1. Вычислите 1 𝑎2 + 1 𝑏2 , если a и b корни квадратного уравнения 𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = 0 3 3 14.* Сколько корней имеет уравнение 3 (𝑥 + 2)2 = − ? 𝑥 2. Вычислите 𝑥1 + 𝑥2 , если 𝑥1 и 𝑥2 корни уравнения 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0 15. Найдите сумму действительных корней уравнения 3. Вычислите 𝑥1 3 𝑥2 3 , если 𝑥1 и 𝑥2 корни уравнения 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 40 4. Вычислите 1 𝑎3 + 1 𝑏3 , если a и b корни 16. Найдите сумму действительных корней уравнения квадратного уравнения 𝑥 2 − 3𝑥 − 6 = 0 (𝑥 2 + 6𝑥 + 4)(𝑥 2 + 6𝑥 + 6) = 120 5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 3 + √5 и 3 − √5 17. Решите уравнение 6. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 4 + √7 и 4 − √7 7.* Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 1 6+√2 8. Cоставьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше корней уравнения 𝑥 2 − 11𝑥 + 28=0 9. Cоставьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше корней уравнения 𝑥 2 − 11𝑥 + 28 = 0 10. Cоставьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 𝑥 2 − 15𝑥 + 56 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 − 5)(𝑥 − 6)(𝑥 − 7) = 1680 18. Найдите сумму действительных корней уравнения (𝑥 2 + 14𝑥 + 14)(𝑥 2 + 𝑥 + 14) = 14𝑥 2 19. Найдите сумму действительных корней уравнения (𝑥 2 + 23𝑥 + 23)(𝑥 2 + 𝑥 + 23) = 23𝑥 2 20. Найдите сумму действительных корней уравнения (𝑥 2 + 22𝑥 + 22)(𝑥 2 + 𝑥 + 22) = 22𝑥 2 21. Найдите произведение корней уравнения 5 + (𝑥 2 + 1 1 − 4 + ) (𝑥 )=0 𝑥2 𝑥 11. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоложны корням уравнения 6𝑥 2 + 𝑥 − 7 = 0 22. При каком значении m корни уравнения 3𝑥 2 + (3𝑚 − 15)𝑥 − 27 = 0 12. Найдите сумму действительных корне й уравнения 23. Один из корней уравнения (𝑥 2 + 5𝑥 + 4)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) = 120 13. Сколько действительных корней уравнения? Перечислите (𝑥 2 + 1)4 − 3(𝑥 2 + 1)2 − 4 = 0 являются противоположными числами? 2𝑥 2 + 𝑥 − 𝑎 = 0 равен 2. Чему равен второй корень? 24. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 2 = 0 принимает наименьшее значение? 25. Составьте уравнение, корни которого обратные корням уравнения 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 26. Найдите наименьшее целое значение k, при котором уравнение 𝑥 2 − 2(𝑘 + 2)𝑥 + 6 + 𝑘 2 = 0 27. Один из корней уравнения 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = 0 является также корнем уравнения 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0. На сколько этот корень уравнения меньше 5? 28. При каком значении q сумма кубов корней уравнения 𝑥 2 − 𝑥 − 𝑞 = 0 равна 19? 29. При каком целом значении a сумма корней уравнения 2𝑥 2 + 6𝑎𝑥 + 𝑎 = 0 равна 38? 30. Найдите k в уравнении 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑘 + 4 = 0, если его корни 𝑥1 и 𝑥2 удовлетворяют условию 𝑥1 𝑥2 =− 31. При каком значении a один из корней уравнения 𝑥 2 − (𝑎 − 2)𝑥 + 20 = 0 равен 5? 32. При каком значении a один из корней уравнения 𝑥 2 − (𝑎 − 3)𝑥 + 18 = 0 равен 6? 33. Один из корней уравнения квадратного уравнения 𝑥 2 − 11𝑥 + 𝑞 = 0 равен -8. Найдите второй корень 34. Один из корней уравнения квадратного уравнения 𝑥 2 + 13𝑥 + 𝑞 = 0 равен -7. Найдите второй корень 1 35) Приведите уравнение (3-2х)(х-1)=х-2 к виду ах²+вх+с=0 и выпишите его коэффициенты. 36) Решите неполное квадратное уравнение: х²- 196=0 2х²- 3х=0 х²+1=0 37) Составьте квадратное уравнение, зная его коэффициенты 2 𝑎= , 𝑏 = −1, 𝑐=0 5 38) х²+рх+18=0 один из корней равен 3. Найти другой корень и коэффициент р. 39) Разность корней уравнения… х²+13х+р=0 равна 5. Найти коэффициент р. 40) Найдите сумму кубов уравнения x2 — 7x + 10 = 0. 4 41) Определить число а так, чтобы од ин из корней уравнения 4x2 — 15x + 4а3 = 0 был квадратом другого. 42) Для уравнения 1 1 2 + 2. 𝑥1 , найти 𝑥2 43) Найти все значения p , при каждом из которых отношение корней уравнения равно 12. 45) Найдите сумму корней уравнения 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 6 = 0 если квадрат разности его корней равно 40. 46) 𝑥1 и 𝑥2 корни уравнения 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑝 − 1 = 0.При каком значении 𝑝 сумма 56) Корни 𝑥1 и 𝑥2 уравнения 𝑥12 + 𝑥22 будет наименьшей. 47) При каких значениях 𝑚 корни уравнения 4𝑥 2 − (√3𝑚 − 3)𝑥 − 9 = 0 являются противоположными числами ? 48) При каком значении 𝑛 уравнение 4𝑥 2 − 3𝑛𝑥 + 36 = 0 имеет 2 отрицательных корня? 49) При каком значении 𝑘 выражение 𝑥 2 + 2(𝑘 − 9)𝑥 + 𝑘 2 + 3𝑘 + 4 представляет собой полный квадрат. 1 50) В уравнении 𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘 2 − 11𝑘 + 2 24 = 0 (𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) один из корней равен 0. Найдите сумму корней, удовлетворяющий этому условию. 𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 7𝑎2 = 0 удовлетворяют 2 2 условию 𝑥1 + 𝑥2 = 2 Найдите значение 𝑎2 . 57) Сколько существует значений 𝑎, при 3𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 которых уравнение + =2 3−𝑥 𝑥+1 имеет одно решение. 58) В уравнении 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑚 = 0 найдите значение 𝑚, если корни 𝑥1 и 𝑥2 этого уравнения удовлетворяют соотношению 3𝑥1 − 2𝑥2 = 14. 59) Коэффициенты квадратного 2 уравнения 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 удовлетворяют равенству 𝑎 + 𝑐 = 𝑏. 𝑥2 𝑥 Найдите + 1, где 𝑥1 и 𝑥2 корни 𝑥1 𝑥2 данного уравнения. 51) При каком наименьшем целом значении 𝑘 уравнение 4𝑦 2 − 3𝑦 + 𝑘 = 0 не имеет действительных корней. 60) Найдите произведение всех значений параметра 𝑘, для каждого их которых уравнение 9𝑥 2 + 𝑘𝑥 = 2𝑥 − 𝑘 + 6 имеет равные корни. 52) Найдите сумму всех натуральных 𝑡−6 𝑚 чисел 𝑚, таких что уравнение = 𝑚−8 𝑡 не имеет корней. 61) При каком значении 𝑚 сумма квадратов корней уравнения 3𝑥 2 − 21𝑥 + 𝑚 = 0 равна 25? 53) При каких значениях 𝑘 уравнение (𝑘 − 2)𝑥 2 + 7𝑥 − 2𝑘 2 = 0 имеет корень 𝑥 = 2. 54) Сколько имеется натуральных значений 𝑝, при которых уравнение 62) 𝑧1 и 𝑧2 − корни уравнения 𝑧 2 + 𝑝𝑧 + 𝑞 = 0. Если каждый корень этого уравнения увеличить на 4 и из полученных чисел составить новое уравнение, то свободные его член будет равен 𝑞 + 68. Найдите 𝑝. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 16 = 0 не действительных корней. 63) Найдите наибольшее целое значение 𝑘, при котором уравнение имеет 55) Найдите сумму всех значений 𝑡 при которых уравнение 𝑦 2 − 2𝑡𝑦 + 𝑡 + 2 = 0 имеет совпадающие корни. 6 𝑘𝑥 2 + 2(𝑘 − 12)𝑥 + = 0 5 действительных корней. не имеет 64) Найдите среднее арифметическое тех значений 𝑚, при которых уравнение (𝑚 − 2)𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 2𝑚 − 2 = 0 имеет один корень. 65) Найдите среднее геометрическое корней уравнения 𝑥 2 + 16𝑥 + 64 = 0. 66) Один их корней уравнения 𝑥 2 − 9𝑥 + 𝑞 = 0 равен 2. Чему равна суммах всех коэффициентов уравнения? 3𝑥−𝑚 𝑥+𝑚 67) Дано уравнение: + = 2. 3−𝑥 𝑥+1 Найдите сумму всех значений 𝑚, при котором это уравнение имеет одно решение.