В однородное электрическое поле Е0 помещен металлический шар радиуса R. Найти:
1) распределение потенциала по углу и электрическое поле внутри и вне шара.
2) Максимальную поверхностную плотность электрического заряда
3) Индуцированный дипольный момент P
Решение.
Замечание. Развернутый поясняющий рисунок см. в конце решения.
Пусть начало координат - центр шара.
Потенциал 𝜑 = 𝜑0 + 𝜑1 , где 𝜑0 =- Е𝟎 𝒓 - потенциал внешнего поля, а 𝜑1 -искомое изменение
потенциала, вызываемое шаром. Из-за симметричности шара функция 𝜑1 может зависеть лишь от
одного постоянного вектора. Единственное такое решение уравнение Лапласа, обращающееся в
нуль на бесконечности,
1
Е𝟎 ∗ 𝒓
𝜑1 = −𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∗ Е𝟎 ∗ 𝜵 = const ∗
𝐫
𝐫𝟑
На поверхности шара 𝜑 должно быть постоянным, это значит, что const=𝑅 3, отсюда получаем:
𝐑𝟑
𝜑 = − Е𝟎 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ (1 − 𝟑 )
𝐫
Где 𝜃 − угол между веторами напряженности поля и 𝒓.
Вычислим распределение зарядов на поверхности.
Нормальная к поверхности компонента весьма просто связана с плотностью распределения по
поверхности заряда. Эта связь получается из общего электродинамического уравнения
div 𝐞 = 4πρ, где е- истинное «микроскописческое» значение напряженности электрического поля.
И т.к. у нас однородное поле и е̅ = Е, тогда после усреднения получаем:
div Е = 4πρ̅
где ρ̅- средняя плотность заряда.
Замечание. Напоминаю, что дивергенция - дифференциальный оператор,
отображающий векторное поле на скалярное, т.е.
𝑑𝑖𝑣 Е =
𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Итак, это уравнение означает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен
полному заряду, находящемуся в ограниченном этой поверхностью объеме (умноженному на 4π).
Таким образом, распределение зарядов по поверхности проводника задается формулой:
𝜎=
1
1 ∂𝜑
𝑬𝒏 = −
4𝜋
4𝜋 ∂𝒏
Где 𝜎 называется поверхностной плотностью заряда, а n- внешняя нормаль к поверхности.
Распределение зарядов по поверхности шара для нашего случая:
𝜎=−
1 ∂𝜑
|
4𝜋 ∂𝒓
В любом электрическом поле распределение потенциала обладает «замечательным свойством»:
функция 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) достигает максимума или минимума на границах области поля. Таким образом,
для рассматриваемого шара справедливо:
𝜎(𝑟 = 𝑅) =
3Е0
𝑐𝑜𝑠𝜃
4𝜋
Полный заряд проводника
𝜎=−
1 ∂𝜑
∮
𝑑𝑓,
4𝜋 ∂𝒏
Где интеграл берется по всей поверхности.
Учитывая «замечательное свойство» потенциала получаем, что полный заряд 0.
Ответим на третий вопрос задачи и найдем дипольный момент шара, для этого в начале
рассмотрим его энергию.
Полная энергия электростатического поля заряженных проводников:
1
𝑈 = ∑ 𝑒𝑖 𝜑𝑖
2
Т.к. в нашем случае поле однородно, то можем считать, что заряды, создающие это поле,
находятся на бесконечности. И, если е- удаленный заряд, создающий поле, а 𝜑-потенциал этого
поля, создаваемого рассматриваемым проводником в точке нахождения заряда е.
Замечание. Энергия самого заряда е, не будет учтена в формуле для U, как не имеющая
отношения к интересующей нас энергии самого шара.
Итак, энергия рассматриваемого шара:
1
𝑈 = 𝑒𝜑
2
Заряд проводника 0, но под влиянием внешнего поля проводник приобретает дипольный
электрический момент Р. Потенциал поля электрического диполя на большом расстоянии r от
него, есть, как известно 𝜑 =
Pr
.
r3
Поэтому энергия шара:
1 Pr
𝑈= 𝑒 3
2 r
А дипольный момент:
Замечание. При решении задачи можно было
воспользоваться тем, что при помещении
проводника в поле происходит перераспределение и разделение заряда таким образом, что
шар можно представить как диполь и при этом решение будет следующим.
𝑞
𝑞
1
2
𝜑 =𝑟 +𝑟 =
𝜃
𝑞(𝑟2 −𝑟1 )
𝑟1 𝑟2
= {т. к. ∆𝑟 ≫ 𝑙} =
𝑞𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2
Пусть 𝜑(𝑟 = 0) =
0, но поверхность металла эквипотенциальная => 0 = 𝜑0 +
𝜑инд и находим дипольный момент
𝜕𝜑
| = Е𝑹 = 4𝜋𝑡, где 𝑡 = 3 Е𝟎 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜕𝒓