x 2 ,3 x 4 x 5 x ,
Cx3 x 2 x  x ,x 2 x ,0 .
2
1
2
1


Bxx ,x 2 x ,3 x 4 x 5 ,
Cxx ,x 2 x ,3 x 4 x 5 x .
1
1


Bxx  x ,2 x 3 x 4 x ,5 x 6 x 7 x ,
Cxx 1,2 x 3 x 4 ,5 x 6 x 7 x .
2
2
1

3


Bx5 x 4 x 3 x ,2 x  x ,1,
Cx5 x 4 x 3 x ,2 x x , x .
2
2
1
2

Cx  6 x1 5 x2 4 x3 ,3 x1 2 x2  x 2 ,0 .
1
3
2
1
2
3
3
2
1
2
2
3
3
10.15.
10.16.
Ax 6 x1 5 x2 4 x3 ,3 x1 2 x2  x3 , x2 2 x3 , Ax 2 x1  x2 , x1 2 x2 3 ,4 x1 5 x2 6 x3 ,

 

Bx2 x  x , x 2 x 3 x ,0 ,
Bx6 5 x 4 x ,3 x 2 x  x , x 2 ,
Cxx ,3 x 2 x  x , x 2 x .
Cx  2 x1  x2 , x1 2 x2 3 x3 ,4 x1 5 x2 6 x3 .
4
3
2
3
1
1
2
3
2
2
3
1
2
1
2
3
3
10.17.
Ax 5 x1 4 x2 3 x3 ,2 x1  x2 , x2 2 ,

Bx5 x 4 x 3 x
Cx5 x 4 x 3 x
3
2
,
10.18.
Ax  x13 2 x2 3 x3 ,4 x1 5 x2 6 x3 ,7 x1 8 x2 ,


1
2
4
3 ,0 ,x2 2 x3
1
2
3 ,2 x1  x2 , x2 2 x3
.



Cxx 2 x 3 ,4 x 5 x 6 ,7 x 8 x .
Bx x1 2 x2 3 x3 ,4 x1 5 x2 6 x3 ,7 x1 8 x2 ,
1
2
1
2
1
2
22
10.19.
Ax x12 ,x1  x3 , x2  x3 ,


Bx1, x1  x3 ,x2  x3 ,
Cxx1 ,x1  x3 , x2  x3 .
10.20.
Ax x 2 x ,3 x 4 x 5 x ,6 x 7 x 8 x  ,
3
1
2
3
1
2
3
 2
Bx x2 2 ,3 x1 4 x2 5 ,6 x1 7 x2 8 x3 ,
10.21.
Ax 6 x1 5 x2 4 x3 ,3 x1 2 x2  x3 , x2 ,
10.22.
Ax 4 x1 3 x2 2 x3 ,x1 , x1 2 x24 3 x3 ,


Cxx23 2 x3 ,3 x1 4 x2 5 x3 ,6 x1 7 x2 8 x3 .


Bx6 x 5 x 4 ,3 x 2 x  x ,x ,
Cx6 x 5 x 4 x ,3 x 2 x  x ,0 .
1
2
1
2
1
3
3
2
1
3
2


Bx4 x 3 x 2 x ,x , x 2 x 3 x ,
Cx4 x 3 x 2 x ,x ,x 2 x 3 .
2
3
1
2
3
1
1
2
1
2
3
1
1
2
3
10.23.
10.24.
Ax5 x1 4 x2 3,2 x1  x2 ,x1 2 x2 3 x3 , Ax3 x1 2 x2  x3 ,x3 ,2 x1 3 x2 4 x3 ,
Bx 5 x 4 x 3 x 3 ,2 x  x ,x 2 x 3 x , Bx3 x1 2 x2  x3 ,1,2 x1 3 x2 4 ,

1
2
3
1
2
1
2
3



Cx5 x1 4 x2 3 x3 ,2 x1  x2 ,x1 2 x2 3 x3 . Cx 3 x1 2 x2  x3 ,x3 ,2 x14 3 x2 4 x3 .
10.25.
Ax 4 x1 3 x23 2 x3 ,x1  x3 ,0 ,
10.26.
Ax x1 ,x1 2 x2 3 ,4 x1 5 x2 6 ,




Bx4 x1 3 x2 2 x3 ,x1  x3 ,2 x1 3 x2 4 x3 , Bxx1 ,x1 2 x2 3 x3 ,4 x14 5 x2 6 x3 ,
Cx4 x1 3 x2 2 ,x1  x3 ,2 x1 3 x2 4 x3 . Cxx1 ,x1 2 x2 3 x3 ,4 x1 5 x2 6 x3 .
10.27.
10.28.
Ax 3 x1 4 x2 5 x3 ,6 x1 7 x2 8 x3 ,9 x1  x3 , Ax 2 x1  x2 ,x2 2 x3 ,3 x1 4 x22 5 x3 ,

 

Bx3 x 4 x 5 ,6 x 7 x 8 ,9 x  x ,
Bx2 x  x ,x 2 x ,3 x 4 x 5 x ,
Cx3 x 4 x 5 x ,6 x 7 x 8 x ,0 .
Cx 2 x  x ,x 2 ,3 x 4 x 5 .
1
2
1
2
1
3
3
2
1
1
2
3
3
10.29.
Ax 2 x1 3 x2 4 ,5 x1 6 x2 7 ,8 x1  x3 ,
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
2
1
10.30.
Ax x1 ,x1 2 x2 3 x3 ,4 x1 5 x2 6 x3 ,




Bx2 x 3 x 4 x ,5 x 6 x 7 x ,0 ,
Bxx ,x 2 x 3 ,4 x 5 x 6 ,
Cx2 x1 3 x2 4 x3 ,5 x1 6 x2 7 x3 ,8 x1  x3 .C x ,x 2 x 3 x ,4 x 5 x 6 x .
1
3
3
2
1
2
3
1
x
1
1
1
2
2
1
3
2
4
1
2
3
11. Пусть x x1 , x2 , x3 , Ax x2  x3 , x1 , x1  x3 , Bx x2 , 2x3 , x1 .
Найти :


11.1. A2  B x .


11.2. A2  B 2 x .


11.3. 2 B  A2 x.
23


11.4. B 3 x.
11.5. B 2  2 A x .
11.6.  AB  A x .
11.7. AB 2 x.
11.8.  AB  A x .
11.9. 2 B  2 A2  B 2 x .
11.10. B A  B  x .
11.11. 2 B  A  B 2 x .
11.12. B A  B  x .
11.13.  A  BA  B  x .
11.14. B  2 A2 x .
11.15. B2 A  B  x .
11.16. A2  B x .
11.17. B 4 x.
11.18. A2 x.
 

 
11.19. 2 A  3 B 2  x .






11.20. A2  B 2 x .
11.21. B 2 x.
11.22. BAx.
11.23. B2 A  B  x .
11.24. B 2  A x .
11.25. 2 AB  2 A x .
11.26.  A  B  x .
11.27. A2 B  A x .
11.28. BA2 x.
11.29. 3 A2  B x .
11.30. B  2 A2 x .
2









12. Найти матрицу линейного оператора в базисе e'1 ,e'2 ,e'3 , где
e'1 e1 e2  e3 , e'2  e1  e2  2e3 , e'3  e1  2e2  e3 , если она задана в


базисе e1 ,e 2 ,e 3 .
2 1 0


12.1.  1 0 1 
 1 1 1 

.
 1 0 1


12.2.  0 1 2 
 3 1 1 

.
 2 1 0 


1
12.3.  1 0
 1 1 1 

.
3
0 2


0 
12.4.  4 1
 2 1  2 

.
1 1 0


12.5.  1 1 1 
0 2 1

.
 1 1 3


12.6.  1 0 1 
 2 0 1

.
0 3 2 


12.7.  2 1 1 
 0 1 2 

.
 0 1 1


12.8.  0 2 1 
 1 2 1 

.
 2 0 0


12.9.  1 1 1 
 1 2 1 

.
1 2
0


0 1
12.10.  4
 1  2 1 

.
2 0 1 


12.11.  1 1 1 
 0 2 1 

.
0 0 1


12.12.  2 1 1 
 1 1 1 

.
24
3 0 1 


12.13.  1 1 0 
 2 1 1 

.
 0 1 1


12.14.  1 0 1 
 1 1 1 

.
2 0 1 


12.15.  0 1 1 
 1 1 1 

.
2 1 0


12.16.  3 0 4 
 1 1 2 

.
 1 1 1


12.17.  2 0 1 
 0 1 1

.
2
1 0


12.18.  3 1 0 
 1 1 2 

.
 2 0 1


12.19.  3 0 2 
 1 1 2 

.
2
1 0


12.20.  3 0 1 
 1 2 1 

.
1 2 0 


12.21.  3 0 1 
 2 1 1 

.
2 1 2


12.22.  3 0 2 
 1 0 1

.
0 1 1


12.23.  1 1 0 
 2 1 1

.
1 3 0 


12.24.  2 1 1 
0 2 1 

.
2 1 1 


12.25.  0 0 2 
 1 3 1

.
0 2 1 


12.26.  0 3 2 
 1 1 1

.
1 1 0


12.27.  0 1 1 
 2 3 1

.
1 1 2


12.28.  0 2 1 
 1 1 0 

.
 2 1 1 


12.29.  1 3 1 
0 1 0

.
 1 2 1


12.30.  0 2 0 
 1 1 1 

.
13. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе (i, j, k)), образ и
ядро оператора.
13.1. Проектирования на плоскость x  y 0 .
13.2. Проектирования на плоскость y  z  0 .
13.3. Зеркального отражения относительно плоскости x  y  0 .
13.4. Зеркального отражения относительно плоскости y  z  0 .
13.5. Проектирования на плоскость x  y  0 .
13.6. Проектирования на плоскость x  z  0 .
13.7. Зеркального отражения относительно плоскости x  z  0 .
25
13.8. Поворота относительно оси O z в положительном направлении на угол
π / 2.
13.9. Проектирования на ось O x .
13.10. Проектирования на плоскость z  0 .
13.11. Проектирования на ось O z .
13.12. Зеркального отражения относительно плоскости O yz .
13.13. Проектирования на ось O y .
13.14. Проектирования на плоскость y  0 .
13.15. Зеркального отражения относительно плоскости x  y  0 .
13.16. Проектирования на плоскость 3 y  z  0 .
13.17. Зеркального отражения относительно плоскости O xz .
13.18. Поворота в положительном направлении относительно оси O y на угол
π / 2.
13.19. Проектирования на плоскость x  z  0 .
13.20. Проектирования на плоскость y  3 z  0 .
13.21. Проектирования на плоскость
3x  z  0 .
13.22. Проектирования на плоскость 3 x  y  0 .
13.23. Поворота относительно оси O z в положительном направлении на угол
π/4.
13.24. Зеркального отражения относительно плоскости y  z  0 .
13.25. Проектирования на плоскость y  z  0 .
13.26. Проектирования на плоскость y  3 x .
13.27. Проектирования на плоскость O yz .
13.28. Зеркального отражения относительно плоскости x  z  0 .
13.29. Зеркального отражения относительно плоскости O xy .
13.30. Поворота относительно оси O x на угол π / 2 в положительном
направлении.
14. Найти собственные значения и собственные векторы оператора,
заданного матрицей.
 3 2 2 


14.1.  2 1 2 
 2 2 3 

.
 5 1 1 


14.2.  0 4 1
 0 1 4 

.
 5 4 4 


14.3.  2 1 2 
2 0 3

.
26
 7 4 4 


14.4.  2 3 2 
2 0 5

.
 2 0 1 


14.5.  1 1 1 
 1 0 2 

.
 5 2 2 


14.6.  0 5 0 
0 2 3

.
 13 2  2 


14.7.  6
9 6 
 2 2 5 

.
 5 1 1 


14.8.  2 4 1
 2 1 6 

.
 7 6 6 


14.9.  2 3 2 
2 2 3

.
0 
 15 0


14.10.  2 13  4 
 2  2 11 

.
 3 2 2 


14.11.  0 3 0 
0 2 1

.
0 
9 0


14.12.  2 7  4 
 2 2 5 

.
 2 1 1 


14.13.  1 2 1 
0 0 1 

.
 7 6 6 


14.14.  4 1 4 
 4 2 5 

.
 4 1 1 


14.15.  2 3  2 
 1 1 2 

.
 6 1 1 


14.16.  2 5  2 
 1 1 4 

.
7 2  2 


14.17.  4 5  2 
0 0 3 

.
5 0 0 


14.18.  1 4  1 
 1 1 4 

.
 7 4  2 


14.19.   2 5  2 
0
0
9  .

 19 2  2 


14.20.  6 15 6 
 2  2 11 

.
 5  2 4 


3
0 
14.21.  0
 2 2 7 

.
 4  2 1 


14.22.  1 3 1
 1 2 2 

.
3 0 0 


14.23.  1 2 1 
 1 1 2 

.
 3 1 1 


14.24.  2 2 1
 2 1 4 

.
 6  2 1 


14.25.  1 3 1 
 1 2 4 

.
 9 6

14.26.   2 5
 2 2

 4 1 0


14.27.  1 4 0 
 1 1 5 

.
6 

2 
13  .
27
 2 1 0


14.28.  1 2 0 
 1 1 3 

.
 3 1 1 


14.29.  0 2 1 
 0 1 2 

.
 2 1 0 


14.30.  1 2 0 
 1 1 1 

.
15. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом
Лагранжа.
15.1. x12  2 x1 x2  2 x1 x3  5 x22 10 x2 x3  4 x32 . 15.2. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  3 x22  4 x2 x3  x32 .
15.3. x12  4 x1 x2  2 x1 x3  5 x22 6 x2 x3  x32 . 15.4. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  x32 .
15.5. x12  4 x1 x3  x22  2 x2 x3  4 x32 .
15.6. x12  2 x1 x2  2 x1 x3 3 x22 6 x2 x3 4 x32 .
15.7. x12  2 x1 x2  2 x1 x3  2 x22  4 x2 x3  x32 . 15.8. x12  4 x1 x2  2 x1 x3  3 x22  2 x2 x3  x32 .
15.9. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  4 x2 x3  2 x32 .
15.10. x12  4 x1 x3  x22  2 x2 x3  2 x32 .
15.11. 4 x12  4 x1 x2  4 x1 x3 3 x22  2 x32 .
15.12. x12  2 x1 x2  2 x1 x3  x32 .
15.13. 4 x12  8 x1 x2  4 x1 x3  x32 .
15.14. x12  2 x1 x2  2 x1 x3  2 x22  4 x2 x3  3 x32 .
15.15. 4 x12  8 x1 x2  4 x1 x3  3 x22 4 x32 .
15.16. x12  4 x1 x3  x22  2 x2 x3  4 x32 .
15.17. 4 x12  4 x1 x2  8 x1 x3 3 x22  4 x32 .
15.18. x12  2 x1 x2  2 x1 x3  x32 .
15.19. 4 x12  8 x1 x2  4 x1 x3  x32 .
15.20. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  8 x22 12x2 x3  4 x32 .
15.21. 4 x12  8 x1 x2  4 x1 x3  3 x22  2 x32 .
15.22. 4 x12  4 x1 x2  8 x1 x3  5 x22  8 x2 x3  4 x32 .
15.23. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  3 x22  4 x2 x3  x32 .
15.24. 4 x12  8 x1 x2  4 x1 x3  8 x22  8 x2 x3  x32 .
15.25. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  x32 .
15.26. 4 x12  8 x1 x2  4 x1 x3  5 x22  8 x2 x3  4 x32 .
15.27. x12  2 x1 x2  2 x1 x3 3 x22 6 x2 x3  2 x32 .
15.28. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  5 x22 12x2 x3 7 x32 .
15.29. x12  4 x1 x2  2 x1 x3  3 x22  2 x2 x3  x32 .
15.30. x12  4 x1 x2  4 x1 x3  8 x22 16 x2 x3 7 x32 .
16. Привести квадратичную форму к каноническому виду
ортогональным преобразованием.
16.1.
16.2.
x12  x22  4 x32  2 x1 x2  2 3 x2 x3 .
5 2 2 5 2 2 3 2 2
2
x1 
x2 
x3 
x x x x x x .
4
4
2
2 1 2 1 3 2 3
28
16.3.
16.4.
4 x12  4 x22  x32  2 x1 x2 4 x1 x3  4 x2 x3 .
3 x12 7 x22  3 x32  8 x1 x2  8 x1 x3  8 x2 x3 .
16.5.
16.6.
3
3 x12  4 x22  x32  2 3 x1 x2  x1 x3  3 x2 x3 .
2
x12  5 x22  x32  4 x1 x2  5 2 x1 x3  2 x2 x3 .
16.7.
16.8.
 x12  x22 3 x32  2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 .
16.9.
4
8 2
x12  x22  x32  x1 x2 
x x .
3
3 2 3
16.10.
x12 7 x22  x32 4 x1 x2  2 x1 x3 4 x2 x3 .
 2 x12  2 x22  2 x32  4 x1 x2  5 2 x1 x3  2 x2 x3 .
16.11.
16.12.
16.13.
16.14.
2
2
2
10 x12 14 x22 7 x32 10 x1 x2  2 x1 x3 5 2 x2 x3 . 1/ 2 x1 5 x2 1/ 2 x3 4 x1 x2 3 x1 x3 4 x2 x3 .
3/ 2x12 5 x22 3/ 2x32 4 x1 x2 x1 x3 4 x2 x3 .
16.15.
x12  x22  x32 4 x1 x3  4 x2 x3 .
16.16.
2
2
2
x12  x22  2 x32  4 x1 x2  2 2 x1 x3  2 2 x2 x3 .  2 x1  2 x2  2 x3  4 x1 x2 6 x1 x3  4 x2 x3 .
16.17.
2 x12  3 x32  2
16.18.
3 x1 x2  4 x1 x3  4 3 x2 x3 .
16.19.
4
8 2
x12  x22  x32  x1 x2 
x x .
3
3 2 3
16.21.
x12  x32  8 x1 x2  4 2 x1 x3  2 2 x2 x3 .
16.23.
5 x12 13x22  5 x32  4 x1 x2  8 x2 x3 .
16.25.
2
4 2
2 x12  2 x22  2 x32  x1 x2 
x x .
3
3 2 3
16.27.
5 x12 4 x22 2 x32 4 x1 x2 2 2 x1 x3 4 2 x2 x3 .
2 x12  3 x22  2 x32  8 x1 x2  4 2 x1 x3  2 2 x2 x3 .
16.20.
 4 x12  x22  4 x32  4 x1 x2  4 x1 x3  4 x2 x3 .
16.22.
4 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x1 x3  8 x2 x3 .
16.24.
4 x12  4 x22  x32  2 x1 x2  2 3 x2 x3 .
16.26.
2 x12  2 x22  2 x32  8 x1 x2  8 x1 x3  8 x2 x3 .
16.28.
2 x12 9 x22 2 x32 4 x1 x2 4 x2 x3 .
29
16.29.
16.30.
2 x12 5 x22 2 x32 4 x1 x2 4 x2 x3 .
4 x12 4 x22 2 x32 4 x1 x2 8 x1 x3 8 x2 x3 .
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Написать разложение вектора x по векторам p, q , r.
1.1. x 1,7 ,0, p 0 ,3,1, q 1,1,2, r 2,1,0.
1.2. x 11,1,4, p 1, 1,2, q 3, 2,0, r 1,1,1.
1.3. x 13,2,18, p 1,1,4, q 3,0 , 2, r 1,2,1.
1.4. x 0 ,8 ,9, p 0 ,1,5, q 3,1, 1, r 4 ,0 ,1.
1.5. x 8 ,7 ,13, p 0 ,1,5, q 3, 1, 2, r 1,0 ,1.
1.6. x 2,7 ,5, p 1,0 ,1, q 1, 2,0, r 0 ,3,1.
1.7. x 15,20,1, p 0 , 2,1, q 0 ,1, 1, r 5,3,2.
1.8. x 2,1,11, p 1,1,0, q 0 ,1, 2, r 1,0 ,3.
1.9. x 11,5,3, p 1,0 ,2, q 1,0 ,1, r 2,5,3.
1.10. x 8 ,0 ,5, p 2,0 ,1, q 1,1,0, r 4 ,1,2.
1.11. x 3,1,8, p 0 ,1,3, q 1, 2, 1, r 2,0 ,1.
1.12. x 8 ,1,12, p 1, 2,1, q 3,0 , 2, r 1,1,1.
1.13. x 9 ,8 ,3, p 1, 4 ,1, q 3, 2,0, r 1,1,2.
1.14. x 5,9 ,13, p 0 ,1,2, q 3, 1,1, r 4 ,1,0.
1.15. x 15,5,6, p 0 , 5,1, q 3, 2,1, r 1,1,0.
1.16. x 8 ,9 ,4, p 1,0 ,1, q 0 ,2,1, r 1,3,0.
1.17. x 23,14,30, p 2,1,0, q 1, 1,0, r 3,2,5.
1.18. x 3,1,3, p 2,1,0, q 1,0 ,1, r 4 ,2,1.
1.19. x 6 ,12,1, p 1, 3,0, q 2, 1,1, r 0 ,1,2.
1.20. x 1,4 ,4, p 2,1,1, q 0 , 3, 2, r 1,1,1.
1.21. x 9 ,5,5, p 4 ,1,1, q 2,0 , 3, r 1,2,1.
1.22. x 5,5,5, p 2,0 ,1, q 1, 3, 1, r 0 ,4 ,1.
1.23. x 13,2,7, p 5,1,0, q 2, 1, 3, r 1,0 ,1.
1.24. x 19,1,7, p 0 ,1,1, q 2,0 ,1, r 3,1,0.
30
1.25. x 3,3,4, p 1,0 ,2, q 0 ,1,1, r 2,1,4.
1.26. x 3,3,1, p 3,1,0, q 1, 2,1, r 1,0 ,2.
1.27. x 1,7 ,4, p 1, 2,1, q 2,0 , 3, r 1,1,1.
1.28. x 6 ,5,14, p 1,1,4, q 0 , 3, 2, r 2,1,1.
1.29. x 6 ,1,7, p 1, 2,0, q 1,1, 3, r 1,0 ,4.
1.30. x 5,15,0, p 1,0 ,5, q 1, 3, 2, r 0 ,1,1.
2. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и
координаты вектора d в этом базисе.
2.1. a   3,0 , 1, b  2, 7 ,  3, c   4 , 3, 5, d   16 , 33,13.
2.2. a  5, 1, 2, b   2, 1, 3, c  4 ,  3, 5, d  15,  15, 24
найти
.
2.3. a  0 , 2,  3, b  4 ,  3,  2, c   5,  4 , 0, d   19,  5,  4.
2.4. a  3,  1, 2, b   2, 3, 1, c  4 ,  5,  3, d   3, 2,  3.
2.5. a  5, 3, 1, b   1, 2,  3, c  3,  4 , 2, d   9 ,  34, 20.
2.6. a  3,1,  3, b   2, 4 , 1, c  1,  2, 5, d  1, 2,  20.
2.7. a  6 ,1,  3, b   3, 2,1, c   1,  3, 4, d  15,6 ,  17.
2.8. a  4 , 2, 3, b   3,1,  8, c  2,  4 , 5, d   12,14,  31 .
2.9. a   2,1, 3, b  3,  6 , 2, c   5,  3,  1, d   31,  6 , 22.
2.10. a  1, 3, 6, b   3, 4 ,  5, c  1,  7 , 2, d   2, 17 , 5.
2.11. a  7 , 2, 1, b  5, 1,  2, c   3, 4 , 5, d  26 , 11, 1.
2.12. a  5, 4 , 1, b   3, 5, 2, c  2,  1, 3, d  7 , 23, 4.
2.13. a  2,  1, 4, b   3, 0 ,  2, c  4 , 5,  3, d  0 , 11,  14.
2.14. a   1, 1, 2, b  2,  3,  5, c   6 , 3,  1, d  28,  19,  7.
2.15. a  1, 3, 4, b   2, 5, 0, c  3,  2,  4, d  13,  5,  4.
2.16. a  1,  1, 1, b   5,  3, 1, c  2,  1, 0, d   15,  10, 5.
2.17. a  3, 1, 2, b   7 ,  2,  4, c   4 , 0 , 3, d  16 , 6 , 15.
2.18. a  3, 5, 4, b   2, 7 ,  5, c  6 ,  2, 1, d  6 ,  9 , 22.
2.19. a  5, 3, 2, b  2,  5, 1, c   7 , 4 ,  3, d  36 , 1,15 .
2.20. a  11, 1, 2, b   3, 3, 4, c   4 ,  2, 7, d   5, 11,  15.
2.21. a  9 , 5, 3, b   3, 2, 1, c  4 ,  7 , 4, d   10,  13, 8.
2.22. a  7 , 2, 1, b  3,  5, 6, c   4 , 3,  4, d   1, 18,  16.
2.23. a  5, 7 ,  2, b   3, 1, 3, c  1,  4 , 6, d  14, 9 ,  1.
2.24. a   1, 4 , 3, b  3, 2,  4, c   2,  7 , 1, d  6 , 20,  3.
31
2.25. a  1, 2, 3, b   5, 3,  1, c   6 , 4 , 5, d   4 , 11, 20.
2.26. a   2, 5, 1, b  3, 2,  7, c  4 ,  3, 2, d   4 , 22,  13.
2.27. a  3, 1, 2, b   4 , 3,  1, c  2, 3, 4, d  14, 14, 20 .
2.28. a  3,  1, 2, b   2, 4 , 1, c  4 ,  5,  1, d   5, 11, 1.
2.29. a  4 , 5, 1, b  1, 3, 1, c   3,  6 , 7, d  19, 33, 0.
2.30. a  1,  3, 1, b   2,  4 , 3, c  0 ,  2, 3, d   8 ,  10, 13.
3. По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти: а)
модуль вектора a ; б) скалярное произведение векторов a и b ; в)
проекцию вектора c на вектор d ; г) координаты точки М,
делящей отрезок l в отношении α : β .
3.1.
A2,4 ,6  , B3,5,1 , C 4 ,5,4  , a  6 BC  2 BA, b c CA, d  BA, l  BC , α 1, β 3.
3.2.
A4 ,2,5 , B3,7 ,2 , C 4 ,6 ,3 , a 9 BA 3BC , b c  AC , d  BC , l  BA, α 4 , β 3.
3.3.
A5,4 ,4  , B5,2,3 ,C 4 ,2,5,a 11AC 6 AB,b  BC ,c  AB,d  AC ,l  BC ,α 3, β 1.
3.4.
A3,4 ,6 , B4 ,6 ,4 ,C 5,2,3,a  7 BC  4CA,b  BA,c CA,d  BC ,l  BA,α 5, β 3.
3.5.
A5,2,6  , B3,4 ,5 , C 2,5,4  , a 8 AC 5 BC , b c  AB, d  BC , l  AC , α 3, β 4.
3.6.
A3,4 ,1 , B5,2,6  , C 4 ,2,7  , a  7 AC  5 AB, b c  BC , d  AC , l  AB, α  2, β 3.
3.7.
A2,4 ,3 , B3,2,4  , C 0 ,0 ,2 , a 3 AC 4CB , b c  AB, d CB , l  AC , α  2, β 1.
3.8.
A3,4 ,4  , B 2,1,2 , C 2,3,1 , a 5CB  4 AC , b c  BA, d  AC , l  BA, α  2, β 5.
3.9.
A0 ,2,5 , B2,3,4  , C 3,2,5 , a 3 AB4CB , b c  AC , d  AB, l  AC , α 3, β 2.
3.10.
A 2,3,4  , B2,4 ,0  , C 1,4 ,5 , a 4 AC 8 BC , b c  AB, d  BC , l  AB, α 4 , β  2.
3.11.
A 2,3,2 , B1,4 ,2 , C 1,3,3 , a  2 AC 4 BC , b c  AB, d  AC , l  BC , α 3, β 1.
3.12.
A5,6 ,1 , B2,4 ,1 , C 3,3,3 , a 3 AB4 BC , b c  AC , d  AB, l  BC , α 3, β 2.
32
3.13.
A4 ,3,2 , B4 ,3,5 , C 6 ,4 ,3 , a 8 AC 5 BC , b c  BA, d  AC , l  BC , α  2, β 5.
3.14.
A5,4 ,3 , B4 ,5,2 , C 2,7 ,4  , a 3BC  2 AB, b c CA, d  AB, l  BC , α 3, β 4.
3.15.
A6 ,4 ,5, B7 ,1,8 ,C 2,2,7 ,a 5CB 2 AC ,b  AB,c CB, d  AC ,l  AB,α 3, β  2.
3.16.
A6 ,5,4 , B5,2,2,C 3,3,2, a 6 AB 3CB, b c  AC , d CB,l  BC , α 1, β 5.
3.17.
A3,5,6 ,B3,5,4 ,C 2,6 ,4 ,a 4 AC 5 BA,b CB ,c  BA, d  AC ,l  BA,α 4 ,β 2.
3.18.
A3,5,4  , B4 ,2,3 , C  2,4 ,7  , a 3BA4 AC , b  AB ,c  BA, d  AC , l  BA, α  2, β 5.
3.19.
A4 ,6 ,7  , B2,4 ,1 , C 3,4 ,2 , a 5 AB 2 AC , b c  BC , d  AB, l  AB, α 3, β 4.
3.20.
A4 ,6 ,3 , B5,2,6  ,C 4 ,4 ,3 ,a 4CB  AC ,b  AB ,c CB ,d  AC ,l  AB,α 5, β 4.
3.21.
A4 ,3,2, B3,1,4 ,C 2,2,1,a 5 AC 3CB ,b AB ,c  AC ,d CB ,l  BC ,α 2,β 3.
3.22. A10 ,6 ,3 , B 2,4 ,5 ,C 3,4 ,6  ,a 5 AC  2CB ,b c  BA,d  AC ,l CB ,α 1, β 5.
3.23.
A3,2,4  , B 2,1,3 ,C 2,2,1 ,a 4 BC 3 AC ,b  BA,c  AC ,d  BC ,l  AC ,α  2, β 4.
3.24.
A 2,3,4  , B3,1,2 ,C 4 ,2,4  ,a 7 AC  4CB ,b c  AB,d CB ,l  AB,α  2, β 5.
3.25.
A4 ,5,3 , B4 ,2,3 ,C 5,6 ,2 ,a 9 AB 4 BC ,b c  AC ,d  AB,l  BC ,α 5, β 1.
3.26.
A 2,2,4  ,B1,3,2 ,C 1,4 ,2 , a  2 AC 3BA, b c  BC , d  AC ,l  BA, α  2, β 1.
3.27.
A2,4 ,3 , B3,1,4  ,C 1,2,2 ,a  2 BA 4 AC ,c b  BA,d  AC ,l  BA,α 1, β 4.
3.28.
A2,4 ,5 , B1,2,3 ,C 1,2,4  ,a 3 AB 4 AC ,c b  BC ,d  AB,l  AB,α  2, β 3.
33
3.29.
A1,2,4  , B1,3,5 ,C 1,4 ,2 ,a 3 AC 7 BC ,c b  AB ,d  AC ,l  AC ,α 1, β 7.
3.30.
A1,3,2 , B 2,4 ,1 ,C 1,3,2 ,a  2 AB  5CB,c b  AC ,d  AB,l  AB,α  2, β 4.
4. Даны векторы а, b и c. Необходимо: а) вычислить смешанное
произведение трех векторов; б) найти модуль векторного
произведения;
в) вычислить скалярное произведение двух
векторов; г) проверить,
будут ли коллинеарны или
ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны
три вектора.
4.1. a 4i 3 j 7 k , b 4i 6 j 2k , c 6 i 9 j 3k ; а)  2a,b,  2c; б) 4b, 7 c;
в) 5a, 3b; г) b, c ; д)  2a,4b, 7c.
4.2. a 5i  2 j 2k , b 7 i 5k , c 2i 3 j 2k ; а) 2a,4b, 5c; б) 3b, 11c;
в) 8a, 6 c; г) a, c; д) 8a, 3b, 11c.
4.3. a 4i 6j 2k , b 2i 3 j k , c i 5 j 3k ; а) 5a,7 b, 2c; б) 4b, 11a ;
в) 3a, 7 c; г) a, b; д) 3a,7 b, - 2c.
4.4. a 4i  2 j 3k , b 3i 5k , c 6 i 6 j 4k ; а) 5a,b, 3c; б) -7b, 4c;
в) 3a,9b; г) a, c; д) 3a, 9b, 4c.
4.5. a 3i 8 j, b 2i 3 j 2k , c 8i 12 j 8k ; а) 4a,6 b, 5c; б) -7 a, 9c;
в) 3b, 8c; г) b, c ; д) 4a, 6 b, 9c.
4.6. a 2i 4 j 2k, b 9i  2k , c 3i 5 j 7 k ; а)7 a,5b, c; б) -5a, 4b;
в) 3b, 8c; г) a, c; д) 7 a, 5b, -c.
4.7. a 9i 3 j  k, b 3i 15 j  21k , c i 5 j 7 k ; а) 2a,7 b, 3c; б) -6 a, 4c;
в) 5b,7 a; г) b, c ; д) 2a, 7 b, 4c .
4.8. a 2i 3 j  k, b  j 4k , c 5i  25 j  3k; а) a,3b, c; б) 3a, 2c;
в) b, 4c; г) a, c; д) a, 2b, 3c.
4.9. a 3i  4j k, b i 2 j 7 k , c 3i 6 j  21k ; а) 5a, 2b, c; б) 4b, 2c;
в) a, c; г) b, c ; д) 2a, 3b, c.
4.10. a 2i 4j 2k, b 7 i  3k , c 3i 5 j 7 k ; а) a, 2b, 3c; б) 3a, 2b, 3c;
в) c,  2a; г) a, c; д) 3a, 2b, 3c.
4.11. a 7 i  2k, b 2i 6 j 4k , c i 3 j 4k ; а) 2a,  2b,7 c; б) 4b, 3c;
в) 2a, 7 c; г) b, c ; д) 2a, 4b, 3c.
4.12. a  4i  2 j  k, b  3i  5 j  2k , c  3 j  5k ; а) a, 6 b, 3c; б) 2b, a ;
34
в) a,  4c; г) a, b; д) a, 6 b, 3c.
4.13. a  3i  2 j  k, b  2 j  3k , c  3i  2 j  k ; а) a,  3b, 2c ; б) 5a, 3c ;
в) - 2a, 4b; г) a, c ; д) 5a, 4b, 3c.
4.14. a  4i  j  3k, b  2i  3 j  5k , c 7 i  2 j  4k ; а) 7 a,  4b, 2c;
б) 3a, 5c; в) 2b , 4c ; г) b, c ; д) 7 a, 2b, 5c.
4.15. a  4i  2 j  3k, b  2i  k , c  12i 6 j  9k ; а) 2a, 3b, c; б) 4a,3b;
в) b ,  4c ; г) a, c; д) 2a, 3b,  4c.
4.16. a  i  5k , b  3i  2 j  2k , c  2i  4 j  k ; а) 3a,  4b, 2c;
б) 7 a, 3c;
в) 2b , 3a ; г) b, c ; д) 7 a, 2b,  3c.
4.17. a 6 i  4 j  6 k , b  9i 6 j  9k , c  i  8k ; а) 2a,  4b, 3c; б) 3b ,  9c;
в) 3a , 5c; г) a, b; д) 3a,  4b,  9c.
4.18. a  5i  3 j  4k , b  2i  4 j  2k , c  3i  5 j 7 k ; а) a,  4b, 2c;
б)  2b , 4c; в)  3a ,6 c; г) b, c; д) a,  2b, 6 c.
4.19. a  2i 7 j  5k , b  i  2 j 6 k , c  3i  2 j  4k ; а) - 3a, 6 b, c;
б) 5b , 3c; в) 7 a , 4b; г) b, c; д) 7 a,  4b, 3c.
4.20. a 7 i  4 j  5k , b  i 11 j  3k , c  5i  5 j  3k ; а) 3a, 7 b, 2c;
б) 2b , 6 c; в)  4a , 5c; г) a, c ; д) - 4a, 2b, 6 c.
4.21. a  4i 6 j  2k , b  2i  3 j  k , c  3i  5 j 7 k ; а) 6 a, 3b, 8 c;
б) 7 b , 6 a ; в)  5a , 4c; г) a, b; д) - 5a, 3b, 4c.
4.22. a  3i  j  2k , b  i  5 j  4k , c 6 i  2 j  4k ;
а) 4a, 7 b,  2c; б) 6 a ,  4c; в)  2a ,5b; г) a, c ; д) 6 a, 7 b,  2c.
4.23. a  3i  j  5k , b  2i  4 j  8k , c  3i 7 j  k ; а) 2a,  b, 3c;
б)  9b , 4c; в) 5b , 6 c; г) b, c; д) 2a, 5b,  6 c.
4.24. a 3i  2 j 7 k , b i 5k , c 6 i 4 j k ; а) - 2a, b, 7 c; б) 5a ,  2c;
в) 3b ,c ; г) a, c ; д) - 2a, 3b, 7 c.
4.25. a  3i  j  5k , b  2i  4 j  6 k , c  i  2 j  3k ; а) - 3a, 4b,  5c;
б) 6 b , 3c; в) a ,4c ; г) b, c; д) - 3a, 4b,  5c.
4.26. a  4i  5 j  4k , b  5i  j , c  2i  4 j  3k ; а) a, 7 b,  2c; б)  5a , 4b;
в) 8c , 3a ; г) a,c ; д) - 3a, 4b, 8c.
4.27. a  9i  4k , b  2i  4 j  6 k , c  3i 6 j  9k ; а) 3a,  5b,  4 c;
б) 6 b , 2c; в)  2a ,8c; г) b, c; д) 3a, 6 b,  4c.
4.28. a  5i 6 j  4k , b  4i  8 j -7 k , c  3 j  4k ; а) 5a, 3b,  4 c; б) 4b , a ;
в) 7 a , 2c; г) a, b; д) 5a, 4b,  2c.
4.29. a  2i  4 j  3k , b  5i  j  2k , c 7 i  4 j  k ; а) a,  6 b, 2c;
б)  8b , 5c; в)  9a ,7 c; г) a, b; д) a,  6 b, 5c.
35
4.30. a  9i  4 j  5k , b  i  2 j  4k , c  5i  10 j  20k ; а) - 2a, 7 b, 5c;
б)  6 b ,7 c; в) 9a ,4c ; г) b, c; д) - 2a, 7 b, 4c.
5. Найти косинус угла между векторами AB и AC .
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
A0 ,3,6 ,B 12,3,3,C  9 ,3,6 .
5.17.
5.16.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
A3,3,1 , B5, 1, 2,C 4 ,1, 3.
A 2, 1, 1  , B2, 3,  2 ,C 0 , 0 , 3.
A1, 4 , 1 , B 2, 4 ,  5 ,C 8 , 4 ,0 .
A0 ,1,0  , B0 , 2,1 ,C 1, 2,0 .
A 4 ,0 ,4 , B1,6 ,7 ,C 1,10,9 .
A 2,4 ,6 ,B0 ,2,4 ,C 6 ,8 ,10.
A1, 2,3, B0 ,1, 2,C 3, 4 ,5.
A3,3,1,B5,5,2,C 4 ,1,1.
A1,2,3,B3,4 ,6 ,C 1,1,1.
A7 ,0 ,2,B7 ,1,3,C 8 ,1, 2.
A2,3,2,B1, 3,1,C  3,7 ,3.
A2,2,7 ,B0 ,0 ,6 ,C  2,5,7 .
A1,2,3,B0 ,1,2,C  3,4 ,5.
A0 ,3,6 ,B9 ,3,6 ,C 12,3,3.
A6 ,2,3 ,B6 , 3,2,C 7 ,3,3.
A0 ,0 , 4 , B 3,6 ,1,C  5,10,1.
A2, 8 ,1, B4 ,6 ,0 ,C  2, 5,1.
A3,6 ,9 , B0 , 3,6 ,C 9 ,12,15.
A0 ,2, 4 , B8 ,2, 2,C 6 ,2,4 .
A3,3,1, B5,1,  2,C 4 ,1,1.
A 4 ,3,0 , B0 ,1, 3,C  2,4 , 2.
A1,1,0 ,B 2,1,4 ,C 8 ,1,1.
5.18.
A 4 , 2,0 ,B1, 2,4 ,C 3, 2,1.
A5,3,1,B5,2,0 ,C 6 ,4 ,1.
A 3,7 ,5,B0 ,1,2,C 2, 3,0 .
A2, 4 ,6 ,B0 , 2,4 ,C 6 , 8 ,10.
A0 ,1,2,B3,1,2,C 4 ,1,1.
A3,3,1,B1,5,2,C 4 ,1,1.
A2,1,1,B6 ,1,4 ,C 4 ,2,1.
36
6. Коллинеарны ли векторы c1 и c 2 , построенные по векторам a и b ?
6.1.
6.2.
a 2,1,6,b 1,3,8,c1 5a  2b,c2  2a 5b. a 3,7 ,0,b 1,3,4,c1  4a  2b,c2  b  2a.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
a 5,0 ,8,b  3,1,7,c1 3a 4b,c2 12b 9a. a 1,2,1,b 2,7 ,1,c1 6 a  2b,c2  b  3a.
a 1,3,4,b 2,1,0,c1 6 a  2b,c2 b  3a. a 7 ,9 ,2,b 5,4 ,3,c1  4a  b,c2  4b  a.
a 4 ,2,7,b 5,0 ,3,c1  a 3b,c2 6 b  2a. a 5,0 ,2,b 6 ,4 ,3,c1  5a  3b,c2 6 b 10a.
a 2,0 ,5,b 1,3,4,c1  2a  5b,c 2  5a  2b.
a 1,2,8,b 3,7 ,1,c1  4a 3b,c 2  9b12a.
a 1,0 ,1,b  2,3,5,c1  a  2b,c 2  3a  b.
a  2,4 ,1,b 1,2,7,c1 5a  3b,c2  2a b.
a 1,2,3,b 2,1,1,c1  4a3b,c 2  8ab.
a 1,2,4,b 7 ,3,5,c1 6 a3b,c 2  b2a.
a 3,7 ,0,b 4 ,6 ,1,c1  3a2b,c 2  5a7 b.
a 2,1,4,b 3,7 ,6,c1  2a  3b,c 2  3a  2b.
a 5,1,2,b 6 ,0 ,7,c1  3a2b,c 2  4b6 a.
a 9 ,5,3,b 7 ,1,2,c1  2a b,c2 3a  5b.
a 8 ,3,1,b 4 ,1,3,c1  2a  b,c2  2b 4a.
a 3,1,6,b 5,7 ,10,c1  4a2b,c 2  b2a.
a 3,4 ,1,b 2,1,1,c1 6 a 3b,c2 b  2a.
a 2,3,2,b 1,0 ,5,c1  3a9b,c 2  a3b.
a 1,4 ,2,b 3,2,6,c1  2a b,c2 3b 6 a.
a 5,0 ,1,b 7 ,2,3,c1  2ab,c 2  3b6 a.
a 0 ,3,2,b 1,2,1,c1  5a2b,c 2  3a5b.
a 2,7 ,1,b 3,5,2,c1  2a3b,c 2  3a2b.
a 3,5,4,b 5,9 ,7,c1  2ab,c 2  3a2b.
a 1,4 ,2,b 1,1,1,c1  ab,c 2  4a2b.
37
6.29.
a 4 ,2,9,b 0 ,1,3,c1  4b3a ,c 2  4a3b.
6.30.
a 1,2,5,b 3,1,0,c1  4a2b,c 2  b2a.
7.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b.
7.1.
7.2.

a  4 p  q ,b  p  2q; p  5 , q 4 ,( pq ) π / 4.
7.3.

a  2 p  3q ,b  p  2q; p 6 , q 7 ,( pq )π / 3.
7.5.

a  3 p  q ,b  p  2q; p  3, q  4 ,( pq ) π / 3.
7.7.

a  2 p  3q ,b  p  2q; p  2 , q  3,( pq ) π / 4.
7.9.

a  2 p  3q ,b  3 p  q; p  4 , q 1,( pq ) π / 6.
7.11.

a  5 p  q ,b  p  3q; p 1, q  2 ,( pq ) π / 3.
7.13.

a  p  3q ,b  p  2q; p 1/ 5 , q 1,( pq ) π / 2.
7.15.


a  5 p  q ,b  p  q; p  5 , q  3,( pq ) 5π / 6.
7.4.

a 3 p 4q ,b  p  3q; p  2 , q 3,( pq )π / 4.
7.6

. a 6 p  q ,b  5q  p; p 1/ 2, q  4 ,( pq ) 5π / 6.
a  3 p  2q ,b  p  5q; p  4 , q 1/ 2 ,( pq ) 5π / 6.

a 6 p  q ,b  p  q; p  3, q  4 ,( pq ) π / 4.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.

a  p  2q ,b  2 p  q; p  2 , q  3,( pq ) 3π / 4.

a  p  3q ,b  p  2q; p  2 , q  3,( pq ) π / 3.

a  2 p  q ,b  p  3q; p  3, q  2 ,( pq ) π / 2.

a  4 p  q ,b  p  q; p 7 , q  2 ,( pq ) π / 4.

a  p  4q ,b  3 p  q; p 1, q 1,( pq ) π / 6.
7.8.

a  2 p  3q ,b  p  2q; p  2 , q 1,( pq ) π / 3.
7.10.

a  2 p  3q ,b  5 p  q; p  2 , q  3,( pq ) π / 2.
7.12.

a  3 p  2q ,b  2 p  q; p  4 , q  3,( pq ) 3π / 4.
7.14.

a 7 p  2q ,b  p  3q; p 1/ 2 , q  2 ,( pq ) π / 2.
7.16.

a 10 p  q ,b  3 p  2q; p  4 , q 1,( pq ) π / 6.

a 6 p  q ,b  p  2q; p  8 , q 1/ 2 ,( pq ) π / 3.

a  3 p  4q ,b  q  p; p  2 ,5 , q  2 ,( pq ) π / 2.

a 7 p  q ,b  p  3q; p  3, q 1,( pq ) 3π / 4.

a  p  3q ,b  3 p  q; p  3, q  5 ,( pq ) 2π / 3.
38
7.27.
7.28.
7.29.
7.30.

a  p  4q ,b  2 p  q; p 7 , q  2 ,( pq ) π / 3.

a  3 p  2q ,b  p  q; p 10, q 1,( pq ) π / 2.

a  3 p  q ,b  p  3q; p 7 , q  2 ,( pq ) π / 4.

a  3 p  q ,b  p  2q; p  4 , q 1,( pq ) π / 4.
8. Компланарны ли векторы а, b и с?
8.1.
8.2.
a 4 ,1,6,b 1,3 ,7,c 2 ,1,4. a 4 ,3,1,b 6 ,7 ,4,c 2 ,0 ,1.
8.3.
8.4.
8.5.
a 3,0 ,3,b 8 ,1,6,c 1,1,1.
8.7.
a 1,1,4,b 1,0 , 3,c 1,3,8.
8.9.
a 6 ,3,4,b 1, 2, 1,c 2,1,2.
8.11.
a 4 ,1,1,b 9 ,4 , 9,c 6 ,2,6.
8.13.
a 3,3,3,b 4 ,7 ,6,c 3,0 ,1.
8.15.
a 5,3,4,b 1,0 , 1,c 4 ,2,4.
8.17.
8.6.
a 3,7 ,2,b 2,0 , 1,c 2,2,1.
8.8.
a 1,2,6,b 1,0 ,1,c 2,6 ,17.
8.10.
a 6 ,3,4,b 1, 2, 1,c 2,1,2.
8.12.
a 7 ,3,4,b 1, 2, 1,c 4 ,2,4.
8.14.
a 2,3,2,b 4 ,7 , 5,c 2,0 ,1.
8.16.
a 3,1,0,b 5 ,4 ,5,c 4 ,2 ,4.
a 3,10,5,b 2,2, 3,c 2,4 ,3.
8.19.
a 2,4 ,3,b 4 ,3,1,c 6 ,7 ,4.
8.21.
a 3,1,1,b 1,0 , 1,c 8 ,3,2.
8.23.
a 4 ,2,2,b 3,3, 3,c 2,1,2.
8.25.
a 4 ,1,2,b 9 ,2, 5,c 1,1,1.
8.27.
a 5,3,4,b 4 ,3, 3,c 9 ,5,8.
8.29.
a 3,4 ,2,b 1,1,0,c 8 ,11,6.
a3,2 ,1,b1,3,7,c1,2 ,3.
a 7 ,4 ,6,b 2,1,1,c 19,11,17.
8.18.
a 2,3,1,b 1,0 , 1,c 2,2,2.
8.20.
a 3,2,1,b 2,3, 4,c 3,1,1.
8.22.
a 1,5,2,b 1,1, 1,c 1,1,1.
8.24.
a 1,1,3,b 3,2,1,c 2,3,4.
8.26.
a 3,3,1,b 1, 2,1,c 1,1,1.
8.28.
a 3,1,1,b 2,1,0,c 5,2,1.
8.30.
a 4 ,3,1,b 1, 2,1,c 2,2,2.
39
9. Вершины пирамиды находятся в точках А, B, C и D. Вычислить:
а) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего
через середину ребра l и две вершины пирамиды; в) объем
пирамиды ABCD.
9.1. A7 ,4 ,2, B5, 3, 9 , C 1, 5, 3, D7 , 9 , 1; a ) ABD; б ) l  BD , A и C .
9.2. A8 ,2,7 , B3, 5, 9 , C 2, 4 , 6 , D4 , 6 , 5; a ) ACD; б ) l  AD, B и C .
9.3. A4 ,3,1, B2,7 , 5, C 4 , 2, 4 , D2, 3, 5; a ) ACD; б ) l  AB ,C и D .
9.4. A9 ,7 ,4 , B4 , 3, 1, C 5, 4 , 2, D3, 4 , 4 ; a ) BCD; б ) l CD , A и B .
9.5. A3,5,3, B3, 2, 8 , C 3, 2, 6 , D7 , 8 , 2; a ) ACD; б ) l  BD, A и C .
9.6. A4 ,2,3, B5, 4 , 2, C 5, 7 , 4 , D6 , 4 , 7 ; a ) ABD; б ) l  AD , B и C .
9.7. A4 ,2,3, B2, 5, 7 , C 6 , 3, 1, D6 , 4 , 1; a ) ACD; б ) l  BC , A и D .
9.8. A3,4 ,5, B1, 2, 1, C 2, 3, 6 , D3, 6 , 3; a ) ACD; б ) l  AB ,C и D .
9.9. A7 ,5,6 , B2, 5, 3, C 3, 2, 4 , D1, 2, 2; a ) BCD; б ) l CD, A и B .
9.10. A1,3,1, B1, 4 , 6 , C 2, 3, 4 , D3, 4 , 4 ; a ) ACD; б ) l  BC , A и D .
9.11. A2,4 ,1, B3, 2, 4 , C 3, 5, 2, D4 , 2, 3; a ) ABD; б ) l  AC , B и D .
9.12. A5,3,4 , B1, 4 , 6 , C 3, 2, 2, D8 , 2, 4 ; a ) ACD; б ) l  BC , A и D .
9.13. A3,4 ,2, B2, 3, 5, C 4 , 3, 6 , D6 , 5, 3; a ) ABD; б ) l  BD, A и C .
9.14. A4 ,6 ,3, B3, 5, 1, C 2, 6 , 4 , D2, 4 , 5; a ) ACD; б ) l  AD, B и C .
9.15. A7 ,5,8 , B4 , 5, 3, C 2, 3, 5, D5, 1, 4 ; a ) BCD; б ) l  BC , A и D .
9.16. A3,2,6 , B6 , 2, 3, C 1, 1, 4 , D4 , 6 , 7 ; a ) ABD; б ) l  BD, A и C .
9.17. A5,4 ,3, B7 , 3, 1, C 6 , 2, 0 , D3, 2, 7 ; a ) BCD; б ) l  AD, B и C .
9.18. A3,5,2, B4 , 2, 3, C 1, 5, 7 , D2, 4 , 5; a ) ACD; б ) l  BD, A и C .
9.19. A5,4 ,4 , B4 , 6 , 5, C 3, 2, 7 , D6 , 2, 9 ; a ) ABD; б ) l  BD, A и C .
9.20. A7 ,6 ,5, B5, 1, 3, C 8 , 4 , 0 , D3, 4 , 7 ; a ) BCD; б ) l  AD, B и C .
9.21. A7 ,1,2, B1,7 , 8 , C 3, 7 , 9 , D3, 5, 2; a ) ACD; б ) l  BD , A и C .
9.22. A5,2,7 , B7 , 6 , 9 , C 7 , 6 , 3, D1, 5, 2; a ) ABD; б ) l  AB ,C и D .
9.23. A2,5,1, B6 , 7 , 9 , C 4 , 5, 1, D2, 1, 4 ; a ) BCD; б ) l  BC , A и D .
9.24. A6 ,3,5, B5, 1, 7 , C 3, 5, 1, D4 , 2, 9 ; a ) ACD; б ) l  BC , A и D .
9.25. A7 ,4 ,9 , B1, 2, 3, C 5, 3, 0 , D1, 3, 4 ; a ) ABD; б ) l  AB ,C и D .
9.26. A4 ,7 ,3, B4 , 5, 7 , C 2, 3, 3, D3, 2, 1; a ) BCD; б ) l  BC , A и D .
9.27. A4 ,5,3, B3, 1, 2, C 5, 7 , 6 , D6 , 1, 5; a ) ACD; б ) l  BC , A и D .
9.28. A5,2,4 , B3, 5, 7 , C 1, 5, 8 , D9 , 3, 5; a ) ABD; б ) l  BD, A и C .
9.29. A6 ,4 ,5, B5, 7 , 3, C 4 , 2, 8 , D2, 8 , 3; a ) ACD; б ) l  AD , B и C .
40
9.30. A5,3,6 , B3, 4 , 4 , C 5, 6 , 8 , D4 , 0 , 3; a ) BCD; б ) l  BC , A и D .
10. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4
и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
10.1. A1 1, 3, 0 , A2 4 , 1, 2, A3 3, 0 , 1, A4 4 , 3, 5.
10.2. A1 2, 1, 1, A2 0 , 3, 2, A3 3, 1, 4 , A4 4 ,7 , 3.
10.3. A1 3, 5, 6 , A2 2, 1, 4 , A3 0 , 3, 1, A4 5, 2, 8 .
10.4. A1 2, 4 , 3, A2 5, 6 , 0 , A3 1, 3, 3, A4 10, 8 ,7 .
10.5. A1 1, 1, 2, A2 2, 1, 2, A3 1, 1, 4 , A4 6 , 3, 8 .
10.6. A1 1,1, 1, A2 2, 3, 1, A3 3, 2, 1, A4 5, 9 , 8 .
10.7. A1 1, 5, 7 , A2 3, 6 , 3, A3 2, 7 , 3, A4 4 , 8 , 12.
10.8. A1 3, 4 , 7 , A2 1, 5, 4 , A3 5, 2, 0 , A4 2, 5, 4 .
10.9. A1 1, 2, 3, A2 4 , 1, 20 , A3 2, 1, 2, A4 3, 4 , 5.
10.10. A1 4 , 1, 3, A2 2, 1, 0 , A3 0 , 5, 1, A4 3, 2, 6 .
10.11. A1 1, 1, 1, A2 2, 0 , 3, A3 2, 1, 1, A4 2, 2, 4 .
10.12. A1 1, 2, 0 , A2 1, 1, 2, A3 0 , 1, 1, A4 3, 0 , 1.
10.13. A1 1,0 , 2, A2 1, 2, 1, A3 2, 2, 1, A4 2, 1, 0 .
10.14. A1 1, 2 , 3 , A2 1, 0 , 1, A3 2 , 1, 6 , A4 0 , 5 , 4 .
10.15. A1 3,10, 1, A2 2, 3, 5, A3 6 , 0 , 3, A4 1, 1, 2.
10.16. A1 1, 2, 4 , A2 1, 2, 4 , A3 3, 0 , 1, A4 7 , 3, 1.
10.17. A1 0 , 3, 1, A2 4 , 1, 2, A3 2, 1, 5, A4 3, 1, 4 .
10.18. A1 4 , 2, 6 , A2 2, 3, 0 , A3 10, 5, 8 , A4 5, 2, 4 .
10.19. A1 7 , 2, 4 , A2 7 , 1, 2, A3 3, 3, 1, A4 4 , 2, 1.
10.20. A1 2,1, 4 , A2 1, 5, 2, A3 7 , 3, 2, A4 6 , 3, 6 .
10.21. A1 1, 5, 2, A2 6 , 0 , 3, A3 3, 6 , 3, A4 10, 6 ,7 .
10.22. A1 0 , 1, 1, A2 2, 3, 5, A3 1, 5, 9 , A4 1, 6 , 3.
41
10.23. A1 5, 2, 0 , A2 2, 5, 0 , A3 1, 2, 4 , A4 1, 1, 1.
10.24. A1 2, 1, 2, A2 1, 2, 1, A3 5, 0 , 6 , A4 10, 9 , 7 .
10.25. A1 2,0 , 4 , A2 1,7 , 1, A3 4 , 8 , 4 , A4 1, 4 , 6 .
10.26. A1 14, 4 , 5, A2 5, 3, 2, A3 2, 6 , 3, A4 2, 2, 1.
10.27. A1 1, 2, 0 , A2 3, 0 , 3, A3 5, 2, 6 , A4 8 , 4 , 9 .
10.28. A1 2, 1, 2, A2 1, 2, 1, A3 3, 2, 1, A4 4 , 2, 5.
10.29. A1 1,1, 2, A2 4 , 1, 2, A3 6 , 3, 7 , A4 7 , 5, 3.
10.30. A1 2, 3, 1, A2 4 , 1, 2, A3 6 , 3, 7 , A4 7 , 5, 3.
11. Даны четыре точки A1( x1 , y1 , z1 ) , A2 ( x2 , y2 , z2 ) , A3 ( x3 , y3 , z3 ) ,
A4 ( x4 , y4 , z4 ) . Составить уравнения: а) плоскости A1 A2 A3 ;
б) прямой A1 A2 ; в) прямой A4 M , перпендикулярной к плоскости
A1 A2 A3 ; г) прямой
A3 N , параллельной прямой A1 A2 ;
д) плоскости, проходящей через точку A4 перпендикулярно к
прямой A1 A2 . Вычислить: е) синус угла между прямой A1 A4 и
плоскостью A1 A2 A3 ;
ж) косинус угла между координатной
плоскостью Oxy и плоскостью A1 A2 A3 .
11.1. A1 6 ,6 , 5, A2 4 , 9 , 5, A3 4 , 6 , 11, A4 6 , 9 , 3.
11.2. A1 7 , 2, 2, A2 5,7 , 7 , A3 5, 3, 1, A4 2, 3,7 .
11.3. A1 8 , 6 , 4 , A2 10, 5, 5, A3 5, 6 , 8 , A4 8 , 10,7 .
11.4. A1 1, 1, 3, A2 6 , 5, 8 , A3 3, 5, 8 , A4 8 , 4 , 1.
11.5. A1 1, 2,7 , A2 4 , 2, 10, A3 2, 3, 5, A4 5, 3,7 .
11.6. A1 4 , 2, 10, A2 1, 2, 0 , A3 3, 5, 7 , A4 2, 3, 5.
11.7. A1 2, 3, 5, A2 5, 3, 7 , A3 1, 2, 7 , A4 4 , 2, 0 .
11.8. A1 5, 3,7 , A2 2, 3,7 , A3 4 , 2, 10, A4 1, 2,7 .
11.9. A1 4 , 3, 5, A2 1, 9 ,7 , A3 0 , 2, 0 , A4 5, 3, 10.
42
11.10. A1 3, 2, 5, A2 4 , 0 , 6 , A3 2, 6 , 5, A4 6 , 4 , 1.
11.11. A1 2,1, 6 , A2 1, 4 , 9 , A3 2, 5, 8 , A4 5, 4 , 2.
11.12. A1 2,1,7 , A2 3, 3, 6 , A3 2, 3, 9 , A4 1, 2, 5.
11.13. A1 2, 1,7 , A2 6 , 3, 1, A3 3, 2, 8 , A4 2, 3,7 .
11.14. A1 0 , 4 , 5, A2 3, 2, 1, A3 4 , 5, 6 , A4 3, 3, 2.
11.15. A1 3,1, 4 , A2 1, 6 , 1, A3 1, 1, 6 , A4 0 , 4 , 1.
11.16. A1 3, 1, 2, A2 1, 0 , 1, A3 1, 7 , 3, A4 8 , 5, 8 .
11.17. A1 3, 5, 4 , A2 5, 8 , 3, A3 1, 2, 2, A4 1, 0 , 2.
11.18. A1 2, 4 , 3, A2 1, 1, 5, A3 4 , 9 , 3, A4 3, 6 ,7 .
11.19. A1 9 , 5, 5, A2 3,7 , 1, A3 5, 7 , 8 , A4 6 , 9 , 2.
11.20. A1 0 ,7 , 1, A2 2, 1, 5, A3 1, 6 , 3, A4 3, 9 , 8 .
11.21. A1 5, 5, 4 , A2 1, 1, 4 , A3 3, 5, 1, A4 5, 8 , 1.
11.22. A1 6 ,1, 1, A2 4 , 6 , 6 , A3 4 , 2, 0 , A4 1, 2, 6 .
11.23. A1 7 , 5, 3, A2 9 , 4 , 4 , A3 4 , 5, 7 , A4 7 , 9 , 6 .
11.24. A1 6 , 8 , 2, A2 5, 4 ,7 , A3 2, 4 , 7 , A4 7 , 3,7 .
11.25. A1 4 , 2, 5, A2 0 ,7 , 1, A3 0 , 2, 7 , A4 1, 5, 0 .
11.26. A1 4 , 4 , 10, A2 7 , 10, 2, A3 2, 8 , 4 , A4 9 , 6 , 9 .
11.27. A1 4 ,6 , 5, A2 6 , 9 , 4 , A3 2, 10, 10, A4 7 , 5, 9 .
11.28. A1 3, 5, 4 , A2 8 ,7 , 4 , A3 5, 10, 4 , A4 4 ,7 , 8 .
11.29. A1 10, 9 , 6 , A2 2, 8 , 2, A3 9 , 8 , 9 , A4 7 , 10, 3.
11.30. A1 1, 8 , 2, A2 5, 2, 6 , A3 5, 7 , 4 , A4 4 , 10, 9 .
12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A
перпендикулярно вектору BC .
12.1.
A0 , 8 ,10  ,B5 , 5 ,7  ,C 8 ,0 , 4 . 12.2. A3, 5, 2 ,B4 ,0 , 3 ,C 3, 2, 5.
12.3.
A1, 5,  2 ,B6 ,  2,1 ,C 2,  2,  2. 12.4. A1, 1, 8  ,B4 , 3,10  ,C 1, 1,7 .
12.5.
A0 ,7 , 9  ,B1, 8 , 11 ,C 4 , 3, 12.
12.6. A 2,0 , 5 ,B2,7 , 3 ,C 1,10 , 1.
12.7.
A3, 1,7  ,B0 , 2 , 6  ,C 2 , 3, 5 .
12.8. A1, 9 , 4  ,B5,7 ,1 ,C 3, 5,0 .
43
12.9.
12.11.
12.13.
12.15.
12.17.
A5, 3, 1 ,B0 ,0 , 3 ,C 5, 1,0 .
12.10 A7 ,0 , 3 ,B1, 5, 4  ,C 2, 3,0 .
A1, 2,  2 ,B13,14 ,1 ,C 14 ,15, 2. .12.12 A0 , 3, 5 ,B7 , 2,6  ,C 3, 2, 4 .
.12.14 A5, 1, 2 ,B2, 4 , 3 ,C 4 , 1, 3.
A7 , 5,0  ,B8 , 3, 1 ,C 8 , 5,1.
.12.16 A3,7 , 2 ,B3, 5,1 ,C 4 , 5, 3.
A3,6 , 4  ,B8 , 3, 5 ,C 0 , 3,7 .
.12.18 A0 ,  2, 8  ,B4 , 3, 2 ,C 1, 4 , 3.
A10 ,0 , 9  ,B12, 4 ,11 ,C 8 , 5,15.
12.19. A3, 3, 6  ,B1, 9 , 5 ,C 6 ,6 , 4 . .12.20 A1, 1, 5 ,B0 ,7 , 8  ,C 1, 3, 8 .
.12.22 A1,0 ,  2 ,B2, 1, 3 ,C 0 , 3, 2.
12.21. A2,1,7  ,B9 ,0 , 2 ,C 9 , 2, 3.
12.23. A7 ,1, 4  ,B8 ,11, 3 ,C 9 , 9 , 1. .12.24 A1, 3, 4  ,B1, 5,0  ,C 2,6 ,1.
12.25. A1,0 , 6  ,B7 , 2,1 ,C 9 ,6 ,1.
12.27. A3,1,0  ,B6 , 3, 3 ,C 9 , 4 ,  2.
12.29. A10 ,0 , 9  ,B12, 4 ,11 ,C 8 , 5,15.
.12.26 A4 ,  2,0  ,B1, 1, 5 ,C  2,1, 3.
.12.28 A8 ,0 ,7  ,B3, 2, 4  ,C 1, 4 , 5.
.12.30 A7 , 5,1 ,B5, 1, 3 ,C 3,0 , 4 .
.
13. Написать канонические уравнения
прямой.
13.1. 4 x  y  z  2 0 , 2 x  y 3 z 8 0.
13.2. 2 x  3 y 2 z 6 0 , x 3 y  z 30.
13.3. 2 x  y 3 z  2 0 , 2 x  y  z 6 0.
13.4. 3 x  4 y 3 z 10 , 2 x 4 y  2 z 4 0.
13.5. x  y  2 z  2 0 , x  y  z  2 0.
13.6. 3 x  3 y  z 10 , 2 x 3 y  2 z 6 0.
13.7. x  5 y  z 110 , x  y  2 z 10.
13.8. 6 x 5 y 3 z 8 0 , 6 x 5 y 4 z  4 0.
13.9. x  y  z  2 0 , x  2 y  z  4 0.
13.10. 2 x 3 y  2 z 6 0 , x 3 y  z  30.
13.11. 6 x 7 y  z  2 0 , x 7 y 4 z 5 0.
13.12. 2 x  y  z  2 0 , 2 x  y 3 z 6 0.
13.13. x  5 y  2 z 5 0 , 2 x 5 y  z 5 0.
13.14. x 3 y  2 z  2 0 , x  3 y  z 140.
13.15. x 3 y  z  2 0 , x  3 y  2 z 140.
13.16. x  2 y  z 4 0 , 2 x  2 y  z 8 0.
13.17. 4 x  y 3 z  2 0 , 2x  y  z 8 0.
13.18. x  y  z  2 0 , x  y  2 z  2 0.
13.19. 3 x  3 y 2 z 10 , 2 x 3 y  z 6 0.
13.20. 2 x  3 y  z 6 0 , x 3 y 2 z 30.
13.21. 6 x 7 y 4 z 2 0 , x 7 y  z 5 0.
13.22. 3 x  y  z 6 0 , 3 x  y  2 z 0.
13.23. 8 x  y 3 z 10 , x  y  z 100.
13.24. x  5 y  2 z 110 , x  y  z 10.
13.25. 6 x 5 y 4 z 8 0 , 6 x 5 y  3 z  4 0. 13.26. 3 x  4 y 2 z 10 , 2 x 4 y 3 z 4 0.
13.27. x  5 y  z 5 0 , 2 x 5 y  2 z 5 0.
13.28. 5 x  y 3 z 4 0 , x  y  2 z  2 0.
13.29. 2 x 3 y  z 6 0 , x 3 y  2 z  30.
13.30. x  y  z 2 0 , x  2 y  z  4 0.
44
14. Найти угол между плоскостями.
14.1. 2 x  y 5 z 16 0 , x  2 y 3 z  8 0.
14.2. x 2 y  2 z 17 0 , x  2 y 10.
14.3. 2 x  2 y  z 10 , x  z 10.
14.4. x  2 y 10 , x  y 6 0.
14.5. 3 x  y  z 4 0 , y  z  5 0.
14.6. 2 x  z  5 0 , 2 x  3 y 7 0.
14.7. 3 x  2 y 2 z 16 0 , x  y 3 z 7 0.
14.8. 5 x  3 y  z 180 , 2 y  z 9 0.
14.9. 2 x  2 y  z  9 0 , x  y 3 z 10.
14.10. 4 x  3 z  2 0 , x  2 y  2 z  5 0.
14.11. x  2 y  2 z 30 , 2 x  y  2 z  5 0.
14.12. x 4 y  z 10 , 2 x  y 4 z 30.
14.13. 3 x  2 y 3 z 10 , x  y  z 7 0.
14.14. 2 y  z 9 0 , x  y  2 z 10.
14.15. x 3 y  5 0 , 2 x  y  5 z 16 0.
14.16. 2 x6 y14 z10 ,5 x15 y35 z30.
14.17. 4 x 5 y  3 z 10 , x 4 y  z  9 0.
14.18. x 3 y  2 z 8 0 , x  y  z  30.
14.19. 3 x  y  2 z 150 , 5 x 9 y 3 z 10.
14.20. 3 x  2 y  3 z  230 , y  z  5 0.
14.21. 6 x  2 y 4 z 17 0 ,9 x 3 y 6 z 4 0.
14.22. x  y  3 z 7 0 , y  z 10.
14.23. x y 2  z10 , x y 2 z30.
14.25. 3 y  z 0 , 2 y  z 0.
14.24. x  y 7 z 10 , 2 x  2 y 5 0.
14.27. 6 x  3 y 2 z 0 , x  2 y 6 z 120.
14.28. x y z 2 30 , x y z 2 10.
14.30. x  2 y 2 z 7 0 , x  y 350.
14.29. x  2 y  2 z 30 ,16 x 12 y 15z 10.
14.26. 3 x  y 5 0 , 2 x  y 30.
15. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
15.1.
x 1 y 8 z  5


, x  2 y 3 z 180.
8
5 12
15.3.
x 3 y 1 z  5


, x 7 y  3 z 110.
1
1
0
15.5.
x 5 y  3 z 1


,3 x 7 y 5 z 110.
1
5
2
15.7.
x 1 y  2 z 6


,4 x  y 6 z 5 0.
7
1
1
15.9.
x 3 y  2 z 8


,5 x  9 y  4 z  250.
1
1
0
15.2.
x 3 y 2 z 5


,5 x 7 y  9 z 320.
0
3 11
15.4.
x 7 y 3 z 1


,2 x  y 7 z 30.
3
1
2
15.6.
x 1 y  5 z 1


, x 3 y 7 z  240.
1
4
2
15.8.
x 1 y z  3
 
,2 x  y  4 z 0.
1 0 2
15.10.
x 5 y 3 z  2


,3 x  y 5 z 120.
1
1
0
45
15.11.
x 1 y z 1
 
, x  4 y 13z  230.
2 0 3
15.13.
x 1 y 3 z  5


,3 x  2 y  5 z 30.
6
1
3
15.15.
x  2 y 1 z  3


,3 x  y  4 z 0.
4
3  2
15.17.
x 1 y  2 z 3


, x  2 y 5 z 16 0.
2
5  2
15.19.
x 1 y 3 z  2


,3 x 7 y  2 z 7 0.
1
0
2
15.21.
x 1 y 1 z  2


,4 x  2 y  z 110.
2
1
3
15.23.
x 1 y 1 z 1


,3 x  2 y 4 z 8 0.
1
0
1
15.25.
x  2 y 1 z  3


, x  2 y  z  2 0.
1
1
2
15.27.
x 3 y 2 z  2


,5 x  y  4 z  30.
1
5
3
15.29.
x  2 y  2 z 4


, x  3 y  5 z 420.
2
1
3
15.12.
x 1 y  2 z  3


, x  3 y 5 z  9 0.
3
2
2
15.14.
x 1 y  2 z 1


, x  2 y  5 z 17 0.
2
1
1
15.16.
x 1 y  2 z 4


, x  2 y  4 z 190.
2
0
1
15.18.
x  2 y 1 z  4


,2 x  y  3 z  230.
1
1
1
15.20.
x  2 y 2 z 3


,2 x 3 y 5 z 7 0.
1
0
0
15.22.
x 3 y 4 z 4


,7 x  y  4 z 47 0.
1
5
2
15.24.
x  3 y 1 z 1


,2 x  3 y 7 z 520.
2
3
5
15.26.
x  3 y 1 z  3


,3 x  4 y 7 z 16 0.
2
3
2
15.28.
x 5 y  2 z  4


,2 x 5 y  4 z  240.
2
0
1
15.30.
x 1 y  3 z 1


, x  2 y 5 z  200.
3
4
5
16. Даны вершины треугольника ABC: Ax1 , y1 , Bx2 , y2 , C x3 , y3  .
Найти: а) уравнение стороны AB; б) уравнение высоты СH; в)
уравнение медианы AM; г) точку N пересечения медианы AM и
высоты CH; д) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне AB; е) расстояние от точки C до прямой AB.
16.1. A5,1, B8 ,2, C 1, 4 .
16.3. A2, 5, B3,1, C 0 , 4 .
16.2. A2, 4 , B3,1, C 10, 7 .
16.4. A3, 2, B14,4 , C 6 , 8 .
46
16.5. A3, 3, B5,7 , C 7 , 7 .
16.6. A1,7 , B3,1, C 11, 3.
16.9. A4 , 2, B8 ,6 , C 2, 6 .
16.10. A1, 2, B7 ,1, C 3, 7 .
16.7. A1, 6 , B3,4 , C 3, 3.
16.11. A5, 2, B0 ,4 , C 5, 7 .
16.13. A4 , 4 , B6 ,2, C 1, 8 .
16.15. A3, 8 , B6 ,2, C 0 , 5.
16.8. A1,0 , B1,4 , C 9 , 5.
16.12. A2, 3, B1,6 , C 6 , 1.
16.14. A7 , 2, B7 ,4 , C 5, 5.
16.16. A1,4 , B9 ,6 , C 5, 4 .
16.17.
16.18.
16.19. A4 ,1, B3,1, C 7 , 3.
16.20. A3, 1, B4 ,5, C 8 , 1.
16.23. A3, 1, B11,3, C 6 , 2.
16.24. A7 , 2, B3,8 , C 4 , 6 .
A6 ,9 , B10,1, C 4 , 1.
16.21. A4 , 2, B6 ,4 , C 4 , 10.
16.25. A4 , 2, B6 ,6 , C 6 , 2.
16.27. A4 , 3, B7 ,3, C 1, 10.
16.29. A4 ,4 , B8 ,2, C 3, 8 .
A10, 2, B4 ,5, C 3, 1.
16.22. A2, 6 , B3,5, C 4 , 0 .
16.26. A0 , 2, B7 ,4 , C 3, 2.
16.28. A7 ,0 , B1,4 , C 8 , 4 .
16.30. A1, 3, B0 ,7 , C 2, 4 .
17. Решить следующие задачи.
17.1. Известны уравнения двух сторон ромба 2 x 5 y 10 и 2 x 5 y 340 и
уравнение одной из диагоналей x  3 y 6 0 . Найти уравнение второй
диагонали.
17.2. Найти точку E пересечения медиан треугольника, вершинами которого
являются точки A3 , 1 , B7 , 5  и C 5 , 3 .
17.3. Записать уравнения прямых, проходящих через точку A1 , 1 под
углом 45 к прямой 2 x  3 y 6 .
17.4. Даны уравнения высот треугольника ABC 2 x  3 y 10 , x  2 y 10 и
координаты его вершины A2 , 3 . Найти уравнения сторон AB и AC
треугольника.
17.5. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x  2 y 0 , x  y 10 и
точка пересечения его диагоналей M 3 , 1. Найти уравнения двух
других сторон.
17.6. Даны уравнения сторон четырехугольника: x  y 0 , x  3 y 0 , x  y 4 0 ,
3 x  y 120 . Найти уравнения его диагоналей.
47
17.7. Составить уравнения медианы CM и высоты CK треугольника ABC, если
A4 ,6  , B4 , 0  , C 1, 4  .
17.8. Через точку P5 , 2  провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на
осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.
17.9. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
A 2 , 3 и
составляющей с осью Ох угол: а) 45 , б) 90 , в) 0  .
17.10. Какую ординату имеет точка C, лежащая на одной прямой с точками
A6 , 6  и B3, 1 и имеющая абсциссу, равную 3 ?
17.11. Через точку пересечения прямых 2 x 5 y 10 и x  4 y 7 0 провести
прямую, делящую отрезок между точками A4 , 3 и B1, 2  в
отношении λ 2 / 3 .
17.12. Найти
уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения
прямых 3 x  2 y 7 0 и x  3 y 6 0 и отсекающей на оси абсцисс
отрезок, равный 3.
17.13. Найти проекцию точки A8 ,12 на прямую, проходящую через точки
B2 , 3 и C 5 , 1 .
17.14. Даны вершины треугольника ABC: A4 , 4  , B4 , 12 и точка
M 4 , 2  пересечения его высот. Найти вершину С.
17.15. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный
2, и проходящей параллельно прямой 2 y  x 3 .
17.16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A2 ,3 и точку
пересечения прямых 2 x  y 5 и x  y 1 .
17.17. Доказать, что четырехугольник ABCD – трапеция, если A3, 6 , B5 ,2  ,
C 1,3, D5 , 5  .
17.18. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A3, 1,
перпендикулярно к прямой BC , если B2 , 5  , C 1, 0  .
17.19. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A 2 ,1
параллельно прямой MN, если M 3,2 , N 1, 6  .
17.20. Найти точку, симметричную точке M 2 ,1 относительно прямой
x 2 y 30 .
17.21. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, если
A1, 3, B3,5  , C 5 , 2 , D3, 5  .
48
17.22. Через точку пересечения прямых 6 x 4 y 5 0 , 2 x  5 y 8 0 провести
прямую, параллельную оси абсцисс.
17.23. Известны уравнения стороны AB треугольника ABC 4 x  y 12 , его
высот BH 5 x 4 y 12 и АМ x  y 6 . Найти уравнения двух других
сторон треугольника ABC.
17.24. Даны две вершины треугольника ABC : A6 , 2  , B2 , 2  и точка
пересечения его высот H 1, 2  . Найти координаты точки M
пересечения стороны AC и высоты BH.
17.25. Дан треугольник с вершинами A3,1, B3,1 и C 5 , 12 . Найти
уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины
С.
17.26. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и
точку пересечения прямых 2 x  5 y 8 0 и 2 x  3 y  4 0 .
17.27. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3 x  5 y 150 ,
проведенных через точки пересечения данной прямой с осями
координат.
17.28. Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины
А и B, если A4 , 2 , B3,5  , C 5 , 0  .
17.29. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров,
проведенных через середины сторон треугольника, вершинами
которого служат точки A2 , 3, B0 ,3 , C 6 , 3.
17.30. Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А
AB 2 x  y 30 ,
треугольника ABC, зная уравнения его сторон:
AC  x 5 y 7 0 , BC 3 x 2 y 130 .
18. Решить следующие задачи.
18.1. Найти точку пересечения прямой
2 x 3 y  z 10 .
x 1 y 1 z

 и плоскости
1
2 6
18.2. Найти проекцию точки P3,1,1 на плоскость x  2 y 3 z 300 .
18.3. При каком значении С плоскости 3 x 5 y Cz 30 и x 3 y  2 z 5 0
перпендикулярны?
49
18.4. При каком значении А плоскость Ax 3 y 5 z 10 параллельна прямой
x 1 y  2 z

 ?
4
3 1
18.5. При каких значениях m и С прямая
x  2 y 1 z  5
перпендикулярна к


m
4
3
плоскости 3 x 2 y Cz 10 ?
18.6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат
параллельно прямой x  2t  5 , y  3t 1 , z 7t 4 .
18.7. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку E 3,4 ,5 
параллельно оси Ox .
18.8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2 ,3,1 и
параллельно к прямой
x 1 y z  2
.
 
2 1 3
18.9. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
M 1,5,3 и перпендикулярно к
y  t  5 , z 2t 3 .
прямым
x y  2 z 1
и x 3t 1 ,


2 3
1
18.10. Найти точку, симметричную точке M 4 ,3,10 относительно прямой
x 1 y  2 z 3
.


2
4
5
18.11. Доказать параллельность прямых
x 6 z 6 0 .
x 1 y  2 z


и x 2 y  2 z 8 0 ,
6
2 1
x 1 y 1 z  3
параллельна плоскости


2
1
3
x  2 y z 4
лежит в этой плоскости.
 
2 x  y  z 0 , а прямая
2 1 3
18.13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку K 2 ,5 ,3
параллельно плоскости Oxz .
18.12.
Доказать, что
прямая
18.14. Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением
плоскости x  2 y 2  5 0 с плоскостью, проходящей через ось Оу и
точку M 5 ,3,2  .
18.15. При каких значениях B и D прямая x 2 y  z 9 0 , 3 x  By  z  D 0
лежит в плоскости Oxy ?
18.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 2 ,3,3
параллельно двум векторам a 1,3,1 и b 4 ,1,6  .
18.17. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 1,3,3 и
образующей с осями координат углы, соответственно равные 60 , 45 
и 120.
50
18.18. Доказать, что прямая
x 1 y  2 z 1
перпендикулярна к прямой


2
3
6
2 x  y 4 z  2 0 ,

4 x  y 5 z  4 0. 
18.19. Составить параметрические уравнения медианы треугольника с
вершинами A3,6 ,7  , B5 ,1,4  , C 0 ,2 ,3 , проведенной из
вершины С.
x  2 y 1 z

 параллельна прямой
3
n 1
x  y  z 0 , 

x  y  z 8 0.
x y 3 z 1
18.21. Показать, что прямая
параллельна плоскости


6 8 9
x 3 y 2 z 10 , а прямая x t 7 , y t 2, z 2t 1 лежит в этой
18.20. При каком значении n прямая
плоскости.
18.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку
K 3,1,2  .
18.23. Показать, что прямые
перпендикулярны.
18.24. При каком значении
пересекает ось Oz ?
18.25. При каком значении
x y 1 z

 и 3 x  y 5 z 0 , 2 x 3 y 8 z 30
1 2 3
D
прямая
p прямые
параллельны?
18.26. Найти точку пересечения прямой
3 x  y  2 z 8 0 .
3 x  y  2 z 6 0 , x 4 y  z  D 0
x  2t  5 , 

y  t  2 , и
z  pt 7 
x  3 y  z  2 0 ,

x  y 3 z  2 0 
x 7 y 1 z 5


5
1
4
и плоскости
18.27. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2 ,3,4 
x  2 y  3 z 1
x  4 y z 4


 
и
.
1
1
1
2 1 3
18.28. При каких значениях А и В плоскость Ax  By 6 z 7 0
x  2 y  5 z 1


перпендикулярна к прямой
?
2
4
3
перпендикулярно к прямым
18.29. Проверить,
лежат
ли
A0 ,0 ,2, B4 ,2,5, C 12,6 ,11?
на
одной
прямой
точки
51
18.30. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2 ,5 ,3
параллельно прямой 2 x  y 3 z 10 , 5 x 4 y  z 7 0 .
19. Составить канонические уравнения а) эллипса; б) гиперболы;
в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус,
а – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая)
полуось, ε – эксцентриситет, y   kx – уравнения асимптот
гиперболы, D –директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).
 


19.1. а ) ε  2 / 3, A6 , 0 ; б ) A 8 , 0 , B 20 / 3, 2 ; в ) D: y 1.
19.2. а ) 2a 50, ε 3 / 5; б ) k  29 / 14, 2c 30 ; в ) ось симметрии Oy и A4 , 1 .


19.3. а ) b 2 15 , ε 7 / 8; б ) k 5 / 6 , 2a 12 ; в ) ось симметрии Oy и A  2 , 3 2 .
19.4. а ) a 13, F 5, 0 ; б ) b 44 , F 7 , 0 ; в ) D: x 3/ 8.
19.5. а ) b 7 , F 13, 0 ; б ) b 4 , F 11, 0 ; в ) D: x 13.


19.6. а ) A3, 0  B 1, 40 / 3 ; б ) k  2 / 3 , ε  15 / 3 ; в ) D: y 4.


  

19.7. а ) ε 5 / 6 , A 0 ,  11 ; б ) A 32/3 , 1 , B 8 , 0 ; в ) D: y 3.
19.8. а ) 2a 30, ε 17 / 15; б ) k  17 / 8 , 2c 18 ; в ) ось симметрии Oy и A4 , 10 .
19.9. а ) b 2 2 , ε 7 / 9; б ) k  2 / 2, 2a 12 ; в ) ось симметрии Oy и A45, 15 .
19.10. а ) b 15, F 10, 0 ; б ) a 13 , ε 14/ 13; в ) D: x 4.


19.11. а ) b  2 , F 4 2 , 0 ; б ) a 7 , ε  85 / 7 ; в ) D: x 5.


19.12. а ) A3, 0  B 2 , 5 / 3 ; б ) k 3 / 4 , ε 5 / 4 ; в ) D: y 2.

 

19.13. а ) ε  21/ 5 , A5 , 0 ; б ) A 80 , 3 , B 4 6 , 3 / 2 ; в ) D: y 1.
19.14. а ) 2a  22,ε  57 / 11;б )k 2 / 3,2c 10 13 ;в ) ось симметрии Ox и A27 , 9  .
19.15. а ) b  15 , ε  10 / 25; б ) k 3/ 4 , 2a 16 ; в ) ось симметрии Ox и A4 ,8  .
19.16. а ) a 4 , F 3, 0 ; б ) b  2 10 , F 11, 0 ; в ) D: x 2.
19.17. а ) b 4 , F 9 , 0 ; б ) a 5 , ε 7 / 5 ; в ) D: x 6.
 

19.19. а ) ε 7 / 8 , A8 , 0 ; б ) A3, 
19.18. а ) A 0 , 3 B 14/ 3 , 1 ; б ) k  21/ 10 , ε 11/ 10 ; в ) D: y 4.
 

3/ 5 , B 13/ 5 , 6 ; в ) D: y 4.
19.20. а ) 2a  24,ε  22 / 6 ;б )k  2 / 3 ,2c 10;в ) ось симметрии Ox и A7 , 7 .
19.21. а ) b  2, ε 5 29 / 29; б ) k 12/ 13, 2a  26 ; в ) ось симметрии Ox и A5 ,15 .
19.22. а ) 2a  22, ε 10/ 11; б ) k  11/ 5, 2c 12 ; в ) ось симметрии Ox и A7 ,5  .
52
19.23. а ) b 5, ε 12/ 13; б ) k 1/ 3, 2a 6 ; в ) ось симметрии Oy и A9 ,6  .
19.24. а ) a 9 , F 7 ,0 ; б ) b 6 , F 12, 0 ; в ) D: x 1/4.
19.25. а ) b 5, F 10,0 ; б ) a 9 , ε 4 / 3 ; в ) D: x 12.


19.26. а ) A0 ,  2  B 15 / 2 ,1 ; б ) k  2 10 / 9 , ε 11/ 9 ; в ) D: y 5.
19.27. а ) a 6 , F 4 ,0 ; б ) b 3, F 7 , 0 ; в ) D: x -7.
19.28. а ) b 7 , F 5,0 ; б ) a 11, ε 12/ 11; в ) D: x 10.

19.30. а ) ε 3 / 5 , A0 , 8  ; б ) A 6 ,0 , B 2


19.29. а ) A  17 / 3 ,1/ 3 B 21/ 2,1/ 2 ; б ) k 1/ 2 , ε  5 / 2 ; в ) D: y  1.

2 , 1 ; в ) D: y 9.
20. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.
20.1. 2 x 2  2 y 2  4 xy  8 x  8 y 10.
20.2. 3 x 2  3 y 2  4 xy  8 x 12 y 10.
20.3.  x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y 10.
20.4. x 2  y 2 8 xy  20 x  20 y 10.
20.5. 2 x 2  2 y 2 4 xy 8 x  8 y 10.
20.6. 3 x 2  3 y 2  2 xy 6 x  2 y 10.
20.8. 4 xy 4 x 4 y 10.
20.7. 3 x 2  3 y 2  2 xy 12x 4 y 10.
20.9. 4 xy 8 x 8 y 10.
20.11. 2 x 2  2 y 2  2 xy 6 x 6 y 6 0.
20.10. 3 x 2  3 y 2 4 xy 6 x 4 y 7 0.
20.12. 4 xy 4 x 4 y 6 0.
20.13. x 2  y 2  4 xy  4 x  2 y 5 0.
20.15. 4 xy 4 x 4 y 4 0.
20.14. 5 x 2  5 y 2  2 xy 10 x  2 y 10.
20.17. 3 x 2  3 y 2 4 xy  4 x  4 y 10.
20.19. 4 xy 4 x 4 y 2 0.
20.18. 2 x 2  2 y 2  2 xy  2 x  2 y 10.
20.20. 4 xy 4 x 4 y 0.
20.21. x 2  y 2  2 xy 8 x 8 y 10.
20.22.  2 x 2  2 y 2  2 xy 6 x 6 y  30.
20.23. x 2  y 2  4 xy 8 x 4 y 10.
20.24. 3 x 2 3 y 2  4 xy 6 x  4 y  2 0.
20.26. 2 xy 2 x 2 y 10.
20.25. x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y 7 0.
20.27. 2 xy  2 x  2 y 30.
20.29. 4 x 2  4 y 2  2 xy 12x 12 y 10.
20.16.  x 2  y 2  4 xy  2 x 4 y 10.
20.28.  x 2  y 2 4 xy 4 x  2 y  2 0.
20.30. 4 x 2 4 y 2  2 xy 10 x 10 y 10.
21. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе
координат.
21.1. ρ 2 cos4 φ.
21.2. ρ  2 1 sin2φ.
21.3. ρ 1/ 2  sinφ.
53
21.4. ρ 1/ 2 cos2φ.
21.7. ρ 3 1 cos2φ.
21.5. ρ3 sin6 φ.
21.8. ρ 3 1 sinφ.
21.6. ρ 3 2 cos2φ.
21.9. ρ 2 cos6 φ.
21.10. ρ 2 sin3 φ.
21.11. ρ 3 1cos2φ.
21.13. ρ  2cos2 φ.
21.14. ρ4 sin4 φ.
21.16. ρ 3 cosφ1.
21.15. ρ 5 2  sin φ.
21.17. ρ3 sin4 φ.
21.18. ρ 2 sin4 φ.
21.20. ρ 4 1 cos2φ.
21.21. ρ 2 sin 2 φ.
21.26. ρ3 cos2 φ.
21.27. ρ  2 1cos φ.
21.19. ρ 5 1 sin 2 φ.
21.22. ρ6 sin4 φ.
21.25. ρ 3/ 1cos2φ.
21.28. ρ 3 1cos4 φ.
21.23. ρ 4 1 sin φ.
21.29. ρ  2 / 2 cosφ.
21.12. ρ  2 1cos3φ.
21.24. ρ  2 / 1 cosφ.
21.30. ρ4 sin3 φ.
22. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями
0t 2π .
 x 5 cos 3t ,
 y  sin 3t .
22.2. 
22.4. 
 x  cost ,
 y  3sint .
22.5. 
 x  5 cos 3 t ,
22.7. 
 y  5sin 3 t .
22.8. 
22.1. 
 x 3 cost ,
 y 1 sint .
 x  4 cost ,
 y  5 sin t .
22.3. 
 x  9 cost ,
 y  5sint .
 x cos 2t ,
 y 3sin 2t .
22.6. 
 x 4 cos 2t ,
 y 3sin 2t .
22.9. 
 x  4 cost ,
 y  5sint .
22.12. 
 x 3 cos 2t ,
 y 3sin 2t .
 x  2 cost ,
 y  4sin t .
 x  2 cost ,
 y  5sint .
22.10. 
22.11. 
 x  4 cos3 t ,
22.13. 
 y  5sin 3 t .
 x  2 cos3 t ,
22.16. 
 y  2sin 3t .
 x  2 cost ,
22.19. 
 y  21 sint .
 x 6 cos3 t ,
22.14. 
 y 6 sin 3 t .
 x cost ,
22.17. 
 y 32  sint .
 x  4 cos3 t ,
22.20. 
 y  2sin 3 t .
22.21. 
 x  2 cos 3 t ,
22.22. 
 y  5sin 3 t .
 x  4 cos 3t ,
22.23. 
 y  sin 3 t .
22.24. 
 x 3 cos 2t ,
 y  2sin 2t .
22.15. 
 x 5 cost ,
 y  sint .
22.18. 
 x 4 cos 2t ,
 y  sin 2t .
 x 4 cos 3t ,
 y  2sin 3t .
54
 x 4 cost ,
 y 41 sint .
 x  2 cos3 t ,
22.25. 
 y  2sin 3 t .
 x  2 sint ,
22.28. 
 y 31cost .
22.26. 
 x  3 cos3 t ,
22.29. 
 y  4 sin 3t .
 x  4 cos3 t ,
22.27. 
 y  4 sin 3t .
 x  cos3 t ,
22.30. 
 y  4 sin 3 t .
23. Построить поверхности и определить их вид (название).


23.1. а) x 2 8 y 2  z 2 ;
б) 2 x 2  3 y 2  z 2 18.
23.2. а) 5 z 2  2 y 2 10 x ;
б) 4 z 2 3 y 2 5 x 2 600.
23.3. а) x 2 7 y 2 14 z 2  210 ;
б) 2 y  x 2  4 z 2 .
23.4. а) 6 x 2  y 2  3 z 2 120 ;
б) 8 y 2  2 z 2  x.
23.5. а) 16 x 2  y 2  4 z 2 320 ;
б) 6 x 2  y 2 3 z 2 0.
23.6. а) 9 x 2 6 y 2 6 z 2 10 ;
б) 15 y 10 x 2 6 y 2 .
23.7. а) x 2 5 y 2  z 2 ;
б) 2 x 2  3 y 2  z 2 36.
23.8. а) 4 x 2  3 y 2  12 x ;
б) 3 x 2 4 y 2  2 z 2 120.
23.9. а) 8 x 2  y 2  2 z 2 320 ;
б) y 4 z 2 3 x 2 .
23.10. а) x 2 6 y 2  z 2 120 ;
б) x 3 z 2 9 y 2 .
23.11. а) 2 x 2 3 y 2 5 z 2  300 ;
б) 2 x 2  3 z 0.
23.12. а) 7 x 2  2 y 2 6 z 2 420 ;
б) 2 x 2  4 y 2 5 z 0.
23.13. а) 4 x 2 12 y 2 3 z 2  240 ;
б) 2 y 2 6 z 2 3 x.
23.14. а) 3 x 2 9 y 2  z 2  27 0 ;
б) z 2  2 y  4 x 2 .
23.15. а) 27 x 2 63 y 2  21z 2 0 ;
б) 3 x 2 7 y 2  2 z 2 42.
23.16. а) 4 x 2  y 2 16 z 2 16 0 ;
б) x 2  4 z 0.
23.17. а) 3 x 2  y 2  9 z 2 9 0 ;
б) x 2  2 y 2  2 z 0.
23.18. а) 5 x 2 10 y 2  z 2  200 ;
б) y 2  4 z 2 5 x 2 .
23.19. а) 4 x 2 8 y 2  z 2  240 ;
б) x 2  y  9 z 2 .
23.20. а) x 2 6 y 2  z 2 0 ;
б) 7 x 2 3 y 2  z 2  21.
23.21. а) z 8  x 2 4 y 2 ;
б) 4 x 2  9 y 2  36 z 2 72.


55
23.22. а) 4 x 2 6 y 2  24 z 2 96 ;
б) y 2  8 z 2  20 x 2 .
23.23. а) 4 x 2 5 y 2 5 z 2  400 ;
б) y 5 x 2  3 z 2 .
23.24. а) 5 x 2  y 2 15 z 2 150 ;
б) x 2  3 z 0.
23.25. а) 6 x 2  y 2 6 z 2 180 ;
б) 3 x 2  y 2 3 z 0.
23.26. а) 7 x 2 14 y 2  z 2  210 ;
б) y 2  2 z 2 6 x 2 .
23.27. а) 3 x 2 6 y 2  z 2 180 ;
б) x 2  2 y   z 2 .
23.28. а) 4 x 2 6 y 2  3 z 2 0 ;
б) 4 x 2  y 2 3 z 2 12.
23.29. а) z 4  x 2  y 2 ;
б) 3 x 2 12 y 2  4 z 2 48.
23.30. а) 4 x 2  5 y 2 10 z 2 60 ;
б) 7 y 2  z 2 14 x 2 .
24. Записать уравнение и определить вид поверхности, полученной
при вращении данной линии вокруг указанной оси координат,
сделать рисунок.
24.1. а) x 2  2 z 2 4 , O z ;
б) x 3, z 1, Oy.
24.2. а) 15 x 2 3 y 2 1 , O x;
б) x 3, y 4 , O z.
24.3. а) y 2 5 z , O z ;
б) 3 x 2 7 y 2  21, O x.
б) y 5, z 2, O y.
24.4. а) 15 y 2  x 2 6 , O y ;
24.5. а) 5 z   x 2 , O z ;
24.6. а) 3 x 2 8 y 2  288 , O x;
24.7. а) 2 y 2 72 , O z ;
24.8. а) 5 x 2 7 y 2 35 , O x;
24.9. а) 3 x 2  2 z , O z ;
б) 3 y 2 18 z 2 1, O y.
б) x 5, z 3, O y.
б) 6 y 2  5 z 2 30, O y.
б) x 2, y 4 , O z.
24.10. а) 5 y 2 8 z 2 40 , O z ;
б) 8 x 2 11z 2 88, O x.
б) y 3, z 1, O x.
24.11. а) 3 x 2  4 y , O z ;
б) 4 x 2  3 z 2 12, O z .
24.12. а) y 2  2 z , O z ;
б) 9 y 2  4 z 2 36 , O y.
б) x 1, y 2, O z.
24.13. а) 4 x 2 3 y 2 12 , O x;
24.14. а) x 2  3 z , O z ;
24.15. а) 3 y 2 4 z 2 12 , O z ;
б) 3 x 2  5 z 2 15, O x.
б) y 4 , z  2, O x.
56
24.16. а) x 2 3 y , O y;
б) 3 x 2  4 z 2  24, O z.
24.17. а) 2 x 2 6 y 2 12 , O x;
24.18. а) x 2  3 z 2 9 , O z ;
б) y 2 4 z , O z .
б) x 4 , z 6 , O y.
24.19. а) 3 x 2 5 z 2 15 , O z ;
б) z 1, y 3, O x.
24.20. а) y 2 3 z , O z ;
б) 2 x 2  3 z 2 6 , O x.
б) y 3, z 1, O x.
24.21. а) y 2 5 x 2 5 , O y;
24.22. а) x 2  4 z , O z ;
24.23. а) 5 x 2 6 z 2 30 , O x;
б) y 2  4 z 2 4 , O y.
б) x 3, z 2, O y.
24.24. а) z 2  2 y , O y;
б) 2 x 2  3 z 2 6 , O z.
24.25. а) y 2  4 z , O z ;
б) 3 y 2  z 2 6 , O y.
б) x 1, y 3, O z.
24.26. а) 7 x 2 5 y 2 35 , O x;
24.27. а) 2 x 2  z , O z ;
24.28. а) 2 y 2 5 z 10 , O z ;
б) x 2  4 z 2 4 , O x.
б) y 2, z 6 , Ox.
24.29. а) x 2  5 y , O y;
б) 2 x 2  3 z 6 , O z.
24.30. а) x 2 9 y 2 9 , O x;
б) 3 y 2  z , O z.
3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Доказать, что lim an a (указать N ε  ).
n 
1.1. an 
4 n 3
, a  2.
2 n 1
1.2. an 
1.4. an 
5 n 1
1
, a .
10n 3
2
3n 2
, a  3.
1.5. an 
2n2
1 2n 2
1
,
a


.
1.6. an 
2
24n2
1.7. an 
234 n
, a 4.
2n
3n 3
1.8. an  3 , a 3.
n 1
1.9. an 
1.10. an 
2n  3
, a  2.
n5
2 n 1
2
, a .
3n  5
3
1.11. an 
5n 15
, a  5.
6 n
1.3. an 
3n 1
3
, a .
5 n 1
5
2  2n
1
, a  .
3 4 n
2
1.12. an 
1 3n
, a  3.
6 n
57
2  3n 2
3
1.13. an 
,
a


.
2
5
4  5n
2n 1
2
1.14. an 
, a  .
2  3n
3
1.16. an 
3n  2
3
, a .
2n 1
2
1.17. an 
n 1
1
, a  .
1 2n
2
1.19. an 
7 n4
7
, a .
2 n 1
2
1 2n 2
1.20. an  2
, a  2.
n 3
1.22. an 
7 n 1
, a 7.
n 1
1.23. an 
9 n3
1
,
a


.
1.25. an 
2
1 2n 3
1.26. an 
1 2n 2
1
, a  .
1.28. an 
2
2
24n
3 n 2
1
, a  .
1.29. an 
2
2
4  2n
3n 2  2
3
1.15. an  2 , a  .
4
4 n 1
1.18. an 
4 n 1
, a  2.
2 n 1
1.21. an 
2n 5
2
, a .
3n 1
3
n
1
, a .
3n 1
3
1.24. an 
4 n 2 1
4
,
a

.
2
3
3n  2
4  2n
2
, a  .
13n
3
1.27. an 
4 n 3
, a  2.
2 n 1
1.30. an 
5n
, a 5.
n1
2. Вычислить предел последовательности.
2.1. lim
n
n 3 n 13
n 1
4
n
4
.
2.2. lim
n
8 n 3  2n
n 1 n 1
4
4
.

3 4 n 2
.
2.3. lim
n n  3 3  n  3 3

n 14 n 14
.
2.4. lim
n n 13  n 13

2n  33 n  5 3
.
2.5. lim
n 3n 13  2 n  3 3

n 13  n  2 3
.
2.6. lim
n n  4 3  n  5 3

n 13 n 13
2.7. lim
.
n n 12  n 12

2n 13  3n  2 3
2.8. lim
.
n 2 n  3 3  n 7 3

n 14 n 14
2.9. lim
.
n n 13  n 13
2.10.

n 13  n 13
lim
.
n
n 3  3n
n  22 n  22 .
n
n  32
2.13. lim

n 6 3 n 13

2n 13 2n  33
.
. 2.12. lim
2.11. lim
n 2n  32  n  4 2
n 2 n 12  2 n  3 2
n  2 4 n  2 4 .
n n  5 2  n  5 2
2.14. lim
n 102  3n 12 .
n n 6 3  n 13
2.15. lim
58
2.16.

n 13 n 13
2.17. lim
.
n n 12  n 12
2.19.

n  2 3  n  2 3
lim
.

3  n 2  3  n 2
lim
.
n 3  n 2  n  3 2

3  n 4 2  n 4
lim
.
n 1 n 3  1 n 3
2.20.

n 13 n  2 3
.
2.18. lim
n 3n  2 2  4 n 12

1 2n 3  8 n 3
.
2.21. lim
n 1 2 n 2  4 n 2
n 4  2n 2 1
n
2.22.

3  n 4 2  n 4
.
2.23. lim
n 1 n 4  1 n 4

3  n 3
2.24. lim
.
n n 12  n 13
2.25.

1 n 4 1 n 4
.
2.26. lim
n 1 n 3  1 n 3
2n 13 n  2 3
.
2.27. lim
2
n
n  2n 3

n 13 n 12
.
2.29. lim
n n 13  n 13

n  33  n  4 3
.
2.30. lim
n n  3 4  n  4 4

6  n 2 6  n 2
lim
.
n 6  n 2  1 n 2
lim
n
n 13  n 13 .
n 3 1
2.28.
lim
n
2n 12 n 12 .
n 2  n 1
3. Вычислить предел последовательности.
n  3  n 2 3
3.1. lim
n 3
n
4
n  4  n 1
3
3.4. lim
4
5
n 2 9 n 2
4
3n  9 n 8 1
3
. 3.2. lim
n 5
3
.
n2  n2 5
3.5. lim
n
3.7.
7
.
n  n 1
n 2  2 5n 2
4
4
3.3. lim
n 5
3.8. lim
4
lim
n 
 n  4 n  n  5


3.10. lim
n 5
2
.
n6  4  n  4
6
n 6  n 6
n
.
n  n  n 1
. 3.11. lim
n 71n  64n6  9
n n  11 n
n 8
3
2
n 8 6  n 6
8
5
.
n  3  n 3
3
3.6. lim
n 6  n 6
4 n 1  27 n 3  4
n
4
n3 7 n  81n 8 1
n5  3  n 3
4
3
. 3.9. lim
n
3 5
.
n  n n
3
n 2 7  n 2  4
4
5
.
n 5  n
4
. 3.12. lim
n 3
4n 2  n3
6
3
n  n 1  5 n
.
59
3.13.
3
3
lim
n 3  8n3 3
n 4
5
5
.
n4  n 5
3.16.
lim
n 3
n 1  n 2 1
4
3
3
n7  5  n  5
3.17. lim
n7
.
7
3.19. lim
n 4
n 2 1 7 n 3
12
n7
n  n 1  n
n n  9  n
3.25. lim
4
n 4
4
n
. 3.26. lim
5n  2  8 n 3  5
n 7  n
5
5
n 3  1  n 1
. 3.21. lim
n 3
n2  n 2
n 2  n 3 1
n 3
n  2  n2
4
n n  7 nn
3
2
.
n  1  n 1
3
3
3.28. lim
n
2
3n 1  125n 3  n
n

6

n

5
3.24.
lim
.
. 3.23. lim
.
5
n


n 3 3
n n
n  3  4 n 3 1
2
n4  2  n2
n 2  n3  2
. 3.20. lim
n5 n  27 n6  n 2
n
. 3.18. lim
4
n 5 n 2  9 n 3 1
3
3
3.22. lim
3
n  5  n 5
3n  3  n 1
3
4
4
n 1  n 3 1 3.15. lim n 11n  25n 4  81 .
3.14. lim
.
n 
 2
5 5
n 4
 n 7 n  n  n  1
n 1  n 1


6
.
n 2  n2 2
3.27. lim
n 4
n  2 n
5
. 3.29. lim
n6 n  32n10 1
n
n n  n 1
4
3
3
. 3.30. lim
3
4
4
n 1  n 1
6 n 3  n 5 1
n
6
.
4n 3 n
4. Вычислить предел последовательности.
4.1.
lim
n
 n2n1
n 1n 3
.
lim
n
4.3.
4.5.
n5 1n2 1n nn4 1 .
4.2.
3

lim n 5  8 n 3  2n  .
n 

4.4.


lim 3 n  2 2  3 n 32  .
n 

4.6.


n
lim n  nn 1 .
n


lim n n  nn1n2  .
n
.
.
60
4.7.


lim  n 2  3n  2  n 2 3  .
n


 
4.8.




lim n  2 n  3  n 4 .
n
4.9.
n n 5  9  n 4 1 n 5  5
lim
.
n
n
4.10.


lim n nn  2   n 2 3  .
n 

4.11.


lim n 3  8  n 3  2  n 3 1  .
n


4.12.

lim 
n
4.14.
3

lim  n 2 3n  2  n  .
n


lim  nn  2   n 2  2n  3
n
4.13.
lim
n4 1n2 1
n6 1
n
n


.
n2 1n2 4

n 4 9  .


 .
4.15.
3


lim n 3  n 2 n6  4  n 3 1  .
n 

4.16.
4.17.
3

lim 3 n  n 2  3 nn 1  .
n


4.18.
4.19.


lim n n 4  3  n 4  2  .
n 

4.20.


lim n 2  n n 4 1  n 5 8  .
n


4.21.


lim n n 2 1  n 2 1  .
n 

4.22.
3
3

lim n 2  5  n 3  3 n 3  .
n


4.23.
 3

lim  n  n 3 5 n n .
n 

4.24.


lim 
lim


 5

2
 n 8  n n n  5 
.
lim 
n
n
4.27.
 3

lim  n  4  n 3  .
n 


4.26. lim
n
4.28. lim
n
n 6  3n 3  5
n
n
n
4.25.
n2 5n4  2
 

n 13  nn 1n 3 

n
.

n n  2  n 3 .
 nn5n.
.
61

 4.30.
lim nn 1n  2  n 3 3  n 3  2  .
lim
n


n
4.29.
n3 1n 2 3 nn4  2 .
2 n
5. Вычислить предел последовательности.
5.1.
5.2.
n3 
lim 

n  n  5 
n 4
5.3.
 n 1 
lim  2 
n  n

2
.
5.4.
 2n 2  21n 7 

lim  2

n 
2
n

18
n

9


5.7.
 3n 2  5 n 

lim  2

n 
3
n

5
n

7


5.10.
 n 2 6 n  5 

lim  2

n 
 n 5n  5 
.
.
 2n  2 
lim  2 
n  2 n 1 
2
3 n 2
.
.
3 n 2
 n  n 1 

lim  3
n  n  2 

.
5.19.
 2n 2  2n  3 

lim  2
n  2 n  2 n 1 

.
.
n
n 2
.
n4 
lim 
 .
n  n  2 
5.18.
n2
2n 1 
lim 

n  2 n 1 
.
5.20.
3 n 2 7
n 2
15.15.
 n 2  n 1 

lim  2

n 
 n  n 1 
n 1 
lim 

n  n 1 
10n 3 
lim 
 .
n  10n 1 
n3 
lim 

n  n 1 
.
5.17.
2n 2
.
5n
15.14.
n 2
2 n n 3
5.12.
6 n 7 
lim 

n  6 n  4 
.
.
5.9.
n/ 2
5.11.
5.16.
3
 n 1 
lim  3 
n  n 1 
3
.
 n 2  3n  6 

lim  2

n 
n

5
n

1


.
n 3
5.6.
n2
5.8.
n1
 7 n 2 18n 15 

lim  2
n  7 n 11n 15 

 2n 7 n 1 

lim  2
n  2 n  3n 1 

2
5.5.
2 n1
5.13.
n4
3n 1 
lim 

n  3n 1 
n1
.
5.21.
2 n3
.
13n  3 
lim 

n  13n 10 
n3
.
62
5.22.
5.23.
 4 n 2  4 n 1 

lim  2
n  4 n  2 n  3 

12 n
5.24.
2n  3 
lim 

n  2 n 1 
.
5.25.
n1
n5 
lim 

n  n 7 
.
5.26.
n 10 
lim 

n  n 1 
3 n1
5.28.
 3n 2  4 n 1 

lim  2

n 
 3n  2n 7 
n 2
n
 2n 2  5n 7 
 .
lim  2
n  2 n  5 n  3 

.
5.29.
2 n 5
5.30.
 3n 6 n 7 

lim  2
n  3n  20n 1 

2
.
 n1
.
 5 n 2  3 n 1 

lim  2
n  5 n  3n  3 

6. Доказать (найти δε  ), что:
6.1.
6.2.
6.3.
2
2
6 x  x1 5
lim
 .
3
x1/ 3 3 x1
6.5.
3 x 2 40 x128
2 x 2 13 x  21 1
lim
  . lim
8.
2 x 7
2 x8
x8
x7 / 2
6.8.
6 x 2  x1
6.7. lim
5.
2
6 x 5 x1
lim
1.
x1/ 3 x1/ 3
6.4.
3x 2 5 x 2
lim
 7.
x2
x2
6.6.
6 x 2  x1
lim
5.
x1/ 2 x1/ 2
6.9.
9 x 2 1
lim
6.
x1/ 3 x1/ 3
6.12.
2 x 5 x2
 3.
x1/ 2
x1/ 2
6.10.
6.11.
2
3 x 2  2 x 1
2 x 21x11
3 x 2 17 x6
lim
 4.
lim
23. lim
19.
x11
x1/ 3
x1/ 3 x 1/ 3
x11
x1/ 3
6.13.
6.14.
x 2 4 x3
6.15. lim
2.
2 x 2 15 x7
15 x 2 2 x1
x

3
x

3
lim
13. lim
8.
x7
x1/ 3
x7
x1/ 3
6.16.
6.18.
5 x 2 4 x1
6.17. lim
6.
2
2 x 3 x2
2 x 2 6 x  8
x

1
x

1
lim
5.
lim
 10.
x1/ 2
x 4
x1/ 2
x4
6.19.
6.20.
6.21.
2
2
10 x 9 x7
4 x 14 x6
x 2  2 x 15
lim
19. lim
10.
lim
 8.
x7 / 5
x 5
x3
x7 / 5
x3
x5
x1/ 3
x1/ 3
lim
.
5.27.
n 1 
lim 

n  n  3 
.
n / 6 1
n2
.
63
6.22.
6.23.
6.24.
2
2 x 2  9 x 10
6 x  x1
lim
1/ 2. lim
5.
2 x 5
x5 / 2
x1/ 2 x1/ 2
6.25.
6.26.
6 x 2 75 x  39
 81.
x 1/ 2
x1/ 2
3 x 2 5 x2
7.
x2
x2
6.29.
7 x 2 8 x1
lim
6.
x1
x1
lim
6.28.
5 x 2 24 x5
lim
26.
x5
x5
lim
5 x 2 51x10
lim
49.
x10
x10
6.27.
3 x 2 17 x6
lim
19.
x6
x6
6.30.
15 x 2  2 x 1
 8.
x 1/ 5
x1/ 5
lim
7. Найти предел функции.
3 x 2  3 x  36
lim
.
7.1. x4
x 2  x  12
3x 2  2x  1
.
7.2. xlim
1  x 2  x  2
7 x 2  4 x 3
7.3. lim
.
x1 2 x 2  3 x 1
4 x 2  x 5
7.4. lim 2
.
x1 x  2 x 1
x 3 8
7.5. lim 2
.
x2 x  x 6
2 x 2 9 x 10
7.6. lim 2
.
x2 x  3 x 10
x 2 5 x 14
.
x7 2 x 2  9 x  35
7.7. lim
x 2 16
.
x4 x 2  x  20
7.8. lim
5 x 2 11x  2
.
x2 3 x 2  x 10
7.9. lim
4 x 2  3 x  27
3 x 2 7 x 6
.
. 7.11. lim 2
7.10. xlim
3
x3 2 x 7 x  3
x 2  6 x  27
3 x 2 6 x 45
7.12. lim 2
.
x5 2 x  3 x  35
2 x 2 15 x 8
7.13. lim
.
x8 3 x 2  25 x  8
x 2  2 x 35
7.15. lim
.
x5 2 x 2 11x  5
x 2  5 x 6
.
x2 x 2 12 x  20
5 x 2  4 x 1
7.14. lim
.
x1 3 x 2  x  2
3 x 2 11x 6
.
x3 2 x 2  5 x  3
2 x 2  5 x 3
.
x3 3 x 2 10 x  3
7.16. lim
7.17. lim
7.18. lim
6  x x2
7.19. lim 3
.
x3 x  27
2x2 7 x  6
.
7.22. lim
x 2 x 2  5 x  6
x 2  x2
7.20. lim
.
x1 x 3 1
4 x 2 11x 3
7.23. lim
.
x3 x 2  2 x  3
x3  x2 2 x
7.21. lim
.
x0
x2  x
2 x 2  x 1
7.24. lim 2
.
x1 3 x  x  2
3 x 2  2 x 1
7.25. lim
.
x1/ 3 27 x 3 1
4 x 2 7 x  2
7.26. lim
.
x2 3 x 2  8 x  4
7.27. lim
12  x  x 2
.
3
x

27
x3
64
3 x 2  2 x 40
7.28. lim 2
.
x4 x  3 x  4
x 2 4 x5
7.29. lim
.
x1 4 x 2 2 x2
x 2 4 x 5
7.30. lim 2
.
x1 x  2 x  3
8. Найти предел функции.
x 3  x 2  x 1
8.1. lim
.
x1 x 3  x  2
2 x 2  x 10
8.2. lim
.
x1
x 3 1
x 2  3 x  28
8.3. lim
.
x4
x 3 64
x 3 8
8.4. lim 2
.
x2 2 x  9 x 10
2 x 2  9 x  10
.
8.5. lim
x 2
x3  8
x 2  3 x  28
8.6. lim
.
x4 x 2  4 x
x3  x 2 2
.
x1 x 3  x 2  x 1
2 x 2 3 x 1
.
4
x1
x 1
x 2 4
.
x2 3 x 2  x 10
8.7. lim
8.8. lim
8.9. lim
4 x 4  5 x 2 1
8.10. lim
.
x1
x 2 1
x2 2x
8.11. lim 2
.
x2 x  4 x  4
2 x 2 11x 6
8.12. lim 2
.
x6 3 x  20 x 12
x 2  x 30
8.13. lim 3
.
x5 x 125
2 x 2 7 x 4
8.14. lim
.
x4 x 3 64
x 3  2 x 4
8.15. lim 2
.
x2 x 11x 18
2 x 2 11x 15
.
x3 3 x 2  5 x 12
8 x 3 1
.
x1/ 2 x 2 1/ 4
4 x 2 19 x 5
.
x5 2 x 2 11x  5
8.16. lim
8.17. lim
8.18. lim
x 3 3 x  2
8.19. lim 2
.
x1 x  4 x  3
8.20. xlim
2
x 4  x 2  x 1
8.22. lim
.
4
x1
x 1
3x2  x
8.23. lim 2
.
x0 4 x  5 x
9 x 2 17 x  2
8.24. lim
.
2
x2
x 2x
x 2  x 3
8.25. lim 2
.
x2 5 x  3 x  3
x 2 1
8.28. lim 2
.
x1 x  3 x  2
2
x
 2 x  24
8.26. lim
.
2
x6 2 x  15 x  18
4 x3 2 x 2 5 x
8.27. lim
.
x0
3 x 2 7 x
x 3  5 x  12
.
8.30. lim
x3
x2  5x  6
3 x 2  11x  10
x 2  2 x 1
.
8.21. lim 2
.
x 2  5 x  14
x1 2 x 7 x  5
x 3 64
8.29. lim 2
.
x4 7 x  27 x  4
65
9. Найти предел функции.
x 2 x 2 5 x4
9.1. lim
.
x 2  3 x 2  x 4
3 x 2 4 x  2
9.2. lim
.
x 6 x 2  5 x 1
2 x 3 7 x  2
9.3. lim
.
x 3 x 3  x  4
4 5 x 2 3 x 5
9.4. lim 5
.
x x 6 x  8
1 4 x  x 4
9.5. lim
.
x x  3 x 2  2 x 4
3 x 4 6 x 2  2
9.6. lim
.
x x 4  4 x  3
4 x 3  2 x 1
9.7. lim
.
x 2 x 3  3 x 2  2
3 x 14 x 2
9.8. lim
.
x 1 2 x 7 x 2
8 x 4 4 x 2  3
9.9. lim
.
x
2 x 4 1
3 x 2 10 x  3
.
x 2 x 2  5 x  3
3 x 4  2 x 2 7
.
x 3 x 4  3 x  5
7 x3  x
.
x x 3  3 x  2
9.10. lim
9.11. lim
9.12. lim
2 x 2 7 x  3
9.13. lim
.
x 5 x 2  x  4
5 x 3 7 x 2  3
9.14. lim
.
x 2  2 x  x 3
2 x 3 7 x 2  2
9.15. lim
.
x 6 x 3  4 x  3
x 3 3 x 2 10
9.16. lim
.
x 7 x 3  x 1
5 x 2  3 x 1
9.17. lim
.
x 3 x 2  x  5
x 3 4 x 2  28 x
9.18. lim 3
.
x 5 x  3 x 2  x 1
3 x 4  2 x 1
.
x x 4  x 3  2 x
4 x 3 7 x
.
x 2 x 3  4 x  5
3 x 4  x 2  x
.
x x 4  3 x  2
9.19. lim
9.20. lim
9.21. lim
3 x 2  5 x 7
9.22. lim
.
x 3 x 2  x 1
7 x3 2 x 2 4 x
9.23. lim
.
x
2 x3 5
 x 2  3 x 1
9.24. lim
.
x 3 x 2  x  5
18 x 2  5 x
9.25. lim
.
x 8  3 x  9 x 2
3 x 3 5 x 2  2
9.26. lim
.
x 2 x 3  5 x 2  x
4 x 2  5 x 7
9.27. lim
.
x 2 x 2  x 10
8 x 2  4 x 5
.
x 4 x 2  3 x  2
9.28. lim
5 x 4 3 x 2 7
.
x x 4  2 x 3 1
9.29. lim
3x 2  2 x9
.
x 2 x 2  x  4
9.30. lim
10. Найти предел функции.
8 x 5 4 x 3  3
10.1. lim
.
x 2 x 3  x 3 7
2 x 2  3 x 7
10.2. lim
.
x 3 x 4  2 x 2  x
3 x 4  2 x 5
10.3. lim
.
x 2 x 2  x 7
66
5 x 5 4 x 3  3
10.4. lim
.
x 2 x 2  3 x 7
5 x 3 3 x 2 7
10.5. lim
.
x 2 x 4  3 x 2 1
3 x  x6
10.6. lim 2
.
x x  2 x  5
3 x 4  2 x 2 8
10.7. lim
.
x 8 x 3  4 x  5
2 x3 3 x 2 5
10.8. lim
.
x 3 x 2  4 x 1
2 x 3 7 x 2  4
10.9. lim
.
x x 4  5 x 1
7 x3 2 x 4
10.10. lim
.
x 2 x 2  x  5
11x 3  3 x
10.11. lim
.
x 2 x 2  2 x 1
x7  5 x 2 4 x
10.12. lim
.
x 3 x 2 11x 7
2 x 2 10 x 11
.
x 3 x 4  2 x  5
6 x 3  5 x 2 3
3 x 4  x 2 6
10.15.
.
lim
.
x 2 x 2  x 7
x 2 x 2  3 x 1
10.13. lim
10.14. lim
3 x 3  4 x 2 7 x
10.16. lim
.
x 2 x 2 7 x  3
x5 2 x 4
10.17. lim
.
x 2 x 4  3 x 2 1
2 x 2 7 x 1
10.18. lim 3
.
x x  4 x 2  3
5 x 2  3 x 1
10.19. lim
.
x 1 2 x  x 4
6 x 2 5 x  2
10.22. lim
.
x 4 x 3  2 x 1
3 x 2 7 x 4
10.20. lim 5
.
x x  2 x 1
2 x 3 7 x 1
10.23. lim 4
.
x 3 x  2 x  5
8 x 3  x 2 7
10.21. lim
.
x 2 x 2  5 x  3
3 x 4  2 x 4
10.22. lim
.
x 3 x 2  4 x 1
8 x 2 3x 5
10.25. lim
.
x 4 x 3  2 x 2 1
4 x 3  5 x 2 3 x
3 x6 5 x 2  2
10.26. lim
.
. 10.27. lim
x 3 x 2  x 10
x 2 x 3  4 x  5
3 x 2  4 x 7
10.28. lim 4
.
x x  2 x 3 1
7 x 2 5 x9
10.29. lim
.
x 1 4 x  x 3
7 x 3  3 x 4
10.30. lim
.
x 2 x 2  5 x 1
11. Найти предел функции.
x 3 3 x  2
.
x 2
x2
x 3 3 x  2
.
x1 x 2  2 x 1
x 3 3 x  2
.
x1 x 3  x 2  x 1
11.1. lim
11.2. lim
11.3. lim
x 2  2 x 1
11.4. lim 3 2
.
x1 x  x  x 1
x 4 1
11.5. lim 4 2 .
x1 2 x  x 1
x3 4 x 2 5 x  2
11.6. lim
.
x1
x 3 3 x  2
67
x 2 3 x  2
11.7. lim 3
.
x1 x  2 x 2  x  2
2 x 2  x 1
x3 5 x 2 8 x 4
11.8. lim 3
. 11.9. lim
.
x1 x  2 x 2  x  2
x2 x 3  3 x 2  4
x 2  2 x 3
11.10. lim 3
.
x3 x  4 x 2  3 x
x 3  2 x 1
11.11. lim 4
.
x1 x  2 x 1
11.13.

1 x 3 1 3 x 
lim
.
2
x x
x0
5
11.16.
x  5x 7 x  3
.
x3  4 x 2  5 x  2
lim
x 1
x 3 3 x  2
.
x1 x  x 2
11.14. lim
11.17.
3
2
lim
x1
2 x
x 4 1
11.22. lim 4 2 .
x1 2 x  x 1
x 2  2 x 1
11.23. lim 2
.
x1 2 x  x 1
x 4 2 x1
x 3 5 x 2  8 x 4
x 2 1
11.25. lim
. 11.26. lim 2
.
x2 x 3  3 x 2  4
x1 2 x  x 1
x3 5 x 2 8 x 4
.
x2 x 3 7 x 2 16 x 12
11.18. lim
x1
2

x 3 2 x1
lim
.
x1
x 3 3 x  2
.
x1 x 3  x  2
11.29. lim
x 3 3 x  2
x1

 x1
.
3
2
x 2 x  x2
11.20.
lim
11.15. lim
2
2
x 3  x 2 5 x  3
11.19. lim 3 2
.
x1 x  x  x 1
11.28.
x 3 6 x 2 12 x 8
11.12. lim
.
x2
x 3 3 x 2  4
11.21. lim
x
x
2
3
 x2

2
.

 2 x  1 x  1
.
x4  4 x 2  5
x 2 3 x  22 .
x1 x 3  2 x 2  x  2
2

x 2  2 x 3
11.24. lim
.
x3 x 3  4 x 2  3 x
1  x  1  3 x .
3
11.27. lim
x0
x  x5
x 3 4 x 2 3 x 18
.
x3 x 3 5 x 2  3 x  9
11.30. lim
12. Найти предел функции.
12.1. lim
x0
12.4. lim
x4
3x
5 x  5 x
2 x
6 x 1  5
.
.
12.2. lim
x0
12.5. lim
x9
x 2 4 2
x 2 16  4
2 x 7 5
3 x
.
.
12.3. lim
x1
12.6. lim
x1
3 2 x  x  4
.
3 x 2  4 x 1
3 x 2  4 x 1
x 3  53x
.
68
2
1 3 x 1
.
x3  x2
12.7. lim
x0
3x 2  3
12.10. lim
x 1
8 x 3
12.13. lim
x2
12.8. lim
x3
lim
4 x 1  3
.
x 3 8
12.14. lim
x0
x 12  4  x
.
2
x  2 x 8
12.17. lim
2  x  x 6
.
x 2  x 6
12.20. lim
lim
.
12.9. lim
x5
x  20 4
.
3
x 64
x4
9  x 3
.
x2  x
x  4 3
x 1  2
x5
12.19.
x2
3x  x
12.11. lim
.
12.16.
x4
x 3  27
.
x2
12.15. lim
x0
12.24. lim
x7
x4
x2  2
x10  4 x
12.29. lim
.
2
2 x  x21
x3
.
x 1 1
3x
1 x  1 x
5 x 2
8  x 3
x1
2
. 12.23. lim 2  x  4 .
5  x  x 1
x0
3x2
2 x 1  3
2
12.18. lim
x 3  2
x  2 3
.
5 x 1  4
.
2x 2  9x  4
5  x  x 1
. 12.30. lim
x5
.
.
x3 x 2  2 x 15
2
7  x  7  x 12.26. lim x  x 12 . 12.27. lim
12.25. lim
x 2
.
x3 x  2  4  x
x0
7x
12.28. lim
x2 2  2
x0
12.21. lim
x 2 3 x  2
12.22. lim
12.12. lim
4 x 3 3
.
x 2 9
x3
2 x 1  x 6
.
2 x 2 7 x 15
.
3 x17  2 x12
x 2 8 x15
13. Найти предел функции.
13.1. lim
1 x  1 x
x0 3
13.4. lim
x1
1 x  3 1 x
x 1
.
x 2 1
.
1 x  1 x
13.2. lim
7
x0
3
13.5. lim
x0
x
. 13.3. lim
x4 3
x 2
2
.
x 16
8  3 x  x 2  2 13.6. lim x 13  2 x 1 .
.
3 2
x3
3 2
3
x 9
x x
.
69
3
13.7. lim
x 6  2
.
x2
x2
92 x 5
13.10. lim
x8
3
2
13.8. lim
x8
.
13.11. lim
x 4
lim
x1/ 3
x / 9  1/ 3
1/ 3  x  2 x
13.16. lim
x 13  2 x 1
.
x 2 9
13.20. lim
2 x
13.19.
lim
x3
13.22. lim
x16
4
x 2
x 4
x2
.
.
13.15. lim
x 6  2
.
3
x 8
13.21. lim
3
x8
x 2
.
.
9 x 3
3 x  2 x
3
.
16 x  4
4 x  2x
3
x1/ 2
9  2 x 5
13.23. lim
3
x4
.
4 x 2
2 x  2 x
x3
13.18. lim
x 2 1
3
13.12. lim
x 8
x 1
x1 3
x2
.
3
x 2
13.17. lim
x8
x6 2
x4
.
3
3
12 x 3
13.14. lim
.
1 x  3
x 2
3
13.9. lim
.
3
x  2 3
13.13.
3
92 x 5
.
x / 4  1/ 2
1/ 2  x  2 x
3
x / 16 1/ 4
x1/ 4
1/ 4  x  2 x
3
27  x  3 27  x
13.24. lim
x0
3
2
5
.
.
.
x  x
1 2 x  x 2 1 x 
8  3 x  x 2  2 13.27. lim 10  x 6 1 x .
13.25. lim
. 13.26. lim
.
x8
x
x0
x0
23 x
x x2
3
13.28. lim
x0
3
27  x  3 27  x
3
x2 x
. 13.29. lim
x1
4
3
x 1
1 x  2 x
. 13.30. lim
x16 3
4
x 2
 x 4 
2
.
14. Найти предел функции.
 3x  4 
14.1. lim 

x   3 x  2 
 2 x 4 
14.4. lim 

x  2 x 
2x
.
 x3
14.2. lim 

x   x 
.
 x3 
14.5. lim 

x  x 1 
3 x
5 x
.
x 4
 2x  1 
14.3. lim 

x   2 x  4 
x
x
.
 1 2 x  .
14.6. lim 

x  3  2 x 
.
70
 x 7 
14.7. lim 

x  x  1 
4 x 2
 x 7 
14.8. lim 

x  x 
.
x
 2 3 x  .
14.10. lim 

x  5  3 x 
2 x 1
.
 2 x 1 
14.11. lim 

x  2 x 1 
2x
 4 x 1  .
14.13. lim 

x  4 x  1 
 x 
14.14. lim 

x  x  3 
5x
 2 x5  .
14.16. lim 

x  2 x  1 
x2
x 5
12 x
3 x 1
.
3 x 4
.
 2x  .
14.22. lim 

x  2 x  3 
 x2 
14.23. lim 

x  x 
3 2 x
3x
 x 1 
14.25. lim 

x  x  4 
3 x2
 x2 
14.28. lim 

x  x  1 
2 x 3
 x 1 
14.15. lim 

x  x 
.
 2 x 1 
14.17. lim 

x  2 x  4 
.
.
 3x4 
14.29. lim 

x  3 x 
.
2 x 3
.
2 3 x
.
 3x4 
14.18. lim 

x  3 x  5 
.
 3x 
14.21. lim 

x  3 x  2 
.
 4 2x 
14.24. lim 

x  1 2 x 
3x
 1 x  .
14.26. lim 

x  2  x 
3 2 x
 x 
14.12. lim 

x  x  1 
.
 x5 
14.20. lim 

x  x 
 x 2 
14.19. lim 

x  x1 
 x 
14.9. lim 

x  x  1 
 x4 
14.27. lim 

x  x  8 
2 x
.
x 2
.
x 1
.
3 x
 2x 
14.30. lim 

x  1 2 x 
.
x 1
.
4 x
15. Найти предел функции.
cos2 x  cos2 2 x 15.2. lim sin 7 x  sin 3 x .
.
x 0
2
x  sin x
x0
x
1 cos4 x
.
x0 x sin x
15.3. lim
15.1. lim
1 cos2 2 x
.
15.4. lim
x0 xarcsin x
cos2 x  cos4 x
.
x0
3x2
15.7. lim
15.5. lim
x 0
15.8. lim
x0
cos 2 x  cos 4 x
3x
2
tg 3 x  sin3 x
2x2
.
.
sin5 x  sin x
.
x0 arc sin x
15.6. lim
15.9. lim π / 2  x tgx.
xπ / 2
.
71
1sin x
15.10. lim
.
π π / 2 x 2
x
2
cos x  cos3 x
cos4 x  cos3 4 x
15.11. lim
. 15.12. lim
.
2
2
x

0
x0
5
x
3x
1 cos8 x
.
x0 3 x 2
sin 2 3 x  sin x
15.15. lim
.
x0
x2
cosx  cos5 x
.
x0
2x2
15.18. lim
7x
.
x0 sin x  sin7 x
15.14. lim
sin3 x  sin x
.
5x
x0
15.17. lim
tg 3 x
.
x0 2 sin x
15.20. lim
arcsin 5 x
.
x0 sin 3 x
15.23. lim 1 x tg
15.13. lim
15.16. lim
15.19. lim
15.22. lim
1sin x
.
π π 2 x
x
15.25. lim
tg x  sin x
x1
15.26. lim
15.29. lim
πx
.
2
15.24. lim
x2
2
1 cos2 x
.
15.28. lim
x0 x tg x
15.21. lim
tg 2 x  sin2 x
x0
arcsin5 x
x0
2
arctg 2 x
.
x0 tg 3 x
.
3x 2
x0
1 cos5 x
.
x0 2 x 2
x x
.
1sin2 x
.
π π 4 x
x
4
.
1 
 1

.
x0 sin2 x tg 2 x 
15.27. lim 
1 
 1

.
x0 tg x sin x 
15.30. lim 
16. Доказать, что функции f  x  и φ  x  при x0 являются
бесконечно малыми одного порядка малости.
16.1. f  x  sin x  sin5 x , φ  x 2 x .
16.2. f  x  2 x / 3 x , φ x  2 x  x 2 .
16.3. f  x 3 x / 1 x , φ x  x / 4  x .
16.4. f  x  x 2 / 7  x , φ x 3 x 3  x 2 .
16.5. f  x 3 x 2 / 2  x , φ x 7 x 2 .
16.6. f  x  sin x 2  5 x , φ x  x 3  25x.
16.7. f  x   2 x 3 , φ x   5 x 3 / 4  x .
16.8. f  x   cos x  cos3 x , φ x   6 x 2 .


16.9. f  x   x 2 / 5  x , φ x   4 x 2 /  x  1. 16.10. f  x   arcsin2 x , φ x   8 x.
16.11. f  x   sin8 x , φ x   arcsin5 x.
16.12. f  x   1 cos4 x , φ x   x sin 2 x.
16.13. f  x   sin3 x  sin x , φ x   10 x.
16.14. f  x   9  x  3, φ x   2 x.
16.15. f  x   cos7 x  cos x , φ x   2 x 2 . 16.16. f  x   cos3 x  cos5 x , φ x   x 2 .
16.17. f  x   tg 2 x , φ x   arcsin x.
16.18. f  x   1 cos2 x , φ x   8 x 2 .
72
16.19. f  x   1 cos x , φ x   3 x 2 .
16.20. f  x   3 sin 2 4 x , φ x   x 2  x 4 .
16.21. f  x   arctg 2 3 x , φ x   4 x 2 .
16.22. f  x   tg x 2  2 x , φ x   x 2  2 x.
16.23. f  x   sin3 x  sin x , φ x   5 x.
16.24. f  x   arcsin x 2  x , φ x   x 3  x.




16.25. f  x   cos3 x  cos x , φ x   7 x 2 . 16.26. f  x   sin7 x  sin x , φ x   4 x.
16.27. f  x   x 2  cos2 x , φ x   6 x 2 .
16.28. f x   4  x  2 ,  x   3 x.
16.29. f  x   1 x  1, φ x   2 x.
16.30. f  x   sin x 2  2 x , φ x   x 4  8 x.


17. Найти предел функции.
arcsin 8 x
.
x0 tg 4 x
e5 x  1
.
17.2. lim
x0 sin 2 x
ln1  4 x 
.
x0 sin 2 x
17.5. lim
17.1. lim
17.4. lim
17.7. lim
tg x  5 
x5 x 2  25
x2
17.11. lim
1  cos6 x
.
x0
4 x2
arcsin 4 x
.
x0 tg 5 x
17.13. lim
17.16. lim
x2
x2  4
arcsin 2 x
.
x0 tg 4 x
17.22. lim
x3  8
.
.

e5 x  1
.
17.6. lim
x0 tg 2 x
17.9. lim
17.8. lim
ln1  5 x 
.
x0 sin 3 x
tg  x  2 
sin x  2 
x 3  64
.


tg
x

4
x4
.
17.10. lim
17.19. lim
sin 3 x
.
x0 ln1  2 x 
17.3. lim
sin x  3
x3 x 3  27

1  cos8 x
.
x0
2x2
ln 1  4 x 3
.
3
x0
2x
17.12. lim
17.14. lim
arcsin 5 x
.
x0 tg 3 x
17.15. lim
e3 x  1
.
17.17. lim 3
x0 x  27 x
17.18. lim
arcsin 3 x
.
2x
x0
17.21. lim
ln1  3 x 
.
x0 sin 2 x
e2 x 1
.
17.24. lim
x0 tg 3 x
17.20. lim
17.23. lim
.
sin 7 x
.
x0 tg 2 x
arctg 6 x
.
x0 2 x 2  3 x
sin 5 x
.
x0 arctg 2 x
73
17.25.
sin x  3
17.26. lim
cos2 x  cos4 x
.
x0
3x2
arctg 5 x
.
17.28. lim
x0 tg 2 x
x3 x 2  5 x  6
lim


cos3 x  cos x
.
x0
2x2
17.27. lim
arctg 3 x
.
x0 ln1  2 x 
ln 1  3 x 2
.
x0 x 3  5 x 2
17.29. lim
.
17.30. lim
18. Найти предел функции.
e 4 x 1
18.1. lim
.
x0 sin π  x / 21
18.4. lim
sin 2 x  tg 2 x
x0
x
4
.
tgx  sin x
.
x0 x  1  cos2 x 
18.7. lim
ln  1  3 x 
18.2. lim
x0
8 x4 2
sin7 x
18.5. lim
.
x0 x 2  πx
.
2sin π  x1
.
x0 ln 12 x 
18.8. lim
3 x 2 5 x
18.3. lim
.
x0 sin 3 x
4x
18.6. lim
.
x0 tg  π  2  x  
18.9. lim
1  cos 3 x
x0
4x
2
.
tg  π  1  x / 2  
1 x 1
18.10. lim
. 18.11. lim
.
ln  x  1 
x0
x0 sin π  x2 
2 x1  2
18.12. lim
.
x0 ln  1  4 x 
18.13.
18.15.
18.14.
x sin 2 x
.
x0 1  cos  x  3 π 
ln  1 7 x 
.
x0 sin  π  x 7  
1  cos x
lim
.
x0 x sin x
lim
18.16.
lim
18.17.
arcsin2 x
.
x0 sin 3  x  π 
lim
lim
18.19. lim
x0
x0
1 cos  x π 
e 3 x 1 2
.
18.25. lim
x0

2

2 2 x 4
e
x2
.
1
lim
x0
cos  x  5 π / 2  tgx
arcsin2 x
2
.
1cos2 x
. 18.21. lim 1 3 x1 .
x0 cos7 x  cos3 x
x0 cosπ  x1/ 2 
18.20. lim
2x
. 18.24. lim 4  x  2 .
x0 tg 2 π  x1/ 2 
x0 3 arctgx
arcsin2 x
.
x0 ln  e  x 1
18.23. lim
18.22. lim
ln x 2 1
1  cos10  x  π 
18.18.
.
18.26. lim
x0
arcsin3 x
2 x 2
.
cos2 x cosx
.
x0 1 cosx
18.27. lim
74
e 4 πx 1
18.28. lim
x0 3
824 x 2
.
18.29.
arctg 2 x
.
x0 sin  2 π  x 10  
sin 5 xπ 
.
x0
e 3 x1
18.30. lim
lim
19. Доказать, что функция f  x  непрерывна в точке x 0 (найти
δ  ε  ).
19.1.
19.2.
19.3.
19.4.
19.5.
19.6.
f  x  4 x 2 9 ,x0 4.
f  x  2 x 2 7 ,x0 6.
19.7.
f  x 3 x 5 ,x0 8.
2
19.10.
f  x 5 x 3 ,x0 8.
2
f  x  2 x 2 3 ,x0 4.
f  x  3 x 2 5 ,x0  2.
19.8.
f  x  5 x 7 ,x0 1.
2
19.11.
f  x  3 x 9 ,x0 3.
2
f  x  5 x 2 9 ,x0 3.
f  x  3 x 2 8 ,x0 5.
19.9.
f  x  2 x 2 6 ,x0 7.
19.12.
f  x 4 x 2 4 ,x0 9.
19.13.
19.14.
19.15.
19.16.
19.17.
19.18.
f  x 4 x 2 1,x0 6.
f  x  2 x 2 4 ,x0 3.
19.19.
f  x  4 x 6 ,x0 1.
2
f  x  2 x 2 8 ,x0 5.
f  x 4 x 2 6 ,x0 7.
19.20.
f  x 4 x 2 ,x0 5.
2
f  x 5 x 2 1,x0 7.
f  x 3 x 2 2 ,x0 5.
19.21.
f  x 5 x 2 1,x0 6.
19.22.
19.23.
19.24.
19.25.
19.26.
19.27.
19.28.
19.29.
19.30.
f  x  4 x 2 8 ,x0  2.
f  x  2 x 2 9 ,x0 4.
f  x 3 x 2 7 ,x0 6.
f  x  2 x 2 4 ,x0 3.
f  x  3 x 2 6 ,x0 1.
f  x  5 x 2 8 ,x0  2.
f  x 3 x 2 3 ,x0 4.
f  x  2 x 2 5 ,x0  2.
f  x  4 x 2 7 ,x0 1.
20. Исследовать функцию на непрерывность в указанных точках.


20.1. f  x  x4  /  x3 ; x1 3 ,x2 2.
20.2. f  x  2 x / x 2 1 ; x1 1,x2  2.
20.3. f  x  x5  /  x3 ; x1 3 ,x2 4.
20.4. f  x  2 3 /  x2  1; x1  2 ,x2  1.
20.5. f  x 34 / 1 x  1; x1 1,x2  2.
20.6. f  x 4 3 /  x2  2; x1  2 ,x2 3.
75
20.7. f  x 4 x /  x5 ; x1 5 ,x2 4.
20.8. f  x 32 /  x1 2; x1  1,x2 0.
20.9. f  x 6 2 / 4 x  ; x1 3 ,x2 4.
20.10. f  x 53 /  x4  1; x1  5 ,x2  4.
20.11. f  x  x1 /  x2 ; x1 2 ,x2 3.
20.12. f  x  x4 /  x2 ; x1 2 ,x2 1.
20.13. f  x 7 1/ 5 x  1; x1 4 ,x2 5.
20.14. f  x  21/  x3  1; x1 3 ,x2 4.
20.15. f  x  x3 /  x4 ; x1 5 ,x2 4. 20.16. f  x 51/  x3  1; x 3 ,x 4.
1
2
20.17. f  x  x5  /  x2 ; x1 3 ,x2 2. 20.18. f  x  x7  /  x2 ; x1 2 ,x2 3.
20.19. f  x 51/  x3  ; x1 3 ,x2 4.
20.20. f  x  x5  /  x3; x1 2 ,x2 3.
20.21. f  x 4 2 /  x1 ; x1 1,x2  2.
20.22. f  x 41/ 3 x  2; x1  2 ,x2 3.
20.23. f  x  2 5 / 1 x  1; x1 0 ,x2 1.
20.24. f  x 91/  2 x  ; x1 0 ,x2  2.
20.25. f  x 8 4 /  x2  1; x1  2 ,x2 3.
20.26. f  x  21/  x5  1; x1 4 ,x2 5.
20.27. f  x 54 / 3 x  1; x1  2 ,x2 3.
20.28. f  x 51/  x4  2; x1 3 ,x2 4.
20.29. f  x 3 x /  x4 ; x1 4 ,x2 5.
20.30. f  x 6 1/  x3  3; x1 3 ,x2 4.
21. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее
график.
 x2 , x  2 ,

21.1. f  x   x 3 , 2  x 1,
2 ,
x 1.

 x 3 , x  1,

21.2. f  x   x1, 1 x  3 ,
 x5 , x 3.

3 x4 , x  1,

21.3. f  x   x 2 2 , 1 x  2 ,
x,
x  2.

x,
x  2 ,

21.4. f  x   x1, 2  x 1,
 2
 x 1, x 1.
x 1,
x,

2
21.5. f  x   x2  , 1 x  3 ,
 x6 , x  3.

 x3 , x 0 ,

21.6. f  x   x 2 4 , 0  x  2 ,
 x2 ,
x  2.

76
 x1, x 1,

21.7. f  x   x 2 2 , 1 x  2 ,
2 x , x  2.

x  1,
0 ,
 2
21.8. f  x   x 1, 1 x  2 ,
2 x , x  2.

 x4 , x  1,

21.9. f  x   x 2 2 , 1 x 1,
2 x , x 1.

x 0 ,
1,

21.10. f  x  cos x , 0  x  π ,
1 x , x  π .

 x1, x 0 ,

2
21.11. f  x   x1 , 0  x  2 ,
 x4 , x  2.

 x2 , x  1,

21.13. f  x   x 2 1, 1 x 1,
 x3 , x 1.

x  1,
2 ,

21.12. f  x  1 x , 1 x 1,
ln x , x 1.

x 0 ,
 x ,

2
21.15. f  x   x1 , 0  x  2 ,
 x3 ,
x  2.

2 x1, x  1,

3
21.17. f  x   x1 , 1 x 0 ,
x,
x 0.

 x , x 0 ,

21.19. f  x   x 2 , 0  x  2 ,
 x1, x  2.

 x1, x 0 ,

21.16. f  x   x 2 , 0  x  2 ,
2 x , x  2.

 x 2 1, x 1,

21.21. f  x  2 x , 1 x  3 ,
 x2 , x  3.

 x3 , x 0 ,

0 x2 ,
21.22. f  x  1,
 2
 x 2 , x  2.
x 0 ,
 x ,

21.14. f  x   x 3 , 0  x  2 ,
 x4 , x  2.

 x1, x 0 ,

21.18. f  x   x 2 1, 0  x 1,
 x , x 1.

 x , x 0 ,

21.20. f  x   x 2 1, 0  x  2 ,
 x1, x  2.

77
 x3 , x 0 ,

21.23. f  x   x1, 0  x  4 ,
3 x , x  4.

 x1, x 0 ,

21.24. f  x   sin x , 0  x  π ,
3 ,
x π .

 1 x , x 0 ,

21.25. f  x  0 ,
0 x2 ,
 x2 , x  2.

2 x 2 , x 0 ,

21.27. f  x   x , 0  x 1,
2 x , x 1.

 x1, x  1,

21.26. f  x   x 2 1, 1 x  2 ,
2 x ,
x  2.

 sin x , x 0 ,

21.29. f  x   x , 0  x  2 ,
0 , x  2.

cosx , x  π / 2 ,

21.30. f  x  0 ,
π / 2 x π ,
2 , x π .

1, x 0 ,

21.28. f  x  2 x , 0  x  2 ,
 x3 , x  2.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Найти производную.
7
 8 x 3 x 2 .
3
( x 1 )
5
4
1.3. y  3 x 2  4 x  5 
.
4
x  4 
3
8
1.5. y  5 x 4  2 x  1 
.
2
x  5
7
3

5 x 7 x 2  3 .
1.7. y 
5
x  2
4
4
1.9. y   x  15 
.
2
7 x  3x  2
3
5
1.11. y   x  2 6 
.
7 x3  x 2  4
1.1. y 
 x  3 7 
1.2. y 
1.4. y  3  x  8 4 
1.6. y 
9
2
7 x 5x 8
2
1 3 x  4 x 2
3
4 x  3x2 1
1.8. y 

.
.
 x  15 .


5
3 6
 2 x2  3x 1 .
x 4
1.10. y 
1.12. y 
4
3

4
 3x2  x 1 .
3
 x 7 
 x 7 7 
10
3x2  5 x  1.
78
1.13. y 
1.15. y 
1.17. y 
3
3
4

4

3
x

x
.
2
x  4 
2

3
 x 1
3
4
( x 3 )
8
6 x 2  3 x 7
5
3
 x  1
3
5
2
1.23. y  3 7 x  x 
x  4 
5
5

.
x  5
2
4
 x 7 5
1.22.
.
.
2
1.29. y  3 x  x  5 
.
2
 x 13
 x  5 4
3
7
(x4)
 5x2  4 x  3.
2
3
5
3
2

8

5
x

2
x
.
( x  2 )5
5
3
y   x  15  2
.
2 x  4 x 7
4
y  3x4  2 x3  x 
.
3
x  2
5
y  3  x 7 5  2
.
4 x  3x  5
2
5
y   x  4 6  2
.
2 x  3 x 7
1.24. y 
2 x2  4 x 1
2
1.18.
1.20.
5
1.27. y  7 x  3 x  5 
4
1.16.
7
4
1.21. y  5 x 2  4 x  1 
1.25. y 
.
 1 5 x  2 x 2 .
1.19. y  5  4 x  x 2 
7
1.14. y 
.
.
1.26. y  4 x 2  3 x  4 
 x  3
5
4
3
1.28. y  3 x 4  2 x  5 
1.30. y  3  x  34 
x  2
5
3
3
2 x  3x 1
2. Найти производную.
2.1. y  tg 3 2 x  arcsin x 5 .
2.2. y  cos5 3 x  tg 4 x  1 .
2.3. y  e sin x tg7 x 6 .
2.4. y  arcsin3 2 x  ctg7 x 4 .
2.5. y  cos5 x  arccos4 x .
2.6. y  arccos 2 4 x  ln x  3 .
2.7. y  sin 2 3 x  arcctg3 x 5 .
2.8. y  arctg 3 4 x  3 sin x .
2.9. y  tg 6 2 x  cos7 x 2 .
2.10. y  4  x  ln 5  x  2  .
2.11. y  ctg
1
x
3
2
4
 arccos x .
2.13. y  tg 3 2 x  arccos2 x 3 .
2.15. y  sin 5 3 x  arctg x .
2.12. y  5 x  arccos2 x 5 .
2.14. y  cos3 4 x  arcctg x .
2.16. y  ctg 7 x  arccos2 x 3 .
.
.
.
79
2.17. y  sin3 2 x cos8 x 5 .
2.18. y  e cos x ctg 8 x 3 .
2.19. y  tg 4 x  arcsin4 x 5 .
2.20. y  sin 3 7 x  arcctg5 x 2 .
2.21. y  ctg 3 x  arccos3 x 2 .
2.22. y  cos 5 x  arctgx4 .
2.23. y  ln 5 x  arctg7 x 4 .
2.24. y  ctg 3 4 x  arcsin x .
2.25. y  2 cos x  arcctg5 x 3 .
2.26. y  tg x  arcctg3 x 5 .
2.27. y  3tgx  arcsin7 x 4 .
2.28. y  2 tgx arctg 5 3 x .
2.29. y  sin 4 3 x  arctg2 x 3 .
2.30. y  cos4 3 x  arcsin 3 x 2 .
3. Найти производную.
3.1. y  log 3  x  1  arctg 5 7 x .
3.2. y  tg 4 3 x  arctg7 x 2 .
3.3. y  ln x  9   arcctg 3 2 x .
3.4. y  5  x arcsin 3 x 3 .
3.5. y  lg  x  2   arcsin2 3 x .
3.6. y  arctg 5 x  log 2  x  3 .
3.7. y  4 sin x arctg3 x .
3.8. y  log 3  x  5  arccos3 x .
3.9. y  2 cos x arctg 3 x .
3.10. y  e  x  arcsin2 5 x .
3.11. y  lgx  3  arcc sin 2 5x .
3.12. y  log 4 x  1  arcsin 4 x .
3.13. y  log 2  x  3 arccos2 x .
3.14. y   x  4   arcctg3 x 2 .
3.15. y  2  x arctg 3 4 x .
3.16. y  ctg 3 4 x  arctg2 x 3 .
3.17. y  ln x  4   arcctg 4 3 x .
3.18. y  e cos x arctg7 x 5 .
3.19. y  lg  x  3  arcctg 2 5 x .
3.20. y   x  1 arccos3 x 4 .
3.21. y  log 5  x  1  arctg 2 x 3 .
3.22. y  2 sin x arctgx4 .
3.23. y  arcctg 2 5 x  ln x  4  .
3.24. y  3  x arctg2 x 5 .
3.25. y  arctg 3 2 x  ln x  5  .
3.26. y  3 cos x arcsin2 3 x .
2
5
3
80


3.27. y  arccos4 x  ln x 2  x  1 .
3.29. y  arccos2 x  3
x
.
3.28. y  ln x  10  arccos 2 4 x .
3.30. y  lgx  2  arcsin 5 x .
4. Найти производную.
4.1. y 
4.3. y 
4.5. y 
4.7. y 
4.9. y 
ctg 3 2 x  3
log 3  x  2 
ln 2  x  1
4.2. y 
.
4.4. y 
.
cos 3 x 4
log 3 4 x  2 
ctg 2 x
lg  x  2 
4.6. y 
.
lg 3 x  5 
4.11. y 
4.13. y 
4.15. y 
4.17. y 
4.19. y 
4.21. y 
4.23. y 
4.25. y 

.
cos 2 x

2
lg x  2 x  1
ln 3 x
cos5 x
ln5 x  3
4
sin 3 5 x
ln2 x  3
tg 3 2 x
lg 5 x  1
ln7 x  3
2
3tg 4 x
.
.
tg x
ln 3  x  5 
ln7 x  2 
.
4.16. y 
4.18. y 
4.20. y 
4.22. y 
.
4.24. y 
.
tg 1 / x 
.
.
tg 3 7 x
.
ln3 x  2 
tg 3 x  5 
4.10. y 
.
2
ln  x  3
log 2 3 x  7 
4.12. y 
.
tg 3 x
.
2
ctg 5 x
.
.
sin 5 x
log 2 7 x  5 
4.14. y 
.
ctg  x  3
log 3  x  4 
4tg 3 x
2
4.8. y 
.
sin 2 x 5
ctg x  2
lg 3 x
4.26. y 
tg 4 5 x
ln x  7 

.
tg 4 3 x
lg x 2  x  4
log 5 3 x  7 
.
3
ctg7 x
ln7 x  2 
5 cos 42 x
cos 2 3 x
.
.
lg 3 x  4 
log 3 4 x  5 
2ctg x
lg 11x  3
cos 2 5 x

.
.
.
81
4.27. y 
4.29. y 
sin 3 5 x  1
lg 3 x  2 
.
ln7 x  1
.
sin 3 4 x  3
4.28. y 
4.30. y 
tg 2  x  2 
lg  x  3
.
cos4 7 x  1
lg  x  5 
.
5. Найти производную.
5.1. y 
5.3.
5.5.
5.7.
5.9.
3 arcsin2 x  7 
x  2
5 ln5 x  7 
.
y
 x  7 2
7 log 4 2 x  5 
.
y
5
 x  1
4 lg 3 x  7 
.
y
 x  17
6 log 3 2 x  9 
.
y
2
x  4 
5.11. y 
5.13.
5.15.
5.21.
5.23.

7 log 5 x 2  x
.
 x  3
2 ln3 x  10
.
y
 x  5 7
2 log 3 4 x  7 
.
y
4
 x  3
5.17. y 
5.19.
4
.
3

lg x 2  2 x
.
 x  8 4
4 log 2 3 x  5 
y
.
 x  2 2
4 lg 3 x  7 
.
y
3
x  5
8 arctg2 x  3
.
y
3
 x  1
5.2. y 
5.4. y 
5.6.
5.8.
3 log 2 5 x  4 
 x  3
5

log7 2 x 2  5
.
.
 x  4 2
8 lg 4 x  5 
.
y
5
 x  1
3 log 4 2 x  9 
.
y
2
x  7 
5.10. y 
5.12. y 
5.14.
5.16.
5.18.
5.20.
.

.
 x  7 3
2 ln 2 x 2  3
 x  7 4
7 arctg4 x  1
.
y
2
x  4 
2 lg 4 x  5 
.
y
4
x  6 
4 log 3 3 x  1
.
y
2
 x  1
ln7 x  2 
.
y
4
x  6 
5.22. y 
5.24.

3 ln x 2  5

.
5 log 2 x 2  1
 x  34
9 arctg x  7 
.
y
2
 x  1
82
5.25. y 
5.27.
5.29.
6 arcsin x  5 
7 arccos4 x  1
5.26. y 
.
 x  2 5
2arctg3 x  2 
.
y
2
 x  3
arcsin3 x  8 
.
y
3
x  7 
5.28.
.
 x  2 4
3arcctg2 x  5 
.
y
4
 x  1
4 arccos3 x
5.30. y 
x  2
5
.
6. Найти производную.
6.1. y  6
6.3. y  7
6.5. y  8
6.7. y  9
6.9. y 
6.11. y 
x9
x9
x4
x4
x2
x2
x3

6.2. y  8
ctg 2 x  5  .
6.4. y  9


6.17. y  9

2
cos x  3 x  2 .




ctg 3 x 2  5 .
2x  3
x5
sin 3 x 2  x  4 .
x5
x 6
cos7 x  2  .
x6


x7
arcsin 2 x  3 .
x7
6.19. y  7
6.21. y 
6.23. y  3
x8
2x  1
2x  5
2x  3


log 2 x  3 x 2 .
lg 4 x  7  .
x4
x 1
x1
arctg5 x  1 .
arcctg7 x  2  .
7x  4
arcsin 1  x 2 .
7x  4
6.8. y  3

8x  3
8x  3
2x  5
6.12. y  5
6.14. y  6
6.16. y  7



arccos x 2  5 .
2x  5
3x  4
3x  4
x2  1
2
x 1
x2  3
2
arctg3 x  2  .
arcctg2 x  5  .
arcsin 2 x .
arccos4 x .
x 3
5x 1
ln 3 x  x 2 .
6.18. y  4
5x 1
x3
log 5 2 x  3 .
6.20. y  9
x3
6x  5
6.22. y  3
lg 4 x  7  .
6x  5

arccos3 x  5  .
x8
2x  1
6.6. y 
x4
6.10. y  4
tg 2 x 2  9 .
3x  2
2x  3
6.15. y  5

sin 4 x 2  7 x  2 .
x3
3x  2
6.13. y  4

tg 3 x 2  4 x  1 .

6.24. y  3 4 x  1 ln 2 x 3  3.
4x  1
83
6.25. y  4
6.27. y  5
6.29. y  6

x3

6.26. y  4

6.28. y  5

6.30. y  7
ln 5 x 2  2 x  1 .
x3
x1

log 3 x 2  x  4 .
x 1
7x  4
7x  4

log 5 3 x 2  2 x .
x6
x 6
x 7




sin 3 x 2  1 .
cos 2 x 3  x .
x 7
2x  3
2x  1
lg 7 x  10 .
7. Найти производную.
7.1. y  x e

ctgx
x
x
7.3. y  x 2  5 x .
7.5. y  tgxln tgx  / 4 .


8
7.7. y  x  1
thx
.
7.11.  x sin x 8 ln  x sin x  .
 tgx .
shx
7.15. y  x 2  1 .
7.13. y  x 3  4
7.17. y  sin x 5 x / 2 .
19
7.19. y  19 x

7.21. y  sin x

.
cos x
7.23. y  x e
.
e sin x
7.6. y  x arcsin x .
x
7.10. y  cos 5 x e .
7.12. y   x  5 chx .
3
7.14. y  x sin x .
 ctgx .
cos x
7.18. y  x 2  1
.
7.16. y  x 4  5
x
7.20. y  x 3  2 x .
x 19 .
e1 / x
7.4. y  arcsin x e .
tgx
7.8. y  x e .
7.9. y  cos 2 x ln cos 2 x  / 4 .
7.25. y  x

7.2. y  sin x ln sin x .
.
.
arctg x
7.27. y  x e
.
x
7.29. y  x 29  29 x .
7.22. arctgx1 / 2  ln arctgx .
x
7.24. y  sin x 5e .
7.26. y  ln x 3
x
.
x
7.28. y  ctg 3 x 2e .
x
7.30. y  tgx4 e .
8. Найти производную.
8.1. y  ln x 7 ctg 2 x .
x 3
8.2. y  ctg 7 x  4 
.
84

8.3. y  th x  1

arctg 2 x
.
8.5. y  cos x  5 arcsin 3 x .
8.7. y  sin4 x arctg 1 / x  .

8.9. y  ctg 2 x 3
sin
x
 1
8.4. y   cth 
 x
arcsin7 x
8.6. y 
arccos 3 x
 x5
8.8. y  tg 3 x 4 

8.10. y  tg7 x 5
.
8.11. y  arccosx  cos x .
.
.
x 3
.
 x2 .
8.12. y  ctg7 x sh x3  .
8.13. y  sh5 x arctg  x2  .
8.14. y  arctgxth 3 x1 .
8.15. y  cth x
8.16. y  sh3 x arcctg 2 x .


sin x3 
.
8.17. y  cos x  2 ln x .
8.19. y  th5 x arcsin x1 .
8.21. y  cos5 x arctg x .
8.23. y  ln x  3sin x .
8.25. y  sh3 x arctg  x2 
8.18. y  cth3 x arcsin x .
8.20. y  sin3 x arccos x .
8.22. y  sh x  2 arcsin 2 x .
8.24. y   3 x  2 
arcctg 3 x
.
8.26. y  log 2  x  4 ctg 7 x .
8.27. y  arcsin5 x tg x .
8.28. y  ch3 x ctg 1 / x  .
8.29. y  arctg2 x sin x .
8.30. y  arccos5 x ln x .
9. Найти производную.
9.1. y 
4
x  8  x  2 6
 x  15
9.2. y 
.
 x  2 4
y
.
2
5
 x  1  x  6 
9.5. y 
x2  2x  3
 x  37  x  4 2
.
x  1 x  37
 x  8 3
.
9.4.
 x  12
y
.
4
3
 x  3  x  4 
9.6.
 x  2 4
y
.
 x  5  x  17
7
9.3.
5
5
3
85

x  4 3  x  2 4
9.7. y 
.
3
5
 x  22

x  14  x 7 2
9.9. y 
.
3
5
x  2
3
x  3  x 7 5
9.11. y 
.
2
x  4 
9.13. y 
5
 x  2 3  x  1
.
4
 x  3
 x  15
y
.
 x  2 4  x  5 7

x  16  x  2 3
9.8. y 
.
5
2
 x  3

x 7 2  x  35
9.10. y 
.
x2  3x 1
9.12. y 
9.14. y 
6
9.15.
9.17. y 
9.19. y 
9.21.
9.23.
9.25.
9.27.
 x  2 3  x  14
.
7
x  2
x  7 3 x  34
.
x  25
 x  2 3  x  15
y
.
 x  4 2

x  2 7  x  33
y
.
5
 x  1

x  32 x  4
y
.
7
x  2

x  18  x  32
y
.
5
x  2
 x  4 3
y
.
 x  12  x  35
 x  15
4
.
 x  13  x  2 5
.
2
 x  3
 x  2 3
y
.
 x  14  x  35
5
9.16.
9.18. y 
9.20.
9.22.
9.24.
9.26.
9.28.
5
9.29.
x  10  x  8 3
3  x  2 5  x  32
x 7 

x  35  x  2 3
y
.
3
x  1
3
 x  35  x  2 2
y
.
 x  17

x  14  x  2 5
y
.
3
2
x  4 

x 7 10 3 x  1
y
.
5
 x  3

x  2  x 7 4
y
.
3
4
 x  1
 x  17
y
.
 x  15  x  5 3
3
9.30.
.
86
10. Найти производную.
10.1.
10.2.
1
x2 1  x
y  x  1  ln
.
2
2
x 1 1
y  1  x 2 arctgx  ln x  1  x 2  .


10.3.
10.4.
2
y  ln 3
10.5.
x 1 1  1
1 
   2 arctgx.
x  1 2  2 x 1 


y  x ln 1  x  1  x 
1
arcsin x  x  .
2
10.7.
y  2 arcsin
3 x  4  0.
10.6.

2
 9 x 2  24 x  12 ,
3x  4

y  x 2 x 2  1 x 2  1  ln x  x 2  1  .


10.8.
ln x
y  arctg x 2  1 
x 2 1
1  x2
2

.
y  ln x  1  x  


x
.
10.9.
10.10.
y  3 arcsin
3
x2
 x 2  4 x  5.
y  1 3 x  2 x 2 
2 2
10.11.
10.12.
y
y
3  x2  x  5 arcsin x  2 / 5 .
3
4  x1  x  3ln
arcsin
4x3
17
.
10.13.
10.14.
y  xarcsinx 2  2 1  x 2 arcsinx  2 x.
x2  x  1
2x  1
y  ln
 3arctg
.
x
3
10.16.
10.15.
1  x2
y
 arcsin x .
x
x4  x 2  1
1
3
y  ln

arctg
.
2
2
12  2
2 3
2x  1

 x  1


10.17.
10.18.
y  x 3 arccos x 
1
x2  2
1  x2 .
3
y  4 arcsin
y
10.21.
x2


y  x / 4  10  x 2
1
2
ln
2  x2  2
x
4
 4 x 3  12 x 7 ,
2x  3
2 x  3  0.
10.20.
10.19.
x2  2

4  x  1 x .
.
 4  x 2  6 arcsinx / 2.
y  2 arcsin
2
 9x2 6 x  3,
3x  1
3 x  1  0.
10.22.
3
y  2  3 x x  1  arctg x  1 .
2
87
10.23.
y  arcsin
1
 x2  3x  2 ,
2x  3
2 x  3  0.
10.25.
y  x arcsin


10.26.
x arcsin x
y
 ln 1  x 2 .
1 x 2
10.28.
x
 x  arctg x .
x 1
10.27.
y
10.24.
1
y   x  2  x  1  ln x  1  1 .
3
arcsinx 1 1 x
.
 ln
2 1 x
2
1 x


y  x 2 x 2  5  x 2  1  3 ln x  x 2  1  .




10.29.
10.30.
x2  2
3
y  x arcsin x 
3
2
1 x .
y  4 ln
x
1  1  4x
2
11. Найти производную n-го порядка.
11.1. y  ln3 x  5  .
1
11.3. y  ln
11.4. y 
.
4x
11.5. y  xe6 x .
1 x
11.7. y 
.
x
11.9. y  ln5 x  1.
11.15. y  1 /  x  5  .
11.17. y  ln3  x  .

x
.
x5
11.6. y  x  7 .
4
11.8. y 
.
x3
1
11.10. y 
.
1 x
11.12. y  ln x .
11.11. y  1 / x .
11.13. y  cos x .
11.19. y  xe3 x .
11.2. y  cos3 x .

11.21. y  ln 5  x 2 .
11.23. y  1 /  x  7 .
11.14. y  2 x .
11.16. y  sin x .
11.18. y  e 2 x .
11.20. y 
x.
11.22. y  ln x  3 .
11.24. y  e 4 x .
11.25. y  e 5 x .
11.27. y  1 /  x  6  .
11.26. y  5 x .
11.28. y  ln4  x  .
11.29. y  7 x .
11.30. y  10 x .

1  4x2
x
2
.
88
12. Найти производную указанного порядка.


12.1. y  x 2  3 ln x  3, y IV  ? .
12.2. y 
ln2 x  5 
, y III  ? .
12.3. y  1 / x  sin 2 x , y III  ? .
2x  5
12.4. y  ln x  / x 5 , y III  ? .
12.5. y  3 x  7 3  x , y IV  ? .
12.6. y  x 2  3 x  1 e 3 x  2 , yV  ? .
12.7. y  e x / 2 sin 2 x , y IV  ? .
12.8. y 

ln x  2 

, yV  ? .
12.9. y  x ln1  3 x , y IV  ? .
x2
12.10. y  5 x  1 ln 2 x , y III  ? .
12.11. y  5 x  8 2  x , y IV  ? .
12.12. y  x 3  2 e4 x3 , y IV ? .
12.13. y  e  x cos 2 x  3 sin 2 x , y IV  ? .
 
12.14. y  2 x 2 7  ln x  1, yV ? .
12.15. y  3  x 2 ln 2 x , y III  ? .
12.16. y  x cos x 2 , y III  ? .

12.17. y 

ln x  1
, y III  ? .
x 1
12.19. y  4 x 3  5 e 2 x1 , yV  ? .


12.18. y 
log 2 x
, y III  ? .
x3
12.20. y  x 2 sin5 x  3, y III  ? .
12.21. y  ln x  / x 2 , y IV  ? .
12.22. y  2 x  3ln 2 x , y III  ? .
12.23. y  1  x 2 arctg x , y III  ? .
12.24. y  ln x  / x 3 , y IV  ? .
12.25. y  4 x  32  x , yV  ? .
12.26. y  e12 x  sin2  3 x , y IV  ? .

12.27. y 

ln3  x 
, y III  ? .
3 x
12.29. y   x  7 ln x  4 , yV  ? .
 
12.30. y  1  x  x 2 e  x1 / 2 , y IV  ? .
12.28. y  2 x 3  1 cos x , yV ? .
dy d 2 y
13. Найти производные
и
.
dx d x 2
13.1. tgy  4 y  5 x .
13.2. y  7 x  ctgy .
13.3. xy  6  cos y .
13.4. 3 y  7  xy 3 .
13.5. y 2  x  ln y / x .
13.6. xy 2  y 3  4 x  5 .
13.7. x 2 y 2  x 3  5 y .
13.8. x 4  x 2 y 2  y  4 .
13.9. sin y  xy 2  5 .
13.10. x 3  y 3  5 x .
13.11.
x y  7.


13.12. y 2   x  y  /  x  y  .
13.13. sin 2 3 x  y 2  5 .
13.14. ctg 2  x  y   5 x .
13.15. y 2  8 x .
13.16. x 2 / 5  y 2 / 7  1 .
89
13.17. x  arctgy  y .
13.18. x 2 / 5  y 2 / 3  1 .
13.20. arcctgy  4 x  5 y .
13.19. y 2  25 x  4 .
13.22. 3 x  sin y  5 y .
13.21. y 2  x  cos y .
13.23. tgy  3 x  5 y .
13.24. xy  ctgy .
13.26. ln y  y / x  7 .
13.25. y  e y  4 x .
13.27. y 2  x 2  sin y .
13.28. e y  4 x  7 y .
13.30. sin y  7 x  3 y .
13.29. 4 sin 2  x  y   x .
dy d 2 y
14. Найти производные
и
.
dx d x 2
 
 

2
x  t 1,
14.1. 
 y  t  1 / t 2  1.

 x  ln t  / t ,
14.4. 
 y  t ln t .
 x  2t / 1  t 3 ,
14.2. 
 y  t 2 / 1  t 2 .
 x  tet ,
14.3. 
 y  t / et .
 x  4t  2t 2 ,
14.5. 
 y  5t 3  3t 2 .
14.6. 
 x  t 4 ,
14.7. 
 y  ln t .
 x  et cost ,
14.8. 
 y  et sint
 x  5cost ,
14.11. 
 y  4 sint .
 x  2 cos2 t ,
14.9. 
 y  3 sin 2 t .
 x  1 / t  2 ,
14.12. 
 y  t / t  2 2 .
 x  5 cos2 t ,
14.10. 
 y  3 sin 2 t .
 x  arcsint ,
14.13. 
 y  1  t 2 .
 x  3sint  t cost ,
14.16. 
 y  3cost  t sint .
 x  e 3t ,
14.19. 
 y  e 3t .
 x  arccost ,
14.22. 
 y  1  t 2 .
 x  5 sin 3 t ,
14.25. 
 y  3cos3 t .
 y  arctgt,
14.14. 
 y  ln 1  t 2 .


 x  3t  sint ,
 y  31  cost .
 x  arcsint ,
 y  ln t .
14.15.
 x  t ,

 y  5 t .
 x  2t  3cost ,

 y  3t 2 .
 x  6 cos3 t ,

 y  2 sin 3 t .
 x  e 2t ,

 y  e 4t .
14.17. 
14.18.
 x  sin 2t ,
14.20. 
 y  cos2 t .
14.21.
14.23. 
14.24.
 x  1 / t  1,
14.26. 
 y  t / t  12 .
 x  ln 2 t ,
14.27. 
 x  t  lnt .
 x  ln t  / t ,
 y  t 2 ln t .
90
 3
 x  t  12 ,
14.28. 
 y  t  1.
 x  e 3t ,
14.29. 
 y  e 8t .
 x  6 t 2  4 ,
14.30. 
 y  3t 5 .
dy d 2 y
15. Найти производные
и
.
dx d x 2
 x  t ,
 x  t  1 ,
15.1. 
15.2. 
 y  3 t  1.
 y  t / t  1.
 x  cos t / 1  2 cos t ,
 x  t 3  1 ,
15.4. 
15.5. 

 y  sin t / 1  2 cos t .
 y  ln t .
x  t  1,
 x  sh 2 t ,
15.8. 
15.7. 
 y  th 2 t .
 y  1 / t.
 x  cos 2 t ,
x  t  3 ,
15.11.

15.10. 
2
 y  lnt  2 .
 y  tg t .
 y  sin t ,
 x  t  sin t ,
15.13. 
15.14. 
 x  ln cos t .
 y  2  cos t .
 x  t  sin t ,
 y  2  cos t .
15.16. 
 x  cos t  t sin t ,
 y  sin t  t cos t .
15.19. 
 x  cos t ,
15.22. 
 y  sin 4 xt / 2 .
 x  arctgt,
15.25. 
 y  t 2 / 2.
 x  sin t  t cos t ,
15.28. 
 y  cos t  sin t .

2
15.3.  x  1  t ,
 y  1 / t .
 x  sh 2t ,
15.6. 
 y  1 / ch2 t .
 x  1 / t ,
15.9. 
 y  1 / 1  t 2 .
 y  sin t ,
15.12. 
 x  sec t .

 x  cos 2t ,
 y  2 sec 2 t .
15.15. 
 x  cos t ,
 y  ln sin t .
15.17. 
 x  e t ,
15.20. 
 y  arcsin t .
 x  cht ,
15.23. 
 y  3 sh2t .
 x  2t  sin t ,
15.26. 
 y  42  cos.
x  1 / t 2 ,
15.29. 




2

y  1 / t  1 .
 x  e t cos t ,
15.18. 
 y  e t sin t .
 x  t  sin t ,
15.21. 
 y  2  cos t .
 x  t ,
 y  1 / 1  t .
15.24. 
 x  tgt ,
 y  1 / sin 2t .
15.27. 
 x  sin t  cos t ,
 y  sin 2t .
15.30. 
16. Найти предел, используя правило Лопиталя.
16.1. lim  1  x  .
16.2. lim x cos x  sin x .


x1 ln x
x 0
ln x 
x3
91
tgx  x
16.3. lim
.
x0 2 sin x  x
3
2
16.5. lim
16.4. lim
16.7. lim
3
x 7 x  6
e
x 
.
ln x
x 3
.
x
x x 5
16.9. lim
.
4 x  sin x
sec 2 x  2tgx
16.6. lim
.
xπ / 4 1  cos 4 x
16.8. lim a 1 / x  1 x .
x0
x  2x  x  2
x1
.
x
x 2 arctgx2
16.14. lim
1 x
ln x  5 
16.18. lim
2
16.20.
.
.
x  4
x3
tgx  x
.
x  sin x
xa
16.27. lim arcsin
 ctg  x  a  .
x a
a
16.29. lim π  2arctgxln x .
x 
.
16.22.
.
π
.
1 x
x1 1  sin
.
x 1
1  4 sin 2 πx / 6 
x0
3
πx / 2 
chx  1
x0 1  cos x
a ln x  x
16.25. lim
x
16.16. lim
x
16.23. lim
x  sin x
x0
16.17. lim x sin3 / x  .
x1
 sin x
2
e1 / x  1
16.12. lim
x0
16.21. lim
1  cos x 2
2
.
πx / 2 
lnsin mx 
16.13. lim
.
x0 lnsin x 
16.15. lim 1  cos x ctgx .
x1

x0 x 2
x0 ctg
16.19. lim

16.10. lim
π/x
16.11. lim
tgx  sin x
lim
.
1 / cos 2 x  2tgx
xπ / 4
lim
.
1  cos 4 x
tgx
xπ / 2 tg 5 x
.
16.24. lim 1  x tg πx / 2  .
x 1
16.26. lim
x 1
16.28. lim
3 1  2x
2x x
1 x
x 1 1  sin
16.30.
lim
1
.
πx / 2 
tg 3 x
xπ / 2 tg 5 x
.
.
.
92
17. Найти предел, используя правило Лопиталя.
 x
π 
17.1. lim 
.

xπ / 2 ctgx 2 cos x 
x  arctgx
17.3. lim
.
3
x 0
x
1  2 sin x
17.5. lim
.
xπ / 6 cos 3 x
17.7. lim
ax 1
x 0 c x
17.9. lim
π / 2  x 
xa
17.11. lim
n
x a
xa
n
17.13. lim  x ln x  .
x0

x0
x 7
17.23. lim

x
ln x 7 
x 3
1  cos8 x
2
x0


x
.
.
1

.
e b
17.18. lim
x 0
17.20. lim
x 1 x
ea
x0
17.22. lim
x
1
sinbx
e2 x
x
6
.
.
x 0 x sin x
x
x
2
1 
.
2
x 
.
.
.
x
17.24. lim x 4 sina / x  .
.
17.27. lim 1 cos2 x ctg 4 x .
2
e 1
17.16. lim 
.
tg 2 x
π/ x
17.25. lim
.
x0 ctg 5 x / 2 
x0
.
1  cos ax
x  0 sin 2 x

2
1  2 x 
ln x
17.14. lim
x0 cos3 x  e
17.21. lim
e2x  1
x 0 1  cos bx
x
sin 2 x
ln 1  x 2

1  sin ax
.
lim
xπ / 2 a  2 ax  π 2
17.12. lim
3
17.19. lim
17.6.
x 1 1  x 3
.
e x  1  x3
x 0
xπ
17.10. lim
17.15. lim 1  e 2 x ctgx .
17.17. lim
sin x
17.4. lim π  x tg  x / 2  .
x0 ln
.
.
x0
17.8. lim
.
1
ln x
x1 ctg
17.2. lim
e ax  e bx

17.29. lim x sinb / x .
x
 1

5
 2
.
x3 x  3 x  x  6 
17.28. lim ln x ln x  1 .
17.26. lim 
x1


1
1

.

17.30. lim
3

x1 2 1  x 3 1  x 

 

93
18. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
18.1. y  1/ x , x  4 ,16 .
18.2. y  x11 , x 1,021.
18.4. y  4 x  3 , x 1,78.
18.5. y  x 21 , x 0 ,998 . 18.6. y  4 2 x  sinπx / 2  ,
x 1,02 .
18.7. y  x 5 , x  2 ,997 .
18.8. y  x6 , x  2 ,01.
18.9. y  1 / 2 x  1 ,
x 1,58 .
18.10. y  x 4 , x  3,998 .
18.11. y  x7 , x  1,996 .
18.12. y  x 2  2 x  5 ,
x 0 ,97 .
18.13. y  3 3 x  cos x ,
x 0 ,01.
18.14. y  4 x  1 ,
x  2,56 .
18.15. y  x 2  x  3 ,
x  1,97 .
18.16. y  x 2  5 , x  1,97.
18.17. y  3 x , x  8 ,36 .
18.18. y  3 x , x  1,21.
7
3
18.19. y  x 3 7 x , x  1,012. 18.20. y  x , x  2 ,002 .
3
18.22. y  x , x  27 ,54 .
18.25. y  arcsinx , x 0 ,08 .
3
18.28. y  x , x  26 ,46 .
18.23. y  x 3 , x  0 ,98.
18.3. y  1 x  sin x ,
x 0 ,01.
3
3
18.21. y  x 2 , x  1,03 .
18.24. y  3 x , x  8 ,24 .
3
18.26. y  x 2 , x 1,03.
18.27. y  x , x 7 ,64 .


18.29. y   x  5  x 2  / 2 ,


x 0 ,98 .
18.30. y  1 / 2 x 2  x  1 ,
x 1,016 .
5
19. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
19.1. log 2 1,9 .
19.2. tg 590 .
19.4. sin 930 .
19.7. lg 101.
19.5. ctg 290 .
19.10. e0 ,25 .
19.13. arctg0 ,95 .
19.3. arctg 3,2 .
19.6. lg 1,5 .
19.8. sin 290 .
19.11. lg 0 ,9 .
19.9. sin 310 .
19.17. cos590 .
19.12. 15 .
19.15. arcsin0 ,6 .
19.18. lg 11.
19.20. arctg 1,02 .
19.21. e 2 ,01 .
19.25. ln tg 47015' .
19.23. ln e 2  0 ,2 .
19.26. lg 9 ,5 .
19.24. arctg 0 ,97 .
19.27. arctg1,03 .
19.28. 2 2 ,1 .
19.29. 4 1,2 .
19.30. arctg 3,1 .
19.16. arcsin0 ,54 .
19.19. ln tg 46 0 .
19.22. arctg1,01
19.14. e0 ,2 .


94
20. Провести полное исследование функции и построить ее график.
20.1.
20.2.
y  16 x  x 1 .
20.3.
y  x x  2 .
2
2
20.4.
y  2 x 3  3x 2 5 .
2
2
20.5.
20.6.
y  2 12x  8 x .
y  2 3x  x .
y  2 x 12 2 x 12 .
20.7.
20.8.
20.9.
y  2 x 3  9 x 2 12x .
y  2 x 3 3x 2 4 .
y  12x 2  8 x 3  2 .
20.10.
20.11.
20.12.
2
3
2
y  2 x  12 2 x  32 .
20.13.

3
y   x  12  x  32 .
20.14.

y  x3  x2 .
20.15.
y  x 12  x / 8 .
y 6 x  8 x .
y  x 2  x  4 2 / 16 .
20.16.
20.17.
20.18.
2
3


y  16 6 x 2  x 3 / 8 .
20.21.
3
y  x  x  2.
y  3x  x .
20.19.
2 / 16 .
20.22.
y  6 x 2  x 3  16 / 8 .
20.20.
y   x 2 4
y  x 3 9 x 2 / 46 x9.
y 16 x 3 36 x 2 24 x9.
20.23.
20.24.
20.25.
20.26.
20.27.
y  16 x 3  12 x 2  4 .
y  3x 2  2  x 3 .
20.28.
20.29.
y  119 x3 x 2  x 3 / 8 .
20.30.
y  x3  3x2 .
y  16 x 3  2 x 2  5 .
3
2



y   x  12  x  12 .
y   x  12  x  32 / 16.
y x22  x6 2 / 16.


21. Провести полное исследование функции и построить её график.
21.1.
21.2.
y 11/ x 2 .
21.4.





21.3.



y4 / 32 x x 2 .
y  x 2 2 x7 / x 2 2 x3 .
21.5.
21.6.


y  96 x3 x 2 / x 2 2 x13 .
y 1/ x 4 1 .
y  x /  x2 2 .
21.7.
21.8.
21.9.
y x1/  x12 .
y x 3 32 / x 2 .
y 4 x12 / x 2 2 x4 .
21.10.
21.11.
21.12.
y 4 x /  x12 .
y 3 x2 / x 3 .
y  x 2 6 x9 /  x12 .






95
 
21.16. y 123 x 2 / x 2 12 .
21.19. y 8 x / x 2 4 .
21.22. y 3 x 4 1/ x 3 .
21.13. y  12 x 3 / x 2 .




21.14. x 3 27 x54 / x 3 . 21.15. y  x 3 4 / x 2 .




21.17. y  x 2  x1 /  x1 . 21.18. y 2 / x 2 2 x .


21.20. y 4 x 2 / 3 x 2 .


21.21. y 12 x / 9 x 2 .
21.25. y 8 x1/  x1 .


 
21.26. y x 2 4 x1/  x4  . 21.27. y 2 x 3 1/ x 2 .
21.28. y 4 / x 2 2 x3 .
21.29. y  x1 / x 2 .
2


21.23. y  x 2 3 x3 /  x1. 21.24. y  4 x 3 / x 2 .
21.30. y  x 2 /  x1 .
2
2
22. Провести полное исследование функции и построить её график.
22.1.

22.2.


22.3.




y  2 x 2 6 /  x2  .
y  x 2  6 x  4 / 3 x  2 . y x 3 2 x 2 3 x2 / 1 x 2 .
22.4.
22.5.






22.6.



y x 3 5 x / 53 x 2 .
y  4 x3  3x / 4 x 2  1 . y  x3  x2  3x  1 / 2 x2  2 .
22.7.
22.8.




22.9.


y  2 x 2 / 9 x 2 4 .
y  x 2  16 / 9 x 2  8 .
y  3 x 2 10 / 4 x 2 1 .
22.10.
22.11.
22.12.







y  3 x 2 7 / 2 x1.
y  2 x 2 1 / x 2 2 .
y  2 x3 2 x2 9 x3 / 2 x2 3 .
22.13.
22.14.
22.15.






y  2 x 2 9 x 2 1 .
y  x 2 11 / 4 x3.
y  x 2 4 x13 / 4 x3 .
22.16.
22.17.
22.18.


y x 2 2 x1 / 2 x1.
22.19.




y  x 2 1 / 4 x 2 3 .
22.20.


y x 2 6 x9 /  x4  .
y 4 x 2 9 / 4 x8  .
22.22.
22.23.




22.21.


y 21 x 2 / 7 x9  .
22.24.


y  910 x 2 / 4 x 2 1 .





y x 2 2 x2 /  x3 .
y  x 2 3 / 3 x 2 2 .
y  2 x 3 3 x 2 2 x1 / 13 x 2 .
22.25.
22.26.
22.27.


y 3 x 2 10 / 32 x  .


y 17  x 2 / 4 x5  .

y  2 x3 2 x2 3 x1 / 24 x2 .
96
22.28.

22.29.


y  8 x 2 / x 2 4 .

22.30.



y  x 3 4 x / 3 x 2 4 .

y  x 3 3 x 2 2 x2 / 23 x 2 .
23. Провести полное исследование функции и построить её график.


23.1. y  x 2 e1 / x .
23.2. y  x  ln x 2  4 .
23.3. y  x 2 /  x  2 2 .
23.4. y   x  2 e1 x .
23.5. y  xln 2 x .
23.6. y 
2
23.8. y  x 2 e  x / 2 .
2
x2 
23.7. y  
 .
 x 1 
23.10. y   x  1e
2x
23.11. y 
.


23.16. y ln11/ x 2 .
23.13. y  x 4 / x 3 1 .
2 x
23.9. y 

23.22. y   x  1e4 x  2
23.25. y   x ln 2 x .
23.28. y  e 1 / 2 x  .
.



23.15. y ln x 2 2 x6 .
23.18. y  x 3 e x1 .
2

9  x3

23.14. y xe x .
23.19. y  x  ln 1  x 2 .
x3
23.12. y  4 x / 4  x 2 .
.
x  12
ln x
.
x
23.17. y  e 2 x x .
2 x  12
23.21. y  1  ln 3 x .
23.20. y 
.
x2
2
2
2


23.23. y   4e x  1 e x . 23.24. y  2 x  2  4 x .


2 x
23.26. y  xe1 / x .
23.29. y 
23.27. y  x 2  2 ln x .

1  x 3 .
 x  2 2

23.30. y  ln 4  x 2 .
24. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.


24.1. y  x ln x , 1 / e 2 ;1 .
24.3. y  x 3 e x1  1, 4;0 .
24.5. y  x 2  2 x  2 /  x  1, 1;3.
24.2. y   x  2 e1 x , 2;2.


24.6. y  x 3 / x 2  x  1, 1;1 .
24.4. y  ln x 2  2 x  4 , 1;3 / 2.
24.7. y   x  1 x 2 , 4 / 5;3 .
3
24.8. y   x  1 / x 3 1;2.
24.9. y  e6 x x , 3;3.
24.11. y  ln x  / x ,1;4.
2
24.10. y  x  x 3 , 2;2 .
24.13. y  3 x 4  16 x 3  2 , 3;1.
24.14. y  x 3  4 / x 2 ,1;2 .
24.15. y  x 5  5 x 4  5 x 3  1, 1;2.
2
24.12. y  4  e  x ,0;1 .


24.16. y  xe x , 2 ,0.
97
24.17. y  3  x e  x ,0;5.
24.18. y   x  2 e x , 2;1.
24.21. y  108x  4 x 4 , 1;4 .
24.23. y  x 4 / 4  6 x 3  7 ,16;20.
24.22. y  x / 9  x 2 , 2;2 .
24.24. y  1  ln x  / x ,1 / e;e .
24.25. y  ln x 2  2 x  2 ,0;3.
24.26. y  e 4 x x ,1;3 .
24.27. y  3 x / x 2  1 ,0;5 .
24.28. y  x 5  8 / x 4 , 3;1.
24.19. y  3 / 2  cos x ,0;π / 2.




24.29. y  2 x  1 /  x  12 , 1 / 2;0.
24.20. y   x  1e  x ,0;3 .


2

24.30. y 

e2 x  1
e
x
, 1;2.
5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
1. Найти неопределенный интеграл.
1.1.
1.3.
1.5.


3
x2  2 x5  3
dx.
x
1.2.

x3  3 x4  2
dx .
x
1.4.

1.6.


2 x3  x5  5

3x4  x2  1
x
2
dx .
3
1.11.

1.13.

dx .
x2
x  2 x3  6
dx .
x


2
 x  3 x  2 dx .


x3


5

4
 x  5  2 dx .
x



3 x 2


  1dx .
 x x3 


1.7.
1.9.

1.15.

1.10.

1.8.
1.12.


1.16.

1.14.
 2 6x 
x 
 3 dx .


x


3 x


 2 x 3  4 dx .
 x



 3
5 4
 2 x  3 x  dx .
x

3 x 2  x 3 7
x3
dx .
5 2 2

 x  3  4 dx .
x


5
x  2 x3  4
x2
7
dx .
x6  2 x 2  3
dx .
x
 2x2 5 

  6 dx .

 x x 
98
1.17.


1.21.

1.19.
1.23.


1.27.

1.25.
1.29.

3 2

7
 x



5
dx .
 x

3

x


2x2  3 x  1
dx .
2x
2 x  x2  3
dx .
3 x
2x3  x  4
dx .
x
2x3  x5  1
dx .
x
2x3  x  4
dx .
x2


 x x  1  1dx .


x3


1.18.
 5x2 3 2


 x  2 dx .
 x




3

1.22.

3  x2  2x
dx .
x

1.26.

4
1.20.
3 x  4 x2  5
2x2
x  2x  5
1.24.
1.28.
1.30.
x2
dx .
dx .
4
3

 x  2 x  3 dx .


x



3x2  5 x  2
dx .
x

6
x5  5x2  3
dx .
x
2. Найти неопределенный интеграл.

2.3.

2.5.

2.7.

2.9.

2.11.

2.13.

2.15.

2.1.
5
3  2 xdx .
3 1  3 xdx .
dx
.
4
3 x
3
5  2 xdx .
5 (6
 5 x )2 dx .
3
4  2 xdx .
5
3  2 xdx .
3
2  x 2 dx .

2.4.

2.6.

2.2.
dx
3
2  5x
.
4 1  3 xdx .
dx
3  x 
5
.
 2  x .
2.10.
 5  4 xdx .
2.12.
 2  5 xdx .
2.14.
 3  4 xdx .
4

3  5 x 3 dx .
2.16.

dx
2.8.
3
4
99

2.19.

2.21.

2.23.

2.25.

2.27.

2.29.

2.17.
3 1

2.20.

2.22.

2.24.

2.26.

2.28.

2.30.

xdx .
dx
.
1 x
dx
3
2x
.
1  4 x 5 dx .
1  3 xdx .
dx
3
3
5  3x
dx
.
3  4 x 
2
3  xdx .
2.18.
.
3
1  x 2 dx .
dx
.
1  x 
1  4 x 7 dx .
3
1  3 x 4 dx .
5  4 xdx .
dx
3
1 4 x 
5
.
3. Найти неопределенный интеграл.
xdx
 2 x 2 7
5 xdx
3.4.
 7x2  1 .
xdx
3.7.
 3x  2 .
xdx
3.10.
 5  3x 2 .
2 xdx
3.13.
 8x2  9 .
3.1.
.
2
 3x 2  2 .
xdx
3.19.
 2x  7 .
2 xdx
3.22.
 2x  5 .
3.16.
3 xdx
2
2
 1  9x
3 xdx
3.5.
 9x  5 .
7 xdx
3.8.
7x  1.
2 xdx
3.11.
 5  4x .
4 xdx
3.14.
 3  4x .
xdx
3.17.
 9  8x .
3.2.
9 xdx
2
.
2
2
2
2
2
 7  2x
2 xdx
3.23.
 3x  7 .
3.20.
2 xdx
2
2
.
 5x  3 .
3 xdx
3.6.
 9x  2 .
2 xdx
3.9.
 5x  3 .
3 xdx
3.12.
 4x  1.
4 xdx
3.15.
 4x  3 .
2 xdx
3.18.
 3x 2  2 .
3.3.
5 xdx
2
2
2
2
2
 3x  8 .
xdx
3.24.
 7  3x 2 .
3.21.
xdx
2
100
 3  5x
xdx
3.28.
 3x  6 .
5 xdx
3.25.
2
 2x  9
5 xdx
3.29.
 5x2  8 .
3.26.
.
2
xdx
2
 3x  8 .
xdx
3.30.
 5x  1 .
.
xdx
3.27.
2
2
4. Найти неопределенный интеграл.
4.1.
4.3.
4.5.
4.7.
4.9.




5
ln 2 ( x  1 )
dx .
x 1
4.4.
ln 5 ( x  1 )
dx .
x 1
4.6.
( x  1 )5 ln ( x  1 )
.

4.13.
 2 x  1 ln 2 x  1
3



3
2
ln 2 ( 1  x )
dx .
1 x
ln 5 ( x 7 )
dx .
4.17.
x 7
4.19.
4.21.
ln 3 ( 1  x )
dx .
x 1


ln ( 2 x  1 )
dx .
2x 1
ln 5 ( x  8 )
dx .
4.23.
x8
2
.
4
3


4.10.
.
ln 3 ( x  1 )
dx .
x 1
dx
.
( x  2 ) ln ( x  2 )
ln 6 ( x  9 )
dx .
4.12.
x9
ln7 ( x  1 )
dx .
x 1
4.11.
4.15.
4.8.
ln 3 ( x  6 )
dx .
x 6
dx

ln ( x  1 )
 x  1 dx
dx
 ( x  3 ) ln ( x  3 )
dx
.
( x  1 )3 ln( x  1 )
7
ln 3 ( x  3 )
dx .
x3
dx

4.2.

.
ln 3 ( x  5 )
dx .
4.14.
x5
4.16.
4.18.
4.20.
4.22.
4.24.

dx
 ( 1  x ) ln ( 1  x )
dx
 ( 1  x ) ln ( 1  x )
3



2
.
3
.
3 ln 4 ( x  5 )
x5
dx .
3 ln ( 3 x  1 )
3x  1
dx .
dx
( x  1 )ln 2 ( x  1 )
.
101
4.25.
4.27.
4.29.
ln 4 ( 3 x  1 )
dx .
3x  1

dx
 ( x  3 )ln ( x  3 )
ln ( 3 x  5 )
 3x  5 dx
4
.
 ( x  4 )ln ( x  4 )
dx
 ( x  5 )ln ( x  5 )
ln ( x  4 )
 x  4 dx
dx
4.26.
.
4.28.
5
.
3
.
3
4.30
.
5. Найти неопределенный интеграл.
5.1.
5.3.
5.5.
5.7.
5.9.
 1 x









5.11.
5.13.
arcsin 4 x
1 4x
1  25 x 2
arcsin4 x
1 x
2
dx .
dx .
arccos 4 x
1  16 x
.
dx .
2
arcctg 4 5 x
2
dx .
arccos 2 7 x
1  49 x
2
arcsin6 3 x
1 9 x
5.15.
2
arctg 2 x
2
1 4 x
dx
dx .
arcsin x
1 x
2
5.2.
5.4.
5.6.
5.8.
5.10.
1  x2
arcctg 7 3 x
1 9 x2
dx .
arccos 3 2 x
1 4 x
.
2
dx .
2
dx
( 1  x 2 )arctg 7 x
.
3
5.12.
5.14.
dx .
5.16.
dx .
arccos7 xdx



dx
 1 25x arcsin5x

arcsin 2 x
 1 4 x dx




dx .
.
( 1  x 2 )arctg 5 x
3
5.19.
2
arcsin 5 2 x
3
5.17.
dx
5.18.
5.20.
.
2
arcctg 4 8 x
1  64 x
2
dx .
dx
2
( 1  x ) arctgx
arctg 3 x
1  x2
dx .
arccos 2 x
1 4 x
2
dx .
.
.
102
5.21.
arctg 6 3 x

arcsin 5 x
 1 25x dx



1 9 x
dx .
2
5.22.
2
5.23.
5.25.
2
5.27.
1 x
5
5.29.
.
( 1  x 2 )arctg 3 x
arccos 2 x
2
arctg 3 x
1 x
2
 1 4 x dx
arccos 3 x
 1 9 x dx

arctg x
 1 x dx
arccos 3 x
 1 9 x dx
.
2
2
dx
3
arctg 3 2 x
5.24.
.
5.26.
2
arcctg 8 3 x
1 9 x2
3
dx .
5.28.
.
dx .
2
.
2
3
dx .
5.30.
2
.
6. Найти неопределенный интеграл.
6.1.

6.4.

6.10.
6.13.
2x 1
5  3x
3x  3
2
1 x
x4
 7x


6.19.

6.16.
6.25.

6.28.

2
2
dx .
6.2.
2x  3
 1  3x
 4x
6.5.
dx .
6.11.

6.14.

x5
2
dx .
4  9x
1 2x
dx .
2
5x 1
x3
dx .
2
x 4
2x  5
dx .
2
7x 3
3x  2
dx .
3x 2  1
6.3.

dx .
6.6.
 5  2x
x3
dx .
3
2
2
1
2x  5
2
dx .
5x  1
2x  4
dx .
2
x  16
x 1
 5  2 x dx .
2x  3
6.20.
 5 x  2 dx .
6.17.
2
2
6.26.
6.29.
5x  2
x

2
9
dx .
1 2x
2
2x  3
dx .
3x  2
dx .
6.12.
6.15.
 8  4x


6.21.

6.30.
2
dx .
x5
6.18.
6.27.
4x
3x  4
dx .
2
2
dx .
3x  2
2
dx .
2x 1
x 1
dx .
2
7x 4
2x  1
dx .
2
5x  1
x5
 3x 2  1 dx .

2x  3
2
x 9
dx .
103
7. Найти неопределенный интеграл.
 x e dx.
7.4. x cos x  2 dx .

7.7.
 xe dx .
7.10. arcsin 2 x dx .

7.13. x cos x  4 dx .

7.16. x cos x  9 dx .

7.19.
 arccos x dx .
7.22.
 xe d x .
7.25.
 xe d x .
7.28. x cos2  x dx .

7.1.
2 3x
x2
4 x
5 x
 x sinx  4dx .
7.5.  x  3e dx .

2
x
7.8.
 x  3e dx .
7.11. x cos x  7 dx .

7.14.
 xe dx .
7.17. arctg 2 x dx .

7.20.
 x  1e dx .
7.23. arctg 3 x dx .

7.26. arctg 4 x dx .

7.29.  x  1e d x .

7.2.
x
x 3
4 x
x
 x arctg x dx .
7.6. x cos x  4 dx .

7.9. x cos x  3dx .

7.12.
 xe d x .
7.15. x sin x  7 dx .

7.18. ln x  5 dx .

7.21.
 x e dx .
7.24.
 x e dx .
7.27. x cos 8 x dx .

7.30. arcsin 5 x dx .

7.3.
7 x
2 x
2 2 x
8. Найти неопределенный интеграл.
x
 5 dx .
x
arcsin dx .
8.4.

5
8.7. ln2 x  3dx .

x
8.10. arctg dx .
 4
8.13. x arctg 6 x dx .

8.1.
arctg
 x sinx  5dx .
8.5.
 xe d x .
8.8.
 arcsin5 x dx .
8.11. x cos x  6 dx .

8.14. ln x  8 dx .

8.2.
6 x
lnx  12dx .
8.6. ln2 x  1dx .

x
arccos dx .
8.9.

5
x
arcsin dx .
8.12.

7
x
8.15. arccos dx .

3
8.3.
104
 x cos 6 x dx .
8.19. arccos 2 x dx .

8.22.
 x sinx  2dx .
8.25.
 x sinx  3dx .
8.28. arccos7 x dx .

8.16.
 x cosx 7 dx .
8.20.
 x  4e d x .
8.23. arctg 7 x dx .

8.26. ln x  7 dx .

x
8.29. arctg dx .
 2
8.17.
x
 arctg 2 x dx .
8.21. arcsin 3 x dx .

8.24. arctg 8 x dx .

8.27. arcsin 8 x dx .

8.30.
 x cosx  4dx .
8.18.
9. Найти неопределенный интеграл.
9.1.
9.2.
 5 x  6 cos 2 x dx .
 
9.4.
9.5.
 x

2  3 cos 2 x dx .
9.7.
 2 x  5cos 4 x dx .
9.10.
 x  5 sin 3x dx .
9.13.
 3  4 x sin 5 x dx .
9.16.

 arctg
6 x  1 dx .
9.8.
3 x
2  9 x d x .
9.11.
9.19.
9.14.
3 x  1 dx .
4 x  1 dx .
 2  3x sin 2 x dx .
9.15.

2  x sin 3 x dx .
e
3 x
4  3 x d x .
9.18.
x
2
sin x
9.20.
 8  3xcos 5 x dx .
9.12.
 arctg

 4 x 7 cos 3x dx .
9.9.
e

 3x  2cos 5 x dx .
9.6.
9.17.
x sin 2 dx .
 arctg

ln 4 x 2  1 dx .
9.3.
dx .
 2  4 x sin 2 x dx .
 3x  4e
9.21.
3x
dx .
 4  16 x sin 4 x dx .
105
9.22.
9.23.
 4 x  2cos 2 x dx .
e
9.25.
e
9.24.
2 x
e
4 x  3d x .
9.26.
3x
9.28.
 
 7 x  10 sin 4 x dx .
2 x  1 dx .
9.29.


ln x 2  4 dx .
1  6 x d x .
9.27.
 arctg
5 x  2 d x .
2x
9.30.

arctg 5 x  1 dx .
x
2
cos x
dx .
10. Найти неопределенный интеграл.

10.3.

10.5.

10.1.
10.7.
10.9.
2x5  8x3  3
dx .
2
x  2x
 x5  9 x3  4
dx .
x 2  3x
x 3  5 x 2  5 x  23
dx .
 x  1 x  1 x  5 

2x4  5x2  8x  8

3x4  3x3  5 x 2  2
10.11.
10.13.
10.15.
x x  2  x  2 

10.4.

10.6.

10.2.
dx .
x x  1 x  2 
10.8.
dx .
10.10.

x 5  x 4  6 x 3  13x  6

2x4  2x3  3x 2  2 x  9
x x  3 x  2 
x x  1 x  3
2 x 3  40 x  8
 xx  2x  4dx .
10.17.

10.19.

3x3  1
dx .
2
x 1
2x3 1
dx .
2
x  x2

dx .
10.12.
dx . 10.14.
10.16.
x5  3x3  1
dx .
2
x x
3 x 5  12 x 3  7
dx .
x2  2x
 x 5  25 x 3  1
dx .
2
x  5x
x 5  2 x 4  2 x 3  5 x 2 7 x  9
x x  1 x  3

4x4  2x2  x  3
dx .
x x  1 x  1

2 x 4  2 x 3  41x 2  20
dx .
x x  4  x  5 

3 x 3  x 2  12 x  2

2 x 3  x 2  7 x  12
dx .
x x  3 x  1
x x  2  x  1
10.18.
x
10.20.

x 3  17
dx .
4x  3
2x3 1
dx .
2
x  x 6
2
dx .
dx .
106
10.21.
10.23.
10.25.
10.27.
10.29.
3 x 3  25
x
2
 3x  2
dx .
10.22.
3x3  2x 2  1
 x  1x  2x  2dx .
10.24.
x 3  3 x 2  12
 x  4x  2x  3dx .
10.26.
4x3  x2  2
 xx  2x  1dx .
10.28.
x 3  3 x 2  12
 xx  4x  2dx .
10.30.
x3  2x2  3
 x  1x  2x  3dx .
x3
 x  1x  1x  2dx .
x 3  3 x 2  12
 xx  4x  3dx .
3x3  2
x

3
x
dx .
x5  x3  1
dx .
x2  x
11. Найти неопределенный интеграл.
11.1.
11.2.
3
 x 1x
2 x  x 1
3

dx .
11.4.
 x 1x  2
3
dx .
11.7.
2 x 3 6 x 2  5 x  4
x  2 x 13
dx .
3
x  6 x  14x  6
x  2 x  3
dx .
3



x 3  6 x 2  15x  2
x  2 x  2 3
dx .
11.19.
2 x 3 6 x 2 7 x
 x  2x 1
3
dx .
x 3 6 x 2  10x 10
x 1x  2 3
 x  2 x  1
3
dx .

x 3 6 x 2  13x  8
x x  2 3
dx .
11.9.
3 x 3  9 x 2  10x  2
x 1x 13
3
dx .

x 3 6 x 2  14x 6
dx .
x 1x  2 3
11.12.
2
2 x  6 x 7 x  4
x  2 x 13
3
dx .
x3  x2
 x  2x
3
dx .
11.15.
2
 x  2x 1
2 x  6 x 7 x
3
dx .
11.17.
x 3  6 x 2  4 x  24
dx .
x  2 x  2 3
11.20.



x 3  6 x 2  10 x  10
11.6.
11.14.
2
x  6 x  10x  12
dx .
x  2 x  2 3
11.16.

x 1x  2 3
dx .
11.11.
2
11.13.

x 6 x  13x 7
11.8.
11.10.

2
11.5.
2 x 3 6 x 2  5 x

11.3.
3
x 3  6 x 2  18x  4
x  2 x  2 3
dx .

x 3  6 x 2  13x  8
dx .
x x  2 3
11.18.
x 3  6 x 2  14x  8

x x  2 3
dx .
11.21.

x 3  6 x 2  11x 7
x  1x  2 3
dx .
dx .
107
11.22.

11.23.
3
2
x 6 x  13x 6
x  2 x  2 3

dx .
11.25.
2
x 6 x  14x  4
x  2 x  2 3

dx .
11.26.
2 x 3  6 x 2 7 x  1
dx .
x 1x  13
11.28.


11.24.
3
2 x 3  6 x 2 7 x  2
x x  13


x  1x  2 3
dx .
11.27.
2 x 3 6 x 2 7 x  4
x  2 x 13

dx .
11.29.
dx .
x 3  6 x 2  13x  9
x 3 6 x 2  13x 6
x  2 x  2 3
dx .
11.30.
x 3  6 x 2 10x  52
dx .
x  2 x  2 3

x 3 6 x 2  11x 10
dx .
x  2 x  2 3
12. Найти неопределенный интеграл.
12.1.
12.2.
2 x 3  11x 2  16 x  10
dx .
 x  2 2 x 2  2 x  3
12.4.
4 x 3  24x 2  20x  28
dx .
 x  3 2 x 2  2 x  2
12.5.



3

2
 x
3
2
 x  x 1x 1


2
2
 x
dx .

 x 1x
2
3
2


12.16.

2x2 x2 2
12.19.
2
x 3  x 2 1
 x 1x
2
2


dx .

 x 1
12.22.
2 x 3  2 x 1
 x

 x 1
dx .
 x
2 x 2  x 1
2


 x 1 x 2 1
dx .

 x 1 x 2 1
dx .
 x 1x
dx .
2

 x 1
dx .
12.20.
2


 x 1 x 2 1
12.23.
dx .
2 x 3  2 x 2  2 x 1
dx .
x 2  x 1 x 2 1

x 2  4 dx .
12.6.
 3 x 3  13x 2 13x  1
dx.
2
2
x  2 x  x 1
12.9.



3 x 3  x  46
 x 1 x  9dx .
2
2
12.12.
x3 4 x2 4x2
 x 1 x
2
dx .
2
 x 1
2 x 3 7 x 2 7 x 1
 x
2

 x  1  x  2 2
dx .
x 3 6 x 2  9 x 6
 x 1 x
2
2
2x2
dx .
12.21.
x 3  2 x 2  x 1
 x
 x  2 2
12.18.
x 3  x 1
2

x 3  5 x 2  12x  4
12.15.
12.17.
3 x 3  4 x 2 6 x
2
2
dx .
12.14.
2x  7 x  7 x  9
dx .
x2  x  1 x2  x  2
 x
2
4 x 2  3x  4
dx .
12.13.


 x 1 x 2  x  2
12.11.

 x 1 x 2 1
2
2x3 4x2 2x2
12.10.
 x
dx .
12.8.
 x 1 x 2 1
x2  x3


x  x 1
2x  3x  3x  2
2

3
x  9 x  21x  21
dx .
2
2
 x  3 x  3
12.7.

12.3.


3 x 3  6 x 2  5 x 1
dx .
x  12 x 2  2
12.24.



x 3 6 x 2  8 x  8
 x  2 x 4 dx .
2
2
108
12.25.
 x
12.26.
x4
2

 x2 x2 2
 x

2 x 3  4 x 2 16 x 12
dx .
x 12 x 2  4 x  5
12.30.
2


dx .
 x 1 x 2 1
12.29.
3 x 3 7 x 2  12x  6
2
2
2x  3x  3x  2
dx .
12.28.
 x
12.27.
3

 x3 x2  x3

dx
x3  4 x 2  3x  2
 x 1 x 1
2
2


x 3  2 x 2  10x
 x 1 x
dx .
2
2
dx .
 x 1
13. Найти неопределенный интеграл.
13.1.
13.2.
cos x dx
 1 cosx  sin x
2
.
13.4.

13.7.
cos2 x dx
 1 cosx  sin x
2
 1 cosx  sin x
2
.
13.10.

cos x dx
.
1  cos x  sin x
dx
 1 cosx  sin x
2
 1 cosx  sin x
2
sin x dx
 1 sin x
2
.
.
cos x dx
.
1  cos x  sin x
13.16.
sin x dx
 1 cosx  sin x
2

 1  cos x  sin x2
13.22.
dx
.
sin x1  sin x 
13.12.
 1 cosx  sin x
13.14.
13.15.
 sin
2
x1  cos x 
13.20.
cos x  sin x
.
 1  sin x2
2

.
.
cos x dx
.
2  cos x
13.18.
cos x dx
 1 cosx
3
.
13.21.
dx .
13.23.

cos2 x dx
dx .
2
cos x dx
1 cos x 1 sin x  .
dx
.
2
dx
.
cos x1  cos x 
 1 sin x
13.17.
13.19.
sin x dx
1  sin x

.
13.9.
13.11.
cos x dx
.
13.6.
13.8.
sin x dx

sin x dx
.
1  cos x  sin x
13.5.
1 sin x dx .
 cosx1 cosx
13.13.

13.3.
dx
.
sin x1  sin x 
 cos x1  cos x .
dx
13.24.
dx
 1 sin x  cosx
2
.
109
13.25.
sin x dx
 2  sin x
13.26.
cos x dx
 5  4 cos x
.
13.28.

13.27.

.
13.29.
sin x dx
.
5  3 sin x

1  sin x
dx .
1  cos x  sin x
13.30.
cos x
dx .
1  sin x  cos x
1 cos x dx
 1 cosx  sin x .
14. Найти неопределенный интеграл.
14.1.


14.7.

14.4.
14.10.
dx
4  x 
2 3
x2  9
9  x 
2 3
x 2 dx

14.16.

9  x2
14.13.
14.19.
14.22.
14.25.
14.28.
x4
dx
x
x



2
.
dx.
x 1
3
14.14.
.
.
x 1
x 3 1  x 2 dx.
1 x 2
x4
dx.
4  x 2 3 dx.
x4
9  x2
4
dx.

2
2
x 2 1
.
14.11. x 2 1  x 2 dx.
dx
2
3
14.5.
.
16  x 2
x
dx
 x
dx
14.8.
 x2 9  x2 .
dx.
x4
dx

14.2.
.
14.17.
14.20.
14.23.
14.26.
14.29.

14.6.

4  x2

4  x2
14.3.
14.9.

14.15.

14.12.
x
4
dx.
dx
.
1 x 2 3
x
4
dx.
4  x 2 3 dx.
x6
dx

1 x 2
dx.
x

x2  9

x2 1
dx.
x

x2  4
dx.
x
14.24.

x 3 9  x 2 dx.

16  x 2
14.27.

4  x 2 dx.

x2  4

x2  4
dx.
x
x
2
x2
x2
dx.
dx.
dx.

14.21.

14.18.
14.30.
.
1 x 
2 5
x2  9
dx.
x
dx
x 2 1
3
.
110
15. Найти неопределенный интеграл.
15.1.
15.4.
x
x 1
x 1
x 3 dx

x 7
x 2 dx
15.2.
.
 x4
x4
15.10.
 x dx .
x dx
15.13.
 x2 .
xdx
15.16.
 x 1 .
15.7.
15.8.
2 x3
xdx
15.20.
 x3 .
 x 1 .
dx
15.22.
3 x5 .
dx
 1 x 1
dx
15.28.
 x x 7 .
15.29.

x 3 dx
x 1
15.6.
 x  1
x2
dx .
dx
x4
.
x2
xdx
 x  10 .
dx
15.21.
 x x 1 .
dx
15.24.
 1 x  2 .
.
15.18.
 x3 .
xdx
15.26.
2 x4 .
.
x
 x  3 dx .
dx
15.12.
 x 3 .
dx
15.15.
 x  x  3 .
x 2 dx
15.23.
x 1
15.3.
15.9.
.
dx
15.17.
xdx
15.25.
x 3 dx
 x 6
dx
15.11.
 3  x 6 .
dx
15.14.
 2 x8 .
.
3
15.19.
x 2 dx
 x2 .
x 1
15.5.
 x x  2 dx .
dx .
dx
 x x2 .
1 x
15.30.
 x  x dx .
15.27.
.
16. Найти неопределенный интеграл.
16.1.
x 1
  x  1 x dx .
3
16.4.
16.2.
x  1  23 x  1
2
3 x 1 
x 1
16.5.
 x4
xdx
3 2
16.7.
x dx
 1 4 x
x
.



2x  1
dx .
16.6.
6 x  1dx
3 x 1 
x 1
.
16.8.
.
dx .
16.3.
2x  1  3 2x  1

3x  1  2
3 x  1  23 3 x  1
16.9.
x  3dx
3 x3 6 x3
.

3 x  1
6 5
x
dx .
x 1
dx .
111
16.10.
x dx
16.11.

1 4 x
16.13.
4x x

x 1
16.14.
 x

.
x dx
3 2
x

dx .
x 1 6 x

dx .
3
 x1 x 
3
3x

.
dx .
x  1dx
3 x 1 6 x 1
 3x  3 x2
16.28.
x 3 x
x 6 x

x 3 x
3 x 6 x 1
 1 3 x  3
.
dx .
3 2 x  12  2 x  1
 1
1 x  1
3 x 1
 x  1dx .
x 1 1
  x  1  1 x  1 dx .
3

3x  1  1
3 3x  1  3x  1
dx .

.
3  x  12  6 x  1
dx .
3
x 1  x 1
16.30.
3
x  x2  6 x
 x1  3 x 
dx .

x  1  3  x  12  6 x  1
x  11  3 x  1 
17. Вычислить определенный интеграл.
3
17.1.
0 9  x 2  9  x 2 .
4
17.4.
2
1/ 2
17.7.
dx
x2  4
dx .
x
dx
.

2
2
1  x  1  x
1 / 2
.
16.27.
16.29.
dx .
dx
16.24.
16.26.
x  3dx
.
dx .
16.21.
16.23.
x 3 x
dx .
x 6 x
3x  1  3 3x  1
16.18.
x  x  x2
.


3
16.17.
16.25.
x dx

x3
6 3x  1  1
16.15.
x  x2
16.22.
3
3 x3 
.
16.20.
x dx

6 x  3dx
16.14.
16.19.
 1
16.12.
1
17.2.
dx
0 x 2  33 / 2 .
3
17.3.

1
1
17.8.
2  x 2 dx .
x 2 dx
0 x 2  12 .
3x
2
0
3
2
17.5.

3  x 2 dx .
17.6.
1
17.9.

1/ 2
9  x 2 dx .
1  x2
dx
6
x
dx
112
2 ,5

17.10.
5  x2
0
1/ 2
17.13.

3
x 4 dx
 1  x 
2 3
0
.
6
17.16.

x
2 3
2
x 3
3
1/ 2
17.19.

x
2
2
x 9
17.22.

dx
x
2
.
x  x dx .
x2
2
6
17.25.
3
x2  9
x
4
0
1 x

17.17.
3/3 x
2
2
1  x dx .
1/ 2
2
x
17.20.
2
x 1
.
17.21.
dx .
3
0 x
4
9  x dx .
3
dx .
17.26.
0
4  x dx .

17.29.
1  x 
x
x3  1
2
4x
16  x 2
2
x4
2
dx .
dx .
7/3
x 3 dx
9  x2
.
17.27.

x 3 7  x 2 dx .
0
8
6
2
1
1
4
17.24.
2
2
2 3
x2  1
dx .
x
3
dx
5
17.18.
17.23.
1
17.28.
.
2
dx

17.15.
1

0
1
1
.
2
4  x2
3

1  x 2  dx .

17.14.
0
1
.
2
3/2
dx
 x4
17.12.
dx
1/ 3
2
1
17.11.
dx
2
6  x dx .
17.30.
0

4 2/ 3
x2  8
x
4
dx .
18. Вычислить определенный интеграл.
π/2
18.1.
cos xdx
0 sin
2
x 1
π/3
.
18.2.
π/3
18.4.
π / 4tg φdφ .
4
π/2
18.7.

π/4
0 cos
4
x
π/2
dx .
18.3.
π/6
18.5.
0
dx
.
cos x
18.8.
π / 6
ctg 3 xdx .
0
sin6 x dx .
π
18.6.
π/2
3
cos x
dx .
sin x
sin 3 x
π / 2 1  sin x dx .
π/4
18.9.
1  tgx
.
sin 2 x
π / 6
.
113
π/2
0
18.10.
π/3
dx
.
2  cos x
18.11.
π/4
0
18.13.

sin 3 2 xdx .
18.14.
0 cos
5
18.17.
xdx .
π / 2cos x sin
2
π/2
18.25.
π / 3 sin 3 x
π
18.28.
0
dx
sin x
π / 2 1  cos x3 dx .
0
π
18.20.
0
4
xdx .
18.23.
18.15.
18.26.
18.21.
18.24.
18.29.
0
0 sin 3x cos5 x dx .
0 32 cos 2 4 x  16 dx .
π
cos3 x sin 2 xdx . 18.27.
π
x
sin 4 dx .
2
0
x
3x
cos cos dx .
2
2
π / 32
4
0
0 sin x sin 3x dx .
π/4
π/3
.
0 cos3 x dx .
π/8
2 cos x sin 3 xdx . 18.18.
x
sin dx .
2
0
sin 2 x
π
x
x
cos cos dx .
2
3
π
π
18.22.
18.12.
π/4
dx
.
sin x
π/3
π/2
18.19.
tg xdx .
π
π/2
18.16.
0
π/3
2
π / 4sin x sin2 x sin3xdx .
π/2
cos4 x sin 2 xdx .
18.30.
0 cos x cos 3x cos 5xdx .
19. Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость.

19.1.
0 3

19.4.
x
2
1


 4 x 1
3  x2
0 x 2  4

19.7.
 x  2 dx
dx .
xdx
16 x 4  1
4
. 19.2.
1π x 2  4 x  5

19.5.
19.8.
xdx
1x 2  4 x  5

.
dx
arctg 2 x

.
19.3.
0

.
1π 1 4 x 2 dx .
19.6.
4 dx
1 x1 ln 2 x.

19.9.
2 arctg 2 x
dx .
π 1 4 x 2
0 x sin xdx .
114
0
19.10.
xdx
 x 2  4 

19.13.
0 3

19.16.
0 4
4
x dx
x3  8 
3
19.25.
xdx
16  x 
2 5
1 16 x4  1
16 xdx
0 16 x4  1
xdx
0 4 x 2  4 x  5
.
19.17.
dx
1 x 2 x  1
.
19.20.
.
0
. 19.12.
19.15.
.
19.18.
2
dx
.
19.21.
19.24.
.
dx
1 x 2  2 xln 3 .
0
e 3 x xdx .
4
1 9 x 2  9 x  2

19.29.
4  x 2  π arctg 2x
dx
3 x 2  3x  2
dx
0
.
19.27.
 x2
x 


 x 3  1 1  x 2 dx .





.
19.30.
dx
0 2 x 2  2 x  1 .
20. Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость.
3
20.1.
x 4 dx
0 3 1 x5
1
20.7.
9 xdx
0 3 9  x 2
1
20.4.
3
dx
0 3 2  4 x
2
.
20.2.
20.5.
20.8.
x 2 dx
1 31x3 1
3/ 2
.
dx
1 5 4 x  x 2  4
5
.
.


.

dx

dx
e2
19.26.
πdx
1 / 3 1 9 x 2 arctg 2 3x .
2
1 6 x 2  5 x  1ln 3
.
 x 2  4 xln5 .

 xln x  1

.
7 dx

19.23.
16 x 4  1
xdx
19.14.

x 3 dx
0
1/ 2 π 4 x2  4 x  5

x  4x  1

19.28.
.
2

19.11.
16 dx

xdx

19.22.
.
2

19.19.

1
3
.
20.3.
1 5 3  x5 .
1
.
20.6.
2
3x  x  2
.
20.9.
ln3 x  1
dx .
3x 1
1 / 3
1
dx
dx
dx
1 / 4 20x 2 9 x 1 .
115
1
20.10.
dx
2 3 1 2 x
π/2
0
20.13.
1
20.16.
0
1
0
0
dx . 20.17.
0
dx
0 3 1 4 x
1
x
.
20.20.
dx .
2
x
20.23.
x 2 dx
20.26.
6
2
.
3 sin 3 xdx
1
0
4 x3
20.18.
3
0 1 x4 .
π/6
.
20.21.
20.24.
cos3 x
0 6 1 sin3x5 dx .
1
.
20.27.
x 2 1 ln 2
.
dx
2 xdx
0
1 x
0 9 x 2  9 x  2
4
.
dx
.
3

1 3 x
1 / 3
1
. 20.30.
ln2  3 x 
dx .
2  3x
xdx
0
3
cos x
.
dx
xdx
20.29.
ln 2dx
1/ 2 1 xln 2 1 x .
1
π / 27 cos2 x

3 / 4
20.12.
20.15.
sin xdx
1/ 3
.
.
0 2 x 12
0
.
2/ 3
dx
π
x 6x  9
64  x
16  x 
2 3
1/ 2
2
π/2
20.28.
20.14.
dx
e
0 4
1
10 xdx
1/ 4
π 1 x 2
2
20.25.
20.11.
2
1 arcsin x
2e π
1 / 3 3
20.22.
.
etgx
dx .
cos2 x
3
20.19.
4
dx
3 / 4 5 34 x .
21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
в прямоугольной системе координат.
21.1.
21.2.
2
y  2x  x  3 ,
2
y
e
21.3.
1/ x
2
,y 0,
y   x  12 ,
y  x 4x 3 .
x
x  2 , x 1 .
y2  x  1 .
21.4.
21.5.
21.6.
x  4  y 2 , x 0 ,
y 0, y 1 .
y  x 36  x 2 , y  0 ,
0  x  6  .
x  arccosy , x 0 ,
y 0 .
116
21.7.
21.8.
21.9.
y  x 2 8  x 2 , y 0 ,
y  x 2 cos x , y  0 ,
0  x  π / 2.
x 3 .
21.10.
21.11.
21.12.
0  x  2 2 .
5
y  arctgx, y 0 ,
y  x 4  x 2 , y 0 ,
0  x  2 .
y  cos x sin 2 x , y  0 ,
0  x  π / 2.
x  e y 1,x 0,
y  ln 2 .
21.13.
y  1 / 1  cos x , y  0 ,
x  π / 2, x  π / 2 .
21.14.
21.15.
x  4  y2 ,x  y2  2 y .
y  x / 1 x , y  0 ,
x 1.
21.16. y  x 9  x 2 , y  0 .
0  x  3.
21.17.
21.18.
21.19.
21.20.
y  sin x cos2 x , y  0 ,
0  x  π / 2.
y  4  x2 ,
y   x  12 ,
y  x2  2x .
y 2  x 1 .
21.22.
21.23.
y  x2 4  x2 , y  0 ,
0  x  2 .
21.25.
y  4  x2 , y  0 ,
x  0, x  1 .
21.26.
21.24.
x   y  2 3 ,
x 4y 8.
y  e x 1, y 0 ,
x ln 2 .
y  cos x sin 2 x , y  0 ,
0  x  π / 2.
21.28.
21.29.
y  arccosx , y 0 ,
x 0 .
y   x  2 3 , y  4 x  8 .
y


y  x 2 16  x 2 , y  0
0  x  4  .
21.21.
21.27.
y
x
x 1.
x
2

1
2
, y  0,
21.30.
1
x 1  ln x ,
y  0 , x  1, x  e3 .
x
1
, x  0,
y 1  ln y
y  1, y  e3 .
22.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
параметрически.
 x  2 2 cost ,
22.1. 
 y  3 2 sint ,
y  3  y  3 .
 x  2 2 cos3 t ,
22.2. 
 y  2 sin 3 t ,
x  1  x  1 .
 x  8 2 cos3 t ,
22.3. 
 y  2 sin 3 t ,
x  4 x  4  .
117
22.4.
22.5.
 x  32cos3 t ,

 y  sin 3 t ,
x  4 x  4  .
 x  t  sint ,

 y  1  cost ,
y  10  x  2π , y 1 .
 x  6 t  sint ,

 y  6 1  cost ,
y  9 0  x 12π , y  9  .
22.7.
22.8.
22.9.
 x  9 cost ,

 y  4 sint ,
y  2  y  2 .
 x  3cost ,

 y  8 sint ,
y  4  y  4 .
22.10.
22.11.
22.12.
 x  6 cost ,

 y  4 sint ,
 x  24cos3 t ,

 y  2 sin 3 t ,
 x  8 cos3 t ,

 y  4 sin 3 t ,
 x  6 t  sint ,

 y  6 1  cost ,
y 6 0  x  12π , y 6 


22.6.

y 2 3 y2 3 .



x 9 3 x9 3 .
x 3 3 x3 3 .
22.14.
 x  2 cost ,

 y  4 2 sint ,
y  4  y  4 .
 x  2t  sint ,

 y  21  cost ,
y  2 0  x  4π , y  2 .
22.15.
22.16.
22.17.
22.18.
 x  8 cos t ,

 y  8 sin 3 t ,
x 1  x 1 .
 x  2 2 cost ,

 y  5 2 sint ,
y  5  y  5 .
 x  4 2 cos3 t ,

 y  2 2 sin 3 t ,
x  2 x  2
22.19.
22.20.
22.21.
22.13.
3
 x  8t  sint ,

 y  81  cost ,
y 120  x 16π , y 12 .
22.22.
 x  3cost ,

 y  8 sint ,
y 4 3 y 4 3 .


 x  10t  sint ,

 y  101  cost ,
y 150  x  20π , y 15 .
 x  2 cost ,

 y  2 2 sint ,
y  2  y  2 .
 x  4t  sint ,

 y  41  cost ,
y  4 0  x  8π , y  4  .
22.23.
22.24.
 x  16 cos3 t ,

 y  2 sin 3 t ,
x  2 x  2 .
 x  2 cost ,

 y  6 sint ,
y  3  y  3 .
118
22.25.
 x  4 2 cos3 t ,

 y  2 2 sin 3 t ,
x  2 x  2 .
22.26.
 x  2t  sint ,

 y  21  cost ,
y  3 0  x  4π , y  3
22.29.
 x  4t  sint ,
 x  6 cost ,
 y  41  cost ,

y  6 0  x  8π , y 6 .  y  2 sint ,
y 3 y 3 .
22.28. 


22.27.
 x  16 cos3 t ,

 y  sin 3 t ,


x 6 3 y 6 3 .
22.30.
 x  3t  sint ,

 y  31  cost ,
y  3 0  x  6 π , y  3 .
23. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
заданными в полярных координатах.
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
23.5.
23.6.
r 6 cos3φ,r  3r  3 .
r  cosφ ,
r  sinφ
0  φ  π / 2 .
r  1 / 2  sinφ .
r  2 cosφ  π / 4  ,
r  cos2φ .
r  4 sin3φ,r  2 r  2
r  2 sinφ  π / 4 
π / 4  φ  3π / 4  .
23.7. r  cosφ,r  2cosφ .
23.8.
23.9.
23.10.
23.11.
23.12.
r  1 2 cosφ .
23.13. r  5 / 2 sinφ ,
r  3 / 2sinφ .
23.14.
23.15.
23.16.
23.17.
23.18.
r  4 cos4φ .
r  sinφ, r  2 sinφ .
r  1 / 2  cosφ .
r  4 cos3φ,r  2 r  2 .
r  3 cosφ,r  sinφ ,
0  φ  π / 2 .
r  sin3φ .
r  cos3φ .
r  sin6 φ .
r  cosφ  sinφ .
23.19. r  2cosφ , r  3cosφ . 23.20. r  2cosφ,r  2 3 sinφ 23.21.
r  2cos6 φ .
0  φ  π / 2 .
23.22. r  2 sin4φ .
23.23. r  6 sin 3 ,r  3 r  3 . 23.24.
r  3 sinφ, r  5 sinφ
23.25. r  cosφ  sinφ .
23.26. r  cosφ ,
r  2 cosφ  π / 4 
 π / 4  φ  π / 2.
23.27.
r  6 sinφ ,
r  4 sinφ .
119
23.28.
r  2 sinφ,r  4 sinφ .
23.29.
23.30.
r  1 2 sinφ .
r  sinφ,
r  2 cosφ  π / 4 
0  φ  3π / 4  .
24. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольной
системе координат.
24.2. y  2  e x , ln 3  x  ln 8 .
24.1.
y  1 x 2  arccosx , 0  x  8 / 9 .
24.3.
y  2  chx, 0  x 1.
24.4. y  arcsinx  1 x 2 , 0  x 
24.5.
24.6. y  1 ln sin x , π / 3  x  π / 2 .
15
.
16
y  e x  13 , ln 15  x  ln 24 .
24.7. y   arccos x  x  x 2 , 0  x  1 / 4 . 24.8. y  x  x 2  arccos x  5 , 1/ 9  x 1 .
24.9. y   arccos x  1  x 2 ,
0  x  9 / 16 .
24.11. y  ln sin x , π / 3  x  π / 2 .
e x  e-x
24.10. y 
3 , 0  x  2 .
2
24.13. y  chx 3 , 0  x  1 .
24.14. y  e 2 x  e 2 x  3 / 4 , 0  x  2 .
24.15. y  1 arcsin x  1 x 2 ,
0  x3/ 4 .
24.17. y  ln cos x  2 , 0  x  π / 6 .
24.19. y  ln cos x , 0  x  π / 6 .
24.21. y  2  arcsin x  x  x 2 ,
1/ 4  x 1.
24.12. y  arccos x  x  x 2  4 ,
0  x 1/ 2 .


24.16. y  1e x e  x / 2 , 0  x  3 .
 
24.20. y  ln1 x 2 , 0  x  1 / 4 .
26.18. y  ln x 2 1 , 2  x  3 .
24.22. y  1ln cos x , 0  x  π / 6 .
x 2 ln x
24.24. y  
, 1 x  2 .
4
2
5
24.25. y  1 x 2  arcsin x , 0  x 7 / 9 . 24.26. y  ln , 3  x  8 .
2x
x
x
24.27. y  e  e , ln 3  x  ln 15 .
24.28. y  e 6 , ln 8  x  ln 15 .
24.23. y  ln x ,
3  x  15 .
24.29. y  e x  26 , ln 8  x  ln 24 .
24.30. y  ln7 ln x ,
3  x 8 .
120
25. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически.
25.1.
25.2.
25.3.
 x  et cost  sin t ,

 y  et cost  sin t ,
π / 2  t  π.
 x  22 cost  cos2t ,

 y  22 sin t  sin 2t ,
0  t  π / 3.
 x  4t  sin t ,

 y  41 cost ,
π / 2  t  2π / 3.
25.4.
 x  3,52 cos t  cos 2t ,

 y  3,52 sin t  sin 2t ,
25.5.
 x  t 2  2 sint  2t cost ,

 y  2  t 2 cost  2t sint ,
0  t  π / 2.
25.8.
 x  et cos t  sin t ,

 y  et cos t  sin t ,
25.6.
 x  8cos t  t sin t ,

 y  8sin t  t cos t ,
0  t  3π / 2.
25.11.
 x  42 cos t  cos 2t ,

 y  42 sin t  sin 2t ,
0  t  π.
π / 6  t  π / 4.
0  t  π / 2.
25.7.
 x  t 2  2 sint  2t cost ,

 y  2  t 2 cost  2t sint ,
 
 
0  t  π / 2.
25.10.
 x  et cos t  sin t ,

 y  et cos t  sin t ,
0  t  2π .
25.13.
 x  2cos t  t sin t ,

 y  2sin t  t cos t ,
0  t  π / 2.
25.16.
 x  2 cos 3 t ,

 y  2 sin 3 t ,
0  t  π / 4.
25.19.
 x  t 2  2 sin t  2t cos t ,

 y  2  t 2 cos t  2t sin t ,
 
 
0  t  π.
 
 
25.14.
 x  et cos t  sin t ,

 y  et cos t  sin t ,
π / 6  t  π / 4.
25.17.
 x  3cos t  t sin t ,

 y  3sin t  t cos t ,
0  t  π / 3.
0  t  π / 4.
25.9.
 x  4 cos 3 t ,

 y  4 sin 3 t ,
25.12.
 x  2t  sin t ,

 y  21 cos t ,
0  t  2π / 2.
25.15.




 x  t 2  2 sin t  2t cos t ,

 y  2  t 2 cos t  2t sin t ,
0  t  3π .
25.18.
 x  32 cos t  cos 2t ,

 y  32 sin t  sin 2t ,
0  t  2π .
25.20.
 x  6 cos 3 t ,

 y  6 sin 3 t ,
25.21.
 x  t 2  2 sin t  2t cos t ,

 y  2  t 2 cos t  2t sin t ,
0  t  π / 3.
0 t  π.
 
 
121
25.22.
 x  4cos t  t sin t ,

 y  4sin t  t cos t ,
0  t  2.
25.23.
 x  2 ,5t  sin t ,

 y  2 ,51  cos t ,
π / 2  t  π.
25.25.
 x  10 cos 3 t ,

 y  10 sin 3 t ,
0  t  π / 2.
25.26.
 x  6 cos t  t sin t ,

 y  6 sin t  t cos t ,
25.28.
 x  3t  sin t ,

 y  31 cos t ,
25.29.
 x  8 cos 3 t ,

 y  8 sin 3 t ,
0  t  π / 6.
π  t  2π .
0  t  π.
25.24.
 x  e t cos t  sin t ,

 y  e t cos t  sin t ,
0  t  π.
25.27.
 x  1 cos t  1 cos 2t ,
 2
4

 y  1 sin t  1 sin 2t ,
2
4

π / 2  t  2π / 3.
25.30.




 x  t 2  2 sin t  2t cos t ,

 y  2  t 2 cos t  2t sin t ,
0  t  π / 3.
26. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных
координатах.
26.1. ρ  1 sinφ, π / 2  φ  π / 6 .
26.2. ρ  2φ, 0  φ 12 / 5 .
26.4. ρ  3φ, 0  φ  4 / 3 .
26.3. ρ  31 sinφ,  π / 6  φ  0 .
26.6. ρ  2cosφ, 0  φ  π / 6 .
26.5. ρ  51 cosφ,  π / 3  φ  0 .
26.8. ρ 6 cosφ, 0  φ  π / 3 .
26.7. ρ 7 1 sinφ,  π / 6  φ  π / 6 .
26.9. ρ  2φ, 0  φ  3 / 4 .
26.10. ρ  8 sinφ, 0  φ  π / 4 .
26.11. ρ  2e5φ / 3 ,  π / 2  φ  π / 2 .
26.12. ρ  3e3φ / 4 ,  π / 2  φ  π / 2 .
26.13. ρ  5e5φ / 12 ,  π / 2  φ  π / 2 .
26.14. ρ  2eφ ,  π / 2  φ  π / 2 .
26.15. ρ  3e3φ / 4 , 0  φ  π / 3 .
26.16. ρ  6 e12φ / 5 ,  π / 2  φ  π / 2 .
26.17. ρ  2eφ , 0  φ  π / 3 .
26.18. ρ  4e4 φ / 3 , 0  φ  π / 3 .
26.19.
26.21.
26.23.
26.25.
26.27.
26.29.
ρ  12e12φ / 5 , 0  φ  π / 3 .
ρ  2φ, 0  φ  5 / 12 .
ρ  4 φ, 0  φ  3 / 4 .
ρ  5φ, 0  φ 12 / 5 .
ρ  8cosφ, 0  φ  π / 4 .
ρ  2 sinφ, 0  φ  π / 6 .
26.20.
26.22.
26.24.
26.26.
26.28.
26.30.
ρ  5e5φ / 12 , 0  φ  π / 3 .
ρ  21cosφ, π  φ  π / 2 .
ρ  41 sinφ, 0  φ  π / 6 .
ρ 6 1 sinφ,  π / 2  φ 0 .
ρ  81 cosφ,  2π / 3  φ 0 .
ρ  2φ, 0  φ  4 / 3 .
122
27. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры  вокруг
указанной оси.
27.1.  : y  sin x , y 0 0  x  π , Ox . 27.2.  : y  2 x  x 2 , y  0 , Ox .
27.4.  : ρ  21 cosφ , полярная ось.
27.3.  : y 2  4 x , x 2  4 y ,Ox .
27.5.  : x  2cost , y  5 sint , Oy .
27.6.  : x 7 cos3 t , y 7 sin 3 t , Oy .
27.7.  : y  x 2 , 8 x  y 2 , Oy .
27.8.  : x 2 / 16  y 2 / 1 1, Ox .
27.9.  : y  e x , x  0 , y  0 , x  1, Ox . 27.10. : x 3   y  12 , x  0 , y  0 , Ox .
27.12. : xy  4 , 2 x  y 6 0 , Ox .
27.11.  : y 2  4 x / 3, x  3,Ox .
27.13.  : x  3 cost , y  2 sint , Oy .
27.14. : x  cos3 t , y  sin 3 t , Ox .
27.15.  : y  2  x 2 , y  x 2 , Ox .
27.16.  : 2 y  x 2 , 2 x  2 y  3  0 , Ox .
27.17.  : y   x 2  8 , y  x 2 , Ox .
27.18.  : y  x  x 2 , y  0 , Ox .
27.19.  : y 2   x  4 3 , x  0 ,Ox .
27.20.  : y  2  x 2 / 2 , x  y  2 , Oy .
27.21.  : y  x 3 , x 0 , y  8 , Oy.
27.22.  : y 2  4  x , x  0 , Oy .
27.23.  : y 2  x , x 2  y , Ox .
27.24.  : x  y  2 , x  0 , y  0 ,Ox .
27.25.  : y 2   x  13 , x  2 , Ox .
27.26.  : x 2 / 9  y 2 / 4  1, Oy .
3
27.28.  : y 3  x 2 , y  1, Ox .
27.27. : x  1  y , y  x , y  0 , Ox .
2
27.30. : x 6 t  sint , y 6 1 cost , Ox .
27.29.  : x  3cos2 t , y  4 sin 2 t ,
0  t  π / 2, Oy .
2
28. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги
кривой L вокруг указанной оси.
28.1. L: 3 y  x 3 0  x  1, Ox .
28.2. L:
28.3. L:
28.4. L:
28.5. L:
ρ 2  4 cos2φ , полярная ось.
ρ 6 sinφ , полярная ось.
x  t  sint , y 1 cost 0  t  2π , Ox .
x  cost , y  3  sint , Ox .
28.6. L: 3 x  y 3 0  y  2 , Oy .
28.7. L: y  x 3 / 3 - 1 x  1, Ox .
28.8. L: x  cost , y 1 sint , Ox .
28.9. L: x 2  4  y , отсекаемая прямой y  2 , Oy .
123
28.10. L: ρ 2 sinφ, полярная ось.
2
3
28.12. L: x  3cos3 t , y  3 sin 3 t , Ox .
28.13. L: x  2cost , y  3  2 sint , Ox .
28.11. L: ρ  cosφ , полярная ось.
28.14. L: ρ 2  9 cos2φ , полярная ось.
28.15. L: y  x 3 между прямыми x  2 / 3, Ox .
28.16. L: x  cos3 t , y  sin 3 t , Ox .
28.17. L: ρ cos2φ , полярная ось.
28.18. L: y 2  4  x , отсекаемая прямой x  2 , Ox .
28.19. L: x  2cos3 t , y  2 sin 3 t , Ox .
28.20. L: x  cost , y  2  sint , Ox .
28.21. L: ρ 4 sinφ , полярная ось.
28.22. L: y 2  2 x , отсекаемая прямой 2 x  3 , Ox .
28.23. L: 3 y  x 2 0  x  2 , Ox .
28.24. L: y  x , отсеченная прямой y  x , Ox .
28.25. L: y  x 3 / 3  1 / 2  x  1 / 2 , Ox .
28.26. L: ρ 2cosφ, полярная ось.
28.27. L: x 10t  sint , y 101 cost  0  t  2π ,Ox .
28.28. L: x  3t  sint , y  31 cost  0  t  2π ,Ox .
28.29. L: y  x 2 / 2 , отсеченная прямой y  3 / 2, Oy .
28.30. L: x  2t  sin t , y  21  cos t  0  t  2π  , Ox .
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального
уравнения.
2
1.2. sin x  y'  y cos x  2 cos x.
1.1. y'  e x x 1  y 2 .


2
2
1.3. 3 y  x  yy' / x .
1.4. ctg x cos2 y dx  sin 2 x tg y dy  0 .
1.5. 1  e3 y xdx  e3 y dy .
1.6. sin y cos xdy  cos y sin xdx .
1.7. y'  e 2 x / ln y .
1.8. e x3 y dy  xdx .
1.10. y' sin x  y ln y .


2
1.9. 3 x  y dy  xdx  0 .
124
1.11. e x sin ydx  tg ydy  0 .
1.12. y'  2 x  1ctg y .
1.13. 1  e x ydy  e y dx  0 .
1.14. sec2 x tg ydy  sec2 y tg xdy  0 .
1.15. y' 1  x 2  cos2 y  0 .
1.16. cos ydx  2 1  x 2 dy  cos y 1  x 2 dy .
1.18. sin2 x  y   sin2 x  y dx  dy / sin y .




1.17. e x tg ydx  1  e x sec2 ydy .
1.19. y'  sin x  y   sin x  y  .


1.21. 1  e x yy'  e x .
1.23. sin x tg ydx  dy / sin x  0 .
1.25. 1  1  y' e y  0 .
1.27. y' ctgx  y  2 .


1.29.  e  x dy  / x  dx / cos2 y  0 .
2


 



1.20. y 2  3 dx  e x / x ydy  0 .
1.22. cos x  2 y   cos x  2 y  y'  sec x .
1.24. 3e x sin ydx  1  e x cos ydy  0 .
1.26. cos3 y  y'  cos2 x  y   cos2 x  y  .
1.28. y'  2 y  1tg x .
1.30. sinx  y   sinx  y dx  dy / cos y  0 .

2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального
уравнения.
2.1. y' 1  y 2  x 2 / y .





2.2. y'  1  y 2 / 1  x 2 .
2.3. y  xy'  2 1  x 2 y' .
2.4.  x  4 dy  xydx  0 .
2.5. y  xy'  1  x 2 y' .
2.6. y'  y  y 2  0 .
2.7.

1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0 .
2.9. x 2 y  y
2 y'  x 2 y  y  x 2  1 .
2.11.  xy  x 2 dy  y1  x dx  0 .
2.8. y 2 ln xdx   y  1xdy  0 .
   
2.12. 1  x 2 y'  y 1  x 2  xy .
2.10. 1  x 3 y 3 dx  y 2  1 x 3 dy  0 .
2.13. 2 xyy'  1  x 2 .
2.14. y'  2 xy  x .
2.15. x 2  1 y'  xy  0 .
2.16. y  xy'  3 1  x 2 y' .
 
2.17. y 2 x  y 2  dy  xdx  0 .
2.19. xy'  y  y 2 .
y 2  1dx  xy dy .
2.21.


  

2.20. 1  y 2  dx  y  yx2  dy  0 .
2.18. xy3  x dx  x 2 y 2  y 2 dy  0 .
2.22. y' 2 y  y 2  0 .
2.25. 2 x 2 yy'  y 2  2 .
   
2.26. x  xy 2  dy  ydx  y 2 dx  0 .
2.27. xy  x 3 y y'  1  y 2 .
2.28.  y  1 y'  y /  1  x 2   xy .
2.23. y'  xy 2  2 xy .


2.29. y' / 7 y x  3 .
2.24. x 2  x ydx  y 2  1 dy  0 .


2.30. xyy'  1  x 2 / 1  y 2 .



125
3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального
уравнения.


3.1. 2 x 3 y'  y 2 x 2  y 2 .




3.2. 2 xy  y dx  xdy  0 .
3.3. y  xy dx  xdy .
3.4. xy'  yln y / x   1  0 .
3.5. xy'  x 2  y 2  y .
3.6. x 2  y 2 dx  2 xydy  0 .
x
3.7. y  x y'  e y  .


3.9. y'  y / x  1 .
3.11. y' x  x  y  0 .
3.13. y  xy'  x sec y / x  .


3.15. y 2  3 x 2 dy  2 xydx  0 .
3.17.  x  2 y dx  xdy  0 .
3.19.  x  y dx   x  y dy  0 .




3.8. y 2  2 xydx  x 2 dy  0 .
3.10.
3.12.
3.14.
3.16.
x 2 y'  y x  y  .
y'  x / y  y / x .
x  2 y dx  xdy  0 .
2 x  y dx  x  y dy  0 .
3.18. xdy  ydx  x 2  y 2 dx .
3.20.  x  y  ydx  x 2 dy  0 .


3.21. y 2  2 xy dx  x 2 dy  0 .
3.22. xy  y 2  2 x 2  xy y' .
3.23. y 2  x 2 y'  xyy' .
3.25. xy'  y  xtg  y / x  .
3.24. ydx  2 xy  x dy  0 .
3.27. xy'  y  xe y / x .
3.29. xy'  y   x  y ln x  y  / x  .




3.26. x 2  2 xy y'  xy  y 2 .
3.28. xy'  y cosln y / x  .

 

3.30. 4 x 2  3 xy  y 2 dx  4 y 2  3 xy  x 2 dy  0 .
4. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального
уравнения.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
xy' 1ln x  2 y , ye  0 .
xy'  y  sin x , yπ / 2  2 / π .
y  x y'  x cos x , yπ / 2  0 .
x2  1y' xy  x3  x, y 2  1.
4.6.
1  x2 y'  xy  1, y0  1.
4.7.
4.8.
x y'  y   e x , y1  0 .
4.5.
x  y 2  ydx, y0  1 .
4.9.
sin2 y  x ctg yy'  1, y0  π / 2 .
4.11.
y'  y / 3 x  y 2 , y0   1 .
y' ctg x  y  2 cos2 x ctg x , y0   0 .
4.10.
xy' 2 y  2 x 4 , y1  0 .
4.12.


y'  2 x x 2  y , y0   0 .
126
4.13.
4.14.
4.15.
x2  1y' 4 xy  3, y0  0 .
4.16.
4.17.
4.19.
4.18.
cos ydx  x  2 cos y  sin ydy , y0   π / 4 .
4.20.
4.21.
4.22.
1  2 xy y'  y y  1, y0   1.
y'  y tg x  sec x , y0   0 .
1  x  y'  y   e  x , y0   0 .
xy' 2 y   x 2  0 , y0   0 .
4.23.
x  1 y'  y  x 3  x 2 , y0   0 .
y'  y  e x , y0   1 .
2
xy'  y  xe x  0 , y1  1 / 2e .
x 2 y'  2 xy  3, y1  1.
2
y' 2 xy  xe x , y0   0 .
4.24.
3
y' 3 x 2 y  x 2 e x  0 , y0   0 .
4.25.
2e y  xy'  1, y0  0 .
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
xy'  x  1 y  3 x 2 e  x , y1  0 .
xy'  y  ln x  1, y1  0 .
x 2 y'  xy  1  0 , y1  0 .
xy'  x  4 y 3  3 y 2 , y2  1 .
2 x  y dy  ydx  4 ln ydy, y0   1 .
5. Найти решение задачи Коши.
5.1.
y 
5.2.
2
y  e x  x  12 , y0   1 .
x 1
5.3.
y  2 y /  x  1   x  13 , y  0   1 / 2 .
5.5.
y  xy   x 3 , y0   3 .
5.4.
2
y  2 xy  xe x sin x , y0   1
5.6.
1
y  4 xy  4 x 3 , y0    .
2
y  y cos x   sin 2 x , y0   3
5.7.
5.8.
y'  y  x , y0   1.
y 
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
y  y / x  2 / x 2 , y1  1 .
2
y'  y  x 3 , y1  5 / 6 .
x
y
ln x

, y1  1 .
x
x
y  y cos x  sin 2 x , y0   1 .
y  y / x  x 2 , y1  0 .
127
5.13.
y 
5.14.
2 xy
1
y  y cos x  sin 2 x , y0   0 .
2
 1  x 2 , y1  3 .
1  x2
5.15.
y 
5.16.
3y 2
 , y1  1 .
x x3
y 
5.17.
y 
5.18.

xy
2 1 x
2

x
2
 , y0   .
2
3
y
π
 x sin x , y   1 .
x
2
y 
5.19.
5.20.
y  y tg x  cos x , yπ / 4   1 / 2 .
2
y 
5.21.
y 
y
 x 2  2 x , y 1  3 / 2 .
x2
y
 x 2 , y1  1 .
2x
5.22.
1
y  e x  x  1, y0   1 .
x 1
y 
2x  5
x
2
y  5 , y2   4 .
5.23.
5.24.
y
1
 sin x , yπ   .
x
π
2x
2x2
2


5.25. y 
.
y

,
y
0

3
1  x2
1  x2
y x 1 x
e , y1  e .
5.27. y  
x
x
y
ln x
 2
, y1  1 .
x
x
y
5.26. y   3 x , y1  1 .
x
y 
y
x
5.29. y    
y 
1 2x
y  1, y1  1 .
x2
5.30. y  2 xy  2 x 3 , y1  e 1 .
5.28. y 
12
, y 1  4 .
3
x
6. Найти решение задачи Коши.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
3 xy'  y   xy 2 , y1  3 .
y'  y  2 xy 2 , y0   1 / 2 .


y' 4 x 3 y  4 x 3  1 e 4 x y 2 , y0   1 .
xy'  y   y 2 ln x  2ln x , y1  1 .
2 xy' 3 y   20x 2  12 y 3 , y1  1 / 2 2 .


2 y'  xy  1  x e  x y 2 , y0   2 .
6.7.
6.8.
y' 2 xy  2 x y , y0   2 .
3 3
6.9.
xy'  y  y ln x , y1  1.
2
3 xy'  y   y 2 ln x , y1  3 .
6.10.
2 y'  y cos x  y 1 cos x1  sin x , y0   1.
128
6.11.


y' 4 x 3 y  4 y 2 e4 x 1  x 3 , y0   1 .
6.13.
6.12.
y'  y  xy 2 , y0   1 .
6.14.
3 y' 2 xy  2 xy 2 e 2 x , y0   1 .
2 xy'  y   y 2 ln x , y1  2 .
6.15.
6.16.
2


2 xy' 3 y   5 x 2  3 y 3 , y1  1 / 2 .
y'  y  xy 2 , y0   1 .
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
3 xy' 5 y  4 x  5 y 4 , y1  1 .
2 y' 3 y cos x  e 2 x 2  3 cos x  y 1 , y0   1 .
y'  ytgx  2 / 3 y 4 sin x , y0   1 .
6.23.
y' 2 ycthx  y 2chx, y1  1 / sh1 .
2 y'  xy   x  1e x y 2 , y0   2 .
2 y' 3 y cos x  8  12 cos x e 2 x y 1 , y0   2
6.24.
y'  xy  1  x e  x y 2 , y0   1.
 
6.26.
8 xy' 12 y  5 x 2  3y 3 , y1  1 /
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
xy'  y  xy 2 , y1  1.
6.25.
xy'  y  2 y 2 ln x , y1  1 / 2.
2 xy'  y   xy 2 , y1  2 .
4 y'  x 3 y  x 3  8 e 2 x y 2 , y0   1 .
2.
2 y'  y   xy 2 , y0   2 .
y'  xy   x  1e x y 2 , y0   1.
7. Методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую
через точку М.
7.1.
7.3.
7.5.
7.7.
y'  x 2  y , M 1,1 / 2 .
y'  xy, M 0 ,1 .
2 y  y'   x  3, M 1,1 / 2 .
xy'  2 y , M 1,3 .
7.9. y'  y  x 2 , M  3,4  .
7.11. y'   y  1x , M 1,3 / 2 .
7.13. y'  3  y 2 , M 1,2  .


7.15. y' x 2  2  y , M 2 , 2  .
7.17. y'  y  x , M 9 / 2,1 .
7.19. y'  xy, M 0 ,  1 .
7.21. y'  x  2 y , M 3, 0  .
7.2. y'  x 2  y , M 2 ,3 / 2  .
7.4. yy'   x , M 2,3 .
7.6. 3 yy'  x , M 1, 1 .
7.8. y'  3 y 2 / 3 , M 1,3 .
7.10. y'  x y  1, M 1,1 / 2 .
7.12. y'  y  x , M 2,1.
7.14. y'  y  x , M 4 ,2  .
7.16. y'  x 2  y , M 0 ,1.
7.18.
7.20.
7.22.
x 2  y 2  2 xyy'  0 , M  2,1 .
y'  x  2 y , M 1,2 .
yy'  2 x , M 0 , 5.
129
7.23. 3 yy'  x , M  3,  2 .
7.25. x 2  y 2  2 xyy'  0 , M  2 , 1 .
2x
, M 1, 1 .
3y
7.26. yy'  x  0 , M  2,  3.
x
2
7.29. y'  2  y 2 , M 1, 2  .
7.30. x 2  y 2  2 xyy'  0 , M 2 , 1.
7.24. y' 
7.28. xy'  2 y , M 2, 3 .
7.27. yy'   , M 4 , 2  .
8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
8.1. xy"  y' .
8.2. y" x ln x  y' .
8.3. x 2 y"  y' 2 .
8.4. y"  y'  x .
8.5. xy"  y'  x 2 e x .
8.6. 2 xy"  y'  y' 2 4 .
8.7. xy"  y'  x 2 .
8.8. x 2 y"  xy'  1 .
8.9. y" 
8.10. xy"  y' ln y' / x  .
8.13. y" tgx  y' 1 .
8.11. y" x ln x  2 y' .
8.16. y"   x / y .
8.19. xy"  y'  ln x .
8.22. x 3 y"  x 2 y'  1 .
8.25. y"  y' tgx  sin 2 x .
8.28. 2 xy' y"  y' 2 1 .




8.14. 1  x 2 y"  xy  2 .
8.17. y" ctgx  y'  2 .
8.20. 1  x 2 y"  2 xy .
8.23. 2 xy' y"  y' 2 1 .
8.26. y" 2 xy' 2  0 .
8.29. yx ln x  y" .
y'
 x x  1 .
x 1
8.12. y  y" tgx  sec x .
8.15. y" 4 y'  2 x 2 .
8.18. y"  y'  sin x .
8.21. x y" 1  y'  0 .
8.24. y" 2 y' ctgx  sin 3 x .
8.27. y" 4 y'  cos 2 x .
8.30. xy"  y'  2 x 2 e x .
9. Найти решение задачи Коши.
9.1.


y y"  4 y  1 , y0   2 , y' 0   2 .
9.3.
3
4
y" 50 sin y cos 3 y  0 , y0   0 , y' 0   5 .
9.5.
y"  8 y 3 , y0   1, y' 0   2 .
9.7.
y" y 3  4  0 , y0   1, y' 0   2 .
9.9.
y"  2 sin3 y cos y  0 , y1  π / 2, y' 1  1 .
9.11.
y 3 y"  y 4  16 , y0   2 2 , y' 0   2 .
9.2.
y" 8 sin y cos 3 y  0 , y0   0 , y' 0   2 .
9.4.
y"  72 y 3 , y2  1, y' 2  6 .
9.6.
y" y 3  36  0 , y0   3, y' 0   2 .
9.8.
y"  18 sin 3 y cos y , y1  π / 2, y' 1  3 .
9.10.
4 y 3 y"  y 4  16 , y0   2 2 , y' 0   1 / 2 .
9.12.
y"  50 y 3 , y3  1, y' 3  5 .
130
9.13.
9.14.
y" y 3  1  0 , y1  1, y' 1  1.
9.17.
y" 18 sin y cos3 y  0 , y0   0 , y' 0   3.
y"  2 y 3 , y 1  1, y'  1  1 .
9.15.
y"  128 y 3 , y0   1, y' 0   8 .
9.19.
y" y 3  64  0 , y0   4 , y' 0   2.
9.21.
y" 2 sin y cos 3 y  0 , y0   0 , y' 0   1.
9.23.
y" 32sin3 y cos y 0 , y1π / 2, y' 14.
9.25.
y"  98 y 3 , y1  1, y' 1  7 .
9.27.
y" y 3  49  0 , y3  7 , y' 3  1.
9.29.
4 y 3 y" 16 y 4 1,y0  2 / 2,y' 0 1/ 2 .
y" y 3  25  0 , y2  5, y' 2  1.
9.16.
9.18.
y"  8 sin 3 y cos y , y1  π / 2, y' 1  2.
9.20.
y"  32 y 3 , y4   1, y' 4   4 .
9.22.
y" y 3  16  0 , y1  2, y' 1  2.
9.24.
y" 32 sin y cos 3 y  0 , y0   0 , y' 0   4.
9.26.
y"  50 sin3 y cos y  0 , y1  π / 2, y' 1  5.
9.28.
y"  18 y 3 , y1  1, y' 1  3 .
9.30.
y" y 3  9  0 , y1  1, y' 1  3.
10. Найти общее решение каждого из дифференциальных уравнений.
10.1. а) 4 y" 8 y' 3 y  0 ; б) y" 3 y'  0 ; в) y" 2 y' 10 y  0 .
10.2. а) y" 4 y' 20 y  0 ; б) y" 3 y' 10 y  0 ; в) y" 16 y  0 .
10.3. а) 9 y" 6 y'  y  0 ; б) y" 4 y' 21y  0 ; в) y"  y  0 .
10.4. а) 2 y" 3 y'  y  0 ; б) y" 4 y' 8 y  0 ; в) y" 6 y' 9 y  0 .
10.5. а) y" 10 y' 21y  0 ; б) y" 2 y' 2 y  0 ; в) y" 4 y'  0 .
10.6. а) y" 6 y'  0 ; б) y" 10 y' 29 y  0 ; в) y" 8 y' 7 y  0 .
10.7. а) y" 25 y  0 ; б) y" 6 y' 9 y  0 ; в) y" 2 y' 2 y  0 .
10.8. а) y" 3 y'  0 ; б) y" 7 y' 8 y  0 ; в) y" 4 y' 13 y  0 .
10.9. а) y" 3 y' 4 y  0 ; б) y" 6 y' 13 y  0 ; в) y" 2 y'  0 .
10.10. а) y" 25 y'  0 ; б) y" 10 y' 16 y  0 ; в) y" 8 y' 16 y  0 .
10.11. а) y" 3 y' 18 y  0 ; б) y" 6 y'  0 ; в) y" 2 y' 5 y  0 .
10.12. а) y" 6 y' 13 y  0 ; б) y" 2 y' 15 y  0 ; в) y" 8 y'  0 .
10.13. а) y" 2 y'  y  0 ; б) y" 6 y' 25 y  0 ; в) y" 4 y'  0 .
10.14. а) y" 10 y'  0 ; б) y" 6 y' 8 y  0 ; в) 4 y" 4 y'  y  0 .
10.15. а) y" 5 y  0 ; б) 9 y" 6 y'  y  0 ; в) y" 6 y' 8 y  0 .
131
10.16. а)
10.17. а)
10.18. а)
10.19. а)
10.20. а)
10.21. а)
10.22. а)
10.23. а)
10.24. а)
10.25. а)
10.26. а)
10.27. а)
10.28. а)
10.29. а)
10.30. а)
y" 6 y' 10 y  0 ; б) y" 4 y' 4 y  0 ; в) y" 5 y' 4 y  0 .
y"  y  0 ; б) 4 y" 8 y' 5 y  0 ; в) y" 6 y' 10 y  0 .
y" 8 y' 25 y  0 ; б) y" 9 y'  0 ; в) 9 y" 3 y' 2 y  0 .
6 y" 7 y' 3 y  0 ; б) y" 16 y  0 ; в) 4 y" 4 y'  y  0 .
9 y" 6 y'  y  0 ; б) y" 12 y' 37 y  0 ; в) y" 2 y'  0 .
y" 4 y  0 ; б) y" 10 y' 25 y  0 ; в) y" 3 y' 2 y  0 .
y"  y' 2 y  0 ; б) y" 9 y  0 ; в) y" 4 y' 4 y  0 .
y" 4 y'  0 ; б) y" 4 y' 13 y  0 ; в) y" 3 y' 2 y  0 .
y" 5 y' 6 y  0 ; б) y" 3 y'  0 ; в) y" 2 y' 5 y  0 .
y" 2 y' 10 y  0 ; б) y"  y' 2 y  0 ; в) y" 2 y'  0 .
y" 4 y  0 ; б) y" 2 y' 17 y  0 ; в) y"  y' 12 y  0 .
y"  y' 6 y  0 ; б) y" 9 y'  0 ; в) y" 4 y' 20 y  0 .
y" 49 y  0 ; б) y" 4 y' 5 y  0 ; в) y" 2 y' 3 y  0 .
y" 7 y'  0 ; б) y" 5 y' 4 y  0 ; в) y" 16 y  0 .
y" 6 y' 8 y  0 ; б) y" 4 y' 5 y  0 ; в) y" 5 y'  0 .
11. Найти общее решение дифференциального уравнения.
11.1. y"  y  2 cos 5 x  3 sin 5 x .
11.3. y" 6 y' 13 y  e 3 x cos x .
11.2. y" 4 y' 4 y  e 2 x sin 6 x .
11.4. y" 2 y' 5 y  17 sin 2 x .
11.5. y" 2 y'  6 e x sin x  cos x  .
11.6. y" 4 y' 8 y  e x 3 sin x  5 cos x .
11.7. y" 6 y' 13 y  e 3 x cos 5 x .
11.9. y" 2 y' 5 y   cos x .
11.8. y" 4 y' 4 y  e 2 x sin 4 x .
11.10. y"  y  2 cos7 x  3 sin7 x .
11.11. y" 2 y'  3e x sin x  cos x  .
11.12. y" 4 y' 8 y  e x 2 sin x  cos x  .
11.13. y" 6 y' 13 y  e 3 x cos 8 x .
11.14. y" 4 y' 4 y  e 2 x sin 4 x .
11.16. y" 2 y' 5 y  10 cos x .
11.15. y" 4 y' 4 y  e 2 x sin 6 x .
11.17. y"  y  2 cos7 x  3 sin7 x .
11.19. y" 4 y' 8 y  e x 5 sin x  3 cos x  .
11.21. y" 4 y' 4 y  e 2 x sin 3 x .
11.23. y"  y  2 cos3 x  3 sin 3 x .
11.25. y" 4 y' 8 y  e x  3 sin x  4 cos x .
11.27. y" 4 y' 4 y  e 2 x sin 5 x .
11.29. y"  y  2 cos 4 x  3 sin 4 x .
11.18. y" 2 y'  4e x sin x  cos x  .
11.20. y" 2 y'  2e x sin x  cos x  .
11.22. y" 2 y' 5 y   sin 2 x .
11.24. y" 2 y'  e x sin x  cos x  .
11.26. y" 6 y' 13 y  e 3 x cos 4 x .
11.28. y" 2 y' 5 y  2 sin x .
11.30. y" 2 y'  10e x sin x  cos x  .
132
12. Найти решение задачи Коши.
12.1. y" 12 y' 36 y  32 cos 2 x  24 sin 2 x , y0   2, y' 0   4 .
12.2. y"  y  x 3  4 x 2  7 x  10, y0   2 , y' 0   3 .
12.3. y"  y  14  16 x e  x , y0   0 , y' 0   1 .
12.4. y" 8 y' 16 y  16 x 2  16 x  66 , y0   3, y' 0   0 .
12.5. y" 10 y' 34 y  9e 5 x , y0   0 , y' 0   6 .
12.6. y" 6 y' 25 y  32x  12 sin x  36 x cos3 x , y0   4 , y' 0   0 .
12.7. y" 25 y  e x cos 5 x  10 sin 5 x , y0   3, y' 0   4 .
12.8. y" 2 y' 5 y  8e  x sin 2 x , y0   2 , y' 0   6 .
12.9. y" 2 y'  y  12 cos 2 x  9 sin 2 x , y0   2, y' 0   0 .
12.10. y" 6 y' 9 y  9 x 2  39 x  65, y0   1, y' 0   1.
12.11. y" 2 y' 2 y  2 x 2  8 x  6 , y0   1, y' 0   1
12.12. y" 6 y' 25 y  9 sin 4 x  24 cos4 x , y0   2, y' 0   2 .
12.13. y" 14 y' 53 y  53x 3  42x 2  59 x  14, y0   0 , y' 0   7 .
12.14. y" 6 y  e x cos 4 x  8 sin 4 x , y0   0 , y' 0   5 .
12.15. y" 4 y' 20 y  16 xe2 x , y0   1, y' 0   2 .
12.16. y" 4 y  8e 2 x , y0   1, y' 0   8 .
12.17. y" 10 y' 25 y  e5 x , y0   1, y' 0   0 .
12.18. y"  y' 12 y  16 x  22e4 x , y0   3, y' 0   5 .
12.19. y" 2 y' 5 y  5 x 2  6 x  12, y0   0 , y' 0   2 .
12.20. y" 8 y' 16 y  16 x 3  24 x 2  10 x  8 , y0   1, y' 0   3 .
12.21. y" 2 y' 37 y  36e x cos6 x , y0   0 , y' 0   6 .
12.22. y" 8 y'  16  48 x 2  128x 3 , y0   1, y' 0   14 .
12.23. y" 12 y' 36 y  72x 3  18, y0   1, y' 0   0 .
12.24. y" 3 y'  40 x  58e 2 x , y0   0 , y' 0   2 .
12.25. y" 9 y' 18 y  26 cos x  8 sin x , y0   0 , y' 0   2 .
12.26. y" 8 y'  18 x  60 x 2  32 x 3 , y0   5, y' 0   2 .
12.27. y" 3 y' 2 y   sin x  7 cos x , y0   2, y' 0   7 .
12.28. y" 2 y'  6 x 2  2 x  1, y0   2 , y' 0   2 .
12.29. y" 16 y  32e4 x , y0   2, y' 0   0 .
133
12.30. y" 5 y' 6 y  52 sin 2 x , y0   2, y' 0   2 .
13. Найти общее решение дифференциального уравнения.
13.1. y" 2 y' 2 y 
ex
13.2. y" 2 y'  y  3e  x x  1 .
.
sin 2 x
13.3. y" 2 y' 2 y  e  x ctgx .
13.4. y"  y  ctg 2 x .
13.5. y" 2 y' 2 y  e x / sin x .
13.6. y"  y'  e 2 x  cos e x .
13.7. y" 2 y'  y  e x / x 2 .
13.9. y"  y  tgx .
13.10. y"  y  tg 2 x .
 
13.8. y"  y'  e 2 x  sine x .
13.11. y" 4 y  ctg 2 x .
13.12. y"  y  2 / sin 2 x .
13.13. y"  y  ctgx .
13.14.
13.15. y" 2 y'  y  e x / x .
13.16.
13.17. y" 2 y'  y  e  x / x .
13.18.
13.19. y"  y  1 / cos x .
13.20.
13.21. y"  y  1 / sin x .
13.22.
13.23. y" 4 y  1 / sin 2 x .
13.24.
13.25. y" 4 y  tg 2 x .
13.26.
13.27. y" 4 y' 4 y  e 2 x / x 3 .
13.28.
13.29. y" 4 y' 4 y  e 2 x / x 3 .
13.30.
ex
.
y" 2 y' 5 y 
sin 2 x
1
.
y" 9 y 
cos 3 x
ex
.
y"  y  x
e 1
1
.
y" 4 y 
cos 2 x
e2 x
.
y" 4 y' 5 y 
cos x
sin x
.
y"  y 
cos2 x
1
.
y" 9 y 
sin 3 x
ex
.
y" 2 y' 2 y 
cos x
1
y" 2 y'  y  xe x  x .
xe
14. Найти решение системы дифференциальных уравнений.
 x'  x  4 y ,
 y'  x  y .
14.1. 
 x'  3 x  y ,
 y'  x  3 y .
14.2. 
 x'  y ,
 y'  x.
14.3. 
134
 x'  3 x  2 y ,
 y'  2 x  8 y .
 x'  x  4 y ,
14.7. 
 y'  2 x  3 y .
 x'  7 x  3 y ,
14.10. 
 y'  x  5 y .
 x'  4 x  y ,
14.13. 
 y'   x  4 y .
 x'  2 x  8 y ,
14.16. 
 y'  x  4 y .
 x'  5 x  8 y ,
14.19. 
 y'  3 x  3 y .
 x'  3 x  y ,
14.22. 
 y'  8 x  y .
 x'  x  5 y ,
14.25. 
 y'   x  3 y .
 x'  5 x  2 y ,
14.28. 
 y'  x  6 y .
 x'  2 x  3 y ,
 y'  5 x  4 y .
 x'  x  2 y ,
14.8. 
 y'  3 x  6 y .
 x'  5 x  4 y ,
14.11. 
 y'  4 x  5 y .
 x'  x  2 y ,
14.14. 
 y'  4 x  3 y .
 x'  2 x  3 y ,
14.17. 
 y'   x.
 x'  x  y ,
14.20. 
 y'  4 x  4 y .
 x'  2 x  y ,
14.23. 
 y'  3 x  2 y .
 x'  6 x  y ,
14.26. 
 y'  3 x  2 y .
 x'  2 x  y ,
14.29. 
 y'  6 x  3 y .
14.4. 
 x'   x  2 y ,
 y'  3 x  4 y .
 x'  2 x ,
14.9. 
 y'  y .
 x'  4 x  2 y ,
14.12. 
 y'  4 x  6 y .
 x'  8 x  3 y ,
14.15. 
 y'  2 x  y .
 x'  6 x  3 y ,
14.18. 
 y'  8 x  5 y .
 x'  4 x  8 y ,
14.21. 
 y'  8 x  4 y .
 x'  2 x  y ,
14.24. 
 y'  3 x  4 y .
 x'  x  y ,
14.27. 
 y'  4 x  y .
 x'   x  8 y ,
14.30. 
 y'  6 x  y .
14.5. 
14.6. 
7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Найти область определения функции.




1.1. z  ln y 2  x 2 .
1.3. z  arccos x  2 y  .
1.2. z  5 / 4  x 2  y 2 .
1.4. z  ln2 x  y  .
1.5. z  ln 9  x 2  y 2 .
1.6. z  1  x  y .
1.7. z  1 / x 2  y 2  5 .
1.9. z  arccos x  y  .
1.8. z  1 / x 2  y 2  6 .
1.11. z  9  x 2  y 2 .
1.12. z  ln x 2  y 2  3 .


1.13. z  2 x 2  y 2 .


1.15. z  xy / x 2  y 2 .
1.17. z  arcsin x  y  .




1.10. z  3 x  y / 2  x  y  .
1.14. z  4 xy /  x  3 y  1.
1.16. z  arcsin x / y  .
1.18. z  7 x 3 y /  x  3 y  1 .
135


1.19. z  ln 4  x 2  y 2 .
1.20. z  e
1.21. z  x 2  y 2  5 .
1.22. z  4 xy / x 2  y 2 .
1.23. z  x 3 y / 3  x  y  .
1.25. z  arcsin2 x  y  .
1.24. z  3 xy / 2 x  5 y  .
1.26. z 
1.27. z  3  x 2  y 2 .
1.29. z  4 x  y / 2 x  5 y .
1.28. z  2 / 6  x 2  y 2 .
x 2  y 2 1

.

y 2  x2 .



2. Найти частные производные 1-го порядка функции.
 
2. 1. z  arctg xy 2 .
2.2. z  cos x 2  y 2 .
2.3. z  sin x  y 3 .
2.5. z  ctg 3 x  2 y  .
2.4. z  tg x 3 y 4 .
2.7. z  ln
2.8. z  arc sin 2 x 3 y .





2.11. z  tg  2 x  y 2 / x .
2.9. z  arctg x 2 / y 3 .
2.13. z  e
 x2  y2

.

2.15. z  arc cos x  y 2 .


2
5
2.6. z  e 2 x  y .
xy  1 .



2.10. z  cos x  xy 3  .


2.12. z  sin  x  y  /  x  y  .
2.14. z  ctg x /  x  y  .



2.16. z  ln 3 x 2  y 2 .


2.17. z  cos  x  y  / x 2  y 2 .
2.18. z  arcctg x 3 / y .
2.19. z  e  x  y .
2.21. z  arcsin xy .
2.22. z  ln y 2  e  x .
 3 3


2.20. z  sin y /  x  y  .




2.23. z  cos x 3  2 xy .
2.24. z  arctg x 2  y 2 .
2.25. z  tg x 3  y 2 .
2.26. z  sin y / x 3 .

2

2
2.27. z  e  x  y .
2.29. z  arc cos y / x  .
2.28. z  ctg xy 3 .


2.30. z  ln 3 x 2  y 4 .
3. Найти частные производные второго порядка функции.
x y
3.1. z  e
.
3.3. z  arc cos x  5 y  .

1.30. z  3 x  2 y / x 2  y 2  4 .
3.2. z  ctg  y / x  .


3.4. z  cos x 2 y 2  5 .
136


3.5. z  cos 3 x  y 3 .
3.6. z  arcsin x  2 y  .
3.7. z  ln 5 x 2  3 y 4 .
3.9. z  ln3 xy  4  .
3.10. z  ln 4 x 2  5 y 3 .


3.11. z  arcsin4 x  y  .
3.13. z  sin xy .
3.15. z  arctg3 x  2 y  .
3.17. z  arcctg x  4 y .
 
3.19. z  tg xy 2 .
2



2
2
3.12. z  e 2 x  y .
3.14. z  tg xy .
3.16. z  sin x 3 y .
3.18. z  arc cos4 x  y  .
3.20. z  arctg2 x  y  .
3.22. z  ctg  x  y .
2
3.21. z  e x  y .
3.23. z  tg  x / y  .
3.8. z  arctg5 x  2 y  .
 

3.25. z  sin x 2  y .
3.27. z  arcsin x  y  .
3.29. z  arcctg x  3 y  .
3.24. z  cos xy 2 .
3.26. z  arctg x  y  .
3.28. z  arc cos2 x  y  .


3.30. z  ln 3 x 2  2 y 2 .
4. Найти полный дифференциал функции.

4.1. z  ctg  y / x  .
4.3. z  xy4  3 x 2 y  1 .

4.2. z  ln 3 x 2  2 y 2 .
4.4. z  arcsin x  y  .
4.5. z  2 x 2 y 2  x 3 y  y 3 .
4.7. z  arcsin  x  y  / x  .
4.9. z  arcctg x  y .
4.6. z  7 x 3 y  xy .
4.11. z  x 2 y sin y  3 y .
4.13. z  arcsin xy   3 xy 2 .
4.12. z  3 x 2  y 2  x .
4.14. z  arccos x  y  .
4.15. z  cos x 2  y 2  x 3 .
4.16. z  2  x 3  y 3  5 x .
4.17. z  5 xy  3 x 3 y 4 .
4.19. z  arcctg2 x  y .
4.18. z  7 x  x 3 y 2  y 4 .
4.21. z  2 x 3 y  4 xy5 .
4.22. z  ln x  xy  y 2 .
4.23. z  arcctgx y .
4.25. z  5 xy4  2 x 2 y7 .
4.24. z  3 x 2  2 y 2  5 .
4.26. z  arctg2 x  y  .
4.27. z  x 2  y 2  2 xy .
4.28. z  y 2  3 xy  x 4 .


4.8. z  e x y4 .
4.10. z  tg   x  y  /  x  y   .
4.20. z  e y x .


137
4.29. z  cos3 x  y   x 2 .


4.30. z  ln y 2  x 2  3 .
5. Найти производную сложной функции.
5.1.
5.2.
u  x 2e y , x  cost , y  sin t .
u  ln e x  e y , x  t 2 , y  t 3 .
5.3.
5.4.


u  x y , x  et , y  ln t .
u  e y  2 x , x  sin t , y  t 3 .
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
u  x 2e  yx , x  sin t , y  sin 2 t .


u  ln e  x  e y , x  t 2 , y  t 3 .
u  x 2  y 2  3 , x  ln t , y  t 3 .
u  arctg xy, y  t  3, y  et .
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
u  arccos2 x / y , x  sin t , y  cost .
5.16.
5.17.
5.18.
u  e x2 y , x  sin t , y  t 3 .
u  y x , x  lnt  1, y  et / 2 .
u  e y2 x1 , x  cost , y  sin t .




u  ln e x  e  y , x  t 2 , y  t 3 .
u  e y2 x2 , x  sin t , y  cost .
u  arcsinx / y , x  sin t , y  cost .
u  x 2 /  y  1, x  1  2t , y  arctg t .
u  ln e2 x  e y , x  t 2 , y  t 4 .
u  arctg x  y , y  t 2  2, y  4  t 2 .
5.19.
5.20.



u  x  y 2  3 , x  ln t , y  t 2 .
u  ln e  x  e 2 y , x  t 2 , y  1 / 3t 3 .
5.22.
u  arcsin x 2 / y , x  sin t , y  cos t .
5.23.
5.24.
u  x / y , x  e t , y  2  e 2t .
5.21.

u  y 2 / x , x  1  2t , y  1  arctg t .
u  y / x  x / y , x  sin t , y  cost .
5.25.
5.26.
u  x 2  y  3 , x  ln t , y  t 2 .
u  arcsinx / 2 y , x  sin t , y  cost .
5.27.
5.28.
u  x / y  y / x , x  sin 2t , y  tg 2t .
u  x  y  3 , x  ln t , y  t 2 .
5.29.
5.30.
u  y / x , x  e t , y  1  e 2t .
u  arcsin2 x / y , x  sin t , y  cost .
138
6. Найти частные производные 1-го порядка функции z(x,y), заданной
неявно.
6.1. e z  xyz  x  1  0 .
6.2. x 2  y 2  z 2  2 xy  yz  4 x  3 y  z  0 .
6.3. x 2  y 2  z 2  2 xz  2 .
6.4. x 2  3 y 2  z 2  2 xy  6 x  2 y  8 z  20  0 .
6.5. x 3  y 3  z 3  3 xyz  4 .
6.7. 3 x  2 y  z  xz  5 .
6.6. x 2  y 2  z 2  2 x  6 z  4 y  12  0 .
6.9. x  y  z  2  xyz .
6.10. 2 x 2  2 y 2  z 2  8 xz  z  6  0 .
6.11. x 2  y 2  z 2  xy  2 .
6.12. x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  17 .
6.13. x 2  y 2  z 2  y  z  3 .
6.14. x 2  2 y 2  z 2  4 x  2 z  2  0 .
6.15. e z  x  2 y  z  4 .
6.17. xy  z 2  1.
6.16. x 2  2 y 2  3 z 2  yz  y  2 .
6.18. x cos y  y cos z  z cos x  π / 2 .
6.19. x 3  3 xyz  z 3  27 ,
6.20. 3 x 2 y 2  2 xyz2  2 x 3 z  4 y 3 z  4 .
6.21. z 3  3 xyz  3 y  7 .
6.22. cos2 x  cos2 y  cos2 z  .
6.23. x 2  y 2  z 2  6 x  0 .
6.24. x 2  y 2  z 2  z  4  0 .
6.25. e z 1  cos x cos y  1.
6.27. x 2  2 y 2  3 z 2  59 .
6.26. x 2  y 2  z 2  3 z  3 .
6.28. ln z  x  2 y  z  ln 3 .
6.29. z 2  xy  z  x 2  4 .
6.30. x 2  y 2  z 2  2 xz  5 .
6.8. x 3  2 y 3  z 3  3 xyz  2 y  15  0 .
3
2
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
S в точке M0.
7.1. S: z  y 2  x 2  2 xy  3 y , M 0 1,1, 1.
7.2. S: z  x 2  y 2  2 xy  x  2 y , M 0  1, 1, 1 .
7.3. S: x 2  2 y 2  z 2  xy  4 y  13, M 0 3, 1, 2  .
7.4. S: 4 y 2  z 2  4 xy  xz  3 z  9 , M 0 1,2 , 1 .
7.5. S: x 2  y 2  xz  yz  3 x  11, M 0 1, 4 ,  1 .
7.6. S: x 2  2 y 2  z 2  4 xz  8 , M 0 0 , 2 , 0  .
7.7. S: x 2  y 2  2 z 2  2 y  0 , M 0  1,1, 1 .
7.8. S: x 2  y 2  3 z 2  xy  2 z , M 0 1, 0 , 1 .
7.9. S: 2 x 2  y 2  z 2  6 x  2 y  6  0 , M 0 1,  1, 1 .
139
7.10. S: x 2  y 2  z 2  6 z  4 x  8  0 , M 0 2 , 1,  1 .
7.11. S: x 2  y 2  4 y 2  2 xy, M 0  2 , 1, 2  .
7.12. S: x 2  y 2  z 2  xy  3 z  7 , M 0 1, 2 , 1 .
7.13. S: x 2  y 2  z 2  6 y  4 x  8 , M 0  1, 1, 2  .
7.14. S: 2 x 2  y 2  z 2  4 z  y  13, M 0 2 , 1,  1 .
7.15. S: x 2  y 2  z 2  6 y  4 z  4  0 , M 0 2 , 1,  1 .
7.16. S: x 2  z 2  5 yz  3 y  46 , M 0 1, 2 ,  3 .
7.17. S: z  x 2  y 2  3 xy  x  y  2 , M 0 2 , 1, 0  .
7.18. S: 2 x 2  y 2  2 z 2  xy  xz  3, M 0 1, 2 , 1 .
7.19. S: x 2  y 2  z 2  x  2 y  14, M 0 3, 1, 4  .
7.20. S: x 2  y 2  z 2  xz  4 y  4 , M 0 1, 1, 2 .
7.21. S: x 2  y 2  z 2  xz  4 x  5 , M 0  2 , 1, 0 .
7.22. S: x 2  y 2  z 2  6 xy  z  8 , M 0 1, 1, 0  .
7.23. S: z  2 x 2  3 y 2  4 x  2 y  10, M 0  1, 1, 3.
7.24. S: z  x 2  y 2  4 xy  3 x  15, M 0  1, 3, 4  .
7.25. S: z  x 2  2 y 2  4 xy  5 y  10, M 0  7 , 1, 8  .
7.26. S: z  2 x 2  3 y 2  xy  3 x  1, M 0 1,  1, 2  .
7.27. S: x 2  y 2  xz  yz  0 , M 0 0 , 2 , 2  .
7.28. S: x 2  y 2  2 yz  z 2  y  2 z  2 , M 0 1, 1, 1 .
7.29. S: y 2  z 2  x 2  2 xz  2 x  z , M 0 1, 1, 1.
7.30. S: z  x 2  y 2  2 xy  2 x  y , M 0  1,  1,  1 .
8. Исследовать на экстремум функцию.
8.1. z  2 x 3  2 y 3  6 xy  5 .
8.2. z  4 x  y   x 2  y 2 .
8.3. z  3 x 3  3 y 3  9 xy  10 .
8.4. z  6  x  y   3 x 2  3 y 2 .
8.5. z  x 2  xy  y 2  x  y  1 .
8.6. z  3 x 3  8 y 3  6 xy  1 .
8.7. z  2 xy  5 x 2  3 y 2  2 .
8.9. z  xy12  x  y  .
8.8. z  y x  y 2  x  6 y .
8.10. z  x 2  xy  y 2  9 x  6 y  20 .
140
8.11. z  xy  x 2  y 2  9 .
8.12. z   x  2 2  2 y 2  10 .
8.13. z  2 xy  3 x 2  2 y 2  10 .
8.14. z   x  5 2  y 2  1 .
8.15. z   x  12  2 y 2 .
8.16. z  x 3  y 3  3 xy .
8.17. z  xy  3 x 2  2 y 2 .
8.18. z  2 xy  2 x 2  4 y 2 .
8.19. z  x 2  3 y  2 2 .
8.20. z  x y  x 2  y  6 x  3 .
8.21. z  2 x  y   x 2  y 2 .
8.22. z  x 3  y 2  6 xy  39 x  18 y  20 .
8.23. z  y x  2 y 2  x  14 y .
8.24. z  x 2  xy  y 2  2 x  y .
8.25. z  x 3  8 y 3  6 xy  5 .
8.27. z  xy6  x  y  .
8.26. z  1  6 x  x 2  xy  y 2 .
8.29. z  x 2  y 2  xy  x  y .
8.30. z  x 2  xy  y 2  6 x  9 y .
8.28. z  1  15 x  2 x 2  xy  2 y 2 .
9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  f  x , y  в
области D.
9.1. z  x 2  2 xy  y 2  4 x , D : x  3, y  0 , y  x  1 .
9.2. z  6 xy  9 x 2  9 y 2  4 x  4 y , D : x  0 , x  1, y  0 , y  2 .
9.3. z  x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y , D : y  x  2, y  0 , x  2 .
9.4. z  4  2 x 2  y 2 , D : y  0 , y  1  x 2 .
5 2
y  2 x, D : x  0 , x  2, y  0 , y  2 .
2
9.6. z  xy  3 x  2 y , D : x  0 , x  4 , y  0 , y  4 .
9.5. z  x 2  2 xy 
9.7. z  x 2  xy  2 , D : y  4 x 2  4 , y  0 .
9.8. z  x 2  2 xy  y 2  4 x , D : x  y  1  0 , x  3, y  0 .
9.9. z  x 2  y 2  2 x  2 y  8 , D : x  0 , y  0 , x  y  1  0 .
9.10. z  2 x 3  xy 2  y 2 , D : x  0 , x  1, y  0 , y  6 .
9.11. z  x 2 y4  x  y , D : x  0 , y  0 , y  6  x .
9.12. z  x 3  y 3  3 xy, D : x  0 , x  2 , y  1, y  2 .
9.13. z  4 x  y   x 2  y 2 , D : x  2 y  4 , x  2 y  4 , x  0 .
9.14. z  3 x  6 y  x 2  xy  y 2 , D : x  0 , x  1, y  0 , y  1 .
9.15. z  x 2  2 y 2  4 xy  6 x  1, D : x  0 , y  0 , x  y  3  0 .
9.16. z  x 2  2 xy  10, D : y  0 , y  x 2  4.
141
9.17. z  xy  2 x  y , D : x  0 , x  3, y  0 , y  4 .
1 2
x  xy , D : y  8 , y  2 x 2 .
2
9.19. z  3 x  y  xy, D : y  x , y  4 , x  0 .
9.20. z  xy  x  2 y , D : x  3, y  x , y  0 .
9.18. z 
9.21. z  x 2  2 xy  4 x  8 y , D : x  0 , x  1, y  0 , y  2.
9.22. z  5 x 2  3 xy  y 2 , D : x  0 , y  0 , y  1, x  1 .
9.23. z  5 x 2  3 xy  y 2  4 , D : x  1, x  1, y  1, y  1 .
9.24. z  x 2  2 xy  4 x  y 2 , D : x  y  2  0 , y  0 .
9.25. z  2 x 2 y  x 3 y  x 2 y 2 , D : x  0 , y  0 , x  y  6 .
9.26. z  3 x 2  3 y 2  2 x  2 y  2, D : x  0 , y  0 , x  y  1  0 .
9
4
2
2
9.28. z  x  2 xy  y  4 x  1, D : x  3, y  0 , x  y  1  0 .
9.27. z  2 x 2  3 y 2  1, D : y  9  x 2 , y  0 .
9.29. z  3 x 2  3 y 2  x  y  1, D : x  5, y  0 , x  y  1  0 .
9.30. z  2 x 2  2 xy 
1 2
y  4 x, D : y  2 x, y  2, x  0 .
2
10. Исследовать на экстремум функции.
10.1. а) u  7 x 2  4 xy  4 xz  7 y 2  10 yz  7 z 2 ,
б) u  3 x 2  12xy  8 xz  6 y 2  6 yz  6 z 2 ,
в) u  3 x 2  2 xy  6 xz  7 y 2  6 yz  6 z 2 .
10.2. а) u  4 x 2  18 xy  12xz  5 y 2  10 yz  3 z 2 ,
б) u  3 x 2  4 xy  2 xz  8 y 2  14 yz  8 z 2 ,
в) u  9 x 2  2 xy  12xz  6 y 2  4 yz  6 z 2 .
10.3. а) u  4 x 2  2 xy  8 xz  7 y 2  8 yz  8 z 2 ,
б) u  7 x 2  12xy  18 xz  6 y 2  10 yz  4 z 2 ,
в) u  6 x 2  6 xy  2 xz  7 y 2  6 yz  3 z 2 .
10.4. а) u  3 x 2  2 xy  2 xz  6 y 2  10 yz  7 z 2 ,
б) u  x 2  6 xy  4 xz  3 y 2  2 yz  6 z 2 ,
в) u  9 x 2  6 xy  10 xz  6 y 2  4 yz  9 z 2 .
142
10.5. а) u  3 x 2  2 xy  6 xz  8 y 2  6 yz  7 z 2 ,
б) u  6 x 2  2 xy  10 xz  2 y 2  4 yz  9 z 2 ,
в) u  x 2  10 xy  14 xz  y 2  12 yz  2 z 2 .
10.6. а) u  8 x 2  2 xy  4 xz  6 y 2  6 yz  5 z 2 ,
б) u  x 2  8 xy  2 xz  4 y 2  12 yz  2 z 2 ,
в) u  8 x 2  2 xy  2 xz  8 y 2  8 yz  6 z 2 .
10.7. а) u  8 x 2  4 xy  16 xz  y 2  4 yz  7 z 2 ,
б) u  7 x 2  8 xy  2 xz  7 y 2  10 yz  7 z 2 ,
в) u  6 x 2  2 xy  10 xz  y 2  2 yz  9 z 2 .
10.8. а) u  2 x 2  10 xy  16 xz  3 y 2  4 yz  2 z 2 ,
б) u  8 x 2  2 xy  4 xz  7 y 2  2 yz  8 z 2 ,
в) u  2 x 2  4 xy  6 xz  4 y 2  4 yz  8 z 2 .
10.9. а) u  5 x 2  4 xy  8 xz  7 y 2  10 yz  8 z 2 ,
б) u  4 x 2  4 xy  6 xz  3 y 2  8 yz  7 z 2 ,
в) u  3 x 2  16 xy  4 xz  4 y 2  10 yz  8 z 2 .
10.10. а) u  6 x 2  6 xy  2 xz  3 y 2  4 yz  7 z 2 ,
б) u  6 x 2  6 xy  16 xz  y 2  6 yz  8 z 2 ,
в) u  8 x 2  2 xy  6 xz  9 y 2  12 yz  9 z 2 .
10.11. а) u  5 x 2  18 xy  6 xz  8 y 2  6 yz  6 z 2 ,
б) u  6 x 2  8 xy  8 xz  8 y 2  8 yz  6 z 2 ,
в) u  6 x 2  2 xy  4 xz  4 y 2  6 yz  3 z 2 .
10.12. а) u  5 x 2  2 xy  2 xz  7 y 2  12 yz  6 z 2 ,
б) u  7 x 2  10 xy  18 xz  6 y 2  10 yz  2 z 2 ,
в) u  6 x 2  4 xy  4 xz  8 y 2  10 yz  8 z 2 .
10.13. а) u  3 x 2  6 xy  12xz  7 y 2  12 yz  5 z 2 ,
б) u  9 x 2  14 xy  4 xz  9 y 2  2 yz  6 z 2 ,
в) u  8 x 2  2 xy  2 xz  3 y 2  4 yz  8 z 2 .
10.14. а) u  4 x 2  10 xy  16 xz  7 y 2  6 yz  7 z 2 ,
б) u  8 x 2  10 xy  4 xz  7 y 2  4 yz  5 z 2 ,
143
в) u  8 x 2  6 xy  4 xz  8 y 2  2 yz  6 z 2 .
10.15. а) u  2 x 2  4 xy  16 xz  y 2  6 yz  3 z 2 ,
б) u  8 x 2  2 xy  10 xz  7 y 2  6 yz  8 z 2 ,
в) u  9 x 2  2 xy  8 xz  6 y 2  2 yz  3 z 2 .
10.16. а) u  4 x 2  10 xy  2 xz  9 y 2  10 yz  8 z 2 ,
б) u  7 x 2  6 xy  6 xz  8 y 2  16 yz  8 z 2 ,
в) u  7 x 2  4 xy  4 xz  7 y 2  4 yz  7 z 2 .
10.17. а) u  3 x 2  12xy  4 xz  y 2  16 yz  3 z 2 ,
б) u  7 x 2  4 xy  8 xz  2 y 2  2 yz  8 z 2 ,
в) u  4 x 2  8 xy  2 xz  9 y 2  10 yz  9 z 2 .
10.18. а) u  8 x 2  4 xy  4 xz  5 y 2  8 yz  8 z 2 ,
б) u  4 x 2  2 xy  2 xz  3 y 2  2 yz  z 2 ,
в) u  x 2  12xy  4 xz  y 2  4 yz  4 z 2 .
10.19. а) u  3 x 2  16 xy  6 xz  9 y 2  10 yz  9 z 2 ,
б) u  5 x 2  8 xy  4 xz  9 y 2  4 yz  5 z 2 ,
в) u  4 x 2  6 xy  6 xz  8 y 2  2 yz  5 z 2 .
10.20. а) u  6 x 2  4 xy  6 xz  3 y 2  2 yz  5 z 2 ,
б) u  7 x 2  2 xy  6 xz  5 y 2  12 yz  9 z 2 ,
в) u  2 x 2  12xy  12xz  2 y 2  12 yz  2 z 2 .
10.21. а) u  8 x 2  2 xy  4 xz  6 y 2  8 yz  5 z 2 ,
б) u  2 x 2  10 xy  16 xz  9 y 2  16 yz  6 z 2 ,
в) u  3 x 2  4 xy  4 xz  5 y 2  8 yz  8 z 2 .
10.22. а) u  5 x 2  10 xy  16 xz  5 y 2  16 yz  3 z 2 ,
б) u  8 x 2  2 xy  8 xz  4 y 2  6 yz  8 z 2 ,
в) u  4 x 2  8 xy  2 xz  5 y 2  2 yz  9 z 2 .
10.23. а) u  9 x 2  6 xy  2 xz  2 y 2  2 yz  6 z 2 ,
б) u  x 2  16 xy  12xz  y 2  6 yz  7 z 2 ,
в) u  7 x 2  4 xy  10 xz  6 y 2  6 yz  8 z 2 .
10.24. а) u  7 x 2  8 xy  14 xz  7 y 2  8 yz  8 z 2 ,
б) u  2 x 2  18 xy  2 xz  2 y 2  2 yz  z 2 ,
144
в) u  3 x 2  4 xy  4 xz  4 y 2  6 yz  4 z 2 .
10.25. а) u  8 x 2  10 xy  4 xz  7 y 2  4 yz  6 z 2 ,
б) u  7 x 2  8 xy  8 xz  9 y 2  4 yz  8 z 2 ,
в) u  3 x 2  14 xy  10 xz  8 y 2  2 yz  2 z 2 .
10.26. а) u  8 x 2  10 xy  6 xz  3 y 2  4 yz  3 z 2 ,
б) u  7 x 2  4 xy  2 xz  2 y 2  2 yz  z 2 ,
в) u  8 x 2  8 xy  2 xz  8 y 2  6 yz  9 z 2 .
10.27. а) u  x 2  2 xy  2 xz  7 y 2  6 yz  7 z 2 ,
б) u  3 x 2  10 xy  12xz  2 y 2  10 yz  2 z 2 ,
в) u  9 x 2  4 xy  2 xz  8 y 2  12 yz  8 z 2 .
10.28. а) u  4 x 2  6 xy  6 xz  7 y 2  8 yz  3 z 2 ,
б) u  3 x 2  4 xy  12xz  3 y 2  6 yz  z 2 ,
в) u  7 x 2  6 xy  6 xz  3 y 2  2 yz  6 z 2 .
10.29. а) u  8 x 2  2 xy  2 xz  y 2  2 yz  2 z 2 ,
б) u  4 x 2  2 xy  2 xz  9 y 2  4 yz  z 2 ,
в) u  6 x 2  14 xy  4 xz  8 y 2  10 yz  6 z 2 .
10.30. а) u  3 x 2  4 xy  2 xz  5 y 2  6 yz  6 z 2 ,
б) u  3 x 2  14 xy  6 xz  3 y 2  4 yz  4 z 2 ,
в) u  9 x 2  4 xy  2 xz  2 y 2  4 yz  8 z 2 .
11. Найти условный экстремум функции.
11.1. u 7 x 2  4 xy  4 xz 7 y 2  4 yz 7 z 2  2 x  8 y 7 z  8
при 5 x  7 y  8 z  7  0 , 7 x  6 y  z  1  0.
11.2. u 7 x 2  4 xy  8 xz  2 y 2  2 yz  8 z 2  x  y  z  6
при  9 x  5 y  4 z  4  0 ,  8 x  5 y  6 z  5  0.
11.3. u  8 x 2  4 xy  4 xz  5 y 2  8 yz  8 z 2  8 x  4 y  z  4
при  x  3 y  7 z  5  0 , 2 x  2 y  2 z  3  0.
11.4. u  4 x 2  6 xy  6 xz  8 y 2  2 yz  5 z 2  8 x  6 y  8 z 7
при 2 x  y  5 z  9  0 , x  y  7 z  1  0.
11.5. u  6 x 2  4 xy  6 xz  3 y 2  2 yz  5 z 2 7 x  y  6 z  4
при 7 x  9 y  6 z  7  0 , 7 x  y  6 z  8  0.
145
11.6. u  3 x 2  4 xy  4 xz  5 y 2  8 yz  8 z 2  6 x  5 y  3 z  3
при 4 x  y  4 z  8  0 ,  5 x  3 y  z  6  0.
11.7. u  8 x 2  2 xy  8 xz  4 y 2  6 yz  8 z 2  5 x  4 y  3 z  5
при x  2 y  9 z  1  0 ,  9 x  2 y  7 z  3  0.
11.8. u 7 x 2  4 xy  10 xz  6 y 2  6 yz  8 z 2  2 x  5 y  4 z  8
при 8 x  2 y  2 z  7  0 ,  9 x  2 y  5 z  2  0.
11.9. u  3 x 2  4 xy  4 xz  4 y 2  6 yz  4 z 2  5 x  8 y  5 z  1
при 3 x  6 y  9 z  6  0 , 8 x  5 y  6 z  8  0.
11.10. u  8 x 2  10 xy  4 xz 7 y 2  4 yz  6 z 2  8 x  2 y  z  8
при 3 x  2 y  4 z  4  0 , x  2 y  6 z  5  0.
11.11. u 7 x 2  4 xy  2 xz  2 y 2  2 yz  z 2 7 x 6 y  5 z 8
при 8 x  8 y  8 z  3  0 , 8 x  3 y  6 z  2  0.
11.12. u  x 2  2 xy  2 xz 7 y 2  6 yz 7 z 2  5 x  8 y 7 z  8
при  8 x  6 y  z  2  0 , 3 x  5 y  6 z  3  0.
11.13. u 7 x 2  6 xy  6 xz  3 y 2  2 yz  6 z 2  6 x  6 y  9 z  1
при 3 x  4 y  6 z  3  0 , x  8 y  4 z  9  0.
11.14. u  8 x 2  2 xy  2 xz  y 2  2 yz  2 z 2  9 x  6 y  3 z  4
при 3 x  y  2 z  6  0 , 7 x  2 y  5 z  9  0.
11.15. u  3 x 2  xy  2 xz  5 y 2  6 yz  6 z 2 7 x  5 y  6 z  6
при 6 x  3 y  9 z  4  0 ,  9 x  5 y  4 z  4  0.
11.16. u  5 x 2  2 xy  4 xz  6 y 2  6 yz  6 z 2  3 x  9 y  5 z  5
при x  2 y  5 z  8  0 , 2 x  y  3 z  1  0.
11.17. u 7 x 2 4 xy 4 xz 7 y 2 10 yz 7 z 2 5 x  2 y  3 z 6
при  8 x  5 y  6 z  5  0 , x  y  z  2  0.
11.18. u  3 x 2  4 xy  2 xz  8 y 2  14 yz  8 z 2  8 x 7 y  5 z  8
при x  4 y  7 z  1  0 , 7 x  y  6 z  8  0.
11.19. u  6 x 2  6 xy  2 xz 7 y 2  6 yz  3 z 2  8 x  6 y 7 z  4
при  9 x  2 y  5 z  2  0 , 8 x  5 y  6 z  8  0.
11.20. u  3 x 2  2 xy  2 xz  6 y 2  10 yz 7 z 2 7 x  3 y  5 z  1
при  9 x  2 y  5 z  2  0 , 8 x  5 y  6 z  8  0.
11.21. u  3 x 2  2 xy  6 xz  8 y 2  6 yz 7 z 2  x  y 7 z  4
при x  2 y  6 z  5  0 , 8 x  3 y  6 z  2  0.
146
11.22. u  8 x 2  2 xy  2 xz  8 y 2  8 yz  6 z 2  x  6 y 7 z  5
при 3 x  5 y  6 z  3  0 , x  8 y  4 z  9  0.
11.23. u 7 x 2  8 xy  2 xz 7 y 2  10 yz 7 z 2  3 x  9 y  2 z  6
при 7 x  2 y  5 z  9  0 ,  9 x  3 y  7 z  2  0.
11.24. u  2 x 2  4 xy  6 xz  4 y 2  4 yz  8 z 2  x  5 y  4 z  6
при 4 x  2 y  6 z  2  0 , 5 x  7 y  8 z  7  0.
11.25. u  4 x 2  4 xy  6 xz  3 y 2  8 yz 7 z 2  9 x  2 y  8 z 7
при  9 x  5 y  4 z  4  0 ,  x  3 y  7 z  5  0.
11.26. u  6 x 2 6 xy  2 xz  3 y 2 4 yz 7 z 2 4 x  4 y  z 5
при 2 x  y  5 z  9  0 , 7 x  9 y  6 z  7  0.
11.27. u  6 x 2  8 xy  8 xz  8 y 2  8 yz  6 z 2  x 7 y  5 z  2
при 4 x  y  4 z  8  0 , x  2 y  9 z  1  0.
11.28. u  6 x 2  4 xy  4 xz  8 y 2  10 yz  8 z 2  8 x 7 y  2 z  8
при 8 x  2 y  2 z  7  0 , x  2 y  3 z  2  0.
11.29. u  8 x 2  2 xy  2 xz  3 y 2  4 yz  8 z 2  4 x  y  4 z 7
при 3 x  2 y  4 z  4  0 , 8 x  8 y  8 z  3  0.
11.30. u  8 x 2  10 xy  4 xz 7 y 2  4 yz  5 z 2  3 x  5 y  z 7
при  8 x  6 y  z  2  0 , 3 x  4 y  6 z  2  0.
8. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Изменить порядок интегрирования.
2 x
1
1.1.
1.4.
1.7.
 dx  bx, y  dy .
0
x3
1
12 x
25 x 2
3
1.2.

dx
0
 dx  bx, y  dy .
1

b x , y  dy . 1.3.
9 x 2
4 y 2
0
3x2
0 dy 2 yb1x, y  dx .
1
x 2 1
4
0 1
dx
b x , y  dy .
1.5.

1.8. dx
0
1.6.
25 x 2

0
b x , y  dy .
1.9.
1
3 x
0
2x2
1
3 y / 24
 dx  bx, y  dy .
0 dy y /2b1x, y dx .
2
2x
0
x /2
 dx 2 bx, y  dy .
147
x2
1
1.10.
0 dx  bx, y  dy .
1dy1byx, y  dx .
1.14.
1.17.
4 2 x 2
1.19.


dy
0
b x , y  dx .
1.20.
1.25.
0

y2
7 y
1.18.
1.21.
0
1
1.29.
0
1 y
0
 1 y 2
x2
 dy  bx, y  dx .
 dx  bx, y  dy .
1
x2
1
3 y
0 dy  bx, y  dx .
2 y2
4
 dy  bx, y  dx .

1
0 dy y bx, y  dx .
2
2 x
0 dx  bx, y  dy .
1.26. dy
b x , y  dy .
π / 2 y
1.12.
1.15.
0 dy y /4b1x, y  dx .
1
 dx  bx , y  dy .
0
 dy  bx, y  dx .
2
x
4 x
3
1.28.
1.23.
1 x12
dx
y 2 2
1
0 dy 1ybx, y  dx .
1
2
π/4
2
x2 / 4
3 y/2
4 / 5 33 y / 2
1.22.
y /2
2
25 y 2
4
2
4
0 dx  bx, y  dy .
y 4
 dy  bx , y  dx .
0
4 x 2
2
1.16.
1.11.
x 2
1 y
0
1.13.
4
1.24.
y2
1 y
 bx , y  dx .
0
1 x
1
 1 x
 dx  bx, y  dy .
y
1
1.27.
 1 y 2
0 dy  bx, y  dx .
 y
22 y
0 dy 1ybx, y  dx .
1.30.
0
2 y 1
1
2 y
 dy  bx, y  dx .
2. Изменить порядок интегрирования.
1
2.1.
0
0
0 dy 
2
1
fdx  dy
 y
1
2.5.
0
2dx2x fdy  1dx  fdy.
1
2.3.
0
y3
2
3
0
3 x
0 dx 
0
1
 fdx.
2.2.
2.4.
 2 y
2 y
0 dy 0 fdx  1 dy 0 fdx.
2.6.
2
fdy 
4  x 2 2
0
 dy 
2
2 y 
1
y
0
 dx  fdy .
3
0
 4 x 2
0
  fdx.
fdx  dy
1
e
1
3
y
0 dy0 fdx  1 dylnyfdx.
148
1
0
0
 dy 
2.7.
2.9.
π / 4 sin x
1 y
fdx  dy fdx .
 2  2 y 2
x3
1
0
2.8.
1
2 x
2
0 dx 0 fdy  1 dx 0 fdy.
3
2.11.
0 dx 0
1
2.13.
2 4  x 2
0
 dx 
2.15.
 dy 
0
2.17.
1
2.14.
 2 x
cos y
 dy  fdx.
e
0
2
2.18.
0
 dy  fdx   dy  fdx.
y
1
0 dy 0
1
2 y
2dy 0
2.20.
 
1 x
fdy  dx fdy .
arccos y
1
fdx 

dy
1/ 2
0
2.24.
2 y 2
1
y
x
y
 2 y 2
2
2 y
2
2 x 2
1
x
2 y 2
2
0 dy 0 fdx  1 dy 0 fdx.
2
2 x
1
0
 dx  fdy   dx  fdy .
0
4 x 2
2dx 0
fdy 
 4 x 2
 dx 0 fdy .
 3
0
x2
1 0 fdy .
fdy  dx
0
2dx 
2 4  x 2
0
2 x 2
 dx 0
 2
 3
2.26.
 2 y 2
2
1
1
y
1 0 fdx.
fdx  dy
0 fdx.
1
0 dx0 fdy  1 dx 0 fdy .
 3
2.22.
 dy  fdx.
0 dy 0 fdx  1 dy 0 fdx .
0
 2 y 2
0
0
0
 dx 
2.16.
0
 dy fdx   dy  fdx.
1
1
 2  2 x 2
1 / 2 arcsin y
2.25.
0
π/4
0
1
2.23.
0
0 dy 0 fdx  1 dylnyfdx .
0
2.21.
fdx 
y
1
2.19.
0
π/2
0
1
3
2.12.
2
π / 4 dx 0 fdy.
fdx 
y
  fdy .
π / 4 sin y
 dy 
1
4 x 2
cos x
0
 y
fdy  dx
1
fdy 
0
 dx 0 fdy.
2
 x
0
2.10.
2
fdy 
0 dx 0
π/2
0
fdy 
0
 dx  fdy .
 3
4  x 2 2
149
1
2.27.
2.29.
0
 dy 
0
 y
1
x2
e

fdx  dy
ln y
 fdx .
1
1
2
2 x 2
0 dx 0 fdy  1 dx 0 fdy .
3. Представить двойной интеграл
1
2.28.
 dx 
0
1
2.30.
1
1 x 2
3 y
e
1
  fdy .
fdy  dx
1
2
ln x
2 y
0 dy 0 fdx  1 dy 0 fdx.
 f x, y dxdy в виде повторного с
D
внешним интегрированием по x и внешним интегрированием по
y , если область D задана указанными линиями.
3.1. D : x  0 y  1, y  3, y  x .
3.2. D : y  0 , y  x , y   2  x 2 .
3.3. D : y 2  2 x , x 2  2 y , x  1 .
3.4. D : y  0 , x  y , y  8  x 2 .
3.5. D : x  0 , y  x , y  9  x 2 .
3.6. D; y   x , y 2  x  3 .
3.7. D : y 2  2  x , y  x .
3.8. D : y 2  2  x 2 , y  x 2 .
3.9. D : y  4  x 2 , x  0 , x  1, y  0 .
3.10. D : y  x 2  2 , y  x.
3.11. D : x  1, x  2 , y  0 , y  x 2 .
3.12. D : y  9  x 2 , y  x , y  0 .
3.13. D : y  0 , x 2   y , x  1  y 2 .
3.14. D : y  x 2  2 x  8 , y  x.
3.15. D : y  0 , y  1, x   4  y 2 .
3.17. D : x  0 , y  1, y  4 , y   x .
3.16. D : y   x ,3 x  y  3, y  3, y  9  x 2 .
3.18. D : x  0 , y  1, y  log1 / 2 x , y  1 .
3.19. D : y  3  x 2 , y   x .
3.20. D : x  0 , y  0 , y  1, x  4  y 2 .
3.21. D : x  0 , x  2 , y  0 , y  x 2  4 .
3.22. D : y  4  x 2 , y  3 x , x  0 .
3.23. D : x  0 , y  0 , y  1, x  32  y 2  1 .
3.24. D : x 2  2 y , 5 x  2 y  6  0 .
3.25. D : x  2  y 2 , x  y 2 , y  0 .
3.27. D : y  0 , x  2 y  12  0 , y  lg x .
3.29. D : x  0 , y  1, y  3, y   x .
3.26. D : x  8  y 2 , y  0 , y  x .
3.28. D : x  0 , y  0 , y  1, y  ln x .
3.30. D : x 2  2  y , x  y  0 .
150
4. Вычислить двойной интеграл.
4.1.

x  1 y 2 dxdy, D : y  3 x 2 , y  3 .

D
4.2.
4.3.
D
xy 2 dxdy, D : y  x , y  0 , x  1 .

x 3  y dxdy, D : y  x  1, y  x  2 , x  1, x  0 .

D
4.4.
4.5.
D xydxdy,D : y  x , y  0,x  2 .
3

x  y dxdy, D : y  x 3 , y  8 , y  0 , x  3 .

D
4.6.
 x y  5dxdy , D : y  x  5, x  y  5, y  0 .
D
4.7.

x  y dxdy , D : y  x 2  1, y  3 .

D
4.8.
D
y 2 1  2 x dxdy, D : x  2  y 2 , x  0 .
D e dxdy,D : y  ln x, y  0,x  2 .

4.10.
x  y 2 dxdy, D : y  x 2 , y  1 .

y
4.9.
D
D
4.12.  x  y dxdy, D : x  y , x  1 .

x 2  y dxdy, D : y  x 2 , x  y 2 .
4.13.

x 2 ydxdy, D : y  2 x 3 , y  0 , x  1 .
4.11.
2
2
2
D
D
4.14.
D
xy 2 dxdy, D : y  x 2 , y  2 x .
151
4.15.
 xy dxdy,D : y  x
3
3
, y  0, y  4 x .
D
4.16.

x 3  3 y dxdy, D : y  x  1, y  x 2  1, x  0 .

D
4.17.
4.18.
D xydxdy,D : y 
x , y  0,x  y  2 .

x  y dxdy, D : y 2  x , x  y .

D
4.19.
4.20.
D
x 2 ydxdy, D : y  2  x , y  x , x  0 .

x 3  2 y dxdy, D : y  x 2  1, x  0 , y  0 .

D
4.21.
D  y  xdxdy,D : y  x, y  x
2
.
y2
D x2 dxdy,D : y  x,xy  1, y  2 .
2
3
4.23.
 y1  x dxdy,D : y  x , y  3x .
4.22.
D
4.24.

1  y dxdy, D : y 2  x ,5 y  x .

D
4.25.

x  y dxdy, D : y  x 2  1, y   x 2  1 .

D
4.26.
4.27.
4.28.
D x y  1dxdy,D : y  5 x, y  x,x  3 .
D x  2dxdy,D : y  x, y  1 / 2x,x  2 .
D
x2 x  y dxdy, D : y  1  x 2 , y  0 .
152
4.29.
D
4.30.
 xy dxdy,D : y
y1  x dxdy, D : y 3  x , y  x .
3
2
 1  x,x  0 .
D
5. Вычислить двойной интеграл.
5.1.
2 2
D 12xy  27 x y dxdy ,
5.2.

5.4.
D : x  1, y  x 2 , y  3 x  x  0 .
 4 xy  9 x 2 y 2 dxdy ,
5.3.
5

11


D 18x

27 x 2 y 2  48 x 3 y 3 dxdy ,

D
D : x  1, y   x 3 , y  x .
D : x  1, y  x 3 , y   x .

24 xy  48 x 3 y 3 dxdy ,

5.6.
D

27 x 2 y 2  48 x 3 y 3 dxdy,

D
D : x  1, y  x
5.9.
2
, y  3
x , x  0  .

18 x 2 y 2  32 x 3 y 3 dxdy ,

D

12 xy  9 x 2 y 2 dxdy ,

D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
5.7.
D : x  1, y   x 2 , y  x .
5.8.

xy  4 x 3 y 3 dxdy ,

D
D : x  1, y  x 3 , y   x .
 6 x 2 y 2  25 x 4 y 4 dxdy ,
5.10.


3



D
3
D : x  1, y  x , y   x .
5.11.

24 xy  18 x 2 y 2 dxdy,

D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
5.12

6 xy  24 x 3 y 3 dxdy ,

D
3
D : x  1, y   x 2 , y  x .
D : x  1, y  x , y  3 x .
5.13.

8 xy  18 x 2 y 2 dxdy ,

D
D : x  1, y   x

y  32 x 3 y 3 dxdy ,
D : x  1, y  3 x , y   x 2  x  0 .
D
5.5.
2 2
2
,y  3
x , x  0  .
5.14.

4 xy  16 x 3 y 3 dxdy ,

D
D : x  1, y  x 3 , y  3 x .
153
5.15.

D
 4 xy  9 x 2 y 2 dxdy ,
5



5.16.
D
D : x  1, y   x 3 , y  3 x , x  0  .
D : x  1, y   x 3 , y  x .
5.17.

9 x 2 y 2  48 x 3 y 3 dxdy ,

5.18.
D
D 18x
D : x  1, y   x 3 , y  3 x .

2 2
y  32 x 3 y 3 dxdy ,
5.20.

4 xy  3 x 2 y 2 dxdy ,

5.22.
D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
2 2
D 8 xy  9 x y dxdy ,
5.24.
D : x  1, y   x 3 , y  3 x .
5.25.

xy  9 x 5 y 5 dxdy ,

5.26.
D : x  1, y   x , y  3 x .
D
 3 x 2 y 2  50 x 4 y 4 dxdy ,


3


5.28.
D : x  1, y  x
2
, y  3

4 xy  176 x 3 y 3 dxdy ,

D 9 x

2 2
y  25 x 4 y 4 dxdy ,
D : x  1, y   x 2 , y  x .

54 x 2 y 2  150x 4 y 4 dxdy ,

D
y  96 x 3 y 3 dxdy ,
D : x  1, y   x 3 , y  x .
D : x  1, y   x 3 , y  3 x .
5.29.

2 2
D
3

D 36 x
D : x  1, y   x 3 , y  3 x .
D
5.27.

12 x 2 y 2  16 x 3 y 3 dxdy ,

D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
5.23.
3 3
D 44xy  16 x y dxdy,
D : x  1, y  x 2 , y  3 x ,x  0  .
D : x  1, y  x 3 , y  3 x .
5.21.

4 xy  16 x 3 y 3 dxdy ,

D
D : x  1, y   x 2 , y  x .
5.19.

4 xy  176 x 3 y 3 dxdy ,

5.30.

9 x 2 y 2  25 x 4 y 4 dxdy ,

D
x , x  0  .
D : x  1, y  x 3 , y  3 x .
6. Вычислить двойной интеграл в полярных координатах.
2
6.1.

dx
2 x 2
 x2  y2

e
 2  2 x 2

dy.
R
6.2.
R
dx
R 2 x 2
0 

tg x 2  y 2 dy.
154
6.3.
0

dx
 1 x
0 0
0
 
6.9.
6.6.



 R 2 x 2
3 x 2
 0
R
1 x
2
2
0


 y dy.
4 x 2
0
 4 x
2
R
x y
3 x 2
2
4 x 2
0

 R 2 x 2
0 0
2
6.16.
3
dx
2
2
.
2
6.18.
tg x  y
2
 x y
2
dy.
6.20.
x y
0

2
0
dy
2
xy

 9 x 2
2
x2  y2
dy.

ln 1  x 2  y 2 dy.

x y
4  x 2  y 2 dx.
 4 y2
2
dy .
4 y2
dy
2
x  y ctg x  y
0 0 
dx
2
2
1 x 2
2
2
2
2
R 2 x 2
dx
3
dy .
xy
dx
R
x  y cos
2
 R2  x2
1
1 x  y
R 2 x 2
dx
6.14.
x y
dy
dx
R
2
.
2
 R 2 x 2
 0
6.12.
sin x 2  y 2

dx
.
2
dy
R
0
dy
0
 3
6.19.
1 x  y
0 0 1
0
6.17.
2
dx
R
6.15.
2
1 x 2
1
6.13.
dy

dx

6.10. dx
 2  2 x 2
6.11.
1  x 2  y 2 dy.
 3
2 x 2
2

 y 2 dy.
sin x 2  y 2 dy.
dx
6.8.
 R 2 x 2
dx
R
dx
3
sin x 2  y 2 dy.
2
2
R 2 x 2
R
R 2 x 2
dx
0 dx cosx
 R 2 x 2
cos x 2  y 2 dy.
dx
R
6.7.
6.4.
x2  y2
2
R 2 x 2
R
4 x 2
2
6.5.


ln 1  x 2  y 2 

 dy.
1 x 2
1
2
.
2
.
155
0
6.21.
0
Rdx cosx
2

2
 y dy.
2
 R 2 x 2
6.23.
Rdx 0 sinx
0

 y 2 dy.
6.24.
1 x 2
0
6.25.
2
1dx 0
2
2
1  x  y dy.
6.26.
6.27.
2

dx
2

x2  y 2
dy.
0
R 2 x 2
R
6.29.
x y e
2
0
dx

 R 2 x 2
x y
2
tg x  y
2
x y
dy.
0
6.30. dx
dy.
cos x 2  y 2 dy.
1 x 2
1 x 2  y 2
2
1 x  y
9 x 2
0 dx 0 ln1 x
R
2
2
6.28.
2
R 2 x 2
0 dx 0
3
2
2
Rdx 0
1
4  x2
xy

dx
 2  2 x 2
R 2 x 2
1

6.22.
0
2
2

 y 2 dy.
R 2 x 2

dy.
dy
2
 R 2 x 2
2
x  y cos
2
2
x y
2
.
7. Вычислить площадь области D, ограниченной заданными
линиями.
7. 1. D : y  x 2  2 , x  0 , x  2 , y  x . 7.2. D : x  4  y 2 , x  y  2  0 .
7.3. D : y  4 x 2 ,9 y  x 2 , y  2 .
7.4. D : x  y 2 , x  2  y 2 .
7.5. D : y  x 2 , y   x .
x2 y2
1
7.6. D :

 1, y   x , y  0 .
4
4
2
7.8. D : y 2  4  x , y  x  2 , y  2 , y  2 .
7.7. D : x  y 2 , x 
3 2
y  1.
4
3
7.9. D : x  y 2 , y  x 2  1 .
4
2 2
7.11. D : x  y , y  4  x .
7.10. D : y  6 x 2 , x  y  2 , x  0 .
7.13. D : xy  1, x 2  y , y  2 , x  0 .
7.14. D : x  2 y 2 , x  1  3 y 2 , x  0 , y  0 .
7.15. D : y  2  x 2 , y  x 2 .
7.16. D : y 2  8 / x 2  4 , x 2  4 y .
7.17. D : y  x 2  4 x , y  x  4 .
7.18. D : y  x 2  1, y  x  3 .
7.12. D : y 2  x  2 , x  2 .


156
7.20. D : y 2  4 x , x 2  4 y .
7.22. D : y  cos x , y  x  1, y  0 .
7.19. D : 2 y  x , y  x  5 , x  0 .
7.21.
D : y  2 x , y  2 x  x 2 , x  2, x  0 .


7.23. D : y 2  4 x , x  8 / y 2  4 .
7.24. D : x  4  y 2 , y  3 x , x  0 .
7.25. D : y  4  x 2 , y  x 2  2 x .
7.27. D : x  y 2  1, x  y  3 .
7.26. D : y 2  4 x , x  y  3, y  0 .
7.28. D : x  cos y , x  y  1, x  0 .
7.29. D : x 2  3 y , y 2  3 x .
7.30. D : y  2 x 2  2 , y  6 .
8. Вычислить площадь области, ограниченной данными линиями.
8.1. y 2  2 y  x 2  0 ,
y 2  6 y  x2  0,
y  x / 3 , x  0.
8.4. y 2  2 y  x 2  0 ,
y 2  10 y  x 2  0 ,
y  x / 3 , y  3 x.
8.7. y 2  4 y  x 2  0 ,
y 2  10 y  x 2  0 ,
y  x / 3 , y  3 x.
8.10. y 2  2 y  x 2  0 ,
y 2  4 y  x2  0,
y  x,x  0 .
8.13. y 2  6 y  x 2  0 ,
y 2  8 y  x2  0,
y  x , x  0.
8.16. y 2  8 y  x 2  0 ,
y 2  10 y  x 2  0 ,
y  x / 3 , y  3 x.
8.2. x 2  2 x  y 2  0 ,
x2  4 x  y 2  0,
y  0 , y  3 x.
8.5. x 2  4 x  y 2  0 ,
x2  8 x  y 2  0,
y  0 , y  3 x.
8.8. x 2  4 x  y 2  0 ,
x2  8 x  y 2  0,
y  x / 3 , y  3 x.
8.11. x 2  4 x  y 2  0 ,
x2  6 x  y 2  0,
y  x / 3 , y  3 x.
8.14. x 2  6 x  y 2  0 ,
x 2  10 x  y 2  0 ,
y  x / 3 , y  3 x.
8.17. x 2  4 x  y 2  0 ,
x2  8 x  y 2  0,
y  x / 3 , y  0.
8.19. y 2  4 y  x 2  0 ,
8.20. x 2  2 x  y 2  0 ,
y 2  6 y  x2  0,
x2  4 x  y 2  0,
8.3. y 2  4 y  x 2  0 ,
y 2  8 y  x2  0,
y  x , x  0.
8.6. y 2  4 y  x 2  0 ,
y 2  8 y  x2  0,
x  0 , y  3 x.
8.9. y 2  2 y  x 2  0 ,
y 2  10 y  x 2  0 ,
y  x / 3 , x  0.
8.12. y 2  4 y  x 2  0 ,
y 2  8 y  x2  0,
y  x / 3 , x  0.
8.15. x 2  2 x  y 2  0 ,
x2  6 x  y 2  0,
y  x / 3 , y  3 x.
8.18. x 2  2 x  y 2  0 ,
x2  8 x  y 2  0,
y  x / 3 , y  3 x.
8.21. y 2  2 y  x 2  0 ,
y 2  4 y  x2  0,
157
y  x , x  0.
y  x , x  0.
8.22. y 2  6 y  x 2  0 ,
8.23. x 2  4 x  y 2  0 ,
y 2  10 y  x 2  0 ,
y  x , x  0.
8.25. y 2  2 y  x 2  0 ,
x2  8 x  y 2  0,
y  x , x  0.
8.26. x 2  2 x  y 2  0 ,
x 2  10 x  y 2  0 ,
y  0 , y  3 x.
y 2  4 y  x 2  0,
x  0 , y  3 x.
8.28. y 2  4 y  x 2  0 ,
8.29. x 2  2 x  y 2  0 ,
y 2  6 y  x2  0,
x  0 , y  3 x.
x 2  4 x  y 2  0,
y  x / 3 , y  3 x.
y  x / 3 , y  3 x.
8.24. y 2  6 y  x 2  0 ,
y 2  8 y  x2  0,
y  x / 3 , y  3 x.
8.27. x 2  2 x  y 2  0 ,
x2  6 x  y 2  0,
y  0, y  x / 3.
8.30. x 2  2 x  y 2  0 ,
x2  6 x  y 2  0,
y  x , y  0.
9. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
9.1. 2 x  3 y  12  0 , 2 z  y 2 , x  0 , y  0 , z  0 .
9.2. z  10  x 2  2 y 2 , y  x , x  1, y  0 , z  0 .
9.3. z  x 2 , x  y  6 , y  2 x , x  0 , y  0 , z  0 .
9.4. z  3 x 2  2 y 2  1, y  x 2  1, y  1, z  0 .
9.5. 3 y  x , y  x , x  y  z  10, y  1, z  0 .
9.6. z  x 2  2 y 2 , y  x , x  0 , y  1, z  0 .
9.7. z  y 2 , x  y  1, x  0 , z  0 .
9.8. y 2  x , x  3, z  x , z  0 .
9.9. x  y 2 , x  1, x  y  z  4 , z  0 .
9.10. z  2 x 2  y 2 , x  y  1, x  0 , y  0 , z  0 .
9.11. y  x 2 , y  4 , 2 x  5 y  10  z , z  0 .
9.12. y  2 x , x  y  z  2, x  0 , z  0 .
9.13. y 2  1  z 2 , y  x , y   x , y  0 , z  0 .
9.14. z  x 2  y 2 , x  0 , y  0 , x  y  1, z  0 .


9.15. z  2  x 2  y 2 , x  2 y  1, x  0 , y  0 , z  0 .
9.16. z  x 2 , x  2 y  2  0 , x  y  7  0 , z  0 .
9.17. z  2 x 2  3 y 2 , y  x 2 , y  x , z  0 .
158
9.18. z  2 x 2  y 2 , y  x , y  3 x , x  2 , z  0 .
9.19. 4 y  x 2  y 2 , z  4  y .
9.20. z  2  x 2  y 2 , x 2  y 2  1, z  0 .
9.21. y  x 2 , z  0 , y  z  2 .
9.22. z 2  4  x , x 2  y 2  4 x , z  0 .
9.23. z  x , y  4 , x  25  y 2 , x  0 , y  0 , z  0 .
9.24. y  x , y  x , x  y  z  2, z  0 .
9.25. y  1  x 2 , x  y  z  3, y  0 , z  0 .
9.26. z  2 x 2  y 2 , x  y  4 , x  0 , y  0 , z  0 .
9.27. z  4  x 2 , x 2  y 2  4 , x  0 , y  0 , z  0 .
9.28. y 2  1  x , x  y  z  1, x  0 , z  0 .
9.29. y  x 2 , x  y 2 , z  3 x  2 y  6 , z  0 .
9.30. x 2  1  y , x  y  z  3, y  0 , z  0 .
10. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
10.1. y  5 x / 3, y  5 x / 9 , z  0 ,
10.2. x  y  4 , x  2 y , z  0 ,
z  5 3  x / 9.
10.3 x  y  4 , y  2 x , z  0 ,
z  3 y.
z  3 x / 5.
5
5
x , y  x, z  0,
10.4. y 
6
18
5
z
3 x .
18
10.6. x  y  6 , y  3 x , z  0 ,
z  4 y.


10.5. x  19 2 y , x  4 2 y , z  0 ,
z  y  2.
10.7. y  5 x , y  5 x / 3, z  0 ,
z  5  5 x / 3.
10.9. x  y  2 , y  x , z  0 ,
z  12 y.
10.11. x  5 y / 2 , x  5 y / 6 , z  0 ,
5
z  3 y .
6

10.13. x  y  2 , x 

y , z  0,


10.8. y  17 2 x , y  2 2 x , z  0 ,
x  z  1 / 2.
10.10. x 2  y 2  8 , y  2 x , y  0 ,
z  15x / 11.
5
5
y , x  y , z  0,
10.12. z 
6
18
5
z
3 y .
18
10.14. x 2  y 2  8 , x  2 y , x  0 ,


159
z  12x / 5
10.15. x  5 y / 3, x  5 y / 9 , z  0 ,


z  5 3  y / 9.
10.17. x  y  6 , x  3 y , z  0 ,
z  0 , z  30 y / 11.
10.16. x  y  8 , y  4 x , z  0 ,
z  3 y.
10.18. x  15 y , z  0 , x  15,

z  4 x / 5,

z  15 1  y .
10.19. x 2  y 2  50, y  5 x , z  0 ,
y  0 , z  3 x / 11.
10.21. x  16 2 y , x  2 y , z  0 ,
z  y  2.
10.23. x 2  y 2  50, x  5 y , z  0 ,
10.20. x  17 2 y , x  2 2 y , z  0 ,
z  y  1/ 2 .
10.22. y  6 3 x , y  3 x , z  0 ,
z  x  3.
10.24. x 2  y 2  18, y  3 x , z  0 ,
x  0 , z  6 y / 11.
y  0 , z  5 x / 11.
10.25. x 2  y 2  2 , y  x , z  0 ,
10.26. x  7 3 y , x  2 3 y , z  0 ,
y  0 , z  15x.
10.27. x  20 2 y , x  5 2 y , z  0 ,
x  y  1 / 2.
10.28. x 2  y 2  18, x  3 y , z  0 ,
10.29. x 2  y 2  2 , x 
x  0 , z  30 y.
y , z  0,
z  y  3.
x  0 , z  10 y / 11.
10.30. y  15 x , y  15x , z  0 ,
z  15 1  x .


11. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми,
поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
11.1.
11.2.
–
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  9 , x  0 ,
y  0 x  0 , y  0  ;
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  16 ,
x  0 , y  0 x  0 , y  0  ;
μ  2 x  y  / x 2  y 2 .
μ  x  3 y  / x 2  y 2 .


11.3.


11.4.
2
2
2
D : x  y  1, x  y  25,
x  0 , y  0 x  0 , y  0  ;
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  4 ,
x  0 , y  0 x  0 , y  0  ;
μ  x  4 y  / x 2  y 2 .
μ  x  2 y  / x 2  y 2 .
11.5.
11.6.

2



D : x  y  4 , x  y  16 , x  0 ,
y  0 x  0 , y  0  ;
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  4 ,
x  0 , y  0 x  0 , y  0  ;
μ  3 x  y  / x 2  y 2 .
μ  x  y  / x 2  y 2 .
2
2
2

2



160
11.7.
11.8.
D : x2  y 2  4, x2  y 2  9,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
D : x 2  y 2  9 , x 2  y 2  16 ,
x  0 , y  0 x  0 , y  0  ;
μ   y  4 x / x2  y 2 .
μ  2 x  5 y  / x 2  y 2 .
11.9.
11.10.
D : x2  y 2  4, x2  y 2  9,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  16 ,
x  0 , y  0 x  0 , y  0  ;
μ   y  2 x / x2  y 2 .
11.11.
D : x 2  y 2  9 , x 2  y 2  25,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
μ  x  y  / x 2  y 2 .
11.12.
D : x 2  y 2  4 , x 2  y 2  25,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
μ  2 y  x  / x 2  y 2 .
11.13.
D : x 2  y 2  4 , x 2  y 2  16 ,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
μ  2 x  3 y  / x 2  y 2 .
11.14.
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  9 ,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
μ  2 y  3 x  / x 2  y 2 .
11.15.
D : x  1, y  0 , y 2  x  y  0  ;
μ  x  y  / x 2  y 2 .
11.16.
D : x  1, y  0 , y 2  4 x  y  0 ;
μ  3x  6 y 2 .
11.17.
D : x  2, y  0 , y 2  x / 2  y  0  ;
μ  7 x 2  y.
11.18.
D : x  1, y  0 , y 2  4 x  y  0  ;
μ  2x  3 y2 .
11.19.
D : x  1 / 2, y  0 , y 2  8 x  y  0  ;
μ  7 x 2 / 2  5 y.
11.20.
D : x  2, y  0 , y 2  2 x ,  y  0  ;
μ  7 x  3 y2 .
11.21.
D : x  1, y  0 , y 2  4 x  y  0  ;
μ  7 x 2 / 8  2 y.
11.22.
D : x  2, y  0 , y 2  x / 2  y  0  ;
μ  7 x 2  2 y.
11.23.
D : x  2, y 2  2 x , y  0  y  0  ;
μ  7 x 2 / 2  6 y.
11.24.
D : x  1, y  0 , y 2  4 x  y  0  ;
















161
μ  7 x 2 / 4  y / 2.
μ  x  3 y2 .
11.25.
1.26.
μ  4x  6 y2 .
11.27.
D : x  1 / 2, y  0 , y 2  2 x  y  0  ;
μ  7 x 2 / 4  y.
11.28.
D : x  2, y  0 , y 2  x / 2  y  0  ;
μ  4x  9 y2 .
11.29.
D : x 2  y 2  9 , x 2  y 2  16 ,
x  0 , y  0 x  0, y  0 ;
μ  7 x 2 / 2  8 y.
11.30.
D : x  1, y  0 , y 2  4 x  y  0  ;
D : x  2, y  0 , y 2  x / 2  y  0  ;

D : x  2, y  0 , y 2  2 x  y  0  ;
μ  6 x  3 y2 .

μ  2 y  5 x  / x 2  y 2 .
12. Расставить
пределы интегрирования в тройном интеграле
f  x , y ,z  dxdedz, если область V задана ограничивающими ее

V
поверхностями . Изобразить область интегрирования.
12.1. V : x  4 , y  x / 4 , z  0 , z  4 y 2 .


12.2. V : x  0 , y  3 x , y  3, z  0 , z  2 x 2  y 2 .
12.3. V : x  0 , y  4 x , y  8 , z  0 , z  3 x 2  y 2 .
12.4. V : x  0 , y  5 x , y  10, z  0 , z  x 2  y 2 .


12.5. V : y  x , y   x , y  2 , z  0 , z  3 x 2  y 2 .
12.6. V : x  1, y  2 x , y  3 x , z  0 , z  2 x 2  y 2 .


12.7. V : x  2 , y  0 , z  0 , y  3 x , z  4 x 2  y 2 .
12.8. V : x  0 , y  2 x , y  4 , z  0 , z  10  x 2  y 2 .
12.9. V : x  3, y  0 , z  0 , y  2 x , z  4 y .
12.10. V : x  0 , y  0 , z  0 , 2 x  3 y  6 , z  3  x 2  y 2 .
12.11. V : x  0 , y  0 , z  0 , x  y  4 , z  16  x 2  y 2 .
12.12. V : x  0 , y  0 , z  0 , 5 x  y  5, z  x 2  y 2 .
12.13. V : x  2 , y  4 x , y  3 x , z  0 , z  4.


12.14. V : x  1, y  3 x , z  0 , y  0 , z  2 x 2  y 2 .
162
12.15. V : x  1, y  4 x , z  0 , z  3 y .
12.16. V : x  3, y  x , y  0 , z  0 , z  3 x 2  y 2 .
12.17. V : y  2 x , y  2 , z  0 , z  2 x .
12.18. V : x  0 , y  x , y  5 , z  0 , z  2 x 2  y 2 .
12.19. V : x  0 , y  2 x , y  1, z  0 , x  y  z  3.
12.20. V : x  0 , y  3 x , y  3, z  0 , x  3 z .
12.21. V : x  5 , y  x / 5 , y  0 , z  0 , z  x 2  5 y 2 .
12.22. V : x  2 , y  4 x , z  0 , y  2 z .


12.23. V : x  3, y  1 / 3x , y  0 , z  0 , z  1 / 2 x 2  y 2 .
12.24. V : y  x , y  2 x , y  1, z  0 , z  x 2  4 y 2 .
12.25. V : x  0 , y  0 , z  0 , x  y  1, z  3 x 2  2 y 2 .
12.26. V : x  0 , y  0 , z  0 , 3 x  2 y  6 , z  x 2  y 2 .
12.27. V : x  0 , y  0 , z  0 , x  y  2, z  4  x 2  y 2 .
12.28. V : x  0 , y  0 , z  0 , x  y  3, z  9  x 2  y 2 .
12.29. V : x  0 , y  0 , z  0 , 3 x  4 y  12, z  6  x 2  y 2 .
12.30. V : x  0 , y  x , z  0 , y  3, z  18  x 2  y 2 .
13. Вычислить тройной интеграл.
13.1.
2
 x  y  z dxdydz, V : 1  x  0, 0  y  1, 2  z  3.
V
13.2.
 x  y
2

 2 z dxdydz, V : 1  x  2,  2  y  3, 0  z  1.
V
13.3.
 x  y  z dxdydz,
V : 0  x  3, 0  y  1,  2  z  1.
 x  y  z dxdydz,
0  x  1,  1  y  0 , 1  z  2.
V
13.4.
V
13.5.
 2 x  y
2

 z dxdydz, V : 1  x  5, 0  y  2,  1  z  0.
V
13.6.
 2 xy
V
2
zdxdydz, V : 0  x  3,  2  y  0 , 1  z  2.
163
13.7.
 5 xyz dxdydz,
2
V
13.8.
 x
V :  1  x  0 , 2  y  3, 1  z  2.

2
 2 y 2  z dxdydz, V : 0  x  1, 0  y  3,  1  z  2.
V
13.9.
 x  2 yzdxdydz,
V
13.10.
 2 x
2
V :  2  x  0 , 0  y  1, 0  z  2.

 y  z 3 dxdydz, V : 0  x  1,  2  y  1, 0  z  1.
V
13.11.
 x
2
yz 2 dxdydz, V : 0  x  2, 1  y  2,  1  z  0.
V
13.12.
 x  y  z dxdydz,
V : 0  x  4 , 1  y  3,  1  z  5.
V
2

dxdydz, V :  1  x  2, 0  y  1, 1  z  2.
x

2
y

3
z

V
13.14.  3 x 2  2 y  z dxdydz, V : 0  x  1, 0  y  1,  1  z  3.
V
13.15.  x  yz 2 dxdydz, V : 0  x  1, 0  y  2,  1  z  3.
13.13.
V
13.16.
 xy  3 z dxdydz, V :  1  x  1, 0  y  1, 1  z  2.
V
2

dxdydz, V : 0  x  2, 0  y  1,  1  z  3.
xy

z

V
13.18.  x 3  yzdxdydz, V :  1  x  2, 0  y  1, 0  z  1.
V
13.19.  x 2  y 2  z dxdydz, V : 0  x  2,  1  y  0 , 0  z  1.
V
13.20.  2 x 2  3 y  z dxdydz, V : 2  x  3,  1  y  2, 0  z  4.
13.17.
V
13.21.

x 2 yzdxdydz, V :  1  x  2, 0  y  3, 2  z  3.
V
13.22.
 x
V
2

 y 2  4 z dxdydz, V :  1  x  1, 0  y  2,  1  z  1.
164
13.23.
 x
2

 y 2  z 2 dxdydz, V : 0  x  3,  1  y  2, 0  z  2.
V
13.24.
 x
2 2 2
y z dxdydz, V :  1  x  3, 0  y  2,  2  z  5.
V
13.25.
 x  yzdxdydz, V : 0  x  1,  1  y  4, 0  z  2.
V
13.26.
 x  y
2

 z 2 dxdydz, V :  2  x  0 , 1  y  2, 0  z  5.
V
13.27.

xy  z 3 dxdydz, V : 0  x  1,  1  y  2, 0  z  3.

V
13.28.

V
13.29.

x 3 yzdxdydz , V :  1  x  2, 1  y  3, 0  z  1.
xy 2 zdxdydz, V :  2  x  1, 0  y  2, 0  z  3.
V
13.30.
 xyz dxdydz,
2
V : 0  x  2,  1  y  0 , 0  z  4.
V
14. Вычислить тройной интеграл.
14.1.

14.2.
dxdydz
5
x y z

1





V
 16 8 3 
;
x y z
   1,
16 8 3
x  0 , y  0 , z  0.

V
14.3.
 5 x  3 z dxdydz;


2

V : y  x , y  0 , x  1,
;
6

 x y z
V 1   
dxdydz

z  x 2  15 y 2 , z  0.
V:
14.4.
14.5.
14.6.

V
V : z  x 2  3 y 2 , z  0,
y  0 , x  1, y  x.
;
4

 x y z
V 1   
dxdydz
3 4 8
x y z
V :    1,
3 4 8
x  0 , y  0 , z  0.

3 5
x y z
   1,
8 3 5
x  0 , y  0 , z  0.
V:
15x  30 z dxdydz;
8
ydxdydz;

V
V : y  15x , y  0 , x  1,
z  xy, z  0.
165
14.7.
1 2 x3 dxdydz;

V
14.8.
14.9.
V : y  36 x , y  0 , x  1,
V : y  x , y  0 , x  1,
V : z  10 y , x  y  1,
z  xy , z  0.
z  5 x 2  y 2 , z  0.
x  0 , y  0 , z  0.
14.10.
14.11.
14.12.

V
8 y  12z dxdydz;
V : z  3x 2  2 y 2 , y  x,
y  0 , x  1, z  0.
14.13.

V
 x  y dxdydz;
3 x  4 y dxdydz;

V

V
 27  54 y 3 dxdydz;





V
V
V : y  x , y  0 , x  1,
z  xy , z  0.
z  xy , z  0.
14.14.

V
y 2 dxdydz;
V : z  103 x  y , x  0 ,
x  y  1, y  0 , z  0.
z  30 x 2  60 y 2 , z  0.
xyzdxdydz ;

4  8 z 3 dxdydz;

V : y  x , y  0 , x  1,
V : y  x , y  0 , x  1,
14.16.


3x 2  y 2 dxdydz;

V
14.15.
631  2

V
V : y  x , y  0 , x  1,
z  xy , z  0.
14.17.

 x 2  4 y 2 dxdydz;


V
14.18.
;
5

 x y z 
V 1  

dxdydz

V : y  x, y  0 , x  2,
z  xy, z  0.
V : z  202 x  y , x  y  1,
x  0,
y  0 , z  0.
V:
14.19.
14.20.
14.21.

V
21xzdxdydz;

y dxdydz ;

V
x 2 zdxdydz ;
6
4 16 
x y z
   1,
6 4 16
x  0 , y  0 , z  0.
;
5

x y z

V 1   
dxdydz
V : y  x, y  0 , x  2,
z  xy, z  0.
V : y  3 x , y  0 , x  2,
z  xy, z  0.
10 8 3 
x y z
V :    1,
10 8 3
x  0 , y  0 , z  0.
14.22.
14.23.
14.24.

V
 3 x 2  y 2 dxdydz;




V : z  10 x , y  0 , x  1,
z  xy, z  0.
xdxdydz;

V
V : y  10 x , y  0 , x  1,
z  xy, z  0.



V
60 y  90 z dxdydz;
V : x  1, y  0 , y  x ,
z  x 2  y 2 , z  0.
166
14.25.
14.26.

V

V
5
 10
 x  dxdydz;
3
 3
15 y 2  z 2 dxdydz;


V : y  9 x , y  0 , x  1,
V : z  x  y , x  y  1,
x  0 , y  0 , z  0.
z  xy , z  0.
14.28.

V
14.27.
3 y 2 dxdydz;
14.29.
1 2 x 2 dxdydz;
V
V : y  2 x, y  0 , x  2,
z  xy, z  0.
V : y  9 x , y  0 , x  1,
z  xy , z  0.
9  18 z dxdydz;

V
V : y  4 x , y  0 , x  1,
z  xy , z  0.
14.30.
;
4

 x y z
V 1   
dxdydz
 2 4 6
x y z
   1,
2 4 6
x  0 , y  0 , z  0.
15. Вычислить тройной интеграл в цилиндрических или сферических
координатах.
15.1.

V
15.2.

V
15.3.

ydxdydz
x2  y2
xdxdydz
x2  y2
, V : x 2  y 2  2 x , x  z  2, y  0 , z  0.
, V : x 2  y 2  16 y , y  z  16 , x  0 , z  0.
x 2  y 2 dxdydz, V : x 2  y 2  2 x , x  z  2, z  0.
V
15.4.
15.5.
15.6.

V
xd xdydz , V : x

V

V
15.7.
15.8.
xydxdydz, V : 2  x 2  y 2  z 2  8 , x 2  y 2  z 2 , x 0 , y 0 , z0.

V
xdxdydz
x2  y 2  z 2
2


 2 y 2  z 2 , x 4 , x 0.
, V : 1 x 2  y 2  z 2  9 , y x , y 0 , z0.
xdxdydz, V : z  18  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 , x 0.
y 2 dxdydz
, V : x 0 , z0 , y 
2
2
2

x  y z
V
3 x , 4  x 2  y 2  z 2  36.
167
15.9.

V
15.10.
y 2 dxdydz
x 2  y 
2 3
x 2 dxdydz

V


, V : y 0 , y  3 x , z  3 x 2  y 2 , z  3.
, V : x 2  y 2  z 2  16 , z0.
x 2  y 2  z 2 3
xzdxdydz
1
15.11.
x , z  18.
, V : 2x 2  y 2  z , y 0 , y 
 2 2
3
x y
xydxdydz
15.12.
, V : x 2  y 2  z , y 0 , y x , z  4 , z  0 .
x2  y2
V
zdxdydz
15.13.
, V : x 2  y 2  4 y , x  y  z  4 , z  0.
x2  y2
V
V



15.14.
x 2  y 2  z 2 ydxdydz, V : x 2  y 2  z 2  4 , x 0 , y 0 , z0.

V
15.15.
 y


x 2  y 2 dxdydz, V : z0 , z  2 , y   x , z 2  4 x 2  y 2 .
V
15.16.

V
15.17.

ydxdydz
x2  y2
, V : x 2  y 2  2 y , x 2  y 2  4 y , x 0 , z0 , z  6.
x 2  y 2  z 2 dxdydz, V : x 2  y 2  z 2  36 , y 0 , z0 , y   x.
V
15.18.

V
xdxdydz
x2  y2
, V : x 2  y 2  2 x, x 2  y 2  4 x, z  0, z  4, y  0,
y   x.
15.19.

V
15.20.

zdxdydz
x2  y 2  z 2
, V : x2  y 2  z 2  9, y  0, y 
1
x , z  0.
3
x 2  y 2 dxdydz, V : x 2  2 x  y 2  0 , y  0 , z  0 , x  z  2.
V
15.21.

V
z 2 dxdydz, V : 1  x 2  y 2  36 , y  x ,
x  0, z  0, z  2.
168
15.22.
15.23.
15.24.
15.25.
15.26.

V

V

V
xdxdydz, V : x 2  y 2  z 2  8 , x 2  z 2  y 2 , x  0.
ydxdydz, V : 4  x 2  y 2  z 2  16 , y  3 x , y  0 , z  0.
ydxdydz, V : z 

V

V
15.27.

V
15.28.

V
15.29.
ydxdydz, V : x 2  y 2  z 2  32, x 2  z 2  y 2 , y  0.

8  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 , y  0.
x 2 dxdydz, V : 1  x 2  y 2  z 2  16 , y  0 , y  x , z  0.
dxdydz
, V : x 2  y 2  4 y , x  z  4 , z  0.
x2  y2
ydxdydz
x2  y 2  z 2
, V : 4  x 2  y 2  z 2  16 , y  3 x , y  0 , z  0.
z x 2  y 2 dxdydz, V : x 2  y 2  2 x , y  0 , z  3, z  0.
V
15.30.

V
xdxdydz
x2  y 2  z 2
, V : 1  x 2  y 2  z 2  4 , x  0 , y  x , y  0 , z  0.
16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела,
ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.
16.1. x  0 , y  0 , z  0 , x  y  2, x 2  y 2  z .
16.2. x  0 , y  0 , z  0 , x 2  y 2  4 , x 2  y 2  z .
16.3. z  0 , x 2  y 2  4 , x 2  y 2  z .
16.4. z  0 , x  y  2, z  x 2 , y  0.
16.5. z  0 , y  z  2, x 2  y 2  4.
16.6. y  0 , z  0 , x  y  0 , 2 x  y  2, 4 z  y 2 .
16.7. x  0 , y  0 , z  0 , 2 x  y  2, z  y 2 .
16.8. z  0 , y 2  x , x  2 y 2  1, z  1  y 2 .
168
16.2. x  0 , y  0 , z  0 , x 2  y 2  4 , x 2  y 2  z .
16.3. z  0 , x 2  y 2  4 , x 2  y 2  z .
16.4. z  0 , y  2 , z  x 2 .
16.5. z  0 , y  z  2, x 2  y 2  4.
16.6. y  0 , z  0 , x  y  0 , 2 x  y  2, 4 z  y 2 .
16.7. x  0 , y  0 , z  0 , 2 x  y  2, z  y 2 .
16.8. z  0 , y 2  x , x  2 y 2  1, z  1  y 2 .
16.9. x  0 , y  0 , z  0 , z  9  x 2 , y  3  x.
16.10. x  0 , z  0 , x  y  4 , z  4 y .
16.11. z 2  4  x. x 2  y 2  4 x.
16.12. z  4  y 2 , x 2  y 2  4 , z  0.
16.13. x 2  y 2  1, z  2  x  y , z  0.
16.14. z  y 2 , x  0 , z  0 , x  y  2.
16.15. y  0 , z  0 , z  x , x  9  y 2 , x  25  y 2 .
16.16. z  0 , x 2  y 2  9 , z  5  x  y.
16.17. z  0 , z  x , x  4  y 2 .
16.18. y  0 , x  y  2, z  x 2 .
16.19. y  0 , z  0 , y  4 , z  x , x  25  y 2 .
16.20. z  0 , x 2  y 2  9 , z  y 2 .
16.21. x  0 , z  0 , y  x , z  1  x 2  y 2 .
16.22. x 2  y 2  4 , z  4  x  y , z  0.
16.23. z  0 , z  x 2 , x  2 y  2  0 , x  y  7.
16.24. x  0 , z  0 , z  y , x  4 , y  25  x 2 .
16.25. z  0 , z  4  x , x  2 y , y  2 x .
16.26. y  0 , z  0 , 2 x  y  0 , x  y  9 , z  x 2 .
16.27. y  0 , z  0 , x  4 , y  2 x , z  x 2 .
16.28. y  0 , z  0 , y  2 x , y  3, z  y .
16.29. y  0 , z  0 , x  3, y  2 x , z  y 2 .
169
16.30. z  0 , y 2  2  x , z  3 x.
17. Тело V задано ограничивающими его поверхностями,
μ – плотность. Найти массу тела.


17.1. 25 x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  4 ,
x  0 , y  0 , z  0 ;


x  0, y  0, z  0,   2 x2  y 2 .
17.2. x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  4 z 2 ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 , z  0 ;
μ  10 z .
17.3. x 2  y 2  1, x 2  y 2  6 z ,
x  0 , y  0 , z  0 ,  x  0 , y  0 ;
μ  90 y.
17.4. x 2  y 2  z 2  16 , x 2  y 2  4 ,
17.5. x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  9 z 2 ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 , z  0 ;
μ  10 z .
17.6. x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  z ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 ;
μ  35 z .
17.7. x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  1,
17.8. x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  4 ,
x  0, y  0, z  0,
x2  y 2  1;
x2  y 2  4;
μ z.

x  0 , y  0 , z  0 ; μ  5 x 2  y 2
μ 6 z .
/ 2.
17.9. x 2  y 2  z 2 / 49 , x 2  y 2  z / 7 ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 ; μ  10 z .
μ  10 z .
17.10. x 2  y 2  1, x 2  y 2  3 z ,
x  0 , y  0 , z  0 ,  x  0 , y  0 ;
μ  15 x.
17.11. 16 x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  1,
x  0 , y  0 , z  0 ,  x  0 , y  0 ;
17.12. x 2  y 2  z 2  16 , x 2  y 2  9 z 2 ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 ;
μ  5 z.




μ  5 x2  y2 .
17.13. x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  1,
x2  y 2  1,
x  0 ,  x  0 ;
μ4 z.
x2  y 2  4,
y  0,
 y  0 ;
μ z.
17.15. x 2  y 2  16 z 2 / 49 ,
x2  y 2  4 z / 7 , x  0, y  0,
x  0 , y  0 ; μ  80 yz .

17.14. x 2  y 2  z 2  9 , x 2  y 2  4 ,

17.17. 36 x 2  y 2  z 2 ,
x 2  y 2  1, x  0 , z  0 ,
17.16. x 2  y 2  z 2 / 25 ,
x 2  y 2  z / 5, x  0 , y  0 ,
x  0 , y  0 ;

μ  14 yz .

17.18. 9 x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  4 ,
x  0 , y  0 , z  0 , x  0 , y  0 , z  0 ;


μ  5 x 2  y 2 / 3.
170
x  0 , z  0 ;


μ  5 x 2  y 2 / 6.
17.19. x 2  y 2  4 , x 2  y 2  8 z , x  0 ,
y  0 , z  0 ,  x  0 , y  0 ; μ  5 x.
17.20. x 2  y 2  1, x 2  y 2  z , x  0 ,
y  0 , z  0 ,  x  0 , y  0 ; μ  10 y.
17.21. x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  z 2 ,
x  0, y  0, z  0,
x  0 , y  0 , z  0 ; μ  6 z.
17.22. 64 x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  4 ,
y  0 , z  0 ,  x  0 , y  0 ;
17.23. x 2  y 2  4 , x 2  y 2  4 z ,
x  0, y  0, z  0,
x  0 , y  0 ; μ  5 y.
17.24. x 2  y 2  1, x 2  y 2  2 z ,
x  0, y  0, z  0,
x  0 , y  0 ; μ  10 x.
17.25. x 2  y 2  z 2  1, x 2  y 2  z 2 ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 , z  0 ;
μ  32 z .
17.26. x 2  y 2  z 2  1, x 2  y 2  4 z 2 ,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 , z  0 ;
μ  20 z .
17.27. x 2  y 2  z 2  9 , x 2  y 2  4 ,
17.28. x 2  y 2  z 2  16 , x 2  y 2  4 ,
x2  y 2  4,




μ  5 x2  y 2 / 4,
z  0 ,  z  0 ;
μ  2 z.
x2  y 2  4;
μ2z.
17.29. x 2  y 2  4 z 2 / 49 , x 2  y 2  2 z / 7 , 17.30. x 2  y 2  4 z 2 / 25,
x  0 , y  0 ,  x  0 , y  0 ;
x 2  y 2  2 z / 5, x  0 , y  0 ,
μ  20 xz .
x  0 , y  0 ; μ  28 xz .
18. Вычислить координаты центра масс однородного тела,
занимающего область V, ограниченную поверхностями.
18.1. V : 4 y  x 2  z 2 , x 2  z 2  16 , y  0.
18.2. V : y 2  z 2  8 x , x  2.
18.3. V : z  x 2  y 2 , z  36.


18.4. V : z  3 x 2  y 2 , x 2  y 2  9 , z  0.
18.5. V : x  2 y 2  z 2 , y 2  z 2  4 , x  0.
18.6. V : x 2  z 2  4 y , y  9.
171
18.7. V : x  5 y 2  z 2 , x  20.
18.8. V : x 2  z 2  y , x 2  z 2  10 , y  0.
18.9. V : x  6 y 2  z 2 , y 2  z 2  9 , x  0.


18.10. V : z  8 x 2  y 2 , z  32.
18.11. V : y  3 x 2  z 2 , y  9.
18.12. V : x 2  z 2  9 y , x 2  z 2  4 , y  0.
18.13. V :
x 2  y 2  3 z , x 2  y 2  4 , z  0.
18.14. V : x 2  z 2  6 y , y  8.
18.15. V : 8 x  y 2  z 2 , x  1 / 2.
18.16. V : y 2  z 2  2 x , y 2  z 2  4 , x  0.
18.17. V : 3 x 2  z 2  y , x 2  z 2  16 , y  0.
18.18. V : y 2  z 2  3 x , x  9.
18.19. V : x 2  z 2  y , y  4.
18.20. V : y 2  z 2  x , y 2  z 2  9 , x  0.
18.21. V : x  0 , y  0 , z  0 , x  y  z  3.
18.22. V : z  2 x 2  y 2 , x 2  y 2  9 , z  0.
18.23. V : x 2  y 2  2 z , z  3.
18.24. V : x 2  y 2  z , z  4.
18.25. V : x 2  y 2  z , x 2  y 2  4 , z  0.


18.26. V : x  6 y 2  z 2 , y 2  z 2  3, x  0.
18.27. V : y  3 x 2  z 2 , x 2  z 2  36 , y  0.


18.28. V : x  7 y 2  z 2 , x  28.
18.29. V : 2 x 2  y 2  z , z  8.


18.30. V : 5 x 2  y 2  z , x 2  y 2  2 , z  0.
19. Вычислить момент инерции относительно указанной оси
координат однородного тела, занимающего область V,
ограниченную данными поверхностями. Плотность тела
δ принять равной 1.
172


19.1. V : z  2 x 2  y 2 , z  2 , Oz . 19.2. V : x 2  y 2  z 2 , z  3, Oz .
19.3. V : x  1  y 2  z 2 , x  0 , Ox. 19.4. V : x 2  y 2  z , z  3, Oz .
19.5. V : y  4  x 2  z 2 , y  0 , Oy . 19.6. V : x 2  z 2  y 2 , x 2  z 2  4 , y  0 , Oy .


19.7. V : x  3 y 2  z 2 , x  3, Ox. 19.8. V : x 2  z 2  2 y , y  2 , Oy .
19.9. V : z  9  x 2  y 2 , z  0 , Oz . 19.10. V : x 2  y 2  z 2 , x  2 , Ox.
2
2
19.11. V : 4 x 2  y 2  z , z  2 , Oz . 19.12. V : x  y  2 z , z  2 , Oz .


19.13. V : z  3 y 2  x 2 , z  3, Oz . 19.14. V : 2 y 2  z 2  x , x  2 , Ox.


19.15. V : y 2  x 2  z 2 , y  4 , Oy . 19.16. V : 3 x 2  z 2  y , y  3, Oy .
19.17. V : x  y 2  z 2 , x  2 , Ox. 19.18. V : z  3  x 2  y 2 , z  0 , Oz .
19.19. V : x 2  z 2  y 2 , y  2 , Oy . 19.20. V : y  4 x 2  z 2 , y  2 , Oy .
19.21. V : y 2  z 2  x , x  9 , Ox. 19.22. V : x 2  z 2  y , y  3, Oy .
19.23. V : x 2  y 2  z 2 , x  2 , Ox. 19.24. V : x 2  y 2  z 2 , y 2  z 2  1, x  0 , Ox.
19.25. V : x 2  z 2  y , y  2 , Oy .
19.26. V : x  y 2  z 2 , y 2  z 2  1, x  0 , Ox.
19.27. V : x 2  y 2  z 2 , x  3, Ox.
19.28. V : x 2  y 2  z 2 , y 2  z 2  4 , x  0 , Ox.
19.29. V : x  y 2  z 2 , x  3, Ox.
19.30. V : 2 z  y 2  z 2 , y 2  x 2  4 , z  0 , Ox.
20. Вычислить криволинейный интеграл.
20.1.
20.2.
L xydl, где L – контур квадрата со сторонами x  1,
L
20.3.
y  1.
y 2 dl , где L – первая арка циклоиды x  t  sint , y  1  cost .
 xydl, где LABCD – контур прямоугольника с вершинами A(2, 0),
L ABCD
B(4, 0), C(4, 3),D(2, 3).
20.4.
20.5.
L
ydl , где L – дуга параболы y 2  2 x , отсеченная параболой x 2  2 y .

L
OA
dl
2
2
x  y 4
, где LOA – отрезок прямой, соединяющий точки О(0, 0)
173
и А(1, 2).

y 2  x 2 xy
20.6.
L x 2  y 2 2 dl , где L – дуга кривой ρ  9 sin 2φ, 0  φ  π / 4 .
20.7.
 xydl, где LOABC – контур прямоугольника с вершинами О(0, 0),
LOABC
A(4, 0), B(4, 2), C(0, 2).
20.8.
L
dl
, где L AB – отрезок прямой, заключенный между точками А(4, 0)
x y
AB
и В(6, 1).
20.9.
2

x 2  y 2  dl , где L – первая четверть окружности ρ 2 .

L
20.10.
dl

L
2
2
x y z
AB
2
, где L AB – отрезок прямой, соединяющий точки
А(1, 1, 1) и В(2, 2, 2).
20.11.

x  y dl где L – окружность

2  z 2  2 z  x 2  y 2 dl , где L – дуга кривой


x2  y 2  2x .
L
20.12.
L
x  t cost , y  t sint , z  t , 0  t  2π .
20.13.
 x
2

 y 2 dl где L – окружность x 2  y 2  4 .
L
20.14.
dl

L
2
OB
8x  y
2
, где LOB – отрезок прямой, соединяющий точки
А(0, 0) и В(2, 2).
20.15.
L x
2

 y 2  z 2 dl , где L – дуга кривой
x  cost , y  sin t , z  3t , 0  t  2π .
y
20.16. arctg dl , где L – дуга кардиоиды ρ  1  cos φ, 0  φ  π / 2 .
x

L
174
20.17.
20.18.
L
2 y dl , где L – первая арка циклоиды x  2t  sin t , y  21  cost  .

4 3 x  3 y dl , где L AB – отрезок прямой, заключенный между

L AB
точками А(–1, 0) и В(0, 1).
20.19.
dl
, где L AB – отрезок прямой, заключенный между точками
5 x  y 
L
AB
А(0,4) и В(4, 0).
20.20.
y

2
x y
L
20.21.

2
dl , где L – дуга кардиоиды ρ  21  cosφ, 0  φ  π / 2 .
ydl , где L AB – дуга астроиды x  cos3 t , y  sin 3 t , заключенная
L AB
между точками А (1, 0) и В(0, 1).
20.22.

ydl , где LOB – дуга параболы y 2  2 x / 3 между точками О(0, 0) и
LOB
В( 35 / 6 , 35 / 3 ).
 x  y dl , где LABO – контур треугольника с вершинами А(1, 0),
20.23.
L ABO
В(0, 1), О(0, 0).
20.24.
z2
L x 2  y 2 dl ,
где
L–
первый
виток
винтовой
линии
x  2 cost , y  2 sin t , z  2t .
 x  y dl , где LABO – контур треугольника с вершинами О(0, 0),
20.25.
LOAB
А(–1, 0), В(0, 1).
20.26.
 x  y dl ,
где
LABO – дуга лемнискаты Бернулли
L
π / 4  φ π / 4.
20.27.

L
x 2  y 2 dl , где L – окружность x 2  y 2  2 y .
ρ 2  cos 2φ,
175
 xydl, где L – контур прямоугольника с вершинами О(0, 0), А(5, 0),
20.28.
LOABC
В(5, 3), С(0, 3).
 x
20.29.

 y 2 dl , где L – окружность x 2  y 2  4 x .
2
L

4 3 x  33 y dl , где

20.30.
L – дуга астроиды x  cos3 t , y  sin 3 t между
L AB
точками А(1, 0) и В(0, 1).
21. Вычислить криволинейный интеграл.
21.1.
dl
L
2
x y
AB
2
, где L AB – отрезок прямой, соединяющий точки А(0, –2),
В(4, 0).
21.2.
x
dl
2
L
 y2  z2
,
где
L–
первый
виток
винтовой
линии
x  5 cost , y  5 sin t , z  t .
 yzdl, где
21.3.
LOABC – контур прямоугольника с вершинами в точках
LOABC
О(0, 0,0), А(0, 4, 0), В(0, 4, 2), C(0, 0, 2).
21.4.
21.5.
L
x 2 dl , где L – дуга верхней половины окружности x 2  y 2  a 2 .

z 2  y 2 dl , где L – окружность z 2  y 2  4 .

L
21.6.
L y dl , где L – первая арка циклоиды x  3t  sint , y  31  cost .
2
176
21.7.

x 2  y 2 dl ,

где
L–
развертка
окружности
x  6 cost  t sin t ,
L
y  6 sin t  t cost , 0  t  2π .
x
dl
21.8.
, y  0 , соединяющий точки
, где L AB – отрезок прямой z 
2
xz
L
AB
А(0, 0, 2) и В(4, 0, 0).
21.9.
L
21.10.
2 y dl , где L – первая арка циклоиды x  at  sin t , y  a1  cost  .

x  y dl , где L – окружность
x 2  y 2  ax .
L
21.11.
z 2 dl
L x 2  y 2 , где L – первый виток винтовой линии x  9 cost , y  9 sint ,
z  9t .
21.12.
 x
2

2
 y 2 dl , где L – окружность x  3 cost , y  3 sin t .
L
L
21.13.
L ydl, где
L – дуга параболы y 2  12 x , отсеченная параболой
x 2  12 y .
21.14.

2 y 2  z 2 dl , где L – окружность x 2  y 2  z 2  a 2 , x  y.
L
L – окружность x 2  y 2  z 2  R 2 , x 2  y 2  R 2 / 4 ,
xyzdl, где
21.15.
лежащая в первом октанте.
21.16.

L
y
arctg dl , где L – часть дуги спирали Архимеда ρ  2φ, заключенная
x
внутри круга радиусом R с центром в полюсе.
21.17.
L x
2

 y 2  z 2 dl , где
y  4 sin t , z  3t .
L – первый виток винтовой линии x  4 cost ,
177
21.18.
21.19.
L
ydl , где L – дуга параболы y 2  6 x , отсеченная параболой x 2  6 y .

xdl , где L AB – дуга параболы y  x 2 от точки А(2, 4) до точки
L AB
В(1, 1).
L x  y dl , где L – первый виток лемнискаты ρ  7 cos2φ .
21.21. x 2  y 2  z 2 dl , где L – дуга кривой x  a cost , y  a sin t ,

2
21.20.
z  bt ,
L
0  t  2π .
21.22.  2 z  y 2  x 2 dl , где L – первый виток конической винтовой линии



L
x  t cost , y  t sin t , z  t .
21.23.
L x  z dl , где
21.24.

L
21.25.
21.26.
21.27.

 x x 2  y 2 dl , где L – кривая x 2  y 2


L x  y dl , где
L


L – дуга кривой x  t , y  3 / 2 t 2 , z  t 3 , 0  t  1 .
2  a2 x2  y 2  , x  0 .
L – первый виток лемнискаты ρ 2  a 2 cos 2φ .
xydl, где L – первая четверть эллипса x 2 / a 2  y 2 / b  1 .
 x  y dl , где
L – четверть окружности x 2  y 2  z 2  R 2 , y  x ,
L
лежащая в первом октанте.
21.28.
x
L
dl
2
2
y z
2
, где L – первый виток винтовой линии x  a cost ,
y  a sin t , z  bt .
21.29.
z 2 dl
L x 2  y 2 , где
z  at .
L – первый виток винтовой линии x  a cost , y  a sin t ,
178
21.30.
L
x 2  y 2 dl , где
L–
развертка окружности x  acost  t sin t ,
y  asin t  t cost , 0  t  2π .
22. Вычислить криволинейный интеграл.
22.1.

y
dx  xdy, где L AB – дуга линии y  ln x от точки А(1, 0) до точки
x
L AB
В (е, 1).
22.2.
L ydx  xdy, где
L – дуга эллипса x  3 cost , y  2 sin t , «пробегаемая » в
положительном направлении обхода.
22.3.

2 xydx  x 2 dy , где LOA – дуга параболы y  x 2 / 4 от точки О(0, 0) до
LOA
точки А(2, 1).
22.4.
 x
2
 

 y 2 dx  x 2  y 2 dy , где
L AB – ломаная линия y  x , от точки
L AB
А(–1, 1) до точки В(2, 2).
22.5.

x 2  2 xy dx  y 2  2 xy dy , где L AB – дуга параболы y  x 2 от точки

L AB
А(–1, 1) до точки В(1, 1).
22.6.

L AB
x 2 dy  y 2 dx
5
x5  3 y 5
, где L AB – дуга астроиды x  2 cos3 t , y  2 sin 3 t от
точки А(2, 0) до точки В(0, 2).
22.7.
 x
2

 y 2 dx  2 xydy, где LOA – дуга кубической параболы y  x 3 от
LOA
точки О(0, 0) до точки А(1, 1) .
179

22.8.
2 xydx  x 2 dy  zdz , где LOA – отрезок прямой, соединяющий точки
LOA
О(0, 0, 0) и А(2, 1, –1).

22.9.
xdy  ydx, где L – контур треугольника с вершинами А(–1, 0),
L
В(1, 0), С(0, 1) при положительном направлении обхода.
22.10.

x 2  y dx  x  y 2 dy , где LACB – ломаная АСВ; А(2, 0), С(5, 0),

LOA
В(5, 3).
22.11.
 x
2
 

 y 2 dx  x  y 2 dy , где LACB – ломаная АСВ; А(1,2), В(3, 2),
L ABC
С(3, 5).
22.12.

xy 2 dx  yz 2 dy  x 2 zdz , где LOB – отрезок прямой ОВ; О(0, 0, 0) и
LOB
В(–2, 4, 5).
22.13.
 ydx  xdy, где LOA – дуга окружности x  R cost , y  R sint ; О(R, 0)
LOA
и A(0, R).
22.14.

xy  1dx  x 2 dy , где L AB – дуга параболы

y 2  4  4 x от точки
L AB
А(1, 0) до точки В(0, 2).
22.15.

xydx   y  x dy , где LOB – дуга параболы y  x 2 от точки О(0, 0) до
LOB
точки В(1, 1).
22.16.

xy  y 2 dx  xdy, где LOB – дуга параболы y  x 2 от точки

О(0, 0)
LOB
до точки В(1, 1).
22.17.

xdy  ydx, где L AB – дуга астроиды x  2 cos3 t , y  2 sin 3 t от точки
L AB
А(2, 0) до точки В(0, 2).
22.18.

L
x  2 y dx  x  y dy
где L – окружность x  2 cost , y  2 sin t
180
при положительном направлении обхода.
22.19.
 x
L
22.20.
2



y  x dx  y 2 x  2 y dy где L – дуга эллипса x  3 cost ,
y  2 sin t при положительном направлении обхода.
 xy  1dx  x ydy где LAB – дуга эллипса x  cost ,
2
y  2 sin t от
L AB
22.21.

точки А(1, 0) до точки В(0, 2).
2 xydx  x 2 dy , где L AB – ломаная ОВА;О(0, 0), В(2, 0), А(2, 1).
LOBA
22.22.
 xy  xdx  x
2
/ 2dy , где LOB – дуга параболы y 2  4 x от точки
LOB
А(0, 0) до точки В(1, 2).
22.23.

xy  1dx  x 2 ydy, где L AB – отрезок прямой АВ; А(1, 0), В(0, 2).

L AB
22.24.
 2 xydx  y dy  z dz, где LAB – дуга одного витка винтовой линии
2
2
L AB
x  cost , y  sin t , z  2t ; А(1, 0, 0) и В(1, 0, 4).
22.25.

x 2  y 2 dx  xydy, где L AB – отрезок прямой АВ; А(1, 1), В(3, 4).

L AB
22.26.
 cos ydx  sin xdy, где LAB – отрезок прямой АВ; А(2, –2),
L AB
В(–2, 2).
22.27.
ydx  xdy

L
2
x y
2
, где L AB – отрезок прямой АВ; А(1, 2), В(3, 6).
AB
22.28.

ydx   y  x dy , где L AB – дуга кубической параболы y  x 3 от точки
L AB
А(0, 0) до точки В(1, 1).
181

22.29.
xydx   y  x dy , где LOA – дуга параболы y 2  x от точки О(0, 0) до
LOA
точки А(1, 1).
 xdx  ydy  x  y  1dz, где LAB – отрезок прямой АВ; А(1, 1, 1),
22.30.
L AB
В(2, 3, 4).
23. Вычислить криволинейный интеграл.
23.1.

xy  x dx  x 2 / y dy , где

LOA – дуга параболы y  2 x от точки О(0,
LOA
0) до точки А(1, 2).
23.2.
 ydx  xdy, где
L – дуга эллипса x  a cost , y  b sin t ,«пробегаемая»
L
против хода часовой стрелки.
23.3.
 xdy, где L –
контур треугольника, образованного прямыми
L
y  x , x  2 , y  0 при положительном направлении обхода контура.
23.4.
L x  y dx  dy,
где
L–
x 2  y 2  R 2 , «пробегаемая»
дуга
верхней
половины
окружности
в положительном направлении обхода
контура.
23.5.
 x

2
 y dx, где L – контур прямоугольника, образованного прямыми
y  2,
x  0 , y  0 , x  1 при положительном направлении обхода
L
контура.
182

23.6.
4 x sin 2 ydx  y cos 2 xdy, где LOB – отрезок прямой, соединяющий
LOB
точки О(0, 0) и В(3, 6).
23.7.
 ydx  xdy,
где
L – контур эллипса
x  6 cost , y  4 sin t
при
L
положительном направлении обхода контура.
23.8.
L xdy, где L – дуга синусоиды y  sin x от точки (, 0) до точки (0, 0).
23.9.
L
y 2 dx  x 2 dy , где L – верхняя половина эллипса x  a cost , y  b sin t ,
«пробегаемая» по ходу часовой стрелки.
23.10.
 xy  y dx  xdy, где LOB – дуга параболы y  2
2
x от точки О(0, 0)
LOB
до точки В(1, 2).
23.11.
L
xdx  xydy, L – дуга верхней половины окружности x 2  y 2  2 x ,
«пробегаемая» в положительном направлении обхода контура.
23.12.

xy  x dx  x 2 / y dy ,

где LABO – ломаная АВО от точки О(0,0),
L ABO
А(1,2), В(1/2, 3) при положительном направлении обхода контура.
23.13.
 xy  y dx  xdy, где LOA – отрезок прямой от точки О(0, 0) до точки
2
LOA
А(1, 2).
183

23.14.
xdy  ydx, где LOA – дуга кубической параболы y  x 3 от точки
LOA
О(0, 0) до точки А(2, 8).
 2 y sin 2 xdx  cos2 xdy, где LAB – отрезок прямой от точки А(/4, 2)
23.15.
L AB
до
точки В(/6,1).
23.16.
2
 xy  y dx  xdy, где LOA – дуга параболы y  2 x от точки О(0, 0)
2
LOA
до точки А(1, 2).
23.17.

2 yzdy  y 2 dz , где LOBA – ломаная ОВА; О(0, 0, 0), В(0, 2, 0),
LOBA
А(0, 2, 1).
23.18.
L x / ydx  1 /  y  ady, где L – дуга циклоиды x  at  sint ,
y  a1 cost , π / 6  t  π / 3 .
23.19.

xy  x dx  x 2 / 2 dy , параболы

y  4 x 2 от точки О(0, 0) до точки
LOB
В(1, 4).
23.20.
 x  y dx  x  y dy, где LAB – дуга параболы
y  x 2 от точки
LFB
А(–1, 1) до точки В(1, 1).
23.21.

xdy, где L AB – дуга правой полуокружности x 2  y 2  a 2 от точки
L AB
А(0, –а) до точки В(0, а).
23.22.
L
y 2 dx  x 2 dy , где L – дуга верхней половины эллипса x  5 cost ,
y  2 sin t , «пробегаемая» по ходу часовой стрелки.
23.23.
L
y 2 zdx  z R 2  y 2 dy  xydz, где L – дуга кривой
x  R cost , y  R sin t ,
184
z  at / 2π , «пробегаемая» от точки пересечения ее с плоскостью
z  0 до точки пересечения ее с плоскостью z  a .
23.24.

2 xzdy  y 2 dz , где L – дуга параболы z  x 2 / 4 от точки О(0, 0, 0) до
LOA
точки А(2, 0, 1).
23.25.
 x  1 / y dy, где LAB – дуга параболы y  x
2
от точки А(1, 1) до
L AB
точки В(2, 4).
23.26.
 cos zdx  sin xdz, где LAB – отрезок прямой, соединяющий точки
L AB
А(2, 0, –2) и В(–2, 0,2).
23.27.
L ydx  xdy, где L – четверть дуги окружности x  R cost , y  R sint ,
лежащая в первом квадранте и «пробегаемая» против хода часовой
стрелки.
23.28.

2 xydx  x 2 dy , где LOA – дуга параболы x  2 y 2 от точки О(0, 0) до
LOA
точки А(2, 1).
23.29.
 xye dx  x  1e dy, где LAB – любая линия, соединяющая точки
x
x
L AB
А(0, 2) и В(1, 2).
23.30.
 x
2



 y 2 dx  x 2  y 2 dy, где L – контур треугольника с
L
вершинами А(0,0), В(1, 0), С(0,1) при положительном направлении
обхода контура.
24. Показать, что данное дифференциальное выражение является
полным дифференциалом функции U  x , y  . Найти эту функцию.
24.1.
x y
yx
dx  2 dy .
xy
y

 

24.2. 20 x 3  21x 2 y  2 y dx  3  2 x  7 x 3 dy .
185

 

24.4. y e xy  5  dx  xe xy  5  dy .
24.3. ye xy  2 sin x dx  xe xy  cos y dy .

 x

y 

dy .
dx


y
2
2
2
2



x y 

x y

24.6. 2 x  3 y 2  1 dx  2  6 xy dy .
 2 xy 2

 2x2 y




dy .
24.7.

3
dx


5
 1  x2 y2

 1  x2 y2





1

24.8.   cos 2 y  y sin 2 x  dx  x sin 2 y  cos2 x  1 dy .
2

2
2
24.9.  y 2 e xy  3 dx   2 xyexy  1dy .




x ln y  y
y ln x  x
24.10.
dx 
dy .
x
y
24.5.  x 




24.11. e x  y 1  x  y dx  e x  y 1  x  y dy .

 

24.12. 3 x 2  2 xy  y dx  x  x 2  3 y 2  4 y dy .
2
2
2
2
24.13.  2 xe x  y  sin x dx   sin y  2 ye x  y dy .



24.14. 5 y  cos x  6 xy 2 dx  5 x  6 x 2 y dy .

 

24.15. y 2 e xy  3dx  e xy 1  xy dy .

24.16. 1  cos xy ydx  1  cos xyxdy .


24.17.  y  sin x dx  x  2 y cos y 2 dy .

1 
1
24.18.  sin 2 x 
dx 
dy .

x 2 y 
xy 2

 1

 1

 cos x cos y  3 x 2 dx  
 sin x sin y  4 y dy .
24.19. 
 x y

 x y

24.20.  y / x  ln y  2 x dx  ln x  x / y  1dy .

 

24.21. e x  y  cos x dx  e x  y  sin y dy .
24.22.  y / 1  x 2 y 2  2 x dx   x / 1  x 2 y 2  6 y dy .




24.23.  y / 1  x 2 y 2  x 2 dx   x / 1  x 2 y 2  y dy .




186
24.24.
1 y
x2 y
dx 
1 2x
xy 2
dy .



dx   1  x  2 y dy .

2
 y  1  x  12

 x  1  y  12





24.26. 3 x 2  2 xy  y 2 dx  2 xy  x 2  3 y 2 dy .
 1
24.25. 

y

 

24.27. e xy  xyexy  2 dx  x 2 e xy  1 dy .
24.28. ye xy  y 2 dx  xe xy  2 xydy .
24.29.  y cos xy  2 x  3 y dx   x cos xy  3 x  4 y dy .


24.30. y sin x  y   xy cos x  y   9 x 2 dx   x sin x  y   xy cos x  y   2 y dy .
9. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1. Дана функция uM  u x , y ,z  и точки M 1 ,M 2 . Вычислить:
1) производную этой функции в точке M 1 по направлению
M 1M 2 ;
2) градиент функции в точке M 1 .




1.1. uM   ln 1  x  y 2  z 2 , M 1 1, 1, 1, M 2 3,5 , 1 .
1.2. uM   x 2  2 y 2  4 z 2  5 , M 1 1, 2 , 1, M 2  3,2 , 6  .
1.3. uM   ln x 3  y 2  z  1 , M 1 1, 3, 0 , M 2  4 ,1, 3 .
1.4. uM   x  2 y  e z , M 1  4 ,  5 , 0 , M 2 2 ,3, 4 .
1.5. uM   x y  3 xyz, M 1 2 , 2 ,  4 , M 2 1,0 ,  3 .
1.6. uM   3 x 2 yz 3 , M 1  2 ,  3, 1, M 2 5 ,2 , 0  .
3
1.7. u M   e xy  z , M 1  5 , 0 , 2 , M 2 2 , 4 ,  3.
1.8. uM   x yz , M 1 3, 1, 4 , M 2 1,  1,  1 .

3
1.9. u M   x 2  y 2  z 2 , M 1 1, 2 ,  1, M 2 0 ,1, 3 .
z
1.10. uM    x  y  , M 1 1, 5 , 0 , M 2 3,7 ,  2  .
1.11. uM   x 2 y  y 2 z  3 z , M 1 0 ,  2 ,  1, M 2 12,5 , 0  .


1.12. uM   10 / x 2  y 2  z 2  1 , M 1  1, 2 ,  2 , M 2 2 , 0 , 1 .
1.13. uM   x 2 y  y 2 z  z 2 x , M 1 1,  1, 2 , M 2 3, 4 ,  1 .
187
1.14. uM   5 xy3 z 2 , M 1 2 , 1,  1, M 2 4 ,3, 0  .
1.15. uM   ln x 2  y 2  z 2 , M 1  1, 2 , 1, M 2 3,1,  1 .


2
2
2
1.16. u M   ze x  y  z , M 1 0 , 0 , 0 , M 2 3,  4 , 2  .
  





1.17. u M  ln xy  yz  xz , M 1  2, 3,  1 , M 2 2, 1,  3 .
2
2
2
 




1.18. u M  1  x  y  z , M 1 1, 1, 1 , M 2 3, 2 , 1 .
2
2


u
M

x
y

xz
 2, M 1 1, 1,  1, M 2 2,  1, 3 .
1.19.
2
2
2


u
M

ln
1

x

y

z
, M 1 1, 1, 1, M 2 5,  4 , 8  .
1.20.


188
x y z
1.21. u M     , M 1 1,1,1, M 2 2 ,3,4  .
y z x
1.22. uM   x 3  xy 2 6 xyz, M 1 1,3,5 , M 2 4 ,2 , 2  .
x y x
1.23. u M     , M 1 2 ,2 ,2 , M 2  3,4 ,1 .
y z z
1.24. uM   e x yz , M 1 1,0 ,3, M 2 2 ,4 ,5  .
1.25. uM   xe y  ye x  z 2 , M 1 3, 0 , 2 , M 2 4 , 1, 3 .
1.26. uM   3 xy 2  z 2  xyz, M 1 1, 1, 2 , M 2 3,  1, 4  .
1.27. uM   5 x 2 yz  xy 2 z  yz 2 , M 1 1, 1, 1, M 2 9 ,  3, 9  .


1.28. uM   x / x 2  y 2  z 2 , M 1 1, 2 , 2 , M 2  3, 2 ,  1 .
1.29. uM   y 2 z  2 xyz  z 2 , M 1 3, 1,  1, M 2  2 , 1, 4  .
1.30. uM   x 2  y 2  z 2  2 xyz, M 1 1,  1, 2 , M 2 5 ,  1, 4  .
2. Найти величину и направление наибольшего изменения
функции uM  u x , y ,z  в точке M 0 x0 , y0 , z0 .
2.1. uM    x  y z 2 , M 0 0 ,1, 4  .
2.3. uM    x  z  y 2 , M 0 2 , 2 , 2  .


2.2. uM   x 2 yz , M 0 1,1, 1 .
2.4. uM   xyz, M 0 2,1, 0  .
2.5. uM   x 2 y 2  z , M 0 4 , 1,  3 .
2.7. uM   x 2  z y 2 , M 0  4 ,1,0 .
2.6. uM   xyz2 , M 0 4 ,0 , 1 .
2.8. uM   2 x 2 yz , M 0  3, 0 , 2  .
2.13. uM   y 2 z  x 2 , M 0 0 , 1, 1 .
2.15. uM   x 2 y  y 2 z , M 0 0 ,  2 , 1 .
2.17. uM   x y  z , M 0 0 , 1, 2 .
2.19. uM   xy  xz , M 0  1, 2,1 .
2.14. uM   x 2 y  z , M 0  2 , 2 , 1 .
2.16. uM   xy 2  z , M 0  1, 2 , 1 .
2.18. uM   y x  z , M 0 0 , 2,  2 .
2.20. uM   z x  y , M 0 1,  1, 0  .
2.22. uM   xyz, M 0 0 , 1,  2 .




2.9. uM   x 2 y  z 2 , M 0 3, 0 , 1
2.11. uM   xy 2 z 2 , M 0  2 , 1, 1.
2.21. uM   x 2 yz , M 0 2 , 0 , 2  .
2.23. uM   xy 2 z , M 0 1,  2 , 0  .
2.25. uM   xyz2 , M 0 3, 0 , 1 .
2.27. uM   x 2 y 2 z 2 , M 0  1, 0 , 3.
2.10. uM   x 2 yz , M 0 1, 0 , 4  .
2.12. uM   xz 2  y , M 0 2 , 2 , 1 .


2.24. uM   x 2  y z 2 , M 0 1, 3, 0  .
2.26. uM   x y 2  z 2 , M 0 1,  2, 1 .


2.28. uM   x 2  3 y 2  z 2 , M 0 0 , 0 , 1 .
189
2.29. uM   x 2 yz 2 , M 0 2 , 1,  1
2.30. uM   x 2 z  y 2 , M 0 1, 1,  2  .
3. Найти векторные линии векторного поля a .
3.1. a  9 zi  4 xk .
3.4. a  5 zi 7 xk
3.7. a  2 xi  6 zk .
3.10. a  5 zj 7 yk .
3.13. a  4yj  8 zk .
3.16. a  2 xi  8 zk .
3.19. a  4 zj  9 yk .
3.22. a  5 xi  10 yj .
3.25. a  yj  4 zk .
3.28. a  9 yi  4 xj .
4.1.
3.2. a 6 xi  12zk .
3.5. a  4xi  yj .
3.8. a  xi zk .
3.11. a 7yj  14 zk .
3.14. a  4 xi  zk .
3.17. a  9 zj  4 yk .
3.20. a  4yi 9 xj .
3.23. a  2 xi  4 yj .
3.26. a  xi  4 yj .
3.29. a  4 zi  9 xk .
3.3. a  2yi  3 xj .
3.6. a  xi  3 yj .
3.9. a  3 xi  6 zk .
3.12. a  2 zi  3 xk .
3.15. a  yj  3 zk .
3.18. a  xi 3 zk .
3.21. a  2 zj  3 yk .
3.24. a  2 xi  6 yj .
3.27. a  xi  yj .
3.30. a  5 yi 7 xj .
4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по
поверхности S , где S – часть плоскости  p  , отсеченная
координатными плоскостями.
4.2.
S 4 x  y  4 z dS ,  p : 2 x  2 y  z  4.
S 4 x  y  z dS ,  p : x  y  z  2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
S 5 x  2 y  2 z dS ,  p : x  2 y  z  2.
S 2 x  5 y  10z dS , p : 2 x  y  3z  6
S 2 x  15 y  z dS , p : x  2 y  2 z  2 .
S 8 x  8 y  8 z dS , p : x  4 y  2 z  8 .
S 6 x  y  8 z dS ,  p : x  y  2 z  2.
S 4 x  4 y  z dS ,  p : x  2 y  2 z  4.
S 2 x  5 y  z dS ,  p : x  y  2 z  2.
S 3x  10 y  z dS , p : x  3 y  2 z  6 .
190
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
S 4 y  x  4 z dS ,  p : x  2 y  2 z  2.
S 7 x  y  2 z dS ,  p : 3x  2 y  2 z  6 .
S 2 x  3 y  z dS ,  p : 2 x  3 y  z  6 .
S 3x  2 y  2 z dS , p:3x  2 y  2 z 6 .
S 2 x  3 y  z dS , p: 2 x  y  z  2.
S 9 x  2 y  z dS , p: 2 x  y  z  4.
S 3 y  x  z dS , p: x  y  z  2.
S 3 y  2 x  2 z dS , p: 2 x  y  2 z  2.
S 2 x  3 y  z dS , p: x  2 y  z  2.
S 5 x  y  z dS , p: x  2 y  2 z  2.
S 2 x  3 y  z dS , p : 2 x  2 y  z  2 .
S 5 x  y  5 z dS , p : 3x  2 y  z  6 .
S x  3 y  2 z dS ,  p : 2 x  y  2 z  2.
S 2 x  3 y  2 z dS , p: x  3 y  z  3.
S 2  y 7 x  9 z dS , p:2 x  y  2 z  2.
S 6 x  y  4 z dS , p:3x  3 y  z  3.
S x  2 y  3z dS , p: x  y  z  2.
S 3x  2 y  6 z dS , p: 2 x  y  2 z  2.
S 2 x  5 y  z dS , p: x  2 y  z  2.
S 5 x  8 y  z dS , p: 2 x  3 y  z 6 .
191
5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р,
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый
угол с осью Оz ).
5.1. a  2 xi  3 yj  zk ,
5.2. a  xi  yj  zk ,
5.3. a  yj  zk ,
P : x / 3  y  z / 2  1.
5.4. a  2 xi  yj  4 zk ,
P : x / 3  y  z / 2  1.
5.7. a  2 xi  5 yj  5 zk ,
P : x / 3  y  z / 2  1.
5.10. a  2 xi  yj  2 zk ,
P : 2 x  y / 2  z  1.
5.13. a   xi  yj  12zk ,
P : 2 x  y / 2  z  1.
5.16. a  3 xi  2 zk ,
P : x  y / 2  z / 3  1.
5.19. a  xi  3 yj  zk ,
P : x / 3  y  z / 2  1.
5.22. a  xi  yj  6 k ,
P : x / 2  y / 3  z  1.
5.25. a  xi  yj  zk ,
P : 2 x  y / 2  z  1.
5.28. a  xi  yj  zk ,
P : 2 x  y / 2  z  1.
P : 2 x  3 y  z  1.
5.5. a  2 xi  3 yj  zk ,
P : 2 x  3 y  z  1.
5.8. a  xi  9 yj  8 zk ,
P : x  2 y  3 z  1.
5.11. a   xi  2 yj  zk ,
P : x  2 y  3 z  1.
5.14. a  xi  yj  zk ,
P : x  y  z  1.
5.17. a  2 xi  yj  zk ,
P : x  y  z  1.
5.20. a  2 xi  3 yj ,
P : x  y  z  1.
5.23. a  xi  2 yj  zk ,
P : x / 2  y  z  1.
5.26. a  xi  yj  zk ,
P : x  y / 2  z / 3  1.
5.29. a  xi  3 yj  8 zk ,
P : x  2 y  z / 2  1.
P : x  y  z  1.
5.6. a  xi  3 yj  2 zk ,
P : x  y  z  1.
5.9. a  xi  yj  zk ,
P : x / 2  y  z  1.
5.12. a  yj 3 zk ,
P : x / 2  y  z  1.
5.15. a  2 xi  yj  zk ,
P : x  y / 2  z / 3  1.
5.18. a  2 xi  yj  zk ,
P : 2 x  3 y  z  1.
5.21. a  2 xi  3 yj  4 zk ,
P : 2 x  3 y  z  1.
5.24. a  8 xi  11yj  17 zk ,
P : x  2 y  3 z  1.
5.27. a  xi  yj  6 k ,
P : x  2 y  z / 2  1.
5.30. a  xi  2 yj  5 zk ,
P : x  2 y  z / 2  1.
6. Вычислить поток векторного поля a (М) через внешнюю
поверхность пирамиды, образованную плоскостью (Р) и
координатными плоскостями , двумя способами:
а) с использованием определения потока вектора;
б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
aM  2 x  z  i   y  x  j  x  2 z  k , P : x  y  z  2.
aM  2 y  z  i   y  x  j  xk , P : x  2 y  2 z  4.
aM  2 z  x  i  x  y  j  3 x  z  k , P : x  y  2 z  2.
aM  x  z  i  x  3 y  j  yk , P : x  y  2 z  2.
aM   y  2 z  i  x  2 z  j  x  2 y k , P : 2 x  y  2 z  2.
aM  x  z  i  2 yj  x  y  z k , P : x  2 y  z  2.
aM  3 x  y  i  2 y  z  j  2 z  x  k , P : 2 x  3 y  z  6.
aM  2 y  z  i  x  y  j  2 zk , P : x  y  z  2.
192
6.9. aM  2 y  z  i   x  2 y  j  yk , P  : x  3 y  2 z  6.
6.10. aM   y  z  i  xj   y  2zk , P  : 2 x  2 y  z  2.
6.11. aM   x  z  i  zj  2 x  y k , P  : 3 x  2 y  z  6.
6.12. aM  zi   x  y  j  yk , P  : 2 x  y  2 z  2.
6.13. aM  3 xi   z  y  j   x  z k , P  : x  3 y  z  3.
6.14. aM  3 x  1 i   y  x  z  j  zk , P  : 2 x  y  2 z  2.
6.15. aM  xi   z  x  j   y  z k , P  : 3 x  3 y  z  3.
6.16. aM   x  z  i   z  x  j   x  2 y  z k , P  : x  y  z  2.
6.17. aM   x  z  i  zj  2 x  y k , P  : 2 x  2 y  z  4.
6.18. aM  3 x  y  i   x  z  j  yk , P  : x  2 y  z  2.
6.19. aM   y  z  i  2 x  z  j   y  3 z k , P  : 2 x  y  3 z  6.
6.20. aM   y  z  i  x  6 y  j  y k , P  : x  2 y  2 z  2.
6.21. aM   x  y  i  3 yj   y  z k , P  : 2 x  y  2 z  2.
6.22. aM  x  y  z  i  2 yj  x  2 z k , P  : x  2 y  z  2.
6.23. aM   y  z  i  2 x  y  j  z k , P  : 2 x  y  z  2.
6.24. aM  xi   y  2 z  j  2 x  y  2 z k , P  : x  2 y  2 z  2.
6.25. aM   x  2 z  i   y  3 z  j  zk , P  : 3 x  2 y  2 z  6.
6.26. aM  4 xi   x  y  z  j  3 y  2 z k , P  : 2 x  y  z  4.
6.27. aM  2 z  x  i   x  2 y  j  3 zk , P  : x  4 y  2 z  8.
6.28. aM  4 zi   x  y  z  j  3 y  z k , P  : x  2 y  2 z  2.
6.29. aM   x  y  i   y  z  j  2 z  x k , P  : 3 x  2 y  2 z  6.
6.30. aM   x  y  z  i  2 zj   y 7 z k , P  : 2 x  3 y  z  6.
7. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность
S (нормаль внешняя).
7.2. a  6 x i  2 yj  zk ,
7.1. a   z  y i   x  z  j  zk ,

x2  4 y 2  4
S :

3 x  4 y  z  12, z  1.
7.3. a   y  6 x i  5 x  z  j  4 yk ,

 y  x,y  2 x,y  2,
S :
2
2

 z  x  y , z  0.
7.5. a  z i  3 y  x  j  zk ,
2
2

 x  y  1,
S :
2
2

 z  x  y  2 , z  0.


 z  3  2 x 2  y 2 ,
S :
 z 2  x 2  y 2 ,  z  0 .
7.4. a   y  2 z i  yj  3 xk ,
3 z  27  2 x 2  y 2 ,
S :
 z 2  x 2  y 2 ,  z  0 .
7.6. a  y i  5 yj  zk ,

 x 2  y 2  1,
S :

 z  x , z  0 ,  z  0 .


193
7.7. a   x  y  z i  2 y  x  j  3 z  y k ,
 y  x , y  2 x , x  1,

S : z  x2  y 2 ,
 z  0.

7.9. a  17 x i 7 yj  11zk ,
x2  y 2  z ,

S : z  2 x2  y 2 ,

2
 y  x , y  x.
7.11. a   x  z i   z  y k ,

x2  y 2  9,
S :

 z  x , z  0 ,  z  0 .
7.13. a  2 x i  2 yj  zk ,

 y  x 2 , y  4 x 2 , y  1  x  0 ,
S :

 z  x , z  0.
7.15. a   z  y i  yj  xk ,
 x 2  y 2  2 y ,
S :
 y  2.
7.17. a  2 z  y i   x  z k ,
 z  x 2  3 y 2  1, z  0 ,
S :
 x 2  y 2  1.
17.19. a  z i  4 yj  2 xk ,
 z  x 2  y 2 ,
S :
 z  1.
7.21. a  8 x i  2 yj  xk ,

 x  y  1, x  0 , y  0 ,
S :
2
2

 z  x  y ,z  0.


7.8. a  y i   x  2 y  j  xk ,
x2  y 2  2 x,

S : z  x2  y 2 ,
 z  0.

7.10. a 7 x i  zj   x  y  5 z k ,
z  x2  y 2 ,

S : z  x2  2 y 2 ,
 y  x , y  2 x ,x  1.

7.12. a  2 x i  zk ,
7.14.
7.16.
7.18.
2
2

 z  3 x  2 y  1,
S :
2
2

 x  y  4 , z  0.
a  3 x i  zj ,
 z  6  x 2  y 2 ,
S :
 z 2  x 2  y 2 ,  z  0 .
a  x i   x  2 y  j  yk ,
 x 2  y 2  1, z  0

S :

 x  2 y  3 z  6.
a  x i  zj  yk ,
 z  4  2 x 2  y 2 ,
S :
 z  2 x 2  y 2 .
a  4 x i  2 yj  zk ,
3 x  2 y  12, 3 x  y  6 , y  0 ,
S :
 x  y  z  6 , z  0.
a  z i  xj  zk ,
4 z  x 2  y 2 ,
S :
 z  4.

7.20.
7.22.



194
7.23. a  2 x  y  j   y  2 z k ,


2
2

z  2  4 x  y ,
S :
2
2

z  4 x  y .


7.25. a  2 x i  zj   x  y k ,
 x 2  y 2  2 y ,
S :
 z  x 2  y 2 , z  0.
7.27. a   y  z i   x  2 y  z  j  xk ,
 x 2  y 2  1,
S :
 z  x 2  y 2 , z  0.
7.24. a  x i  2 yj  3 zk ,

x2  y 2  z ,
S :

 z  2 x.
7.26. a 2 y 3 x i 3 x  2 x  j x  y  z k ,

 x 2  y 2  1,
S :

 z  4  x  y ,z  0.
7.28. a  2 y 15x i  z  y  j  x  3 y k ,
 z  3 x 2  y 2  1, z  0 ,

S :
2
2 1
 x  y  4 .
7.29. a   x  z i  yk ,
7.30. a   x  y i   y  z  j   z  x k ,
 z  8  x 2  y 2 ,

 y  2 x , y  4 x , x  1,
S :
S :
2

 z  x 2  y 2 .
 z  y , z  0.
8. Вычислить циркуляцию векторного поля a M  по контуру
треугольника, полученного в результате пересечения плоскости
 p : Ax  By  Cz  D с координатными плоскостями, при
положительном направлении обхода относительно нормального
вектора n A,B ,C  этой плоскости двумя способами:
1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы
Стокса.
8.1. aM   x  z  i  zj  2 x  y  k ,  p : 2 x  2 y  z  4 .
8.2. aM   x  z  i   x  3 y  j  y k ,  p : x  y  2 z  2 .
8.3. aM  2 y  z  i   x  y  j  x k ,  p : x  2 y  2 z  4 .
8.4. aM  2 z  x  i   x  y  j  3 x  z  k ,  p : x  y  2 z  2 .
8.5. aM  2 x  z  i   y  x  j   x  2 z  k ,  p : x  y  z  2.
8.6. aM   x  y  z  i  2 zj   y 7 z  k ,  p : 2 x  3 y  z 6 .
8.7. aM   x  y  i   y  z  j  2 x  z k ,  p :3 x  2 y  2 z  6.
8.8. aM  4 z i   x  y  z  j  3 y  z  k ,  p : x  2 y  2 z  2.
8.9. aM  2 z  x  i   x  2 y  j  3 zk ,  p : x  4 y  2 z  8.
8.10. aM  4 x i   x  y  z  j  3 y  2 z  k ,  p : 2 x  y  z  4.
8.11. aM   x  2 z  i   y  3 z  j  z k ,  p :3 x  2 y  2 z  6.
8.12. aM  x i   y  2 z  j  2 x  y  2 z  k ,  p : x  2 y  2 z  2.
8.13. aM   y  z  i  2 x  y  j  z k ,  p : 2 x  y  z  2.
8.14. aM  z i   x  y  j  y k ,  p : 2 x  y  2 z  2.
195
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
aM  x  z  i  zj  2 x  y  k ,  p :3 x  2 y  z 6.
aM   y  z  i  xj   y  2 z  k ,  p : 2 x  2 y  z  2.
aM  2 y  z  i  x  2 y  j  y k ,  p : x  3 y  2 z 6.
aM   y  z  i  x  6 y  j  y k ,  p : x  2 y  2 z  2.
aM   y  z  i  2 x  z  j   y  3 z k ,  p : 2 x  y  3 z 6.
aM  3 x  y  i  x  z  j  y k ,  p : x  2 y  z  2.
aM   y  2 z  i  x  2 z  j  x  2 y k ,  p : 2 x  y  2 z  2.
aM  x  z  i  z  x  j  x  2 y  z k ,  p : x  y  z  2.
aM  x i  x  z  j   y  z k ,  p :3 x  3 y  z  3.
aM  3 x 1 i   y  x  z  j  4 zk ,  p : 2 x  y  2 z  2.
aM  3 x i   y  z  j  x  z k ,  p : x  3 y  z  3.
aM  x  y  z  i  2 y j  x  2 z k ,  p : x  2 y  z  2.
aM  x  y  i  3 y j   y  z k ,  p : 2 x  y  z  2.
aM  2 y  z  i  x  y  j 2 z k ,  p : x  y  z  2.
aM  3 x  y  i  2 y  z  j  2 z  x  k ,  p : 2 x  3 y  z 6.
aM  x  z  i  2 y j  x  y  z k ,  p : x  2 y  z  2.
9. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля
a M  в точке M 0 x0 , y0 ,z0  .
9.1. aM  y 2 i  xy j  z 2 k , M 0  2 , 1, 1.
9.2. aM  xz i  xy j  x 2 zk , M 0 0 , 1, 1.
9.3. aM  xy i  y 2 z j  xzk , M 0 0 ,  2 , 1.
9.4. aM  xz i  y j  zyk , M 0 0 , 1, 2.
9.5. aM  y 2 i  xy 2 j  z 2 k , M 0  1, 2 , 1.
9.6. aM  xy i  xy 2 j  z 2 k , M 0 1,  1, 1.
9.7. aM   x  y  i  yz j  xzk , M 0 2, 1, 0 .
9.8. aM   x  y  i  yz j  yk , M 0  4 , 1, 0 .
9.9. aM   y  z  i  z 2 j  xyzk , M 0 3, 0 , 1.
9.10. aM  yz i  z 2 j   x  y zk , M 0 1, 3, 0 .
9.11. aM  z 2 i  xz j  z 2 k , M 0 1,  2 , 1.
9.12. aM  xy i   x  z  j   y  x k , M 0 0 , 0 , 1.
9.13. aM  xy i   y  z  j  xzk , M 0 4 , 0 , 1.
9.14. aM  x i  zy j  x 2 zk , M 0  3, 0 , 2 .
196
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.


aM  x  y 2 i  yz j  x 2 k , M 0 1, 0 , 4 .
aM  xz i  y j  yzk , M 0 0 ,  1, 4 .
aM  xy i  x j  yzk , M 0 2, 2, 2.
aM  x  y  i  xyz j  xk , M 0 4 , 1,  3.
9.19. aM  xz i   x  y  j  x 2 zk , M 0 1, 1,  2 .
9.20. aM   x  z  i  xy j  y 2 zk , M 0 2 , 2 , 1.
9.21. aM   x  z  i  xyz j  xk , M 0  2, 2, 1.
9.22. aM   y  z  i  y j  z 2 k , M 0  1, 2 , 1.
9.23. aM   x  y  i  x j  xzk , M 0 0 , 2,  2.
9.24. aM   x  z  i  y j  xyk , M 0 1,  1, 0 .
9.25. aM  x 2 i  xy 2 j  z 2 k , M 0 0 , 1,  2 .
9.26. aM  xy i  yz j  xzk , M 0 2, 0 , 3.
9.27. aM  xy 2 i  yz 2 j  x 2 k , M 0 1,  2 , 0 .
9.28. aM  xz i  zj  yzk , M 0 3, 0 , 1.
9.29. aM  xy i  xyz j  xk , M 0  1, 0 , 3.
9.30. aM  yz i  z 2 j  xyzk , M 0 2 , 1,  1.
10. Выяснить, является ли векторное поле a M  соленоидальным,
потенциальным или гармоническим.
10.1. aM   yz  2 x i   xz  zy  j  xyk .
10.2. aM  yzi  xzj  xyk .


10.3. aM  6 xy i  3 x 2  2 y j  zk .
10.4. aM  2 x  yz i  2 x  xy j  yzk .
10.5. aM   y  z i  3 xyzj   z  x k .




10.6. aM   y  z i   x  z  j  x 2  y 2 k .
10.7. aM   x  y i  2 xzj  3 y  z k .
10.8. aM   yz  2 x i   xz  2 y  j  xy k .


10.9. aM  x 2  z 2 i  3 xyj  y 2  z 2 k .
10.10. aM  2 xyzi  y yz  1 j  zk .
10.11. aM  2 x  3 yi  2 xyj  z 2 k .

 
 

10.12. aM  x 2  y 2 i  y 2  z 2 j  z 2  x 2 k .
10.13. aM  z 2i   xz  y  j  x 2 yk .
197
10.14. aM  xy3 x  4 y i  x 2  x  4 y  j  3 z 2 k .
10.15. aM  6 x 2i  3cos3 x  2 z  j  cos3 y  2 z k .
10.16. aM   x  y i   z  y  j  2 x  z k .


10.17. aM  3 x  z i  x 2  y 2 j  3 z k .
10.18. aM  2 x  yz i   xz  2 y  j  2 xyz k .
10.19. aM  3 x 2 i  4 x  y  j   x  z k .
10.20. aM  yzi   x  y  j  z 2 k .
10.21. aM   y  z i   x  z  j   x  y k .
10.22. aM  3 x 2 yi  2 xy 2 j  2 xyzk .
10.23. aM   x  y i  2 y  z  j   z  x k .
10.24. aM  x 2 zi  y 2 j  xz 2 k .
10.25. aM   x  y i   y  z  j   x  z k .
x y
z
j k .
y z
x
10.27. aM  yzi  xzj  xyk .
10.28. aM   y  z i   z  x  j   x  y k .
10.29. aM  α  β xi  γ  α  y j   β  γ zk
10.26. a M   i 
10.30. aM  x 2 yi  2 xy 2 j  2 xyzk .
10. РЯДЫ

1.1.
1. Найти сумму ряда.
 n 2  5n  4
n5

1.4.
.
1.2.
18
36
 n 2 7 n  10
n0

1.10.
54
1.5.
.
1.8.
18
 n 2 7 n  10
36

.
 n 2  5n  4 .
n6

 n 2 11n  28 .
n9

n7

 n2  n  2 .
n4

1.7.
90
54
 n2  n  2
n3

1.11.
18
.
 n2  n  2 .
n3
1.3.
 n 2 13n  40 .
n9

1.6.
36
 n 2 11n  28 .
n8

1.9.
18
54
 n 2  9n  18 .
n7

1.12.
72
 n 2 7 n  10 .
n6
198

1.13.
 n 2  9n  18 .
n8

1.16.
10
 n2 6 n  8
n5

1.19.
16
 n2  4n  3
1.17.
1.20.
1.23.
n 2  14n  48
 n 2 12n  35
 n 2 10n  24
60
 n 2  8n  15.
48
 n2 6 n  8
n6

.
.
1.26.
n9
.
6
 n2  4n  3 .
n5

1.29.
1.15.
12
n7

.
36
 n2  n  2 .
n8

30

n10

1.28.
.

36
n 2

12
n0

1.25.
1.14.
 n2  4n  3 .
n4

1.22.

72
24
 n2  4n  3
.
72
 n2 6 n  8 .
n0

. 1.18.
72
 n 2  5n  4 .
n1

1.21.
2
 n 2 14n  48 .
n9

1.24.
4
 n 2 12n  35.
n8

1.27.
6
 n 2 10n  24 .
n7

1.30.
n1
8
 n 2  8n  15.
n6
2. Найти сумму ряда.

2.1.
1
 2n  12n  3.
n0
 n
2.4.

7  3n
n1

2.7.
21n
.
2.10.
1

7 n  3n

1
3n  13n  2 .

7  2n
n1

2.13.
21n
n1
 n
2.16.
n1

2.19.
14 n
1
.
.
 n  3n  4 .
n0
2.2.
1
 n  6 n 7 .
n1
 n
2.5.
 2n  32n  5.
n0



3  5n

1
n  9 n  10.
n1

2.8.
n1

2.11.
15n

n1

2.14.

n1

2.20.
5 n  3n
15n
.
1
2n  5n
10 n
1
.
 n  5n  6 .
n0
2.3.

3n  4 n
12n
n1

2.6.
 n 7 n  8 .
n1

2.17.
.

1
 2n  52n 7 .
n0
 n
2.9.
.

3  8n
n1

2.12.

n1

2.18.
1
8 n  3n
24 n
.
1
 3n  23n  5.
n1

2.21.
.
 3n  13n  4 .
n1

2.15.
24 n

n1
9n  2n
18 n
.
199

2.22.

n1

2.25.

4n  5n
20
.
n
2.23.
n1
1
 n  4 n  5
.
n1
2.28.

n1
5n  4n
20 n
.
10
n

.
2.24.

1
 2n 7 2n  9 .

2.29.

n1

n1

2.26.
n0


5n  2n
2.27.
2 n 7 n
14
.
12n
.
1
 n  2n  3.
n0

4 n  3n
n
2.30.
1
 nn  2.
n1
3. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами.

3.1.

3nn  1

n  2 ! .
n1

3.4.
5n

n sin
n1

3.10.

.
n
3.8.

3 n  2 !
3.11.
.
3.14.
n
3.17.
7
7   1  .
3.19.
8 n
   
n1


3.22.
3.25.
π
 3n 1sin 4 n .
n1


n1
n2
.
n!
2n  1

nn
n  3! .
n1

7 n 1
2n

n1

 5 n n  1! .
n1

3.3.
 5 n 2n 1
n1

n!
n5

nn
n  1! .
n2n
3.6.
.
3.9.
.
3.12.
3.15.
3.26.
n
 9  n7 .
3.18.
 10 
 
n1


n  1!
3.21.

n1

n
 2n  3! .
3.24.
π
 2n  1tg 3n .
n1
16 115n  4 
 37 114n 1 .
n1

n2  3.
3.20. 
n1

n!
 5 n n  3! .
n1

n1

3.23.

1 3  52n  1
.
2 7 125n  3
n1

 n tg 5 n .
n1


5n
.
4 n!
n1

2π
3

1 5  94 n  3
.
1 4 73n  2 
n1


2 n  13
3.5. 
.

2 n !
n1
2π
3

n1


n1

3.16.
3.2.
n  1n / 2 .
n1
 n
3.13.
.
nn
n1

3.7.

2  5  83n  1
 37 114n 1.
n1

3.27.
17 136 n  5 
.
2  3  4n  1
4  5 6n  3
 5 7 92n  3.
n1
200

3.28.

n1
3n  1
n 7
n

.
3.29.

n1
nn / 2
3
n

.

3.30.
n1
n  1n .
n!
4. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами.

 2n  1 
4.1.
 2n 


n1



π 
4.4.
 sin 3 
n 
n1 



n2
.
4.2.

 lnn  2n .
4.3.
n1
2n

3n

n

.
3n

4n

4.13.

1
 lnn  13 .
4.14.
n1

 3n  1 
4.16.
 3n 


n1

n

n1

2
.
4.17.
n2
n / n  1
2
n
n


 arctg 1 
4.12.

2n  1 

n1


.
4.15.

 n 1 
4.22.
 2n 


n1

4.25.
10 n
n1
 n 


 arcsin 1 
4.23.

3n 

n1

.
 5n  1 
4.28.
 5n 


n1

5n

n
 n 1  .
4.26.
 2n 


n1
  n  1 n .



n2
.
 n  .
4.29.
 3n  1 


n1

10 n
 lnn  52 .
n

3n

n2


.
 arcsin n  3  .
4.18.

2n  5 

n1
1

 π 
1 
4.19.
 arcsin n  . 4.20.
 tg n  .
3


n1
n1  5 

2n
n1

 lnn  12n .

n
 sin π  .
4.9.
 5n  1 


n1
n1

n

n

.
5n


1 
. 4.11.
4.10.
 arctg n  .
2
n
5 
n1 n  1 / n 
n1 

2
 tg π  .
4.6.
 2n  1 


n1
 n 2  5n  8 


4.8.
 3n 2  2  .

n1 


n  1 / n n
n1


1 
4.5.
 arcsin n  .
2 
n1 
 n 1  .
4.7.
 4n 


n1


1

4.21.
2n
.
 3n  4 n  5 


 6 n 2  3n  1 

n1 

2
n2
.

n

n
 3n 2  n  1 


4.24.
 7 n 2  3n  4  .

n1 

 arctg 1  .
4.27.

2n  1 

n1


4.30.
1
 lnn  3n .
n1
201
5. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами.

5.1.


n1

5.9.
1
7 n  5
3
5.4.
.
1
5.6.
.
2n  37
n1

5.13.
1
 2n  1ln 3 2n  1.
n1

5.15.
1
 3n  4 ln 2 3n  4 .
n1


5.19.

n2

5.21.
5.23.
n
ln
n 1
.
n 1
5.12.
3n  14
1
1
 3n  2ln3n  2.
n1

5.14.
4
1
4
1
n1

5.16.
n1

5.18.
n1

5.24.

7 n  5
5
.
.
1
1
5n  2 ln5n  2 .
7 
1
3 7 n 
10
.
5n
 25  n 2 .
n1

5.26.
4n  5
3
 3n 1ln3n 1.
n1

.
1
 n  5lnn  5lnlnn  5.
n1

5.22.
 10n  5ln10n  5.
n1
n1

n1

1
1
 10n  3ln 2 10n  3.
5.20.
6 n
5
n1

5.25.
1
 36  n 2 .
n1

5.8.
2
 7n 
5.17.

 .
2
n1  49  n 

n1

2

1
 3  8nln 3 3  8n.
5.10.
 3n  1 
5.11.
 2  .
n1  4 n  1 

1
 n  4 lnn  4 lnlnn  4 .
n1

1
n  2 lnn  2 .
6
1
 5n  8 ln 3 5n  8 .
n1

3 n
8
n1

5.7.
5.2.
 9  n 2  2n .
n1

5.5.
.
4  9 n 5
n1

5.3.

1
1
 n  3lnn  3lnlnn  3.
n1
202

5.27.

n1

5.29.

1
4 n  33
.
5.28.
1
 3  2nln 5 3  2n.
n1

2n
 4  n2  n .
5.30.
n1
1
 9n  4 ln 2 9n  4 .
n1
6. Исследовать на условную и абсолютную сходимость
знакочередующийся ряд.

6.1.
 1
n1

6.3.

 1n1 .
n1

6.5.
n1

6.9.
n n5
.
n
 1
6.11.
6.13.


 1n1 .
n1

6.17.
6.21.
n 5 n
2n
n1 2 n  1



1
.

n1

n
 1n
 3n 2  1 .
n1

6.10.

 1n .

 1n1 .
n1

6.14.
n n
ln n
6.16.
n!
3
2n  1
1
 1n1
n1

6.20.
1
.
n
1
 1n1 n 2 .
n1

6.22.
1
 1n 4 n5 .
n1

6.18.
n
 1n1 6 n  5 .
n1

 1n1 n  13n .
n1
6.6.
n1

 1n1 5nn  1.
n1

n1

6.12.
 1n lnn  1.
n1

6.19.
 1n .
 1n1 .
n1

6.15.
3n  1
 2n  1
n1

 1n .
 2n 13n
n1


 1n1
6.4.
.
6.2.
6.8.
3
n5
 1n1 .
n1



n3 n
n1 2 n  1



1
.

nn  1
n1

6.7.
1
.
n 1
n1
1
 1n1 2n  1n .
n1
203

6.23.

n1

6.25.

 1n
2n  1
.
6.24.
n
n1 
1 
 2 n 7  .


 1
n1


 1n1
6.27. 
.

3n  2 !
n1

n



1
n
ln
 1


n1
n1

1 
.
n2 
2n  1

 1n1  3 n
6.26. 
.
n


2
n

1
n1


 1n1
6.28.
.


6.29.

 1n1 .
n1

6.30.
n5
n n5



1
.

n
3
n1
7. Исследовать на условную и абсолютную сходимость
знакочередующийся ряд.

7.1.
 1
n1

7.3.

n n 1
.
2
7.2.
n
π
n1



1
sin
.

n
8
n1


7.7.
7.9.
7.6.
n 
 .
2
n

1


n
 1n1 n  1! .
n1

7.11.
n
 1n1 n  13 / 2 .
n1


 1n1
7.13. 
.
3


2
n

1
n1


 1n1
7.15.
.

n1
n2 1
7.4.
 1n .
 5n  1n
n1
 1
n1

n
 1n 
n1

n1



 1n1
7.5. 
.
n




ln
n

1
n1
n
 1n 9n 1.
7.8.
n1
 1n
n1

7.10.
n2 1
.
3n
.
2n  2
π
 1n sin n 6 n .
n1

7.12.
n3
n3
 1n n 2 1.
n1

n
  4n  .
7.14.
 5n  1 


n1



 1n1
7.16. 
.

2 n  1!
n1
204

7.17.


 1n1
7.18. 
.
lnn  1
n1
n2n
n1

7.19.

 1n1 .

n1 2 n  1
.
n
 1
n1

7.20.
3
n1


 1n1
7.21.  
.

n  1n  4 
n1
7.22.
n1 2 n  1



1
.

nn  2 
n1

7.25.

 1
n1
n1

7.29.
2
1
n
3
.
 1n .
 n3  1

 1n
7.26. 
.
2
n1 nln n 

2n  1
.
nn  1
7.28.

n1

n ln n



1
.

n
7.30.
7
n1
nn
n1

 1n1 .
n 5 n  13
n1

7.27.
7.24.
n4
 1
n1


7.23.

 1n1  2 n .
 1n1 .
n ln n
 1n
n1
n
.
12n
8. Найти область сходимости ряда.

8.1.
x
 x tg 2 n .
n
n1

10 n x n
8.4.
.
n
n1


8.7.

n! x n
n1

8.10.
x n1
xn
 n2 .
n1

8.16.
.
 5 n1 n .
n1

8.13.
n
n

n1



8.5.
n1

8.8.
n
xn
 2n

n1

8.11.

n1

8.14.
0 ,1n x 2 n .

3n x n
8.2.
.
3n
n1
n1

.
2n xn
.
2n  1
n  12 x n .
2n
5n xn

8.6.
 ln x n .
n1

8.9.

n1

8.12.
8.15.
1
x tg .
n
8.18.

n1
n
xn
.
nn  1
x 3n
 8 n n 2  1.
n1

 6n3 n.
n1

8.17.
3n  1
8.3.
2n xn
.
2n  1
 nn  1x n .
n1

nxn1
 2 n1 3n .
n1
205

8.19.
 lg x 
n
n1

8.22.

.

 5n .

n1

8.28.
 n 
8.20.
 n 1 


n1
xn
n1

8.25.


n1
8.23.
2n  1
xn
5
n

.

8.21.
n1

2n xn
 n 2  1.
n1

3
n
.
2n xn
8.26.
.
n
n1


xn
.
n
8.29.

n1
8.27.
8.30.
n3
8
n
.
xn

xn
.
n

x 2 n1
.
2n  1
n1

 x n1 .
x 3n
 n2n .
8.24.
n1

5n xn
2
n2
n1
9. Найти область сходимости ряда.

9.1.

 x  5 2 n1 .

2n  1n  x  1n .

 x  3n .

 x  2 n
n1

9.3.
n1

9.5.
n1

9.7.
2n 4
n
2 n1  n n
n2
n1

n
2
n
.
9.11.

n1

n
2n
 x  12 n .
n 9
n

x  2 n
9.13. 
.
n


n
ln
1

1
/
n
n1


x  2 n
9.15.
.

n1
2
n
9.2.
 3 n 1
n1

9.4.
 x  5 n

2
n 1
.
2
2n 2  x  2 n .
n0


x  1n
9.6. 
.
n
n1 2 lnn  1

n! x  10n
9.8.
.

n1

x  2 2 n
9.9.   1
.
n1



nn
2

x  5 n
9.10. 
.
n
n0 n  1

ln 3 n  1

9.12.

n0

9.14.
π
 2  x n sin 2 n .
n0

9.16.
n 1
x  1n .
3  2 x n .
 n  ln 2 n
n1
206

9.17.

 x  1n .

 x  8 n .
n1

9.19.

3  2 x  x  3n
9.18. 
.
2 n1
n0 n  1 2


x  2 n
9.20.
.
n2

n2
n1

9.21.

 2  x 
n
n1


x  2 n
9.22. 
.
n
n1 2 n  1 2
.
n1


 x  1n .
9.23. 
n
n1 2 n  3 

9.25.
 1
n1

9.27.

n1
9.29.
9.24.
 x  2 n .
n  1lnn  1
9.26.
 1
n1
 1
n1

9.28.
n 5 n
n1
 1n
n0

 x  3n .
n1

n2
9.30.
n2
 x  2 n .
n 1
n1
 x  3n .
n  1lnn  1
n1  x  5 



1

n
n1

2n  12n  x  1n .
3n  2 2n
3

n1
n
n 3
.
 x  4 2 n1 .
2n  1
10. Найти сумму ряда.

10.1.

x n 2
.
nn  1

sin n x
.
n 1
n1

10.4.
n0

10.7.
3 n1
 nx3n3 .
n1

10.10.

n1

x n3
.
nn  1
n

1 x3 
.
10.13. 
n0

n 1
n

1 x 2 
.
10.16. 
n0
n 1

10.2.
 nx5n5 .
n1

10.5.
1

n1

x n5
.
nn  1
1 x  .
10.8. 
n0

10.11.
4 n1
10.3.
n0

10.6.

n0

x n3
n  1n  2 .
n1

1 x4 
10.9. 
.
n1

10.12.
10.15.

cosn x
.
n 1
10.18.
n
4n
 n  1x 2n .
n0


n0
1
 n  1x5n .
sin n1 x
.
n
n1

10.17.
n 1
 nx2n2 .
n1

10.14.
5 n


n0

x n 4
n  1n  2 .
5n
 n  1x n .
n0
207

10.19.
 nx4 n4 .
n1

10.22.

2 n1

n1
10.20.
10.23.
n

1 x4 
10.25. 
.
10.28.

n0
x n6
n  1 x  2 .
n1

1 x5 
10.26. 
.

n0

 n  1x4n .
n0

xn
.
nn  1
2n

10.21.
n0

n1

1 x5 
10.24. 
.
n1


n 1
n1

n
n1

1 x 2 
10.29. 
.
5 n1
 nxn1 .
n1
n1
n

xn
n  1 x  2 .
10.27.
3n
 n  1x3n .
n0

10.30.
n

n0
x n1
n  1 x  2 .
11. Найти сумму ряда.

11.1.
 n  1x
n 2

.
11.2.
n 2

11.4.
 n  1x 2n .
11.5.
 n  2x3n .
11.8.
n0

11.10.
 n  3x n3 .
11.9.
n3

 n  3x4 n .
11.11.
 n  4 x5n .
11.14.
 n  1x n1 .
11.17.
 nxn2 .
11.20.
 n  4 x n2 .
11.23.
 n  3x n2 .
11.26.
n 2
n1

 nx4 n .
n1

 n  4 x n3 .
11.12.
 n  5x n1 .
11.15.
 n  4 x n1 .
11.18.
 n  3x n1 .
11.21.
 n  2x n1 .
11.24.
 n  5x6 n .
11.27.
 n  1x 2n2 .
n0

n1

 n  5x 2n .
n0

n1

 n  4 x3n .
n0

n1

n0
 n  1x3n3 .
n0

n1

n 2

11.25.
 nx5n .
n3

n2

11.22.
 nx6 n .
n1

n3

n1

11.19.
11.3.
11.6.
n0

11.16.
.
 n  2x n3 .
n0

11.13.

n3

n0

11.7.
 n  1x
n3
 n  3x4 n .
n0

 n  2x5n .
n0
208

 n  2x
11.28.
n 2

.
 n  6 x
11.29.
n 2
7n

.
 n  1x6 n .
11.30.
n0
n0
12. Разложить функцию в ряд Маклорена.


12.5. ln1 x  12 x 2 .


12.6. ln1 x  12 x 2 .
12.1. x3 27  2 x .
12.4. sin3 x  / x  cos3 x
12.2. 6 / 8  2 x  x 2 .
12.3. 5 / 6  x  x 2 .
12.7. 5 / 6  x  x 2 .
12.8. arcsinx  / x  1 .
12.9. arctgx / x .


12.10. ln1 x  20 x 2 .
12.13.  x 1 ch x.
12.16. 1 / 4 16  3 x .

2
12.11. x 2 4  3 x .
12.12. 4 16  5 x .

2
12.14. 2 x sin 2  x / 2  x .
12.15. 2  e x .
12.17. x / 4  5 x .
12.18. 9 / 20  x  x 2 .


12.26. ln1  x  6 x 2 .


12.21. ln1  x  6 x 2 .
12.19. 3  e  x .
12.20. 2 x cos2  x / 2  x .
12.22. 7 / 12  x  x 2 .
12.23. 7 / 12  x  x 2 .
12.24. sh2 x  / x  2.
12.29. ch3 x  1 / x 2 .
12.27. x / 3 27  2 x .
12.30.  x 1 sin5 x.


12.25. ln1 2 x  8 x 2 .
12.28.  x 1 sh x.
13. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1
13.1.
0 ,5

x sin x dx.
0
25 2 x 2

13.4.
e
x
0
0
0 ,8
dx.
1
x2
13.7. cos dx.
4

0
1
13.10.

3
0
0 ,5
13.13.

0

13.2.
arctgx2
1  x 2 / 4 dx.
sin x 2
dx.
x
0
13.5.
x2
1  cos x
1

x
1
dx.

0 ,5
dx.

13.6.
13.8. sin x dx.

0
1

ln1  x 
dx.
x
13.14. cos3 x dx.
0
x2
0 ,4
13.9.
0
13.11.
x  arctgx
0
2
0 ,1
 x
 dx.
13.3. arctg
2


0

0
0 ,5
13.12.

0
0 ,5
13.15.

0
dx.
1  x 3 dx.
2
e  x dx.
1  x 3 dx.
209
0 ,5
13.16.
 
0
3
0 ,25

ln 1  x dx.
1


x 2 / 2
0
0 ,5
13.25.

0
0 ,5
13.28.
13.18.
0
 x2 

13.20. arctg
 2  dx.
 
0

13.19. x sin x dx.
13.22. e

0 ,2
dx.
13.23.
1  x 2 dx.
dx
 1 x
13.26.
13.29.
0

arctgx
dx.
x
13.27.

x cos x dx.
13.30.
0

x 2 cos3 x dx.
0
0 ,5
xe  x dx.
0
0 ,2
.
5
13.21.

0
0 ,5

e 1
dx.
x
0
0 ,5
1
2
0
1
 
ln 1  x dx.
13.17.
0 ,1 x
13.24.
2
ln1 x dx.
0
0 ,4

0
0 ,5

0 ,3
xe  x / 4 dx.
1  cos x
x2
dx.
14. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π)
функцию f(x), заданную на отрезке [–π; π].
14.1.
0,
f ( x)  
4  2 x,
   x  0,
0  x  .
14.3.
0,
f ( x)  
3  x,
14.7.
0,
f ( x)  
1  4 x,
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0  x  .
5  x,
f ( x)  
0,
   x  0,
0  x  .
14.6.
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0  x  .
14.9.
7 x  1,
f ( x)  
0,
3  2 x,
f ( x)  
0,
14.4.
14.5.
0,
f ( x)  
2  x,
14.2.
   x  0,
0,
f ( x)  
(  x) / 2, 0  x   .
 x   / 2,    x  0,
f
(
x
)


14.8.
0  x  .
0,
14.10.
   x  0,
0  x  .
3x  2,
f ( x)  
0,
   x  0,
0  x  .
210
14.11.
14.12.
 x / 3  3,    x  0,
f ( x)  
0  x  .
0,
14.13.
14.15.
   x  0,
0  x  .
2 x  11,    x  0,
f ( x)  
0  x  .
0,
   x  0,
0  x  .
0,
f ( x)  
4  9 x,
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0,
f ( x)  
 x / 5  2, 0  x   .
14.22.
14.23.
14.24.
1  x / 4,    x  0,
f ( x)  
0  x  .
0,
   x  0,
0  x  .
14.25.
0,
f ( x)  
 x  1,
14.27.
5 x  1,
f ( x)  
0,
   x  0,
0,
f ( x)  
10 x  3, 0  x   .
2 x  1,
f ( x)  
0,
   x  0,
0  x  .
14.26.
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0  x  .
14.29.
0,
f ( x)  
6 x  5,
   x  0,
0  x  .
14.20.
14.21.
6 x  2,
f ( x)  
0,
   x  0,
0  x  .
14.18.
14.19.
2 x  3,
f ( x)  
0,
7  3x,
f ( x)  
0,
14.16.
14.17.
0,
f ( x)  
3x  1,
   x  0,
0  x  .
14.14.
   x  0,
0,
f ( x)  
 x / 2  1, 0  x   .
 x  2,
f ( x)  
0,
0,
f ( x)  
3  8 x,
0,
f ( x)  
4 x  3,
   x  0,
0  x  .
14.28.
 x  1/ 2,    x  0,
f ( x)  
0  x  .
0,
14.30.
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0,
f ( x)  
 / 4  x / 2, 0  x   .
211
15. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную в интервале
(0; π), продолжив ее четным и нечетным образом.
2
15.1. f ( x)  ( x  1) .
15.2. f ( x)  ch( x /  ).
15.3. f ( x)  chx.
3 x
15.4. f ( x)  e .
15.5.
f ( x)  (2 x  1)2 .
2 x / 3
.
15.6. f ( x)  e
x/4
15.7. f ( x)  6 .
x / 4
.
15.8. f ( x)  e
2
15.9. f ( x)  x .
x / 7
15.10. f ( x)  7 .
4x
15.11. f ( x)  e .
2
15.12. f ( x)  ( x   ) .
2x
15.13. f ( x)  e .
15.14. f ( x)  ch( x / 2).
4x / 3
15.15. f ( x)  e .
x
15.16. f ( x)  e .
15.17. f ( x)  sh2 x.
2
15.18. f ( x)  ( x  5) .
x
15.19. f ( x)  5 .
x
15.20. f ( x)  10 .
x
15.21. f ( x)  e .
2
15.22. f ( x)  ( x  2) .
15.23. f ( x)  sh3x.
x
15.24. f ( x)  2 .
15.25. f ( x)  ch4 x.
x/3
15.26. f ( x)  4 .
2
15.27. f ( x)  x  1.
15.28. f ( x)  sh( x / 5).
2
15.29. f ( x)  ( x  1) .
x / 2
15.30. f ( x)  3 .
16. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале периодическую
функцию f(x) с периодом Т = 2l.
16.1.
16.2.
f ( x)  1  x ,  3  x  3, l  3.
16.3.
16.4.
f ( x)  2 x  3,  3  x  3, l  3.
16.5.
f ( x)  2 x,
 1  x  1, l  1.
16.7.
f ( x)  1  x,
f ( x)  e x ,
 2  x  2, l  2.
16.6.
f ( x)  x  3,  4  x  4, l  4.
16.8.
f ( x)  3  x ,  5  x  5, l  5.
16.9.
f ( x)  5x  1,  1  x  1, l  5.
1  x  1, l  1.
f ( x)  x ,
16.10.
 1  x  1, l  1.
f ( x)  4 x  3,  5  x  5, l  5.
212
16.11.
16.12.
0,  2  x  0,

f ( x )   x,
0  x  1, l  2.
2  x, 1  x  2,

16.13.
 1  x  0,
1,

f ( x)  1/ 2,
x  0, l  1.
 x,
0  x  1,

16.14.
0  x  3/ 2,
 1,
f ( x)  
1, 3/ 2  x  3, l  3.
1/ 2,  6  x  0,
f ( x)  
0  x  6, l  6.
 1,
16.15.
16.16.
16.17.
16.18.
f ( x)  3  x,  2  x  2, l  2.
  x,

f ( x)   1,
 2,

 4  x  0,
x  0, l  4.
0  x  4,
16.19.
f ( x)  10  x, 5  x  15, l  5.
2 x,  2  x  0,

f ( x)   2,
x  0, l  2.
 4,
0  x  2,

16.20.
1,  2  x  0,

f ( x)  1/ 2,
x  0, l  2.
 x / 2, 0  x  2,

2,  4  x  0,

f ( x)  1/ 2,
x  0, l  4.
 1  x, 0  x  4,

16.21.
16.22.
16.23.
16.24.
f ( x)  2 x  2,  1  x  3, l  2.
 0,
f ( x)  
 x,
 3  x  0,
0  x  3, l  3.
16.25.
0,
f ( x)  
2,
f ( x)  x,
 1,
f ( x)  
1,
1  x  3,
l  1.
0  x  1,
1  x  2, l  1.
16.26.
 2  x  0,
0  x  2,
l  2.
16.27.
0  x  1,
 x,

f ( x)   1,
1  x  2,
3  x, 2  x  3,

1,
f ( x)  
 x,
 1  x  0,
0  x  1, l  1.
16.28.
l  3.
16.29.
f ( x)  x  5,  2  x  2, l  2.
 3,  3  x  0,

f ( x)   3 / 2,
x  0, l  3.
  x,
0  x  3,

16.30.
 x  2,  2  x  1,

f ( x)   1,
 1  x  1, l  2.
2  x, 1  x  2,

213
11. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Найти все значения корня.
1.1. 4  8  i8 3 .
1.2. 4  1 / 16 .
1.3. 3 i .
1.4. 4 1 / 16 .
1.5. 3 i / 8 .
1.6. 3  1.
1.7. 3  1 / 8 .
1.8. 3  1 / 8i .
1 i 3
1.9. 4
.
1.10. 4 1 / 256 .
1.11. 3 27 .
32
1.12. 4 16 .
1.13. 4 256 .
1.14. 3 i / 27 .
1.15. 3  8i .
1.16. 3 1.
1.17. 3 1 / 8 .
1 i 3
.
1.18. 4
1.20. 4  8  i8 3 .
1.21. 4 1.
2
1.22. 3  16 .
1.23. 4  128  i128 3 .
1.24. 3  i .
1.25. 3 8i .
1.26. 4  128  i128 3 .
1.27. 3 8 .
1.28. 3  8 .
1.29. 3  i 27 .
1 i 3
.
1.30. 4
2
1 i 3
.
1.19. 4
32
2. Представить в алгебраической форме.
2.1. ch1 πi  .
2.4. cosπ / 3  3i  .
2.7. ch2  πi / 6  .
2.10. cosπ / 6  i  .
2.13.  i 5i
2.16. Ln 6 .
2.19. Ln 1 i  .
 3  i .
2.25. Ln 1 3i .
2.22. Ln
2.28. sinπ / 2  5i  .
2.2. Ln 1 i  .
2.5. Ln1 i  .
2.11. i 3i
2.3. cosπ / 6  2i  .
2.6. ch2  πi / 2  .
2.9. cosπ / 4  i  .
2.12. ch1 πi  .
2.14.
2.17.
2.20.
2.23.
2.18. sinπ / 6  3i  .
2.21. sh1 πi / 3 .
2.24. sinπ / 3  2i  .
2.8. 12i
 i 4i
sh2  πi / 4  .
sinπ / 3  i  .
sh1 πi / 2  .
2.26. Ln  1 i  .
2.29. sh3  πi / 6  .
2.15. cosπ / 4  2i  .
2.27. sh2  πi  .
2.30. ch3  πi / 4  .
214
3. Представить в алгебраической форме.
3.2.
3.3.
3.1.
Arccos 5  ..
  2 3  3i 
 .
Arctg 
7


 3 i 2 3 
.
Arth
 7



3.4.
3.5.
3.6.
i
8  2πi
ω  sin , при z 
.
2
z
π  16
Arsh 4i  .
3.7.
3.8.
 3  i2 3 
 .
Arth
7


1
ω  e z , при
3.10.
3.11.
 3 3  8i 
 .
Arctg 
7


4  3i 
Arth
.
 5 
 2 3  3i 
.
Arcctg
 7



3.12.
ω  ch iz ,
при z  π / 4  2i.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
 12  5i i
  2 3  3i 
 .
Arctg 
3


 3  i2 3 
 .
3.19. Arth
3



3 i
6 i .
3.9.
z
4  2πi
π2 4
Arccos 3i  .
.
4  3i i .
Arch 2  .
Arc sin4 .
 3  4i  .

 5 
3.20. Arth
3.21.
4  3i 
Arcctg
.
 5 
3.22.  1 i 4i
3.23. cos  i .
3.24.
3.25.
3.26.
3  4i 
Arctg 
.
 5 
sinπ / 4  i  .
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
4  3i 
Arth
.
 5 
 8  i3 3 
 .
Arcctg
7


 3 3  8i 
 .
Arctg 
7


π
2


π
sh 1  i .
 2 
Arch3i  .
215
4. Вычертить область, заданную неравенствами.
4.1. z  i  2 , 0  Re z  1.
4.2. z  1 i  1, arg z  π / 4.
4.3. z  i  2 , 0  Im z  2.
4.4. z  2 ,  π / 4  arg z  1  π / 4.
4.5. Re z  1, Im z  2.
4.6. z  1, arg z  1  π / 4.
4.7. z  1  1, z  1  2.
4.8. 1  z  1  2 , Im z  0 , Re z  1.
4.9. z  i  2 , Re z  1.
4.11. z  1  1, z  i  1.
4.10. 1  z  i  2 , Re z  0 ,Im z  1.
4.12. zz  2, Re z  1, Im z  1.
4.13. z  i  1, 0  arg z  π / 4.
4.14. 1  zz  2, Re z  0 , 0  Im z  1.
4.17. z  1 i  1, Im z  1, Re z  1
4.16. z  1  1,arg z  π / 4 ,arg z  1  π / 4.
4.18. z  i  1,arg z  π / 4 ,arg z  1 i  π / 4
4.19. z  1 i  1, Re z  1, Im z  1
4.20. z  2  i  1,1  Re z  3,0  Im z  3
4.21. z  2  i  2 , Re z  3, Im z  1
4.22. z  2 , Re z  1, arg z  π / 4 .
4.23. z  i  1, z  2 .
4.24. z  1,  1  Im z  1,0  Re z  2.
4.25. z  1  1, z  i  1.
4.26. z  1  1,  1  Im z  0 , 0  Re z  3 .
4.27. z  i  2 , z  i  2.
4.29. zz  2, Re z  1, Im z  1.
4.28. z  i  1,3π / 4  arg z  π / 4.
4.15. z  i  1,  π / 4  arg z  0.
4.30. z  i  1,π / 2  arg z  i   π / 4.
5. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию
f  z  по заданной действительной u  x , y  или мнимой
v  x , y  части и значению f z0 .
5.2. u  y  2 xy, f 0   0 .
5.1. υ  e  y sin x , f 0   1 .


5.3. u  x / x 2  y 2  x , f 1  2 .
5.5. u  2 xy  2 y , f 0   i .
5.4. u  x 2  y 2  2 x  1, f 0   1 .
5.6. υ  2 xy  y , f 0   0 .
5.7. u  x 3  3 xy 2  x , f 0   0 .
5.9. υ  x 2  y 2  2 x  1, f 0   i
5.8. υ  e x  x cos y  y sin y , f 0   0 .
5.10. υ  2 xy  2 x , f 0   0 .
5.11. υ  3 x 2 y  y 3  y , f 0   0
5.12. u  x 3  3 xy 2  y , f 0   1 .
5.13. υ  3 x 2 y  y 3 , f 0   1 .
5.15. u  1 sin y  e x , f 0   1 i .
5.17. υ  1 
y
x2  y
, f 1  1  i.
2
5.19. υ  e x  y cos y  x sin y , f 0   0.
5.14. u 
e2 x  1
e
x
cos y , f 0   2 .
5.16. υ  e  y sin x  y , f 0   1 .
5.18.   
y
,
x  12  y 2
5.20. u  e  y cos x , f 0   1
f 0   1 .
216
5.21. u  x 2  y 2  2 y , f 0   0.
5.23. u 
x
, f 1  1  i .
x2  y2
5.25. υ  e x cos y , f 0   1 i.
5.27. υ  y 
y
x2  y
, f 1  2.
2
5.29. u  x 2  y 2  x , f 0   0.
e2 x 1
sin y , f 0   2.
ex
5.24. u  e  y cos x  x , f 0   1.
5.22. υ 
5.26. u 
x 1
x  1
2
y
2
, f 0   1.
5.28. υ  x 2  y 2  x , f 0   0.
5.30. υ  2 xy  2 y , f 0   1.
6. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по
данной кривой .
z
 Re z dz;
6.1.
AB :  z  1, Im z  0, BC  отрезок, z B  1, zC  2 .
ABC
 z
6.2.
2

 cos z dz; ABC  ломаная, z A  0 , z B  1, zC  i .
ABC
6.3.
z
dz; L  граница области: 1  z  2 ,Re z  0.
z

L
2 z  1 dz;
6.4.
AB
 zz dz;
6.5.


AB : y  x 3 , z A  0 , z B  1  i .
AB : z  1,Re z  0 , Im z  0.
AB
 cos i z  3 z  dz; L :z  1, Im z  0.
L
6.7.  z dz; L :z  2 , 3π / 4  arg z  5π / 4.
2
6.6.
L
6.8.
 z
9

 1 dz; ABC  ломаная, z A  0 , z B  1 i , zC  i .
ABC
6.9.
ch z  cos i z ;
ABC
6.10.
ABC  ломаная, z A  0 , z B  1, zC  i .
 z z dz; L :z  4 , Re z  0.
L
217
6.11.
ch z  z  dz; L :z  1, Im z  0.
L
6.12.

z Re z 2 dz; L : z  R , Im z  0.
L
6.13.
 3 z

2
AB
6.14.


 2 z dz; AB : y  x 2 , z A  0 , z B  1  i .
z


z

1
e
dz;

L : z  1, Re z  0.
L
6.15.
 Im z
3
dz; AB  отрезок прямой, z A  0 , z B  2  2i .
AB
6.16.
 z 2 7 z  1dz; AB  отрезок прямой, z A  1, zB  1i .
AB
6.17.
1
2i
 z dz .
z R
 sin z  z 5 dz; ABC  ломаная, z A  0, zB  1, zC  2i .
6.18.
ABC
6.19.
 z Im z
2
dz; AB  отрезок прямой, z A  0 , z B  1 i .
AB
6.20.
 z 3  sin z  dz; L :z  1, Re z  0.
L
6.21.
 z z dz; L :z  1, Im z  0.
L
6.22.

L
6.23.
z Re z 2 dz; L : z  R , Im z  0.
z
2

 1 dz; ABC  ломаная, z A  0 , z B  1 i , zC  i .
ABC
6.24.

e
z
2
Im z dz; AB  отрезок прямой, z A  1 i , z B  0 .
AB
6.25.
siniz  z  dz; L :z  1, Re z  0.
L
6.26.
 z Re z
AB
2
dz; AB  отрезок прямой, z A  0 , z B  1 2i .
218
6.27.

z dz; ABC  ломаная, z A  0 , z B  1 i , zC  1 i .
ABC
6.28.
 12z 5  4 z 3  1dz; AB  отрезок прямой, z A  1, zB  i .
AB
6.29.
z
2
dz; AB  отрезок прямой, z A  0 , z B  1 i .
AB
6.30.

4
z 3e z dz; ABC  ломаная, z A  i , z B  1, zC  0 .
ABC
7. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z .
7.1.
7.4.
7.7.
z 4
2
3
2z  z  z
5 z  50
4
2
.
25 z  5 z  2 z
4 z  64
2
3
7.2.
4
32 z  4 z  z
11z  242
7.10.
7.13.
7.16.
7.19.
7.22.
7.25.
7.28.
7.5.
3
.
2
7.8.
121z  11z  2 z
7 z  196
2
3
98 z 7 z  z
3 z  18
3
2
2 z  3z  9 z
3 z  36
4
3
z  3 z  18 z
9 z  162
3
4
2
2
3
z  6 z 72 z
15 z  450
3
2
.
.
2
4
3
2
4
3
2
z  5 z  50 z
13z  338
7.11.
.
7.20.
.
7.23.
.
7.26.
2 z  15 z  225z
2
.
2 z 7 z  49 z
5 z  100
7.17.
.
3
z  2z 8z
7 z  98
7.14.
.
2 z  9 z  81z
6 z  144
4
3
2 z  16
7.29.
3
7.3.
.
7.6.
.
7.9.
2
2 z  12 z  169z
7 z  256
4
3
z  8 z  128z
z2
2
3
z  z 2z
2 z  16
2
3
4
2
49 z 7 z  2 z
5 z  100
3
50 z  5 z  z
13z  338
2
.
2
4
9 z  3z  2z
3 z  36
2
7.12.
.
7.24.
.
7.27.
169z  13z  2 z
.
3
2
81z  9 z  2 z
6 z  144
7.21.
3
3
18 z  3 z  z
9 z  162
7.18.
.
3
2
7.15.
.
8z  2z  z
7 z  98
2
.
3 z  18
7.30.
2
.
.
4
.
3
3
72 z  6 z  z
15 z  450
4
.
3
225z  15 z  2 z
z 4
4
3
z  z  2z
5 z  50
3
2
2
3
z  4 z  32 z
11z  242
3
3
.
.
2
2 z  11z  121z
7 z  196
4
3
.
.
2 z  5 z  25 z
4 z  64
4
3
z 7 z  98 z
2
.
.
219
8. Для данной функции найти изолированные особые точки и
определить их тип.
8.1.
sin z
z 3 1  cos z 
.
z2
8.4.


8.7.
z 3 12
2
1
z  4 cos
z 2
sin π z
2
.
.
sin 3 z 2 1 / z
e .
8.10.
3
z z 1
2 z  sin 2 z



8.13.

z 2 z 2 1
8.16. 1 / cos z .
e z 1
8.19.
z  z  1
1
8.22. tg .
z
2
3
.
e z 1
8.3.
.
sin π z
π
cos z
2 .
8.8.
4
z 1
1 1
8.11. ctg  .
z z2
1
8.9. z 2 sin .
8.14.

z 2
i
dz .
2
z


z 2
3
z
cosπ z
4 z 2 1z 2  1.
8.18. tg 2 z .
8.21.
z 2 1
z  i 
2
sin z 2
1
z
z 3 cos
2i
dz .
z
8.27.
.
9.2.
z  4
2
8.24. ctg .
2 .
z sin 2 z
1
8.26. z
.
e 1
1
8.29.
.
sin 3 z
.
z 1  cos z 
8.23.
eiz  1
dz .
9.3.
3
z
z 1
9.5.
8.15.
 z  π sin π z
sin 3 z  3 sin z
.
z sin z  z 
z 2 sin
e 11 z 
8.12.
8.20. z tg ze1 / z .
.
e1 / z
z
sin 3 z
.
z 1  cos z 
9. Вычислить интеграл.
9.1.
8.6.
8.17. e1 / z / sin1 / z  .
8.25. ctgπz .
8.28.
sin π z 1 / z
e .
z 4 1
1
1
8.5.
.

sin
2
2
z
z
8.2.
8.30.
sin π z
 z  13
.
1
1
.

e z 1 z
cos i z  1
dz .
3
z
z 1

1  2z4  3z5
dz
9.4.
4
z
z 1 / 3

z 5  3z 3  5 z
dz .
9.6.
4
z
z 1 / 2

.
220
9.7.

z
9.9.
2z 3  3z 2  2
dz .
5
2
z
3

z 1
ze1 / z  z  1
dz .
z3
cos z 2  1
9.8.
dz .
4
z
z 3

2  z 3  3z 3
9.10.
dz .
3
4
z
z 1 / 2

z4  2z2  3
9.11.
dz .
6
2
z
z 1 / 2
9.12
1  z 4  2 z6
9.13.
dz .
3
2
z
z 1 / 3
1  cos z 2
9.14.
dz .
2
z
z 2


9.15.
e z  sin z
dz .
2
z
z 1 / 3


z 2
sin z 3
dz .
1  cos z

9.16.
1  sin

z
z 3
9.17.

z 1
2
z 2 e1 / z  1
dz .
z
1
z dz .
3  2z  4z3
9.18.
dz .
3
z
z 1 / 3

e1 / z  1
dz .
z
z 3  3z 2  1
dz .
9.19.
4
2
z
z 1
9.20.
e2 z  z
dz .
9.21.
2
z
z 1
1  2z  3z 2  4 z 3
dz .
9.22.
2
2z
z 1 / 3


9.23.
cos i z  1
dz .
3
z
z 1
9.25.
z 2  cos z
dz .
z3


z 3
9.27.
z  sin z
dz .
4
z
z 2
9.29.
2  3z 3  5z 4
dz
5
z
z 1 / 2



z 3

3z 2  2 z 3  5
dz .
9.24.
4
z
z 1

2
e2 z  1
dz .
9.26.
3
z
z 1 / 2

9.28.
z  sin z
dz .
3
2
z
z 2

4 z 5  3z 3  1
dz
9.30.
6
z
z 1 / 3

221
10. Вычислить интеграл.

10.1.
z 1 / 2 1
10.3.
10.5.
ez  1
dz .
z  z  1
cos2 z  1
dz .
2
2
z


z  2 3


z 6
sin 3 z  2
dz .
2
2
z

4

1
cos2 z  3
10.7.
dz .
2
2
z


z
z  3 / 2 1

lne  z 
dz .


z 1 / 4 z sin  z 

4

z3  i
10.11.
dz .
sin 2 z  z   
10.9.


10.2.

2  sin z
dz .
z  z  2i 
z 1
10.15.

z sin z  2 
dz .
sin z

2z z  1
dz .
sin z
z  3 / 2 1
10.6.
10.8.

z 1 / 2 1
iz  z  i 
dz.
sin  z
z 2  sin z  2
dz .
10.21.
2
z


z
z 2

10.23.

z 3 / 2  2
sin z
dz .


z  z    z  
3



z   2

z 1
10.14.
e zi  2
dz .
sin 3 zi

ln z  2 
dz .
sin z

z 1 1 / 2
10.18.


z2  z  3
dz.
sin z   z 
z  / 2
10.22.
10.24.
tgz  2
dz .
4 z 2  z
sin 2 z  3
dz .
z 2  2z
z 1  2
10.20.
2
sin 3 z  2
dz .
z 2 z   
z 1  3 / 2
10.16.

2
cos2 z
dz .
z sin z
z  3 1
10.12.
zz   
dz
sin 3 z  z   

dz .
i sin z

10.10.
z 3 / 2  2
10.19.
z
z  1
z 3 / 2  2
10.17.

10.4.
z 1
10.13.

z 1  2
zz   
dz .
sin 2 z
 
dz
.
2
z
z

1
z 1 / 2

z i  3 / 2

dz
.
z z2  4


222

10.25.
z 2
sin 2 z
dz .
z cos z
10.26.

z  3 1 / 2

sin z
10.27.
dz .
z
z  3 / 2  2 sin  z   
2
2dz
10.29.
.
2


z
z

1
z 1i  5 / 4
10.28.

z 1  3

10.30.
e z dz
.
sin z
ze z
dz.
sin z
z  z  12
dz.
sin 2 z

z 1 / 4 1 / 3
11. Вычислить интеграл.
2π
0
11.1.
dt
.
4 sint  5
0
11.4.
2π
11.7.
dt
.
7 sint  4
0
2π
11.10.
0
2π
11.13.
0
dt
.
2 2 sint  3
dt
.
21 sint  5
0
11.2.
2π
dt
.
3 7 sint  8
11.16.
0
0
11.5.
0
dt
.
4  2 3 sint
11.8.
11.22.
0
0
dt
.
8  2 15 sint
2π
11.11.
0
2π
11.14.
0
2π
11.17.
0
dt
.
15 sint  4
dt
.
35 sint  6
dt
.
2  3 sint
11.20.
0
dt
.
5  2 6 sint
2π
0
11.6.
11.23.
0
dt
.
3 sint  5
2π
11.9.
0
dt
.
4 5 sint  9
2π
11.12.
0
2π
11.15.
0
dt
.
5 sint  3
dt
.
2 3 sint  4
2π
11.18.
0
dt
.
4  15 sint
2π
11.21.
2π
dt
.
7  4 3 sint
dt
.
4 3 sin t  7
0
2π
2π
dt
.
6  4 2 sint
dt
.
5  21 sint

11.3.
2π
2π
11.19.
dt
.
3  2 2 sint
2π
2π
dt
3  5 sint
2
2π
0
dt
.
6  35 sint
2π
11.24.
0
dt
.
5  4 sint
223
2π
0
11.25.
2π
0
11.28.
2π
dt
.
3 sint  2
11.26.
0
11.29.
0
dt
.
9  4 5 sint
12. Вычислить интеграл.
12.1.
12.3.
dx
 x2  22 x 2  102

x 2  10
 x

2
4

2

12.5.
12.7.
12.9.
dx
dx
x2 1
12.11.
.
12.6.
12.15.
x2 4
 x 2 9 2 dx .
dx
 x 2  9x2  42 .
dx
 x 2  2x 2  32 .
12.10.
.
12.12.
12.16.
dx
 x 2 14 .

12.18.
x2 1
 x 2  8 x  172 dx .

.
dx
 x 2  15 .

12.14.
dx
 x 2  12 x 2  16 .

 x 2  12 x 2  52

12.17.
dx .
2
 1 x 2 3 .
dx
 x 2 4x 2 92 .

dx

dx

12.8.
0
dt
.
4  7 sint
dx

.
 x 2 12 x 2 4

12.13.
dx
11.30.
 x2 42 x 2 16 .

 2
 x  4 x  13

12.2.
0
dt
.
8  3 7 sint
2π

12.4.
 x 2 10x  292

.
dx .
 x 2  32 x 2  152

11.27.
2π
dt
.
2 6 sint  5

2π
dt
.
5  3 sint
x2  2
 x4 7 x 2  12dx .
224

12.19.
 x4  10x 2  9dx .

12.21.
dx .
2
x2 5
12.22.
x2
 x 2  112 dx .
 x

12.24.
dx .
 x4 7 x 2 12
.
12.26.

4
1
.
dx
dx
x 2 dx
 x 2  32 .

12.30.
2
 x4 10x 2 9 .

12.28.
dx
 x 2  x  12 .

x2  3
dx
12.20.

 x2 10x  292 dx .

12.29.
x2
dx .
2
 x4 5 x 2 6

12.27.
x 1


 2
 x  5 

12.25.
2
 x 2  x 1

12.23.
x2  x  2
dx
 x 2  9x 2  12 .
13. Вычислить интеграл.
x3 2cos 2x
13.1.
 x 2 12 dx .



13.3.
x cos x
 x 2 2 x 17 dx .

cos 5 x dx
 x 2 12 x 2 4.
 3
x  1cosx dx .
13.7.
 x4  5 x2  4
13.5.

13.9.
cos2 x  cos x
 x 2 12
dx .
13.2.
x 2 cos x dx
 x4 10x 2 9 .

x3 1sin x dx .

 x 1sin x dx .
 x4 5 x 2 4


x 2  x sin x
13.6.
 x4  13x2  36 dx .
13.4.
13.8.
 x 2 92

13.10.
x 2 cos x
 x 2 12 dx .
225

13.11.
 x4 13x 2 36

13.13.
13.16.

13.18.


0 
cos 2 x
13.20.
13.22.
cos x dx
 x 2  16 x 2  9
x cos x dx
 x 2  2 x  10 .

sin 2 x
 x 2  x12 dx .
 2
x  5 xsin x dx .
13.29.
 x4  10x 2  9
13.27.
x sin 3 x
0 x 2 42 dx .
cos 2 x
 x 2  12 dx .

.
x sin x
0 x 2 13 .

dx .
2
x 3 sin x
cos x dx

x2 2 x2
2 1
 x 4 



13.25.
.
 x  1cos x dx .
 x4  5 x 2  6
 2
x  3cos2 x dx .
13.26.
 x4  3x 2  2


x 2  x sin x
13.28.
 x4  9 x 2  20 dx .
13.24.

13.30.
sin 2 x  sin x
 x 2  42
14. Найти оригинал по заданному изображению.
14.1.
p
 p  1p 2  4 p  5 
.

 x 2 12 dx

 x 1sin 2 x dx .

13.23.
sin 2 x dx

 x4 5 x 2 4 dx .

x sin
 x 2  x12

13.21.
x sin x dx
x
x sin dx
2
.
2
2
x 1 x  9



x
2 dx .
2
x 4

13.19.
13.12.
13.14.

13.17.

 x 2 2 x 10 .

13.15.
x 2  xcosx dx .
14.2.
p
p 2  1p 2  2.
dx .
226
4
14.3.
p3  8
p4
14.5.
14.7.
14.9.
.
2
p 4 p5
p5
 p  1p
.

.
 p  1p 2  4 p  5 
.
14.11.
14.13.
14.15.
14.17.
14.19.
14.21.
14.23.
14.25.
14.27.
14.29.
2
2 p5
3p2

1

 p  1p

 p 1
 p  1p 2  2 p  2 
3 p2
p

1

2
p p 1
1
p5  p3
p
2

 p 1
.
.
.
1
2
p p p
1

3

p p 1
.
14.16.
.
14.18.
.
.

 1 p2  2
5p
2
2
2 p2
p


.
.
2
2
.
4 p8
2 p 1
 p  1p 2  2 p  3
4 p 5
 p  2 p 2  4 p  5 
p
2p
2
4 p8
p3
3

2
2
p 2 p 3 p
6
p3  8
.
.
.
.
.
14.26.
14.28.
14.30.
 p  1p
5

1
14.22.
.
2
 p  2 p  2 p  3
14.20.
14.24.
p 2  1p 2  4.
3
p
14.14.
 p  1p 2  6 p  10
 p  1p
 p  2 p
14.10.
.
2
2
14.6.
14.12.
p p2 4
2 p3
2
p
14.8.
.
p
14.4.

2
.
4 p5
1 p
p p2  3 p  3
23 p
.
 p  2 p 2  4 p  5 
2 p
3
2
p 2 p 5 p
2 p
 p  1p
2
.
.
4 p 5

.
227
15. Операционным методом решить задачу Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения.
15.2. y"  y  2cost ,
15.1. y" 2 y' 10 y  2e t cos 3t ,
y0  0 , y' 0  1 .
y0   5, y' 0   1 .
15.3. y"  y' 2 y  e t ,
y0   1, y' 0   0 .
15.5. y" 4 y' 4 y  t 3e 2t ,
y0   1, y' 0   2 .
15.7. y" 4 y  3 sin t  10 cos 3t ,
y0   2, y' 0   3 .
15.9. y" 3 y' 10 y  47cos 3t  sin 3t ,
y0   3, y' 0   1 .


15.11. y" 2 y'  et t 2  t  3 ,
y0   2, y' 0   2 .
15.13. y"  y  4 sint 5cos2t ,
y0  1, y' 0  2 .
15.15. y"  y'  t 2 ,
y0   0 , y' 0   1 .
15.17. y"  y  cos 3t ,
y0   1, y' 0   1 .
y0   1, y' 0   0 .
15.6. y" 2 y' 3 y  2t ,
y0   1, y' 0   1 .
15.8. 2 y" 5 y'  29cos t ,
y0   1, y' 0   0
15.10. y" 4 y  8 sin 2t ,
y0   3, y' 0   1 .
15.12. y" 4 y  4e 2t  4t 2 ,
y0   1, y' 0   2 .
15.14. y" 3 y' 2 y  12e3t ,
y0   2, y' 0   6 .
15.16. y" 4 y  sin 2 t ,
y0   0 , y' 0   1 .
15.18. y"  y  6 e t ,
y0   3, y' 0   1 .
15.19. y"  y' 2 y  2t  1,
y0   1, y' 0   1 .
15.20. y"  y'  t 2  2t ,
15.21. y" 2 y'  2  et ,
15.22. y"  y'  y  7 e 2t ,
y0   1, y' 0   2 .
15.23. y" 2 y'  sint / 2,
y0   2, y' 0   4 .
15.25. y" 4 y' 29 y  e 2t ,
y0   0 , y' 0   1 .
y0   0 , y' 0   2 .
y0   1, y' 0   4 .
15.24. y" 9 y  sin t  cos t ,
y0   3, y' 0   2 .
15.26. 2 y"  y'  sin3 t ,
y0   2, y' 0   1 .
15.27. 2 y" 3 y'  y  3et ,
y0   0 , y' 0   1 .
15.28. y"  y  sh t ,
y(0) = 2, y’(0)=1.
15.29. y"  y'  y  t 2  t ,
15.30. y" 3 y' 2 y  et ,
y0   1, y' 0   3 .
t
2
15.4. y" 3 y' 2 y  2et cos ,
y0   1, y' 0   0 .
228
16. Операционным методом решить систему дифференциальных
уравнений.
 x  3 x  5 y  2 ,
 y  3 x  y  1;
x0   0 , y0   2 .
 x  2 y  1,
16.4. 
 y  2 x  3;
x0   1, y0   0 .
 x  2 x  2 y  2 ,
16.7. 
 y  4 y  1;
x0   0 , y0   1 .
 x  x  2 y  1,
16.10. 
 y  3 x;
x0   0 , y0   1 .
 x  x  4 y  1,
16.13. 
 y  2 x  3 y ;
x0   0 , y0   1 .
 x  x  2 y  1,
16.16. 
 y  4 x  y ;
x0   0 , y0   1 .
16.1. 
16.19.
16.22.
16.25.
16.28.
 x  2 x  5 y  1,

 y  x  2 y  1;
x0   0 , y0   2 .
 x  3 x  4 y  1,

 y  2 x  3 y ;
x0   0 , y0   2 .
 x  2 x  3 y  1,

 y  4 x  2 y ;
x0   1, y0   0 .
 x  2 x  2 y ,

 y  4 x;
x0   3, y0   1 .
 x  2 y ,
 y  2 x  3 y  1;
x0   2, y0   1 .
 x  4 x  3,
16.5. 
 y  x  2 y ;
x0   1, y0   0 .
 x  x  3 y  3,
16.8. 
 y  x  y  1;
x0   0 , y0   1 .
 x  2 y ,
16.11. 
 y  3 x  1;
x0   2, y0   0 .
 x  2 x  y ,
16.14. 
 y  3 x;
x0   0 , y0   1 .
 x   x  2 y  1,

16.17. 
3
 y   2 x  y ;
x0   1, y0   0 .
16.2. 
16.20.
 x  3 x  2 y ,


  5 x  y  2;
y


2
x0   0 , y0   1 .
 x  2 x  8 y  1,
16.23. 
 y  3 x  4 y ;
x0   2, y0   1 .
 x  x  y ,
16.26. 
 y  4 x  y  1;
x0   1, y0   0 .
 x  3 y  2 ,
16.29. 
 y  x  2 y ;
x0   1, y0   1 .
 x  x  4 y ,
 y  2 x  y  9;
x0   1, y0   0 .
 x  2 x  5 y ,
16.6. 
 y  x  2 y  2;
x0   1, y0   1 .
 x  3 x  y ,
16.9. 
 y  5 x  3 y  2;
x0   2, y0   0 .
 x  2 x  6 y  1,
16.12. 
 y  2 x  2;
x0   0 , y0   1 .
 x  x  2 y ,
16.15. 
 y  2 x  y  1;
x0   0 , y0   5 .
 x  2 x  y  2 ,
16.18. 
 y  3 x;
x0   1, y0   0 .
16.3. 
 x  y  3,
 y  x  2;
x0   1, y0   0 .
 x   x  3 y  2 ,
16.24. 
 y  x  y  1;
x0   0 , y0   1 .
 x  x  3 y ,
16.27. 
 y  x  y ;
x0   1, y0   0 .
 x   x  3 y  1,
16.30. 
 y  x  y ;
x0   1, y0   2 .
16.21. 
229
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа/ А.Ф.
Бермант, И.Г. Араманович. – М.: Физматлит, 2003. – 800 с.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление
для втузов: в 2 т./ Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. –
Т.1-2.
Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии/ Н.В.
Ефимов. – М.: Физматлит, 2006. – 240 с.
Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике: учебник для вузов/
А.Д. Мышкис. – СПб: Лань, 2007. – 688 с.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике:
полный курс/ Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 608 с.
Высшая математика для экономистов: учебник для вузов/ Н.Ш.
Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. – 471 с.
Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании/ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.:
Дело, 2001. – 688 с.
Кузнецов, Б.Т. Математика: учебник для студентов вузов по
специальностям экономики и управления/ Б.Т. Кузнецов. – М.:
ЮНИТИ, 2004. – 720 с.
Малыхин, В.И. Математика в экономике: учебное пособие/ В.И.
Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с.
Математика в экономике: в 2 ч./ А.С. Солодовников, В.А.
Бабайцов, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – М.: Финансы и
статистика, 1999. – Ч. 1-2.
Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1-3/ Под общ.
ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. – М.: Физматлит, 2003. –
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа:
учебное пособие для вузов/ Г.Н. Берман. – СПб.: Профессия,
2003. – 432 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/
Г.С. Бараненков, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко и др.; под ред.
Б.П. Демидовича. – М.: АСТ, 2007. – 495 с.
Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии:
учебное пособие для втузов/ Д.В. Клетеник. – СПб.: Профессия,
2005. – 199 с.
Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное
пособие для втузов/ В.П. Минорский. – М.: Физматлит, 2001. –
336 с.
230
16. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное
пособие/ В.И. Ермаков, Г.И. Бобрик, Р.К. Гринцевичюс и др.; под
ред. В.И. Ермакова. – М.: Инфра-М, 2006. – 575 с.
17. Сборник задач по курсу математики/ В.А. Бабайцов, А.В.
Браилов, В.Б. Гисин и др.; под ред. А.С. Солодовникова, А.В.
Браилова. – М.: Финансовая академия, 2001. – 508 с.
18. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые
расчеты: учебное пособие/Л.А. Кузнецов. – СПб.: Лань, 2005. –
240 с.
19. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч./
А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. –
Минск: Академическая книга, 2005. – Ч.1-3.
20. Сборник типовых расчетов по высшей математике: учебное
пособие/ под ред. В.Б. Миносцева. – М.: МГИУ, 2001. – 511с.
21. Федоренко, Б.З. Математика. Сборник индивидуальных заданий:
в 4 ч.: учебное пособие/ сост. Б.З. Федоренко, В.И. Петрашев. –
Белгород: БелГТАСМ, БИИММАП, 1999. – Ч. 1-4.
Учебное издание
Федоренко Борис Зиновьевич
Петрашев Владимир Иванович
Индивидуальные задания по математике
Практикум
Компьютерный набор: Селиванова Е. В.
Компьютерная вёрстка: Федоренко А. Б.
Подписано в печать 19.01.2017. Формат 60 84/16. Усл.печ.л. 13,4. Уч-изд.л. 14,4.
Тираж 100 экз. Заказ
Цена
Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете
им. В.
Г. Шухова
308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.