Физический смысл определенного интеграла Пусть материальная точка М перемещается по воздействием силы F , направленной вдоль оси OX и имеющей переменную величину F F (x ) Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси OX из точки х = а в точку х = b . F a М сi x1 x2 … хi -1 хi … xn - 1 b Сила, действующая на отрезке [xi - 1; xi] меняется от точки к точке. Но если длина отрезка xi xi xi 1 достаточно мала, то силу на этом отрезке можно считать постоянной, равной значению функции в произвольно выбранной точке ci xi 1; xi Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке равна: Ai F (ci ) xi xi 1; xi 1 Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b]: n A F (ci ) xi Точное значение работы А : A lim i 1 b n F (c ) x F ( x )dx n ( 0 ) i 1 i i a Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному b интегралу от скорости: S v (t )dt a Масса неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности: b m ( x )dx a 2 Примеры 1 Решение: 3 Примеры 2 Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки на промежутке от 1 до 2 м под действием силы F(x) = x+3 (H)? Решение: Искомая работа равна: Ответ: 4,5 Дж 4 Примеры 3 Вычислите массу участка стержня x1 = 0 до x2 = 1 (м), если его линейная плотность задается формулой (х) = x2 + 1 (кг/м3). Решение: Согласно формуле, имеем: Ответ: 1,33 кг 5