МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (ННГУ) Институт информационных технологий, математики и механики Кафедра теоретической, компьютерной и экспериментальной механики Специальность Механика и математическое моделирование ОТЧЕТ по физико-механическому практикуму на тему: «Консольная балка. Косой изгиб» Выполнили: студенты группы 381804 Гунаев Егор Колабин Юлиан Швецова Анастасия Преподаватель: Киселев В.Г. Нижний Новгород 2021 СОДЕРЖАНИЕ Теоретическая часть……………………………………………………………………………....3 Эксперимент. Прямой изгиб…………………………………………………………………….. 8 Эксперимент. Косой изгиб……………………………………………………………………....12 Список использованной литературы…………………………………………………………...14 Теоретическая часть Балкой в механике называют брус, находящийся под действием изгибающих усилий, в частности, поперечных сил, моментов и распределенных нагрузок. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. Консольная балка – это балка, которая удерживается в статичном положении при помощи только одной опоры – жесткой заделки (защемления). Изгиб – это такой вид деформации, при котором происходит искривление осей изменение кривизны осей, изменение кривизны/искривление срединной поверхности. или Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении балки действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей этого сечения или, когда внешняя сила совпадает с плоскостью искривления балки. Плоский изгиб происходит тогда, когда в главных центральных осях 𝑥𝑦 поперечного сечения стержня действуют 𝑀𝑥, 𝑄𝑦,а остальные внутренние силовые факторы равны нулю: 𝑀𝑦 = 𝑀𝑧 = 𝑁𝑧 = 𝑄𝑥 = 0. Чистый изгиб – это плоский изгиб, когда в главных центральных осях 𝑥𝑦𝑧 поперечного сечения стержня действует только момент 𝑀𝑥, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю: 𝑀𝑦 = 𝑀𝑧 = 𝑁𝑧 = 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 = 0. Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями балки. Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях. Изгибающий момент — момент внешних сил относительно нейтральной оси сечения балки или другого твёрдого тела. Деформация — изменение взаимного положения (расстояния) частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. 3 Рис. 2. Плоский прямой, косой и сложный изгиб Относительными называют деформации, определяемые отношением изменения размера (абсолютной деформации) к соответствующим начальным размерам тела. Угловая деформация характеризует изменение формы тела. Угол сдвига — это изменение первоначально прямого угла. Тензор деформации — тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации. 𝑇 = (ε𝑥 ε𝑥𝑦 ε𝑥𝑧 ε𝑦𝑥 ε𝑦 ε𝑦𝑧 ε𝑧𝑥 ε𝑧𝑦 ε𝑧 ) Оси в поперечном сечении, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными или главными моментами инерции. Выведем подробно уравнение упругой линии. Процесс формирования деформаций при изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга. Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 3). В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол dθ, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а нижние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом ' ' 𝐶𝐷 = 𝐶 𝐷 = 𝑑𝑧 = ρ𝑑θ. Произвольный отрезок АВ, расположенный от СD на расстоянии y, в ' ' результате изгиба удлинится на величину 𝐴 𝐵 − 𝐴𝐵. С учетом построений, изображенных на рис. 3, легко определить величину его относительной линейной деформации: ' ' ε= 𝐴 𝐵 −𝐴𝐵 𝐴𝐵 ' ' = 𝐴 𝐵 −𝑑𝑧 𝑑𝑧 = (ρ+𝑦)𝑑θ−𝑑𝑧 𝑑𝑧 = 𝑦 𝑑θ 𝑑𝑧 = 𝑦 ρ (1) 4 Рис. 3. Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям σ можно осуществить посредством закона Гука: σ = 𝐸ε = 𝐸 𝑦 ρ (2) Рис. 4. Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у (рис.4). Учитывая, что сумма элементарных сил σdA по площади попе­речного сечения A дает нормальную силу Nz. Но при чистом изгибе Nz =0, следовательно: 𝑁𝑧 = ∫ σ𝑑𝐴 = 𝐴 𝐸 ρ ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0→ ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0 𝐴 𝐴 Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения. Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через σ. Очевидно, что 5 𝑀𝑥 = ∫ σ𝑦𝑑𝐴 (3) 𝐴 C учетом выражения (2) получим: 𝐸 ρ 𝑀𝑥 = 2 ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐴 𝐸 𝐼 ρ 𝑥 Откуда 1 ρ 𝑀𝑥 = (4) 𝐸𝐼𝑥 С другой стороны, из курса высшей математики известно, что кривизна плоской кривой выражается через ее производную следующим образом: 2 ± 1 ρ = ( 𝑑𝑤 2 𝑑𝑧 ( )) 1+ 𝑑𝑤 2 𝑑𝑧 3 2 (5) . Приравняв правые части (4) и (5) выражений, получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, которое называется уравнением изогнутой оси балки 2 𝑑𝑤 2 𝑑𝑧 ( ( )) 1+ 𝑑𝑤 2 𝑑𝑧 3 2 = 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝑥 . (6) В координатной системе прогибов 𝑦0𝑧, когда ось 𝑦 направлена вверх, знак момента определяет знак второй производной от 𝑦 по 𝑧. Интегрирование данного уравнения представляет некоторые трудности. Поэтому его записывают в упрощенной форме, пренебрегая величиной в скобках по сравнению с единицей. Тогда дифференциальное уравнение упругой линии балки будем рассматривать в виде: 2 𝑑𝑤 2 𝑑𝑧 = 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝑥 . (7) Решение дифференциального уравнения (7) найдем, интегрируя обе его части по переменной 𝑧 = 𝑑𝑤 𝑑𝑧 𝑤 = ∬𝑙 =∫ 𝑙 𝑀𝑥(𝑧) 𝐸𝐼𝑥 𝑀𝑥(𝑧) 𝐸𝐼𝑥 𝑑𝑧 + 𝐶1 𝑑𝑧 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 (8) (9) Где 1) прогиб (𝑤) – смещение центра тяжести сечения балки по направлению, перпендикулярному к ее оси; 2) угол поворота сечения (φ) – угол, на который сечение поворачивается относительно своего первоначального положения (или угол между касательной к упругой линии и первоначальной осью балки). 6 , Постоянные интегрирования 𝐶1 𝐷 находят из граничных условий - условий закрепления балки, 1 при этом для каждого участка балки будут определяться свои постоянные. Перепишем основное дифференциальное уравнение изогнутой оси (упругой линии) балки (7) в следующем виде: 2 𝐸𝐽 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 (10) = 𝑀𝑥 Для определения прогибов балки при прямом изгибе запишем величину изгибающего момента в произвольном сечении на расстоянии z от начала координат, выбранном в опорном сечении Рис.3 (консольная балка) 𝑀𝑥 = 𝑃(𝑙 − 𝑧) (11) 2 𝐸𝐽 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 (12) = 𝑃(𝑙 − 𝑧) Уравнение (12) интегрируем два раза, получаем: 𝐸𝐽 ( 𝐸𝐽 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑃 2 = 𝑃 𝑙𝑧 − ( 2 𝑙𝑧 2 3 − 𝑧 6 𝑧 2 )+ С (13) 1 )+ С 𝑧 + С 1 (14) 2 Для определения констант С1и С2 отыщем в балке сечения, в которых мы заранее знаем величины прогиба. Таким сечением является опорное сечение: при z = 0, w′ = 0 и w = 0. Подставляя эти значения в уравнения (13) и (14), получим С1 = 0 и С2 = 0. 2 𝑦= 𝑃𝑙𝑧 6𝐸𝐽 (3 − ) 𝑧 𝑙 (15) При z = 𝑙 на конце консольной балки, нагруженной силой P на конце величина прогиба будет равна 3 𝑣= 𝑃𝑙 3𝐸𝐽 (16) 7 Для определения прогибов балки при косом изгибе необходимо действующие на балку нагрузки разложить на составляющие, параллельные главным осям Оy, Oz, и определить по отдельности прогибы v и w по направлениям этих осей (Рис. 3). Рис. 4. Полный прогиб в произвольном сечении балки и его направление определяются по формулам ∆𝑦𝑧 = 2 2 (17) 𝑤 𝑣 (18) 𝑣 +𝑤 tan 𝑡𝑎𝑛 α𝑦𝑧 = где α𝑦𝑧— угол между направлением суммарного прогиба и осью Оу. Для консольной балки можно записать следующие формулы: 3 𝑣= 𝑃𝑦𝑙 3𝐸𝐽𝑦 𝑤 = 𝑃𝑧𝑙 3𝐸𝐽𝑧 3 (19) (20) где 𝑙 – длина консоли балки. 8 Эксперимент. Прямой изгиб рис. 5(a, b) (b = 20мм, h = 10 мм, l = 500 мм) Таблица 1. (Прямой изгиб 1. - нагружение) Нагружение, кг ∆верт, мм ∆гор, мм 0 0 0 0,5 0,615 0.025 1 1,3 0.06 1,5 1,99 0.083 Таблица 2. (Прямой изгиб 1. - разгружение) Разгружение, кг ∆верт, мм ∆гор, мм 1,5 1,99 0.083 1 1,33 0.066 0,5 0,66 0.05 0 -0,02 -0,01 Рассчитаем теоретические величины прогибов ∆x и ∆y по формулам (16) и (17) при различных значениях груза. 3 ∆𝑦 = 𝑃𝑦𝑙 3𝐸𝐽𝑥 (21) 3 ∆𝑥 = 𝑃𝑥𝑙 3𝐸𝐽𝑦 (22) ∆x, ∆y– прогибы в плоскостях; Е–модуль упругости материала балки; Jx, Jy– моменты инерции сечения относительно осей ОZ и OY соответственно; l– длина балки; P– сила, действующая на балку. Таблица 3. (Анализ значений прогиба) Масса, кг Аналитический расчет прогиба, мм Экспериментальное значение прогиба, мм Отклонение ,% ∆верт, мм ∆гор, мм ∆верт, мм ∆гор, мм 𝑓гор 0,5 0,613 0 0,615 0,025 0,3 1 1,226 0 1,3 0,06 6,0 1,5 1,839 0 1,99 0,083 8,2 1 1,226 0 1,33 0,066 8,5 0,5 0,613 0 0,66 0,05 7,7 Рис. 6. Графики прогиба 10 рис. 7 (a,b) (h = 10мм, b = 20 мм, l = 500 мм) Таблица 4. (Прямой изгиб 2. - нагружение) Нагружение, кг ∆верт, мм ∆гор, мм 0 0 0 1 0.395 0.04 2 0.815 0.094 3 1.219 0.16 Таблица 5. (Прямой изгиб 2. - разгружение) Разгружение, кг ∆верт, мм ∆гор, мм 3 1.219 0.16 2 0.83 0.13 1 0.425 0.073 0 -0.005 0.015 Таблица 6. (Анализ значений прогиба) Масса, кг Аналитический расчет прогиба, мм Экспериментальное значение прогиба, мм Отклонение, % ∆верт ∆гор ∆верт ∆гор fверт 1 0.31 0 0.395 0.04 27.4 2 0.61 0 0.815 0.094 33.6 3 0.92 0 1.219 0.16 32.5 2 0.61 0 0.83 0.13 36 1 0.31 0 0.425 0.073 37.1 Рис. 8. Графики прогиба 12 Эксперимент. Косой изгиб Рис. 9 (косой изгиб) Таблица 7. (Нагружение и разгружение балки под α=45° ) Нагружение и разгружение, кг ∆верт, мм ∆гор, мм 0 0 0 0.75 0.62 0.272 1.5 1.235 0.602 2.25 1.88 0.941 1.5 1.271 0.65 0.75 0.639 0.315 0 0.02 -0.015 Рассчитаем теоретические величины прогибов ∆гор (горизонталь) и ∆верт (вертикаль) по формулам при различных значениях груза. 3 ∆верт = 3 𝑃𝑦𝑙 3𝐸𝐽𝑥 = 𝑃𝑙 cos (90−α) 3𝐸𝐽𝑥 = 𝑃𝑙 sin (90−α) 3𝐸𝐽𝑦 3 ∆гор = 𝑃𝑥𝑙 3𝐸𝐽𝑦 (23) 3 (24) α – угол между линией действия силы P и главной осью сечения OY. Таблица 8. (Анализ значений прогиба) Масса, кг Аналитический расчет прогиба, мм Экспериментальное значение прогиба, мм Отклонение, % ∆верт ∆гор ∆верт ∆гор 𝑓верт 𝑓гор 0.75 0.166 0.66 0.272 0.62 63.9 6.5 1.5 0.331 1.326 0.602 1.235 81.9 7.4 2.25 0.497 1.989 0.941 1.88 89.3 5.8 1.5 0.331 1.326 0.65 1.271 96.3 4.3 0.75 0.166 0.66 0.315 0.639 89.8 3.3 Рис.9 Графики прогиба Таблица 9. (Значения полного прогиба) Масса, кг Прогиб для аналитического расчет ∆, мм Прогиб для опытного расчета ∆, мм Отклонение, % 0.75 0.68 0.677 0.4 1.5 1.367 1.374 0.5 2.25 2.05 2.102 2.5 1.5 1.367 1.428 4.5 0.75 0.68 0.712 4.7 2 ∆ = ∆верт + ∆гор 2 14 Рис. 11. Графики полного прогиба 15 Список использованной литературы 1. Лабораторный практикум по механике материалов и конструкций/Под ред. А.К. Любимова. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. – 360 с. 2. https://studopedia.su/10_97254_prostie-vidi-soprotivleniya-ploskiy-izgib.html