Индивидуальная работа «Принятие решений в условиях неопределенности» Работа выполняется по вариантам. Варианты имеют двухзначные номера от 10 до 99: первая цифра номера варианта n1 определяет номер задачи, вторая цифра n2 входит в числовые данные; от n2 зависит коэффициент оптимизма k в критерии Гурвица. Он вычисляется по формуле k 0,1 n2 . В каждом варианте надо найти решение задачи, используя критерии Вальда, Сэвиджа , Гурвица и Лапласа. Далее приведены условия задач и образец решения вариантов 10 и 99. Задача 1 Мексиканский бизнесмен владеет участком земли вблизи дороги между платной автостоянкой и остановкой междугородних автобусов. Он может взять кредит и построить гостиницу на 20, 30, 40 или 50 комнат. Считается, что среднее значение спроса m на комнаты примет одно из значений: 20, 30, 40, 50 или 60; вероятности этих значений неизвестны. Если спрос превысит число комнат хотя бы на 10, будут заняты все комнаты; если число комнат превысит спрос m хотя бы на 10, будут заняты в среднем m комнат; при спросе m, равном числу комнат, занято будет в среднем m 5 комнат. Плата за комнату равна 60 2n2 песо, так что средняя дневная выручка в песо описывается табл.1. Таблица 1 Средняя дневная выручка, песо Число комнат 20 20 15 60 2n2 30 20 60 2n2 40 20 60 2n2 50 20 60 2n2 Средний спрос на комнаты 30 40 50 20 60 2n2 25 60 2n2 30 60 2n2 30 60 2n2 20 60 2n2 30 60 2n2 35 60 2n2 40 60 2n2 20 60 2n2 30 60 2n2 40 60 2n2 45 60 2n2 60 20 60 2n2 30 60 2n2 40 60 2n2 50 60 2n2 Затраты включают уплату процентов, зависящих от стоимости строительства, зарплаты персоналу, платы за услуги, воду, электричество и т.п. Дневная величина затрат сведена в табл.2. Таблица 2 Средние затраты в день, песо Число комнат 20 30 20 800 1150 Средний спрос на комнаты 30 40 50 830 830 830 1180 1210 1210 60 830 1210 40 1500 n22 1560 n22 1590 n22 1610 n22 1610 n22 50 1900 n22 1960 n22 2020 2n22 2050 2n22 2080 2n22 1 Средняя налогооблагаемая прибыль за день равна разности между выручкой и затратами. Бизнесмен хочет максимизировать эту прибыль. Гостиницу, с каким количеством мест, следует построить бизнесмену? Задача 2 Для обеспечения края электроэнергией при снижении выброса парниковых газов решено на одной из площадок – А, В, С или D – построить АЭС (атомную электростанцию), контролируемую государственным предприятием по утилизации снятых с вооружения ядерных объектов. Годовая выручка от продажи электроэнергии и годовые затраты без учета амортизационных отчислений зависят от выбора площадки и от будущей ситуации в экономике края: s1, s2, s3, s4, s5 или s6. Вероятности этих ситуаций неизвестны. Выручка в процентах от суммы капиталовложений государственной компании в строительство АЭС приведена в табл.3, затраты в тех же единицах – в табл.4. Необходимо максимизировать прибыль. Таблица 3 Годовая выручка, проценты Площадка A B C D s1 41–n2 30+n2 43–n2 28+n2 Ситуация в экономике края s2 s3 s4 17+2n2 50–2n2 29+n2 30–n2 31–2n2 29–n2 25+n2 28+2n2 30+n2 27+2n2 44–n2 28–n2 s5 20 24 21 20 s6 27 28 29 26 Таблица 4 Годовые затраты, проценты Площадка A B C D s1 9.5 8 10.5 12 s2 8.5 7.5 10 8 Ситуация в экономике края s3 s4 s5 5 9 7+n2 9 7 10–n2 /2 9 9.5 9+n2 8.5 7.5 12–n2 /2 s6 18–n2 9+n2 14.5 10+n2 Выбрать наилучшую площадку, используя критерии в условиях неопределенности. Задача 3 Абитуриент, хорошо сдавший ЕГЭ, может пройти за счет госбюджета обучение по одной из четырех специальностей: А, Б, В или Г. Вероятность успешного окончания обучения по этим специальностям равна соответственно 0.9, 0.8, 0.7 и 0.6, ожидаемый заработок при успешном окончании зависит от специальности и от ситуации на рынке труда: С1, С2, С3, С4 или С5. Заработок при неудаче зависит только от ситуации. Величина этого заработка (в тысячах рублей за месяц) приведена в табл.5. 2 Таблица 5 Ожидаемый заработок в месяц, тыс. руб. Специальность Ситуация на рынке труда С2 С3 С4 11–0.1n2 10.5 9+0.6n2 13–0.2n2 12 14–0.5n2 13+0.3n2 14 13–0.1n2 14+0.4n2 16.2 17–0.8n2 С1 11+0.2n2 13+0.1n2 14+0.2n2 16–0.1n2 А Б В Г Заработок при неудаче 7.2 5.4 4.8 7 С5 10 12 12 14 3.5 Требуется максимизировать математическое ожидание будущего заработка. Выбрать специальность, используя критерии принятия решения в условиях неопределенности. Задача 4 В районном центре реставрируют храм XVII в. и музей известного писателя. Для будущих туристов решено построить гостиницу. Спрос на номера в ней будет одним из пяти: низким (Н), высоким летом и низким зимой (ВН), высоким весь год (В), средним весь год (С), средним летом и низким зимой (СН). Вероятности этих состояний спроса неизвестны. Можно выбрать один из четырех проектов, согласованных с архитектором: первые три проекта предполагают строительство корпуса (небольшого, побольше и еще больше), а четвертый – корпуса, как в проекте №1, и летних помещений с деревянными стенами, без отопления. Годовая выручка и годовые затраты приведены в табл.6 и 7. Таблица 6 Годовая выручка за вычетом налогов, арендной платы за землю и оплаты коммунальных услуг, млн. руб. Номер проекта 1 2 3 4 Н 26.3 27.2 27.2 27.2 СН 26.5 90.5 102.5 102.5 Состояние спроса С ВН 28.5 27.2 103.3 90.5 108.5 128.5 99.8 150.0 В 28.5 103.3 160.0 148.5 Таблица 7 Годовые затраты на оплату персонала и проценты по кредиту, млн. руб. Номер проекта 1 2 3 4 Н 7+n2/2 18–n2/2 37+n2 40–n2 Состояние спроса СН С 8+n2/2 8+n2/2 19–n2/2 22–n2 41+n2 44+n2 42–n2 45–n2 ВН 8+n2/2 22–n2 46+n2 47–n2 В 8+n2/2 22–n2 52+2n2 53–2n2 Необходимо максимизировать прибыль. Выбрать лучший проект, используя критерии в условиях неопределенности. 3 Задача 5 Чтобы увеличить экспорт природного газа в Европу, решено вместо дополнительных энергоблоков ТЭЦ построить АЭС с европейским оборудованием. Европейский банк готов предоставить кредит для реализации любого из четырех проектов такой АЭС: П1, П2, П3 или П4. Если выбирать проект по экономическим показателям, то лучше тот, для которого больше разность между дополнительной прибылью от экспорта газа (табл.8) и дополнительными затратами, связанными с тем, что необходима утилизация радиоактивных отходов и ядерное топливо дороже, чем газ по российским ценам (табл.9). То и другое зависит не только от проекта, но и от возможной экономической ситуации. Выбрать лучший по экономическим показателям проект. Таблица 8 Дополнительная прибыль от экспорта газа за вычетом таможенной пошлины, млн. евро Экономическая ситуация Проект S1 S2 S3 S4 S5 П1 400 290 320 270 410–n2 П2 300 290 295 270 320+n2 П3 300 290 288 270 310–2n2 П4 270 260 263 250 280+n2 Таблица 9 Дополнительные затраты с учетом выплаты процентов по кредиту, млн. евро Проект П1 П2 П3 П4 S1 180+2n2 150–2n2 135+2n2 116–n2 Экономическая ситуация S2 S3 S4 170+3n2 182+n2 170+n2 148–2n2 149–2n2 150–3n2 133+2n2 134+2n2 130+3n2 120–n2 116–n2 120–n2 S5 190 160 140 120 Задача 6 Абитуриенту нужно выбрать для получения высшего образования одну из четырех престижных гуманитарных специальностей: с1, с2, с3 или с4. Обучение на этих специальностях платное, но возможен образовательный кредит и есть уверенность в получении работы по специальности. Ожидаемый месячный заработок (табл.10) и ожидаемый среднемесячный платеж по кредиту после окончания учебы (табл.11) зависят от выбранной специальности и от того, какое из состояний экономической конъюнктуры – s1, s2, s3, s4 или s5 – будет иметь место. Надо максимизировать разность между ожидаемым заработком и ожидаемыми выплатами по кредиту. Выбрать лучшую специальность для абитуриента. 4 Таблица 10 Ожидаемый заработок в месяц, тыс. руб. (по ожидаемому через пять лет курсу рубля) Специальность c1 c2 c3 c4 s1 50–n2 36+n2 29+2n2 34–n2 Состояние экономической конъюнктуры s2 s3 s4 40–n2 35–n2 30–n2 37+n2 39+n2 31+2n2 31+2n2 37+n2 27+2n2 44–3n2 38–2n2 29–n2 s5 40–3n2 36+n2 29+2n2 39–3n2 Таблица 11 Ожидаемые ежемесячные выплаты по образовательному кредиту после окончания учебы, тыс. руб. Специальность c1 c2 c3 c4 s1 8.5 8 6 5.5 Состояние экономической конъюнктуры s2 s3 s4 8 8.5 8 8.5 8 8.5 4 6 4.5 5.5 5.5 5 s5 8.5 8 4.5 5 Задача 7 В городе четыре участка – У1, У2, У3, У4, – подходящих для строительства гостиничного комплекса из двух корпусов. Фирма получила право использовать любой из этих участков. Ожидаемая средняя выручка от сдачи номеров за неделю и ожидаемые недельные затраты с учетом налогов и процентов по кредиту зависят от выбранного участка и от варианта городских планов по развитию туризма и привлечению иностранного капитала в промышленность и торговлю. Таких вариантов возможно пять: В1, В2, В3, В4 и В5. Надо максимизировать разность между выручкой (табл.12) и затратами (табл.13). Выбрать участок для строительства гостиничного комплекса. Таблица 12 Выручка за неделю, тыс. руб. Участок У1 У2 У3 У4 В1 700+10n2 800–5n2 1000–10n2 700+5n2 Варианты городских планов В2 В3 800+10n2 900+5n2 800–3n2 800–4n2 900–6n2 800–5n2 700+4n2 750+4n2 В4 900 800 900 800 В5 800 750 900 600 5 Таблица 13 Затраты за неделю, тыс. руб. Участок В1 600 600 700 470 У1 У2 У3 У4 Варианты городских планов В2 В3 В4 640 660 680–10n2 620 600 600+3n2 700 650 660+8n2 500 550 490+n2 В5 630–2n2 580+3n2 680+n22 510–5n2 Задача 8 Бывший военный городок, в котором давали благоустроенное жилье отставным военным и на месте ремонтных мастерских построили завод по сборке автомобилей-внедорожников, разросся и страдает от нехватки электроэнергии. Решено взять кредит и использовать глубокую шахту с бывшим подземным хранилищем секретной военной техники для строительства АЭС с одним энергоблоком. Надо выбрать один из четырех проектов такой АЭС – П1, П2, П3 или П4, – максимизируя разность между годовой выручкой (табл.14) и годовыми затратами, включающими выплаты процентов по кредиту (табл.15). Годовая выручка от реализации электроэнергии дана в процентах от стоимости строительства АЭС и зависит от проекта, от будущей ситуации на рынке энергоносителей – S1, S2 или S3 – и от варианта развития городка – В1 или В2. Годовые затраты зависят от проекта и от ситуации на рынке энергоносителей; они тоже даны в процентах от стоимости строительства. Выбрать наилучший проект. Таблица 14 Годовая выручка в процентах от стоимости строительства АЭС Проект S1 и В1 110 100 90 80 П1 П2 П3 П4 Ситуация на рынке энергоносителей (S1 – S3) и вариант развития городка (В1 – В2) S1 и В2 S2 и В1 S2 и В2 S3 и В1 130 107 115 95 110 80 88 85 100 80 86 75 90 70 76 69 S3 и В2 100 90 80 70 Таблица 15 Годовые затраты в процентах от стоимости строительства АЭС Проект П1 П2 П3 П4 Ситуация на рынке энергоносителей S1 S2 S3 80+3n2 75+4n2 70+2n2 75–3n2 65–2n2 65–4n2 50+4n2 47+3n2 55+2n2 49–n2 49–n2 46–3n2 6 Задача 9 Контрактник после трех лет службы получил право выучиться на бакалавра за счет бюджета. Его интересуют четыре специальности: А, Б, В и Г. Вероятность успешного окончания вуза по специальностям А и Б составляет 0.7, а по специальностям В и Г – 0.9. Ожидаемый заработок (в тысячах рублей за месяц) при успешном окончании зависит от специальности и от ситуации на рынке труда (S1, S2, S3, S4 или S5) и сведен в табл.16, а в случае неудачи составит 5 тыс. р. в месяц. Надо выбрать специальность из условия максимума математического ожидания будущего заработка, используя критерии в условиях неопределенности. Таблица 16 Заработок в месяц, тыс. руб. Специальность А Б В Г S1 11+0.2n2 12–0.1n2 9+0.2n2 11–0.3n2 Ситуация на рынке труда S2 S3 S4 12+0.1n2 12+0.3n2 11+0.3n2 13–0.3n2 14–0.1n2 13–0.2n2 10+0.4n2 11+0.2n2 9+0.4n2 11–0.2n2 13–0.5n2 11–0.3n2 S5 12.8 10.8 10.6 9.2 Решение вариантов 10 и 99 Вариант 10 Определим данные для решения задачи 1 ( n2 0 ) – средние выручку и затраты в день (табл. 17-18). Таблица 17 Средняя дневная выручка, песо Число комнат 20 30 40 50 20 900 1200 1200 1200 Средний спрос на комнаты 30 40 50 1200 1200 1200 1500 1800 1800 1800 2100 2400 1800 2400 2700 60 1200 1800 2400 3000 Таблица 18 Средние затраты в день, песо Число комнат 20 30 40 50 20 800 1150 1500 1900 Средний спрос на комнаты 30 40 50 830 830 830 1180 1210 1210 1560 1590 1610 1960 2020 2050 60 830 1210 1610 2080 Вычитая из выручки затраты, составим матрицу прибыли – матрицу эффективности (табл. 19): 7 Таблица 19 Средняя прибыль в день, песо Число комнат 20 30 40 50 Средний спрос на комнаты 30 40 50 370 370 370 320 590 590 240 510 790 –160 380 650 20 100 50 –300 –700 60 370 590 790 920 Найдем наилучшие варианты строительства гостиницы, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа. 1) Критерий Вальда. Для каждого возможного решения (число комнат в гостинице) рассматриваем возможные средние значения спроса, находим наихудший результат - минимальную прибыль. Результаты заносим в табл. 20. Таблица 20 Матрица эффективности Решение Средний спрос на комнаты Число комнат П1 П2 П3 П4 П5 20 30 40 50 60 min Р1 20 100 370 370 370 370 100 Р2 30 50 320 590 590 590 50 Р3 40 –300 240 510 790 790 -300 Р4 50 –700 –160 380 650 920 -700 Затем из наихудших результатов выбираем наилучший: max100;50;300;700 100 , и, следовательно, предпочтение нужно отдать решению Р1 - гостинице с 20 комнатами. Выбрав решение Р1 , бизнесмен независимо от вариантов спроса получит прибыль не менее 100 песо (100; 370; 370; 370; 370). При любом другом решении, в случае неблагоприятного спроса, может быть получен результат (прибыль) меньше 100. При выборе Р2 : 50; при выборе Р3 : -300; при Р4 : -700. Этот критерий ориентирует ЛПР на слишком осторожную линию поведения. В случае принятия других решений максимальная прибыль больше 370: 590; 790; 920. 2) Критерий Сэвиджа. Если бы бизнесмен знал, что состояние спроса будет П1 , то он построил бы гостиницу на 100 мест, т.к. при таком спросе в этом случае он получит максимальную прибыль. Рассуждая 8 аналогично, найдем максимальную прибыль для остальных состояний спроса П 2 , П3 , П 4 , П5 . Результаты приведены в табл. 21. Таблица 21 Матрица эффективности Решение Средний спрос на комнаты Число комнат П1 П2 П3 П4 П5 20 30 40 50 60 Р1 20 100 370 370 370 370 Р2 30 50 320 590 590 590 Р3 40 –300 240 510 790 790 Р4 50 –700 –160 380 650 920 100 370 590 790 920 max Составим матрицу рисков. Для этого определим потери бизнесмена, если в каждом состоянии спроса он принимает решение, отличное от оптимального. Элементы матрицы риска рассчитываем по столбцам, вычитая из соответствующего элемента матрицы эффективности (табл. 21) максимальный элемент в этом столбце. Получаем матрицу рисков (табл. 22). Таблица 22 Матрица рисков Решение Средний спрос на комнаты Число комнат П1 П2 П3 П4 П5 20 30 40 50 60 max Р1 20 0 0 220 420 550 550 Р2 30 50 50 0 200 330 330 Р3 40 400 130 80 0 130 400 Р4 50 800 530 210 140 0 800 Далее рассуждаем аналогично критерию Вальда. Для каждого возможного решения (число комнат в гостинице) находим наихудший результат - максимальный риск. Результаты приведены в табл. 22. Затем из наихудших результатов выбираем наилучший: min550;330;400;800 330 , 9 и, следовательно, предпочтение нужно отдать решению Р2 - гостинице с 30 комнатами. Выбор решения Р2 гарантирует бизнесмену, что риск (потери в песо) будут не более 330 (50; 50; 0; 200; 330). Критерий Гурвица. В матрице эффективности для каждого решения находим наихудший и наилучший результат (минимальную и максимальную прибыль), вычисляем их линейную комбинацию: k min 1 k max , где k - коэффициент оптимизма, k 0,1 n2 0 в варианте 10. Результаты вычислений приведены в таблице 23. Таблица 23 Матрица эффективности Решение Средний спрос на комнаты Число комнат П1 П2 П3 П4 П5 20 30 40 50 60 k min 1 k max Р1 20 100 370 370 370 370 0 100 1 370 370 Р2 30 50 320 590 590 590 0 50 1 590 590 Р3 40 –300 240 510 790 790 0 300 1 790 790 Р4 50 –700 –160 380 650 920 0 700 1 920 920 Из всех решений выбираем то, у которого максимальна линейная комбинация прибыли: max370; 590; 790; 920 920 . При k 0 правило Гурвица дает правило «розового оптимизма» - из всех решений выбирается решение с максимальной прибылью. Предпочтение нужно отдать решению Р4 - гостинице с 50 комнатами. Критерий Лапласа. Полагаем, что все возможные значения спроса имеют одинаковую вероятность: pП1 pП2 pП3 pП4 pП5 1 5. Для каждого решения найдем среднюю ожидаемую прибыль (мат. ожидание прибыли): 1 1 1 1 1 Р1 : M 1 100 370 370 370 370 316 , 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 Р2 : M 2 50 320 590 590 590 428 , 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 Р3 : M 3 300 240 510 790 790 406 , 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 Р4 : M 4 700 160 380 650 920 218 . 5 5 5 5 5 10 Выбираем решение с максимальной ожидаемой прибылью: max316; 428; 406; 218 428 , это соответствует решению Р2 , следует построить гостиницу на 30 комнат. Таким образом, бизнесмен должен сделать выбор среди решений: – согласно критерию Вальда – построить гостиницу на 20 комнат; – если применить критерий Сэвиджа – гостиницу на 30 комнат, – следуя критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма 0 – построить гостиницу на 50 комнат; – по критерию Лапласа – строительство гостиницы на 30 комнат. Заметим, что два критерия – Сэвиджа и Лапласа дали одинаковый результат. Вариант 99 Исходные данные для варианта 99 (задача 9, n2 9 ) приведены в табл. 24. Таблица 24 Заработок в месяц, тыс. руб. Специальность S1 12,8 11,1 10,8 8,3 А Б В Г Ситуация на рынке труда S2 S3 S4 12,9 14,7 13,7 10,3 13,1 11,2 13,6 12,8 12,6 9,2 8,5 8,3 S5 12,8 10,8 10,6 9,2 Вычислим матрицу среднего ожидаемого дохода (математического ожидания будущего заработка), умножая заработок при окончании специальности на соответствующую вероятность р и прибавляя заработок при неудаче, умноженный на 1 p . Эта матрица есть матрица эффективности (табл. 25): Таблица 25 Матрица эффективности Решение Специаль- Ситуация на рынке труда ность П1 П2 П3 П4 П5 S1 S2 S3 S4 S5 Р1 А 12,8 0,7 5 0,3 10,46 10,53 11,79 11,09 10,46 Р2 Б 11,1 0,7 5 0,3 9,27 8,71 10,67 9,34 9,06 Р3 В 10,8 0,9 5 0,1 10,22 12,74 12,02 11,84 10,04 Р4 Г 8,3 0,9 5 0,1 7,97 8,78 8,15 7,97 8,78 Применяя для матрицы эффективности критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа, найдем решение задачи (см. решение варианта 10). 11 Литература: Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: Учебник. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К゜», 2005. – 880с. 12