Уравнения, неравенства и системы с параметрами

УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ С
ПАРАМЕТРАМИ.
Пример. При каких значениях параметра а выражение ( х1  7 х2 )( х2  7 х1 ),
1
4
где х1 и х 2 – корни квадратного трехчлена х 2  3ах  а  , принимает наибольшее
значение?
Решение
 х1  х 2  3а,
По теореме Виета имеем 
1
 х1 х 2  а  4 .
Тогда ( х1  7 х2 )( х2  7 х1 )  х1 х2  7 х22  7 х12  49 х1 х2  50 х1 х2  7( х12  х22 ) 
1 
1 


 50 х1 х2  7(( х1  х2 ) 2  2 х1 х2 )  50 а    7 9а 2  2 а     63а 2  64а  16.
4 
4 


Графиком функции у  63а 2  64а  16 является парабола, ветви которой
направлены вниз, так как  63  0, значит, наибольшее значение функции
b
32
достигается в вершине параболы, абсцисса которой х0   1  , где х0 в
2a1 63
данном случае – параметр a .
32
32
. Остается проверить существование корней х1 и х2 при а  .
63
63
32
32
1
32
65
х2  3 х 
  х2 
х
,
63
63 4
21
252
Итак, а 
2
D  16 
65 256 65
  


 0.
4  21 
252 441 252
Ответ: При а 
32
.
63
Пример.
При
каких
значениях
х  а  10х  3х  а  0 имеет ровно 4 решения?
2
2
параметра
а
уравнение
2
Решение
Запишем данное уравнение как квадратное относительно переменной а :
х  2ах 2  а 2  10 х 2  3х  а  0 или а 2  2 х 2  1а  х 4  10 х 2  3х   0,
4
D  (2 х 2  1) 2  4( х 4  10 х 2  3х)  4 х 4  4 х 2  1  4 х 4  40 х 2  12 х  36 х 2  12 х  1 
 (6 х  1) 2  0,
а1.2 
(2 х 3  1)  (6 х  1)
, а1  х 2  3х; а 2  х 2  3х  1.
2
Имеем две возможности:
х  3х  а  0, D1  9  4a ;
2
х 2  3х  а  1  0, D2  9  4(a  1)  4a  13.
Если D1  0 или D2  0 , то не существует значения а , удовлетворяющего
данному уравнению. Значит, если существует значение а , при котором исходное
уравнение имеет 4 корня, то должны выполняться условия D1  0 и D2  0 .
9
4
Если D1  0 , то a   ; если D2  0 , то a  
9
4
следует, что a   .
Ответ: При a  2,25.
13
. Из полученных неравенств
4