<LT> 3.18 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер
<KEY> Айнымалысы логарифмдік таңбамен берілген теңдеу логарифмдік теңдеу деп
аталады. Теңдеуді шешу дегеніміз – оның барлық түбірлерін табу немесе түбірі жоқ
екенін дәлелдеу.
<TXT> Логарифмдік теңдеуді шешу барысында түрлендірулердің әр түрлі тәсілдерін
қолдануға тура келеді. Соның салдарынан теңдеудің бөгде түбірлері пайда болуы не
болмаса түбірі жоғалуы мүмкін. Сондықтан түрлендірулер кезінде теңдеулердің
мәндестігі күдік туғызса, онда табылған түбірлерді бастапқы логарифмдік теңдеуге
қою арқылы немесе анықталу облысын зерттеу арқылы тексеруге болады.
<KEY> Қарапайым логарифмдік теңдеу үшін келесі түрлендіру орындалады:
𝑓 (𝑥 ) = 𝑔 (𝑥 )
log 𝑎 𝑓 (𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ {
𝑓 (𝑥) > 0, немесе 𝑔(𝑥) > 0,
мұндағы, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
<ACT><GRP>1. log 1 (4𝑥 + 1) = −3 − теңдеуін шешіңдер:
3
Шешуі: Теңдеудің мүмкін мәндер жиыны: 4𝑥 + 1 > 0. Логарифмнің анықтамасын
ескере отырып, берілген теңдеуді келесі түрде жазуға болады
1 −3
( ) = 4𝑥 + 1 ⇒ 27 = 4𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = 6,5.
3
Бұл түбір теңдеудің мүмкін мәндер жиынын қанағаттандырады.
<ACT><GRP>2. log √5 (2𝑥 + 15) = 4 log √5 2 − теңдеуін шешіңдер:
Шешуі: Теңдеудің мүмкін мәндер жиыны: 2𝑥 + 15 > 0. Логарифмнің анықтамасын
ескере отырып, берілген теңдеуді келесі түрде жазуға болады
log √5 (2𝑥 + 15) = log √5 16 ⇒ 2𝑥 + 15 = 16 ⇒ 𝑥 = 0,5.
Бұл түбір теңдеудің мүмкін мәндер жиынын қанағаттандырады.
<ACT >3. Теңсіздікті шешіңдер:
a) log 1 (2𝑥 + 3) = 0 ;
2
b) log 3 (𝑥 + 5) = −1 ;
c) log 2 𝑥 = 3 − log 2 5 ;
1
d) log 3 (2𝑥 − 1) = −2log 3 .
4
<TXT> Кейбір логарифмдік теңдеулерді айнымалы ауыстыру арқылы квадраттық
теңдеулерге келтіруге болады.
<ACT><GRP>4. lg 2 𝑥 = 3 − 2lg𝑥 − теңдеуін шешіңдер:
Шешуі: Егер 𝑙𝑔𝑥 = 𝑦 белгілеуін енгізсек, берілген теңдеу мына түрге келеді:
𝑦 2 = 3 − 𝑦 ⇒ 𝑦 2 + 𝑦 − 3 = 0 ⇒ 𝑦1 = −3 және 𝑦2 = 1.
Бастапқы айнымалыға ауысатын болсақ
𝑙𝑔𝑥 = −3 ⇒ 𝑥 = 0,001 және 𝑙𝑔𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 10.
Тексеру арқылы екі түбірдің де берілген теңдеуді қанағаттандыратына көз жеткізуге
болады.
<ACT>6. Теңдеулерді шешіңдер:
a) log 22 𝑥 − 3log 2 𝑥 = 4;
1
1
b)
lg 2 𝑥 = 3 − lg𝑥;
12
c)
log 24 𝑥
4
+ log 4 √𝑥 = 1,5;
d)
e)
f)
1
+
5−log3 𝑥
log 23 𝑥 −
log 25 𝑥 −
1
1+log3 𝑥
= 1;
2log 3 𝑥 = 23;
log 25 𝑥 2 = 2.
<TXT> Сонымен қатар кейбір логарифмдік теңдеулерді шешу барысында
логарифмдерді бір негізге келтіру тәсілін қолдануға болады.
<ACT><GRP>7. log16 𝑥 +log 4 𝑥 + log 2 𝑥 = 7 − теңдеуін шешіңдер:
Шешуі: Берілген теңдеудегі логарифмдерді негізі екі болатын логарифмге
ауыстырсақ:
log 2 𝑥
log 2 𝑥
1
1
+
+ log 2 𝑥 = 7 ⇒ log 2 𝑥 + log 2 𝑥 + log 2 𝑥 = 7.
log 2 16 log 2 4
4
2
Соңғы теңдеуден log 2 𝑥 = 16 ⇒ 𝑥 = 16 − түбірін аламыз.
<TXT> Бұл теңдеуді логарифмнің қасиетін пайдаланып шығаруға да болады.
<ACT >8. Теңдеулерді шешіңдер:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
log 0,1 (𝑥 2 + 1) = log 0,1 (2𝑥 − 5) ;
log 2 (𝑥 + 12) = 2 log 2 𝑥;
log 5 (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) = log 5 (𝑥 + 2) ;
lg(𝑥 + 1,5) = −lg𝑥;
lg(𝑥 + 6) − 0,5lg(2𝑥 − 3) = 2 − lg25;
lg(𝑥 2 + 75) − lg(𝑥 − 4) = 2;
log 5 𝑥 = log 0,1 (6 − 𝑥 2 ).