Теория автоматического
управления
ТАУ
наука о принципах построения
и методах расчета систем
автоматического управления.
Целью изучения курса является освоение студентами основ
теории автоматического управления и математического аппарата
моделирования автоматических систем автоматики и электроники.
Структура
р
р дисциплины
МОДУЛЬ 1
МОДУЛЬ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Раздел 1. Анализ и синтез линейных систем автоматического управления
Раздел 2. Математическое описание и синтез САУ в пространстве состояний
МОДУЛЬ 2
2. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Раздел 3. Линейные импульсные системы
Раздел 4. Цифровые САУ с микро-ЭВМ
МОДУЛЬ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Раздел 5. Нелинейные системы управления
Рекомендуемая учебно-методическая литература
•
Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В. А. Бесекерский, Е. П.
Попов.– 4-е изд., перераб. и доп. М.: СПб Изд-во, «Профессия», 2004.-747 с.
•
Ким, Д.П. Теория автоматического управления: учеб. пособие для студентов вузов/ Д. П. Ким. / - М.:
Физматлит, 2003 - Т. 1: Линейные системы. - 2003. - 287 с.
2
ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ
РАБОТЫ
Для изучения курса ТАУ необходим
обязательный минимум знаний
следующих курсов:
Общая трудоемкость дисциплины
Лекционный курс
Лабораторные занятия
Практические занятия
-
- 51
анализ, теория функций
комплексного переменного, теория
вероятности, операционное
исчисление, линейная алгебра);
р )
-
физика (основные законы
механики и электричества);
-
теоретическая механика
- 34
- 17
С
Самостоятельная
работа
б
- 42
математика (математический
-
(основные законы механических
систем и их уравнения);
теоретические основы
электротехники (методы расчета
электрических цепей);
Курсовая
работа
- 20
электрические
р
машины
(основные уравнения и принципы
работы машин постоянного тока).
3
Место и роль ТАУ
Кибернетика
Экономическая
кибернетика
Техническая
кибернетика
Теория
информации
Теория
автоматического
управления
Теория
автоматического
регулирования
Теория
оптимального
управления
Медицинская
кибернетика
Теория
адаптивных
систем
Требования к уровню освоения содержания
дисциплины
Знать
• основные понятия теории управления;
• математические методы, применяемые при исследовании систем управления;
• методики моделирования систем управления.
Уметь
• применять приемы и методы решения конкретных задач из различных областей
теории управления;
• использовать адекватный математический аппарат;
• проводить вычислительный эксперимент с системой управления;
• представлять результаты этого вычислительного эксперимента
Иметь представление
• об общих принципах построения системы управления;
• о математическом аппарате,
р
, который
р
применяется
р
при
р описании процессов,
р ц
,
протекающих в системах управления;
• о влиянии обратных связей на характеристики процессов, протекающих в
системах управления;
• о необходимости исследования систем управления на устойчивость;
• о необходимости качественных показателей процессов, протекающих в системе
управления;
• о влиянии запаздывания в системах управления на её характеристики.иметь
представление о типах систем автоматического управления;
5
Инструмент
ру
анализа систем
автоматического управления
МатЛаб
основные задачи теории
р
автоматического ууправления:
р
исследование динамических свойств САУ, подбор параметров блоков САУ и разработка
таких алгоритмов управления, которые наилучшим образом реализуют заданную программу
для параметров состояния САУ во времени.
6
Классификация САУ
МОДУЛЬ 1
Классификация САУ
По принципу регулирования
По цели регулирования
По характеру сигналов в регуляторе
По количеству регулируемых величин
По характеру параметров
По типу математического описания
7
Системы стабилизации
МОДУЛЬ 1
Исполни
тельный
механиз
м
Элемент
сравнен
ия
Регулиру
ющий
орган
Чувствит
ельный
элемент
Объект
регулиро
вания
Возм. возд.
Qр
система стабилизации
уровня воды в
резервуаре
функциональная схема системы
8
Основные принципы регулирования
МОДУЛЬ 1
f
xвх
Регулирование по отклонению
Рег.
xвых
ОУ
Δx = xвх − xвых
μ
Главная обратная связь
x
– элемент сравнения
f
хвых
x
Регулирование по возмущению
Рег
xвх
μ
xвых
ОУ
М1
М1.
f
xвых
Комбинированный принцип
xвх
Рег
μ
ОУ
xвх
xвых
1.Связь выхода звена САУ с его входом называется обратной связью (ОС).
2.Связь выхода системы с её входом называется главной обратной связью (ГОС).
3.Если сигнал ОС вычитается из входного, то ОС называется отрицательной
обратной связью (ООС).
(ООС)
4. Если сигнал ОС складывается со входным, то ОС называется положительной
обратной связью (ПОС).
9
МОДУЛЬ 1
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Понятие о линейных и нелинейных системах
x1
xвых
x2
x2
Δx
2
Δx1
xвх
α
x1
- отклонения выходной величины x1 и входной величины x2
достаточно малы;
- функция F обладает непрерывными частными производными по
всемаргументам в окрестности точки, соответствующей заданному
режиму.
Линеаризация статических
характеристик звеньев
Линеаризация нелинейных
дифференциальных уравнений.
10
Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.
F ⎛⎜ x2 , x2′ , x2′′ , x1, x1′ ⎞⎟ = 0
⎝
x2′ =
⎠
dx2 ′ dx1
x =
dt 1 dt
F x20 ,0,0, x10 ,0 = 0
⎛ ∂F ⎞
⎛
⎞
⎛ ∂F ⎞
′ + ⎜ ∂F ⎟ ⋅ Δx ′′ +
⎜
⎟
⋅
Δ
+
⋅
Δ
x
x
⎟⎟
2
2 ⎜
2 ⎜
⎟
⎟
⎝ ∂x2 ⎠0
⎝ ∂x2′′ ⎠0
⎝ ∂x2′ ⎠0
F ( x20 ,0,0, x10 ,0 ) + ⎜⎜
c2 ⋅Δx2′′ + c1 ⋅Δx2′ + c0 ⋅Δx2 = b1 ⋅ Δx1′ + b0 ⋅Δx1′
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
⎟
⎟ c2 = ⎜
⎟ b1 = − ⎜
⎜ ∂x ′′ ⎟
⎜ ∂x ′ ⎟
⎝ ∂x1 ⎠0
⎝ 1 ⎠0
⎝ 2 ⎠0
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
c1 = ⎜⎜ ⎟⎟
c0 = ⎜ ⎟
⎝ ∂x2′ ⎠0
⎝ ∂x2 ⎠0
b0 = − ⎜
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
+⎜
⋅ Δx1 + ⎜
⎟ ⋅ Δx1′ + Q = 0
⎟
, ⎝ ∂x1 ⎠
⎜ ∂x ′ ⎟
0
⎝ 1 ⎠0
,
c2 ⋅ x20 ⋅ σ ′′ + c1 ⋅ x20 ⋅ σ ′ + c0 ⋅ x20 ⋅ σ = b1 ⋅ x10 ⋅ϕ ′ +b0 ⋅ x10 ⋅ϕ
.
(T22 ⋅ p 2 + T1 ⋅ p + 1) ⋅ σ = ( K2 ⋅ p + K1 ) ⋅ ϕ
)
(
x1′ = x2′ = x2′′ = 0
x2 = x20
x1 = x10
МОДУЛЬ 1
Δx2
x
0
2
=σ
Δx1
x10
=ϕ
(T22 ⋅ p2 +T1 ⋅ p +1)⋅σ = K1 ⋅(T3 ⋅ p +1)⋅ϕ
Ti
K1
– постоянная времени звена, [c],
– коэффициент усиления (безразмерный).
11
Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.
МОДУЛЬ 1
12
Соответствия между изображениями и оригиналами
(L-преобразование)
преобразование)
МОДУЛЬ 1
A
A
At
13
МОДУЛЬ 1
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМЫ
Передаточная функция звена
Динамическое звено – это
устройство любого вида и принципа
действия, описываемое
определенным дифференциальным
уравнением.
d n ⋅ x2
d n−1 ⋅ x2
d n−2 ⋅ x2
a0 ⋅
+ a1 ⋅
+ a2 ⋅
+ K + an ⋅ x2 =
dt n
dt n−1
dt n−2
d m ⋅ x1
d m1 − x1
= b0 ⋅
+ b1 ⋅
+ K + bm ⋅ x1
dt m
dt m−1
X 2 ( p ) b0 ⋅ p m + b1 ⋅ p m−1 + K + bm
=
= W ( p)
X 1 ( p ) a0 ⋅ p n + a1 ⋅ p n−1 + K + an
Передаточную функцию звена получают из ДУ решенного относительно
требуемой координаты системы. Для чего правую часть уравнения делят на
характеристический полином D(p). Отношения полиномов в правой части при
возмущающих воздействиях и есть Передаточная функция звена.
Для типовой структурной схемы замкнутой САР различают 3 основные ПФ,
применяемые
р
д
для исследований:
д
W(p) = y(t)/x(t) Ч Wос(p) = Wрег(p) Wо(p) Wос(p) - ПФ разомкнутой системы;
F(p) = y(t)/g(t) - ПФ замкнутой системы;
Fx(p) = x(t)/g(t) - ПФ замкнутой системы по ошибке.
14
Временные характеристики динамических звеньев
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе
звена,, возникающий
щ
при
р подаче
д
на его вход
д ступенчатого
у
воздействия
д
типа
единичной ступенчатой функции.
X2(p)
(p)
X1(p)
Рис.
3.2
x1=1(t
)
x1
x2
1(t)=
1
0
t
0 при t≤0
x2(t)=h
(t) h
(t)
1 при t>0
0
t
МОДУЛЬ 1
15
Временные характеристики динамических
звеньев
X1(p)
МОДУЛЬ 1
X2(p)
X2
δ(t)
w(t) –функция веса
δ (t ) = 1′(t )
.
0
t
0
t
Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную
функцию, поданную на его вход.
Единичная импульсная функция, или дельта-функция, это производная от
единичной ступенчатой функции
16
Частотные характеристики звеньев
Для оценки установившихся режимов более удобно рассматривать
поведение систем при воздействиях, являющихся периодическими
функциями времени:
.
x1 = X1cosωt
в символической форме:
x1
x2
x2 =X2cos(ωt+ϕ)
Рис. 3.5
, где X
частота.
x1 = X1e jωt
на основании формулы Эйлера
cosω t = e
x2 = X2e j(ωt+ϕ)
jω t
X2 jϕ b0( jω)m + b1( jω)m−1 +K+ bm
e =
=W( jω)
1
−
n
n
X1
+K+ an
a0( jω) + a1( jω)
W(jω) = U2(ω)+V2(ω) =A(ω)
ϕ (ω ) = arctg
V (ω )
U (ω )
– амплитуда, ω - угловая
X1 jωt − jωt
x1 = (e +e ) = x1′ + x2′
2
j
φω
(
)
Wj
( ω)=A(ω)⋅eWj
Wj
( ω)=A(ω)⋅e
модуль частотной передаточной функции,
фаза частотной передаточной функции.
МОДУЛЬ 1
17
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
геометрическое
место
концов
векторов
(годограф),
соответствующих
частотной
передаточной
й функции
ф
W(jω)=U(ω)+ jV(ω)
V
–ω2
ω→–∞
при изменении ω от 0 до ∞.
ω→∞
1
V(ω1)
W ( jω ) =
–ω1
Tjω +1
U(ω1)
U
ω=0
ϕ(ω1)
A(ω1)
ω2
ω1
годограф
ϕ
A
0
ω
а)
–90°
б)
зависимости модуля и фазы от частоты
МОДУЛЬ 1
18
Понятие об устойчивых минимально-фазовых
звеньях
x1
Звено называется
устойчивым если при
устойчивым,
ступенчатом
воздействии на входе
ззвена,
е а, е
его
о выходная
од а
величина
устанавливается на
некотором
р
определенном значении.
x2
1
Устойчиво
е
t
t
Рис. 3.11
Рис. 3.10
x1
x2
1
Неустойчивое
t
Рис. 3.12
t
Рис. 3.13
МОДУЛЬ 1
19
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
классификация звеньев осуществляется по типу дифференциального
уравнения или по виду передаточной функции.
Безынерционное или пропорциональное звено
x1
x2 = Kx1
x2
1
W(p) = K.
K
h(t ) = K ×1(t ) = K
t
t
V(ω)
20lgK
U( )
U(ω)
W(jω) = K.
АФХ
x2
l1
x1
L(ω)=20lgK
L(ω)
K
l
x = 2 ⋅ x = Kx
2 l 1
1
1
h(t)
l2
ϕ(ω)
0°
0
. ЛАЧХ
ω
ω
ϕ(ω)=0°
. ЛФЧХ
20
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Апериодическое звено первого
порядка
T
dx2
+ x2 = kx1
dt
W ( p) =
x1
1
k
Tp + 1
K
h(t)
t
t
−t
x2 = h(t ) = k (1 − e T )
W ( jω ) =
T
x2
V
k
Tjω + 1
U(ω1)
V(ω1)
1
L(ω ) = 20 lg k − 20 lgT ω 2 +
;
k
2
A(ω ) =
;
T
1
T × ω2 +
V (ω )
= arctg (−Tω ) = −arctgTω ;
T 2 ϕ (ω ) = arctg
U (ω )
ω=0
0
ϕ(ω
( 1)
ω→∞
U
A(ω1)
ω1
ω2
Рис 4.11
Рис.
4 11
21
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Апериодическое звено первого порядка
R
T=RC - постоянная времени звена.
u1
u2
C
1
U ( p)
I ( p) ⋅ z ( p)
1
Cp
2
W ( p) = 2
=
==
=
RCp
p +1
U ( p ) I ( p )[ z ( p ) + z ( p )]
R+ 1
1
2
1
C
Cp
Uв=x1
Г
Eг=x2
W( p ) =
EГ ( p )
KГ
,
=
U В ( p ) TВ p + 1
22
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Звено второго порядка
k
W( p) = 2 2
T2 p +T1 p +1
d2x2
dx2
T 2 + T1 + x2 = kx1
dt
dt
2
2
T22 r 2 + T1r + 1 = 0;
T12 − 4T22 < 0
− T1 ± T12 − 4T22
r1,2 =
2T22
.
Колебательное звено
x2
k(1+eαt)
A1
Uв
h(t)
A2
Uя=x1
K
ω=x2
=
K
k(1-e
( αt)
τ=2π/β
t
23
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Звено второго порядка
− T1 ± T12 − 4T22
r1 ,2 =
2T22
T12 − 4T22 ≥ 0
Апериодическое второго порядка
x1
k
W ( p) = 2 2
T2 p + T1 p + 1
T3+T4
x2
1
h(t)
K
t
t
Рис. 4.20
T4
V
k
W( jω)=
(T3 jω+1)(T4 jω+1)
ω=∝
k
A(ω)
U
ω=0
0
24
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Интегрирующие звенья
Идеальное
д
интегрирующее звено
Интегрирующее
р ру щ
звено
с замедлением
k
k
k(1+Tp)
dx
dx
d 2 x2 dx2
2
1
(
)
=
W
p
T 2 +
= kx1
=kx1+k1 W(p)= +k1=
Tp
+
p
(
p
1
)
p
p
dt
dt
dt
dt
dx2
= kx1 W ( p ) = k
dt
p
x
x
x
x
1
2
1
2
1
,
α
Пропорционально-интегральное
р
рц
р
звено
tg
α=
k
h
(
t
)
1
t
t
k
t
x
x
1
2
1
k
t
t
R
R
0
В
H=х2
t
1
t
T
G=x1
α
U1=x1
1
U1=
x1
С
2
U2=
x2
ϕ=x2
ϕ
25
ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Дифференцирующие звенья
Идеальное дифференцирующее звено
Дифференцирующее звено с замедлением
x2 = K dx1 dt
W ( p ) = Kp
K
x2 =h(t )=Kd[1(t )] dt=Kδ(t )
.
.
T
dx2
dx
+ x2 = kT 1
dt
dt
W ( p) =
x2
x1
kTp
Tp +1
x2
h(t)
1
t
k
t
t
С
x2=e= K
Uв
dα
dt
U1=
x1
R
U2=
x2
α=x1
26
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Элементы структурных схем
Динамические звенья
X1
W( p )
X
X
2
1
К
Тр + 1
Структурная схема определяет основные
функциональные части системы, их назначение
и взаимосвязь
X
2
Элементы сравнения или сумматоры
Х1
Х3
Х1+Х2=Х3
Х1
Х3
Х2
Х1
Х3
Х2
Х2
Х1 Х2=Х3
Х1–Х2=Х3
Узлы разветвления
Х1
Х2
Х3
27
Типовые соединения
д
звеньев
X ВХ(p)
X
W1 ( p )
W( p ) =
W( p ) =
ВЫХ1(p)
X ВЫХ ( p )
= W1 ( p )W2 ( p )
Х ВХ ( p )
X ВЫХ ( p )
= W1 ( p ) + W2 ( p )
Х ВХ ( p )
W1 ( p )
ХВХ(p)
X ВЫХ(p)
W2 ( p )
Х (p)
WOC ( p )
ХВЫХ(p)
ХВХ1(p)
ХВХ(p)
ХВХ2(p)
( )
W( p ) =
W1 ( p )
W2 ( p )
ХВЫХ1(p)
ХВЫХ(p)
ХВЫХ2(p)
( )
X ВЫХ ( p )
W1 ( p )
=
X ВХ ( p ) 1 + W1 ( p )WOC ( p )
28
Правила преобразования структурных схем
Правила переноса узлов разветвления
X1(p)
X2(p)
W( p )
X1(p)
X2(p)
X2(p)
X1(p)
W( p )
W ( p ) X2(p)
X1(p)
X1(p)
X1(p)
WW( (pp) )
X3(p)
+ X2(p)
( )
X2(p)
W( p )
X2(p)
X1(p)
W( p )
X1(p)
W −1 ( p )
WW( (pp) )
+
W
−1
( p)
X3(p)
X2(p)
29
Правила преобразования структурных схем
X1(p)
X1(p)
W( p )
+
X3(p)
X2(p)
X2(p)
X1
X3
+ X
2
W( p )
X3
X3
+
F(p)
W1 ( p )
W2 ,3 ( p ) =
W2 ( p )
W2 ( p )W3 ( p )
1 + W2 ( p )W3 ( p )
Хвх(p)
W1 ( p )
(p) =
W(p)
+
X1
X3
Хвх(p)
X3(p)
W( p )
X2
+
X2
Хвых(p)
W3 ( p )
W3−1 ( p )
W2 ,3 ( p )
Хвых(p)
W1(p)W2 ,3(p)
X вых(p)
=
=
−1
X вх(p)
( ) 1 + W1(p)W
( )W2 ,3(p)W
( )W3 (p)
( )
30
W2 ( p )W3 ( p )
1 + W2 ( p )W3 ( p )
W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p )
=
=
W2 ( p )W3 ( p )
1 + W1 ( p )
W3− 1 ( p ) 1 + W2 ( p )W3 ( p ) + W1 ( p )W2 ( p )
1 + W2 ( p )W3 ( p )
W1 ( p )
Uy
Uз
Wy
Eп
Wтп
W p ( p ) = WY ( p )WТП ( p )W Д ( p )WТГ ( p )
ω
Wд
Wтг
КД
КП
Т П р +1 ТМТ Я p2 + ТM p +1
ω( р ) W p ( p) / WТГ ( p)
W3 ( p ) =
=
=
=
КД
U 3 ( p)
1 + W р ( p)
КП
1+ Ку
К ТГ
Т П p +1 ТMТ Я p2 + ТM p +1
КУ
=
КУ К П К Д
(Т П р + 1)(Т М Т Я р 2 + Т М р + 1) + К y К П К Д К ТГ
31
Правило
р
Мезона
∑[Wi пр ( р)Δ i ( p)]
X вых ( р) i
W ( p) =
=
X вх ( р)
Хвх(p)
( )
,
Δ( p)
Δ( р ) = 1 − ∑ Wk 1 ( p ) + ∑ Wk 2 ( p ) − ∑ Wk 3 ( р )
F(p)
(p)
W1 ( p )
W2 ( p )
X2
Хвых(p)
W3 ( p )
Х вых ( p )
W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p )
=
W( p ) =
Х вх ( p ) 1 + W1 ( p )W2 ( p ) + W2 ( p )W3 ( p )
W( p ) =
W2 ( p )W3 ( p )
X 2( p )
=
F ( p ) 1 + W1 ( p )W2 ( p ) + W2 ( p )W3 ( p )
32
Типовые передаточные функции САУ
f(p)
Wf ( p )
XВХ(p) ΔX(p)
p)
Wp( p ) =
WРЕГ ( p )
U(p)
X ВЫХ ( р )
= WРЕГ ( р )W0 ( p )
X ВХ ( р )
X ВЫХ ( р )
W0 ( p ) =
U( p )
Ф( р ) =
WO ( p )
Х ВЫХ ( р ) W f ( p )W0 ( p )
=
f( р)
1 + Wp ( p )
XВЫХ(p)
Wр ( р )
X ВЫХ ( р )
W( p ) =
=
X ВХ ( р ) 1 + W р ( р )
W0 f ( p ) =
X ВЫХ ( р )
= W f ( р )W0 ( p )
f( р)
H( p ) =
ΔX ( р )
1
=
= 1 − W ( p ).
X ВХ ( р ) 1 + W р ( p )
33
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ САУ
(a0 p n + a1 p n−1 + ... + an ) X вых = (b0 p m + b1 p m−1 + ... + bm ) X вх
*
Х вых (t ) = X вых (t ) + X вых
(t )
a0 r n + a1r n−1 + ... + an = 0
34
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ САУ
Вещественные корни
C 2 e r2 t
C 1 e r1 t
Сходящийся
процесс
t
Расходящийся
процесс
t
Сходящийся процесс
e −α t (C1 cos β t + C2 sin β t )
eα t (C1 cos β t + C2 sin β t )
t
35
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ САУ
Мнимые корни
C1 cos β t + C 2 sin β t
Im
Процесс колебательный
β
Re
-β
-α
Рис. 6.5
36
Критерии
р р устойчивости
у
Критерий Гурвица
a1
a0
Δn = 0
...
0
a3
a2
a1
...
0
a5
a4
a3
...
...
a0 r n + a1r n−1 + ... + an = 0
... 0
... 0
... 0
... ...
... an
Δ 1 > 0; Δ 2 > 0; ..., Δ n −1 > 0.
Δ1 = a1
Δ2 =
a1
a3
a0
a2
;
a1
a3
a5
Δ 3 = a0
0
a2
a1
a4
a3
37
Критерии
р р устойчивости
у
Критерий Михайлова
A(r) = a0r n + a1r n−1 +...+ an A( jω ) = a0 ( jω − r1 )( jω − r2 ) ...(( jω − rn )
(ω )
(ω )
A( jω ) = a0 A1 (ω )e jϕ 1 A2 (ω )e jϕ 2 ... An (ω )e jϕ n
j
(jω-r1)
A( jω ) = A(ω )e
j
(jω-r2)
π/2
-jω
jω
Re
r1
-π/2
(ω )
jϕ ( ω )
Re
r2
j
π/2+γ
j
γ
β
jω-r3
r3
jω
-α
jω- r4
π/2-γ
jω
Re
r4
-β
γ
-α
38
Y
n=1 n=5
Y
n=3
Х
Х
Неустойчивая
система
Годографы соответствуют
устойчивым системам
Неустойчивая система
39
Критерии у
устойчивости
Критерий устойчивости Найквиста
W p ( p) =
m
b0 p + b1 p
m −1
+ ...bm
с 0 p n + с1 p n −1 + .. + с n
=
B( p)
C ( p)
B( p )
C ( p)
B( p)
W p ( p) =
=
;
B( p ) B( p ) + C ( p )
1+
C ( p)
n>m
B( jω ) C ( jω ) + B( jω ) A( jω ) A(ω )e jϕ A
jϕ E
E ( j ω ) = 1 + W p ( jω ) = 1 +
=
=
=
=
E
(
ω
)
e
C ( jω )
C ( jω )
C ( jω ) C (ω )e jϕc
j
ω=∞
-1
1
ω
Неустойчивая
φЕ=2π
ω=00
E(jω)
Устойчивая
φЕ=0
40
j
Wp(j
ω))
j
-
-1
неустойчив
а
устойчива
+
-1
1
ω=
∞
ω=0
Wp(jω)
Система
устойчива
41
Анализ устойчивости САУ по логарифмическим
частотным характеристикам
W p ( p) = W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p)
L p (ω ) = L1 (ω ) + L2 (ω ) + L3 (ω )
ϕ p (ω ) = ϕ1 (ω ) + ϕ 2 (ω ) + ϕ 3 (ω )
42
РАСЧЕТ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ САУ
Операторный метод решения дифференциальных уравнений
B(0) n B( pi )
xвых (t ) =
+∑
⋅ e pi ⋅t
A(0) i =1 pi ⋅ A′ ( pi )
Частотный метод расчета переходных процессов
h(t ) =
2∞
π
∫ P(ω )
0
sin ωt
ω
dω
43
КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Оценка качества по переходной функции
Быстродействие
xвых ((tt ) − xвых (∞ ) < δ
σ0
Перерегулирование
σ% =
σ0
σ0
xвых (∞)
⋅ 100%
Статическая ошибка
Δx уст = x вх − x вых (∞ )
Динамическая ошибка
Δx(t ) = xвх (t ) − xвых (t )
44
Косвенные методы оценки качества
Частотные способы оценки качества
V
З
Запас
устойчивости
й
по модулю
д
ΔK =
U
ω=0
–1
K кр
КЗ
а
Kз
WР(jω
)
ККР
W р ( jω ) = U (ω ) + jV (ω ) = K [U 1 (ω ) + jV1 (ω )] = KU 1 (ω1 )
123
K з ⋅ U 1 (ω1 ) = −a
K кр ⋅ U 1 (ω 1 ) = −1
K кр
1
ΔK =
= >1
Kз a
=0
45
V
Запас у
устойчивости по ф
фазе
a
–
1
–180
γ
Рис. 8.4
φ L, дБ
–90
90
U
φ1
При использовании ЛЧХ
0
ω=∞
20 lg Kкр
20 lg Kз
ωс
ΔL=20 lg ΔK
ω, с–1
φр(ω)
γ
46
Корневые способы оценки качества
Степень устойчивости
η = α min
βi
λ = tgθ =
αi
Интегральные методы оценки качества
Колебательность
интегральная квадратичная оценка
∞
I = ∫ х 2 (t )dt
0
47
СИНТЕЗ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
последовательные,
параллельные корректирующие устройства в вид
местных обратных связей
,-со
согласно-параллельные
ас о ара е
е корректирующие
орре рующ е ус
устройства
ро с а
XВХ(p)
WK ( p)
WK(p)
WН(p)
XВЫХ(p)
WC ( p ) = WH ( p ) ⋅ WK ( p )
48
ЛЧХ:
20 lg WC ( jω ) = 20 lg WH ( jω ) + 20 lg WK ( jω )
LC ( ω ) = LH ( ω ) + LK ( ω )
LK ( ω ) = LC ( ω ) − LH ( ω )
ϕ K ( ω ) = ϕC ( ω ) − ϕ H ( ω )
Строится
логарифмическая
амплитудно-частотная
LC ( ω )
LK ( ω )
характеристика
нескорректированной
системы
LH ( ω )
.
,
Строится логарифмическая амплитудно-частотная
LC ( ω
характеристика
р
р
скорректированной
рр
р
системы
)
выбирают тип корректирующего устройства
49
Выбор параллельных корректирующих устройств
в виде обратных
б
связей
XВЫХ(р)
XВХ(р)
W1 ( р )
W2 ( p )
W3 ( р )
W4 ( р )
WK ( р )
WHO ( p ) ⋅ WОХВ ( p )
WC ( p ) =
1 + WK ( p ) ⋅ WОХВ ( p )
WHO ( jω )
WC′ ( jω ) =
W K ( jω )
20 lg WC′ ( jω ) = 20 lg WHO ( jω ) − 20 lg WK ( jω )
WC ( jω ) = WHO ( jω ) ⋅ WOXB ( jω ) = WH ( jω )
50
Порядок выбора параллельного
корректирующего звена
WC ( jω ) =
WHO ( jω ) WK ( jω ) ⋅ WOXB ( jω )
⋅
WK ( jω ) 1 + WK ( jω ) ⋅ WOXB ( jω )
LC ( ω ) = LHO ( ω ) − LK ( ω ) + ΔL( ω ) ⎫
⎬
ϕ C ( ω ) = ϕ HO ( ω ) − ϕ K ( ω ) + Δϕ ( ω )⎭
51
WOXB ( jω ) ⋅ W K ( jω )
ΔL( ω ) = 20 lg
1 + WOXB ( jω ) ⋅ W K ( jω )
WOXB ( jω ) ⋅ WK ( jω )
Δϕ ( ω ) = arg
1 + WOXB ( jω ) ⋅ WK ( jω )
LBK ( ω ) = LOXB ( ω ) + LK ( ω )
ϕ BK ( ω ) = ϕ OXB ( ω ) + ϕ K ( ω )
52
Построение желаемой логарифмической
амплитудно-частотной характеристики
скорректированной системы
. Задаются показатели качества
σ
1.Величина перерегулирования %
–
2. Время регулирования – tР с.
3. Коэффициент передачи разомкнутой системы K
.
P
PМАКС
P(0)
ω
aф
ωb
ωd
ωп
ф
ф
ω1
ω2
ф
PМИН
ω0
ω
53
Типовые ЛАЧХ для статической астатической систем
L,
дБ
Б
∏ W ( p)
K
WP ( p ) =
i
i =1
n
∏ W ( p)
20 lg
K
j
j =1
LC(ω)
НЧ
m
L
1
ω
1
K
WP ( p ) =
P
N
m
∏ Wi ( p )
i =1
n
L,
дБ
СЧ
-20
20
дБ/дек
ω
ω
ω
3
2
С
LC(ω)
НЧ
20 lg
K
∏W j ( p )
L
j =11
ω
1
1
L
2
-40
дБ/дек
-60
дБ/дек
В
Сопрягающая Ч
прямая
-20 N
дБ/дек
ω ω=
1
2
ω,
с-1
СЧ
-20
20
дБ/дек
ω
ω
3
С
L
2
В
Ч
ω,
с-1
-40
дБ/дек
-60
дБ/дек
54
Корректирующие
рр
ру щ звенья
Пассивные четырехполюсники
U2( p )
Z2( p )
W( p ) =
.
=
U 1( p ) Z1( p ) + Z 2 ( p )
Z1(p)
u1
Z2(p)
u2
ZН(p)
Дифференцирующие
интегрирующие
интегро-дифференцирующие
55
Реализация сложных
корректирующих звеньев
Z11(p)
u1
Z12(p
)
Z22(p
)
Z21(p)
WK2(p)
WK1(p)
Z11(p)
У
u1
u2
Z12(p
)
Z21(p)
Z22(
p)
WK1(p)
WK2(p
)
u2
WЭ ( р ) = WK 1 ( p ) ⋅ KУ ⋅ WK 2 ( p )
56
Активные четырехполюсники
р
постоянного тока
Z2(p)
Z1(p)
u1
u2
U 2 ( p)
Z 2 ( p)
W ( p) =
=−
.
U1 ( p )
Z1 ( p )
Активные четырехполюсники обладают следующими свойствами:
осуществляют почти идеальное интегрирование,
передаточный
р д
коэффициент
фф ц
может быть велик,,
легко суммируются несколько сигналов,
часто имеют меньшие габариты по сравнению с пассивными.
57
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ САУ
Общие методы.
методы
Увеличение коэффициента усиления разомкнутой
системы,
Повышение степени астатизма,
Применение регулирования по производным от
ошибки,
б
Применение инвариантных систем 2-х типов:
– инвариантных по отношению к возмущающему
воздействию,
– инвариантных по отношению к задающемуу
воздействию.
58
Увеличение коэффициента усиления
разомкнутой системы
f(p)
W3(p)
g(p)
X(p) W (p)
1( )
W2(p)
y(p)
W f 0 ( p)
1
X ( p) =
g ( p) +
f ( p)
1 + WP ( p )
1 + WP ( p )
59
Повышение степени астатизма
W2 ( p ) =
W0 1
K
= ⋅ 2 2
p
p T p + 2ξTp + 1
W1 ( p ) =
Ku
p
60
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ В
ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
⎧ x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ),
⎨
⎩ y (t ) = Cx (t ) + Du(t ),
⎡ x1 ( t ) ⎤
⎢ . ⎥
⎥
x (t ) = ⎢
⎢ . ⎥
⎢
⎥
x
(
t
)
⎣ n ⎦
⎡ u1 ( t ) ⎤
⎢ . ⎥
⎥
u (t ) = ⎢
⎢ . ⎥
⎢u (t )⎥
⎣ k ⎦
⎡ y1 ( t ) ⎤
⎢ . ⎥
⎥
y (t ) = ⎢
⎢ . ⎥
⎢ y (t ) ⎥
⎣ m ⎦
61
Составление уравнений состояния по
известной
й передаточной
й функции
ф
b0 p m +bb1 p m-1 + ...+b
... bm
Y(p)
W( )
W(p)=
=
U(p) a0 p n + a1 p n-1 + ...+ an
Y(p))
Y(
U(
U(p))
=
= X ( p).
m
m-1
n
n-1
(b0 p +b1 p +...+bm ) ( a0 p +a1 p +...+an )
⎧( a0 p n + a1 p n-1 + ...+ an ) X(p)= U(p)
⎪
⎨
m
m-1
b
p
+b
p
+ ...+bm ) X(p)= Y(p)
⎪⎩( 0
1
Y(p)= b0 p m X(p)+ b1 p m-1 X(p)+…+ bm X(p)
62
⎛ 0
⎡ x&1 ⎤ ⎜
⎢
⎥ ⎜ .
⎢.
⎥ ⎜ .
⎢ .x
x&n-1 ⎥ = ⎜
⎢
⎥ ⎜ 0
⎢
⎥ ⎜
⎢ x& ⎥ ⎜ - an
⎣ n ⎦ ⎜ a
⎝ 0
1
.
.
0
an-1
a0
y = ( bm . b0
..
..
..
..
0
.
.
1
⎞
⎛0⎞
⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟
⎟ ⎜ . ⎟
⎟ ⎜
⎟× ⎜ . ⎟ + ⎜ ⎟×U
⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 0 ⎟
a1 ⎟ ⎜⎜ n-1 ⎟⎟ ⎜ 1 ⎟
.. - ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎜ ⎟
a0 ⎠⎟
⎝ а0 ⎠
⎡ x1 ⎤
⎢
⎥
.
⎢
⎥
0 . 0 )× ⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎢ xn-1 ⎥
⎢ xn ⎥
⎣
⎦
⎧ x& ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) ,
⎨
⎩ y (t ) = C x (t ).
63
b0
bm−1
u
xn
1
1
p
a0 ⋅ p
xm+1
+
1
p
an−m
a1
1
x2
p
+
bm
y
an
an−1
+
x1
+
64
СИНТЕЗ МОДАЛЬНЫХ
Д
РЕГУЛЯТОРОВ
Форма Баттерворта
n= 2
n=3
p 2 + 2ω0 p +ω0 2
p 3 + 2ω0 p 2 + 2ω0 2 p +ω0 3
Биномиальная форма
p 2 + 2ω0 p +ω0 2
p 3 +3ω0 p 2 +3ω0 2 p +ω0 3
n =2
n =3
3
tp =9.5
65
V1
K1
V
u
−
+
исходная схема
x& = A ⋅ x + B ⋅ u
x1
x2
xn
& x+B(v-Kx)=(A-BK)x+Bv.
x=A
~
A =А-ВК.
K1
det(pI - A% )= Dж (p)
K2
Kn
модальный регулятор
66
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
САУ
Управляемость САУ
P = (B,AB,A
(B AB A2 B,....,A
B
An-1 B)
rank P = n
Наблюдаемость САУ
x&(t)=
() A
Ax(t)+
() B
Bu(t)
()
y(t)= Cx(t)
rank Q = n
T
T T
T 2 T
T n-1 T
⎡
Q = ⎣C ,A
A C ,(A
(A ) C ,..,(A
(A ) C ⎤⎦
67
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
Принципы построения наблюдающего устройства полного порядка
A + Bu
B
⎧ x& = Ax
⎨
⎩ y = Cx
⎧⎪ xˆ& = Axˆ + Bu
B
⎨
⎪⎩ yˆ = Cxˆ
u
В
объект
1
Ι
p
x
С
y
А
L
y
L
− LC
u
B
1
p
А
I
В
наблюдател
ь
1
Ι
p
-С
А
xˆ& - x& = (A - LC)(xˆ - x)
68
a12
pp
Структура наблюдателя с объектом
u
x2
a2
p
a1
p
a1
p
x1
L21
-
a
2
L11
1
p
a1
1
p
xˆ1 = x3
xˆ 2= x4
69
Редуцированный наблюдатель
y& = A11 y + A12 w+ B1u ⎫
⎡ y ⎤ }m
x= ⎢ ⎥
⎬
w
&
n
m
w
=
A
y
+
A
w+
B
u
}
⎣ ⎦
21
22
2 ⎭
A12 w = y& - A11 y - B1u.
-В
В1
u
y
р
A12 w
-А11
А21
В2
L
I
p
-А12
A12 wˆ
А22
70
y
А21-LA11
L
ŵ
u
B2-LB1
I
p
A22-LA12
y
L
G
u
TB
I
p
z
F
71
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ,
ЗАМКНУТОЙ ЧЕРЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЬ
xˆ& = (A - LC)xˆ + Bu + Ly
x& = Ax + Bu
V
u
B
x
I
p
x
y
C
A
L
x
B
u = V - Kxˆ
наблюдатель
I
p
y
C
A
К
72
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
u(t)
x
xи
ИЗ
-
y
Управляемый
р
процесс
Дискретные
системы
Импульсные
(квантование по времени)
x2
Регулятор
АЦП
ЦВМ
ЦАП
Коммутатор
y1
Объект
1
-
-
y2
Объект
2
-
x1
x,3
Цифровые (квантование по
уровню и времени)
Объект
3
Коммутатор
y3
xи(t)
x(t)
x(t)
t
ИЗ
З
xи(t)
0
T
2T
t
Виды модуляции сигналов
Общее понятие амплитудной модуляции сигналов
АИ
модулятор
∞
xи(t) = ∑ x(lT ) f (t − lT )
l =0
xи(t)
x(lT
)
1
f(t)
f(t-2T)
x(0) x(T) x(2T) x(3T)
T
2T
3T
t
T
2T
3T
t
T
16.2.2. ИЗ с амплитудной и широтной модуляцией
1. ИЗ с амплитудной модуляцией первого
рода.
x
xИ
x
γT
T
2T
3T
4T
5T
xИ = kx(lT) при lT ≤ t ≤ (lT + γT)
xИ = 0
при (lT + γT) < t < (l + 1)T
t
2T
3T
t
2. ИЗ с амплитудной модуляцией второго рода.
x
xИ
x
γT
4T
T
2T
5T
3T
t
xИ = kx(t) при lT ≤ t ≤ (lT + γT)
xИ = 0
при (lT + γT) < t < (l + 1)T
3. ИЗ с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ).
x
x
xИ
γT
C
5T
T
2T
3T
4T
C
-C
t
xИ =С sign x[lT] при lT ≤ t ≤ (lT + γT)
xИ = 0
при (lT + γT) < t < (l + 1)T
75
16.3. Эквивалентная схема импульсной системы
ИЗ
xвх
НЧ
x
xИ
-
WН(p)
x(t)
xвых
xи(t)
ИЗ
x(t)
xи(t)
t
f(t)
0
T
2T
t
∞
∑ x(lT ) f (t − lT )
xи(t) =
0
x(t)
T
ИИЗ
l =0
t
ФЗ
x*(t)
xИ(t)
Wф(p)
x*(t)
x(t)
t
xИ(t)
T 2T 3T 4T
∞
x*(t) = ∑ x(lT )δ (t − lT )
l =0
t
t
76
wф (t ) = f (t )
∞
∫ wф (t )e
Wф(p)=
∞
− pt
0
∑ x(lT )w
xи((t)) =
ф
Wф ( p ) = F ( p )
∞
dt = ∫ f (t )e − pt dt
0
(t − lT )
l=0
ИИЗ
xвх
x
x*
Wф(p)
xИ
WН(p)
xвы
х
–
Wфн(p) = Wф(p) Wн(p)
16 4 Применение преобразований Фурье и Лапласа для дискретных сигналов
16.4.
x
ИИЗ
∞
∞
x*
*
X*(p) = ∫ x (t )e
x*(t)
− ppt
= ∑ x(lT )δ (t − lT )
l =0
dt
0 ∞
∞
X*(p) =
∞
∑ ∫ x(lT )δ (t − lT )e − pt dt
l =00
− pt
dt e-plT
∫ x(lT )δ (t − lT )e = x(lT)
0
X*(p)
∞
= ∑ x(lT )e
X(z) =
− plT
l =0
=0
∞
∑ x(lT ) z − l
l =0
77
ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРОВ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
X*(jω)
∞
*
− jωt
dt
∫ x (t )e
=
0
∞
X*( jω) =
∑ x(lT )e − jωlT
l =0
x
∞
x*
x*(t)
=
∑ x(lT )δ (t − lT )
l =0
∞
x*(t) = x(t ) ∑ δ (t − lT )
l = −∞
∞
∞
∑
δ (t − lT ) =
l =−∞
∑
r =−∞
Cr e jrω и t =
∞
1
e jrω и t
∑
T r =−∞
∞
Cr =
1 ⎡ ∞
1
⎤ − jrωиt
δ
(
−
)
=
t
lT
e
dt
∑
∫
⎥
T −T ⎢⎣l =−∞
T
⎦
1
jrω t
x*(t) = x(t ) ∑ e и
T r =−∞∞
∞
∞
∞ ∞
⎤ − jω t
1 ⎡
1
jr
ω
t
и
dt = ∑ ∫ x (t )e − j (ω − rω и )t dt
⎢ x (t ) ∑ e
⎥e
X*( jω) =
∫
T ⎢
T r =−∞
⎥⎦
r =−∞
0⎣
0
∞
∫ x (t )e
0
X*(
− j (ω − rω и )t
−T
2
2
dt = X [ j (ω − rωи )]
1 ∞
jω) = ∑ X [ j (ω − rω и )]
T r =−∞
X*( jω) =
1 ∞
∑ X [ j (ω + rω и )]
T r =−∞
78
|X(jω)|1/Т
|X*(jω)|
||X*(jω)|
-ωи
ωи
xвх1
ω
r=2
r=1
r=0
-2ωи
-ωи
0
ω1 =
T
2T
3T
4T
5T
6T
π
2T
r=-1
r=-2
ωи
2ωи
=
ω
2π
4T
t
xвых(lT)
t
ω2 =
xвх2
4
T
3
X*(
1 ∞
p) =
∑ X ( p + jrω и )
T r =−∞
t
3π 2π
=
2T 4 T
3
79
Прохождение сигналов через импульсную САУ
xвх
x
ИИЗ
x*
xИ
Wф(p)
( )
WН(p)
( )
xвы
х
–
X
Xвых(
( jω)=Wфн(j
) Wф (jω)⋅ X*( jω)
1 ∞
∑ X [ j (ω + rω и )]
T r =−∞
r =∞
1
1
X ВЫХ ( jω ) = WФН ( jω ) X ( jω ) + WФН ( jω ) ⋅ ∑ X [ j (ω + rω и )
T
T
r =∞
Xвых( jω)= Wфн(jω)⋅
r ≠0
|X(jω)|
-2ωи
-ωи
0
ωи
ω
2ωи
|X*(jω)|
|Wфн(jω)
|
-2ωи
-ωи
0
ωи
2ωи
ω
|Xвых(jω)|
-2ωи
-ωи
0
ωи
2ωи
ω
80
Прохождение сигналов через ИСАУ при выполнении условий теоремы
Котельникова
|X(jω)|
-2ωи
-ωи
ωс
0
ωи
2ωи
ω
|Wфн(jω)|
|X*(jω)|
-2ωи
-ωи
0
ωс
ωи
2ωи
ω
||Xвых(jω)|
-ωи
0
ωс
ωи
ω
81
Передаточная функция и частотная передаточная функция
разомкнутой импульсной системы
xвх
x
ИИЗ
x*
-
xвы
Wфн(p
)
х
x* = (xвх - xвых)* = x*вх x*вых
xвых
xвх
ИИЗ
x*вх
x*
–
Wфн(p xвых
)
ИИЗ
x*вых
x(t)
x*
Wфн(p)
xвых ИИЗ
x*(t)
x*вых
lTи
T
2T
3T
xвых,i(t) = x(iT) wфн(t - iT)
xвых(t)= ∑ x(iT ) wфн (t − iT )
lTи
i =0
∞
∑ x(iT )δ (t − iT )
∞i =0
xвых(t) = ∑ x (iT ) wфн (t − iT )
t
xвых,i
вых i((t))
l
x*(t) =
4T
t
iT
xвых(t)
x*вых(t)
=0
i∞
xвых(lT) = ∑ x(iT ) wфн ((l − i )T )
i =0
T
2T
iT
3T
lTи t
82
∞
X*
вых(p)
∑
= xвых (lT )e
l =0
∞
X*вых(p) =∑
− plT
∞
∞
= ∑∑ x (iT ) wфн ((l − i )T ).e − plT
l =0 i =0
∞
∑ x(iT ) wфн (kT ).e − pkT e − piT
k = −i i = 0
∞
X*
вых(p) =
∑w
k =0
Wp
фн
ф
( kT )e
− pkT
∞
∑ x(iT )e
− piT
i =0
*(p)
X*(p)
*
X вых
( p) ∞
*
= ∑ wфн (kT )e − pkT
Wp (p)=
*
X ( p ) k =0
=0
X*вых(jω) = Wp*( jω)⋅ X*( jω)
Wp
*(jω)=
∞
1 ∑W [ j (ω + rω )]
фн
и
Tr =−∞
Определение передаточной функции разомкнутой системы по
передаточной функции непрерывной части
∞
Wp*(p)
(p)=
∑ wффн (lT )e
l =0
∞
Wp*(jω)=∑ wфн (lT )e
l =0
∞
− plT
− jωlT
1
Wp*(p)
(p)= ∑ Wфн ( p + jrω и )
T r =−∞
∞
1
Wфн [ j (ω + rω и )]
Wp*(jω)= Tr =∑
−∞
x
ИИЗ
ФЗ
x*
WФ(p)
НЧ
xИ
W Н (p)
x*вых
xвых
WФ(p) = WТ(p) · WФНЧ(p)
83
ИИЗ
x
x*вых
x*
WТ(p)
WПНЧ(p)
xвых
W*(p) = Z[W(p)]
A
B
C + Dp
+
+
W(p) =
= p T p +1
T22 p 2 + 2εT2 p + 1
p (T1 p + 1)(T22 p 2 + 2εTpp + 1)
1
B1 ( p )
W*П.Н.Ч. (p) = Z[W П.Н.Ч. (p)]
ИИЗ
x
Wp
*(p)
Wp
x*вых
x*
= WТ(p) ·
*(p)
W*ПНЧ (p)
WТ(p)
W*П.Н.Ч.(p)
=
W*(p) =
*
X вых
( p)
X * ( p)
B* ( p ) b0 e mpT + b1e ( m −1) pT + ... + bm
=
= *
C ( p ) c0 e npT + c1e ( n −1) pT + ... + cn
Передаточные функции замкнутых систем
xвх
x*
x
-
xвх
x*вх
-
Wфн(p)
Wфн(p)
xвых
xвых
x*вых
x *в
х
Wp* (p)
*
X вых
( p)
*
X вх
( p)
=
-
Wp* (p)
x*вых
W p* ( p )
1 + W p* ( p )
84
ИИЗ
x*вх
xвх
W1(p)
W2 (p)
x*вых
xвых
X*
X*вых(p)
( ) = X*вх(p)W1W2*(p)
X* ( )W1W2*( )
xвх
ИИЗ
1 x*вх
W1(p)
ИИЗ
x1(t)2 x1*(t)
x*вых(t)
W2 (p)
xвых(t
)
X*вых(p) = W2*(p)·W1*(p)·X*вх(p) = W*p(p)·X*вх(p)
W1W2*(p)≠ W1*(p) ·W2*(p)
xвх
W1(p)
x1
ИИЗ
x 1*
x*вых
W2 (p)
xвых
X*вых(p) = XвхW1*(p)
85
УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Понятие об устойчивости
Область
устойчивост
и
Im
Пл. p
ωи /2
Re
-ωи /2
pi T
ci T
jω i T
zi = e
= e ⋅e
= α z + jβ z
e c i T = z i = α z + jβ z
1
Область
устойчивост
и Re
Пл. z
Критерий устойчивости Гурвица для импульсных систем
n
n −1
A(v) = a0 ⎛⎜ 1 + v ⎞⎟ + a1⎛⎜ 1 + v ⎞⎟ +…+ a =0
n
⎝1− v ⎠
⎝1− v ⎠
a0 (1 + v )n+ a1(1 + v )n −1 (1 − v )+…+ an(1 − v )n =0
a0’ v n + a1’ v n −1 +…+ an’ =0
Критерий устойчивости Михайлова для импульсных систем
A( ) = a0(z
A(z)
0( –z1)(z
1)( –z2)…(z
2) ( –zn))
j
j
ejωT
ejωT -zi
ω
ω
ejωT
ejωT -zi
1
ω=±ωи/2
Re
ω=0
ω=±ωи/2
ω=0
1
zi
Re
zi
ω
Δarg (ejωT -zi)=2π
Δarg (ejωT -zi)=0
Y(ω)
Y(ω)
A*(jω)
n=1
X(ω)
ωи/2
A*(jω)
n=2
X(ω)
ωи/2
ω=0
ω=0
Устойчива
Устойчива
Y(ω)
A*(jω)
n=1
X(ω)
ωи/2
ω=0
Неустойчива
87
Критерий устойчивости Найквиста для импульсных систем
j
Система устойчива в
замкнутом состоянии -1
W*p (jω)
ωи/2
Для нейтральной
системы
ω=0
ω=0
-1
ωи/2
ω→ 0
Дополнение годографа
к бесконечности
88
КОРРЕКЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
xвх
WФ(p)
WК1(p)
-
WН(p)
xвых
WК2(p)
WФ1WК
WФ(p)
(p)WН(p)
xвых
WК*(p)
xвх
АЦП
ЦВМ
-
ЦАП
WН(p
)
xвых
WК*(p)
89
Условия конечной длительности переходного процесса
*
∝
W ( p) = ∑ w(lT )e − plT
l =0
=0
mpT
(m−1) pT
*
b
e
+
b
e
+ ...+ bm
B
(
p
)
0
1
=
W*(p) =
A*( p) a0enpT + a1e(n−1) pT + ...+ an
W*(p)
[
1
b0e − ( n − m) pTT + b1e − ( n − m +1) pTT + ... + bm e − npTT
=
a0
]
w[(n − m)T ]e −( n−m) pT + w[(n − m + 1)T ]e −( n−m+1) pT + ...
90
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
∗
p
W ( p)
Х*вх
W p* ( p )
*
X вых
( p)
=
Х*вых
W p* ( p )
1 + W p* ( p )
= W p* ( p ) ⋅
X
x вы х ( lT ) =
*
X вых
( p)
*
вых
( p) =
B*( p)
*
A ( p)
=
T
W
( p) =
2
∫ω
2π j
c− j
p lT
*
X вы
dp
х ( p) e
и
2
a 0 e npT + a 1 e ( n − 1 ) pT + K + a n
B* ( pk )
n
xвых (lT ) = ∑
k =1
*
ωи
b 0 e mpT + b1 e ( m − 1 ) pT + K + b m
•∗
dA* ( p )
A ( p) =
d ( e pT )
c+ j
B*( p)
•∗
e pk lT
e pkT A ( pk )
A*( p)
B* (0) n
B* ( pk )
+∑
h(lT ) = *
e pk lT
• *
A (0) k =1 e pk T − 1 A ( p )
(
) k
w(lT ) =
n
∑
B * ( pk )
k =1e p k T
•*
A ( pk )
e pk l T
W*(p)
l
xвых (t ) = ∑ xвх (iT ) w(t − iT )
для lT < t ≤ (l + 1)T
i =0
l
xвых (lT ) = ∑ xвх (iT ) w(lT − iT )
i =0
хвы
хвх
х
∞
*
Х вых
( p ) = ∑ xвых (lT ) e − plT = xвых (0 T )e −0 pT + xвых (T ) e − pT +
l =0
+ xвых ((2T ) e −2 pT + xвых ((3T ) e −3 pT + K
ЛЧХ импульсных САУ
v= j
sin ωT
ωT
= j tg
t
1 + cos ωT
2
w=
z=
1 + wT
1 − wT
2
2 z −1 2
ωT
v= ⋅
= ⋅ j ⋅ tg
t
= jω *,
*
2
T
T z +1 T
2
2
92
ПРИМЕНЕНИЕ ЛЧХ ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
ЛЧХ импульсных САУ
1+ v
z=
1− v
z −1
v=
z +1
При
z = e jωT = cos ω T + j sin ω T
2
2 z −1 2
ωT
sin ωT
ωT
w= v= ⋅
= ⋅ j ⋅ tg
= jω *,
v= j
= j tg
T
T z +1 T
2
1 + cos ωT
2
ωT ωT
wT
2 ωT
*
tg
≈
v=
где ω = tg
2
2
T
2
2
z =
1 + wT
1 − wT
2
2
93
Методика построения ЛЧХ
b0 z m + b1 z m −1 + K + bm
Wp ( z ) =
a0 z n + a1 z n −1 + K + an
m −1
m
⎛ 1 + wT ⎞
⎛ 1 + wT ⎞
2
2 ⎟ +K+ b
⎟ + b1 ⎜
b0 ⎜
m
wT
T
wT
T
⎜1−
⎟
⎜1−
⎟
2⎠
2⎠
⎝
W p ( w) = ⎝
=
n
n −1
wT
wT
⎛1+
⎞
⎛1+
⎞
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟ + K + an
+ a1
a0
wT
w
wT
w
⎜1−
⎟
⎜1−
⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎛ wT ⎞
= ⎜1 −
⎟
2 ⎠
⎝
n −m
b0′ wm + b1′wm −1 + K + bm′
⋅
a0′ wn + a1′wn −1 + K + an′
*
W p ( z ) ⎯⎯wT
⎯→ W p ( w) ⎯⎯ ⎯
⎯
* → W p ( jω )
1+
2
wT
1−
2
w= jω
+20
дБ/дек
94
Примеры построения ЛЧХ
φ, °
L,
L(ω)
дБ
− 20
1
φ˚˚ L,
L
дБ
дБ
дек
4
Рис.22.
2
2
Т
20
дБ
дек.
1
0
1
1
ω, c-1
450
900
–450
1
ТЭ
18
0
ϕ2
ϕ1
ϕ(ω*
)
95
Синтез ИСАУ методом ЛЧХ
1. Строится ЛЧХ нескорректированной САУ Lн(ω*)
2. Строится желаемая ЛАХ
3 определяется передаточная функция последовательного
3.
корректирующего звена
( ) = 20 lg W ( jω ) − 20 lg W ( jω ) или
20 lg WK jω
*
C
*
H
*
WK
( )
( )
( )
WC jω *
jω =
WH jω *
*
4. Определяется передаточная функция корректирующего звена WK(z)
2 z −1
jω = ⋅
T z +1
*
96
ЦИФРОВЫЕ САУ С МИКРО-ЭВМ
Функциональная схема цифровой САУ
x(t)
x0
МикроЭВМ
АЦП
Ц 1
y0
u0
u
ЦАП
Непрерывная часть
y
АЦП2
23 2 Особенности цифровых САУ
23.2.
ЦАП
АЦП1
x
x0
T
микроЭВМ
u0
T
u
WH(p)
y0
Код
U0
0
T
АЦП2
U
Аналоговый
сигнал
2T
3T
4T 5T
t
0
T
2T
3T 4T
5T
t
y
T
u0
T
ЦАП
WФ(р)
u
1 − e − pT z − 1 1
WФ ( p ) = ∫ 1 ⋅ e dt =
=
⋅
p
z
p
0
− pt
. Преобразование
П
б
д
данных и квантование по уровню
Машинное слово (дробь)
0,111
0 110
0,110
0,101
0,100
0,011
0,010
0,001
0,000
А(аналоговый сигнал)
1
8
1 3
4 8
1
2
5
8
3 7
4 8
1
98
7q
6q
5q
4q
q
3q
1/8МЗЧ
2q
7/8МЗЧ
3/4МЗЧ
5/8МЗЧ
n=3
1/2МЗЧ
q
3/8МЗЧ
1/4МЗЧ
q
q
2
3q
2
5q
2
7q
2
9q
2
11q 13q
2
2
A
99
Структурная схема и передаточная функция цифровой САУ
T
АЦП1
ЦВМ
X0
X
K1
D(z)
T
Y0
Wп.н.ч.(p
)
WT(p
)
U0
z −1
K3
z
1
p
U
Y
WH(p)
Wф (p)
АЦП2
K2
⎧W ( p ) ⎫ z − 1 ⎧WH ( p ) ⎫
WH ( z ) = WT ( z ) ⋅ Ζ {WП . Н .Ч . ( p )} = WT ( z ) ⋅ Ζ ⎨ H
⋅Ζ⎨
⎬=
⎬
p
z
p
⎩
⎭
⎩
⎭
U 0 ( z ) b0 z S + b1 z S −1 + K + bS
=
D( z ) =
E0 ( z ) a0 z k + a1 z k −1 + K + ak
U 0 ( z ) b0 + b1 z −1 + K + bk z − k
D( z ) =
=
E0 ( z ) a0 + a1 z −1 + K + ak z − k
(a
0
)
(
)
+ a1 z −1 + K + ak z − k ⋅ U 0 ( z ) = b0 + b1 z −1 + K + bk z − k ⋅ E0 ( z )
Ζ[ f ( n )] = F ( z )),
Ζ[ f ( n − m )T ] = z − m F ( z ).
a0 ⋅ u0 (nT ) + a1u0 [(n − 1)T ] + K + ak u0 [(n − k )T ] =
= b0 e0 (nT ) + b1e0 [(n − 1)T ] + K + bk e0 [(n − k )T ].
u0 ( nT ) = b0 e0 ( nT ) + b1e0 [(n − 1)T ] + K + bk e0 [(n − k )T ] −
− {a1u0 [(n − 1)T ] + a2 u0 [(n − 2 )T ] + K + ak u0 [(n − k )T ]}.
100
Передаточные функции цифровой САУ
D(z)
WH(z)
Wp(z) = D(z)⋅WH(z)
W( z ) =
Wp ( z )
1 + Wp ( z )
Приближенное определение дискретной передаточной функции по
передаточной функции непрерывной части (подстановочный метод)
1
1
=T
;
p
z −1
1
z
=T
;
p
z −1
1 T z +1
= ⋅
;
p 2 z −1
z −1
;
T
z −1
p=
;
T ⋅z
2( z − 1)
p=
;
T ( z + 1)
p=
Дифференцирование цифровых последовательностей
p=
1⎡
1
1
2
3
⎤
1
1
1
z
−
−
z
−
+
z
−
− K⎥ ;
(
)
(
)
(
)
⎢
2
3
T⎣
⎦
3
5
⎤
2 ⎡ z −1 1 ⎛ z −1 ⎞ 1 ⎛ z −1 ⎞
p= ⎢
+ ⎜
+
+
K
⎥ ;
⎟
⎜
⎟
T ⎢⎣ z + 1 3 ⎝ z + 1 ⎠ 5 ⎝ z + 1 ⎠
⎥⎦
p=
1⎡
1
1
⎤
−1
−1 2
1
−
z
+
(1
−
z
)
+
(1 − z −1 )3 + K⎥
(
)
⎢
T⎣
2
3
⎦
101
1
f ( z ) = (1 − z −1 ) ⋅ f ( z )
T
1
f ( n ) = [ f ( n ) − f ( n − 1)]
T
•
•
•
f (z )
D( z ) =
f ( z) 1
= (1 − z −1 )
f ( z) T
•
D(z)
f (z )
Цифровые интеграторы
1
T
T ⋅ z −1
≈
=
p z − 1 1 − z −1
1 T z + 1 T 1 + z −1
≈ ⋅
= ⋅
p 2 z − 1 2 1 − z −1
1
T
≈
p 1 − z −1
WФ(p)
X ( z) z − 1 ⎡ 1 ⎤ z − 1 ⎡ T ⋅ z ⎤
T
T ⋅ z −1
=
Ζ⎢ 2 ⎥ =
⋅
=
=
F ( z)
z
z ⎢⎣ ( z − 1) 2 ⎥⎦ z − 1 1 − z −1
⎣p ⎦
X ( z ) ⋅ (1 − z −1 ) = F ( z ) ⋅ T ⋅ z −1
x [ n ] = x ( n − 1) + T . f ( n − 1)
102
f(t)
с
упреждением
аппроксимация
f(t)
x(n)
Т
2Т
3Т
4Т
x ( n ) = x ( n − 1) + Tf ( n )
T
X ( z ) ⋅ (1 − z −1 ) = ⋅ (1 + z −1 ) ⋅ F ( z ),
2
T
x ( n ) = x( n − 1) + [ f ( n ) + f ( n − 1)].
1)]
2
Обобщенная формула численного интегрирования. Компенсация ошибок
f(p)
1
p
X(p)
f(p)
F(z)
p)
~f(p)
z −1 1
⋅
z
p
1+γpT
eγpT
~X(p)
X(z)
1
p
X ( z ) z − 1 ⎧1 + γ ⋅ pT ⎫ z − 1 ⎧ 1 γ T ⎫ z − 1 ⎧ Tz
γ Tz ⎫
=
⋅Ζ⎨
⋅Ζ⎨ 2 +
⋅⎨
+
⎬=
⎬=
⎬=
2
2
−
−
F ( z)
z
p
z
p
p
z
(
z
1)
z
1
⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
⎡ γ + (1 − γ ) z −1 ⎤
⎡ γ z + (1 − γ ) ⎤
=T ⎢
=T ⎢
⎥
z − 1 ⎥⎦
1 − z −1
⎣
⎣
⎦
103
. Дискретные
⎡
⎤ U ( p)
1
W ( p ) = k ⎢1 +
+ TD p ⎥ =
⎣ TI p
⎦ X ( p)
регуляторы
⎡ T
U ( z)
z −1
TD
−1 ⎤
W ( z) =
1
z
= k ⎢1 + ⋅
+
⋅
−
(
)⎥ =
−1
X ( z)
T
1
z
T
−
I
⎣
⎦
2⎤
⎡
T
T
k ⎢(1 − z −1 ) + ⋅ z −1 + D (1 − z −1 ) ⎥
TI
T
⎦
= ⎣
−1
1− z
⎡
⎤
T
T
U ( z ) ⋅ (1 − z −1 ) = k ⎢(1 − z −1 ) + ⋅ z −1 + D (1 − z −1 ) 2 ⎥ ⋅ X ( z );
TI
T
⎣
⎦
⎡ T ⎛
⎤
T
T ⎞
T
U ( z ) = U ( z ) ⋅ z −1 + k ⎢1 + D + ⎜ −1 + − 2 D ⎟ ⋅ z −1 + D ⋅ z −2 ⎥ ⋅ X ( z )
T ⎝
TI
T ⎠
T
⎣
⎦
⎡⎛ T
u (n) = u (n − 1) + k ⎢⎜ 1 + D
T
⎣⎝
⎛
TD
T
⎞
⎟ ⋅ x ( n ) + ⎜ −1 + − 2
TI
T
⎠
⎝
⎡
⎛
T
u( n ) = u( n − 1) + k ⎢[ x ( n ) + ⎜ −1 +
TI
⎝
⎣
⎛
T
q1 = ⎜ −1 +
TI
⎝
⎤
⎞
TD
⋅
x
(
n
−
1)
+
⋅
x
(
n
−
2)
⎥
⎟
T
⎠
⎦
⎤
⎞
x
n
(
1)
⋅
−
⎥
⎟
⎠
⎦
⎞
⎟k
⎠
104
u(n)
⎛
T
q0 + q1 = k ⎜⎜1/ − 1/ +
TI
⎝
⎞
T
⎟⎟ = k
TI
⎠
x(n)
q0 = k
0
2T
3T
n
Выбор параметров цифрового регулятора
1
T
≈
p z −1
⎡
1 ⎤
W ( p ) = k ⎢1 +
⎥
⎣ TI p ⎦
⎡
⎤
T
тогда W ( z ) = k ⎢1 +
⎥
⎣ TI ⋅ ( z − 1) ⎦
⎡
⎛
T
u( n ) = u( n − 1) + k ⎢ x ( n ) + ⎜ −1 +
TI
⎝
⎣
⎤
⎞
⎟ ⋅ x ( n − 1) ⎥
⎠
⎦
⎛
T ⎞
q0 = k ; q1 = k ⎜ −1 + ⎟ .
TI ⎠
⎝
105
1
z
.
≈T
p
z −1
⎡
Tz ⎤
тогда W ( z ) = k ⎢1 +
⎥ - передаточная функция
T
z
(
−
1)
I
⎣
⎦
⎛
T
u ( n ) = u ( n − 1) + k ⎜ 1 +
⎝ TI
⎞
⎟ ⋅ x ( n ) − kx ( n − 1) - разностноое уравнение
⎠
⎛
T ⎞
q0 = k ⎜ 1 + ⎟ ; q1 = − k .
⎝ TI ⎠
⎡
⎤
T
W ( z ) = k ⎢1 +
⎥
⋅
−
1
T
z
(
)
I
⎣
⎦
*
*
*
* τ jω + 1
W ( jω ) = k
τ * jω *
ϕ0
20 lg(k
lg(k*))
-45
ω*
ϕ
-90
106
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Особенности нелинейных систем управления
Xвх
2(t)
Xвых
2
1(t)
1
t
t
Xвх
2(t)
1(t)
Xвых
2
1
t
t
Общие характеристики НЗ
X1
X2
НЗ
X2
F(x1) = F(-x1)
X1
X2
F(x1) = -F(-x1)
X1
Типовые нелинейные звенья с однозначными характеристиками
X2
X2
-b
C
-b
b
b X1
X1
X2
X2
C
C
-b -mb
mb b Х1
X1
Звенья с неоднозначными характеристиками
X2
X2
С
-b
-b -mb
С
mb b X1
b X1
108
X2
X2
С
-b
b
X1
X1
Основные виды соединений нелинейных звеньев
x=x1
F1(x1)
y1=x2
y2=y
F2(x2)
y=F2(x2)=F2[F1(x1)]=F2[F1(x)]
x=x2
F2(x
( 2)
y2=x
x1
F1(x
( 1)
y1=y
y
y = F1 ( x1 ) = F1[ F2 ( x2 ) = F1[ F2 ( x )]
109
x
x2
F1(x1)
y1
F2(x2)
y2
y
x = x1 = x2
y = yy1 + yy2 = F(x1)
( ) + F(x2)
( )
x
x1 F1(x1)
y1 = y
y2
x2
-
F2(x2)
y = F1( x1) = F1( x – y2 ) = F1[ x - F2(y)]
Способы нейтрализации нелинейных звеньев
x = x1
F(x1)
x = x1
y1
F(x1)
y1=x2 F-1(y1)
y = F-1(y1) = F-1[ F(x1)] = x
x1
x1
F ( x1 )
y1
x1
x1
F ( x1 )
y1
F −1 ( y1 )
110
y1
x1
y1
F(x1)
x1
F1(x1)
x1
F1(x1)
y1
F1(x1)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
27.1. Метод гармонической линеаризации нелинейностей
x2 = F ( x1 , px1 )
x2 (t ) = F ( a ⋅ sinψ ) = a0 + a1 ⋅ sinψ + b1 ⋅ cosψ + высшие гармоники
x
px
sinψ = 1 , cosψ = 1 .
a
aω
q′( a , ω )
x2 = q( a , ω ) x1 +
px1 + в.г.
ω
2π
a1
1
q( a , ω ) = =
F ( a ⋅ sinψ , aω cosψ ) sinψ dψ ,
a π a ∫0
b
1
q′( a,ω ) = 1 =
a πa
2π
∫ F (a ⋅ sinψ , aω cosψ ) cosψ dψ ,
0
x2 = F ( x1 )
x2
-b
b
c
x1
111
x1 = a ⋅ sinψ , ψ = ω t
q′( a ,ω )
x2 (t ) = q( a , ω ) x1 +
px1
ω
2π
1
q( a , ω ) =
F ( a ⋅ sinψ ) sinψ dψ ,
π a ∫0
2π
1
q′( a,ω ) =
πa
x2
i ψ ) cosψ dψ ,
∫ F (a ⋅ sin
0
x1
2⋅π
0
⌠
⌠
1
q' ( a , ω )
⋅ ⎮ F ( a ⋅ sin( ψ ) ) ⋅ cos ( ψ ) dψ
⋅ ⎮ F ( x) dx 0
2
π ⋅ a ⌡0
π ⋅ a ⌡0
x2= q(a) x1
x2
Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев
1
x2
x1 =a sin ωt
-b
b -mb
mb
C
x1
mb b
-1 ≤ m ≤ 1
A
b
Входная величина- x1
x2
B
a
mb
C
-mb
Ψ1
-b
ψ 1= arcsin (b/a)
ψ2 = π – arcsin(mb/a)
π
Ψ3
2π
Ψ4
ψ=ωt
-C
Ψ2
D
C
ψ3 = π + ψ1
ψ4 = π + ψ2
112
2π
π
π
ψ
ψ
π
ψ
1
2
2
∫0 = 2∫0 ; ∫0 = ∫0 + ∫ψ 1 + ∫ψ 2 = ∫ψ 1
q( a ) =
ψ2
2
πa
∫ψ C ⋅sin(ψ )dψ
1
q( a ) =
2⋅C
⋅ (cosψ 1 − cosψ 2 )
πa
cosψ = 1 − sin 2 ψ
⎛ m ⋅ b ⎞ < 900
⎟
⎝ a ⎠
arcsin⎜
ψ' 2
⎛ mb ⎞
− cosψ 2 = − cos((π − ψ `2 ) = 1 − sin
i ψ `2 = 1 − ⎜
⎟
⎝ a ⎠
2
2
2C ⎡
⎛b⎞
⎛ mb ⎞ ⎤
⋅ ⎢ 1− ⎜ ⎟ + 1− ⎜
q( a ) =
⎟ ⎥
a
a
πa ⎢
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
⎣
2 ψ2
2C
⋅ ∫ C ⋅ cosψdψ = −
⋅ (sinψ 1 − sinψ 2 ) =
q`(а ) =
πa ψ 1
πa
2
2
=
− 2C ⎛ b mb ⎞ − 2 ⋅ C ⋅ b
⋅⎜ −
⋅ (1 − m)
⎟=
πa ⎝ a a ⎠
πa 2
b2
4C
⋅ 1− 2
С q( a ) =
πa
a
x2
-b
b
x2
-b
b
x1
С
x1
q' ( a)
q ( a)
q' ( a)
g(a)
a
0
4⋅c
b
⋅ 1−
2
π⋅a
a
−4 ⋅ c ⋅ b
π⋅a
2
b
2
q(a))
q(
b
q`(a)
113
С
c
x2
4С
π
x1
x1=a
x2 =
4⋅c
q ( a)
q(a)
π⋅a
q' ( a)
0
a
4С
4С
⋅ x1 ; если x1 = a , то x2 =
πa
π
Метод гармонического баланса
x2 = F ( x1 )
Хвх =
0
X2
X1
Н.З
.
X
Л.Ч.
x1 = a ⋅ sin ωп t
x2 (t ) = F (a ⋅ sin
i ωп t ) = a1 ⋅ sin
i ωп t + b1 ⋅ cos ωп t + высшие гармоники
А
2 -для нулевого полюса
1
1для
ω
x2 (t ) = a1 ⋅ sin ωп t + b1 ⋅ cos ωп t = bm sin(ωп t + ϕн )
Wн (a ) = q (a ) + jq′( a ) = Aн ( a ) ⋅ e jϕ Н ( a )
≈
WН ( a ) =
X2
≈
Условие гармонического баланса
≈
WЛ ( jω ) = −
X1
≈
X1
X2
WH (a)WЛ ( jω ) = WР (a, jω ) = −1
114
Графоаналитический метод определения параметров
автоколебательного режима и его устойчивости
W Л ( jω ) = −
1
= − M Н (a),
WН (a)
WЛ ( jω ) = U (ω ) + jV (ω )
− M Н (a ) = −
1
q( a ) + jq ′( a )
− M H (a) = U (a) + jV (a)
Im
a
a
ω
ωп
п
–Mн(a)
Aл (ω ) j[ϕ л (ω ) +ϕ н ( a )]
e
= −1
Aм (а )
D
R
e
Wл(jω)
φл(ω) + φн(а) = – (2m+1) π ; где m = 0, ±1, ±2,…
D0 Im
Im
Re
Re
0
D
–Mн(a)
Aл (ω)
=1
Aм (а )
1
Wл(jω)
1`→ ← 1``
1
2
–Mн(a)
D1
Wл(jω)
a
115
МЕТОД ЛЯПУНОВА
Понятие о знакоопределенных, знакопостоянных и знакопеременных функциях
V = V ( x1 , x2 ,...., xn )
V = x12 + x22
V = ( x1 + x2 ) 2 + cx32
V = x1 + x2
Функция Ляпунова и её производная по времени
dx1
= F1 ( x1 , x2 ,.., xn )
dt
dx2
= F2 ( x1 , x2 ,.., xn )
dt
K
dxn
= Fn ( x1 , x2 ,.., xn )
dt
∂V
dV ∂V
∂V
=
⋅ F1 +
⋅ F2 + ... +
⋅ Fn
∂x2
dt ∂x1
∂xn
dV
= W ( x1 , x2 ,..., xn )
dt
Формулировка теоремы Ляпунова в векторно-матричной форме
n
n
V ( x1 , x2 ,....xn ) = ∑∑ pij xi x j ,
i =1 j =1
V ( x1 , x2 ,..., xn ) = x T Px
x& = Ax
x& T = x T A T
V& ( x) = x& T Px + xT Px& = xT AT Px + xT PAx = xT ( AT P + PA) x
V& ( x) = x& T Px + xT Px& = xT AT Px + xT PAx = xT ( AT P + PA) x
116
УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
0≤
x2=F(x1)
x2
F ( x1 )
< kн
x1
F(x1)
аrctg kн
x1
Частотный критерий абсолютной устойчивости В
В. М.
М Попова
x1
F(x
( 1)
x2
Линейная
часть
W ( p) =
X 1 ( p)
R( p)
=−
X 2 ( p)
Q( p)
Q( p) X 1 ( p) = − R( p) X 2 ( p)
Q(p)=a0pn + a1pn-1 +…+ an
R(p)=b0pm + b1pm-1 +…+ bm
117
W ( p) =
R( p )
Q( p)
Re(1 + jω h )W ( jω ) +
1
>0
kн
W*(jω)=U*(ω)+jV*(ω)
U*((ω))
V*(ω)
W*(j
(jω))
= Re
= ReW(jω)
(j )
= ω ImW(jω)
Im
Im
ω=0
ω=∞
ω
ω=1
Re
ω=∞
Re
ω=0
W(jω)
W*(jω)
(j )
W*(jω)
W(jω)
ω→0
V*
V*
nm>1
ω=∞
U*
ω=∞
*
W*(jω)
Re(1 + jω h )W ( jω ) +
nU*
m=1
U*
W*(jω)
1
1
= ReW ( jω ) − ω h ImW ( jω ) +
kн
kн
U * (ω ) − hV * (ω ) +
1
≥0
kн
V* =
1 * 1
(U + )
h
kн
118