Линейная алгебра. Введение в матрицы

Линейная алгебра
Матрицы. Основные понятия.
Действия над матрицами
Метод обратной матрицы решения систем
линейных уравнений
Матрицы. Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная
из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.
Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические
выражения, функции и т.д.
 a11

 a 21
A 


a
 m1
a12
a 22

am 2
a1n 

... a 2n 
 

... amn 
...
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,
элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
dim A  m  n
количество
количество
строк столбцов
Матрицы. Основные понятия
Если m  n , то матрица называется прямоугольной.
Если m  n
порядка).
, то матрица называется
квадратной (n - ного
Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого
порядка, размерностью 1 1 .
Матрица типа 1 n называется матрица-строка:
a
11
a12 a13 ... a1n 
Матрица типа m 1 называется матрица-столбец:
 a11 


 a 21 


 ... 
a 
 m1 
Матрицы. Основные понятия
Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы,
расположенные на главной диагонали, равны единице,
остальные – нулю (обозначается буквой Е):
 1 0 0


E  0 1 0
 0 0 1


Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она
называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.
0 0 0


O  0 0 0
0 0 0


Матрицы. Основные понятия
Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует
определитель n - ного порядка, элементы которого равны
соответствующим элементам матрицы.
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
a11
a12
a13
det A  a21 a22
a31 a32
a23
a33
Определитель любой единичной матрицы равен единице.
Если определитель матрицы равен нулю, то
называется вырожденной, в противном случае
невырожденная.
матрица
матрица
Действия над матрицами
Равенство матриц
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их
соответствующие элементы равны.
A B

dim A  dimB;
aij  bij
Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц
одинакового размера, при этом соответствующие элементы
матриц складываются или вычитаются.
C  A B

dim A  dimB  dim C

c ij  aij  bij

Действия над матрицами
Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же
размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.
B kA

dim A  dimB; bij  aij  k
Найти значение выражения: C  A  5  B
 1 3 2

A  
0 1 4
 2  4 1

B  
  5 0 2
3  5  ( 4) 2  5  1   11  17 7 
 1 5  2

  
C  
 0  5  ( 5)  1  5  0 4  5  2    25  1 14 
Действия над матрицами
Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в
противном случае произведение не существует.
dim A  m  n
dim B  n  k
C  A  B  существует


dimC  m  k

Произведением матрицы A размера [m  n] с элементами aij
на матрицу B размера [n  k ] с элементами bjq называется
матрица C размера [m  k ] с элементами:
n
c iq   aij  b jq
j 1
Действия над матрицами
 1 0 2

A  
3 1 4
 0 5 1


B   2 1 1
3 2 0


 0 5 1


B   2 1 1
3 2 0


 1 0 2

A  
3 1 4
6 9 1
14 24 4
Найти С = A * B
dim A  2  3
dim B  3  3
c12  1 5  0  1 2  2
c11  1 0  0  2  2  3
c13  1 1  0  1  2  0
 6 9 1

C  
14 24 4 
cc22 33 5 111 1
44 20

1
c 21  3  023  1 2  4  3
Действия над матрицами
Свойства операции произведения матриц:
ABC   ABC ;
2) AB  AB ;
3) A  BC  AC  BC ;
1)
4) В общем случае для произведения матриц не действует
переместительный закон: A  B  B  A
иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда
АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными.
5) Единичная матрица является коммутативной для любой
квадратной матрицы того же порядка:
EA  AE  A
6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение
определителей равно определителю произведения .
det A  det B  det AB
Действия над матрицами
Нахождение обратной матрицы
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1


A
A A 
A  det A  0  A
det A
T

1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами
Действия над матрицами
0 3 1
0 3 1
 0 3 1
2 1


4


(

1
)
2

2
1
0
det
A

2
4
1
A   2 4 1 
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0


 0 2 2 Из второй -2




T
 A   3 4 строки
A 2
2   вычтем
строку
 1 1 первую

0
-4


2 -1
Разложим
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца

6 -6
4 2
A 11  3 2
 ( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20  ( 1)  2
2 23
22  ( 41(4)( 
A 21 A
)14)21
0
A
2
1 0( 1)5  6

1
A

13
0
2
AA


(

1
)


4
1
1 320.5 3 2
 12 101 (2111) (11)62 
31 22 
A
6

 
1 4331 2 03 4
1
1 
A   2 2
2    1 1
2

  2
3

3

4
6

6


 
Метод обратной матрицы решения
систем линейных уравнений
Метод обратной матрицы рассмотрим на примере
решения квадратной системы 3 порядка.
a11x1  a12 x 2  a13 x 3  b1

a21x1  a22 x 2  a23 x 3  b2
a x  a x  a x  b
33 3
3
 31 1 32 2
Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
 x1

X   x2

 x3





 b1

B   b2

 b3





Основная матрица
Матрица - столбецМатрица - столбец
системы свободных членов
неизвестных
Метод обратной матрицы решения
систем линейных уравнений
Тогда систему можно записать так:
 a11 a12

A  X   a21 a22
a
 31 a32
a13   x1   a11 x1  a12 x 2  a13 x 3   b1

   
a23    x 2    a21 x1  a22 x 2  a23 x 3    b 2
 a x  a x  a x   b



a33   x 3   31 1 32 2
 3
33 3 
 AX B
Найдем решение системы в матричном виде.
Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно,
существует обратная матрица А-1.
Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:
A 1  A  X  A 1  B
 E  X  A 1  B  X  A 1  B
Метод обратной матрицы применим для решения квадратных
систем с невырожденной основной матрицей.





Метод обратной матрицы решения
систем линейных уравнений
Решить систему методом обратной матрицы.
3x 2  x 3  1

2x1  4x 2  x 3  2
2x  2x  3
2
 1
X  A 1  B
1  0.5 
 1


1
A   1 1
1 
 2

3

3


 x1
 0 3 1



A   2 4 1 X   x 2

2 2 0


 x3





1 
 
B   2
3
 
1 
 
B   2
3
 
-0,5
2
-5

  0 .5 


X 2 
 5 

