14- маъруза
NP - Тўлиқ масалаларни ечиш алгоритмларини қийинлигини
баҳолаш
Аввало саволнинг назарий жиҳатлари ҳақида тўхталамиз. P ва NP
мураккаблик синфларининг тенглиги масаласи бутун дунё математиклари
жавоб излаётган алгоритмлар назариясининг маказий очиқ масалаларидан
биридир. Ушбу масала алгоритмлар назариясининг ҳисоблаш назарияси
мураккабли бўлимида кўриб чиқилмоқда. У маълум бир масалани ечиш учун
зарур бўлган манбааларни ўрганади. Энг кенг тарқалган манбаалар вақт
(арифметик амаллар сони) ва хотира (компютер хотираси учун зарур бўлган
ҳажм). Тўлиқ масалалар P ва NP синфлари ўртасидаги тенглик масаласи минг
йиллик масалалардан бири бўлиб, уни ҳал қилиш учун Клей Математика
институти бир миллион АҚШ доллари миқдорида мукофот эълон қилди.
Ушбу масалани эслатамиз.
1. . P ва NP синфлар тенглиги;
2. Ходжа гипотезаси;
3. Пуанкаре гипотезаси.(ечилган);
4. Риман гипотезаси;
5. Янг-Михлснинг квант назарияси тенгламаси ечими;
6.
Навье- Стокснинг тенгламалари ечимларининг мавжудлиги ва
силлиқлиги;
7.
Берг-Свиннертон-Драйерларнинг гипотезаси;
Муаммони содда шаклда тасвирлашга ҳаракат қилайлик. Масаланинг
маълум бир ечимининг тўғрилигини текшириш учун полиноминал вақт керак
бўлса, у ҳолда ечимни ўзини топиш учун бизга полином вақти керак бўлади,
1
ва масалани ечишда биз полиномли хотирадан фойдаланамиз? Бошқача
айтганда, масаланинг ечимини тўғрилигини текшириш, уни топишдан осон
эмаслигини кўриш мумкин эмасми?
Масалан, {-2, -3, 15, 14, 7, -10,…} сонлари орасида уларнинг
йиғиндиси нолга тенг бўладими (қуйи тўпламлар йиғиндиси масаласи)
шундай эканлиги ростми? Жавоб ижобий. чунки -2-3+15-10=0 тўғридан
тўғри қўшиб осонгина ҳисобланади. Жавобнинг тўғрилигини текшириш учун
зарур бўлган маълумот СЕРТИФИКАТ даб аталади. Шундан келиб чиқадики,
бу сонларни олиш шунчаки осонми? Буни ҳам текшириш шунчалик осонми
сертификатни топиш каби? Сонларни танлаш қийинроқ туюлади, лекин бу
исботланмаган. Бу P ва NP синфларнинг таърифидан келиб чиқади, аммо шу
пайтгача ушбу P NP. муносабатнинг қатъийлиги ҳақида ҳеч нарса маълум
эмас. Энди NP синфидаги энг қийин масалалар (NP- тўлиқ масалалари)
экспоненциаль вақт ичида ечилиши мумкин, аммо бу амалий нуқтаи
назаридан қабул қилиниши мумкин эмас.
Энди биз ушбу масалаларнинг ҳисоблаш мураккаблигидан келиб чиқадиган,
NP масалалари синфига кирадиган, баъзи масалалар тақдимотига мурожаат
қиламиз.
1. Квадрат матрицаларнингдетерминантларини ҳисоблаш. Бу жуда
шаффоф ва содда масалага ўхшайди. Кейинги материалларни яхши ва
осон ўзлаштириш учун биз ушбу масала ҳақида батафсил тўхталамиз.
a
a
A 11 12 , det A a11a22 a21a12
a21 a22
n 2 бўлганда арифметик амаллар сони N2 3 яъни иккита кўпайтириш ва
битта айириш амаллари мавжуд. Учинчи тартибли детерминантни биринчи
қатор элементлари бўйича ҳисоблаш қоидаси орқали бажарилади.
2
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23 , det A a11 A11 a12 A12 a13 A13 .
a33
Бу ерда Аij - аij элементларнинг алгебраик тўлдирувчилари бўлиб, иккинчи
тартибли детерминант бўлади, уларни ҳар бирини ҳисоблаш учун учта
алгебраик амаллар бажарилади. Шундай қилиб, биз учинчи тартибли
детерминантни ҳисоблаш учун N3 = 3 * 3 + 3 + 2 = 14 амалларни бажариш
зарурлигини аниқладик. n – тартибли детенминантни ҳисоблаш учун
қуйидаги формуладан фойдаланишимиз мумкин.
1 j
n
det A a1 j 1
j 1
A1 j .
Бундан кўришимиз мумкинки, арифметик амаллар сонини қуйидаги
тенгсизлик орқали ҳисоблашимиз мумкин экан.
N n n!
Биз n – тартибли детерминантларни умумий таърифидан шундай хулосага
келишимиз мумкинки, унда барча мумкин бўлган амалларнинг йиғиндиси n !
га тенг бўлади, уларнинг хар бири эса n-1 кўпайтмага ва уларнинг йиғиндиси
(айирмаси) n! 1 га тенг бўлади. Шундай қилиб биз, қуйидагига эга бўламиз.
N n n 1 n! n! 1 n n! 1.
(1)
Бу (1) формуладан кўриниб турибдики, юқори тартибли детерминантларни
ҳисоблаш жуда кўп арифметик амалларни бажаришга тўғри келади. Масалан,
n=9 ва n=10 га тенг бўлганда биз қуйидаги сонларга эга бўламиз.
N9=3265919, N10=36287999.
Ушбу маълумотлардан кўриниб турибдики, арифметик амаллар сонини
деярли қабул қилиш мумкин эмас. Тасаввур қилинг, ўнта номаълум бўлган
3
ўнта чизиқли алгебраик тенгламалар системасини Крамер усули ёрдамида
ечмоқчимиз. У ҳолда биз 11 та шундай детерминантни ҳисоблашимиз керак
бўлади, уларнинг ҳар бири учун N10 та амалларни бажаришимиз керак
бўлади.
Муаммоларнинг NP
синфига тегишлилигини кўрсатадиган вақт келди.
Белгиларидан бири сифатида биз мураккаблик даражасини олишимиз
мумкин керакли арифметик амаллар сони n ! га пропорционал ва бу сон
шунчалик тез ўсадики, маълум бир қийматдан бошлаб у жуда катта сонга
айланади. Бундай масалаларни замонавий супер компютерларда ҳам ҳал
қилиш имконияти бўлмай қолади.
Шуни ҳам таъкидлаш лозимки, ҳал қилинадиган барча дастлабки
масалалар тегишли мосламалар томонидан белгиланадиган кўрстгичлар, мос
келадиган қурилмалар томонидан аниқланадиган кўрсатгичлар яхлитланган
ва баъзи физик кўрсатгичларнинг қийматлари тақрибий бўлади. Арифметик
амалларни бажаришда ушбу тўғирлаб бўлмас хатоликлар тўпланиб, қабул
қилиниши мумкин бўлмаган катта хатоликларга олиб келиши мумкин. Шу
муносабат билан, бундай масалаларнинг тақрибий ечимларини топиш учун
турли хил сонли усуллар пайдо бўлди. Шундай қилиб, катта n лар учун
чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечимларни топиш учун оддий
такрорлаш усули ёки Зейдел усули қўлланилади.
Яна бир NP – мураккаблиги масаласини ахборот технологиялари
сохасида кўриб чиқайлик. Учлари n та бўлган тўлиқ граф берилган бўлсин.
n n 1
Бундай графнинг қирралар сони
га тенг. Графнинг учлари баъзи бир
2
жойларни ифодаласин ва қирралари улар орасидаги йўл бўлиб, уларнинг ҳар
бири учун ўтиш жойининг нархини аниқласин. Минимал харажатларнинг
Гамильтон циклини аниқлаш керак (коммивояжер масаласи).
4
Агар биз граф учларини V1,V2 ,...,Vn деб белгиласак, унда графнинг
тўлиқлиги сабабли V1,V2 ,...,Vn кетма – кетликнинг ҳар қандай алмашинуви
Гамильтон циклини беради. Бундай вариантларнинг сони ҳар бири n!, га
тенг бўлади, уларнинг ҳар бири учун маршрут (йўл) нархини аниқлашимиз ва
минимал нархни танлашимиз керак бўлади. Бу ерда биз ҳисоблаш ва
ҳажмнинг мураккаблигига дуч келамиз. Биз маршрутлар ҳақида n ! та
маълумотни сақлашимиз керак. Юқорида таъкидлаб ўтилганидек, бу катта n
лар учун имконсиз бўлиб қолади. Сонларнинг катталигини n ! кўрсатиш учун
тақрибий ҳисоблашдан фойдаланилади.
n! nn e n 2 n .
(2)
(2) мулохазадан кўриниб турибдики, бу берилган масала полиноминал
мураккаблигидаги масала эмас. Тўлиқ бўлмаган граф ҳолатида, баъзи
учларини бирлаштирувчи қирралари бўлмаса, қирраларининг сони камаяди.
Шунинг учун, Гамильтон циклининг умумий сони камроқ бўлади. Мавжуд
умумий сони n ! бўлмаган вариантларини мумкин бўлган вариантлар
қаторидан чиқариб ташлашимиз керак. Масаланинг дастурий ечими
топилганда, алгоритмда ечим босқичи ҳам бўлиши керак. Бунинг учун
силжиш матрицаси билан бирга
Aсм aij , 1 i n;1 j n
Нархлар матрицасини шакллантириш.
С сij , 1 i n;1 j n.
Гамильтон циклининг мавжудлигини маълум бир i1, i2 ,..., in вариантини
текшириш учун k 1 n 1 да агар aik ik 1 0 га тенг бўлса биз бундай
маршрут йўқлигини текширамиз ва бу маршрут мавжуд эмас деб
ҳисоблаймиз. Йўналиш нархи мавжуд вариант учун ҳисобланади.
5
n 1
C cik ik 1 .
k 1
Шундай қилиб, маршрут рақамлари ва уларнинг нархи шакллантирилади,
шундан сўнг нарх учун минимал маршрут аниқланади.
Тўлиқ мисол ёрдамида тасвирланган алгоритмни тасвирлашга ўтамиз. Биз
инциндент матрицаси ва нарх матрицаси ёрдамидаги граф ҳақида маълумот
берамиз. Бизга бешта учи ва саккизта қиррали граф берилган бўлсин. Аралаш
матрица берилган
0
1
A 0
0
1
1 0 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
0
5
C 0
0
4
5 0 0 4
0 6 8 7
6 0 4 9
8 4 0 5
7 9 5 0
Бу ҳолда n=5 бўлганлиги сабабли, тўлиқ граф учун мумкин бўлган
Гамильтон циклларининг сони n!=5!=120 бўлади. Аммао бизнинг ҳолимизда
граф тўлиқ эмас ва мумкин бўлган вариантлар сони кичик бўлади. 1- учидан
чиқаётган Гамильтон графини топиш масаласини кўриб чиқамиз. А
матрицадан 1-учидан 1 2 ва 1 5
бўлган иккита вариантдан мумкин
бўлган натижаларни кўриш мумкин. Келинг, биринчи вариантни давом
эттирамиз. 2- учидан 3, 4, 5 учига ўтиш мумкин. Биз 1 2 3. вариантларни
4
. вариант. Булар ичидан керакли
танладик. Бундан ташқари 1 2 3
5
варианти 1 2 3 4 5 1. бўлади.
Мисол 1.
Вариантни танлашда давом этиб 1 2 3 5
учларнинг
такрорланишига олиб келади. Иккинчи ечимни шунга ўхшаш тарзда топамиз.
Мисол 2.
1 2 4 3 5 1. Ушбу маршрутларнинг С1 24; С2 30.
нархини ҳисоблаб чиқамиз, минимал нархи П1 бўлади.
6
7