avtomaticheskoe-zadanie-amplitudnyh-znacheniy-magnitnoy-induktsii-pri-izmerenii-harakteristik-elektrotehnicheskih-staley

УДК 621.317.43
АВТОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ АМПЛИТУДНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ
ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СТАЛЕЙ
Докт. техн. наук БРАНОВИЦКИЙ И. И., ПУТЫРСКИЙ М. Н.
Институт прикладной физики НАН Беларуси
В данной работе рассматриваются проблемы автоматизации испытаний
одного из наиболее востребованных магнитомягких материалов – электротехнической стали (ЭТС). Хорошо известно важное значение этого материала в таких областях народного хозяйства, как электроэнергетика, электротехника, радиотехника и др. Для создания новых, высококачественных марок этой стали и разработки условий ее эффективного применения в
магнитопроводах необходима количественная информация о широком
спектре магнитных характеристик ЭТС при соответствующих режимах
намагничивания.
Магнитные свойства и обусловленные ими характеристики ЭТС в переменном магнитном поле описываются зависимостью текущих значений
магнитной индукции от соответствующих текущих значений напряженности магнитного поля за цикл перемагничивания, т. е. динамическим
магнитным гистерезисом. Внедрение цифровых технологий позволяет
развивать это направление исследований магнитных материалов, в том
числе ЭТС, связанное с нахождением и последующим анализом
параметров магнитного гистерезиса на качественно новом уровне. В
соответствии с принятыми правилами программно-реализуемая процедура
испытаний ЭТС должна обеспечивать, во-первых, задание нужного
амплитудного значения Bm и синусоидальной формы кривой магнитной
индукции материала и, во-вторых, измерение, расчет и анализ магнитного
гистерезиса и (или) его параметров (например, величины удельных
магнитных потерь) при соблюдении первого условия. Задание требуемых
Bm сводится к нахождению соответствующих им по основной кривой
намагничивания (ОКН) материала амплитудных значений напряженности
магнитного поля H m
(1)
Bm  B H m 
таким образом, чтобы выполнялось равенство
B H m   Bm  0 .
(2)
Нахождение поля H m , удовлетворяющего (2), может быть осуществлено с помощью итерационного метода. Для уравнения, решаемого
итерационным методом, выражение (2) можно представить в следующем
виде:
(3)
f ( x)  B x   Bm ,
где x – искомое поле H m , являющееся корнем функции f (x) ; Bm –
задаваемая величина магнитной индукции.
9
В работе проведен сравнительный анализ эффективности применения
известных итерационных методов для нахождения H m , при котором
обеспечивается задание требуемого значения Bm . Под эффективностью
применения метода понималось обеспечение высокой точности задания
требуемого значения Bm при устойчивой и быстрой сходимости
итерационного процесса. Цель такого сравнения – нахождение наиболее
эффективного из этих методов и способа его применения.
Для проведения исследований использовалось доработанное нами
аппроксимирующее выражение для ОКН электротехнической стали [1]


 H 2  2HC K2  K2 
 2

J 
  2Carctg H  K2   C  ,
B(H )  0 H  s  K1 ln 2
 H  2HC K  K 
 2H K K 


2C 
2
2 
1 2





(4)
где Js – намагниченность технического насыщения;  0 – магнитная
постоянная; C  1  K1 , K1 , K2 – коэффициенты аппроксимации,
постоянные для данного материала. Например, для текстурованной ЭТС
марки 3404: К1 = 0,018; К2 = 2,321104.
На рис. 1 представлена построенная из выражения (4) с учетом
указанных выше значений для К1, К2 кривая намагничивания для
текстурованной анизотропной ЭТС (кривая а), которая, как показали
исследования, имеет хорошее совпадение с экспериментальной ОКН стали
3404. Там же (рис. 1) представлена кривая относительной дифференциальной магнитной проницаемости данного материала (кривая б),
рассчитанная по ОКН из выражения
диф 
1 dB
.
0 dH
(5)
–3  3
отн
10

 10
диф
B, B,
ТлТл
2
25,364
1,8
22,827
1,6
20,291
1,4
17,755
а
1,2
5
4
1
12,682
10,145
0,8
б
0,6
0
1
50
7,609
3
0,4
0,2
15,218
5,073
2,536
2
100 150
200
250
300
H, А/м
350
0
400 Н, А/м 500
Рис. 1
Представленная на рис. 1 ОКН (кривая а) в целом имеет нелинейный
характер, поэтому при необходимости задания значений Bm , расположенных в различных ее точках, условия для реализации соответствующих
итерационных процессов будут разными. Для исследования скорости и
10
устойчивости схождения итерационного процесса при выборе задаваемого
значения Bm в произвольной точке ОКН на кривой а (рис. 1) были
выделены характерные области: 1 – начального намагничивания; 2 – перехода к наибольшим проницаемостям; 3 – наибольших проницаемостей;
4 – приближения к техническому насыщению; 5 – технического насыщения. Области 1, 3, 5 ОКН (рис. 1) имеют характер, близкий к
линейному; области 2, 4 – выраженно-нелинейный. В каждой из пяти
выделенных областей ОКН выбиралось значение напряженности
магнитного поля H mi , которое рассматривалось как решение итерационного метода, т. е. при его подстановке должно выполняться равенство (2).
В качестве таких полей в четырех первых областях были выбраны их
максимальные значения: H m1 = 75 A/м; H m 2 = 135; H m3 = 160; H m 4 = 250 A/м.
В пятой области было выбрано значение поля H m5 = 450 A/м. Указанным
значениям напряженности магнитного поля H mi соответствовали на ОКН
следующие значения магнитной индукции: Bm1 = 0,197 Тл; Bm 2 = 0,726;
Bm3 = 1,428; Bm 4 = 1,927; Bm5 = 1,965 Тл, которые в итерационном процессе
рассматривались в качестве задаваемых. Выделенные области ОКН
разбивались по оси абсцисс, т. е. по полю, на четыре равные части с шагом разбиения hi  H max i  H min i  / 4 , и для каждой области в трех первых точках рассчитывались значения напряженности магнитного поля
H nij  H min i  jhi , которые выбирались в качестве начальных приближений
в итерационных методах. Численные значения H nij приводятся в табл. 1,
где i – номер области разбиения; j – номер точки начального приближения.
Таким образом, методика работы сводилась к тому, что последовательно
задавались указанные выше значения магнитной индукции Bm1 , …, Bm5 , и
для каждого из них исследовались итерационные процессы при разных
значениях поля начального приближения H nij . Анализировались скорость
и степень устойчивости схождения итерационного процесса, т. е. нахождения его решения в виде соответствующих полей H m1 , …, H m5 для всех
методов.
Таблица 1
Значения напряженности магнитного поля,
выбранные в качестве начальных приближений
i
1
2
3
4
5
1
18,75
90
141,25
182,5
300
2
37,5
105
147,5
205
350
3
56,25
120
153,75
227,5
400
j
1. Метод Ньютона
xn  xn 1 
f ( xn 1 )
,
f ( xn 1 )
(6)
где n  1, 2, ..., N – номер итерации; x0  H nij.
11
2. Метод секущих
xn  xn 1 
f ( xn 1 )h
,
f ( xn 1 )  f ( xn 1  h)
(7)
где n  1, 2, ..., N – номер итерации; x0  H nij , h – некоторый малый
параметр метода, который подбирается из условия наиболее точного
вычисления производной.
3. Метод Вегстейна
xn  xn 1 
f ( xn 1 )( xn 1  xn  2 )
,
f ( xn 1 )  f ( xn  2 )
(8)
где n  1, 2, ..., N – номер итерации; x0  H nij .
4. Метод парабол
P2  p ( x  x3 ) 2  q ( x  x3 )  r  pz 2  qz  r – интерполяционный многочлен 2-го порядка, который имеет два корня z1, 2 m 
 q  q 2  4 pq
,
2p
следующий шаг рассчитывается x4  x3  zm , где zm – наименьший по
модулю корень;
x n  x n 1  z m ( x n 1 , x n  2 , x n  3 ) ,
(9)
где n  1, 2, ..., N – номер итерации, x0  H nij .
5. Метод линейной интерполяции
1. Вычисляем при x0 = 0; y0  f ( x0 ) x1  H nij ; y1  f ( x1 ) .
2. Вычисляем: x2  x1 
y0 ( x1  x0 )
; y2  f ( x2 ) .
y1  y0
3. Выбираем направление движения к корню: если y0 y2  0 , то x1  x2 ,
y1  y2 , иначе: x0  x2 , y0  y2 .
4. Корень x *  x 2 , если заданная точность не удовлетворяет,
повторяем пп. 2, 3.
6. Метод Ридерса
xn  xn 1  ( xn 1  xn 3 )
sign( f ( xn 3 )  f ( xn  2 )) f ( xn 1 )
f 2 ( xn 1 )  f ( xn 3 ) f ( xn  2 )
,
(10)
где n  1, 2, ..., N – номер итерации; x0  H nij.
7. Метод деления пополам
1. Вычисляем: y0  f ( x0 ) ; x1  H nij ; y1  f ( x1 ) .
x0  x1
.
2
3. Выбираем направление движения к корню: если y0 y1  0 , то x0  x2 ;
y0  y2 , иначе: x1  x2 ; y1  y2 .
2. Находим следующую точку как середину отрезка: x2 
12
4. Корень х* = х2, если заданная точность не удовлетворяет, повторяем
пп. 2, 3.
При сравнительных исследованиях методов, как и в [2], cтроилась
зависимость приведенной погрешности от номера итерации. Под приведенной погрешностью понималось отношение абсолютных погрешностей n-й
итерации к первой
x  H mi
,
(11)
En(n)  n
x0  H mi
где п – номер итерации; х0 – начальное приближение; хп – приближение на
n -й итерации; H mi – точное решение, удовлетворяющее (2) в i -й области.
На рис. 2 графически показан характер поведения итерационных методов
при нахождении поля H m 5 для задания амплитудного значения магнитной
индукции Bm5 в случае, когда в качестве начального приближения
выбиралось поле H nij  H n11  18,75 А/м. По оси абсцисс (рис. 2) отложено
число итераций, по оси ординат – приведенная погрешность нахождения
требуемого значения напряженности магнитного поля H m5 в логарифмическом масштабе по основанию 10. Цифрами 1…7 обозначены кривые,
характеризующие итерационный процесс при использовании методов,
указанных выше в аналогичном порядке.
`1E5
Погрешность, Еп
1
1E-5
1E-10
1E-15
Число итераций, п
Рис. 2. Характер поведения итерационных методов при нахождении поля Нm5 для задания
амплитудного значения магнитной индукции Вт = 1,965 Тл в анизотропной ЭТС
Из рис. 2 видно, что в представленном случае наиболее эффективным
итерационным методом является 4-й – метод парабол, имеющий наибольшую скорость и устойчивость схождения итерационного процесса.
Анализ полученных результатов во всем объеме исследований показывает,
что метод парабол в данном варианте является не только наиболее
эффективным, но и весьма удобным, так как при задании любого значения
магнитной индукции Bm на ОКН (кривая а, рис. 1) поле начального
приближения H nij остается неизменным в начале кривой намагничивания.
В работе исследована эффективность рассмотренных выше методов для
задания амплитудных значений магнитной индукции Bmi на ОКН изотроп13
ной ЭТС. Для этого, как и в случае текстурованной ЭТС, были построены
из выражений (4) и (5) кривые намагничивания и магнитной проницаемости изотропной ЭТС марки 2212. Исходя из параметров этой кривой,
в качестве решения итерационных методов выбирались значения напряженности магнитного поля: H m1  400 А/м; H m 2 = 620; H m3 = 830; H m 4 =
= 1350; H m5 = 2500 A/м. Соответственно задаваемыми амплитудными
значениями магнитной индукции Bmi на ОКН изотропной ЭТС определялись: Bm1 = 0,271 Тл; Bm 2 = 0,599; Bm3 = 1,251; Bm 4 = 1,650;
Bm5 = 1,690 Тл. В качестве начального приближения метода выбиралось то
же значение напряженности магнитного поля H n = 18,75 A/м, что и для
текстурованной ЭТС. В виде примера на рис. 3 представлен характер
поведения итерационных методов при нахождении поля H m 5 для задания
амплитудного значения магнитной индукции Bm5 . Из этого рисунка видно,
что и в случае изотропной ЭТС метод парабол (кривая 4) в целом является
наиболее эффективным для задания требуемого амплитудного значения
магнитной индукции Bm . Таким образом, он может использоваться как
итерационный метод для автоматического задания требуемого Bm при
испытаниях широкого класса электротехнических сталей – как изотропных, так и анизотропных. В качестве начального приближения в итерационном процессе выбирается значение магнитного поля, расположенное
в начале кривой намагничивания ЭТС.
Погрешность, Еп
`1E5
1
1E-5
1E-10
1E-15
Число итераций, п
Рис. 3. Характер поведения итерационных методов при нахождении поля
H m5 для задания
амплитудного значения магнитной индукции Bm = 1,650 Тл в изотропной ЭТС
ЛИТЕРАТУРА
1. Б р а н о в и ц к и й И. И., Р а з м ы с л о в и ч Г. И. и др. Исследование динамики
перемагничивания и физики магнитных потерь, разработка методов и средств контроля магнитных характеристик в магнитомягких материалах и магнитопроводах: Отчет,
г/р № 01.8.80014988 / Институт прикладной физики НАН Беларуси. – Мн., 1992. – С. 77.
2. S t u a r t D a l z i e l. Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics University of Cambridge. 1999, 9–22.
Поступила 25.06.2004
14