решение уравнений в целых числах

Решение уравнений
в целых числах
Мирошниченко Н.Е.
учитель математики
МАУ ШИЛИ
Г. Калининград
1.Метод прямого перебора
•
Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и
других деталей, чтобы получить груз 30 кг?
Решение:
Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8
кг.
Составим уравнение: 3х + 8у=30
Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3
Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 8, то 8·3+8>30 ,
Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.
2.Использование неравенств
Решите в натуральных числах уравнение
3x + 6y = 21.
Решение. Для уменьшения перебора вариантов
рассмотрим неравенства
•
3x  21  6 y  0  y  3


6 y  21  3x  0  x  7
Проведем перебор по неизвестной у.
Если y = 1, то x = 5
Если y = 2, то x = 3
Если y = 3, то x = 1.
Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).
3.Использование отношения
делимости
Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300.
Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1,
3y −1 = 13(23 − x − y).
Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13.
Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным
числом.
Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12.
Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным
числом.
Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом
Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300.
Ответ: (12;9)
•
4. Выделение целой части
Решить уравнение 8x + 5y = 39 .
Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую
часть:
•
39  8 x
3x  4
5 y  39  8 x, y 
,y 7x
5
5
Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5.
Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3.
Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 88 = 64 > 39.
Ответ: (3; 3).
5. Метод остатков
Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку
левая часть уравнения делится на 3, то должна
делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.
1) Если y = 3m, где m  Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на
3.
2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не
делится на 3.
3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9
делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9,
x = 4m + 3.
Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m  Z.
•
•
6. Метод «спуска»
Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3.
Решение. Выразим из уравнения то неизвестное,
коэффициент при котором
7y 3
2y  3
меньше по модулю: x 
 y
5
5
2y  3
Дробь
должна быть равна целому числу.
5

Положим
2y  3
z
5
, где z – целое число.
Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то
неизвестное, коэффициент при котором меньше по
модулю, и проделаем аналогичные преобразования:
5z  3
z 3
y
 3z 
2
2
z3
Дробь
должна быть целым числом.
2
z 3
Обозначим
 t ,где t– целое число.
2
Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к
неизвестным х и у:
y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9,
x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.
Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число
7.Метод последовательного
уменьшения коэффициентов по
модулю
Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10
Решение. Коэффициенты при переменных х и у –
взаимно простые числа и свободный член - целое число.
Коэффициент при х больше коэффициента при у.
Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых
так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,
кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:
20х + 3у = 10
(18 +2) х +3у=10
18х +2х+3у=10
3(6х+у)+2х=10

Обозначим выражение 6х + у = k. (1)
Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х.
Проведем аналогичные преобразования с полученным
уравнением:
(2 + 1) k + 2 x =10
2(k + x) + k =10
Обозначим выражение k + х = n (2).
Получим уравнение
2 n + k =10
k = 10 – 2n
Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n:
10 – 2n +x = n
x = 3n – 10
Мы получили одну из формул решений уравнения
20x – 3y = 10
Чтобы получить вторую формулу, подставим в
равенство(1) вместо х
выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n:
6(3n – 10)+y = 10 – 20n
y = 70 – 20n
Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n
при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные
решения уравнения
8 . Использование формул
Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара ( x0, y0 ) какое-нибудь целочисленное решение уравнения
aх + by = c, то все целочисленные решения этого
уравнения описываются формулами:
y  y0  an , где n Z
x  x0  bn
Доказательство: Пусть пара ( x0 ; y0 ) - какое-нибудь
целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е.
ax0  by0  c . Сделаем замену переменных:
 x  x0  u,  x  x0  u,


 y  y0  v  y  y 0  v
Тогда в новых переменных уравнение примет вид:
b
au  bv  0  u   v . Т.к. а и b – взаимно просты, то
a
уравнение имеет решения, если v  n, n  Z
a
Тогда получим v  an, u  bn
Возвращаясь к старым переменным,
получаем, что
x  x0  bn, y  y0  an, n  Z
8 . Использование формул
Найти целочисленные решения уравнения
13х = 6у - 19
Решение. Найдем одно целочисленное решение
уравнения: x0  1 , y0  1 и выполним преобразования
13x  6 y  19  6 y  13x  19  6( y  1  1)  13( x  1  1)  19 
•
 x  1  6m,
 x  6m  1,
6( y  1)  13( x  1)  0  

 y  1  13m  y  13m  1
Ответ:
x  6m  1, y  13m  1, m  Z
9. Использование конечных
цепных дробей
Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0
Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при
неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть
неправильной дроби 127  2  23 .
1
52
52
Правильную дробь 23 заменим равной ей дробью 52
52
23
Тогда получим

127
1
 2
52 .
52
23
Проделаем такие же преобразования с полученной в
6
знаменателе неправильной дробью 52
 2
23
23
127
1
 2
Теперь исходная дробь примет вид:
.
6
52
2
23 23
Повторяя те же рассуждения для дроби
получим
6
127
1
 2
. Выделяя целую часть
1
52
2
1
3
6
5
6
неправильной дроби , придем к окончательному
5
результату: 127  2 
52
1
1
2
3
1
1
1
5
Мы получили выражение, которое называется конечной
цепной или непрерывной дробью.
Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну
пятую, превратим получающуюся при этом новую
цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби
127 : 2  1  2  4  22 . Итак, 127 22 1143  1144
1



52
2
1
4
9
9
52
9
52  9
52  9
Приведем полученное выражение к общему знаменателю и
отбросив знаменатель, получим: 127  9  52  22  1  0
Из сопоставления полученного равенства с уравнением
127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением
этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут
содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z.
Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t  Z.
НЕЛИНЕЙНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Метод разложения на множители
а) вынесение общего множителя за скобки
Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7
Решение: х² + 2ху - 4х = 7,
(х + 2у -2)х = 7

7  1 7  7 1  (1)  (7)  (7)  (1)
Составим четыре системы уравнений:
 x  7,
 x  1,
 x  1,
 x  7,




 x  2 y  4  7  x  2 y  4  1  x  2 y  4  7  x  2 y  4  1
решив которые, получим
 x  1,  x  7,  x  1,  x  7,




 y  5  y  1  y  1  y  5
Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)
б) применение формул сокращенного
умножения
Найдите все пары натуральных чисел, разность
квадратов которых равна 33.
Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения
(m + n)(m - n) = 33

33  33 1  1 33  3 11  11 3
т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений:
m  n  33,

m  n  1
m  17,

n  16
m  n  11,

m  n  3
m  7,

n  4
Ответ: (17; 16), (7; 4),
в) способ группировки.
Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16.
Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10
х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10
(х + 3)(у – 2) = 10
•
10  10 1  110  2  5  5  2  (10)  (1)  (1)  (10)  (2)  (5)  (5)  (2)
получаем восемь систем уравнений:
 x  3  10, x  3  1,  x  3  2,  х  3  5,




y

2

1
;
y

2

10
;
y

2

5
;



 у  2  2;
 х  3  10, х  3  1,  х  3  2,  х  3  5,




у

2


1
;
у

2


10
;
у

2


5
;



 у  2  2;
Решив полученные системы уравнений, получим:
 x  7, x  2, x  1, x  2,




y

3
;
y

12
;
y

7
;



 y  4;
 x  13, x  4,  x  5,  x  8,




 y  1;  y  8; y  3; y  0;
Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8),
(-5; -3), (-8; 0)
г) разложение квадратного трехчлена
Решить уравнение в целых числах :
х² - 5ху+4у²=13
Решение: Решив уравнение х² - 5ху+4у²=0
относительно переменной х , получим x1  4 y, x2  y .
Теперь можно разложить левую часть уравнения на
множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13
13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1)
Составим четыре системы уравнений:
 x  y  1,  x  y  13, x  y  1,  x  y  13,




 x  4 y  13; x  4 y  1; x  4 y  13; x  4 y  1.
Решив полученные системы уравнений, получим ответ:
Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)
д) использование параметра
Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых
числах.
Решение. Перепишем уравнение в виде
2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a
и разложим левую часть уравнения на множители
как квадратный трехчлен относительно х. Находим
дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно,
если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным
квадратом.
2 y  9  (2 y  11)
При этом a = −3 и x 
•
4
Отсюда x1  0,5; x2 . y  5
Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3.
-3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1
Из этого уравнения получим следующие системы
уравнений:
2 x  1  1,
2 x  1  1, 2 x  1  3,
2 x  1  3,




 x  y  5  3; x  y  5  3; x  y  5  1; x  y  5  1;
Решив эти системы, получим:
 x  1,  x  0,  x  2, x  1,




 y  9; y  2; y  8; y  3.
Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).
2. Метод решения
относительно одной
переменной
Выделение целой части
Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0
Решение: 3xy+17y=-14x - 71 ;
y(3x+17)=-14x-71
14 x  71
3 x  17 , где 3х + 17≠0
42 x  3  71
25
3y  
 14 
3 x  17
3 x  17
y
Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число,
следовательно, дробь также целое число,и значит 25
делится на (3х+17). Получаем:
3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом
3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3
3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом
3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5
3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом
3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13
Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)
Выделение целой части
Найти все целочисленные решения уравнения:
2x²-2xy+9x+y = 2
Решение. Выразим у через х и выделим целую часть:
2xy-y = 2x² +9x - 2
y (2x-1)=2x² + 9x- 2
2x2  9x  2
3
y
 x 5
2x 1
2x 1
3
Т.к. у должно быть целым числом, то дробь 2 x  1
также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1).
Получаем: если 2x - 1=1, то x = 1, y = 9
если 2x - 1=-1, то x = 0, y = 2
если 2x - 1= 3, то x=2, y = 8
если 2x - 1 = -3, то x = -1, y = 3
Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)
Использование дискриминанта
(неотрицательность)
Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых
числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное
относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0.
Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1.
Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е.
− 27y² + 90y +1≥ 0.
Так как y  Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти
значения, получим, что исходное уравнение в целых
числах имеет решения (0;0) и (1;1).
Ответ: (0;0); (1;1).

Использование дискриминанта
(полный квадрат)
Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых
числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное
относительно х:
x² − ( y +1)x + y² − y = 0.
Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть
квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое
уравнение
3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4.
Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2.
1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого
решения у.

2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет
целые решения y1  0, y2  2
При y = 2 получаем квадратное уравнение
x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 .
При y = 0 получаем квадратное уравнение
x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1.
3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно
целое решение y =1.
При y =1 получаем квадратное уравнение
x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 .
Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)
3. Метод оценки
Приведение к сумме неотрицательных
выражений
Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения,
выделив полный квадрат относительно переменной х:
x²+6xy+9y²+4y² = 40;
(x+3y)²+4y² = 40.
Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3
Перебирая значения у, получим системы:
 y  1,
 y  1,
 y  1,  y  1,




x

3
y

6
;
x

3
y


6
;
x

3
y

6
;



 x  3 y  6.
 y  1,  y  1,  y  1, y  1,




 x  3; x  9; x  9;  x  3.
Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)
Метод «спуска»
● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах.
Решение. Так как 2x² - четное число, а 7 - нечетное, то
5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть
y = 2z +1, z  Z , тогда данное уравнение можно
переписать в виде x² −10z² −10z = 6.
Отсюда видно, что х должно быть четным.
Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид
2m² − 5z(z +1) = 3,
что невозможно, так как число z(z +1) - четно, а
разность двух четных чисел не может быть равна
нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не
имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений