МОН ЛЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛУГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО» РЕФЕРАТ По книге С. Ленга «Математика: Теория групп» Работу выполнил: Оглавление ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................................. 3 Глава I. Группы ........................................................................................................................................... 4 Глава II. Кольца ........................................................................................................................................... 6 Глава III. Модули ........................................................................................................................................ 7 Глава IV. Многочлены ................................................................................................................................ 8 Глава V. Алгебраические расширения ...................................................................................................... 8 Глава VI. Теория Галуа ............................................................................................................................... 9 Глава VII. Расширения колец ...................................................................................................................11 Глава VIII. Трансцендентные расширения .............................................................................................11 Глава X. Нётеровы кольца и модули .......................................................................................................12 Глава XI. Вещественные поля ..................................................................................................................13 Глава XII. Абсолютные значения ............................................................................................................13 Глава ХШ. Матрицы и линейные отображения .....................................................................................14 Глава XIV. Представление одного эндоморфизма.................................................................................15 Глава XV. Структура билинейных форм ................................................................................................16 Глава XVI. Полилинейные произведения ...............................................................................................17 Глава XVII. Полупростота........................................................................................................................17 Глава XVIII. Представления конечных групп ........................................................................................18 Глава. XIX Гомологии ..............................................................................................................................19 Заключение ................................................................................................................................................20 ВВЕДЕНИЕ Автор книги «Алгебра» С. Ленг, видный американский математик, профессор Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим ранее монографиям "Алгебраические числа" и "Введение в теорию дифференцируемых многообразий" (издательство "Мир", 1966 и 1967). В книге рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы, кольца, модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления групп). Читатель найдет здесь также первоначальные сведения по гомологической алгебре и алгебраической геометрии. Книга отражает изменения, происшедшие в алгебре за последние десятилетия, и дает читателю возможность основательно познакомиться с областями алгебры, ставшими уже классическими. Язык категорий и функторов связывает воедино разрозненные ранее понятия и результаты. Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей, студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой специальных курсов по алгебре. Глава I. Группы В этой части автором вводятся основные понятия алгебры. Ленг сразу вводит понятие моноида: моноид — это множество G с ассоциативным законом композиции, обладающим единичным элементом (так что, в частности, G не пусто). Далее вводит понятие группы как специфического моноида, для которого ху = ух = е, при этом указывая, что элемент у называется обратным к х и этот элемент единствен: действительно, если у' — другой обратный к х, то у' = у'е = у' (хv) = (у'х) у = еу = у. Автор предоставляет читателю в качестве упражнений доказательства следующих утверждений о циклических группах: а) бесконечная циклическая группа имеет в точности две образующие (если а — образующая, то а-1 — единственная другая образующая); б) пусть G — конечная циклическая группа порядка n и х—ее образующая. Множество образующих группы G состоит из тех степеней xv элемента х, в которых показатель v взаимно прост с n; в) пусть О — циклическая группа и а, b — две ее образующие. Тогда существует автоморфизм группы G, переводящий а в b. Обратно, любой автоморфизм группы G переводит а в некоторую образующую О. Автор подгруппами отмечает, и что ядра гомоморфизмов охарактеризовывает такие групп являются подгруппы: Пусть G-+G' — гомоморфизм групп и Н — его ядро. Для всякого элемента х из О выполняется равенство хН — Нх, что проверяется непосредственно исходя из определений. Автор говорит, что О действует на множестве S, а также что S есть Gмножество и рассматривает G-множество S. Ленг доказывает, что если О — группа, то у отображения Тх существует обратноеи, следовательно, каждое Тх есть перестановка множества S. Отображение хТ>Тх является, очевидно, гомоморфизмом группы G в группу перестановок множества, тогда можно говорить, что G представлена в виде группы перестановок (или что нам дано представление группы G в группу перестановок). Определяя конечную группу, порядок которой является степенью р (т. е. равен pn для некоторого целого, где р — простое число), Ленг вводит понятие силовской подгруппы: пусть О — конечная группа и Н — ее подгруппа, тогда мы называем Н силовской подгруппой, если порядок Н есть рn и если pn—наибольшая степень р, делящая порядок G. Далее он доказывает, что такие подгруппы всегда существуют. Для каждого объектов (множеств, моноидов, групп) автор определяет специальный род отображений между ними (например, гомоморфизмы). Он указывает, что некоторые формальные свойства являются общими для всех них, а именно существование тождественных отображений объектов на себя и ассоциативность отображений, выполняемых одно за другим. Ленг вводит понятие категории, чтобы дать общее абстрактное описание таких ситуаций. Под свободной группой, определенной множеством, он понимает универсальный объект в этой категории: если g: S-G — некоторое отображение, то мы будем обозначать через gt: F(S)—>G гомоморфизм, реализующий универсальность нашей свободной группы F (S). Далее автор рассматривает прямые суммы и свободные абелевы группы. Абелевы группы oбразуют категорию, которую можно обозначить, символом Аb. Заметим, что произведение семейства абелевых групп в категории групп является также произведением в категории абелевых групп, т. е. если мы образуем теоретикомножественное произведение и наделим его структурой группы с помощью покомпонентного умножения, то оно станет абелевой группой, обладающей необходимым свойством универсальности. Копроизведение в категории абелевых групп обычно называется прямой суммой. Глава II. Кольца В этой главе Ленг рассматривает Кольцо, по определению Ленга, кольца и гомоморфизмы. А — это множество с двумя законами композиции, называемыми соответственно умножением и сложением, записываемыми соответственно как произведение и как сумма и удовлетворяющими определенным условиям. Кольцо А называется коммутативным, если ху = ух для всех х. Коммутативное тело называется полем. Отметим, что по определению поле содержит по крайней мере два элемента, а именно 0 и 1. Подмножество В кольца А называется подкольцом, если оно является аддитивной подгруппой, содержит мультипликативную единицу Мультипликативной единицей служит постоянное отображение, значение которого есть мультипликативная единица кольца А. Аддитивной единицей служит постоянное отображение, значение которого есть аддитивная единица кольца А, т. е. 0. Заметим, что, как и в случае групп, гомоморфизм колеи однозначно определяется своим действием на образующие. Ленг утверждает, что всякое поле К имеет характеристику 0 или р > 0. В первом случае К содержит в качестве подполя изоморфный образ поля рациональных чисел, а во втором случае оно содержит изоморфный образ поля Fp. В обоих случаях это подполе будет называться простым полем (содержащимся в К). Так как это простое поле является наименьшим подполем в К, содержащим 1 и не имеющим автоморфизмов, кроме тождественного, его обычно отождествляют с Q или Fp, в зависимости от того, какой случай имеет место. Под простым кольцом (в К) автор предлагает понимать либо кольцо целых чисел Z, если К имеет характеристику 0, либо F, если К имеет характеристику р. Кольцо называется факториальным (или кольцом с однозначным разложением на множители), если оно целостное и если всякий элемент Ф 0 имеет однозначное разложение на неприводимые элементы. Далее автор доказывает, что всякое целостное кольцо главных идеалов факториально. Глава III. Модули В начале главы Ленг дает основные определения: пусть А — кольцо. Левый модуль над А, или левый Л-модуль М, — это абелева группа, обычно (записываемая аддитивно, вместе с некоторым действием А на М при этом А рассматривается как мультипликативный моноид), А таким, и что х, для у всех выполнены а, соотношения (а + b) х = ах -|- b х и а (х + у) = ах-\- ау. Под гомоморфизмом модулей понимается отображение М->М' одного модуля в другой (над тем же самым кольцом А), которое является гомоморфизмом аддитивных групп. Тождественное отображение всякого модуля на себя является гомоморфизмом. Канонические гомоморфизмы, переносятся с необходимыми изменениями и на модули. Модуль М называется конечно порожденным, или модулем конечного типа, если он имеет конечное число образующих. Подмножество модуля М называется линейно независимым (над А), если из равенства нулю линейной комбинации Под свободным модулем Ленг предполагает понимать модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль. Модуль над полем Ленг называет векторным пространством. Автор отмечает, что, как и в случае групп, гомоморфизм модулей, являющийся биективным отображением, будет изоморфизмом модулей. Здесь он вновь приводит то же доказательство, что и для групп (нужно только заметить, что обратное отображение, являющееся, как мы знаем, изоморфизмом групп, есть на самом деле изоморфизм модулей). Глава IV. Многочлены В следующем параграфе Ленг останавливается на алгебре многочленов. Он доказывает, что примитивные одночлены образуют базис алгебры А [S] над А, как было отмечено выше для моноидных алгебр. Элементы из A [S] называются многочленами от S над А. Элементы a и S называются коэффициентами многочлена. Конструкция алгебры многочленов Ленга показывает, как при заданном коммутативном кольце А можно построить Л-алгебру, имеющую сколь угодно много алгебраически независимых элементов. Далее Ленг поясняет, что согласно Теореме 5 редуцированный многочлен единствен. Также в этом параграфе автор занимается анализом поля частных кольца главных идеалов, используя факториальность такого кольца. Он дает определение элементарными симметрическими многочленами от tx.......tn и предоставляет читателю в качестве упражнения проверку того, что st — однородный многочлен степени I от t\.......tn. Глава V. Алгебраические расширения В данной главе С.Ленг изучает различные случаи сначала для уравнений с одним переменным над произвольным полем, беря в качестве В алгебраические расширения этого поля. Далее он рассматривает аспекты этого вопроса, относящиеся к кольцевым структурам (целые расширения). Затем переходит к конечно порожденным кольцевым расширениям и многочленам от нескольких переменных. Наконец, он вводит дополнительные структуры, такие, как вещественность или метрические структуры, задаваемые абсолютными значениями. Каждая из этих структур приводит к некоторым теоремам, описывающим структуру решений указанных выше уравнений. Автор приводит доказательство того, что алгебраически замкнутое и алгебраическое расширение поля k определено однозначно с точностью до изоморфизма. Всякое такое расширение будет называться алгебраическим замыканием k и будет обозначаться через k. Фактически, если не оговорено противное, символ k мы будем использовать только для обозначения алгебраического замыкания. Далее он рассматривает общую ситуацию с изоморфизмами и автоморфизмами в общих категориях. При этом указывает, что не все интересные поля являются подполями поля комплексных чисел. Например, представляет интерес исследовать алгебраические расширения поля C(-Y), где X— переменная над С. Изучение этих расширений равносильно изучению разветвленных накрытий сферы (рассматриваемой как риманова поверхность), и фактически имеется точная информация о природе таких расширений, поскольку известна фундаментальная группа сферы, из которой выколото конечное число точек. Глава VI. Теория Галуа В данной главе, рассматривая теорию Галуа, Ленг говорит, что алгебраическое расширение К поля k называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Он проедлагает считать К вложенным в некоторое алгебраическое замыкание. Т.к. группа автоморфизмов поля К над k называется группой Галуа поля К над k и обозначается символом G (К/к) или просто G, она совпадает с множеством вложений поля К в К над k. Для удобства читателя автор сформулирует основной результат теории Галуа для конечных расширений Галуа. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой Галуа G. Тогда между множеством подполей Е в К, содержащих k, и множеством подгрупп Н в G существует биективное соответствие, задаваемое формулой Е = КИ. Поле Е будет расширением Галуа над k тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна в G, и в этом случае отображение индуцирует изоморфизм факторгруппы G/Н на группу Галуа поля Е над k. Далее автор приводит доказательство: группа Галуа расширения Кk имеет лишь конечное число подгрупп. Следовательно, существует лишь конечное число подполей в К, содержащих k, и тем более лишь конечное число подполей в Е, содержащих k. Для бесконечных расширений Галуа К поля k предыдущее следствие уже перестает быть справедливым. Это показывает, что использование того или иного вычислительного соображения действительно необходимо в доказательстве для конечного случая. В бесконечном случае на группе Галуа G вводится топология Крулля и G превращается в компактную вполне несвязную группу. Подгруппы, принадлежащие промежуточным полям,— это замкнутые подгруппы. Доказательства для бесконечного случая обычно тождественны с доказательствами Понятия расширения для Галуа и конечного группы Галуа случая. определяются чисто, алгебраически. Следовательно, их формальное поведение при изоморфизмах точно такое же, какого можно ожидать от объектов в любой категории. Глава VII. Расширения колец В данной главе автор предлагает исследовать алгебраические расширения колец. Он приводит пример, когда многочлен с целыми коэффициентами, скажем Аs—X—1, можно привести по модулю любого простого числа р и получить таким образом многочлен с коэффициентами в конечном поле. Ленг утверждает, что В — целое над Л (относительно этого кольцевого гомоморфизма), если В—целое над (Л). Это расширение определения целости полезно, так как в некоторых приложениях имеют место отклонения от обычной ситуации. Далее автор исследуем взаимоотношение между теорией Галуа многочлена и теорией Галуа того же самого многочлена, приведенного по модулю простого идеала, а также останавливается на проблеме продолжения гомоморфизмов в полной общности. Глава VIII. Трансцендентные расширения В этой главе Ленг дает определение базисом трансцендентности поля: подмножество S в К, алгебраически независимое над k и максимальное относительно упорядоченности по включению, будет называться базисом трансцендентности поля К над k. Из максимальности ясно, что если S — базис трансцендентности К над k, то поле К алгебраично над k(S). Таким образом, автор доказывает следующее: либо степень трансцендентности конечна и равна мощности любого другого базиса трансцендентности, либо она бесконечна, и тогда всякий базис трансцендентности бесконечен. А теорема о нулях является специальным случаем теоремы о продолжении гомоморфизмов, относящимся к конечно порожденным кольцам над полями. Утверждение о мощности в бесконечном случае предоставляется читателю в качестве упражнения. Автор также оставляет в качестве упражнения утверждение о том, что всякое множество алгебраически независимых элементов может быть дополнено до базиса трансцендентности, выбранного из данного множества образующих. Глава X. Нётеровы кольца и модули Вводя понятие нётеровых модулей, Ленг доказывает, что конечная прямая сумма нётеровых модулей нётерова. Кольцо же называется нётеровым, если оно нётерово как левый модуль над собой. Это означает, что всякий левый идеал конечно порожден: пусть А — коммутативное нётерово кольцо. Тогда кольцо многочленов А[Х] также нётерово. В этом параграфе также автор предполагает, что А — коммутативное кольцо; модули и гомоморфизмы, если не оговорено противное, будут Aмодулями и А-гомоморфизмами. Затем он приводит доказательство, что в А существует идеал, максимальный в множестве идеалов, не пересекающихся с S, и всякий такой идеал является простым. Далее автор рассматривает понятие примарности: подмодуль Q в М называется примарным, если Q/М и если для любого данного а/А гомоморфизм а/Q либо инъективен, либо нильпотентен. Рассматривая А как модуль над собой, мы получаем, что идеал q примарен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему условию Вычеркивая некоторые из примарных модулей, участвующих в данном разложении, Ленг находит, что если подмодуль N обладает каким-то примарным разложением, то он обладает и несократимым разложением. Автор доказывает результат, дающий некоторое свойство единственности несократимого примарного разложения. Глава XI. Вещественные поля Существование бесконечно больших (или бесконечно малых) элементов в упорядоченном поле — это основная черта, которой такое поле может отличаться от подполя поля вещественных чисел. Ленг в данной главе делает несколько замечаний относительно этого явления, т. е. существования бесконечно больших элементов: поле К называется вещественным, если —1 не является суммой квадратов в К. Поле К называется вещественно замкнутым, если оно вещественное и любое его вещественное алгебраическое расширение совпадает с К. Другими словами, К является максимальным по отношению к свойству вещественности алгебраических замыканий. Элемент, алгебраический над некоторым упорядоченным полем, не может быть бесконечно большим относительно этого поля. Подобно тому, как выше Ленг развил теорию продолжения гомоморфизмов в алгебраически замкнутое поле и получил теорему Гильберта о нулях в алгебраически замкнутом поле, автор теперь развивает теорию для случая, когда принимаемые значения лежат в вещественно замкнутом поле. Глава XII. Абсолютные значения В данной главе Ленг рассматривает, как абсолютное значение определяет топологию на К: два абсолютных значения называются зависимыми, если они определяют одну и ту же топологию. В противном случае они называются независимыми. Всякое подполе поля комплексных чисел (или вещественных чисел) обладает абсолютным значением, индуцированным обычным абсолютным значением в поле комплексных чисел. Ленг еще раз доказывает тот факт, что всякое архимедово абсолютное значение на поле рациональных чисел зависит от обычного абсолютного значения. Этот факт по существу бесполезен (и нигде не используется в дальнейшем), так как мы всегда исходим из конкретно заданного множества абсолютных значений на интересующем нас поле. В этом параграфе автор получает среди других результатов теорему о существовании продолжения неархимедовых абсолютных значений на алгебраические расширения. Заканчивает этот параграф Ленг установлением связи между кольцами нормирования в конечном расширении и целыми замыканиями. Глава ХШ. Матрицы и линейные отображения В данном параграфе автор рассматривает теорию матриц. Под строчным рангом А он предлагает понимать максимальное число линейно независимых строк матрицы А, а под столбцовым рангом А — максимальное число линейно независимых столбцов А. Таким образом, эти ранги представляют собой размерности векторных пространств, порожденных соответственно строками А и столбцами А. Автор утверждает, что эти ранги равны одному и тому же числу, и это число мы назовем рангом А. Определитель является полилинейным и знакопеременным по отношению к строкам матрицы. Затем автор доказывает существование и одновременно одно дополнительное важное свойство определителей - матрица индуцирует автоморфизм формы. По некоторой причине группа автоморфизмов симметрической (соответственно знакопеременной или эрмитовой) формы на векторном пространстве называется ортогональной (соответственно симплектической или унитарной) группой этой формы. По мнению Ленга, слово „ортогональный" особенно неудачно, так как ортогональное отображение сохраняет не только ортогональность — оно сохраняет также скалярное произведение, т. е. длину. Далее, он считает, что слово „симплектический“ также неудачно, т.к. часто рассматривают эрмитовы формы над некоторыми телами (обладающими автоморфизмами порядка 2), и их группы автоморфизмов также были названы симплектическими, что создает настоящую путаницу с использованием этого слова применительно к знакопеременным формам. Глава XIV. Представление одного эндоморфизма Ленг рассуждает, о том, что цель теории представлений состоит в том, чтобы описать структуру всех представлений различных интересных колец и классифицировать их неприводимые представления. В большинстве случаев он предлагает брать в качестве k поле, которое может быть, а может и не быть алгебраически замкнутым. Трудности в доказательстве теорем о представлениях могут поэтому лежать в сложности или кольца R, или поля к, или модуля Е, или всех трех вместе. Он также говорит, что Е вполне приводим, хотя неверно, что все представления вполне приводимы. В этом параграфе автор предполагает, что R — целостное кольцо главных идеалов. Все рассматриваемые модули и гомоморфизмы являются, если не оговорено противное, модулями над R и R-гомоморфизмами. Теоремы этого параграфа обобщают утверждения, доказанные в гл. I для абелевых групп. Автор будет также указывать, как следует видоизменить доказательства из гл. I, чтобы после изменения терминологии получить доказательства для настоящего случая. Далее он рассматривает свободный одномерный модуль над R, который он называет бесконечным циклическим. Бесконечный циклический модуль изоморфен кольцу R, рассматриваемому как модуль над собой. Таким образом, всякий ненулевой подмодуль бесконечного циклического модуля является бесконечным циклическим. Глава XV. Структура билинейных форм Цель этой главы — проникнуть несколько глубже в структурную теорию типов форм. При этом автор большей частью предполагает, что основное кольцо является полем и даже полем характеристики f в симметрическом случае. Ленг введит еще одно обозначение. При изучении форм на векторных пространствах он предлагает часто разлагать векторное пространство в прямые суммы ортогональных подпространств. Если Е— векторное пространство с формой g и F, F' — его подпространства, то следует писать E=Fif' для обозначения того факта, что Е есть прямая сумма F и F' и что F ортогонально (или перпендикулярно) F', т. е., другими словами, х ] у (или (х, у) = 0) для всех xF и yF'. Мы в этом случае будем говорить, что Е является ортогональной суммой F и F'. Это не будет приводить к путанице с использованием символа J_ в тех случаях, когда мы пишем F J_ F' лишь для обозначения того, что F перпендикулярно F'. Из контекста всегда будет ясно, что мы имеем в виду. Большая часть этой главы посвящена получению определенных ортогональных разложений векторного пространства с одним из наших трех типов форм, таких, что каждое слагаемое в сумме имеет некоторый легко распознаваемый тип. Пусть g, ф — симметрические формы на векторных пространствах над k. Автор предлагает считать, что они эквивалентны, если gd изометрична f. Далее, (ортогональная) сумма двух нулевых форм есть нулевая форма, а сумма двух гиперболических форм — гиперболическая форма. Однако сумма двух определенных форм, разумеется, не обязательно является определенной формой. Эквивалентность сохраняется при ортогональных суммах и, следовательно, классы эквивалентности симметрических форм образуют коммутативный моноид. Глава XVI. Полилинейные произведения Автор в данной главе доказывает, что полилинейное отображение линейно над k по каждой переменной. Он предлагает использовать слова „линейное отображение" и „гомоморфизм" как синонимы. Универсальный объект этой категории называется, согласно автора, тензорным произведением модулей Ev ..., Еп (над k). Далее он доказывает, что тензорное произведение существует, и фактически построим его некоторым естественным способом. Во многих дальнейших результатах автор существование и единственность каких-либо будет утверждать линейных отображений тензорного произведения. Это, по его мнению, существование доказывается использованием универсального свойства тензорного произведения, позволяющего пропускать через него билинейные отображения. Далее Ленг доказывает, что единственность вытекает из того факта, что линейные отображения принимают предписанное значение на элементах для двух множителей, поскольку такие элементы порождают тензорное произведение. Глава XVII. Полупростота Настоящая глава посвящена результатам, которые могут быть доказаны в общей ситуации. Ленг дает определение полупростоты кольца. Далее автор доказывает, что во многих приложениях модули разлагаются в прямую сумму простых подмодулей, и в этих случаях можно развить некую структурную теорию, как в общих предпосылках, так и для специальных приложений. Он выводит условия, определяющие полупростоту: пусть R — кольцо. Если специально не оговаривается противное, то все модули и все гомоморфизмы в этом параграфе предполагаются R-модулями и Rгомоморфизмами. В конце приводит доказательство того, что если R полупросто, то всякий R-модуль полу прост. Глава XVIII. Представления конечных групп В данной главе автор интересуется классами представлений относительно изоморфизма. Он доказывает, под (обобщенным) характером группы G мы следует понимать всякую функцию на G, которая может быть записана в виде линейной комбинации характеров представлений с произвольными целочисленными коэффициентами. Тогда характеры, ассоциированные с представлениями, будут называться собственными характерами. Ленг утверждает, что все, что мы определили, зависит, конечно, от поля k, и если нам будет нужно специально отметить поле k, мы будем к нашим высказываниям добавлять «над k». Он отмечает, что классы сопряженных элементов на самом деле образуют базис центра группового кольца Z [О] над Z и вследствие этого играют универсальную роль в теории представлений. Также обращает внимание на то, что что классы сопряженных элементов линейно независимы над k и образуют базис для центра алгебры k [О] над k, следовательно k алгебраически замкнуто. Глава. XIX Гомологии Ленг приводит читателя к выводу,что замкнутый комплекс Лмодулей— это последовательность модулей и гомоморфизмов, где I пробегает множество целых чисел по модулю n для некоторого n >2, удовлетворяющая тому же свойству, что и выше, для композиций последовательных гомоморфизмов. Автор называет n длиной замкнутого комплекса. Ясно, что комплексы образуют категорию. Такое правило f будет называться отображением Эйлера — Пуанкаре на категории Л-модулей Рассматривая морфизм, ядро и коядро которого равны 0, изоморфизм, Ленг вводит понятие т.е. абелевой категорией. Например, комплексы модулей образуют абелеву категорию, поскольку ясно, как определить, скажем, ядро морфизма комплексов. В топологии абелеву категорию образуют так называемые векторные пучки. Далее автор доказывает теорему Жордана — Гёльдера, утверждаея, что всякие две простые фильтрации модуля эквивалентны. Он обращает внимание, что модуль М называется модулем конечной длины, если он равен 0 или же обладает простой (конечной) фильтрацией. По теореме Жордана — Гёльдера длина такой простой фильтрации однозначно определена; она называется длиной модуля. Заключение Эта книга может служить основой годового курса алгебры для аспирантов. Объем материала, который автор предлагает в своем издании, вполне достаточен, чтобы получить надлежащую подготовку по алгебре в течение годового курса. Главы книги написаны таким образом, чтобы обеспечить наибольшую гибкость в варьировании порядка изучения тем, т.к. автор сделал некоторые параграфы и главы логически независимыми друг от друга. Автор утверждает, что невозможно изложить их все с одинаковой полнотой. Точный момент, когда лектор пожелает остановиться в любом из этих направлений, будет зависеть от времени, места. Например, главы о вещественных полях и абсолютных значениях могут быть без ущерба опущены или же прочитаны слушателями самостоятельно. То же самое относится к главе о представлениях групп. Материал, изложенный в книге, при всей своей строгости учебника математики, отличается от классического учебного пособия меньшей энциклопедичностью (о чем не раз говорит сам автор). Однако эта особенность только делает монографию более понятной начинающему ученому.