Таблица интегралов

Интегрирование функции одной переменной
Правила интегрирования и таблица неопределенных интегралов
Обычно при нахождении интегралов сначала используются правила интегрирования,
а затем – таблица интегралов.
Правила интегрирования:
1)  kudx  k  udx – постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
2)  (u  v)dx   udx   vdx – интеграл от суммы (разности) функций равен сумме
(разности) интегралов от каждой функции в отдельности;
3)  udv  uv   vdu – правило интегрирования по частям.
4) Замена переменной. Во избежание путаницы, еѐ расписывать не буду, читайте статью:
http://mathprofi.ru/metod_zameny_peremennoi.html
Таблица неопределенных интегралов:
 dx  x  C , здесь и далее C  const
x n 1
 x dx  n  1  C ( n  1 )
Следует обратить внимание, что интеграл от степенной функции – это самая используемая
1
1
вещь на практике. Многие (но не все!) корни, например 3 x5 , 7 2 , 5 , нужно
x
x
n
x n 1
 C (как представить – см.
n 1
Горячие формулы шк. курса математики: http://mathprofi.ru/goryachie_formuly.pdf).
a
представить в виде x b для применения формулы

n
 x dx 
dx
 ln x  C
x
x
 a dx 
ax
 C , в частности,  e x dx  e x  C
ln a
Интегралы от тригонометрических функций:
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
dx
 cos x  tgx  C
2
dx
 sin
a
2
2
x
 ctgx  C
dx
1
x
dx
 arctg  C , в частности 
 arctgx  C
2
x
a
a
1  x2
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Интегрирование функции одной переменной
x
2
dx
1
xa

ln
 C «высокий логарифм»
2
a
2a x  a
Примечание: часто данную формулу можно встретить немного в другом виде,
dx
1
ax

ln
 C , но первый вариант, на мой взгляд, удобнее.
например:  2
2
a x
2a a  x



dx
x A
dx
2
x A
2
dx
a x
2
2
 ln x  x 2  A  C , или, то же самое:
 ln x  x 2  A  C «длинный логарифм»
 arcsin
x
C
a
Интегралы от гиперболических функций:
 shxdx  chx  C
 chxdx  shx  C
dx
 ch x  thx  C
2
dx
 sh x  cthx  C
2
Важно! Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук).
Эти таблицы рекомендую использовать только для самопроверки или в самом крайнем
случае – по той причине, что интегралы от «других функций» на самом деле являются
следствием правил и приѐмов интегрирования. И, соответственно, данное «решение»
может сильно не понравиться рецензенту. Типичный пример такого «табличного»
интеграла:  ln xdx  x(ln x  1)  C
В действительности, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, следует применить
правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.
А вот некоторые неберующиеся неопределенные интегралы:
x
 e dx – интеграл Пуассона;
2
 sin x dx ,  cosx dx – интегралы Френеля;
dx
 ln x – интегральный логарифм;
2
2
e x dx
 x – интегральная экспонента;
sin xdx
 x – интегральный синус;
cos xdx
 x – интегральный косинус.
Изредка проскакивают. Встретятся – не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что
интеграл не берется. А если подобные интегралы появятся в ходе решения какого-либо
примера, значит, Вы либо ошиблись, либо интеграл является неберущимся, либо, что
вероятнее всего, в условии допущена опечатка.
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!